三视图和直观图
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投影,直观图和三视图【知识概述】柱、锥、台、球的结构特征是基础,以长方体为载体考查线线、线面、面面的关系是重点,三视图及直观图属新增内容,在高考中频繁出现,大多为由三视图确定原几何体的表面积与体积,多以选择题、填空题出现,难度不大.本节课通过知识的梳理和典型例题的讲解,使同学们理解和掌握空间几何体的结构特征、直观图和三视图的相关知识,并提高学生的空间想象能力、抽象概括能力以及几何直观能力.1.在三视图中,主视图反映物体的长与高的位置关系;俯视图反映物体的长与宽的位置关系;左视图反映物体的高与宽的位置关系.归纳口诀:长对正,高平齐,宽相等.2.斜二测画法的一般步骤:①在已知图形所在的空间中取水平平面,作互相垂直的轴Ox 、Oy ,再作Oz 轴,使∠xOz =90°,且∠yOz =90°.②画直观图时,把它画成对应的轴O 'x '、O 'y '、O 'z ',使∠ x 'O 'y '= 45°(或135°),∠ x 'O 'z '= 90°,x 'O 'y '所确定的平面表示水平平面.③已知图形中平行于x 轴、y 轴、z 轴的线段,在直观图中分别画成平行于x '轴、y '轴、z '轴的线段,并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.④已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段,在直观图中保持长度不变,平行于y 轴的线段,长度为原来的一半.⑤画图完成后,擦去作为辅助线的坐标轴,就得到了空间图形的直观图.【学前诊断】1. [难度] 易一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是( )A.球B.三棱锥C.正方形D.圆柱2.[难度] 中一个几何体的三视图如右图所示(单位:m ),则该几何体的体积为__________3m .3.[难度] 中若某几何体的三视图(单位:cm )如图所示,则此几何体的体积是 3cm .【经典例题】例1.已知正三角形ABC 的边长为a ,那么ABC ∆的平面直观图'''A B C ∆的面积为( )A. 2B. 2C.28a D. 216a例2.如图所示,用斜二测画法画一个水平放置的平面图形得到一个边长为1的正方形,则原来图形的形状是( )例3.设如图所示,甲、乙、丙是三个空间几何体的三视图,甲、乙、丙对应的标号正确的是( )①长方体;②圆锥;③三棱锥;④圆柱.A.④③②B. ②①③C. ①②③D. ③②④例4.如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且体积为12,则该几何体的俯视图可以是( )例 5.如右图,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为3和4,过直角顶点的侧棱长为4,且垂直于底面,该三棱锥的正视图是( )例 6.一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如右图所示,则该几何体的俯视图为( )例 7.若几何体的三视图(单位:cm )如图所示,则此几何体的体积是( )A.3352cm 3B.3320cm 3C.3224cm 3D.3160cm 3例 8.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A.2B.1C.23D.13 例 9.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 .例 10.某几何体的三视图如图所示,则它的体积是 .【本课总结】1.要注意牢固把握各种几何体的结构特征,利用它们彼此之间的联系来加强理解.2.以长方体为载体,借助实物模型,加深对几何体结构特征的理解和掌握.3.理解直观图与三视图的关系,能根据三视图画出直观图并求几何体的表面积和体积【活学活用】1.[难度] 易某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能...是( ) 2. [难度] 中某几何体的三视图如图所示,它的体积为( )A.12π B.45π C.57π D.81π3.[难度] 难一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为_________.。
直观图的画法与三视图的形成
1. 根据平行投影原理绘制的、用来表示空间图形的平面图形,叫做空间图形的直观图.
2. 将空间图形向三个互相垂直的平面作正投影,并按照一定的布局放在同一平面内构成的图形叫做空间图形的三视图.
画直观图的的规则、步骤
1.建系(画轴):
在空间图形中建立直角坐标系;画直观图时,使x'轴与y'轴成450或1350角(这样的x'o'y'平面表示水平平面),z'轴与x'轴垂直.
2.平行性不变:
在空间图形中互相平行的直线或线段,在直观图中仍然平行.
3.横竖长不变、纵向长减半:
在直观图中,与x'轴、z'轴平行的线段的长度与空间图形中保持不变;与y'轴平行的线段的长度缩短为原空间图形中的一半.
4.擦去辅助线(包括x'y'z'轴)
三视图的对应规律(1)主视图和俯视图
----长对正
(2)主视图和左视图
----高平齐
(3)俯视图和左视图
----宽相等
例1、画出下例几何体的三视图
例2、画出下例几何体的三视图
上部正六棱柱的底面边长为3cm,
高为1.2cm;下部圆柱的底面半径
为0.8cm,高为2cm。
练习3. 画出下面三视图所表示的几何体的直观图
练习4. 画出下面几何体的三视图。
空间几何体的三视图和直观图一、探究 探究一:直观图1.如图,这是长方体、圆柱等四个几何体的直观图。
把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内,使得既富有立体感,又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图.空间几何体的直观图通常是在 投影下把空间图形展现在平面上,用平面的图形表示空间几何体。
探究二:斜二测画法 1.斜二测画法的方法步骤:①在已知图形中建立直角坐标系xOy ,画直观图时,把x 轴、y 轴画成对应的x '轴和y '轴,两轴交于点O ',使 ,它们确定的平面表示水平面.②已知图形中平行于x 轴或y轴的线段,在直观图中分别画成 于x '轴和y '轴的线段.③已知图形中平行于x 轴的线段,在直观图中 ,平行于y 轴的线段, . 2.空间几何体直观图的画法:立体图形与平面图形相比多了一个z 轴,90xoz ∠=o 。
其直观图中对应于z 轴的是z '轴,''90x oz ∠=o,平行于z 轴的线段,在直观图中画成 于z '轴,长度 . 二、自我检测1.下列结论正确的有 ①相等的线段在直观图中仍然相等。
②若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行。
③矩形的直观图是矩形。
④圆的直观图一定是圆。
⑤角的水平放置的直观图一定是角。
2.直角坐标系中一个平面图形上的一条线段AB 的实际长度为4cm ,若AB//x 轴,则画出直观图后对应的线段=''B A ,若y AB //轴,则画出直观图后对应的线段B A ''= 。
3.根据斜二测画法的规则画直观图时,把Ox 、Oy 、Oz 轴画成对应的x O ''、y O ''、z O '',作y O x '''∠与z O x '''∠的度数分别为( )A .οο90,90 B .οο90,45 C .οο90,135D .ο45或οο90,1354.如图,A B C '''△是ABC △的直观图,那么ABC △是( ) A .等腰三角形 B .直角三角形C .等腰直角三角形D .锐角三角形 三、应用示例例1.用斜二测画法画水平放置的正六边形、任意三角形的直观图。
三视图与直观图转换技巧引言在设计和制造各种物品,尤其是机械和工程领域中,了解和绘制三视图是至关重要的。
三视图是物体的三个不同视角的平面表示,包括正视图、俯视图和侧视图。
通过将物体从不同角度观察并绘制出来,我们可以更好地理解其结构和外观。
然而,有时仅仅依靠三视图可能无法提供足够的信息,这就需要将三视图转换为直观图以更清晰地表示物体的形状和细节。
本文将介绍一些用于转换三视图为直观图的技巧和方法。
1. 三视图的基本概念在进行三视图转换之前,我们首先需要了解三视图的基本概念。
•正视图:正视图是通过将物体正对观察者的视角绘制而成的平面图。
它显示物体的前方轮廓和主要特征。
•俯视图:俯视图是通过将物体从上方向下观察的视角绘制而成的平面图。
它显示物体的上方轮廓和主要特征。
•侧视图:侧视图是通过将物体从侧面观察的视角绘制而成的平面图。
它显示物体的侧面轮廓和主要特征。
理解并能够准确绘制三视图是进行后续直观图转换的基础。
2. 三视图转换为直观图的技巧2.1. 引入透视效果三视图通常是在等距投影的基础上绘制的,这意味着物体的所有部分都以相同的比例展示。
然而,这种等距投影可能无法准确表示物体的真实外观。
为了更好地表达物体的形状和细节,我们可以引入透视效果。
在直观图中,通过使用透视效果,物体的近处会比远处更大,这使得观察者能够更好地感知物体的立体形状。
为了实现透视效果,可以使用投影技术,如线性透视或离散透视。
2.2. 添加阴影和光影在直观图中,通过添加适当的阴影和光影效果,可以使物体看起来更真实。
阴影和光影可以提供关于物体表面的凹凸和光照方向的信息。
通过在直观图中添加适当的阴影和光影,可以使观察者更好地理解物体的形状、凹凸部分和立体感。
要添加阴影和光影,需要对物体的材质和光照条件有一定的了解,并使用阴影和高光的绘图技巧。
2.3. 加入背景和环境直观图可以通过添加适当的背景和环境来增加真实感和可视化效果。
背景和环境可以帮助观察者更好地理解物体的用途和应用场景。
§8.1 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图考纲考情1.能画出柱、锥、台、球等简易组合体的三视图,并能识别三视图所表示的立体模型.会用斜二测画法画出它们的直观图.2.了解平行投影与中心投影,了解空间图形的不同表示形式.主干知识·整合知识点一空间几何体的结构特征1.多面体(1)棱柱的侧棱都________,上下底面是______且______的多边形.(2)棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个________的三角形.(3)棱台可由________________的平面截棱锥得到,其上下底面是________且_____的多边形.2.旋转体(1)圆柱可以由______绕其任一边旋转得到.(2)圆锥可以由直角三角形绕其__________________旋转得到.(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到,也可由______于圆锥底面的平面截圆锥得到.(4)球可以由半圆或圆绕____________旋转得到.对点快练1.下列说法正确的是()A.有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C.有两个平面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台D.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点2.下图所示的几何体中,是棱柱的为________(填写所有正确的序号).知识点二空间几何体的三视图1.三视图的名称几何体的三视图包括________、________、________.2.三视图的画法(1)画三视图时,重叠的线只画一条,挡住的线要画成虚线.(2)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的______方、______方、______方观察几何体得到的正投影图.对点快练3.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为()4.如图所示,图①②③是图④所示的几何体的三视图,若图①是正视图,则图②是________,图③是________.知识点三空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用________画法来画,其规则是:1.原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为____,z′轴与x′轴和y′轴所在平面______.2.原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别____________.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度________,平行于y轴的线段在直观图中长度变为__________.对点快练5.用斜二测画法画一个水平放置的水平图形的直观图为如图所示的一个正方形,则原来的图形是()热点命题·突破热点一空间几何体的结构特征例1给出下列命题:①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形;②若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直;③在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;④存在每个面都是直角三角形的四面体;⑤棱台的侧棱延长后交于一点.其中正确命题的序号是________.变式训练给出下列命题:①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥;③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是()A.0 B.1C.2 D.3热点二空间几何体的三视图考向1由直观图判断三视图例2如图所示,四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形,起辅助作用),则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)()A.①②⑥B.①②③C.④⑤⑥D.③④⑤考向2由三视图还原直观图例3某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()A. 16 B.13 C.12D.1考向3由部分视图确定剩余视图例4已知某组合体的正视图与侧视图相同,如图所示,其中AB=AC,四边形BCDE为矩形,则该组合体的俯视图可以是________(把你认为正确的图的序号都填上).总结反思三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线表示,不能看到的部分用虚线表示.(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分三视图的可能形式.当然作为选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是否符合.(3)由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图.变式训练(1)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,点P是平面A1B1C1D1内一点,则三棱锥P-BCD 的正视图与侧视图的面积之比为()A.1 1 B.21C.2 3 D.32(2)一个锥体的正视图和侧视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是()(3)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是________.热点三空间几何体的直观图例5如图所示,四边形A′B′C′D′是一平面图形的水平放置的斜二测画法的直观图,在斜二测直观图中,四边形A′B′C′D′是一直角梯形,A′B′∥C′D′,A′D′⊥C′D′,且B′C′与y′轴平行,若A′B′=6,D′C′=4,A′D′=2.求这个平面图形的实际面积.变式训练已知平面△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形,求原△ABC的面积.课堂总结1.对于基本概念和能用公式直接求棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题,要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决,这种题目难度不大.2.在绘制三视图时,若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线.在三视图中,分界线和可见轮廓线都用实线画出,被挡住的轮廓线画成虚线.并做到“长对正、高平齐、宽相等”.3.能够由空间几何体的三视图得到它的直观图;也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图.提升空间想象能力.参考答案主干知识·整合知识点一空间几何体的结构特征1.(1)互相平行互相平行全等(2)公共顶点(3)平行于棱锥底面相互平行相似2.(1)矩形(2)一条直角边所在直线(3)平行(4)直径所在直线对点快练1.【答案】B【解析】A错,如图1;B正确,如图2,其中底面ABCD是矩形,可证明∠P AB,∠PCB 都是直角,这样四个侧面都是直角三角形;C错,如图3;D错,由棱台的定义知,其侧棱必相交于同一点.2.【答案】③⑤【解析】根据棱柱的结构特征可知③⑤是棱柱.知识点二空间几何体的三视图1.正视图侧视图俯视图2.(2)正前正左正上对点快练3.【答案】B【解析】由正视图、俯视图得原几何体的形状如图所示,则该几何体的侧视图为B.4.【答案】侧视图俯视图【解析】根据三视图的概念知图②是侧视图,图③是俯视图.知识点三空间几何体的直观图斜二测1. 45°或135°垂直2. 平行于坐标轴不变原来的一半对点快练5.【答案】A【解析】由直观图的画法可知,落在y轴上的对角线的长度为2 2.热点命题·突破热点一空间几何体的结构特征例1【答案】②③④⑤【解析】①不正确,根据棱柱的定义,棱柱的各个侧面都是平行四边形,但不一定全等;②正确,若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角;③正确,因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱,又垂直于底面;④正确,如图,正方体AC 1中的三棱锥C 1-ABC ,四个面都是直角三角形;⑤正确,由棱台的概念可知.变式训练 【答案】A【解析】①不一定,只有当这两点的连线平行于轴时才是母线;②不一定,因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图1所示;③不一定,当以斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥,如图2所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;④错误,棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.例2 【答案】 B【解析】 正视图应该是边长为3和4的矩形,其对角线左下到右上是实线,左上到右下是虚线,因此正视图是①;侧视图应该是边长为5和4的矩形,其对角线左上到右下是实线,左下到右上是虚线,因此侧视图是②;俯视图应该是边长为3和5的矩形,其对角线左上到右下是实线,左下到右上是虚线,因此俯视图是③. 例3 【答案】 A【解析】 由三视图可得该几何体的直观图为三棱锥A -BCD ,将其放在长方体中如图所示,其中BD =CD =1,CD ⊥BD ,三棱锥的高为1,所以三棱锥的体积为13×12×1×1×1=16.故选A .例4 【答案】 ①②③④【解析】 直观图如图1的几何体(上部是一个正四棱锥,下部是一个正四棱柱)的俯视图为①;直观图如图2的几何体(上部是一个正四棱锥,下部是一个圆柱)的俯视图为②;直观图如图3的几何体(上部是一个圆锥,下部是一个圆柱)的俯视图为③;直观图如图4的几何体(上部是一个圆锥,下部是一个正四棱柱)的俯视图为④.变式训练【答案】(1)A (2)C (3)33【解析】(1)根据题意,三棱锥P -BCD 的正视图是三角形,且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高;侧视图是三角形,且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高,故三棱锥P -BCD 的正视图与侧视图的面积之比为11.(2)A ,B ,D 选项满足三视图作法规则,C 不满足三视图作法规则中的宽相等,故C 不可能是该锥体的俯视图.(3)由正视图知,底面三角形是腰长为2,底边为23的等腰三角形,三棱锥的高为1,所以该三棱锥的体积V =13×(12×23×1)×1=33.例5 解:根据斜二测直观图画法规则可知该平面图形是直角梯形,且AB =6,CD =4保持不变. 由于C ′B ′=2A ′D ′=2 2.所以CB =4 2. 故平面图形的实际面积为12×(6+4)×42=20 2.变式训练 解:如图所示,△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形,作C ′D ′∥A ′B ′交y ′轴于点D ′,则D ′到x ′轴的距离为32a ,∵∠D ′A ′B ′=45°,∴A ′D ′=62a , 由斜二测画法的法则知,在△ABC 中,AB =A ′B ′=a ,AB 边上的高是A ′D ′的二倍,即为6a ,∴S △ABC =12a ·6a =62a 2.。