当前位置：文档之家 › 矩阵的相似变换(第一章)

矩阵的相似变换(第一章)

  • 格式：docx
  • 大小：32.49 KB
  • 文档页数：4

下载文档原格式

  / 4

合集下载

大学线性代数课件相似矩阵及二次型5.2

大学线性代数课件相似矩阵及二次型5.2
把 P 用 其 列 向 量 表 示 为P p1, p2 ,, pn .
由P 1 AP , 得AP P,
1
即 A p1, p2,, pn p1, p2,, pn
2
n
1 p1, 2 p2 ,, n pn .
A p1, p2 ,, pn Ap1, Ap2 ,, Apn
于是有
2 1 2
(1) A 2 2 4 (2)A 5 3 3
2 4 2
1 0 2
解
1 2
2
(1)由 A E 2 2
4
2
4 2
22 7 0
得 1 2 2, 3 7.
将 1 2 2代入A 1E 0, 得方程组
2xx1124xx2224xx33
这与至少有一个ai0 j0 0(i0 j0)矛盾, 故A不可 对 角 化.
思考题
判断下列两矩阵A, B是否相似.
1
A
1
1 1
1 1 ,
n
B
1
0 0
0 0 .
1 1 1
1 0 0
思考题解答
解 因 det( A E) (n )( )n1, A的特征值为
1 n, 2 n 0.又A是实对称矩阵, 存在可逆 矩阵P1,使得
2
1 1 ,
0
0
2 0.
1
将3 2代 入A E x 0, 得 方 程 组 的
基 础 解 系 3 1,1,1T .
由 于1 ,2 ,3 线 性 无 关. 所以 A 可对角化.
2 0 1
令
P
1
,
2
,
3
1
0
1
0 1 1
1 0 0

西北工业大学矩阵论课件PPT第一章例题矩阵的相似变换

西北工业大学矩阵论课件PPT第一章例题矩阵的相似变换

2100 3100 2100 3100
2100
例 求解一阶线性常系数微分方程组
ddt x1 2x1 x2 x3
ddt x2 x1 2x2 x3
d dt
x3
x1
x2
2 x3
解令
x
x1 x2 x3
，
dx dt
d dt
d dt
d dt
x1 x2 x3
， A
2 1 1
一次因式方幂的乘积， 并分别写出这些方幂
(相同的按出现的次数计数)，称之为A的初等因子，
本题中A的初等因子为
2 和 ( 2)2 第三步：对每个初等因子( i )ri 作出 ri 阶
Jordan块
i
1
i
1
i
ri
ri
所有初等因子对应的Jordan块构成的Jordan矩阵 J
即是A的Jordan标准形。本题中A的Jordan标准形为
1 1
10
1 0 0，
1 0
3 0 ( 3)( 2)， 1 2
3
1
1 2，
1
1 1
0 ( 2)， 2
1 1 ( 2)， 1 0 2，
11
1 2
1 0 ( 1)( 2)
1 2
所以
D2() 2
又 det(I A) ( 2)3，故
D3() ( 2)3
；
1 1 2
解 第一步：对 I A 用初等变换化为Smith
标准形：
3
I A 1
1
3
1
1
1
0
c2 ( 1) c1
1 0
1 2 2 4 4
0
r1( 3) r2

矩阵的相似与相合

矩阵的相似与相合

定理1.2.10. 设A为n阶实对称矩阵, 则下列命题等价: (1) A是正定矩阵; (2) A的n个特征值全大于0; (3) A的正惯性指数等于n; (4) 存在n阶可逆矩阵P ∈ Rn×n, 使A = P T P .
定义1.7. 设A为n阶方阵, 由A的前k行k列交叉元素构成的行列式称为A的k阶顺 序主子式.
A2p ...
,
App
其中Aii为ni(i = 1, · · · , p)阶方阵, 则每个Aii的特征值也是A的特征值, 且Aii (i = 1, 2, · · · , p)的所有特征值即为A的全部特征值.
定理1.2.1. 设ξ1, ξ2, · · · , ξm (m ≤ n)是n阶方阵A的属于互异特征值λ1, λ2, · · · , λm的特征向量, 则ξ1, ξ2, · · · , ξm线性无关.
定义1.1. 设A ∈ F n×n, 如果存在数λ ∈ F 和非零向量x ∈ F n, 使得
Ax = λx,
则称λ为A的一个特征值, x为A的属于λ的一个特征向量.
若λ是A的一个特征值, 则
|λI − A| = 0.
1
(1.2.1) (1.2.2)
2
第一章 矩阵的相似与相合
|λI − A|是关于λ的首项系数为1的n次多项式, 称为A的特征多项式, 记为fA(λ). 方 程(1.2.2)称为A的特征方程. 可见, A的特征值就是fA(λ) = 0在F 上的根. 因此, A的特 征值也称为A的特征根.
求特征值与特征向量的问题统称为特征值问题.
1.2.2 特征值与特征向量的性质 性质1.2.1. n阶方阵A与它的转置矩阵AT 的特征值相同.
性质1.2.2. 设A = (aij)n的特征值为λ1, λ2, · · · , λn, 则

矩阵论-矩阵的相似变换

矩阵论-矩阵的相似变换

★ 1、求下列矩阵的Jordan 标准形：⑴ -101120-403A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ；⑵；⑵31-1-202-1-13A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦解：⑴解：⑴ 求A 的特征多项式并得到特征值的特征多项式并得到特征值101det(I A)1243λλλλ+−−=−−− 第一行乘以3λ−并加上第三行并加上第三行+10-1=-1-20(3)(1)40λλλλ−++ 这里变换行列式列使其变为上三角行列式这里变换行列式列使其变为上三角行列式 2210121(1)(2)0(1)λλλλλ−+=−−−=−−− 所以A 的特征值为12==1λλ ，3=2λ ，对应的2重特征值12==1λλ解方程组(I-A)x =0，由2131122201201201110110011/2402000000r r r r I A +−−−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−=−−⎯⎯⎯→−−⎯⎯⎯→−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦121×, 2101/2011/2000r r −−⎡⎤⎢⎥⎯⎯⎯⎯→⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 10021002x y z x y z ⎧+−=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩ 设x 为1，依次可以解出112x y z =⎧⎪=−⎨⎪=⎩ 得基础解系：T T1(1,1,2)p =−只有一个线性无关特征向量，故A 的Jordan 标准形为：标准形为：1112J ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⑵ 求A 的特征多项式并得到特征值的特征多项式并得到特征值2311211det(I A)2202113213211211020202400(44)/λλλλλλλλλλλλλλλλ−−−−−=−=−−−−−−−−−=−−+−⑴ 7543192864A A A A A I −−++−⑵ 1A − ⑶ 100A解：解：2322110102210()det(I A)43110011124343210011(1)(2)45200(1)/(1)λλλψλλλλλλλλλλλλλλλλλ+−−−−−=−=−=+−=+−−−−−−−=+−=−−=−+−−+⑴ 令7543()192864g λλλλλλ=−−++−，需要计算g(A)，用()/g()ψλλ 得到：得到：4322()(41032)()3228g λλλλλψλλλ=+++−−+−由Hamilton-Cayley 定理知(A)O ψ= ，于是：，于是：221160(A)3A 22A 8I 6443019324g −⎡⎤⎢⎥=−+−=−⎢⎥−⎣⎦⑵ 由32(A)A 4A 5A 2I O ψ=−+−= 得21(A 4A 5I)2A I ⎡⎤−+=⎢⎥⎣⎦故得到：故得到：123101(A 4A 5I)41023/21/21/2A −−⎡⎤⎢⎥=−+=−⎢⎥−⎣⎦⑶ 设100210()()b 2b b q λλψλλλ=+++ 注意到(2)(1)'(1)0ψψψ=== ，分别将2λ=和1λ= 代入上式，再对上式求导数后将1λ=代入得到：代入得到：1002102102124211002b b b b b b b b ⎧=++⎪=++⎨⎪=+⎩ 解得到解得到 100010111002220023022101b b b ⎧=−⎪=−+⎨⎪=−⎩故得到：故得到：100221010010010019910004002010201221012A b A b A b I −⎡⎤⎢⎥=++=−⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦31122113λλλ−−−+−-21-1-2-21-1-2+1λλλ211221122λλ−−−−−−1122162616p i p ⎥⎥==−⎥⎥22212012p ⎤−⎥==33213313i p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦111623263111623ii ⎤−⎥⎥−⎥⎥⎥⎥⎦则称A 是Hermite 正定矩阵（半正定矩阵）。

5.2 相似矩阵

5.2 相似矩阵

思考题
判断下列两矩阵 A, B是否相似 .
1 1 A= M 1 1 L 1 n 0 L 0 1 L 1 1 0 L 0 . , B = M M M M M 1 0 L 0 1 L 1
思考题解答
解 因 det( A − λE ) = ( n − λ ) ( − λ ) 矩阵 P 1 , 使得
( 2)若A与B相似, 且A可逆 , 则B也可逆 , 且A 与 B − 1相似; ( 3 ) A 与 B 相似 , 则 kA 与 kB 相似 , k 为常数 ;
(4)若A与B相似 , 而f ( x )是一多项式 , 则f ( A)与 f ( B )相似 .
−1
２．相似变换与相似变换矩阵 相似变换是对方阵进行的一种运算，它把 相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A 是对方阵进行的一种运算 变成 P −1 AP ，而可逆矩阵 P称为进行这一变换的 相似变换矩阵． 相似变换矩阵． 这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种 这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种 运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与 运算，其方法是先通过相似变换， 之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算， 之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从 而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对 角矩阵的运算． 角矩阵的运算．
= P −1 ( A − λ E ) P
= P −1 A − λ E P = A − λE .
但是此定理的逆定理并不成立。 但是此定理的逆定理并不成立。具有相同特征多 项式的两个方阵未必相似。反例见书中P138 项式的两个方阵未必相似。反例见书中
阶方阵A 推论 若 n 阶方阵A相似于对角阵或三角矩阵
由于 ξ1 ,ξ 2 ,ξ 3 线性无关 . − 2 P = (ξ1 ,ξ2 ,ξ3 ) = 1 令 0 1 −1 P AP = 0 则有 0

相似矩阵简介

相似矩阵简介
B E P1AP P1E P P1A E P
P1 A E P A E .
推论 若 n 阶方阵A与对角阵
1
2
n
相似,则1, 2 ,, n即是A的n个特征值.
三、利用相似变换将方阵对角化
对 n 阶方阵 A ,若可找到可逆矩阵 P ,使 P 1 AP 为对角阵,这就称为把方阵A对角化 . 定理2 n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化) 的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.
一、相似矩阵与相似变换的概念
定义1 设A, B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P,使 P1 AP B,
则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似.对A进 行运算 P1 AP称为对A进行相似变换,可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵.
二、相似矩阵与相似变换的性质
1. 等价关系 (1)反身性 A与A本身相似. (2)对称性 若A与B相似,则B与A相似. (3)传递性 若A与B相似, B与C相似,
由
1 0 AE 1 0
1 x
初等行变换
1 0 1 0 0 x 1 ,
1 0 1
0 0 0
得 x = -1 时， R(A – E) = 1 ，矩阵 A 能对角化.
得
1 1, 2 3 1.
对应单根 1 = -1 ，可求得线性无关的特征
向量恰有一个，故矩阵 A 可对角化的充要条件
是对应重根 2 = 3 = 1 ，有两个线性无关的特
征向量，即方程 (A – E ) x = 0 有两个线性无关 的解，亦即系数矩阵 A – E 的秩
R(A – E) = 1 .
0 0
2x1 4x2 4x3 0
解之得基础解系
2
0
1 0 , 2 1.

第一章 矩阵的相似变换

第一章 矩阵的相似变换

例：
0
2 2
(1) 1 0
0
2 2
2
202来自是一个正交矩阵2 (2)
223
1 3
2
2
3 1
3 3 3
1
2
2
3 3 3
是一个正交矩阵
(3)
cos sin
sin cos
是一个正交矩阵
cos 0 i sin
(4)
0
1
0
是一个酉矩阵
i sin 0 cos
（5）设 Cn1 且 H 1 ，如果
(1) (x, y) ( y, x)
(2) ( x, y) (x, y), (x, y) (x, y)
(3) (x y, z) (x, z) ( y, z) (4) (x, x) 0 (5) (x, y)( y, x) (x, x)( y, y) (Cauchy Schwarz不等式)
定理(Schur引理)：任何一个n 阶复矩阵 A 酉相
似于一个上(下)三角矩阵。
证明：用数学归纳法。A 的阶数为1时定理显然
成立。现设 A的阶数为 k 1时定理成立，考虑
A 的阶数为k 时的情况。
位特取征k向阶量矩为阵A1 ，的构一造个以特征1为值第1一，列对的应k的阶单
酉矩阵 U1 [1,2,L ,k ] ，
1 1
1
1
为实正规矩阵
a b c d
(2)
b
a
d
c
c d a b
d
c
b
a
其中 a,b, c, d 是不全为零的实数, 容易验证
这是一个实正规矩阵.
4 3i 4i 6 2i
(3)
4i

第一章矩阵的相似变换

第一章矩阵的相似变换
求解一阶线性常系数微分方程组 dx1 x2 dt dx2 x3 dt dx3 dt 6 x1 11x2 6 x3 解： dx1 dt x1 dx2 dx x x2 , dt dt x3 dx3 dt 令x=Py其中 1 p= 1 1 1 2 4 1 y1 3 , y y2 9 y3 0 , A 0 6 1 0 11 0 1 6
特别地，若m n, 则det In AB det In BA
若n m, 则 det I n BA
nm
det I m AB ,
即AB比BA多的特征值为0,其余相等.
§1.2 矩阵的相似对角化
一、矩阵的相似
定义1.5
设A, B Cnn , 若存在可逆矩阵P Cnn使得 P 1 AP B 则称A与B相似，记为A ~ B.
A100 ( PP 1 )100 P100 P 1 1 2100 2 . 0 2 0 0 2100 0 2 1 . 9 2 1 ( 7)100 0 0 5 4 2 4 5 2
Example 1.4
k3 x3，k3 0.
二、特征值与特征向量的性质 定理1.1
设i是A Cnn的ri重特征值 称ri为特征值i的代数重数 ， 对应i 有si 个线性无关的特征向量(称si为特征值i的 几何重数），则1 si ri . 定义1.3 设f 是的多项式
f as s as 1 s 1 a1 a0 , 对于A Cnn , 规定 f A as As as 1 As 1 a1 A a0 I 称f A 为矩阵A的多项式.

5.3相似矩阵

5.3相似矩阵

Ak Pk P 1
简化矩阵的计算
1
推论
若n阶方阵A与对角阵
2
n
相似,则1,2,,n是A的特征值.
换言之: 若有可逆矩阵P,使得P1AP=,则
1,2,,n是A的特征值.
特别地，
若矩阵 A与对角阵 Λ 相似 (P -¹AP = Λ)，则
Ak Pk P 1
5
简化矩阵的计算
返回
二、相似矩阵的计算方法
=|EA||P1||P| =|EA||P1P| =|EA|
另外: 相似矩阵有相同的行列式. ∵P1AP=B |P1AP|=|B| |P1||A||P|=|B| |A||P1||P|=|B| |A||P1P|=|B| |A|=|B|
(kB) k(P 1 AP ) P 1 (kA)P
特别地，若矩阵 A与对角阵 Λ 相似 (P -¹AP = Λ)，则
A与B相似 ？ A与B等价。
相似与等 价的关系
定理九 若A与B相似,则 (1)A与B有相同的特征多项式; (2)A与B有相同的特征方程; (3)A与B有相同的特征值.
[证] 若A与B相似 即存在可逆矩阵P,使得 P1AP=B B的特征多项式:
|EB|=|EP1AP| =|P1(E)PP1AP|
=|P1(EA)P| =|P1||EA||P|
求相似矩阵P,使得A与对角矩阵相似
的步骤:
(1)由A求出特征值i (i=1,2,,n)
(2)求出对应于i的特征向量Pi (i=1,2,,n)
(3)作出矩阵P=(P1,P2,,Pn),则AP=P
1
2
n
(4)若P可逆,则P1AP=. 即A与相似.
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵?
1 2 3 2 1 2 1 2 2

线性代数-相似矩阵

线性代数-相似矩阵

2）求特征向量。
1 0 1 x1 0
把1
1代入(E
A)x
0得
0
0
0
x2
0
1 0 1 x3 0
求得基础解系为1 (1, 0,1)T，2 (1,1, 0)T。
1 0 1 x1 0
把2 1代入(E A)x 0得 0
2
0
x2
0
1 0 1 x3 0
求得基础解系为3 (1, 0,1)T
其中k1 , k2是任意常数.
定理1 若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项 式相同,从而A与B的特征值亦相同. 证明 A与B相似 可逆阵P,使得P 1 AP B
B E P1AP P1EP P1A EP
P1 A E P A E .
性质1：相似矩阵的行列式相等。 性质2：相似矩阵的迹相等。 性质3：相似矩阵的秩相等。
把 P 用其列向量表示为 P p1 , p2 ,, pn .
由P1 AP ,得AP P,
1
即 A p1 , p2 ,, pn p1 , p2 ,, pn
2
n
1 p1 ,2 p2 ,,n pn . A p1 , p2 ,, pn Ap1 , Ap2 ,, Apn
1 p1,p2 ,,pn
推论 若 n 阶方阵A与对角阵
1
2
n
相似,则1, 2 ,, n即是A的n个特征值.
利用对角矩阵计算矩阵多项式
若A PB P1, 则
k个
Ak PB P1 PB P1 PB P1PB P1 P Bk P1.
A的多项式
( A) a0 An a1 An1 an1 A an E
201
由于
0 1 2 0,

西北工业大学矩阵论课件PPT第一章例题矩阵的相似变换

西北工业大学矩阵论课件PPT第一章例题矩阵的相似变换

2
例 已知一个12阶矩阵的不变因子是
1,1,, 1，( 1)2，( 1)2( 2)，
9
( 1)2( 2)(2 3)2
求A的Jordan标准形。 解 A的初等因子为
( 1)2，( 1)2，( 2)，( 1)2，( 2) ( 3i)2，( 3i)2
故A的Jordan标准形为：
1 1
从而A的不变因子为
d1() D1() 1，
d2
()
D2 ( ) D1( )
1
11
1
2
J
11 1
2
3i 1
3i
3i
1 3i
例 求下列矩阵的Jordan标准形：
1)
3 A 1
1 1
0 0
；
1 1 2
解
3 1 0 I A 1 1 0
1
1 2
一阶子式共有9个， 显然 D1() 1；
二阶子式共有 C32 C32 9 个：
3 1 ( 2)2， 3 0 0，
01，
p2
11，
p3
1 1
1
1
0
故相似变换阵
P
1 0
1 1
11，使得
1 1 0
P 1AP
1
2
3
2)
3 A 1
1
解 可求得
1 1
0 0
；
1 2
det(I A) ( 2)3
所以A的特征值为 1 2 3 2
对应三重特征值2有两个线性无关的特征向量
(1, 1, 0)T， (0, 0, 1)T
1 2 1
1 1 2
则微分方程组可写成矩阵形式
d x Ax dt

第5章-矩阵的相抵与相似Word版

第5章-矩阵的相抵与相似Word版

§5.1 等价关系与集合的划分本节只做简单介绍，考试不考此部分，在以后抽象代数 中还会讲到。

§5.2 矩阵的相抵（也叫等价）第一章§1已经证明，任何一个矩阵AJ 。

如果再对J那么能变成什么样的最简单的矩阵？看例子：13213213212101101124601010000A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭101011000⎛⎫ ⎪→- ⎪⎪ ⎪⎝⎭（以上行变换）； 再经过列变换100010000A ⎛⎫ ⎪→ ⎪⎪⎝⎭。

最后这个矩阵非常简单，把它写成分块矩阵的形式就是：2000I ⎛⎫ ⎪⎝⎭。

任何一个矩阵经过初等行、列变换是否都可以化成这种简单形呢？定义1 数域K 上的矩阵A 经过一系列初等行变换和初等 列变换变成矩阵B ，则称A 与B 是相抵的或等价的，记作AB 相抵，或AB 等价。

矩阵的相抵关系满足 1°反身性：AA 相抵, 即A 与自己相抵； 2°对称性：若A B 相抵，则B A 相抵;3°传递性：若A B 相抵，BC 相抵, 则A C 相抵.因此，矩阵的相抵关系是一种等价关系。

事实 1 ⇔A 经过初等行变换和初等列变换变成矩阵B⇔存在K 上的s 阶初等矩阵12,,,t P P P 与n 阶初等矩阵12,,,m Q Q Q , 使得2112tm P P P AQ Q Q B =（1）定理1 设数域K 上的s n ⨯矩阵A 的秩为r 。

如果0r >,则A 相抵于下述形式的矩阵000rI ⎛⎫⎪⎝⎭, （2）称矩阵（2）为A的相抵标准形。

证明 如果0r >, 则A 经过一系列初等行变换化成的 简化行阶梯形矩阵J 有r 个非零行：1210000100000100000000000000n n rn c c c J ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭再经过适当的两列互换，可以变成下述形式：111212111000010000010000000000r n r n r r rn c c c c J c c +++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，，，。

线性变换和矩阵的相似性

线性变换和矩阵的相似性

线性变换和矩阵的相似性线性变换和矩阵的相似性是线性代数中一个重要的概念。

在研究线性变换和矩阵时，相似性的概念可以帮助我们更好地理解它们之间的关系。

本文将从线性变换的定义开始讨论，然后介绍矩阵的相似性以及它们之间的关系。

一、线性变换的定义和性质在线性代数中，线性变换是指保持向量加法和数乘运算的函数。

具体来说，对于一个向量空间V上的线性变换T，满足以下条件：1. 对于任意的两个向量u和v，T(u+v) = T(u) + T(v)；2. 对于任意的标量k和向量u，T(ku) = kT(u)。

线性变换可以用一个矩阵来表示，这个矩阵称为线性变换的矩阵表示。

对于一个n维向量空间V上的线性变换T，我们可以找到一个n×n 的矩阵A，使得对于任意的向量u，有T(u) = Au。

线性变换的矩阵表示有许多性质，比如矩阵乘法对应了线性变换的复合，单位矩阵对应了恒等变换等等。

二、矩阵的相似性矩阵的相似性是指对于两个矩阵A和B，存在一个可逆矩阵P，使得PAP⁻¹=B。

换句话说，两个相似的矩阵具有相同的特征多项式和特征值。

矩阵的相似性具有以下性质：1. 相似性是一个等价关系，即满足自反性、对称性和传递性。

2. 如果两个矩阵相似，它们必定具有相同的秩和迹。

3. 相似矩阵具有相似的对角化形式。

也就是说，如果A和B相似，那么它们都可以对角化，并且它们的对角线上的元素相等。

三、线性变换的矩阵表示和矩阵的相似性有密切的关系。

对于一个n维向量空间V上的线性变换T以及它的矩阵表示A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P⁻¹AP是对角矩阵D，则称T和线性变换D相似。

换句话说，T和D具有相同的特征多项式和特征值。

线性变换和矩阵的相似性在很多应用中具有重要的意义。

比如，在求解线性微分方程和矩阵对角化等问题中，相似矩阵的性质可以帮助我们简化计算过程，提高求解效率。

同时，相似性也为我们的理论研究提供了一个统一的观点，使得我们能够更好地理解线性变换和矩阵之间的关系。

5-3相似矩阵

5-3相似矩阵

得基础解系
0
p1
0
,
1
所以kp1 (k 0)是对应于1 2的全部特征值.
§3 相似矩阵
当2 3 1时, 解方程( A E)x 0.由
2 1 0 1 0 1
A
E
4
2
0
:
0
1
2
,
1 0 1 0 0 0
得基础解系
1
p2
2
,
1
所以kp2 (k 0)是对应于2 3 1的全部特征值.
33xx1166xx22
0 0
3x1 6x2 0
2
0
得基础解系1
1
,
2
0
.
0
1
§3 相似矩阵
将3 2代入 A E x 0,
得方程组的基础解系
1
3
1
.
1
由于 1,2 ,3 线性无关,所以A可以对角化.3 相似矩阵2 0 1
令
P
1,2
,3
1
0
1
,
证明
因A与B相似,即有可逆阵P,使得P1AP B.
故 B E P1AP P1 E P P1 A E P
P1 A E P A E .
§3 相似矩阵
推论 若n阶矩阵A与对角阵
1
2
O
n
相似,则λ1 ,λ2 ,…,λn即是A的n个特征值.
§3 相似矩阵
说明:若有可逆矩阵P ,使P-1AP=Λ为对角阵,则 Ak Pk P1, ( A) P ()P1
而对于对角矩阵Λ ,有
k
1
k
k 2 O
k n
,
()
(

(完整版)5-3.4相似矩阵

(完整版)5-3.4相似矩阵
性质2 实对称矩阵的相异特征值所属的特征向量必正交。
证 设 Ap须1 证 1pp1T1 ,p2Ap02 2 p2 (1 2 ), A AT
1 p1T (1 p1 )T ( Ap1 )T p1T AT p1T A,
1 p1T p2 p1T Ap2 p1T (2 p2 ) 2 p1T p2
4 0 0
例1
解
设A 求004可13逆013阵,P求, 使 0正P交1阵A(P4P,为 使P对)(1角2AP阵6为?对 8角) 阵.
E－A 0
0
3 1P
1
( q13
q
2
(q43
)
)2 (2 1
)
2,
2 3 4.
1 2 的特征向量为 q1 (0，1， 1)T ;
将 q1 (0，1， 1)T 单位化，得： p1 （0，1 ， 1 ）T .
(1 2 ) p1T p2 0
p1T p2 0 p1与p2正交。
特征值λ 的重数k ≥ λ对应的线性无关的特征向量的个数
定理8
n – R(λE-A) 个
n 阶实对称矩阵 A 的 k 重特征值 λ 所对应的线性
无关的特征向量恰有 k 个。
R (λE-A ) = n－ k
实对称矩阵A一定与对角矩阵相似
反之不真
若A 有重特征值, 不能马上断言A 是否与对角阵相似, 这时要看重根对应的特征向量. 只要 k 重特征值正好对应 k 个线性无关的特征向量即可
四、对角化的方法
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
1 2 2
2 1 2
(1) A 2 2 4 (2)A 5 3 3
2 4 2
1
为对角矩阵，
即
0

矩阵论解题技巧

矩阵论解题技巧

解题技巧第一章 矩阵的相似变换1.判断矩阵A 是否是正规矩阵，若果是，则求酉矩阵U ，使AU U 1-为对角矩阵。

理论依据：（1）A 酉相似于对角矩阵的充要条件是A 为正规矩阵（即：HH AA A A =）。

（2）Hermite 矩阵（A A H=)，实对称矩阵，对角矩阵等常用矩阵都是正规矩阵。

注：酉矩阵A （H A A=-1，1det =A ），HA ：先转置，再共轭（虚部取反）。

结论：所以判断矩阵A 是否是正规矩阵，只需判断A AH=是否成立，若A A H =成立，则存在酉矩阵U ，使AU U 1-为对角矩阵。

（当矩阵A 中都为实数时，THA A =)解题步骤：（1）由A 为Hermite 矩阵（A AH=)或实对称矩阵，推出A 为正规矩阵。

（2）由()A I -λdet 求得矩阵的特征值i λ，并求出相应的特征向量i p 。

（3）对特征向量先正交化（不同特征值之间的特征向量两两正交，无需正交化。

只有在重根所对应的特征向量之间需要正交化）；然后再单位化（当特征值都不同时只需正交化即可）。

正交化公式：()()量）为重根的另一个特征向为重根的一个特征向量21111222111(,,)(x y x x x x x y x x y -== (4)得酉矩阵U(为单位化之后的向量321,,q q q 组成的矩阵），对角矩阵AU U 1-（为特征值所组成的对角矩阵)。

（注：内积计算公式：()x y y x H=,，尤其注意虚数的计算）2.求解矩阵的最小多项式()λA m 。

理论依据：（1）最小多项式()λA m 包含A 的所有互不相同的特征多项式的因式。

（2）特征多项式必须是零化多项式。

（3）设nn CA ⨯∈，i λλλ ，，2是A 所有互不相同的特征值，则：()()()()t mi mmA m λλλλλλλ---= 2121，其中i m 是A 的标准型J 中含i λ的Jordan 块的最高阶数。

矩阵分析第一章

矩阵分析第一章

∀α∈V, k∈F, η = kα∈V
满足下面 加法运算法则 运算法则： 法则： 满足下面四 下面四条加法运算 （1）交换律：α
+ β = β + α , ∀α , β ∈ V （2）结合律：(α + β ) + γ = α + ( β + γ ), ∀α , β , γ ∈ V
（3）零元素：∃0∈V，使得
的尺寸为r×n，具有和原始数据矩阵X一样的几何结构：
cos(θ ( xi , x j ) ) = cos(θ ( z i , z j ) )
d ( xi , x j ) = d ( zi , z j )
应用矩阵来表示和求解问题的例子还有很多很多
物理、通信、电子、系统、模式 识别、土木、建筑、航空航天、 LLLL
σ i ≥ 0 称为矩阵X的奇异值，大于零的奇异值是矩阵XTX

σ 1 ≥ σ 2 ≥ Lσ r > σ r +1 = σ r + 2 = Lσ n = 0
则：
S r = diag(σ 1 , σ 2 ,L, σ r )
X = U r S rVrT
U的前r列 数据矩阵 VT的前r行
Z r = S rVrT
X = (x1 , x2 , L, xn )
的尺寸为N×n。 任务是将数据尺寸从N×n减小至M×n ( M ≤ N )，并保 持数据的几何结构不变。这里的几何结构是指： 1. 任意两个xi , xj之间的距离
d ( xi , x j ) = xi − x j
2
2. 任意两个xi , xj之间的夹角 之间的夹角 cos θ ( xi , x j ) =
a + b := ab, ∀a, b ∈ R + k + k ⋅ a := a , ∀a ∈ R , ∀k ∈ R
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
9，A为n阶方阵，Λ为n阶对角阵，A∽Λ，则A可对角化
10，A可相似对角化的充要条件为A有n个线性无关的特征向量。
11，如果n阶方阵A有那个不同的特征向量，则A可相似对角化。或ri重特征值有ri个不同的特征向量则A可相似对角化。
Jordan
1，Jordan块：Ji=
2，Jordan阵：J=
3，A的Jordan标准形，设 ，则A与一个Jordan标准形J相似即存在P ，有P-1AP=J。这个J除了Jordan块的排列次序外由A唯一确定，称J为A的Jordan标准形。
（3）A为正规阵，λ是A的特征值，x是对应特征向量，则 为AH的特征值，对应特征向量为xH。
（4）A为正规阵，不同的特征值对应的特征向量正交。
6,Hermite正定矩阵、半正定矩阵：
设A 是Hermite矩阵，若任意0≠x n都有xHAx＞0（或xHAx≥0），则称A是Hermite正定（半正定）矩阵。
（3）行列式因子法：设A（λ）的秩为r，m×n阶，1≤k≤n，则A（λ）的全部k阶子式的首一最大共因子式Dk（λ）称为A的k阶行列式因子。Dk（λ）=d1（λ）d2（λ）…dk（λ）。
第一步：求λI-A和λI-A的n个行列式因子Dk（λ）。
第二步：求dk（λ）（k=1，2，…，n）并并求出A的不变因子。
7，设A 是Hermite矩阵，则，下列条件等价：
（1）A是Hermite正定矩阵（2）A的特征值全为正实数（3）存在P ，使得A=PHP
（1）A是Hermite半正定矩阵（2）A的特征值全为非负实数（3）存在P ，使得A=PHP。
第一步：将A写成A（λ），即λI-A
第二步：用初等变换法将矩阵化为如下形式：（smith标准型）
其中di（λ）/di+1（λ）可整除
第三步：将A的每个非1的（即次数不为0）不变因子di（λ）分解为互不相同的一次因式的几次幂的形式：
（λ-λi）ri，其中Σri=r1+r2+…rs=n。（∏di（λ）为n）
4，det（A）=∏λi；a11+a22+…+ann=λ1+λ2+λ3…+λn
5，AT的特征值与A的特征值相同，AH的特征值与为A的特征值的共轭转置。
6，A，B皆为n阶方阵，则trAB=trBA
7，相似P-1AP=B，A∽B
8，相似的6条性质：反身性，传递性，特征多项式相等，同秩，矩阵多项式相等，特征值相等。
矩阵论公式总结
1，特征值λ，特征向量x，特征矩阵λI-A，特征方程（λI-A）x=0，特征多项式：det（λI-A）=0
2，矩阵多项式：设特征多项式为f（λ）=asλs+ asλs+ …+a1λ1+a0；有矩阵多项式：f（λ）=asAs+asAs+ …+a1A1+a0I。
3，不同的λi对应不同xi线性无关；xi组成的向量组线性无关。
【注：先求A的最高阶行列式即λⅠ-A=Dn（n阶行列式因子），再求A的所有次高阶非零子式，并求他们的最大公因式，得到Dn-1（n-1阶行列式因子），由Dn/Dn-1=dn（n阶不变因子），同理求出n个n阶不变因子，最后将不变因子拆成初等因子。得到Jordan块和Jordan阵P。无解时利用待定系数法。
4，J的对角元素λ1，λ2，…λs，就是A的特征值。
5，求J：（1）特征向量法：第一步，求A的特征值λi（i=1，2，…n）
第二步，求A对应于λi的特征向量，有Si个线性无关的特征向量，就有Si个以λi为对角线元素的Jordan块，而这些Jordan块的阶数和为ri
该方法只适用于3阶的矩阵A。
（2）初等变换法，三种初等变换：交换2行/列；数乘；倍加。
（2）齐次性 =
（3）三角不等式 ≤
4，单位化和正交化：若x 满足 =1，x为单位向量，当x≠0时， 是单位向量，称之为单位化或规范化。当（x，y）=0时，称为向量x，y正交。
5，将向量组xi施密特正交化：令y1=x1，y2=x2 - y1/令λ21=- ；
即令λij=- ；则yj=xj- y1- y2-…- yj-1
第四步：写出每个初等因子（λ-λi）ri对应的Jordan块。（注意：di（λ）=1时没有Jordan块）
ri×ri，i=（1，2，…，s）
对应J阵为
【注：化简smith标准型时先尽量使得A中元素只涉及1和(λ-c)c’之后尽量使常数项1位于首1并使1行和1列的其他元素都为0，之后可根据行列式同一行/列公共因子外提得到smith型。】
6，标准正交基：向量空间Rn，在向量空间Cn中，任意n个线性无关向量都构成它的基，如果基两两正交，则为正交基，若正交基中的向量都是单位向量，则称为标准正交基。
酉矩阵和
【区分正交矩阵（酉矩阵）、正规矩阵（AHA=AAH）、Hermite矩阵、Hermite正定，半正定矩阵。
正规＜正交】
1，设A ，若AHA=I,或AH=A-1，则称A为酉矩阵，其中当A为实方阵时，酉矩阵就是正交矩阵。
2，酉矩阵性质：（1）A是酉矩阵则A-1也是酉矩阵；（2）A,B是酉矩阵则AB也是酉矩阵；（3）A是酉矩阵则丨detA丨=1；（4）A是酉矩阵的充分必要条件为它的n个列向量是两两正交的单位向量。
3，酉相似：设A ，则A可酉相似于上三角矩阵T，即存在n阶酉矩阵U，使得U-1AU=UHAU=T；当A为正规矩阵时，A可酉相似于对角阵（充要条件）。
7，计算Jik=
8，求解一阶线性常系数微分方程：
，其中fi（x）都是只含xi的一阶式，
令dx/dt=Ax，其中，x为｛x1…xn｝T，A=f1（x）…fn（x）组成的关于xi的系数阵；
再令x=py，其中P-1AP=J，则dy/dt=p-1dx/dt=p-1Ax=P-1Apy=Jy
向量
1，复数内积：设x，y ，有（x，y）=xῩ，向量内积：（x，y）=Σi=1nxiῩi=yHx
4，A AHA=AAH，则A为正规矩阵。
酉矩阵，正交矩阵，Hermite矩阵（AH=A），反Hermite矩阵（AH=-A），实对称矩阵，实反对称矩阵，对角矩阵都是正规阵。
5，几个关于正规阵的推论：
（1）Hermite阵的特征值均为实数，反Hermite阵的特征值均为0或纯虚数。
（2）实对称阵的特征值均为实数，实反对称阵的特征值均为0或纯虚数。
2，向量内积的性质：（1）转置共轭性；（2）常数项：（λx，y）=λ（x，y），（x，λy）= （x，y）；
（3）（x+y，z）=（x，z）+（y，z）；（4）（x，x）≥0，仅x=0是取等；
（5）（x，y）（y，x）≤（x，x）（y，y）*柯西-施瓦茨不等式。
3，向量范数： 向量范数满足条件：（1）非负性 ≥0，仅x=0是取等