线性代数第五章矩阵的相似变换

相似变换矩阵相似变换矩阵是指两个基向量组在空间内所表示的二维或多维矢量之间的一种变换，即将一组基向量映射到另一组基向量的变换。

它的一般矩阵形式表示为A=SDT，其中S是一个n乘n的对角正交变换，D是一个不变的n乘n的正定矩阵，T是n乘n的正交矩阵。

一、定义1、相似变换矩阵是指一种从基向量空间向原始空间的线性变换，它把一组基向量映射到另一组基向量，称为相似变换矩阵。

2、它的矩阵形式表示为A=SDT，S是一个对角正交变换，D是一个不变的正定矩阵，T是一个正交矩阵。

二、特点1、相似变换矩阵可以进行圆锥剪裁变换，表示出将原空间的单位向量映射到投影空间的单位向量；2、它可以表示出空间中某一点由点A变换到点B的映射；3、它可以改变空间中的几何图形的形状或大小；4、它可以改变空间中的点的坐标；5、它可以改变空间矩阵中的一部分元素，而影响行列式的值；6、它还可以表示空间中一个方向向量从一点经过变换后在另一点的变换矩阵。

三、应用1、相似变换矩阵可以用来描述投影变换、旋转变换、拉伸变换等变换；2、它可以用于计算图形变换，包括缩放、旋转、平移、膨胀、板块变换/平面变换等；3、在计算机图形学中，可以利用它来变换几何图元的坐标；4、在数字图像处理中，也可以利用它来实现图像的缩放、旋转及镜像等操作；5、在非线性控制算法研究中，可以利用它实现控制器空间中的各种变换；6、在天文学中，可用它描述宇宙学中的物理量的变换；7、在量子力学中，可以利用它来描述量子系统的运动。

四、总结相似变换矩阵是一种将一组基向量映射到另一组基向量的线性变换。

它的矩阵形式表示为A=SDT，其中S是一个n乘n的对角正交变换，D是一个不变的n乘n 的正定矩阵，T是n乘n的正交矩阵。

它可以用于各种类型的图形变换、数字图像处理等操作，也可用于非线性控制算法等研究方面。

矩阵的相似变换及其应用矩阵是线性代数中的重要概念之一，它被广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。

在矩阵中，相似变换是一种常见的操作，它可以将一个矩阵转化为另一个相似的矩阵，从而方便求解问题。

一、什么是相似变换相似变换指的是将一个矩阵A通过一个线性变换P变为另一个矩阵B的过程。

这种变换需要满足两个条件：一是变换矩阵P可逆；二是A和B具有相同的特征值。

具体来说，假设A和B都是n阶方阵，它们的特征值为λ1，λ2，…，λn。

若存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则称A与B相似，这种变换叫做相似变换。

这个定义显然比较抽象，下面我们用一个例子来说明相似变换的具体含义。

假设有如下矩阵：A = [1 23 4]我们可以求出它的特征值和特征向量：λ1 = -0.3723，v1 = [-0.8246, 0.5658]Tλ2 = 5.3723，v2 = [-0.4159, -0.9090]T将特征向量组成的矩阵P=[v1, v2]，则有：P = [-0.8246 -0.41590.5658 -0.9090]由于特征向量的性质，我们有：P-1AP = Λ = [-0.3723 00 5.3723]其中Λ是由特征值构成的对角矩阵。

这就是相似变换的应用，我们可以通过这种变换将一个矩阵A转化为一个对角矩阵Λ，从而更方便地求解问题。

二、相似变换的特性相似变换有一些重要的特性，这些特性可以帮助我们更深入地理解它的应用。

首先，相似变换是可传递的。

也就是说，如果矩阵A与B相似，B与C相似，那么A与C也相似。

这个特性可以通过变换矩阵的乘积来证明，即P-1AP=Λ，Q-1BQ=Λ，则有：(PQ)-1A(PQ) = Q-1P-1APQ = Q-1ΛQ = Λ'其中Λ'是由特征值构成的对角矩阵，证明了A与C相似。

其次，相似变换保留了矩阵的秩和行列式。

具体来说，如果矩阵A与B相似，则它们的秩和行列式相等。

这个特性可以通过排列特征值的乘积来证明，即有：|A| = λ1 * λ2 * … * λn|B| = μ1 * μ2 * … * μn由于A与B相似，则它们的特征值相同，因此有μ1 * μ2 * … * μn = λ1 * λ2 * … * λn，从而有|A| = |B|。

第五章 相似矩阵及二次型5.4.1 基础练习 1. (1223),(3151),(,)αβαβ==∠求.2. 若λ＝２为可逆阵Ａ的特征值，则1213A -⎛⎫⎪⎝⎭的一个特征值为 .3. 试证ｎ阶方阵Ａ的满足2A A =，则Ａ的特征值为0或者1.4.已知三维向量空间中，12(111),(121)TTαα==-正交，试求3123,,αααα，使得是三维向量空间的一个正交基.5. 已知向量1(111)T α=，求3R 的一个标准正交基.6. 已知122224242A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，问A 能否化为对角阵？若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使1P AP -为对角阵.7. 将二次型222123121323171414448f x x x x x x x x x =++---，通过正交变换x Py =化成标准型.8. 判别二次型()222123123121323,,55484f x x x x x x x x x x x x =+++--是否正定？5.4.2 提高练习1. 设n 阶实对称矩阵A 满足2A A =，且A 的秩为r ，试求行列式det(2E －A).2. 设460350361A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，问A 能否对角化？若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使得-1P AP 为对角阵.3. 已知实对称矩阵220212020A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，分别求出正交矩阵P ，使1P AP -为对角阵. 4. 化二次型()123121323,,f x x x x x x x x x =++为标准形，并求所作的可逆线性变换.5. 设A，B分别为m阶，n阶正定矩阵，试判定分块矩阵ACB⎛⎫= ⎪⎝⎭是否为正定矩阵？6. 判别二次型22256444f x y z xy xz=---++的正定性.7. 判断下列两矩阵A，B是否相似11100111100,111100nA B⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第五章 参考答案5.4.1 基础练习 1.[,]cos ||||||||4αβπθθαβ===∴=2.34. 3.略.4. 设3123()0Tx x x α=≠，则[][]1223,0,,0αααα==，即 12313312321002001x x x x x x x x x α-⎛⎫++==-⎧⎧ ⎪⇒⇒=⎨⎨ ⎪-+==⎩⎩ ⎪⎝⎭5. 设非零向量23,αα都与2α正交，即满足方程11230,0T x x x x α=++=或者，其基础解 系为： 12100,111ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 令 121321101,0,1111ααξαξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭1）正交化令 121122121111[,]1,0,[,]11βαβαβαβαββ⎛⎫⎛⎫⎪⎪===-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1323233312321122221[,][,][,]12[,][,][,]21βαβαβαβαββαβββββββ-⎛⎫⎪=--=-= ⎪ ⎪-⎝⎭2）标准化令1||||i i i ςββ=，则1231111,0,2111ςςς-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪===⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⎭⎭⎭6. 由2122224(2)(7)242A E λλλλλλ---=---=--+--得，1232,7λλλ===-将12λ=λ=2代入()1A-λE x=0，得方程组 12312312322024402440x x x x x x x x x --+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩解值得基础解系 12200,111αα⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 同理，对3λ=-7，由()3A-λE x=0，求得基础解系()31,2,2Tα=，由于201120112≠，所以123,,ααα线性无关，即A 有3个线性无关得特征向量，因而A 可对角化，可逆矩阵为：123201(,,)012112P ααα⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭7. 第一步，写出对应得二次型矩阵，并求其特征值 172221442414A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎪--⎝⎭， ()()2172221441892414A E λλλλλλ---⎛⎫⎪-=---=-- ⎪⎪---⎝⎭，从而A 的全部特征值为1239,18λλλ===。