高等代数与解析几何第七章(1-3习题)线性变换与相似矩阵答案

第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。

8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。

4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。

5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。

第七章线性变换与相似矩阵习题7.1习题7.1.1判别下列变换是否线性变换？（1）设是线性空间中的一个固定向量，（Ⅰ），，解：当时，显然是的线性变换；当时，有，，则，即此时不是的线性变换。

（Ⅱ），；解：当时，显然是的线性变换；当时，有，，则，即此时不是的线性变换。

（2）在中，（Ⅰ），解：不是的线性变换。

因对于，有，，所以。

（Ⅱ）；解：是的线性变换。

设，其中，，则有，。

（3）在中，（Ⅰ），解：是的线性变换：设，则，，。

（Ⅱ），其中是中的固定数；解：是的线性变换：设，则，，。

（4）把复数域看作复数域上的线性空间，，其中是的共轭复数；解：不是线性变换。

因为取，时，有，，即。

（5）在中，设与是其中的两个固定的矩阵，，。

解：是的线性变换。

对，，有，。

习题7.1.2在中，取直角坐标系，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换。

证明（表示恒等变换），，；并说明是否成立。

证明：在中任取一个向量，则根据，及的定义可知：，，；，，；，，，即，故。

因为，，所以。

因为，，所以。

因为，，所以。

习题7.1.3在中，，，证明。

证明：在中任取一多项式，有。

所以。

习题7.1.4设，是上的线性变换。

若，证明。

证明：用数学归纳法证明。

当时，有命题成立。

假设等式对成立，即。

下面证明等式对也成立。

因有，即等式对也成立，从而对任意自然数都成立。

习题7.1.5证明（1）若是上的可逆线性变换，则的逆变换唯一；（2）若，是上的可逆线性变换，则也是可逆线性变换，且。

证明：（1）设都是的逆变换，则有，。

进而。

即的逆变换唯一。

（2）因，都是上的可逆线性变换，则有，同理有由定义知是可逆线性变换，为逆变换，有唯一性得。

习题7.1.6设是上的线性变换，向量，且，，，都不是零向量，但。

证明，，，线性无关。

证明：设，依次用可得，得，而，故；同理有：，得，即得；依次类推可得，即得，进而得。

高等代数(北大版)第7章习题参考答案第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量；2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。

8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。

4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β，A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。

5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。

第七章线性变换与相似矩阵习题7.1习题7.1.1判别下列变换是否线性变换?（1 ）设「是线性空间「中的一个固定向量，解：当■时，■-. - 显然是’的线性变换;当小时，有■，则□ l闵+觀h 6逐）+e（碣），即此时■不是"的线性变换。

T\a}解：当「时，显然是「的线性变换;T（闵+觀縊讥坷）+丁（％「，即此时L不是「的线性变换。

（2）在匚中，:T|=（心勾+解：「不是：的线性变换。

因对于叩），所以贰加）黑如©）。

J-f（□）解：是二的线性变换。

设■-T （硏丁（E = （2xj -鬲圖+画尼啊/V —vG —（10,0）€ 护有1!:"'二!,有则有左苴中&二（兀心■IIL.. JI. ■KJO|i —、赢I jr .跚）+（2”-兀5L TXa）a眼JCT 三（1Th f 丰乃1（範+为H （西+沟）必（画+另））価+必）二我住+3a:（上c）- T［上q .上吆上3 =心匕、-kxj r +匕勺.2上勺）=jfc（2x1-无|,阳+ 可，2 両（3）在•［；中，（［）」- ,解：0是H用的线性变换：设貳⑴居（Q它月旳.，贝U直（/a）+欢））=/（兀+i）+gd+i）=</◎》+龙⑵）, a財优论kj\x+5-逝/（劝，唯总F。

（u）处『姦訂芻》,其中•是；中的固定数;解：「-是；一的线性变换：设釁鑰廉8.詰圜，则⑺（7U）+g⑴）=/W+gfe）=次/⑴）卡以gO）），◎（射妙-妙厲）-如y（幼伏訂。

5 穴u（4）把复数域’看作复数域上的线性空间，步②匕加，其中「是一的共轭复数;解：「不是线性变换。

因为取兴习，「-7时，有*鸞日關上（7（仕）=滋二i即0（k&）主去曲空）（5）在：，■ 中，设■与:-是其中的两个固定的矩阵,- U Z&1解：「是"的线性变换。

对1蓟如=P瞒Q= ^PXQ二£啲O习题7.1.2在｛中，取直角坐标系-，以-表示空间绕「轴由轴向…方向旋转900的变换，以表示空间绕'轴由--轴向八方向旋转90°的变换，以&表示空间绕轴由 轴向Oy 方向旋转900的变换。

高等代数(北大版)第7章习题参考答案第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量；2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。

8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。

4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β，A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。

5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。

1、已知22P ⨯的线性变换：221011(),(,,)1111X M XN X PM N σ⨯-⎛⎫⎛⎫=∀∈==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭求σ的特征值与特征向量。

解：取22P ⨯的基11122122,,,E E E E ，则111111122122121211122122212121222221101011()110011100111()110011100011()111011100()11E M E N E E E E E M E N E E E E E M E N E E E M E N σσσσ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-+-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-+-+⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫==⎪⎝⎭21220110111E E -⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭所以σ关于基11122122,,,E E E E 的矩阵为1100110011111111A -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭。

所以2211001100()(2)11111111A x x f x xI A x x x x --=-==-----，所以A 的特征根为120λλ==和342λλ==， 当120λλ==时，则12341100011001111011110x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其基础解系为(1,1,0,0),(0,0,1,1)， 其对应的特征向量为1122,k X k X +其中111122212212,,,X E E X E E k k =+=+不全为零。

当122λλ==时，则123411000110001111011110x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其基础解系为(0,0,1,1)-， 其对应的特征向量为33k X ，其中321223,0X E E k =-+≠。

习题7.4习题7.4.1设A 是一个n 阶下三角矩阵。

证明：（1）如果A 的对角线元素jj ii a a ≠),,2,1,(n j i Λ=，则A 必可对角化； （2）如果A 的对角线元素nn a a a ===Λ2211，且A 不是对角阵，则A 不可对角化。

证明：（1）因为A 是一个n 阶下三角矩阵，所以A 的特征多项式为)())((||2211nn a a a A E ---=-λλλλΛ，又因jj ii a a ≠),,2,1,(n j i Λ=，所以A 有n 个不同的特征值，即A 有n 个线性无关的特征向量，以这n 个线性无关的特征向量为列构成一个可逆阵P ，则有AP P 1-为对角阵，故A 必可对角化。

（2）假设A 可对角化，即存在对角阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n B λλλO21，使得A 与B 相似，进而A 与B 有相同的特征值n λλλ,,,21Λ。

又因为矩阵A 的特征多项式为n a A E )(||11-=-λλ，所以1121a n ====λλλΛ，从而E a a a a B nn 112211=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O，于是对于任意非退化矩阵X ，都有B E a EX a X BX X ===--111111，而A 不是对角阵，必有A B BX X ≠=-1，与假设矛盾，所以A 不可对角化。

习题7.4.2设n 维线性空间V 的线性变换σ有s 个不同的特征值s λλλ,,,21Λ，i V 是i λ的特征子空间),,2,1(s i Λ=。

证明：（1）s V V V +++Λ21是直和；（2）σ可对角化的充要条件是s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21。

证明：（1）取s V V V +++Λ21的零向量0，写成分解式有021=+++s αααΛ，其中i i V ∈α，s i ,,2,1Λ=。

现用12,,,-s σσσΛ分别作用分解式两边，可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++---0001212111221121s s s s s ss s αλαλαλαλαλαλαααΛΛΛΛΛΛΛΛΛ。

第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。

8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。

4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。

5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。

第七章线性变换与相似矩阵习题7.1习题7.1.1判别下列变换是否线性变换？（1）设是线性空间中的一个固定向量，（Ⅰ），，解：当时，显然是的线性变换；当时，有，，则，即此时不是的线性变换。

（Ⅱ），；解：当时，显然是的线性变换；当时，有，，则，即此时不是的线性变换。

（2）在中，（Ⅰ），解：不是的线性变换。

因对于，有，，所以。

（Ⅱ）；解：是的线性变换。

设，其中，，则有，。

（3）在中，（Ⅰ），解：是的线性变换：设，则，，。

（Ⅱ），其中是中的固定数；解：是的线性变换：设，则，，。

（4）把复数域看作复数域上的线性空间，，其中是的共轭复数；解：不是线性变换。

因为取，时，有，，即。

（5）在中，设与是其中的两个固定的矩阵，，。

解：是的线性变换。

对，，有，。

习题7.1.2在中，取直角坐标系，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换。

证明（表示恒等变换），，；并说明是否成立。

证明：在中任取一个向量，则根据，及的定义可知：，，；，，；，，，即，故。

因为，，所以。

因为，，所以。

因为，，所以。

习题7.1.3在中，，，证明。

证明：在中任取一多项式，有。

所以。

习题7.1.4设，是上的线性变换。

若，证明。

证明：用数学归纳法证明。

当时，有命题成立。

假设等式对成立，即。

下面证明等式对也成立。

因有，即等式对也成立，从而对任意自然数都成立。

习题7.1.5证明（1）若是上的可逆线性变换，则的逆变换唯一；（2）若，是上的可逆线性变换，则也是可逆线性变换，且。

证明：（1）设都是的逆变换，则有，。

进而。

即的逆变换唯一。

（2）因，都是上的可逆线性变换，则有，同理有由定义知是可逆线性变换，为逆变换，有唯一性得。

习题7.1.6设是上的线性变换，向量，且，，，都不是零向量，但。

证明，，，线性无关。

证明：设，依次用可得，得，而，故；同理有：，得，即得；依次类推可得，即得，进而得。

第七章线性变换1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1）在线性空间V中，A,其中V是一固定的向量；2）在线性空间V中，A其中V是一固定的向量；3）在P 322 中，A(,,)(,,)x1xxxxxx；2312334）在P 3中，A(,,)(2,,)x1xxxxxxx2312231；5）在P[x]中，A f(x)f(x1)；6）在P[x]中，A()(),fxfx其中0 x P是一固定的数；07）把复数域上看作复数域上的线性空间，A。

nn中，A X=BXC其中B,CP 8）在P解1)当0时,是;当0时,不是。

nn是两个固定的矩阵.2)当0时,是;当0时,不是。

3)不是.例如当(1,0,0),k2时,k A()(2,0,0),A(k)(4,0,0), A(k)k A()。

4)是.因取(x1,x2,x3),(y1,y2,y3),有A()=A(x1y1,x2y2,x3y3)=(2x12y1x2y2,x2y2x3y3,x1y1)=(2x1x2,x2x3,x1)(2y1y2,y2y3,y1)=A+A，A(k)A(kx1,kx2,kx3)(2kx1 k x2,k x2k x,3k x)1(2kx1 k x2,k x2k x,3k x)1=k A()，3故A是P上的线性变换。

5)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x],并令u(x)f(x)g(x)则A(f(x)g(x))=A u(x)=u(x1)=f(x1)g(x1)=A f(x)+A(g(x))，再令v(x)kf(x)则A(kf(x))A(v(x))v(x1)kf(x1)k A(f(x))，故A为P[x]上的线性变换。

6)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x]则.A(f(x)g(x))=f(x0)g(x0)A(f(x))A(g(x))，A(kf(x))kf(x0)k A(f(x))。

7)不是，例如取a=1,k=I，则A(ka)=-i,k(A a)=i,A(ka)k A(a)。

第七章线性变换1) 在线性空间 V 中，A,其中 V 是一固疋的向量2) 在线性空间 V 中，A其中 V 是一固疋的向量； 3) 在P 3中，• A (X 1X ,X 3)(xix X 3, x f ) • 4) 在P 3中， A (X 1,X 2, X 3) (2X 1 X 2,X 2 X 3, X 1 )； 5) 在P[x ]中, Af(x) f(x 1)；6) 在P[X ]中, A f(x) f(x 0),其中 X 。

P 是一固定的数； 1.判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是: A n 是两个固定的矩阵.7) 8)解 2) 当 把复数域上看作复数域上的线性空间，n n「 _ …「 — n 在P 中，AX=BXC 其中B,C P1)当 0时，是;当 0时,不是。

0时，是;当 0时,不是。

(1,0,0), k 2 时,k A ( ) (2,0,0), A (k ) (4,0,0), 3) 不是•例如当 A (k ) k A()。

4) 是•因取 (X 1,X 2,X 3),A () = A (X 1 y 1,X 2= (2x 1 2y 1 X 2 = (2x 1 X 2, X 2 =A + A ，A (k )A (kx 1,kx 2,kx 3)kx 2, kx 2 kx 2, kx 2)，(2kx 1 (2kx 1 =k A ((y 1, y 2, y 3),有 y 2X 『3)y 2,X 2 y X 3 y 3,X 1 yj X 3,xJ (2y 1 y 2,y 2 y 3,yjkx 3,kxj kx 3,kxj故A 是P 3上的线性变换。

5) 是.因任取 f (x)P[x],g(x)u(x) f(x) g(x)则A (f (x)g(x)) = A u(x) = u(x 再令 v(x) kf (x)则 A (kf(x)) 故A 为P[X]上的线性变换。

6) 是•因任取 f(x) P[x], g(x) P[X],并令 1) = f (x 1)A (v(x))P[x]则.A (f(x)g(x))=f(x 。

第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。

8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。

4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。

5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。

习题7.4习题7.4.1设A 是一个n 阶下三角矩阵。

证明：（1）如果A 的对角线元素jj ii a a ≠),,2,1,(n j i =，则A 必可对角化； （2）如果A 的对角线元素nn a a a === 2211，且A 不是对角阵，则A 不可对角化。

证明：（1）因为A 是一个n 阶下三角矩阵，所以A 的特征多项式为)())((||2211nn a a a A E ---=-λλλλ ，又因jj ii a a ≠),,2,1,(n j i =，所以A 有n 个不同的特征值，即A 有n 个线性无关的特征向量，以这n 个线性无关的特征向量为列构成一个可逆阵P ，则有AP P 1-为对角阵，故A 必可对角化。

（2）假设A 可对角化，即存在对角阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n B λλλ21，使得A 与B 相似，进而A 与B 有相同的特征值n λλλ,,,21 。

又因为矩阵A 的特征多项式为n a A E )(||11-=-λλ，所以1121a n ====λλλ ，从而E a a a a B nn 112211=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，于是对于任意非退化矩阵X ，都有B E a EX a X BX X ===--111111，而A 不是对角阵，必有A B BX X ≠=-1，与假设矛盾，所以A 不可对角化。

习题7.4.2设n 维线性空间V 的线性变换σ有s 个不同的特征值s λλλ,,,21 ，i V 是i λ的特征子空间),,2,1(s i =。

证明：（1）s V V V +++ 21是直和；（2）σ可对角化的充要条件是s V V V V ⊕⊕⊕= 21。

证明：（1）取s V V V +++ 21的零向量0，写成分解式有021=+++s ααα ，其中i i V ∈α，s i ,,2,1 =。

现用12,,,-s σσσ 分别作用分解式两边，可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++---0001212111221121s s s s s ss s αλαλαλαλαλαλααα 。

高等代数北大版习题参考答案CKBOOD was revised in the early morning of December 17, 2020.第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量；2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。

8） 在P n n ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。

4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β，A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。

5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。

第七章 线性变换练习题参考答案一、填空题1．设123,,εεε是线性空间V 的一组基，V 的一个线性变换σ在这组基下的矩阵是33112233(),,ij A a x x x V αεεε⨯==++∈则σ在基321,,εεε下的矩阵B ＝1,T AT -而可逆矩阵T ＝001010100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭满足1,B T AT -=σα在基123,,εεε下的坐标为123x A x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ .2．设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间n P 的线性变换:(),n A P σσξξξ=∈,则1(0)σ-＝{}|0,n A P ξξξ=∈，()1dim (0)σ-＝n r -，()dim ()n P σ＝r .3．复矩阵()ij n n A a ⨯=的全体特征值的和等于1nii i a =∑ ，而全体特征值的积等于||A .4．设σ是n 维线性空间V 的线性变换，且σ在任一基下的矩阵都相同，则σ为__数乘__变换 .5．数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为2n 维线性空间，它与n n P ⨯同构.6．设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为12(),(),,()n f f f λλλ . 7．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2231A ，则向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11是A 的属于特征值 4 的特征向量． 8．若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100001011A 与1010101k B k ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭相似，则k = -1/2 ． 9．设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ，则=||A 3 ．10．n 阶方阵A 满足A A =2，则A 的特征值为 0和1 ．11．线性空间3R 上的线性变换为A =),,(321x x x 132321(2,33,2)x x x x x x ++-，变换A 在基)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321===εεε下的矩阵为102033210⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭.二、判断题1．设σ是线性空间V 的一个线性变换，12,,,s V ααα∈线性无关，则向量组12(),(),,()s σασασα也线性无关. （错） 2．设σ为n 维线性空间V 的一个线性变换，则由σ的秩＋σ的零度＝n ，有1()(0).V V σσ-=⊕ （错）未必有1()(0).V V σσ-=⊕3．在线性空间2R 中定义变换σ：(,)(1,)x y x y σ=+，则σ是2R 的一个线性变换. （错）零向量的像是（1,0）4．若σ为n 维线性空间V 的一个线性变换，则σ是可逆的当且仅当1(0)σ-＝｛0｝. （正确）σ是可逆的当且仅当σ是双射.5．设σ为线性空间V 的一个线性变换，W 为V 的一个子集，若()W σ是V 的一个子空间，则W 必为V 的子空间. （错）如平面上的向量全体在x 轴上的投影变换，W 为终点在与x 轴平行而不重合的直线上的向量全体，()W σ为x 轴上的向量全体，是V 的一个子空间，但W 不是V 的子空间.6．n 阶方阵A 至少有一特征值为零的充分必要条件是0||=A ．（正确）7．已知1-=PBP A ，其中P 为n 阶可逆矩阵，B 为一个对角矩阵．则A 的特征向量与P 有关．（ 正确 ）1P AP B -=，P 的列向量为A 的特征向量.8．σ为V 上线性变换，n ααα,,,21 为V 的基，则)(,),(),(21n ασασασ 线性无关．（错）当σ可逆时无关，当σ不可逆时相关.9．α为V 上的非零向量，σ为V 上的线性变换，则})(|{)(1αησηασ==-是V 的子空间．（ 错 ）不含零向量.三、计算与证明1．判断矩阵A 是否可对角化？若可对角化，求一个可逆矩阵T ，使1T AT -成对角形.133313331A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解：先求矩阵A 的特征值与特征向量.2133313(7)(2)331E A λλλλλλ----=---=-+---. 矩阵A 的特征值为12,37,2λλ==-.当17λ=时，解方程组1231231236330,3630,3360.x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩得矩阵A 属于特征值7的线性无关特征向量为1(1,1,1)'ξ=.当2,32λ=-时，解方程组1231231233330,3330,3330.x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎨⎪---=⎩得矩阵A 属于特征值-2的线性无关特征向量为23(1,1,0)',(1,0,1)'ξξ=-=-.矩阵A 有三个线性无关的特征向量.因此矩阵A 可对角化，取矩阵111110101T ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭有1722T AT -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭2．在线性空间n P 中定义变换σ：122(,,,)(0,,,)n n x x x x x σ=（1）证明：σ是n P 的线性变换.（2）求()n P σ与1(0).σ-（1）证明：112222(,,,)(0,,,)n n n n x y x y x y x y x y σ+++=++ 221212(0,,,)(0,,,)(,,,)(,,,)n n n n x x y y x x x y y y σσ=+=+12122((,,,))(,,,)(0,,,)n n n k x x x kx kx kx kx kx σσ== 212(0,,,)(,,,)n n k x x k x x x σ==.所以σ是n P 的线性变换.（2）{}2()(0,,,)|,2,,.n n i P x x x P i n σ=∈=. {}111(0)(,0,,0)|.x x P σ-=∈3．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=a A 33242111与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b B 00020002相似．（1）求b a ,的值；（2）求可逆矩阵，使B AP P =-1．解：(1)由矩阵A 与B 相似可得，矩阵A 与B 有相同的迹与行列式，因此有45,46 6.b a b a +=+⎧⎨=-⎩ 所以5,6a b ==.(2)先求矩阵A 的特征值与特征向量.2111||242(6)(2)335E A λλλλλλ---=--=--- 特征值为1,232,6λλ==.当1,22λ=时，解方程组1231231230,2220,3330.x x x x x x x x x +-=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩得矩阵A 属于特征值-2的线性无关特征向量为12(0,1,1)',(1,0,1)'ξξ==.当16λ=时，解方程组12312312350,2220,330.x x x x x x x x x +-=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩得矩阵A 属于特征值7的线性无关特征向量为1(1,2,3)'ξ=-.因此可取矩阵011102113P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，有B AP P =-1.4．令n n P ⨯表示数域P 上一切n 级方阵所成的向量空间，取定,n n A B P ⨯∈，对任意的n n P X ⨯∈，定义()''X A XA B XB σ=-. 证明σ是n n P ⨯上的一个线性变换.证明：对任意的,,n n X Y P k P ⨯∈∈，有()'()'()''''()(),X Y A X Y A B X Y BA XAB XB A YA B YB X Y σσσ+=+-+=-+-=+()'()'()('')()kX A kX A B kX B k A XA B XB k X σσ=-=-=.因此σ是n n P ⨯上的一个线性变换.。

第七章线性变换习题答案第七章线性变换3．在P[x]中，Af(x)f(x)，Bf(x)xf(x)，证明：ABBA=E．『解题提示』直接根据变换的定义验证即可．证明任取f(x)P[x]，则有=(A BBA)f(x)ABf(x)BAf(x)A(xf(x))B(f(x))(xf(x))xf(x)f(x)Ef(x)，于是ABBA=E．4．设A,B是线性变换，如果ABBA=E，证明：kkk k1,k1ABBAA．『解题提示』利用数学归纳法进行证明．证明当k2时，由于ABBA=E，可得22()()2ABBAAABBAA B BAAA，因此结论成立．假设当ks时结论成立，即ssss1ABBAA．那么，当ks1时，有s1s1(s s)()ssss(s1)sABBAAABBAA B BAAAAA，即对ks1结论也成立．从而，根据数学归纳法原理，对一切k1结论都成立．『特别提醒』由AE可知，结论对k1也成立．5．证明：可逆映射是双射．『解题提示』只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可．1证明设A是线性空间V上的一个可逆变换．对于任意的,V，如果AA，那么，用A 作用左右两边，得到A AAA，因此A是单射；另外，对于任意的V，存在1()1()1()1()1V A，使得1AA(A)，即A是满射．于是A是双射．-1-『特别提醒』由此结论可知线性空间V上的可逆映射A是V到自身的同构．6．设1,2,,n是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换，证明A可逆当且仅当A1,A2,,A n线性无关．证法1若A是可逆的线性变换，设k AkAkA0，即1122nnA(kkk nn)0．1122而根据上一题结论可知A是单射，故必有k kk0，又由于1,2,,n是线性无关的，1122nn因此k1k2k n0．从而A1,A2,,A n线性无关．反之，若A1,A2,,A n是线性无关的，那么A AA也是V的一组基．于是，根据1,2,,n教材中的定理1，存在唯一的线性变换B，使得B(A i)i，i1,2,,n．显然BA(i)i，A B(A i)A i，i1,2,,n．再根据教材中的定理1知，ABBAE．所以A是可逆的．证法2设A在基1,2,,n下的矩阵为A，即A(,,,n)(A,A,,A n)(,,,n)A．121212由教材中的定理2可知，A可逆的充要条件是矩阵A可逆．因此，如果A是可逆的，那么矩阵A可逆，从而A1,A2,,A n也是V的一组基，即是线性无关的．反之，如果A AA是线性无关，从而是V的一组基，且A 是从基1,2,,n到1,2,,nA1,A2,,A n的过渡矩阵，因此A是可逆的．所以A是可逆的线性变换．『方法技巧』方法1利用了上一题的结论及教材中的定理1构造A的逆变换；方法2借助教材中的定理2，将线性变换A可逆转化成了矩阵A可逆．9．设三维线性空间V上的线性变换A在基1,2,3下的矩阵为aaa111213A aaa．212223aaa3132331）求A在基3,2,1下的矩阵；-2-2）求A在基1,k2,3下的矩阵，其中kP且k0；3）求A在基12,2,3下的矩阵．『解题提示』可以利用定义直接写出线性变换的矩阵，也可以借助同一个线性变换在两组不同基下的矩阵是相似的进行求解．解1）由于A3a131a232a333a333a232a131，A2a121a222a323a323a222a121，A1a111a212a313a313a212a111．故A在基3,2,1下的矩阵为aaa333231B aaa．1232221aaa1312112）由于1Aaaaaaka，1111212313111212313kAkkakakakaakka，21212223231212223231Aaaaaaka．3131232333131232333k故A在基1,k2,3下的矩阵为akaa11121311B aaa．2212223kkakaa3132333）由于从1,2,3到12,2,3的过渡矩阵为X110，001故A在基12,2,3下的矩阵为-3-1100aaa100aaaa11121311121213B110aaa110aaaaaaaa．32122232111221222122313001aaa001aaaa31323331323233『方法技巧』根据线性变换的矩阵的定义，直接给出了1）和2）所求的矩阵；3）借助了过渡矩阵，利用相似矩阵得到了所求矩阵．事实上，这三个题目都可以分别用两种方法求解．10．设A是线性空间V上的线性变换，如果k01A，但k0A，求证：,A,,Ak1（k0）线性无关．证明由于k0kiik0A，故对于任意的非负整数i，都有AA(A)．当k0时，设k1xxAxA0，12n用A作用于上式，得k1x A0，1但k10A，因此x10．于是k1xAxA0，2n再用k2A作用上式，同样得到x．依此下去，可得20x1x2x k0．从而k1,A,,A线性无关．16．证明：1 i 12与i 2n i n相似，其中i1,i2,,i是1,2,,n的一个排列．n『解题提示』利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的或直接相似的定义．证法1设V是一个n维线性空间，且1,2,,n是V的一组基．另外，记1 i 1iB．2n in -4-于是，在基1,2,,n下，矩阵A对应V的一个线性变换A，即12A(,,,n)(,,,n)(,,,n)A．121212n从而A，i1,2,,n．又因为iii i1,i2,,i也是V的一组基，且ni1iA(,,,)(,,,)2(,,,)．iiiiiiiii12n12n12nBin故A与B相似．证法２设1 i 12 A与i2n in对A交换i,j两行，再交换i,j两列，相当于对A左乘和右乘初等矩阵1P(i,j)P(i,j)和P(i,j)，而1P(i,j)AP(i,j)即为将A中的i和j交换位置得到的对角矩阵．于是，总可以通过这样的一系列的对调变换，将A的主对角线上的元素1,2,,n变成i1,i2,,i，这也相当于存在一系列初等矩阵Q1,Q2,,Q s，使得n111QQQAQQQB，s2112s令QQQQ，则有12s1QAQB，即A与B相似．『方法技巧』证法１利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的这一性质；证法２利用了矩阵的相似变换，直接进行了证明．17．如果A可逆，证明AB与BA相似．证明由于A可逆，故A 1存在．于是AABAAABABA，1()(1)-5-因此，根据相似的定义可知AB与BA相似．19．求复数域上线性变换空间V的线性变换A的特征值与特征向量．已知A在一组基下的矩阵为：1）34A；4）52563A101；5）121001A010．100解1）设A在给定基1,2下的矩阵为A．由于A的特征多项式为342EA|514(7)(2)，52故A的特征值为17，22．当17时，方程组(1EA)X0，即为4x4x0,125x5x0.12解得它的基础解系为11．从而A的属于特征值17的全部特征向量为1k1k2，其中k为任意非零常数．当22时，方程组(2EA)X0，即为5x4x0,125x4x0.12解得它的基础解系为45 ，从而A的属于特征值22的全部特征响向量为24l15l2，其中l为任意非零常数．4）设A在给定基1,2,3下的矩阵为A，由于A的特征多项式为563EA11(2)(13)(13)，121故A的特征值为12，213，313．-6-当12时,方程组(1EA)X=0，即为3x6x3x0,123x2xx0,123x2x3x0.1232求得其基础解系为1，故A的属于特征值2的全部特征向量为12k11k12其中k1为任意非零常数．当213时,方程组(2EA)X=0，即为(43)x6x3x0,123x(13)xx0,123x2x(23)x0.1233求得其基础解系为1，故A的属于特征值13的全部特征向量为2323k21k22(23)k23其中k为任意非零常数．2当313时，方程组(3EA)X=0，即为(43)x6x3x0,123x(13)xx0,123x2x(23)x0.1233求得其基础解系为1，故A的属于特征值13的全部特征向量为2333k31k32(23)k33其中k3为任意非零常数．-7-5）设A在给定基1,2,3下的矩阵为A，由于A的特征多项式为012EA010(1)(1)，10故A的特征值为11（二重），21．当11时，方程组(1EA)X=0，即为0,xx130.xx1310求得其基础解系为,1，故A的属于特征值1的全部特征向量为101k11k22k13其中k1,k2为任意不全为零的常数．当21时，方程组(2EA)X=0，即为0,xx132x0,20.xx1310，故A的属于特征值1的全部特征向量为求得其基础解系为12l1l3，其中l为任意非零常数．『方法技巧』求解一个线性变换的特征值即求其矩阵的特征多项式的根，再对每个根求得所对应的特征向量，但一定要注意表达成基向量的线性组合形式．24．1）设1,2是线性变换A的两个不同特征值，1,2是分别属于1,2的特征向量，证明：12不是A的特征向量；2）证明：如果线性空间V的线性变换A以V中每个非零向量作为它的特征向量，那么A是数乘变换．-8-证明1）反证法．假设12是A属于特征值的特征向量，即A()()．121212而由题设可知A111,A222，且12，故A()AA．12121122比较两个等式，得到()()0．1122再根据1,2是属于不同特征值的特征向量，从而是线性无关性，因此120，即12．这与12矛盾．所以12不是A的特征向量．2）设1,2,,n是V的一组基，则它们也是A的n个线性无关的特征向量，不妨设它们分别属于特征值1,2,,n，即A，i1,2,,n．iii根据1）即知12n．否则，若12，那么120，且不是A的特征向量，这与V中每个非零向量都是它的特征向量矛盾．所以，对于任意的V，都有A，即A是数乘变换．25．设V是复数域上的n维线性空间，A,B 是V上的线性变换，且ABBA．证明：1）如果0是A的一个特征值，那么V是B的不变子空间；2）A,B至少有一个公共的特征向量．证明1）设V，则A0，于是，由题设知A(B)(AB)(BA)B(A)B()B，00因此B V．根据不变子空间的定义即知，0 V是B的不变子空间．02）由1）可知V是B的不变子空间，若记0 B|V B，则B0是复数域上线性空间00V的一个线性变换，它必有特征值0及非零向量V，使得BB，00即是B的特征向量，从而是A和B的公共特征向量．因此，A,B 存在公共的特征向量．-9-。