工程力学教学课件第十一节弯曲内力

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《工程力学》教学第十一章弯曲内力课件

Q(+)
左上右下为正 Q(–)
Q(+)
Q(–)
〔2〕弯矩M。使微段梁产生上弯趋势的为正弯矩；反之为负弯矩。
M(+)
M(+) M(–)
上弯为正
M(–)
例11-1 如下图简支外伸梁，受集中力偶M和均布荷载q的作用。求梁的1-1、2-2、3-3、4-4截面上的剪力和弯矩。
A RA
M
1 2
x
C
12
a
a
4q 3
第三节载荷集度、剪力和弯矩间的关系
一、载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系
q(x)
y
对dx 段进展平衡分析，有
x Y0即为
x dx
Q (x)q(x)dxQ (x)dQ (x)0
q(x)dxdQ (x) q(x)
Q(x)+d Q(x) 剪力与分布载荷间的关系为
M(x)
A
Q(x) dx M(x)+d M(x)
Y0, QFYAF(lla) mC0, MFYAx
FYA
x
m
弯曲构件内力
剪力Q 弯矩M
Q A
C
弯矩M
FYA
Q
——构件受弯时，横截面上
MC
位于轴线所在平面内的内力偶。
矩心为横截面形心。
P B
FB
M F
FB
剪力Q ——构件受弯时，横截面上过截面形心且平行于截面的内力。
内力的正负规定:
〔1〕剪力Q。绕争论对象顺时针转为正剪力；反之为负。
〔1〕计算内力时按支座反力的实际方向确定其正负号，与坐标系相全都。
〔2〕计算弯曲内力时，选用截面左侧还是右侧计算应以计算简便为原则。

【优文档】学习任务——弯曲内力PPT

ENGINEERING MECHANICS
P
解：写出内力方程
Q(x)=P M(x)=Px
0xL
根据方程画内力图
Q图可以画在基线任一侧，标正负号。
M图画在受拉侧，不标正负号。
M图
q A
x L
qL
2⊕
qL 2 8
q Q(x)
B
A
M(x)
qL
2
Q图
Q(x) = qLqx 2
qL
2
M(x)=qLxqxx
L 五M集单工弯图、中跨学矩画力静项 M剪在：作定目力受使用梁5方拉梁的的程侧下左内弯和，侧右力曲弯不受截计构矩标拉面算件方正为上与力程负正剪内学·号。力力剪分。值图力析发绘图生制和了弯突矩变图，突变值等于集中力的值。
弯求变内受五弯E集Q五四M梁集N图图矩下形力力、矩中、、：中G可画M列特方特 M力用以力I剪剪N以在：：各点程点作截弯作E力力画受使使E图：：：用面曲用方方R在梁梁拉示杆内垂的法变的I程程N基下下侧梁轴力直左计形左G和和线侧侧，的线与于右算为右弯弯任受受不M内由截杆截指主截矩矩E一拉拉标力直面轴面定的面方方C侧为为正方线位线上截构上H程程A，正正负程变置的剪面件剪N··标。。号并为坐外力上通力I剪剪C正。画曲标力值的常值S力力负出线（或发剪称发图图号内。位生力为生x和和）。力于了和梁了弯弯间图轴突弯。突矩矩的。线变矩变图图函所，，数在突突关平变变系面值值式内等等的于于外集集力中中偶力力矩的的作值值用。。。
工程力学
ENGINEERING MECHANICS
工学项目5
弯曲构件力学分析
单跨静定梁的内力计算与内力图绘制
一、概念
受力特点：垂直于杆轴线的外力或位于轴线所在平面内的外力偶矩作用。变形特点：杆轴线由直线变为曲线。

工程力学精品课程梁的弯曲内力.ppt

A+ 15KN
AB B-
-25KN
段横截面
AC
C+
A-
AB
A+
B- D（剪力为零的截面）
M
0
-20KNm
20KNm
0 31.5KNm(弯矩极值)
3）画剪力图与弯矩图
15KN
2.5m
20KN
20KNm
31.25KN m
25KN
20KNm
由平衡方程确定剪力的大小及实际方向
FY RA q AC Q 0
Q 10－20 0.2 6(KN) （C截面上剪力的实际方向向下）
q
A
CM
ＲA Q
又由平衡条件 mC (F) 0
可知
C截面上一定存在另一个内力分量，即力偶,称为弯矩，以M表示。
由平衡方程确定弯矩的大小及实际方向：
mC
沿梁轴方向选取坐标x，以此表示各横截面的位置，建立梁内各横截面的剪力、弯矩与x的函数关系，即
Q Q(x)
剪力方程
M M (x) 弯矩方程
。
若以x为横坐标，以Q或M为纵坐标，将剪力、弯矩方程所对应的图线绘出来，即可得到剪力图与弯矩图，这可使我们更直观地了解梁各横截面的内力变化规律。
例7—2．一悬臂梁AB（图7—9a），右端固定，左端受集中力P作用。作此梁的剪力图
并分别以Q1 、M1和Q2、M2代表它们各自的内力，可求得：
m/l
m Q1 RA l (0 x1 a)
ＲA
x1
A
M1
mb/l
M1
RA x1
m l
x1
(0 x1 a)
Q1
m
M2
x2
ＲB

《弯曲和弯曲内力》课件

受力贡献
考虑各部分的受力贡献
分析方法
分解为简单几何形状进行分析
总结
不同截面形式下的弯曲分析涉及多种结构截面，每种截面具有特定的抗弯性能。工程实践中需要根据实际情况选择合适的截面形式，确保结构的稳定性和安全性。
● 03
第3章弯曲构件的稳定性分析
弯曲构件的稳定性问题
弯曲构件在受到外力作用时可能出现稳定性问题。稳定性分析是保证构件安全可靠的重要步骤，其中需要考虑截面形状、材料性质和支座条件等因素。
第2章不同截面形式下的弯曲分析
矩形截面的弯曲分析
矩形截面是常见的结构截面形式之一。通过计算惯性矩和截面模量，可以分析矩形截面的抗弯性能。矩形截面的强度和刚度受截面尺寸的影响较大。
矩形截面的弯曲分析
惯性矩计算
用于评估截面抗弯能力
影响因素
尺寸对弯曲性能的影响
截面模量计算
反映了截面抗弯刚度
《弯曲和弯曲内力》PPT课件
制作人：时间：2024年X月
目录
第1章弯曲和弯曲内力的基本概念第2章不同截面形式下的弯曲分析第3章弯曲构件的稳定性分析第4章弯曲构件的工程应用第5章弯曲构件的实际案例分析
● 01
第1章弯曲和弯曲内力的基本概念
弯曲的定义和应力分布
弯曲是指受力构件在承受外力作用下产生的挠曲变形。弯曲应力分布呈三角形状，最大应力出现在截面最远离中性轴的位置。材料内存在拉应力和压应力。
截面模量
受力情况计算得到的参数
几何形状影响
不同形状的截面具有不同的性能参数
选择合适形式
需根据具体情况进行合理选择
总结
弯曲和弯曲内力是结构力学中重要的概念，了解其基本原理和分析方法对于工程设计和力学研究具有重要意义。通过本章内容的学习，可以更深入地理解弯曲构件的受力特点和内力分布规律。

《工程力学》教学课件第十一章弯曲内力

引发裂缝扩展
弯曲内力还可能导致结构中的裂缝扩展，进一步降低结构强度。
优化措施降低弯曲内力影响
合理布置荷载
通过合理布置荷载，降低结构受到的弯曲内力，提高结构稳定性。
采用预应力技术
对结构施加预应力，使结构在受到荷载作用前产生一定的反弯曲内力，从而抵消部分外荷载产生的弯曲内力。
加强结构刚度
增加结构刚度，提高结构抵抗弯曲内力的能力，保证结构整体性能。
机械工程
分析机械零件在受力时的弯曲变形和应力分布，提高零件的强度和刚度，延长使用寿命。
案例分析中问题探讨
载荷与边界条件的确定
在实际工程中，如何准确确定结构所受的载荷和边界条件是进行内力分析的关键问题。
内力与变形的计算精度
由于实际结构的复杂性和计算方法的局限性，如何保证内力和变形计算的精度是另一个需要探讨的问题。
优化截面形状和尺寸
通过优化截面形状和尺寸，使得截面在受力时能够更好地抵抗弯曲内力，提高结构强度。
06 实验验证与工程应用案例
实验验证方法介绍
1 2
载荷实验
通过对实际结构或模型施加静态或动态载荷，观察和分析结构的变形和内力分布情况。
应变测量
利用应变片、应变计等测量工具，定量测量结构在载荷作用下的应变值，进而推算出内力大小。
性能。
弯曲内力与材料性质关系
弹性模量
材料的弹性模量越大，梁的抗弯刚度越大，承受弯
曲内力的能力越强。
屈服强度
材料的屈服强度越高，梁在承受弯曲内力时越不容易发生塑性变形。
韧性
材料的韧性越好，梁在承受弯曲内力时越不容
易发生脆性断裂。
疲劳强度
对于承受交变弯曲内力的梁，材料的疲劳强度也是一个重要的考虑因素。

弯曲内力PPT课件专题培训

FAy＝M / l FBy＝ -M / l
2．写出剪力和弯矩方程
AC FS x1 ＝M / l 0 x1 a
M x1 ＝Mx1 / l 0 x1 a
Mb / l
CB FS x2 ＝M / l 0 x2 b
M x2 ＝ Mx2 / l 0 x2 b
3. 依方程画出剪力图和弯矩图。
目录
24
载荷集度、剪力和弯矩关系：
d
2M (x) dx2
dFs (x) dx
q(x)
1. q＝0，Fs=常数，剪力图为直线； 2. M(x) 为 x 旳一次函数，弯矩图为斜直线。
2.q＝常数，Fs(x) 为 x 旳一次函数，剪力图为斜直线； M(x) 为 x 旳二次函数，弯矩图为抛物线。
分布载荷向上（q > 0），抛物线呈凹形；
b
b
a dFS
qdx
a
dM dx FS
dM FSdx
b
b
dM a
a FSdx
FS
b
FS
a
Aq
b a
M
b
M
a
AFS
b a
从左到右，向上（下）集中力作用处，剪力图向上（下）突变，突变幅度为集中力旳大小。弯矩图在该处为尖点。
从左到右，顺（逆）时针集中力偶作用处，弯矩图向上
（下）突变，突变幅度为集中力偶旳大小。剪力图在该点没
q
A
FAy
9qa/4
B
4a
a
FBy
Fs （+）
9a / 4
（-） qa
7qa/4
81qa2/32 qa2
（+） M
4．求出剪力为零旳点 D 到A旳距离。 qa 5．从A截面左侧开始画弯

工程力学-9(1)弯曲内力

0 x l
FQ
O
M x Fx
0 x l
x -F
M
O
x
Fl
18
§9(1). 弯曲内力
内力与内力图
例2：悬臂梁长度为l，受均布载荷集度为q。求：梁的内力及内力图。 y
工程力学
l
解：取x截面左段梁为研究对象。
Fy 0 : FQ x qx 0
30
x
工程力学
1 FQ x1 F 3
0 x1 l
x3
2 FQ x2 F 3
l x1 3l
FQ
F/3
§9(1). 弯曲内力
内力与内力图 A
l
F
x1 x2
l
l
M0 B FB
在集中力偶作用面： FQ（x）图连续。 M（x）图线发生突变；突变值等于该力偶矩值。
取x1截面左段梁为研究对象。
Fy 0 :
FA FQ x1 0
1 FQ x1 F 3
0 x1 l
A FA
C1 FQ（x1） M（x1）
M C1 F 0 :
M x1
M x1 FA x1 0
F x1 3
0 x1 l
F 2
l ( x2 l ) 2
l M x FA x2 F ( x2 ) FA 2 Fl F l x2 ( x2 l ) 2 2 2
FB
FQ（x） M（x）
FA
22
§9(1). 弯曲内力
内力与内力图
x2 F
x1
3、画出剪力图和弯矩图

工程力学_静力学与材料力学高等教育出版社PPT_弯曲内力演示课件.ppt

3、若所得方程为x的二次或二次以上方程时，则在作图时除计算控制截面的值外，应注意曲线的凹凸向及其极值。
sfsf
30
材料力学
例10-4外伸简支梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩
方程，作出梁的剪力图和弯矩图。 y
F=qa
q
解：
Cx
A
x
a FAy
2a
Bx
FBy
1、取参考坐标系Cxy。根据平衡条件求支座反力
3 qa
2
(+)
(-) -qa
FQ 图
(-)
由此式知：剪力图曲
线上一点处的斜率等于
E
1 qa2
(-)
1 qa 2
梁上相应点处的载荷集
8
度q。
(+)
sfsfqa2
38
材料力学
M (x)
FQ (x) dFQ
FQ (x)
M (x) dM
Mo 0

M
(
x)

FQ
(
x)dx

q(
x)dx
FQ (x) dFQ
FQ (x)
M (x) dM
Fy 0
FQ (x) q(x)dx [FQ (x) dFQ ] 0
dFQ (x) q(x) dx
（4-4）
由此式知：剪力图曲线上一点处的斜率等于梁上相
应点处的载荷集度q。
sfsf
37
材料力学
F=qa
q
C
A
B
a
2a
dFQ (x) q(x) dx
B D
1m FBy
CA
AD
DB
载荷

工程力学弯曲内力

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Fs+dFs
Fs
c
ΣFy=0: Fs+q dx- (Fs +dFs)=0
ΣMc=0: -Mz+(Mz+dMz)- Fsdx略去高阶项，得到
q dx .dx /2=0
dFs
dx
=q
Fs+dFs Fs
dM dx = Fs d2M dx2 = q
dFs dM d2 M q; Fs ; q dx dx dx2
15
kN
FS x2 25 10 x2
25
2 x2 M x2 25 x2 10 2
20
20
0 x2 4
0 x2 4
20
31.25
kNm
注意：在剪力等于零的地方，弯矩有极值。
§10－5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
考察 dx 微段的受力与平衡
Fs +dFs Fs
例题 10.8
解： 1、求支反力
FA 7.2kN FB 3.8kN
外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的内力图。
3kN
C A
2kN/m
6kN m
D B
2、判断各段FS、M图形状：
1m
FA
4m
1m
FB CA和DB段：q=0，FS图为水平线，
4.2 (kN)
3 3 (kN· m)
x=3.1m
340
280
q
A B
结构对称，载荷反对称，则FS图对称， M图反对称
qa 2
qa 2
q
a
a
qa 2
qa 2
a 2
qa 2

工程力学第十一章

第十一章弯曲内力
§11-1 弯曲的概念和实例 §11-2 受弯杆件的简化 §11-3 剪力和弯矩 §11-4 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图 §11-5 剪力、弯矩和载荷集度间的关系
11-1 弯曲的概念和实例
一. 关于弯曲的概念
梁的概念——以弯曲为主要变形的杆件称为梁。
1.受力特点：杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的横向外力或外力偶作用。
若梁上某点作用一向下（上）的集中力，则在 F 剪力图上该点的极左侧截面到极右侧截面发生向下（上）的突变，剪力突变的大小等于该集中力的大小。
例 11-5
作以下简支梁的剪力和弯矩图。
解：约束力
M FA FB l1 l2
FA 剪力FQ FB FA x1 弯矩FQ FB x2
化成集中力。（真正的集中力在工程中是不存在的）
dx 3．集中力矩 M――往往是梁上安装附属构件所引起的。
三. 静定梁的基本形式
悬臂梁
简支梁
外伸梁
11-3 剪力和弯矩
一.概念
仍采用截面法确定梁上某截面的内力分量例 11-1 确定悬臂梁m-m处的内力
m A l1 m F
l
B
MA FAx
FAy
F 0 F 0 F F 0 F F F 0 M ( F ) 0 M Fl 0 M
FQ ( x) FQ 常数 FQ 0 FQ 0 FQ 0
M ( x)
dM ( x ) FQ ( x) dx
FQ 2 FQ1 q( x)dx
2 1
2 M 2 M1 1 FQ ( x)dx
讨论: 下面的剪力弯矩图错在什么地方？（时间3分钟）

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M
l
2
x
x (3)根据方程画内力图。
Q ql max
ql 2 2
RA
ql 2 8
RA
ql2 M
max 2
例11-3 已知图示简支梁，受力P、2P的作用,AC=CD=DB=a。作剪力图和弯矩图，确定Qmax和Mmax。
解（1）求支座约束反力。
Y0 FAFBP2P0
M B0 FA3aP2a2Pa0
弯曲变形——杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩的作用时, 其轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲变形。
梁——以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。
常见梁的截面形状
平面弯曲——当所有的外力都作用在梁的纵向对称面内时，梁变形后轴线所在的平面与外力所在的平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲。
F1
q
F2
M
纵向对称面
二、梁的计算简图
CB=a,AC=a/2。作剪力图和弯矩图，确定Qmax和Mmax。
解（1）求支座约束反力。
Y0FCFBq23a0
Q(+)
左上右下为正 Q(–)
Q(+)
Q(–)
（2）弯矩M。使微段梁产生上弯趋势的为正弯矩；反之为负弯矩。
M(+)
M(+) M(–)
上弯为正
M(–)
例11-1 如图所示简支外伸梁，受集中力偶M和均布荷载q的作用。求梁的1-1、2-2、3-3、4-4截面上的剪力和弯矩。
A RA
M
4q
1 2
x
C
3
Y0, QFYAF(lla) mC0, MFYAx
FYA
x
m
弯曲构件内力
剪力Q 弯矩M
Q A
C
弯矩M
FYA
Q
——构件受弯时，横截面上
MC
位于轴线所在平面内的内力偶。
矩心为横截面形心。
P B
FB
M F
FB
剪力Q ——构件受弯时，横截面上过截面形心且平行于截面的内力。
内力的正负规定:
（1）剪力Q。绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。
❖ （1）计算内力时按支座反力的实际方向确定其正负号，与坐标系相一致。
❖ （2）计算弯曲内力时，选用截面左侧还是右侧计算应以计算简便为原则。
❖ （3）集中力作用处，左、右两侧的剪力不同，弯矩相同。 ❖ （4）集中力偶作用处，左、右两侧面上的剪力相同，但
弯矩不同。
二、剪力图和弯矩图
1.剪力方程和弯矩方程
教学重点
❖ 截面法求剪力和弯矩； ❖ 剪力方程和弯矩方程； ❖ 剪力图和弯矩图； ❖ 载荷集度、剪力和弯矩之间的关系。
教学难点
❖ 剪力和弯矩的方向判定； ❖ 剪力方程和弯矩方程的列法； ❖ 三种作剪力图和弯矩图的方法； ❖ 载荷集度、剪力和弯矩之间的关系。
第一节平面弯曲的概念及梁的计算简图
一、平面弯曲的概念工程实例
简支梁悬臂梁外伸梁
第二节梁的内力计算
一、剪力和弯矩
已知如图所示，F、a、l。
求距A端x处截面上内力。（1）求外力
a A
l
X 0 , FX A 0
mA 0 ,
FB
Fa l
F (l a)
Y 0 , FYA l
FXA A FYA
F B
F B
FB
（2）求内力，应用截面法
m
FXA A
为正向），可得
Y 0 FAQ10
y
1 M1
C
x
Q1 FA
A
a
Q1
同理可得 Q2 FA
FA
1
Q3 FA
Q4FAFB
(3)计算弯矩。如图所示，设1-1截面上的弯矩为M1（按规定其图示为正向），可得
MC 0 FA•aM10
同理可得
M1 FAa M2FA•aM
M3FA•2aM
M 4FA•2aM
由以上例题可以得出结论：
得 FA=4P/3，FB=5P/3
（2）列剪力方程和弯矩方程。
Q1x1
FA
4 3
P
Q2x2
FA
P
1 3
P
x10, a x2 a, 2a
Q3x3
FA
P2P
5 3
P
x32a, 3a
（3）绘制Q图和M图。显然在三段内中剪力皆为常值，在剪力图中是三条水平线段，如图所示；弯矩方程都是一次函数，在弯矩图中为三条直线段，如图所示。（4）最大剪力和最大弯矩值。
剪力方程弯矩方程
剪力图弯矩图
例11-2 已知如图悬臂梁受均布荷载q的作用，梁的长度为 l。求作此梁的剪力图 LL
解（1）求支座反力。
Y 0
MA 0
FAql0
MA
ql2 2
0
FA ql
ql 2 MA 2
(2)写出内力方程。
QFAqx
Q
MMAq2x2 FA•x
(0xl)
FA （+）
梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。 1. 杆件的简化通常取梁的轴线来代替梁。轴线是杆件横截面形心的连线。折杆或曲杆可用中心线代替。
2. 载荷的分类作用于梁上的载荷（包括支座反力）有三种类型：集中载荷、均布载荷和集中力偶。
q
M
F
3.支座的分类 m
第十一章弯曲内力
第一节平面弯曲的概念及梁的计算简图第二节梁的内力计算第三节载荷集度、剪力和弯矩间的关系
教学目的和要求
❖ 梁的弯曲变形是工程实际中非常重要的一种构件变形形式，本章主要介绍梁在弯曲变形时的内力计算，包括剪力和弯矩的计算。学习时要重点掌握采用截面法确定剪力和弯矩的计算，能够做出正确的剪力图和弯矩图，熟悉作剪力图和弯矩图的具体方法。同时要掌握载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系。
D
B
3
B
12
a
a
4
RB
a
解（1）计算支座反力。
由 MB0得
FA
•
2a
M
1 2
qa2
0
FA
M 2a
1 4
qa
由 Y 0 得
FA FB qa 0
FB
M 2a
5qa 4
由 MA0 校核 M5q2a2 FB•2a0
可据此判断支座反力计算正确。
（2）计算剪力。如图所示，设1-1截面上的剪力为Q1（按规定其图示
Q m ax
5P 3
M m ax
5P a 3
当梁上有几项载荷同时作用时，由每一项载荷所引起的梁的支座反力、剪力和弯矩都不受其他载荷的影响。这样，就可以先分别计算出梁在各项载荷作用下某一截面上的剪力和弯矩，再求出它们的代数和，即得到梁在这几项载荷共同作用下该截面上的剪力和弯矩。此即叠加法。
例11-4 如图所示，外伸简支梁，已知梁受均布荷载q作用，
内力与横截面位置坐标x间的函数关系式为
Q Q(x) M M (x)
剪力方程；弯矩方程。
2. 剪力图和弯矩图
剪力图
Q Q(x) 的图线表示；
弯矩图
M M (x) 的图线表示。
一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不
同而变化
剪力图、弯矩图
❖ 剪力、弯矩方程法
Q Q(x) M M (x)