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工程力学 弯曲内力)

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工程力学 第8章弯曲内力

工程力学 第8章弯曲内力
A
q
Me
B
纵
向
对称面
x
FAy
y
FBy
平面弯曲—荷载与反力均作用在梁 的纵向对称平面内，梁轴线也在该 平面内弯成一条曲线。
第一节
F
弯曲内力的概念
Me
B
纵 向 对称面
q
A
x
FAy FBy
y
二、单跨静定梁的基本形式：
第二节
剪力图与弯矩图
一、梁的内力——剪力和弯矩
图示简支梁在荷载及支座反力共同作用下处于平 衡状态。 求距离支座A为x的横截面m-m上的内力。
x 0, M 0
x l, M 0
1 1 x l , M ql 2 2 8
Qmax
ql 2
M max pl
四.内力图的一般规律
1. M、Q图规律：
外力情况 剪力图 上的特征 有荷载段 q<0 (向下) ↘(向下斜直线) 无荷载段 水平线 集中力F 作用处 有突变， 突变值为F 集中力偶M 作用处 不变
二．用方程法绘制梁的内力图 第二节 剪力图和弯矩图
例题2. 简支梁受集 中力作用如图 所示，求梁的 剪力方程和弯 矩方程，画出 Q、M图并确定 最大剪力和最 大弯矩。
例题分析2.简支梁受均布荷载作用如图所示，求梁的剪力方程和弯矩方程， 画Q、M图，确定最大剪力和最大弯矩。
解：（1）计算支座反力
R A RB 1 ql 2
剪力图和弯矩图
二.剪力图和弯矩图的作法： 取平行于梁轴的轴线表示截面位置 规定：正值的剪力画轴上侧， 正值的弯矩画轴下侧； 可先列内力方程再作其函数曲线图。 如悬臂梁： 当x=o, Q(x)=-P, x=l, Q(x)=-P-ql, M(x)=0 M(x)=-Pl-ql2/2

材料力学第四章 弯曲内力

材料力学第四章 弯曲内力

§4-4 剪力、弯矩和荷载集度之间的关系 二、内力图特征
外力 情况
FQ
q(x)=0
q(x)=C＜0 C
FQ FQ
②
F
m C
FQ图
特征
① ②
x
①
③
x
F
③
⑤ ④ ① ② ③
FQ
x x x x x
C ①
③
②
x
水平直线
③1 ③3 ③2
向下斜直线
C 处有突变 与F 方向一致
①
C 处无变化
② ③ ①
M图
特征
M
x
x2
x 72 8 x 88
x 3.6m

x1
dM ( x) FQ ( x)dx
x1
M 2 M1 FQ ( x)dx
x1
M1 0 M 2 72 2 144kN m CB段 F 72kN Q3 FQ4 72 20 8 88kN M3 72 2 160 16kN m M 4 20 2 20 2 1 80kN m
第4章 弯曲内力
例题5
q0 A
1 2 q0l
试作图示悬臂梁的剪力图和弯矩图
q (x) 一次直线
x
解： 1、求x截面荷载集度
B
l
q0 q ( x ) (l x ) l
2、列内力方程
二次曲线
FQ
1 2 6 q0l
三次曲线
M
1 1 q0 FQ ( x) q ( x)(l x) (l x) 2 2 2 l 1 1 M ( x) q( x)(l x) (l x) 2 3 q0 (l x)3 6l

工程力学弯曲内力)

工程力学弯曲内力)

•1．求支座反力；
•2．分段确定剪力图和弯矩图的形状；
•3．计算控制截面内力值，根据微分关系绘剪力图 和弯矩图；
•4．确定
和
。
•例 试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关
系校核图示的剪力图和弯矩图。
•Me =3qa2•q
•A
•B
•a •C
•x
•3a
•FS
•5qa/ 3
•8a/3
•M •5qa2/ 3
•可动 铰支座
•2、常见静定梁
• 悬臂梁：一端固定、 另一端自由的梁
• 简支梁：一端固定铰支 、另一端可动铰支的梁
• 外伸梁：具有一个或
•F
两个外伸部分的简支梁
•F •F
•F
•基本形式梁的约束反
力•(1)悬臂梁
•FR•xMR
•FR
•(2)简支梁
y
•FRx •FRy
•(3)外伸梁
1
•FRx
•FRy
•m
•B
•称为弯矩
•剪力和弯矩的符号规则：
•剪力：使微段有沿顺时 针方向转动趋势为正
•弯矩：使微段弯曲呈 下凹形为正
•截面法求剪力和弯矩的步骤: •(1)所求内力处截开截面,取一部分来研究; •(2)将该截面上内力设为正值; •(3)由平衡方程求解内力;
•例 求图示外伸梁在截面1—1、2—2、3—3和4—4
•例：利用微积分关系画剪力弯矩图
•qa/
•q
•A •B2 •C
•a/ •a/
•a
22
•5qa/
•F 8 •5qa/
•F S •+ 8 •qa/8
S •A •B •C
•-
•M
•3qa2/

工程力学第10章弯曲内力

工程力学第10章弯曲内力

例2、一外伸梁受力如图所示。试求D、B截面上的内力。
M 0 8KN.m
P=2KN
q=2KN/m
A D B
FBy
1m 2m 1m 1m
C
FAy
解：
1m
1、根据平衡条件求支座反力
M M
A
0 0
FBy 7 KN
FAy 3KN
B
2、求B、D截面上的内力?
求D左、D右、B左、B右截面上的内力。
NB
对称弯曲
F1
q
F2
M
纵向对称面
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都 在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴上且过弯曲中 心）。 变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条 平面曲线。
10.2
静定梁的分类（三种基本形式）
q(x) — 分布力
1、悬臂梁： L 2、简支梁： L 3、外伸梁： q — 均布力 F — 集中力 M — 集中力偶
P=2KN
A D
1m 1m 2m
B
C
1m 1m
FBy
FAy
D右截面： FQD右 Fy (右侧) FAy 3KN
M D右 M D (右侧) FAy 1 M o 3 8 5KN m
左
B左截面： FQB Fy (左侧) FAy q 3 3KN
M B右 M B左 FBy 0 M B左 5KN.m
亦可取梁的右侧的外力简化，但必须注意外力的符号变化。
0.8kN 1
A 1.5m 1.5m RA
2
1.2kN/m 例3、梁1-1、2-2截面处的内力。 解：（1）确定支座反力 B Fy 0, RA RB 0.8 1.2 3 0

工力041章弯曲内力

工力041章弯曲内力

RA l 2 l 2 RB
AC 段
RA
M(x)
x Q(x)
CB
AC程
段 y 0, RA Q(x) 0,
RA Q(x) P 2 ,
x (0, l ) 2
M 0, RA x M 0,
M RA x Px 2,
x [0, l ] 2
段M(x)
CB
Q(x) l x RB
段Q(x) RB P 2,
M
o
Q lx
RB
例题：简支梁，求1-1，2-2截面上的内力
P 8kN q 2kN m （1）求支反力RA、RB
1
2
M A 0,
A
B RB 4 2 23 81 0
1m 1m
2m
RA 1.5m 1
3m
2
P 8kN
M1
RB 5kN
RB
∑Y=0,
RA–8–2 2 + RB =0
RA= 7kN
M 弯矩
o
(Bending moment)
x Q 剪力(shear
force)
•利用梁弯曲后的形状可以快速判断梁内弯矩的符号. 例如
梁弯曲后的形状
P A
D
B
C
P
a
2a
a
+M
-M
M
Pa 2
Pa 2
取左侧位研究对象：
IP
Y 0: Q RA 0
x Il
Q RA
RA
RB
剪力Q — 截面一侧所有竖向分力的代数和;
2
M x ql x qx x, x [0,l]
22
q
RA
RA x
Q ql / 2

弯曲内力(工程力学)

弯曲内力(工程力学)
§5–1 弯曲的概念及实例 §5–2 梁的支座和荷载的简化
§5–3 剪力和弯矩
§5–4 剪力方程与弯矩方程，剪力图和弯矩图
§5–5 荷载集度、剪力和弯矩间的关系
§5–6 刚架和曲杆的弯曲内力（*）
§5–1 弯曲的概念及实例
一、弯曲的概念 1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。 P — 集中力
目录
也可通过积分方法确定剪力、 弯矩图上控 制截面处的数值。
dQx qx dx
dM x Qx dx
dQx qx dx
dM x Qx dx

b
a
dQx qx dx
b a
Qb Qa A(q) a
b
dM x Qxdx b M b M a AQ a
Q Q ( x) M M ( x)
剪力方程 弯矩方程
2. 剪力图和弯矩图：
剪力图
弯矩图
Q Q( x) 的图线表示 M M ( x) 的图线表示
建立坐标系.剪力图纵坐标以向上为正；弯矩图纵坐标以 向上为正.
3、作内力图步骤
1 求支反力：
2
列剪力方程和弯矩方程
a、取其中的一段梁在任意位置以假想截面截开
二、微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法： 根据载荷及约束力的作用位置，确定控 制面。 应用微分关系确定各段控制面之间的剪 力图和弯矩图的形状.
应用截面法确定控制面上的剪力和弯 矩数值。
建立 Q 一 x 和 M 一 x 坐标系，并将控制面上 的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。
进而画出剪力图与弯矩图。
对称弯曲也称为 平面弯曲。

《工程力学》教学课件第十一章弯曲内力

引发裂缝扩展
弯曲内力还可能导致结构中的裂缝扩展，进一步降低结构强度。
优化措施降低弯曲内力影响
合理布置荷载
通过合理布置荷载，降低结构 受到的弯曲内力，提高结构稳 定性。
采用预应力技术
对结构施加预应力，使结构在受到荷 载作用前产生一定的反弯曲内力，从 而抵消部分外荷载产生的弯曲内力。
加强结构刚度
增加结构刚度，提高结构抵抗 弯曲内力的能力，保证结构整 体性能。
机械工程
分析机械零件在受力时的弯曲变形和应力分布，提高零件的强度和刚 度，延长使用寿命。
案例分析中问题探讨
载荷与边界条件的确定
在实际工程中，如何准确确定结构所受的载荷和边界条件是进行 内力分析的关键问题。
内力与变形的计算精度
由于实际结构的复杂性和计算方法的局限性，如何保证内力和变形 计算的精度是另一个需要探讨的问题。
优化截面形状和尺寸
通过优化截面形状和尺寸，使 得截面在受力时能够更好地抵 抗弯曲内力，提高结构强度。
06 实验验证与工程应用案例
实验验证方法介绍
1 2
载荷实验
通过对实际结构或模型施加静态或动态载荷，观 察和分析结构的变形和内力分布情况。
应变测量
利用应变片、应变计等测量工具，定量测量结构 在载荷作用下的应变值，进而推算出内力大小。
性能。
弯曲内力与材料性质关系
弹性模量
材料的弹性模量越大，梁 的抗弯刚度越大，承受弯
曲内力的能力越强。
屈服强度
材料的屈服强度越高， 梁在承受弯曲内力时越 不容易发生塑性变形。
韧性
材料的韧性越好，梁在 承受弯曲内力时越不容
易发生脆性断裂。
疲劳强度
对于承受交变弯曲内力的 梁，材料的疲劳强度也是 一个重要的考虑因素。

工程力学-弯曲内力

如：桥梁下的辊轴支座等。
4. 三种形式的简单梁 ①简支梁
②悬臂梁
M — 集中力偶 q(x)— 分布力
③外伸梁
q — 均布力
P — 集中力
5. 静定梁与超静定梁
静定梁：由静力平衡方程可求出全部的支反力，如上述 三种形式的简单梁。
超静定梁：梁的支反力数目多于独立静力平衡方程数目， 仅由静力平衡方程不能求出全部支反力。
根据上述两点规律，便可直接由截面左侧或右侧梁段 上的外力计算该截面上的剪力、弯矩。
§4.4 剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
1.剪力方程和弯矩方程： 若以坐标 x 表示横截面沿梁轴线的位置，则
Q Q(x) M M (x) 2. 剪力图和弯矩图：
剪力方程 弯矩方程
剪力图
Q Q(x) 的图线表示
通常取梁的轴线来代替梁。
2. 载荷简化 梁上的载荷为作用于梁纵向对称平面内的平面力系，有
三种类型：集中力、集中力偶和分布载荷。
3. 支座简化
①固定端 A
3个约束，0个自由度。
如：游泳池的跳水板支座， MA
木桩下端的支座等。
XA YA
②固定铰支座 2个约束，1个自由度。
如：桥梁下的固定支座等。
③可动铰支座 1个约束，2个自由度。
§4.1 弯曲的概念和实例
一、弯曲的概念 1. 弯曲:直杆在纵向平面内受外力偶或受垂直于杆轴线的横向 外力的作用时,杆轴线变成了曲线，同时任意两个横截面绕 垂直于杆纵向平面的轴作相对转动，这种变形称为弯曲。
2. 梁：以弯曲变形为主的 杆件称为梁。
3. 对称弯曲：梁的横截面具有对称轴，从而梁具有纵向对称 平面，且外力（合力）作用在纵向对称平面内，则杆轴线 变形后成为纵向对称平面内的平面曲线，这种弯曲称对称 弯曲。

工程力学-弯曲内力)


横截面上的剪力和弯矩。
y
Me =3Fa
F
1A2 3 4
B
1 2 34
x
a
a
FA
2a
FB
解：支反力为
M A 0 FB 2a 3Fa F a 0
Fy 0
FB 2F () FB FA F FA 3F ()
y
F
1A2
12 a
FA
Me =3Fa
34 34
a 2a
B x
FB
截面1—1
F
例：试绘出图示有中间铰的静定梁的剪力弯矩图。
MA FAy F=50kN q=20kN/m
Me=5kN·m
FAx
AE
1m
CD
1m
3m
K
1m
B FBy
0.5m
已知： FAy 81kN
FBy 29kN() M A 96.5kN m (逆时针)
MA FAy F=50kN q=20kN/m
Me=5kN·m
称为弯矩
x
x
0 F
l
m
a l
x
FB B
剪力和弯矩的符号规则：
剪力：使微段有沿顺时 针方向转动趋势为正
弯矩：使微段弯曲呈 下凹形为正
截面法求剪力和弯矩的步骤: (1)所求内力处截开截面,取一部分来研究; (2)将该截面上内力设为正值; (3)由平衡方程求解内力;
例 求图示外伸梁在截面1—1、2—2、3—3和4—4
8a/3
qa/3 x
处无突变，故
FSC
FA
5 qa 3
FSB FSC q(2a)
1 3
q
MC
x-a
FSC

工程力学(材料力学)6 弯曲内力


重点
截面法求剪力和弯矩； 剪力方程和弯矩方程； 剪力图和弯矩图； 载荷集度、剪力和弯矩之间的关系。
难点
• 剪力和弯矩方向判定； • 剪力方程和弯矩方程的列法； • 三种作剪力图和弯矩图的方法； • 载荷集度、剪力和弯矩之间的关系。
第一节 平面弯曲的概念及梁的计算简图
一、平面弯曲的概念
工程实例
一致。 计算弯曲内力时，选用截面左侧还是右侧计算以计算简便为
原则。 集中力作用处，左、右两侧剪力不同，弯矩相同。 集中力偶作用处，左、右两侧剪力相同，弯矩不同。
剪力图和弯矩图
1.剪力方程和弯矩方程 内力与横截面位置坐标x间的函数关系式为
Q Q(x) M M(x)
剪力方程； 弯矩方程。
2. 剪力图和弯矩图
Байду номын сангаас
qx2
x2
(
a 2
,
3a ) 2
（3）绘制Q图和M图 。 （4）最大剪力和最大弯矩值。
Qmax
5qa 8
M max
9qa2 128
绘制剪力与弯矩方程时应注意：
截面上的剪力和弯矩始终假定为正向。由平衡方程所得结果的正 负号就与正负号规定相一致。
截面位置参数可以从坐标原点算起，也可以从另外的点算起，需 写清方程的适用范围即可。
方程的适用范围，在集中力（包括支座反力）作用处，剪力方程 应为开区间，在此处剪力图有突变；在集中力偶作用处，弯矩方程 应为开区间，在此处弯矩方程有突变。
若所得方程为x的二次或二次以上方程，则在作图时除计算该段的 端值外，应注意曲线的凸、凹向极值。
第三节 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
一、载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系
X 0 , FX A 0
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ql2 8
M max
ql 2 8
例 图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图 和弯矩图。
a
F C
l
b
A FA
x
B FB
解：1、求支反力
Fb FA l
Fa FB l
2、列剪力方程和弯矩方程 ——需分两段列出
a
F
C
l
b
A FA AC段 A FA
x x
B FB
M(x) FS(x)
Fa a x l M(x) FS x FB l Fa l x M x FB (l x) FS(x) l a x l
F
F F
F
基本形式梁的约束反力
(1)悬臂梁
FRx MR FRy
(2)简支梁 静定梁
FRx FRy1 FRy2
(3)外伸梁
FRx FRy1 FRy2
3、静定梁和超静定梁
静定梁 梁的支反力均可由平面力系的三个独立 的平衡方程求出。
超静定梁 梁的支反力单独利用平衡方程不能确定。
MA
A
FAy
FAx
B
FB
FS M
§10-3 剪力方程和弯矩方程 • 剪力图和弯矩图
剪力方程
FS FS ( x)
M M ( x)
弯矩方程
反映梁的横截面上的剪 力和弯矩随截面位置变 化的函数式
显示剪力和弯矩随截面位移的变化规律的图形则 分别称为剪力图和弯矩图。
例 图示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载作用。试 作梁的剪力图和弯矩图。
由其右边分离体的平衡条件同样可得 a FA m F 0

F
y
FB
B
FS F FB 0 F l a FS F FB l
A y FA
x
m
m M 称为剪力 C A x m x FS FS m MC 0 M C m M F a x FB l x 0
8a/3
M 5qa2/3
qa/3 x x qa2/18
d M x FS x 来复核弯矩值： 也可通过积分 dx 5 2 M C M A FS x d x 0 FS a qa AC 3
ql FA FB 2
FB
x
2 2 x qlx qx FS(x) M x FA x qx 2 2 2
3、作剪力图和弯矩图 q
A FS ql 2
l
ql FS x qx 2 B qlx qx2 M x 2 2
FS,max
M l/2
ql 2
FB
5 FS FA qa 3
x
qa/3 x
FA
FS(x)
1、 校核剪力图 CB段 q=常量<0
Me =3qa2 q
A
FA
剪力图为向右下方 FS 倾斜的斜直线 因C点处无集中力 作用，剪力图在该 处无突变，故
a
x
C 3a FB
B
x
5qa/3
8a/3 q
MC
qa/3 x
5 x-a FSC FA qa 3 FSC FS(x) 1 FSB FSC q(2a) qa 即FSB FB 3
A
3qa 2 q 2a a FA 3a 0
FB 3a 3qa q 2a 2a 0
2
1 FB qa 3
1、 校核剪力图 AC段 A
Me =3qa2 q FA
FS x a 5qa/3 8a/3 M(x) A C 3a
B x
q=0
剪力图为水平直线 剪力值
最基本常见的弯曲问题
——对称弯曲 对称轴 纵对称面 F1
F2
B
FB
A FA 对称弯曲时梁变形后轴线所在平面与外力所在平面 相重合，因而一定是平面弯曲。 梁变形后的轴线与外 力在同一平面内
Ⅱ、梁的计算简图
1、支座的基本形式 (2)固定铰支座和可动铰支座
固定铰 支座 可动铰 支座
(1)固定端
2、常见静定梁 悬臂梁：一端固定、 另一端自由的梁 简支梁：一端固定铰支、 另一端可动铰支的梁 外伸梁：具有一个或两 个外伸部分的简支梁
max
。
例 试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关 系校核图示的剪力图和弯矩图。 Me =3qa2 q B A x C a 3a 5qa/3 F
S
8a/3 M 5qa2/3
qa/3 x
x qa2/18
4qa2/3
Me =3qa2
A
q
B x
FA
a
C 3a
FB
解：支反力为
MB 0
M
0 5 FA qa 3
y O m m x q(x) n n dx F Me x M ( x) m FS(x) m n M(x)+dM(x) C n FS(x)+dFS(x)
F
y
0 0
FS x FS x d FS x q x d x 0
q ( x)
dx M x d M x M x FS x d x q x d x 0 2 d M x FS x d M x FS x d x dx
l
B
qx2 M x 2
FS
x M
FS,max ql
l/2
ql2 2
M max
ql 2
2
ql2 8
x
例 图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的 剪力图和弯矩图。 q
A FA x B
l
解：1、求支反力
2、列剪力方程和弯矩方程 q M(x) F x F qx ql qx S A A FA
x x
Fa b l
M
Fa l
a
F C l
b
A
FS
Fb l
B
b>a时
FS,max
Fa l
x 发生在AC段
Fb l
M max
x
Fab l
M
Fab l
发生在集中荷 载作用处
a b l / 2时，M max
Fl 为极大值。 4
例 图示简支梁在C点受矩为Me 的集中力偶作用。试 作梁的剪力图和弯矩图。 Me a b B A C FA FB l
0
FB FA F
FA 3F ()
y
F a 1A2 1 2 FA
Me =3Fa
3 4 3 4 B a
y
x FB
2a
FS1 F M1 F a 0 M1 C1 M 1 Fa 1 FS1 截面2—2 Fy 0 FS2 FA F 0 F FS2 FA F 2 F C2 2 M 2 MC2 0 M2 F a 0 FA 2 F S2
第十章 弯曲内力
§10-1 弯曲的概念及梁的计算简图
•弯曲实例
上图：水闸立柱 下图：跳板
Ⅰ、弯曲的概念 受力特点： 杆件受到垂直于杆轴线的外力（横向力）或外力 偶（其矢量垂直于杆轴）作用。 Me Me F
A
B
Me
Me
A
F
B
变形特点： 1、直杆的轴线在变形后变为曲线； 2、任意两横截面绕垂直于杆轴的轴作相对转动。 梁 ——以弯曲为主要变形的杆件通称为梁。
(3)由平衡方程求解内力;
例 求图示外伸梁在截面1—1、2—2、3—3和4—4 横截面上的剪力和弯矩。 y Me =3Fa F B 1A2 3 4 1 2 3 4 x a a FB FA 2a
解：支反力为
M F
y
A
0
FB 2a 3Fa F a 0
FB 2 F ()
M 3 Fa
FB
截面4—4
M4
FS4
4C4
4
FS4 FB 2 F M 4 FB a 0 M 4 2Fa
F
FA=3F 1 2 A1 2 1—1 -F -Fa
Me =3Fa FB =-2F 3 4 B 3 4 x 3 —3 2F Fa 4 —4 2F -2Fa
内力
2 —2 2F -Fa
A l x B
解：1、以自由端为坐标原点，则可不求反力 列剪力方程和弯矩方程： M(x) B FS x qx0 x l x FS(x) 2
x qx 0 x l M x qx 2 2
2、 作剪力图和弯矩图 A
ql
FS x qx
M
d FS x q x d x
d FS x q x dxC略去源自y O q(x)F
Me x
q(x)、FS(x)、M(x)间的微分关系
d FS x q x dx d M x FS x dx
d 2 M x q x 2 dx
l Me l x a x l CB段： M x FA x M e l
3、作剪力图和弯矩图
A a C l Me l b B
Fs M
Me FS x l x
Mea l x
b>a时 M max
M eb l 发生在C截面右侧
Meb l
思考：对称性与反对称性 FA F A
Fb 0 x a FS x l Fb M x x0 x a l
CB段 B FB
3、作剪力图和弯矩图 F b a A C l
FS
Fb l
Fb FS1 x l Fa B FS2 x l Fb M 1 x x l Fa l x M 2 ( x) l