下载文档原格式
一阶常微分方程的解法摘要：常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中，在整个数学中占有重要的地位。
本文对一阶常微分方程的解法作了简要的总结，并举例加以分析了变量可别离方程，线性微分方程，积分因子，恰当微分方程，主要归纳了一阶微分方程的初等解法，并以典型例题加以说明。
关键词：变量别离;积分因子;非齐次微分方程;常数变易法Solution of first-order differential equationAbstract: Differential equations, important parts of calculus, are widely used in the research of practical problems, which also play important role in mathematics. The solution of a differential equation is summarized briefly, and illustrates the analysis of variable separable equation, linear differential equation, integral factor, exact differential equation, mainly summarizes the elementary solution of first order differential equations, and the typical examples to illustrate.Keywords: variable separation; integral factor; non-homogeneous differential equation; constant variation method1. 引言一阶常微分方程初等解法,就是把常微分方程的求解问题转化为积分问题, 能用这种方法求解的微分方程称为可积方程. 本文通过对一阶微分方程的初等解法的归纳与总结，以及对变量别离，积分因子，微分方程等各类初等解法的简要分析，同时结合例题把常微分方程的求解问题化为积分问题，进行求解.2. 一般变量别离 2.1 变量可别离方程形如()()dyf xg y dx= 〔1.1〕 或 1122()()()()M x N y dx M x N y dy = 〔1.2〕 的方程，称为变量可别离方程。
第二章一阶微分方程的初等解法教学目的本章主要讨论变量分离的方程、齐次方程、线性方程、伯努利（Bernoulli）方程、恰当方程和一阶隐式方程等方程的解法。
教学要求能够识别方程的类型，熟练掌握各自的解法并能灵活应用。
教学重点分离变量法；一阶线性方程的通解公式；常数变易法；伯努利（Bernoulli）方程；恰当方程的定义、充要条件；积分因子的求法；四类隐式方程通解的求法教学难点用变量替换将某些方程转化为变量分离方程；常数变易法思想的理解；积分因子的求法；求解四类隐式方程的变量替换。
教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。
教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
课题导入微分方程的一个主要问题是”求解”,即把微分方程的解通过初等函数或它们的积分表达出来,但一般的微分方程无法求解,只能是对某些类型通过相应的方法求解,本章主要介绍一阶微分方程)(=y,F的一些可解类,xy('y,)'xfy=或0型和相应的求解方法------初等解法,即把微分方程求解问题化为积分问题.§2.1 变量分离方程与变量变换教学目的了解变量分离的一阶方程和可化为变量分离的一阶方程的类型，熟练掌握变量分离的一阶方程和可化为变量分离的一阶方程的解法。
教学要求深刻掌握变量分离的一阶方程的解法，并能利用变量变换方法来解可化为变量分离的一阶方程。
教学重点变量分离的一阶方程和可化为变量分离的一阶方程的类型及其求解方法；一阶线性方程的通解公式。
教学难点用变量替换将某些方程转化为变量分离方程。
教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。
教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
形如 )()(y x f dxdyϕ= (2.1) 的方程,称为变量分离方程.这里)(),(y x f ϕ分别是x,y 的连续函数. 一. 变量分离方程的求解.当0)(≠y ϕ时,将(2.1)改写成dx x f y dy)()(=ϕ,对上式两边积分得: ⎰⎰+=c dx x f y dy)()(ϕ (2.2)原函数的某一)(1y ϕ↑原函数的某一)(x f ↑由(2.2)所确定的函数),(c x y ϕ=就为(2.1)的通解. 例1. 求微分方程)101(yy dx dy -=的所有解. 解: 方程两边同除以)101(yy -,再积分得1)101(⎰⎰+=-c dx y y dy ,两边积分得110lnc x yy+=-,从上式中解出从上式中解出,再将常数设为c,得,0,110≠+=-c ce y x由0)101(=-yy 求出方程的常数解为y=0和y=10,故方程的所有解为.0,,110=+=-y c ce y x 和为任意常数例2. 求微分方程23y dxdyx =的通解.解:分离变量后得dx xdy y 123=-两边积分得121ln 2c x y +=--整理后得通解为:,,)(ln 4)(ln 41221c e c cx c x y ==+=其中由于函数在x=0无意义,故此解只是在x>0或x<0中有定义.此多此一举这有解y=0,这个解无法从通解中选取常数c 而得到,所以不是解.例3、求方程 y x P dx dy)(= 的通解。
一阶电路零状态响应公式一阶电路是指由一个电感和一个电阻构成的电路。
在电路中加入一个电压源，开关打开时，电路处于零状态（即初始状态），此时电感中存储的能量为零。
当开关关闭时，电感开始储存能量，电流开始流动。
我们可以通过一阶电路的零状态响应公式来描述电路在零状态下的响应情况。
在一阶电路中，电感的电压满足以下微分方程：Ldi/dt + Ri = V(t)其中，L是电感的感值（单位是亨），R是电阻的阻值（单位是欧姆），i是电流（单位是安培），V(t)是输入电压（单位是伏特），t是时间（单位是秒）。
根据电压-电流关系（Ohm's Law）可以得到：V(t) = Ri + Ldi/dt我们可以对上述微分方程进行求解，得到一阶电路的零状态响应公式。
假设在时刻t=0，电路处于零状态，即电流i(0)=0。
根据初始条件，我们可以解得零状态下的电流i(t)的表达式：i(t) = (V/R)(1 - e^(-t/(L/R)))其中，e是自然对数的底数。
从上述公式可以看出，一阶电路的零状态响应是一个指数衰减函数。
当时间t趋近于无穷大时，指数项e^(-t/(L/R))趋近于零，此时电流i(t)趋近于V/R，即电路达到稳态。
通过一阶电路的零状态响应公式，我们可以推测电路在初始状态下的响应情况。
这对于设计和分析电路的性能非常重要。
例如，我们可以通过该公式来预测电路的响应时间、电流的变化趋势等。
需要注意的是，一阶电路的零状态响应公式是基于一些假设和简化条件得出的。
实际电路中可能存在其他因素的影响，如电容、非线性元件等。
因此，在实际应用中需要根据具体情况进行修正和调整。
总结一下，一阶电路的零状态响应公式是描述电路在零状态下的响应情况的重要工具。
通过该公式，我们可以推测电路的响应时间和电流的变化趋势。
但在实际应用中，需要考虑其他因素的影响，并根据具体情况进行修正和调整。
