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第三章 一阶微分方程的解的存在定理教学目的讨论一阶微分方程的解的存在与唯一性定理，解的延拓定理，解对初值的连续性与可微性定理，解对参数的连续性定理教学要求掌握存在与唯一性定理及其证明，会用皮卡逼近法求近似解，理解解对初值的连续性与可微性定理，解对参数的连续性定理，了解奇解及其求法。
教学重点几个主要定理的条件及其证明 教学难点逐次逼近法的应用及其思想；应用存在与唯一性定理及解的延拓定理来研究方程的解；奇解及其求法教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。
教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
课题导入在上一章我们讨论了一阶方程的解的初等积分法。
解决了几个特殊的方程。
但是，对许多微分方程，为22'y x y +=，不可能通过初等积分法求解，这就产生了一个问题，一个不能用初等积分法求解的微分方程是否意味着没有解呢？或者说，一个微分方程的初值问题在何种条件下一定有解呢？当有解时，农的解是否是唯一的呢？毫无疑问，这是一个很基本的问题，不解决这个问题对微分方程的进一步研究，就无从谈起，本章将重点讨论一阶微分方程的解存在问题的唯一定理，§3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法教学目的讨论Picard 逼近法及一阶微分方程的解的存在与唯一性定理，解的延拓定理，解对初值的连续性与可微性定理。
教学要求熟练掌握Picard 逼近法，并用它证明一阶微分方程初值问题解的存在与唯一性定理及其证明，会用Picard 逼近法求近似解， 教学重点Picard 存在唯一性定理及其证明教学难点逐次逼近分析法的应用及其思想.教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。
教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
一． 存在唯一性定理1．定理1，考虑初值问题),(y x f dxdy= （3.1）00)(y x y =其中f(x,y)在矩形区域R ： b y y a x x ≤-≤-||,||00 （3.2）上连续，并且对y 满足Lipsthits 条件：即存在常数L>0，使对所有R y x y x ∈),(),,(21常存成立，|||),(),(|2121y y L y x f y x f -≤-则初值问题（cauchy 问题）（3.1）在区间h x x ≤-||0上解存在唯一，这里|),(|max ),,min(),(y x f M Mba h R y x ∈==证明思路：1.初值问题（3.1）的解存在等价一动积分方程⎰+=x x dy y x f y y 0),(0（3.5）的连续解。
第三章一阶微分方程的解的存在定理本章重点介绍和证明一阶微分方程的解的存在唯一性定理,并叙述解的一些性质,如解的延拓,解对初值的连续性和可微性等.教学目的1.掌握可分离变量方程的解法；2.掌握齐次型方程的解法。
教学重点、难点可化为齐次型方程的解法；教学时数12学时§3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法教学目的1.理解存在唯一性定理；2.了解逐步逼近法。
教学重点、难点存在唯一性定理与逐步逼近法； 教学时数 4学时 教学过程3.1.1 存在唯一性定理1. 考虑导数已解出的一阶微分方程)1.3)(,(y x f dxdy= f (x ,y ) 在矩阵区域 R | x -x 0 | ≤ a , | y -y 0 | ≤ b 上连续.利普希茨条件 若对函数 f (x ,y ) 存在常数 L >0 ,使得对所有 (x , y 1), (x , y 2) ∈R 都成立不等式 | f (x ,y 1)- f (x ,y 2) | ≤ L | y 1- y 2 |,则称函数 f (x ,y ) 在 R 上满足利普希茨条件.定理1 如果f (x ,y ) 在矩形区域 R 上连续且关于 y 满足利普利茨条件,则方程(3.1)存在唯一的解y =ϕ(x ), 定义于区间 | x -x 0 | ≤ h 上,连续且满足初值条件 ϕ(x 0)=y 0.|),(|max ),,min( ),(y x f M Mba h R y x ∈==其中.采用皮卡(Picard)的逐步逼近法来证明.区间取为 x 0≤x ≤x 0+h . 皮卡逐步逼近法(思路)(1)证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程⎰+=xx dx y x f y y 0),(0的连续解;(2)取一连续函数 ϕ0(x ) 进行迭代求解,构造函数序列: ϕ0(x ), ϕ1(x ), ϕ2(x ),… ϕn (x );⎰+=x x x x x f y x 0d ))(,()(001ϕϕ⎰+=xx x x x f y x 0d ))(,()(102ϕϕ⎰+=x x x x x f y x 0d ))(,()(203ϕϕ…⎰-+=xx n n x x x f y x 0d ))(,()(10ϕϕ(3)如果上述过程可无限地进行,则证明此过程构造的函数列收敛于某一连续函数ϕ(x ); (4)证明上述解是唯一的;命题1 设y =ϕ(x )是方程(3.1)的定义于区间 x 0≤x ≤x 0+h 上,满足初值条件 ϕ(x 0)=y 0 的解,则 y =ϕ(x ) 是积分方程)5.3(),(00⎰+=xx dx y x f y y的定义于 x 0≤x ≤x 0+h 上的连续解,反之亦然.证明：“=>”由y =ϕ(x )是方程(3.1)的定义于区间 x 0≤ x ≤ x 0+h 上,满足初值条件 ϕ(x 0)=y 0 的解有))(,(d )(d x x f xx ϕϕ= 两边从x 0到x 积分可得⎰⎰=x x xx x x x,f x 0))d (()(d ϕϕ⎰=-⇒xx x x x,f x x 0))d (()()(0ϕϕϕ将初始条件 ϕ(x 0)=y 0 代入即得到⎰+=xx x x x,f y x 0))d (()(0ϕϕ所以y =ϕ(x )是积分方程(3.5)的定义于 x 0≤x ≤x 0+h 上的连续解.“<=”设y =ϕ(x )是积分方程(3.5)的定义于 x 0≤x ≤x 0+h 上的连续解,则有⎰+=xx x x x,f y x 0))d (()(0ϕϕ两边对x 求导得),())(,()(y x f x x f x y =='=ϕϕ又上述积分方程显然满足初始条件,所命题成立.现取 ϕ0(x )=y 0 ,构造皮卡逐步逼近函数序列:)7.3(,...2,1,d ))(,()( ,d ))(,()()(01000100⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+=+==⎰⎰-n t t t f y x t t t f y x y x xx n n xx ϕϕϕϕϕ命题2 对于所有的 n ,函数 ϕn (x ) 在 x 0≤x ≤x 0+h 上有定义,连续且满足不等式 | ϕn (x )-y 0 | ≤ b . 证明： (用数学归纳法)当 n =1 时,⎰+=xx t t t f y x 0d ))(,()(001ϕϕ,显然在x 0≤x ≤x 0+h 上是有定义,并是连续的;并且⎰=-xx t t t f y x 0d ))(,(|)(|001ϕϕ⎰≤x x t t t f 0d |))(,(|0ϕ⎰≤xx t M 0d )(0x x M -≤b x x M ≤-≤)(0,命题成立;假设命题当 n =k 时成立,即⎰-+=xx k k t x t f y x 0d ))(,()(10ϕϕ在x 0≤x ≤x 0+h 上是有定义、连续用满足b y x k =≤-|)(|0ϕ则⎰+=+xx k k t x t f y x 0d ))(,()(01ϕϕ由于ϕk (x )的连续性,知ϕk +1(x )在x 0≤x ≤x 0+h 也显然上是有定义和连续的. 并且=-+|)(|01y x k ϕ⎰xx k t x t f 0d ))(,(ϕ⎰≤xx k t x t f 0d |))(,(|ϕb x x M ≤-≤)(0所以当n =k 时命题也成立,从而命题2对一切 n ∈N 都成立.命题3 函数序列 {ϕn (x )} 在 x 0≤x ≤x 0+h 上是一致收敛的. 证明：由级数与数列的关系:级数收敛等价于部分和数列收敛. 考虑级数∑∞=--+110)]()([)(k k kx x x ϕϕϕ,它的部分和恰为)()]()([)(110x x x x n nk k k ϕϕϕϕ=-+∑=-因此要证明函数序列 {ϕn (x )} 在 x 0≤x ≤x 0+h 上一致收敛只须证明上述级数一致收敛即可.⎰≤-xx dt t t f x x 0))(,(||)()(|001ϕϕϕ )(0x x M -≤⎰-≤-xx dt t t f t t f x x 0|))(,())(,(||)()(|0112ϕϕϕϕ由于函数f (x ,y )对y 满足利普希茨条件 | f (x ,y 1)- f (x ,y 2) | ≤ L | y 1- y 2 | 则有⎰-xx dt t t f t t f 0|))(,())(,(|01ϕϕ⎰-≤x x dt t t L 0|)()(|01ϕϕ⎰-≤xx dt x t M L 0)(020)(2x x ML-=同理⎰-≤-xx dt t t f t t f x x 0|))(,())(,(||)()(|1223ϕϕϕϕ⎰-≤xx dt t t L 0|)()(|12ϕϕ⎰-≤xx dt x t ML 0202)(2302)(!3x x ML -= 设对正整数 k 有k k k k x x k ML x x )(!|)()(|011-≤---ϕϕ 则对正整数 k +1 有⎰-+-≤-xx k k k k dt t t f t t f x x 0|))(,())(,(||)()(|11ϕϕϕϕ⎰--≤xx k k dt t t L 0|)()(|1ϕϕ⎰-≤xx kkdt x t k ML 0)(!010)()!1(+-+=k k x x k ML从而由数学归纳法知对任一正整数 n 有n n n n x x n ML x x )(!|)()(|011-≤---ϕϕ从而对级数而言有∑∞=--+110)]()([)(k k k x x x ϕϕϕ∑∞=--+≤1010)(!)(k nn x x n L M x ϕ∑∞=-+≤110!)(k n n n h L M x ϕ 上式是收敛的正项级数,因此由M 判别法(魏尔斯特拉斯判别法)知,左端的级数收敛,故函数列 {ϕn (x )}在 x 0≤ x ≤x 0+h 上一致收敛.命题4 ϕ(x )是积分方程(3.5)的定义于 x 0≤x ≤x 0+h 上的连续解.证明：因为函数列{ϕn (x )}一致收敛于ϕ(x ),加之利普希茨条件 | f (x , ϕn (x ))- f (x , ϕ(x )) | ≤ L | ϕn (x )- ϕ(x ) | 可知函数列{ f (x , ϕn (x ))}收敛于f (x , ϕ(x )). 因此,两边取极限有⎰-∞→∞→+=x x n n n n dt t t f y x 0))(,(lim )(lim 10ϕϕ⎰+=xx dt t t f y x 0))(,()(0ϕϕ所以ϕ(x )是积分方程定义于 x 0≤x ≤x 0+h 上的连续解.命题5 设 ψ(x ) 是积分方程(3.5)的定义于 x 0≤x ≤x 0+h 上的另一连续解,则 ϕ(x )= ψ(x ). 证明:由命题1可知⎰+=xx t t t,f y x 0))d (()(0ψψ只要证明 ψ(x ) 也是函数列 {ϕn (x )} 的极限函数即可. 由于⎰≤-xx t t t f x x 0d |))(,(||)()(|0ψψϕ)(0x x M -≤=-|)()(|1x x ψϕ⎰-≤xx dt t t f t t f 0|))(,())(,(|0ψϕ⎰-≤xx dt t t L 0|)()(|0ψϕ200)(2)(0x x LMdt t t LM xx -=-≤⎰ 假设对正整数 n -1 时有|)()(|1x x n ψϕ--n n x x n ML )(!01-≤- 则对正整数 n 有|)()(|x x n ψϕ-⎰-≤-xx n dt t t f t t f 0|))(,())(,(|1ψϕ⎰-≤-xx n dt t t L 0|)()(|1ψϕ100)()!1()(!0+-+=-≤⎰n n xx nn x x n M L dt t t n M L 因此,由数学归纳法可和,上述公式对所有正整数都成立. 即1)!1(|)()(|++≤-n n n h n M L x x ψϕ上式右端是收敛级数的一般项,当 n →∞ 时它趋于零,因而函数列 {ϕn (x )} 一致收敛于 ψ(x ) ,由极限的唯一性,有 ψ(x )= ϕ(x ) .注1 存在唯一性定理中数 h 的几何意义.注2 由于利普希茨条件比较难检验,常用 f (x ,y ) 在 R 上有对 y 的连续偏导数来代替. 注3 设方程(3.1)是线性的,即方程为)()(x Q y x P dxdy+= 那么当 P (x ), Q (x ) 在区间 [α ,β]上连续时,定理1的条件能满足.2. 考虑一阶隐式方程 F (x , y , y ')=0由隐函数定理,若在点 (x 0, y 0, y '0) 的某邻域内 F 连续且 F (x 0, y 0, y '0)=0 而0≠'∂∂y f,则 y ' 唯一地表示为 x , y 的函数,且 f (x , y ) 在点 (x 0, y 0) 的某邻域内连续且满足y '0= f (x 0, y 0).定理2 如果在点 (x 0, y 0, y '0) 的某一邻域中(1) F (x , y , y ')对所有变量 x , y 及 y ' 连续,且存在连续偏导函数; (2) F (x 0, y 0, y '0)=0 (3)0),,(000≠'∂'∂y y y x F则方程(3.15)存在唯一解 y =y (x ), | x -x 0 | ≤ h ( h 是足够小的正数) 满足初值条件 y (x 0)=y 0, y '(x 0)= y '0.3.1.2 近似计算和误差估计第 n 次近似解 ϕn (x ) 和真实解 ϕ(x ) 在区间 | x -x 0 | ≤ h 内的误差估计式1)!1(|)()(|++≤-n n n h n ML x x ϕϕ.例1 方程22y x dxdy+=定义在矩形域 R : -1≤ x ≤1, -1≤ y ≤1 上,试利用存在唯一性定理确定经过点 (0, 0) 的解的存在区间,并求此区间上与真正解的误差不超过0.05的近似解的表达式. 解：2|),(|max ),(==∈y x f M Ry x 21}21,1min{},min{===M b a h 利普希茨常数 L =2 :2|2|≤=∂∂y yf由题意,第n 次近似解 ϕn (x ) 和真实解 ϕ(x ) 的误差不超过0.05,即1)!1(|)()(|++≤-n n n h n M L x x ϕϕ121)!1(22+⋅+⨯=n n n )!1(1+=n 20105.0=< 即取 n =3 即可,从而可作如下近似计算0)(0=x ϕ3))((0)(302021x dt t t x x=++=⎰ϕϕ⎰+=xdt t t x 02122))(()(ϕϕ⎰+=xdt t t 062)9(63373x x +=⎰+=xdt t t x 02223))(()(ϕϕ⎰+++=xdt t t t t 0141062)396918929(5953520792633151173x x x x +++= ϕ3(x )即为所求的近似解.作业: P88,2.§3.2 解的延拓教学目的1.理解解的延拓的概念与条件；2.会将方程的解在指定区间上延拓。
第三章一阶微分方程解的存在定理[教学目标]1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。
2.了解解的延拓定理及延拓条件。
3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。
[教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。
[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 12学时[教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。
[考核目标]1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。
2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。
3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。
§1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。
在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。
而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。
因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。
他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。
例如方程过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2y x =或更一般地，函数都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。
解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。
另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。
第三章一阶微分方程解的存在定理[教学目标]1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。
2.了解解的延拓定理及延拓条件。
3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。
[教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。
[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 12学时[教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。
[考核目标]1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。
2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。
3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。
§1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。
在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。
而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。
因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。
他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。
例如方程dydx=过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2y x =或更一般地，函数20 0() c<1x cy x c x ≤≤⎧=⎨-≤⎩ 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。
解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。
第三章 一阶微分方程解的存在定理[教学目标]1. 理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。
2. 了解解的延拓定理及延拓条件。
3. 理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。
[教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。
[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 12学时[教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。
[考核目标]1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。
2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。
3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。
§1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。
在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。
而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。
因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。
他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。
例如方程dydx=过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2y x =或更一般地，函数20 0() c<1x cy x c x ≤≤⎧=⎨-≤⎩都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。
解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。
第三章 一阶微分方程的解的存在定理研究对象初值问题(Cauchy Problem)⎪⎩⎪⎨⎧==(3.2)3.1) 00)((),(y x y y x f dx dy 1 基本概念1）利普希兹(Lipschitz)条件函数),(y x f 称为在闭矩形区域 b y y a x x D ≤-≤-00,:上关于y 满足利普希兹条件，如果存在常数0>L 使得不等式2121),(),(y y L y x f y x f -≤-对所有D y x y x ∈),(),,(21都成立。
其中L 称为利普希兹常数。
2 ）局部利普希兹条件称函数),(y x f 在区域2R G ⊂内关于y 满足局部利普希兹条件，如果对区域G 内的每一点，存在以其为中心的完全含于G 内的矩形域D ，在D 上),(y x f 关于y 满足利普希兹条件。
注意：对G 内不同的点，矩形域D 大小和常数L 可能不同。
3）一致利普希兹条件称函数),,(λy x f 在区域{}βλαG y x λy x G λ<<∈=,),(),,(R R ⨯⊂2内一致地关于y 满足局部利普希兹条件，如果对λG 内的每一点),,(λy x 都存在以),,(λy x 为中心的球λG S ⊂，使得对任何),,(1λy x ，S λy x ∈),,(2成立不等式2121),,(),,(y y L y x f y x f -≤-λλ其中L 是与λ无关的正数。
4）解的延拓设方程(3.1)右端函数),(y x f 在某一有界区域G 中有意义，],[),(b a x x y ∈=ϕ是初值问题(3.1)、(3.2)的解，若],[),(11b a x x y ∈=ψ也是初值问题的解，且],[],[11b a b a ⊂，当],[b a x ∈时，)()(x x ψϕ≡，则称解)(x ψ是解)(x ϕ在区间],[b a 上的一个延拓。
5）包络和奇解曲线族的包络是指这样的曲线，它本身并不包含在曲线族中，但过这条曲线上的每一点，有曲线族中的一条曲线与其在此点相切。
一阶常微分方程解的存在唯一性定理与逐步逼近法3.1.1 存在唯一性定理1）首先考虑导数已解出的一阶微分方程(3.1.1.1)这里是在矩形域(3.1.1.2)上的连续函数。
定义1 如果存在常数，使得不等式对于所有都成立，则函数称为在上关于满足利普希茨（Lipschitz）条件，称为利普希茨常数。
定理3.1 如果在上连续且关于满足利普希茨条件，则方程(3.1.1.1)存在唯一的解，定义于区间上，连续且满足初始条件(3.1.1.3)这里，。
我们采用皮卡（Picard）的逐步逼近法来证明这个定理。
为简单起见，只就区间来讨论，对于的讨论完全一样。
现在简单叙述一下运用逐步逼近法证明定理的主要思想。
首先证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程的连续解。
然后去证明积分方程的解的存在唯一性。
任取一个连续函数代入上面积分方程右端的,就得到函数，显然也是连续函数，如果,那末就是积分方程的解。
否则,我们又把代入积分方程右端的，得到，如果，那末就是积分方程的解。
否则我们继续这个步骤。
一般地作函数(3.1.1.4)这样就得到连续函数序列：，，…，，….如果，那末就是积分方程的解。
如果始终不发生这种情况，我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数，即存在，因而对(3.1.1.4)取极限时，就得到即，这就是说是积分方程的解。
这种一步一步地求出方程的解的方法就称为逐步逼近法。
由(3.1.1.4)确定的函数称为初值问题(3.1.1.1)、(3.1.1.3)的第次近似解。
在定理的假设条件下，以上的步骤是可以实现的。
下面我们分五个命题来证明定理1。
命题1设是方程(3.1.1.1)的定义于区间上，满足初始条件(3.1.1.3)的解，则是积分方程(3.1.1.5) 的定义于上的连续解。
反之亦然。
证明因为是方程(3.1.1.1)的解，故有，两边从到取定积分得到把(3.1.1.3)代入上式，即有因此，是(3.1.1.5) 的定义于上的连续解。
第三章 一阶微分方程解的存在定理[教学目标]1. 理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。
2. 了解解的延拓定理及延拓条件。
3. 理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。
[教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。
[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 12学时[教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。
[考核目标]1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。
2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。
3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。
§1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。
在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。
而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。
因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。
他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。
例如方程dydx=过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2y x =或更一般地，函数20 0() c<1x cy x c x ≤≤⎧=⎨-≤⎩都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。
解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。
另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。
而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。
1．存在性与唯一性定理： （1）显式一阶微分方程),(y x f dxdy= （3.1）这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2）上连续。
定理1：如果函数),(y x f 满足以下条件：1）在R 上连续：2）在R 上关于变量y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数0L >，使对于R 上任何一对点1(,)x y ，2(,)x y 均有不等式1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-成立，则方程（3.1）存在唯一的解()y x ϕ=，在区间0||x x h -≤上连续，而且满足初始条件00()x y ϕ= （3.3）其中,min(,),max (,)x y R bh a M f x y M∈==,L 称为Lipschitz 常数.思路：1） 求解初值问题(3.1)的解等价于积分方程 00(,)xx y y f x y dx =+⎰的连续解。
2） 构造近似解函数列{()}n x ϕ任取一个连续函数0()x ϕ，使得00|()|x y b ϕ-≤，替代上述积分方程右端的y ，得到100()(,())xx x y f x x dx ϕϕ=+⎰如果10()()x x ϕϕ≡，那么0()x ϕ是积分方程的解，否则，又用1()x ϕ替代积分方程右端的y ，得到 0201()(,())xx x y f x x dx ϕϕ=+⎰如果21()()x x ϕϕ≡，那么1()x ϕ是积分方程的解，否则，继续进行，得到 001()(,())xn n x x y f x x dx ϕϕ-=+⎰（3.4） 于是得到函数序列{()}n x ϕ.3） 函数序列{()}n x ϕ在区间00[,]x h x h -+上一致收敛于()x ϕ，即 lim ()()n n x x ϕϕ→∞=存在，对(3.4)取极限,得到00010lim ()lim (,()) =(,())xn n x n n xx x y f x x dxy f x x dx ϕϕϕ-→∞→∞=++⎰⎰即00()(,())xx x y f x x dx ϕϕ=+⎰.4) ()x φ是积分方程00(,)xx y y f x y dx =+⎰在00[,]x h x h -+上的连续解.这种一步一步求出方程解的方法——逐步逼近法.在定理的假设条件下,分五个命题来证明定理. 为了讨论方便,只考虑区间00x x x h ≤≤+,对于区间00x h x x -≤≤的讨论完全类似. 命题1 设()y x ϕ=是方程(3.1)定义于区间00x x x h ≤≤+上,满足初始条件00()x y ϕ= （3.3） 的解,则()y x ϕ=是积分方程 00(,)xx y y f x y dx =+⎰00x x x h ≤≤+ (3.5)的定义于00x x x h ≤≤+上的连续解.反之亦然.证明 因为()y x ϕ=是方程(3.1)满足00()x y ϕ=的解,于是有()(,())d x f x x dxϕϕ= 两边取0x 到x 的积分得到 00()()(,())xx x x f x x dx ϕϕϕ-=⎰00x x x h ≤≤+即有00()(,())xx x y f x x dx ϕϕ=+⎰00x x x h ≤≤+所以()y x ϕ=是积分方程00(,)xx y y f x y dx =+⎰定义在区间00x x x h ≤≤+上的连续解.反之,如果()y x ϕ=是积分方程(3.5)上的连续解,则00()(,())xx x y f x x dx ϕϕ=+⎰ 00x x x h ≤≤+ （3.6）由于),(y x f 在R 上连续,从而(,())f x x ϕ连续,两边对x 求导,可得()(,())d x f x x dxϕϕ= 而且 00()x y ϕ=,故()y x ϕ=是方程(3.1)定义在区间00x x x h ≤≤+上,且满足初始条件00()x y ϕ=的解. 构造Picard 的逐次逼近函数序列{()}n x ϕ.0000100()()(,()) x nn x x y x y f d x x x h ϕϕξϕξξ-=⎧⎪⎨=+≤≤+⎪⎩⎰(1,2,)n = （3.7）命题2 对于所有的n ，（3.6）中的函数()n x ϕ在00x x x h ≤≤+上有定义，连续且满足不等式 0|()|n x y b ϕ-≤ （3.8） 证明 用数学归纳法证明 当1n =时，0100()(,)xx x y f y d ϕξξ=+⎰，显然1()x ϕ在00x x x h ≤≤+上有定义、连续且有10000|()||(,)||(,)|()xxx x x y f y d f y d M x x Mh b ϕξξξξ-=≤≤-≤≤⎰⎰即命题成立.假设n k =命题2成立，也就是在00x x x h ≤≤+上有定义、连续且满足不等式 0|()|k x y b ϕ-≤ 当1n k =+时，10()(,())xk k x x y f dx ϕξϕξ+=+⎰由于),(y x f 在R 上连续,从而(,())k f x x ϕ在00x x x h ≤≤+上连续，于是得知1()k x ϕ+在00x x x h ≤≤+上有定义、连续,而且有100|()||(,())|()xk k x x y f d M x x Mh b ϕξϕξξ+-≤≤-≤≤⎰即命题2对1n k =+时也成立.由数学归纳法知对所有的n 均成立.命题3 函数序列{()}n x ϕ在00x x x h ≤≤+上是一致收敛的.记lim ()()n n x x ϕϕ→∞=,00x x x h ≤≤+证明 构造函数项级数 011()[()()]kk k x x x ϕϕϕ∞-=+-∑ 00x x x h ≤≤+ (3.9)它的部分和为011()()[()()]()nn kk n k S x x x x x ϕϕϕϕ-==+-=∑于是{()}n x ϕ的一致收敛性与级数(3.9)的一致收敛性等价. 为此，对级数(3.9)的通项进行估计.1000|()()||(,())|()xx x x f d M x x ϕϕξϕξξ-≤≤-⎰ (3.10)2110|()()||(,())(,())|xx x x f f d ϕϕξϕξξϕξξ-≤-⎰由Lipschitz 条件得知2110020|()()||()()|ξ() ()2!xx xx x x L d L M x d MLx x ϕϕϕξϕξξξ-≤-≤-≤-⎰⎰设对于正整数n ,有不等式110|()()|() !n n n n ML x x x x n ϕϕ---≤- 成立,则由Lipschitz 条件得知,当00x x x h ≤≤+时,有0111010|()()||(,())(,())| |()()|ξ() !()(+1)!xn n n n x xn n x n x nx nn x x f f d L d ML x d n ML x x n ϕϕξϕξξϕξξϕξϕξξξ+--+-≤-≤-≤-≤-⎰⎰⎰于是由数学归纳法可知, 对所有正整数k ,有1110|()()|() !!k k kk k k ML ML x x x x h k k ϕϕ----≤-≤ 00x x x h ≤≤+ (3.11)由正项级数11!kK k h MLk ∞-=∑ 的收敛性,利用Weierstrass 判别法,级数(3.9)在00x x x h ≤≤+上一致收敛.因而序列{()}n x ϕ在00x x x h ≤≤+上一致收敛. 设lim ()()n n x x ϕϕ→∞=,则()x ϕ也在00x x x h ≤≤+上连续,且0|()|x y b ϕ-≤命题4 ()x ϕ是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的连续解.证明 由Lipschitz 条件|(,())(,())||()()|n n f x x f x x L x x ϕϕϕϕ-≤-以及{()}n x ϕ在00x x x h ≤≤+上一致收敛于()x ϕ,可知(,())n f x x ϕ在00x x x h ≤≤+上一致收敛于(,())f x x ϕ.因此000101lim ()lim (,())=lim (,())xn n x n n xn x n x y f d y f d ϕξϕξξξϕξξ-→∞→∞-→∞=++⎰⎰即 00()(,()) xn x x y f d ϕξϕξξ=+⎰故()x ϕ是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的连续解.命题 5 设()x ψ是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的一个连续解,则()()x x ϕψ≡,00x x x h ≤≤+.证明 设()|()()|g x x x ϕψ=-,则()g x 是定义在00x x x h ≤≤+的非负连续函数,由于 00()(,()) xx x y f d ϕξϕξξ=+⎰0()(,()) xx x y f d ψξψξξ=+⎰而且(,)f x y 满足Lipschitz 条件,可得()|()()||[(,())(,())]||(,())(,())| |()()|()xx xx xxx x g x x x f f d f f d L d L g d ϕψξϕξξψξξξϕξξψξξϕξψξξξξ=-=-≤-≤-=⎰⎰⎰⎰令0()()xx u x Lg d ξξ=⎰,则()u x 是00x x x h ≤≤+的连续可微函数,且0()0u x =,0()()g x u x ≤≤,()()u x Lg x '=,()()u x Lu x '≤,(()())0Lx u x Lu x e -'-≤,即(())0Lxu x e-'≤,于是在00x x x h ≤≤+上, 00()()0Lx Lx u x e u x e --≤=故()()0g x u x ≤≤,即()0g x ≡,00x x x h ≤≤+,命题得证.对定理说明几点:(1)存在唯一性定理中min(,)bh a M=的几何意义.在矩形域R 中(,)f x y M ≤,故方程过00(,)x y 的积分曲线()y x ϕ=的斜率必介于M -与M 之间,过点00(,)x y 分别作斜率为M -与M 的直线. 当b M a ≤时，即b a M ≤,（如图(a)所示），解()y x ϕ=在00x a x x a -≤≤+上有定义；当b M a≥时,即ba M≤,（如图(b)所示），不能保证解在00x a x x a -≤≤+上有定义，它有可能在区间内就跑到矩形R 外去，只有当00b bx x x M M -≤≤+才能保证解()y x ϕ=在R 内，故要求解的存在范围是 0||x x h -≤.(2)、 由于李普希兹条件的检验是比较费事的，而我们能够用一个较强的，但却易于验证的条件来代替他，即如果函数),(y x f 在矩形域R 上关于y 的偏导数),('y x f y 存在并有界，即'(,)y f x y L ≤，则李普希兹条件条件成立. 事实上212121212(,())|(,)(,)|||||||f x y y y f x y f x y y y y L y y θ∂+--=-∂≤-这里12(,),(,),01x y x y R θ∈<<. 如果),('y x f y 在R 上连续，它在R 上当然满足李普希兹条件.但是,满足李普希兹条件的函数),(y x f 不一定有偏导数存在.例如函数(,)||f x y y =在任何区域都满足李普希兹条件,但它在0y =处没有导数. (3)、设方程(3.1)是线性的,即方程为()()dyP x y Q x dx=+ 易知,当(),()P x Q x 在区间[,]αβ上连续时,定理1的条件就能满足,且对任一初值000(,),[,]x y x αβ∈所确定的解在整个区间[,]αβ上有定义、连续.实际上,对于一般方程(3.1),由初值所确定的解只能定义在0||x x h -≤上,是因为在构造逐步逼近函数序列{()}n x ϕ时,要求它不越出矩形域R ,此时,右端函数对y 没有任何限制,只要取0[,]max |()()|x M P x y Q x αβ∈=+.(4)、Lipschitz 条件 是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件. 例如 试证方程0 =0ln || 0 y dy y y dx y ≠⎧=⎨⎩经过xoy 平面上任一点的解都是唯一的.证明 0y ≠时, (,)ln ||f x y y y =,在0y ≠上连续, (,)1ln ||y f x y y '=+也在0y ≠上连续,因此对x 轴外的任一点00(,)x y ,方程满足00()y x y =的解都是唯一存在的.又由 ln ||dyy y dx= 可得方程的通解为xce y e=±,其中xce y e=为上半平面的通解,xce y e=-为下半平面的通解,它们不可能与0y =相交.注意到0y =是方程的解,因此对x 轴上的任一点0(,0)x ,只有0y =通过,从而保证xoy 平面上任一点的解都是唯一的. 但是|(,)(,0)||ln ||||ln |||||f x y f x y y y y -== 因为0lim |ln |||y y →=+∞,故不可能存在0L >,使得|(,)(,0)|||f x y f x L y -≤所以方程右端函数在0y =的任何邻域并不满足Lipschitz 条件.此题说明Lipschitz 条件 是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件. 2)考虑一阶隐方程(,,)0F x y y '= (3.12)由隐函数存在定理,若在000(,,)x y y '的某一邻域内F 连续且000(,,)0F x y y '=,而0Fy ∂≠'∂,则必可把y 唯一地表为,x y 的函数(,)y f x y '= (3.13)并且(,)f x y 于00(,)x y 的某一邻域连续,且满足000(,)y f x y '= 如果F 关于所有变元存在连续的偏导数,则(,)f x y 对,x y 也存在连续的偏导数,并且/f F F y y y ∂∂∂=-'∂∂∂ (3.14) 显然它是有界的,由定理1可知,方程(3.13)满足初始条件的0()0y x =解存在且唯一.从而得到下面的定理.定理2 如果在点000(,,)x y y '的某一邻域中:ⅰ) (,,)F x y y '关于所有变元(,,)x y y '连续,且存在连续的偏导数；ⅱ）000(,,)0F x y y '= ⅲ）000(,,)0F x y y y '∂≠'∂则方程（3.12）存在唯一的解0() || y y x x x h =-≤（h 为足够小的正数） 满足初始条件0000(), ()y x y y x y ''== （3.15）1、2、 近似计算和误差估计求方程近似解的方法——Picard 的逐次逼近法0000100()()(,()) x nn x x y x y f d x x x h ϕϕξϕξξ-=⎧⎪⎨=+≤≤+⎪⎩⎰对方程的第n 次近似解()n x ϕ和真正解()x ϕ在0||x x h -≤内的误差估计式1|()()|(1)!n n n ML x x h n ϕϕ+-≤+ （3.16）此式可用数学归纳法证明.00|()()||(,())|()xx x x f d M x x Mh ϕϕξϕξξ-≤≤-≤⎰设有不等式1110|()()|() !!n n nn n ML ML x x x x h n n ϕϕ----≤-≤成立,则0110110|()()||(,())(,())| |()()|ξ()! ()(+1)!(+1)!xn n x xn x n x nx n n n n x x f f d L d ML x d n ML ML x x hn n ϕϕξϕξξϕξξϕξϕξξξ--++-≤-≤-≤-≤-≤⎰⎰⎰例1 讨论初值问题22dyx y dx=+, (0)0y =解的存在唯一性区间,并求在此区间上与真正解的误差不超过0.05的近似解,其中,:11,11R x y -≤≤-≤≤.解 (,)1max |(,|2,1,1,min{,}2x y Rb M f x y a b h a M ∈======,由于|||2|2f y L y ∂=≤=∂,根据误差估计式(3.16)11|()()|0.05(1)!(1)!n n n ML x x h n n ϕϕ+-≤=<++可知3n =.于是0()0x ϕ=322100()[()]3xx x x x dx ϕϕ=+=⎰3722210()[()]363xx x x x x dx ϕϕ=+=+⎰37111522320()[()]363207959535xx x x x x x x dx ϕϕ=+=+++⎰3()x ϕ就是所求的近似解,在区间1122x -≤≤上,这个解与真正解得误差不超过0.05.。
