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第四讲常系数线性微分方程组的解法（4课时）一、目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念, 掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法.二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法.三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念.四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.六、教学过程：1 新课引入由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出基本解组，至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组dYAYdx(3.20)其中A 是n n ⨯实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法，因为它比较直观.由线性代数知识可知，对于任一n n ⨯矩阵A ，恒存在非奇异的n n ⨯矩阵T ，使矩阵1T AT -成为约当标准型. 为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换 Y TZ = (3.21) 其中()(,1,2,,),ij T t i j n == det 0T ≠,将方程组(3.20)化为1dZ T ATZ dx-= (3.22)我们知道，约当标准型1T AT -的形式与矩阵A 的特征方程 111212122212det()0n n n n nn a a a a a a A E a a a λλλλ---==-的根的情况有关. 上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵A 的特征根.下面分两种情况讨论.(一) 矩阵A 的特征根均是单根的情形.设特征根为12,,,,n λλλ这时12100n T AT λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦方程组(3.20)变为11122200n n ndz dx z dz z dx z dz dx λλλ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦(3.23)易见方程组(3.23)有n 个解1110(),00xZ x e λ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 220010(),,()0001n xx n Z x e Z x e λλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦把这n 个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的n 个解12()i i i i x x i i ni t t Y x e e T t λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (1,2,,)i n =这里i T 是矩阵T 第i 列向量，它恰好是矩阵A 关于特征根i λ的特征向量，并且由线性方程组()0i i A E T λ-=所确定. 容易看出，12(),(),,()n Y x Y x Y x 构成(3.20)的一个基本解组，因为它们的朗斯基行列式()W x 在0x =时为(0)det 0W T =≠. 于是我们得到定理3.11 如果方程组(3.20)的系数阵A 的n 个特征根12,,,,n λλλ彼此互异，且12,,,n T T T 分别是它们所对应的特征向量，则121122(),(),,()n x x x n n Y x e T Y x e T Y x e T λλλ=== 是方程组(3.20)的一个基本解组.例1 试求方程组353dx x y zdtdyx y zdt dz x y zdt ⎧=-+⎪⎪⎪=-+-⎨⎪⎪=-+⎪⎩的通解.解 它的系数矩阵是311151313A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦特征方程是311det()1510313A E λλλλ---=---=--即321136360λλλ-+-=所以矩阵A 的特征根为1232,3,6λλλ===．先求12λ=对应的特征向量1a T b c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,,a b c 满足方程1111()1310111a a A E b b c c λ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦即0300a b c a b c a b c -+=⎧⎪-+-=⎨⎪-+=⎩可得,0a c b =-=. 取一组非零解，例如令1c =-，就有1,0,1a b c ===-. 同样，可求出另两个特征根所对应的特征向量，这样，这三个特征根所对应的特征向量分别是110,1T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 211,1T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 3121T ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦故方程组的通解是236123()111()012()111t t t x t y t C e C e C e z t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(二) 常系数线性微分方程组的解法复特征根从上一讲我们已经知道，求解方程组dY AY dx= （3.20） 归结为求矩阵A 的特征根和对应的特征向量问题．现在考虑复根情形．因为A 是实的矩阵，所以复特征根是共轭出现的，设1,2i λαβ=±是一对共轭根，由定理3.11，对应解是 111(),x Y x e T λ= 222()xY x e T λ=其中12,T T 是特征向量，这是实变量的复值解，通常我们希望求出方程组（3.20）的实值解，这可由下述方法实现．定理3.12 如果实系数线性齐次方程组()dY A x Y dx= 有复值解()()()Y x U x iV x =+其中()U x 与()V x 都是实向量函数，则其实部和虚部12()()(),()n u x u x U x u x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12()()()()n v x v x V x v x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 证明 因为()()()Y x U x iV x =+是方程组(3.8)的解，所以 []()()()()d dU x dV x U x iV x i dx dx dx +≡+()[()()]()()()()A x U x iV x A x U x iA x V x ≡+≡+由于两个复数表达式恒等相当于实部及虚部恒等，所以上述恒等式表明：()()()dU x A x U x dx= , ()()()dV x A x V x dx =即()U x ,()V x 都是方程组(3.8)的解.证毕.定理3.13 如果12(),(),,()n Y x Y x Y x 是区间(,)a b 上的n 个线性无关的向量函数，12,b b 是两个不等于零的常数，则向量函数组112[()()],b Y x Y x + 212[()()],b Y x Y x - 3(),,()n Y x Y x (3.24)在区间(a, b )上仍是线性无关的.证明 (反证法) 如果(3.24)线性相关，那么依定义3.1存在n 个不全为零的常数12,,,n C C C ，使得对区间(,)a b 上的所有x 皆有1112221233[()()][()()]()()0n n C b Y x Y x C b Y x Y x C Y x C Y x ++-+++≡所以 112211122233()()()()()()0n n C b C b Y x C b C b Y x C Y x C Y x ++-+++≡因为12(),(),,()n Y x Y x Y x 线性无关，从而11220,C b C b += 11220,C b C b -= 30,,0n C C ==从上式可知，11220C b C b ==, 因为12,0b b ≠, 故120C C ==. 即所有常数12,,,n C C C 都等于零，矛盾. 证毕.由代数知识知, 实矩阵A 的复特征根一定共轭成对地出现.即，如果a ib λ=+是特征根，则其共轭a ib λ=-也是特征根. 由定理3.11，方程组(3.20)对应于a ib λ=+的复值解形式是 1111222122()()()112()a ib x a ib x a ib x n n n t t it t t it x e T e e t t it ++++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦1Y 1112212212(cos sin )ax n n t it t it e bx i bx t it +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦11121211212222211221cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin ax ax n n n n t bx t bx t bx t bx t bx t bx t bx t bx e ie t bx t bx t bx t bx -+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦这里1T 是对应于a ib λ=+的特征向量.由于矩阵A 是实的，所以上述向量的共轭向量是方程组(3.20)对应于特征根a ib λ=-的解，记作()2(),a ib x x e -=2Y T =21T T . 现将上述两个复值解，按下述方法分别取其实部和虚部为1112212212cos sin cos sin 1[()()]2cos sin ax n n t bx t bx t bx t bx x x e t bx t bx -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦12Y Y 1211222121cos sin cos sin 1[()()]2cos sin ax n n t bx t bx t bx t bx x x e it bx t bx +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦12Y Y由定理3.12和定理3.13，它们分别是方程组(3.20)的解， 并且由此得到的n 个解仍组成基本解组.例2 求解方程组3dxx y z dt dyx y dt dzx z dt ⎧=--⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩解 它的系数矩阵为111110301--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A特征方程是111det()11031λλλλ----=--A E即2(1)(25)0λλλ--+=特征根为11,λ= 2,312i λ=±先求11λ=对应的特征向量为1011⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦T 再求212i λ=+所对应的特征向量2T . 它应满足方程组2211((12))120302i a i i b i c ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A E T 0即2020320ia b c a bi a ci ⎧---=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎩ 用2i 乘上述第一个方程两端，得422020320a bi ci a bi a ci ⎧--=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎩ 显见，第一个方程等于第二与第三个方程之和. 故上述方程组中仅有两个方程是独立的，即20320a bi a ci -=⎧⎨-=⎩求它的一个非零解.不妨令2,a i = 则1,3b c ==. 于是212i λ=+对应的解是(12)222sin 22cos 21(cos 2sin 2)1cos 2sin 2333cos 23sin 2i t t t t i i t t e e t i t e t ie t t t +-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故原方程组的通解为123()02sin 22cos 2()1cos 2sin 2()13cos 23sin 2t t t x t t t y x C e C e t C e t z x t t -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(三) 矩阵A 的特征根有重根的情形由定理3.11，我们已经知道，当方程组(3.20)的系数矩阵A 的特征根均是单根时，其基本解组的求解问题，归结到求这些特征根所对应的特征向量. 然而，当矩阵A 的特征方程有重根时，定理3.11不一定完全适用，这是因为，若i λ是A 的i k 重特征根，则由齐次线性方程组()i i λ-=A E T 0所决定的线性无关特征向量的个数i γ, 一般将小于或等于特征根i λ的重数i k . 若i γ=i k ,那么矩阵A 对应的约当标准型将呈现对角阵，其求解方法与3.5.1情形相同.若i γ＜i k ，由线性代数的知识，此时也可以求出i k 个线性无关的特征向量，通常称为广义特征向量，以这些特征向量作为满秩矩阵T 的列向量，可将矩阵A 化成若当标准型121m ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦-J J T AT J 其中未标出符号的部分均为零无素，而1010i ii i λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦J (1,2,,)i m =是i k 阶约当块，12,m k k k n +++= 12,,,m λλλ是(3.20)的特征根，它们当中可能有的彼此相同.于是，在变换(3.21)下方程组(3.20)化成 12m d dx ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦J J Z ZJ (3.25)根据(3.25)的形式，它可以分解成为m 个可以求解的小方程组.为了说清楚这个问题，我们通过一个具体重根的例子，说明在重根情形下方程组(3.20)的基本解组所应具有的结构．对于一般情形，其推导是相似的.设方程组d Dx=YAY （3.26）中A 是5.5矩阵，经非奇异线性变换=Y TZ 其中()(,1,2,,5)ij t i j ==T 且det 0≠T ，将方程组(3.26)化为d dx =Z JZ(3.27) 我们假定1112210000100000000010000λλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦J 这时，方程组(3.27)可以分裂为两个独立的小方程组1112212313dz z z dx dz z dx dz z dx λλλ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩(3.28)4245525dz z z dx dz z dxλλ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(3.29)在(3.28)中自下而上逐次用初等积分法可解得11123121232332!()xx xC z x C x C ez C x C e z C eλλλ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭=+=同样对(3.29)可解得2245455()xxz C x C e z C eλλ=+=这里125,,,C C C 是任意常数.由于在方程(3.28)中不出现45,,z z在(3.29)中不出现123,,z z z ．我们依次取12345123451234512345123451,00,1,00,1,00,1,00,1C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C =========================可以得到方程组(3.27)的五个解如下11111121232!0,,00000000xxx x x x x e xe e e xe e λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦Z Z Z , 222450000,000x x x e xe e λλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Z Z 从而1111112222002!000()00000000000x x xx xxx x xx e xe e e xe x e e xe e λλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Z (3.31)是方程组(3.27)的一个解矩阵. 又det (0)10=≠Z ,所以(3.31)是方程组(3.27)的一个基本解矩阵.而(3.30)是(3.27)的一个基本解组.现在把(3.30)的每个解分别代入到线性变换Y =TZ 中可得原方程组(3.26)的五个解，1111111211314151,x x x x x t e t e t e t e t e λλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 11111111221222313241425152()(),()()()xx x x x t x t e t x t e t x t e t x t e t x t e λλλλλ⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦Y 11111211121322122232313323324142432515253()2!()2!()2!()2!()2!x x x x x t x t x t e t x t x t e tx t x t e t x t x t e t x t x t e λλλλλ⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎣⎦Y ,222222222214141524242545343435444445545455()(),()()()x x x x x x x x x x t e t x t e t e t x t e t e t x t e t e t x t e t e t x t e λλλλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦Y Y而且这五个解构成方程组的一个基本解组.这是因为，若把上面五个解写成矩阵形式12345()[(),(),(),(),()]x x x x x x =Y Y Y Y Y Y则显然有det (0)0=≠Y T .至此我们已清楚地看到，若J 中有一个三阶若当块，1λ是(3.26)的三重特证根，则(3.26)有三个如下形式的线性无关解，12345()()()(),1,2,3()()i i i x i i i i p x p x x p x e i p x p x λ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y(3.32)其中每个()(1,2,3,1,2,3,4,5)ki p x i k ==是x 的至多二次多项式.因此(3.32)也可以写成如下形式12012()xx x eλ++R R R其中012,,R R R 都是五维常向量.而对于J 中的二阶若当块，2λ是(3.26)的二重根，它所对应的(3.26)的两个线性无关解应是如下形式234()x x e λ+R R其中34,R R 也都是五维常向量.最后，我们还应指出，对于方程组(3.20)，若i λ是A 的一个i k 重特征根，则i λ所对应的若当块可能不是一块而是几块，但是它们每一块的阶数都小于或等于i k ，而且这些阶数的和恰好等于i k . 这样，由以上分析我们得到定理3.14 设12,,,m λλλ是矩阵A 的m 个不同的特征根，它们的重数分别为12,,,m k k k .那么，对于每一个i λ，方程组(3.20)有i k 个形如1122()(),()(),,()()i i i i i x x xk k x x e x x e x x e λλλ===Y P Y P Y P的线性无关解，这里向量()(1,2,,)i i x i k =P 的每一个分量为x 的次数不高于1i k -的多项式. 取遍所有的(1,2,,)i i m λ=就得到(3.20)的基本解组.上面的定理既告诉了我们当A 的特征根有重根时，线性方程组(3.20)的基本解组的形式，同时也告诉了我们一种求解方法，但这种求解方法是很繁的.在实际求解时，常用下面的待定系数法求解. 为此，我们需要线性代数中的一个重要结论.引理3.1 设n 阶矩阵互不相同的特征根为(1,2,,)i i m λ=，其重数分别是,1212,,,()m m k k k k k k n +++=,记n 维常数列向量所组成的线性空间为V ，则(1)V 的子集合{()0,}jk j j λ=-=∈V R A E R R V是矩阵A 的(1,2,,)j k j m =维不变子空间，并且(2)V 有直和分解12m =⊕⊕⊕V V V V ;现在，在定理3.14相同的假设下，我们可以按下述方法求其基本解组.定理3.15 如果j λ是(3.20)的j k 重特征根，则方程组(3.20)有个j k 形如1011()()j j j k xk x x xeλ--=+++Y R R R(3.33)的线性无关解，其中向量011,,,j k -R R R 由矩阵方程0112210()()2()(1)()0j j j j j j k j k k j k λλλλ--⎧-=⎪⎪-=⎪⎨⎪-=-⎪⎪-=⎩A E R R A E R R A E R R A E R (3.34)所确定.取遍所有的(1,2,,)j j m λ=，则得到(3.20)的一个基本解组.证明 由定理3.14知，若j λ是（3.20）的j k 重特征根，则对应解有（3.30）的形式.将（3.33）代入方程组（3.20）有21121011[2(1)]()j j j j j j k xk xj k j k x k xex xeλλλ----+++-++++R R R R R R1011()j j j k xk A x xeλ--=+++R R R消去j xeλ，比较等式两端x 的同次幂的系数（向量），有0112211()()2()(1)()0j j j j j j k j k j k k λλλλ---⎧-=⎪⎪-=⎪⎨⎪-=-⎪⎪-=⎩A E R R A E R R A E R R A E R （3.35） 注意到方程组（3.35）与（3.34）是等价的.事实上，两个方程组只有最后一个方程不同，其余都相同．（3.35）与（3.34）同解的证明请见教材．这样，在方程组(3.31)中，首先由最下面的方程解出0R ，再依次利用矩阵乘法求出121,,,j k -R R R .由引理3.1得知，线性空间V 可分解成相应不变子空间的直和，取遍所有的(1,2,,)j j m λ=，就可以由(3.34)最下面的方程求出n 个线性无关常向量，再由(3.31)逐次求出其余常向量，就得到(3.20)的n 个解. 记这n 个解构成的解矩阵为()x Y ，显然，(0)Y 是由(3.34)最下面的方程求出的n 个线性无关常向量构成，由引理3.1的2)矩阵(0)Y 中的各列构成了n 维线性空间V 的一组基，因此det (0)0≠Y ，于是()x Y 是方程组(3.20)的一个基本解组.例3 求解方程组123213312dy y y dx dy y y dxdy y y dx ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩解 系数矩阵为011101110⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A特征方程为2(2)(1)0λλ-+=特征根为1232, 1.λλλ===-其中12λ=对应的解是211()11xx e ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y下面求231λλ==-所对应的两个线性无关解.由定理3.15，其解形如01()()x x x e -=+Y R R并且01,R R 满足0120()()0=⎧⎨=⎩A +E R R A +E R 由于111()111,111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A +E 2333()333333⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A +E那么由20()0=A +E R 可解出两个线性无关向量11,0-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦101-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦将上述两个向量分别代入01()=A +E R R 中，均得到1R 为零向量.于是231λλ==-对应的两个线性无关解是21()1,0x x e --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 31()01xx e --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 最后得到通解2123111()110101x x x x C e C e C e ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦Y 例4 求解方程组11232123312332dy y y y dx dy y y y dxdy y y y dx ⎧=+-⎪⎪⎪=-++⎨⎪⎪=++⎪⎩解 系数矩阵是311121111-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦A特征方程为3(2)0λ-= , 有三重特征根1,2,32λ= 由定理3.15，可设其解形如22012()()x x x x e =++Y R R R012,,R R R 满足方程组0121230(2)(2)(2)-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩A E R R A E R R A E R 0由于23111101000(2)101,(2)000,(2)000111101000--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦A E A E A E 故0R 可分别取10,0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 01,0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦再将它们依次代入上面的方程，相应地求得1R 为11,1⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 10,1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 111-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦2R 为120,12⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦00,0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12012⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 于是，可得原方程组三个线性无关解22212111012()010,()10,011012x xY x x x e Y x x e ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+-+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 2231012()0101112xY x x x e ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦最后方程的通解可写成22112222233111()22()1()11122xx x xx x y x C y x e x x C y x C x xx x x ⎡⎤+--+⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--+⎢⎥⎣⎦本讲要点：1 . 常系数线性微分方程组的解法归结为求出系数阵A 的特征根和特征向量。
一阶常微分方程初等解法的简析与举例姓名：潘晶晶学号:20085031079数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导老师：刘守宗职称：讲师摘要:本文结合例题把常微分方程的求解问题化为积分问题.并且对变量分离,变量变换,常数变易法,恰当微分方程,隐式微分方程等常微分方程的初等解法进行简要分析和求解.关键词:变量变换;隐式微分方程;一阶常微分方程;恰当微分方程A Brief Analysis And Examples of First-Order DifferentialEquations’ Elementary SolutionsAbstract:This article introduce a mothed of tansforming the solution of first-order differenttial equations into the solution of integral.The article also states a brief analysis and elementary method of the elementary solutions for separation of variables,variable transformation, variation law, appropriate differential equation, the implicit declined points equations.Key Words:variable transformation;cain declined equations;first-order differential equation; exact differential equation前言数学分析中研究了变量的各种函数及函数的微分与积分.如函数未知,但知道变量与函数的代数关系,便组成代数方程,通过求解代数方程就可解出未知函数.一阶常微分方程的初等解法是把微分方程的求解问题转化为积分问题,其解的表达式由初等函数或超越函数表示,他们在实际问题中有着广泛的应用,值得我们好好学习和体会. 1.一阶微分方程的基本概念联系着自变量,位置函数及其导数的关系式叫作微分方程,自变量只有一个的微分方程叫作常微分方程,阶数为一阶的叫作一阶常微分方程.2.变量分离方程的解法举例分析2.1变量分离方程的解法形如()()dyf x y dxϕ= (1) 的方程,称为变量分离方程,()f x ,()y ϕ分别是x ,y 的连续函数.这是一类最简单的一阶函数.如果()0y ϕ≠,我们可将(1)改写成()()dyf x dx y ϕ=,这样变量就分离开来了.两边积分,得到()()dyf x dx c y ϕ=+⎰⎰c 为任意常数.由该式所确定的函数关系式(,)y y x c =就是常微分方程(1)的解.例 求解方程dy dx =.解 当1y ≠±时,将变量分离,得=,两边积分,得c =+,则有arcsin arcsin y x c =+,即sin(arcsin )y x c =+,因当1y =±显然也是所求方程的解，且包含于上式，故所求方程的通解为sin(arcsin )y x c =+,其中成为任意常数.2.2化为变量分离的微分方程有些方程本不是可分离变量微分方程的类型,但经过变量变换可化为分离变量的微分方程.可分为三种情况来讨论:()1021==c c 的情形这时,有=dx dy =++y b x a y b x a 2211⎪⎭⎫ ⎝⎛=++x y g xy b a x yb a 2211. 因此,只要作变换x yu =,则方程就转化为变量分离方程.例 求解方程22dyx xy y dx =-. 解 方程可化为2()dy y y dx x x =-,令y u x =,将dy du x u dx dx=+代入上式, 可得2dux u dx=-,易知0u =是上式的一个解,从而0y =为原方程的一个解.当0u ≠时,分离变量得2du dx u x -=,两边积分得1ln u x c =+,故可得原方程的通解为ln x y x c=+. ()22121b b a a =k =的情形. 这时方程可写为()().22222122y b x a f c y b x a c y b x a k dx dy +=++++= 令u y b x a =+22,则方程化为().22u f b a dxdu+=, 这是变量分离方程.例 求解方程111dy dx x y =+-+. 解 令1u x y =-+,则有1y u x -=--,代入所求方程()111d u x dx u---=+,整理可得1du dx u=-, 由变量分离得22u x c =-+,故所求方程的解为()212x y x c -++=.()32121b b a a ≠及21,c c 不全为零的情形 因为方程右端分子,分母都是y x ,的一次多项式,因此⎩⎨⎧=++=++.0,0222111c y b x a c y b x a 代表Oxy 平面上两条相交的直线,设交点为()βα,,若令⎩⎨⎧-=-=,,βαy Y x X 则化为⎩⎨⎧=+=+,0,02211y b x a y b x a 从而变为.2211⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=X Y g Y b X a Y b X a dX dY 因此,求解上述变量分离方程,最后代回原方程,即可得到原方程的解.例 求解方程111dy dx x y =+-+. 解 令1u x y =-+,则有1y u x -=--,代入所求方程()111d u x dx u---=+,整理可得1du dx u=-,由变量分离得22u x c =-+,故所求方程的解为()212x y x c -++=. 2.3常数变易法 一阶线性微分方程()(),x Q y x P dxdy+= 其中()()x Q x P ,在考虑的区间上是x 的连续函数,若Q ()0=x ,变为(),y x P dxdy= 称为一阶齐次线性微分方程,若(),0≠x Q 称为一阶非齐次线性微分方程.变易分离方程,易求得它的通解为(),⎰=dxx P ce y这里c 是任意常数.现在讨论非齐次线性方程的通解的求法.不难看出,是的特殊情形,两者既有联系又有差别,因此可以设想它们的解也应该有一定的联系而又有差别,现试图利用方程的通解的形式去求出方程的通解,显然,如果中c 恒保持为常数,它们不可能是的解.可以设想在中将常数c 变易为x 的待定函数,使它满足方程,从而求出(),x c 为此,令()(),dxx P e x c y ⎰=微分之,得到()()()()().dx x P dxx P e x P x c e dxx dc dx dy ⎰+⎰= 以代入得到()()()()()()()()(),x Q e x c x P e x P x c e dxx dc dx x P dx x P dx x P +⎰=⎰+⎰ 即()()(),⎰=-dx x P e x Q dxx dc积分后得到()()(),1c dx e x Q x c dxx P +⎰=-⎰这里1c 是任意常数.将代入得到()()().1⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-c dx e x Q e y dx x P dxx P 这就是方程的通解. 2.4伯努利微分方程 形如()()n y x Q y x P dxdy+= 的方程,称为伯努利微分方程,这里()()x Q x P ,为x 的连续函数.1,0≠n 是常数.利用变量变换可将伯努利方程化为线性方程.事实上,对于,0≠y 用n y -乘两边,得到()(),1x Q x P y dxdyy n n+=-- 引入变量变换,1n y z -=从而().1dxdy y n dx dz n --= 将代入得到()()()(),11x Q n z x P n dxdz-+-= 这是线性微分方程,可按常数变易法求得它的通解,然后代回原来的变量,便得到的通解.此外,当0>n 时，方程还有解.0=y例 求解微分方程222dy y x dx x y=+． 解 这是一个伯努利微分方程,两边同乘以2y ,得222dy y y x dx x=+, 令2u y =,则有2du ux dx x=+. 上式是一个一阶非齐次线形微分方程,由常数变易法可求得上式的解为312u cx x =+, 从而原方程的通解为2312y cx x =+, 2.5恰当微分方程考虑微分形式的一阶微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=(11),如果该式的左端恰好是某个二元函数(),u x y 的全微分,即()()(),,,u u M x y dx N x y dy du x y dx dy x y∂∂+==+∂∂ 则称(11)为恰当微分方程,对于一阶微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=,若有M Ny x∂∂=∂∂,则该方程必为恰当微分方程.我们接着讨论如何求得该恰当微分方程的解.我们可以把(),uM x y x∂=∂看作只关于自变量x 的函数.对它积分可得()(),u M x y dx y ϕ=+⎰,由此式可得()(),d y u M x y dx x x dyϕ∂∂=+∂∂⎰, 又因为有(),uN x y x∂=∂,故 ()(),d y N M x y dx dy xϕ∂=-∂⎰, 对该式积分可得()(),y N M x y dx dy x ϕ∂⎡⎤=-⎢⎥∂⎣⎦⎰⎰, 将该式代入,得恰当微分方程的通解为()(),,M x y dx N M x y dx dy c x ∂⎡⎤+-=⎢⎥∂⎣⎦⎰⎰⎰.例 求解微分方程()2220dyx y y x dx++=． 解 这里2M x y =,22N y x =+,从而2M Nxy y x∂∂==∂∂,可知所求的微分方程为恰当微分方程,则有2uy x x∂=∂, 对x 积分得()2212u x y y φ=+, 再对y 求导,则得()2d y ux y y dyφ∂=+∂, 又有22ux y y∂=+∂, 则可得()2y y φ=,将()2y y φ=代入得22122u x y y =+, 所以原方程的通解为22122x y y c +=. 2.6积分因子法恰当微分方程可以通过积分求出它的通解.因此能否将一个非恰当微分方程化为恰当微分方程就有很大的意义.积分因子就是为了解决这个问题引进的概念.如果存在连续可微函数(),0x y μμ=≠,使得()()()(),,,,0x y M x y dx x y N x y dy μμ+=为一恰当微分方程，即存在函数u ,使Mdx Ndy du μμ+=,则称(),x y μ为方程()(),,0M x y dx N x y dy +=的积分因子.函数(),x y μ为()(),,0M x y dx N x y dy +=积分因子的充要条件是()()M N y xμμ∂∂=∂∂, 即()M N NM x y y xμμμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂. 假设原方程存在只与x 有关的积分因子()x μμ=,则0xμ∂=∂,则μ为原方程的积分因子的充要条件是()M N x y xμμ∂∂∂=-∂∂∂,即()()M Ny x x N φ∂∂-∂∂=仅是关于x 的函数.此时可求得原方程的一个积分因子为()x dxe φμ⎰=.同样有只与y 有关的积分因子的充要条件是()()M Ny xy Mϕ∂∂-∂∂=-是仅为y 的函数,此时可求得方程(11)的一个积分因子为()y dye ϕμ⎰=.例 求解方程()330ydx x y dy ++-=. 解 在此式中M y =,33N x y =+-,因13M Ny x∂∂=≠=∂∂,所以该方程不是恰当方程,因()233M N y x N x y ∂∂--∂∂=+-不是x 的函数,但()2M Ny x M y ∂∂-∂∂=-是y 的函数,所以22dy y e y ⎰=为方程的积分因子,方程乘以积分因子,得()3223330y dx y xy y dy ++-=,该式为恰当微分方程,通过以上介绍的求恰当微分方程的方法得原方程的通解为33414xy y y c +-=. 2.7隐式微分方程2.7.1可以解出y 或x 的方程()1讨论形如,dy y f x dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的方程的解法,这里假设,dy f x dx ⎛⎫⎪⎝⎭有连续的偏导数.引进参数,dyp dx=则变为 (),.y f x p =将两边对x 求导数,并以dyp dx=代入，得到 .f f p p x p x∂∂∂=+∂∂∂ 方程是关于x ,p 的一阶微分方程,但它的导数已解出,于是可按前面介绍的方法求出它的解.若已求得的通解的形式为(),,p x c ϕ=将它代入,得到()(),,,y f x x c ϕ=这就是得通解.若求得的通解的形式为(),,x p c ϕ=则得到的参数形式的通解为()()(),,,,.x p c y f p c p ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩ 其中是p 参数,c 使任意常数.若求得的通解的形式为(),,0,x p c Φ=则得到的参数形式的通解()(),,0,,.x p c y f x p Φ=⎧⎪⎨=⎪⎩ 其中p 是参数,c 为任意常数.()2形如,dy x f y dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的方程,假定函数有连续的偏导数. 引进参数,dy p dx=则变为 (),,x f y p =将两边对y 求导数,然后以1dx dy p=代入,得到 1.f f dp p y p dy∂∂=+∂∂ 方程是关于y ,p 的一阶微分方程,但它的导数dp dy已解出,于是可按前面介绍的方法求解,设求得通解为 (),,0,y p c Φ=则得的通解为()(),,0,,.y p c x f y p Φ=⎧⎪⎨=⎪⎩2.7.2不显含y 或x 的方程()1讨论形如(),'0F x y =的方程的解法. 记dy p dx=，令()(),.x t p t ϕφ== 这里t 为参数,因为,dy pdx =以代入上式得()()',dy t t dt φϕ=两边积分,得到()()'.y t t dt c φϕ=+⎰于是,得到方程的参数形式的通解为()()(),'.x t y t t dt c ϕφϕ=⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰ 这里c 为任意常数.()2形如(),'0F y y =的方程,其解法同方程的求解方法类似.记',p y =引入参数t ,将方程表示为适当的数形式()(),.y t p t ϕφ=⎧⎪⎨=⎪⎩由关系式,dy pdx =得()()',t dt t dx ϕφ=由此得()()',t dx dt t ϕφ= ()()'.t x dt c t ϕφ=+⎰于是 ()()()',.t x dt c t y t ϕφϕ⎧=+⎪⎨⎪=⎩⎰ 为方程的参数形式的通解,其中c 为任意常数.此外,不难验证,若(),00F y =有实根,y k =则y k =也是方程的解例 求微分方程''y x e y =-的解.解 令'p y =,则p x e p =-,将上式两边对y 求导1p dp dp e p dy dy=-, 整理并积分可得()2112p y e p p c =-++, 所以方程的通解为()2112p p x e p y e p p c ⎧=-⎪⎨=-++⎪⎩ 结语对于一个给定的常微分方程,不仅要准确判断它属于何种类型,还要注意学习的解题技巧,从中总结经验,培养自己的机智和灵活性,对各种方法的推导进行分析归纳,并根据方程特点,引进适当的变换,将方程换为能求解的类型.才能熟练地把它应用在社会的实践中去.参考文献[1] [美]塞蒙斯G F.微分方程.张理晶译.北京:人民教育出版社,1981.[2] 胡健伟,汤怀民.微分方程数值解法[M].北京:科学出版社,1999.[3] 王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松.常微分方程(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2006.。
一阶常系数线性齐次微分方程组的两种解法
吴翠兰;乔文敏
【期刊名称】《河北地质学院学报》
【年(卷),期】1995(018)005
【摘要】一阶常系数线性齐次微分方程组ｘ（ｔ）＝Ａｘ（ｔ）…（１），其中Ａ＝（ａｉｊ）ｎ×ｎ，ｘ（ｔ）＝）ｘ１，ｘ２，…ｘｎ）＾Ｔ的求解，一般有两种解法。
第一种，归结为求矩阵Ａ的特征值和特征向量，微分方组（１）的解一的般结构完全由代数问题的解析决定。
第二种，归结为求矩阵Ａ的Ｊｏｒｄａｎ标准形，从而可以写出ｙ１，ｙ２，…ｙｎ，由ｘ＝ｐ＾－１ｙ其中ｙ＝ｙ１ｙ２…ｙｎ，Ｐｎ×ｎ为可逆阵，求出ｘ＝ｘ１ｘ２…ｘｎ即为
【总页数】5页(P422-426)
【作者】吴翠兰;乔文敏
【作者单位】不详;不详
【正文语种】中文
【中图分类】O241.6
【相关文献】
1.一阶常系数线性齐次微分方程组求解探析 [J], 罗毅
2.常系数非齐次线性微分方程组的几种常见解法 [J], 雷凤生;
3.常系数非齐次线性微分方程组的几种常见解法 [J], 雷凤生
4.n阶常系数线性齐次微分方程与一阶常系数线性齐次微分方程组求解类比法 [J],
周艳华;
5.追赶法求解一阶常系数线性非齐次微分方程组 [J], 张秋生
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