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一轮复习配套讲义：第2篇 第10讲 变化率与导数、导数的计算

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高三数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.10 变化率与导数、导数的计算课件.ppt

高三数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.10 变化率与导数、导数的计算课件.ppt
3．函数 f(x)的导函数 fx＋Δx－fx
称函数 f′(x)＝□9 __Δl_ixm→_0_______Δ_x_____为 f(x)的导函数，导函数有时也记作 y′。
6
4．基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)＝c
f(x)＝xn(n∈Q*) f(x)＝sinx f(x)＝cosx
f(x)＝ax(a＞0，且 a≠1) f(x)＝ex
处的导数，记作
f′(x0)或
y′|x＝x ，即 0
f′(x0)＝lim
Δx→0
ΔΔyx＝□5
5
(2)几何意义
函数 f(x)在点 x0处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝f(x)上点□6 _(_x_0_，__f(_x_0)_)___ 处的□7 ___切__线__的__斜__率______。相应地，切线方程为□8 _y_－__y_0_＝__f′__(_x_0)_(_x_－_x_0_)__。
3
课前学案 基础诊断
夯基固本 基础自测
4
1．函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率 fx2－fx1
函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为□1 ____x_2－__x_1__，若 Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)
Δy
－f(x1)，则平均变化率可表示为□2 __Δ__x____。
7
5.导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝□18 ___f′ __(_x_)_±_g_′__(x_)_____； (2)[f(x)g(x)]′＝□19 __f′__(_x_)g_(_x_)_＋__f(_x_)g_′__(_x_)_； (3)gfxx′＝□20 _f_′__x__g_[_xg_－_x_f]_2x__g_′___x__(g(x)≠0)。

高考数学一轮复习 第二章 第十节 变化率与导数导数的计算课件 理

高考数学一轮复习 第二章 第十节 变化率与导数导数的计算课件 理

解
．
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变化率与导数、导数的计算
考点一：导数的运算
题组练透
求下列函数的.导数
(1)y x2 sinx;
(2)y lnx பைடு நூலகம்; x
cosx (3)y ex ;
(4)y xsin(2x)cos2(x);
2
2
(5)y ln(2x5).
类题通法
函数求导的遵循原则 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等 变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减 少运算量，提高运算速度，减少差错. (2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式， 但在求导前利用代数或三角恒等式等变形 将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免 使用商的求导法则，减少运算量． (3)复合函数的求导，要正确分析函数的复 合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然 后求导．
考点二：导数的几何意义
角度一：求切线方程
1.(201.云 5 南一)检 函数f(x) l nx2x x
的图象在(1点 ,2)处的切线方程 ( 为)
A2.x y40
B2. x y0
C.x y30
D.x y10
角度二：求切点坐标
2.(201.江 4 西高 )若考曲y线 xlnx上 点P处的切线平行 2x与 y直 10线 ,则 点P的坐标 __是 _____.____
角度三：求参数的值
3.已知f (x) ln x, g(x) 1 x2 mx 7
2
2
(m 0),直线l与函数f (x), g(x)的图象都相切，
且与f (x)图象的切点为(1, f (1)),则m的值为
A. 1

高考数学(人教A版)一轮复习课件：2.10变化率与导数、导数的计算

高考数学(人教A版)一轮复习课件：2.10变化率与导数、导数的计算

A. e2
B.3e 2
C.6e 2
D.9e 2
【解析】选A.因y′= 故,切线的斜率k= e 2 , 切线方程为y-e 2 = e2 (x-6),令x=0 得y=-e 2 ;令y=0 得 x=3, 故围成的三角形的面积为S= ×3×|-e 2 |= e2 .
4.(2017· 商丘模拟)已知f′(x是) f(x)=sinx+acosx 的导函数,且f′ 则实,数a的值为 ( )
2.f′(x的)符号及大小的意义 函数y=f(x) 的导数f′(x反) 映了函数f(x)的瞬时变化 趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f′(x反)|映 了变化的快慢,|f′(x越)|大,曲线在这点处的切线越“ 陡”.
【小题快练】
链接教材 练一练
1.(选修1-1P86T1 改编)曲线y=x 3 +11 在点P(1,12)
【解析】设x>0, 则-x<0, 因为x≤0时,f(x)=e-x-1 -x, 所以f(-x)=e x-1 +x, 又因为f(x)为偶函数,所以f(x)= ex-1 +x,f′(x)=ex-1 +1,f′(1)=e1-1 +1=2, 所以切线方 程为y-2=2(x-1) 即:2x-y=0. 答案:2x-y=0
f′(x)且,满足f(x) =2xf′(1) +lnx则,
f′(
【解析】选B.因为f′(x) =2f′+ 那么, f′(1) =2f′(1) +所1,以f′(1) =-1.
7.(2016· 全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数,当x≤0时 ,f(x)=e-x-1 -x,则曲线y= f(x)在点(1,2)处的切线方 程是________.
【一题多解】解答本题,还有以下方法: y′=(2x2 -1)′(3x+1)+(2x 2 -1)(3x+1)′ =4x(3x+1)+3(2x 2 -1)=12x 2 +4x+6x 2 -3 =18x 2 +4x-3.

高三数学理北师大版一轮课件：第2章 第10节 变化率与导数、计算导数

高三数学理北师大版一轮课件：第2章 第10节 变化率与导数、计算导数

[跟踪训练] (1)f(x)＝x(2 018＋ln x)，若 f′(x0)＝2 019，则 x0 等于( )
A．e2
B．1
C．ln 2
D．e
(2)已知函数 f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中 a 为实数，f′(x)为 f(x)的导函
数．若 f′(1)＝3，则 a 的值为________．
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”的 研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进行 叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元法； 因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
◎角度 3 求参数的值(范围)
(1)(2017·西宁复习检测(一))已知曲线 y＝xx＋－11在点(3,2)处的切线与直
线 ax＋y＋1＝0 垂直，则 a＝( )
A．－2
B．2
C．－12
1 D.2
(2)(2018·成都二诊)若曲线 y＝ln x＋ax2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，
则实数 a 的取值范围是( )
[规律方法] 求函数图像的切线方程的注意事项 1首先应判断所给点是不是切点，如果不是，需将切点设出. 2切点既在函数的图像上，也在切线上，可将切点代入两者的解析式建立方程 组. 3在切点处的导数值对应切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件. 4曲线上一点处的切线与该曲线并不一定只有一个公共点. 5当曲线 y＝fx在点x0，fx0处的切线垂直于 x 轴时，函数在该点处的导数不 存在，切线方程是 x＝x0.

高考数学一轮总复习 第2章 函数、导数及其应用 第十节 变化率与导数、导数的计算课件 文 新人教A版

高考数学一轮总复习 第2章 函数、导数及其应用 第十节 变化率与导数、导数的计算课件 文 新人教A版
函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝f(x)上 点 P(x0，y0) 处的 切线的斜率 (瞬时速度就是位移函数 s(t)对时 间 t 的导数)．相应地，切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (3)函数 f(x)的导函数：
fx＋Δx－fx 称函数 f′(x)＝_Δlix_m→_0_______Δ_x______为 f(x)的导函数．
x′＝cos
x′ex－cos ex2
xex′＝－sin
x＋cos ex
x .
(4)∵y＝1－1 x＋1＋1 x＝1－2 x，
∴y′＝1－2 x′＝－211－－xx2′＝1－2 x2.
[谨记通法] 求函数导数的三种原则
考点二 导数的几何意义 常考常新型考点——多角探明
[命题分析]
导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择 题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低 档题．
第十节
变化率与导数、导数的计算
1．导数的概念
(1)函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数：
函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率
lim
Δx→0
ΔΔxy＝Δlixm→0
fx0＋ΔΔxx－fx0为函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导
数，记作 f′(x0)或 y′|x＝x0，即
f′(x0)＝Δlixm→0 ΔΔxy＝__Δ_lix_m→_0_f_x_0_＋__ΔΔ_x_x_－__f_x_0_. (2)导数的几何意义 ：
f′xgx－fxg′x
(3) gfxx′＝
[gx]2
(g(x)≠0)．
[小题体验]
1．曲线 y＝ex 在点 A(0,1)处的切线斜率为

高三数学一轮复习 第二章 第十节 变化率与导数、导数的计算课件 理 新人教A版

高三数学一轮复习 第二章 第十节 变化率与导数、导数的计算课件 理 新人教A版

2．函数y＝xcos x－sin x的导数为(
)
A．xsin x
C．xcos x 【解析】 【答案】
B．－xsin x
D．－xcos x f′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x. B
3．已知f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0等于( A．e2 B． e ln 2 C. D．ln 2 2
原函数 f(x)＝xn(n∈Q*)
导函数 f′(x)＝_________ n·xn－1 cosx f′(x)＝__________ f′(x)＝__________ －sinx
f(x)＝sin x
f(x)＝coaxlna (a＞0)
f(x)＝ex
第十节
变化率与导数、导数的计算
1．导数的概念 (1)函数 y＝ f(x)在 x＝ x0处的导数： ①定义：称函数 y＝ f(x)在 x＝x0处的瞬时变化率
____________________为函数 y＝ f(x)在 x＝ x0处的导数，记作 f′(x0)或 y′|x＝ x0.
②几何意义：函数 f(x) 在点 x0 处的导数 f′(x0) 的几何意义 切线斜率 ． ( 瞬时速度就 是曲线 y ＝ f(x) 在点 (x ， f(x ) 处的 __________
（2x＋3）′ · （x2＋1）－2xln（2x＋3） 2x＋3 （x2＋1）2 2（x2＋1）－2x（2x＋3）ln（2x＋3） ＝ . 2 2 （2x＋3）（x ＋1）
1．本题在解答过程中常见的错误有： (1)商的求导中， 符号判定错误；(2)不能正确运用求导公式和求导法则． 2．求函数的导数的方法 (1) 连乘积的形式： 先展开化为多项式的形式 ，再 求
导；

2018版高考数学人教A版理一轮复习课件：第2章 第10节 变化率与导数、导数的计算 精品


[变式训练 1] (1)f(x)＝x(2 017＋ln x)，若 f′(x0)＝2 018，则 x0 等于( )
A．e2
B.1
C.ln 2
D.e
(2)(2015·天津高考)已知函数 f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中 a 为实数，f′(x)
为 f(x)的导函数．若 f′(1)＝3，则 a 的值为________． (1)B (2)3 [(1)f′(x)＝2 017＋ln x＋x×1x＝2 018＋ln x，故由 f′(x0)＝2 018，
1 [∵f′(x)＝3ax2＋1， ∴f′(1)＝3a＋1. 又 f(1)＝a＋2， ∴切线方程为 y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得 a＝1.]
导数的计算
求下列函数的导数： (1)y＝exln x； (2)y＝xx2＋1x＋x13； (3)y＝x－sin2xcos2x； (4)y＝ln(2x－9)．
抓
第十节 变化率与导数、导数的计算
基
础
· 自
[考纲传真] 1.了解导数概念的实际背景.2.通过函数图象直观理解导数
主 学 习
的几何意义.3.能根据导数的定义求函数 y＝C(C 为常数)，y＝x，y＝1x，y＝x2，
课 时 分
明 y＝x3，y＝ x的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法
4．复合函数的导数 复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 yx′＝ yu′·ux′ ，即 y 对 x 的导数等于 y对u 的导数与 u对x 的导数的乘积．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．( ) (2)求 f′(x0)时，可先求 f(x0)再求 f′(x0)．( ) (3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．( ) (4)若 f(x)＝e2x，则 f′(x)＝e2x.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×

高考数学大一轮复习 第二章 第十节 变化率与导数、导数的计算课件


2．导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)gfxx′＝f′xgx[g－xf]2xg′x(g(x)≠0)． 3．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的 关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导 数的乘积．
判断正误

(1)sin

π3′＝cos
π 3
(2)若(ln x)′＝1x，则1x′＝ln x
(3)(3x)′＝3xln 3
( ×) ( ×) ( √)
基础盘查三 导数四则运算法则 (一)循纲忆知 1．能利用导数的四则运算法则求解导函数． 2．能运用复合函数的求导法则进行简单复合函数的求导． (二)小题查验 1．判断正误
[类题通法] 函数求导的遵循原则 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化 简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错． (2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利 用代数或三角恒等式等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可 以避免使用商的求导法则，减少运算量． (3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中 间变量，确定复合过程，然后求导．
D．3x－y＋1＝0
解析：∵y＝sin x＋ex， ∴y′＝cos x＋ex， ∴y′x＝0＝cos 0＋e0＝2， ∴曲线 y＝sin x＋ex 在点(0,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－0)， 即 2x－y＋1＝0.故选 C.
基础盘查二 基本初等函数的导数公式 (一)循纲忆知
能利用基本初等函数的导数公式求简单函数的导数． (二)小题查验

高考数学北师大版文科一轮复习配套课件2.10变化率与导数、导数的计算


1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符 号，防止与乘法公式混淆．
2．求曲线切线时，要分清在点 P 处的切线与过 P 点 的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．
3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个， 这和研究直线与二次曲线相切时有差别．
[试一试]
1．(2013· 江西高考)若曲线 y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切 线经过坐标原点，则 α＝________.
[类题通法]
1．求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进 行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度， 减少差错． 2． 有的函数虽然表面形式为函数的商的形式， 但在求导
前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导， 有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．
[针对训练]
已知 f(x)＝sin 2x， 记 fn＋1(x)＝fn′(x)(n∈N＋)， 则
[解]
(1)y′＝ (x2)′ sin x＋ x2(sin x)′＝ 2xsin x＋x2cos x.
ex＋ 1′ ex－ 1－ex＋ 1ex－ 1′ 记准商的导数 (2)y′＝ 运算法则哦！ ex－ 12 ex ex－ 1－ ex＋ 1 ex － 2ex ＝ ＝ x . ex－ 12 e － 12
(3)函数 f(x)的导函数： fx＋Δx－fx lim Δx 称函数 f′(x)＝ Δx→0 为 f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
(sin x)′＝ Cos x ， (cos x)′＝－sin x ， (ax)′＝ axln a ， 1 1 (ex)′＝ ex，(logax)＝， xln a (ln x)′＝ x .
第十节
变化率与导数、导数的计算

高三数学一轮复习 第2章第10节 变化率与导数、导数的计算课件 文 (广东专用)


设f(x)＝xln x＋1，若f′(x0)＝2，则f(x)在点(x0，y0)处的切线 方程为________．
【尝试解答】 因为 f(x)＝xln x＋1， 所以 f′(x)＝ln x＋x·1x＝ln x＋1. 因为 f′(x0)＝2，所以 ln x0＋1＝2， 解得 x0＝e，y0＝e＋1. 由点斜式得，f(x)在点(e，e＋1)处的切线方程为 y－(e＋1)＝2(x－e)， 即 2x－y－e＋1＝0. 【答案】 2x－y－e＋1＝0
设函数 f(x)＝ax＋x＋1 b(a，b∈Z)，曲线 y＝f(x)在点(2，f(2)) 处的切线方程为 y＝3.
(1)求 y＝f(x)的解析式； (2)证明曲线 y＝f(x)上任一点处的切线与直线 x＝1 和直线 y＝x 所 围三角形的面积为定值，并求出此定值． 【f′2＝ f2＝3
(3)y′＝ln
x′x2＋1－ln x2＋12
xx2＋1′
＝1xx2＋x21＋－122xln
x＝x2＋x1x－2＋21x2l2n
x .,
将例题中的函数改为：(1)f(x)＝x2cos x， (2)g(x)＝ex＋ln x，分别求f(x)与g(x)的导数．
【解】 (1)(1)f′(x)＝(x2cos x)′ ＝(x2)′·cos x＋x2(cos x)′ ＝2xcos x－x2sin x. (2)g′(x)＝(ex)′＋(ln x)′＝ex＋1x.
课时知能训练
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()
A．(0，＋∞)
B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞)
D．(－1,0)
【错解】 ∵f′(x)＝2x－2－4x＝2x2－x2x－4， ∴由 f′(x)＞0，可得x2－xx－2＞0， 解得 x＞2 或－1＜x＜0，故选 B.
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第10讲变化率与导数、导数的计算[最新考纲]
1．了解导数概念的实际背景；
2．通过函数图象直观理解导数的几何意义；
3．能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝1
x，y＝x
2，y＝x3，y＝x
的导数；
4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数[仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数]的导数.
知识梳理
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
①定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率Δy
Δx＝
f(x0＋Δx)－f(x0)
Δx为
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或.
②几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
(2)称函数f′(x)＝f(x＋Δx)－f(x)
Δx为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
3.(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )．
(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．
(3)⎣⎢⎡⎦
⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数 设u ＝v (x )在点x 处可导，y ＝f (u )在点u 处可导，则复合函数f [v (x )]在点x 处可导，且f ′(x )＝f ′(u )·v ′(x )．
辨 析 感 悟
1．对导数概念的理解
(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．(×)
(2)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．(×)
(3)f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．(√)
2．导数的几何意义与物理意义
(4)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(√)
(5)物体的运动方程是s ＝－4t 2＋16t ，在某一时刻的速度为0，则相应时刻t ＝0.(×)
(6)(2012·广东卷改编)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为2x －y ＋1＝0.(√)
3．导数的计算
(7)若f (x )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(x )＝3a 2＋2x .(×)
(8)(教材习题改编)函数y ＝x cos x －sin x 的导函数是y ′＝－x sin x ．(√)
(9)[f (ax ＋b )]′＝f ′(ax ＋b )．(×)
[感悟·提升]
1．“过某点”与“在某点”的区别
曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，如(6)中点(1,3)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．
2．导数运算及切线的理解应注意的问题。