五年级数的整除

u-math Thought training Mr Hu优数思维训练数的整除性一、知识概述1、整除的概念及性质如果整数a除以整数b（b≠0）,所得的商是整数而没有余数，我们就说数a能被数b整除。

▶▷▷如果两个整数a、b（a＞b）都能被c整除，那么a与b的和与差也能被c整除。

▶▷▷如果两个整数a、b都不能被c整除．那么a与b的和（或差）能或不能被c整除．这是一个不肯定的结论。

▶▷▷如果a、b、c这三个数中，a能被b整除，b又能被c整除，那么a一定能被c整除（这是整除的传递性）。

▶▷▷一个数同时被a、b整除，且a、b互质，则这个数能被a与b的积整除。

2、能被（2、3、5、7、9、11、13、……）整除的数的特征：①如果一个整数的个位数字是0、2、4、6、8，那么这个整数能被2整除；②如果一个整数的个位数字是0、5，那么这个整数能被5整除；③如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么这个整数能被3（或9）整除；④如果一个整数的末尾两位数能被4（或25）整除，那么这个整数能被4（或25）整除；⑤如果一个整数的末尾三位数能被8（或125）整除，那么这个整数能被8（或125）整除；⑥如果一个整数的末尾四位数能被16（或625）整除，那么这个整数能被16（或625）整除；⑦如果一个整数的奇位上的数字和与偶位上的数字和的差能被11整除，那么这个整数能被11整除；⑧如果一个整数的末三位与末三位数以前的数字组成的数的差能被7（或13）整除，那么这个整数能被7（或13）整除；二、例题精学1、217□是一个四位数，使得它能被3整除，那么填入□中的数字最多有种情况。

2、四位数841□能被2和3整除，□中应该填。

3、五位数73□28能被9整除，□里应该填几？4、四位数7a2b能被2、3、5整除，求a、b的值。

5、被2、3、5整除的三位数最大是多少？最小是多少？6、已知整数1χ2χ3χ4χ5能被11整除，求所有满足这个条件的整数。

数的整除月日姓名【知识要点】1．整除概念：一个整数除以另一个整数，得到的商也是一个整数，叫做整除。

2．较常见数的整除特征：（一）能被2、5、4、25、8、125整除的数的特征：①末一位能被2或5整除；②末两位能被4或25整除；③末三位能被8或125整除。

（二）能被3、9整除的数的特征：各位数字之和能被3或9整除。

（三）能被6整除数的特征：既能被2整除又能被3整除。

3．能同时被2、5、3、9整除的数满足。

①末尾是0。

②各个数位上的数字之和能被9整除。

【典型例题】例1 谁能又快又好的写出下面的答案.（千万不要落下一个噢）26□4能被2整除. 259□能被5整除2□93能被3整除 6□93能被9整除51□4能被4整除 63□□能被25整除61□6能被8整除 98□□□能被125整除例2 5□4□（1）能同时被5和9整除（2）能被45整除呢？例3ab25这个四位数，能同时被2，3，5，9整除，则此四位数是_________.例 4 一位马虎的采购员买了72只桶,洗衣服时将购货票,洗坏了,只能看到:72只桶.共□67.9□元,请你帮他算一下这次采购一共用了多少钱?随堂小测月日姓名 1.下列数中12、25、100、36、18、99、111、250能被2整除的有（）.能被3整除的有（）.能被6整除的有（）.能被9整除的有（）.能被25整除的有（）.2．四位数BA18能同时被5、6整除，这个四位数是_________.3．7□11□能被12整除，则此5位数是__________.4 AB45这个四位数，同时能被2，3，4，5，9整除，求此四位数。

课后作业月日姓名1．填出所有的情况下的数。

762□能被2整除870□能被5整除93□76能被2整除9□391能被9整除87□4能被4整除81□5能被25整除7312□能被8整除73□25能被地125整除2．四位数392□能被6整除的所有符合条件的数。

3．五位数7□36□同时能被2.5和9整除，则此五位数是_________.。

五年级数的整除问题基本概念和知识1.整除——约数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

a能被b整除（或者说b能整除a）。

记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作b a。

举例2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。

即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。

例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。

举例性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。

举例性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。

即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。

例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。

举例性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。

例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。

举例3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

举例②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

举例③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

举例④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

举例⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

举例⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。

判断123456789这九位数能否被11整除？解：再例如：判断13574是否是11的倍数？解：⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。

五年级上册数的整除在我们五年级上册的数学学习中，“数的整除”可是一个非常重要的知识板块。

它就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开数学世界里一扇又一扇神秘的大门。

什么是数的整除呢？简单来说，就是一个整数除以另一个整数，如果商是整数且没有余数，我们就说第一个整数能被第二个整数整除。

比如说，12÷3 ＝ 4，商 4 是整数，没有余数，所以 12 能被 3 整除。

整除有很多有趣的性质和规律。

首先，能被 2 整除的数，个位上一定是 0、2、4、6、8。

比如 10、12、14 等等。

那能被 5 整除的数呢？个位上一定是 0 或 5，像 15、20 都能被 5 整除。

能被 3 整除的数就有点特别啦。

它不是看个位，而是要看这个数各个数位上的数字之和。

如果数字之和能被 3 整除，那么这个数就能被 3 整除。

比如 123，1 ＋ 2 ＋ 3 ＝ 6，6 能被 3 整除，所以 123 也能被 3 整除。

还有能被 9 整除的数，也是看各个数位上的数字之和。

如果数字之和能被 9 整除，这个数就能被 9 整除。

在数的整除中，还有一些重要的概念，比如因数和倍数。

如果 a×b ＝ c（a、b、c 都是非 0 的整数），那么 a 和 b 就是 c 的因数，c 就是 a 和 b 的倍数。

比如 2×3 ＝ 6，2 和 3 是 6 的因数，6 是 2 和 3 的倍数。

一个数的因数是有限的，其中最大的因数就是它本身；而一个数的倍数是无限的，其中最小的倍数也是它本身。

质数和合数也是数的整除中很关键的概念。

一个数，如果只有 1 和它本身两个因数，这样的数叫做质数。

像 2、3、5、7 都是质数。

一个数，如果除了 1 和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。

比如 4、6、8、9 都是合数。

1 既不是质数也不是合数，这是个很特殊的存在，一定要记住哦。

了解了这些知识，我们在解决数学问题时就会更加得心应手。

比如，要判断一个数能不能被另一个数整除，或者找出一个数的因数和倍数，再或者判断一个数是质数还是合数。

五年级数学教案之整除法教学目标：1. 理解整除的概念，能正确判断一个数是否是另一个数的倍数。

2. 掌握整除法的运算方法，能进行简单的整除计算。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学重点：1. 整除的概念和判断方法。

2. 整除法的运算方法。

教学难点：1. 理解整除的概念，判断一个数是否是另一个数的倍数。

2. 进行复杂的整除计算。

教学准备：1. 黑板、粉笔。

2. 练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾因数和倍数的概念，让学生举例说明。

2. 提问：如果一个数能被另一个数整除，这两个数之间有什么关系？二、讲解整除的概念（10分钟）1. 解释整除的概念，即一个数能被另一个数整除，没有余数。

2. 举例说明整除的概念，如10能被2整除，因为10÷2=5，没有余数。

3. 强调整除的条件，即被除数、除数和商都是整数，且没有余数。

三、判断一个数是否是另一个数的倍数（10分钟）1. 解释倍数的概念，即一个数是另一个数的整数倍。

2. 引导学生通过试除法判断一个数是否是另一个数的倍数。

3. 举例说明，如判断12是否是4的倍数，可以12÷4=3，没有余数，12是4的倍数。

四、整除法的运算方法（10分钟）1. 讲解整除法的运算方法，即被除数÷除数=商。

2. 举例说明整除法的运算过程，如20÷4=5，36÷6=6。

3. 强调整除法运算的注意事项，如除数不能为0。

五、练习题（10分钟）1. 布置一些简单的整除练习题，让学生独立完成。

2. 选取一些学生的作业进行讲解和分析。

教学反思：本节课通过讲解和练习，让学生掌握了整除的概念和判断方法，以及整除法的运算方法。

学生在课堂中积极参与，通过试除法和练习题，加深了对整除法的理解和运用。

但在教学过程中，要注意引导学生理解整除的条件，避免出现误解。

可以适当增加一些有趣的例题和练习题，提高学生的学习兴趣。

六、整除法的应用（10分钟）1. 讲解整除法在实际生活中的应用，如计算物品的单价和数量。

第四讲：数论初步（二）——整除问题一、训练目标知识传递：掌握和拓展数的整除特征，根据整除特征灵活应用。

能力强化：分析能力、观察能力、综合能力、判断能力、推算能力。

思想方法：假设思想、对应思想、排除思想、尝试思想、重叠思想。

二、知识与方法归纳1、熟悉并掌握2、3、5、9的倍数的特征。

2、一个数的末两位数能4或25整除，这个数就一定能被4或25整除。

（4×25=100）。

（8×125=1000。

）3、一个数的末三位数能被8或125整除。

那么这个数就能被8或25整除。

4、一个数的末三位数与末三位以前的数字组成的数的差分别能被7、11、13整除，这个数就能被7、11、13整除。

另外，一个数奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（差（7×11×13=1001。

）（很常用，请牢记。

）等于0比较常见）能被11整除，这个数就能被11整除。

5、如果两个数都能被同一个数整除，那么这两个数的和或差也能被这个数整除。

即如果ca，c︱b，则c︱（a+b）或c︱（a-b）。

6、如果一个数能被另一个数整除，那么这个数的整倍数也一定能被另一个数整除。

即如果c︱a，b是整数，则c︱ab。

7、如果一个数能被第二个数整除，第二个数又能被第三个数整除，那么，第一个数也能被第三个数整除。

即如果a︱b，b︱c，则a︱c。

8、如果一个数能同时被另外两个数整除，而且这两个数互质，那么这一个数一寂能被另外两个数的积整除。

即如果a︱c，b︱c，且a、b互质，则ab︱c。

三、经典例题例1、七位数83□534□能被88整除，两个□中所填数字之和是。

解：答：。

例2、在358后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除，符合这些条件的六位数中，最小的一个是多少？解：答：。

体验训练1六位数2003□□能被99整除，它的最后两位数是多少？解：答：。

例3、要使六位数15□□□6能被36整除而且所得的商最大，□□□内应填多少？解：答：。

五年级数学第3讲数的整除答疑导入1、整数a除以整数b(b≠0)，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除(也可以说b能整除a)。

那么a是b的倍数，b 是a的因数。

他们是相互依存的。

2、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。

3、一个数如果只有1和它本身两个因数，叫做质数。

4、一个数，如果除了1和它本身，还有别的因数，叫做合数。

5、数的整除特征☆①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8 的整数。

☆②能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

③能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

☆④能被5整除的数的特征：个位数字是0或5。

⑥能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

⑦能被11整除的数的特征：这个整数的奇数数位上的数字之和与偶数数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。

例题分析1、在1到10之间10个数中，( )和( )这两个数既是合数，又是互质数；( )和( )这两个数都是奇数又是互质数；( )和( )这两个数都是质数又是互质数；( )和( )两个数一个是质数，一个是合数，它们是互质数。

2、347至少增加( )才能被3整除，至少减少( )才有约数5，最少增加( )才是2的倍数。

3、与6互质的最小合数是( )。

4、一个三位数，既是6的倍数，又能被5整除，这个数最小是( )。

5、把下列数按要求填入方框中。

2，13，88，9，17，11，76，277，63，91，86，39，160。

6、按要求在里填上适当的数字。

（1）4的倍数：305□ 8□4 62□2 （2）15的倍数：4□3□□68□ 7□08□（3）72的倍数：□679□ 9□32□ 8□27□（4）11的倍数：25□79 3□46 52□197、如果一个五位数6aa27，它是9的倍数，那么a代表的数字是多少？8、在43的右边补上3个数字，组成一个五位数，使这个五位数同时是3、4、5的倍数，并且尽可能小，这个五位数是多少？9、5.一个五位数，各个数位上的数字之和是43，且这个五位数还是11的倍数，这个数可能是多少？（请写出两个符合要求的数）温故知新一．选择题（共8小题）1．下列各式是分解质因数的是（）A．20＝2×2×5×1B．12＝3×4C．15＝3×5D．18＝7+132．下面每组中的两个数有因数和倍数关系的是（）A．2和5B．7和49C．10和2.5D．12和283．2和3是12的（）A．因数B．公因数C．最大公因数D．质数4．相邻两个自然数的和一定是（）A．奇数B．偶数C．合数D．质数5．20以内既是奇数又是质数的数共有（）个。