数的整除(能被7、9、11、13整除的数的特征)专题训练说课讲解

被7、11、13、17、19整除的数的特征这个问题从不同的视角观察，可能会得到不同的答案。

也就是说，判断一个数能否被7、11、13整除，有很多方法，但最基础最常用的是：一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，如果能被7、11、13整除，那么，这个多位数就一定能被7、11、13整除．比如，能被13整除的数的特征是，一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，如果能被13整除，那么，这个多位数就一定能被13整除．例如：判断383357能不能被13整除．这个数的未三位数字是357，末三位以前的数字所组成的数是383，这两个数的差是：383－357=26，26能被13整除，因此，383357也一定能被13整除．这个方法也同样适用于判断一个数能不能被7或11整除．如：283679的末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是283，679－283=396，396能被11整除，因此，283679就一定能被11整除．仍以原数为例，末三位数字与前两数字的差是396，396不能被7整除，因此，283697就一定不能被7整除．还有一个方法是比较常用的：因为7×11×13＝1001，因此，能被1001整除的数，能够同时被7、11、和13整除。

第二讲例8就用到这个结论。

其余的方法都没那么常用，但很多，比如：能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数(包括0)，那么，原来这个数就一定能被11整除。

例如：判断491678能不能被11整除。

奇位数字的和9+6+8=23 ；偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11，因此，491678能被11整除。

这种方法叫“奇偶位差法”。

能被13整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。

如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。

能被7,11,13整除的数的特征的原理能被7, 11, 13整除的数的特征的原理解析引言当我们进行数学运算时，我们可能会遇到一些特殊的数，它们能够被7，11和13整除。

这些特殊的数在数论中有着重要的地位，同时也有着一些有趣的特征。

本文将深入探讨这些数的特点及其原理。

1. 数的整除性质•整除定义：当一个数除以另一个数时，如果能够得到一个整数，那么我们称这个数能够被另一个数整除。

•整除特性：如果一个数能够同时被两个或更多个数整除，那么它也能够被这些数的乘积整除。

2. 7的整除特征•规则1：能被7整除的数，其个位数的十进制表示减去2倍的十位数的十进制表示，结果能够被7整除。

–例如，35是7的倍数，35 - (2 * 3) = 29，29被7整除。

•规则2：能被7整除的数，将其个位数的数字去掉，再用去掉的数字减去2倍的余数，结果能够被7整除。

–例如，56是7的倍数，5 - (2 * 6) = -7，-7被7整除。

3. 11的整除特征•规则1：能被11整除的数，将奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和相减，结果能够被11整除。

–例如，121是11的倍数，(1+1) - 2 = 0，0被11整除。

•规则2：能被11整除的数，将数从右往左数每一位数字依次相加或减，结果能够被11整除。

–例如，363是11的倍数，3 - 6 + 3 = 0，0被11整除。

4. 13的整除特征•规则1：能被13整除的数，将个位数的数字乘以4，再将结果与剩余数字相减，结果能够被13整除。

–例如，13是13的倍数，1 * 4 - 3 = 1，1被13整除。

•规则2：能被13整除的数，将数从右往左数每一位数字依次乘以进制的幂次方，并将结果相加或相减，结果能够被13整除。

–例如，169是13的倍数，1 * 13^2 + 6 * 13^1 - 9 = 0，0被13整除。

5. 组合规则如何判断一个数能否被7、11和13整除呢？我们可以将上述规则进行组合使用。

被7、11、13、17、19整除的数的特征之杨若古兰创作这个成绩从分歧的视角观察，可能会得到分歧的答案.也就是说，判断一个数能否被7、11、13整除，有很多方法，但最基础最经常使用的是：一个多位数的末三位数与末三位之前的数字所构成的数之差，如果能被7、11、13整除，那么，这个多位数就必定能被7、11、13整除．比方，能被13整除的数的特征是，一个多位数的末三位数与末三位之前的数字所构成的数之差，如果能被13整除，那么，这个多位数就必定能被13整除．例如：判断383357能不克不及被13整除．这个数的未三位数字是357，末三位之前的数字所构成的数是383，这两个数的差是：383－357=26，26能被13整除，是以，383357也必定能被13整除．这个方法也同样适用于判断一个数能不克不及被7或11整除．如：283679的末三位数字是679，末三位之前数字所构成的数是283，679－283=396，396能被11整除，是以，283679就必定能被11整除．仍以原数为例，末三位数字与前两数字的差是396，396不克不及被7整除，是以，283697就必定不克不及被7整除．还有一个方法是比较经常使用的：由于7×11×13＝1001，是以，能被1001整除的数，能够同时被7、11、和13整除.第二讲例8就用到这个结论.其余的方法都没那么经常使用，但很多，比方：能被11整除的数的特征把一个数由右侧向右边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数(包含0)，那么，本来这个数就必定能被11整除.例如：判断491678能不克不及被11整除. 奇位数字的和9+6+8=23 ；偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11，是以，491678能被11整除.这类方法叫“奇偶位差法”.能被13整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除.如果数字仍然太大不克不及直接观察出来，就反复此过程.如：判断1284322能不克不及被13整除. 128432+2×4=128440 ，12844+0×4=12844，1284+4×4=1300 ，1300÷13=100 ，所以，1284322能被13整除.能被17整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除.如果数字仍然太大不克不及直接观察出来，就反复此过程.例如：判断1675282能不克不及被17整除.167528-2×5=167518 ，16751-8×5=16711 ，1671-1×5=1666 ，166-6×5=136到这里如果你仍然观察不出来，就继续…… 6×5=30，此刻个位×5=30>剩下的13，就用大数减去小数，30-13=17，17÷17=1；所以1675282能被17整除.能被19整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除.如果数字仍然太大不克不及直接观察出来，就反复此过程.。

能被7,11,13整除的数的特征被7、11、13整除的数，是三个质数的积，它们分别是7、11、13。

那么，能被7、11、13整除的数具有什么特征呢？下面将介绍一些常见的数学知识和规律。

1、数位相间差别为2的倍数一个数的数位相间差别为2的倍数，它能被11整除。

例如，1234，数位相间差别为2的倍数为：(2-1)+(4-3)=2，2是2的倍数，所以1234能被11整除。

2、个位是5或0的数个位数是5或0的数，它们能被5整除。

如果它们的其他数位上的数位相间差别为2的倍数，那么它们能被11整除。

例如，如45605，数位相间差别为2的倍数为：(5-0)+(6-5)+(5-4)+(0-6)=(-5)+1+1+(-6)=-9，-9是11的倍数，所以45605能被11整除。

3、将一个数从最后一位开始，每隔三位数位相同的，这个数就能被37整除比如说，123456123456，将这个数从最后一位开始，每隔三位数位相同，即为：$123, 456, 123, 456$，每组数的和为：$123+456+123+456=1158$。

1158是37的倍数，所以123456123456能被37整除。

4、将一个数的最后一位去掉，然后减去这个数的五倍，如果所得结果能被7整除，则这个数能被7整除例如，427，去掉最后一位，得42，42减去5倍的7即为：$42-5×7=7$，7能被7整除，所以427能被7整除。

5、将一个数的最后一位去掉，然后减去这个数的9倍，如果所得结果能被13整除，则这个数能被13整除例如，376，去掉最后一位，得37，37减去9倍的3即为：$37-9×3=10$，10不能被13整除，所以376不能被13整除。

6、将一个数分为两段，其中一段减去另一段，得到的差能被7整除，则这个数能被7整除例如，3714，将它分为两段，得到37和14，37减去14得到23，23能被7整除，所以3714能被7整除。

被7、11、13、17、19整除的数的特征这个问题从不同的视角观察，可能会得到不同的答案。

也就是说，判断一个数能否被7、11、13整除，有很多方法，但最基础最常用的是：一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，如果能被7、11、13整除，那么，这个多位数就一定能被7、11、13整除．比如，能被13整除的数的特征是，一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，如果能被13整除，那么，这个多位数就一定能被13整除．例如：判断383357能不能被13整除．这个数的未三位数字是357，末三位以前的数字所组成的数是383，这两个数的差是：383－357=26，26能被13整除，因此，383357也一定能被13整除．这个方法也同样适用于判断一个数能不能被7或11整除．如：283679的末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是283，679－283=396，396能被11整除，因此，283679就一定能被11整除．仍以原数为例，末三位数字与前两数字的差是396，396不能被7整除，因此，283697就一定不能被7整除．还有一个方法是比较常用的：因为7×11×13＝1001，因此，能被1001整除的数，能够同时被7、11、和13整除。

第二讲例8就用到这个结论。

其余的方法都没那么常用，但很多，比如：能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数(包括0)，那么，原来这个数就一定能被11整除。

例如：判断491678能不能被11整除。

奇位数字的和9+6+8=23 ；偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11，因此，491678能被11整除。

这种方法叫“奇偶位差法”。

能被13整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。

如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。

五年级数论：第2讲整除特征（二）生第二讲整除特征（2）【知识提要】1. 被3（或9）整除的数的特征：这个数的各位上数字之和是3（或9）的倍数。

2. 被7、11、13整除的数的特征：这个数的末三位与末三位以前的数字的差（以大减小）是7、11、13的倍数。

（割尾法）3. 能被11整除的数的特征还有：一个数的奇数位的数字之和与偶数位的数字之和的差（以大减小）是11的倍数。

4、整除的性质：（1）如果a能被b整除，b能被c整除，那么a也能被c整除。

（传递性）如：8|40，40|120，则。

（2）如果a和b（a>b）都能被c整除，那么a与b的和（a+b）及差（a-b）也能被c整除。

如：3|18,3|12，则，。

（3）如果数a能被数b整除，那么a和c的积（a×c）也能被b 整除。

如：5|25,3为整数，则。

【基础训练】1、在□中填入适当的数字，使所组成的数既能被9整除，又有因数5。

23□5□ 57□3□ 7□832□2、判断102030405060708090能否被9整除。

3、判断。

（1）4932796与4392976分别除以11，它们能被11整除么？（2）把192992与192929分别除以11，它们能被11整除吗？4、判断。

（1）试判断20592，25092能否被99整除？（2）试判断2385，3825能否被45整除？（3）试判断12346578，12356784能否被44整除？【拓展提高】【例1】填空。

（1）有一个四位数13AA是9的倍数，A是。

（2）要使□3478□能被9整除，□是。

（3）已知自然数2*3*4*5*1能被11整除，问*是。

（4）一个六位数□8919□能被11整除，那么这个六位数是。

【例2】在□内填上合适的数字，使五位数□679□能同时被8和9整除。

【例3】在□内填入适当的数字，使□8□52能被72整除？【例4】要使六位数15□□□6能被36整除，这样的数中最小的是多少？【例5】在□内填上适当的数，使五位数29□7□能被12整除。

能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数就一定能被11整除。

例如：判断491678能不能被11整除。

—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=1223-12=11因此，491678能被11整除。

这种方法叫“奇偶位差法”。

除上述方法外，还可以用割减法进行判断。

即：从一个数里减去11的10倍、20倍、30倍……到余下一个100以内的数为止。

如果余数能被11整除，那么，原来这个数就一定能被11整除。

又如：判断583能不能被11整除。

用583减去11的50倍（583-11×50=33）余数是33，33能被11整除，583也一定能被11整除。

能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

数的整除（能被7、9、1、13整除的数的特征）专题训练知识梳理：1、整数a除以整数b(b≠0)，所得的商正好是整数而没有余数，我们就说a 能被b整除(也可以说b能整除a)。

2、如果整数a能被整数b(b≠0)整除，则称a是的倍数，b是a的约数。

3、能被9整除的数，其数字和一定是9的倍数．4、能被11整除的数的特征是这个数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除。

5、一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位以前的数字组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除。

一、特殊数字的整除。

1、能被3、9整除的数：数位之和能被3、9整除（注意消倍）。

例：76935、3165493能否被3整除?例：1349982、367594737能否被9整除？2、能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

3、能被7整除的数：1）割尾法。

故133可以被7整除。

2）将它三位三位截断后，奇数段之和减去偶数段之和的差的绝对值能被7整除。

例如判断1798638345能否被7整除？3）末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差绝对值能被7整除。

例如判断69272、13275能否被7整除？4、能被11整除的数：1）割尾法。

若将一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的1倍，如果差是11的倍数，则原数能被11整除。

如果差太大或心算不易看出是否为11的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如判断6259能否被11整除？2）将它三位三位截断后，奇数段之和减去偶数段之和的差的绝对值能被11整除。

例如判断55138028、44142405能否被11整除？3）该数的奇数位数字和减去偶数位数字和所得的差的绝对值能被11整除。

例如判断55138028、44142405能否被11整除？4）注意：奇数位数首位单独为一节。

5）末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差绝对值能被11整除。

例如判断44528能否被11整除？5、能被13整除的数：1）末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。

例如判断5005、73853能否被13整除？2）将它三位三位截断后，奇数段之和减去偶数段之和的差的绝对值能被13整除。

例如判断106736097、57157059能否被13整除？3）逐次去掉最后一位数字并加上末位数字的4倍后能被13整除。

7、11、13的整除判定法则华图教育邹维丽在公务员考试数学运算这部分中，不少题目通过适当运用数的整除性质就可快速选出答案，这就要求考生对数的整除判断法则要熟练掌握。

下面我们先给出一些特殊数的整除判定基本法则：一、能被2、4、8、5、25、125 整除的数的数字特性能被2 （或5）整除的数，末位数字能被2（或5）整除；能被4 （或25）整除的数，末两位数字能被4（或25）整除；能被8 （或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除；一个数被2（或5）除得的余数，就是其末位数字被2（或5）除得的余数一个数被4（或25）除得的余数，就是其末两位数字被4（或25）除得的余数一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数字被8（或125）除得的余数二、能被3、9 整除的数的数字特性能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。

一个数被3（或9）除得的余数，就是其各位相加后被3（或9）除得的余数。

三、能被7 整除的数的数字特性能被7 整除的数，其末一位的两倍与剩下的数之差为7的倍数。

能被7 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被7 整除。

四、能被11 整除的数的数字特性能被11 整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11 整除。

能被11 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被11 整除。

五、能被13 整除的数的数字特性能被13 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被13 整除。

从上述表述中，我们发现7、11、13有一个相同的整除判断法则，就是判断其末三位与剩下的数之差，那么，为什么7、11、13有相同的整除判断法则呢？事实上，这一规律源自经典分解1001=7×11×13。

下面我们利用1001=7×11×13来证明能被7整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被7整除。

设abcd为超过三位的数，其中b, c, d分别为百位数、十位数、个位数，则abcd a bcd=+，1000为了凑出1001，我们将1000a写成1001a a-，于是我们有=+=-+=+-100010011001()abcd a bcd a a bcd a bcd a因为1001能被7整除，所以，若bcd a-能被7 整除，则上式右边能被7整除，。

被7、11、13、17、19整除的数的特性之阳早格格创做那个问题从分歧的视角瞅察，大概会得到分歧的问案.也便是道，推断一个数是可被7、11、13整除，有很多要领，但是最前提最时常使用的是：一个多位数的终三位数取终三位往日的数字所组成的数之好，如果能被7、11、13整除，那么，那个多位数便一定能被7、11、13整除．比圆，能被13整除的数的特性是，一个多位数的终三位数取终三位往日的数字所组成的数之好，如果能被13整除，那么，那个多位数便一定能被13整除．比圆：推断383357能出有克出有及被13整除．那个数的已三位数字是357，终三位往日的数字所组成的数是383，那二个数的好是：383－357=26，26能被13整除，果此，383357也一定能被13整除．那个要领也共样适用于推断一个数能出有克出有及被7或者11整除．如：283679的终三位数字是679，终三位往日数字所组成的数是283，679－283=396，396能被11整除，果此，283679便一定能被11整除．仍以本数为例，终三位数字取前二数字的好是396，396出有克出有及被7整除，果此，283697便一定出有克出有及被7整除．另有一个要领是比较时常使用的：果为7×11×13＝1001，果此，能被1001整除的数，不妨共时被7、11、战13整除.第二道例8便用到那个论断.其余的要领皆出那么时常使用，但是很多，比圆：能被11整除的数的特性把一个数由左边背左边数，将奇位上的数字取奇位上的数字分别加起去，再供它们的好，如果那个好是11的倍数(包罗0)，那么，本去那个数便一定能被11整除.比圆：推断491678能出有克出有及被11整除. 奇位数字的战9+6+8=23 ；奇位数位的战4+1+7=12 23-12=11，果此，491678能被11整除.那种要领喊“奇奇位好法”.能被13整除的数的特性把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果战是13的倍数，则本数能被13整除.如果数字仍旧太大出有克出有及曲交瞅察出去，便沉复此历程.如：推断1284322能出有克出有及被13整除. 128432+2×4=128440 ，12844+0×4=12844， 1284+4×4=1300 ，1300÷13=100 ，所以，1284322能被13整除.能被17整除的数的特性把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果好是17的倍数，则本数能被17整除.如果数字仍旧太大出有克出有及曲交瞅察出去，便沉复此历程.比圆：推断1675282能出有克出有及被17整除.167528-2×5=167518 ，16751-8×5=16711 ，1671-1×5=1666 ，166-6×5=136到那里如果您仍旧瞅察出有出去，便继承…… 6×5=30，当前个位×5=30>剩下的13，便用大数减去小数，30-13=17，17÷17=1；所以1675282能被17整除.能被19整除的数的特性把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果好是19的倍数，则本数能被19整除.如果数字仍旧太大出有克出有及曲交瞅察出去，便沉复此历程.。

7、11、13的整除判定法则华图教育邹维丽在公务员考试数学运算这部分中，不少题目通过适当运用数的整除性质就可快速选出答案，这就要求考生对数的整除判断法则要熟练掌握。

下面我们先给出一些特殊数的整除判定基本法则：一、能被2、4、8、5、25、125 整除的数的数字特性能被2 （或5）整除的数，末位数字能被2（或5）整除；能被4 （或25）整除的数，末两位数字能被4（或25）整除；能被8 （或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除；一个数被2（或5）除得的余数，就是其末位数字被2（或5）除得的余数一个数被4（或25）除得的余数，就是其末两位数字被4（或25）除得的余数一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数字被8（或125）除得的余数二、能被3、9 整除的数的数字特性能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。

一个数被3（或9）除得的余数，就是其各位相加后被3（或9）除得的余数。

三、能被7 整除的数的数字特性能被7 整除的数，其末一位的两倍与剩下的数之差为7的倍数。

能被7 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被7 整除。

四、能被11 整除的数的数字特性能被11 整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11 整除。

能被11 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被11 整除。

五、能被13 整除的数的数字特性能被13 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被13 整除。

从上述表述中，我们发现7、11、13有一个相同的整除判断法则，就是判断其末三位与剩下的数之差，那么，为什么7、11、13有相同的整除判断法则呢？事实上，这一规律源自经典分解1001=7×11×13。

下面我们利用1001=7×11×13来证明能被7整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被7整除。

设abcd为超过三位的数，其中b, c, d分别为百位数、十位数、个位数，则abcd a bcd=+，1000为了凑出1001，我们将1000a写成1001a a-，于是我们有=+=-+=+-100010011001()abcd a bcd a a bcd a bcd a因为1001能被7整除，所以，若bcd a-能被7 整除，则上式右边能被7整除，。

能被4、7、8、11、13整除的数的特征及其它一、被4或25整除的数的特征如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么，这个数就一定能被4或25整除．例如：4675＝46×100＋75由于100能被25整除，100的倍数也一定能被25整除，4600与75均能被25整除，它们的和也必然能被25整除．因此，一个数只要末两位数能被25整除，这个数就一定能被25整除．又如： 832＝8×100＋32由于100能被4整除，100的倍数也一定能被4整除，800与32均能被4整除，它们的和也必然能被4整除．因此，因此，一个数只要末两位数字能被4整除，这个数就一定能被4整除．二、被7整除的数的特征方法1、（适用于数字位数少时）一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的2倍，这样，一次次减下去，如果最后的结果是7的倍数（包括0），那么，原来的这个数就一定能被7整除．例如：判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

方法2、（适用于数字位数在三位以上）一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，如果能被7整除，那么，这个多位数就一定能被7整除．如判断数280679末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是280，679－280=399，399能被7整除，因此280679也能被7整除。

此法也适用于判断能否被11或13整除的问题。

如：283679的末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是283，679－283=396，396能被11整除，因此，283679就一定能被11整除．如：判断383357能不能被13整除．这个数的未三位数字是357，末三位以前的数字所组成的数是383，这两个数的差是：383－357=26，26能被13整除，因此，383357也一定能被13整除．方法3、首位缩小法，在首位或前几位，减于7的倍数。

被7、11、13、17、19整除的数的特征之欧侯瑞魂创作这个问题从分歧的视角观察，可能会得到分歧的答案。

也就是说，判断一个数能否被7、11、13整除，有很多方法，但最基础最经常使用的是：一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，如果能被7、11、13整除，那么，这个多位数就一定能被7、11、13整除．比方，能被13整除的数的特征是，一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，如果能被13整除，那么，这个多位数就一定能被13整除．例如：判断383357能不克不及被13整除．这个数的未三位数字是357，末三位以前的数字所组成的数是383，这两个数的差是：383－357=26，26能被13整除，因此，383357也一定能被13整除．这个方法也同样适用于判断一个数能不克不及被7或11整除．如：283679的末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是283，679－283=396，396能被11整除，因此，283679就一定能被11整除．仍以原数为例，末三位数字与前两数字的差是396，396不克不及被7整除，因此，283697就一定不克不及被7整除．还有一个方法是比较经常使用的：因为7×11×13＝1001，因此，能被1001整除的数，能够同时被7、11、和13整除。

第二讲例8就用到这个结论。

其余的方法都没那么经常使用，但很多，比方：能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数(包含0)，那么，原来这个数就一定能被11整除。

例如：判断491678能不克不及被11整除。

奇位数字的和9+6+8=23 ；偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11，因此，491678能被11整除。

这种方法叫“奇偶位差法”。

能被13整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。

数的整除（能被7、9、11、13整除的数的特征）专题训练知识梳理：1、整数a除以整数b(b≠0)，所得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除(也可以说b能整除a)。

2、如果整数a能被整数b(b≠0)整除，则称a是b的倍数，b是a的约数。

3、能被9整除的数，其数字和一定是9的倍数．4、能被11整除的数的特征是这个数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除。

5、一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位以前的数字组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除。

例题精讲1、判断47382能否被3或9整除？分析：能被3或9整除的数的特点是这个数各数位上的数字和是3或9的倍数。

47382各个数位的数字相加和是24，24是3的倍数但不是9的倍数。

解：47382能被3整除，不能被9整除2、判断42559，7295871能否被11整除？分析：一个三位以上的整数能否被11整除，只须看这个数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除。

解：42559奇数位的数字和为4+5+9=18，偶数位的数字和为2+5=7，18-7=11是11的倍数，所以42559能被11整除；7295871奇数位的数字和为7+9+8+1=25，偶数位的数字和为2+5+7=14，25-14=11是11的倍数，所以7295871也能被11整除。

3、32335能否被7整除？分析：一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位以前的数字组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除。

解：335-32=303，303不能被7整除，所以32335不能被7整除。

专题特训1、把516至少连续写几次，所组成的数能被9整除？2、四位数36AB能同时被2、3、4、5、9整除，则A=B=？3、173□是一个四位数，在这个□中先后填入3个数，所得到的3个四位数依次能被9、11、6整除，先后填入的3个数分别是几？4、九位数8765□4321能被21整除，□中应填几？5、用1~7七个数字组成不重复数字且能被11整除的七位数，最大的七位数与最小七位的数差是多少？6、一个五位数a236b能被63整除，这个五位数是多少？7、如果六位数1992口口能被105整除，那么它的最后两位数是多少?8、有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数可能是多少？9、一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商可能是多少？10、42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是多少？答案与解析1、解：能被9整除的数的特点是各数位的数字和能被9整除，5+1+6=12，至少再连续写三次，得到516516516各数字的和为36，才能被9整除。