(新课程)高中数学《1.5定积分的概念》导学案 新人教A版选修2-2

§1.5.3定积分的概念【学情分析】：前面两节（曲边梯形的面积和汽车行驶的路程）课程的学习为定积分的概念的引入做好了铺垫。

学生对定积分的思想方法已有了一定的了解。

【教学目标】：（1）知识与技能：定积分的概念、几何意义及性质（2）过程与方法：在定积分概念形成的过程中，培养学生的抽象概括能力和探索提升能力。

（3）情感态度与价值观：让学生了解定积分概念形成的背景，培养学生探究数学的兴趣.【教学重点】：理解定积分的概念及其几何意义，定积分的性质【教学难点】：对定积分概念形成过程的理解【教学过程设计】：()1i ∑练习与测试： （基础题） 1.函数()f x 在[],a b 上的定积分是积分和的极限，即()baf x dx =⎰_________________ .答案：01lim()niii f x λξ→=∆∑2.定积分的值只与______及_______有关，而与_________的记法无关 . 答案：被积函数,积分区间,积分变量；3.定积分的几何意义是_______________________ .答案：介于曲线()y f x =,x 轴 ,直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和；4.据定积分的几何意义()a b <，则________;badx =⎰________.baxdx =⎰答案：b a - ， 222b a -（提高题）5.将和式极限表示成定积分 (1). 21lim(12)n n n →∞+++ 解：122011111lim (12)lim lim n nn n n i i i n i xdx nnn n→∞→∞→∞==+++===∑∑⎰ (2).201lim ()ni ii f x λξ→=∆∑，其中{}0121,[,],n i i i i x a x x x b x x Max x ξλ-=<<<<=∈=解：2201lim()()()nbbi i aai f x g x dx f x dx λξ→=∆==∑⎰⎰6. 利用定义计算定积分211.dx x⎰解：在[1,2]中插入分点21,,,n q q q -,典型小区间为1[,]i i q q -，（1,2,,i n =）小区间的长度11(1)i i i i x q q q q --∆=-=-,取1i i q ξ-=，（1,2,,i n =）1111111()(1)nnni i i i i i i i i f x x q q q ξξ--===∆=∆=-∑∑∑1(1)(1)ni q n q ==-=-∑取2nq =即12nq =，11()(21),nniii f xn ξ=∆=-∑1121lim (21)limln 2,1x xx x x x→+∞→+∞--==1lim (21)ln 2,nn n →∞∴-=1210111lim lim (21)ln 2.nn i n i idx x n x λξ→→∞==∆=-=∑⎰。

§1.5.2汽车行驶的路程
【学情分析】：
学生在上一节学习了求曲边梯形面积之后，对定积分基本思想方法有了初步的了解。

这一节可帮助学生进一步强化理解定积分概念的形成过程。

【教学目标】：
（1）知识与技能：“以不变代变”思想解决实际问题。

（2）过程与方法：强化掌握“分割、以不变代变、求和、取极限”解决问题的思想方法
（3）情感态度与价值观：通过引导学生用已学知识求曲边梯形的面积，培养学生应用数学的意识。

【教学重点】：
“以不变代变”的思想方法，再次体会求解过程中蕴含着的定积分的基本思想【教学难点】：
过程的理解．
【教学过程设计】：
b n
n ∑。

某某省某某市肥城市第三中学高中数学教案定积分及其应用学案新人教A版选修2-2yy记作f(x)dx 。

即f(x)dx ＝)(1lim i ni n f n ab ξ∑=∞→-。

其中)(x f 称为被积函数，dx x f )(称为被积式，x 称为积分变量，],[b a 称为积分区间，b a ,分别称为 积分上限和积分下限。

2定积分的几何意义：①若0)(≥x f ，则积分⎰badxx f )(表示如图所示的曲边梯形的面积，即S dx x f ba=⎰)(②若0)(≤x f ，则积分⎰ba dx x f )(表示如图所示的曲边梯形面积的负值，即S dx x f ba-=⎰)(③一般情况下，定积分⎰b adxx f )(表示介于x 轴、曲线()f x及b x a x ==,之间的曲边梯形面积的代数和，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值的相反数， 3定积分的性质。

（１）⎰badx x kf )(＝k ⎰ba dxx f )(。

（２）[]dx x fx f ba)()(21±⎰＝。

（３）dx x f ba⎰)(＝ 。

4微积分基本定理：一般地，若f(x)为在][b a ,上的连续函数，且有)()(x f x F ='，那么⎰=badx x f )(，这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式，可记作⎰=badx x f )(= 。

常见求定积分的公式新知得到知识1n B.1n C.1n D.3lim n n →∞由落体的速，则落体从到0t t =所走路程为B.gtC.2012gtD.2014gt答案： 234-125+2l 4n四．精讲点拨： 例1：计算下列定积分：（1）dx x ⎰402sin π（2）。

dx x e x⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+2121（3）dx x ⎰-2123答案：（1）418-π（2）21e 4+ln2-21e 2 (3)21例2利用定积分求图形的面积：求由抛物线,12-=x y 直线x=2，y=0围成的图形的面积。

1.5.3定积分的概念【学习目标】1.了解定积分的概念和性质；2.了解定积分的几何意义；3.能对简单的定积分进行计算．【新知自学】 知识回顾：求曲边梯形的面积：（1）思想：以直代曲、逼近；（2）步骤：分割→近似代替→求和→取极限；关键：近似代替；结果：分割越细，面积越精确.新知梳理：1.定积分的概念：一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点012a x x x =<<< …1i i x x -<<<…n x b <=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆=______，在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=L ，作和式：11()()n n n i i i i b a S f x f nξξ==-=∆=∑∑.如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为________________________．记为_______. 其中()f x 称为_________，x 叫做________，[,]a b 为_______，b 叫做积分____，a 叫做积分_____________．说明：（1）定积分()ba f x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()ba f x dx ⎰，而不是n S ．（２）曲边图形面积：()b a S f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()ba W F r dr =⎰． 2．定积分的几何意义：如下图所示，如果在区间)(],[x f b a 上函数连续且恒有0)(≥x f ，那么定积分⎰ba dx x f )(表示直线x a =,()xb a b =≠,0y =和曲线y=f(x)围成的曲边梯形的面积.3．定积分的性质：（１）=⎰ba kdx _______（k 为常数）； （２）=⎰ba dx x kf )(____________（其中k 是不为0的常数）； （３）[]=±⎰b a dx x f x f )()(21_______________； （４）=⎰ba dx x f )(__________________（其中bc a <<）． 对点练习：1.下列等于1的积分是（ ）A.dx x ⎰10B.dx x ⎰+10)1(C.dx ⎰101D.dx ⎰1021 3．设⎩⎨⎧<≥=⎰-112)().0(2),0()(dx x f x x x x f x 则的值是（ ） A.⎰-112dx x ⎰-112.dx B x ⎰⎰+-100122.dx dx x C x ⎰⎰+-102012.dx x dx D x 3．曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为__________.4.当函数)(x f 在区间上],[b a 连续且恒有0)(≤x f （即函数图象在x 轴下方）时，定积分⎰ba dx x f )(表示___________________________. 【合作探究】 典例精析：例1. 根据定积分的几何意义计算定积分：dx x ⎰-31|2|的值．变式练习：根据定积分的几何意义计算定积分21(1)x dx+⎰的值．例2.利用定积分的定义，计算⎰103dxx的值．变式练习：计算⎰203dx x 的值，并从几何上解释这个值表示什么含义．【课堂小结】【当堂达标】1.求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为（ ）A.［0，2e ］B.［0，2］C.［1，2］D.［0，1］2.下列命题不正确的是（ ）．A.若)(x f 是连续的奇函数，则0)(=⎰-a a dx x f B.若)(x f 是连续的偶函数，则⎰⎰=-aa a dx x f dx x f 0)(2)( C.若)(x f 在],[b a 上连续且恒正，则0)(>⎰b a dx x f D.若)(x f 在],[b a 上连续且0)(>⎰b adx x f ，则)(x f 在],[b a 上恒正3.化简求值=+⎰⎰2110xdx xdx ______________＝ _____________ ．4.试用定积分的几何意义说明⎰-2024dx x 的大小．【课时作业】1.已知⎰⎰+=2020]6)([,3)(dx x f dx x f 则=( )A.9B.12C.15D.182.若函数x x x f +=3)(，则⎰-22)(dx x f 等于（ ）．A.0B.8C.⎰20)(dx x fD.2⎰20)(dx x f3.将和式的极限)0(.......321lim 1>+++++∞→p nn P pp p p n 表示成定积分是（ ） A.dx x ⎰101B.dx x p⎰10 C.dx x p ⎰10)1( D.dx n x p⎰10)(4.利用定积分的性质和几何意义求定积分⎰-302)2(dx x ．5.用定积分表示右图中阴影部分的面积.。

人教版高中数学选修2-2学案：1.5.3定积分的概念1.5.3定积分的概念【学习目标】1.了解定积分的概念和性质；2.了解定积分的几何意义；3.能对简单的定积分进行计算．【新知自学】知识回顾：求曲边梯形的面积：（1）思想：以直代曲、逼近；（2）步骤：分割?近似代替?求和?取极限；关键：近似代替；结果：分割越细，面积越精确.新知梳理：1.定积分的概念：一般地，设函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点a?x0?x1?x2? …?xi?1?xi?…?xn?b将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间长度为?x?______，在每个小区间?xi?1,xi?上取一点?i?i?1,2,Sn??f(?i)?x??i?1i?1nn,n?，作和式：b?af(?i).如果?x无限接近于0（亦即n???）时，上述和n式Sn无限趋近于常数S，那么称该常数S为________________________．记为_______. 其中f(x)称为_________，x叫做________，[a,b]为_______，b叫做积分____，a叫做积分_____________．说明：（1）定积分?baf(x)dx是一个常数，即Sn无限趋近的常数S（n???时）称为?baf(x)dx，而不是Sn．b（２）曲边图形面积：S??f?x?dx；变速运动路程S??v(t)dt；变力做功at1t2W??F(r)dr．ab2．定积分的几何意义：如下图所示，如果在区间[a,b]上函数f(x)连续且恒有f(x)?0，那么定积分示直线x?a,x?b(a?b),y?0和曲线y=f(x)围成的曲边梯形的面积.?f(x)dx表ab3．定积分的性质：（１）kdx?_______（k为常数）；a?b（２）kf(x)dx?____________（其中k是不为0的常数）；a?b（３）（４）??f(x)?fa1bab2(x)?dx?_______________；． ?f(x)dx?__________________（其中a?c?b）对点练习：1.下列等于1的积分是（） A.??101xdx B.?(x?1)dx01C.1dx D.01?02dx1?x2(x?0),13．设f(x)??x则f(x)dx的值是（）?2(x?0).?1?A.?01?1x2dx B.?2xdx?121x0x10?101C.?xdx??2dx D.?2dx??x2dx?13．曲线y?x2,x?0,y?1，所围成的图形的面积可用定积分表示为__________.4.当函数f(x)在区间[a,b]上连续且恒有f(x)?0（即函数图象在x轴下方）时，定积分?f(x)dx表示___________________________.ab【合作探究】典例精析：例1. 根据定积分的几何意义计算定积分：|x?2|dx的值．1?3变式练习：根据定积分的几何意义计算定积分例2.利用定积分的定义，计算?21(x?1)dx的值．?x013dx的值．变式练习：计算?20x3dx的值，并从几何上解释这个值表示什么含义．【课堂小结】【当堂达标】1.求由y?ex,x?2,y?1围成的曲边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分区间为（）A.［0，e2］B.［0，2］C.［1，2］D.［0，1］ 2.下列命题不正确的是（）． A.若f(x)是连续的奇函数，则B.若f(x)是连续的偶函数，则??a?aaf(x)dx?0 f(x)dx?2f(x)dx0?a?aC.若f(x)在[a,b]上连续且恒正，则D.若f(x)在[a,b]上连续且b?f(x)dx?0ab?f(x)dx?0，则f(x)在[a,b]上恒正a3.化简求值xdx?xdx?______________＝ _____________ ．01?1?24.试用定积分的几何意义说明?204?x2dx的大小．【课时作业】1.已知?20f(x)dx?3,则[f(x)?6]dx=( )0?2A.9 B.12 C.15 D.18 2.若函数f(x)?x3?x，则?2?2f(x)dx等于（）．A.0B.8C.f(x)dxD.2f(x)dx00?2?23.将和式的极限1p?2p?3p?.......?nplim(p?0)表示成定积分是（） n??nP?111pA.?dx B.?xdx00x1x11C.?()pdx D.?()pdx 0x0n14.利用定积分的性质和几何意义求定积分?30(2?x)2dx．5.用定积分表示右图中阴影部分的面积.yAy?f1(x)BDy?f(x)C2bxOa感谢您的阅读，祝您生活愉快。

1.5 定积分的概念三维目标：知识与技能：⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；⒉借助于几何直观体会定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分． 3.理解掌握定积分的几何意义和性质；过程与方法：通过问题的探究体会逼近、以直代曲的数学思想方法。

情感态度与价值观：通过分割、逼近的观点体会定积分的来历，使学生从本质上理解定积分的几何意义，从而激发学生学习数学的兴趣。

教学重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 教学过程： 一．创设情景问题：我们在小学、初中就学习过求平面图形面积的问题。

有的是规则的平面图形，但现实生活中更多的是不规则的平面图形。

对于不规则的图形我们该如何求面积？比如浙江省的国土面积。

此问题在学生九年级中已有涉及，在九 年级时学生了解过以下求不规则面积的方法：方法1 将图形放在坐标纸上，也即将图形分割，看它有多少个“单位面积”。

方法2 将图形从内外两个方面用规则图形(或规则图形的组合)逼近。

方法3 将这块图形用一个正方形围住，然后随机地向正方形内扔“点”(如小石子等小颗粒)，当点数P 足够大时，统计落入不规则图形中的点 数A ，则图形的面积与正方形面积的比约为。

方法4“称量”面积：在正方形区域内均匀铺满一层细沙，分别称得重量是P(正方形区域内细沙重)、A(所求图形内细沙重)，则所求图形的面积与正方形面积的比是重量之比。

二．合作探究问题一 曲边梯形的面积如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线()y f x =的一段，我们把由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？探究1：分割，怎样分割？分割成多少个？分成怎样的形状？有几种方案？ （分割） 提出自己的看法，同伴之间进行交流。

探究2：采用哪种好？把分割的几何图形变为代数的式子。

1．5.3 定积分的概念问题1提示：分割、近似代替、求和、取极限． 问题2：你能将区间等分吗？ 提示：可以．定积分的概念如果函数f (x )在区间上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －a nf (ξi )．当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间上的定积分，记作⎠⎛ab f(x)d x ，即⎠⎛ab f(x)d x ＝lim n→∞∑i ＝1nb －an f(ξi )．其中a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)d x 叫做被积式．对定积分概念的理解由定义可得定积分⎠⎛ab f(x)d x 是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即⎠⎛a b f(x)d x ＝⎠⎛a b f(t)d t ＝⎠⎛ab f(u)d u.问题1：根据定积分的定义，求⎠⎛12(x ＋1)d x 的值是多少．提示：⎠⎛12(x ＋1)d x ＝52.问题2：⎠⎛12(x ＋1)d x 的值与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，f(x)＝x ＋1围成的梯形的面积有什么关系？提示：相等．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间上函数f(x)连续且恒有f (x )≥0，那么定积分⎠⎛ab f(x)d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分⎠⎛ab f(x)d x的几何意义．评析定积分的几何意义关于定积分的几何意义，当函数f(x)在区间上恒为正时，定积分⎠⎛a b f (x )d x 的几何意义是以曲线f(x)为曲边的曲边梯形的面积．一般情况下，如图，定积分⎠⎛ab f(x)d x 的几何意义是介于x 轴、函数f(x)的图象以及直线x ＝a ，x ＝b 之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号.问题1：利用定积分的定义，试求⎠⎛12x 2d x ，⎠⎛122x d x ，⎠⎛12(x 2＋2x)d x.提示：计算得⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛122x d x ＝3，⎠⎛12(x 2＋2x)d x ＝163.问题2：由问题1计算得出什么结论？提示：⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛122x d x ＝⎠⎛12(x 2＋2x)d x.问题3：还有相类似的性质吗？ 提示：有．定积分的性质(1)⎠⎛ab kf(x)d x ＝k ⎠⎛ab f(x)d x(k 为常数)；(2)⎠⎛a bd x ＝⎠⎛abf 1(x)d x±⎠⎛abf 2d x；(3)⎠⎛a b f(x)d x ＝⎠⎛a c f(x)d x ＋⎠⎛cb f(x)d x(其中a<c<b)．对定积分的性质的说明定积分的性质(1)(2)被称为定积分的线性运算，定积分的性质(3)被称为区间的连续可加性，定积分的性质可以推广为：①⎠⎛a bd x ＝⎠⎛abf 1(x)d x±⎠⎛abf 2d x±…±⎠⎛ab f m (x)d x(m ∈N *)．②⎠⎛a b f(x)d x ＝∫c 1a f(x)d x ＋⎠⎛c 1c 2f(x)d x ＋…＋⎠⎛bc kd x (a<c 1<c 2<…<c k <b ，且k ∈N *)．⎠⎛1令f(x)＝3x ＋2. (1)分割在区间上等间隔地插入n －1个分点，把区间等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i ＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n.(2)近似代替、作和取ξi ＝n ＋i －1n(i ＝1,2，…，n)，则S n ＝∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n ·Δx ＝∑i ＝1n＋i －n＋2·1n ＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤－n2＋5n ＝3n 2＋5＝32×n 2－n n 2＋5＝132－32n.(3)取极限⎠⎛12(3x ＋2)d x ＝li m n→∞S n ＝li m n→∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫132－32n ＝132.利用定义求定积分的步骤利用定积分的定义，计算⎠⎛12(x ＋1)d x 的值．解：f(x)＝x ＋1在区间上连续，将区间等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n (i ＝1,2，…，n)，每个区间的长度为Δx ＝1n.在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n 上取ξi＝1＋i －1n (i ＝1,2，…，n)， ∴f(ξi )＝1＋1＋i －1n ＝2＋i －1n，∴∑i ＝1nf(ξi )·Δx ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫2＋i －1n ·1n＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫2n ＋i －1n 2＝2n ·n＋1n2 ＝2＋n －12n ＝2＋12－12n ＝52－12n，∴⎠⎛21(1＋x)d x ＝lim n→∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－12n ＝52.(1)⎠⎛012d x ；(2)⎠⎛12x d x ；(3) ⎠⎛－111－x 2d x.(1)⎠⎛012d x 表示的是图①中阴影部分所示长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所以⎠⎛012d x ＝2.(2)⎠⎛12x d x 表示的是图②中阴影部分所示梯形的面积，由于这个梯形的面积为32，所以⎠⎛12x d x ＝32.(3)⎠⎛1－11－x 2d x 表示的是图③中阴影部分所示半径为1的半圆的面积，其值为π2，所以⎠⎛－111－x 2d x ＝π2.利用几何意义求定积分的方法利用定积分所表示的几何意义求⎠⎛ab f(x)d x 的值的关键是确定由曲线y ＝f(x)，直线x ＝a ，直线x ＝b 及x 轴所围成的平面图形的形状．常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．用定积分表示下图中阴影部分的面积，并根据定积分的几何意义求出定积分的值．解：图①中，被积函数f(x)＝－1－x 在区间上连续不间断，且f(x)≤0， 根据定积分的几何意义，图中阴影部分的面积为 S ＝－⎠⎛－12 (－1－x)d x ＝12×3×3＝92，所以阴影部分的面积为92.图②中，被积函数f(x)＝－1－x 2在区间上连续不断，且f(x)≤0， 根据定积分的几何意义，图中阴影部分的面积为S ＝－⎠⎛－11－1－x 2d x ＝12π×12＝π2，所以阴影部分的面积为π2.已知⎠⎛01x 3d x ＝4，⎠⎛12x 3d x ＝4，⎠⎛12x 2d x ＝3，⎠⎛24x 2d x ＝3，求下列各式的值：(1)⎠⎛02(3x 3)d x ；(2)⎠⎛14(6x 2)d x ；(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x .(1)⎠⎛02(3x 3)d x ＝3⎠⎛02x 3d x ＝3⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 3d x ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋154＝12.(2)⎠⎛14(6x 2)d x ＝6⎠⎛14x 2d x ＝6⎝⎛⎭⎫⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛24x 2d x ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋563＝126.(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x ＝⎠⎛12(3x 2)d x －⎠⎛12(2x 3)d x＝3⎠⎛12x 2d x －2⎠⎛12x 3d x ＝3×73－2×154＝－12.定积分与函数的奇偶性若函数f (x )的奇偶性已经明确，且f (x )在上连续，则： (1)若函数f (x )为奇函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝0；(2)若函数f (x )为偶函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .已知⎠⎛a b d x ＝12，⎠⎛ab g(x )d x ＝6，求⎠⎛ab 3f (x )d x .解：∵⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛a b g(x )d x ＝⎠⎛ab d x ，∴⎠⎛a b f (x )d x ＝12－6＝6，∴⎠⎛ab 3f (x )d x ＝3⎠⎛ab f (x )d x ＝3×6＝18.5.错用定积分的几何意义致误由y ＝cos x 及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表示为________．由y ＝cos x 及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形可以分成三部分：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π，利用定积分的几何意义可得，所求面积为π⎰2cos x d x －ππ⎰322cos x d x ＋2ππ⎰32cos x d x .π⎰2cos x d x －ππ⎰322cos x d x ＋2ππ⎰32cos x d x1．若对定积分的几何意义理解不到位，则易错误地表示为∫2π0cos x d x. 2．写定积分时应注意：当f(x)≥0时，S ＝⎠⎛abd x ；而＜0时，S ＝－⎠⎛abd x.由定积分的几何意义可得⎠⎛－13(3x ＋1)d x ＝________. 解析：由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0以及y ＝3x ＋1所围成的图形，如图所示．⎠⎛－13(3x ＋1)d x 表示由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0以及y ＝3x ＋1所围成的图形在x 轴上方的面积减去在x 轴下方的面积，∴⎠⎛－13 (3x ＋1)d x＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋13×(3×3＋1)－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1×2＝503－23＝16. 答案：161．下列等式不成立的是( ) A. ⎠⎛a b d x ＝m ⎠⎛a b f (x )d x ＋n ⎠⎛ab g(x )d xB. ⎠⎛a b d x ＝⎠⎛ab f (x )d x ＋b －aC. ⎠⎛ab f (x )g(x )d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ·⎠⎛ab g(x )d xD.⎠⎛－2π2πsin x d x ＝⎠⎛－2ππsin x d x ＋⎠⎛02πsin x d x解析：选C 利用定积分的性质可判断A ，B ，D 成立，C 不成立． 例如⎠⎛02x d x ＝2，⎠⎛022d x ＝4，⎠⎛022x d x ＝4，⎠⎛022x d x ≠⎠⎛02x d x ·⎠⎛022d x . 2．图中阴影部分的面积用定积分表示为()A.⎠⎛012xd xB.⎠⎛01(2x－1)d xC .⎠⎛01(2x ＋1)d xD.⎠⎛01(1－2x)d x解析：选B 根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为⎠⎛012xd x －⎠⎛011d x ＝⎠⎛01(2x－1)d x .3．由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________．解析：∵0<x <π2∴sin x >0.∴y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为π⎰2sin x d x .答案：π⎰2sin x d x4．若⎠⎛a b d x ＝3，⎠⎛a b d x ＝1，则⎠⎛ab d x ＝________.解析：⎠⎛ab d x＝⎠⎛a b d x＝⎠⎛ab d x －⎠⎛ab d x＝3－1＝2. 答案：25．用定积分的几何意义求⎠⎛－114－x 2d x .解：由y ＝4－x 2可知x 2＋y 2＝4(y ≥0)，其图象如图．⎠⎛－114－x 2d x 等于圆心角为60°的弓形CD 的面积与矩形ABCD 的面积之和． S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sin π3＝2π3－3，S 矩形＝AB·BC ＝23， ∴⎠⎛－114－x 2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3.一、选择题1．若⎠⎛a b f(x)d x ＝1，⎠⎛ab g(x)d x ＝－3，则⎠⎛ab d x 等于( )A ．2B ．－3C ．－1D ．4解析：选C ⎠⎛a b d x ＝2⎠⎛a b f(x)d x ＋⎠⎛ab g(x)d x ＝2×1－3＝－1.2．由定积分的几何意义可得⎠⎛02x2d x 的值等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A 定积分⎠⎛02x 2d x 等于直线y ＝x 2与x ＝0，x ＝2，y ＝0围成三角形的面积S ＝12×2×1＝1.3．已知f(x)为偶函数，且⎠⎛06f(x)d x ＝8，则⎠⎛6－d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．16解析：选D ∵被积函数f(x)是偶函数，∴在y 轴两侧的函数图象对称，从而对应的曲边梯形的面积相等，∴⎠⎛6－6f(x)d x ＝2⎠⎛06f(x)d x ＝2×8＝16.4．定积分⎠⎛13(－3)d x 等于( )A ．－6B ．6C ．－3D ．3解析：选A ⎠⎛133d x 表示的面积S ＝3×2＝6，⎠⎛13(－3)d x ＝－⎠⎛133d x ＝－6.5．定积分⎠⎛01x d x 与⎠⎛01x d x 的大小关系是( )A .⎠⎛01x d x ＝⎠⎛01x d xB .⎠⎛01x d x ＞⎠⎛01x d xC .⎠⎛01x d x ＜⎠⎛01x d x D ．无法确定解析：选C 由定积分的几何意义结合右图可知⎠⎛01x d x ＜⎠⎛01x d x. 二、填空题6．设f(x)是连续函数，若⎠⎛01f(x)d x ＝1，⎠⎛02f(x)d x ＝－1，则⎠⎛12f(x)d x ＝________.解析：⎠⎛02f(x)d x ＝⎠⎛01f(x)d x ＋⎠⎛12d x ，所以⎠⎛12d x ＝⎠⎛02f(x)d x －⎠⎛01f(x)d x ＝－2.答案：－27．如下图所示的阴影部分的面积用定积分表示为________．解析：由定积分的几何意义知，S ＝⎠⎛2－4x 22d x. 答案：⎠⎛2－4x 22d x 8.⎠⎛2－2(sin x ＋2x)d x ＝________. 解析：由定积分的性质可得⎠⎛2－2(sin x ＋2x)d x ＝ ⎠⎛2－2sin x d x ＋⎠⎛2－22x d x.又因为y ＝sin x 与y ＝2x 都是奇函数，故所求定积分为0. 答案：0三、解答题9．求⎠⎛1－1f(x)d x 的值，其中f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1，－1≤x<0，e －x ，0≤x≤1，且⎠⎛0－－d x ＝－2，⎠⎛01e －x d x ＝1－e －1.解：对于分段函数的定积分，通常利用积分区间可加性来计算，即⎠⎛1－1f(x)d x ＝⎠⎛0－1f(x)d x ＋⎠⎛01d x＝⎠⎛0－1(2x －1)d x ＋⎠⎛01e －x d x ＝－2＋1－e －1＝－(e －1＋1)．10．利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积．(1)⎠⎛1－1|x|d x ； (2)⎠⎛01d x.解：(1)如下图，因为A 1＝A 2，所以⎠⎛1－1|x|d x ＝2A 1＝2×12＝1. (A 1，A 2分别表示图中相应各处面积)(2)⎠⎛01d x ＝⎠⎛011d x －⎠⎛011－－2d x ，即用边长为1的正方形的面积减去圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14，为1－π4.。

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