2011-2018全国卷概率统计(理)大题专项训练

专题12 概率和统计一．基础题组1. 【2014课标Ⅰ，理5】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．18B．38C．58D．78【答案】D2. 【2013课标全国Ⅰ，理3】为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()．A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样【答案】C【解析】因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．3. 【2011全国新课标，理4】有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A．13B．12C．23D．34【答案】A 【解析】4. 【2012全国，理 15】(某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件 1或元件 2正 常工作，且元件 3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服 从正态分布 N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过 1 000小时的概率为__________．【答案】385. 【2014课标Ⅰ，理 18】从某企业生产的某种产品中抽取 500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果 得如下图频率分布直方图：（I ）求这 500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差 s 2 （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（II ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标 Z 服从正态分布N,，其中 近似为样2本平均数，2 近似为样本方差 s 2 .（i ）利用该正态分布，求 P187.8 Z212.2；（ii ）某用户从该企业购买了 100件这种产品，记 X 表示这 100件产品中质量指标值位于区间187.8,212.2的产品件数.利用（i ）的结果，求EX . 附： 150 12.2若 ZN则P Z 0.6826 ，~,2PZ。

专题11 概率和统计一．基础题组1. 【2013课标全国Ⅰ，文3】从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )． A ．12 B ．13 C ．14 D ．16【答案】B【解析】由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为13. 2. 【2011课标，文6】有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) , A.13 B.12 C.23 D.34【答案】A【解析】因为每位同学参加各个小组的可能性相等,所以所求概率为13,选A. 3. 【2008全国1，文2】掷一个骰子，向上一面的点数大于2且小于5的概率为1P ，抛两枚硬币，正面均朝上的概率为2P ，则（ ）A ．12P P <B ．12P P >C ．12P P = D.不能确定 【答案】B4. 【2017新课标1，文4】如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．14B．π8C．12D．π4【答案】B【解析】试题分析：不妨设正方形边长为，由图形的对称性可知，太极图中黑、白部分面积相等，即各占圆面积的一半．由几何概型概率的计算公式得，所求概率为221π()π228aa⨯⨯=，选B．【考点】几何概型5.【2016新课标1文数】为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是,（A）13（B）12（C）23（D）56【答案】C【解析】试题分析：将4种颜色的花种任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有4种，故所求概率为23，选C.【考点】古典概型【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答中的常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举.6. 【2015高考新课标1，文4】如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）（A）310（B）15（C）110（D）120【答案】C【解析】从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为110，故选C.【考点定位】古典概型7. 【2017新课标1，文2】为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数【答案】B【解析】试题分析：评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，故选B.【考点】样本特征数二．能力题组1. 【2007全国1，文13】从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：,492 496 494 495 498 497 501 502 504 496497 503 506 508 507 492 496 500 501 499根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g～501.5g 之间的概率约为__________。

2017------2018 年高考真题解答题专项训练:概率与统计（理科）学生版1．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7 人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的7 人中有4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查.（i）用 X 表示抽取的3 人中睡眠不．足．的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望；（ii）设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件 A 发生的概率 .2．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数140 50 300 200 800 510好评率0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“”表示第k 类电影得到人们喜欢，“”表示第k 类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差，，，，，的大小关系．3．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40 名工人，将他们随机分成两组，每组20 人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：试卷第 1 页，总4 页（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40 名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：超过不超过第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（ 2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：，4．下图是某地区2000 年至 2016 年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018 年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000 年至 2016 年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据 2010年至 2016 年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．5．根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：试卷第 2 页，总4 页辆），其中，，第个月底的共享单车的保有量是前个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第 4 个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第个月底的单车容纳量（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？6．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20 ，25），需求量为300 瓶；如果最高气温低于20，需求量为200 瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

2018年普通高等学校招生全国统一考试数学分类解析—概率统计一．选择题：1. (安徽理)（10）．设两个正态分布2111()(0)N μσσ>，和2222()(0)N μσσ>，的密度函数图像如图所示。

则有（ A ） A ．1212,μμσσ<<B ．1212,μμσσ<>C ．1212,μμσσ><D ．1212,μμσσ>>2.（福建理）(5)某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为45,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是 （B ）A.16625 B.96625 C.192625D.2566253. （福建文）(5)某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是 （C ）A.12125 B.16125 C.48125 D.961254. （广东理）（3）．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已知在全校 学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ C ） A ．24 B ．18 C ．16 D ．125.（湖南理） 4.设随机变量ζ服从正态分布N (2,9) ,若P (ζ＞c+1)=P (ζ＜c －)1,则c =(B)A.1B.2C.3D.46. （江西文）（11）．电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为 （C ）A ．1180 B ．1288 C ．1360D ．14807. （辽宁理文）（7）.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( C ) A.13 B.12 C.23 D.348.（山东理）（7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（B ） （A ）511（B ）681 （C ）3061（D ）40819.（山东理） (8)右图是根据《山东统计年整2018》中的资料作成的1997年至2018年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图.图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字，从图中可以得到1997年至2018年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为（B ）（A ）318.6 （B ）318.6 (C)318.6 (D)301.6 10.（山东文）9．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ B ）AB C ．3D ．8510.（陕西文）（3）．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（ C ） A ．30 B ．25 C ．20 D ．15 11.（重庆理）(5)已知随机变量ζ服从正态分布N (3,a 2),则P (3)ζ<＝（D ）(A)15(B)14(C)13(D)1212. （重庆文）(5)某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是（D ）(A)简单随机抽样法(B)抽签法7420136203851192(C)随机数表法 (D)分层抽样法13．（重庆文）(9)从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为 （B ）(A)184(B)121(C)25(D)35二．填空题：1.（广东文） （11）.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查 了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为[)45,55，[)[)[)55,65,65,75,75,85， [)85,95由此得到频率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在[)55,75的人数是 13 .2.（海南宁夏理文）（16）．从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm ），结果如下：甲品种：271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 318 318 318 318 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352乙品种：284 292 295 318 318 318 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 由以上数据设计了如下茎叶图根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论： ① ；3 127 7 5 5 0 28 4 5 4 2 29 2 5 8 7 3 3 1 30 4 6 79 4 0 31 2 3 5 5 6 8 8 8 5 5 3 32 0 2 2 4 7 9 7 4 1 33 1 3 6 734 3 2 35 6甲乙② ．以下任填两个：（1）．乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）． （2）．甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散．（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）．甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）． （3）．甲品种棉花的纤维长度的中位数为318mm ，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm ． （4）．乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）．甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀．3. （湖北文）11.一个公司共有1 000名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为50的样本，已知某部门有200名员工，那么从该部门抽取的工人数是 10 . 4．（湖北文）14.明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是 0.98 .5. （湖南理）15.对有n (n ≥4)个元素的总体｛1,2,3,…,n ｝进行抽样，先将总体分成两个子总体｛1,2,…，m ｝和｛m +1、m +2,…，n ｝(m 是给定的正整数，且2≤m ≤n -2),再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本，用P i j 表示元素i 和f 同时出现在样本中的概率，则P 1m =4()m n m -;所有P if (1≤i ＜j ≤)n 的和等于 6 .6. （湖南文）（12）从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多____60____人。

7．概率与统计1．【2018年浙江卷】设0<p<1,随机变量ξ分布列是ξ0 1 2P则当p在（0,1）内增大时,A. D（ξ）减小B. D（ξ）增大C. D（ξ）先减小后增大D. D（ξ）先增大后减小【答案】D点睛：2．【2018年理新课标I卷】下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究几何图形．此图由三个半圆构成,三个半圆直径分别为直角三角形ABC斜边BC,直角边AB,AC．△ABC三边所围成区域记为I,黑色部分记为II,其余部分记为III．在整个图形中随机取一点,此点取自I,II,III概率分别记为p1,p2,p3,则A. p1=p2B. p1=p3C. p2=p3D. p1=p2+p3【答案】A【解析】分析：首先设出直角三角形三条边长度,根据其为直角三角形,从而得到三边关系,之后应用相应面积公式求得各个区域面积,根据其数值大小,确定其关系,再利用面积型几何概型概率公式确定出p1,p2,p3关系,从而求得结果.详解：设,则有,从而可以求得面积为,黑色部分面积为,其余部分面积为,所以有,根据面积型几何概型概率公式,可以得到,故选A.点睛：该题考查是面积型几何概型有关问题,题中需要解决是概率大小,根据面积型几何概型概率公式,将比较概率大小问题转化为比较区域面积大小,利用相关图形面积公式求得结果.【2018年理新课标I卷】某地区经过一年新农村建设,农村经济收入增加了一倍．实现翻番．为3．更好地了解该地区农村经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确是A. 新农村建设后,种植收入减少B. 新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后,养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后,养殖收入与第三产业收入总和超过了经济收入一半【答案】A详解：设新农村建设前收入为M,而新农村建设后收入为2M,则新农村建设前种植收入为0.6M,而新农村建设后种植收入为0.74M,所以种植收入增加了,所以A项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M,新农村建设后其他收入为0.1M,故增加了一倍以上,所以B项正确；新农村建设前,养殖收入为0.3M,新农村建设后为0.6M,所以增加了一倍,所以C项正确；新农村建设后,养殖收入与第三产业收入综合占经济收入,所以超过了经济收入一半,所以D正确；故选A.点睛：该题考查是有关新农村建设前后经济收入构成比例饼形图,要会从图中读出相应信息即可得结果.4．【2018年全国卷Ⅲ理】某群体中每位成员使用移动支付概率都为,各成员支付方式相互独立,设为该群体10位成员中使用移动支付人数,,,则A. 0.7B. 0.6C. 0.4D. 0.3【答案】B点睛：本题主要考查二项分布相关知识,属于中档题。

2011年—2018年新课标全国卷理科数学试题分类汇编（逐题解析）13．排列组合、概率统计一、选择题(2018·新课标Ⅰ，理3)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下列选项中不正确的是：A ．新农村建设后，种植收入减少。

B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。

C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍。

D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。

(2018·新课标Ⅰ，理10)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ，ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则（ ）A ．12p p =B ．13p p =C ．23p p =D ．123p p p =+（2018·新课标Ⅱ，理8）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ） A ．112B ．114C ．115D ．118（2018·新课标Ⅲ，理8）某群体中的每位成品使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =（ ）A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3（2017·新课标Ⅰ，2）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．14 B ．π8 C ．12 D ．π4（2017·新课标Ⅱ，6）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种 （2017·新课标Ⅲ，3）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论错误的是（ ）.A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳（2016·新课标Ⅰ，4）某公司的班车在30:7，00:8，30:8发车，小明在50:7至30:8之间到达发车站乘坐班车，且到达发车丫的时候是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A ）31（B ）21 （C ）32 （D ）43 （2016·新课标Ⅱ，5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）A ．24B ．18C ．12D ．9（2016·新课标Ⅱ，10）从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ）A．4nm B．2nmC．4mnD．2mn（2016·新课标Ⅲ，4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15C，B点表示四月的平均最低气温约为5C.下面叙述不正确的是（）A. 各月的平均最低气温都在0C以上B. 七月的平均温差比一月的平均温差大C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同D. 平均最高气温高于20C的月份有5个（2015·新课标Ⅰ，4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）（A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312（2015·新课标Ⅱ，3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著.B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效.C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势.D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关.（2014·新课标Ⅰ，5）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（）A.18B.38C.58D.78（2014·新课标Ⅱ，5）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45（2013·新课标Ⅰ，3）为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()．A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样（2012·新课标Ⅰ，2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种（2011·新课标Ⅰ，4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）（A）13（B）12（C）23（D）34二、填空题(2018·新课标Ⅰ，理15)从2名女生，4名男生中选3人参加科技比赛，且至少有1名女生入选，则不同的选法共有种（用数字填写答案）.（2017·新课标Ⅱ，13）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D X=．（2013·新课标Ⅱ，14）从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n=______.（2012·新课标Ⅰ，15）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作. 设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布N(1000，502)，且各元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为.三、解答题(2018·新课标Ⅰ，理20) 某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为()01p p<<，且各件产品是否为不合格品相互独立．⑴记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p，求()f p的最大值点p；⑵现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以⑴中确定的p作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？（2018·新课标Ⅱ，理18）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．为了预测改地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年数据（时间变量t 的值依次为127⋅⋅⋅，，，）建立模型①：30.413.5y t =-+：根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127⋅⋅⋅，，，）建立模型②：9917.5y t =+． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．（2018·新课标Ⅲ，理18）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：⑴根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；⑵求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：⑶根据⑵中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，()20.0500.0100.0013.8416.63510.828P K kk≥．（2017·新课标Ⅰ，19）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ,σ2)．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件数，求 P (X ≥1)及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==≈，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i =1,2, (16)用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0．01）． 附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ,σ2)，则P (μ–3σ<Z <μ+3σ)=0．9974，0．997416≈0．95920.09≈．（2017·新课标Ⅱ，18）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学|科网，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A 的概率；22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（2017·新课标Ⅲ，18）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)2025，，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？（2016·新课标Ⅰ，19）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． （Ⅰ）求X 的分布列；（Ⅱ）若要求5.0)(≥≤n X P ，确定n 的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19=n 与20=n 之中选其一，应选用哪个？（2016·新课标Ⅱ，18）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.（2016·新课标Ⅲ，18）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注：参考数据：719.32i i y ==∑，7140.17i i i t y ==∑0.55=≈2.646.参考公式：()()nii tt y y r --=∑ 回归方程y a bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑，a y bt =-（2015·新课标Ⅰ，19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y （1,2,,8i =）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中i w =8118i i w w ==∑（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =+与y c =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及数据，建立y 关于x 的回归方程；（III ）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为0.2z y x =-，根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： （i ）年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据1122(,),(,),,(,)n n u v u v u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()()()nii i nii uu v v uu β==-=--∑∑，v u αβ=-.（2015·新课标Ⅱ，18）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C ：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率．（2014·新课标Ⅰ，18）从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）； （Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s .(i)利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX .12.2.若Z ～2(,)N μδ，则()P Z μδμδ-<<+=0.6826，(22)P Z μδμδ-<<+=0.9544.（2014·新课标Ⅱ，19）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.（2013·新课标Ⅰ，19）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．（2012·新课标Ⅰ、Ⅱ，18）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。

专题11 概率与统计一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半A【解析】通解设建设前经济收入为a，则建设后经济收入为2a，则由饼图可得建设前种植收入为0.6a，其他收入为0.04a，养殖收入为0.3a．建设后种植收入为0.74a，其他收入为0.1a，养殖收入为0.6a，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a，所以新农村建设后，种植收入减少是错误的．故选A．<⨯，所以新农村建设后，种植收入增加，而不是减少，所以A是错误的．故选A．优解因为0.60.3722．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳A【解析】由折线图，7月份后月接待游客量减少，A错误；选A．3．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A．56 B．60 C．120 D．140D【解析】由频率分布直方图可知，这200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7，故这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7=140．故选D．4．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

2011 4．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A ．B ．C ．D ．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3=9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到P=，故选A．【点评】本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得分题目．19．（12分）（2011•新课标）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]指标值分组频数82042228B配方的频数分布表[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]指标值分组频数412423210（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）【分析】（I）根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得到用两种配方的产品的优质品率的估计值．（II）根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出变量对应的概率，写出分布列和这组数据的期望值．【解答】解：（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为∴用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为∴用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42；（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90，94），[94，102），[102，110]的频率分别为0.04，0.54，0.42，∴P（X=﹣2）=0.04，P（X=2）=0.54，P（X=4）=0.42，即X的分布列为X﹣224P0.040.540.42∴X的数学期望值EX=﹣2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68【点评】本题考查随机抽样和样本估计总体的实际应用，考查频数，频率和样本容量之间的关系，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题是一个综合问题2012 15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．【解答】解：（1）当n≥16时，y=16×（10﹣5）=80；当n≤15时，y=5n﹣5（16﹣n）=10n﹣80，得：（2）（i）X可取60，70，80，当日需求量n=14时，X=60，n=15时，X=70，其他情况X=80，P（X=60）===0.1，P（X=70）=0.2，P（X=80）=1﹣0.1﹣0.2=0.7，X的分布列为X607080P0.10.20.7EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44（ii）购进17枝时，当天的利润的期望为y=（14×5﹣3×5）×0.1+（15×5﹣2×5）×0.2+（16×5﹣1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4∵76.4＞76，∴应购进17枝【点评】本题考查分段函数模型的建立，考查离散型随机变量的期望与方差，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力．2013 19．（12分）（2013•新课标Ⅰ）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．【分析】（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得；（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列，进而可得期望值．【解答】解：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，所以P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B2|A2）==（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，并且P（X=800）=，P（X=500）=，。

专题十一概率与统计第三十二讲统计初步一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半2．（2017新课标Ⅲ）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳3．（2017江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．4．(2016年山东)某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A．56 B．60 C．120 D．1405．(2016年全国III)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃。

专题测试八 概率与统计、算法 (时间90分钟，满分100分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高不到160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在cm 内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm 的概率为( ) A ．0.2 B ．0.3 C ．0.7D ．0.8解析：选B.由对立事件的概率计算公式可得，该同学的身高超过175 cm 的概率为1－0.2－0.5＝0.3.2．一部3卷文集随机地排在书架上，卷号自左向右或自右向左恰为1,2,3的概率是( ) A.16 B.13 C.12D.23解析：选B.本题考查古典概型.3卷文集随机排列，共有6种结果，卷号自左向右或自右向左恰为1,2,3的只有2种结果，所以卷号自左向右或自右向左恰为1,2,3的概率是26＝13.3．点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到顶点A 的距离|PA |＜1的概率为( ) A.π4 B.12 C.14D.2π解析：选A.由题意知，所求概率为S 扇形S 正方形＝π41＝π4.4．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成一个两位数，则组成的两位数为奇数的概率是( ) A.16 B.13 C.12D.38解析：选C.本题考查古典概型．所组成的两位数有12,13,20,21,30,31，共6个，其中，所组成的两位数为奇数的有13,21,31，共3个，故所组成的两位数为奇数的概率是36＝12.5．某单位男职工进行健康体验时的体重情况的频率分布直方图如图所示．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，其中第2小组的频数为24，则该单位男职工的总人数为( )A ．150B ．120C ．48D ．96解析：选D.设该单位男职工的总人数为n ，第1小组的频率为p ，则由题意可知，第2小组的频率为2p ，第3小组的频率为3p ，则p ＋2p ＋3p ＋(0.037＋0.013)×5＝1，解得p ＝0.125，故第2小组的频率为0.25，由24n＝0.25，解得n ＝96，故该单位男职工的总人数为96.6．在演讲比赛的决赛中，七位评委给甲、乙两位选手打分的茎叶图如图所示，其中在☆处的数据丢失了．按照规则，甲、乙需各去掉一个最高分和一个最低分，用x 和y 分别表示甲、乙两位选手获得的平均分，则( )A ．x ＞yB ．x ＜yC ．x ＝yD ．x 和y 之间的大小关系无法确定解析：选B.本题考查茎叶图及平均数的计算．设题图中甲、乙丢失的数据分别为a ，b ，则x ＝80＋a ＋165，y ＝80＋265，因为0≤a ≤9，所以x ＝80＋a ＋165≤80＋255＜y ，即x ＜y . 7．已知数组(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 10，y 10)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，则“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^”是“x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.因为回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过样本中心点，但除了样本中心点，回归直线上还可能有其他点，故B 正确．8.若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a .P (B )＝4a －5，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，32C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，32 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤54，43 解析：选D.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧0<P A ，0<P B，P A ＋PB⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<2－a <1，0<4a －5<1，3a －3≤1.⇒⎩⎪⎨⎪⎧1<a <2，54<a <32，a ≤43.⇒54<a ≤43. 9．按如图所示的程序框图运算，若输出的b 的值为3，则输入的a 的取值范围是( )A ．(6，＋∞)B ．(6,19]C ．[19，＋∞)D ．[6,19)解析：选B.第一次循环：a ＝3a ＋1，b ＝2；第二次循环：a ＝3(3a ＋1)＋1，b ＝3.∵输出的b 的值为3，∴3a ＋1≤58且3(3a ＋1)＋1＞58，解得6＜a ≤19.10．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止．设停止时共取了X 次球，则P (X ＝12)等于( )A ．C 1012⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582B ．C 912⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫582C ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫589⎝ ⎛⎭⎪⎫382D ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582解析：选D.“X ＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此P (X ＝12)＝38C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389×⎝ ⎛⎭⎪⎫582＝C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫58211．执行如图所示的程序框图，若输出的S 是126，则条件①可为( )A ．n ≤5?B ．n ≤6?C ．n ≤7?D ．n ≤8?解析：选B.本题主要考查程序框图的识别与应用． 由程序框图知：S ＝2＋22＋ (2)， 当n ＝6时，S ＝2＋22＋…＋26＝－261－2＝27－2＝126，n ＝6＋1＝7，应输出S ，故条件①可为n ≤6？或n ＜7？.12．一套重要资料锁在一个保险柜中，现有n 把钥匙依次分给n 名学生依次开柜，但其中只有一把真的可以打开柜门，平均来说打开柜门需要试开的次数为( ) A ．1 B ．n C.n ＋12D.n －12解析：选C.已知每一位学生打开柜门的概率为1n，∴打开柜门需要试开的次数的平均数(即数学期望)为1×1n ＋2×1n ＋…＋n ×1n ＝n ＋12，故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，把答案填在相应题号后的横线上．)13．已知随机变量ξ服从正态分布N (m ，σ2)，若P (x ≤－3)＝P (x ≥4)，则m ＝________. 解析：由正态分布的性质可知，m ＝－3＋42＝12.答案：1214．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．解析：随机变量X 的可能取值为0,1,2,4，P (X ＝0)＝34，P (X ＝1)＝19，P (X ＝2)＝19，P (X ＝4)＝136，因此E (X )＝49. 答案：4915．先后抛掷两枚质地均匀的骰子，在已知它们点数不同的条件下，至少有一枚是6点的概率是________．解析：设事件A ＝“至少有一枚是6点”，事件B ＝“两枚骰子点数不同”，先后投掷两枚骰子共有36种不同情况，且是等可能的，则事件B 共有6×5＝30种不同情况，事件AB 共有10种不同情况，即P (B )＝3036＝56，P (AB )＝1036＝518，由条件概率得P (A |B )＝P ABP B ＝51856＝13.答案：1316．若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.解析：法一(通法)：将f (x )＝x 5进行转化，利用二项式定理求解．f (x )＝x 5＝(1＋x －1) 5，它的通项为T r ＋1＝C r 5(1＋x )5－r·(－1)r，T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3，∴a 3＝10.法二(赋值法)：对等式f (x )＝x 5＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5两边连续对x 求导三次得：60x 2＝6a 3＋24a 4(1＋x )＋60a 5(1＋x )2， 再令x ＝－1得60＝6a 3，即a 3＝10. 答案：10三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据：(1)(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线； (3)据(2)的结果估计当房屋面积为150 m 2时的销售价格． 解：(1)数据对应的散点图如图所示：(2)x ＝109，∑i ＝15(x i －x )2＝1 570，y ＝23.2，∑i ＝15(x i －x )(y i －y )＝308.设所求回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则b ^＝∑i ＝15x i －xy i －y∑i ＝15x i －x2＝3081 570≈0.196 2， a ^＝y －b ^x ＝23.2－109×0.196 2≈1.814 2.故所求回归直线方程为y ^＝0.196 2x ＋1.814 2.(3)根据(2)，当x ＝150 m 2时，销售价格的估计值为y ^＝0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2≈31.2(万元)．18．(本小题满分10分)有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的2×2列联表．已知从全部210人中随机抽取1人为优秀的概率为27.(1)请完成上面的2×2 (2)从全部210人中有放回地抽取3次，每次抽取1人，记被抽取的3人中的优秀人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列及数学期望E (ξ)． 附：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d解：(1)列联表如下：K 2＝－110×100×60×150≈12.2＞6.635，所以按照99%的可靠性要求，能够判断成绩与班级有关．(2)ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，27，且P (ξ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫27k·⎝ ⎛⎭⎪⎫573－k (k ＝0,1,2,3)，ξ的分布列为E (ξ)＝0×125343＋1×150343＋2×343＋3×343＝7.。

2011-2018年全国Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ卷分类汇编概率统计概率选填题Ⅲ卷3年1考,Ⅱ卷6年5考,Ⅰ卷8年7考，难度不大.较多出现几何概型与线性规划交汇式命题，这个问题教材上也有．是不是全国卷也该考一下二维的几何概型了？于5的概率为114，则n ＝________. Ⅰ卷 2018年10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AC AB ,.ABC ∆的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为321,,p p p ，则A. 21p p =B.31p p =C. 32p p =D. 321p p p +=2017年（2）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．B ．C ．D ．2016年（4）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐 班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 （A ）13 （B ）12 （C ） 23 （D ）342015年（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（A ）0.648 （B ）0.432（C ）0.36（D ）0.3122014年(5).4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D .782012年（13）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布2(1000,50)N ，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为14π812π4统计选填题Ⅲ卷3年2考，Ⅱ卷6年2考，Ⅰ卷8年2考．其实统计考个小题比较好的，各地高考及模拟高考小题居多．因为这个考点内容实在太多：频率分布表、直方图、抽样方法、样本平均数、方差、标准差、散点图、线性回归、回归分析、独立性检验、二项分布、正态分布等．3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和(A) 各月的平均最低气温都在00C以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200C 的月份有5个Ⅱ卷2017年13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX ．2015年 3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图．以下结论不正确的是（A）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著（B）2007年我国治理二氧化硫排放显现（C）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势（D）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关Ⅰ卷2018年3. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下列结论中不正确的是2004200520062007200820092010201120122013 190020002100220023002400250026002700A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半3、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进概率统计解答题每年考1题．特点：实际生活背景在加强，阅读量大．注意点：回归分析，独立性检验，正态分布．第1问多为统计问题，第2问多为分布列、期望计算问题；特点：实际生活背景在加强．冷点：回归分析，独立性检验． 2015年课标全国Ⅰ已经非常灵活地考了回归分析，独立性检验在2018年课标卷Ⅲ考过，估计近年可能会在求分布列上设计应用情景．有人说，理科的概率分布列应该属于创新行列．我不这么认为，概率与分布列不是追求创新，而是追求与实际的完美结合．概率不是新颖，而是力求联系实际，与实际问题相吻合．但苦于找不到合适的案例，所以有时会事与愿违，但命题人的初衷却是如此，概率的初衷不是创新，而是应用，目标是贴近生活、背景公平、控制难度．（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：超过不超过第一种生产方式 第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附：m m m m m ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828（18）（12分）计算公式两种形式的互推.下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图18．（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1217，，…，）建立模型 ①：ˆ30.413.5yt =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立模型②：ˆ9917.5yt =+． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．2017年 18.（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率分布直方图如下：（1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg ”,估计A 的概率；（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ≥0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828箱产量＜50kg 箱产量≥50kg旧养殖法 新养殖法52a50.10 0. 0557 000元的概率；在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量x∈＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，2016年 （19）（ 12分） 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （I ）求X 的分布列；（II ）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？（19）（ 12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费1x 和年销售量1y （i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．xyω821()i i x x =-∑821()i i ωω=-∑ 81()()i i i x x y y =--∑81()(ii ωω=-∑46.6 5636.8289.81.61469108.8表中i i x ω=，8118i i ωω==∑.（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =+与y c d x =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程； （Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与,x y 的关系为0.2z y x =-．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ） 年宣传费49x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据11(,)u v ，22(,)u v ，…，(,)n n u v ,其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：18. ( 12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s .(i)利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX . 附：150≈12.2.若Z ～2(,)N μδ，则()P Z μδμδ-<<+=0.6826，(22)P Z μδμδ-<<+=0.9544.（19）（ 12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）。

2018全国高考真题数学统计与概率专题（附答案解析）1.（全国卷I，文数、理数第3题．5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半答案：A2.（全国卷I，文数19题．12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[)00.1，[)0.10.2，[)0.20.3，[)0.30.4，[)0.40.5，[)0.50.6，[)0.60.7，频数 1 3 2 4 9 26 5使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[)00.1，[)0.10.2，[)0.20.3，[)0.30.4，[)0.40.5，[)0.50.6，频数 1 5 13 10 16 5 （1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）【答案解析】解：（1）（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m 3的概率的估计值为0.48． （3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为11(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.655)0.4850x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为21(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.3550x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 估计使用节水龙头后，一年可节省水3(0.480.35)36547.45(m )-⨯=． 3.（全国卷I ，理数20题12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为()01p p <<，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ； （2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ；（ii ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【答案解析】（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为221820()C (1)f p p p =-．因此 2182172172020()C [2(1)18(1)]2C (1)(110)f p p p p p p p p '=---=--．令()0f p '=，得0.1p =．当(0,0.1)p ∈时，()0f p '>；当(0.1,1)p ∈时，()0f p '<． 所以()f p 的最大值点为00.1p =． （2）由（1）知，0.1p =．（i ）令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知(180,0.1)YB ，=+．X Y=⨯+，即402520225X Y所以(4025)4025490=+=+=．EX E Y EY（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．由于400EX>，故应该对余下的产品作检验．4.（全国卷Ⅱ，文数5题．5分）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中2人都是女同学的概率为A．0.6 B．0.5C．0.4D．0.3【答案】D5.（全国卷Ⅱ，文数、理数18题．12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,17）建立模型①：ˆ30.413.5y t=-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,7）建立模型②：ˆ9917.5=+．y t（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．【答案解析】解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为。

专题 概率与统计一、选择题1．【2018衡水金卷大联考】2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币，如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm ，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是( ) A. B.C.D.【答案】B2．【2018吉林百校联盟九月联考】太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影【答案】B【解析】设大圆的半径为R ，则：则大圆面积为： 2136S R ππ==，小圆面积为：22122S ππ=⨯⨯=，则满足题意的概率值为：本题选择B 选项.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.3．【2018辽宁大连八中模拟】若从区间()0,(e e 为自然对数的底数， 2.71828...e =）内随机选取两个数，则这两个数之积小于e 的概率为 （ ）【答案】A4．【2018海南省八校联考】某高校调查了400名大学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[]17.5,30，样本数据分组[)17.5,20， [)20,22.5， [)22.5,25， [)25,27.5， []27.5,30.则这400名大学生中每周的自习时间不少于20小时的人数是( ) A. 380 B. 360 C. 340 D. 320 【答案】A 【解析】解：由频率分布直方图得这400名大学生中每周的自习时间不少于20小时的频率为： （0.08+0.04+0.16+0.1）×2.5=0.95，∴这400名大学生中每周的自习时间不少于25小时的人数为： 400×0.95=380.点睛：由频率分布直方图求出这400名大学生中每周的自习时间不少于20小时的频率，由此能求出这400名大学生中每周的自习时间不少于20小时的人数．5．【2018广东珠海市九月模拟】在线段 AB 上任取一点 P ，点 P 恰好满足AB | 的概率是【答案】D6．【2018湖北武汉高三调研】将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a 和b ，则方程210ax bx ++=有实数解的概率是（ ）【答案】C【解析】若方程210ax bx ++=有实根，则必有240b a ∆=-≥，若1a =，则2,3,4,5,6b =；若2a =，则3,4,5,6b =；若3a =，则4,5,6b =；若4a =，则4,5,6b =若5a =，则5,6b =；若6a =，则5,6b =， ∴事件“方程210ax bx ++=有实根”包含基本事件共54332219+++++=， ∴事件的概率为C. 7．【2018陕西西工大附中七模】已知平面区域(){,|0,01}x y x y πΩ=≤≤≤≤，现向该区域内任意掷点，则该点落在曲线2sin y x =下方的概率是（ ）【答案】A选A.点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．8．【2018陕西西工大附中七模】在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布()2100,(0)σσ>，若ξ在()80,120内的概率为0.8，则任意选取一名学生，该生成绩不高于80的概率为（ ）选B.95分钟1班，由1分钟之内能上车的概率二、解答题10．【2018衡水金卷高三联考】如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在市的普及情况，市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）（Ⅰ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关？（Ⅱ）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠卷，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率②将频率视为概率，从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为，求的数学期望和方差.参考公式：，其中.参考数据：【答案】（1）见解析；（2）①，②见解析.试题解析：（1）由列联表可知的观测值，.所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖情况与性别有关. （2）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有（人），偶尔或不用网络外卖的有（人）.则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为. ②由列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为，将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人， 恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为.由题意得，所以；.11．【2018广西三校联考】某校50名学生参加2015年全国数学联赛初赛，成绩全部介于90分到140分之间．将成绩结果按如下方式分成五组：第一组[)90,100，第二组[)100,110，…，第五组[]130,140．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示．（1）若成绩大于或等于100分且小于120分认为是良好的，求该校参赛学生在这次数学联赛中成绩良好的人数；（2）若从第一、五组中共随机取出两个成绩，记x 为取得第一组成绩的个数，求x 的分布列与数学期望．【答案】（1）27人；（2）分布列见解析，试题解析：（1）由频率分布直方图知，成绩在[)100,120内的人数为：500.16500.3827⨯+⨯=（人） 所以该班成绩良好的人数为27人．（2）解：由题意0,1,2x =x ∴的分布列为x 的期望为12．【2018河南中原名校质检二】近年来空气质量逐步恶化，雾霾天气现象增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解心肺疾病是否与性别有关，在市第一人民医院随机对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表：（1）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（2）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3位进行其他方面的排查，其中患胃病的人数为，求的分布列、数学期望.参考公式：，其中【答案】（1）有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的；（2）;∴，又，∴我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的（2）现在从患心肺疾病的10位女性中选出3位，其中患胃病的人数，∴，，，.所以的分布列为所以的数学期望13．【2018吉林百校联盟九月联考】已知某产品的历史收益率的频率分布直方图如图所示.（1）试估计该产品收益率的中位数；（2）若该产品的售价x （元）与销量y （万份）之间有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如表5组x 与y 的对应数据：根据表中数据算出y 关于x 的线性回归方程为10.ˆ0ˆybx =-，求ˆb 的值； （3）若从表中五组销量数据中随机抽取两组，记其中销量超过6万份的组数为X ，求X 的分布列及期望.【答案】(1)0.28；(2)0.1；(3)答案见解析.试题解析：（1）依题意，设中位数为x ， ()0.3 2.50.20.5x +⨯-=，解得0.28x =.（3）X 的可能取值为0,1,2，故()0P X =故X 的分布列为若一个运动员出线记1分，未出线记0分..（1）求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；（2）记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员所得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的30“乙出线”为事件B ，“丙出线”为事件C ，“甲、乙、丙至（2）ξ的所有可能取值为0,1,2,3.所以ξ的分布列为点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； 第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式（常见的有古典概型公式、几何概率公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布()~,B n p ，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.15．【2018辽宁省辽南协作校一模】某校举行“庆元旦”教工羽毛球单循环比赛（任意两个参赛队伍只比赛一场），有高一、高二、高三共三个队参赛，高一胜高二的概率为，高二胜高三的概率为p ，每场胜负相互独立，胜者记1分，负者记0分，规定：积分相同时，高年级获胜. （1，求p ； （2）记高三的得分为X ，求X 的分布列和期望.【答案】见解析.（2）高三的得分X的所有可能取值为0,1,2，所以X的分布列为：故X的期望为16.【广东省海珠区一模】某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品与尺寸对数据作了初步处理，相关统计量的值如下表：（1）根据所给数据，求y关于x的回归方程；（2）按照某项指标测定，现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记ξ为取到优等品的件数，试求随机变量ξ的分布列和期望.附：对于一组数据()()()1122,,,,...,n n v v v μμμ，其回归直线v μαβ=+的斜率和截距的最【答案】（1（2试题解析：（1）对(,0)by a x a b =>，两边取自然对数得l n l n l n y b x a=+，令l n ,l n i i i iv x u y ==，得ln u bv a=+，，，得ˆa e =，故所求回归方程为（2，解得4981,58,68,78x x <<=，即优等品有3件. 所以ξ的可能取值是0,1,2,3.，其分布列为：17．【2018湖南永州市一模】2016年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市（简称创文）”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：①调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；②采用百分制评60,80内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；③市民对公交站点布局的满意分，[)率不低于60%即可进行验收；④用样本的频率代替概率.（1）求被调查者满意或非常满意该项目的频率；（2）若从该市的全体市民中随机抽取2人非常满意该项目的概率；（3）已知在评分低于6060分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，2人担任群众督察员，记ξ为群众督查员中老年人的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ.【答案】（1）0.78；（2（3试题解析：（1）根据题意：60分或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中，评分在[]60,100的频率为：()0.0280.030.0160.004100.78+++⨯=；（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1人，现从中抽取3人恰有2人非常满意该项目的概率为：（3）∵评分低于60又从被调查者中按年龄分层抽取9人，∴这9人中，老年人有3人，非老年人6人，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，ξ的分布列为：18．【2018广东省珠海六校联考】某石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料.进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探，由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见如表：（参考公式和计算结果：4221194i i x -==∑， 421211945i i i x y --==∑） 5组数据求得回归直线方程为 6.5y x a =+，求a 的1，3，5，7号并计算出的ˆb， ˆa 的值（ˆb ， ˆa 精10%，则使用位置最接近的已有旧井()61,y ，20的勘探井称为优质井，那么在原有6口井中任意勘探4口井，求勘探优质井数X 的分布列与数学期望.【答案】（1）17.5a =， y 的预报值为24；（2）使用位置最接近的已有旧井()61,24；（3）.解：（1故回归直线方程为 6.517.5y x =+，当1x =时， 6.517.524y =+=，即y 的预报值为24. （24221194i i x-==∑， 421211945i i i x y --==∑，，即ˆ 6.83b =， ˆ18.93a =， 6.5b =， 17.5a =.10%，因此使用位置最接近的已有旧井()61,24. （3）由题意，1，3，5，6这4口井是优质井，2，4这两口井是非优质井， 所以勘察优质井数X 的可能取值为2，3，4，19．【2018广东省珠海九月模拟】某印刷厂的打印机每5年需淘汰一批旧打印机并购买新机，买新机时，同时购买墨盒，每台新机随机购买第一盒墨150元，优惠0元；再每多买一盒墨都要在原优惠基础上多优惠一元，即第一盒墨没有优惠，第二盒墨优惠一元，第三盒墨优惠2元，……，依此类推，每台新机最多可随新机购买25盒墨．平时购买墨盒按零售每盒200元．(2)若在购买两台新机时，每台机随机购买23盒墨，求这两台打印机正常使用五年在消耗墨盒上所需费用的期望．【答案】(1) ξ的分布列为若在购买两台新机时，每台机随机购买23盒墨，则需付款Ey=，则6614试题解析：ξ，，，，，，(1) =44454647484950由题设可知，一台打印机在5年内消耗墨盒数为22，23，24，25且每台机消耗墨盒数发生的事件是相互独立事件．故故ξ的分布列为(2)记y表示在题设条件下，购买2台新机使用五年在消耗墨盒上所需的费用（单位：元）若在购买两台新机时，每台机随机购买23盒墨，则需付款答：这两台打印机正常使用五年所需购买墨盒的费用的期望为6614元．20．【2018吉林省长春市一模】长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在我市推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：（Ⅰ）现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3000的节数．（Ⅱ）为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3000，则不需要剪辑，现从（Ⅰ）中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间的分布列与数学期望． 【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）.试题解析：(Ⅰ)根据分层抽样，选出的6节课中有2节点击量超过3000. （Ⅱ）的可能取值为0，20，40，60则的分布列为即.21．【2018陕西西工大附中一模】超市某种绿色食品，过去20个月该食品的月市场需求量x （单位： kg ， 100150x ≤≤）即每月销售的数据记录如下：137 108 114 121 115 135 122 140 128 139 125 140 130 125 105 115 133 124 149 115对这20个数据按组距10进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：（Ⅰ）写出m ， n 的值.若视x 分布在各区间内的频率为相应的概率，试计算()130P x ≥； （Ⅱ）记B 组月市场需求量数据的平均数与方差分别为1v ， 21s ， E 组月市场需求量数据的平均数与方差分别为2v ， 22s ，试分别比较1v 与2v ， 21s 与22s 的大小；（只需写出结论） （Ⅲ）为保证该绿色产品的质量，超市规定该产品仅在每月一日上架销售，每月最后一日对所有未售出的产品进行下架处理.若超市每售出1kg 该绿色食品可获利润5元，未售出的食品每kg 亏损3元，并且超市为下一个月采购了130kg 该绿色食品，求超市下一个月销售该绿色食品的利润Q 的分布列及数学期望()E Q .（以分组的区间中点值代表该组的各个值，并以月市场需求量落入该区间的频率作为月市场需求量取该组区间中点值的概率）【答案】(1) 4m =， 3n = ()130P x ≥=;(2) 12v v <， 2212s s <；（3）Q 的分布列为()E Q = 594（元）.试题解析：（Ⅰ） 4m =， 3n =()()130130140P x P x ≥=≤<+ （Ⅱ）12v v <， 2212s s <；（Ⅲ）由题意可知：利润()53130100130{ 650130150x x x Q x --≤<=≤≤当105x =时， ()51053130105450Q =⨯-⨯-=； 当115x =时， ()51153130115530Q =⨯-⨯-=； 当125x =时， ()51253130125610Q =⨯-⨯-=； 当135x ≥时， 5130650Q =⨯=.所以Q 的可能取值为450，所以Q 的分布列为12。

专题32概率和统计【理】年份题号考点考查内容2011理2概率古典概型的概率计算理19频数分布表频数分布表，频率与概率2012理15正态分布正态分布的应用理19离散型随机变量及其分布列频数分布表，频率与概率，离散型随机变量及其分布列2013卷1理3抽样方法随机抽样方法的简单应用理19离散型随机变量分布列、期望独立重复事件发生的概率，离散型随机变量分布列、期望卷2理14概率古典概型的概率计算理19概率古典概型的概率计算2014卷1理5概率古典概型的概率计算理18频率分布直方图，正态分布频率分布直方图，正态分布的3 原则，二项分布的期望卷2理5概率条件概率的计算理19变量间的相关关系线性回归方程及其应用2015卷1理4概率独立重复事件概率的计算，互斥事件的概率理19变量间的相关关系非线性拟合；线性回归方程卷2理3统计统计知识，柱形图理18茎叶图茎叶图及其应用，互斥事件和独立事件的概率计算2016卷1理4概率几何概型概率的计算理19离散型随机变量分布列、期望条形统计图及其应用，离散型随机变量分布列、期望卷2理10概率几何概型概率的计算理19离散型随机变量的分布列、期望条件概率、离散型随机变量的分布列、期望卷3理4统计平均数的计算，统计图及其应用理18变量间的相关关系线性相关与线性回归方程的求法与应用2017卷1理2概率古典概型的概率计算理19离散性随机变量的分布列、期望离散性随机变量的分布列、期望，正态分布卷2理13离散性随机变量的分布列、期望离散性随机变量的分布列、期望，正态分布理18频率分布直方图，统计案例频率分布直方图及其应用，统计案例及其应用卷3理3统计折线图统计图的应用理18离散型随机变量的分布列、期望频数分布表，离散型随机变量的分布列、数学期望2018卷1理3统计扇形统计图及其应用理10概率几何概型概率的计算，数学文化理20离散性随机变量的数学期望n 次独立重复试验恰好发生k 次的概率及其最值问题，二项分布，离散性随机变量的数学期望卷2理8概率古典概型的概率计算理18变量间的相关关系线性回归方程及其应用卷3理8二项分布二项分布分布列及期望理18茎叶图和独立性检验茎叶图的应用，统计案例及其应用2019卷1理6概率古典概型的概率计算理15概率独立重复事件的概率卷2理5统计中位数、平均数、方差、极差理13概率利用统计数据进行概率的估计理18概率独立事件、互斥事件的概率计算卷3理3统计抽样数据的统计理17频率分布直方图频率分布直方图，用样本平均数估计总体的平均数2020卷1理5变量间的相关关系由散点图选择合适的回归模型理19概率独立事件、互斥事件及独立重复事件概率的计算卷2理14排列与组合计数原理的应用，排列与组合应用题的解法理18变量间的相关关系平均数的估计，相关系数的计算，抽样方法的选取卷3理3统计标准差的计算理18独立性检验统计案例及其应用考点出现频率2021年预测考点107随机抽样23次考1次2021年在选择题和填空题中仍会重点考查各种统计图表、古典概型或几何概型及其概率计算，在解答题中重点考查频率分布直方图及其应用(与概率相结合)，离散性随机变量的分布列与均值，二项分布及其应用，统计案例及其应用．考点108用样本估计总体23次考10次考点109变量间的相关关系23次考7次考点110随机事件的概率、古典概型、几何概型23次考20次考点111离散型随机变量及其分布列、均值与方差、正态分布、二项分布23次考14次考点112独立性检验23次考4次考点107随机抽样1．(2017江苏理)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．2．(2014广东理)为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为()A ．50B ．40C ．25D ．203．(2014湖南理)对一个容器为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则()A ．123p p p =<B ．231p p p =<C ．132p p p =<D ．123p p p ==4．(2013新课标I 理理)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样5．(2014湖北理)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为件．6．(2014天津理)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．7．(2012江苏理)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取名学生．8．(2012浙江理)某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为____________．考点108用样本估计总体9．(2020全国Ⅲ文3)设一组样本数据12,,,n x x x 的方差为0.01，则数据1210,10,,10n x x x 的方差为()A ．0.01B ．0.1C ．1D ．1010．(2020全国Ⅲ理3)在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且∑==411i ip，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是()A ．14230.1,0.4p p p p ====B ．14230.4,0.1p p p p ====C ．14230.2,0.3p p p p ====D ．14230.3,0.2p p p p ====11．(2020天津4)从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm )，将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47],[5.47,5.49] ，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为()A ．10B ．18C ．20D ．3612．(2019全国II 理5)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差13．(2019全国II 理13)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0．97，有20个车次的正点率为0．98，有10个车次的正点率为0．99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为__________．14．(2020上海8)已知有四个数1,2,,a b ，这四个数的中位数为3，平均数为4，则ab =．15．(2020江苏3)已知一组数据4,2,32,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是．16．(2019江苏5)已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是．17．(2020新高考山东海南9)我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是()A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量18．(2018全国Ⅰ理)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半19．(2017新课标Ⅲ理)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳20．(2016年山东理)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22．5小时的人数是A．56B．60C．120D．14021．(2016年全国III理)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均气温高于20℃的月份有5个22．(2015陕西理)某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为A ．167B ．137C ．123D ．9323．(2015新课标I 理理I 理)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论不正确的是．A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关24．(2015安徽理)若样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的标准差为A ．8B ．15C ．16D ．25．(2014广东理)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A ．200，20B ．100，20C ．200，10D ．100，1026．(2013福建理)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为()A ．588B ．480C ．450D ．12027．(2013山东理)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为()A ．1169B ．367C ．36D ．67728．(2012陕西理)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是()A ．46，45，56B ．46，45，53C ．47，45，56D ．45，47，5329．(2018江苏理)已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为．29．(2015湖南理)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]若将运动员按成绩由好到差编为135上的运动员人数是．30．(2014江苏理)为了了解一片经济的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm．31．(2013辽宁理)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为．32．(2012山东理)右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20．5，26．5］，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5]．已知样本中平均气温低于22．5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25．5℃的城市个数为＿＿＿＿．33．(2019全国III理17)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A、B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5．5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0．70．(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．34．(2016年四川理)我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)、一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0．5)，[0．5，1)，…，[4，4．5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(I)求直方图中a的值；(II)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；(III)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．35．(2015广东理)某工厂36名工人年龄数据如下表工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄140 244 340 441 533 640 745 842 943103611311238133914431545163917381836192720432141223723342442253726442742283429393043313832423353343745493639(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；(2)计算(1)中样本的均值x和方差2s；(3)36名工人中年龄在x s-和x s+之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)？36．(2013年新课标I理)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)，试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0．61．22．71．52．81．82．22．33．23．5 2．52．61．22．71．52．93．03．12．32．4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3．21．71．90．80．92．41．22．61．31．4 1．60．51．80．62．11．12．51．22．70．5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？37．(2012广东理)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]．(1)求图中a 的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x )与数学成绩相应分数段的人数(y )之比如下表所示，求数学成绩在[50，90)之外的人数．分数段[)60,50[)70,60[)80,70[)90,80x ：y1：12：13：44：5考点109变量间的相关关系38．(2020全国Ⅰ文理5)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位：C ︒)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据()(),1,2,,20i i x y i = 得到下面的散点图：由此散点图，在10C ︒至40C ︒之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是()A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．e x y a b =+D ．ln y a b x=+39．(2017山东理)为了研究某班学生的脚长x (单位：厘米)和身高y (单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225i i x ==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b =．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为A ．160B ．163C ．166D ．17040．(2015福建理)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x (万元)8．28．610．011．311．9支出y (万元)6．27．58．08．59．8根据上表可得回归本线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为A ．11．4万元B ．11．8万元C ．12．0万元D ．12．2万元41．(2014重庆理)已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本的平均数3x =， 3.5y =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为A ． 0.4 2.3y x =+B ． 2 2.4y x =-C ． 29.5y x =-+D ．0.3 4.4y x =-+42．(2014湖北理)根据如下样本数据x 345678y4．02．50.5-0．52.0- 3.0-得到的回归方程为ˆybx a =+，则A ．0a >，0b <B ．0a >，0b >C ．0a <，0b <D ．0a <，0b >43．(2012新课标理)在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i=1，2，…，n)都在直线112y x =+上，则这组样本数据的样本相关系数为A ．−1B ．0C ．12D ．144．(2014江西理)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是45．(2012湖南理)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i，y i)(i=1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为 y=0．85x-85．71，则下列结论中不正确．．．的是A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(x，y)C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0．85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58．79kg 46．(2011山东理)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆy bx a=+中的ˆb为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A．63．6万元B．65．5万元C．67．7万元D．72．0万元47．(2018全国Ⅱ理)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1217，，…，)建立模型①：ˆ30.413.5=-+y t ；根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为127，，…，)建立模型②：ˆ9917.5=+yt ．(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．48．(2016新课标Ⅰ理II)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图(Ⅰ)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；(Ⅱ)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0．01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：719.32ii y==∑，7140.17i i i t y ==∑0.55=≈2．646．参考公式：相关系数(nii tt y y r --=∑回归方程y a bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑ =a y bt - 49．(2015新课标I 理)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y (i =1，2， (8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．xyw821()ii xx =-∑821()ii w w =-∑81()()ii ixx y y =--∑81()()iii w w yy =--∑46．65636．8289．81．61469108．8表中i w =，w =1881ii w =∑．(Ⅰ)根据散点图判断，y a bx =+与y c =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(Ⅲ)已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为0.2z y x =-．根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：(ⅰ)年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？(ⅱ)年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据11(,)u v ，22(,)u v ，⋅⋅⋅，(,)n n u v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()ˆ()niii nii u u v v u u β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-．50．(2014新课标II 理)某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y(单位：千元)的数据如下表：年份2007200820092010201120122013年份代号t 1234567人均纯收入y2．93．33．64．44．85．25．9(Ⅰ)求y 关于t 的线性回归方程；(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121nii i ni i tty y b t t ∧==--=-∑∑，ˆˆay bt =-51．(2020全国Ⅱ文理18)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据()(),1,2,,20i i x y i = ，其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得∑==20160i i x ，∑==2011200i i y ，()∑==-201280i ix x ，()∑==-20129000i iyy，()080201∑==--i i iy y x x．（1）求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；（2）求样本()(),1,2,,20i i x y i = 的相关系数(精确到0.01)；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数()()()()∑∑∑===----=ni in i ini i iy y x x yy x xr 12121，414.12≈．考点110随机事件的概率、古典概型、几何概型52．(2020全国Ⅰ文4)设O 为正方形ABCD 的中心，在,,,,O A B C D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为()A ．15B ．25C ．12D ．4553．(2020全国Ⅱ文理4)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者()A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名54．(2020新高考山东海南5)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%55．(2019全国I 理6)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A ．516B ．1132C ．2132D ．111656．(2018全国Ⅰ理)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．∆ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则A ．12=p pB ．13=p pC ．23=p pD ．123=+p p p 57．(2018全国Ⅱ理)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A ．112B ．114C ．115D ．11858．(2017新课标Ⅰ理)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．8πC ．12D ．4π59．(2017山东理)从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是A ．518B ．49C ．59D ．7960．(2016新课标Ⅰ理)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是A ．13B ．12C ．23D ．3461．(2016新课标Ⅰ理)从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ，2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为A ．4nmB ．2n mC ．4m nD ．2m n62．(2015广东理)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为A ．521B ．1021C ．1121D ．163．(2014新课标I 理)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为A ．18B ．38C ．58D ．7864．(2014江西理)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于()A ．118B ．19C ．16D ．112。

.概率统计1（ 2017 北京文）（本小题13 分）某大学艺术专业400 名学生参加某次测评，依据男女学生人数比率，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100 名学生，记录他们的分数，将数据分红7 组： [20,30 ）， [30,40 ），┄， [80,90]，并整理获得以下频次散布直方图：（Ⅰ）从整体的400 名学生中随机抽取一人，预计其分数小于70 的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40 的学生有 5 人，试预计整体中分数在区间[40,50 ）内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70 的男女生人数相等．试预计整体中男生和女生人数的比率．2（2017 新课标Ⅱ理）（12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对照，收获时各随机抽取了100个网箱，丈量各箱水产品的产量（单位：kg）．其频次散布直方图以下：（ 1）设两种养殖方法的箱产量互相独立，记A表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，预计 A 的概率；（ 2）填写下边列联表，并依据列联表判断能否有99%的掌握以为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜ 50kg箱产量≥ 50kg旧养殖法新养殖法（ 3）依据箱产量的频次散布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的预计值（精准到0.01 ）．附：，K2n( ad bc)2(a b)(c d )(a c)(b d )3（ 2017 天津理）（本小题满分13 分）从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作互相独立，且在各路口碰到红灯的概率分别为1,1,1.2 3 4（Ⅰ）设 X 表示一辆车从甲地到乙地碰到红灯的个数，求随机变量X 的散布列和数学希望；（Ⅱ）如有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共碰到 1 个红灯的概率.4（ 2017 新课标Ⅲ理数）（12 分）某商场计划按月订购一种酸奶，每日进货量同样，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价办理，以每瓶 2 元的价钱当日所有办理完．依据早年销售经验，每日需求量与当日最高气温（单位：℃）有关．假如最高气温不低于25，需求量为 500瓶；假如最高气温位于区间 [20 ， 25），需求量为 300 瓶；假如最高气温低于20，需求量为200 瓶．为了确立六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下边的频数散布表：最高气温[10 ，15）[15 ， 20）[20 ， 25）[25 ， 30）[30 ， 35）[35 ， 40）天数216362574以最高气温位于各区间的频次取代最高气温位于该区间的概率。

12 概率和统计一．基础题组1. 【2014新课标，理5】某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 【答案】A【解析】设A=“某一天的空气质量为优良”，B=“随后一天的空气质量为优良”，则，故选A.2. 【2011新课标，理4】有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】3. 【2017课标II ，理13】一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则____________．【答案】【考点】 二项分布的期望与方差()0.6(|)0.8()0.75P A B P B A P A ⋂===131223340.02100X DX =1.96【名师点睛】判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：①是否为n 次独立重复试验，在每次试验中事件A 发生的概率是否均为p ；②随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，且表示在独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率．4. 【2006全国2，理16】一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图).为了分析居民的收入与年龄,学历,职业等方面的关系,要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查,则在2 500,3 000)(元)月收入段应抽出 人.【答案】:255. 【2015高考新课标2，理3】根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。

以下结论不正确的是( )()()C 1n kk kn p X k p p -==-2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【答案】D【解析】由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故选D ．【考点定位】正、负相关． 二．能力题组1. 【2013课标全国Ⅱ，理14】从n 个正整数1,2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n ＝__________. 【答案】：82. 【2013课标全国Ⅱ，理19】(本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位：t,100≤X ≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；114(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入100,110)的频率)，求T的数学期望．【解析】：(1)当X∈100,130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000，当X∈130,150]时，T＝500×130＝65 000.所以(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T的分布列为所以ET＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.3. 【2012全国，理19】乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；(2)ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．80039000,100130,65000,130150.X XTX-≤<⎧=⎨≤≤⎩(2)(理)P (A 2)＝0.62＝0.36. ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝P (A 2·A )＝P (A 2)P (A )＝0.36×0.4＝0.144， P (ξ＝2)＝P (B )＝0.352，P (ξ＝3)＝P (A 0·)＝P (A 0)P ()＝0.16×0.6＝0.096， P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)－P (ξ＝3)＝1－0.144－0.352－0.096＝0.408.E ξ＝0×P (ξ＝0)＋1×P (ξ＝1)＋2×P (ξ＝2)＋3×P (ξ＝3)＝0.408＋2×0.352＋3×0.096＝1.400.4. 【2010全国2，理20】如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.(1)求p ；(2)求电流能在M 与N 之间通过的概率；(3)ξ表示T 1，T 2，T 3，T 4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望．AA(3)由于电流能通过各元件的概率都是0.9，且电流能否通过各元件相互独立，ξ～B (4,0.9)，E ξ＝4×0.9＝3.6. 三．拔高题组1. 【2005全国3，理15】设为平面上过点（0，1）的直线，的斜率等可能地取用ξ表示坐标原点到的距离，则随机变量ξ的数学期望E ξ= . 【答案】,22,3,25,0,25,3,22---74有斜率值,可得的分布列：1所以.2.【2016课标II ，理10】从区间随机抽取2n 个数,，…，，，，…，，构成n 个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为 （A ）（B ） （C ）（D ）【答案】C 【解析】试题分析：利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为，所以.选C.【考点】几何概型【名师点睛】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．3.【2016高考新课标2理数】某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：E ξ=[]0,11x 2x n x 1y 2y n y ()11,x y ()22,x y (),n n x y 4n m 2n m4mn2mn22π4S R mS R n==圆正方形4πm n =（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.【答案】（Ⅰ）根据互斥事件的概率公式求解；（Ⅱ）由条件概率公式求解；（Ⅲ）记续保人本年度的保费为，求的分布列为，在根据期望公式求解..【解析】【考点】条件概率，随机变量的分布列、期望【名师点睛】条件概率的求法：(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝，求出P(B|A)；(2)基本事件法：当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝.X X()()P ABP A()()n ABn A求离散型随机变量均值的步骤：(1)理解随机变量X 的意义，写出X 可能取得的全部值；(2)求X 取每个值时的概率；(3)写出X 的分布列；(4)由均值定义求出EX 4.【2017课标II ，理18】（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）．其频率分布直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg ，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．附：，【答案】（1）；（2）有的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）． 【解析】22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++0.409299%52.35kg因此，事件A 的概率估计值为． （2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表：的观测值，由于，故有的把握认为箱产量与养殖方法有关．（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于的直方图面积为，箱产量低于的直方图面积为， 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为．【考点】 独立事件概率公式、独立性检验原理、频率分布直方图估计中位数【名师点睛】（1）利用独立性检验，能够帮助我们对日常生活中的实际问题作出合理的推断和预测．独立性检验就是考察两个分类变量是否有关系，并能较为准确地给出这种判断的可信度，随机变量的观测值值越大，说明“两个变量有关系”的可能性越大．0.620.660.4092⨯=2K ()22006266343815.70510010096104k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯15.705 6.635>99%50kg ()0.0040.0200.04450.340.5++⨯=<55kg ()0.0040.0200.0440.06850.680.5+++⨯=>0.50.345052.35(kg)0.068-+≈（2）利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 5. 【2011新课标，理19】某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A 配方和B 配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A 配方的频数分布表(1)(2)(理)已知用B 配方生产的一件产品的利润y (单位：元)与其质量指标值t 的关系式为从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X (单位：元)，求X 的分布列及数学期望．(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)(2)用B 配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间90，94)，94，102)，102，110]的频率分别为0.04，0.54，0.42，因此P (X ＝－2)＝0.04，P (X ＝2)＝0.54，P (X ＝4)＝0.42，即X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝－2×0.04＋2×0.54＋4×0.42＝2.68.2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=≤≤⎨⎪≥⎩6. 【2006全国2，理18】某批产品成箱包装,每箱5件.一用户在购进该批产品前先取出3箱,再从每箱中任意抽取2件产品进行检验.设取出的第一,二,三箱中分别有0件,1件,2件二等品,其余为一等品.(1)用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数,求ξ的分布列及ξ的数学期望;(文19(1))求抽检的6件产品中恰有一件二等品的概率;(2)若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品,用户就拒绝购买这批产品,求这批产品被用户拒绝购买的概率.7. 【2005全国3，理17】(本小题满分12分)设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响.已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.【解析】：记“机器甲需要照顾”为事件A ，“机器乙需要照顾”为事件B ，“机器丙需要照顾”为事件C ，由题意.各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此，A ，B ，C 是相互独立事件 （Ⅰ）由题意得： P （A ·B ）=P(A)·P(B)=0.05 P （A ·C ）=P(A)·P(C)=0.1 P （B ·C ）=P(B)·P(C)=0.125解得：P(A)=0.2；P(B)=0.25；P(C)=0.5所以, 甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5 （Ⅱ）记A 的对立事件为B 的对立事件为，C 的对立事件为， 则，于是 所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.7. 8. 【2005全国2，理19】(本小题满分12分)甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6．本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响．令为本场比赛的局数，求的概率分布和数学期望．(精确到0.001)所以的概率分布表如下34 5 9. 【2015高考新课标2，理18】（本题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从，两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满,A B C 5.0)(,75.0)(,8.0)(===C P B P A P 7.0)()()(1)(1)(=⋅⋅-=⋅⋅-=++C P B P A P C B A P C B A P A B意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下0.48A 地区B 地区4 5 6 7 8 9【考点定位】1、茎叶图和特征数；2、互斥事件和独立事件． 10.【2014全国2，理19】某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表：A 地区B 地区45 6 7 8 96 8 1 3 6 4 32 4 5 5 6 4 23 34 6 9 6 8 8 6 4 3 3 2 1 9 2 8 65 11 37 5 5 2（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，()()()121niii ni i t t y y b t t ∧==--=-∑∑ˆˆay bt =-。