2021版高考数学一轮复习高频考点集中练概率统计含解析新人教B版

数学2021年高考一轮复习概率与统计单元专项练习题(含答案)题型归纳经常做题可以帮助考生查缺补漏。

下面是概率与统计单元专项练习题，希望考生好好利用。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)。

1.(理)设，则的展开式中的系数不可能是( )A.10B.40C.50D.80(文)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁-18岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是( )A.20B.30C.40D.502.(理)四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为( )A.96B.48C.24D.0(文)从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为( )A. B. C. D.3.甲：A1、A2是互斥事件;乙：A1、A2是对立事件，那么( )A.甲是乙的充分但不必要条件B.甲是乙的必要但不充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件4.某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，，270;使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，，270，并将整个编号依次分为10段。

如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250;②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265;③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254;④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270;关于上述样本的下列结论中，正确的是( )A.②、③都不能为系统抽样B.②、④都不能为分层抽样C.①、④都可能为系统抽样D.①、③都可能为分层抽样5.在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为( )A. B. C. D.6.在三维柱形图中，主对角线上两个柱形高度的乘积与副对角线上的两个柱形的高度的乘积相差越大两个变量有关系的可能性就()A.越大B.越小C.无法判断D.以上都不对7.(理)抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这些试验成功，则在10次试验中，成功次数的期望是( )A. B. C. D.(文)为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a, b的值分别为( )A.0,27,78B.0,27,83C.2.7,78D.2.7,838.某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为_，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|_-y|的值为( )A.1B.2C.3D.49.一项研究要确定是否能够根据施肥量预测作物的产量。

高频考点集中练立体几何1。

（2019·全国卷Ⅲ）如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD 为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点,则（）A。

BM=EN，且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C。

BM=EN,且直线BM，EN是异面直线D。

BM≠EN，且直线BM,EN是异面直线【命题思维分析】利用垂直关系,再结合余弦定理进而解决问题.【解析】选B。

因为直线BM,EN都是平面BED内的直线,且不平行,即直线BM,EN是相交直线.设正方形ABCD的边长为2a,则由题意可得:DE=2a，DM=a，DN=a，DB=2a，根据余弦定理可得:BM2=DB2+DM2-2DB·DMcos∠BDE=9a2—4a2cos∠BDE，EN2=DE2+DN2-2DE·DNcos∠BDE=6a2—4a2cos∠BDE,所以BM≠EN。

【真题拾贝】判断异面直线的依据是异面直线的定义和性质定理，及一条直线与平面相交,该直线与平面内不过交点的直线异面,而解答本题的关键是构造直角三角形.2.（2018·全国卷Ⅱ）在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（)A.B。

C. D.【命题思维分析】求异面直线所成的角是高考常考的题目，本题主要是考查空间直角坐标系的建立，各点坐标的表示及利用向量数量积求向量夹角,然后根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.【解析】选C。

方法一：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y,z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0），A（1,0,0），D1（0，0，）,B1（1，1,），所以=（-1，0，），=（1，1,),设异面直线AD1与DB1所成角为α，则cos α=|cos , |==。

方法二:如图.连接A1D交AD1于点E。

取A1B1中点F，连接EF，则EF B1D,连接D1F,在△D1FE中,∠D1EF为异面直线AD1与DB1的夹角.由已知EF=DB1==,D1E=AD1=1,D1F==,所以cos∠D1EF==.【真题拾贝】求异面直线所成角主要有以下两种方法:(1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到(或构造)所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系,用余弦定理求角.(2)向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值。

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易错考点排查练概率统计1.下列说法正确的是( )A.某厂一批产品的次品率为,则任意抽取其中10件产品一定会发现一件次品B.掷一枚硬币,连续出现5次正面向上,第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为0.5C.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%,那么前9个病人都没有治愈,第10个病人就一定能治愈D.气象部门预报明天下雨的概率是90%,说明明天该地区90%的地方要下雨,其余10%的地方不会下雨【解析】选B.A.产品的次品率是大量的产品通过试验得到的数据,题目中的产品个数很少,故不正确;B.掷硬币正面或反面朝上的概率是通过大量试验得到的准确的值,和试验次数无关,故正确;C.解释同A选项,也不正确;D.事件的概率是大量试验后得到的结果,是准确的值,和试验次数无关,但是D选项的说法体现的不是概率的概念,故不正确.2.任意掷两枚骰子,则出现点数之和为奇数的概率和点数之和为偶数的概率分别为( )A.,B.,C.,D.,【解析】选B.任意掷两枚骰子,所得可能结果用(x,y)表示,其中x表示第一枚抛掷出现的点数,y表示第二枚抛掷出现的点数,则试验的所有结果为:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5), (2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4), (4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3), (6,4),(6,5),(6,6),共36个基本事件.所以出现点数之和为奇数的有(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,1),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,1),(6,3), (6,5),共18个,因此点数之和为奇数的概率为=.点数之和为偶数的概率为1-=.3.有1号、2号、3号共3个信箱和A、B、C、D 4封信,若4封信可以任意投入信箱,投完为止,其中A信投入1号或2号信箱的概率为( )A. B. C. D.【解析】选C.由于每封信可以任意投入信箱,对于A信,投入各个信箱的可能性是相等的,共3种不同的结果,投入1号或2号信箱的情况有2种,故A信投入1号或2号信箱的概率为.4.袋中装有大小形状完全相同的5个小球,其中3个白球的标号分别为1、 2 、3, 2 个黑球的标号分别为1、3.若从袋中随机摸出两个球,则摸到的两球颜色与标号都不相同的概率和从袋中有放回地摸球,摸两次,每次摸出一个球,则摸出的两球的标号之和小于4 的概率分别为( )A.,B.,C.,D.,【解析】选D.记5个球为白1、白2、白3、黑1、黑3,从中摸两个球共有:(白1、白2)、(白1、白3)、(白1、黑1)、(白1、黑3)、(白2、白3)、(白2、黑1)、(白2、黑3)、(白3、黑1)、(白3、黑3)、(黑1、黑3)共10种情况.两球颜色和标号都不相同的有:(白1、黑3)、(白2、黑1)、(白2、黑3)、(白3、黑1)共 4 种情况,则所求概率为P==.从中有放回地摸两次,每次摸球有5种结果,所以共有 25种情况.其中标号之和小于 4 的有(白1、白1)、(白1、黑1)、(黑1、白1)、(黑1、黑1)、(白1、白2)、(黑1、白2)、(白2、白1)、(白2、黑1)共8种情况,所求概率为P=.5.由数字1,2,3,4,5,组成一个可重复数字的三位数,其各位数字之和等于9的概率为( )A. B. C. D.【解析】选D.基本事件总数为5×5×5=125,而各位数字之和等于9分三类:(1)三个数字都不相同,有(1,3,5),(2,3,4);共2=12个;(2)三个数字有两个相同,有(2,2,5),(4,4,1),共2个三位数;(3)三个数字都相同,有(3,3,3),共1个三位数.所以所求概率为=.6.一袋中有白球4个,红球n个,从中任取4个,记红球的个数为X,已知X的取值为0,1,2,3,则P(X=2)= ( )A. B. C. D.【解析】选C.由题意,得n=3,所以P(X=2)==.7.抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面出现任意一种点数的概率都是,记事件A为“向上的点数是奇数”,事件B为“向上的点数不超过3”,则概率P(A∪B)= ( )A. B. C. D.【解析】选B.抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面出现任意一种点数的概率都是,记事件A为“向上的点数是奇数”,事件B为“向上的点数不超过3”,所以P(A)==,P(B)==,P(AB)==,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=+-=.8.已知0<a<,随机变量ξ的分布如下:ξ-1 0 1P a -a当a增大时, ( )A.E(ξ)增大,D(ξ)增大B.E(ξ)减小,D(ξ)增大C.E(ξ)增大,D(ξ)减小D.E(ξ)减小,D(ξ)减小【解析】选B.由题意得,E(ξ)=-a+,D(ξ)=-a++12×a+-a+2-a+-a+-12×=-a2+2a+,又因为0<a<,所以故当a增大时,E(ξ)减小,D(ξ)增大.9.某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为,两次闭合后都出现红灯的概率为,则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为 ( )A. B. C. D.【解析】选C.设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A,“第二次闭合后出现红灯”为事件B,由题意得P(A)=,P(AB)=.由条件概率的定义可得P(B|A)===.10.某生在一次考试中,共有10题供选择,已知该生会答其中6题,随机从中抽5题供考生回答,答对3题及格,则该生在第一题不会答的情况下及格的概率为 ( )A. B. C. D.【解析】选A.设事件A为从10题中依次抽5题,第一题不会答,设事件B为从10题中依次抽5题,第一题不会答,其余4题中有3题或4题会答.n(A)=,n(B)= (+).则P==,所以该生在第一题不会答的情况下及格的概率为.11.通过随机询问100名性别不同的小学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：世纪金榜导学号男女合计爱好10 40 50不爱好20 30 50合计30 70 100由χ2=算得χ2=≈4.762.可以得到的正确结论是 ( )A.我们有95%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别有关”B.我们有95%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别无关”C.我们有99%的把握认为“是否爱吃零食与性别有关”D.我们有99%的把握认为“是否爱吃零食与性别无关”【解析】选A.根据所给的数据，χ2=≈4.762>3.841，而4.762<6.635，所以有95%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别有关”.12.从足够多的四种颜色的灯泡中任选六个安置在如图所示的6个顶点处,则相邻顶点处灯泡颜色不同的概率为世纪金榜导学号( )A. B. C. D.【解析】选C.由题意知本题是一个等可能事件的概率,因为试验发生包含的事件是从四种颜色的灯泡中选出一个放在一个顶点处,有4种选法,6个顶点共有46种结果,满足条件的事件是若用三种颜色:先选颜色有4种可能,然后放下底面3×2×1=6种,放好后,放上底面有2×1×1=2种,共有4×6×2=48种;用四种颜色时,下底面4×3×2=24种,放好后,第四种颜色有3种,另两个位置有1×1+1×2=3种,共有24×3×3=216种,所有方法为48+216=264种,所以满足条件的概率是.13.双曲线C:-=1(a>0,b>0),其中a∈{1,2,3,4},b∈{1,2,3,4},且a,b取到其中每个数都是等可能的,则直线l:y=x与双曲线C的左、右支各有一个交点的概率为________.【解析】直线l:y=x与双曲线C的左、右支各有一个交点,则>1,基本事件的总数为4×4=16,满足条件的(a,b)的情况有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6个,故概率为.★★★答案★★★:14.甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是________.【解析】前五场中有一场客场输时,甲队以4∶1获胜的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108,前五场中有一场主场输时,甲队以4∶1获胜的概率是0.4×0.62×0.52×2=0.072,综上所述,甲队以4∶1获胜的概率是P=0.108+0.072=0.18.★★★答案★★★:0.1815.某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查,瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人,下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果.例如表中听觉记忆能力为中等,且视觉记忆能力偏高的学生为3人.由于部分数据丢失,只知道从这40位学生中随机抽取一个,视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为. 世纪金榜导学号(1)试确定a、b的值;(2)从40人中任意抽取3人,设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为ξ,求随机变量ξ的分布列.【解析】(1)由表格数据可知,视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有(10+a)人.记“视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A,则P(A)==,解得a=6,从而b=40-(32+a) =40-38=2.(2)由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为,其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人,从40位学生中任意抽取3位,其中恰有k位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为,所以从40位学生中任意抽取3位,其中恰有k位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为P(ξ=k)=(k=0,1,2,3).ξ的可能取值为0、1、2、3.因为P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,所以ξ的分布列为ξ0 1 2 3P给易错点找题号序号易错点题号练后感悟1 求条件概率时,基本事件把握不准致误10 2不清楚试验所研究的对象,误认为每封信投入1号信箱的机会均等,而错选B33 不理解P(X=2) 64 独立性检验时结论下错而致错115 对概率的意义理解不清致误 16 对“有序”与“无序”判断不准致错 47 双曲线定义理解不清出错138 混淆“等可能性”与“非等可能性” 29 分类依据不清致错1210 忽略概率的性质及参数的范围致错8关闭Word文档返回原板块感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

高频考点集中练概率统计1.（2018·全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0。

45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（）A.0。

3B.0。

4C。

0。

6D。

0.7【解析】选B.方法一：画Venn图,如图设只用非现金支付（不用现金支付)的概率为x，则0。

45+0.15+x=1,解得x=0。

4,所以不用现金支付的概率为0。

4.方法二：记“用现金支付”为事件A，“用非现金支付”为事件B,则“只用非现金支付(不用现金支付)”为事件B—(A∩B)，由已知，P（A）=0.45+0。

15=0。

6，P(A∩B）=0。

15，又P(A∪B)=P（A）+P(B）—P（A∩B)=0。

6+P（B）-0。

15=1,所以P(B）=0。

55,P(B—(A∩B）)=P（B)—P(A∩B）=0.55—0.15=0。

4。

【真题拾贝】解决此类问题：①判断事件的基本关系利用概率的计算公式计算；②若事件为互斥事件的和，则由公式P(A∪B)=P（A)+P（B)+P(AB）计算可得；③若事件为独立事件的积,则由公式P(AB）=P（A)P（B）计算可得。

2。

(2019·全国卷Ⅱ）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分。

7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是(）A。

中位数B。

平均数 C.方差 D.极差【命题思维分析】可不用动笔,直接得到答案,亦可采用特殊数据,特值法筛选答案.【解析】选A.由于去掉1个最高分、1个最低分，不影响中间的数值，故中位数不变。

【真题拾贝】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解。

理解概念即可.3。

(2018·全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)=2。

滚动评估检测(四)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.集合A={y=,0≤x≤4},B=,则A∩B=( )A.∪B.∪C.D.【解析】选D.因为A=[0,2],B=,所以A∩B=(1,2].2.已知i为虚数单位,复数z满足=2+i,则= ( )A.1B.C.D.5【解析】选A.由题可得1-i=(2+i)(1+z),整理得z=--i,==1.3.已知x∈R,则“x>2”是“x2-3x+2>0”成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由x2-3x+2>0得x<1或x>2,所以“x>2”是“x2-3x+2>0”成立的充分不必要条件.4.已知是等差数列,其前n项和为S n,若a3=6,S3=12,则公差d等于( ) A.1B. C.2D.3【解析】选C.因为a3=a1+2d=6,S3=3a1+3d=12,所以a1=2,d=2.5.在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足=2,则·(+)等于( )A.-B.-C.D.【解析】选A.如图,因为=2,所以=+,所以·(+)=-,因为AM=1且=2,所以||=,所以·(+)=-.6.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计,得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图,则下列结论中不正确的是( ) 注:90后指1990-1999年之间出生,80后指1980-1989年之间出生,80前指1979年及以前出生.A.互联网行业从业人员中90后占一半以上B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C.互联网行业中90后从事运营岗位的人数比从事产品岗位的人数多D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多【解析】选D.A.由互联网行业从业者年龄分布饼状图可知,90后占了56%,故A选项结论正确;B.互联网行业中,从事技术的90后占56%×39.6%>20%,仅90后就超过20%,故B选项结论正确;C.由90后从事互联网行业岗位分布条形图可知C选项结论正确;D.在互联网行业从业者中90后与80后的比例相差不大,故无法判断其技术岗位的人数是谁多,故D选项结论不一定正确.7.(2020·某某模拟)已知函数f(x)=,则y=f(x)的图象大致为( )【解析】选A.令g(x)=x-lnx-1,则x>0,因为g′(x)=1-=,由g′(x)>0,得x>1,即函数g(x)在(1,+∞)上单调递增,由g′(x)<0,得0<x<1,即函数g(x)在(0,1)上单调递减,所以当x=1时,函数g(x)有最小值,g(x)min=g(1)=0,于是对任意的x∈(0,1)∪(1,+∞),有g(x)>0,则f(x)>0,故排除B、D.8.(2019·全国卷Ⅱ)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-,则m的取值X围是世纪金榜导学号( )A. B.C. D.【解析】选B.如图,令f(x)=-,结合图象可得f(x-1)=-,则f(x-2)=-,当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1)=-,解得x=或,当f(x)=-时,x=或,即若f(x)≥-,对任意x∈(-∞,m]都成立,则m≤.二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)9.已知sinx=,则sin2x= ( )A.-B.-C.D.【解析】选BD.因为sinx=,所以cosx=±=±=±,所以sin2x=2sinxcosx=2××=±.10.(2020·某某新高考模拟)函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)与f(x+2)都为奇函数,则( )A.f(x)为奇函数B.f(x)为周期函数C.f(x+3)为奇函数D.f(x+4)为偶函数【解析】选ABC.由f(x+1)与f(x+2)都为奇函数知函数f(x)的图象关于点(-1,0),(-2,0)对称,所以f(x)+f(-2-x)=0,f(x)+f(-4-x)=0,所以f(-2-x)=f(-4-x),所以f(x)是以2为周期的函数.所以f(x),f(x+3)均为奇函数.11.(2020·某某新高考模拟)如图为某地区2006年～2018年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图.根据该折线图可知,关于该地区2006年～2018年的说法正确的是( )A.财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势B.财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同C.财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量D.城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大【解析】选AD.由图可以看出两条曲线均在上升,从而选项A正确;图中两曲线间隔越来越大,说明年增长速度不同,差额逐年增大,故选项B错误,选项D正确;又从图中可以看出财政预算内收入年平均增长量应该小于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量,所以选项C错误.12.(2020·某某新高考模拟)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点.则( )A.直线D1D与直线AF垂直B.直线A1G与平面AEF平行C.平面AEF截正方体所得的截面面积为D.点C与点G到平面AEF的距离相等【解析】选BC.对选项A:方法一:以D点为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),A1(1,0,1),E,F,G.从而=(0,0,1),=,从而·=≠0,所以D1D与直线AF不垂直,选项A错误;方法二:取DD1的中点N,连接AN,则AN为直线AF在平面ADD1A1内的射影,AN与DD1不垂直,从而AF与DD1也不垂直,选项A错误;取B1C1的中点为M,连接A1M、GM,则A1M∥AE,GM∥EF,A1M∩GM=M,AE∩EF=E,所以平面A1MG∥平面AEF,从而A1G∥平面AEF,选项B正确;对于选项C,连接AD1,D1F,易知四边形AEFD1为平面AEF截正方体所得的截面四边形(如图所示),且D1H=AH=,AD1=,所以=×=,而==,从而选项C正确;对于选项D:方法一:由于S△GEF=S梯形BEFG-S△EBG=×-××=,而S△ECF=××=,而V A-GEF=S△EFG·AB,V A-ECF=S△ECF·AB,所以V A-GEF=2V A-ECF,即V G-AEF=2V C-AEF,点G到平面AEF的距离为点C到平面AEF的距离的二倍.从而D错误. 方法二:假设点C与点G到平面AEF的距离相等,即平面AEF将CG平分,则平面AEF必过CG的中点,连接CG交EF于点O,易知O不是CG的中点,故假设不成立,从而选项D错误.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.的展开式中x2y3的系数为________.【解析】由二项式定理可知,展开式的通项为T r+1=(-2y)r,要求的展开式中含x2y3的项,则r=3,所求系数为(-2)3=-20.答案:-2014.(2018·全国卷Ⅰ)记S n为数列的前n项和.若S n=2a n+1,则S6=________. 世纪金榜导学号【解析】依题意,作差得a n+1=2a n,所以数列{a n}是公比为2的等比数列,又因为a1=S1=2a1+1,所以a1=-1,所以a n=-2n-1,所以S6==-63.答案:-6315.双曲线-=1的离心率为__________,渐近线方程为__________.【解析】双曲线-=1中,a=2,b=,c==,所以e==,渐近线方程为y=±x=±x.答案:y=±x16.圆O的半径为1,P为圆周上一点,现将如图放置的边长为1的正方形(实线所示,正方形的顶点A与点P重合)沿圆周逆时针滚动,点A第一次回到点P的位置,则点A走过的路径的长度为________. 世纪金榜导学号【解析】每次转动一个边长时,圆心角转过60°,正方形有4边,所以需要转动11次,回到起点.在这11次中,半径为1的6次,半径为的3次,半径为0的2次,点A走过的路径的长度=×2π×1×6+×2π××3=.答案:四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2020·某某新高考模拟)在①b1+b3=a2,②a4=b4,③S5=-25这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的k存在,求k的值,若k不存在,请说明理由.设等差数列{a n}的前n项和为S n,{b n}是等比数列,____________,b1=a5,b2=3,b5=-81,是否存在k,使得S k>S k+1且S k+1<S k+2?注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【解析】因为在等比数列{b n}中,b2=3,b5=-81,所以其公比q=-3, 从而b n=b2(-3)n-2=3×(-3)n-2,从而a5=b1=-1.若存在k,使得S k>S k+1,即S k>S k+a k+1,从而a k+1<0;同理,若使S k+1<S k+2,即S k+1<S k+1+a k+2,从而a k+2>0.方法一:若选①:由b1+b3=a2,得a2=-1-9=-10,所以a n=3n-16,当k=4时满足a5<0,且a6>0成立;若选②:由a4=b4=27,且a5=-1,所以数列{a n}为递减数列,故不存在a k+1<0,且a k+2>0;若选③:由S5=-25==5a3,解得a3=-5,从而a n=2n-11,所以当k=4时,能使a5<0,a6>0成立.方法二:若选①:由b1+b3=a2,得a2=-1-9=-10,所以公差d==3,a1=a2-d=-13,从而S n=-13n+×d=(3n2-29n);⇔解得<k<,又k∈N*,从而k=4满足题意.若选②与若选③(仿上可解决,略).18.(12分)(2020·黄冈模拟)在△ABC中,设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=.(1)求角B的大小.(2)求cos2-sin cos的取值X围.【解析】(1)由=得到=,即2sinAcosB=sin(B+C),即2sinAcosB=sinA.又因为A为三角形内角,所以sinA≠0,所以cosB=,从而B=.(2)cos2-sin cos=(cosC+1)-sinA=cosC-sin+=cosC-sinC+=cos(C+)+,因为0<C<,所以<C+<,所以-<cos(C+)<,所以<cos(C+)+<.所以cos2-sin cos的取值X围为.19.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,平面ABCD⊥平面PAD,E是PB的中点,F 是DC上一点,G是PC上一点,且PD=AD,AB=2DF=6.(1)求证:平面EFG⊥平面PAB.(2)若PA=4,PD=3,求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.【解析】(1)如图,取PA的中点M,连接MD,ME,则ME∥AB,ME=AB,又DF∥AB,DF=AB,所以ME∥DF,ME=DF,所以四边形MDFE是平行四边形,所以EF∥MD,因为PD=AD,所以MD⊥PA,因为平面ABCD⊥平面PAD,平面ABCD∩平面PAD=AD,AB⊥AD,所以AB⊥平面PAD,因为MD⊂平面PAD,所以MD⊥AB,因为PA∩AB=A,所以MD⊥平面PAB,所以EF⊥平面PAB,又EF⊂平面EFG,所以平面EFG⊥平面PAB.(2)过点P作PH⊥AD于点H,则PH⊥平面ABCD,以H为坐标原点,HA所在直线为x轴,过点H 且平行于AB的直线为y轴,PH所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz,在等腰三角形PAD中,PD=AD=3,PA=4,因为PH·AD=MD·PA,所以3PH=4×,解得PH=,则AH=,所以P,B,所以=,易知平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),所以cos<,n>==-,所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为.20.(12分)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,圆O:x2+y2=c2(|F1F2|=2c)与椭圆有且仅有两个交点,点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程.(2)过y轴正半轴上一点P的直线l与圆O相切,与椭圆C交于点A,B,若=,求直线l的方程.【解析】(1)依题意,得c=b,所以a==b,所以椭圆C为+=1,将点代入,解得b=1,则a=,所以椭圆的标准方程为+y2=1.(2)由题意知直线l的斜率存在,设l斜率为k,P(0,m)(m>1),则直线l的方程为y=kx+m,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l与圆O相切,则=1,即m2=1+k2,联立直线与椭圆方程,消元得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,Δ>0⇒k≠0,x1+x2=-,x1x2==,因为=,所以x2=2x1,即x1=-,=,所以=1,解得k2=,即k=±,m=,故所求直线方程为y=±x+.21.(12分)(2018·某某高考)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;②设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.【解析】(1)由已知,得甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.(2)①随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=k)=(k=0,1,2,3).所以,随机变量X的分布列为X 0 1 2 3P所以随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.②设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B∪C,且B与C互斥,由①知,P(B)=P(X=2)=,P(C)=P(X=1)=,故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=.所以,事件A发生的概率为.22.(12分)已知函数f=cos,g=e x·f′,其中e为自然对数的底数.世纪金榜导学号(1)求曲线y=g在点处的切线方程.(2)若对任意x∈不等式g≥x·f+m恒成立,某某数m的取值X围.(3)试探究当x∈时,方程g=x·f的解的个数,并说明理由.【解析】(1)依题意得f=si n x,g=e x·cosx.g=e0cos0=1,g′=e x cosx-e x si n x,g′(0)=1,所以曲线y=g在点(0,g(0))处的切线方程为y=x+1.(2)原题等价于对任意x∈,m≤[g-x·f]mi n.设h(x)=g-x·f,x∈.则h′=e x cosx-e x si n x-si n x-xcosx=cosx-si n x,因为x∈,所以cosx≥0,si n x≤0,所以h′≥0,故h(x)在上单调递增,因此当x=-时函数h(x)取得最小值, h=-;所以m≤-,即实数m的取值X围是. (3)设H(x)=g-x·f,x∈.当x∈时,H′(x)=e x(cosx-si n x)-si n x-xcosx<0,所以函数H(x)在上单调递减,故函数H(x)在上至多只有一个零点,又H=(-)>0,H=-<0,而且函数H(x)在上是连续不断的, 因此,函数H(x)在上有且只有一个零点.即方程g(x)=x·f(x)只有一个解.。

第一篇备战新高考狂练新题型之高三数学提升捷径专题10 概率统计多选题1.下列判断正确的是（ ） A ．若随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，()40.79P ξ≤=，则()20.21P ξ≤-=；B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的必要不充分条件；C ．若随机变量ξ服从二项分布：14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，则()1E ξ=； D ．已知直线2ax by +=经过点()1,3，则28a b +的取值范围是[)4,+∞ 【答案】ACD【解析】A 选项，若随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，()40.79P ξ≤=，根据正态分布曲线的对称性有()()240.79P P ξξ≥-=≤=，所以()()21210.790.21P P ξξ≤-=-≥-=-=，A 选项正确；B 选项，因为//αβ，直线l ⊥平面α，所以直线l ⊥平面β，又直线//m 平面β，所以l m ⊥，充分性成立；设n αβ=，在α内取平行于n 的直线m n ≠，则l m ⊥且βn//，但是α与β相交，必要性不成立，B 不正确； C 选项，因为14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1414E np ξ==⨯=，C 正确；D 选项，由题意知32a b +=，因为20a >，3820b b =>，所以2824a b +≥=，当且仅当11,3a b ==时取等号，故D 正确.故选：ACD2.由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出所做的预测.结合下图，下列说法正确的是（ ）A ．5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B ．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D ．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 【答案】A BD【解析】由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位， 而后期是信息服务商处于领先地位，故C 项表达错误． 故选：ABD ．3.为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重（单位：kg ）情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示.对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是（ ） A ．他们健身后，体重在区间[)90,100内的人增加了2个 B ．他们健身后，体重在区间[)100,110内的人数没有改变 C ．他们健身后，20人的平均体重大约减少了8kgD ．他们健身后，原来体重在区间[)110,120内的肥胖者体重都有减少 【答案】 ABD【解析】体重在区间[)90,100内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人，故人增加了2个，故A 正确；他们健身后，体重在区间[)100,110内的百分比没有变，所以人数没有变，故B 正确； 他们健身后，20人的平均体重大约减少了()()0.3950.51050.21150.1850.4950.51055kg ⨯+⨯+⨯-⨯+⨯+⨯= ，故C 错误；因为图（2）中没有体重在区间[)110,120内的比例，所以原来体重在区间[)110,120内的肥胖者体重都有减少，故D 正确. 故选：ABD4.某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表.经计算2K 的观测值 4.762k ≈，则可以推断出（ ）A ．该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为35B ．调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意C ．有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异D ．有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 【答案】 AC【解析】对于选项A,该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为30330205=+,故A 正确；对于选项B,该学校女生对食堂服务满意的概率的估计值为4043401055=>+,故B 错误； 因为 4.762 3.841k ≈>,所以有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异,故C 正确,D 错误 故选：AC5.甲、乙、丙三家企业产品的成本分别为10000，12000，15000，其成本构成如图所示，则关于这三家企业下列说法正确的是（ ）A ．成本最大的企业是丙企业B ．费用支出最高的企业是丙企业C ．支付工资最少的企业是乙企业D ．材料成本最高的企业是丙企业【答案】 ABD【解析】由题意甲企业产品的成本为10000，其中材料成本1000060%6000⨯=、支付工资1000035%3500⨯=、费用支出500；乙企业产品的成本为12000，其中材料成本1200053%6360⨯=、支付工资1200030%3600⨯=、费用支出2040；丙企业产品的成本为15000，其中材料成本1500060%9000⨯=、支付工资1500025%3750⨯=、费用支出1500015%2250⨯=.所以成本最大的企业是丙企业，费用支出最高的企业是丙企业，支付工资最少的企业是甲企业，材料成本最高的企业是丙企业，A 、B 、D 选项正确，C 选项错误. 故选：ABD.6.针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的45，女生喜欢抖音的人数占女生人数35，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有（ ）人 附表：附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ A ．25 B ．45C ．60D ．75【答案】 BC【解析】设男生的人数为()5n n N *∈，根据题意列出22⨯列联表如下表所示：则()221042310557321n n n n n n Kn n n n⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，由于有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则23.841 6.632K≤<，即103.841 6.63221n≤<，得8.066113.9272n≤<，n N*∈，则n的可能取值有9、10、11、12，因此，调查人数中男生人数的可能值为45或60.故选：BC.7.下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：则下列判断中正确的是（）A．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低【答案】ACD【解析】根据表中数据知，该公司2018年度冰箱类电器销售净利润所占比为﹣0.48，是亏损的，A正确；小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的，但收入与净利润不一定相同，B错误；该公司2018年度净利润空调类电器销售所占比为95.80%，是主要利润来源，C正确；所以剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，D正确．故选：ACD．8.如图是国家统计局发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图（注：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比），根据该折线图，下列结论正确的是（）A ．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨B ．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌C ．2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大D ．2019年3月全国居民消费价格环比变化最快 【答案】 ABD【解析】对于选项A ，从图可以看出同比涨跌幅均为正数，故A 正确； 对于选项B ，从图可以看出环比涨跌幅有正数有负数，故B 正确；对于选项C ，从图可以看出同比涨幅最大的是2018年9月份和2018年10月份，故C 错误； 对于选项D ，从图可以看出2019年3月全国居民消费价格环比变化最快，故D 正确.故选ABD.9.设集合{2,3,4}M =，{1,2,3,4}N =，分别从集合M 和N 中随机取一个元素m 与n .记“点(,)P m n 落在直线x y k +=上”为事件()*38,k A k k N ≤≤∈，若事件k A 的概率最大，则k 的取值可能是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】 BC【解析】由题意，点(,)P m n 的所有可能情况为(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)，共12个基本事件，则事件3A ：点(,)P m n 落在直线3x y +=包含其中(2,1)共1个基本事件，所以()3112P A =；事件4A ：点(,)P m n 落在直线4x y +=包含其中(2,2)、(3,1)共2个基本事件，所以()416P A =；事件5A ：点(,)P m n 落在直线5x y +=包含其中(2,3)、(3,2)、(4,1)共3个基本事件，所以()514P A =；事件6A ：点(,)P m n 落在直线6x y +=包含其中(2,4)、(3,3)、(4,2)共3个基本事件，所以()614P A =；事件7A ：点(,)P m n 落在直线7x y +=包含其中(3,4)、(4,3)共2个基本事件，所以()716P A =；事件8A ：点(,)P m n 落在直线8x y +=包含其中(4,4)共1个基本事件，所以()8112P A =.综上可得，当5k =或6时，()()()56max 14k P A P A P A ===.故选：BC.10.利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A 为“是一等品”，B 为“是合格品”，C 为“是不合格品”，则下列结果正确的是（ ）. A ．7()10P B =B ．9()10P A B ⋃=C ．()0P A B ⋂=D ．()()P A B P C ⋃=【答案】 ABC【解析】由题意知A ，B ，C 为互斥事件，故C 正确；又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件，所以7()10P B =，2()10P A =，1()10P C =则9()10P A B ⋃=，故A 、B ，C 正确；故D 错误. 故选ABC.。

第3讲概率与统计中的数学建模与数据分析概率统计中的创新性问题是高考的命题重点，不仅注重模块知识内的综合，也注重模块知识间的综合，更多地体现对数学建模与数据分析核心素养的考查．命题的重点有：(1)考查数学建模核心素养，以实际生活中的环保、民生、科技等为背景，考查函数、数列等模型的建立，其中求解这些实际问题的最优化是近年高考命题的热点．(2)考查数据分析核心素养，常考查对数据的搜集与归类，并利用不同的特征值对研究对象做出理性的判断．考点一图表与概率交汇(应用型)甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员，日工资方案如下：甲公司规定底薪80元，每销售一件产品提成1元；乙公司规定底薪120元，日销售量不超过45件没有提成，超过45件的部分每件提成8元．(1)请将两家公司各一名推销员的日工资y(单位：元)分别表示为日销售件数n的函数关系式；(2)从两家公司各随机选取一名推销员，对他们过去100天的销售情况进行统计，得到如图所示的条形图．若记甲公司的推销员的日工资为X ，乙公司的推销员的日工资为Y ，将频率视为概率．若某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作，仅从日均收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他做出选择，并说明理由．【解】 (1)由题意得，甲公司一名推销员的日工资y (单元：元)与日销售件数n 的函数关系式为y ＝80＋n ，n ∈N .乙公司一名推销员的工资y (单元：元)与销售件数n 的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧120(n ≤45，n ∈N )，8n －240(n ＞45，n ∈N ). (2)由条形图可得X 的分布列如下由条形图可得Y易得E (X )＝122×0.20.1＝125， E (Y )＝120×0.2＋128×0.3＋144×0.4＋160×0.1＝136. 因为E (X )＜E (Y )，所以仅从日均收入的角度考虑，选择去乙公司更好．统计与概率“搭台”，方案选择“唱戏”破解此类频率分布直方图、分层抽样与概率相交汇的开放性问题的关键：一是会观图读数据，能从频率分布直方图中读出频率，进而求出频数；二是能根据分层抽样的抽样比或各层之间的比例，求出分层抽样中各层需取的个数；三是会转化，会对开放性问题进行转化．(2020·郑州市第一次质量预测)2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布PM2.5数据．资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善．郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数(AQI)，其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2，5，2个监测站点，以9个站点测得的AQI的平均值为依据，播报我市的空气质量．(1)若某日播报的AQI为118，已知轻度污染区AQI的平均值为74，中度污染区AQI的平均值为114，求重度污染区AQI的平均值；(2)下表为2018年11月的30天中AQI的分布，11月份仅有一天AQI在[170，180)内．AQI 为标准，如果AQI 小于180，则去进行社会实践活动，以统计数据中的频率为概率，求该校周日去进行社会实践活动的概率；②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到的AQI 不小于180的天数为X ，求X 的分布列及数学期望．解：(1)设重度污染区AQI 的平均值为x ，则74×2＋114×5＋2x ＝118×9，解得x ＝172. 即重度污染区AQI 的平均值为172.(2)①由题意知，AQI 在[170，180)内的天数为1，由题表可知，AQI 在[50，170)内的天数为17，故11月份AQI 小于180的天数为1＋17＝18，又1830＝35，则该校周日去进行社会实践活动的概率为35. ②由题意知，X 的所有可能取值为0，1，2，3，且P (X ＝0)＝C 318C 012C 330＝2041 015，P (X ＝1)＝C 218C 112C 330＝4591 015，P (X ＝2)＝C 118C 212C 330＝2971 015，P (X ＝3)＝C 018C 312C 330＝11203.则X 的分布列为数学期望E (X )＝0×2041 015＋1×4591 015＋2×2971 015＋3×11203＝65.考点二图表与独立性检验相交汇(应用型)某种常见疾病可分为Ⅰ，Ⅱ两种类型．为了了解所患该疾病类型与地域、初次患该疾病的年龄(单位：岁)(以下简称初次患病年龄)的关系，在甲、乙两个地区随机抽取100名患者调查其所患疾病类型及初次患病年龄，得到如下数据．(1)(2)记“初次患病年龄在[10，40)内的患者”为“低龄患者”，“初次患病年龄在[40，70]内的患者”为“高龄患者”．根据表中数据，解决以下问题．①将以下两个列联表补充完整，并判断“地域”“初次患病年龄”这两个变量中哪个变量与所患疾病的类型有关联的可能性更大．(直接写出结论，不必说明理由)表一99.9%的把握认为所患疾病的类型与X 有关？附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .【解】型疾病患者初次患病年龄小于40岁的人数分别为15，10，则从Ⅰ型疾病患者中随机抽取1人，其初次患病年龄小于40岁的概率的估计值为15＋1040＝58.(2)①填空结果如下．表一“②由①可知X 为初次患病年龄，根据表二中的数据可得a ＝25，b ＝15，c ＝15，d ＝45，n ＝100，则K 2的观测值k ＝100×(25×45－15×15)240×60×40×60≈14.063，14．063＞10.828，故有99.9%的把握认为所患疾病类型与初次患病年龄有关．本题的易错点有三处：一是审题不认真，误认为甲、乙两地区Ⅰ型疾病患者的总数为100，错误列式15＋10100＝0.25；二是不能从频数分布表中获取相关数据，无法正确填写列联表，不能根据列联表中数据的含义做出正确判断；三是代错公式或计算错误，从而导致统计判断出错．(2020·洛阳市统考)某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查．调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段．在随机问卷阶段，A ，B 两个调查小组分赴乙市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对15至45岁的人群，按比例随机抽取了300份，进行数据统计，具体情况如下表：人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到35岁”的被抽个体分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去，①求这60人中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数；②为听取对发展共享单车的建议，调查小组专门组织所抽取的“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人员召开座谈会．会后共有3份礼品赠送给其中3人，每人1份(其余人员仅赠送骑行优惠券)．已知参加座谈会的人员中有且只有4人来自A 组，求A 组这4人中得到礼品的人数X 的分布列和数学期望；(2)从统计数据可直观得出“经常使用共享单车与年龄达到m 岁有关”的结论．在用独立性检验的方法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄m 应取25还是35？请通过比较K 2的观测值的大小加以说明．参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解：(1)①从300人中抽取60人，其中“年龄达到35岁”的人数为100×60300＝20，再将这20人用分层抽样法按“是否经常使用单车”进行名额划分，其中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数为20×45100＝9.②A 组这4人中得到礼品的人数X 的可能取值为0，1，2，3，P (X ＝0)＝C 35C 39＝542，P (X ＝1)＝C 14C 25C 39＝1021，P (X ＝2)＝C 24C 15C 39＝514，P (X ＝3)＝C 34C 39＝121.故其分布列为所以E (X )＝0×542＋1×1021＋2×514＋3×121＝43.(2)按“年龄是否达到35岁”对数据进行整理，得到如下列联表m ＝35时k 1＝300×(125×45－75×55)2200×100×180×120＝300×1 5002200×100×180×120＝2516.按“年龄是否达到25岁”对数据进行整理，得到如下列联表m ＝25时k 2＝300×(67×87－33×113)2100×200×180×120＝300×2 1002100×200×180×120＝4916，所以k 2＞k 1.欲使犯错误的概率尽可能小，需取m ＝25. 考点三 图表与线性回归分析相交汇(应用型)某商店为迎接端午节，推出花生粽与肉粽两款粽子．为调查这两款粽子的受欢迎程度，店员连续10天记录了这两款粽子的销售量，用1，2，…，10分别表示第1，2，…，10天，记录结果得到频数分布表如图所示(其中销售量单位：个)．(2)根据统计学知识，请判断哪款粽子更受欢迎；(3)求肉粽销售量y 关于序号t 的线性回归方程，并预估第15天肉粽的销售量．(回归方程的系数精确到0.01)．参数数据：∑10i ＝1(t i －t －)(y i－y －)＝156. 参考公式：回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计分别为b ^＝∑ni ＝1 (t i －t －)(y i －y －)∑ni ＝1(t i －t －)2，a ^＝y －－b ^t －. 【解】 (1)根据所给数据完成茎叶图如图所示．(2)法一：由(1)中茎叶图可知，肉粽的销售量均值比花生粽高，两款粽子的销售量波动情况相当，所以可以认为肉粽更受欢迎．法二：由题意得花生粽的销售量的均值y －1＝95＋110×(8－2＋3－2＋11－9－8－11－4＋4)＝94，肉粽的销售量的均值y －2＝100＋110×(－12－3－2－5＋1－2＋3＋6＋2＋12)＝100.因为94＜100，所以y －1＜y －2，即肉粽的销售量的均值较花生粽高，所以可以认为肉粽更受欢迎．(3)由题中数据可得t －＝112，∑10i ＝1 (t i－t －)2＝14×(92＋72＋52＋32＋12)×2＝1652， 所以b ^＝1561652≈1.89，a ^＝100－1.89×112≈89.61.故肉粽销售量y 关于序号t 的线性回归方程为y ^＝1.89t ＋89.61. 当t ＝15时，y ^＝1.89×15＋89.61≈118， 所以预估第15天肉粽的销售量为118个．破解此类频数分布表、茎叶图、线性回归相交汇的开放性问题的关键：一是会制图，即会根据频数分布表，把两组数据填入茎叶图中；二是会对开放性问题进行转化，如本题，把判断哪款粽子更受欢迎，转化为判断哪款粽子的销售量均值更高；三是熟练掌握求线性回归方程的步骤，求出a ^，b ^，即可写出线性回归方程．(2020·广东省七校联考)下图是我国2010年至2016年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请求出相关系数r ，并用相关系数的大小说明y 与t 相关性的强弱；(2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2018年我国生活垃圾无害化处理量． 附注：参考数据：∑7i ＝1y i ＝10.97，∑7i ＝1t i y i ＝47.36，∑7i ＝1(y i －y －)2＝0.664，7≈2.646. 参考公式：相关系数r ＝∑ni ＝1 (t i －t －)(y i －y －)∑ni ＝1(t i －t －)2∑n i ＝1 (y i －y －)2＝∑ni ＝1t i y i－t －∑ni ＝1y i ∑ni ＝1(t i －t －)2∑n i ＝1 (y i －y －)2，回归方程y ^＝a ^＋b ^t －中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝∑ni ＝1 (t i －t －)(y i－y －)∑ni ＝1(t i －t －)2，a ^＝y －－b ^t －解：(1)由折线图中数据和附注中参考数据得t －＝4，∑7i ＝1(t i－t －)2＝28，∑7i ＝1(y i －y －)2＝0.664，∑7i ＝1 (t i －t －)(y i －y －)＝∑7i ＝1t i y i －t －∑7i ＝1y i ＝47.36－4×10.97＝3.48，故r ≈ 3.480.664×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，所以说明y 与t 的线性相关程度相当高．(2)由y －＝10.977≈1.567及(1)得b ^＝∑7i ＝1(t i －t －)(y i－y －)∑7i ＝1(t i －t －)2＝3.4828≈0.124， a ^＝y －－b ^t －≈1.567－0.124×4≈1.07. 所以，y 关于t 的回归方程为y ^＝1.07＋0.12t .将2018年对应的t ＝9代入回归方程得y ^＝1.07＋0.12×9＝2.15. 所以预测2018年我国生活垃圾无害化处理量约为2.15亿吨． 考点四 图表与正态分布相交汇(应用型)(2020·武汉市调研测试)中共十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋斗拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐渐增加．为了更好地制定2019年关于加快提升农民年收入，力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入(单位：千无)并制成如下频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入x －(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入X 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为年平均收入x －，σ2近似为样本方差s 2，经计算得s 2＝6.92.利用该正态分布，解决下列问题：(ⅰ)在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？(ⅱ)为了调研“精准扶贫，不落一人”的落实情况，扶贫办随机走访了1 000位农民．若每位农民的年收入相互独立，问：这1 000位农民中年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？附：参考数据与公式6.92≈2.63，若X ～N (μ，σ2)，则 ①P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)≈0.682 7； ②P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)≈0.954 5； ③P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)≈0.997 3.【解】 (1)x －＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40(千元)．(2)由题意，X ～N (17.40，6.92)． (ⅰ)P (X ＞μ－σ)≈12＋0.682 72≈0.841 4，μ－σ≈17.40－2.63＝14.77， 即最低年收入大约为14.77千元．(ⅱ)由P (X ≥12.14)＝P (X ≥μ－2σ)≈0.5＋0.954 52≈0.977 3，得每位农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率为0.977 3，记这1 000位农民中年收入不少于12.14千元的人数为ξ，则 ξ～B (103，p )，其中p ＝0.977 3，于是恰好有k 位农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率是P (ξ＝k )＝C k 103p k (1－p )103－k ，从而由P (ξ＝k )P (ξ＝k －1)＝(1 001－k )×pk ×(1－p )＞1，得k ＜1 001p ，而1 001p ＝978.277 3，所以，当0≤k ≤978时，P (ξ＝k －1)＜P (ξ＝k )， 当979≤k ≤1 000时，P (ξ＝k －1)＞P (ξ＝k )，由此可知，在所走访的1 000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978.正态分布下的概率计算常见的两类问题(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x ＝μ对称，及曲线与x 轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．(2020·河北衡水联考)按照国际乒联的规定，标准的乒乓球在直径符合的条件下，重量为2.7克，其重量的误差在区间[－0.081，0.081]内就认为是合格产品，在正常情况下样本的重量误差x 服从正态分布．现从某厂生产的一批产品中随机抽取10件样本，其重量如下：2.72 2.68 2.7 2.75 2.66 2.7 2.6 2.69 2.7 2.8 (1)计算上述10件产品的误差的平均数x －及标准差s ；(2)①利用(1)中求的平均数x －，标准差s ，估计这批产品的合格率能否达到96%； ②如果产品的误差服从正态分布N (0，0.040 52)，那么从这批产品中随机抽取10件产品，则有不合格产品的概率为多少？(附：若随机变量x 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜x ≤μ＋σ)≈0.683，P (μ－2σ＜x ≤μ＋2σ)≈0.954，P (μ－3σ＜x ≤μ＋3σ)≈0.997.0.95410用0.624 4，0.99710用0.970 4分别代替计算)解：(1)x －＝110×(0.02－0.02＋0＋0.05－0.04＋0－0.1－0.01＋0＋0.1)＝0.s 2＝110×(0.022×2＋0.052＋0.042＋0.012＋0.12×2)＝0.002 5， 所以s ＝0.05.(2)①由(1)中计算得μ＝0，σ＝0.05，所以P (μ－2σ＜x ＜μ＋2σ)＝P (0－2×0.05＜x ＜0＋2×0.05)＝P (－0.1＜x ＜0.1)． 因为在－0.1＜x ＜0.1内包括了所有的合格产品，也包括了不合格的产品，而P (－0.1＜x ＜0.1)≈0.954＜0.96，所以这批抽查的产品的合格率不能达到96%.②因为产品重量的误差服从正态分布N (0，0.040 52)， 所以μ＝0，σ＝0.040 5.又μ－2σ＜x ＜μ＋2σ即为－0.081＜x ＜0.081，所以每件产品合格的概率P(μ－2σ＜x＜μ＋2σ)≈0.954，所以随机抽取10件产品中有不合格产品的概率为1－0.95410≈1－0.624 4＝0.375 6.[基础题组练]1．(2020·石家庄市模拟(一))东方商店欲购进某种食品(保质期一天)，此商店每天购进该食品一次(购进时，该食品为刚生产的)．根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果一天内无法售出，则食品过期作废，现统计该食品100天的销售量如下表：(1)(2)视样本频率为概率，以一天内该食品所获得的利润的平均值为决策依据，东方商店一次性购进17或18份，哪一种得到的利润更大？解：(1)平均每天销售的份数为15×10＋16×20＋17×30＋18×20＋19×10＋20×10100＝17.3.(2)当购进17份时，利润为17×4×70100＋(16×4－8)×20100＋(15×4－16)×10100＝47.6＋11.2＋4.4＝63.2(元)．当购进18份时，利润为18×4×40100＋(17×4－8)×30100＋(16×4－16)×20100＋(15×4－24)×10100＝28.8＋18＋9.6＋3.6＝60(元)．63．2＞60，可见，当购进17份时，利润更大．2．(2020·江西八所重点中学联考)2019年2月25日，第11届罗马尼亚数学大师赛(简称RMM)于罗马尼亚首都布加勒斯特闭幕，最终成绩揭晓，以色列选手排名第一，而中国队无一人获得金牌，最好成绩是获得银牌的第15名，总成绩排名第6.在分量极重的国际数学奥林匹克(IMO)比赛中，过去拿冠军拿到手软的中国队，已经连续4年没有拿到冠军了．人们不禁要问“中国奥数究竟怎么了？”，一时间关于各级教育主管部门是否应该下达“禁奥令”成为社会讨论的热点，某重点高中培优班共50人，现就这50人对“禁奥令”的态度进行问卷调查，得到如下的列联表：其中认为不应下“禁奥令”的同学共有6人．(1)请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为对下“禁奥令”的态度与性别有关？说明你的理由；(2)现从这10人中抽出2名男生、2名女生，记此4人中认为不应下“禁奥令”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．参考公式与数据：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )解：(1)所以K 2＝25×25×30×20＝253≈8.333＞6.635， 所以有99%的把握认为对下“禁奥令”的态度与性别有关．(2)由题意，可知在这10人中，男、女生各5人，其中男生有4人、女生有2人认为不应下“禁奥令”，ξ的所有可能取值有1，2，3，4.P (ξ＝1)＝C 14C 11C 23C 25C 25＝12100＝325；P (ξ＝2)＝C 24C 23＋C 14C 11C 12C 13C 25C 25＝42100＝2150； P (ξ＝3)＝C 14C 11C 22＋C 24C 12C 13C 25C 25＝40100＝25；P (ξ＝4)＝C 24C 22C 25C 25＝6100＝350.所以ξ的分布列是所以E (ξ)＝1×325＋2×2150＋3×25＋4×350＝2.4.3．(2020·山东枣庄二调)某项研究性课题由一个团队完成，团队由一个主持人和若干个助手组成，助手分固定和临时两种，每个固定助手的工资为3 000元/月，当固定助手人手不够时，需要招聘临时助手，每个临时助手的工资为4 000元/月，现在搜集并整理了以往的20个团队需要的助手数，得到如图柱状图．记n 为提供给一个团队的固定助手数(提供的每个固定助手均按3 000元/月的标准支付工资)．x 为一个团队需要的助手数，y 为支付给一个团队的助手的月工资总额(单位：元)．(1)当n ＝4时，求y 关于x 的函数关系式；(2)假设这20个团队中的每一个团队都提供4个固定助手或都提供5个固定助手，分别计算这20个团队每月支付给助手的工资总额，以此作为决策依据，判断每一个团队提供4个固定助手划算还是提供5个固定助手划算．解：(1)当n ＝4时，x ≤4时，y ＝4×3 000＝12 000， 4＜x ≤6时，y ＝12 000＋4 000(x －4)＝4 000x －4 000， 所以当n ＝4时，y 关于x 的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12 000，0＜x ≤4，x ∈N ，4 000x －4 000，4＜x ≤6，x ∈N . (2)由题意得每个团队需要的助手个数X 分别为3，4，5，6，P (X ＝3)＝220＝0.1，P (X ＝4)＝420＝0.2，P (X ＝5)＝620＝0.3，P (X ＝6)＝820＝0.4.当每一个团队提供4个固定助手时，这20个团队每月支付给助手的工资总额Y 1＝20×[(0.1＋0.2)×12 000＋0.3×(4 000×5－4 000)＋0.4×(4 000×6－4 000)]＝328 000(元)．当每一个团队提供5个固定助手时，这20个团队每月支付给助手的工资总额 Y 2＝20×[(0.1＋0.2＋0.3)×15 000＋0.4×(15 000＋4 000)]＝332 000(元)． 所以Y 1＜Y 2，所以每一个团队提供4个固定助手划算．4．(2020·济南市学习质量评估)某医药公司研发生产一种新的保健产品，从一批产品中随机抽取200盒作为样本，测量产品的一项质量指标值，该指标值越高越好．由测量结果得到如下频率分布直方图：(1)求a ，并试估计这200盒产品的该项指标值的平均值；(2)①由样本估计总体，结合频率分布直方图认为该产品的该项质量指标值ξ服从正态分布N (μ，102)，计算该批产品该项指标值落在(180，220]上的概率；②国家有关部门规定每盒产品该项指标值不低于150均为合格，且按该项指标值从低到高依次分为：合格、 优良、优秀三个等级，其中(180，220]为优良，不高于180为合格，高于220为优秀，在①的条件下，设该公司生产该产品1万盒的成本为15万元，市场上各等级每盒该产品的售价(单元：元)如表，求该公司每万盒的平均利润．附：若ξ～N (μ，δ2)δ＜ξ≤μ＋2δ)≈0.954 5. 解：(1)由10×(2×0.002＋0.008＋0.009＋0.022＋0.024＋a )＝1，解得a ＝0.033， 则平均值x －＝10×0.002×170＋10×0.009×180＋10×0.022×190＋10×0.033×200＋10×0.024×210＋10×0.008×220＋10×0.002×230＝200，即这200盒产品的该项指标值的平均值约为200.(2)①由题意可得μ＝x －＝200，δ＝10，则P (μ－2δ＜ξ≤μ＋2δ)＝P (180＜ξ≤220)≈0.9545，则该批产品指标值落在(180，220]上的概率为0.954 5.②设每盒该产品的售价为X 元，由①可得X 的分布列为30×0.022 75＝20，故每万盒的平均利润为20－15＝5(万元)．5．(2020·河南新乡三模)以下是新兵训练时，某炮兵连8周中炮弹对同一目标的命中情况的柱状图：(1)计算该炮兵连这8周中总的命中频率p 0，并确定第几周的命中频率最高；(2)以(1)中的p 0作为该炮兵连甲炮兵对同一目标的命中率，若每次发射相互独立，且炮兵甲发射5次，记命中的次数为X ，求X 的方差；(3)以(1)中的p 0作为该炮兵连炮兵对同一目标的命中率，试问至少要用多少枚这样的炮弹同时对该目标发射一次，才能使目标被击中的概率超过0.99.(取lg 0.4＝－0.398)解：(1)这8周总命中炮数为40＋45＋46＋49＋47＋49＋53＋52＝381，总未命中炮数为32＋34＋30＋32＋35＋33＋30＋28＝254，所以p 0＝381381＋254＝0.6.因为5228＞5330，所以根据表中数据易知第8周的命中频率最高．(2)由题意可知X ～B (5，0.6)， 则D (X )＝5×0.6×(1－0.6)＝1.2.(3)由1－(1－p 0)n ＞0.99， 即1－0.4n ＞0.99，得0.4n ＜0.01，所以n ＞log 0.4 0.01＝lg 0.01lg 0.4＝－2lg 0.4＝20.398≈5.025，故至少要用6枚这样的炮弹同时对该目标发射一次，才能使目标被击中的概率超过0.99. 6．(2020·河北衡水中学模拟)噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度D (单位：分贝)与声音能量I (单位：W/cm 2)之间的关系，对测量得到的声音强度D i 和声音能量I i (i ＝1，2…，10)数据作了初步处理，得到如下散点图及一些统计量的值．表中W i ＝lg I i ，W ＝110∑i ＝1W i，(1)根据散点图判断，D ＝a 1＋b 1I 与D ＝a 2＋b 2lg I 哪一个适宜作为声音强度D 关于声音能量I 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据表中数据，求声音强度D 关于声音能量I 的回归方程；(3)当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪音污染，城市中某点P 共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是I 1和I 2，且1I 1＋4I 2＝1010.已知点P 的声音能量等于声音能量I 1与I 2之和，请根据(1)中的回归方程，判断点P 是否受到污染的干扰，并说明理由．附：对于一组数据(μ1，v 1)，(μ2，v 2)，…，(μ1n ，v n )，其回归直线v ^＝α^＋β^μ的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑ni ＝1 (μi －μ－)(v i －v －)∑ni ＝1(μi －μ－)2，α^＝v －－β^μ－. 解：(1)根据散点图判断，模型D ＝a 2＋b 2lg I 更适合． (2)令W i ＝lg I i ，先建立D 关于W 的线性回归方程， 由于b ^＝∑10i ＝1(W i －W －)(D i －D －)∑10i ＝1 (W i －W －)2＝5.10.51＝10， 所以a ^＝D －－b ^W －＝160.7，所以D 关于W 的线性回归方程是D ^＝10W ＋160.7， 即D 关于I 的回归方程是D ^＝10lg I ＋160.7. (3)点P 的声音能量为I ＝I 1＋I 2， 因为1I 1＋4I 2＝1010，所以I ＝I 1＋I 2＝10－10⎝⎛⎭⎫1I 1＋4I 2(I 1＋I 2)＝10－10⎝⎛⎭⎫5＋I 2I 1＋4I 1I 2≥9×10－10， 当且仅当I 2I 1＝4I 1I 2时等号成立．根据(1)中的回归方程知，点P 的声音强度D 的预报值为D ^min ＝10lg(9×10－10)＋160.7＝10lg 9＋60.7＞60，所以点P 会受到噪声污染的干扰．。

专题十九 概率、随机变量的分布列本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·陕西质检)陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地”，是我国著名的道教圣地，古代圣哲老子曾在此著《道德经》五千言．景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为( )A.23B.12C.15D.25 答案 B解析 现从五种不同属性的物质中任取两种，基本事件总数n ＝C 25＝10，取出的两种物质恰好是相克关系包含的基本事件个数m ＝C 15＝5，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为P ＝m n ＝510＝12.故选B.2．(2019·福建联考)已知边长为23的正方形ABCD 的中心为点P ，在正方形ABCD 内任取一点Q ，则点Q 满足|PQ |≤2的概率为( )A.π＋339B.π＋3312C.2π＋39D.2π＋312答案 A解析 在Rt △PEF 中，由题意可知，|PE |＝2，|PF |＝3，则∠EPF ＝π6，从而∠EPG ＝π3，|EG |＝2，则阴影部分的面积为S ＝12×2π3×22＋12×2×3×4＝4π3＋43， 故所求概率为P ＝S 阴S 正＝4π3＋4312＝π＋339，故选A.3．(2019·成都调研)某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为( )A.25B.1225C.1625D.45 答案 C解析 设A 表示“甲同学收到李老师所发活动通知信息”，B 表示“甲同学收到张老师所发活动通知信息”，由题意P (A )＝410＝25，P (B )＝410＝25，∴甲同学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为25＋25－25×25＝1625.故选C.4．(2019·西安质检)已知随机变量ξ的分布列如下：ξ 0 1 2 Pabc其中a ，b ，c ( ) A.16 B.13 C.12 D.56 答案 B解析 由题意知a ，b ，c ∈[0,1]，且⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，a ＋b ＋c ＝1，解得b ＝13，又函数f (x )＝x 2＋2x ＋ξ有且只有一个零点，故对于方程x 2＋2x ＋ξ＝0，Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，所以P (ξ＝1)＝13.5．(2019·湖南湘西二模)已知甲、乙两台自动车床生产同一种零件，X 表示甲车床生产1000件产品中的次品数，Y 表示乙车床生产1000件产品中的次品数，经考察一段时间，X ，Y 的分布列分别是( )据此判断( )A ．甲比乙生产的产品质量好B ．乙比甲生产的产品质量好C ．甲与乙生产的产品质量相同D ．无法判断 答案 A解析 E (X )＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，E (Y )＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＝0.7.由于E (Y )>E (X )，故甲比乙生产的产品质量好．6．(2019·邢台联考)在面积为S (S >0)的平行四边形ABCD 内任取一点M ，则△MCD 的面积小于S3的概率为( )A.13B.35C.23D.34 答案 C解析 设△MCD 边CD 上的高为ME ，ME 的反向延长线交AB 于点F ，当△MCD 的面积等于S 3时，12CD ×ME ＝13CD ×EF ，即ME ＝23EF ，此时过点M 作GH ∥AB ，且分别交AD ，BC于点G ，H ，则满足△MCD 的面积小于S3的点M 在▱CDGH 中，由几何概型的知识得到△MCD的面积小于S3的概率P ＝2S 3S ＝23，故选C.7．(2019·德州模拟)为推广羽毛球运动的发展，某羽毛球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员4名，其中种子选手2名．从这7名运动员中随机抽取4人参加比赛，设事件A 为“选出的4人中恰有2名种子选手且这2名种子选手来自同一个协会”，则P (A )＝( )A.435B.635C.935D.1835 答案 B解析 现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员4名，其中种子选手2名．从这7名运动员中随机抽取4人参加比赛，基本事件总数n ＝C 47＝35，设事件A 为“选出的4人中恰有2名种子选手且这2名种子选手来自同一个协会”，事件A 包含的基本事件个数m ＝C 22C 23＋C 22C 23＝6，∴P (A )＝m n ＝635.故选B. 8．(2019·咸阳市模拟)根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲、乙两位专家派遣至同一县区的概率为( )A.16B.14C.13D.12 答案 A解析 4个专家分为3组，2,1,1，方法数有C 24种，再派到3个县区，故基本事件的总数有C 24·A 33＝36种．“甲、乙两位专家派遣至同一县区”事件的方法数为A 33种，故甲、乙两位专家派遣至同一县区的概率为636＝16.9．(2019·云南省保山市统一检测)某中学在高三上学期期末考试中，理科学生的数学成绩X ～N (105,100)，若已知P (90<X ≤105)＝0.36，则从该校理科生中任选一名学生，他的数学成绩大于120分的概率为( )A ．0.86B ．0.64C ．0.36D ．0.14 答案 D解析 ∵学生成绩X 服从正态分布N (105,100)， ∴P (X >105)＝0.5，∵P (90<X ≤105)＝0.36， ∴P (105<X ≤120)＝P (90<X ≤105)＝0.36，∴P (X >120)＝0.5－P (105<X ≤120)＝0.5－0.36＝0.14.故选D.10．(2019·益阳市高三上期末)星期一，小张下班后坐公交车回家，公交车共有1、10两路．每路车都是间隔10分钟一趟，1路车到站后，过4分钟10路车到站．不计停车时间，则小张坐1路车回家的概率是( )A.12B.13C.25D.35 答案 D解析 由题意可知，小张下班后坐1路公交车回家的时间段是在10路车到站与1路车到站之间，共6分钟，设“小张坐1路车回家”为事件A ，则P (A )＝610＝35.故选D.11．(2019·黄冈市高三元月调研)关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，最著名的属蒲丰实验和查理实验．受其启发，我们可以设计一个算法框图来估计π的值(如图)．若电脑输出的j 的值为29，那么可以估计π的值约为( )A.7925B.4715C.15750D.23675 答案 A解析 由题意知，100对0～1之间的均匀随机数a ，b ，满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，满足a 2＋b 2≤1且|a ＋b |≥1的点的面积为π4－12，如图阴影部分所示．因为共产生了100对[0,1]内的随机数(a ，b )，其中能使a 2＋b 2≤1且|a ＋b |≥1的有j ＝29对，所以29100＝π4－12，解得π＝7925.故选A.12．(2019·广州市高三调研)已知甲袋中有1个黄球和1个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球．现随机地从甲袋中取出1个球放入乙袋中，再从乙袋中随机取出1个球，则从乙袋中取出的球是红球的概率为( )A.13B.12C.59D.29答案 B解析 分两类：①若甲袋中取出黄球，则乙袋中有3个黄球和2个红球，从乙袋中取出的球是红球的概率为25；②若甲袋中取出红球，则乙袋中有2个黄球和3个红球，从乙袋中取出的球是红球的概率为35；∴所求概率P ＝12×⎝⎛⎭⎫25＋35＝12.故选B. 第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·湖北八校联考)袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球，设“第一次摸得红球”为事件A ，“摸得的两球同色”为事件B ，则概率P (B |A )＝________.答案 14解析 由P (A )＝25，P (AB )＝25×14＝110，由条件概率得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝14.14．(2019·济南模拟)已知离散型随机变量X 的分布列如表所示，若E (X )＝0，D (X )＝1，则P (X <1)＝________.答案 23解析 ∵E (X )＝0，D (X )＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＋112＝1，－1×a ＋0×b ＋1×c ＋2×112＝0，(－1)2×a ＋02×b ＋12×c ＋22×112＝1，又a ，b ，c ∈[0,1]，∴a ＝512，b ＝14，c ＝14，P (X <1)＝P (X ＝－1)＋P (X ＝0)＝512＋14＝23.15．(2019·全国卷Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．答案 0.18解析 甲队以4∶1获胜，甲队在第5场(主场)获胜，前4场中有一场输． 若在主场输一场，则概率为2×0.6×0.4×0.5×0.5×0.6； 若在客场输一场，则概率为2×0.6×0.6×0.5×0.5×0.6.∴甲队以4∶1获胜的概率P ＝2×0.6×0.5×0.5×(0.6＋0.4)×0.6＝0.18.16．(2019·日照模拟)某市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N (100，σ2)，已知P (80<ξ≤100)＝0.40，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取的份数为________．答案 10解析 P (ξ>120)＝12[1－2P (80<ξ≤100)]＝0.10，所以应从120分以上的试卷中抽取100×0.10＝10份．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2019·广东联考)2018年9月的台风“山竹”对我国多个省市的财产造成重大损害，据统计直接经济损失达52亿元．某青年志愿者组织调查了某地区的50个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的损失数据分成五组：[0,2000]，(2000,4000]，(4000,6000]，(6000,8000]，(8000,10000](单位：元)，得到如图所示的频率分布直方图．(1)试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的平均损失(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这50户中损失超过4000元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶，设抽出损失超过8000元的农户数为X ，求X 的分布列和数学期望．解 (1)记每个农户的平均损失为x －元，则x －＝(1000×0.00015＋3000×0.00020＋5000×0.00009＋7000×0.00003＋9000×0.00003)×2000＝3360.(2)由频率分布直方图，可得损失超过4000元的农户共有(0.00009＋0.00003＋0.00003)×2000×50＝15(户)，损失超过8000元的农户共有0.00003×2000×50＝3(户)， 随机抽取2户，则X 的可能取值为0,1,2； 计算P (X ＝0)＝C 212C 215＝2235，P (X ＝1)＝C 112·C 13C 215＝1235，P (X ＝2)＝C 23C 215＝135，所以X 的分布列为数学期望为E (X )＝0×2235＋1×1235＋2×135＝25.18．(本小题满分12分)(2019·丽江市质量检测)某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为200元，低于100箱按原价销售；不低于100箱则有以下两种优惠方案：①以100箱为基准，每多50箱送5箱；②通过双方议价，买方能以优惠8%成交的概率为0.6，以优惠6%成交的概率为0.4.(1)甲、乙两单位都要在该厂购买150箱这种零件，两单位都选择方案②，且各自达成的成交价格相互独立，求甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率；(2)某单位需要这种零件650箱，以购买总价的数学期望为决策依据，试问：该单位选择哪种优惠方案更划算？解 (1)因为甲单位优惠比例低于乙单位优惠比例的概率为0.4×0.6＝0.24， 所以甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率为1－0.24＝0.76. (2)设在折扣优惠中每箱零件的价格为X 元，则X ＝184或188. X 的分布列为则E (X )＝184×0.6＋188×0.4＝185.6.若选择方案②，则购买总价的数学期望为185.6×650＝120640元．若选择方案①，由于购买600箱能获赠50箱，所以该单位只需要购买600箱，从而购买总价为200×600＝120000元．因为120640>120000，所以选择方案①更划算．19．(本小题满分12分)(2019·济南模拟)某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为三级过滤，使用寿命为十年．如图所示，两个一级过滤器采用并联安装，二级过滤器与三级过滤器为串联安装．其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现．在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换(每个滤芯是否需要更换相互独立)，三级滤芯无需更换，若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个80元，二级滤芯每个160元．若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个200元，二级滤芯每个400元．现需决策安装净水系统的同时购滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中如图是根据200个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图，下表是根据100个二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表．二级滤芯更换频数分布表二级滤芯更换的个数56频数6040以200100个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率．(1)求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30的概率；(2)记X表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数，求X的分布列及数学期望；(3)记m，n分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数．若m＋n＝28，且n∈{5,6}，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定m，n的值．解(1)由题意可知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30，则该套净水系统中的2个一级过滤器均需更换12个滤芯，二级过滤器需要更换6个滤芯．设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30”为事件A.因为1个一级过滤器需要更换12个滤芯的概率为0.4，二级过滤器需要更换6个滤芯的概率为0.4，所以P(A)＝0.4×0.4×0.4＝0.064.(2)由柱状图可知，1个一级过滤器需要更换的滤芯个数为10,11,12的概率分别为0.2,0.4,0.4.由题意，X可能的取值为20,21,22,23,24，并且P(X＝20)＝0.2×0.2＝0.04，P(X＝21)＝0.2×0.4×2＝0.16，P(X＝22)＝0.4×0.4＋0.2×0.4×2＝0.32，P(X＝23)＝0.4×0.4×2＝0.32，P(X＝24)＝0.4×0.4＝0.16.所以X的分布列为E(X)＝20×0.04＋21×0.16＋22×0.32＋23×0.32＋24×0.16＝22.4.(3)解法一：因为m＋n＝28，n∈{5,6}，若m＝22，n＝6，则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为22×80＋200×0.32＋400×0.16＋6×160＝2848；若m＝23，n＝5，则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为23×80＋200×0.16＋5×160＋400×0.4＝2832.故m，n的值分别为23,5.解法二：因为m＋n＝28，n∈{5,6}，若m＝22，n＝6，设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为Y1(单位：元)，则E(Y1)＝1760×0.52＋1960×0.32＋2160×0.16＝1888.设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为Y2(单位：元)，则Y2＝6×160＝960，E(Y2)＝1×960＝960.所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为E(Y1)＋E(Y2)＝1888＋960＝2848.若m＝23，n＝5，设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为Z1(单位：元)，则E(Z1)＝1840×0.84＋2040×0.16＝1872.设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为Z2(单位：元)，则E(Z2)＝800×0.6＋1200×0.4＝960.所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为E(Z1)＋E(Z2)＝1872＋960＝2832.故m，n的值分别为23,5.20．(本小题满分12分)(2019·渭南模拟)在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户，为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x和y，制成下图，其中“*”表示甲村贫困户，“＋”表示乙村贫困户．若0<x <0.6，则认定该户为“绝对贫困户”；若0.6≤x ≤0.8，则认定该户为“相对贫困户”；若0.8<x ≤1，则认定该户为“低收入户”；若y ≥100，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”．(1)从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率； (2)若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用ξ表示所选3户中乙村的户数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)；(3)试比较这100户中，甲、乙两村指标y 的方差的大小(只需写出结论)． 解 (1)由题图知，在甲村50户中，“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户， 所以从甲村50户中随机选出一户，该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率为 P ＝550＝0.1.(2)由题图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，依题意，ξ的可能值为0,1，2,3.P (ξ＝0)＝C 36C 310＝20120＝16，P (ξ＝1)＝C 14C 26C 310＝60120＝12，P (ξ＝2)＝C 24C 16C 310＝36120＝310，P (ξ＝3)＝C 34C 310＝4120＝130，所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P1612310130故ξ的数学期望E (ξ)＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝1210＝1.2.(3)这100户中甲村指标y 的方差大于乙村指标y 的方差．21．(本小题满分12分)(2019·湖南长沙长郡中学一模)随着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率进行调整．调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额．依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：表示应纳的税，试写出调整前后y 关于x 的函数表达式；(2)某税务部门在小红所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表： 为新纳税法知识宣讲员，用a 表示抽到作为宣讲员的收入在[3000,5000)元的人数，b 表示抽到作为宣讲员的收入在[5000,7000)元的人数，随机变量Z ＝|a －b |，求Z 的分布列与数学期望；②小红该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小红算一下调整后小红的实际收入比调整前增加了多少？解 (1)调整前y 关于x 的表达式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤3500，(x －3500)×0.03，3500<x ≤5000，45＋(x －5000)×0.1，5000<x ≤8000，调整后y 关于x 的表达式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤5000，(x －5000)×0.03，5000<x ≤8000.(2)①由频数分布表可知从[3000,5000)及[5000,7000)的人群中抽取7人，其中[3000,5000)中占3人，[5000,7000)中占4人，再从这7人中选4人，所以Z 的取值可能为0,2,4，P (Z ＝0)＝P (a ＝2，b ＝2)＝C 23C 24C 47＝1835，P (Z ＝2)＝P (a ＝1，b ＝3)＋P (a ＝3，b ＝1)＝C 13C 34＋C 33C 14C 47＝1635，P (Z ＝4)＝P (a ＝0，b ＝4)＝C 03C 44C 47＝135，所以其分布列为所以E (Z )＝0×1835＋2×1635＋4×135＝3635.②由于小红的工资、薪金等税前收入为7500元，按调整起征点前应纳个税为1500×3%＋2500×10%＝295元， 按调整起征点后应纳个税为2500×3%＝75元， 由此可知，调整起征点后应纳个税少交220元， 所以小红的实际收入增加了220元．22．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X .(1)求X 的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i (i ＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p 0＝0，p 8＝1，p i ＝ap i －1＋bp i ＋cp i ＋1(i ＝1,2，…，7)，其中a ＝P (X ＝－1)，b ＝P (X ＝0)，c ＝P (X ＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.①证明：{p i ＋1－p i }(i ＝0,1,2，…，7)为等比数列； ②求p 4，并根据p 4的值解释这种试验方案的合理性． 解 (1)X 的所有可能取值为－1,0,1.P (X ＝－1)＝(1－α)β，P (X ＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)， P (X ＝1)＝α(1－β)． 所以X 的分布列为(2)①证明：由(1)得a ＝0.4，b ＝0.5，c ＝0.1， 因此p i ＝0.4p i －1＋0.5p i ＋0.1p i ＋1， 故0.1(p i ＋1－p i )＝0.4(p i －p i －1)， 即p i ＋1－p i ＝4(p i －p i －1)．又因为p 1－p 0＝p 1≠0，所以{p i ＋1－p i }(i ＝0,1，2，…，7)是公比为4，首项为p 1的等比数列．②由①可得p 8＝p 8－p 7＋p 7－p 6＋…＋p 1－p 0＋p 0 ＝(p 8－p 7)＋(p 7－p 6)＋…＋(p 1－p 0)＝48－13p 1.由于p 8＝1，故p 1＝348－1，所以p 4＝(p 4－p 3)＋(p 3－p 2)＋(p 2－p 1)＋(p 1－p 0)＝44－13p 1＝1257.p 4表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p 4＝1257≈0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．。

概率与统计的综合问题建议用时：45分钟1．某小店每天以每份5元的价格从食品厂购进若干份某种食品，然后以每份10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的食品还能以每份1元的价格退回食品厂处理．(1)若小店一天购进16份这种食品，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：份，n ∈N )的函数解析式．(2)小店记录了100天这种食品的日需求量(单位：份)，整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数10201616151310以100①若小店一天购进16份这种食品，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列及数学期望．②以小店当天利润的数学期望为决策依据，你认为一天应购进这种食品16份还是17份？[解] (1)当日需求量n ≥16时，利润y ＝80,当日需求量n <16时，利润y ＝5n －4(16－n )＝9n －64， ∴y 关于n 的函数解析式为y ＝⎩⎨⎧9n －64，n ＜16，80，n ≥16(n ∈N )．(2)①由题意知，X 的所有可能的取值为62,71,80, 且P (X ＝62)＝0.1，P (X ＝71)＝0.2，P (X ＝80)＝0.7， ∴X 的分布列为X 62 71 80 P0.10.20.7∴EX ＝②若小店一天购进17份这种食品，设Y 表示当天的利润(单位：元)，那么Y 的分布列为Y 58 67 76 85 P0.10.20.160.54∴Y EY ＝58×0.1＋67×0.2＋76×0.16＋85×0.54＝77.26. 由以上的计算结果可以看出EX <EY ，即购进17份这种食品时的平均利润大于购进16份时的平均利润，∴小店应选择一天购进17份这种食品．2．据某市地产数据研究院的数据显示，2018年该市新建住宅销售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月份采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．(1)地产数据研究院研究发现，3月至7月的各月均价y (万元/平方米)与月份x 之间具有较强的线性相关关系，试建立y 关于x 的回归方程(系数精确到0.01)，政府若不调控，依据相关关系预测12月份该市新建住宅销售均价；(2)地产数据研究院在2018年的12个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为x ，求x 的分布列和数学期望．参考数据：∑5i ＝1x i ＝25，∑5i ＝1y i ＝5.36，∑5i ＝1(x i －x )(y i －y )＝0.64. 回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑ni ＝1(x i －x )2，a ^＝y －b ^x . [解] (1)由题意月份x 3 4 5 6 7 均价y0.950.981.111.121.20计算可得：x ＝5，y ＝1.072，∑5i ＝1(x i －x )2＝10，∴b ^＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑ni ＝1(x i －x )2＝0.064，a ^＝y －b ^x ＝0.752， ∴从3月到7月，y 关于x 的回归方程为y ＝0.06x ＋0.75，当x ＝12时，代入回归方程得y ＝1.47.即可预测第12月份该市新建住宅销售均价为1.47万元/平方米．(2)X 的取值为1,2,3， P (X ＝1)＝4C 312＝155，P (X ＝3)＝C 34×33C 312＝2755，P (X ＝2)＝1－P (X ＝1)－P (X ＝3)＝2755， X 的分布列为EX ＝1×155＋2×2755＋3×2755＝13655.3．(2019·青岛一模)某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取100件产品作为样本称出它们的质量(单位：毫克)，质量值落在(175,225]的产品为合格品，否则为不合格品．如表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图．(225,235] 5(1)由以上统计数据完成下面2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关？甲流水线乙流水线总计合格品不合格品总计P(χ2＞k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(a＋c)(b＋d)(c＋d)，n＝a＋b＋c＋d)(2)由乙流水线的频率分布直方图可以认为乙流水线生产的产品质量指标z 服从正态分布N(200,12.22)，求质量指标z落在(187.8,224.4)上的概率；参考公式：P(μ－σ＜z＜μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜z＜μ＋2σ)＝0.954 4.(3)若以频率作为概率，从甲流水线任取2件产品，求至少有一件产品是合格品的概率．[解](1)由乙流水线样本的频率分布直方图可知，合格品的个数为100×(1－0.04)＝96.所以2×2列联表是：所以χ2＝100×100×188×12≈1.418＜2.072，所以在犯错误的概率不超过0.15的前提下不能认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关．(2)乙流水线的产品生产质量指标z 服从正态分布N (200,12.22)，所以P (μ－σ＜z ＜μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜z ＜μ＋2σ)＝0.954 4，所以P (μ－σ＜z ＜μ＋2σ)＝P (μ－σ＜z ＜0)＋P (0≤z ＜μ＋2σ)＝12P (μ－σ＜z ＜μ＋σ)＋12P (μ＋σ＜z ＜μ＋2σ)＝12×(0.682 6＋0.954 4)＝0.818 5，即P (200－12.2＜z ＜200＋12.2×2)＝P (187.8＜z ＜224.4)＝0.818 5， 所以质量指标落在[187.8,224.2)的概率是0.818 5.(3)若以频率作概率，则从甲流水线任取一件产品是不合格品的概率p ＝0.08， 设“任取两件产品，至少有一件合格品”为事件A ，则A 为“任取两件产品，两件均为不合格品”，且P (A )＝p 2＝0.082＝0.006 4，所以P (A )＝1－P (A )＝1－0.006 4＝0.993 6，所以任取两件产品至少有一件为合格品的概率为0.993 6.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

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高频考点集中练数列与不等式1.(2019·全国卷Ⅱ)若a>b,则( )A.ln(a-b)>0B.3a<3bC.a3-b3>0D.|a|>|b|【命题思维分析】高考对指(对)数函数、幂函数的考查一般是利用性质比较大小或借助分段函数求值,本题以不等式为载体,考查利用指(对)数函数、幂函数的图象与性质比较大小.【解析】选C.当a=3,b=2时,选项A错.由于a>b,而y=3x是增函数,所以3a>3b,故B错.当a=3,b=-5时,选项D错.因为y=x3是增函数,故a3>b3,故C正确.【真题拾贝】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义,渗透了逻辑推理和运算能力素养,利用特殊值排除即可判断.2.(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项的和为15,且a5=3a3+4a1,则a3= 世纪金榜导学号( )A.16B.8C.4D.2【命题思维分析】利用方程思想列出关于a1,q的方程组,求出a1,q,再利用通项公式即可求得a3的值.【解析】选C.设该等比数列的首项为a1,公比为q,由已知得,a1q4=3a1q2+4a1,因为a1>0且q>0,则可解得q=2,又因为a1(1+q+q2+q3)=15,即可解得a1=1,则a3=a1q2=4.【真题拾贝】数列的基本量问题,列方程或方程组求解即可.3.(2017·全国卷Ⅲ)设数列满足a1+3a2+…+(2n-1)a n=2n. 世纪金榜导学号(1)求的通项公式.(2)求数列的前n项和.【命题思维分析】(1)利用数列递推关系即可得出.(2)==-.利用裂项求和方法即可得出. 【解析】(1)由已知可得:a1+3a2+…+(2n-1)a n=2n,所以当n>1时有a1+3a2+…+(2n-3)a n-1=2(n-1),所以两式作差可得:(2n-1)a n=2,即a n=(n>1,且n∈N*),又因为n=1时,a1=2符合,所以a n=(n∈N*).(2)设b n=,则b n==-,所以数列的前n项和为S n=b1+b2+…+b n=1-+-+…+-=1-=.【真题拾贝】本题考查了数列递推关系、裂项求和方法,注意裂项相消规律.4.(2018·浙江高考)已知等比数列{a n}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{b n}满足b1=1,数列{(b n+1-b n)a n}的前n项和为2n2+n. 世纪金榜导学号(1)求q的值.(2)求数列{b n}的通项公式.【命题思维分析】(1)根据条件、等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解公比,(2)先根据数列{(b n+1-b n)a n}前n项和求通项,解得b n+1-b n,再通过叠加法以及错位相减法求b n.【解析】(1)由a4+2是a3,a5的等差中项得a3+a5=2a4+4,所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.由a3+a5=20得8=20,因为q>1,所以q=2.(2)设c n=(b n+1-b n)a n,数列{c n}的前n项和为S n.由c n=解得c n=4n-1,经检验,n=1时该式成立.由(1)可知a n=2n-1,所以b n+1-b n=(4n-1)·,故b n-b n-1=(4n-5)·,n≥2,b n-b1=(b n-b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b3-b2)+(b2-b1)=(4n-5)·+(4n-9)·+…+7·+3,设T n=3+7·+11·+…+(4n-5)·,n≥2,T n=3·+7·+…+(4n-9)·+(4n-5)·,所以T n=3+4·+4·+…+4·-(4n-5)·,因此T n=14-(4n+3)·,n≥2,又b1=1,所以b n=15-(4n+3)·,经检验,n=1时该式成立.【真题拾贝】用错位相减法求和应注意的问题:(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;(2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n-qS n”的表达式;(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.关闭Word文档返回原板块感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

单元检测十 计数原理、随机变量及其分布(提升卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间100分钟，满分130分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·吉林省扶余市第一中学期末)三位女歌手与三位男歌手站成一排合影，要求每位女歌手互不相邻，则不同的排法数为( ) A ．48 B ．72 C ．120 D ．1442．用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字，且大于3 000的四位数，这样的四位数有( ) A ．250个 B ．249个 C ．48个 D ．24个3．某班上午有5节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各1节课，要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学不排在第一节课，则不同的排课法的种数是( ) A ．16 B ．24 C ．8 D ．124．已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝270，则a 等于( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．－15．随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝2，则D (2X －3)等于( )A.2 B ．3 C ．4 D ．56．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，数列{}a n 满足：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，第n 次摸到红球，1，第n 次摸到白球，如果S n 为数列{}a n 的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )A ．C 57⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫235 B ．C 27⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫135C ．C 57⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫135 D ．C 57⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫235 7．(2019·江西省临川第一中学等九校联考)已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的．现用编号为1,2,3的三个仓库存放这6种化工产品，每个仓库放2种，那么安全存放的不同方法种数为( ) A ．12 B ．24 C ．36 D ．488．设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4)|x i ∈{－1,0,1}，i ＝1,2,3,4}，那么集合A 中满足条件“x 21＋x 22＋x 23＋x 24≤4”的元素个数为( )A ．60B ．65C ．80D ．81二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列问题中是组合问题的是( ) A ．从全班50人中选出5名组成班委会B ．从全班50人中选出5名分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员C ．从1,2,3，…，9中任取出两个数求积D ．从1,2,3，…，9中任取出两数求差10．有6个大小相同的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10，现从中任取4个球，则下列变量中服从超几何分布的是( ) A ．X 表示取出的最大号码 B ．Y 表示取出的最小号码C ．取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，ξ表示取出的4个球的总得分D ．η表示取出的黑球个数11．约定C 00＝0！＝1，对n ，k ∈N ，下列四个组合数公式正确的是( ) A ．C kn ＝A k n k ！(0≤k ≤n )B ．C k n ＝C n －kn (0≤k ≤n )C.k nC k n ＝C k －1n －1(1≤k ≤n )D ．C k n ＝C k n －1＋C k －1n －1(0≤k ≤n )12．对于二项式(1－x )2 017的展开式中，有下列四个命题，其中正确命题是( ) A ．非常数项系数的绝对值之和是1 B ．系数最大的项是第1 009项和第1 010项 C ．偶数项的系数和是－22 016D ．当x ＝2 018时，除以2 018的余数为1第Ⅱ卷(非选择题共70分)三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知二项式(x－2)n(n∈N＋)的展开式中，第二项的系数是－14，则n＝________，含x的奇次项的二项式系数和的值是________．(本题第一空2分，第二空3分)14．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，某市某农业经济部门决定派出5位相关专家对3个贫困地区进行调研，每个地区至少派遣1位专家，其中甲、乙两位专家需要被派遣至同一地区，则不同派遣方案的种数为________．(用数字作答)15．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝ck(k＋1)，k＝1,2,3，c为常数，则P(0.5<ξ<2.5)＝________. 16．(2019·肥城统考)“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大．假设李某智商较高，他独自一人解决项目M的概率为P1＝0.9；同时，有n个水平相同的人也在研究项目M，他们各自独立的解决项目M的概率都是0.5.现在李某单独研究项目M，且这n个人组成的团队也同时研究项目M，且这n个人研究项目M的结果相互独立．设这n个人组成的团队解决项目M的概率为P2，若P2≥P1，则n的最小值是________．四、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是13，25，12.(1)现3人各投篮1次，求3人至少一人投进的概率；(2)用ξ表示乙投篮4次的进球数，求随机变量ξ的分布列及期望E(ξ)和方差D(ξ)．18.(12分)某校高三模考后，为了解考生对模考数学试卷难度的评价，随机抽取了该校50名男考生与50名女考生，得到下面的列联表：(1)分别估计该校男考生、女考生觉得模考数学试卷非常困难的概率；(2)从该校随机抽取3名男考生，2名女考生，求恰有4名考生觉得模考数学试卷非常困难的概率．19．(13分)(2020·邢台模拟)某市为了解本市1万名小学生的普通话水平，在全市范围内进行了普通话测试，测试后对每个小学生的普通话测试成绩进行统计，发现总体(这1万名小学生普通话测试成绩)服从正态分布N(69,49)．(1)从这1万名小学生中任意抽取1名小学生，求这名小学生的普通话测试成绩在(62,90)内的概率；(2)现在从总体中随机抽取12名小学生的普通话测试成绩，对应的数据如下：50,52,56,62,63,68,65,64,72,80,67,90.从这12个数据中随机选取4个，记X 表示大于总体平均分的个数，求X 的方差．参考数据：若Y ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Y <μ＋σ)≈0.683，P (μ－2σ<Y <μ＋2σ)≈0.954，P (μ－3σ<Y <μ＋3σ)≈0.997.20.(13分)某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：(平均每天锻炼的时间单位：分钟)将学生日均体育锻炼时间在[40,60)的学生评价为“锻炼达标”． (1)请根据上述表格中的统计数据填写下面的2×2列联表；并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？(2)在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流， ①求这10人中，男生、女生各有多少人？②从参加体会交流的10人中，随机选出2人做重点发言，记这2人中女生的人数为X ，求X 的分布列和期望． 参考公式：χ2＝n (n 11n 22－n 12n 21)2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2.临界值表：答案精析1．D 2.C 3.A 4.A 5.C 6.B 7.D8．D [由题意可得x 21＋x 22＋x 23＋x 24≤4成立，需要分五种情况讨论：①当x 21＋x 22＋x 23＋x 24＝0时，只有1种情况，即x 1＝x 2＝x 3＝x 4＝0；②当x 21＋x 22＋x 23＋x 24＝1时，即x 1＝±1，x 2＝x 3＝x 4＝0，有2C 14＝8种；③当x 21＋x 22＋x 23＋x 24＝2时，即x 1＝±1，x 2＝±1，x 3＝x 4＝0，有4C 24＝24种；④当x 21＋x 22＋x 23＋x 24＝3时，即x 1＝±1，x 2＝±1，x 3＝±1，x 4＝0，有8C 34＝32种；⑤当x 21＋x 22＋x 23＋x 24＝4时，即x 1＝±1，x 2＝±1，x 3＝±1，x 4＝±1，有16种，综合以上五种情况，则总共有81种，故选D.]9．AC [根据组合定义可知AC 是组合问题，BD 与顺序有关是排列问题．] 10．CD [A ，B 中变量的分布列不服从超几何分布，CD 服从超几何分布．] 11．ABCD [A项，C rn ＝A r n A r r ＝A r n r ！(0≤r ≤n )，等式成立；B项，C rn ＝A r n r ！＝n ！(n －r )！×r ！(0≤r ≤n )，C n －rn ＝A n －r n(n －r )！＝n ！[n －(n －r )]！×(n －r )！＝n ！r ！×(n －r )！(1≤r ≤n )，所以C r n ＝C n －rn (0≤r ≤n )成立．C 项，r n C r n ＝r n ·A r nr ！＝r n ·n ！(n －r )！×r ！＝(n －1)！(n －r )！×(r －1)！(1≤r ≤n )． C r －1n －1＝A r －1n －1(r －1)！＝(n －1)！(n －r )！×(r －1)！(1≤r ≤n )，所以r nC r n ＝C r －1n －1(1≤r ≤n )成立；D项，C r n －1＋C r －1n －1＝A r n －1r ！＋A r －1n －1(r －1)！＝(n －1)！(n －r －1)！×r ！＋(n －1)！(n －r )！×(r －1)！＝[(n －r )＋r ]⎣⎢⎡⎦⎥⎤(n －1)！(n －r )！×r ！＝n ！(n －r )！×r ！＝C r n (1≤r ≤n )，所以C r n ＝C r n －1＋C r －1n －1(1≤r ≤n )成立．] 12．CD [二项式(1－x )2 017的展开式中，令x ＝－1， 得出(1＋1)2 017＝22 017，∴展开式中非常数项系数绝对值的和为22 017－1，A 选项错误； 展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 2 017·(－x )r ， ∴系数最大的项是第1 009项，B 选项错误； 令x ＝1，得(1－1)2 017＝0，∴展开式中偶数项的系数和是－22 016，C 选项正确；x ＝2 018时，(1－2 018)2 017＝1－C 12 017·2 018＋C 22 017·2 0182－…－2 0182 017， 展开式中不含2 018的项是1，其展开式除以2 018的余数为1，D 选项正确．] 13．7 64 14.36 15.89解析 随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝ck (k ＋1)，k ＝1,2,3，∴c 2＋c 6＋c 12＝1，即6c ＋2c ＋c 12＝1，解得c ＝43， ∴P (0.5<ξ<2.5)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2) ＝c 2＋c 6＝46×43＝89. 16．4解析 依题意，这n 个人组成的团队不能解决项目M 的概率为 P ＝⎝⎛⎭⎫1－12n ＝⎝⎛⎭⎫12n ， 所以P 2＝1－P ＝1－⎝⎛⎭⎫12n，所以1－⎝⎛⎭⎫12n ≥0.9，即110≥⎝⎛⎭⎫12n (n ∈N ＋)， 解得n ≥4，所以n 的最小值是4.17．解 (1)记“甲投篮1次投进”为事件A ，“乙投篮1次投进” 为事件B ，“丙投篮1次投进” 为事件C ，“至少一人投进”为事件D . P (D )＝1－P (A )P (B )P (C )＝45.(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4， 且ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，25， 所以，P (ξ＝k )＝C k 4⎝⎛⎭⎫25k ⎝⎛⎭⎫354－k (k ＝0,1,2,3,4)， 故随机变量ξ的分布列为E (ξ)＝0×81625＋1×216625＋2×216625 ＋3×96625＋4×16625＝85，D (ξ)＝⎣⎡⎝⎛⎭⎫0－852×81625＋⎝⎛⎭⎫1－852×216625＋⎝⎛⎭⎫2－852⎦⎤×216625＋⎝⎛⎭⎫3－852×96625＋⎝⎛⎭⎫4－852×16625＝2425. 18．解 (1)由题意可知男考生觉得模考数学试卷非常困难的概率为P 1＝2050＝25，女考生觉得模考数学试卷非常困难的概率为P 2＝4050＝45.(2)设男考生、女考生觉得模考数学试卷非常困难的人数分別为X ，Y ， 则X ～B ⎝⎛⎭⎫3，25，Y ～B ⎝⎛⎭⎫2，45. 记事件A 为“恰有4名考生觉得模考数学试卷非常困难”， A ＝{(X ＝3)∩(Y ＝1)}∪{(X ＝2)∩(Y ＝2)}， P (A )＝P {(X ＝3)∩(Y ＝1)}＋P {(X ＝2)∩(Y ＝2)}＝C 33×⎝⎛⎭⎫253×C 12×⎝⎛⎭⎫45×⎝⎛⎭⎫15＋C 23×⎝⎛⎭⎫35×⎝⎛⎭⎫252×C 22×⎝⎛⎭⎫452＝128625. 19．解 (1)因为学生的普通话测试成绩Y 服从正态分布N (69,49)，所以μ＝69，σ＝7， 所以P (62<Y <90)＝P (μ－σ<Y <μ＋3σ)＝0.683＋0.9972＝0.84.(2)因为总体平均分为μ＝69，所以这12个数据中大于总体平均分的有3个， 所以X 的可能取值为0,1,2,3， 则P (X ＝0)＝C 49C 412＝1455，P (X ＝1)＝C 13C 39C 412＝2855，P (X ＝2)＝C 23C 29C 412＝1255，P (X ＝3)＝C 33C 19C 412＝155，所以E (X )＝0×1455＋1×2855＋2×1255＋3×155＝1，D (X )＝(0－1)2×1455＋(1－1)2×2855＋(2－1)2×1255＋(3－1)2×155＝611.20．解 (1)由2×2列联表中数据，计算得到χ2＝200(60×20－30×90)2150×50×90×110＝20033≈6.061>5.024.所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关．(2)①“锻炼达标”的学生有50人，男、女生人数比为3∶2，故用分层抽样方法从中抽出10人，男生有6人，女生有4人． ②X 的可能取值为0,1,2；P (X ＝0)＝C 26C 210＝13，P (X ＝1)＝C 16C 14C 210＝815，P (X ＝2)＝C 24C 210＝215，∴X 的分布列为∴X 的期望E (X )＝0×13＋1×815＋2×215＝45.。