江苏省无锡市天一中学2020-2021学年高一(强化班)下学期期中数学试题(解析版)

江苏省天一中学2020-2021学年第二学期期末考试高一数学学科（平行班）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设向量()1,0a =，11,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A.a b = B.22a b ⋅= C.()a b b -⊥ D.//a b2.已知复数531i z i+=-，则下列说法正确的是（ ） A.z 的虚部为4iB.z 在复平面内对应的点在第二象限C.5z =D.z 的共轭复数为14i -3.从4名男同学和3名女同学中任选3名同学，那么互斥而不对立的事件是（ ）A.至少有一名男同学与都是男同学B.至少有一名男同学与都是女同学C.恰有一名男同学与恰有两名男同学D.至少有一名男同学与至少有一名女同学4.在ABC △中，80a =，100b =，45A =°，则此三角形解的情况是（ ）A.一解B.两解C.一解或两解D.无解5.如图所示的三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为26，则称该图形是“和谐图形”，已知其中四个三角形上的数字之和为20，现从1，2，3，4，5中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（ ）A.310B.15C.110D.3206.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（ ）A.若//m α，//m β，则//αβB.若//m α，//m n ，则//n αC.若m α⊥，//m β，则αβ⊥D.若//m α，n α⊂，则//m n7.如图，点M 是正方体1111ABCD A BC D -的棱CD 的中点，则异面直线AM 与1BC 所成角的余弦值是（ ）A.5B.5C.5D.108.若圆锥的体积与球的体积相等，且圆锥的底面半径与球的直径相等，则圆锥的侧面积与球的表面积之比为（ ）2 4 C.1:2 4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（ ）A.平均数为3B.标准差为85C.众数为2和3D.85%分位数为4.510.下列说法正确的是（ ）A.甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是0.5，0.25，则题被解出的概率是0.125B.若A ，B 是互斥事件，则()()()P A B P A P B =+，()0P AB =C.某校200名教师的职称分布情况如下：高级占比20%，中级占比50%，初级占比30%，现从中抽取50名教师做样本，若采用分层抽样方法，则高级教师应抽取10人D.一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是23 11.下列结论正确的是（ ）A.在ABC △中，若A B >，则sin sin A B >B.在ABC △中，若2220b c a +->，则ABC △是锐角三角形C.若sin 2sin 2A B =，则三角形ABC 为等腰三角形D.在锐角三角形ABC 中，sin sin cos cos A B A B +>+12.对于给定的ABC △，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论正确的有（ ） A.212AO AB AB ⋅= B.OA OB OA OC OB OC ⋅=⋅=⋅C.过点G 的直线l 交AB ，AC 于E ，F ，若AB AB λ=，AF AC μ=，则113λμ+=D.AH 与cos cos ABACAB B AC C +共线三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在ABC △中，2AB =，3AC =，2cos 3A =，则其外接圆的面积为______. 14.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有一“阳马”P ABCD -，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，1AD =，则该“阳马”的最长棱长等于______；外接球表面积等于______.15.某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竟技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2020年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竟技”，“国学”三个社团的概率依次为m ，13，n ，已知三个社团他都能进入的概率为124，至少进入一个社团的概率为34，且m n >，则m n +的值是______. 16.如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，AD AB =，45BCD ∠=°，90BAD ∠=°，将ABD △沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A BCD -，则在三棱锥A BCD -中，下列判断正确的是______（写出所有正确的序号）①平面ABD ⊥平面ABC②直线BC 与平面ABD 所成角是45°③平面ACD ⊥平面ABC④二面角C AB D --四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知向量()3,4OA =-，()6,3OB =-，()5,3OC x y =-+，()4,1OD =--.（1）若四边形ABCD 是平行四边形，求x ，y 的值（2）若ABC △为等腰直角三角形，且B ∠为直角，求x ，y 的值.18.（12分）已知复数ω在复平面内对应的点位于第二象限，且满足2240ωω++=. （1）求复数ω；（2）设复数z x yi =+（,x y R ∈）满足：z ω⋅为纯虚数，2z =，求x y ⋅的值.19.（12分）在ABC △中，角A 、B 、C 对应的边分别是a 、b 、c ，已知()cos23cos 1A B C -+=.（1）求角A 的大小；（2）若ABC △的面积S =5b =，求sin sin B C 的值.20.（12分）某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200kW h ⋅的部分按0.5元/kW h ⋅收费，超过200kW h ⋅但不超过400kW h ⋅的部分按0.8元/kW h ⋅收费，超过400kW h ⋅的部分按1.0元/kW h ⋅收费.（1）求某户居民用电费用y （单位：元）关于月用电量x （单位：kW h ⋅）的函数解析式（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的月用电量，统计分析后得到如图所示的频率直方图.若这100户居民中，今年1月份电费不超过260元的占80%，求a ，b 的值；（3）在（2）的条件下，计算月用电量的75百分位数.21.（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点.（1）求证：11//B C 平面1A DE ；（2）若平面1A DE ⊥平面11ABB A ，求证：AB DE ⊥. 22.（12分）夜晚，在侨中D 栋5楼观赏完美大厦的霓虹灯是一件很惬意的事.完美大厦主楼目前是我市中心城区最高的地标性建筑.某学习小组要完成两个实习作业：验证百度地图测距的正确性及测算完美大厦主楼的高度，如图（1），博爱路沿线的水平路面上有两点A ，B ，其中AB 指向正西方向.首先利用百度地图测距功能测出AB 长度为2km ，接着在南外环沿线选定水平路面上可直接测距的C ，D 两点，测得30BCA ∠=°，45ACD ∠=°，60BDC ∠=°，30ADB ∠=°，学习小组根据上述条件计算出CD 长度，并将其与CD 的实际长度284km 进行比较，若误差介于20-米~20米之间，则认为百度地图测距是准确的.（1 1.414≈）（2）如图（2），小组在A 处测得完美大厦主楼楼顶M 在西偏北θ方向上，在B 处测得楼顶M 在西偏北ϕ方向上，且仰角45MBN ∠=°；通过计算得sin 3sin 4θϕ=，cos 11cos 4θϕ=，tan 450.0793≈°，若百度地图测出的2km AB =是准确的，请根据以上数据测算完美大厦主楼的高度（精确到1米）.江苏省天一中学2020-2021学年第二学期期末考试高一数学学科（平行班）答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.【答案】C解：对于A ，1a =，11442b +==，故A 选项错误； 对于B ，12a b ⋅=，故B 选项错误；对于C ，()1111,,02222a b b ⎛⎫⎛⎫=-⋅= ⎪ -⋅⎪⎝⎭⎝⎭，所以()a b b -⊥，故C 选项正确； 对于D ，111022⨯≠⨯，所以两个向量()1,0a =，11,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭不平行，故D 选项错误， 故选C.2.【答案】D 解：∵()()()()5315328141112i i i i z i i i i ++++====+--+， A.z 的虚部为4，故A 错误；B.14z i =+对应的点为()1,4，在第一象限，故B 错误；C.z ==C 错误；D.z 的共轭复数为14i -，故D 正确；故选D.3.【答案】C解：从4名男同学和3名女同学中任选3名同学，在A 中，至少有一名男同学与都是男同学能同时发生，不是互斥事件，故A 错误；在B 中，至少有一名男同学与都是女同学是对立事件，故B 错误；在C 中，恰有一名男同学与恰有两名男同学不能同时发生，但能同时不发生，是互斥面不对立的事件，故C 正确；在D 中，至少有一名男同学与至少有一名女同学能同时发生，不是互斥事件，故D 错误.故选：C.4.【答案】B 解：由正弦定理得：sin sin a b A B =，则2002sin 808B ==sin A >=，且b a >，所以B 可以为锐角也可以为钝角， 因此三角形解的情况是两解.故选B.5.【答案】B解：由题意可知，若该图形为“和谐图形”，则另外两个三角形上的数字之和恰为2606-=.从1，2，3，4，5中任取两个数字，基本事件总数为：()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5，()3,4，()3,5，()4,5，共10个，设事件A =“取出的两个数字之和为6”，则事件A 包含的基本事件有：()1,5，()2,4，共2个， 因此该图形为“和谐图形”的概率为21105=，故选B. 6.【答案】C 解：A.若//m α，//m β，则//αβ；此命题错误，因为两个平面平行于同一条直线不能保证两个平面平行，故A 不正确；B.若//m α，//m n ，则//n α或n α⊂，故B 不正确；C.若m α⊥，//m β，则αβ⊥；此命题正确，因为//m β，则一定存在直线n 在β，使得//m n ，又m α⊥可得出n α⊥，由面面垂直的判定定理知，αβ⊥，故C 正确；D.若//m α，n α⊂，则//m n 或m ，n 异面，故D 不正确.故选C.7.【答案】A解：如图，连接1AD ，∵11AB C D =，11//AB C D ，∴四边形11ABC D 为平行四边形，则11//AD BC ，则1D AM ∠为异面直线AM 与1BC 所成角，连接1D M .设正方体的棱长为2，则1AD =1AM D M =∴2221cos 5D AM +-∠==即异面直线AM 与1BC 所成角的余弦值是5. 故选A.8.【答案】A解：设球的半径为r ，所以球的体积为343r π. 设圆锥的高为h ，因为圆锥与球的体积相等，∴()2341233r r h ππ=，∴h r =.=，球的表面积为：24r π.圆锥的侧面积为：2142r r π⨯=2. 故选A. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.【答案】AC解：平均数为5543332221310+++++++++=，故A 正确；5=，故B 错误； 观察数据可得众数为2和3，故C 正确；将数据从小到大排序得1，2，2，2，3，3，3，4，5，5.则85108.5100i =⨯=，∴第85百分位数为5，故D 错误. 故选AC.10.【答案】BCD 解：对于A ，∵他们各自解出的概率分别是12，14，则此题不能解出的概率为 11311248⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则此题能解出的概率为35188-=，故A 错； 对于B ，若A ，B 是互斥事件，则()()()P A B P A P B =+，()0P AB =，故B 正确； 对于C ，高级教师应抽取5020%10⨯=人，故C 正确；对于D ，由列举法可知，两位女生相邻的概率是23，故D 正确. 故选CD.11.【答案】AD解：A.在ABC △中，由2sin 2sin sin sin a b R A R B A B A B ⇒>⇒>⇒>>，故A 正确. B.若2220b c a +->，则222cos 02b c a A bc +-=>，又因为0A π<<， 所以A 为锐角，但ABC △不一定为锐角三角形，故B 错误.C.∵sin 2sin 2A B =，∴22A B =或22A B π+=，∴A B =或2A B π+=，所以三角形ABC 为等腰三角形或直角三角形，故C 错误；D.在锐角三角形ABC 中，∵2A B π+>，∴sin sin 2A B π⎛⎫>- ⎪⎝⎭，即sin sin A B >，同理：sin cos B A >，∴sin sin cos cos A B A B +>+，故D 正确， 故选AD.12.【答案】ACD解：对于A ，由垂径定理可知，外心O 在AB 上的射影为线段AB 的中点， 所以212AO AB AB ⋅=，故A 正确； 对于B ，若OA OB OA OC OB OC ⋅=⋅=⋅，由OA OB OA OC ⋅=⋅，则()0OA OB OC ⋅-=，即0OA CB ⋅=， 同理0OB CA ⋅=，0OC AB ⋅=，即点O 为ABC △的垂心.又H 为ABC △的垂心，则有0HA BC HB AC HC AB ⋅=⋅=⋅=，故B 不正确；对于C ，因为G 、E 、F 三点共线，故存在实数t ，使得()()11AG t AE t AF t AB t AC λμ=+-=+-，又G 为ABC △的重心，故1133AG AB AC =+， 所以()13113t t λμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，则113λμ+=，故C 正确； 对于D ，因为0cos cos cos cos AB AC AB BC AC BC BC BC BC AB B AC C AB AC C θ⎛⎫⋅⋅ ⎪+-=+=-+= ⎪⎝⎭， 所以cos cos AB AC AB B AC C +与BC 垂直，又H 为ABC △的垂心，则AH 与BC 垂直，所以AH 与cos cos ABACAB B AC C +共线，故D 正确，故选ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】94π 解：在ABC △中，2AB =，3AC =，故sin A ==，由余弦定理可得，BC = 则利用正弦定理可得：ABC △3=，可得： ABC △的外接圆的半径为32，故ABC △的外接圆的面积为94π，故答案为：94π. 2cos 3A =，则其外接圆的面积为______. 14.【答案】3；9π解：如图所示：易知该“阳马”的侧棱长为3PC ==，PB ==PD ，故最长的侧棱为3，由条件易得：阳马P ABCD -的外接球印是以PA 、AB 、AD 为棱长的长方体的外接球.设其半径为R ，则()222229R PA AB AD =++=，解得32R =， 所以外接球表面积249S R ππ==，故答案为3；9π.15.【答案】34解：由题知三个社团都能进入的概率为124，即1113248m n m n ⨯⨯=⇒⨯=， 又因为至少进入一个社团的概率为34，即一个社团都没能进入的概率为31144-=. 即()()213111348m n m n m n -⨯⨯-=⇒--+⨯=，整理得34m n +=. 故答案为34. 16.【答案】②③④解：在四边形ABCD 中，由已知可得45DBC ∠=°，假设平面ABD ⊥平面ABC ，又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD 平面BDC BC =，可得BC ⊥平面ABD ，有90DBC ∠=°，与45DBC ∠=°矛盾，则假设错误，故①错误；在四边形ABCD 中，由已知可得BD DC ⊥，又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD 平面BDC BC =，则DC ⊥平面ABD ， DBC ∠为直线BC 与平面ABD 所成角是45°，故②正确；由判断②时可知，DC ⊥平面ABD ，则DC AB ⊥，又AB AD ⊥，AD DC D =，则AB ⊥平面ADC ，而AB ⊂平面ABC ，则平面ACD ⊥平面ABC ，故③正确；由判断③时可知，AB ⊥平面ADC ，则DAC ∠为二面角C AB D --的平面角，设1AD AB ==，则BD DC ==由DC AD ⊥，得AC =cos AD DAC AC ∠==. 故答案为：②③④.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解：（1）因为()3,4OA =-，()6,3OB =-，()5,3OC x y =-+，()4,1OD =--，所以()1,5AD OD OA =-=--，()1,BC OC OB x y =-=+，由AD BC =，得2x =-，5y =-.………………5分（2）因为()3,1AB =--，()1,BC x y =+，B ∠为直角，所以AB BC ⊥，()310AB BC x y ⋅=-+-=. 又AB BC =，所以()22110x y ++=. 联立()()22310110x y x y -+-=⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得03x y =⎧⎨=-⎩或23x y =-⎧⎨=⎩.………………10分 18.解：（1）∵2240ωω++=，∴1ω=-，又复数ω在复平面内对应的点位于第二象限，∴1ω=-+；…………4分（2）∵z x yi =+（,x y R ∈），∴()())1z x yi x y i ω⋅=-++=-+-， ∵z ω⋅为纯虚数，∴0x -=0y -≠，由2z =，得224x y +=，联立可得x =1y =或x =1y =-，∴xy =…………12分19.解：（1）由()cos23cos 1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=， 即()()2cos 1cos 20A A -+=，解得1cos 2A =或cos 2A =-（舍去）. 因为0A π<<，所以3A π=.………………6分（2）由1sin 2S bc A ===，得到20bc =，又5b =，解得4c =， 由余弦定理得2222cos 25162021a b c bc A =+-=+-=，故a =又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=.…………12分 20.解：（1）当0200x ≤≤时，0.5y x =；当200400x <≤时，()0.52000.82000.860y x x =⨯+⨯-=-；当400x >时，()0.52000.8200 1.0400140y x x =⨯+⨯+⨯-=-.所以y 与x 之间的函数解析式为0.5,0200,0.860,200400,140,400.x x y x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩…………4分（2）由（1）可知，当260y =时，400x =，即用电量低于400千瓦时的占80%，结合频率分布直方图可知0.00110021000.0031000.8,1000.00051000.2.b a ⨯+⨯+⨯=+⨯=⎧⎨⎩解得0.0015a =，0.0020b =.…………8分（3）设75%分位数为m ，因为用电量低于300千瓦时的所占比例为()0.0010.0020.00310060%++⨯=，用电量低于400千瓦时的占80%，所以75%分位数m 在[)300,400内，所以()0.63000.0020.75m +-⨯=，解得375m =，即用电量的75%分位数为375千瓦时.…………12分21.证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，四边形11B BCC 是平行四边形，所以11//B C BC .在ABC △中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，故//BC DE ，所以11//B C DE .又11B C ⊄平面1A DE ，DE ⊂平面1A DE ， 所以11//B C 平面1A DE .…………6分（2）如图，在平面11ABB A 内，过A 作1AF A D ⊥于F ，因为平面1A DE ⊥平面11A ABB ，平面1A DE 平面111A ABB A D =，AF ⊂平面11A ABB ，又DE ⊂平面1A DE ，所以AF DE ⊥，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ， 所以1A A DE ⊥.因为1AF A A A =，AF ⊂平面11A ABB ，1A A ⊂平面11A ABB ，所以DE ⊥平面11A ABB .因为AB ⊂平面11A ABB ，所以DE AB ⊥.…………12分22.【答案】解：（1）设km CD a =，等腰Rt ACD △中，km AC =，在BCD △中，30BCA ∠=°，45ACD ∠=°，60BDC ∠=°，可得45CBD ∠=°.由正弦定理得sin 60sin 45BC a =°°，解得BC a =；在ABC △中，由余弦定理得2AB a ==，∵2km AB =，∴2828m a =≈， ∵2828284020m -<，∴百度地图测距是准确的.…………4分（2）由已知sin 3sin 4θϕ=，在ABN △中，()sin 3sin 4BN AN θπϕ==-， 设3BN x =，4AN x =， 由余弦定理得，2222216947cos 1616x x x x x θ+-+==，2222921647cos 1616x x x ABN x x+--∠==， ()cos cos cos ABN πϕϕ∠=-=-， 故cos cos 11cos cos 4ABN θθϕ=-=-∠，解得1x =，所以3BN =，4AN =， 在Rt MBN △中，tan MN MBN BN ∠=， 故tan 3tan 4.530.07930.238MN BN MBN =∠=⨯≈⨯=°，故测算完美大厦主楼的高度约为238m .…………12分。

江高一下学期期中数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知中，，，，则等于（ ） ABC 4a =4b =30A ∠=︒B ∠A. 或 B. 或C.D.60︒120︒30︒150︒60︒30︒【答案】D 【解析】【分析】直接利用正弦定理化简求解即可．【详解】由题意在中，，，，ABC 4a =4b =30A ∠=︒由正弦定理：可得． sin sin a b A B=14sin 12sin 42b A B a ⨯===，或．0180B ︒<<︒ 30B ∴=︒150︒又，所以 a b =30B =︒故选：D ．2. 下列说法正确的是（ ）A. 设非零向量，，若，则向量与的夹角为锐角 a b 0a b ⋅> a bB. 若非零向量与是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线 AB CDC. 若，，则a b ∥b c ∥a c∥D. 若，则a b =a b =r r 【答案】D 【解析】【分析】对于A ，当向量，同向时，即可判断；对于B ，根据共线向量的定义即可判断；对于C ，根a b据零向量与任意向量共线，即可判断；对于D ，根据相等向量的定义即可判断.【详解】解：对于A ，若，则，故A 错误；0a b ⋅>,0,2a b π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭对于B ，若非零向量与是共线向量，AB CD则与平行或共线，故B 错误；AB CD 对于C ，若，，a b ∥b c∥当时，不能确定是否平行，故C 错误；0b =,a c 对于D ，若，则，故D 正确.a b =a b =r r 故选：D.3. 如图，在多面体中，平面平面 ，且ABC DEFG -//ABC ,//DEFG EF DG ,2AB DE DG EF ==，则 ( )A. 平面B. 平面 //BF ACGD //CF ABEDC.D. 平面平面//BC FG //ABED CGF 【答案】A 【解析】【分析】取DG 的中点M ，连AM 、FM ，证明四边形ABFM 是平行四边形，问题得解. 【详解】如图所示，取DG 的中点M ，连AM 、FM ，．则由已知条件易证得四边形DEFM 是平行四边形， ∴且．//DE FM DE FM =∵平面ABC ∥平面DEFG ，平面ABC ∩平面ADEB ＝AB ，平面DEFG ∩平面ADEB ＝DE ， ∴AB ∥DE ， ∴AB ∥FM ． 又AB ＝DE ， ∴AB ＝FM ，∴四边形ABFM 是平行四边形， ∴BF ∥AM ．又BF 平面ACGD ，AM 平面ACGD ， ⊄⊂∴BF ∥平面ACGD ．选A ．【点睛】本题主要考查了线面平行的判定定理及面面平行的性质，还考查了转化能力及空间思维能力，属于中档题.4. 一艘轮船按照北偏东方向，以18海里小时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东40︒/20︒方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为（ ）海里． A. 2 B. 3C. 4D. 6【答案】C 【解析】【分析】作出示意图，利用余弦定理，即可得解．【详解】设轮船从点出发到达点，灯塔在点，如图所示，A CB由图可知，，海里， 1804020120BAC ∠=︒-︒-︒=︒2018660AC =⨯=在中，由余弦定理知，，ABC 222||||2cos BC AB ACAB AC BAC =+-⋅⋅∠所以，即，2221||626()2AB AB =+-⨯⨯-2||6400AB AB +-=解得或（舍负）， ||4AB =10-所以灯塔与轮船原来的距离为4海里． 故选：C ．5. 如图所示，在等腰梯形中，，为线段的中点，，ABCD //AD BC E AB 14DF FC =24BC AD ==，，则（ ）60ABC ∠= BF CE ⋅=A. B. C.D.12-10-8-6-【答案】B 【解析】【分析】求出，再由利用数量积的定义计算即可2AB CD ==4152BF CE BC CD BA BC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求解.【详解】在等腰梯形中，分别过点，作，垂直于于点，， ABCD A D AM DN BC M N 则，， 2MN AD ==1BM CN ==因为 ，所以，60ABC ∠= 2AB CD ==因为为线段的中点，，E AB 14DF FC =所以24112452255BF CE BC CD BA BC BA BC BC CD BA CD BC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=⋅-+⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 212424cos 60422cos 6024cos120255=⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ ，4162161055=-++=-故选：B.6. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（ ） A. 7 B. 6C. 5D. 3【答案】A 【解析】【分析】设圆台上底面半径为，由圆台侧面积公式列出方程，求解即可得解. r 【详解】设圆台上底面半径为，由题意下底面半径为，母线长， r 3r 3l =所以，解得. ()384S r r l ππ=+=侧7r =故选：A.【点睛】本题考查了圆台侧面积公式的应用，属于基础题.7. 设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且111ABC A B C -40π，则该直三棱柱的体积是（ ）1,120AB AC AA BAC ∠=== A. B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】先设出棱长，表示出球半径，利用球的表面积求出棱长，然后利用柱体的体积公式可求体积. 【详解】设.因为，所以.12AB AC AA m ===120BAC ∠= 30ACB ∠=由正弦定理得是外接圆的半径），.22(sin30mr r =ABC 2r m =又球心到平面的距离等于侧棱长.所以球的表面ABC1AA=积为，解得)24π40π=m =因此该直三棱柱的体积是2311422ABC S AA m m ⋅=⨯== 故选：A.8. 在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足．角A 的内角平分线交ABC 2tan 1tan c Ab B=+于点M ，若，则（ ） BC 2BM CM ==AMBCA.B.C.D. 2233212【答案】A 【解析】【分析】由条件及三角形中角的关系，结合正弦定理先求出角，由三角形的内角平分线定理可得A ，然后在，中，分别利用余弦定理结合，用2AB AC =ACM △ABM 180BMA CMA ∠+∠=︒AC表示出，从而可得出答案.,AM BC 【详解】由条件有：，sin 2sin sin cos sin cos sin cos sin()cos 11sin sin sin cos sin cos sin cos cos AC A B B A A B A B A B B B A B A B A B++=+=+==又，则，sin()sin()sin ,sin 0,sin 0A B C C B C π+=-=>>2sin sin sin sin cos C CB B A=即，又，则1cos 2A =()0,A π∈3A π=由为的角平分线，则,即 AM CAB ∠2AB BM AC CM==2ABAC =则30CAM BAM ∠=∠=︒在中， ACM △222cos 2AC AM CM CAM AC AM +-∠==⋅⋅即①222AC AM CM AM +-=⋅在中，ACM △222cos 2CM AM AC CMA CM AM+-∠=⋅⋅在中，ABM 22222244cos 24BM AM AB CM AM AC BMA BM AM CM AM+-+-∠==⋅⋅⋅⋅由，则180BMA CMA ∠+∠=︒22222244024CM AM AC CM AM AC CM AM CM AM+-+-+=⋅⋅⋅⋅化简得到： ②22222AM AC CM =-将②代入①可得： ③ AMAC =将③代入②可得：, 所以CMAC =BC =所以23A BC M ==故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 如图，在正方体中，、、分别是、、的中点，有下列四个1111ABCD A B C D -M N P 11CD BC 11A D 结论正确的是（ ）A. 与是异面直线；B. 、、相交于一点； AP CM AP CM 1DDC. ；D. 平面.1//MN BD //MN 11BB D D 【答案】BD 【解析】【分析】本题首先可根据、判断出A 错误，然后根据平面平面//MP AC MP AC ≠11 A ADD 得出B 正确，再然后根据得出C 错误，最后根据线面平行的判定即可证得D111=C CDD DD 1//MN D O正确.【详解】A 项：如图，连接、、，PM AC 11AC因为、分别是、的中点，多面体是正方体， M P 11C D 11A D 1111ABCD A B C D -所以，，，11//MP AC 11//AC A C //MP AC 因为，所以与是同一平面内的相交直线，A 错误； MP AC ≠AP CM B 项：因为平面平面，平面，平面，11 A ADD 111=C CDD DD AP ⊂11A ADD CM ⊂11C CDD 所以、、相交于一点，B 正确；AP CM 1DD C 项：如图，连接与交于点，连接、，AC BD O ON 1OD由正方体性质易知，是中点， O BD 因为是中点，所以，， N BC //ON CD 12ON CD =因为，，所以，， 1//D M DC 112D M DC =1//ON D M 1ON D M =故四边形是平行四边形，，易知C 错误； 1ONMD 1//MN D O D 项：因为，平面，平面， 1//MN D O MN ⊄11BB D D 1OD ⊂11BB D D 所以平面，D 正确， //MN 11BB D D 故选：BD.10. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（ ）ABCDEFGH ||1OA =A.B.OA OD ⋅= OB OH +=C.D. 在向量上的投影向量为AH HO BC BO ⋅=⋅ AH AB AB 【答案】AB 【解析】【分析】正八边形中，每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离为1，然后再由数ABCDEFGH 45︒量积的运算逐一分析四个选项得答案．【详解】正八边形中，每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离为1，ABCDEFGH 45︒对于，A 正确；A 11cos135OA OD ⋅=⨯⨯︒=对于B ，，则以，为邻边的对角线长是倍，90BOH ∠=︒OB OH ||OA可得，故B 正确；OH OB +==对于C ，，，与的夹角为，AH BC = ||||HO BO = AH HO180AHO ︒-∠与的夹角为，故，故C 错误；BC BO OBC AHO ∠=∠AH HO BC BO ⋅=-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r对于D ，由已知可得，AH ==在向量上的投影数量为∴AH ABcos135AH AH ︒===则在D 错误．AHAB故选：AB ．11. 在中，内角、、所对的边分别为、、，的面积为，下列与有关的ABC A B C a b c ABC S ABC 结论，正确的是（ ）A. 若为锐角三角形，则ABC sin cos A B >B. 若，则A B >sin sin A B >C. 若，则一定是等腰三角形 cos cos a A b B =ABC D. ，则的外接圆半径是4 2,30a A ==︒ABC 【答案】AB 【解析】【分析】对于，根据锐角三角形的性质，结合正弦函数单调性以及诱导公式，判断A ，根据正弦定理A 判断B ，根据正弦定理，进行边角互换，可得正弦等式，判断C ，根据正弦定理，可判断D ． 【详解】对于，若为锐角三角形，可得且， A ABC 2A B π+>π,(0,)2A B ∈可得，且，根据正弦函数的单调性， π2A B >-ππ(0,)22B -∈可得，所以，故正确； πsin sin()2A B >-sin cos A B >A 对于B ，在中，由知，根据正弦定理可得，故B 正确；ABC A B >a b >sin sin A B >对于C ，由正弦定理知，，则，2sin a R A =2sin b R B =2sin cos 2sin cos R A A R B B =可得，故或，是等腰三角形或直角三角形，故C 错误； sin 2sin 2A B =22A B =22πA B +=ABC 对于D ，在中，设的外接圆半径是R ，则根据正弦定理可得，ABC ABC 22=4,21sin 2a R R A ===故D 错误． 故选：AB ．12. 已知三个内角，，的对应边分别为，，，则下列结论正确的是（ ） ABC A B C a b c A. ，．π3C ∠=2c =ABC B. ，．的最大值为 π3C∠=2c =AC AB ⋅ 2+C. 若，则的形状为等腰三角形 AB AC BA BC ⋅=⋅ABC D. ，则的形状为等边三角形 10,3AB AC BA BC BC AB ACBABC ⎛⎫ ⎪+⋅=⋅= ⎪⎝⎭ABC 【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，由余弦定理结合基本不等式求得的最大值，即可得出面积的最大值，进而可判断A ab 是否正确；对于B ，由正弦定理结合二倍角公式，两角和与差的正弦公式，正弦函数性质求得的cos b A 最大值，从而可得数量积的最大值，即可判断B 是否正确；对于C ，由向量数量积公式和两角和与差的三角函数公式即可判断C 是否正确；对于D ，因为，判断的平分线AD 与0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭A ∠BC 垂直，得是等腰三角形，因为，判断角B 是否为60°，即可判断D 是否正确. ABC 13BA BC BA BC ⋅=【详解】对于，由余弦定理可得， A 22222π22cos 23a b ab a b ab ab ab ab =+-=+-≥-=当且仅当时，等号成立，2a b ==A 正确； 11πsin 4sin 223ABC S ab C =≤⨯⨯=△对于B ，， cos 2cos AC AB bc A b A ⋅==在中，，， ABC 22ππsin sin()sin 33b cC A ==-2πsin()3b A =-2π1cos sin()cos sin )cos 32b A A A A A A =-=+21sin cos )2A A A =+， πcos 2)sin 2])13A A A =++=++因为，所以，所以， π3C =2π03A <<ππ5π2333A <+<所以，即时，取得最大值1，即， ππ232A +=π12A =πsin(23A +cos b A 1所以的最大值为，故B 正确；AC AB ⋅ 2对于C ，因为，所以，即，AB AC BA BC ⋅=⋅cos cos bc A ac B =cos cos b A a B =由正弦定理得，即， sin cos sin cos =B A A B sin()=0A B -因为，所以， 0π,0πA B <<<<ππA B -<-<所以，所以是等腰三角形，故C 正确；A B =ABC 对于D ，因为， 0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭所以的平分线AD 与BC 垂直，所以是等腰三角形A ∠ABC 因为，所以，所以， 13BA BC BA BC ⋅= 1cos 3B =π3B ∠≠所以是等腰非等边三角形，故D 错误．ABC 故选：ABC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半径为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是 ____ cm 3.【答案】2π【解析】 【分析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.【详解】正六棱柱体积为 262⨯圆柱体积为21()222ππ⋅=所求几何体体积为 2π故答案为：2π-【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题. 14. 在中，，若O 为外接圆的圆心，则的值为__________．ABC 4,6AB AC ==ABC AO BC ⋅ 【答案】10【解析】【分析】作出边垂线，利用向量的运算将用表示，得有向量的数量积的几何意义将,AB AC BC ,AB AC向量的数量积表示成一个向量与另一个向量的投影的乘积即可求得答案【详解】过作，垂足分别为，O ,OS AB OT AC ⊥⊥,S T 因为O 为外接圆的圆心，ABC 所以分别为的中点， ,S T ,AB AC 所以()AO BC AO AC AB ⋅=⋅- AO AC AO AB =⋅-⋅ cos cos AO AC OAC AO AB OAB =⋅∠-⋅∠AC AT AB AS =- , 64641022=⨯-⨯=故答案为：1015. 如图，在中，，，.为内部（包含边界）的动点，且ABCa =4c =23BAC π∠=P ABC .则___________；的取值范围___________. 1PA =AC AB +=PB PC ⋅【答案】①. 4 ②.[]11,9--【解析】 【分析】方法1：①由正弦定理求得，进而可求得b ，可得在是等腰三角形，取BC 的中点E ，在中ACB ∠ABC BEA △可求得AE ，再由可求得的值.AB+AC =2AE ||AB AC + ②设 ，，则展开计算，转化为三角函数在,AP AE θ<>= [0,]3πθ∈()()PB PC PA AB PA AC ⋅=+⋅+ 给定区间上求值域，即可得结果.方法2： ①由余弦定理求得b 的值，再由即可求出；2||AB AC + ②以A 为原点建系，设 ，则可得，转化为三角函PAB α∠=2(0)3πα≤≤4sin(76PB PC πα⋅=-+- 数在给定区间上求值域，即可得结果.【详解】方法1：①在中，由正弦定理得：ABC sin sin B a C c BA AC =∠∠4sin ACB =∠解得：. 1sin 2ACB ∠=又∵，∴，∴ 23BAC π∠=6ACB π∠=6ABC π∠=∴，4b c ==取BC 的中点E ，连接AE ，如图所示，则：， ，AE BC ⊥AB+AC =2AE ∴在中， ，BEA △sin 4sin 26ABC AE AB π=⨯∠==∴，||2||4AB AC AE +== ②设 ，则 ， ,AP AE θ<>= [0,]3πθ∈2()()()PB PC PA AB PA AC PA AC AB PA AB AC ⋅=+⋅+=++⋅+⋅ 212||||cos 12||||cos 83AE AP AB AC AE AP πθ=-⋅+⨯⨯=-⨯⨯- ，7221cos 74cos θθ=--⨯⨯⨯=--∵，∴，∴， [0,]3πθ∈1cos [,1]2θ∈74cos [11,9]θ--∈--故的范围是：； PB PC ⋅ [11,9]--方法2：①在中，由余弦定理 ，ABC 2222cos a b c bc BAC =+-∠即： ，解得：或（舍）， 248164b b =++4b =8b =-， 2222222||()244244cos 163AB AC AB AC AB AC AB AC π+=+=++⋅=++⨯⨯⨯= ∴，||4AB AC += ②以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，设 ，则P 点的坐标为，B 点的坐标为 ， PAB α∠=2(03πα≤≤(cos ,sin )αα(4,0)C 点的坐标为 ， (2,-∴ ，，(4cos ,sin )PB αα=-- (2cos ,sin )PC αα=---∴， 2cos 74sin()76PB PC πααα⋅=---=-+- ∵，∴，∴， 203πα≤≤5666πππα≤+≤1sin()126πα+≤≤∴，114sin()796πα-≤-+-≤-即：，故的范围是：，119PB PC -≤⋅≤- PB PC ⋅[11,9]--故答案为：4；.[11,9]--16. 已知正方体的棱长为2，点，分别是棱，的中点，若动点在正方1111ABCD A B C D -M N BC 1CC P 形（包括边界）内运动，且平面，则线段的长度范围是_________． 11BCC B 1//PA AMN 1PA【答案】 【解析】 【分析】构造与平面平行的平面，得出点轨迹，在中计算的范围即可．AMN 1A EF P 1A EF 1A P 【详解】连接，，取的中点，的中点，连接，，，1BC EM 11B C E 1BB F 1A E 1A F EF 则，，所以，1BC //EF MN //1BC EF //MN 因为， ，1AA //1BB //EM 11M A B E A B ==所以四边形为平行四边形，所以，1AMEA 1//A E AM 因为平面，平面，,AN MN ⊂AMN 1,A E EF ⊄AMN 所以平面，平面，1A E //AMN EF //AMN 因为，所以平面平面，1A E EF E ⋂=1//A EF AMN 平面，的轨迹为线段．1//A P AMN P ∴EF，11A E A F == EF =当时， ∴1A P EF ⊥1A P =当与（或重合时，．P E )F 1A P ∴1A P ≤≤故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知向量，.(,1)a m =- (1,2)b = （1）若，求； ()+2a b b ⊥ 2a b + （2）若向量，，求与夹角的余弦值.(2,1)c =- a c ∥ a 2a b -r r【答案】（1（2【解析】【分析】（1）根据求得，从而可得，于是 ()+2a b b ⊥ 3m =-2(1,3)a b +=- 2a b += （2）由，可得，再由夹角公式计算即可.a c ∥ (2,1)a =- 【小问1详解】 因为，，(,1)a m =- (1,2)b = 所以，.+(1,1)a b m =+ 2(2,4)b = 由，可得，即， ()+2a b b ⊥ ()+20a b b ⋅= 2(1)40m ++=解得，所以，故3m =-2(1,3)a b +=- 2a b += 【小问2详解】 因为向量，，所以，所以.(2,1)c =- a c ∥ 20m -=2m =则，，(2,1)a =- 2(0,5)a b -=-所以， ()2cos ,22a a b a a b a a b ⋅--=-==所以与夹角的余弦值为. a 2a b -rr 18. 在中，角所对的边分别为，且 ABC ,,A B C ,,a bc cos b A c ⋅=（1）求角B ；（2）若的面积为BC 边上的高，求，的值．ABC 1AH =b c 【答案】（1）π6B =（2），b =2c =【解析】【分析】（1）利用余弦定理角边互化，再利用三角函数的特殊值对应特殊角，结合角的范围即可求解； （2）根据正弦定理及三角形的面积公式，再利用余弦定理即可求解.【小问1详解】因为，所以cos b A c =-2222b c a bc bc +-⋅=-所以，即22222b c a c +-=-222c ab +-=由余弦定理可得， 222cos 2c a b B ac +-==因为，所以 ()0,πB ∈π6B =【小问2详解】由（1）知，，因为BC 边上的高，所以， π6B =1AH =2πAHB ∠=在中，由正弦定理可得， ABH sin sin c AH AHB B=∠即. sin sin 22sin sin 6πAH AH AHB c πB∠===因为的面积为ABC所以，解得. 11sin 22ac B a ==a =在中,由余弦定理,得ABC，则. 2222cos 4842228b a c ac B =+-=+-⨯⨯=b =所以的值为，的值为. b c 219. 由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形为平行1111ABCD A B C D -111C B CD -ABCD 四边形，O 为与的交点．AC BD（1）求证：∥平面；1A O 11B CD （2）求证：平面∥平面；1A BD 11B CD （3）设平面与底面的交线为l ，求证：．11B CD ABCD BD l ∥【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）取的中点，连接，结合四棱柱的几何性质，由线线平行证明即可； 11B D 1O 111,CO AO （2）由线线平行证平面，结合平面即可证平面平面； BD ∥11B CD 1AO ∥11B CD 1A BD ∥11B CD （3）由线面平行证线线平行即可.【小问1详解】取的中点，连接，11B D 1O 111,CO AO ∵是四棱柱，∴， 1111ABCD A B C D -11AO OC ∥∴四边形为平行四边形，∴， 11AOCO 11AO O C ∥又平面平面，∴平面．1O C ⊂111,B CD AO ⊄11B CD 1AO ∥11B CD【小问2详解】∵，∴四边形是平行四边形，∴，111BB AA DD ∥∥11BB D D 11BD B D ∥∵平面平面，∴平面，BD ⊄1111,B CD B D ⊂11B CD BD ∥11B CD由（1）得平面且，平面， 1AO ∥11B CD 1BD AO O = 1BD AO ⊂、1A BD ∴平面平面．1A BD ∥11B CD 【小问3详解】由（2）得：平面，BD ∥11B CD 又平面，平面平面，∴．BD ⊂ABCD 11B CD ⋂ABCD l =BD l ∥20. 北京2022年冬奥会中，运动员休息区本着环保､舒适､温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步ABCD道，且. ,2AC D B ∠∠=1,3,cos AD CD B ===（1）求氢能源环保电动步道的长；AC （2）若___________；求花卉种植区域总面积.从①，②. 3BCA π∠==BC【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用二倍角公式求出，利用余弦定可求的长；cos D AC（2）选①：由正弦定理可求得，利用两角和的正弦公式可求得，可分别求得AB =sin BAC ∠，，从而可求花卉种植区域总面积．ABC S ADC S △选②：利用余弦定理求出，，从而可求花卉种植区域总面AB =ABC S ADC S △积．【小问1详解】解：，， cos B =2D B ∠=∠21cos cos 22cos 13D B B ∴==-=-，，由余弦定理得， 1AD = 3CD =∴22212cos 196()123AC AD CD AD CD D =+-⋅=+-⨯-=，0AC > ∴=AC【小问2详解】解：若选①：，在中，由正弦定理得，3BCA π∠=ABC sin sin AB AC ACBB =∠ cosB =，由（1）知， sin B∴=AC==AB = 1sin sin()sin cos cossin 2BAC B ACB B ACB B ACB ∠=∠+∠=∠+∠==， 11sin 22ABC S AB AC BAC ∴=⨯⋅∠== ，1cos 3D=- sin D ∴==故11sin 1322ADC SAD DC D =⨯⨯⨯=⨯⨯=∴=若选②：，在中，由余弦定理得，解得或=BC ABCcos B ==AB =（舍去），AB =，cos B =sin B ∴=11sin 22ABC S AB BC B ∴=⨯⋅== ，1cos 3D =- sin D ∴==故11sin 1322ADC S AD DC D =⨯⨯⨯=⨯⨯= 花卉种植区域总面积为∴=21. 几何体是四棱锥，为正三角，，，为线段的E ABCD -ABD △2BC CD ==120BCD ∠=︒M AE 中点.（1）求证：平面；//DM BEC（2）线段上是否存在一点，使得四点共面？若存在，请求出的值；若不存在，EB N ,,,D M N C BN BE 并说明理由. 【答案】（1）证明见解析（2）存在，13BN BE =【解析】 【分析】（1）先由线面平行的判定理证得平面，再证得平面，由此利用面面平//MF EBC //DF EBC 行的判定定理证得面面，从而得到平面；//DMF EBC //DM BEC （2）先由线面平行的性质定理求得点位置，再由平面几何知识求得，从而利用平行线分线段N 4PC =成比例得到的值. BN BE【小问1详解】记为的中点，连接，如图1，F AB ,DF MF 因为分别为的中点，故，,F M ,AB AE //MF EB 因为平面平面MF ⊄,EBC EB ⊂,EBC 所以平面，//MF EBC 又因为为正三角形，所以 ，，ADB 60DBA ∠=︒DF AB ⊥又为等腰三角形，，所以,BCD △120BCD ∠=︒30DBC ∠=︒所以，即，90ABC ∠=︒BC AB ⊥所以，又平面平面//DF BC DF ⊄,EBC BC ⊂,EBC 所以平面，又，平面，//DF EBC DM MF F ⋂=,DM MF ⊂DMF 故平面平面，//DMF EBC 又因为平面，故平面.DM ⊂EBC //DM BEC【小问2详解】延长相交于点，连接交于点，连接，过点作交于点，如,CD AB P PM BE N CN N //NQ AE AB Q 图2，因为平面，平面，平面平面， //DM ECB DM ⊂PDM PDM ECB CN =所以，此时四点共面，//DM CN ,,,D M N C 由（1）可知，，得，2,60,BC CD PCB CB BP ==∠=︒⊥30,4CPB PC ∠=︒=故，又因为，所以， 4263PN CP PM DP ===//NQ AE 23NQ PN AM PM ==则有，故. 3112223NQ NQ AE AM ==⨯=13BN NQ BE AE ==22. 在中，分别是角的对边，．ABC ,,a b c ,,A B C 2cos cos cos a A b C c B =+（1）求角A 的大小；（2）若，点为重心，点为线段的中点，点在ABC G ABC M AC N 线段上，且，线段与线段相交于点，求的取值范围.AB 2AN NB =BM CN P GP【答案】（1） π3（2）16GP ⎛∈ ⎝ 【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式计算可得； （2）用、作为平面内的一组基底表示出，再根据平面向量共线定理及推论表示出，即AB AC AG AP 可表示，利用面积公式求出，再由三角形为锐角三角形求出的取值范围，最后根据数量积GP 2bc =b 的运算律及对勾函数的性质计算可得．【小问1详解】因为，2cos cos cos a A b C c B =+由正弦定理可得，()2sin cos sin cos sin cos sin sin A A B C C B B C A =+=+=又因为，则，()0,πA ∈sin 0A >可得，即，所以. 2cos 1A =1cos 2A =π3A =【小问2详解】由题意可得，， 23AN AB = 12AM AC = 所以， ()222111333233AG AB BG AB BM AB AM AB AB AC AB AB AC ⎛⎫=+=+=+-=+-=+ ⎪⎝⎭ 因为、、三点共线，故设， C N P ()()2113AP AN AC AB AC λλλλ=+-=+- 同理、、三点共线，故设， M B P ()()1112AP AB AM AB AC μμμμ=+-=+- 则，解得， ()231112λμλμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩3412λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以， 1124A AB A PC =+ 则， ()11111112243361212GP AP AG AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-=+-+=-=- ⎪⎝⎭ 因为，所以，1sin 2ABC S bc A == 2bc =又因为为锐角三角形，ABC 当为锐角，则，即， C 0AC BC ⋅> ()22102A AC AC A C AC AB B b bc -⋅⋅==>--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 即，所以； 22b c b>=1b >当为锐角，则，即， B 0AB CB ⋅> ()22102A AB AB A B AC AB C c bc -⋅=⋅=>--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 则，即，所以； 2c b >22b b⋅>02b <<综上可得，12b <<又因为， 1212GP AB AC =⋅- 则， ()222222222216144|2444|4||424GP AB AC AB AB AC AC AB AB AC AC c bc b b b =-=-⋅+=-⋅+=-+=-+ 因为，则，12b <<214b <<且在上单调递减，， ()164f x x x=-+(1,4)()()113,44f f ==所以，即， ()()4,13f x ∈()22216144||44,13GP b b =-+∈u u u r所以．16GP ⎛∈⎝。

2019-2020学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（下）期中数学试卷试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）sin20°cos（-10°）+cos20°sin10°=（）A. −12B. 12C. −√32D. √322.（单选题.5分）用数字1、2、3组成没有重复数字的三位数.其中三位数是奇数的概率为（）A. 12B. 13C. 23D. 143.（单选题.5分）用符号表示“点A在直线l上.l在平面α内”.正确的是（）A.A∈l.l∉αB.A⊂l.l⊄αC.A⊂l.l∈αD.A∈l.l⊂α4.（单选题.5分）已知一组数据5.5.5.4.5.1.4.8.4.7.则该组数据的方差为（）A.0.4B.0.3C.0.2D.0.15.（单选题.5分）过三点A（1.3）.B（6.-2）.C（1.-7）的圆交x轴于M、N两点.则MN=（）A.2B. 2√21C.4D. 4√216.（单选题.5分）已知两条直线l1：（m-2）x+3y+1=0.l2：x+my+1=0平行.则m=（）A.3B.-1C.1或-1D.3或-17.（单选题.5分）已知某地区初中水平及以上的学生人数如图所示．为了解该地区学生对新型冠状病毒的了解程度.拟采用分层抽样的方法来进行调查．若高中生需抽取30名学生.则抽取的学生总人数为（）A.40B.60C.90D.1208.（单选题.5分）在平面直角坐标系xOy中.圆C：x2+y2=3.T（2.m）.若圆C上存在以M为中点的弦AB两点.且AB=2MT.则实数m的取值范围是（）A. [−√2，0]B. (0，√2]C. [−√2，√2]D. (−√2，√2)9.（多选题.5分）对于实数a.b.c.下列说法正确的是（）A.若a＞b＞0.则1a ＜1bB.若a＞b.则ac2≥bc2C.若a＞0＞b.则ab＜a2D.若c＞a＞b.则ac−a ＞bc−b10.（多选题.5分）某城市有甲、乙两种报纸供市民订阅.记事件A为“只订甲报纸”.事件B为“至少订一种报纸”.事件C为“至多订一种报纸”.事件D为“不订甲报纸”.事件E为“一种报纸也不订”．下列命题正确的是（）A.A与C是互斥事件B.B与E是互斥事件.且是对立事件C.B与C不是互斥事件D.C与E是互斥事件11.（多选题.5分）设正实数m、n满足m+n=2.则下列说法正确的是（）A. 1m +2n的最小值为3+2√22B. √mn2的最大值为12C. √m+√n的最小值为2D.m2+n2的最小值为212.（多选题.5分）如图A（2.0）.B（1.1）.C（-1.1）.D（-2.0）. CD̂是以OD为直径的圆上一段圆弧. CB̂是以BC为直径的圆上一段圆弧. BÂ是以OA为直径的圆上一段圆弧.三段弧构成曲线Ω．则下面说法正确的是（）A.曲线Ω与x轴围成的面积等于32πB. CB̂与BÂ的公切线方程为：x+y−1−√2=0C. AB̂所在圆与CB̂所在圆的交点弦方程为：x-y=0D.用直线y=x截CD̂所在的圆.所得的弦长为√2213.（填空题.5分）若tan(α+π4)=−6 .则tanα=___ ．14.（填空题.5分）已知变量x.y线性相关.由观测数据算得样本的平均数x=4，y=5 .线性回归方程ŷ=bx+a中的系数b.a满足b+a=4.则线性回归方程为___ ．15.（填空题.5分）在△ABC中.角A.B.C满足sin2A-sin2B=2sinAsinBsinC.则1tanA −1tanB=___ ．16.（填空题.5分）已知实数x.y满足：xy-y=1.且0＜x＜1．则1x +2y−2的取值范围是___ ．17.（问答题.10分）过点M（3.4）作直线l.当l的斜率为何值时．（1）直线l将圆（x+1）2+（y-2）2=4平分？（2）直线l与圆（x+1）2+（y-2）2=4相切？18.（问答题.10分）在锐角△ABC中. a=12.______.求△ABC的周长l的取值范围．① a⃗=(−cos A2，−sin A2)，b⃗⃗=(cos A2，−sin A2) .且a⃗•b⃗⃗=−12．② （c-2b）cosA+acosC=0．③ f(x)=cosxcos(x−π3)+34，f(A)=54．注：这三个条件中选一个.补充在上面的问题中并对其进行求解.如果选择多个条件分别解答.按第一个解答计分．19.（问答题.12分）平面四边形ABCD.点A.B.C均在半径为2的圆上.且∠BAC=π6．（1）求BC的长；（2）若BD=3.∠DBC=2∠BCD.求△BCD的面积．20.（问答题.12分）为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求.某市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案.拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）.一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费.超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况.通过抽样.获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨）.将数据按照[0.1）.[1.2）.….[8.9）分成9组.制成了如图所示的频率分布直方图.其中0.4a=b．（1）求直方图中a.b的值.并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；（2）设该市有40万居民.估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数.并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨）.估计x的值.并说明理由．21.（问答题.12分）在平面直角坐标系xOy 中.已知以M 为圆心的圆M ：x 2+y 2+12x+14y+60=0及其上一点A （-2.-4）．（1）设圆N 与y 轴相切.与圆M 外切.且圆心N 在直线y=-7上.求圆N 的方程； （2）设垂直于OA 的直线l 与圆M 相交于B.C 两点.且 BC =15OA .求直线l 的方程； （3）设点T （0.t ）满足：存在圆M 上的两点P.Q.使得 TQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−TP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=TA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .求实数t 的取值范围22.（问答题.14分）已知函数f （x ）=cosx ． （1）若α.β为锐角. f (α+β)=−√55. tanα=43 .求cos2α及tan （β-α）的值；（2）函数g （x ）=f （2x ）-3.若对任意x 都有g 2（x ）≤（2+a ）g （x ）-2-a 恒成立.求实数a的最大值；.α.β∈（0.π）.求α及β的值．（3）已知f(α)+f(β)−f(α+β)=322019-2020学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）sin20°cos（-10°）+cos20°sin10°=（）A. −12B. 12C. −√32D. √32【正确答案】：B【解析】：由已知利用诱导公式.两角和的正弦函数公式.特殊角的三角函数值即可求解．【解答】：解：sin20°cos（-10°）+cos20°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin（20°+10°）=sin30°．= 12故选：B．【点评】：本题主要考查了诱导公式.两角和的正弦函数公式.特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用.属于基础题．2.（单选题.5分）用数字1、2、3组成没有重复数字的三位数.其中三位数是奇数的概率为（）A. 12B. 13C. 23D. 14【正确答案】：C【解析】：基本事件总数n= A33 =6．其中三位数是奇数包含的基本事件个数m= C21A22 =4.由此能求出其中三位数是奇数的概率．【解答】：解：用数字1、2、3组成没有重复数字的三位数.基本事件总数n= A33 =6．其中三位数是奇数包含的基本事件个数m= C21A22 =4.∴其中三位数是奇数的概率为p= mn =46=23．故选：C．【点评】：本题考查概率的求法.考查列举法等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．3.（单选题.5分）用符号表示“点A在直线l上.l在平面α内”.正确的是（）A.A∈l.l∉αB.A⊂l.l⊄αC.A⊂l.l∈αD.A∈l.l⊂α【正确答案】：D【解析】：根据空间中点、线、面的位置关系的符号语言求解即可．【解答】：解：点与线的位置关系用“∈”或“∉”表示.线与面的位置关系用“⊂”或“⊄”表示. 则“点A在直线l上.l在平面α内”可用A∈l.l⊂α表示．故选：D．【点评】：本题考查空间中点、线、面的位置关系及符号表示.属于基础题．4.（单选题.5分）已知一组数据5.5.5.4.5.1.4.8.4.7.则该组数据的方差为（）A.0.4B.0.3C.0.2D.0.1【正确答案】：D【解析】：先求出平均数.再求出该组数据的方差．【解答】：解：一组数据5.5.5.4.5.1.4.8.4.7. ∴平均数为 x = 15 （5.5+5.4+5.1+4.8+4.7）=5.1． ∴该组数据的方差为：S 2= 15 [（5.5-5.1）2+（5.4-5.1）2+（5.1-5.1）2+（4.8-5.1）2+（4.7-5.1）2]=0.1． 故选：D ．【点评】：本题考查方差的求法.考查平均数、方差的性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．5.（单选题.5分）过三点A （1.3）.B （6.-2）.C （1.-7）的圆交x 轴于M 、N 两点.则MN=（ ） A.2 B. 2√21 C.4 D. 4√21 【正确答案】：B【解析】：设出圆的一般方程.由已知可得关于D 、E 、F 的方程组.求得D 、E 、F 的值.得到圆的方程.取y=0得到关于x 的一元二次方程.再由弦长公式及根与系数的关系求解．【解答】：解：设过三点A （1.3）.B （6.-2）.C （1.-7）的圆的方程为： x 2+y 2+Dx+Ey+F=0．则 {1+9+D +3E +F =036+4+6D −2E +F =01+49+D −7E +F =0 .解得D=-2.E=4.F=-20．∴圆的方程为x 2+y 2-2x+4y-20=0. 取y=0.得x 2-2x-20=0.∴MN=|x 1-x 2|= √(x 1+x 2)2−4x 1x 2 = √22−4×(−20)=2√21 ． 故选：B ．【点评】：本题考查圆的一般方程的求法.考查方程组的解法.训练了弦长公式的求法.是基础题． 6.（单选题.5分）已知两条直线l 1：（m-2）x+3y+1=0.l 2：x+my+1=0平行.则m=（ ） A.3 B.-1 C.1或-1 D.3或-1【正确答案】：B【解析】：由题意利用两条直线平行的性质.求得m的值．【解答】：解：∵已知两条直线l1：（m-2）x+3y+1=0.l2：x+my+1=0平行.∴ m−21 = 3m≠ 11.求得m=-1.故选：B．【点评】：本题主要考查两条直线平行的性质.属于基础题．7.（单选题.5分）已知某地区初中水平及以上的学生人数如图所示．为了解该地区学生对新型冠状病毒的了解程度.拟采用分层抽样的方法来进行调查．若高中生需抽取30名学生.则抽取的学生总人数为（）A.40B.60C.90D.120【正确答案】：C【解析】：利用分层抽样.可知从高中生中抽取的比例与从整体中抽取的比例相同.列出关系式.即可解得抽取的总人数．【解答】：解：设抽取的学生总人数为x.则307200=x21600.解得x=90.故选：C．【点评】：本题主要考查分层抽样.属于基础题．8.（单选题.5分）在平面直角坐标系xOy中.圆C：x2+y2=3.T（2.m）.若圆C上存在以M为中点的弦AB两点.且AB=2MT.则实数m的取值范围是（）A. [−√2，0]B. (0，√2]C. [−√2，√2]D. (−√2，√2)【正确答案】：C【解析】：根据条件把问题转化为圆C上存在AB两点.使∠ATB=90°.即过T到向圆引的两条切线的夹角不小于90°.即圆心（0.0）到点T（2.m）的距离不大于√6 .进而得到答案．【解答】：解：本题的实质是圆C上存在AB两点.使∠ATB=90°.即过T到向圆引的两条切线的夹角不小于90°.即圆心（0.0）到点T（2.m）的距离不大于√6 .即√22+m2≤ √6 .解得：m∈[- √2 . √2 ]．故选：C．【点评】：本题考查直线与圆、圆与圆的位置关系.考查轨迹方程.正确转化是关键．9.（多选题.5分）对于实数a.b.c.下列说法正确的是（）A.若a＞b＞0.则1a ＜1bB.若a＞b.则ac2≥bc2C.若a＞0＞b.则ab＜a2D.若c＞a＞b.则ac−a ＞bc−b【正确答案】：ABC【解析】：利用不等式的基本性质即可判断出正误．【解答】：解：A．∵a＞b＞0.∴ aab ＞bab. 1a＜1b.正确．B．∵a＞b.c2≥0.则ac2≥bc2.正确．C．a＞0＞b.则ab＜a2.正确．D．c＞a＞b.则0＜c-a＜c-b.∴ 1c−a ＞1c−b＞0.但是a.b与0的关系不确定.虽然a＞b.无法判断a c−a ＞bc−b的正误．综上可得：ABC正确．故选：ABC．【点评】：本题考查了不等式的基本性质.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．10.（多选题.5分）某城市有甲、乙两种报纸供市民订阅.记事件A为“只订甲报纸”.事件B为“至少订一种报纸”.事件C为“至多订一种报纸”.事件D为“不订甲报纸”.事件E为“一种报纸也不订”．下列命题正确的是（）A.A与C是互斥事件B.B与E是互斥事件.且是对立事件C.B与C不是互斥事件D.C与E是互斥事件【正确答案】：BC【解析】：根据互斥事件和对立事件的概念即可判断．【解答】：解：事件A为“只订甲报纸”.事件B为“至少订一种报纸”.包含为订甲报纸.订乙报纸.订甲乙两种报纸.事件C为“至多订一种报纸”包含订甲报纸或订乙报纸.事件D为“不订甲报纸”.事件E为“一种报纸也不订”．A．A与C不互斥不对立事件.所以A与C是互斥事件.不正确；B．B与E是互斥事件.且是对立事件.正确；C．B与C不互斥不对立事件.所以B与C不是互斥事件正确；D．C与E既不互斥也不对立事件．所以C与E是互斥事件不正确；故选：BC．【点评】：本题考查互斥事件和对立事件.分清互斥事件和对立事件之间的关系.互斥事件是不可能同时发生的事件.对立事件是指一个不发生.另一个一定发生的事件．11.（多选题.5分）设正实数m、n满足m+n=2.则下列说法正确的是（）A. 1m +2n的最小值为3+2√22B. √mn2的最大值为12C. √m+√n的最小值为2D.m2+n2的最小值为2 【正确答案】：ABD【解析】：m.n＞0.m+n=2.利用“乘1法”可得：1m + 2n= 12（m+n）（1m+ 2n）= 12（3+ nm+2mn）.再利用基本不等式的性质可得其最小值．利用基本不等式的性质进而判断出BCD的正误．【解答】：解：m.n＞0.m+n=2.则1m + 2n= 12（m+n）（1m+ 2n）= 12（3+ nm+ 2mn）≥ 12（3+2 √nm •2mn）= 3+2√22.当且仅当n= √2 m=4-2 √2时成立．m+n=2≥2 √mn .解得mn≤1．∴ √mn2≤12. (√m+√n)2 =m+n+2 √mn≤2+2.∴ √m + √n≤2．m2+n2≥ (m+n)22=2.当且仅当m=n=1时取等号．综上可得：ABD正确．故选：ABD．【点评】：本题考查了基本不等式的性质.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．12.（多选题.5分）如图A（2.0）.B（1.1）.C（-1.1）.D（-2.0）. CD̂是以OD为直径的圆上一段圆弧. CB̂是以BC为直径的圆上一段圆弧. BÂ是以OA为直径的圆上一段圆弧.三段弧构成曲线Ω．则下面说法正确的是（）A.曲线Ω与x轴围成的面积等于32πB. CB̂与BÂ的公切线方程为：x+y−1−√2=0C. AB̂所在圆与CB̂所在圆的交点弦方程为：x-y=0D.用直线y=x截CD̂所在的圆.所得的弦长为√22【正确答案】：BC【解析】：首先利用分割法的应用求出曲线Ω与x轴围成的曲变形的面积.进一步利用点到直线的距离和直线的平行的应用求出圆的公切线的方程.最后利用垂径定理的应用和勾股定理的应用求出结果．【解答】：解：根据题意：圆弧AB表示为以（1.0）为圆心.1为半径的圆的周长的14．圆弧BC表示为以（0.1）为圆心.1为半径的圆的周长的12．圆弧CD是以（-1.0）为圆心.1为半径的圆的周长的14．所以把图形进行分割.如图所示：① 所以曲线Ω与x轴围成的图形的面积为S= 12•π•12+14•π•12+14•π•12+1×2=π+2 .故选项A错误．② 由于圆弧AB表示为以（1.0）为圆心.1为半径的圆．圆弧BC表示为以（0.1）为圆心.1为半径的圆．所以AB̂和BĈ所在的圆的公切线平行于经过（1.0）和（0.1）的直线.所以设直线的斜率k=-1.设直线的方程为x+y+b=0.所以（0.1）到直线x+y+b=0的距离d= |1+b|√2=1 .解得b= −√2−1或√2−1 .根据图象得：公切线的方程为x+y- √2−1=0 .故选项B正确．③ 以AB̂和所在的圆的方程为（x-1）2+y2=1. BĈ所在的圆的方程为x2+（y-1）2=1.两圆相减得：x-y=0．④ CD̂所在的圆的方程为（x+1）2+y2=1.所以圆心（-1.0）到直线x-y=0的距离d= 1√2=√22.所以所截的弦长为l=2 √1−(√22)2=√2 .故选项D错误．故选：BC．【点评】：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换.点到直线的距离公式的应用.勾股定理的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．13.（填空题.5分）若tan(α+π4)=−6 .则tanα=___ ．【正确答案】：[1] 75【解析】：利用两角和的正切函数公式.特殊角的三角函数值即可化简求值得解．【解答】：解：∵ tan (α+π4)=−6 .即 tanα+11−tanα =-6. ∴解得tanα= 75． 故答案为： 75 ．【点评】：本题主要考查了两角和的正切函数公式.特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用.考查了转化思想.属于基础题．14.（填空题.5分）已知变量x.y 线性相关.由观测数据算得样本的平均数 x =4，y =5 .线性回归方程 y ̂=bx +a 中的系数b.a 满足b+a=4.则线性回归方程为___ ． 【正确答案】：[1] y ̂=13x +113【解析】：根据回归直线方程过样本中心点.结合题意得出关于a 、b 的方程组.求解即可．【解答】：解：线性回归方程 y ̂=bx +a 过样本中心点（4.5）. 所以4b+a=5； 又a+b=4.解方程组 {4b +a =5a +b =4 .得b= 13.a= 113.所以线性回归方程为： y ̂=13x +113． 故答案为： y ̂=13x +113．【点评】：本题考查了线性回归方程的应用问题.是基础题．15.（填空题.5分）在△ABC 中.角A.B.C 满足sin 2A-sin 2B=2sinAsinBsinC.则 1tanA −1tanB =___ ． 【正确答案】：[1]-2【解析】：sinC=sin[π-（A+B ）]=sin （A+B ）=sinAcoB+cosAsinB.代入化简得（1-1tanB ）2=（1+ 1tanA ）2.结合余弦定理和正弦定理整理得到sin （A-B ）=2sinAsinB.所以 1tanA +1tanB =0 或1tanA −1tanB=-2.由题知sin 2A ＞sin 2B.即 |1tanA | ＜| 1tanB|. ① 当A.B 都是锐角时.1tanA ＜ 1tanB. 1tanA −1tanB＜0 ． ② 当A 是锐角.B 是钝角时. 1tanA ＜- 1tanB . 1tanA +1tanB ＜0. ③ 当A 是钝角.B是锐角时.- 1tanA ＜ 1tanB . 1tanA +1tanB ＞0.所以 1tanA −1tanB =-2.【解答】：解：sin 2A-sin 2B=2sinAsinBsinC. sin 2A-sin 2B=2sinAsinBsin[π-（A+B ）].sin2A-sin2B=2sinAsinBsin（A+B）.sin2A-sin2B=2sin2AsinBcosB+2sinAsin2BcosA.sin2A-sin2B=sin2Asin2B+sin2Bsin2A.sin2A-sin2Asin2B=sin2B+sin2Bsin2A.sin2A（1-sin2B）=sin2B（1+sin2A）.sin2A（sin2B+cos2B-sin2B）=sin2B（sin2A+cos2A+sin2A）. sin2A（sinB-cosB）2=sin2B（sinA+cosA）2(sinB−cosB)2sin2B =(sinA+cosA)2sin2A（1- 1tanB ）2=（1+ 1tanA）2.所以1- 1tanB =1+ 1tanA或1- 1tanB=-（1+ 1tanA）.所以1tanA +1tanB=0或1tanA−1tanB=-2.因为sin2A-sin2B=2sinAsinBsinC＞0. 所以sin2A＞sin2B.即sin 2Asin2A+cos2A =sin2Bsin2B+cos2Bsin2Asin2A+cos2A＞sin2Bsin2B+cos2B11+1tan2A ＞11+1tan2B.|1 tanA |＜| 1tanB|.① 当A.B都是锐角时. 1tanA ＜1tanB. 1tanA−1tanB＜0．② 当A是锐角.B是钝角时. 1tanA ＜- 1tanB. 1tanA+1tanB＜0.③ 当A是钝角.B是锐角时.- 1tanA ＜1tanB. 1tanA+1tanB＞0.所以1tanA −1tanB=-2.故答案为：-2．【点评】：本题考查三角恒等变换的应用.属于中档题．16.（填空题.5分）已知实数x.y满足：xy-y=1.且0＜x＜1．则1x +2y−2的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（1.+∞）【解析】：利用所给的关系式.二元换一元.再由0＜x＜1．解出y的范围.进而求出1x +2y−2的取值范围．【解答】：解：由xy-y=1可知.x=y+1y .所以 1x+2y−2=y y+1+2y−2 =y+1−1y+1+2y−2=1+1−1−y +1y−2 =1+（ 1−1−y+1y−2 ）（-1-y+y-2）（- 13 ）=1+（- 13）（1+1+ y−2−1−y+−1−yy−2）. 由0＜x ＜1.可得y ＜-1.所以令t= y−2−1−y ＜-1.所以 y−2−1−y +−1−yy−2＜-2.所以1+（- 13 ）（1+1+y−2−1−y+−1−yy−2 ）＞1. 即 1x +2y−2 的取值范围为（1.+∞）. 故答案为：（1.+∞）．【点评】：本题考查了不等式的性质、基本不等式的性质、变形转化思想方法.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．17.（问答题.10分）过点M （3.4）作直线l.当l 的斜率为何值时． （1）直线l 将圆（x+1）2+（y-2）2=4平分？ （2）直线l 与圆（x+1）2+（y-2）2=4相切？【正确答案】：【解析】：（1）求出圆心坐标.再由两点求斜率公式求解； （2）设出直线方程.由圆心到直线的距离等于半径列式求解．【解答】：解：（1）圆（x+1）2+（y-2）2=4的圆心坐标为（-1.2）. 若直线l 将圆（x+1）2+（y-2）2=4平分.则直线l 过圆心. 又l 过点M （3.4）.则直线l 的斜率为 4−23−(−1)=12 ；（2）设直线l 的斜率为k.则直线方程为y-4=k （x-3）.即kx-y-3k+4=0． 由 √k 2+1=2 .解得k=0或k= 43．【点评】：本题考查直线与圆位置关系的应用.考查点到直线距离公式的应用.考查计算能力.是基础题．18.（问答题.10分）在锐角△ABC 中. a =12 .______.求△ABC 的周长l 的取值范围． ① a ⃗=(−cos A2，−sin A2)，b ⃗⃗=(cos A2，−sin A2) .且 a ⃗•b ⃗⃗=−12 ． ② （c-2b ）cosA+acosC=0．③ f (x )=cosxcos (x −π3)+34，f (A )=54 ．注：这三个条件中选一个.补充在上面的问题中并对其进行求解.如果选择多个条件分别解答.按第一个解答计分．【正确答案】：【解析】：根据选择的条件.即可选择对应的知识进行转化.即可求出周长的取值范围．【解答】：解：（1）若选择条件 ① . a ⃗=(−cos A 2，−sin A2)，b ⃗⃗=(cos A 2，−sin A 2) .且 a ⃗•b ⃗⃗=−12. 则cos 2 A2 -sin 2 A2 =cosA= 12 . ∵0＜A ＜π.所以A= π3．若选择条件 ② .则（c-2b ）cosA+acosC=0 由正弦定理可得.（sinC-2sinB ）cosA+sinAcosC=0. 即sin （C+A ）-2sinBcosA=0.解得cosA= 12 . ∵0＜A ＜π.所以A= π3 ．若选择条件 ③ . f (x )=cosxcos (x −π3)+34，f (A )=54 ． f （x ）= 12 [cos （2x- π3 ）+cos π3 ]+ 34 = 12 cos （2x- π3 ）+1 由f （A ）= 54 .可得cos （2A- π3 ）= 12 .又A 为三角形内角. ∴2A - π3= π3.所以A= π3．无论选哪个条件.结果都是A= π3 ．（2）由正弦定理可得. asinA=b sinB=c sinC=12√32=√33. 即b= √33 sinB.c= √33 sinC.所以b+c= √33（sinA+sinB）= √33×2sin π3cos A−B2=cos（A- π3）.而0＜A＜π2 .0＜B= 2π3-A＜π2.所以π6＜A＜π2.即−π6＜A- π3＜π6.cos（A- π3）∈（12.1].l=a+b+c∈（1. 32]．故周长l的取值范围为（1. 32]．【点评】：本题主要考查利用正弦定理解三角形.以及利用三角函数的性质求三角形周长的范围.属于中档题．19.（问答题.12分）平面四边形ABCD.点A.B.C均在半径为2的圆上.且∠BAC=π6．（1）求BC的长；（2）若BD=3.∠DBC=2∠BCD.求△BCD的面积．【正确答案】：【解析】：（1）设△ABC外接圆半径为R.则由正弦定理可求得BC=2Rsin∠BAC．（2）由∠DBC=2∠BCD及正弦定理得CD=2BD•cos∠BCD.再根据余弦定理得CD2=15.cos∠CBD=- 16 .sin ∠CBD=√356.由此能求出△BCD的面积．【解答】：解：（1）由题意得△ABC外接圆半径R=2. ∠BAC=π6.由正弦定理得BC=2Rsin∠BAC=4× 12=2.故BC的长为2．（2）在△BCD中.∵∠DBC=2∠BCD.∴sin∠DBC=sin2∠BCD=2sin∠BCDcos∠BCD.则由正弦定理.得CD=2BD•cos∠BCD.由余弦定理.得cos∠BCD= BC 2+CD2−BD2 2•BC•CD.∴CD= BD(BC2+CD2−BD2)BC•CD.又BC=2.BD=3.解得CD2=15.由余弦定理.得cos∠CBD= BD 2+BC2−CD22BD•BC= 9+2−152×3×2=- 16.∴sin∠CBD= √1−(−16)2= √356．∴△BCD的面积S△BCD= 12×BC×BD×sin∠CBD = √352．【点评】：本题考查三角形的边长、三角形面积的求法.正弦定理、余弦定理的应用等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．20.（问答题.12分）为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求.某市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案.拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）.一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费.超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况.通过抽样.获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨）.将数据按照[0.1）.[1.2）.….[8.9）分成9组.制成了如图所示的频率分布直方图.其中0.4a=b．（1）求直方图中a.b的值.并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；（2）设该市有40万居民.估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数.并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨）.估计x的值.并说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1.列出方程组.能求出a.b．由频率分布直方图能估计该市居民用水的平均数．（2）由频率分布直方图先求出全市居民中月均用水量不低于2吨的频率.由此能求出全市居民中月均用水量不低于2吨的人数．（3）前6组的频率之和是0.88＞0.85.而前5组的频率之和为0.73＜0.85.从而5≤x＜6.由0.15×（x-5）=0.85-0.73.能估计月用水量标准为5.8吨时.85%的居民每月的用水量不超过标准．【解答】：解：（1）由题意得： {0.4a =b0.04+0.08+a +0.2+0.26+a +b +0.04+0.02=1 .解得a=0.15.b=0.06．由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数为：0.5×0.04+1.5×0.08+2.5×0.15+3.5×0.20+4.5×0.26+5.5×0.15+6.5×0.06+7.5×0.04+8.5×0.02≈4.07．（2）由频率分布直方图得：全市居民中月均用水量不低于2吨的频率为：1-0.04-0.08=0.88. ∴全市居民中月均用水量不低于2吨的人数为： 400000×（1-0.04-0.08）=352000．（3）∵前6组的频率之和是0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88＞0.85. 而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73＜0.85. ∴5≤x ＜6.由0.15×（x-5）=0.85-0.73.解得：x=5.8.因此.估计月用水量标准为5.8吨时.85%的居民每月的用水量不超过标准．【点评】：本题考查平均数、频数、用水量标准的求法.考查频率分布直方图等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．21.（问答题.12分）在平面直角坐标系xOy 中.已知以M 为圆心的圆M ：x 2+y 2+12x+14y+60=0及其上一点A （-2.-4）．（1）设圆N 与y 轴相切.与圆M 外切.且圆心N 在直线y=-7上.求圆N 的方程； （2）设垂直于OA 的直线l 与圆M 相交于B.C 两点.且 BC =15OA .求直线l 的方程； （3）设点T （0.t ）满足：存在圆M 上的两点P.Q.使得 TQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−TP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=TA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .求实数t 的取值范围【正确答案】：【解析】：（1）根据题意得圆M 的圆心坐标为（-6.-7）.半径r 为 5.设圆N 的圆心的坐标为（a.-7）.a ＜0由题意可得半径为-a.且|a+6|=-a+5.解得a.进而得到圆N 的方程；（2）由题意可得k OA .且|OA|.设直线l 的方程为：y=- 12 x+m.圆M 的圆心坐标到直线l 的距离d.得弦长|BC|=2 √r 2−d 2 .代入 BC =15OA .所以2 √25−(√5)2= 15 •2√5 .解得m.进而得直线l 的方程．（3）根据题意得 PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = TA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .| PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=| TA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √(t +4)2+22 .因为| PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤10.即 √(t +4)2+22 ≤10.解得实数t 的取值范围．【解答】：解：（1）因为以M 为圆心的圆M ：x 2+y 2+12x+14y+60=0的圆心坐标为（-6.-7）.半径r 为 5.由题意设圆N 的圆心的坐标为（a.-7）.a ＜0由题意可得半径为-a.且|a+6|=-a+5.解得：a=- 12 . 所以圆N 的方程为：（x+ 12 ）2+（y+7）2= 14 ；（2）由题意可得k OA = −4−2=2.且|OA|= √(−2)2+(−4)2 =2 √5 .所以由题意可得直线l 的斜率为- 12 .设直线l 的方程为：y=- 12 x+m.即x+2y-2m=0.圆M 的圆心坐标到直线l 的距离d= √5.所以弦长|BC|=2 √r 2−d 2 =2 √25−(√5)2 . 因为 BC =15OA .所以2 √25−(√5)2= 15•2√5 .解得m=-10± √31 .所以直线l 的方程为：y=- 12x -10+ √31 或y=- 12x -10- √31 ． （3）因为 TQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−TP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=TA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .所以 PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = TA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 即| PQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=| TA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √(t +4)2+22 . 又| PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤10.即 √(t +4)2+22 ≤10.解得-4-4 √6 ≤t≤-4+4 √6 . 故实数t 的取值范围为[-4-4 √6 .-4+4 √6 ．【点评】：本题考查直线.圆的方程.以及直线与圆的相交问题.属于中档题． 22.（问答题.14分）已知函数f （x ）=cosx ． （1）若α.β为锐角. f (α+β)=−√55. tanα=43 .求cos2α及tan （β-α）的值；（2）函数g （x ）=f （2x ）-3.若对任意x 都有g 2（x ）≤（2+a ）g （x ）-2-a 恒成立.求实数a 的最大值；（3）已知 f (α)+f (β)−f (α+β)=32.α.β∈（0.π）.求α及β的值．【正确答案】：【解析】：（1）结合余弦的二倍角公式和弦化切的思想.可得cos2α=cos 2α-sin 2α= cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α = 1−tan 2α1+tan 2α .代入已知数据计算即可；由于α.β为锐角.所以2α∈（0.π）.α+β∈（0.π）.再结合同角三角函数的平方关系和商数关系.可依次求得tan2α= −247.tan （α+β）=-2.然后利用拼凑角的思想和正切的两角差公式可知tan（β-α）=tan （α+β-2α）= tan (α+β)−tan2α1+tan (α+β)tan2α .代入已得数据进行计算即可；（2）g （x ）=f （2x ）-3=cos2x-3.原问题可转化为（cos2x-4）a≥（cos2x-3）2-2（cos2x-3）+2恒成立.设cos2x-4=t.则t∈[-5.-3].所以at≥（t+1）2-2（t+1）+2=t 2+1.则a≤t+ 1t．令y=t+ 1 t .结合对勾函数的性质即可得函数y 的最小值.从而得解；（3）根据同角三角函数的平方关系.结合配方法对等式 f (α)+f (β)−f (α+β)=32 进行变形.可推出sinα-sinβ=0且cosα+cosβ-1=0.再分α=β和α=π-β两种情况.分类讨论即可．【解答】：解：（1）∵tanα= 43 .∴cos2α=cos 2α-sin 2α= cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α = 1−tan 2α1+tan 2α = 1−1691+169 = −725 . ∵α.β为锐角.即 α，β∈(0，π2) .∴2α∈（0.π）.α+β∈（0.π）． ∴sin2α= √1−cos 22α = 2425 .∴tan2α= sin2αcos2α=−247. ∵f （x ）=cosx.∴f （α+β）=cos （α+β）= −√55. ∴sin （α+β）= √1−cos 2(α+β) =2√55 .∴tan （α+β）= sin (α+β)cos (α+β)=-2. ∴tan （β-α）=tan （α+β-2α）= tan (α+β)−tan2α1+tan (α+β)tan2α = −2+2471+2×247= 211 ． 综上.cos2α= −725 .tan （β-α）= 211． （2）g （x ）=f （2x ）-3=cos2x-3.∵对任意x 都有g 2（x ）≤（2+a ）g （x ）-2-a 恒成立.∴（cos2x-3）2≤（2+a ）（cos2x-3）-2-a 恒成立.即（cos2x-4）a≥（cos2x-3）2-2（cos2x-3）+2恒成立.设cos2x-4=t.则t∈[-5.-3].∴at≥（t+1）2-2（t+1）+2=t 2+1.则a≤t+ 1t． 设y=t+ 1 t .由对勾函数的性质可知.函数y 在区间[-5.-3]上为增函数. ∴y=t+ 1 t ≥-5- 15 = −265 .∴a≤ −265. 故a 的最大值为 −265． （3）∵ f (α)+f (β)−f (α+β)=32 . ∴cosα+cosβ-cos （α+β）= 32.∴cosα+cosβ= 32 +cos （α+β）= 12 + 12 （sin 2α+cos 2α）+ 12 （sin 2β+cos 2β）+cosαcosβ-sinαsinβ = 12 + 12 （sin 2α-2sinαsinβ+sin 2β）+ 12 （cos 2α+2cosαcosβ+cos 2β） = 12 + 12 （sinα-sinβ）2+ 12 （cosα+cosβ）2.∴ 12 （sinα-sinβ）2+ 12 [（cosα+cosβ）2-2（cosα+cosβ）+1]=0 即 12 （sinα-sinβ）2+ 12 （cosα+cosβ-1）2=0. ∴sinα-sinβ=0且cosα+cosβ-1=0.当α=β时.cosα=cosβ= 12 .∵α.β∈（0.π）.∴α=β= π3；当α=π-β时.cosα=-cosβ与cosα+cosβ-1=0相矛盾.不符合题意．综上所述.α=β= π3．【点评】：本题主要考查三角恒等变换的混合运算.还涉及函数的恒成立问题.用到了拼凑角和弦化切的思想、参变分离法、对勾函数的性质等.覆盖的知识面非常广.有一定的综合性.考查学生灵活运用知识的能力、逻辑推理能力和运算能力.属于难题．。

江苏省2020年高一下学期期中数学试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二下·保山期末) “ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分）是第四象限角，，则（）A .B .C .D .3. （2分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的解析式是（）A . y=2sin（x+）B . y=2sin（x+）C . y=2sin（x+）D . y=2sin（x+）4. （2分）各项都是正数的等比数列的公比，且成等差数列，则的值为（）A .B .C .D . 或5. （2分） (2020高一下·和平期中) 在中，内角的对边分别是，若，，则 A= （）A . 30°B . 60°C . 45°D . 150°6. （2分）(2016·运城模拟) 为了研究钟表与三角函数的关系，以9点与3点所在直线为x轴，以6点与12点为y轴，设秒针针尖指向位置P（x，y），若初始位置为P0（，），秒针从P0（注此时t=0）开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t（秒）的函数关系为（）A . y=sin（ t+ ）B . y=sin（ t﹣）C . y=sin（﹣ t+ ）D . y=sin（﹣ t﹣）7. （2分） (2020高一下·焦作期末) 已知线性相关的变量，，设其样本点为（），回归直线方程为，若（为坐标原点），则（）A . 3B .C .D .8. （2分） (2019高一下·成都月考) 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式是A .B .C .D .9. （2分） (2020高一下·大庆期中) 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高三上·吉林月考) 一艘轮船从A出发，沿南偏东的方向航行40海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东35°的方向航行了海里到达海岛C．如果下次航行直接从A出发到C，此船航行的方向和路程（海里）分别为（）A . 北偏东，B . 北偏东，C . 北偏东，D . 北偏东，11. （2分）一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（）A . 20（ + ）海里/时B . 20（﹣）海里/时C . 20（ + ）海里/时D . 20（﹣）海里/时12. （2分） (2017高一上·和平期末) 函数f（x）= sin（ + ）（x∈R）的最小正周期是（）A .B . πC . 2πD . 4π二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·河北模拟) 已知向量，若向量与共线，则向量在向量放向上的投影为________．14. （1分） (2020高一下·丽水期中) 已知数列的前n项和，则________15. （1分）(2018·台州模拟) 已知的面积为，内角所对的边分别为，且成等比数列，，则的最小值为________.16. （1分） (2016高一下·安徽期中) 正项数列{an}的前n项和为Sn ，且2Sn=an2+an（n∈N*），设cn=（﹣1）n ，则数列{cn}的前2017项的和为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2017高三上·綦江期末) 如图，在△ABC中，AB=2， cos2B+5cosB﹣ =0，且点D在线段BC上．（1）若∠ADC= ，求AD的长；（2）若BD=2DC， =4 ，求△ABD的面积．18. （5分）已知函数f（x）=2sinxcos（x﹣）+sin（2x+）（x∈R）（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和最小值．19. （10分） (2019高二下·汕尾期末) 在中，，，所对的边为a，b，c，满足.（1）求A的值；（2）若，，则的周长.20. （10分） (2017高三上·嘉兴期中) 已知函数 .（1）求函数的单调递增区间；（2）若，求的值.21. （10分） (2018高三上·哈尔滨月考) 已知数列满足，且， . （1）设，证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和 .22. （5分）(2019·天津模拟) 在中，内角所对的边分别为 . ，， .（Ⅰ）求边的值；（Ⅱ）求的值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。

2020-2021学年江苏省无锡市锡山区天一中学强化班高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 函数f(x)=√1−e x +√x+3的定义域为( )A. (−3,0]B. (−3,1]C. (−∞,−3)∪(−3,0]D. (−∞,−3)∪(−3,1]2. “x =2kπ+π6,k ∈Z ”是“sinx =12”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知扇形的弧长为3π2，圆心角为π2，则该扇形的面积为( )A. π4B. π6C. π2D. 9π44. 函数y =log 13(6−x −x 2)的单调递增区间是( ) A. [−12,+∞)B. [−12,2)C. (−∞,−12]D. (−3,−12]5. 已知非零向量a ⃗ ,b ⃗ 满足|a ⃗ |=4|b ⃗ |，且(a ⃗ −2b ⃗ )⊥b ⃗ ，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π66. 已知函数f(x)=lg(4x −13x −m)，若对任意的x ∈[−1,1]使得f(x)≤1成立，则实数m 的取值范围为( )A. [−193,+∞)B. (−∞,−114)C. [−193,−114]D. [−193,−114)7. 已知函数f(x)=ln(x 2−1)+2x +2−x ，则使不等式f(x +1)<f(2x)成立的x 的取值范围是( )A. (−∞,−1)∪(1,+∞)B. (1,+∞)C. (−∞,−13)∪(1,+∞)D. (−∞,−2)∪(1,+∞)8. 已知不共线向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角为θ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−t)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤t ≤1)，|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |在t =t 0处取最小值，当0<t 0<15时，θ的取值范围为( )A. (0,π3)B. (π3,π2)C. (π2,2π3)D. (2π3,π)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(其中A >0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )A. φ=−2π3B. 函数f(x)图象的对称轴为直线x =kπ2+7π12(k ∈Z)C. 将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)=2sin(2x −π3)的图象 D. 若f(x)在区间[2π3,a]上的值域为[−A,√3]，则实数a 的取值范围为[13π12,3π2]10. 已知x ，y 是正数，且2x +y =1，下列叙述正确的是( )A. xy 最大值为18 B. 4x 2+y 2的最小值为12 C. x(x +y)最大值为14D.x+2y 2xy最小值为411. 在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，AC ，AB 中点，下列说法正确的是( )A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗B. DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ C. 若AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的投影向量 D. 若点P 是线段AD 上的动点，且满足BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λμ的最大值为1812. 已知直线y =−x +2分别与函数y =e x 和y =lnx 的图象交于点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则下列结论正确的是( )A. x 1+x 2=2B. e x 1+e x 2>2eC. x 1lnx 2+x 2lnx 1<0D. x 1x 2>√e2三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知幂函数f(x)=(m 2−3m +1)x m2−4m+1的图象不过原点，则实数m 的值为 ．14. 设α，β∈(0,π)，cosα，cosβ是方程6x 2−3x −2=0的两根，则sinαsinβ= ．15. 设函数f(x)={2cos π3x,x ∈[−6,6]12|x|,x ∈(−∞,−6)∪(6,+∞)，若关于x 的方程[f(x)]2+af(x)+1=0(a ∈R)有且仅有6个不同的实根，则实数a 的取值范围是 ．16. 在平面四边形ABCD 中，点E 、F 分别是边AD 、BC 的中点，且AB =1，EF =√2，CD =√3，若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =15，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 从给出的两个条件①a =1，②a =2，③a =3中选出一个，补充在下面问题中，并完成解答.已知集合A ={0,a +2}，B ={0,1，a 2}.(1)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数a 的值； (2)已知_____，若集合C 含有两个元素且满足C ⊆(A ∪B)，求集合C ．18. 已知函数f(x)=2√3sinωxcosωx +2cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π．(1)求ω以及函数f(x)的对称中心； (2)已知f(x 0)=115,x 0∈[π6,π3]，求cos2x 0的值．19. 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =2，AC =3，D 是BC 的中点，点E 满足AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC⃗⃗⃗⃗⃗ ，BE 与AD 交于点G ．(1)设AG⃗⃗⃗⃗⃗ =λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数λ的值； (2)设H 是BE 上一点，且HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求GH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．20. 某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金y(单位：元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，奖金不超过90万元，同时奖金不超过投资收益的20%，即假定奖励方案模拟函数为y =f(x)时，该公司对函数模型的基本要求是：当x ∈[25,1600]时，①f(x)是增函数；②f(x)≤90恒成立；③f(x)≤x5恒成立． (1)现有两个奖励函数模型：(Ⅰ)f(x)=115x +10；(Ⅱ)f(x)=2√x −6.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？(2)已知函数f(x)=a √x −10(a ≥2)符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值范围．21. 对于集合Ω={θ1,θ2,…,θn }和常数θ0，定义：μ=cos 2(θ1−θ0)+cos 2(θ2−θ0)+⋯+cos 2(θn −θ0)n为集合Ω相对θ0的“余弦方差”．(1)若集合Ω={π3,π4}，θ0=0，求集合Ω相对θ0的“余弦方差”；(2)若集合Ω={π3,2π3,π}，证明集合Ω相对于任何常数θ0的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数；(3)若集合Ω={π4,α,β}，α∈[0,π)，β∈[π,2π)，相对于任何常数θ0的“余弦方差”是一个常数，求α，β的值．22.已知M={x∈R|x≠0且x≠1}，f n(x)(n=1,2，…)是定义在M上的一系列函数，满足：f1(x)=x，f i+1(x)=f i(x−1x)(i∈N+).(1)求f3(x)，f4(x)的解析式；(2)若g(x)为定义在M上的函数，且g(x)+g(x−1x)=1+x．①求g(x)的解析式；②若方程(2x−1−m)(2x(x−1)g(x)+3x2+x+1)+8x2+4x+2=0有且仅有一个实根，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】 【分析】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解． 【解答】解：要使原函数有意义，则{1−e x ≥0x +3>0，解得−3<x ≤0． ∴函数f(x)=√1−e x √x+3的定义域为(−3,0]． 故选：A ．2.【答案】A【解析】 【分析】本题考查了充分必要条件，考查三角函数问题，属于基础题． 根据充分必要条件的定义判断即可． 【解答】解：由“x =2kπ+π6,k ∈Z ”能推出“sinx =12”，是充分条件， 由“sinx =12”推不出“x =2kπ+π6,k ∈Z ”，比如x =5π6，不是必要条件，故“x =2kπ+π6,k ∈Z ”是“sinx =12”的充分不必要条件， 故选：A ．3.【答案】D【解析】 【分析】本题考查了弧长公式与扇形的面积计算公式，属于基础题．利用扇形的弧长公式可求扇形的半径，根据扇形的面积公式即可求解． 【解答】解：扇形的圆心角θ=lr =3π2r=π2， 所以r =3，则扇形的面积S =12lr =12×3π2×3=94π．故选：D ．4.【答案】B【解析】 【分析】本题的考点是复合函数的单调性，对于对数函数需要先求出定义域，这也是容易出错的地方；再把原函数分成几个基本初等函数分别判断单调性，再利用“同增异减”求原函数的单调性．先根据对数函数的真数大于零求定义域，再把复合函数分成二次函数和对数函数，分别在定义域内判断两个基本初等函数的单调性，再由“同增异减”求原函数的递增区间． 【解答】解：要使函数有意义，则6−x −x 2>0，解得−3<x <2， 故函数的定义域是(−3,2)， 令t =−x 2−x +6=−(x +12)2+254，则函数t 在(−3,−12)上单调递增，在[−12,2)上单调递减， 又因函数y =log 13x 在定义域上单调递减， 故由复合函数的单调性知y =log 13(6−x −x 2)的单调递增区间是[−12,2)． 故选：B ．5.【答案】B【解析】 【分析】根据题意，设向量a ⃗ ，b ⃗ 夹角为θ，且|b ⃗ |=t ，由向量垂直的性质可得(a ⃗ −2b ⃗ )⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅b ⃗ −2b ⃗ 2=0，由数量积运算性质可得cosθ的值，结合θ的范围分析可得答案． 本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于一般题． 【解答】解：根据题意，设向量a ⃗ ，b ⃗ 夹角为θ，|b ⃗ |=t ，则|a ⃗ |=4|b ⃗ |=4t ，若(a ⃗ −2b ⃗ )⊥b ⃗ ，则(a ⃗ −2b ⃗ )⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅b ⃗ −2b ⃗ 2=4t 2cosθ−2t 2=0， 则有cosθ=12，又由θ∈[0,π]，则θ=π3， 故选：B ．6.【答案】D【解析】 【分析】利用对数的不等式的解法将不等式转化为0<4x −13x −m ≤10，然后利用参变量分离转化为{m <4x −13xm ≥4x−13x −10，研究函数y =4x−13x 在[−1,1]上的单调性，求出函数的最值，即可得到m 的取值范围．本题考查了不等式恒成立问题，涉及了对数不等式的解法、函数单调性的判断与应用，要掌握不等式恒成立问题的常规解法：参变量分离法、数形结合法、最值法，属于较难题． 【解答】解：对任意的x ∈[−1,1]使得f(x)≤1成立， 即lg(4x −13x −m)≤1，可得0<4x −13x −m ≤10， 则有{m <4x −13xm ≥4x−13x −10， 因为y =4x 在[−1,1]上为增函数，函数y =13x 在[−1,1]上为减函数，所以函数y=4x−13x在[−1,1]上为增函数，故y min=14−3=−114，y max=4−13=113，所以113−10≤m<−114，则实数m的取值范围为[−193,−114)．故选：D．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查了偶函数的定义及判断，判断函数单调性的方法，增函数的定义，二次函数和对数函数的单调性，以及绝对值不等式的解法，考查了推理和计算能力，属于中档题．容易看出f(x)是(−∞,−1)∪(1,+∞)上的偶函数，可设g(x)=2x+2−x，根据函数单调性的定义可判断g(x)在(1,+∞)上是增函数，从而判断出f(x)在(1,+∞)上是增函数，这样即可由f(x+1)<f(2x)得出f(|x+1|)<f(|2x|)，进而得出{|x+1|>1|2x|>1|x+1|<|2x|，解出x的范围即可．【解答】解：易得f(x)是(−∞,−1)∪(1,+∞)上的偶函数，设g(x)=2x+2−x，任取1<x1<x2，则g(x1)−g(x2)=2x1+2−x1−(2x2+2−x2)=2x1−2x2+2x2−2x1 2x1·2x2=(2x1−2x2)(2x1·2x2−12x1·2x2)，∵1<x1<x2，∴2x1−2x2<0,2x1·2x2−1>0,2x1·2x2>0,∴g(x1)−g(x2)<0，即g(x1)<g(x2)，∴g(x)在(1,+∞)上是增函数，且y=ln(x2−1)在(1,+∞)上是增函数，∴f(x)在(1,+∞)上是增函数，∴由f(x+1)<f(2x)得，f(|x+1|)<f(|2x|)，∴{|x +1|>1|2x|>1|x +1|<|2x|, ∴{(x +1)2>12x >1或2x <−1(x +1)2<(2x)2，解得x <−2或x >1， ∴x 的取值范围是：(−∞,−2)∪(1,+∞)． 故选：D ．8.【答案】C【解析】 【分析】本题考查了平面向量的线性运算、向量模的运算及向量夹角的取值范围．由平面向量的线性运算得：得：PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −(1−t)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由向量模的运算得：|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −(1−t)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=(5+4cosθ)t 2−2(1+2cosθ)t +1，由二次函数的性质可得：当t =t 0=1+2cosθ5+4cosθ时，|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |取最小值，再求向量夹角的取值范围即可．【解答】解：由题意有：不共线向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角为θ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2， 由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−t)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤t ≤1)， 得：PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −(1−t)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −(1−t)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2 =(5+4cosθ)t 2−2(1+2cosθ)t +1，由二次函数的性质有：当t =t 0=1+2cosθ5+4cosθ时，|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |取最小值，即0<1+2cosθ5+4cosθ<15， 解得−12<cosθ<0， 又θ∈[0,π]， 即θ∈(π2,2π3)，故选：C ．9.【答案】ABD【解析】【分析】本题主要考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查三角函数的性质，图象的平移变换，属于拔高题．根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质，逐项判断即可得到结论．【解答】解：由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象知，A=2，且34T=7π12−(−π6)=34π，所以T=π，解得ω=2πT=2，又f(7π12)=2sin(2×7π12+φ)=2，所以sin(7π6+φ)=1，即7π6+φ=π2+2kπ，k∈Z，又|φ|<π，所以φ=−2π3，故选项A正确；所以f(x)=2sin(2x−2π3).令2x−2π3=kπ+π2，k∈Z，解得x=kπ2+7π12，k∈Z，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x=kπ2+7π12(k∈Z)，故选项B正确；将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)=2sin(2x+2π3−2π3)=2sin2x，故选项C错误；x∈[2π3,a]，则2x−2π3∈[2π3,2a−2π3]，因为f(x)在区间[2π3,a]上的值域为[−A,√3]，即[−2,√3]，且f(2π3)=2sin2π3=√3，所以3π2≤2a−2π3≤7π3，解得13π12≤a≤3π2，即实数a的取值范围为[13π12,3π2]，故D正确．故选：ABD．10.【答案】AB【解析】【分析】由已知结合基本不等式及一些常见的结论分别检验各选项即可判断．本题主要考查了利用基本不等式求解最值．【解答】解：∵x ，y 是正数，且1=2x +y ≥2√2xy ，当且仅当2x =y 且2x +y =1即y =12，x =14时取等号，∴解可得，xy ≤18，即xy 的最大值18，A 正确；4x 2+y 2=(2x +y)2−4xy =1−4xy ≥1−4×18=12，当且仅当2x =y 且2x +y =1即y =12，x =14时取得最小值12，B 正确； 因为2x +y =1， 所以y =1−2x ，所以x(x +y)=x(1−x)⩽(x+1−x 2)2=14，当且仅当x =1−x 即y =0，x =12时取等号，结合已知可知，等号取不到，即没有最大值，C 错误； 因为x+2y2xy =12(1y +2x )=12(4x+2yx+2x+y y)=12(5+2y x+2xy )≥12(5+4)=92，当且仅当2yx =2xy且2x +y =1即x =y =13时取等号，D 不正确． 故选：AB ．11.【答案】BCD【解析】 【分析】本题主要考查平面向量的加法，减法的几何意义，数形结合为解决本题的关键，属于中档题．对选项 A ，B ，利用平面向量的加减法即可判断A 错误，B 正确．对选项C ，首先根据已知得到AD 为∠BAC 的平分线，即AD ⊥BC ，再利用平面向量的投影概念即可判断C 正确．对选项D ，首先根据A ，P ，D 三点共线，设BP⃗⃗⃗⃗⃗ =t BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,0≤t ≤1，再根据已知得到{λ=t μ=1−t 2，从而得到y =λμ=t(1−t 2)=−12(t −12)2+18，即可判断选项 D正确． 【解答】 解：如图所示：对选项A,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠0⃗ ，故A 错误； 对选项B ，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−12(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB⃗⃗⃗⃗⃗ ) =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −12CB⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 故B 正确；对选项C,AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |分别表示平行于AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的单位向量， 由平面向量加法可知：AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |为∠BAC 的平分线表示的向量，为为AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，所以AD 为∠BAC 的平分线，又因为AD 为BC 的中线，所以AD ⊥BC ，如图所示：BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的投影为|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |， 所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的投影向量，故选项 C 正确； 对选项 D ，如图所示：因为P 在AD 上，即A ，P ，D 三点共线， 设BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,0≤t ≤1， 又因为BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则{λ=t μ=1−t 2，0≤t ≤1， 令y =λμ=t ×1−t 2=−12(t −12)2+18，t =12时，λμ取得最大值为18.故选项D 正确． 故选：BCD ．12.【答案】ABC【解析】 【分析】先根据题意画出图形，由函数y =lnx 和函数y =e x 是互为反函数，知函数y =lnx 及函数y =e x 的图象关于直线y =x 对称，y =−x +2也是关于直线y =x 对称，然后由直线y =−x +2与函数y =lnx 及函数y =e x 的图象的交点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)也关于直线y =x 对称，得出x 2=y 1，再根据A(x 1,y 1)在y =−x +2上，后面再结合基本不等式、函数的零点存在定理等逐一判断即可．本小题主要考查函数对称性的应用、反函数、函数零点存在定理等知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于拔高题． 【解答】解：画出图形，如图，由于函数y =lnx 和函数y =e x 是互为反函数，故函数y =lnx 及函数y =e x 的图象关于直线y =x 对称， 因为直线y =−x +2也关于直线y =x 对称，从而直线y =−x +2与函数=y =lnx 及函数y =e x 的图象的交点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2) 也关于直线y =x 对称，∴x 2=y 1，x 1=y 2，又A(x 1,y 1)在y =−x +2上，即有x 1+y 1=2，故x 1+x 2=2，故选项A 正确； e x 1+e x 2>2√e x 1⋅e x 2=2√e x 1+x 2=2e ，故B 正确；将y =−x +2与y =e x 联立可得−x +2=e x ，即e x +x −2=0， 设f(x)=e x +x −2，则函数f(x)为单调递增函数，因为f(0)=1+0−2=−1<0，f(12)=e 12+12−2=e 12−32>0，故函数f(x)的零点在(0,12)上，即0<x 1<12，由x 1+x 2=2得，32<x 2<2，x 1lnx 2+x 2lnx 1=x 1lnx 2−x 2ln 1x 1<x 1lnx 2−x 2lnx 2=(x 1−x 2)lnx 2<0，故C 正确．将y=−x+2与y=lnx联立可得−x+2=lnx，即2−x−lnx=0，记g(x)=2−x−lnx，则g(1)=1>0，g(√e)=2−√e−12=32−√e<0，则1<x2<√e，又x1x2=(2−x2)x2=x2lnx2，易知函数y=xlnx在(1,√e)上单调递增，故x1x2=x2lnx2<√eln√e=√e2，故选项D错误．故选：ABC．13.【答案】3【解析】【分析】本题考查了幂函数的定义，熟练掌握幂函数的定义，性质是解题的关键．根据幂函数的定义求出m的值，验证函数图象是否过原点即可．【解答】解：由题意得：m2−3m+1=1，解得：m=0或m=3，m=0时，f(x)=x，过原点，m=3时，f(x)=1x2，不过原点，故m=3，故答案为：3．14.【答案】√76【解析】【分析】本题主要考查利用同角三角函数基本关系化简，结合根与系数之间的关系，利用转化法进行求解是解决本题的关键，是中档题．根据根与系数之间的关系，得到cosαcosβ，cosα+cosβ的值，然后利用同角的三角函数关系进行转化求解即可．【解答】解：∵cosα，cosβ是方程6x 2−3x −2=0的两根， ∴cosαcosβ=−26=−13，cosα+cosβ=−−36=12， (sinαsinβ)2=sin 2αsin 2β =(1−cos 2α)(1−cos 2β) =1−cos 2α−cos 2β+cos 2αcos 2β =(1+cosαcosβ)2−(cosα+cosβ)2=(1−13)2−14=49−14=736，∵α，β∈(0,π)，∴sinαsinβ>0， 则sinαsinβ=√76，故答案为：√76．15.【答案】(−∞,−52)∪{52}【解析】 【分析】作出函数f(x)的图象，设f(x)=t ，设关于t 2+at +1=0有两个不同的实数根t 1，t 2，则方程f(x)=t 1与f(x)=t 2有2个根和4个根，或0个根和6个根，或3个根与3个根，利用二次方程根的分别列出关于实数a 的不等式组，解之即可． 本题考查了函数零点与方程根的关系，属于中档题． 【解答】解：作出函数f(x)的简图如图，令f(x)=t ，要使方程[f(x)]2+af(x)+1=0(a ∈R)有且仅有6个不同的实根， 则方程t 2+at +1=0有两个不同的实数根t 1，t 2，t 1⋅t 2=1，且由图可知方程f(x)=t 1与f(x)=t 2有2个根和4个根，或0个根和6个根，或3个根与3个根，当方程f(x)=t 1与f(x)=t 2有2个根和4个根时，t 1=−2，t 2=−12，此时a =52；当方程f(x)=t 1与f(x)=t 2有6个根和0个根时，t 1∈(0,12)，t 2∈(2,+∞)，设g(t)=t 2+at +1，则有{g(0)=1>0g(12)=54+12a <0g(2)=5+2a <0，解得a <−52；当方程f(x)=t 1与f(x)=t 2有3个根和3个根时，t 1=t 2=2，不满足t 1⋅t 2=1，故不可能，所以实数a 的取值范围是(−∞,−52)∪{52}. 故答案为：(−∞,−52)∪{52}.16.【答案】13【解析】 【分析】本题考查了两个向量的加减运算的应用问题，也考查了平面向量的几何意义以及平面向量的数量积的应用问题，是中档题．画出图形，结合图形，先求出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值，再利用AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =15，求出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值． 【解答】 解：如图所示，设AB ∩DC =O ，∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =EF ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗2，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =EF⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，两式相加得EF⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2； ∵AB =1，EF =√2，CD =√3，平方得2=1+3+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗4；∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2； 又∵AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =15， 即(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=15； ∴OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15， ∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(15+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =15+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =15+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =15+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =15−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =15−2 =13． 故答案为：13．17.【答案】解：(1)因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，所以A ⫋B ，当a +2=1时，即a =−1时，不满足互异性，不符合题意； 当a +2=a 2时，即a =−1或a =2时，可知a =2符合题意； 所以a =2； (2)若选①：则B ={0,1，1}，不满足互异性，不符合题意； 若选②：A ={0,4}，B ={0,1，4}，所以A ∪B ={0,1，4}， 所以C ={0,1}，C ={0,4}，C ={1,4}； 若选③：A ={0,5}，B ={0,1，9}， 所以A ∪B ={0,1，5，9}，所以C ={0,1}，C ={0,5}，C ={0,9}，C ={1,5}，C ={1,9}，C ={5,9}．【解析】本题考查了充分条件与必要条件的判断、集合与集合关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．(1)利用“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，得到A⫋B，分情况求解即可；(2)分别选择①②③进行研究，利用集合与集合之间的关系进行分析求解即可．18.【答案】解：(1)∵函数f(x)=2√3sinωxcosωx+2cos2ωx=√3sin2ωx+cos2ωx+1 =2sin(2ωx+π6)+1(ω>0)的最小正周期为π，∴2π2ω=π，∴ω=1，f(x)=2sin(2x+π6)+1．令2x+π6=kπ，k∈Z.求得x=kπ2−π12，k∈Z．可得f(x)的对称中心为(kπ2−π12,1)，k∈Z．(2)∵f(x0)=2sin(2x0+π6)+1=115,x0∈[π6,π3]，∴sin(2x0+π6)=35，结合2x0+π6∈[π2,5π6]，可得cos(2x0+π6)=−√1−sin2(2x0+π6)=−45，∴cos2x0=cos[(2x0+π6)−π6]=cos(2x0+π6)cosπ6+sin(2x0+π6)sinπ6=−45×√32+35×12=3−4√310．【解析】(1)由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和对称中心，得出结论．(2)先由题意求出sin(2x0+π6)的值，可得cos(2x0+π6)的值，再利用两角差的余弦公式，求得cos2x0=cos[(2x0+π6)−π6]的值．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和对称中心，两角和差的三角公式，属于中档题．19.【答案】解：以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A(0,0)，B(0,2)，C(3,0)． (1)由AE⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得E(2,0)， 所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2)．由D 是BC 的中点，得D(32,1)， 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,1)． 设G(x,y)，则AG⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)，BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y −2)． 因为A 、G 、D 三点共线， 所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ //AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即x =32y ，① 因为B 、G 、E 三点共线，所以BG ⃗⃗⃗⃗⃗ //BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即2(y −2)=−2x ，② 联立①②解得点G 的坐标为(65,45)，所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗=(65,45)． 所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗=45AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以实数λ的值为45． (2)设H(t,−t +2)，则HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−t,−2+t)，HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−t,t)，HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−t,t −2)． 因为HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以(−t)2+t(t −2)=−t(3−t)+(t −2)2， 解得t =45，所以H 的坐标为(45,65)，所以GH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−25,25)． 又BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−2)，所以GH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−25×3+25×(−2)=−2．【解析】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力，属于拔高题．建立平面直角坐标系，求出各点坐标．(1)根据向量共线的性质求出G 的坐标，分别求出两个向量AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，即可求解； (2)根据等式求出H 的坐标，进而求得结论．20.【答案】解：(1)对于函数(Ⅰ)，∵f(30)=12>305=6，即函数(Ⅰ)不符合条件③，∴函数f(x)=115x +10不符合公司奖励方案函数模型的要求； 对于函数(Ⅱ)，当x ∈[25,1600]时，f(x)是增函数， 且f(x)max =f(1600)=2×40−6=74<90， ∴f(x)≤90恒成立．设ℎ(x)=2√x −6−x5=−15(√x −5)2−1， ∵√x ∈[5,40]，∴当√x =5时，ℎ(x)max =−1≤0，得f(x)≤x5恒成立． ∴函数(Ⅱ)f(x)=2√x −6符合公司要求． (2)∵a ≥2，∴函数f(x)=a √x −10满足条件①，由函数f(x)满足条件②得：a √1600−10≤90，解得a ≤52， 由函数f(x)满足条件③得，a √x −10≤x5对x ∈[25,1600]恒成立， 即a ≤√x 5+√x对x ∈[25,1600]恒成立，∵√x 5+√x ≥2√√x510√x=2√2，当且仅当√x 5=√x ，即x =50时等号成立， ∴a ≤2√2．综上所述，实数a 的取值范围是[2,52].【解析】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用配方法、基本不等式及函数的单调性求最值，考查运算求解能力，是中档题．(1)由f(30)=12>6，说明函数(Ⅰ)不符合公司奖励方案函数模型的要求；验证函数模型(Ⅱ)满足题目给出的三个条件，说明函数(Ⅱ)f(x)=2√x −6符合公司要求; (2)由a ≥2，说明函数f(x)满足条件①，再求解不等式及利用基本不等式求最值求出满足条件②③的a 的范围，取交集可得实数a 的取值范围．21.【答案】解：(1)当集合为Ω={π3,π4}，θ0=0时，集合Ω相对θ0的“余弦方差μ=cos 2(π3−0)+cos 2(π4−0)2=38； (2)当集合Ω={π3,2π3,π}时，集合Ω相对于常数θ0的“余弦方差”μ=cos 2(π3−θ0)+cos 2(2π3−θ0)+cos 2(π−θ0)3=(12cosθ0+√32sinθ0)2+(−12cosθ0+√32sinθ0)2+cos 2θ03=12cos 2θ0+32sin 2θ0+cos 2θ03=12∴此时“余弦方差”是一个常数，且常数为12； (3)当集合Ω={π4,α,β}，α∈[0,π)，β∈[π,2π)时，集合Ω相对于任何常数θ0的“余弦方差”μ=cos 2(π4−θ0)+cos 2(α−θ0)+cos 2(β−θ0)3=13⋅[(12+cos 2α+cos 2β)cos 2θ0+(1+sin2α+sin2β)sinθ0cosθ0+(12+sin 2α+sin 2β)sin 2θ0]要是上式是一个常数，则1+sin2α+sin2β=0且12+cos 2α+cos 2β=12+sin 2α+sin 2β由α∈[0,π)，β∈[π,2π)取α=7π12，β=11π12可满足上式．【解析】本题考查新定义，涉及三角函数的恒等变换，属拔高题． (1)直接代入定义求解即可；(2)代入定义，利用三角恒等变换化简求值即可；(3)代入定义化简，得到1+sin2α+sin2β=0且12+cos 2α+cos 2β=12+sin 2α+sin 2β 由α∈[0,π)，β∈[π,2π)即可得解．22.【答案】解：(1)由f 1(x)=x ，f i+1(x)=f i (x−1x)(i ∈N +)，可得f 2(x)=f 1(x−1x)=1−1x，f 3(x)=f 2(x−1x)=1−1x−1x=11− x ，f 4(x)=f 3(x−1x)=11−x−1x=x ；(2)①利用(1)中的结论，用x−1x代替x 两次，分别得到{g(x−1x )+g(11−x )=2−1x g(11−x )+g(x)=1−1x−1g(x)+g(x−1x )=1+x，消去g(x−1x)，g(11−x )，可得g(x)=x 3−x 2−12x(x−1)(x ≠0,x ≠1)．②由①可得(2x −1−m)[2x(x −1)⋅x 3−x 2−12x(x−1)+3x 2+x +1]+8x 2+4x +2=0，所以(2x −1−m)(x 3+2x 2+x)+8x 2+4x +2=0， 即(2x −1−m)x(x +1)2+8x 2+4x +2=0， 因为(x +1)2≥0，8x 2+4x +2>0恒成立，要使方程(2x −1−m)(2x(x −1)g(x)+3x 2+x +1)+8x 2+4x +2=0有且仅有一个实根，所以只需x(2x −1−m)<0有负实数解，且原方程有且只有一个负根， 则m+12<0，解得m <−1．即m 的取值范围是(−∞,−1)．【解析】本题考查函数方程的关系，以及函数的解析式的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于拔高题．(1)由新定义函数，即可得到所求解析式； (2)①利用(1)中的结论，用x−1x代替x 两次，计算可得所求；②求得原方程(2x −1−m)(x 3+2x 2+x)+8x 2+4x +2=0，转化为只需x(2x −1−m)<0有负实数解，即可得到所求范围．。

江苏省无锡市锡山区天一中学2021-2022学年高一上学期期中数学试卷（强化班）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合U＝R，A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1}B．{x|x≤1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|1≤x＜2} 2．下列各式中，表示y是x的函数的有（）①y＝x﹣（x﹣3）；②；③；④．A．4个B．3个C．2个D．1个3．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题不正确的是（）A．若a＞b＞0，则B．若a，b∈R，则C．若a＞b＞0且c＞0，则D．若a＜b，则ac2＜bc24．命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥5B．a≥4C．a≤5D．a≥65．函数f（x）＝﹣2x+的图象大致是（）A．B．C．D．6．函数的递减区间是（）A．（﹣1，0）B．（﹣∞，﹣1）和（0，1）C．（0，1）D．（﹣∞，﹣1）和（0，+∞）7．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝{x|x2﹣3ax+4＜0}，若a＞0，且A∩B中恰好有两个整数解，则a的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）、g（x）是定义在R上的函数，其中f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）+g（x）＝ax2﹣x+2，若对于任意1＜x1＜x2＜2，都有，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，0）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列叙述中正确的是（）A．a，b，c∈R，若二次方程ax2+bx+c＝0无实根，则ac＞0B．“a＞0且Δ＝b2﹣4ac≤0”是“关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是R”的充要条件C．“a＜﹣1”是“方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件D．“a＞1”是“”的充分不必要条件10．若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{x|ax2＝2，x∈R}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a可能的取值为（）A．0B．1C．D．﹣111．已知a，b＞0，a+b2＝1，则下列选项一定正确的是（）A．B．的最大值为C．a+2b的最大值为2D．12．已知定义在[1，+∞）上的函数，下列结论正确的为（）A．函数f（x）的值域为[0，+∞）B．当x∈[4，8]时，函数f（x）所有输出值中的最大值为4C．函数f（x）在x∈[10，16]上单调递减D．f（2021）＝54三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第14题第一空2分，第二空3分13．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则当x＜0时，f（x）＝．14．已知命题p：∃x0∈[]，2x02﹣λx0+1＜0，则命题p的否定为；若命题p为真命题，则λ的取值范围为．15．已知函数y＝f（x+1）是定义域为R的偶函数，f（x）在[1，+∞）上单调递减，且f（5）＝0，则不等式的解集为．16．已知非负实数a，b满足a+b＝2，则的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．设全集U＝R，集合A＝{x|x（x﹣5）＜0}，非空集合B＝{x|1﹣2a2≤x≤1+2a}，其中a∈R．（1）当a＝1时，求（∁R A）∩∁R B）；（2）若“x∈A”是“x∈B”的_____条件，求a的取值范围，（请在“①充分；②必要”两个条件中选一个条件填入横线后作答）18．已知f（x）是二次函数，且满足f（0）＝2，f（x+2）﹣f（x）＝2x+4．（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈[m，m+1]，其中m∈R，求f（x）的最小值．19．已知定义域为R的函数f（x）＝x3+x+a是奇函数．（1）求a的值；（2）证明：函数f（x）在R上是增函数；（3）若对任意的t∈R，不等式f（kt2+kt）+f（kt﹣1）＜0恒成立，求实数k的取值范围．20．某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个正八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图（如图）是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字形区域．现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2．（1）设总造价为S元，AD的长为xm，试建立S关于x的函数关系式．（2）计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区？21．已知函数，其中a∈R．（1）当a＝1时，求f（x）的值域；（2）函数y＝f（x）能否成为定义域上的单调函数，如果能，则求出实数a的范围；如果不能，则给出理由；（3）f（x）≥﹣2在其定义域上恒成立，求实数a的取值范围．22．对于函数f（x）＝ax2+（1+b）x+b﹣1（a≠0），存在实数x0，使f（x0）＝mx0，成立，则称x0为f（x）关于参数m的不动点．（1）当a＝1，b＝﹣2时，求f（x）关于参数1的不动点；（2）当a＝1，b＝2时，函数f（x）在x∈（0，2]上存在两个关于参数m的相异的不动点，试求参数m的取值范围；（3）对于任意的，总存在b∈[2，5]，使得函数f（x）有关于参数m的两个相异的不动点，试求m的取值范围．江苏省无锡市锡山区天一中学2021-2022学年高一上学期期中数学试卷（强化班）【参考答案】一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合U＝R，A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1}B．{x|x≤1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|1≤x＜2}【分析】利用不等式的解法化简集合A，求出∁R B，可得图中阴影部分表示的集合为（∁R B）∩A【解答】解：A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＜1}，∁R B＝{x|x≥1}则图中阴影部分表示的集合为（∁R B）∩A＝{x|1≤x＜2}．故选：D．【点评】本题考查了集合与集合之间的关系、不等式的解法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2．下列各式中，表示y是x的函数的有（）①y＝x﹣（x﹣3）；②；③；④．A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据函数的定义即可判断．【解答】解：根据函数的定义，当自变量x在它的允许取值范围内任意取一个值，y都有唯一确定的值与之对应，故①④表示y是x的函数，在②中由，知x∈∅，因为函数定义域不能是空集，所以②不表示y是x的函数，在③中，当x＝0时，y对应的两个值，故不表示y是x的函数，，故选：C．【点评】本题主要考查函数的定义及其构成要素，准确理解函数的概念，是解题的关键．3．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题不正确的是（）A．若a＞b＞0，则B．若a，b∈R，则C．若a＞b＞0且c＞0，则D．若a＜b，则ac2＜bc2【分析】直接利用不等式的性质判断A、B、C、D的结论．【解答】解：对于A：由于a＞b＞0，所以，故A正确；对于B：根据基本不等式，，故B正确；对于C：若a＞b＞0且c＞0，则，故C正确；对于D：当c＝0时，不等式不成立．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．4．命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥5B．a≥4C．a≤5D．a≥6【分析】首先求得实数a的取值范围，然后结合选项确定满足题意的条件即可．【解答】解：由于函数在区间[1，2]上单调递减，故函数在区间上的最大值为，从而，据此可得命题为真的一个充分不必要有条件为a≥6．故选：D．【点评】本题主要考查函数的单调性及其应用，恒成立问题的处理方法，充分不必要条件的判定等知识，属于基础题．5．函数f（x）＝﹣2x+的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】由函数解析式易知x＜0时，f（x）＞0，且f（2）＜0，由此利用排除法得解．【解答】解：当x＜0时，，故排除选项BD；又，故排除选项A．故选：C．【点评】本题考查函数图象的运用，考查数形结合思想，属于基础题．6．函数的递减区间是（）A．（﹣1，0）B．（﹣∞，﹣1）和（0，1）C．（0，1）D．（﹣∞，﹣1）和（0，+∞）【分析】分x≥0和x＜0两种情况，利用复合函数单调性的判断法则求解即可．【解答】解：当x≥0时，f（x）＝，由﹣x2+1≥0，解得﹣1≤x≤1，又t＝﹣x2+1的单调递减区间为（0，+∞），且y＝为单调递增函数，所以f（x）的单调递减区间为（0，1）；当x＜0时，f（x）＝，因为t＝（x+1）2的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），且y＝为单调递增函数，所以f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1）．综上所述，f（x）的单调递减区间为（0，1）和（﹣∞，﹣1）．故选：B．【点评】本题考查了复合函数单调性的判断，含有绝对值函数的应用，二次函数以及幂函数单调性的应用，属于中档题．7．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝{x|x2﹣3ax+4＜0}，若a＞0，且A∩B中恰好有两个整数解，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】依题意，可求得集合A＝（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），B＝（，），要使A∩B中恰好有两个整数解，分析可知，只能是3和4，再列式求解即可．【解答】解：A＝（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），令f（x）＝x2﹣3ax+4，由题意，Δ＝9a2﹣16＞0，且a＞0，∴解得a＞，B＝（，），又0＜＝＜2，∴要使A∩B中恰好有两个整数解，则只能是3和4，令f（x）＝x2﹣3ax+4，则，解得＜a≤，∴a的取值范围是（，]．故选：C．【点评】本题考查集合关系中的参数取值问题，考查一元二次方程和一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．8．已知函数f（x）、g（x）是定义在R上的函数，其中f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）+g（x）＝ax2﹣x+2，若对于任意1＜x1＜x2＜2，都有，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，0）【分析】由已知结合函数的奇偶性可求g（x），由函数的单调性定义分析可得＞0，令h（x）＝g（x）+4x，则h（x）＝g（x）+4x在（1，2）上单调递增，而h（x）＝g（x）+4x＝ax2+4x+2，结合二次函数的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）+g（x）＝ax2﹣x+2，则f（﹣x）+g（﹣x）＝ax2+x+2，两式相加可得f（x）+f（﹣x）+g（x）+g（﹣x）＝2ax2+4，又由f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）是定义在R上的偶函数，所以2g（x）＝2ax2+4，即g（x）＝ax2+2，若对于任意1＜x1＜x2＜2，都有，变形可得＞0，令h（x）＝g（x）+4x，则h（x）＝g（x）+4x在（1，2）上单调递增，所以h（x）＝g（x）+4x＝ax2+4x+2，若a＝0，则h（x）＝4x+2在（1，2）上单调递增，满足题意；若a≠0，则h（x）＝ax2+4x+2是对称轴为x＝﹣的二次函数，若h（x）在（1，2）上单调递增，只需或，解得a＞0或﹣1≤a＜0，综上，a≥﹣1．即a的取值范围为[﹣1，+∞）．故选：C．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数解析式的计算，关键是求出g（x）的解析式．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列叙述中正确的是（）A．a，b，c∈R，若二次方程ax2+bx+c＝0无实根，则ac＞0B．“a＞0且Δ＝b2﹣4ac≤0”是“关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是R”的充要条件C．“a＜﹣1”是“方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件D．“a＞1”是“”的充分不必要条件【分析】利用一元二次方程的根与判别式之间的关系可判断A的正误，利用充分条件、必要条件及充要条件的概念可判断BCD的正误．【解答】解：对于A，若二次方程ax2+bx+c＝0无实根，则Δ＝b2﹣4ac＜0⇔ac＞b2≥0，故A正确；对于B，若关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是R，则a＝b＝0，c≥0或a＞0且Δ＝b2﹣4ac≤0，故“a＞0且Δ＝b2﹣4ac≤0”是“关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是R”的充分不必要条件，故B错误；对于C，若方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根，则a＜0，故“a＜﹣1”是“方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根”的充分不必要条件，故C错误；对于D，若a＞1，则，反之，不可，则“a＞1”是“”的充分不必要条件，故D正确，故选：AD．【点评】本题考查充分条件、必要条件及充要条件的概念，考查一元二次不等式及其应用，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题．10．若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{x|ax2＝2，x∈R}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a可能的取值为（）A．0B．1C．D．﹣1【分析】根据新定义对a的值分类讨论，当a＝0或a＝﹣1时，集合B＝∅，此时满足B⊆A，则集合A，B构成“鲸吞”，当a＞0时，B＝{﹣}，此时集合A，B只能构成“蚕食”，然后讨论集合A，B的公共元素，进而可以求解．【解答】解：当a＝0或a＝﹣1时，集合B＝∅，此时满足B⊆A，则集合A，B构成“鲸吞”，当a＞0时，B＝{﹣}，此时集合A，B只能构成“蚕食”，所以当A，B集合有公共元素﹣＝﹣1时，解得a＝2，当A，B集合的公共元素为时，解得a＝，故选：ACD．【点评】本题考查了新定义的应用以及集合元素的性质，涉及到集合的包含关系的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．11．已知a，b＞0，a+b2＝1，则下列选项一定正确的是（）A．B．的最大值为C．a+2b的最大值为2D．【分析】利用基本不等式可判断A、B的正误；将a＝1﹣b2＞0，代入a+2b，利用配方法可判断C的正误；利用乘“1”法可判断D的正误．【解答】解：对于A，∵a，b＞0，a+b2＝1，∴+b≤＝（当且仅当a＝b2＝，即a＝，b＝时取等号），故A错误；对于B，1＝a+b2≥2b⇒b≤（当且仅当a＝b2＝，即a＝，b＝时取等号），即的最大值为，故B正确；对于C，∵a，b＞0，a+b2＝1，∴a＝1﹣b2＞0，∴0＜b＜1，∴a+2b＝1﹣b2+2b＝﹣（b﹣1）2+2＜2，故C错误；对于D，＝（）（a+b2）＝1+4++≥5+2＝9（当且仅当＝，即2a＝b2，即a＝，b＝时取等号），故D正确；故选：BD．【点评】本题考查基本不等式及其应用，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．12．已知定义在[1，+∞）上的函数，下列结论正确的为（）A．函数f（x）的值域为[0，+∞）B．当x∈[4，8]时，函数f（x）所有输出值中的最大值为4C．函数f（x）在x∈[10，16]上单调递减D．f（2021）＝54【分析】通过对函数f（x）的分析，可以得到函数f（x）的图象，进而求出函数f（x）的值域，以及BCD三个选项的正确与否．【解答】解：当1≤x≤2时，﹣≤x﹣≤，所以0≤|x﹣|，0≤2|x﹣|≤1，当2＜x≤4时，1＜≤2，故f（）∈[0，1]，2f（）＝[0，2]，以此类推，我们作出函数f（x）的图象，如图，可以总结出f（x）在[2m，3×2m﹣1）上单调递增，在（3x2m﹣1，2m﹣1]上单调递减，且在[2m，2m+1]上，当x＝3×2m﹣1处取得最大值，f（3×2m﹣1）＝2m，函数f（x）的值域为[0，+∞），A正确；当x∈[4，8]时，函数f（x）所有输出值中的最大值为4，B正确；函数f（x）在x∈[10，12]上单调递增，在x∈（12，16]单调递减，故C错误；因为2021∈（3×29，211]，所以l经过点（2048，0）与（1536，1024），设直线：y＝kx+b，从而得到，解得：y＝﹣2x+4096，所以当x＝2021时，y＝﹣2×2021+4096＝54，D正确．故选：ABD．【点评】本题考查分段函数的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第14题第一空2分，第二空3分13．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则当x＜0时，f（x）＝x ﹣．【分析】由奇函数的定义和已知区间上的解析式，转化可得所求解析式．【解答】解：函数f（x）为奇函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x），当x＞0时，，当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）＝﹣x+＝﹣f（x），所以x＜0时，f（x）＝x﹣．故答案为：x﹣．【点评】本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．14．已知命题p：∃x0∈[]，2x02﹣λx0+1＜0，则命题p的否定为∀x∈[，2]，2x2﹣λx+1≥0；若命题p为真命题，则λ的取值范围为．【分析】命题的否定，存在改为任意．【解答】解：命题P的否定为∀x∈[]，2x2﹣λx+1≥0．因为命题P为真，分离参量得λ＞2x0+，其中，故答案为：．【点评】本题考查了存在量词和全称量词的转换，也考查了存在性问题含参不等式的求解，考查基本功，难度不大．15．已知函数y＝f（x+1）是定义域为R的偶函数，f（x）在[1，+∞）上单调递减，且f（5）＝0，则不等式的解集为（﹣3，﹣2）∪（5，+∞）．【分析】根据函数y＝f（x+1）是定义域为R的偶函数，f（x）在[1，+∞）上单调递减，且f（5）＝0，可得函数值正负的分布情况，等价于或，从而可得出答案．【解答】解：因为函数y＝f（x+1）是定义域为R的偶函数，则函数y＝f（x+1）关于y轴对称，又函数y＝f（x）是由函数y＝f（x+1）向右平移1个单位得到的，所以函数y＝f（x）关于x＝1对称，因为函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，且f（5）＝0，则函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，且f（﹣3）＝0，所以当1≤x＜5时，f（x）＞0，当x＞5时，f（x）＜0，当﹣3＜x＜1时，f（x）＞0，当x＜﹣3时，f（x）＜0，由，得或，所以或，解得x＞5或﹣3＜x＜﹣2，即不等式的解集为（﹣3，﹣2）∪（5，+∞）．故答案为：（﹣3，﹣2）∪（5，+∞）．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查利用函数的性质解不等式，考查运算求解能力，属于中档题．16．已知非负实数a，b满足a+b＝2，则的最小值为6．【分析】根据，利用基本不等式即可得出答案，注意同时取等号．【解答】解：因为a+b＝2，所以＝＝．当且仅当，即a＝0，b＝2时取等号，所以的最小值为6．故答案为：6．【点评】本题主要考查基本不等式求最值的方法，属于基础题．四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．设全集U＝R，集合A＝{x|x（x﹣5）＜0}，非空集合B＝{x|1﹣2a2≤x≤1+2a}，其中a∈R．（1）当a＝1时，求（∁R A）∩∁R B）；（2）若“x∈A”是“x∈B”的_____条件，求a的取值范围，（请在“①充分；②必要”两个条件中选一个条件填入横线后作答）【分析】（1）a＝1时，求出集合B，由此能求出（∁R A）∩∁R B）；（2）选①可得，由此能求出实数a的取值范围；选②可得，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，B＝{x|﹣1≤x≤3}，A＝{x|x（x﹣5）＜0}＝{x|0＜x＜5}，∴∁R A＝{x|x≤0或x≥5}，∁R B＝{x|x＜﹣1或x＞3}，∴（∁R A）∩∁R B）＝{x|x＜﹣1或x≥5}；（2）若选①充分，∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，∴，解得a≥2，故a的取值范围为{a|a≥2}；若选②必要，∵“x∈A”是“x∈B”的必要条件，∴，解得0≤a＜，故a的取值范围为{a|0≤a＜}．【点评】本题考查交集、补集、实数的取值范围的求法，考查交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．已知f（x）是二次函数，且满足f（0）＝2，f（x+2）﹣f（x）＝2x+4．（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈[m，m+1]，其中m∈R，求f（x）的最小值．【分析】（1）设f（x）的解析式，得到关于a，b的方程，解出即可求出f（x）的解析式；（2）通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可．【解答】解：（1）设f（x）＝ax2+bx+c，由f（0）＝2，则c＝2，又f（x+2）﹣f（x）＝2x+4，则a（x+2）2+b（x+2）+c﹣（ax2+bx+c）＝2x+4，则4ax+4a+2b＝2x+4，则，解得：，故f（x）＝x2+x+2；（2）由f（x）＝x2+x+2，对称轴是x＝﹣1，①m+1≤﹣1即m≤﹣2时，f（x）在[m，m+1]递减，f（x）min＝f（m+1）＝m2+2m+，②m＜﹣1＜m+1即﹣2＜m＜﹣1时，f（x）在[m，﹣1）递减，在（﹣1，m+1]递增，故f（x）min＝f（﹣1）＝；③m≥﹣1时，f（x）在[m，m+1]递增，f（x）min＝f（m）＝m2+m+2；综上：f（x）min＝．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查二次函数的性质，是中档题．19．已知定义域为R的函数f（x）＝x3+x+a是奇函数．（1）求a的值；（2）证明：函数f（x）在R上是增函数；（3）若对任意的t∈R，不等式f（kt2+kt）+f（kt﹣1）＜0恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）利用奇函数的定义可求a的值；（2）根据函数单调性的定义可证明函数f（x）在R上是增函数；（3）根据函数的奇偶性和单调性可得关于x的不等式，根据判断式的符号可求实数的取值范围．【解答】（1）解：因为f（x）为奇函数，故f（﹣x）＝﹣f（x）即f（x）+f（﹣x）＝0，所以x3+x+a+（﹣x）3+（﹣x）+a＝0，可得a＝0．（2）证明：任意x1、x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝x13+x1+a﹣（x23+x2+a）＝x13﹣x23+x1﹣x2＝（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22+1）＝（x1﹣x2）[（x1+x2）2+x22+1]，因为x1＜x2，故x1﹣x2＜0，而[（x1+x2）2+x22+1＞0，故f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在R上是增函数．（3）不等式f（kt2+kt）+f（kt﹣1）＜0等价于f（kt2+kt）＜﹣f（kt﹣1），因为f（x）为奇函数，故f（kt2+kt）＜f（﹣kt+1）对任意的t∈R恒成立，因为f（x）在R上是增函数，所以kt2+kt＜﹣kt+1对任意的t∈R恒成立，即kt2+2kt﹣1＜0对任意的t∈R恒成立，若k＝0，则不等式﹣1＜0对任意的t∈R恒成立，故符合；若k≠0，则，解得﹣1＜k＜0，综上，﹣1＜k≤0，即实数k的取值范围（﹣1，0]．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查函数恒成立问题，考查分类讨论思想与转化思想的应用，考查运算求解能力，属于中档题．20．某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个正八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图（如图）是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字形区域．现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2．（1）设总造价为S元，AD的长为xm，试建立S关于x的函数关系式．（2）计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区？【分析】（1）设DQ＝y，则x2+4xy＝200，所以y＝，代入S＝4 200x2+210×4xy+80×4×y2，化简即可得到结果．（2）利用基本不等式即可求出S的最小值．【解答】解：（1）设DQ＝y，则x2+4xy＝200，所以y＝，∴S＝4 200x2+210×4xy+80×4×y2＝38 000+4 000x2+，即S＝38 000+4 000x2+（0＜x＜10）．（2）S＝38 000+4 000x2+≥38 000+2＝118 000，当且仅当4 000x2＝，即x＝时，S min＝118 000（元）．故计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区．【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了基本不等式的应用，是中档题．21．已知函数，其中a∈R．（1）当a＝1时，求f（x）的值域；（2）函数y＝f（x）能否成为定义域上的单调函数，如果能，则求出实数a的范围；如果不能，则给出理由；（3）f（x）≥﹣2在其定义域上恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）当a＝1时，求得函数解析式，分别求得各段函数的值域，从而求得函数值域；（2）对a分类讨论，根据x∈（1，2]段函数单调性判断原函数单调性，从而求得参数范围；（3）由f（x）≥﹣2在其定义域上恒成立，分离参数化为恒成立，分别求得分段函数上的最大值，从而求得的范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝，则x∈（0，1）时，f（x）∈[1，3]；当x∈（1，2]时，f（x）∈[，1），则f（x）的值域为[，3]，（2）若函数y＝f（x）在定义域上单调，当a＞0时，因在x∈（1，2]上函数单减，则y＝f（x）单调递减，则满足，解得a≥1，当a＝0时，函数无单调性，不符合题意，当a＜0时，因在x∈（1，2]上函数单增，则y＝f（x）单调递增，则满足，解得a≤﹣2，综上所述，若使函数y＝f（x）为定义域上的单调函数，实数a的范围为（﹣∞，2]∪[1，+∞），（3）由f（x）≥﹣2在其定义域上恒成立，即f（x）＝，化简得恒成立，当x∈[0，1]时，由＝＝3﹣x+﹣6，令t＝3﹣x∈[2，3]，h（t）＝t+﹣6，由对勾函数单调性知，函数h（t）在t＝2时，取最大值h（2）＝﹣，则a，当x∈（1，2]时，满足，即a≥﹣2，综上所述，f（x）≥﹣2在其定义域上恒成立，实数a的取值范围为[﹣．+∞）．【点评】本题考查分段函数的值域和单调性的判断和运用，考查分类讨论思想方法和化简运算能力，以及不等式恒成立问题解法，属于中档题．22．对于函数f（x）＝ax2+（1+b）x+b﹣1（a≠0），存在实数x0，使f（x0）＝mx0，成立，则称x0为f（x）关于参数m的不动点．（1）当a＝1，b＝﹣2时，求f（x）关于参数1的不动点；（2）当a＝1，b＝2时，函数f（x）在x∈（0，2]上存在两个关于参数m的相异的不动点，试求参数m的取值范围；（3）对于任意的，总存在b∈[2，5]，使得函数f（x）有关于参数m的两个相异的不动点，试求m的取值范围．【分析】（1）当a＝1，b＝−2时，结合已知可得f（x）＝x2−x−3＝x，解方程可求；（2）当a＝1，b＝﹣2时，转化为问题f（x）＝x2+3x+1＝mx在（0，2]上有两个不同实数解，进行分离，结合二次函数的性质可求．（3）方程f（x）＝mx恒有两个不等实根，即Δ＞0，即对于任意的，总存在b∈[2，5]使之成立，转化为，令，再分类讨论即可求解．【解答】解：（1）当a＝1，b＝−2时，f（x）＝x2−x−3，令f（x）＝x，可得x2−x−3＝x，即x2−2x−3＝0，解得x＝3 或x＝−1，当a＝1，b＝−2 时，关于参数1的不动点为﹣1和3；（2）由已知得为问题f（x）＝x2+3x+1＝mx在（0，2]上有两个不同实数解，即x2+（3−m）x+1＝0在x∈（0，2]上有两个不同解，令g（x）＝x2+（3−m）x+1，所以，解得，所以m的范围是（5，]．（3）由题意知，函数f（x）有关于参数m的两个相异的不动点，所以方程f（x）＝mx，即ax2+（b+1−m）x+b−1＝0（a≠0）恒有两个不等实根，则Δ＝（b+1−m）2−4a（b−1）＞0，即，对任意的，总存在b∈[2，5]使之成立，即，即，令，根据二次函数性质，令，则b−1＝|m−2|，解得：b＝|m−2|+1，①当|m−2|+1≤2，即1≤m≤3 时，函数h（b）在[2，5]单调递增，则，解得：m＜1或m＞5，综上：m≤−2或m≥6，②当2＜|m−2|+1＜5，即m≤−2 或m≥6时，函数h（b）在[2，5]单调递减，则解得：m＜1或m＞5，综上：m≤−2或m≥6③2＜|m−2|+1＜5，即m∈（−2，1）∪（3，6）时，函数h（b）在[2，5]先减后增，h（b）max＝max{h（5），h（2）}，令h（5）＞h（2），解得：m∈（−4，0），1°故m∈（−2，0）时，h（b）max＝h（5）＞4，结合①得：m∈[0，1）∪（5，6），2°故m∈[0，1）∪（3，6）时，h（b）max＝h（2）＞4，结合②得：m∈[0，1）∪（5，6），综上：m∈（−∞，2）∪（5，+∞）．【点评】本题考查函数的图象与性质，考查学生的运算能力，属于难题．21。

天一中学2021-2021学年高一数学下学期期中试题〔平行班，含解析〕一、填空题〔本大题一一共14小题，每一小题5分，一共计70分.不需写出解答过程， 请把答案写在答题纸的规定的正确位置上〕{}{}2,3,4,3,5A B ==,那么A B =_____.【答案】{3} 【解析】 【分析】直接进展交集的运算即可．【详解】解：∵A ＝{2，3，4}，B ＝{3，5}； ∴A ∩B ＝{3}． 故答案为：{3}．【点睛】考察列举法的定义以及交集的运算，属于根底题.2.在极坐标系中，点2,2A π⎛⎫⎪⎝⎭到直线(cos )6ρθθ+=的间隔 为_____.【答案】【解析】 【分析】把点的极坐标化为直角坐标，把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的间隔 公式求出A 到直线的间隔 ．【详解】解：点A 〔2，2π〕的直角坐标为〔0，2〕，直线ρ〔cos θsin θ〕＝6的直角坐标方程为 x ﹣6＝0，利用点到直线的间隔 公式可得，点A 〔2，2π〕到直线ρ〔cos θθ〕＝6的间隔 为|6|2故答案为 【点睛】此题主要考察把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的间隔 公式的应用，属于根底题．3.假设“3x >〞是“x m >〞的必要不充分条件，那么m 的取值范围是________． 【答案】3m > 【解析】 【分析】由题，“3x >〞是“x m >〞的必要不充分条件，那么(),m +∞是()3,+∞的真子集，可得答案.【详解】因为“3x >〞是“x m >〞的必要不充分条件， 所以(),m +∞是()3,+∞的真子集，所以3m >， 故答案为3m >.【点睛】此题考察了不要不充分条件，属于根底题.()2f x log x =在点()A 2,1处切线的斜率为______【答案】12ln2【解析】 【分析】求得函数的导数()1'ln2f x x =，计算得()1'22ln2f =，即可得到切线的斜率． 【详解】由题意，函数()2log f x x =，那么()1'ln2f x x =，所以()1'22ln2f =，即切线的斜率为12ln2，故答案为：12ln2．【点睛】此题主要考察了利用导数求解曲线在某点处的切线的斜率，其中解答中熟记导数的几何意义的应用，以及准确求解函数的导数是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题．2个男生、3个女生中随机抽取2人，那么抽中的2人不全是女生的概率是____. 【答案】710【解析】 【分析】根本领件总数n ＝25C ＝10，抽中的2人不全是女生包含的根本领件个数m ＝211223C C C +＝7，由此能求出抽中的2人不全是女生的概率．【详解】解：从2个男生、3个女生中随机抽取2人， 根本领件总数n ＝25C ＝10，抽中的2人不全是女生包含的根本领件个数m ＝211223C C C +＝7， ∴抽中的2人不全是女生的概率p ＝710m n =． 故答案为：710． 【点睛】此题考察古典概型、排列组合等根底知识，考察运算求解才能，是根底题．()sin(2)f x x π=+的图象向右平移4π个单位后,得到函数()g x 的图象，那么()4g π的值是____. 【答案】0 【解析】 【分析】利用函数y ＝A sin 〔ωx +φ〕的图象变换规律求得g 〔x 〕的解析式，再代入4π后可得g 〔4π〕的值．【详解】解：将函数f 〔x 〕＝sin 〔2x +π〕的图象向右平移4π个单位后， 得到函数g 〔x 〕＝sin[2〔x ﹣4π〕+π]＝cos2x 的图象，那么g 〔4π〕＝cos 〔2×4π〕＝0， 故答案为：0．【点睛】此题主要考察诱导公式的应用，函数y ＝A sin 〔ωx +φ〕的图象平移变换，属于根底题．sin y x x =+在[0,]π上的单调减区间为______.【答案】,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】首先根据两角和与差的公式化简，然后利用正弦函数的单调递减区间可得． 【详解】解：∵y ＝2sin 〔x +3π〕， 由2π+2k π≤x +3π≤32π+2k π，k ∈Z ．得6π+2k π≤x ≤76π+2k π，k ∈Z ，又x ∈[0，π]，∴x ∈,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故答案为：,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】此题考察了正弦函数的单调性，考察了三角函数辅助角公式，属中档题．()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，01x <<时，()4x f x =，5()(2019)2f f -+的值是____. 【答案】2- 【解析】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性与周期性分析可得f 〔﹣52〕＝f 〔﹣12〕＝﹣f 〔12〕，结合解析式求出f 〔12〕的值，又因为f 〔2021〕＝f 〔1+2×1009〕＝f 〔1〕＝0；据此分析可得答案．【详解】解：根据题意，函数f 〔x 〕是定义在R 上的周期为2的奇函数， 那么f 〔﹣52〕＝f 〔﹣12〕＝﹣f 〔12〕，f 〔2021〕＝f 〔1+2×1009〕＝f 〔1〕，又由函数f 〔x 〕是定义在R 上的周期为2的奇函数，那么有f 〔1〕＝f 〔﹣1〕且f 〔1〕＝﹣f 〔﹣1〕，故f 〔1〕＝0，那么f 〔2021〕＝0 ，又由0＜x ＜l 时，f 〔x 〕＝4x，那么f 〔12〕＝124＝2，那么f 〔﹣52〕＝﹣f 〔12〕＝﹣2； 那么5f f (2019)2⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝﹣2； 故答案为：﹣2【点睛】此题考察函数的周期性与函数值的计算，属于根底题．1106,0114A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，假设矩阵C 满足AC B =，那么矩阵C 的所有特征值之和为____.【答案】5 【解析】 【分析】此题根据矩阵乘法运算解出矩阵C ，再根据特征多项式求出特征值，即可得到所有特征值之和．【详解】解：由题意，可设C ＝a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，那么有1101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦•a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝0614⎡⎤⎢⎥-⎣⎦．即0614a c b d c d +=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪-=-⎩，解得a 1b 2c 1d 4=⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩．∴C ＝1214⎡⎤⎢⎥-⎣⎦．∵f 〔λ〕＝1214λλ---＝〔λ﹣1〕〔λ﹣4〕+2＝λ2﹣5λ+6＝〔λ﹣2〕〔λ﹣3〕＝0，∴特征值λ1＝2，λ2＝3． ∴λ1+λ2＝2+3＝5． 故答案为：5．【点睛】此题主要考察矩阵乘法运算及根据特征多项式求出特征值，此题不难，但有一定综合性．此题属根底题． 10.1sin()64x π+=，那么 25sin()cos ()63x x ππ-+-的值是_____. 【答案】516【解析】 【分析】 由sin 〔x +6π〕的值，利用同角三角函数间的根本关系求出cos 2〔x +6π〕的值，将所求式子的第一项中的角56x π-变形为π-〔x +6π〕，第二项中的角3x π-变形为2π﹣〔x +6π〕，分别利用诱导公式化简后，将各自的值代入即可求出值． 【详解】解：∵sin 〔x +6π〕＝14， 25sin()cos ()63x x ππ-+- =2sin cos 626x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =2sin sin 66x x ππ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=11416+=516故答案为：516. 【点睛】此题考察了运用诱导公式化简求值，纯熟掌握诱导公式，灵敏变换角度是解此题的关键，属于根底题.11.函数 2(),()4xf x e xg x x bx =-=-+,假设对任意1(1,1)x ∈-,存在2(3,4)x ∈,12()()f x g x ≥，那么实数b 的取值范围为_____.【答案】[4,)+∞ 【解析】 【分析】利用导数求函数f 〔x 〕在〔﹣1，1〕上的最小值，把对任意x 1∈〔﹣1，1〕，存在x 2∈〔3，4〕，f 〔x 1〕≥g 〔x 2〕转化为g 〔x 〕在〔3，4〕上的最小值小于等于1有解． 【详解】解：由f 〔x 〕＝e x﹣x ，得f ′〔x 〕＝e x﹣1，当x ∈〔﹣1，0〕时，f ′〔x 〕＜0，当x ∈〔0，1〕时，f ′〔x 〕＞0， ∴f 〔x 〕在〔﹣1，0〕上单调递减，在〔0，1〕上单调递增， ∴f 〔x 〕min ＝f 〔0〕＝1．对任意x 1∈〔﹣1，1〕，存在x 2∈〔3，4〕，f 〔x 1〕≥g 〔x 2〕， 即g 〔x 〕在〔3，4〕上的最小值小于等于1， 函数g 〔x 〕＝x 2﹣bx +4的对称轴为x ＝2b． 当2b≤3，即b ≤6时，g 〔x 〕在〔3，4〕上单调递增，g 〔x 〕＞g 〔3〕＝13﹣3b ， 由13﹣3b ≤1，得b ≥4，∴4≤b ≤6；当2b≥4，即b ≥8时，g 〔x 〕在〔3，4〕上单调递减，g 〔x 〕＞g 〔4〕＝20﹣4b ， 由20﹣4b ≤1，得b ≥194，∴b ≥8； 当3＜2b ＜4，即6＜b ＜8时，g 〔x 〕在〔3，4〕上先减后增，2min ()424b b g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，由244b -≤1，解得23b -或者b 23≥，∴6＜b ＜8．综上，实数b 的取值范围为[4，+∞〕． 故答案为：[4，+∞〕．【点睛】此题考察函数的导数的应用，函数的单调性以及最值的求法，考察分类讨论思想以及转化思想的应用，考察计算才能，是中档题．()4log ,0413,42x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，假设a b c <<且()()()f a f b f c ==，那么()1cab +的取值范围是___________． 【答案】()16,64 【解析】作出函数()4log ,0413,42x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩的图象，如下图．∵a b c <<时，()()()f a f b f c ==，∴44log log a b -=，即44log log =0a b +，那么4log =0ab ，∴11464a b c <<<<<<，且1ab =，∴()4616212264cc ab =<+=<=，即()1cab +的取值范围是()16,64，故答案为()16,64.3,4,5,6cm cm cm cm的四根木条围成一个平面四边形，那么该平面四边形面积的最大值是____2cm.【答案】【解析】【分析】在四边形ABCD中，设AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，A+C＝2α，利用余弦定理可得S ABCD2+1 16〔〔a2+d2﹣b2﹣c2〕2＝14〔ad+bc〕2﹣abcd cos2α≤14〔ad+bc〕2，设a＝3，b＝4，c＝5，d＝6，代入计算可得所求最大值．【详解】在四边形ABCD中，设AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，A+C＝2α，由S ABCD＝S△BAD+S△BCD＝12ad sin A+12bc sin C，①在△ABD中，BD2＝a2+d2﹣2ad cos A，在△BCD中，BD2＝b2+c2﹣2bc cos C，所以有a2+d2﹣b2﹣c2＝2ad cos A﹣2bc cos C，1 4〔a2+d2﹣b2﹣c2〕＝12ad cos A﹣12bc cos C，②①2+②2可得S ABCD2+116〔〔a2+d2﹣b2﹣c2〕2＝14〔a2d2sin2A+b2c2sin2C+2abcd sin A sin C〕+14〔a2d2cos2A+b2c2cos2C﹣2abcd cos A cos C〕＝14[a2d2+b2c2﹣2abcd cos〔A+C〕]＝14[〔ad+bc〕2﹣2abcd﹣2abcd cos2α]＝14〔ad+bc〕2﹣abcd cos2α≤14〔ad+bc〕2．当α＝90°，即四边形为圆内接四边形，此时cosα＝0，S ABCD由题意可设a＝3，b＝4，c＝5，d＝6那么该平面四边形面积的最大值为S＝〔cm2〕，故答案为：．【点睛】此题考察四边形的面积的最值求法，运用三角形的面积公式和余弦定理，以及化简变形，得到四边形为圆内接四边形时面积获得最大值，是解题的关键，属于难题．ABC ∆中，假设sin 2cos cos C A B =，那么22cos cos A B +的最大值为______.【答案】212【解析】 【分析】 先由题得222cos cos cos 2cos cos cos 1A B C A B C +++=，再化简得22cos cos A B +=12)224C π-+，再利用三角函数的图像和性质求出最大值. 【详解】在△ABC 中，有222cos cos cos 2cos cos cos 1A B C A B C +++=, 所以22cos cos A B +=1+cos 2111sin cos (sin 2cos 2)222C C C C C --=-+ =1212)2242C π-+≤,当sin(2)=-14C π+即58C π=时取等. 故答案为：212【点睛】此题主要考察三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考察学生对这些知识的理解才能掌握程度.解题的关键是三角恒等变换.二、解答题〔本大题一一共6小题，一共计90分，解容许写出必要的文字说明，证明过程或者演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内〕15.〔1〕求直线:20l x y -+=在矩阵3012M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦对应变换作用下的直线l 的方程；〔2〕在平面直角坐标系xOy 中，曲线cos :1sin x C y αα=⎧⎨=+⎩以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线lcos()24πθ+=-，求曲线C 与直线l 交点的极坐标(0,0<2)ρθπ≥≤.【答案】〔1〕 20x y -+=；〔2〕3,2,42ππ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭. 【解析】 【分析】〔1〕设直线上任意一点(,)P x y ，在矩阵M 对应变换作用下的点(,)P x y '，然后矩阵的变换列出关系式，代入原直线方程即可求出变换后的直线.〔2〕将曲线C 和直线方程转化为直角坐标系下的直角坐标方程，求出交点坐标，然后再转化为极坐标即可.【详解】〔1〕设直线上任意一点(,)P x y ，在矩阵M 对应变换作用下的点(,)P x y '那么3012x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎣'⎦⎦'，所以32x x x y y ''=⎧⎨-+=⎩，解得1311'62x x y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+'⎩'⎪. 因为点(,)P x y 在直线上，所以11120362x x y '''⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，即3120x y ''-+=， 所以变换后的直线l '的方程为3120x y -+=.〔2〕曲线cos :1sin x C y a α=⎧⎨=+⎩〔α为参数〕， 转换为直角坐标方程为：22(1)1y x +-=， 直线l 'cos 24π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭θ． 转换为直角坐标方程为：20x y -+=.由22(1)120x y x y ⎧+-=⎨-+=⎩，解得：11x y =-⎧⎨=⎩或者02x y =⎧⎨=⎩转换为极坐标为32,42ππ⎫⎛⎫⎪⎪⎭⎝⎭. 【点睛】此题考察矩阵变换公式和点的坐标变换，考察极坐标与直角坐标的互换，属于根底题.16.甲、乙两位同学进入新华书店购置数学课外阅读书籍，经过挑选后，他们都对,,A B C 三种书籍有购置意向，甲同学购置书籍,,A B C 的概率分别为311,,423,乙同学购置书籍,,A B C 的概率分别为211,,322,假设甲、乙是否购置,,A B C 三种书籍互相HY.〔1〕求甲同学购置3种书籍的概率；〔2〕设甲、乙同学购置2种书籍的人数为X ,求X 的概率分布列和数学期望. 【答案】〔1〕18；〔2〕分布列见解析，56.【解析】 【分析】〔1〕这是互相HY 事件，所以甲购置书籍的概率直接相乘即可.〔2〕根本领件为甲购置两本书和乙购置两本书的概率，所以先求出根本领件的概率，然后再求分布列. 【详解】〔1〕记“甲同学购置3种书籍〞为事件A ，那么3111()4238P A =⨯⨯=. 答：甲同学购置3种书籍的概率为18. 〔2〕设甲、乙同学购置2种书籍的概率分别为1p ，2p . 那么131********42342342312p =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，2211211111532232232212p =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，所以12p p =，所以5~2,12X B ⎛⎫⎪⎝⎭. 02025749(0)1212144P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11125770(1)1212144P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2225725(2)1212144P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以X 的概率分布为X 0 1 2P49144 70144251444970255()0121441441446E X =⨯+⨯+⨯=. 答：所求数学期望为56.【点睛】此题考察互相HY 事件的概率，考察二项分布HY 重复事件的概率的求法，解题的关键是找出根本领件的概率，属于中档题.17.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2ACB π∠=，,D E 分别是1,AB BB 的中点，且AC BC ==12AA =.〔1〕求直线1BC 与1A D 所成角的大小； 〔2〕求直线1A E 与平面1A CD 所成角的正弦值.【答案】〔1〕6π；〔2〕．【解析】试题分析：由有AC 、BC 、CC 1两两互相垂直，故可分别以、、所在直线为,,x y z轴建立空间直角坐标系.然后由就可写出所需各点的空间坐标．〔1〕由此就可写出向量的坐标，然后再由两向量的夹角公式：cos ,a b a b a b⋅=求出这两向量的夹角的余弦值，最后转化为对应两直线的夹角大小；只是应该注意两直线的夹角的取值范围是，而两向量的夹角的取值范围是；所以求出两向量的夹角的余弦值后取绝对值才是两直线的夹角的余弦值；〔2〕由中点坐标公式可求得点Ｅ的坐标，进而就可写出向量的坐标，再设平面的一个法向量为(,,)e x y z =,由10{CA e CD e ⋅=⋅=,就可求出平面的一个法向量，从而就可求得这两向量夹角的余弦值，注意直线与平面所成的角的正弦值就等于直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值． 试题解析：解：分别以、、所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.那么由题意可得：(2,0,0)A ,(0,2,0)B ,(0,0,0)C ,1(2,0,2)A ,1(0,2,2)B ,1(0,0,2)C , 又,D E 分别是1,AB BB 的中点，(1,1,0)D ,(0,2,1)E . 3分〔1〕因为1(0,2,2)BC =-，1(1,1,2)A D =--， 所以11111163cos ,2226BC A D BC A D BC A D⋅-〈〉===-⨯⋅， 7分直线与所成角的大小为6π. 8分 〔2〕设平面的一个法向量为(,,)e x y z =,由10{0CA e CD e ⋅=⋅=,得220{0x z x y +=+=, 可取(1,1,1)e =--， 10分又1(2,2,1)A E =--，所以11133cos ,333.A E e A E e A E e⋅-〈〉===-⨯， 13分直线与平面所成角的正弦值为. 14分考点：１．异面直线所成的角；２．直线与平面所成的角．ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且232cos c b a B =，7a =〔Ⅰ〕假设c =，求ABC ∆的面积；〔Ⅱ〕假设ABC ∆c -的取值范围.【答案】〔Ⅰ〕ABC S ∆=【解析】 【分析】〔I 〕运用正弦的和公式，计算A 角大小，结合余弦定理，计算出b ，结合三角形面积计算公式，即可。