江苏省无锡市天一中学2018-2019学年高一数学下学期期中试题(平行班,含解析)

2018-2019学年江苏省无锡一中高一（下）期中数学试卷试题数：20.满分：1501.（填空题.5分）经过点（-2.3）且与直线2x+y-5=0垂直的直线方程的倾斜角是___ ．2.（填空题.5分）在△ABC中.已知AB=3.A=120°.且△ABC的面积是15√3.则AC的边长为___ ．43.（填空题.5分）直线（m+1）x-（1-2m）y+4m=0经过一定点.则该定点的坐标是___ ．4.（填空题.5分）设△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若b+c=2a.3a=5b.则∠C=___ ．5.（填空题.5分）若直线l经过点A（-3.4）.且在坐标轴上截距互为相反数.则直线l的方程为___ ．6.（填空题.5分）在△ABC中.sinA：sinB：sinC=2：3：4.则sinC=___ ．7.（填空题.5分）直线ax+2y+a+1=0与直线2x+ay+3=0平行.则a=___ ．8.（填空题.5分）表面积为3π的圆锥.它的侧面展开图是一个半圆.则该圆锥的底面直径为___ ．9.（填空题.5分）直线l过点P（1.5）.且与以A（2.1）. B(0，√3)为端点的线段有公共点.则直线l斜率的取值范围为___ ．10.（填空题.5分）如图为中国传统智力玩具鲁班锁.起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即樟卯结构）啮合.外观看是严丝合缝的十字立方体.其上下、左右、前后完全对称.六根完全相同的正四棱柱分成三组.经90°榫卯起来．现有一鲁班锁的正四棱柱的底面正方形边长为1.欲将其放入球形容器内（容器壁的厚度忽略不计）.若球形容器表面积的最小值为30π.则正四棱柱的高为___ ．11.（填空题.5分）△ABC的三边长是三个连续的自然数.且最大角是最小角的2倍.则此三角形的面积为___ ．12.（填空题.5分）△ABC中.∠C=90°.M是BC的中点.若sin∠BAM=1.则sin∠BAC=___ ．313.（填空题.5分）如图.已知AB为圆O的直径.C为圆上一动点.PA⊥圆O所在平面.且PA=AB=2.过点A作平面α⊥PB.交PB.PC分别于E.F.当三棱锥P-AEF体积最大时.tan∠BAC=___ ．14.（填空题.5分）如图.半圆O的直径为2.A为直径延长线上一点.OA=2.B为半圆上任意一点.以线段AB为腰作等腰直角△ABC（C、O两点在直线AB的两侧）.当∠AOB变化时.OC≤m恒成立.则m的最小值为___ ．15.（问答题.10分）在△ABC中.角A、B、C对应边分别为a、b、c．.求cosC；（1）若a=14.b=40.cosB= 35（2）若a=3.b= 2√6 .B=2A.求c的长度．16.（问答题.14分）如图.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形.PA⊥平面ABCD．M 是AD的中点.N是PC的中点．（1）求证：MN || 平面PAB；（2）若平面PMC⊥平面PAD.求证：CM⊥AD；（3）若平面ABCD是矩形.PA=AB.求证：平面PMC⊥平面PBC．17.（问答题.14分）在△ABC中.设a.b.c分别是角A.B.C的对边.已知向量m⃗⃗ =（a.sinC-sinB）.n⃗ =（b+c.sinA+sinB）.且m⃗⃗ || n⃗（1）求角C的大小（2）若c=3.求△ABC的周长的取值范围．18.（问答题.14分）已知如图.斜三棱柱ABC-A1B1C1中.点D、D1分别为AC、A1C1上的点．（1）等于何值时.BC1 || 平面AB1D1？当A1D1D1C1的值．（2）若平面BC1D || 平面AB1D1.求ADDC19.（问答题.14分）某地拟在一个U形水面PABQ（∠A=∠B=90°）上修一条堤坝（E在AP上.N在BQ上）.围出一个封闭区域EABN.用以种植水生植物．为了美观起见.决定从AB上点M处分别向点E.N拉2条分隔线ME.MN.将所围区域分成3个部分（如图）.每部分种植不同的水生植物．已知AB=a.EM=BM.∠MEN=90°.设所拉分隔线总长度为l．（1）设∠AME=2θ.求用θ表示的l函数表达式.并写出定义域；（2）求l的最小值．20.（问答题.14分）已知a.b.c∈（0.+∞）．（1）若a=6.b=5.c=4是△ABC边BC.CA.AB的长.证明：cosA∈Q；（2）若a.b.c分别是△ABC边BC.CA.AB的长.若a.b.c∈Q时.证明：cosA∈Q；（3）若存在λ∈（-2.2）满足c2=a2+b2+λab.证明：a.b.c可以是一个三角形的三边长．2018-2019学年江苏省无锡一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：20.满分：1501.（填空题.5分）经过点（-2.3）且与直线2x+y-5=0垂直的直线方程的倾斜角是___ ．【正确答案】：[1]arctan 12【解析】：设与直线2x+y-5=0垂直的直线方程为 x-2y+m=0.把点（-2.3）代入可得 m 值.从而得到所求的直线方程.即可求出直线的倾斜角．【解答】：解：设与直线2x+y-5=0垂直的直线方程为 x-2y+m=0.把点（-2.3）代入可得-2-6+m=0.∴m=8.故所求的直线的方程为 x-2y+8=0.故直线的斜率为k= 12.则直线方程的倾斜角是arctan 12.故答案为：arctan 12．【点评】：本题考查用待定系数法求直线的方程.两直线垂直.斜率之积等于-1.设出与直线2x+y-5=0垂直的直线方程为 x-2y+m=0 是解题的关键．2.（填空题.5分）在△ABC中.已知AB=3.A=120°.且△ABC的面积是15√34.则AC的边长为___ ．【正确答案】：[1]5【解析】：利用三角形面积公式列出关系式.将c.sinA及已知面积代入求出b的值.再利用余弦定理列出关系式.把b.c.cosA的值代入计算即可求出a的值．【解答】：解：在△ABC中.∵AB=c=3.A=120°.△ABC的面积为15√34.∴S△ABC= 12 bcsinA= 3√34b= 15√34.即b=5.则AC的边长为：5．故答案为：5．【点评】：本题考查三角形的面积公式.熟练掌握定理及公式是解本题的关键．3.（填空题.5分）直线（m+1）x-（1-2m ）y+4m=0经过一定点.则该定点的坐标是___ ．【正确答案】：[1]（- 43 .- 43 ）【解析】：根据题意.将直线的方程变形可得m （x+2y+4）+（x-y ）=0.进而解{x +2y +4=0x −y =0可得x 、y 的值.即可得答案．【解答】：解：根据题意.直线（m+1）x-（1-2m ）y+4m=0.即m （x+2y+4）+（x-y ）=0.又由 {x +2y +4=0x −y =0 .解可得 {x =−43y =−43. 则该直线恒过点（- 43 .- 43 ）；故答案为：（- 43 .- 43 ）．【点评】：本题考查过定点的直线问题.注意将直线变形.属于基础题．4.（填空题.5分）设△ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.若b+c=2a.3a=5b.则∠C=___ ．【正确答案】：[1] 2π3【解析】：利用余弦定理.即可求得C ．【解答】：解：∵b+c=2a .3a=5b.∴b= 35 a.c= 75 a.∴cosC= a 2+b 2−c 22ab = a 2+925a 2−4925a 22×a×35a =- 12 ∵C∈（0.π）.∴C= 2π3 .故答案为： 2π3 ．【点评】：本题考查余弦定理的运用.考查学生的计算能力.属于基础题．5.（填空题.5分）若直线l 经过点A （-3.4）.且在坐标轴上截距互为相反数.则直线l 的方程为___ ．【正确答案】：[1]4x+3y=0或x-y+7=0【解析】：可分 ① 当在坐标轴上截距为0时与 ② 在坐标轴上截距不为0时讨论解决．【解答】：解：① 当在坐标轴上截距为0时.所求直线方程为：y=- 43x.即4x+3y=0；② 当在坐标轴上截距不为0时.∵在坐标轴上截距互为相反数.∴x-y=a.将A（-3.4）代入得.a=-7.∴此时所求的直线方程为x-y+7=0；故答案为：4x+3y=0或x-y+7=0．【点评】：本题考查直线的截距式方程.当在坐标轴上截距为0时容易忽略.考查分类讨论思想与缜密思考的习惯.属于中档题．6.（填空题.5分）在△ABC中.sinA：sinB：sinC=2：3：4.则sinC=___ ．【正确答案】：[1] √154【解析】：由sinA：sinB：sinC=2：3：4及由正弦定理.得a：b：c=2：3：4.不妨设a=2.b=3.c=4.由余弦定理和同角的三角函数关系即可求出．【解答】：解：∵sinA：sinB：sinC=2：3：4.∴由正弦定理.得a：b：c=2：3：4.不妨设a=2.b=3.c=4.cosC= b2+a2−c22ab = 9+4−162×2×3=- 14.则sinC= √1−cos2C = √1−116 = √154.故答案为：√154．【点评】：本题考查正弦定理、余弦定理.属基础题.准确记忆定理的内容是解题关键．7.（填空题.5分）直线ax+2y+a+1=0与直线2x+ay+3=0平行.则a=___ ．【正确答案】：[1]-2【解析】：由a2-4=0.解得a．经过验证即可得出．【解答】：解：由a2-4=0.解得a=±2．经过验证a=2时.两条直线重合.舍去．故答案为：-2．【点评】：本题考查了两条直线平行与斜率之间的关系.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．8.（填空题.5分）表面积为3π的圆锥.它的侧面展开图是一个半圆.则该圆锥的底面直径为___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：设出圆锥的底面半径.由它的侧面展开图是一个半圆.分析出母线与半径的关系.结合圆锥的表面积为3π.构造方程.可求出直径．【解答】：解：设圆锥的底面的半径为r.圆锥的母线为l.则由πl=2πr得l=2r.而S=πr2+πr•2r=3πr2=3π故r2=1解得r=1.所以直径为：2．故答案为：2．【点评】：本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．9.（填空题.5分）直线l过点P（1.5）.且与以A（2.1）. B(0，√3)为端点的线段有公共点.则直线l斜率的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]（-∞.-4]∪[5- √3 .+∞）【解析】：结合函数的图象.求出端点处的斜率.从而求出斜率的范围即可．【解答】：解：如图示：当直线l过B时设直线l的斜率为k1.=5- √3 .则k1= 5−√31−0当直线l过A时设直线l的斜率为k2.=-4.则k2= 5−11−2∴要使直线l与线段AB有公共点.则直线l的斜率的取值范围是（-∞.-4]∪[5- √3 .+∞）.故答案为（-∞.-4]∪[5- √3 .+∞）．【点评】：本题考查了求直线的斜率问题.考查数形结合思想.是一道基础题．10.（填空题.5分）如图为中国传统智力玩具鲁班锁.起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即樟卯结构）啮合.外观看是严丝合缝的十字立方体.其上下、左右、前后完全对称.六根完全相同的正四棱柱分成三组.经90°榫卯起来．现有一鲁班锁的正四棱柱的底面正方形边长为1.欲将其放入球形容器内（容器壁的厚度忽略不计）.若球形容器表面积的最小值为30π.则正四棱柱的高为___ ．【正确答案】：[1]5【解析】：由球表面积的最小值求出球形容器的半径的最小值.从而得到长方体的对角线长.由此能求出正四棱柱体的高．【解答】：解：∵球形容器表面积的最小值为30π.∴球形容器的半径的最小值为r= √30π4π=√302.∴长方体的对角线长为√30 .设正四棱柱体的高为h.∴12+22+h2=30.解得h=5．故答案为：5．【点评】：本题考查球、正四棱柱的高等基础知识.考查化归与转化思想.是中档题．11.（填空题.5分）△ABC的三边长是三个连续的自然数.且最大角是最小角的2倍.则此三角形的面积为___ ．【正确答案】：[1] 15√74【解析】：根据三角形满足的两个条件.设出三边长分别为n-1.n.n+1.三个角分别为α.π-3α.2α.由n-1.n+1.sinα.以及sin2α.利用正弦定理列出关系式.根据二倍角的正弦函数公式化简后.表示出cosα.然后利用余弦定理得到（n-1）2=（n+1）2+n2-2（n-1）n•cosα.将表示出的cosα代入.整理后得到关于n的方程.求出方程的解得到n的值.从而得到三边长的值.由海伦公式可得三角形的面积．【解答】：解：设三角形三边是连续的三个自然n-1.n.n+1.三个角分别为α.π-3α.2α.由正弦定理可得：n−1sinα=n+1sin2α=n+12sinαcosα.∴cosα= n+12(n−1).再由余弦定理可得：（n-1）2=（n+1）2+n2-2（n+1）n•cosα=（n+1）2+n2-2（n+1）n• n+12(n−1).化简可得：n2-5n=0.解得：n=5或n=0（舍去）.∴n=5.故三角形的三边长分别为：4.5.6由海伦公式知p= a+b+c2 = 152.S= √p(p−a)(p−b)(p−c) = √157516= 15√74．故答案为：15√74．【点评】：此题考查了正弦、余弦定理.海伦公式以及二倍角的正弦函数公式.正弦、余弦定理很好的建立了三角形的边角关系.熟练掌握定理是解本题的关键.属于中档题．12.（填空题.5分）△ABC中.∠C=90°.M是BC的中点.若sin∠BAM=13.则sin∠BAC=___ ．【正确答案】：[1] √63【解析】：作出图象.设出未知量.在△ABM中.由正弦定理可得sin∠AMB= 2c3a.进而可得cosβ=2c 3a .在RT△ACM中.还可得cosβ=√(2)2+b2.建立等式后可得a= √2 b.再由勾股定理可得c= √3b .而sin∠BAC= BCAB = ac.代入化简可得答案．【解答】：解：如图设AC=b.AB=c.CM=MB= a2.∠MAC=β.在△ABM中.由正弦定理可得a2sin∠BAM= csin∠AMB.代入数据可得a213= csin∠AMB.解得sin∠AMB= 2c3a.故cosβ=cos（π2 -∠AMC）=sin∠AMC=sin（π-∠AMB）=sin∠AMB= 2c3a.而在RT△ACM 中.cosβ= AC AM= b √(a 2)2+b 2. 故可得b√(a 2)2+b 2= 2c3a .化简可得a 4-4a 2b 2+4b 4=（a 2-2b 2）2=0.解之可得a= √2 b.再由勾股定理可得a 2+b 2=c 2.联立可得c= √3b . 故在RT△ABC 中.sin∠BAC= BCAB = ac =√2b √3b= √63 . 另解：设∠BAM 为α.∠MAC 为β.正弦定理得BM ：sinα=AM ：sin∠B BM ：sinβ=AM又有sinβ=cos∠AMC=cos （α+∠B ）.联立消去BM.AM 得sin∠Bcos （α+∠B ）=sinα. 拆开.将1化成sin 2∠B+cos 2∠B . 构造二次齐次式.同除cos 2∠B . 可得tanα=tanB1+2tan 2B.若 sin∠BAM =13 .则cos∠BAM= 2√23. tan∠BAM= √24 .解得tan∠B= √22.cosB= √63易得sin∠BAC= √63 ．另解：作MD⊥AB 交于D.设MD=1.AM=3.AD=2 √2 .DB=x.BM=CM= √x 2+1 . 用△DMB 和△CAB 相似解得x= √2 . 则cosB= √2√3 . 易得sin∠BAC= √63． 故答案为： √63【点评】：本题考查正弦定理的应用.涉及三角函数的诱导公式以及勾股定理的应用.属难题．13.（填空题.5分）如图.已知AB 为圆O 的直径.C 为圆上一动点.PA⊥圆O 所在平面.且PA=AB=2.过点A 作平面α⊥PB .交PB.PC 分别于E.F.当三棱锥P-AEF 体积最大时.tan∠BAC=___ ．【正确答案】：[1] √2【解析】：由题意PB⊥平面AEF.从而AF⊥PB .由AC⊥BC .AP⊥BC .得AF⊥BC .从而AF⊥平面PBC.∠AFE=90°.设∠BAC=θ.则AF=√1+cos 2θ.AE=PE= √2 .EF= √AE 2−AF 2 . V P−AEF =16×AF ×EF ×PE = √26×√−(AF 2−1)2+1 ≤√26.当AF=1时.V P-AEF 取最大值 √26 .由此能求出当三棱锥P-AEF 体积最大时.tan∠BAC 的值．【解答】：解：∵AB 为圆O 的直径.C 为圆上一动点.PA⊥圆O 所在平面.且PA=AB=2. 过点A 作平面α⊥PB .交PB.PC 分别于E.F. ∴PB⊥平面AEF.又AF⊂平面AEF.∴AF⊥PB . 又AC⊥BC .AP⊥BC .AC∩AP=A .∴BC⊥平面PAC.∵AF⊂平面PAC.∴AF⊥BC . ∵BC∩PB=B .∴AF⊥平面PBC. ∴∠AFE=90°.设∠BAC=θ.则AC=2cosθ.BC=2sinθ.PC= √4+4cos 2θ . 在Rt△PAC 中.AF=PA×AC PC = √4+4cos 2θ = √1+cos 2θ. AE=PE= √2 .∴EF= √AE 2−AF 2 .∴ V P−AEF =16×AF ×EF ×PE = 16×AF ×√2−AF 2×√2 = √26×√−(AF 2−1)2+1 ≤√26 . ∴当AF=1时.V P-AEF 取最大值 √26 . 此时.AF=√1+cos 2θ=1.解得cos θ=√3.sinθ= √1−13 = √63 .∴tanθ= √631√3= √2 .∴当三棱锥P-AEF 体积最大时.tan∠BAC= √2 ． 故答案为： √2 ．【点评】：本题考查三棱锥体积最大时.角的正切值的求法.考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力.考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想.是中档题．14.（填空题.5分）如图.半圆O 的直径为2.A 为直径延长线上一点.OA=2.B 为半圆上任意一点.以线段AB 为腰作等腰直角△ABC （C 、O 两点在直线AB 的两侧）.当∠AOB 变化时.OC≤m 恒成立.则m 的最小值为___ ．【正确答案】：[1]2 √2 +1【解析】：根据题意.以O 为坐标原点.OA 为x 轴建立坐标系.设∠AOB=θ.分析A 、B 的坐标.可得向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标.又由△ABC 为等腰直角三角形.则AC⊥AB 且|AC|=|AB|.分析可得向量 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标.进而由向量坐标的加法可得向量 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标.进而可得向量 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模.分析其最大值.若OC≤m 恒成立.分析可得答案．【解答】：解：根据题意.以O 为坐标原点.OA 为x 轴建立坐标系.如图： 则A （2.0）.设∠AOB=θ.（0≤θ≤π）.则B 的坐标为（cosθ.sinθ）. 则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（cosθ-2.sinθ）.△ABC 为等腰直角三角形.则AC⊥AB 且|AC|=|AB|. 又由C 、O 两点在直线AB 的两侧.则 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（sinθ.2-cosθ）. 则 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ = OA ⃗⃗⃗⃗⃗ + AC⃗⃗⃗⃗⃗ =（2+sinθ.2-cosθ）.则| OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=（2+sinθ）2+（2-cosθ）2=9+4（sinθ-cosθ）=9+4 √2 sin （θ- π4）.分析可得：当θ= 3π4 时.| OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2取得最大值9+4 √2 .则OC 的最大值为2 √2 +1.若OC≤m 恒成立.则m≥2 √2 +1.即m 的最小值为2 √2 +1； 故答案为：2 √2 +1．【点评】：本题考查向量数量积的计算.涉及三角函数的恒等变形.属于综合题． 15.（问答题.10分）在△ABC 中.角A 、B 、C 对应边分别为a 、b 、c ． （1）若a=14.b=40.cosB= 35 .求cosC ； （2）若a=3.b= 2√6 .B=2A.求c 的长度．【正确答案】：【解析】：（1）根据正弦定理和两角和的余弦公式.即可求出. （2）根据正弦定理和余弦定理即可求出．【解答】：解：（1）a=14.b=40.cosB= 35 . ∴sinB= 45 .由正弦定理可得 a sinA = bsinB .则sinA=14×4540= 725 .∴a ＜b.∴cosA= 2425 .∴cosC=cos[π-（A+B ）]=-cos （A+B ）=-cosAcosB+sinAsinB=- 2425 × 35 + 725 × 45 =- 44125 ． （2）由正弦定理可得 asinA = bsinB .则 3sinA = 2√6sin2A .所以cosA= √63 .由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA.即9=24+c2-2×2 √6 × √63c.整理可得c2-8c+15=0.解得c=3或c=5．① 当 c=3 时. cosC=a2+b2−c22ab =√63.因为 a=c=3.所以 A=C.所以cosA=√63，cos2A=2cos2A−1=13.cosB=a2+c2−b22ac =−13，cosB≠cos2A， 与题意 B=2A 矛盾．② 当 c=5 时.同理可得 cosB=cos2A.所以B=2A.满足题意．故c=5．【点评】：本题考查了正弦定理和余弦定理的应用.考查了三角函数的化简.本题最后需要检验的原因是因为B=2A与sinB=sin2A并不是等价转化.所以最后需要检验B是否等于2A．16.（问答题.14分）如图.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形.PA⊥平面ABCD．M 是AD的中点.N是PC的中点．（1）求证：MN || 平面PAB；（2）若平面PMC⊥平面PAD.求证：CM⊥AD；（3）若平面ABCD是矩形.PA=AB.求证：平面PMC⊥平面PBC．【正确答案】：【解析】：（1）取PB的中点E.连接EN.AE．通过证明四边形AMNE是平行四边形得出MN || AE.从而得出MN || 平面PAB；（2）假设CM与AD不垂直.构造与平面PAD垂直的平面PMQ.得出矛盾结论即可；（3）证明四边形AMNE是矩形得出MN⊥EN.再证明PM=CM得出MN⊥PC.故而MN⊥平面PBC.于是平面PBC⊥平面PMC．【解答】：证明：（1）取PB的中点E.连接EN.AE．∵E.N分别是PB.PC的中点.∴EN =∥1BC.2∵M是AD的中点.四边形ABCD是平行四边形.BC.∴AM =∥12∴EN =∥ AM.∴四边形AMNE是平行四边形.∴MN || AE.又MN⊄平面PAB.AE⊂平面PAB.∴MN || 平面PAB．（2）假设CM与AD不垂直.在平面ABCD内过M作AD的垂线.交BC于Q.连接PQ.MQ. ∵PA⊥平面ABCD.MQ⊂平面ABCD.∴PA⊥MQ.又AD⊥MQ.PA∩AD=A.∴MQ⊥平面PAD.又MQ⊂平面PMQ.∴平面PMQ⊥平面PAD.显然这与平面PMC⊥平面PAD矛盾．故假设不成立.∴CM⊥AD．（3）∵四边形ABCD是矩形.∴AD⊥AB.∵PA⊥平面ABCD.AD⊂平面ABCD.∴PA⊥AD.又PA∩AB=A.∴AD⊥平面PAB.∴AD⊥AE.由（1）可知四边形AMNE是平行四边形.∴四边形AMNE是矩形.∴MN⊥EN.又AM=MD.PA=AB=CD.∠PAM=∠MDC=90°.∴△PMA≌△CMD.∴PM=CM.又N是PC的中点.∴MN⊥PC.又PC∩EN=N.PC⊂平面PBC.EN⊂平面PBC.∴MN⊥平面PBC.又MN⊂平面PMC.∴平面PMC⊥平面PBC．【点评】：本题考查了线面平行.面面垂直的判定与性质.属于中档题．17.（问答题.14分）在△ABC中.设a.b.c分别是角A.B.C的对边.已知向量m⃗⃗ =（a.sinC-sinB）. n⃗ =（b+c.sinA+sinB）.且m⃗⃗ || n⃗（1）求角C的大小（2）若c=3.求△ABC的周长的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由向量平行的性质.正弦定理可得a2+b2-c2=-ab.由余弦定理得：cosC=- 12.即可得解C的值．（2）由正弦定理.三角函数恒等变换的应用可求周长为：a+b+c=2 √3 sin（A+ π3）+3.由0＜A＜π3.利用正弦函数的性质即可求解．【解答】：解：（1）由向量m⃗⃗ =（a.sinC-sinB）. n⃗ =（b+c.sinA+sinB）.且m⃗⃗ || n⃗ .得：a（sinA+sinB）=（b+c）（sinC-sinB）由正弦定理.得：a（a+b）=（b+c）（c-b）化为：a2+b2-c2=-ab.由余弦定理.得：cosC=- 12.所以.C= 2π3.（2）因为C= 2π3.所以.B= π3 -A.由B＞0.得：0＜A＜π3.由正弦定理.得：asinA =bsinB=csinC=2 √3 .△ABC 的周长为：a+b+c=2 √3（sinA+sinB）+3=2 √3 [sinA+sin（π3-A）]+3.=2 √3 sin（A+ π3）+3.由0＜A＜π3 .得：π3＜A+ π3＜2π3. √32＜sin（A+ π3）≤1.）+3∈（6.2 √3 +3]．所以.周长C=2 √3 sin（A+ π3【点评】：本题主要考查了向量平行的性质.正弦定理.余弦定理.三角函数恒等变换的应用在解三角形中的综合应用.考查了计算能力和转化思想.属于中档题．18.（问答题.14分）已知如图.斜三棱柱ABC-A1B1C1中.点D、D1分别为AC、A1C1上的点．（1）等于何值时.BC1 || 平面AB1D1？当A1D1D1C1的值．（2）若平面BC1D || 平面AB1D1.求ADDC【正确答案】：【解析】：（1）欲证BC1 || 平面AB1D1.根据直线与平面平行的判定定理可知只需证BC1与平=1.连接A1B交AB1于点O.连接面AB1D1内一直线平行.取D1为线段A1C1的中点.此时A1D1D1C1OD1.OD1 || BC1.OD1⊂平面AB1D1.BC1⊄平面AB1D1.满足定理所需条件；（2）根据平面BC1D与平面AB1D1平行的性质定理可知BC1 || D1O.同理AD1 || DC1.根据比例关系即可求出所求．=1.【解答】：解：（1）如图.取D1为线段A1C1的中点.此时A1D1D1C1连接A1B交AB1于点O.连接OD1．由棱柱的性质.知四边形A1ABB1为平行四边形.所以点O为A1B的中点．在△A1BC1中.点O、D1分别为A1B、A1C1的中点.∴OD1 || BC1．又∵OD1⊂平面AB1D1.BC1⊄平面AB1D1.∴BC1 || 平面AB1D1．∴ A1D1D1C1=1时.BC1 || 平面AB1D1.（2）由已知.平面BC1D || 平面AB1D1且平面A1BC1∩平面BDC1=BC1.平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O．因此BC1 || D1O.同理AD1 || DC1．∴ A1D1 D1C1 = A1OOB. A1D1D1C1= DCAD．又∵ A1OOB=1.∴ DC AD =1.即ADDC=1．【点评】：本题主要考查了直线与平面平行的判定.以及平面与平面平行的性质.考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力.考查数形结合思想、化归与转化思想.属于中档题．19.（问答题.14分）某地拟在一个U形水面PABQ（∠A=∠B=90°）上修一条堤坝（E在AP 上.N在BQ上）.围出一个封闭区域EABN.用以种植水生植物．为了美观起见.决定从AB上点M处分别向点E.N拉2条分隔线ME.MN.将所围区域分成3个部分（如图）.每部分种植不同的水生植物．已知AB=a.EM=BM.∠MEN=90°.设所拉分隔线总长度为l．（1）设∠AME=2θ.求用θ表示的l函数表达式.并写出定义域；（2）求l的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）设∠AME=2θ.求出EM.MN.即可求用θ表示的l 函数表达式.并写出定义域； （2）令f （θ）=sinθ（1-sinθ）.sinθ∈（0. √22 ）.即可求l 的最小值．【解答】：解：（1）∵EM=BM .∠B=∠MEN . ∴△BMN≌△EMN . ∴∠BNM=∠MNE . ∵∠AME=2θ. ∴∠BNM=∠MNE=θ. 设MN=x.在△BMN 中.BM=xsinθ.∴EM=BM=xsinθ. ∴△EAM 中.AM=EMcos2θ=xsinθcos2θ. ∵AM+BM=a .∴xsinθcos2θ+xsinθ=a . ∴x= asinθcos2θ+sinθ . ∴l=EM+MN=a 2sinθ(1−sinθ) .θ∈（0. π4）；（2）令f （θ）=sinθ（1-sinθ）.sinθ∈（0. √22 ）. ∴f （θ）≤ 14 .当且仅当θ= π6 时.取得最大值 14 .此时l min =2a ．【点评】：本题考查利用数学知识解决实际问题.考查三角函数模型的运用.属于中档题． 20.（问答题.14分）已知a.b.c∈（0.+∞）．（1）若a=6.b=5.c=4是△ABC 边BC.CA.AB 的长.证明：cosA∈Q ；（2）若a.b.c 分别是△ABC 边BC.CA.AB 的长.若a.b.c∈Q 时.证明：cosA∈Q ；（3）若存在λ∈（-2.2）满足c 2=a 2+b 2+λab .证明：a.b.c 可以是一个三角形的三边长．【正确答案】：【解析】：（1）由已知可求cosA的值.即可得证cosA∈Q；（2）由余弦定理可求cosA.根据有理数对加减乘除法是封闭的即可证明；（3）用反证法证明．假设不存在以a.b.c为三边的三角形.即a+b＜c.两边平方.再代入条件.引出矛盾.从而得证．【解答】：证明：（1）∵a=6.b=5.c=4.=0.125∈Q.得证；∴由余弦定理可得：cosA= 52+42−622×5×4（2）∵任意两个有理数的和.差.积.商（除数不为0）仍是有理数.∴a.b.c∈Q时.可得：cosA= b2+c2−a2∈Q；2bc（3）∵不妨假设不存在以a.b.c为三边的三角形.即：a+b≤c.∴两边平方.可得：a2+b2+2ab≤a2+b2+λab.∴λ≥2.∵λ∈（-2.2）.矛盾.故假设不成立.即存在以a.b.c为三边的三角形．【点评】：本题以三角形为载体.考查学生灵活运用余弦定理的能力.要求熟练掌握反证法证明.是一道中档题．。

无锡市第一中学2018-2019学年第二学期期中考试高一数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．经过点(2,3)-且与直线250.x y +-=垂直的直线方程是 ．2．在△ABC 中，已知AB ＝3，A ＝120°，且△ABC ，则AC3．直线(1)(12)40m x m y m +--+=4．设△ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2b c a +=，35a b =，则∠C5．过点(﹣3，4)6．在△ABC 中，sinA ：sinB ：sinC=2：3：4，则sinC 7．直线210ax y a +++=与直线230x ay ++=平行，则a ＝ ．8．表面积为3π9．直线l 过点(1,5)P ，且与以(2,1)A ，B 为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围10．如图为中国传统智力玩具鲁班锁，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即樟卯结构)啮合，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全相同的正四棱柱分成三组，经90°榫卯起来．现有一鲁班锁的正四校柱的底面正方形边长为1，欲将其放入球形容器内(容器壁的厚度忽略不计)，若球形容器表面积的最小值为30π，则正四棱柱的高11．△ABC 的三边长是三个连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，(第10题) (第13题) (第14题)13．如图，已知AB为圆O的直径，C为圆上一动点，PA⊥圆O所在平面，且PA＝AB＝2，过点A作平面 ⊥PB，分别交PB，PC于E、F，当三棱锥P-AEF的体积最大时，则tan∠BAC＝．14．如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，OA＝2，B为半圆上任意一点，以线段AB为腰作等腰直角△ABC（C、O两点在直线AB的两侧），当∠AOB变化时，OC≤m恒成立，则m的最小值为．二、解答题（本大题共6小题，共80分，请在答题卡特定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分12 分）在△ABC中，角A、B、C对应边分别为a、b、c．（1）若a＝14，b＝40，cos B＝35，求cos C；（2）若a＝3，b＝B＝2A，求c的长度．16．(本小题满分14分)如图，已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD．M是AD的中点，N是PC的中点．（1）求证：MN∥平面PAB；（2）若平面PMC⊥平面PAD，求证：CM⊥AD；（3）若平面ABCD是矩形，PA＝AB，求证：平面PMC⊥平面PBC．在△ABC 中，设a ，b ，c 分別是角A ，B ，C 的对边，已知向量m ＝(a ，sinC ﹣sinB)，n ＝(b ＋c ，sinA ＋sinB)，且m //n ．（1）求角C 的大小；（2）若c ＝3，求△ABC 周长的取值范围．18．(本小题满分14分)如图所示，斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，点D 、D 1分别为AC 、A 1C 1上的点．（1）当1111A D D C 等于何值时，BC 1∥平面AB1D1； （2）若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求AD DC的值．某地拟在一个U 形水面PABQ(∠A=∠B=90°)上修一条堤坝(E 在AP 上，N 在BQ 上)，围出一个封闭区域EABN ，用以种植水生植物．为了美观起见，决定从AB 上点M 处分别向点E ，N 拉2条分割线ME ，MN ，将所围区域分成3个部分(如图)，每部分种植不同的水生植物．已知AB=a ，EM=BM ，∠MEN=90°，设所拉分割线总长度为L ．（1）设∠AME=2θ，求用θ表示的l 函数表达式，并写出定义域；（2）求L 的最小值．20．(本小题满分14分)已知a ，b ，c (0,)∈+∞．（1）若a ＝6， b ＝5，c ＝4是△ABC 边BC ，CA ，AB 的长，证明：cos A Q ∈；（2）若a ，b ，c 分别是△ABC 边BC ， CA ，AB 的长，若a ，b ，c Q ∈时，证明：cos A Q ∈；（3）若存在(2,2)λ∈-满足222c a b ab λ=++，证明：a ，b ， c 可以是一个三角形的三边长．参考答案70x y-+=15．（1）44125-；（2）3或5．16．17．（1）由m n，得：a（sin A + sin B）＝（b + c）（sin C－sin B）由正弦定理，得：a（a+ b）＝（b + c）（c－b）化为：a2＋b2－c2＝－ab，由余弦定理，得：cosC＝－12，所以，C＝3π（2）因为C ＝3π，所以，B ＝3π－A ，由B ＞0，得：0＜A ＜3π，由正弦定理，得：sin sin sin a b c A B C ===，△ABC 的周长为：a + b ＋c＝sin )3A B ++＝sin()]33A A π+-+3cos 3A A ++＝)33A π++，由0＜A ＜3π，得：sin()123A π<+≤，所以，周长C＝)33A π++∈(6,3+ 18．19．。

江苏省无锡市锡山区天一中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12题，共60分）1.直线50x -=的倾斜角为（） A. -30° B. 60°C. 120°D. 150°【答案】D【解析】因为50x -=，所以斜率为3-，倾斜角为150°,故选D. 2.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若230a S +=，则公比q =（） A. 1- B. 1C. 2-D. 2【答案】A【解析】∵()2311230a S a a a a +=+++=， ∴()()221231121210a a a a q qa q ++=++=+=，又10a ≠，∴1q =-．故选A ．3.已知经过两点(5,)m 和(,8)m 的直线的斜率大于1，则m 的取值范围是（） A. (5,8) B. (8,)+∞C. 13(,8)2D. 13(5,)2【答案】D【解析】由题意得815m m ->-，即21305m m ->-，解得1352m <<.故选D. 4.设,m n 是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. 若m n n α∥，∥，则m n ∥B. 若m n αβαα⊂⊂∥，，，则m n ∥C. 若m n n m αβα=⊂⊥，，，则n β⊥D. 若m m n n αβ⊥⊂，∥，，则αβ⊥ 【答案】D【解析】选项A ：直线m ，n 还可以异面、相交，故本命题是假命题；选项B ：直线m ，n 可以是异面直线，故本命题是假命题； 选项C:当αβ⊥时，若m αβ=，n α⊂，n m ⊥，才能推出n β⊥，故本命题是假命题；选项D ：因为m α⊥，//m n ，所以n α⊥，而n β⊂，所以有αβ⊥，故本命题是真命题，因此本题选D.5.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222b c a bc +=+．若2 sin B sinC sin A ⋅=，则ABC ∆的形状是（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b 2+c 2＝a 2+bc ．则：2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，由于：0＜A ＜π，故：A π3=．由于：sin B sin C ＝sin 2A ，利用正弦定理得：bc ＝a 2，所以：b 2+c 2﹣2bc ＝0，故：b ＝c ，所以：△ABC 为等边三角形．故选：C ．6.若直线220(0,0)ax by a b -+=>>被圆222410x y x y ++-+=截得弦长为4，则41a b+的最小值是（） A. 9 B. 4C.12D.14【答案】A【解析】圆222410x y x y ++-+=的标准方程为：（x +1）2+（y ﹣2）2 =4，它表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于2的圆；设弦心距为d ，由题意可得 22+d 2=4，求得d =0，可得直线经过圆心，故有﹣2a ﹣2b +2=0，即a +b =1，再由a ＞0，b ＞0，可得41a b +=（41a b +）（a +b ）=5+4b a a b +9= 当且仅当4b a =a b 时取等号，∴41a b+的最小值是9．故选：A ． 7.已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A. B. 12πC.D. 10π【答案】B【解析】根据题意，可得截面是边长为的圆，且高为所以其表面积为22π2π12πS =+=，故选B.8.已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（） A. 01k ≤≤ B. 01k <≤ C. k 0<或1k > D. 0k ≤或1k ³【答案】A【解析】当0k =时，不等式为80≥恒成立，符合题意； 当0k >时，若不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则2364(8)0k k k ∆=-+≤，解得01k <≤；当k 0<时，不等式2680kx kx k -++≥不能对任意x ∈R 恒成立。

无锡市第一中学2018-2019学年第二学期期中考试高一数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．经过点(2,3)-且与直线250.x y +-=垂直的直线方程是的倾斜角是2．在△ABC 中，已知AB ＝3，A ＝120°，且△ABC ，则AC3．直线(1)(12)40m x m y m +--+=4．设△ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2b c a +=，35a b =，则∠C 5．过点(3,4)-且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为6．在△ABC 中，sinA ：sinB ：sinC=2：3：4，则sinC 7．直线210ax y a +++=与直线230x ay ++=平行，则a ＝ ．8．表面积为3π9．直线l 过点(1,5)P ，且与以(2,1)A ，B 为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围10．如图为中国传统智力玩具鲁班锁，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即樟卯结构)啮合，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全相同的正四棱柱分成三组，经90°榫卯起来．现有一鲁班锁的正四校柱的底面正方形边长为1，欲将其放入球形容器内(容器壁的厚度忽略不计)，若球形容器表面积的最小值为30π，则正四棱柱的高11．△ABC 的三边长是三个连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，(第10题) (第13题) (第14题)12．在△ABC中，∠C＝9013．如图，已知AB为圆O的直径，C为圆上一动点，PA⊥圆O所在平面，且PA＝AB＝2，过点A作平面 ⊥PB，分别交PB，PC于E、F，当三棱锥P-AEF的体积最大时，则tan∠BAC＝．14．如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，OA＝2，B为半圆上任意一点，以线段AB为腰作等腰△ABC（C、O两点在直线AB的两侧），当∠AOB变化时，OC≤m恒成立，则m的最小值为．二、解答题（本大题共6小题，共80分，请在答题卡特定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分12 分）在△ABC中，角A、B、C对应边分别为a、b、c．（1）若a＝14，b＝40，cos B＝35，求cos C；（2）若a＝3，b＝B＝2A，求c的长度．16．(本小题满分14分)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD.M是AD的中点，N是PC 的中点．（1）求证：MN∥平面PAB；（2）若平面PMC⊥平面PAD，求证：CM⊥AD；（3）若平面ABCD是如形，PA＝AB，求证:干面PMC⊥平面PBC.17．(本小题满分14分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，已知向量(,sin sin )m a C B =-，(,sin sin )n b c B C =++，且m ∥n ．（1）求角C 的大小；（2）若c ＝3，求△ABC 的周长的取值范围．18．(本小题满分14分)如图所示，斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，点D 、D 1分别为AC 、A 1C 1上的点． （1）当1111A D D C 等于何值时，BC 1∥平面AB1D1；（2）若平面BC1D∥平面AB1D1，求AD的值．DC19．(本小题满分14分)某地拟在一个U形水面PABQ(∠A=∠B=90°)上修一条堤坝(E在AP上，N在BQ上)，围出一个封闭区域EABN，用以种植水生植物．为了美观起见，决定从AB上点M处分别向点E，N拉2条分割线ME，MN，将所围区域分成3个部分(如图)，每部分种植不同的水生植物．已知AB=a，EM=BM，∠MEN=90°，设所拉分割线总长度为L．（1）设∠AME=2θ，求用θ表示的l函数表达式，并写出定义域；（2）求L的最小值．20．(本小题满分14分) 已知a ，b ，c (0,)∈+∞．（1）若a ＝6， b ＝5，c ＝4是△ABC 边BC ，CA ，AB 的长，证明：cos A Q ∈；（2）若a ，b ，c 分别是△ABC 边BC ， CA ，AB 的长，若a ，b ，c Q ∈时，证明：cos A Q ∈； （3）若存在(2,2)λ∈-满足222c a b ab λ=++，证明：a ，b ， c 可以是一个三角形的三边长．。

江苏省天一中学2019春学期期末考试高一数学一、选择题（本大题共12小题，共60分） 1.直线05-y 3=+x 的倾斜角为 A.030- B.060 C.0120 D.01502.等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若02=+n S a ,则公比q 等于 A. -1 B. 1 C. -2 D. 23.已知经过两点(5，m ）和(m ，8)的直线的斜率大于1,则m 的取值范围是 A.(5.8) B.(8，+∞) C. )8,213( D. )213,5(4.设n m ,是两条+同的直线，βα,是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A.若 m// a , n//a ,则 m//n B.若βα// , βα⊂⊂n m ,,则 m//n C.若n n m ,,αβα⊂= 丄 m ，则 n 丄 β D.若m 丄 a , m//n ，β⊂n ，则 βα丄5.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,且bc a c b +=+222.若A C B 2sin sin sin =⋅.则△ABC 的形状是A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形6.若直线022=+-by ax (a>0，b>0)被圆014222=+-++y x y x 截得弦长为4,则ba 14+的最小值是 A. 9B.4C.21 D. 41 7.己知圆柱的上、下底面的中心分别为O1、O2,过直线O102的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A. π212 B. π12 C. π28D. π108.已知关于x 的不等式0862≥++-k kx kx 对任意R x ∈及恒成立，则k 的取值范围 A. 10≤≤k B. 1<0≤k C. k<0 或 k>l D. 0≤k 或1≥k 9.己知数列{n a }为等差数列，若1<1011-a a ，且它们的前n 项和为n S 有最大值，则使得0>n S 的n 的最大值为A. 11B. 19C. 20D. 2110.己知点P(y x ,)是直线042=+-y x 上一动点,直线PA,PB 是圆C ：0222=++y y x 的两条切线，A,B 为切点，C 为圆心，则四边形PACB 的最小值是 A 2 B.5 C. 52 D. 411.数列{n a }是各项均为正数的等比数列，数列{n b }是等差数列，且65a a =,则 A. 8473b b a a +≤+ B. 8473b b a a +≥+ C. 8473b b a a +≠+ D. 8473b b a a +=+ 12.已知点P R t t t ∈-),1,(，点E 是圆4122=+y x 上的动点，点F 是圆 49)1()3(22=++-y x 上的动点，则PF-PE 的最大值为A.2B. 25C.3D.4二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若2cos sin ,2=+=B B a , 则角A 的大小为.14.己知正四棱锥的底面边长为4cm,侧面积为24cm 2,则该四棱锥的体积 是 cm3.15.过点P(21，l)的直线l 与圆C: 4)1(22=+-y x 交于A ，B 两点，C 为圆心，当ACB ∠最小时，直线l 的方程为 .16.以(0，m)间的整数为分子(m>1，N m ∈),以m 为分母组成分数集合A1，其所有元素和1a ;以(0，m 2)间的整数为分7，以m 2为分母组成不属于集合A1的分数集合A2，其所有元素和为2a ;……，依此类推以(0，m n)间的整数为分子，以m n为分母组成不属于A1,A2...,A n-1的分数集合A n ;其所有元素和为n a ;则=++n a a a ...21 .三、解答题：本大题共6小题，共70分。

12018-2019学年江苏省无锡市天一中学高三11月月考数学试题注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、填空题 1．设集合，则_______．2．命题：“ 使得”的否定为__________.3．函数的定义域为_________。

4．曲线在处的切线的斜率为_________.5．若函数是偶函数，则实数______．6．已知，函数和存在相同的极值点，则________． 7．已知函数.若，则实数的最小值为______。

8．已知函数与函数的图象交于三点，则的面积为________.只装订不密封准考证号 考场号 座位号9．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（−，0）上单调递增。

若实数a满足f（2｜a-1|)＞f （）,则a的取值范围是______。

10．已知0y xπ<<<，且tan tan2x y=，1 sin sin3x y=，则x y-=______．11．在平行四边形ABCD中,AC AD AC BD⋅=⋅3=,则线段AC的长为．12．已知,，且,则的最大值为______．13．设是自然对数的底数，函数有零点，且所有零点的和不大于6,则的取值范围为______．14．设函数（）．若存在,使,则的取值范围是____．二、解答题15．已知，．（1)求的值；（2）设函数,，求函数的单调增区间．16．如图,在中，已知是边上的一点，,，求：（1）的长；(2)的面积.217．在平面直角坐标系中，已知向量，设向量，其中。

2018-2019学年江苏省无锡市天一中学高一下学期期中数学试题（强化班）一、单选题1．已知公比大于0的等比数列{}n a 满足13a =，前三项和321S =，则234a a a ++=（ ） A ．21 B ．42C ．63D ．84【答案】B【解析】根据13a =，前三项和321S =，代入前n 项和公式，求出q ，即可. 【详解】()()31231=21=311a q S q q q-=++-，即260q q +-=，解得2q =，3q =-（舍）， 所以234322142.a a a qS ++==⨯=故选：B . 【点睛】本题考查等比数列基本量的求解，方程思想可求解，属于基础题.2．直线a 与直线b 为两条异面直线，已知直线//l a ，那么直线l 与直线b 的位置关系为（ ） A ．平行 B ．异面 C ．相交 D ．异面或相交【答案】D【解析】两条直线的位置关系是异面，相交，平行，用反证法假设平行，推出矛盾，说明假设不成立，故而是异面或相交. 【详解】假设l b P ，又l a P ，根据公理3可得a b ∥，这与a 与b 是异面直线矛盾，故假设不成立，所以l 与b 异面或相交. 故选：D . 【点睛】本题考查空间中两直线位置关系，是概念辨析题，属于基础题.3．圆1O ：()()22121x y -+-=与圆2O ：()()22212x y -++=的位置关系为（ ） A ．外离B ．相切C ．相交D ．内含【答案】A【解析】根据题意，分析两个圆的圆心与半径，求出两个圆的圆心距，分析可得1212O O r r >+，由圆与圆的位置关系分析可得答案.【详解】根据题意，圆1O ：()()22121x y -+-=的圆心为(1，)2，半径1=1r ，圆2O ：()()22212x y -++=的圆心为(2，)1-，半径2r =12O O =121r r +=，则有1212O O r r >+，两圆外离；故选A . 【点睛】本题考查两圆位置关系，圆心距大于两圆半径之和为相离，属于基础题.4．已知点()0,0O ，()0,A b ，()1,1B .若OAB ∆为直角三角形，则必有（ ） A ．1b =B ．2b =C ．()()12=0b b --D ．120b b -+-=【答案】C【解析】根据题意即可得出OB AB ⊥uu u r uu u r 或OA AB ⊥u u ur u u u r ，而可求出()1,1OB =u u u r ，()=1,1AB b -u u u r ，()0,OA b =u u u r ，从而得出0OB AB ⋅=u u u r u u u r ，0OA AB ⋅=u u u r u u u r，从而求出b 的值.【详解】根据题意知，OB AB ⊥uu u r uu u r 或OA AB ⊥u u u r u u u r；()1,1OB =u u u r ，()=1,1AB b -u u u r ，()0,OA b =u u u r；110OB AB b ⋅=+-=uu u r uu u r ，或010OA AB b ⋅=+-=uu r uu u r2b ∴=，或1b =，则有(1)(2)0b b --=故选：C . 【点睛】本题考查向量垂直，转化成数量积为零，计算求解，属于基础题.5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E F ，分别为棱1AB CC ，的中点，在平面11ADD A 内且与平面1D EF 平行的直线A ．有无数条B ．有2条C ．有1条D ．不存在【答案】A【解析】∵平面D 1EF 与平面ADD 1A 1有公共点D 1且不重合，∴两平面有1条过D 1的交线l ，在平面ADD 1A 1内与l 平行的任意直线都与平面D 1EF 平行，这样的直线有无数条．6．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为An 和Bn ，且7453n n A n B n +=+，则使得nna b 为整数的正整数n 的个数是( ) A ．2 B ．3C ．5D ．4【答案】C【解析】∵数列{a n }和{b n }均为等差数列，且其前n 项和An 和Bn 满足7453n n A n B n +=+，则1212112121()2143872n+2)+2424122=7=7+()222222212n n n n n n n n n a a a a A n n b b b b B n n n n ----++=====++++++（. 所以验证知，当n=1，2，3，5，11时，nna b 为整数. 故选C.7．一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）A ．53-或35- B ．32-或23- C ．54-或45-D ．43-或34-【答案】D【解析】点A （﹣2，﹣3）关于y 轴的对称点为A ′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：y +3＝k （x ﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出． 【详解】解：点A （﹣2，﹣3）关于y 轴的对称点为A ′（2，﹣3），故可设反射光线所在直线的方程为：y +3＝k （x ﹣2），化为kx ﹣y ﹣2k ﹣3＝0． ∵反射光线与圆（x +3）2+（y ﹣2）2＝1相切， ∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d ==1，化为24k 2+50k +24＝0， ∴k 43=-，或k 34=-． 故选：D ． 【点睛】本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题．8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对于任意的*n N ∈都有21n n S S n ++=，若{}n a 为单调递增的数列，则1a 的取值范围为（ ） A ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭B ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,44⎛⎫-⎪⎝⎭D ．11,43⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据数列的递推关系求出22n n a a +-=，根据{}n a 为单调递增的数列，则只要满足1234a a a a <<<，即可，结合不等式的性质进行求解即可. 【详解】Q 对于任意的n *∈N 都有21n n S S n ++=，①()2121n n S S n ++∴+=+，②②-①得()2212=121n n a a n n n ++++-=+，③则当2n ≥时，121n n a a n ++=-，④③-④得22n n a a +-=，也就是当2n ≥时，隔2项成等差数列，公差为2.{}n a Q 为单调递增的数列∴只要保证1234a a a a <<<可以保证整个数列单调递增.当1n =时，1121a a a ++=，即2112a a =-，当2n =时，121234a a a a a ++++=，即123224a a a ++=， 则31214222a a a a =--=+，421232a a a =+=-， 代入1234a a a a <<<，得1111122232a a a a <-<+<-，即1111111212222232a a a a a a <-⎧⎪-<+⎨⎪+<-⎩，即111131414a a a ⎧<⎪⎪⎪>-⎨⎪⎪<⎪⎩，即11144a -<<， 即1a 的取值范围为14⎛- ⎝，14⎫⎪⎭故选：C 【点睛】运用数列常用公式1(2)n n n a S S n -=-≥求解递推关系，判断数列性质，有一定难度.二、填空题9．1l ：()1360m x y +++=，2l ：()120x m y +-+=，若12//l l ，则m =_____. 【答案】-2.【解析】根据两直线平行的公式，即可求解参数值. 【详解】 依题意，12l l P()()11310m m ∴+--⨯=且()21160m +-⨯≠解得：2m =- 故答案为：2- 【点睛】本题考查解析几何中两直线平行公式，属于基础题. 10．给出下列三个命题：①在空间中，若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行； ②在空间中，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行； ③若两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线互相平行；④在空间中，若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行； 其中正确的结论的个数为_____. 【答案】1.【解析】根据空间中，直线与直线位置关系，逐一判断，即可求解. 【详解】①在空间中，若两条直线和第三条直线所成的角相等，可能这三条直线构成等腰三角形，可得这两条直线不一定互相平行，故①错；②在空间中，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行或相交或异面，故②错；③若两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线互相平行或相交或异面，故③错； ④在空间中，若两条直线都与第三条直线平行，由公理4可得这两条直线互相平行，故④对只有一个结论正确 故答案为：1 【点睛】空间中直线与直线位置关系，与平面内直线与直线位置关系有所不同，需仔细辨析，本题属于中等难度.11．过三个点()1,3A ，()4,2B ，()1,7C -的圆交直线340x y +=与M 、N 两点，则MN =____.【答案】.【解析】根据题意，设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，代入三个点的坐标，求出D ，E ，F ，即可得圆的方程，分析圆的圆心与半径，求出圆心到直线的距离，由直线与圆的位置关系分析可得答案. 【详解】根据题意，设圆的方程为 220x y Dx Ey F ++++=，圆过三个点(1A ，)3，(4B ，)2，(1C ，)7-，则有193016442014970D E F D E F D E F ++++=⎧⎪++++=⎨⎪++-+=⎩，解可得：2D =-，4E =，20F =-，即圆的方程为2224200x y x y +-+-=， 变形可得：()()221225x y -++=， 其圆心为(1，)2-，半径为=5r ； 圆心到直线340x y +=的距离1d ==，则2MN ==，故答案为：【点睛】本题考查待定系数法确定圆的一般方程，考查了几何法求解直线与圆相交弦长问题，属于基础题.12．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，11a =，21a =，数列{}1n n a a ++是公比为2的等比数列，则11S =_____. 【答案】1365【解析】推导出11222n nn n a a -++=⨯=，()()()()()112345678910111S a a a a a a a a a a =++++++++++，由此能求出结果.【详解】n S Q 是数列{}n a 的前n 项和，11a =，21a =，数列{}1n n a a ++是公比为2的等比数列， 11222n n n n a a -+∴+=⨯=，()()()()()246810111234567891011=1222221365S a a a a a a a a a a a ++++++++++=+++++=故答案为：1365. 【点睛】本题考查并项求和，需仔细辨析项数，属于中等偏难题型.13．已知一组平行线n l ：0n y c ++=，*n N ∈，其中13c =，且点()1,n n c c +在直线21y x =-上，则100l 与101l 间的距离为_____. 【答案】992.【解析】由题意可得121n n c c +=-，即有()1121n n c c +-=-，由等比数列的通项公式可得所求12nn c =+，再由两平行直线的距离公式可得所求值.【详解】13c =，且点(n c ，)1n c +在直线21y x =-上，可得121n n c c +=-，即有()1121n n c c +-=-，∴数列{}1n c -为等比数列，公比为2可得()111122n n n c c --=-⋅=，即12n n c =+，可得直线120nn l y +++=，则100l 与101l 间的距离为992d ==.故答案为：992. 【点睛】本题考查数列求通项公式中的构造等比数列方法，和两平行直线距离公式，有一定难度. 14．点P 为圆A ：()2244x y -+=上一动点，Q 为圆B ：()()22641x y -+-=上一动点，O 为坐标原点，则PO PQ PB ++的最小值为______. 【答案】9【解析】取点(3,0)C ，则2PO PC =，将PO PQ PB ++的最小值转化为BC 距离，即可得到所求. 【详解】P 为圆A ：22(4)4x y -+=上一动点，Q 为圆B ：22(6)(4)1x y -+-=上一动点，O 为坐标原点，取(3,0)C ，则12AC AP AP AO ==， ACP APO ∴V :V 2PO PC ∴=21PO PQ PB PO PB ∴++=+- 221219PC PB BC =+-≥-=故答案为：9 【点睛】本题考查距离最短问题，将距离转化，利用两点间线段最短，求解最短距离.三、解答题15．已知公差不为0的等差数列{}n a 满足13a =，1413,,a a a 成等比数列，等差数列{}n b 前n 项为n S ，且416S =，636S =. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求和1122111n n nT a b a b a b =+++L . 【答案】.（1）21n a n =+，21n b n =-；（2）21n nT n =+. 【解析】（1）分别运用等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）由（1）得，11111()(21)(21)22121n n a b n n n n ==--+-+，运用裂项相消求和，化简可得所求和. 【详解】（1）公差d 不为0的等差数列{}n a 满足13a =，1413a a a ，，成等比数列，可得24113a a a =，即2(33)3(312)d d +=+，解得2d =，即21n a n =+；等差数列{}n b 的公差设为m ，前n 项和为n S ，且416S =，636S =，可得14616b m +=，161536b m +=，解得112b m ==， 则21n b n =-；（2）由（1）结论，11111()(21)(21)22121nn a b n n n n ==--+-+ 则1122111111111...(1...)23311(1)52112221n n n T a b a b a b n n n =+++=-+-+=--+++-21n n =+ 【点睛】（1）考查等差数列基本量的求法，分别通过通项公式和前n 项和公式列方程，通过方程求解首项和公差，是等差数列常见方法；（2）裂项相消求和，通项公式可化简差的形式，适合裂项相消求和.16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，N 是PB 中点，过A 、N 、D 三点的平面交PC 于M .求证：（1）//PD 平面ANC ； （2）M 是PC 中点.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）作辅助线，构造三角形中位线，利用线面平行的判定定理，由线线平行证明线面平行；（2）先利用线面平行的判定定理证明BC ∥平面ADMN ,再利用线面平行的性质证线线平行，根据平面几何知识可证M 是PC 中点. 【详解】证明：（1）连结,BD AC ，设AC BD O =I ，连结NO ，ABCD Q 是平行四边形，O ∴是BD 的中点，在PBD ∆中，N 是PB 的中点，//PD NO ∴，又NO ⊂平面ANC ，PD ⊄平面ANC ，//PD ∴平面ANC ，（2）Q 底面ABCD 为平行四边形，//AD BC ∴，BC ⊄Q 平面ADMN ，AD ⊂平面ADMN ， //BC ∴平面ADMN .Q 平面PBC I 平面ADMN MN =，//BC MN ∴，又N 是PB 的中点，M ∴是PC 的中点.【点睛】（1）利用三角形中位线平行于底边证明线线平行，再证线面平行是证明线线平行的常见方法；（2）考查线面平行的性质定理；有一定难度，属于中等题型. 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切正整数n ，点(),n n P n S 都在函数()22f x x x =+的图象上，记n a 与1n a +的等差中项为n k .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2n kn n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（Ⅲ）设集合{}*,n A x x k n N==∈，{}*2,nB x x a n N ==∈，等差数列{}nc 的任意一项n c A B ∈⋂，其中1c 是A B I 中的最小数，且10110115c <<，求{}n c 的通项公式.【答案】（Ⅰ）21n a n =+；（Ⅱ）26116499n n n T ++=⋅-；（Ⅲ）126n c n =-. 【解析】（Ⅰ）根据点(,)n n P n S 都在函数2()2f x x x =+的图像上，可得22()n S n n n N *=+∈，再写出1n S -，两式相减，即可求得数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）先确定数列的通项公式，再利用错位相减法求数列的和；（Ⅲ）先确定A B B =I ,再确定{}n c 是公差为4的倍数的等差数列，利用10110115c <<，可得10114c =，由此可得{}n c 的通项公式.【详解】（Ⅰ）Q 点(),n n P n S 都在函数()22f x x x =+的图象上，()2*2n S n n n N ∴=+∈，当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=+. 当1n =时，113a S ==满足上式， 所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =+. （Ⅱ）n k Q 为n a 与1n a +的等差中项12n n n a a k ++∴==()21211222n n n ++++=+ 2n k n n b a ∴==()4214n n ⋅+⋅.12434454n T ∴=⨯⨯+⨯⨯+()34744214n n ⨯⨯++⨯+⨯L ①由①4⨯，得234434454n T =⨯⨯+⨯⨯+()414744214n n +⨯⨯++⨯+⨯L ②①-②得：()()23134342444214n n n T n +⎡⎤-=⨯+⨯+++-+⨯⎣⎦L ()()211414434221414n n n -+⎡⎤-⎢⎥=⨯+⨯-+⨯-⎢⎥⎣⎦26116499n n n T ++∴=⋅-（Ⅲ）{}*,n A x x k n N==∈，{}*2,nB x x a n N ==∈A B B ∴=In c A B ∈⋂Q ，1c 是A B I 中的最小数，16c ∴=.{}n c Q 是公差为4的倍数的等差数列，()*1046c m m N ∴=+∈. 又10110115c <<Q ，*11046115m m N <+<⎧∴⎨∈⎩，解得27m =. 所以10114c =，设等差数列的公差为d ，则101101c c d -==-1146129-=，()6112n c n ∴=+-⨯126n =-，126n c n ∴=-.【点睛】本题考查：（Ⅰ）已知前n 项和公式求通项公式，11n nn S a S S -⎧=⎨-⎩ 12n n =≥；（Ⅱ）数列求和方法：错位相减法；（Ⅲ）结合集合中交集运算，判断等差数列；本题考查知识比较全面，属于难题.18．为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路MON 进行分流，已知穿城公路MON 自西向东到达城市中心O 后转向ON u u u r方向，已知tan 2MON ∠=-，现准备修建一条城市高架道路L ，L 在MO 上设一出入口A ，在ON 上设一出口B ，假设高架道路L 在AB 部分为直线段，且要求市中心O 与AB 的距离为10km .（1）若102OA km =，求两站点,A B 之间的距离；（2）公路MO 段上距离市中心O 30km 处有一古建筑群C ，为保护古建筑群，设立一个以C 为圆心，5km 为半径的圆形保护区.因考虑未来道路AB 的扩建，则如何在古建筑群和市中心O 之间设计出入口A ，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区？ 【答案】（1）)2021；（2）设计出入口A 离市中心O 的距离在102km 到20km 之间时，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区.【解析】（1）过O 作直线OE AB ⊥于E ，则10OE =，设EOA α∠=，则34EOB πα∠=-，（42ππα<<），可得10tan AE α=，310tan 4BE πα⎛⎫=-⎪⎝⎭，可求310sin43cos cos 4AB ππαα=⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭，又3cos cos 4παα⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭1sin 224πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合42ππα<<，可得max32cos cos 44παα⎛⎫⋅-=⎪⎝⎭，即可求解两出入口之间距离的最小值.（2）设切点为F ，以O 为坐标原点，以CO 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，设直线AB 的方程为(0)y kx t k =+>，可求20t k =，或60t k =（舍去），可求(20,0)A -，此时20OA =，又由（1）可知当//AB ON时，OA =，综上即可求解. 【详解】（1）过O 作直线OE AB ⊥于E ，则10OE =，设EOA α∠=， 则34EOB πα∠=-，（42ππα<<），故10tan AE α=，310tan 4BE πα⎛⎫=-⎪⎝⎭， 310tan 10tan 4AB παα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭3sin sin 4103cos cos 4πααπαα⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪=+⎛⎫ ⎪- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭310sin43cos cos 4ππαα=⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭， 又3cos cos 4παα⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭cos cos 22ααα⎛⎫=⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭1sin 2244πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 由42ππα<<，得32,444πππα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，故max32cos cos 44παα⎛⎫⋅-=⎪⎝⎭，当且仅当242ππα-=，38πα=时取等号.此时，AB 有最小值为()2021+.即两出入口之间距离的最小值为()2021+.（2）由题意可知直线AB 是以O 为圆心，10为半径的圆O 的切线，根据题意，直线AB 与圆C 要相离，其临界位置为直线AB 与圆C 相切，设切点为F 此时直线AB 为圆C 与圆O 的公切线. 因为，出入口A 在古建筑群和市中心O 之间， 如图，以O 为坐标原点，以CO 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy 由5CF =，10OE =，因为圆O 的方程为22100x y +=，圆C 的方程为()223025x y ++=，设直线AB 的方程为()0y kx t k =+>，则221013051tkk t k ⎧=⎪+⎪⎨-+⎪=⎪+⎩所以，两式相除，得230t k t =-+， 所以20t k =或60t k =，所以此时()20,0A -或()60,0A -（舍去），此时20OA =， 又由（1）知当//AB ON 时，102OA = 综上，()102,20OA ∈.即设计出入口A 离市中心O 的距离在102km 到20km 之间时，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区. 【点睛】（1）实际应用问题中，三角函数的应用，可利用三角函数的有界性取得最小值； （2）由实际问题建立平面直角坐标系，运用直线与圆的位置关系，确定参数范围.19．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(4)1x y -+=，且圆C 与x 轴交于M ，N 两点，设直线l 的方程为(0)y kx k =>．（1）当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程； （2）已知直线l 与圆C 相交于A ，B 两点． （ⅰ）若217AB ≤k 的取值范围； （ⅱ）直线AM 与直线BN 相交于点P ，直线AM ，直线BN ，直线OP 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，是否存在常数a ，使得123k k ak +=恒成立？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）15y x =；（2）1154k ≤<（3）见解析 【解析】试题分析：（1）由题意0k >，圆心C 到直线l 的距离21d k =+l与圆C 相切得15k =l 的方程；（2）（i ）由题意得：221702117AB d <=-，2 1d k =+k 的取值范围；(ii)()1:3AM l y k x =-与圆C ()22:41x y -+=联立，得：()()()221131350x k x k ⎡⎤-+-+=⎣⎦，由韦达定理求出,A B 的坐标，从而得到 ()()()221131350x k x k ⎡⎤-+-+=⎣⎦，由此能证明存在常数2a =，使得1232k k k +=恒成立．试题解析：（1）解：由题意，0k >， ∴圆心C 到直线l 的距离21d k =+，∵直线l 与圆C 相切，∴1d ==，∴k =，∴直线:l y x =． （2）解：由题意得：0AB <=≤1d ≤<， 由（1）可知：d =∴117≤<，∴1415k ≤<． （3）证明：()1:3AM l y k x =-，与圆C ()22:41x y -+=联立，得：()()()221131350x k x k ⎡⎤-+-+=⎣⎦，∴3M x =，2121351A k x k +=+，∴2112211352,11k k A k k ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭， 同理可得：2222222532,11k k B k k ⎛⎫+- ⎪++⎝⎭，∵OA OB k k =， ∴122212221222122211355311k k k k k k k k -++=++++，即()()12121350k k k k ++=， ∵121k k ≠-，∴2135k k =-， 设()00,P x y ， ∴()()01002035y k x y k x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，∴1201212012352k k x k k k k y k k -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩， ∴12121212352,k k k k P k k k k ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭，即1315,44k P ⎛⎫⎪⎝⎭，∴1313141554k k k ==，∴1213225k k k k +==，∴存在常数2a =，使得1232k k k +=恒成立．【方法点晴】本题主要考查待定系数法求直线方程、直线与圆的位置关系以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.20．若数列{}n a 同时满足条件：①存在互异的*,p q ∈N 使得p q a a c ==（c 为常数）； ②当n p ≠且n q ≠时，对任意*N n ∈都有n a c >，则称数列{}n a 为双底数列. （1）判断以下数列{}n a 是否为双底数列（只需写出结论不必证明）； ①6n a n n =+； ②sin 2n n a π=； ③()()35n a n n =-- （2）设501012,1502,50n n n n a m n --≤≤⎧=⎨+>⎩，若数列{}n a 是双底数列，求实数m 的值以及数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）设()9310nn a kn ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，是否存在整数k ，使得数列{}n a 为双底数列？若存在，求出所有的k 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1) ①③是双底数列，②不是双底数列(2) 1m =-249100,15022548,50n n n n n S n n -⎧-≤≤=⎨-+>⎩（3）存在整数1k =-或3k =-，使得数列{}n a 为双底数列【解析】试题分析：（1）根据双底数列的定义可判定①③是双底数列，②不是双底数列；（2）由双底数列定义可知5051a a =，解得1m =-， 当150n ≤≤时，数列成等差，()29910121002n n n S n n +-==-，当50n >时，()()()22501005050212121n n S L -=⨯-+-+-++-，从而可得结果；（3）()119931010nn n a a k kn +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 若数列{}n a 是双底数列，则93k kn -=有解（否则不是双底数列），即 39n k-=，该方程共有四组解，分别验证是否为双底数列即可得结果.试题解析：（1）①③是双底数列，②不是双底数列； （2）数列{}n a 当150n ≤≤时递减，当50n >时递增， 由双底数列定义可知5051a a =，解得1m =-，当150n ≤≤时，数列成等差，()29910121002n n n S n n +-==-，当50n >时，()()()22501005050212121n n S L -=⨯-+-+-++-4922548n n -=-+，综上，249100,15022548,50n n n n n S n n -⎧-≤≤=⎨-+>⎩. （3）()()1199331010n nn n a a kn k kn ++⎛⎫⎛⎫-=++-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()()93931010n kn k kn ⎛⎫++⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()19931010nk kn ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 若数列{}n a 是双底数列，则93k kn -=有解（否则不是双底数列）， 即 39n k-=， 得16k n =⎧⎨=⎩或38k n =⎧⎨=⎩或112k n =-⎧⎨=⎩或310k n =-⎧⎨=⎩ 故当1k =时，()13961010nn n a a n +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，当15n ≤≤时，1n n a a +>；当6n =时，1n n a a +=；当7n ≥时，1n n a a +<； 从而 12345678a a a a a a a a L <<<= ，数列{}n a 不是双底数列； 同理可得：当3k =时，12891011a a a a a a =L L ，数列{}n a 不是双底数列； 当1k =-时，1212131415a a a a a a >>>=<<<L L ，数列{}n a 是双底数列； 当3k =-时，1210111213a a a a a a >>>=<<<L L ，数列{}n a 是双底数列； 综上，存在整数1k =-或3k =-，使得数列{}n a 为双底数列.【方法点睛】本题考查数列的通项公式及求和公式、新定义问题的应用，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义双底数列达到考查数列性质的目的.。

天一中学 2018-2019 第二学期年中试卷高一化学选择题〔本题包含可能用到的原子量：H1N14O16Zn65第一卷〔共46 分〕23 小题，每题只有一个选项切合题意，每题 2 分共46 分〕1、6027Co是γ射线放射源，可用于农作物诱变育种，我国用该方法培养出了很多农作物新品种，对6027 Co 原子的表达不正确的选项是A、质量数是 60B、质子数是 60C、中子数是 33D、电子数是 27 2、质量数为 A的某阳离子 R n+，核外有 X个电子，那么核内中子数为A、 A-xB 、 A-x-nC 、 A-x+nD、 A+x-n3、13 C－ NMR〔核磁共振〕、15N－ NMR 可用于测定蛋白质、核酸等生物大分子的空间构造下边表达正确的选项是〔〕A、13C 与15N 有同样的中子数B、13C 与 C60互为同素异形体C、15N 与14N 互为同位素D、15N 的核外电子数与中子数同样4、以下说法正确的选项是A、同周期主族元素的原子序数越大越易失电子B、同周期主族元素的原子序数越大部分径越大C、同主族元素的原子序数越大非金属性越强D、同主族元素的原子序数越大金属性越强5、一种氢氧燃料电池用 30％KOH溶液为电解质溶液，相关这类电池的说法中错误的选项是A、 H2在负极发生氧化反响B、供电时的总反响为：2H2+O2=2H2OC、产物为无污染的水，属于环境友善电池D、负极反响为： H2-2e - =2H+6、 X、Y、Z、W均为短周期元素，它们在元素周期表中的地点以下列图。

假定Y 原子的最外层电子数是次外层电子数的 3 倍，以下说法中正确的选项是A、原子半径： W>Z>Y>XB、最高价氧化物对应水化物的酸性：Z>W>XC、 4 种元素的单质中，Z 单质的熔、沸点最低D、 W单质能与水反响，生成一种拥有漂白性的物质X Y7、汽车的启动电源常用铅蓄电池，该电池在放电时的反响以下：ZW PbO2〔 s〕+Pb〔 s〕+2H2SO4〔aq〕 ===2PbSO4〔 s〕 +2H2O〔 l 〕，依据此反响判断以下表达中正确的选项是〔〕2是电池的负极2 –=PbSO4〔s〕B. 负极的电极反响式为： Pb〔 s〕 +SO4 〔 aq〕– 2eC. 铅蓄电池属于一次电池D. 电池放电时，溶液酸性加强8、元素 R的最高价含氧酸的化学式为H RO ，那么在气态氢化物中， R 元素的化合价为〔〕n2n － 1A、 2n－12B、 3n－ 8C、 3n－ 10D、 2n－ 69、自然界氧的同位素有16O、17 O、18O，氢的同位素有H、D，从水分子的原子构成来看自然界的水一共有 ()A、6 种B、9 种C、12 种D、18 种10、在化学变化过程中，原子中的以下粒子数可能发生改变的是〔〕A、质子数B、中子数C、质量数D、电子数11、短周期元素的离子a 2+ b + c 2- d -X、Y、Z 、 W都拥有同样的电子层构造，那么以下表达正确的选项是〔〕A、原子半径： X>Y>W>ZB、离子半径：2--+2+Z >W>Y >XC、原子序数： d>c>b>aD、原子的最外层电子数量：X>Y>W>Z12、对于元素周期表，以下表达中不正确的选项是〔〕 A 、周期表中的族分为：主族、副族、0 族和 VIII 族B 、周期表中的周期分为：短周期、长周期和不完整周期C 、过渡元素所有是副族元素D 、由短周期元素和长周期元素共同构成的族称为主族 ( 除 0 族外 )13.A 、B 、C 都是金属： B 中混有 C 时，只有 C 能被盐酸溶解；A 与B 构成原电池时，A 为电池的正极。