高中数学趣味知识竞赛题

高中数学竞赛赛题精选(带答案)高中数学竞赛是中学生竞赛中最重要的一部分，它不仅需要智力，还需要充分发挥数学能力和思维能力。

以下是一些高中数学竞赛赛题的精选和解答。

1. 设$a_n=x^n$+5的前n项和为S(n)，求S(n+1)-S(n)的值。

解：S(n+1)-S(n)=(x^n+1+5)-(x^n+5)=(x^n+1)-(x^n)=x^n(x-1)。

由于$a_n=x^n+5$，所以S(n)=a_0+a_1+...+a_n=（x^0+5）+（x^1+5）+...+（x^n+5）=（x^0+x^1+...+x^n）+5(n+1)，因此S(n+1)-S(n)=x^n(x-1)=(S(n+1)-S(n)-5(n+2))/(x^0+x^1+...+x^n)。

2. 已知函数f(x)=sin(x)+cos(x)，0≤x≤π/2，求f(x)在[0,π/4]上的最小值。

解：f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，当0≤x≤π/4时，x+π/4≤π/2，sin(x+π/4)不小于0，因此f(x)的最小值由sin(x+π/4)的最小值决定。

sin(x+π/4)的最小值为-√2/2，因此f(x)的最小值为-1。

3. 已知正整数n，设P(n)是n的质因数分解中所有质因数加起来的和，Q(n)是n的数字分解中所有数位加起来的和。

给定P(n)+Q(n)=n，求最小的n。

解：P(n)的范围是2到9×log_10n之间，因此可以枚举P(n)和Q(n)，判断它们之和是否等于n。

当P(n)取到最小值2时，Q(n)的最大值为9log_10n，因此n的最小值为11。

4. 已知函数f(x)=2cos^2x-3cosx+1，x∈[0,2π]，求f(x)的最小值。

解：由于f(x)=2cos^2x-3cosx+1=2(cosx-1/2)^2-1/2，因此f(x)的最小值为-1/2，且取到最小值的x为0或2π。

5. 已知正整数n，求使得3^n的末2位是9的最小正整数n。

高一趣味数学竞赛班级分数一、选择题(每题5分，共10题)1. 猩猩最讨厌（C ）A.米线B.X射线C.平行线D.电线2.桌子上原来有12只点燃的蜡烛,中途先被风吹灭了3根，过不久又被风吹灭了2根，最后还剩( C )根蜡烛？A.7B.12C.5D.03.三个孩子吃三个饼要用3分钟，九十个孩子吃九十个饼要用多少时间？( A )A.3 B9 C.10 D904.1874年，德国数学家康托尔创立了集合论。

到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础上。

就在人们认为数学的基础已经很牢固的时候，集合论出现了一系列自相矛盾的结果，即悖论！于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。

请选出下面哪个选项不属于悖论（C ）A.有个虔诚的教徒，他在演说中口口声声说上帝是无所不能的，什么事都做得到。

一位过路人问了一句话：“上帝能创造一块他自己也举不起来的石头吗？”B.英国数学家罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成。

然后罗素问：S是否属于S呢？C.“今天天气很好，难道不是吗？”D.一天，萨维尔村理发师挂出了一块招牌：村里所有不是自己理发的男人都由我给他们理发。

于是有人问他：“您的头发谁给理呢？”理发师顿时哑口无言。

5.一只青蛙被困在一个10米深的枯井里，它每次向上跳5米就会下滑4米，那么他最后跳出枯井的次数是（B ）A.10B.6C.5D.46.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d→密文a+b，b+2c，2c+3d，d2，当密文为6，9，29，49时，则明文为（ B ）（A）5，1，7，4 （B）5，1，4，7 （C）1，4，5，7 （D）5，4，1，77.商场开展矿泉水“买5送1”活动，一个50人的旅游团想每人发一瓶矿泉水，则至少需要买（ C ）瓶矿泉水。

Ａ.４０Ｂ.４１Ｃ.４２Ｄ.４３8.桌上有四块六面体积木，上面都写着A、B、C、D、E和F六个拼音字母。

高中数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. 2B. πC. 0.5D. √4答案：B2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(2)的值。

A. 0B. 4C. -4D. 8答案：A3. 一个等差数列的前三项分别为1, 4, 7，求第四项的值。

A. 10B. 11C. 13D. 15答案：A4. 计算复数z = 1 + i的模。

A. √2B. 2C. 1D. √3答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知等比数列的公比为2，首项为1，求第5项的值。

答案：326. 已知向量a = (3, -4)，向量b = (-2, 3)，求向量a与向量b的点积。

答案：-67. 计算函数y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6在x = 2处的导数值。

答案：18. 已知圆的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9，求圆心坐标。

答案：(2, 3)三、解答题（每题10分，共60分）9. 求证：对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2总是能被3整除。

证明：设n = 3k, 3k + 1, 3k + 2，其中k为整数。

当n = 3k时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 9k + 2 = 3(3k^2 + 3k + 1)，能被3整除。

当n = 3k + 1时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 6k + 1 + 9k + 3 + 2 =3(3k^2 + 5k + 2)，能被3整除。

当n = 3k + 2时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 12k + 4 + 9k + 6 + 2 = 3(3k^2 + 7k + 4)，能被3整除。

因此，对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2总是能被3整除。

10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求f(x)的单调区间。

解：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。

高中数学竞赛试题及答案1. 已知函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \)，求 \( f(x) \) 在区间 \([0, 3]\) 上的最大值和最小值。

答案：首先求导数 \( f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \)，令 \( f'(x) = 0 \) 得 \( x = 1 \) 或 \( x = \frac{2}{3} \)。

计算 \( f(0) = 0 \)，\( f(1) = 0 \)，\( f(\frac{2}{3}) = \frac{2}{27} \)，\( f(3) = 6 \)。

因此，最大值为 6，最小值为 0。

2. 计算极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{x^2} \)。

答案：使用洛必达法则，首先求导得到 \( \frac{e^x + \sinx}{2x} \)，再次求导得到 \( \frac{e^x + \cos x}{2} \)。

当 \( x \to 0 \) 时，极限为 \( \frac{1}{2} \)。

3. 证明不等式 \( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots +\frac{1}{2n} \geq \frac{1}{2} \ln 2 \) 对所有正整数 \( n \) 成立。

答案：利用调和级数的性质，将不等式左边的和表示为\( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} \)。

通过放缩和积分估计，可以证明该不等式成立。

4. 已知三角形 \( ABC \) 的内角 \( A, B, C \) 满足 \( A + B +C = \pi \)，且 \( \sin A + \sin B + \sin C =\frac{3\sqrt{3}}{2} \)，求 \( \cos A + \cos B + \cos C \) 的值。

答案：利用三角恒等式 \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) 和\( \sin x \) 的和为 \( \frac{3\sqrt{3}}{2} \)，通过平方和展开，可以求得 \( \cos A + \cos B + \cos C = -\frac{3}{2} \)。

高中数学竞赛赛题精选一、选择题（共12题）1．定义在R 上的函数()y f x =的值域为［m,n ］,则)1(-=x f y 的值域为（ ） A ．［m,n ］B ．［m-1,n-1］C ．［)1(),1(--n f m f ］D ．无法确定解：当函数的图像左右平移时，不改变函数的值域.故应选A.2．设等差数列{n a }满足13853a a =，且n S a ,01>为其前n 项之和，则)(*∈N n S n 中最大的是( ) A. 10S B. 11S C. 20S D. 21S 解：设等差数列的公差为d,由题意知3(1a +7d)=5(1a +12d),即d=-3921a , ∴n a = 1a +( n-1)d= 1a -3921a (n-1)= 1a (3941-392n),欲使)(*∈N n S n 最大，只须n a ≥0，即n ≤20.故应选C.3．方程log 2x=3cosx 共有（ ）组解．A ．1B ．2C ．3D ．4解：画出函数y=log 2x 和y=3cosx 的图像，研究其交点情况可知共有3组解．应选C ．4．已知关于x 的一元二次方程()02122=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（）Ａ．11<<-a Ｂ．1-<a 或1>aＣ．12<<-aＤ．2-<a 或1>a解：令f(x)= ()2122-+-+a x a x ，其图像开口向上，由题意知f(1)＜0，即 ()211122-+⨯-+a a ＜0，整理得022<-+a a ，解之得12<<-a ，应选C ．5．已知βα,为锐角，,cos ,sin y x ==βα53)cos(-=β+α，则y 与x 的函数关系为（ ） A ．1)x 53( x 54x 153y 2<<+--= B ．1)x (0 x 54x 153y 2<<+--=C ．)53x (0 x 54x 153y 2<<---= D ．1)x (0 x 54x 153y 2<<---= []xx y 54153sin )sin(cos )cos()(cos cos 2+-⋅-=⋅+++=-+==αβααβααβαβ解： 而)1,0(∈y 15415302<+-⋅-<∴x x ， 得)1,53(∈x .故应选A. 6．函数sin y x =的定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a-的最大值是（ ）A. πB. π2C.34πD. 35π解：如右图，要使函数sin y x =在定义域[],a b 上，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是74()663πππ--=.故应选C. 7．设锐角使关于x 的方程x 2+4x cos+cot =0有重根，则的弧度数为 ( )A ．6B ．12或512C ．6或512D ．12解：由方程有重根，故14=4cos 2－cot =0，∵ 0<<2，2sin2=1，=12或512．选B ． 8．已知M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．若对于所有的m ∈R ，均有M ∩N ，则b 的取值范围是 ( )A ．[－62，62] B ．(－62，62) C ．(－233，233] D ．[－233，233] 解：点(0，b )在椭圆内或椭圆上，2b 2≤3，b ∈[－62，62]．选A ．9．不等式log 2x －1+12log 12x 3+2>0的解集为A ．[2，3)B ．(2，3]C ．[2，4)D ．(2，4] 解：令log 2x=t ≥1时，t －1>32t －2．t ∈[1，2)，x ∈[2，4)，选C ．10．设点O 在ABC 的内部，且有+2+3=，则ABC 的面积与AOC 的面积的比为( )A ．2B ．32C ．3D ．53解：如图，设AOC=S ，则OC 1D=3S ，OB 1D=OB 1C 1=3S ，AOB=OBD=1.5S ．OBC=0.5S ，ABC=3S ．选C ．11．设三位数n=，若以a ，b ，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n 有( )A ．45个B ．81个C ．165个D ．216个 解：⑴等边三角形共9个；⑵ 等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为a ，b )，有36种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形，而以大数为底时，b <a <2b ．a=9或8时，b=4，3，2，1，(8种)；a=7，6时，b=3，2，1(6种)；a=5，4时，b=2，1(4种)；a=3，2时，b=1(2种)，共有20种不能取的值．共有236－20=52种方法，而每取一组数，可有3种方法构成三位数，故共有523=156个三位数即可取156+9=165种数．选C ．12．顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB ⊥OB ，垂足为B ，OH ⊥PB ，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长为 ( )A ．53 B ．253 C ．63 D ．263解：AB ⊥OB ，PB ⊥AB ，AB ⊥面POB ，面PAB ⊥面POB ．OH ⊥PB ，OH ⊥面PAB ，OH ⊥HC ，OH ⊥PC ，又，PC ⊥OC ，PC ⊥面OCH ．PC 是三棱锥P －OCH 的高．PC=OC=2．而OCH 的面积在OH=HC=2时取得最大值(斜边=2的直角三角形)．当OH=2时，由PO=22，知∠OPB=30，OB=PO tan30=263．又解：连线如图，由C 为PA 中点，故V O －PBC =12V B －AOP ，S B 11OABCABPO H C而V O －PHC ∶V O －PBC =PH PB =PO 2PB2(PO 2=PH ·PB )．记PO=OA=22=R ，∠AOB=，则V P —AOB =16R 3sin cos =112R 3sin2，V B －PCO =124R 3sin2． PO 2PB 2=R 2R 2+R 2cos 2=11+cos 2=23+cos2．V O －PHC =sin23+cos2112R 3． ∴ 令y=sin23+cos2，y=2cos2(3+cos2)－(－2sin2)sin2(3+cos2)2=0，得cos2=－13，cos =33， ∴ OB=263，选D ．二、填空题（共10题）13. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差为 解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .由题设得⎩⎨⎧-=+=+，，545101010511d a d a 即 ⎩⎨⎧-=+=+，，1922211d a d a 解之得1-=d .14. 设()log ()a f x x b =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(21)，，它的反函数的图象经过点(28)，，则b a +等于 4 .解：由题设知 log (2)1log (8)2a a b b +=⎧⎨+=⎩，， 化简得 2(2)(8).b a b a +=⎧⎨+=⎩，解之得 1131a b =⎧⎨=⎩，； 2224.a b =-⎧⎨=-⎩，（舍去）. 故a b +等于4.15．已知函数()y f x =的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的 x 的取值范围为 [21)x ∈-， ．解： 因为 ()()22lg 620lg (3)11lg111x x x -+=-+≥>，所以()2lg 6200x x -+<. 于是，由图象可知，2111x x +≤-，即 201x x +≤-，解得 21x -≤<. 故x 的取值范围为 [21)x ∈-，．16．圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是 2 ．解：原式变形为|3|)1()3(22+-=-++y x y x ，即=2|3|2+-y x ．所以动点),(y x 到定点(31)-，的距离与它到直线03=+-y x 的距离之比为2．故此动点轨迹为双曲线，离心率为2．17．在ABC ∆中，已知3tan =B ，322sin =C ，63=AC ，则ABC ∆的面积为ABC S ∆=解：在ABC ∆中，由3tan =B 得︒=60B ．由正弦定理得sin 8sin AC CAB B⋅==．因为︒>60322arcsin，所以角C 可取锐角或钝角，从而31cos ±=C ．sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=sin 2ABC AC ABS A ∆⋅== 18. 设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有 且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a . 解：由a a <2得10<<a ．由0142>++ax x 对于任何x ∈R 成立，得04162<-=∆a ，即2121<<-a ．因为命题P 、Q 有且仅有一个成立，故实数 a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a ．19.22cos 75cos 15cos75cos15++⋅的值是 ． 解：22cos 75cos 15cos75cos15++⋅ =cos²75°+sin²75°+sin15°·cos15° =1+°30sin 21=5420.定义在R 上的函数()f x 满足(1)2f =，且对任意的x R ∈，都有1()2f x '<，则不等式22log 3(log )2x f x +>的解集为 ． 解：令g ﹙x ﹚=2f ﹙x ﹚－x ，由f '(x ) <1/2得，2f '(x ) -1<0，即'g ﹙x ﹚<0，g(x)在R 上为减函数，且g(1)=2f(1)-1=3，不等式f(log2X)>2log 2X化为2f(log2X)—log2X≥3，即g(log2X)>g(1),由g(x)的单调性得：log2X<1,解得，0<x<2. 21.圆O 的方程为221x y +=，(1,0)A ，在圆O 上取一个动点B ，设点P 满足()AP OB R λλ=∈且1AP AB ⋅=．则P 点的轨迹方程为 ．解：设P(x,y), AB =λOB (λϵR)得B(k(x —1)，ky)，（λ=k1）。

高中的数学竞赛试题及答案高中数学竞赛试题一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数不是有理数？A. πB. √2C. 0.333...（无限循环）D. 1/32. 如果函数f(x) = 2x^2 - 5x + 3在x = 2时取得最小值，那么f(2)的值是多少？A. -1B. 1C. 3D. 53. 已知等差数列的前三项分别为3, 8, 13，求第10项的值。

A. 43B. 48C. 53D. 584. 若sinx = 1/2，求cosx的值（假设x在第一象限）。

A. √3/2B. -√3/2C. 1/2D. -1/2二、填空题（每题4分，共12分）5. 计算(2x^3 - 3x^2 + 4x - 5) / (x - 1)的商式和余数。

商式为：________余数为：______6. 已知复数z = 3 + 4i，求其共轭复数。

共轭复数为：______7. 一个圆的半径为5，求其内接正六边形的边长。

边长为：______三、解答题（每题18分，共54分）8. 证明：对于任意正整数n，n^5 - n 总是能被30整除。

9. 已知函数g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求其导数g'(x)，并找出g(x)的极值点。

10. 解不等式：|x + 2| + |x - 3| > 4。

四、证明题（每题10分，共10分）11. 证明：对于任意实数a和b，(a^2 + b^2)(1/a^2 + 1/b^2) ≥ 2。

五、附加题（每题15分，共15分）12. 一个圆的半径为r，圆内接正n边形的边长为s。

证明：s =2r*sin(π/n)。

高中数学竞赛试题答案一、选择题1. A（π是无理数）2. B（f(2) = 4 - 10 + 3 = -3，但题目要求最小值，故应为B）3. C（公差d = 13 - 8 = 5，第10项a_10 = 3 + 9*5 = 53）4. A（根据勾股定理，cosx = √3/2）二、填空题5. 商式为：2x^2 - x - 5，余数为：-36. 共轭复数为：3 - 4i7. 边长为：10三、解答题8. 证明略。

数学竞赛试题及答案高中生试题一：代数问题题目：已知\( a, b \) 是方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \) 的两个实根，求 \( a^2 + 5a + 6 \) 的值。

解答：根据韦达定理，对于方程 \( x^2 + bx + c = 0 \)，其根\( a \) 和 \( b \) 满足 \( a + b = -b \) 和 \( ab = c \)。

因此，对于给定的方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \)，我们有 \( a + b =-5 \) 和 \( ab = 6 \)。

由于 \( a \) 是方程的一个根，我们可以将 \( a \) 代入方程得到 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。

所以 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。

试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，已知直角边长分别为 3 厘米和 4 厘米，求斜边的长度。

解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度 \( c \) 可以通过直角边 \( a \) 和 \( b \) 计算得出，公式为 \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \)。

将给定的边长代入公式，我们得到 \( c = \sqrt{3^2 + 4^2} =\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) 厘米。

试题三：数列问题题目：一个等差数列的首项 \( a_1 = 3 \)，公差 \( d = 2 \)，求第 10 项 \( a_{10} \) 的值。

解答：等差数列的通项公式为 \( a_n = a_1 + (n - 1)d \)，其中\( n \) 是项数。

将给定的值代入公式，我们得到 \( a_{10} = 3 + (10 - 1) \times 2 = 3 + 9 \times 2 = 3 + 18 = 21 \)。

试题四：组合问题题目：从 10 个不同的球中选取 5 个球，求不同的选取方式有多少种。

竞赛数学高中试题及答案试题一：多项式问题题目：已知多项式 \( P(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 5 \)，求 \( P(2) \) 的值。

解答：将 \( x = 2 \) 代入多项式 \( P(x) \) 中，得到：\[ P(2) = 2^3 - 3 \times 2^2 + 2 \times 2 - 5 = 8 - 12 + 4 -5 = -5 \]试题二：几何问题题目：在直角三角形 ABC 中，角 C 是直角，若 \( AB = 10 \) 且\( AC = 6 \)，求斜边 BC 的长度。

解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边 \( BC \) 可以通过以下公式计算：\[ BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \]试题三：数列问题题目：给定数列 \( a_n = 2n - 3 \)，求数列的前 5 项。

解答：根据数列公式 \( a_n = 2n - 3 \)，我们可以计算出前 5 项：\[ a_1 = 2 \times 1 - 3 = -1 \]\[ a_2 = 2 \times 2 - 3 = 1 \]\[ a_3 = 2 \times 3 - 3 = 3 \]\[ a_4 = 2 \times 4 - 3 = 5 \]\[ a_5 = 2 \times 5 - 3 = 7 \]数列的前 5 项为：-1, 1, 3, 5, 7。

试题四：概率问题题目：一个袋子里有 5 个红球和 3 个蓝球，随机抽取 2 个球，求抽到一个红球和一个蓝球的概率。

解答：首先计算总的可能组合数，即从 8 个球中抽取 2 个球的组合数：\[ \text{总组合数} = \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28 \]然后计算抽到一个红球和一个蓝球的组合数：\[ \text{有利组合数} = \binom{5}{1} \times \binom{3}{1} = 5 \times 3 = 15 \]所以，抽到一个红球和一个蓝球的概率为：\[ P = \frac{\text{有利组合数}}{\text{总组合数}} =\frac{15}{28} \]试题五：函数问题题目：若函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求 \( f(x) \) 的最小值。

高中数学趣味知识竞赛题库一、选择题（1 - 10题）1. 设集合A={xx^2-3x + 2=0}，B={xax - 2=0}，若B⊆ A，则a所有可能的值构成的集合为（）- A. {1,2}- B. {1,(2)/(3)}- C. {0,1,2}- D. {0,1,(2)/(3)}- 解析：- 先求解集合A，对于方程x^2-3x + 2 = 0，因式分解得(x - 1)(x - 2)=0，解得x = 1或x = 2，所以A={1,2}。

- 因为B⊆ A，当B=varnothing时，ax-2 = 0无解，此时a = 0；当B≠varnothing时，若x=(2)/(a)=1，则a = 2；若x=(2)/(a)=2，则a = 1。

所以a所有可能的值构成的集合为{0,1,2}，答案是C。

2. 函数y=log_a(x + 3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny + 1 = 0上，其中mn>0，则(1)/(m)+(2)/(n)的最小值为（）- A. 8- B. 6- C. 4- D. 10- 解析：- 对于函数y=log_a(x + 3)-1，令x+3 = 1，即x=-2，此时y=-1，所以定点A(-2,-1)。

- 因为点A在直线mx + ny+1 = 0上，所以-2m - n+1 = 0，即2m + n = 1。

- 又因为mn>0，所以m>0,n>0。

- 则(1)/(m)+(2)/(n)=(2m +n)((1)/(m)+(2)/(n))=2+(4m)/(n)+(n)/(m)+2=(4m)/(n)+(n)/(m)+4。

- 根据基本不等式(4m)/(n)+(n)/(m)≥slant2√(frac{4m){n}×(n)/(m)} = 4，当且仅当(4m)/(n)=(n)/(m)时等号成立。

- 所以(1)/(m)+(2)/(n)≥slant4 + 4=8，答案是A。

高中数学趣味知识竞赛1. 介绍高中数学作为一门重要的学科，对学生的逻辑思维和问题解决能力有着重要的培养作用。

为了更好地激发学生的学习兴趣和提高数学知识的掌握程度，举办一场高中数学趣味知识竞赛是非常有意义的。

2. 比赛形式高中数学趣味知识竞赛采用团队形式进行，每队由3名高中生组成。

比赛设置多个环节，包括选择题、填空题、计算题和应用题等，旨在全面测试选手在数学知识、应用能力和合作能力等方面的综合素质。

3. 比赛题目比赛题目旨在培养学生的逻辑思维能力、推理能力和问题解决能力。

以下是一些示例题目：3.1 选择题1.在平面直角坐标系中，已知直线L过点A(1,2)和B(4,6)，则它的斜率是多少？ A. 1 B. 2 C. 3 D. 42.若函数f(x)满足f(2x-1)=x^2+3，则f(1)的值为多少？ A. -2 B. -1C.0D. 13.2 填空题1.若a,b,c分别是等差数列的前3项，且a+c=10，则其公差d为\\\\。

2.已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c在x=1处取得极值，且在x=3处与坐标轴相交。

则a的值为 \\\\。

3.3 计算题1.解方程：sin(x) + cos(x) = 12.求函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 2的导函数f’(x)。

3.4 应用题1.若甲班有60名学生，乙班有80名学生，每名学生都学习数学和英语。

已知甲班学习数学的学生比例是80%，乙班学习数学的学生比例是75%，则两个班级共有多少名只学习英语的学生？2.在一个长方体水箱中，已知长、宽、高分别为3m、2m、1m。

若将1L的水倒入水箱，水位上升多少厘米？4. 比赛规则1.比赛时间限制为两个小时，选手需在规定时间内完成所有题目。

2.每道题目分值不同，选手需仔细评估难易程度，并合理分配时间。

3.答题过程中选手可以使用纸笔进行计算和作答。

4.每道题目限制答题时间，超时作答的题目将不计分。

5. 奖项设置根据比赛成绩，设置相应的奖项，包括个人奖和团队奖。

全国高中数学竞赛试题及答案试题一：函数与方程1. 已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \)，求\( f(x) \)的极值点。

2. 求解方程\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)的所有实根。

3. 判断函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在区间\( (0, +\infty) \)上的单调性。

试题二：解析几何1. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a > b > 0 \)，求椭圆的焦点坐标。

2. 求圆\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)的切线方程，已知切点坐标为\( (m, n) \)。

3. 证明点\( P(x_1, y_1) \)和点\( Q(x_2, y_2) \)的连线\( PQ \)的中点坐标为\( \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 +y_2}{2}\right) \)。

试题三：数列与级数1. 已知等差数列的首项\( a_1 = 3 \)，公差\( d = 2 \)，求第10项\( a_{10} \)。

2. 求等比数列\( b_1, b_2, b_3, \ldots \)的前\( n \)项和，其中\( b_1 = 1 \)，公比\( r = 3 \)。

3. 判断数列\( c_n = \frac{1}{n(n + 1)} \)的收敛性。

试题四：概率与统计1. 从5个红球和3个蓝球中随机抽取3个球，求至少有2个红球的概率。

2. 抛掷一枚均匀硬币4次，求正面朝上的次数为2的概率。

3. 某工厂生产的产品中有2%是次品，求从一批产品中随机抽取10个产品，至少有1个是次品的概率。

试题五：组合与逻辑1. 有5个不同的球和3个不同的盒子，将球分配到盒子中，每个盒子至少有一个球，求不同的分配方法总数。

2. 证明：对于任意的正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。

数学竞赛高中试题入门及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数不是整数？A. -3B. 0C. 5D. 2.52. 如果函数\( f(x) = 3x^2 - 5x + 2 \)，那么\( f(-1) \)的值是多少？A. 10B. 8C. 6D. 43. 圆的半径为3，圆心在原点，那么圆上任意一点到圆心的距离是多少？A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知三角形ABC的三个内角A、B、C，且A + B + C = 180°，如果角A = 60°，角B = 50°，那么角C是多少度？A. 70°B. 80°C. 90°D. 100°二、填空题（每题5分，共20分）5. 若\( a \)，\( b \)，\( c \)为三角形的三边，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，则该三角形是________。

6. 一个数的平方根是4，那么这个数是________。

7. 一个圆的面积为28.26平方厘米，那么它的半径是________厘米。

8. 已知等差数列\( 3, 7, 11, ... \)，第5项的值是________。

三、解答题（每题15分，共30分）9. 证明：如果\( a \)，\( b \)，\( c \)是正实数，且\( a + b +c = 1 \)，那么\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq9 \)。

10. 一个直角三角形的两条直角边长分别为6厘米和8厘米，求斜边的长度。

（使用勾股定理）四、证明题（每题15分，共15分）11. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2 \)。

五、结束语本试题旨在为高中数学竞赛入门者提供一个基础的练习平台，通过这些题目，学生可以检验自己的数学基础知识和解题技巧。

高中数学竞赛试题及答案一、选择题1.若直线l1:y = -2x + 3，直线l2过点(1,5)且与l1垂直，则l2的方程是：A. y = x + 4B. y = -x + 6C. y = x - 4D. y = -x + 4答案：C2.已知集合A = {x | |x - 3|< 2}，则A的值是： A. (-∞, 1) U (5, ∞) B. (-∞,1) U (3, ∞) C. (1, 5) D. (1, 5] U (5, ∞)答案：D二、填空题1.若a、b满足a+b=5，且ab=6，则a和b的值分别是____。

答案：2和32.若某几何体的体积V和表面积S满足S=3V，且V>0，则该几何体的体积V的值为____。

答案：1/3三、解答题1.设数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2 = an + 2n，求数列的通项公式。

解答：首先给出数列的前几项： a1 = 1 a2 = 2 a3 = 1 + 2 × 1 = 3 a4 = 2 + 2 × 2 =6 a5 = 3 + 2 × 3 = 9 … 从数列的前几项可以观察到，第n项的值为n^2 - 1。

所以数列的通项公式为an = n^2 - 1。

2.已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2，求f(x)的最小值及取得最小值时的x值。

解答：对于任意x，有f’(x) = 3x^2 - 6x + 4。

令f’(x) = 0，可以解得x = 1。

再求f’‘(x) = 6x - 6，当x = 1时，f’’(x) = 0。

所以x = 1是f(x)的极小值点。

代入f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2计算得最小值为-2。

所以f(x)的最小值是-2，取得最小值时的x值为1。

四、简答题1.数列的极限是什么？如何判断一个数列的极限存在？答：数列的极限是指当项数趋向无穷大时，数列的项的值趋向的一个确定的数。

趣味数学知识竞赛试题趣味数学知识竞赛试题数学是一门充满趣味和挑战的学科，不仅可以锻炼我们的思维，还可以培养我们的解决问题的能力。

为了激发大家对数学的兴趣，我们精心策划了一场趣味数学知识竞赛。

以下是本次竞赛的部分试题，让我们一起来感受数学的魅力吧！一、填空题1、在一个正方形的池子中，青蛙跳到了一个角落上，它需要跳几次才能跳出池子？2、有一个长度为n的数组，其中每个元素的值都是1或-1。

请问，这个数组中相邻两个元素的乘积有多少种可能的取值？3、一个球的半径为r，将它放入一个圆柱形容器中，容器的高度也是r。

容器的底面积是S，那么球在容器中的最大高度是多少？二、选择题1、以下哪个函数是奇函数？ A. f(x) = x^2 B. f(x) = 2x C. f(x) = x+1 D. f(x) = sin x2、一个6位的二进制数，能被3整除的个数是多少？ A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个3、一个正六边形的半径为r，那么它的面积为多少？ A. 3/2πr^2 B. 3πr^2 C. 6/2πr^2 D. 6πr^2三、解答题1、求 (1+i)^8 的实部和虚部。

2、将1,2,3,...,n这n个整数放入一个数组中，使得相邻两个元素的差的绝对值最大。

求这个最大值。

3、一个球在一个坡道上进行滚动，球的速度v与球的中心到坡道平面的垂直距离h满足关系：v = gh/2v_0，其中g是重力加速度，v_0是球在水平面上滚动时的速度。

求球在坡道上滚动的加速度与球在水平面上滚动的加速度的比值。

四、应用题一个农民想要用篱笆围成一个长方形菜园，菜园的一侧是墙，篱笆的总长度为L。

菜园的两条短边的长度之和是x，长边的长度是y。

如何确定x和y的值，才能使得菜园的面积最大？请用数学方法解答此问题。

以上就是本次趣味数学知识竞赛的部分试题，希望大家能够积极参与，共同感受数学的魅力！趣味历史知识竞赛试题题目：趣味历史知识竞赛关键词：历史，知识竞赛，趣味，古代文明，历史人物，历史事件亲爱的读者们，你们好！今天，我们将一起踏上一段充满趣味和探索的历史之旅。

高中数学竞赛赛题精选一、选择题（共12题）1．定义在R 上的函数()y f x =的值域为［m,n ］,则)1(-=x f y 的值域为（ ） A ．［m,n ］B ．［m-1,n-1］C ．［)1(),1(--n f m f ］D ．无法确定解：当函数的图像左右平移时，不改变函数的值域.故应选A.2．设等差数列{n a }满足13853a a =，且n S a ,01>为其前n 项之和，则)(*∈N n S n 中最大的是( ) A. 10S B. 11S C. 20S D. 21S 解：设等差数列的公差为d,由题意知3(1a +7d)=5(1a +12d),即d=-3921a , ∴n a = 1a +( n-1)d= 1a -3921a (n-1)= 1a (3941-392n),欲使)(*∈N n S n 最大，只须n a ≥0，即n ≤20.故应选C.3．方程log 2x=3cosx 共有（ ）组解．A ．1B ．2C ．3D ．4解：画出函数y=log 2x 和y=3cosx 的图像，研究其交点情况可知共有3组解．应选C ．4．已知关于x 的一元二次方程()02122=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（）Ａ．11<<-a Ｂ．1-<a 或1>aＣ．12<<-aＤ．2-<a 或1>a解：令f(x)= ()2122-+-+a x a x ，其图像开口向上，由题意知f(1)＜0，即 ()211122-+⨯-+a a ＜0，整理得022<-+a a ，解之得12<<-a ，应选C ．5．已知βα,为锐角，,cos ,sin y x ==βα53)cos(-=β+α，则y 与x 的函数关系为（ ） A ．1)x 53( x 54x 153y 2<<+--= B ．1)x (0 x 54x 153y 2<<+--=C ．)53x (0 x 54x 153y 2<<---= D ．1)x (0 x 54x 153y 2<<---= []xx y 54153sin )sin(cos )cos()(cos cos 2+-⋅-=⋅+++=-+==αβααβααβαβ解： 而)1,0(∈y 15415302<+-⋅-<∴x x ， 得)1,53(∈x .故应选A. 6．函数sin y x =的定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a-的最大值是（ ）A. πB. π2C.34πD. 35π解：如右图，要使函数sin y x =在定义域[],a b 上，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是74()663πππ--=.故应选C. 7．设锐角使关于x 的方程x 2+4x cos+cot =0有重根，则的弧度数为 ( )A ．6B ．12或512C ．6或512D ．12解：由方程有重根，故14=4cos 2－cot =0，∵ 0<<2，2sin2=1，=12或512．选B ． 8．已知M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．若对于所有的m ∈R ，均有M ∩N ，则b 的取值范围是 ( )A ．[－62，62] B ．(－62，62) C ．(－233，233] D ．[－233，233] 解：点(0，b )在椭圆内或椭圆上，2b 2≤3，b ∈[－62，62]．选A ．9．不等式log 2x －1+12log 12x 3+2>0的解集为A ．[2，3)B ．(2，3]C ．[2，4)D ．(2，4] 解：令log 2x=t ≥1时，t －1>32t －2．t ∈[1，2)，x ∈[2，4)，选C ．10．设点O 在ABC 的内部，且有+2+3=，则ABC 的面积与AOC 的面积的比为( )A ．2B ．32C ．3D ．53解：如图，设AOC=S ，则OC 1D=3S ，OB 1D=OB 1C 1=3S ，AOB=OBD=1.5S ．OBC=0.5S ，ABC=3S ．选C ．11．设三位数n=，若以a ，b ，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n 有( )A ．45个B ．81个C ．165个D ．216个 解：⑴等边三角形共9个；⑵ 等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为a ，b )，有36种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形，而以大数为底时，b <a <2b ．a=9或8时，b=4，3，2，1，(8种)；a=7，6时，b=3，2，1(6种)；a=5，4时，b=2，1(4种)；a=3，2时，b=1(2种)，共有20种不能取的值．共有236－20=52种方法，而每取一组数，可有3种方法构成三位数，故共有523=156个三位数即可取156+9=165种数．选C ．12．顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB ⊥OB ，垂足为B ，OH ⊥PB ，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长为 ( )A ．53 B ．253 C ．63 D ．263解：AB ⊥OB ，PB ⊥AB ，AB ⊥面POB ，面PAB ⊥面POB ．OH ⊥PB ，OH ⊥面PAB ，OH ⊥HC ，OH ⊥PC ，又，PC ⊥OC ，PC ⊥面OCH ．PC 是三棱锥P －OCH 的高．PC=OC=2．而OCH 的面积在OH=HC=2时取得最大值(斜边=2的直角三角形)．当OH=2时，由PO=22，知∠OPB=30，OB=PO tan30=263．又解：连线如图，由C 为PA 中点，故V O －PBC =12V B －AOP ，S B 11OABCABPO H C而V O －PHC ∶V O －PBC =PH PB =PO 2PB2(PO 2=PH ·PB )．记PO=OA=22=R ，∠AOB=，则V P —AOB =16R 3sin cos =112R 3sin2，V B －PCO =124R 3sin2． PO 2PB 2=R 2R 2+R 2cos 2=11+cos 2=23+cos2．V O －PHC =sin23+cos2112R 3． ∴ 令y=sin23+cos2，y=2cos2(3+cos2)－(－2sin2)sin2(3+cos2)2=0，得cos2=－13，cos =33， ∴ OB=263，选D ．二、填空题（共10题）13. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差为 解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .由题设得⎩⎨⎧-=+=+，，545101010511d a d a 即 ⎩⎨⎧-=+=+，，1922211d a d a 解之得1-=d .14. 设()log ()a f x x b =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(21)，，它的反函数的图象经过点(28)，，则b a +等于 4 .解：由题设知 log (2)1log (8)2a a b b +=⎧⎨+=⎩，， 化简得 2(2)(8).b a b a +=⎧⎨+=⎩，解之得 1131a b =⎧⎨=⎩，； 2224.a b =-⎧⎨=-⎩，（舍去）. 故a b +等于4.15．已知函数()y f x =的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的 x 的取值范围为 [21)x ∈-， ．解： 因为 ()()22lg 620lg (3)11lg111x x x -+=-+≥>，所以()2lg 6200x x -+<. 于是，由图象可知，2111x x +≤-，即 201x x +≤-，解得 21x -≤<. 故x 的取值范围为 [21)x ∈-，．16．圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是 2 ．解：原式变形为|3|)1()3(22+-=-++y x y x ，即=2|3|2+-y x ．所以动点),(y x 到定点(31)-，的距离与它到直线03=+-y x 的距离之比为2．故此动点轨迹为双曲线，离心率为2．17．在ABC ∆中，已知3tan =B ，322sin =C ，63=AC ，则ABC ∆的面积为ABC S ∆=解：在ABC ∆中，由3tan =B 得︒=60B ．由正弦定理得sin 8sin AC CAB B⋅==．因为︒>60322arcsin，所以角C 可取锐角或钝角，从而31cos ±=C ．sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=sin 2ABC AC ABS A ∆⋅== 18. 设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有 且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a . 解：由a a <2得10<<a ．由0142>++ax x 对于任何x ∈R 成立，得04162<-=∆a ，即2121<<-a ．因为命题P 、Q 有且仅有一个成立，故实数 a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a ．19.22cos 75cos 15cos75cos15++⋅的值是 ． 解：22cos 75cos 15cos75cos15++⋅ =cos²75°+sin²75°+sin15°·cos15° =1+°30sin 21=5420.定义在R 上的函数()f x 满足(1)2f =，且对任意的x R ∈，都有1()2f x '<，则不等式22log 3(log )2x f x +>的解集为 ． 解：令g ﹙x ﹚=2f ﹙x ﹚－x ，由f '(x ) <1/2得，2f '(x ) -1<0，即'g ﹙x ﹚<0，g(x)在R 上为减函数，且g(1)=2f(1)-1=3，不等式f(log2X)>2log 2X化为2f(log2X)—log2X≥3，即g(log2X)>g(1),由g(x)的单调性得：log2X<1,解得，0<x<2. 21.圆O 的方程为221x y +=，(1,0)A ，在圆O 上取一个动点B ，设点P 满足()AP OB R λλ=∈且1AP AB ⋅=．则P 点的轨迹方程为 ．解：设P(x,y), AB =λOB (λϵR)得B(k(x —1)，ky)，（λ=k1）。

高中数学趣味竞赛题（共10题）1、撒谎的有几人5个高中生有，她们面对学校的新闻采访说了如下的话：爱：“我还没有谈过恋爱。

”静香：“爱撒谎了。

”玛丽：“我曾经去过昆明。

”惠美：“玛丽在撒谎。

”千叶子：“玛丽和惠美都在撒谎。

”那么，这5个人之中到底有几个人在撒谎呢？2、她们到底是谁有天使、恶魔、人三者，天使时刻都说真话，恶魔时时刻刻都说假话，人呢，有时候说真话，有时候说假话。

穿黑色衣服的女子说：“我不是天使。

”穿蓝色衣服的女子说：“我不是人。

”穿白色衣服的女子说：“我不是恶魔。

”那么，这三人到底分别是谁呢？3、半只小猫听说祖父家的波斯猫生了好多小猫，喜欢猫的我兴高采烈地来到祖父家。

可是，只剩下1只小猫了。

“一共生了几只小猫呀？”“猜猜看，要是猜中了，就把剩下的这只小猫给你。

附近的宠物店听说以后，马上来买走了所有小猫的一半和半只。

”“半只？”“是啊，然后，邻居家的老奶奶无论如何都要，所以就把剩下的一半和另外半只给了她。

这就是只剩下1只小猫的原因。

那么你想想看，一共生了几只小猫呢？4、被虫子吃掉的算式一只爱吃墨水的虫子把下图的算式中的数字全部吃掉了。

当然，没有数字的部分它没有吃（因为没有墨水）。

那么，请问原来的算式是什么样子的呢？5、巧动火柴用16根火柴摆成5个正方形。

请移动2根火柴，使正方形变成4个。

6、折过来的角把正三角形的纸如图那样折过来时，角？的度数是多少度？7、星形角之和求星形尖端的角度之和。

8、啊！双胞胎？丈夫临死前，给有身孕的妻子留下遗言说，生的是男孩就给他财产的2/3、如果生的是女孩就给他财产的2/5、剩下的给妻子。

结果，生出来的是孪生兄妹——双胞胎。

这可难坏了妻子，3个人怎么分财产好呢？9、赠送和降价哪个更好？1罐100元的咖啡，“买5罐送1罐”和“买5罐便宜20%”这两种促销方法哪一种好呢？还是两种方法一样好？10、折成15度用折纸做成45度很简单是吧。

那么，请折成15度，你会吗？。