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华师大版 九年级（上） 《 第二十三章·一元二次方程 》 第二节23.2 一元二次方程的解法-6（根与系数的关系）作业一、积累·整合1．已知方程0132=+-x x 的两根是21,x x ，则：=+21x x ，21x x = ，2．已知关于x 的一元二次方程x 2+kx+k=0的一个根是–2，那么k=____。
3．已知方程022=-+kx x 的一个根是1，则另一个根是 ，k 的值是 .4. 若方程x 2+3x+m=0的一根是另一根的一半,则m=______,两个根是_______.5. 如果2x 2+1与4x 2-2x-5互为相反数,则x 的值为________.6. 某制药厂生产的某种针剂,每支成本3元,由于连续两次降低成本,现在的成本是2.43元,则平均每次降低的百分数是____. 二、拓展·应用7.已知一元二次方程 2 x 2+ b x + c = 0的两个根是 – 1 、3 ，则 b= ，,c= .8.若关于x 的一元二次方程x 2+px+q=0的两根互为相反数，则p=______，若两根互为倒数，则q=_____．9.如果x 1 、x 2 是方程x 2 + 4x + 3 = 0 的两根，则（x 1 + 1）（x 2 + 1）的值是 。
10.关于x 的方程x 2-kx+6=0有一根-2,那么这个方程两根倒数的和是_______. 三、探索·创新11.若一元二次方程(k-1)x 2-4x-5=0 有两个不相等实数根, 则k 的取值范围是_______.12.在Rt△ABC 中,斜边AB=5,BC 、AC 是一元二次方程x 2-(2m-1)x+4(m-1)=0 的两个实数根,则m 等于_________.13.已知x 1=q+p,x 2=q-p 是关于x 的一元二次方程x 2+px+q=0的两个根,求p 、q 的值.14.设,αβ是方程x 2-3x-5=0的两根,求2223αββ+-的值.15．在解方程x 2+px+q=0时，小张看错了p ，解得方程的根为1与－3；小王看错了q ，解得方程的根为4与－2。
《九年级上第二十三章第二节 一元二次方程的解法》教案第五课时 实际应用【教学课型】：新课◆课程目标导航：【教学目标】：1.使学生能根据量之间的关系，列出一元二次方程的应用题。
2.提高学生分析问题、解决问题的能力。
3.培养学生数学应用的意识。
【教学重点】：分析题中数量关系，适当设未知数，寻找等量关系. 【教学难点】：分析题中数量关系，适当设未知数，寻找等量关系. 【教学工具】：投影仪◆ 教学情景导入1.叙述列一元一次方程解应用题的步骤。
2.用多种方法解方程22(31)69x x x -=++ (让学生尝试用多种方法解方程，归结为：)解法1：将方程化为22(31)(3)x x -=+，直接开平方，得31(3)x x -=±+解得12x =，212x =-。
解法2：将方程化为一般形式22320x x --=，进而转化为23102x x --=，用配方法可求方程的解。
解法3：将方程化为一般形式22320x x --=，用公式法求解，其中224(3)42(2)25b ac -=--⨯⨯-=。
师：用哪种方法解方程22(31)69x x x -=++更简便？ 现在，你能解决§23.1的问题1了吗？◆教学过程一、新授：请同学们先看看Ｐ28页问题1，要想解决§23.1的问题1，首先要解方程2109000x x +-=，同学们能解这个方程吗？让学生动手解题并口答结果：15x =--25x =-+师提问：1.所求1x 、2x 都是所列方程的解吗？2.所求1x 、2x 都符合题意吗？让学生思考、分析，真正理解负数根不符合题意，应舍去符合题意的解是：2553725.4x =-+≈ 1035.4x +≈师:1和2说明了什么问题？让学生交流讨论、体会到把实际问题转化为数学问题来解决，求得方程的解，不一定是原问题的解答，因此，要注意是检验解是否符合题意。
作为应用题，还应作答。
例7．如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长。
23.1 一元二次方程教学目标：1、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式02=++c bx ax （a ≠0）2、在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。
3、会用试验的方法估计一元二次方程的解。
重点难点：1．一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。
2． 理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。
教学过程： 一 做一做：1．问题一 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 分 析：设长方形绿地的宽为x 米，不难列出方程 x(x ＋10)＝900整理可得 x 2＋10x －900=0. （1） 2．问题2学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.解：设这两年的年平均增长率为x ，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1＋x ）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x ）倍，即5（1＋x ）(1＋x)＝5(1＋x)2万册.可列得方程 5（1＋x ）2=7.2,整理可得 5x 2＋10x －2.2=0. （2） 3．思考、讨论这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ （ 学生分组讨论，然后各组交流 ）共同特点：（1） 都是整式方程 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是2 二、 一元二次方程的概念上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程）.通常可写成如下的一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a 、b 、c 是已知数，a ≠0)。
初中-数学-打印版初中-数学-打印版 一个性质在解一元二次方程中的运用对于实系数一元二次方程a x 2+ｂx +ｃ＝0（a ≠0），如果a +ｂ+ｃ＝0，则x 1＝1，x 2＝c a． 证明如下：因为a +ｂ+ｃ＝0，所以ｂ＝－a －ｃ，所以方程a x 2+ｂx +ｃ＝0可化为a x 2－a x －ｃx +ｃ＝0．因式分解，得（x －1）（a x －ｃ）＝0，所以x 1＝1，x 2＝c a． 对于特殊结构的一元二次方程，利用上述性质求解，则可简洁获解．现举例说明．例1 解方程：3 x 2－2 x －1＝0．解：因为3 +（－2 ）+（－1）＝0，所以，由上述性质，得x 1＝1，x 2＝－13． 例2 解方程：x 2－5 x +4＝0．解 因为1 +（－5 ）+4＝0，所以，由上述性质，得x 1＝1，x 2＝4．例3 解方程：2004 x 2+ x －2005＝0．解 因为2004 +1+（－2005）＝0，所以，由上述性质，得x 1＝1，x 2＝20052004． 例4 解方程：（a －ｂ）x 2+（ｂ－ｃ）x +（ｃ－a ）＝0（a ，ｂ，ｃ为常数，且a ≠ｂ）．解 因为（a －ｂ）+（ｂ－ｃ）+（ｃ－a ）＝0，所以，由上述性质，得x 1＝1，x 2＝c a a b--． 例5x 2－＝0．解（－+（0，所以，由上述性质，得x 1＝1，x 2事实上，上面的性质的逆命题也成立，即如果一元二次方程a x 2+ｂx +ｃ＝0（a ≠0）有一根为1，则有a +ｂ+ｃ＝0．利用这个逆命题同样可以简洁处理某些特殊结构的一元二次方程问题，请同学们在学习时注意体会．。
华师大版 九年级（上） 第二十三章 《一元二次方程》 第二节23.2 一元二次方程的解法-6(根与系数的关系) 教案【三维教学目标】知识与技能：熟练掌握根与系数的关系（利用韦达定理）的推导与应用。
过程与方法：①引导（教师指出学习目标） ②学生自学 ③分组交流、探究④展示（探究结果） ⑤教师点评（探究结果最终确认与知识、能力的提升）情感态度与价值观：经历知识产生的过程，探索新知识。
教学重点：能利用一元二次方程根与系数的关系式，确定方程中字母系数的值或其取值范围。
教学难点：运用韦达定理应适用的条件，确定所求字母系数的值是否符合条件。
【课堂导入】学生活动：（回顾）用配方法解关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0，且b 2-4ac ≥0）。
老师点评：分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去。
解：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为1，得x 2+b a x=-c a配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a ）2 即（x+2b a）2=2244b ac a - ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0 ∴2244b ac a-≥0直接开平方，得：x+2b a=±2a即∴x 1x 2请同学们尝试：x 1+ x 2= （ ？） x 1 x 2= （ ？）【教学过程】A 自 学：请同学们用10---15分钟时间自学教科书上本节内容。
B 交 流：请学生上黑板板书计算结果：若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根分别为x 1,x 2，则：x 1+x 2=-a b ；x 1x 2=ac 。
老师补充：若x 1,x 2是某一元二次方程的两根，则该方程可以写成：x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0.C 探 究：例1：已知：x1、x2是方程x2-x+a=0的两个实数根，且 211x + 221x =3 ，求a 的值。
华师大版九年级（上）第二十三章《一元二次方程》第二节23.2 一元二次方程的解法-4(因式分解法) 教案【三维教学目标】知识与技能：通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题。
过程与方法：①引导（教师指出学习目标）②学生自学③分组交流、探究④展示（探究结果）⑤教师点评（探究结果最终确认与知识、能力的提升）情感态度与价值观：经历知识产生的过程，探索新知识。
教学重点：用因式分解法解一元二次方程。
教学难点：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便。
【课堂导入】学生活动：解下列方程．（1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法）老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为12，12的一半应为14，因此，应加上（14）2，同时减去（14）2．（2）直接用公式求解。
【教学过程】A自学：请同学们用10---15分钟时间自学教科书上本节内容。
B交流：例1．解方程（1）4x2=11x （2）（x-2）2=2x-4分析：（1）移项提取公因式x；（2）等号右侧移项到左侧得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可达到分解因式；一边为两个一次式的乘积，•另一边为0的形式。
解：（1）移项，得：4x2-11x=0因式分解，得：x（4x-11）=0于是，得：x=0或4x-11=0x1=0，x2=11 4（2）移项，得（x-2）2-2x+4=0（x-2）2-2（x-2）=0因式分解，得：（x-2）（x-2-2）=0整理，得：（x-2）（x-4）=0于是，得x-2=0或x-4=0x1=2，x2=4例2．已知9a2-4b2=0，求代数式22a b a bb a ab+--的值．分析：要求22a b a bb a ab+--的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．解：原式=22222 a b a b bab a ---=-∵9a2-4b2=0∴（3a+2b）（3a-2b）=0 3a+2b=0或3a-2b=0，a=-23b或a=23b当a=-23b时，原式=-223bb-=3当a=23b时，原式=-3．C探究：例3．我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．（1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0分析：二次三项式x2-（a+b）x+ab的最大特点是x2项是由x·x而成，常数项ab是由-a·（-b）而成的，而一次项是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根据上面的分析，•我们可以对上面的三题分解因式．解（1）∵x2-3x-4=（x-4）（x+1）∴（x-4）（x+1）=0∴x-4=0或x+1=0∴x1=4，x2=-1（2）∵x2-7x+6=（x-6）（x-1）∴（x-6）（x-1）=0∴x-6=0或x-1=0∴x1=6，x2=1（3）∵x2+4x-5=（x+5）（x-1）∴（x+5）（x-1）=0∴x+5=0或x-1=0∴x1=-5，x2=1上面这种方法，我们把它称为十字相乘法．【课堂作业】1．x2-5x因式分解结果为_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______．2．方程（2x-1）2=2x-1的根是________．3．二次三项式x2+20x+96分解因式的结果为________；如果令x2+20x+96=0，那么它的两个根是_________．4．用因式分解法解下列方程．（1）3y2-6y=0 （2）25y2-16=0（3）x2-12x-28=0 （4）x2-12x+35=05．已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值．《作业答案与解析》1．x（x-5），（x-3）（2x-5）2．x1=12，x2=13．（x+12）（x+8），x1=-12，x2=-8 4．（1）3y（y-2）=0，y1=0，y0=2（2）（5y）2-42=0 （5y+4）（5y-4）=0，y1=-45，y2=45（3）（x-14）（x+2）=0 x1=14，x2=-2（4）（x-7）（x-5）=0 x1=7，x2=55．x+y=0或x+y-1=0，即x+y=0或x+y=1【教学反思】（1）用因式分解法，即用提取公因式法、乘法公式法、•十字相乘法等解一元二次方程要注意提醒学生整体法思想的应用，提出的的公因式，乘法公式法中的a、b，十字相乘法中的a、b不仅可以代表一个数或字母，而且还可以代表一个多项式。
§23.2.3一元二次方程的解法三探 索我们来讨论一般形式的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0).因为a ≠0，方程两边都除以a ，得x 2＋a b x ＋a c ＝0. 移项，得 x 2＋ab x ＝－ac ， 配方，得 x 2＋2·x ·a b 2＋(a b 2)2＝(a b 2)2－ac , 即 (x ＋ab 2) 2＝2244a ac b -. 因为 a ≠0，所以4 a 2＞0，当b 2－4 ac ≥0时，直接开平方，得 x ＋ab 2＝±a ac b 242-. 所以 x ＝-ab 2±a ac b 242-, 即 x ＝aac b b 242-±-. 由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0的求根公式：利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.例6 解下列方程:(1)2 x 2＋x －6＝0； (2) x 2＋4x ＝2；(3)5x 2－4x －12＝0； (4)4x 2＋4x ＋10＝1－8x.解 (1)这里a ＝2，b ＝1，c ＝-6，b 2－4ac ＝12－4×2×(-6) ＝1＋48＝49所以x ＝a ac b b 242-±-＝22491⨯±-＝471±-， 即原方程的解是 x 1＝-2，x 2＝23. (2)将方程化为一般式，得x 2＋4x －2＝0. 因为 b 2－4ac ＝24，所以 x ＝2244±-＝-2±6. 原方程的解是 x 1＝-2＋6，x 2＝-2－6.(3)因为 b 2－4ac ＝256，所以 x ＝52256)4(⨯±--＝10164±＝582± 原方程的解是 x 1＝-56，x 2＝2.(4)整理，得4x 2－12x ＋9＝0. 因为b 2－4ac ＝0， 所以x 1＝x 2＝-23.练 习应用公式法解方程：(1) x 2－6x ＋1＝0； (2)2x 2－x ＝6；(3)4x 2－3x －1＝x －2； (4)3x (x －3) ＝2(x －1) (x ＋1)；(5)2x 2－6x －3＝0；（6）x （x ＋5）＝24。
华师大版 九年级（上） 第二十三章《 一元二次方程》 第二节23.2 一元二次方程的解法-5（根的判别式） 教案【三维教学目标】知识与技能：用b 2-4ac 大于、等于0、小于0判别ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的情况及其运用过程与方法：①引导（教师指出学习目标） ②学生自学 ③分组交流、探究④展示（探究结果） ⑤教师点评（探究结果最终确认与知识、能力的提升）情感态度与价值观：通过复习用配方法解一元二次方程的b 2-4ac>0、b 2-4ac=0、b 2-4ac<0各一题，•分析它们根的情况，从具体到一般。
教学重点：b 2-4ac>0↔一元二次方程有两个不相等的实根；b 2-4ac=0↔一元二次方程有两个相等的实数；b 2-4ac<0↔一元二次方程没有实根。
教学难点：从具体题目来推出一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的b 2-4ac 的情况与根的情况的关系。
【课堂导入】学生活动：用公式法解下列方程．（1）2x 2-3x=0 （2）3x 2x+1=0 （3）4x 2+x+1=0 老师点评：（1）b 2-4ac=9>0，•有两个不相等的实根；（2）b 2-4ac=12-12=0，有两个相等的实根；（3）b 2-4ac=│-4×4×1│=<0，•方程没有实根【教学过程】A 自 学：请同学们用10---15分钟时间自学教科书上本节内容。
B 交 流：从前面的具体问题，我们已经知道b 2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分析：求根公式：x=2b a-±，当b 2-4ac>0一个具体数，所以一元一次方程的x 1=2b a -+≠x 1=2b a-，即有两个不相等的实根．当b 2-4ac=0时，•，所以x 1=x 2=2b a -，即有两个相等的实根；当b 2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．因此，（1）当b 2-4ac>0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）•有两个不相等实数根即x 1x 2 （2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等实数根即x 1=x 2=2b a-． （3）当b 2-4ac<0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）没有实数根。
