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2018-2019学年广东省东莞市高三（上）期末数学试卷（文科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合S={x|x＞-}，T={x|3x-1＜0}，则S∩T=（）A. B. C. D.2.已知复数z=（i为虚数单位），则|z|=（）A. 2B.C.D.3.已知向量=（l，1），=（2，x）， ⊥（-），则实数x的值为（）A. B. 0 C. 1 D. 24.已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.5.若a＞0，b＞0，a+2b=5，则ab的最大值为（）A. 25B.C.D.6.函数的图象大致为（）A. B.C. D.7.已知a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若⊥，⊥，则⊥D. 若⊥、⊥，则8.为了得到函数y=cos2x的图象，只需把函数y=cos（2x-）的图象（）A. 向左平移个单位得到B. 向右平移个单位得到C. 向左平移个单位得到D. 向右平移个单位得到9.在各项均为正数的等比数列{b n}中，若b4•b6=4，则log2b1+log2b2+…+log2b9=（）A. 6B. 7C. 8D. 910.在边长为2的等边△ABC中，D是BC的中点，点P是线段AD上一动点，则•的取值范围是（）A. B. C. D.11.已知圆C：x2+y2=4与y轴负半轴交于点M，圆C与直线l：x-y+1=0交于A，B两点，那么在圆C内随机取一点，则该点落在△ABM内的概率为（）A. B. C. D.12.设函数f（x）=，则满足f（x）+f（x-）＞1的x的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线y=x2+e x在点（0，1）处的切线方程为______．14.实数x，y满足，且z=3x-y，则z的最小值为______．15.三棱锥A-BCD的外接球为球O，球O的直径是AD，且△ABC，△BCD都是边长为2的等边三角形，则球O的表面积为______．16.如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边△ABC．则四边形OACB的面积最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}的首项a1=4，且a1，10，a2构成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log4a n，T n=+++…+，求T2019．18.某电商在双十一搞促销活动，顾客购满5件获得积分30分（不足5件不积分），每多买2件再积20分（不足2件不积分），比如某顾客购买了12件，则可积90分，为了解顾客积分情况．该电商在某天随机抽取了1000名顾客，统计了当天他们的购物数额，并将样本数据分为[3.5），[5，7），（7，9），[9，11），[11，13），[13，15），[15，17），[17，19），[19，21）九组，整理得到如图频率分布直方图．（1）求直方图中a的值；（2）从当天购物数额在[13，15），[15，17）的顾客中按分层抽样的方式抽取6人那么，从这6人中随机抽取2人，则这2人积分之和不少于240分的概率．19.如图，四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PAB，△ABP为等腰直角三角形，且AB=AP=2，AD=CD=1，（1）求证：CD⊥AP；（2）若CD⊥PD，求四棱锥P-ABCD的体积．20.已知椭圆C的中心在坐标原点，左右焦点分别为F1（-1，0）和F2（1，0），且椭圆C经过点M（1，）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆的右顶点D作两条相互垂直的直线l1，l2，分别与椭圆交于点A，B（均异于点D），求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标．21.已知函数f（x）=（x+a）ln x，g（x）=x2+x（a≤0且a为常数）．（1）当a=0时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意x≥1都有f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的普通方程为（x-1）2+y2=1，曲线C2的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=（p∈R）．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）直线l与曲线C1在第一象限内的交点为P，过点P的直线交曲线C2于A，B 两点，且AB的中点为P，求直线P的斜率．23.设函数f（x）=|x+a|-|x-2|-2．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）∃x∈R，使得f（x）≥0，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合S={x|x＞-}，T={x|3x-1＜0}={x|x＜}，∴S∩T={x|-}．故选：D．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：z===1-i，故|z|=，故选：B．化简z，求出|z|即可．本题考查了复数的运算，考查转化思想，是一道基础题．3.【答案】B【解析】解：；∵；∴；∴x=0．故选：B．可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x的值．考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法和数量积运算．4.【答案】D【解析】解：由双曲线的离心率为，则e==，即c=a，b===a，由双曲线的渐近线方程为y=x，即有y=x．故选：D．运用离心率公式，再由双曲线的a，b，c的关系，可得a，b的关系，再由渐近线方程即可得到．本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率公式和渐近线方程的求法，属于基础题．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：a＞0，b＞0，a+2b=5，则ab=a•2b≤（）2=，当且仅当a=，b=时取等号，故选D．6.【答案】D【解析】解：函数f（x）=，可得：f（-x）==-=-f（x），则函数f（x）是奇函数，排除A；∵f（1）=＜0，故排除B，C故选：D．判断函数的奇偶性，利用函数值的符号判断本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的值的符号，考查计算能力．7.【答案】D【解析】解：由a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：在A中，若a∥α，a∥b，则b∥a或b⊂α，故A错误；在B中，若a∥α，a∥β，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若a⊥α、b⊥α，则由线面垂直的性质定理得a∥b，故D正确．故选：D．在A中，b∥a或b⊂α；在B中，α与β相交或平行；在C中，α与β相交或平行；在D中，由线面垂直的性质定理得a∥b．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】A【解析】解：函数=cos[2（x-）]，所以只需把函数的图象，向左平移个长度单位，即可得到函数y=cos[2（x+-）]=cos2x的图象．故选：A．由左加右减上加下减的原则可确定函数y=sin2x到函数y=cos2x的路线，即可得到选项．本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意x的系数的应用．9.【答案】D【解析】解：各项均为正数的等比数列{b n}中，若b4•b6=4，，所以：b5=2则：b1•b9=b2•b8=b3•b7=b4•b6=4所以：log2b1+log2b2+…+log2b9，=log2（b1•b2…b8•b9），=log2（4•4•4•4•2），=9，故选：D．直接利用对数列运算和等比数列的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：对数列运算的应用，等比数列的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10.【答案】B【解析】解：设=，λ∈[0，1]，∵==，则•=•[]，==]=3（λ2-λ），∵0≤λ≤1，∴当λ=时，有最小值-，当λ=0或λ=1时，有最大值0，故选：B．设=，λ∈[0，1]，然后根据向量基本定理及向量的数量积定义可表示•，然后结合二次函数的性质即可求解．本题主要考查了向量的基本运算及向量数量积的性质，二次函数性质等知识的简单应用，属于基础试题．11.【答案】A【解析】解：由图可知：|OC|=，则|AB|=2=，因为|MD|=3|OD|，所以|MD|=，==，所以S三角形MAB由几何概型中的面积型有：该点落在△ABM内的概率为==，故选：A．由圆中弦长公式及三角形面积公式得：|AB|=2=，因为|MD|=3|OD|，所以|MD|=，所以S==，三角形MAB由几何概型中的面积型有：该点落在△ABM内的概率为==，得解．本题考查了圆中弦长公式及三角形面积公式，几何概型中的面积型题型，属中档题．12.【答案】C【解析】解：①若x≤0，则x-≤-，∴f（x）=2-x≥1，f（x-）＞1∴f（x）+f（x-）＞1成立，②当x＞时，x-＞0，∵f（x）+f（x-）＞1，∴-x+1-（x-）+1＞1，解得x＜，∴＜x＜，③当0＜x≤时，∴x-≤0，∴f（x-）≥1，f（x）=-x+1∈（，1），∴f（x）+f（x-）＞1成立，综上所述x＜故选：C．根据分段函数的表达式，分别讨论x的取值范围，进行求解即可．本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的不等式，利用分类讨论的数学思想进行求解是解决本题的关键．13.【答案】x-y+1=0【解析】解：求导函数可得y′=e x+2x，当x=0时，y′=e x+2×0=1，∴曲线y=e x+x2在点（0，1）处的切线方程为y-1=x，即：x-y+1=0．故答案为：x-y+1=0．求导函数，确定曲线y=e x+x2在点（0，1）处的切线斜率，从而可求切线方程．本题考查导数的几何意义，考查切线方程，属于基础题．14.【答案】-11【解析】解：如图作出阴影部分即为满足实数x，y满足的可行域，当直线z=3x-y平移到点A时，z=3x-y取最小值，∴当x=-4，y=-1时，z=3x-y取最小值为：-11．故答案为：-11．先画出实数x，y满足可行域，再将可行域中各个角点的值依次代入目标函数z=3x-y，不难求出目标函数z=3x-y的最大值．用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．15.【答案】8π【解析】解：如下图所示，由于AD是球O的直径，B为球O上一点，则∠ABD=90°，又因为△ABC，△BCD都是边长为2的等边三角形，则AB=BD=2，所以，球O的直径为，则，因此，球O的表面积为4πR2=8π．故答案为：8π．先由AD为球O的直径得出∠ABD为直角，由此可计算出AD的长度，可得出球O的半径R，再利用球体的表面积公式可得出答案．本题考查球体的表面积的计算，解决本题的关键在于球体基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题．16.【答案】2【解析】解：四边形OACB的面积=△OAB的面积+△ABC的面积，设∠AOB=θ，∴AB2=OA2+OB2-2OA•OB•sinθ=3+1-2×1×sinθ=4-2sinθ则△ABC的面积=•AB•AC•sin60°=•AB2=-cosθ△OAB的面积=•OA•OB•sinθ=×1×=sinθ，四边形OACB的面积=-cosθ+sinθ=+（sinθ-cosθ）=+sin（θ-60°），故当θ-60°=90°，即θ=150°时，四边形OACB的面积最大值为+=2，故答案为：2．设∠AOB=θ，并根据余弦定理，表示出△ABC的面积及△OAB的面积，进而表示出四边形OACB的面积，并化简函数的解析式为正弦型函数的形式，再结合正弦型函数最值的求法进行求解．函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A确定，即要求三角函数的周期与最值一般是要将其函数的解析式化为正弦型函数，再根据最大值为|A|、最小值为-|A|求解，属于中档题．17.【答案】解：（1）等比数列{a n}的首项a1=4，且a1，10，a2构成等差数列．所以：a1+a2=20，设等比数列的首项为q，则：4+4q=20，解得：q=4．所以：．（2）由于：，所以：设b n=log4a n=n，进一步整理得：，则：T n=+++…+，=，=，=．所以．【解析】首项利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】解：（Ⅰ）各组的频率分别为0.04，0.06，2a，2a，6a，0.2，2a，0.08，0.02，∴0.04+0.06+2a+2a+6a+0.2+2a+0.08+0.02=1，解得a=0.05．（Ⅱ）按分层抽样的方法，在[13，15）内应抽取4人，记为A，B，C，D，每人的积分是110分，在[15，17）内应抽取2人，记为a，b，每人的积分是130分，从6人中随机抽取2人，有AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，Ca，CB，Da，Db，ab，共15种方法，∴从6人中随机抽取2人，这两人的积分之和不少于240分的有：Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，ab，共9种方法，从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于240分的概率为：p==．【解析】（Ⅰ）利用频率分布直方图能求出a．（Ⅱ）按分层抽样的方法，在[13，15）内应抽取4人，记为A，B，C，D，每人的积分是110分，在[15，17）内应抽取2人，记为a，b，每人的积分是130分，从6人中随机抽取2人，利用列举法能求出这2人的积分之和不少于240分的概率．本题考查频率、概率的求法，考查列举法、频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】证明：（1）∵AD⊥平面PAB，AP⊂平面PAB，∴AD⊥AP，∵AP⊥AB，AB∩AD=A，∴AP⊥平面ABCD，∵CD⊂平面ABCD，∴CD⊥AP．解：（2）∵CD⊥AP，CD⊥PD，且PD∩AP=P，∴CD⊥平面PAD，①∵AD⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，∴AB⊥AD，∵AP⊥AB，AP∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，②由①②，得CD∥AB，∵AB⊥AD，∴四边形ABCD是直角梯形，∵AB=2，AD=CD=1，∴S梯形ABCD==，∵AP⊥平面PAB，∴四棱锥P-ABCD的体积==1．梯形【解析】（1）推导出AD⊥AP，AP⊥AB，从而AP⊥平面ABCD，由此能证明CD⊥AP．（2）推导出CD⊥平面PAD，AB⊥平面PAD，从而CD∥AB，进而四边形ABCD 是直角梯形，由此能求出四棱锥P-ABCD的体积．本题考查线线垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（1）设椭圆C的方程为=1，（a＞0，b＞0），∵椭圆左右焦点分别为F1（-1，0）和F2（1，0），且椭圆C经过点M（1，）．∴|MF1|==，|MF2|==，∴2a=|MF1|+|MF2|==4．∴a=2，∴b2=a2-c2=4-1=3，∴椭圆C的标准方程为=1．证明：（2）①直线AB斜率存在，设直线AB：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，消去y，得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2-3）=0，△=64m2k2-16（3+4k2）（m2-3）＞0.3+4k2-m2＞0，∴ ，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+mk（x1+x2）+m2=，由AD⊥BD，得k AD k BD=-1，∴=-1，∴y1y2+x1x2-2（x1+x2）+4=0，∴++4=0，∴7m2+16mk+4k2=0，解得，，且均满足3+4k2-m2＞0，当m2=-2k时，直线AB的方程为y=k（x-2），直线过定点（2，0），与已知矛盾，当m2=-时，直线AB的方程为y=k（x-），直线过定点（，0）．②由椭圆的对称性所得，当直线l1，l2的倾斜角分别为45°，135°时，直线l1的方程为y=x-2，直线l2的方程为-x+2，直线l1，l2分别与椭圆交于A（，），B（，-），此时直线AB的斜率不存在，也过定点（，0）．综上，直线AB恒过定点（，0）．【解析】（1）设椭圆C的方程为=1，（a＞0，b＞0），由椭圆左右焦点分别为F1（-1，0）和F2（1，0），且椭圆C经过点M（1，），利用椭圆定义求出a=2，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）直线AB斜率存在，设直线AB：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2-3）=0，利用根的判别式、韦达定理、直线垂直，结合已知条件求出直线过定点（，0）；由椭圆的对称性所得，当直线l1，l2的倾斜角分别为45°，135°时，直线l1，l2分别与椭圆义于A（，），B（，-），此时直线AB的斜率不存在，也过定点（，0）．由此能证明直线AB恒过定点（，0）．本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线过定点的证明，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线垂直等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．21.【答案】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），当a=0时，f′（x）=1+ln x，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，故f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，故f（x）极小值=f（）=-；（2）令F（x）=f（x）-g（x）=（x+a）ln x-x2-x（x≥1），则，对于任意x≥1都有f（x）≥g（x），只需F（x）≥0即可，F′（x）=ln x+-ax且F′（1）=0，记G（x）=F′（x）=ln x+-ax（x≥1），G′（x）=--a，由已知a≤0，故对于任意x≥1，都有G′（x）＞0恒成立，又G（1）=F′（1）=0，故F（x）在[1，+∞）递增，故F（x）min=F（1）=--1，由--1≥0，解得：a≤-2，故a≤-2时，对任意x≥1都有f（x）≥g（x）成立．【解析】（1）代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值；（2）令F（x）=f（x）-g（x），对于任意x≥1都有f（x）≥g（x），只需F（x）≥0即可，求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的最小值，确定a的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．22.【答案】解：（1）∵曲线C1的普通方程为（x-1）2+y2=1，∴曲线C1的圆心极坐标为（1，0），半径为1，∴曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθ，∵曲线C2的参数方程为（θ为参数），∴曲线C2的普通方程为=1．（2）当时，ρ=2cosθ=，，（α为倾斜角，t为参数），代入C2的普通方程，整理，得：（3cos2α+1）t2+（2sinα+8cosα）t-11=0，∵曲线C1截直线l′所得的线段的中点（1，1）在C1内，设A，B对应的参数为t1，t2，则t1+t2=0，由韦达定理得t1+t2=-=0，2sinα+8cosα=0，tanα=-4，∴直线l′的斜率为-4．【解析】（1）由曲线C1的普通方程能求出曲线C1的极坐标方程；由曲线C2的参数方程，能求出曲线C2的普通方程．（2）当时，ρ=2cosθ=，，（α为倾斜角，t为参数）代入C2的普通方程，得：（3cos2α+1）t2+（2sinα+8cosα）t-11=0，由此能求出直线l′的斜率．本题考查曲线的极坐标方程和普通方程的求法，考查直线的斜率的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．23.【答案】解：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|-|x-2|-2，令f（x）≥0，①当x≤-1时，-（x+1）+（x-2）-2=-5≥0，矛盾；②当-1＜x＜2时，（x+1）+（x-2）-2≥0，所以≤x＜2，③当x≥2时，（x+1）-（x-2）-2≥0，解得x≥2，综上所述，不等式的解集为{x|≤x}．……（6分）（2）因为f（x）=|x-a|-|x-2|-2≥0，|x+a|-|x-2|≥2，……（7分）因为，|x+a|-|x-2|≤|x+a-x+2|=|2+a|所以只需|a+2|≥2，……（8分）解得0≤a或a≤-4，所以a的取值范围为（-∞，-4]∪[0，+∞）．……（10分）【解析】（1）当a=1时，f（x）=|x-1|+|x+2|，①当x≤-1时，②当-1＜x＜2时，③当x≥2时，化简不等式去掉绝对值符号，求解不等式的解集即可．（2）利用绝对值的几何意义，推出|a+2|≥2，求解即可．本题考查绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．。
广东省东莞市高三上学期期末数学试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设a是实数，且(3+4i)(4+ai)是纯虚数，则a=A .B .C . -3D . 32. （2分）(2020·汨罗模拟) 函数的图像可由函数的图像至少向右平移（）个单位长度得到．A .B .C .D .3. （2分）设则“且”是“”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 即不充分也不必要条件4. （2分）(2014·新课标II卷理) 设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A . 0D . 35. （2分）运行如图的程序，若x=2，则输出的y等于（）A . 9B . 7C . 13D . 116. （2分） (2017高一下·庐江期末) 设f（x）是定义在R上恒不为零的函数，且对任意的x、y∈R都有f （x）•f（y）=f（x+y），若a1= ，an=f（n）（n∈N*），则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是（）A . [ ，1）B . [ ，1]C . （，1）D . （，1]7. （2分）(2017·潮州模拟) 已知实数x，y满足，若目标函数z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m﹣2，则实数m的取值不可能是（）A . 3D . ﹣18. （2分）(2017·淄博模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A . 8（π+4）B . 8（π+8）C . 16（π+4）D . 16（π+8）9. （2分） (2019高一上·兰州期中) 已知函数（是常数，且）在区间上有最大值3，最小值，则的值是（）A .B .C .D .10. （2分）(2018·南阳模拟) 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的最小值为（）A .B .C . 8D . 611. （2分）(2018·安徽模拟) 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（）A .B .C .D .12. （2分）若函数f（x）=（x+1）ex ，则下列命题正确的是（）A . 对任意m＞﹣，都存在x∈R，使得f（x）＜mB . 对任意m＜﹣，都存在x∈R，使得f（x）＜mC . 对任意m＜﹣，方程f（x）=m只有一个实根D . 对任意m＞﹣，方程f（x）=m总有两个实根二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）(2017·沈阳模拟) 设函数f（x）=g（）+x2 ，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为9x+y﹣1=0，则曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为________．14. （1分）设θ为第二象限角，若，则sin θ+ cos θ=________．15. （1分）甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲在心中任想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,且a,b∈{1,2,3,4,5,6}.若|a-b|≤1,则称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为________.16. （2分） (2017高二下·湖州期末) 已知单位向量，的夹角为120°，则 =________，| ﹣ |（λ∈R）的最小值为________．三、解答题 (共8题；共70分)17. （10分） (2014·广东理) 已知函数f（x）=Asin（x+ ），x∈R，且f（）= ．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）= ，θ∈（0，），求f（﹣θ）．18. （10分）(2017·湖南模拟) 如图，甲、乙两名篮球运动员的季后赛10场得分可用茎叶图表示如图：（1）某同学不小心把茎叶图中的一个数字弄污了，看不清了，在如图所示的茎叶图中用m表示，若甲运动员成绩的中位数是33，求m的值；（2）估计乙运动员在这次季后赛比赛中得分落在[20，40]内的概率．19. （10分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）点M在线段PC上，PM= PC，若平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=AD，三棱锥M﹣BCQ的体积为，求点Q到平面PAB的距离．20. （5分） (2016高二下·揭阳期中) 设F1、F2分别为椭圆Γ： =1（a＞b＞0）的左、右两个焦点，若椭圆上一点M（1，）到两个焦点的距离之和等于4．又已知点A是椭圆的右顶点，直线l交椭圆Γ于E、F两点（E、F与A点不重合），且满足AE⊥AF．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ） O为坐标原点，若点P满足2 ，求直线AP的斜率的取值范围．21. （10分）(2017·南通模拟) 已知函数f（x）=ax3﹣bx2+cx+b﹣a（a＞0）．（1）设c=0．①若a=b，曲线y=f（x）在x=x0处的切线过点（1，0），求x0的值；②若a＞b，求f（x）在区间[0，1]上的最大值．（2）设f（x）在x=x1，x=x2两处取得极值，求证：f（x1）=x1，f（x2）=x2不同时成立．22. （5分）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，交△ABC的外接圆于点E，延长AC交△DCE的外接圆于点F，DF= ．（Ⅰ）求BD；（Ⅱ）若∠AEF=90°，AD=3，求DE的长．23. （10分）已知曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ﹣sinθ）=a，曲线C2的参数方程为（θ为参数），且C1与C2有两个不同的交点．（1）写出曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）求实数a的取值范围．24. （10分）(2017·武邑模拟) 综合题：（1）解不等式：|2x﹣1|﹣|x|＜1；（2）设f（x）=x2﹣x+1，实数a满足|x﹣a|＜1，求证：|f（x）﹣f（a）|＜2（|a+1|）（1）解不等式：|2x﹣1|﹣|x|＜1；（2）设f（x）=x2﹣x+1，实数a满足|x﹣a|＜1，求证：|f（x）﹣f（a）|＜2（|a+1|）参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、24-1、24-2、。
2017-2018届东莞市高三毕业班第二次综合考试数学（文科）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则( )A． B． C． D．2.已知为纯虚数，则实数的值为( )A．4 B．2 C．1 D．-23.已知点在直线上，则( )A． B． C． D．4.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出结果为( )A．7 B．6 C.5 D．45.已知变量满足约束条件则目标函数的最小值为( )A． B． C.0 D．26.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( ) A．18 B．12 C. 10 D．87.已知函数的图象上的两点关于原点对称，则函数( )A．在内单调递增 B．在内单调递减C.在内单调递减 D．在在内单调递增8.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若函数在上单调递增，则的值不可能为( )A． B． C. D．9.已知四边形是矩形,，点是线段AC上一点，，且，则实数的取值为( )A． B． C. D．10.已知双曲线的离心率为2，过右焦点的直线交双曲线的两条渐近线于两点，且，则直线的斜率的值等于( )A． B． C. D．11.在中，若，则的取值范围为( )A． B． C. D．12.已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围为( )A． B．C. D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某机构对某镇的学生的身体素质状况按年级段进行分层抽样调查，得到了如下表所示的数据，则．14.已知函数,，则．15.已知几何体是平面截半径为4的球所得较大部分，是截面圆的内接三角形，，点是几何体的表面上一动点，且在圆上的投影在圆的圆周上，，则三棱锥的体积的最大值为．16.已知直线于圆交于两点，圆在点处的切线相交于点，则四边形的面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等比数列与等差数列成等差数列，成等比数列. (Ⅰ)求，的通项公式；(Ⅱ)设分别是数列，的前项和，若,求的最小值.18.如图，平面平面，四边形是平行四边形为直角梯形，，，且.(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)若,求该几何体的各个面的面积的平方和.19. 近几年来，“精准扶贫”是政府的重点工作之一，某地政府对240户贫困家庭给予政府资金扶助，以发展个体经济，提高家庭的生活水平.几年后，一机构对这些贫困家庭进行回访调查，得到政府扶贫资金数、扶贫贫困家庭数（户）与扶贫后脱贫家庭数（户）的数据关系如下：扶贫后脱贫家庭数(Ⅰ)求几年来该地依靠“精准扶贫”政策的脱贫率是多少；（答案精准到0.1%）(Ⅱ)从政府扶贫资金数为3万元和7万元并且扶贫后脱贫的家庭中按分层抽样抽取8户，再从这8户中随机抽取两户家庭，求这两户家庭的政府扶贫资金总和为10万元的概率.20.已知椭圆的左、右焦点分别为，过原点且斜率为1的直线交椭圆于两点，四边形的周长与面积分别为8与 .(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)设直线交椭圆于两点，且，求证：到直线的距离为定值.21. 已知函数.(Ⅰ)求曲线在处的切线方程；(Ⅱ)设，若有两个零点，求实数的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数)，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点的极坐标为.(Ⅰ)求曲线的极坐标方程；(Ⅱ)若点在曲线上，,求的大小.23.选修4-5：不等式选讲已知，且对任意的恒成立.(Ⅰ)求实数的取值范围；(Ⅱ)若正实数满足，求证.017-2018届东莞市高三毕业班第二次综合考试数学（文科）答案一、选择题1-5:CBDBA 6-10:DACBA 11、12：DC二、填空题13.37500 14.3 15.10 16.5三、解答题17.解析：(Ⅰ)设数列的公比为，数列的公差为，则解得（舍）或.(Ⅱ)由(Ⅰ)易知.由，得,是单调递增数列，且, 的最小值为7.18.解析：(Ⅰ)取的重点，连接.∵四边形为直角梯形，是的中点，，且.∵四边形是平行四边形，，且A，，且，四边形是平行四边形，.平面平面，平面.(Ⅱ)在中，,，,.,且,又,即，...∴该几何体的各个面的面积的平方和为.19.解析：(Ⅰ)几年来该地依靠“精准扶贫”政策的脱贫率是.(Ⅱ)由题意可知，从政府扶贫资金数为3万元和7万元并且扶贫后脱贫的家庭中分别抽取1户和7户，设从政府扶贫资金数为3万元并且扶贫后脱贫的家庭中抽取的1户为，从政府扶贫资金数为7万元并且扶贫后脱贫的家庭中抽取的7户分别为，再从这8户中随机抽取两户的所有可能情况为，共28种，符合题意的情况有共7种，故所求概率为.20.解析：(Ⅰ)不妨设点是第一象限的点，依题可得.∵.∵.∵点在椭圆上，，解得，或（舍）, ∴椭圆的标准方程为.(Ⅱ)当直线斜率存在时，设直线的方程为,由消去得,设则,∵,即,即,到直线的距离为.当直线的斜率不存在时，设直线的方程为.由椭圆的对称性易知到直线的距离为.到直线的距离为定值.21.解析：(Ⅰ)由题易知,,在处的切线方程为.(Ⅱ)由题易知.当时，在上单调递增，不符合题意.当时，令，得，在上，，在上,在上单调递减，在上单调递增，.有两个零点，,即,∵,解得,∴实数的取值范围为.22.解析：(Ⅰ)∵曲线的普通方程为，即,曲线的极坐标方程为.(Ⅱ)，且,或或，或.23.解析：(Ⅰ),∴实数的取值范围为.(Ⅱ)依题意，.要证，即证,即证,即证，此式显然成立，∴原不等式成立.。
2018届广东省东莞市高三毕业班第二次综合考试文科数学试卷（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，得，则.故选C.2. 已知为纯虚数，则实数的值为( )A. 4B. 2C. 1D. -2【答案】B【解析】因为为纯虚数，所以，即.故选B.3. 已知点在直线上，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，得，即，又因为，所以.故选D.4. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出结果为( )A. 7B. 6C. 5D. 4【答案】B【解析】由程序框图，得；；；；.故选B.5. 已知变量满足约束条件则目标函数的最小值为( )A. B. C. 0 D. 2【答案】A【解析】将化为，作出可行域和目标函数基准直线（如图所示），当直线向左上方平移时，直线在轴上的截距增大，即减小，由图象，得当直线过点时，联立，得，取得最小值.故选A.6. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. 18B. 12C. 10D. 8【答案】D【解析】由三视图得该几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2、3的矩形，垂直于底面的侧棱长为4，所以其体积为.故选D.7. 已知函数的图象上的两点关于原点对称，则函数( )A. 在内单调递增B. 在内单调递减C. 在内单调递减D. 在在内单调递增【答案】A【解析】易知函数为奇函数，因为其图象上的两点关于原点对称，所以，解得，即，解得，即，则在在内单调递增.故选A.8. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若函数在上单调递增，则的值不可能为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，当时，，若时，，即函数在上单调递增；若时，，即函数在上单调递增；若时，，即函数在上先减后增.故选C.9. 已知四边形是矩形,，点是线段AC上一点，，且，则实数的取值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由平面向量的平行四边形法则，得，，因为，所以，即，解得.故选B.10. 已知双曲线的离心率为2，过右焦点的直线交双曲线的两条渐近线于两点，且，则直线的斜率的值等于( )A. B. C. D.【答案】A【解析】因为双曲线的离心率为2，所以，则双曲线的两条渐近线方程为，设过右焦点的直线的方程为，联立，得，联立，得，由，得，即，解得，即直线的斜率的值等于.故选A.11. 在中，若，则的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，即，即，即，由正弦定理，得，由余弦定理，得，即（当且仅当时取等号），又易知，即.故选D.12. 已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围为( )A. B.C. D.【答案】C【解析】显然，当时，不等式不恒成立，设过原点的直线与函数相切于点，因为，所以该切线方程为，因为该切线过原点，所以，解得，即该切线的斜率，由图象，得.故选C.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某机构对某镇的学生的身体素质状况按年级段进行分层抽样调查，得到了如下表所示的数据，则__________．年级段小学初中高中总人数800样本中人数16 15【答案】37500【解析】由分层抽样的特点，得，即，则.故填37500.14. 已知函数,，则__________．【答案】3【解析】由题意，得，即，解得，即.故填3.15. 已知几何体是平面截半径为4的球所得较大部分，是截面圆的内接三角形，，点是几何体的表面上一动点，且在圆上的投影在圆的圆周上，，则三棱锥的体积的最大值为__________．【答案】10【解析】因为在圆上的投影在圆的圆周上，所以点所在的圆周面和圆面关于球心对称，即点到平面的距离为，设截面圆的半径为，其内接的一个锐角为，因为，所以，则，所以三棱锥的体积的最大值为.故填10.16. 已知直线于圆交于两点，圆在点处的切线相交于点，则四边形的面积为__________．【答案】5【解析】由平面几何知识，得点与圆心的连线与直线垂直，则，解得，则，因为圆心到直线的距离为，所以，则四边形的面积为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等比数列与等差数列成等差数列，成等比数列.(Ⅰ)求，的通项公式；(Ⅱ)设分别是数列，的前项和，若,求的最小值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)7.【解析】试题分析：(Ⅰ)设数列的公比为，数列的公差为，利用等差中项和等比中项进行求解；(Ⅱ)先利用分组求和法进行求和，再利用数列的单调性和验证法进行求解.试题解析：(Ⅰ)设数列的公比为，数列的公差为，则解得（舍）或.(Ⅱ)由(Ⅰ)易知.由，得,是单调递增数列，且,的最小值为7.18. 如图，平面平面，四边形是平行四边形为直角梯形，，，且.(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)若,求该几何体的各个面的面积的平方和.【答案】(Ⅰ)见解析.(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)取的中点，利用四边形的对边平行且相等证明该四边形为平行四边形，进而利用线面平行的判定定理进行证明；(Ⅱ)先判定每个表面的形状，再分别求和.试题解析：(Ⅰ)取的中点，连接.∵四边形为直角梯形，是的中点，，且.∵四边形是平行四边形，，且A，，且，四边形是平行四边形，.平面平面，平面.(Ⅱ)在中，,，,.,且,又,即，...∴该几何体的各个面的面积的平方和为.19. 近几年来，“精准扶贫”是政府的重点工作之一，某地政府对240户贫困家庭给予政府资金扶助，以发展个体经济，提高家庭的生活水平.几年后，一机构对这些贫困家庭进行回访调查，得到政府扶贫资金数、扶贫贫困家庭数（户）与扶贫后脱贫家庭数（户）的数据关系如下：政府扶贫资金数（万元） 3 5 7 9政府扶贫贫困家庭数（户）20 40 80 100扶贫后脱贫家庭数（户）10 30 70 90(Ⅰ)求几年来该地依靠“精准扶贫”政策的脱贫率是多少；（答案精准到0.1%）(Ⅱ)从政府扶贫资金数为3万元和7万元并且扶贫后脱贫的家庭中按分层抽样抽取8户，再从这8户中随机抽取两户家庭，求这两户家庭的政府扶贫资金总和为10万元的概率.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)利用所给频数分布表和频率公式进行估计；(Ⅱ)先利用分层抽样得到两层所抽取的数据，再列出所有可能基本事件，再利用古典概型的概率公式进行求解.试题解析：(Ⅰ)几年来该地依靠“精准扶贫”政策的脱贫率是.(Ⅱ)由题意可知，从政府扶贫资金数为3万元和7万元并且扶贫后脱贫的家庭中分别抽取1户和7户，设从政府扶贫资金数为3万元并且扶贫后脱贫的家庭中抽取的1户为，从政府扶贫资金数为7万元并且扶贫后脱贫的家庭中抽取的7户分别为，再从这8户中随机抽取两户的所有可能情况为，共28种，符合题意的情况有共7种，故所求概率为.20. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过原点且斜率为1的直线交椭圆于两点，四边形的周长与面积分别为8与 .(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)设直线交椭圆于两点，且，求证：到直线的距离为定值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ) 见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)利用四边形的周长和椭圆的定义得到，再利用四边形的面积公式和点在椭圆上求出椭圆的标准方程；(Ⅱ)设出直线方程，联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系、平面向量的数量积为0进行求解.试题解析：(Ⅰ)不妨设点是第一象限的点，依题可得.∵.∵.∵点在椭圆上，，解得，或（舍）,∴椭圆的标准方程为.(Ⅱ)当直线斜率存在时，设直线的方程为,由消去得,设则,∵,即,即,到直线的距离为.当直线的斜率不存在时，设直线的方程为.由椭圆的对称性易知到直线的距离为.到直线的距离为定值.【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线和椭圆的位置关系.在研究直线和圆锥曲线的位置关系时，往往要先利用题意设出直线方程，再联立直线和圆锥曲线的方程，利用根与系数的关系进行求解，但要注意讨论直线的斜率是否存在，如本题中，直线不存在斜率的直线符合题意.21. 已知函数.(Ⅰ)求曲线在处的切线方程；(Ⅱ)设，若有两个零点，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)求导，利用导数的几何意义进行求解；(Ⅱ)求导，通过讨论的取值，研究函数的单调性和极值，通过函数的零点个数判定极值的符号进行求解.试题解析：(Ⅰ)由题易知,,在处的切线方程为.(Ⅱ)由题易知.当时，在上单调递增，不符合题意.当时，令，得，在上，，在上,在上单调递减，在上单调递增，.有两个零点，,即,∵,解得,∴实数的取值范围为.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数)，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点的极坐标为.(Ⅰ)求曲线的极坐标方程；(Ⅱ)若点在曲线上，,求的大小.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)或.【解析】试题分析：(Ⅰ)先将圆的标准方程转化为一般方程，再利用互化公式进行转化；(Ⅱ)利用曲线的极坐标方程的几何意义和三角恒等变换进行求解.试题解析：(Ⅰ)∵曲线的普通方程为，即,曲线的极坐标方程为.(Ⅱ)，且,或或，或.23. 选修4-5：不等式选讲已知，且对任意的恒成立.(Ⅰ)求实数的取值范围；(Ⅱ)若正实数满足，求证.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ) 见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)利用三角不等式求最值，再利用不等式恒成立问题确定的取值；(Ⅱ)利用分析法进行证明.试题解析：(Ⅰ), ∴实数的取值范围为.(Ⅱ)依题意，.要证，即证,即证,即证，此式显然成立，∴原不等式成立.。
东莞市2017-2018学年第一学期高三年级期末考试数学(文科)试卷分析一、试题总评价:试卷结构稳定,突出双基,重视能力,知识考查面广,容易上手,难度适中,区分度明显,解答题入口宽、方法多,在解题流程中设计了关卡,利于选拔,各种层次的学生可以充分展现自己的真实能力。
从平均分得分情况看,试题有很好的梯度度,数列题目较常规但得分偏低,说明学生运算能力还有待进一步提高,其余难以程度把控得比较好.三、答卷情况分析(详见下面各题分析)1、础知识不扎实,对公式、定理、概念、方法的记忆、理解模糊。
2、计算能力薄弱,知识的迁移能力差,综合运用知识的能力差。
3、审题不清,答题不全面、不完整、不规范。
四、对下阶段备考的几点建议:1、注意学生分析综合能力的养成,注重培养学生的独立思考能力、创新能力和实践能力,关注学生的直接经验,培养学生自主学习能力。
2、增加数学的专项训练、限时训练;对学生进行应试心理和应试策略的指导;加强综合训练,提高应试技能技巧。
3、三要突出重点,合理取舍复习内容。
以主干知识为主线,总结相关题型,选择恰当的试题针对性地复习训练。
例如:(1)三角函数与数列:①三角函数方面,小题主要考查三角函数的化简、求值、恒等变形、图象与性质;注意到三角恒等变换的思想是化异为同,方法是变角、变名、变式,关键在于角的变换;大题考查解三角形,考查正弦、余弦定理、面积公式的灵活应用。
②数列方面:小题考查基本计算,大题常以递推数列的形式考查求通项、求和。
求通项是高考的重点,也是难点,要求学生重点掌握利用an与Sn的关系、累加法、累乘法、待定系数法等求通项方法。
求和也是高考的重点,要求学生重点掌握公式法、裂项相消法、错位相减法、分组求和法(拆项、并项、奇偶分析)等。
(2)概率与统计:小题统计主要考基础知识,概率以古典概型为主,几何概型较少,题量1个;大题主要考查统计为主、概率为辅,考查频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差、独立性检验、线性回归、概率等。
2018年广东省东莞市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜5}，则A∩B＝（）A．（﹣2，5）B．（﹣2，0）C．（0，1）D．（1，5）2．（5分）已知为纯虚数，则实数a的值为（）A．4B．2C．1D．﹣23．（5分）已知点P（sinθ，3sinθ+1）（θ∈（0，））在直线x+y﹣3＝0上，则θ＝（）A．B．C．D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出x＝5，则输出结果为（）A．7B．6C．5D．45．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x﹣y的最小值为（）A．B．C．0D．26．（5分）如图，网格纸上的小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．18B．12C．10D．87．（5分）已知函数的图象上的两点（x0，y0），（4+x0，x0+y0）关于原点对称，则函数f（x）（）A．在（﹣∞，0）内单调递增B．在（0，+∞）内单调递减C．在（﹣∞，0）∪（0，+∞）内单调递减D．在（﹣∞，0）∪（0，+∞）内单调递增8．（5分）将函数g（x）＝sin2x的图象向右平移ϕ个单位，得到函数f（x）的图象，若函数f（x）在上单调递增，则ϕ的值不可能为（）A．B．C．D．9．（5分）已知四边形ABCD是矩形，AB＝2AD＝2，点E是线段AC上一点，，且，则实数λ的取值为（）A．B．C．D．10．（5分）已知双曲线C：（a＞b＞0）的离心率为2，过右焦点F的直线l交双曲线的两条渐近线于A，B两点，且＝0，则直线l的斜率k（k＞0）的值等于（）A．3B．2C．D．11．（5分）在△ABC中，若，则cos A的取值范围为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数若不等式f（x）≥mx恒成立，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）某机构对某镇的学生的身体素质状况按年级段进行分层抽样调查，得到了如下表所示的数据，则＝．14．（5分）已知函数f（x）＝ax﹣b（a＞0），f（f（x））＝4x﹣3，则f（2）＝．15．（5分）已知几何体Ω是平面α截半径为4的球O所得较大部分，△ABC是截面圆O′的内接三角形，∠A＝90°，点P是几何体Ω上的一动点，且P在圆O′上的投影在圆O′的圆周上，OO′＝1，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为16．（5分）已知直线l：x+y＝3与圆C：（x﹣a）2+（y﹣5）2＝10交于A，B两点，圆C在点A，B处的切线l1，l2相交于点P（），则四边形ACBP的面积为三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等比数列{a n}与等差数列{b n}，a1＝b1＝1，a1≠a2，a1，a2，b3成等差数列，b1，a2，b4成等比数列．（Ⅰ）求{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设S n，T n分别是数列{a n}，{b n}，的前n项和，若S n+T n＞100，求n的最小值．18．如图，平面CDEF⊥平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形CDEF为直角梯形，∠ADC＝120°，CF⊥CD，且CF∥DE，AD＝2DC＝DE＝2CF．（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；（Ⅱ）若AD＝2，求该几何体的各个面的面积的平方和．19．近几年来，“精准扶贫”是政府的重点工作之一，某地政府对240户贫困家庭给予政府资金扶助，以发展个体经济，提高家庭的生活水平．几年后，一机构对这些贫困家庭进行回访调查，得到政府扶贫资金数、扶贫贫困家庭数x（户）与扶贫后脱贫家庭数y（户）的数据关系如下：（Ⅰ）求几年来该地依靠“精准扶贫”政策的脱贫率是多少；（答案精准到0.1%）（Ⅱ）从政府扶贫资金数为3万元和7万元并且扶贫后脱贫的家庭中按分层抽样抽取8户，再从这8户中随机抽取两户家庭，求这两户家庭的政府扶贫资金总和为10万元的概率．20．已知椭圆Ω：（a，b＞1）的左、右焦点分别为F1，F2，过原点O且斜率为1的直线l交椭圆Ω于A，B两点，四边形F1AF2B的周长与面积分别为8与．（Ⅰ）求椭圆Ω的标准方程；（Ⅱ）设直线l'交椭圆Ω于C，D两点，且OG⊥OD，求证：O到直线l'的距离为定值．21．已知函数f（x）＝e x﹣2x﹣1．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）设g（x）＝af（x）+（1﹣a）e x，若g（x）有两个零点，求实数a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A的极坐标为．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若点B在曲线C上，，求∠AOB的大小．[选修4-5：不等式选讲]23．已知m+n＝9，f（x）＝|x﹣m|+|x+n|，且对任意的x∈R，f（x）≥M恒成立．（Ⅰ）求实数M的取值范围；（Ⅱ）若正实数a，b满足a2+b2＝M max，求证（a+b）（a3+b3）≥81．2018年广东省东莞市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜5}，则A∩B＝（）A．（﹣2，5）B．（﹣2，0）C．（0，1）D．（1，5）【解答】解：∵A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜5}，∴A∩B＝{x|0＜x＜1}＝（0，1），故选：C．2．（5分）已知为纯虚数，则实数a的值为（）A．4B．2C．1D．﹣2【解答】解：＝＝a﹣2﹣4i为纯虚数，则实数a满足：a﹣2＝0，解得a＝2．故选：B．3．（5分）已知点P（sinθ，3sinθ+1）（θ∈（0，））在直线x+y﹣3＝0上，则θ＝（）A．B．C．D．【解答】解：点P（sinθ，3sin+1）在直线x+y﹣3＝0上，∴sinθ+3sinθ+1﹣3＝0，可得sinθ＝，又θ∈（0，），则θ＝．故选：D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出x＝5，则输出结果为（）A．7B．6C．5D．4【解答】解：若输出x＝5，则第一次执行循环体后，d＝﹣5，x＝﹣5，满足条件x≠0，不满足条件x＞0，故x＝﹣4，i ＝2；第二次执行循环体后，d＝4，x＝4，满足条件x≠0，满足条件x＞0，故x＝3，i＝3；第三次执行循环体后，d＝﹣3，x＝﹣3，满足条件x≠0，不满足条件x＞0，故x＝﹣2，i ＝4；第四次执行循环体后，d＝2，x＝2，满足条件x≠0，满足条件x＞0，故x＝1，i＝5；第五次执行循环体后，d＝﹣1，x＝﹣1，满足条件x≠0，不满足条件x＞0，故x＝0，i＝6；第六次执行循环体后，d＝0，x＝0，不满足条件x≠0，故输出的i＝6，故选：B．5．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x﹣y的最小值为（）A．B．C．0D．2【解答】解：由z＝x﹣y得y＝x﹣z，作出不等式组对应的平面区域如图：平移y＝x﹣z，由图象知当直线y＝x﹣z经过点A时，直线y＝x﹣z的截距最大，此时z最小，由得，即A（，），z＝﹣＝﹣，故选：A．6．（5分）如图，网格纸上的小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．18B．12C．10D．8【解答】解：由三视图知，该几何体是侧棱P A⊥底面ABCD的四棱锥，画出直观图如图所示；结合图中数据，计算该几何体的体积为V＝×3×2×4＝8．故选：D．7．（5分）已知函数的图象上的两点（x0，y0），（4+x0，x0+y0）关于原点对称，则函数f（x）（）A．在（﹣∞，0）内单调递增B．在（0，+∞）内单调递减C．在（﹣∞，0）∪（0，+∞）内单调递减D．在（﹣∞，0）∪（0，+∞）内单调递增【解答】解：∵（x0，y0），（4+x0，x0+y0）关于原点对称，∴，∴x0＝﹣2，y0＝1，把（﹣2，1）代入f（x）得：﹣6+＝1，解得a＝14．∴f（x）＝3x﹣（x≠0）．∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递增，故选：A．8．（5分）将函数g（x）＝sin2x的图象向右平移ϕ个单位，得到函数f（x）的图象，若函数f（x）在上单调递增，则ϕ的值不可能为（）A．B．C．D．【解答】解：函数g（x）＝sin2x的图象向右平移ϕ个单位，得到函数f（x）的图象，则f（x）＝sin2（x﹣φ）＝sin（2x﹣2φ），由2kπ﹣≤2x﹣2φ≤2kπ+，k∈Z，得kπ+φ﹣≤x≤kπ+φ+，k∈Z，若函数f（x）在上单调递增，则满足，即，即﹣kπ+≤φ≤﹣kπ+，k∈Z，当k＝0时，≤φ≤，此时A，B合适当k＝﹣1时，π+≤φ≤π+，此时D合适，故不可能的是C，故选：C．9．（5分）已知四边形ABCD是矩形，AB＝2AD＝2，点E是线段AC上一点，，且，则实数λ的取值为（）A．B．C．D．【解答】解：四边形ABCD是矩形，AB＝2AD＝2，可得•＝0，＝+，点E是线段AC上一点，，且，可得λ•（﹣）＝λ22﹣λ（+）•＝﹣，即有5λ2﹣4λ+＝0，解得λ＝，故选：B．10．（5分）已知双曲线C：（a＞b＞0）的离心率为2，过右焦点F的直线l交双曲线的两条渐近线于A，B两点，且＝0，则直线l的斜率k（k＞0）的值等于（）A．3B．2C．D．【解答】解：∵e＝2，∴＝＝，∴双曲线的两条渐近线为y＝±x，设直线l的方程为x＝y+1，由，可得y A＝，同理可得y B＝，∵＝0，∴y A+2y B＝0，∴+2×＝0，解得k＝3，故选：A．11．（5分）在△ABC中，若，则cos A的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴，可得，∴cos A＝．又＝2R，cos A＝，∴＝，可得3a2＝b2+c2．∴cos A＝＝＝．∴cos A的取值范围为[，1）．故选：D．12．（5分）已知函数若不等式f（x）≥mx恒成立，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，当m＝0时，显然g（x）≥h（x）恒成立．g（x）＝（1）若g（x）＝x2﹣x，（x≥1），则x2﹣x≥mx，即x2﹣x（m+1）≥0，则m+1≤1，可得m≤0．（2）方法一：若g（x）＝x2﹣3x+2，（x＜1），则x2﹣3x+2≥mx，即x2﹣x（m+3）+2≥0，当x＝0时，显然成立，当0＜x＜1，分离参数，即≥m．∵y＝，当且仅当x＝时取等，∴当0＜x＜1，函数y＝是递减函数．故得值域y∈（0，3）∴m∈（﹣3，0）当x＜0，分离参数，∵y＝，当且仅当x＝﹣时取等，可得：m≥﹣2．方法二：若g（x）＝x2﹣3x+2，（x＜1），则x2﹣3x+2≥mx，即x2﹣x（m+3）+2≥0，①当△＝（3+m）2﹣8≤0，解得：﹣3≤m≤﹣3+2，不等式在x＜1上恒大于0；②当△＝（3+m）2﹣8＞0，方程有两个实根：≥1，可得m≤0．综上（1）（2）：不等式f（x）≥（m+2）x﹣1恒成立，则则实数m的取值范围为[﹣3﹣2，0]．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）某机构对某镇的学生的身体素质状况按年级段进行分层抽样调查，得到了如下表所示的数据，则＝37500．【解答】解：根据分层抽样原理知，＝＝，∴x＝750，＝50；∴＝750×50＝37500．故答案为：37500．14．（5分）已知函数f（x）＝ax﹣b（a＞0），f（f（x））＝4x﹣3，则f（2）＝3．【解答】解：f（x）＝ax﹣b；∴f（f（x））＝f（ax﹣b）＝a（ax﹣b）﹣b＝a2x﹣ab﹣b＝4x﹣3；∴，且a＞0；∴a＝2，b＝1；∴f（x）＝2x﹣1；∴f（2）＝2×2﹣1＝3．故答案为：3．15．（5分）已知几何体Ω是平面α截半径为4的球O所得较大部分，△ABC是截面圆O′的内接三角形，∠A＝90°，点P是几何体Ω上的一动点，且P在圆O′上的投影在圆O′的圆周上，OO′＝1，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为10【解答】解：由对称性知占P到平面ABC的距离为2，设圆O′的半径为r，则r＝＝，BC＝2，当点A到BC的距离为时，S△ABC取得最大值为15，此时，三棱锥P﹣ABC的体积取得最大值为：V P﹣ABC＝＝10．故答案为：10．16．（5分）已知直线l：x+y＝3与圆C：（x﹣a）2+（y﹣5）2＝10交于A，B两点，圆C在点A，B处的切线l1，l2相交于点P（），则四边形ACBP的面积为5【解答】解：根据题意，圆C：（x﹣a）2+（y﹣5）2＝10的圆心为（a，5），过圆心C与P的直线与直线AB垂直，则有＝1，解可得a＝2，则|PC|＝＝，圆心C到直线x+y＝3的距离d＝＝2，则|AB|＝2×＝2，则S四边形ACBP＝×|PC|×|AB|＝5；故答案为：5．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等比数列{a n}与等差数列{b n}，a1＝b1＝1，a1≠a2，a1，a2，b3成等差数列，b1，a2，b4成等比数列．（Ⅰ）求{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设S n，T n分别是数列{a n}，{b n}，的前n项和，若S n+T n＞100，求n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，数列{b n}的公差为d，d≠0，a1，a2，b3成等差数列，b1，a2，b4成等比数列，可得a1+b3＝2a2，a22＝b1b4，则解得（舍）或，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）易知．由S n+T n＞100，得，∵是单调递增数列，且，∴n的最小值为7．18．如图，平面CDEF⊥平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形CDEF为直角梯形，∠ADC＝120°，CF⊥CD，且CF∥DE，AD＝2DC＝DE＝2CF．（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；（Ⅱ）若AD＝2，求该几何体的各个面的面积的平方和．【解答】证明：（Ⅰ）取DE的中点H，连接AH，HF．∵四边形CDEF为直角梯形，DE＝2CF，H是DE的中点，∴HF＝DC，且HF∥DC．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，且AB∥DC，∴AB＝HF，且AB∥HF，∴四边形ABFH是平行四边形，∴BF∥AH，又∵AH⊂平面ADE，BF⊄平面ADE，∴BF∥平面ADE．（Ⅱ）∵在平行四边形ABCD中，AD＝2，CD＝1，∠ADC＝120°，∴S四边形ABCD＝2××2×1×＝，．连结BD，则DE⊥BD，且，∴，又，∴AE2＝AB2+BE2，即∠EBA＝90°，∴．又EF＝，BF＝，∴BF2+EF2＝BE2，即∠EFB＝90°，∴．．∴该几何体的各个面的面积的平方和为．19．近几年来，“精准扶贫”是政府的重点工作之一，某地政府对240户贫困家庭给予政府资金扶助，以发展个体经济，提高家庭的生活水平．几年后，一机构对这些贫困家庭进行回访调查，得到政府扶贫资金数、扶贫贫困家庭数x（户）与扶贫后脱贫家庭数y（户）的数据关系如下：（Ⅰ）求几年来该地依靠“精准扶贫”政策的脱贫率是多少；（答案精准到0.1%）（Ⅱ）从政府扶贫资金数为3万元和7万元并且扶贫后脱贫的家庭中按分层抽样抽取8户，再从这8户中随机抽取两户家庭，求这两户家庭的政府扶贫资金总和为10万元的概率．【解答】解：（Ⅰ）几年来该地依靠“精准扶贫”政策的脱贫率是．（Ⅱ）由题意可知，从政府扶贫资金数为3万元和7万元并且扶贫后脱贫的家庭中分别抽取1户和7户，设从政府扶贫资金数为3万元并且扶贫后脱贫的家庭中抽取的1户为A，从政府扶贫资金数为7万元并且扶贫后脱贫的家庭中抽取的7户分别为B1，B2，B3，B4，B5，B6，B7，再从这8户中随机抽取两户的所有可能情况为：（A，B1），（A，B2），（A，B3），（A，B4），（A，B5），（A，B6），（A，B7），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B1，B5），（B1，B6），（B1，B7），（B2，B3），（B2，B4）（B2，B5），（B2，B6），（B2，B7），（B3，B4），（B3，B5），（B3，B6），（B3，B7），（B4，B5），（B4，B6），（B4，B7），（B5，B6），（B5，B7），（B6，B7），共28种，符合题意的情况有（A，B1），（A，B2），（A，B3），（A，B4），（A，B5），（A，B6），（A，B7）共7种，故所求概率为p＝．20．已知椭圆Ω：（a，b＞1）的左、右焦点分别为F1，F2，过原点O且斜率为1的直线l交椭圆Ω于A，B两点，四边形F1AF2B的周长与面积分别为8与．（Ⅰ）求椭圆Ω的标准方程；（Ⅱ）设直线l'交椭圆Ω于C，D两点，且OG⊥OD，求证：O到直线l'的距离为定值．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，不妨设点A是第一象限的点，且A（x0，y0）．四边形F1AF2B的周长为8，即4a＝8，则a＝2，∴a2＝4．又由四边形F1AF2B的面积为，则有，∴．点A（，）在椭圆Ω上，则有，解得b2＝3，或（舍），∴椭圆Ω的标准方程为．（Ⅱ）当直线l'斜率存在时，设直线l'的方程为y＝mx+n，由消去y得（3+4m2）x2+8mnx+4n2﹣12＝0，设C（x1，y1），D（x2，y2）则，∵OC⊥OD，x1x2+y1y2＝0，即，即，∴O到直线l'的距离为．当直线l'的斜率不存在时，设直线l'的方程为x＝x0．由椭圆的对称性易知，∴O到直线l'的距离为．综合可得：O到直线l'的距离为定值．21．已知函数f（x）＝e x﹣2x﹣1．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）设g（x）＝af（x）+（1﹣a）e x，若g（x）有两个零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题易知f′（x）＝e x﹣2，切线的斜率k＝f′（0）＝1﹣2＝﹣1，f（0）＝e0﹣2×0﹣1＝0，∴f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣x．（Ⅱ）由题易知g（x）＝e x﹣2ax﹣a，g′（x）＝e x﹣2a．当a≤0时，g′（x）＞0，∴g（x）在R上单调递增，不符合题意．当a＞0时，令g′（x）＝0，得x＝ln2a，在（﹣∞，ln2a）上，g′（x）＜0，在（ln2a，+∞）上g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，ln2a）上单调递减，在（ln2a，+∞）上单调递增，∴g（x）极小值＝g（ln2a）＝2a﹣2aln2a﹣a＝a﹣2aln2a．∵g（x）有两个零点，∴g（x）极小值＜0，即a﹣2aln2a＜0，∵a＞0，∴，解得，∴实数a的取值范围为．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A的极坐标为．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若点B在曲线C上，，求∠AOB的大小．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为（α为参数），∴曲线C的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，即x2+y2﹣2x﹣2y＝0，∴曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ+2sinθ．（Ⅱ）∵点A的极坐标为，∴|OA|＝2，|OB|＝ρ，∵点B在曲线C上，，∴，∴或或，∴或．[选修4-5：不等式选讲]23．已知m+n＝9，f（x）＝|x﹣m|+|x+n|，且对任意的x∈R，f（x）≥M恒成立．（Ⅰ）求实数M的取值范围；（Ⅱ）若正实数a，b满足a2+b2＝M max，求证（a+b）（a3+b3）≥81．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝|x﹣m|+|x+n|≥|（x﹣m）﹣（x+n）|＝|m+n|＝9，∴M≤9，∴实数M的取值范围为（﹣∞，9]．（Ⅱ）依题意，a2+b2＝9．要证（a+b）（a3+b3）≥81，即证（a+b）（a3+b3）≥（a2+b2）2，即证a4+ab3+a3b+b4﹣a4﹣2a2b2﹣b4≥0，即证ab（a﹣b）2≥0，此式显然成立，∴原不等式成立．。
广东省东莞市2018-2019学年上学期高三12月模拟文科数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，集合0，1，，则A. 2}B.C. 1，D. 0，1，【答案】D【解析】解：；0，1，．故选：D．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.已知复数z满足，则A. B. C. 1 D. 5【答案】C【解析】解：，故，故选：C．求出z，求出z的模即可．本题考查了复数求模问题，考查复数的运算，是一道常规题．3.已知a，b为实数，命题甲：，命题乙：，则甲是乙的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：命题甲：，不能推出命题乙：，比如当取，，当然满足甲，但推不出乙；若命题乙：成立，则可得a，b均为负值，且，由不等式的性质两边同乘以b可得，即甲成立，故甲是乙的必要不充分条件，故选：B．举反例，，可证甲不能推乙，由不等式的性质可证乙可推甲，由充要条件的定义可得．本题考查充要条件，利用不等式的性质和反例法是解决问题的关键，属基础题．4.按照程序框图如图所示执行，输出的最后一个数是A. 9B. 7C. 5D. 3【答案】A【解析】解：模拟程序的运行，可得：，，输出A的值为1，满足条件，执行循环体，，输出A的值为3，满足条件，执行循环体，，输出A的值为5，满足条件，执行循环体，，输出A的值为7，满足条件，执行循环体，，输出A的值为9，此时，不满足条件，退出循环，结束．即输出的最后一个数是9．故选：A．直接利用程序框图的循环结构求出结果．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为A.B.C.D.【答案】B【解析】解：由三视图知该几何体为四棱锥，记作，其中面面ABCD为正方形，将此四棱锥补成正方体，易知正方体的体对角线即为外接球直径，所以．所以体积故选：B．三视图可知该几何体为一个四棱锥，从一个顶点出发的三条棱两两互相垂直，可将该四棱锥补成正方体，再去求解．本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，转化能力，将四棱锥补成正方体是关键．6.已知双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：双曲线的离心率为2，可得，则，所以双曲线的渐近线方程为：故选：A．利用双曲线的离心率求出b，然后求解双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．7.已知的边BC上有一点满足，则可表示为A. B.C. D.【答案】D【解析】解：；；；．故选：D．根据即可得出，解出向量即可．考查向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算．8.四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：如图，设正方形边长为2，则，取AB，AD，DP的中点分别为E，F，G，连接EF，FG，EG，则，，为异面直线AP与BD所成的角的补角．连接ED，由，，得．在中，由，，得．．异面直线AP与BD所成的角为．故选：C．由题意画出图形，作平行线找出异面直线AP与BD所成角的补角，再由余弦定理求解，则答案可求．本题考查异面直线所成角的求法，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．9.函数的图象与函数的图象关于直线对称，则m的值不可能是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由题意，令即，可得：，即．，．当时，可得，当时，可得当时，可得，的值不可能．故选：B．由题意，与图象形状相同，位置不同，过与图象交点做x轴垂线即是与的对称轴．可得m的值．本题考查了三角函数的图象及性质的对称轴问题属于基础题．10.已知，，求的最小值A. 4B. 2C. 1D.【答案】B【解析】解：是曲线C：上的点，是直线l：上的点；可看成曲线C上的点到直线l上的点的距离的平方．对函数求导得，令，得，所以，曲线C上一点到直线l上距离最小的点为，该点到直线l的距离为．因此，的最小值为．故选：B．将点是曲线C：上的点，点是直线l：上的点；可看成曲线C上的点到直线l上的点的距离的平方然后将问题转化为求曲线C上一点到直线l距离的最小值的平方，直接对函数求导，令导数为零，可求出曲线C上到直线l距离最小的点，然后利用点到直线的距离公式可求出最小距离，从而得出答案．本题考查距离的最值问题，将问题进行转化是解本题的关键，属于中等题．11.设，在，，中，正数的个数是A. 25B. 50C. 75D. 100【答案】D【解析】解：由于的周期，由正弦函数性质可知，，，，，，，，，，，且，，但是单调递减，，，都为负数，但是，，，，，，，中都为正，而，，，都为正，同理，，，都为正，，，，，，都为正故选：D．由于的周期，由正弦函数性质可知，，，，，，，，，单调递减，，都为负数，但是，，，，即可得到结论．本题主要考查了三角函数的周期的应用，数列求和的应用，解题的关键是正弦函数性质的灵活应用12.已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由题意可以作出函数与的图象，如图所示．若不等式恒成立，必有，其中k是过点的切线斜率．设切点为，因为，所以，解得，所以，故故选：B．问题转化为函数的图象横在上或上方，再转化为切线去做．本题考查了数形结合，属难题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，，则______．【答案】【解析】解：，，．则．故答案为：．利用指数与对数运算性质即可得出．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.函数在点处的切线方程是______．【答案】【解析】解：函数的导数为，可得在点处的切线斜率为，切点为，即有在点处的切线方程为，即为．故答案为：．求出的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程．本题考查导数的运用：求切线方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．15.若x，y满足约束条件满足，则的取值范围为______．【答案】【解析】解：，y满足约束条件满足的可行域如图：目标函数为：，分析可知z在点处取得最大值，，z在点处取得最小值，，，故答案为：．作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象根据截距的大小进行判断，从而得出目标函数的取值范围．本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，此题是一道中档题，有一定的难度，画图是关键．16.在中，，，的面积为，点P在内，且，则的面积的最大值为______．【答案】【解析】解：，，的面积为，可得：，在中，由余弦定理可得：，，在中，由余弦定理可得：，可得：，即：，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立，即的面积的最大值为．故答案为：．由已知利用三角形面积公式可求，在中，由余弦定理可得BC的值，在中，由余弦定理，基本不等式可求，进而根据三角形的面积公式可求的面积的最大值．本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在数列中，．证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；求数列的前n项和．【答案】证明：因为．．分所以数列是公差为1，首项为的等差数列，所以分所以数列的通项公式为分解：令则分得分所以分所以分【解析】由已知可得，进而可得，故数列为等差数列，进而可得数列的通项公式；令，利用错位相减法，，进而根据可得数列的前n项和．本题考查的知识点是数列求和，求数列的通项公式，数列的递推公式，难度中档．18.某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以单位：盒，表示这个开学季内的市场需求量，单位：元表示这个开学季内经销该产品的利润．根据频率分布直方图估计这个开学季内市场需求量x的平均数求y关于x的函数关系式；并结合频率分布直方图估计利润y不少于4000元的概率．【答案】解：由频率分布直方图得需求量为的频率为，需求量为的频率为，需求量为的频率为，需求量为的频率为，需求量为的频率为，则平均数：．因为每售出1盒该产品获利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元，所以当时，，当时，，所以，．因为利润不少于4000元，所以，解得．所以由知利润不少于4000元的概率．【解析】由频率分布直方图能估计这个开学季内市场需求量x的平均数．因为每售出1盒该产品获利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元，所以当时，，当时，，由此能将y表示为x的函数．由利润不少于4000元，得，由此能求出利润不少于4000元的概率．本题考查平均数、函数表达式、概率的求法，考查频率分布直方图的应用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题．19.如图，平行四边形ABCD中，，，平面ABCD，，E，F分别为BC，PE的中点．求证：平面PED；求点C到平面PED的距离．【答案】证明：连接AE，在平行四边形ABCD中，，，，，从而有，．平面ABCD，平面ABCD，，又，平面PAE，平面PAE从而有．又，F为PE的中点，，又，平面PED．解：设点C到平面PED的距离为d，在中，，，．在中，，，．由得，，．所以点C到平面PED的距离为．【解析】连接AE，推导出，，从而平面PAE，进而，再求出，由此能证明平面PED．设点C到平面PED的距离为d，由，能求出点C到平面PED的距离．本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．20.已知椭圆C的左、右焦点分别为、，且经过点求椭圆C的方程：直线与椭圆C相交于A，B两点，D点为椭圆C上的动点，且，请问的面积是否存在最小值？若存在，求出此时直线AB的方程：若不存在，说明理由．【答案】解：由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为：，则，，将点代入椭圆方程：，即，解得：，，椭圆C的方程：分在AB的垂直平分线上，：分由，可得，，分同理可得，分则分由于，分，当且仅当，即时取等号．的面积取最小值，直线AB的方程为分【解析】由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为：，则，，将点代入椭圆方程：，即可求得a和b的值，求得椭圆C的方程：在AB的垂直平分线上，OD：，将直线方程代入椭圆方程求得，则，，可知，根据基本不等式的性质可知：，因此，即可求得直线AB的方程．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查三角形的面积公式与基本不等式性质的应用，考查计算能力，属于中档题．21.已知函数，x是函数的极值点．若，求函数的最小值；若不是单调函数，且无最小值，证明：．【答案】解：时，，其定义域是，，令，解得：，故在递减，在递增，故的最小值是；证明：函数的定义域是，，显然方程，设表示单调函数，且无最小值，则方程必有2个不相等的正跟，故，解得：，设方程的2个不相等的正根是，，其中，故，令，解得：或，令，解得：，故是极大值点，是极小值点，，故只需证明，由，且得，，，故，从而．【解析】代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；求出函数的导数，结合二次函数的性质以及函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.在直角坐标系xOy中，曲线C：，直线：，直线：，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．写出曲线C的参数方程以及直线，的极坐标方程；若直线与曲线C分别交于O，A两点，直线与曲线C分别交于O，B两点，求的面积．【答案】解：曲线C：，依题意，曲线C：，故曲线C的参数方程是为参数，直线：，直线：，，的极坐标方程为：，：．曲线C：，曲线C的极坐标方程为，把代入，得，所以．把代入，得，所以．所以．【解析】由曲线C的直角坐标方程能求出曲线C的参数方程；由直线，的直角坐标方程能求出，的极坐标方程．由曲线C：，得曲线C的极坐标方程为，把代入，得把代入，得由此能求出的面积．本题考查曲线的参数方程、直线的极坐标方程的求法，考查三角形面积的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.已知函数．求不等式的解集；设，若关于x的不等式的解集非空，求实数m的取值范围．【答案】解：由题意，，或，由得或；由得或，原不等式的解集为或；原不等式等价于的解集非空，，，．【解析】由题意，，或，分别解不等式，即可求不等式的解集；原不等式等价于的解集非空，求出左边的最小值，即可求实数m的取值范围．本题考查不等式的解法，考查绝对值不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
2018届东莞市高三第一次调研考试试题文科数学注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合2{|430}A x x x =-+< ，{|230}B x x =->，则A B =I（A ）3(3,)2-- （B ）3(3,)2- （C ）3(1,)2 （D ）3(,3)2（2）若复数z 满足(12)(1)i z i +=-，则||z =（A ）25 （B ）35（C （D （3）等差数列}{n a 的前9项的和等于前4项的和，若0,141=+=a a a k ，则=k（A ）3 （B ）7 （C ）10 （D ）4（4）双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的离心率213=e ，则它的渐近线方程（A ）x y 23±= （B ）x y 32±= （C ）x y 49±= （D ）x y 94±= （5）已知 1.22a =，8.02=b ，52log 2c =，则,,a b c 的大小关系为（A ）c b a << （B ）c a b << （C ）b a c << （D ）b c a << （6）已知tan 2θ=，且θ∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，则cos2θ= (Ａ)45 (Ｂ) 35 (Ｃ) 35- (Ｄ) 45- （7）已知两点()1,1A -，()3,5B ，点C 在曲线22y x =上运动，则AB •AC 的最小值为A ．2B ．12 C ．2- D ．12- （8）四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的 硬币.若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没 有相邻的两个人站起来的概率为 （A ）14 （B ）716 （C ）12 （D ）916（9）已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形,2,2,AB SA SB SC ====则三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离是（A ）33 （B ）1 （C 3 （D 33（10）如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为A ．83 B ．163C ．323D ．16（11）设关于y x ,的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-<+>+-00012m y m x y x 表示的平面区域内存在点),(00y x P 满足2200=-y x ，则m 的取值范围是 （A ）)34,(--∞ （B ）)0,32(-（C ）)31,(--∞ （D ）)32,(--∞（12）已知函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点，则ω的取值范围为 A ．1927,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．913,22ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．1725,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．[)4,6ππ 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
（东莞市）2017—2018学年度第一学期期末教学质量检查高三理科数学考生注意：本卷共三大题，23小题，满分150分，时间120分钟，不准使用计算器 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确，请用2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑）1、已知集合2{|2},{|20}A x R x B x R x x =∈≥=∈--<，则下列结论正确的是（ ）A 、AB R =B 、A B ≠∅C 、A B =∅D 、A B =∅2、设复数z 满足(1)4i z i -=（i 是虚数单位），则||z =（ ）A 、1BC 、2D、3、“1m =-”是“直线11:220mx y ++=与直线21:(1)0x m y +-=平行”的（ ）A 、充要条件B 、必要不充分条件C 、充分不必要条件D 、既不充分也不必要条件4、已知实数,x y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≥⎩，则函数2z x y =+的最小值为（ ）A 、4B 、6C 、0D 、25、阅读下左图程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为（ ）A 、4B 、5C 、6D 、7第5题图第6题图6、某几何体的三视图如图所示，（网格线中，每各小正方形的边长为1），则该几何体的体积为 （ ） A 、1B 、2C 、3D 、47、已知3位女生和2位男生参加歌咏比赛，则男生不再第一位和第五位出场的概率为（ ）A 、310B 、320C 、35D 、258、已知函数()sin()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<的最小正周期大于2π，且当2x π=时()f x 取得最大值为1，曲线()y f x =的一个对称中心为5,04π⎛⎫⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A 、()f x 在,4ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上递增B 、()f x 在59,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减C 、()f x 在,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减D 、()f x 在53,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上递增9、函数ln (0)1()ln()(0)1xx xf x x x x⎧>⎪⎪+=⎨-⎪<⎪-⎩的图象大致是（ ）ABCD10、已知函数()f x 是定义在[1,1]-上的偶函数，当[0,1]x ∈时，2()f x x =，且函数()()g x f x mx m =--在[1,1]-上有两个零点，则实数m 的取值范围为 （ ）A 、10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B 、1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C 、10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D 、10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦11、如图ABC ∆中，60,5,4,2,B BC AB BA BE ==== 34BF BC =，G 为AF 和CE 的交点。
