一元三次方程求根公式完整推导过程

[编辑本段]解一元三次方程的卡尔丹公式法卡尔丹公式法特殊型一元三次方程X^3＋pX＋q=0 (p、q∈R)。

判别式Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3。

卡尔丹公式X1=(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3)；X2= (Y1)^(1/3)ω＋(Y2)^(1/3)ω^2；X3=(Y1)^(1/3)ω^2＋(Y2)^(1/3)ω，其中ω=(－1＋i3^(1/2))/2；Y(1,2)=－(q/2)±((q/2)^2＋(p/3)^3)^(1/2)。

标准型一元三次方程aX ^3＋bX ^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。

令X=Y—b/(3a)代入上式。

可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3＋pY＋q=0。

卡尔丹判别法当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3<0时，方程有三个不相等的实根。

解一元三次方程的其他方法[编辑本段]解一元三次方程的其他方法除了上文中的卡尔丹公式解法，一元三次方程还有其它解法，列举如下：1.因式分解法因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些简单的三次方程适用．对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解。

当然，对一些简单的三次方程能用因式分解求解的，当然用因式分解法求解很方便，直接把三次方程降次。

例如：解方程x^3-x=0对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0，得方程的三个根：x1=0；x2=1；x3=—1。

2.另一种换元法对于一般形式的三次方程，先将方程化为x^3+px+q=0的特殊型。

令x=z—p/3z，代入并化简，得：z^3-p/27z+q=0。

再令z=w，代入，得：w^2+p/27w+q=0．这实际上是关于w的二次方程。

解出w，再顺次解出z，x。

3.盛金公式法三次方程应用广泛。

递推关系法求解一元三次方程一元三次方程是高中数学中的重要内容之一，在解题过程中可以采用递推关系法，通过逐步推导的方法来求解方程的根。

本文将详细介绍递推关系法的原理和步骤，并结合实例进行讲解。

递推关系法的原理是基于一元三次方程解的逐步逼近思想，通过递推的方式得到近似解，并不断逼近最终的解。

下面是递推关系法的步骤：步骤一：将一元三次方程转化为递推关系设一元三次方程为ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，我们可以假设方程的解为x = x0 + h，其中x0为近似解，h为待求偏差。

将x替换为x0 + h后，方程可转化为：a(x0 + h)^3 + b(x0 + h)^2 + c(x0 + h) + d = 0对上式进行展开并去除高次项后，得到递推关系式：(3ax0^2 + 2bx0 + c)h + a * h^3 = -a * x0^3 - b * x0^2 - c * x0 - d步骤二：确定初始值和迭代次数根据递推关系式，需要确定初始值x0的近似解和迭代次数n，以便开始迭代计算。

一般情况下，我们可以选择初始值为x0 = 0或者x0 = 1，迭代次数n的选择通常根据题目要求来决定，或者通过试验确定。

步骤三：进行递推计算根据递推关系式，利用初始值开始进行迭代计算，直到满足迭代次数n的要求为止。

每次计算得到的近似解作为下一次迭代的初始值，通过迭代计算不断逼近方程的根。

步骤四：验证迭代结果在得到迭代结果后，需要对结果进行验证，检查是否满足原方程。

将迭代结果代入原方程，并判断是否等于0，如果等于0，则说明迭代结果符合方程的根。

通过以上四个步骤，就可以采用递推关系法求解一元三次方程。

下面通过一个实例来进行演示：例题：求解方程x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0的根。

步骤一：将一元三次方程转化为递推关系由方程可得，a = 1，b = -3，c = 3，d = -1。

代入递推关系式可得：(3x0^2 - 6x0 + 3)h + h^3 = x0^3 - 3x0^2 + 3x0 - 1步骤二：确定初始值和迭代次数假设初始值x0 = 0，迭代次数n = 3步骤三：进行递推计算首先代入初始值x0 = 0，得到递推关系式为：(3 * 0^2 - 6 * 0 + 3)h + h^3 = 0^3 - 3 * 0^2 + 3 * 0 - 1化简可得：3h + h^3 = -1接下来，将得到的递推关系式进行迭代计算：第一次迭代：代入初始值x0 = 0，得到：3h + h^3 = -1化简可得：h = -1/3第二次迭代：代入近似解x1 = x0 + h = 0 - 1/3，得到：(3 * (0 - 1/3)^2 - 6 * (0 - 1/3) + 3)h + h^3 = (0 - 1/3)^3 - 3 * (0 - 1/3)^2 + 3 * (0 - 1/3) - 1化简可得：h = -5/6第三次迭代：代入近似解x2 = x0 + h = 0 - 1/3 - 5/6 = -11/6，得到：(3 * (-1/3)^2 - 6 * (-1/3) + 3)h + h^3 = (-1/3)^3 - 3 * (-1/3)^2 + 3 * (-1/3) - 1化简可得：h = 0步骤四：验证迭代结果将迭代结果代入原方程，得到：(-11/6)^3 - 3 * (-11/6)^2 + 3 * (-11/6) - 1 = 0经计算，左边等于0，所以迭代结果符合方程的根。

一元三次方程求根问题一元三次方程求根问题是一个曾经困扰了人们许多年的问题，后来数学家们在经过非常多的计算后，用巧妙的方法将其解决了。

目前，我还不知道一元三次方程求根公式和其推导过程，下面，我就尝试将这个问题解决。

显然，所有的一元三次方程都可以转化为x 3+bx 2+cx +d =0的形式，先从一些三次多项式的公式入手，其中有这样一个公式()()()B A AB B A AB B A B A B A +-+=--+=+333322333 在这里令x =A+B ，m =-3AB ，n =-(A 3+B 3)，则上述公式转为x 3+mx+n=0这便是一个特殊的一元三次方程。

而 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=nB A m B A 3333327所以由一元二次方程的韦达定理得A 3与B 3是方程02732=-+m ny y 的两根， 不考虑A 与B 之间的顺序，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--=++-=22742274223223m n n B m n n A故33233227422742m n n m n n B A x +--+++-=+= 在解二次方程时，可以通过配方的方法将 ax 2+bx +c =0转化为04422=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b ac 2a b x a 再将ab x 2+换元，以达到消去一次项的目的。

那么，在解x 3+bx 2+cx +d =0的过程中，是否也有类似的方法呢？ 我们可以尝试对其进行“配立方”来消去二次项， 得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++273332323b d x b c b x d cx bx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2723333323b bcd b x b c b x 这就转为x 3+mx+n=0的形式，带入刚才得到的其求根公式，得32233b t n t n x ---++-= 其中108441827274,3,2723332223223c d b bcd c b d m n t b c m b bc d n ++--=+=-=+-= 以上只得出了一元三次方程一个根的求根公式，还不一定是实根，而一元三次方程一般有一或三个实根，原因可能是在上述求解过程中只在实数的范围内运算，并没有考虑到虚数。

新疆大学毕业论文(设计)题目:一元三次方程的求根公式及其推导指导老师:木依丁.海力力学生姓名：阿迪力·艾肯所属院系：数学与系统科学学院专业：数学与应用数学班级：应数07-2班完成日期：声明本人阿迪力·艾肯声明该毕业论文（设计）是本人在木依丁.海力力老师指导下独立完成的，本人拥有自主知识产权，没有抄袭、剽窃他人成果，由此造成的知识产权纠纷由本人负责。

声明人（签名）：2012年5月27日阿迪力·艾肯同学在指导老师的指导下，按照任务书的内容，独立完成了该毕业论文（设计），指导教师已经详细审阅该毕业论文（设计）。

指导教师（签名）：2012年5月27日新疆大学毕业论文（设计）任务书班级：应数07-2 姓名：阿迪力·艾肯摘要在本文中，首先我们介绍了解一元三次方程的求解公式并举了几个例子，然后介绍了解一元三次方程的卡尔丹公式并举例，最后写出来卡尔丹公式的推导过程。

目录1.一元二次方程的求解公式及其推导过程 (1)1.1关于解一元二次方程的例子 (2)2.一元三次方程求解公式 (3)2.2关于解一元三次方程的例子 (4)3.求解一元三次方程的卡尔丹公式的推到过程 (6)4.总结 (9)5.致谢 (10)6.参考文献 (11)1·一元二次方程的求解公式及其推导人类很早就掌握了一元二次方程的解法。

我们来看一下一般形式的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的解．用配方法来解一般形式的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．因为a ≠0，所以可以把方程的两边都除以二次项的系数a ，得02=++acx a b x ，上面的式子叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式．用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法． 从上面的结论可以发现：(1)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根是由一元二次方程的系数a 、b 、c 确定的．(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b 2-4ac ≥0的前提下，把a 、b 、c 的值代入a ac b b x 242-±-=(b 2-4ac ≥0)中，可求得方程的两个实数根，当ac b 42-<0时有也有两个共轭虚根。

一元三次方程公式解法一元三次方程，这可真是个让不少同学头疼的“家伙”！但别担心，今天咱们就来好好聊聊它的公式解法，争取把这个“拦路虎”给拿下。

我还记得自己上高中那会，有一次数学考试就考到了一元三次方程。

当时我拿到试卷，看到那道题目，心里“咯噔”一下。

题目是这样的：已知方程$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$，求它的根。

我当时就有点慌，因为平时虽然学了公式解法，但是练得还不够熟练。

咱们先来说说一元三次方程的一般形式：$ax^3 + bx^2 + cx + d =0$ （$a≠0$）。

而解一元三次方程的公式，那可真是个复杂的“大家伙”，叫卡尔丹公式。

这个公式看起来就让人有点晕乎，不过别怕，咱们一步步来。

首先，要通过一系列的变换和计算，找到一个中间变量$p$和$q$。

其中，$p = \frac{b^2 - 3ac}{9a^2}$，$q = \frac{2b^3 - 9abc +27a^2d}{54a^3}$ 。

这两个家伙可是解一元三次方程的关键。

接下来，要计算一个判别式$\Delta = q^2 + p^3$ 。

根据$\Delta$的值不同，方程的根的情况也不同。

如果$\Delta > 0$，方程就有一个实根和两个共轭复根。

这时候，先计算$u = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\Delta}}$ ，$v = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\Delta}}$ ，然后实根$x_1 = u + v - \frac{b}{3a}$ ，复根可以通过二次方程的求根公式得到。

要是$\Delta = 0$，方程就有三个实根，其中有一个是二重根。

计算方法是$x_1 = x_2 = -\frac{b}{3a}$ ，$x_3 = -\frac{b}{a} +\frac{b}{3a}$ 。

当$\Delta < 0$时，方程就有三个不同的实根。

一元三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式”一元三次方程的一般形式是x3+sx2+tx+u=0如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消去。

所以我们只要考虑形如x3=px+q的三次方程。

假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。

代入方程，我们就有a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q整理得到a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时，3ab+p=0。

这样上式就成为a3-b3=q两边各乘以27a3，就得到27a6-27a3b3=27qa3由p=-3ab可知27a6 + p = 27qa3这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。

进而可解出b和根x.除了求根公式和因式分解外还可以用图象法解，中值定理。

很多高次方程是无法求得精确解的，对于这类方程，可以使用二分法，切线法，求得任意精度的近似解。

参见同济四版的高等数学。

一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。

一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。

我归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。

归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。

方法如下：（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知(5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)可化为(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)后记：一、(14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。

一元三次方程根与系数关系推导嘿，朋友们！咱们今天来聊聊一元三次方程根与系数的关系推导，这可真是个有趣又有点小挑战的事儿！你想啊，方程就像一个个神秘的密码箱，咱们得找到正确的钥匙才能打开它，找到里面隐藏的宝贝。

一元三次方程呢，就是那种稍微复杂一点的密码箱。

咱们先来看一个一般形式的一元三次方程：$ax^3 + bx^2 + cx + d =0$ ，假设它的三个根分别是$x_1$、$x_2$、$x_3$ 。

咱们可以把这个方程变个形，写成$(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) = 0$ ，展开来就是：$x^3 - (x_1 + x_2 + x_3)x^2 + (x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)x -x_1x_2x_3 = 0$对比一下原来的方程$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ ，是不是能发现点啥？这不就有了：$- (x_1 + x_2 + x_3) = \frac{b}{a}$ ，那$x_1 + x_2 +x_3 = -\frac{b}{a}$ 。

还有啊，$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a}$ ，$x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}$ 。

这就像是在拼图，一块一块地把线索拼起来，最终找到完整的答案。

比如说，咱们假设一个一元三次方程$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ ，那它的三个根假设是 1，2，3 。

按照咱们刚才推导的关系，$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{-6}{1} = 6$ ，这不正好 1 + 2 + 3 = 6 嘛！$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{11}{1} = 11$ ，1×2 + 1×3 + 2×3 = 11 。

$x_1x_2x_3 = -\frac{-6}{1} = 6$ ，1×2×3 = 6 。

一元三次方程的求根公式及其推导有三个实数根。

有三个零点时，当有两个实数根。

有两个零点时，当有唯一实数根。

有唯一零点时，当。

，有两实根，为，则方程若有唯一实数根。

有唯一零点有一实根，则方程若有唯一实数根。

有唯一零点没有实根，则方程若实数根的个数。

点的个数即方程零即方程则设实数根的判定：程即可。

因此，只需研究此类方的特殊形式即公式化为均可经过移轴三次方程由于任一个一般的一元0)()(0)1281(811)()(0)()(0)1281(811)()(0)()(0)1281(811)()(33:0)(0)3(0)()(0)(,0).2(0)()(0)(',0).1(0)(,00)(,)(.1,0,0)2792()3)(39()3(0)3272()3)(3()3(032323221''3333233232323=⇔<+=∙=⇔=+=∙=⇔>+=∙--==-===<=⇔===⇔=>=++=++=++==++=+-++-++=+-++-++=+++x F x F p q F F x F x F p q F F x F x F p q F F p x p x x F p x F x F x F p x F x F x F p q px x x F q px x x F q px x x F q px x D A ABC B B Ax AB AC B Ax D A BC AB A B x A BC A B x AD Cx Bx Ax βαβαβαβα33233232323323233231322321323232333333333333333333333332332332323212811210861128112108610)1281(811)27(41281121086112811210861181281918128190)1281(811)27(402727,3)(300)(33)(3)(.1.200128100128100128112810)1281(8110)0.(0.p q q p q q x p q p q p q q a B p q q a A B A p q q a p q q a p q p q p qa a B A q B A p B A q B A p AB q B A p AB q px x B A ABx x ABx B A B A AB B A B A x B A x B A B A B A x q px x p q q px x p q q px x p q p q p q p q p q p +--+++-=≤+=--⎪⎩⎪⎨⎧+--==++-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=++-=>+=--=-+⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==+-=-=++=+--++=+++=+=+=+==++<+=∆=++=+=∆=++>+=∆+=∆>+≥式，为：实数根的方程的求根公上方法只能导出有一个）。

一元三次方程求根公式推导推导一元三次方程的求根公式可以基于维尔斯特拉斯方程，该方程是一个带参数的三次方程，具有一根已知解。

我们将在推导的过程中应用维尔斯特拉斯方程。

下面是详细的推导步骤：1.令y=x-α，其中α是一个待定常数。

将y代入原一元三次方程，并进行变形，得到新的方程a(y+α)^3+b(y+α)^2+c(y+α)+d=0。

展开并对y进行整理，得到a(y^3+3αy^2+3α^2y+α^3)+b(y^2+2αy+α^2)+c(y+α)+d=0。

2. 对表达式进行分组，得到 (ay^3 + by^2 + cy + d) + 3α(ay^2 + by + c) + 3α^2(ay + b) + α^3a + α^2b + αc + d = 0。

3. 根据原一元三次方程的定义，ay^3 + by^2 + cy + d = 0，因此第一项为 0，可以消去。

4. 对剩下的表达式控制进行整理，得到3α(ay^2 + by + c) +3α^2(ay + b) + α^3a + α^2b + αc + d = 0。

5. 接下来，我们需要选择α 的值，使得3α(ay^2 + by + c) +3α^2(ay + b) + α^3a + α^2b + αc + d = 0 中的二次项系数为 0。

令3α(ay^2 + by + c) + 3α^2(ay + b) = 0，消去α，并整理表达式，得到ay^2 + (2aα + b)y + α(ay + b) + c = 0。

6.根据二次项系数为0的条件，2aα+b=0，解得α=-b/(2a)。

7. 将α 的值代入到原一元三次方程中，得到a(y+α)^3 +b(y+α)^2 + c(y+α) + d = 0，展开并整理表达式，得到 a y^3 + (3αa + c)y^2 + (3α^2a + 2αc + d)y + (α^3a + α^2c + αd) = 0。

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一元三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式”一元三次方程的一般形式是x3+sx2+tx+u=0如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消去。

所以我们只要考虑形如x3=px+q的三次方程。

假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。

代入方程，我们就有a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q整理得到a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时，3ab+p=0。

这样上式就成为a3-b3=q两边各乘以27a3，就得到27a6-27a3b3=27qa3由p=-3ab可知27a6 + p = 27qa3这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。

进而可解出b和根x.除了求根公式和因式分解外还可以用图象法解，中值定理。

很多高次方程是无法求得精确解的，对于这类方程，可以使用二分法，切线法，求得任意精度的近似解。

参见同济四版的高等数学。

一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。

一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。

我归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。

归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。

方法如下：（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知(5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)可化为(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)后记：一、(14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。

1元3次方程推导过程要推导1元3次方程，我们首先需要了解什么是一元三次方程以及如何求解它。

一元三次方程是指含有一个未知数的三次方程，它的一般形式为ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a、b、c、d是已知系数，x是未知数。

要求解一元三次方程，一般可以通过以下步骤进行推导：1. 将方程形式化。

将给定的三次方程的各项按照次数从高到低排列，并将其整理为标准形式，即ax^3 + bx^2 + cx + d = 0。

这一步骤主要是为了方便后续的计算和推导。

2.运用代数运算法则。

首先使用代数运算法则化简方程，将各项合并求和或求差。

然后，可以通过因式分解、配方法或因式定理等方法，将方程进一步化简为更简单的形式。

3.使用换元法。

有时候，我们可以通过引入新的未知数，将三次方程转化为二次方程或其他更简单的方程形式，从而更容易求解。

这就是换元法，通过适当的代换将原方程变为新方程。

4.求解方程。

通过使用因式分解、配方法、求根公式等方法，将方程求解为x的值。

对于三次方程，一般可以通过尝试解和合并同类项来求解。

下面，我们以一个具体的例子来进行推导：假设我们要推导解ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a、b、c、d是已知系数，x是未知数。

首先，我们将方程形式化：ax^3 + bx^2 + cx + d = 0然后，我们通过代数运算法则进行化简：x^2(ax + b) + (cx + d) = 0接着，我们可以尝试使用换元法将方程进一步化简。

假设我们引入新的未知数y，令y=x+α，其中α是一个待定的常数。

则原方程可以写成：a(y-α)^3+b(y-α)^2+c(y-α)+d=0我们可以展开方程并合并同类项a(y^3-3αy^2+3α^2y-α^3)+b(y^2-2αy+α^2)+c(y-α)+d=0化简后得到：ay^3 + (3α^2 - b)y^2 + (3αb - 2α^2 - c)y + (α^3 - α^2 + αc - d) = 0通过选择适当的α值，可以使得方程进一步简化。

一元三次方程求根公式的通俗推导一元三次方程求根的公式是怎么来的？我们如何理解这个东西？在本文中，我尽量用最简单通俗的方式来讲这个东西，保证一元三次方程求根的公式变得非常简单。

要解一元三次方程，就看看一元二次方程是怎么解的。

一元二次方程的解法，其实核心是“配方法”，就是配出来一个平房项。

比方说解 x^2+6x+8=0 这个方程，为了配方，要左右两边加个1，变成 x^2+6x+9=1 ，这样就能变成 (x+3)^2=1 ，于是 x+3=1 或者 x+3=-1 ，所以x=-2或x=-4。

对于一元三次方程，我们也这么搞一下。

我们这回直接用字母运算。

一元三次方程的通式是 ax^3+bx^2+cx+d=0 ，等式除以a，变成 x^3+b'x^2+c'x+d'=0 ，然后根据 x^3,x^2 的系数，写出x和常数的系数，写成这样的形式：a^3+3a^2b+3ab^3+b^3 ，这样就可以组合成 (a+b)^3 了。

令a=x,b=\frac{b'}{3} ，把x和常数的系数凑出来：x^3+b'x^2+\frac{b'}{3}x+\frac{b'^3}{27}，于是x^3+b'x^2+\frac{b'}{3}x+\frac{b'^3}{27}=\frac{b'}{3}x+ \frac{b'^3}{27}-c'x-d ，这样左边的项凑成了立方和的形式： (x+\frac{b'}{3})^3 ，而右边的只有x的一次项和常数项。

我们令 x'=x+\frac{b'}{3} ，于是这个式子化成了x'^3=\frac{b'}{3}(x'-\frac{b'}{3})+\frac{b'^3}{27}-c'(x-\frac{b'}{3})-d 。

这样，整个式子中没有二次项。

1元3次方程推导过程1元3次方程是指只有一个未知数，且该未知数的最高次数为3的方程。

在数学中，解1元3次方程是一项基本的技能，因为它在许多实际问题中都有应用。

本文将介绍如何推导1元3次方程的解法。

我们需要了解1元3次方程的一般形式：ax³+bx²+cx+d=0。

其中，a、b、c、d都是已知的常数，x是未知数。

我们的目标是求出x的值。

接下来，我们将介绍三种方法来解决1元3次方程。

方法一：因式分解法如果1元3次方程可以因式分解，那么我们可以通过因式分解来求解。

例如，对于方程x³-3x²-4x+12=0，我们可以将其因式分解为(x-3)(x+2)(x-2)=0。

因此，方程的解为x=3、x=-2、x=2。

方法二：求根公式法如果1元3次方程无法因式分解，我们可以使用求根公式法来求解。

求根公式法是通过求解二次方程来得到1元3次方程的解。

具体来说，我们可以使用下面的公式来求解：x = [-b ± √(b²-4ac)] / 2a其中，a、b、c是1元3次方程的系数。

如果b²-4ac的值为正数，那么方程有两个实数解。

如果b²-4ac的值为0，那么方程有一个重根。

如果b²-4ac的值为负数，那么方程有两个共轭复数解。

方法三：牛顿迭代法如果1元3次方程无法因式分解，且求根公式法无法使用，我们可以使用牛顿迭代法来求解。

牛顿迭代法是一种数值方法，它通过不断逼近方程的根来求解方程。

具体来说，我们可以使用下面的公式来进行迭代：x(n+1) = x(n) - f(x(n)) / f'(x(n))其中，x(n)是第n次迭代的近似解，f(x)是1元3次方程的函数，f'(x)是f(x)的导数。

我们可以通过不断迭代来逼近方程的根。

1元3次方程的解法有三种：因式分解法、求根公式法和牛顿迭代法。

在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的解法来求解方程。

一元3次方程求根公式
一元3次方程是指只有一个未知数（通常为x）的三次方程，形式为ax^3+bx^2+cx+d=0。

求解一元3次方程的根需要用到一元3次方程的求根公式。

一元3次方程的求根公式是一个比较复杂的公式，可以用来求解所有一元3次方程的根。

该公式包括两个部分，一个是实根公式，一个是虚根公式。

对于一元3次方程ax^3+bx^2+cx+d=0，它的实根公式为：
x = [(-b + sqrt(b^2 - 3ac))/3a] + [(-b - sqrt(b^2 - 3ac))/3a] + [-c/3a]
其中，sqrt代表开方，即平方根，a、b、c、d均为已知系数。

如果一元3次方程没有实根，则可以使用虚根公式。

虚根公式为： x1 = [(-b + i*sqrt(3)*sqrt(b^2 - 3ac))/6a] + [(-b -
i*sqrt(3)*sqrt(b^2 - 3ac))/6a]
x2 = [(-b - i*sqrt(3)*sqrt(b^2 - 3ac))/6a] + [(-b +
i*sqrt(3)*sqrt(b^2 - 3ac))/6a]
x3 = [-b/3a]
其中，i代表虚数单位，即i^2=-1。

通过一元3次方程的求根公式，我们可以求解任何一元3次方程的根，不管它是实根还是虚根。

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