天津市天津一中2012-2013学年高三年级10月月考数学文科试卷

天津一中2012-2013学年高三年级一月考数学试卷（文）一、选择题（每小题5分，共40分） 1. i 是虚数单位,复数2i1iz -==-( ) A ．31i 22+ B ．13i 22+ C ．13i + D ． 3i -2. 已知全集U R =，{|21}xA y y ==+，{||1||2|2}B x x x =-+-<，则()U C A B =（ ）A ．∅B ．1{|1}2x x <≤ C ．{|1}x x < D ．{|01}x x <<3. 0a <，0b <，则22b a p a b=+与q a b =+的大小关系为 （ ） A. p q > B. p q ≥ C. p q < D. p q ≤4. 函数()cos22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为( )A. 3,1-B.2,2-C. 33,2- D. 32,2- 5. 已知函数2()(1cos2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是( )A ．最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为2π的奇函数 C.最小正周期为π的偶函数 D.最小正周期为2π的偶函数6. 要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点（ ）A ．横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度 B.横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度 D.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度7. 函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（ ）8. 定义域为{|2}x R x ∈≠的函数()y f x =满足(4)()f x f x -=，(2)()0x f x '-<，若12x x <，且124x x +>，则 （ ）. A ．12()()f x f x < B. 12()()f x f x > C. 12()()f x f x =D. 1()f x 与2()f x 的大小不确定二、填空题（每小题5分，共30分） 9. 已知βα,⎪⎭⎫⎝⎛∈ππ,43，sin(βα+)=－,53 sin ,13124=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πβ则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα=________.10. 在ABC △中，若13tan A =，150C =︒，1BC =，则AB = ． 11. 已知向量()()()2 111 2m =-=-=-a b c ，，，，，，若()+a b c ，则m = ．12. 已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，向量(31)=-，m ，(cos sin )A A =，n ．若⊥m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角B = ．13.如右图，AB 是半圆的直径，点C 在半圆上，CD AB ⊥，垂足为D ，且5AD DB =,设COD θ∠=，则tan θ= ． 14.在四边形ABCD中，()1 1A BD C==，，113BA BC BD BABCBD+=，则四边形ABCD 的面积为 ．三、解答题：（15,16,17,18每题13分，19,20每题14分）15．已知a bc ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，且.21222ac b c a =-+（I ）求B CA 2cos 2sin 2++的值；（Ⅱ）若b =2，求△ABC 面积的最大值．xxA ．B ． C．D ．16．已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域17．已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，向量(2s i n B,2cos 2Bm =-，2B(2sin (), 1)42n π=+-, ⊥．（I ）求角B 的大小；（Ⅱ）若a =1b =，求c 的值．18. 已知函数32()92f x ax bx x =-++,若()f x 在1x =处的切线方程为360 x y +-=.（I ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若对任意的1[,2]4x ∈，都有2()21f x t t ≥--成立，求函数2()2g t t t =+-的最值.19．已知函数22()ln ().f x x a x ax a R =-+∈ （I ）求()f x 的单调区间与极值；（Ⅱ）若函数()f x ∞在区间(1,+)上是单调减函数，求实数a 的取值范围.20．设函数232()cos 4sincos 43422x x f x x t t t t =--++-+，x ∈R ，其中1t ≤，将()f x 的最小值记为()g t ．（I ）求()g t 的表达式；（II ）讨论()g t 在区间(11)-，内的单调性并求极值．天津一中2012—2013高三年级一月考数学试卷（文科）答案一、选择题：ABDCDCAB 二、填空题：（每小题5分，共30分）9．6556-10．211．1m =- 12．π613．2三、解答题：（15,16,17,18每题13分，19,20每题14分） 15．（I ）由余弦定理：c o nB =14 si n 22A C ++c os2B = -14（II ）由.415sin ,41cos ==B B 得 ∵b =2， a2+c 2=12ac +4≥2ac ,得ac ≤38,S △ABC =12ac si nB ≤315(a =c 时取等号)故S △ABC 的最大值为31516．（I ）()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x =+-+ 221cos 22sin cos 2x x x x =++-1cos 22cos 22x x x =+-sin(2)6x π=- 2T 2ππ==周期∴ 对称轴方程 ()23k x k Z ππ=+∈ （II ）5[,],2[,]122636x x πππππ∈-∴-∈-因为()sin(2)6f x x π=-在区间[,]123ππ-上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，所以 当3x π=时，()f x 取最大值 1又1()()12222f f ππ-=-<=，∴当12x π=-时，()f x 取最小值2-所以 函数 ()f x在区间[,]122ππ-上的值域为[ 17．（I ）20,4sin sin ()cos 22042Bm n m n B B π⊥∴⋅=∴⋅++-=222sin [1cos()]cos 220,22sin 2sin 12sin 20,15sin ,0, .266B B B B B B B B B ππππ∴-++-=∴++--=∴=<<∴=或（II ）6,3π=∴>=B b a 此时 ，2222:::2cos ,320,2 1.,sin sin 12sin 0,,1332,,,2;36222,,, 1.3366b a c ac B c c c c b aB AA A A ABC c A C c b c πππππππππππ=+-∴-+=∴===∴=∴=<<∴====∴===--=∴=∴=方法一由余弦定理得或方法二由正弦定理得或若因为所以角边若则角边综上2 1.c c ==或18. （I ）923)(2'+-=bx ax x f ,(1)3(1)3f f =⎧⎨'=-⎩解得412a b =⎧⎨=⎩32()41292f x x x x ∴=-++（II ）2()122493(23)(21)f x x x x x '=-+=-- (),()f x f x '∴的变化情况如下表：min ()2f x = min ()2f x ∴=122--≥t t ，31≤≤-t 2()2g t t t ∴=+- (31≤≤-t ), 当12t =-时,最小值为94-,当3t =时，最大值为1019．（I ）函数22()ln f x x a x ax =-+的定义域为(0,)+∞222121(21)(1)'()2a x ax ax ax f x a x a x x x -++-+-∴=-+==① 当0a =时，1'()0f x x=>，()f x ∴的增区间为(0,)+∞，此时()f x 无极值； ② 当0a >时，令'()0f x =，得1x =或1x =-（舍去）()f x ∴的增区间为(0,)a ，减区间为(,)a +∞()f x ∴有极大值为1()ln f a a=-，无极小值；③ 当0a <时，令'()0f x =，得1x =（舍去）或12x a=-()f x ∴的增区间为(0,)2a -，减区间为(,)2a-+∞ ()f x ∴有极大值为1133()ln ln(2)2244f a a a ⎛⎫-=--=--- ⎪，无极小值；（II ）由（1）可知：①当0a =时，()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，不合题意；②当0a >时，()f x 的单调递减区间为1(,)a +∞，依题意，得110a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩，得1a ≥；③当0a <时，()f x 的单调递减区间为1,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，依题意，得1120a a ⎧-≤⎪⎨⎪<⎩，得12a ≤- 综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞.法二：①当0a =时，1'()0f x x=>，∴()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，不合题意； ②当0a ≠时，()f x 在区间(1,)+∞上为减函数，只需'()0f x ≤在区间(1,)+∞上恒成立.220210x a x ax >∴--≥只要恒成立，2211, 1.42210aa a a a a ⎧≤⎪∴≤-≥⎨⎪--≥⎩解得或20. （I ）232()cos 4sin cos 43422x xf x x t t t t =--++-+ 222sin 12sin 434x t t t t =--++-+223sin 2sin 433x t x t t t =-++-+23(sin )433x t t t =-+-+．由于2(sin )0x t -≥，1t ≤，故当sin x t =时，()f x 达到其最小值()g t ，即3()433g t t t =-+．（II ）我们有2()1233(21)(21)1g t t t t t '=-=+--1<<，．由此可见，()g t 在区间12⎛⎫--⎪⎝⎭，和12⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增加，在区间22⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调减小，极小值为122g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，极大值为42g 1⎛⎫-= ⎪⎝⎭．。

山东省冠县东古城镇中学九年级数学下册《8.5 物体的三视图（2）》学案（青岛版） 课题课型复习课授课时间执笔人总第 20 课时相关标准陈述会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图），会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型。

学习目标1.会从投影的角度理解视图的概念 2.会画简单几何体的三视图 3.通过观察探究等活动使学生知道物体的三视图与正投影的相互关系及三视图中位置关系、大小关系.评价活动 方案1．自主学习结果采用口答形式，由小组长负责评价。

2．合作交流结果采用纸笔形式，各组互评。

3．巩固训练用纸笔形式，老师提供赋分标准，学生结对互评，组长统计，作业由老师评价。

教 学 活 动 方 案随记【创设情境】 画出右图的三视图。

【确立目标】 学生熟悉学习目标并提出自己的意见（1min） 【自主学习】 1.直三棱柱的三视图分别是 ； ； 2.圆锥的三视图分别是 , , . 3．圆柱的三视图分别是__________,__________,_____________. 4. 三视图都一样的几何体是 , . 5.画三视图的原则是 , , .教 学 活 动 方 案随记【合作交流】 看教材P125～126例3、例4，并讨论确定答案。

【分组展示】 例3有3个小题，分别由4、5、6小组说出答案并说出理由。

例4在1、2、3小组中分别找一名同学，在黑板上画出三视图。

【释疑解惑】 画下例几何体的三视图 【巩固训练】 1.如图中的图(1)是棱长为a的小正方体，图(2)、图(3)由这样的 小正方体摆放而成的. 按照这样的方法继续摆放，自上而下分 别叫第一层、第二层、…、第n层.第n层的小正方体的个数为 ________(用含n的代数式表示). 当层数为10 时, 小正方体的个数为_____. 教 学 活 动 方 案随记2.画出图中的九块小立方块搭成几何体的主视图、左视图和俯视图． 【拓展提升】 如图，是由几个小正方体块所搭几何体的俯视图，小正方体中的数字表示在该位置小正方体的个数，请画出它的主视图与左视图。

天津一中2024-2025学年高三年级十月份第一次月考数学试卷本试卷总分150分，考试用时120分钟一、选择题1. 已知集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，{}2,3,4B =，则集合()U A B =ð（ ）A. {}1 B. {}2 C. {}1,2,5 D. {}1,2,3,4【答案】A 【解析】【分析】求出U B ð，计算求解即可.【详解】根据题意得，{}1,5U B =ð，所以(){}1UA B =I ð.故选：A.2. “lg lg a b >”是“33(2)(2)a b ->-”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数、幂函数的单调性将问题转化，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：因为lg y x =在()0,∞+上单调递增，由lg lg a b >得到0a b >>，由3y x =在定义域上单调递增，又33(2)(2)a b ->-，即22a b ->-，所以a b >；故由lg lg a b >能够推得出33(2)(2)a b ->-，即充分性成立；由33(2)(2)a b ->-推不出lg lg a b >，即必要性不成立，故lg lg a b >是33(2)(2)a b ->-的充分不必要条件；故选：A3. 设0.50.6a =，0.6log 0.4b =，3log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. a b c << B. c b a<< C. c a b<< D. b c a<<【答案】C 【解析】【分析】利用函数单调性及中间值比大小.【详解】0.500.61a <=<，0.60.6log 0.4log 0.61b =>=，33log 0.4log 10c =<=，故c a b <<.故选：C4. 已知函数()321x x f x e =-，则()f x 的大致图像为（ ）AB. C.D.【答案】A 【解析】【分析】结合特殊值排除错误选项，由此确定正确选项.【详解】()110111ef e e--==>--，故排除C ，D ，当x →+∞，()0f x →，故排除B ，所以选A.故选A ．5. 已知函数()()2sin (002f x x πωϕωϕ=+><<，的最小正周期为π，且它的图象关于直线23x π=对称，则下列说法正确的个数为（ ）①将()f x 的图象向右平移ϕ个单位长度后，得到函数2sin y x ω=的图象；②()f x 的图象经过点()01，； ③()f x 的图象的一个对称中心是5012⎛⎫⎪⎝⎭，π； ④()f x 在123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数；A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】.【分析】利用三角函数的性质得出()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的性质逐一判断即可.【详解】由最小正周期为π，得2ω=；由23x π=为对称轴，得()432k k Z ππϕπ+=+∈，02πϕ<<，故k 取1，6πϕ=，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；①f(x)的图象向右平移ϕ个单位长度后，得2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，错误；②()02sin16f π==,正确；③52sin 012f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，正确；④52,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，不单调，错误.故选：B6. 已知两不共线向量()cos ,sin a αα= ，(cos ,sin )b ββ= ，则下列说法不正确的是（ ）A. ()()a b a b +⊥-B. a 与b的夹角等于αβ-C. ||||2a b a b ++-> D. a 与b 在a b +方向上的投影相等【答案】B 【解析】【分析】由向量垂直数量积的坐标表示结合同角的三角函数关系可得A 正确；由向量的夹角公式和余弦函数的性质可得B 错误；由模长的计算和同角三角函数关系可得C 正确；由投影向量和同角三角函数关系可得D 正确；【详解】对于A ，()cos cos ,sin sin a b αβαβ+=++ ，()cos cos ,sin sin a b αβαβ-=--，所以()()()()cos cos ,sin sin cos cos ,sin sin a b a b αβαβαβαβ+⋅-=++⋅--2222cos cos sin sin 110αβαβ=-+-=-=，所以()()a b a b +⊥-，故A 正确；对于B，()cos ,cos ab a b a b αβ===-，当()0,παβ-∈时a 与b 的夹角等于αβ-；当()0παβ-∉,时a 与b的夹角不等于αβ-，故B 错误；对于C ，||a b +==，||a b -==所以()2222a b a b++-=++()444sin αβ=+=+-，因为两向量不共线，π(Z)k k αβ-≠∈，有()sin 0αβ->，所以()24a b a b++-> ，所以2a b a b ++->，故C 正确；对于D ，a 在a b +方向上的投影为()a ab a b a b a b⋅++⋅++ ，b 在a b +方向上的投影为()b a b a b a b a b⋅++⋅++ ，又()21a a b a a b a b ⋅+=+⋅=+⋅ ，()21b a b b a b a b ⋅+=+⋅=+⋅ ，所以a 与b 在a b +方向上的投影相等，故D 正确；故选：B.7. 已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若2610a a a ⋅⋅=16117b b b π++=，则21039tan1b b a a +-⋅的值是A. 1B.C. D. 【答案】D 【解析】【分析】根据等比数列和等差数列的性质求得6a 和6b ，同时利用下标和的性质化简所求式子，可知所求式子等价于7tan3π-，利用诱导公式可求得结果.【详解】{}n a 是等比数列 326106a a a a ∴⋅⋅== 6a ∴={}n b Q 是等差数列1611637b b b b π∴++== 673b π∴=2106239614273tan tan tan tan tan 111333b b b a a a πππ+∴===-=-=-⋅--本题正确选项：D【点睛】本题考查等差数列、等比数列性质应用，其中还涉及到诱导公式的知识，属于基础题.8. 已知函数f(x)=2sin(ωx+4π)(ω>0)的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（ ）A. 1927,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B. 913,22ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 1725,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. [)4,6ππ【答案】C 【解析】【分析】根据区间[0，1]，求出ωx+4π的范围，由于在区间[0，1]上恰有3个最高点，建立不等关系，求解即可．【详解】函数f （x ）＝2sin （ωx+4π）（ω＞0），∵x ∈[0，1]上，∴ωx+4π∈[4π，ω+4π]，图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，∴46242ππππωπ+≤+<+，解得：172544ππω≤<．故选：C ．【点睛】本题考查正弦函数的图象和性质的应用，考查整体代换的思想，属于基础题.9. 已知函数()()221,0af x x ax b x R x x x=++++∈≠，若实数a 、b 使得()0f x =有实根，则22a b +的最小值为（ ）A.45B. 34C. 1D. 2【答案】A 【解析】【分析】将函数解析式变形为()2112f x x a x b x x ⎛⎫⎛⎫=++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1t x x =+，可得出2t ≤-或2t ≥，分析可知点(),M a b 为直线220tx y t ++-=上一点，利用点到直线的距离公式求出坐标原点到直线220tx y t ++-=距离的最小值，由此可得出22a b +的最小值.的【详解】()2221112a f x x ax b x a x b x x x x ⎛⎫⎛⎫=++++=++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，设1x t x +=，当0x >时，12t x x =+≥=，当且仅当1x =时，等号成立，当0x <时，()112t x x x x ⎡⎤=+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦，当且仅当1x =-时，等号成立，所以，2t ≤-或2t ≥，令()0f x =可得220ta b t ++-=，所以，点(),M a b 为直线220tx y t ++-=上一点，且222OMa b =+，OM ∴==设215s t =+≥，令()96g s s s =+-，则()2229910s g s s s-'=-=>，所以，函数()96g s s s=+-在[)5,s ∈+∞时单调递增，所以，()min g s ==()22min 45a b +=.故选：A.二、填空题10. 复数34i2i+=+___________.【答案】2i +##i+2【解析】【分析】依据复数除法规则进行计算即可解决.【详解】()()()()2234i 2i 34i 65i 4i 105i2i 2i 2i 2i 4i 5+-++-+====+++--故答案为：2i+11. 在6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是___________.【答案】60【解析】【分析】利用二项式定理通项公式求出答案.【详解】6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项公式()63618416622rrr r r r r T C x x C x ----+=⋅=⋅，令1842r -=得：4r =，故422256260T C x x =⋅=，所以2x 的系数是60.故答案为：6012. 已知2243xy==，则3y xxy-的值为________.【答案】1-【解析】【分析】首先，将所给指数幂形式化为2log 3x =，24log 3y =，结合对数的运算性质及换底公式可得答案．【详解】2243x y == ，2log 3x ∴=，24log 3y =，∴31log 2x=，31log 24y=，∴333333113log 2log 24log8log 24log 13y x xy x y -=-=-=-==-．故答案为：1-13. 若不等式()2222x xy a x y+≤+对于一切正数,x y 恒成立，则实数a 的最小值为________.【解析】【分析】由题意可得2222x xya x y+≥+的最大值，由2222222(1)(0)x y m x m x y m +=-++>，运用基本不等式，及解方程21m m -=，可得m ，进而得到a 的最小值．【详解】由题意可得2222x xya x y+≥+的最大值，由2222222(1)(0)x y m x m x y m +=-++>22(1)2m x mxy ≥-+，（当且仅当mx y =取得等号），则22222222(1)2x xy x xyx y m x mxy++≤+-+，当21m m -=，即m =()222222212x xy x xy x y m m x xy ++≤===++故2222x xyx y ++=即有a ≥．．【点睛】关键点点睛：2222222(1)(0)x y m x m x y m +=-++>22(1)2m x mxy ≥-+，根据21m m -=得()222222212x xy x xy x y m m x xy++≤=++.14. 已知平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，8AC AD ⋅= ，则AC = ________；若CE ED = ，DF DB λ= ，则AF FE ⋅的最大值为________．【答案】 ①. ②. 114【解析】【分析】由8AC AD ⋅= 求出AB AD ⋅，然后由AC AB AD =+ 平方后求得AC ，把,AF FE 用,AB AD表示后求数量积化为λ的函数可得最大值．【详解】由已知AC AB AD =+，所以2()8AC AD AB AD AD AB AD AD ⋅=+⋅=⋅+= ，所以4AB AD ⋅=，AC AB AD =+= ==；因为CE ED = ，DF DB λ=，所以()(1)AF AD DF AD DB AD AB AD AB AD λλλλ=+=+=+-=+- ，11(1)()22FE AD DE AF AD AB AB AD AB AD λλλλ=+-=+---=-+ ，AF FE ⋅= 222131()(2)(1)222AB AB AD ADλλλλλλ-+-+⋅+-213116()4(24(1)222λλλλλλ=-+-++-22111112()212()244λλλ=--+=--+，所以14λ=时，AF FE ⋅ 取得最大值114．故答案为：；114．15. 已知函数()226f x x ax =+--，若存在a R ∈，使得()f x 在[]2,b 上恰有两个零点，则实数b 的最小值是______.【答案】2+【解析】【分析】根据函数()f x 存在a R ∈在[]2,b 上恰有两个零点,则求得当2x =时满足条件的a .再由当x b =时取到零点,即可求得b 的值.【详解】因为函数()226f x x ax =+--,()f x 在[]2,b 上恰有两个零点则必在2x =与x b =时恰好取到零点的边界若2x =时,()f x 的零点满足()2222260f a =+--=解方程求得2a =或4a =-当2a =时, ()2226f x x x =+--,满足()f x 在[]2,b 上恰有两个零点则()22260f b b b =+--=,且2b >解方程可得2b =(舍)或4b =-(舍)当4a =-时, ()2426f x x x =---,满足()f x 在[]2,b 上恰有两个零点则()24260f b b b =---=,且2b >解方程可得2b =-(舍)或2b =+综上可知,当2b =+时满足()f x 在[]2,b 上恰有两个零点故答案: 2+【点睛】本题考查了含绝对值函数零点的分类讨论,注意恰有两个零点条件的应用,根据边界取等时能刚好取得,属于中档题.为三、解答题16. 已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足已知cos cos 2cos +=ac B b C A.（1）求角A 的大小；（2）若cos B =sin(2)B A +的值；（3）若ABC V 3a =，求ABC V 的周长.【答案】（1）3π；（2；（3）8.【解析】【分析】(1)根据正弦定理，将题中条件进行转化，得到sin sin cos sin cos 2cos +=AC B B C A，再根据三角形内角和为π以及诱导公式，即可求得角A 的大小；(2)利用同角三角函数关系式即可得到sin B ，再利用正弦和角公式以及余弦倍角公式即可求得结果；(3)利用三角函数面积公式即可得到bc 的值，再利用余弦定理即可求得b c +的值，进而得到ABC V 的周长.【详解】解：（1）cos cos 2cos ac B b C A+=，由正弦定理得：sin sin cos sin cos 2cos +=AC B B C A，即()sin sin 2cos AB C A+=，又sin()sin B C A += ，sin sin 2cos AA A=，sin 0≠ A ，1cos 2A ∴=，又0A π<< ，3A π∴=；（2）由题意知：sin B ==sin 22sin cos B B B ∴==又21cos 22cos 13B B =-=-，sin(2)sin 2sin 2cos cos 2sin 333B A B B B πππ⎛⎫∴+=+=+=⎪⎝⎭；（3）11sin 22S bc A bc ===，163bc ∴=，由余弦定理得：22222cos ()22cos a b c bc A b c bc bc A =+-=+--，即2169()33b c =+-⨯，解得：5b c +=，ABC ∴ 的周长为8a b c ++=.【点睛】方法点睛：与面积有关的问题，一般要用到正弦定理和余弦定理进行边和角的互化.17. 已知向量(cos sin ,sin )a x x x ωωω=-，(cos sin )b x x x ωωω=-- ，设函数()()f x a b x R λ=⋅+∈的图像关于直线πx =对称，其中ω，λ为常数，且1(2ω∈，1)．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若()y f x =的图像经过点π(4，0)，求函数()f x 在区间[0，3π5上的取值范围．【答案】（1）6π5（2）[1-2【解析】【分析】(1)通过两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数的解析式，再利用对称轴求出ω，求解函数的周期．(2)通过x 的范围求出相位的范围，利用三角函数的性质求解函数的最值即可．【小问1详解】向量(cos sin ,sin )a x x x ωωω=- ，(cos sin b x x ωω=-- ，)x ω，函数()f x a b λ=⋅+，所以22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+⋅+cos 22x x ωωλ=-++π2sin(2)6x ωλ=-+，由直线πx =是()y f x =图像的一条对称轴，可得πsin(2π)16ω-=±，所以ππ2π(Z)62k k ωπ-=+∈，即1(Z)23k k ω=+∈．又1(2ω∈，1)，所以1k =时，56ω=．所以()f x 的最小正周期是6π5．【小问2详解】由(1)可知5π()2sin()36f x x λ=-+，若()y f x =的图像经过点π(4，0)，则5ππ2sin(0346λ⨯-+=，解得λ=，所以5π()2sin()36f x x =-由3π05x ……，得π5π5π6366x --……，所以15πsin(1236x --……，得5π12sin(236x --故函数()f x 在区间[0，3π5上的取值范围为[1-2．18. 已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，1A A ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．（1）求证1//D N 平面1CB M ；（2）求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值；（3）求点B 到平面1CB M 的距离．【答案】（1）证明见解析（2（3【解析】【分析】（1）取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得1N//D MP ，结合线面平行判定定理即可得证；（2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解；（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解.【小问1详解】取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，由N 是11B C 的中点，故1//NP CC ，且112NP CC =，由M 是1DD 的中点，故1111122D M DD CC ==，且11//D M CC ，则有1//D M NP 、1D M NP =，故四边形1D MPN 是平行四边形，故1//D N MP ，又MP ⊂平面1CB M ，1D N ⊄平面1CB M ，故1//D N 平面1CB M ；【小问2详解】以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系，有A (0,0,0)、()2,0,0B 、()12,0,2B 、()0,1,1M 、C (1,1,0)、()11,1,2C ，则有()11,1,2CB =- 、()1,0,1CM =- 、()10,0,2BB =，设平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量分别为()111,,m x y z = 、()222,,n x y z =，则有111111200m CB x y z m CM x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，1222122020n CB x y z n BB z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，分别取121x x ==，则有13y =、11z =、21y =，20z =，即()1,3,1m = 、()1,1,0n =，则cos ,m nm n m n ⋅===⋅，故平面1CB M 与平面11BB CC；【小问3详解】由()10,0,2BB = ，平面1CB M 的法向量为()1,3,1m =，则有1BB m m ⋅==即点B 到平面1CB M.19. 已知等差数列{}()n a n N +∈中，1n n a a +>，29232a a =，4737a a +=（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若将数列{}n a 的项重新组合，得到新数列{}n b ，具体方法如下：11b a =，223b a a =+，34567b a a a a =+++，4891015b a a a a =+++⋅⋅⋅+，⋯，依此类推，第n 项n b 由相应的{}n a 中12n -项的和组成.（i ）求数列{}n b 的通项公式；（ii ）求数列124n n b ⎧⎫-⋅⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）32n a n =+；（2）（i ）229228n n n b -=⋅+；（ii ）()3412nn T =-.【解析】【分析】（1）设{}n a 的公差为d ，利用等差数列性质知4729a a a a +=+，由此构造方程组求得29,a a ，由等差数列通项公式可求得公差d ，由此可得n a ；（2）（i ）采用分组求和的方式，结合等差数列求和公式可求得n b ；（ii ）由（i ）得到124nn b -⋅的通项，由等比数列求和公式可求得结果.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由1n n a a +>知0d >，29472923237a a a a a a =⎧⎨+=+=⎩ 且92a a >，29829a a =⎧∴⎨=⎩，()92137d a a ∴=-=，()()2283232n a a n d n n ∴=+-=+-=+；（2）（i ）由题意得：1111122122221n n n n n n b a a a a -----+++=+++⋅⋅⋅+-，即()()()()()1111132232532832321n n n n n n b -----=⋅++⋅++⋅++⋅⋅⋅+⋅+⋅-()()1111232258324321n n n n ----⎡⎤=⨯⋅++++⋅⋅⋅+⋅-+⋅-⎣⎦()()1125324321n n --++⋅⋅⋅+⋅-+⋅- 是首项为2，公差为3的等差数列的12n -项的和，()()()11111232212253243212233224n n n n n n n -------∴++⋅⋅⋅+⋅-+⋅-=⋅+⨯=⋅+，22232222223393232222222488n n n n n n n n n b -----∴=⋅+⋅+=⋅+⋅+=⋅+；（ii ）由（i ）知：2192248n n n b -⋅=⋅，()()41493418142n n n T -∴=⋅=--.【点睛】关键点点睛：本题考查等差和等比数列通项和求和问题，解题关键是能够根据n b 的形式，采用分组求和的方式，结合等差数列求和公式，求得n b 的通项公式.20. 已知函数()2ln f x x x =．（1）求函数()f x 极值；（2）证明：对任意的()0,x ∈+∞，有()1f x x ≥-；（3）若()12,0,1x x ∈，证明：()()1212f x f x x x -≤-．【答案】（1）12e-； （2）证明见解析； （3）证明见解析.【解析】【分析】（1）先求出导函数，再令()()2ln 10,f x x x =+='根据导函数的单调性得出极值.的（2）先构造函数()1ln 1t x x x x=-+，再求导得出函数单调性，得出函数最小值()()min 10t x t ==，得出1ln 1x x x≥-，同乘x 即可得出2ln 1x x x ≥-证明不等式；（3）先构造函数()()2ln h x f x x x x x =-=-，应用单调性可得()()1212f x f x x x -<-，再分1212,,,x x x x ⎫⎛∈∈⎪ ⎭⎝，21,,x x ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭三种情况分别证明即可.【小问1详解】因为()()2ln 2ln 1f x x x x x x =+=+'，令()()2ln 10,f x x x x =+=='，又因为()(),0,x f x f x ⎛∈< ⎝'单调递减；()(),0,x f x f x ∞⎫∈+>⎪⎭'单调递增；所以()f x 的极小值为12e f =-，无极大值.【小问2详解】令()1ln 1t x x x x =-+，可得()21ln 1t x x x +-'=，令()21ln 1m x x x=+-，()()()312,0,m x m x m x x x''=+>单调递增，()10m =，()()()()0,1,0,x m x t x t x ∈=<'单调递减；()()()()1,,0,x m x t x t x ∞∈+=>'单调递增；所以()()min 10t x t ==，所以()()1ln 110t x x x t x=-+≥=，所以1ln 1x x x≥-，即得2ln 1x x x ≥-，所以()1f x x ≥-【小问3详解】对任意的()12,0,1x x ∈，令()()2ln h x f x x x x x =-=-，所以()12ln 12ln 1h x x x x x x x '⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭令()12ln 1,n x x x=+-()()2210,n x n x x x =+>'单调递增，()()10n x n <=，()()0,h x h x '<单调递减，所以设12x x >，则()()12,h x h x <即()()1122f x x f x x -<-可得()()1212f x f x x x -<-，当()()12,,0,x x f x f x ⎫∈>'⎪⎭单调递增，所以12x x >>()()12,f x f x >所以()()()()12121212f x f x f x f x x x x x -=-≤-=-，当()()12,,0,x x f x f x ⎛∈< '⎝120x x >>>，可得()()12,f x f x <所以()()()()1221211212f x f x f x f x x x x x x x -=-≤-<-=-，当21,,x x ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭因为()(),0,x f x f x ⎫∈>⎪⎭'单调递增，所以1x >()1,f x f >可得()11f x f x -<，因()(),0,x f x f x ⎛∈< ⎝'单调递减，所以2x <，可得()2,f x f >可得()22f f x x -<，所以()()()()12121212f x f x f x f f f x x x x x -=-+-≤-=-，所以()()1212f x f x x x -≤-.【点睛】方法点睛：先构造函数()()h x f x x =-，根据导函数得出函数单调性，应用单调性可得为()()1212f x f x x x -<-，再把()12,0,1x x ∈分为1212,,,x x x x ⎫⎛∈∈⎪ ⎭⎝，21,,x x ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭三种情况分别证明即可.。

2024-2025学年天津一中高三（上）10月月考数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合U ={1,2,3,4,5}，A ={1,2}，B ={2,3,4}，则集合A ∩(∁U B)=( )A. {1}B. {2}C. {1,2,5}D. {1,2,3,4}2.“lga >lgb ”是“(a−2)3>(b−2)3”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件3.设a =0.60.5，b =log 0.60.4，c =log 30.4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a <b <cB. c <b <aC. c <a <bD. b <c <a 4.已知函数f(x)=2x 3e x −1，则f(x)的大致图像为( )A. B.C. D.5.已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π2)的最小正周期为π，且它的图象关于直线x =2π3对称，则下列说法正确的个数为( )①将f(x)的图象向右平移φ个单位长度后，得到函数y =2sinωx 的图象；②f(x)的图象经过点(0,1)；③f(x)的图象的一个对称中心是(5π12,0)；④f(x)在[π12,π3]上是减函数．A. 1B. 2C. 3D. 46.已知两不共线向量→a=(cosα,sinα)，→b=(cosβ,sinβ)，则下列说法不正确的是( )A. (→a+→b)⊥(→a−→b) B.→a与→b的夹角等于α−βC. |→a+→b|+|→a−→b|>2 D.→a与→b在→a+→b方向上的投影相等7.已知数列{a n}是等比数列，数列{b n}是等差数列，若a2⋅a6⋅a10=33，b1+b6+b11=7π，则tan b2+b101−a3⋅a9的值是( )A. 1B. 22C. −22D. −38.已知函数f(x)=2sin(ωx+π4)(ω>0)的图象在区间[0,1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为( )A. [19π4,27π4) B. [9π2,13π2) C. [17π4,25π4) D. [4π,6π)9.已知函数f(x)=x2+ax+1x2+ax+b(x∈R，且x≠0)，若实数a、b使得f(x)=0有实根，则a2+b2的最小值为( )A. 45B. 34C. 1D. 2二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

2012-2013学年天津一中高三（下）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：（共40分，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）（2012•蓝山县模拟）计算复数（1﹣i）2﹣等于（）A．0B．2C．4i D．﹣4i考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：利用复数代数形式的混合运算，吧要求的式子化为﹣2i﹣，进一步化简求得结果．解答：解：复数（1﹣i）2 ﹣=﹣2i﹣=﹣2i﹣=﹣4i，故选：D．点评：本题主要考查复数代数形式的混合运算，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）（2009•山东）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2π+2B．4π+2C．2π+D．4π+考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个上部是四棱锥，下部是圆柱其高已知，底面是半径为1的圆，故分别求出两个几何体的体积，再相加既得组合体的体积．解答：解：此几何体为一个上部是正四棱锥，下部是圆柱由于圆柱的底面半径为1，其高为2，故其体积为π×12×2=2π棱锥底面是对角线为2的正方形，故其边长为，其底面积为2，又母线长为2，故其高为由此知其体积为=故组合体的体积为2π+故选C点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是组合体的体积，其方法是分部来求，再求总体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视．3．（5分）极坐标方程ρ=cosθ和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是（）A．圆、直线B．直线、圆C．圆、圆D．直线、直线考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：极坐标方程ρ=cosθ 化为直角坐标方程为，表示一个圆，参数方程（t为参数），消去参数t 可得3x+y+1=0，表示一条直线，由此得出结论．解答：解：极坐标方程ρ=cosθ 即ρ2=ρcosθ，化为直角坐标方程为 x2+y2=x，即，表示一个圆．参数方程（t为参数），消去参数t 可得3x+y+1=0，表示一条直线，故选A．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，把参数方程化为普通方程的方法，直线的方程特征、圆的标准方程，属于基础题．4．（5分）若△ABC的三个内角成等差数列，三边成等比数列，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题；解三角形．分析：先确定三角形必有一内角为60°，再根据对应三边成等比数列，结合余弦定理，即可求得结论．解答：解：由题意不妨设A，B，C成等差数列则2B=A+C∵A+B+C=π∴B=，A+C=∵a，b，c成等比数列∴b2=ac，∵b2=a2+c2﹣2accos60°=a2+c2﹣ac∴a2+c2﹣ac=ac∴（a﹣c）2=0∴a=c∵B=60°，∴三角形为等边三角形，故选C．点评：本题考查等差数列与等比数列，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．5．（5分）（2011•汕头一模）在△ABC中，tanA是以﹣4为第3项，4为第7项的等差数列的公差；tanB是以为第3项，9为第6项的等比数列的公比，则该三角形为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形考点：等比数列的通项公式；两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：首先，由等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，结合已知可得tanA=2，tanB=3，然后利用两角和的正切公式可求出tan（A+B）=﹣1，从而求出∠C，再结合题意确定A、B的范围，从而确定△ABC的形状．解答：解：由题意可得，tanA==2，tanB==3，故tan（A+B）==﹣1，∵0＜A+B＜π，∴A+B=，∴∠C=；又∵tanA＞0，tanB＞0，0＜A＜π，0＜B＜π，∴0＜A＜，0＜B＜，故△ABC为锐角三角形．故选A．点评：本题通过解三角形问题，考查了等差数列和等比数列的通项公式，两角和的正切公式，综合性较强，难度中等．6．（5分）α，β为平面，m为直线，如果α∥β，那么“m∥α”是“m⊆β”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由α，β为平面，m为直线，α∥β，知：“m⊆β”⇒“m∥α”，反之，若“m∥α”，则“m⊆β”不一定成立．由此能求出结果．解答：解：由α，β为平面，m为直线，α∥β，知：“m⊆β”⇒“m∥α”，反之，若“m∥α”，则“m⊆β”不一定成立．∴“m∥α”是“m⊆β”的必要非充分条件．故选B．点评：本题考查平面的性质定理及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．7．（5分）函数f（x）=sin2x﹣2sin2x，（0≤x≤）则函数f（x）的最小值为（）A．1B．﹣2 C．D．﹣考点：二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：先利用二倍角公式、辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的性质可求函数的最小值解答：解：∵f（x）=sin2x﹣2sin2x，==2sin（2x+）﹣1∵0≤x≤∴∴∴﹣2≤f（x）≤1则函数f（x）的最小值为﹣2故选B点评：本题主要考查了辅助角公式在三角函数化简中的应用及正弦函数性质的简单应用，属于基础试题8．（5分）函数，若方程f（x）=x+a恰有两个不等的实根，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．[0，1）C．（﹣∞，1）D．[0，+∞）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题．分析：由题意可得f（x）的图象和函数y=x+a 有两个不同的交点，结合图象，求出a的取值范围．解答：解：由题意可得f（x）的图象和函数y=x+a 有两个不同的交点，如图所示：故有a＜1，故选C．点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题．二.填空题：（共30分，每小题5分）9．（5分）（2010•青浦区二模）[文科]非负实数x、y满足，则x+3y的最大值为9 ．考点：简单线性规划；简单线性规划的应用．专题：计算题．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x+3y过点A （0，3）时，z最大值即可．解答：解：根据约束条件画出可行域∵直线z=x+3y过点A（0，3）时，z最小值是9，故答案为9．点评：本题考查画可行域及由可行域求目标函数最值问题，解题的关键是画出满足条件的区域图，属于基础题．10．（5分）已知A（，0），B（0，1），坐标原点O在直线AB上的射影为点C，则= ．考点：平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知中A（，0），B（0，1）可求出直线AB的方程，结合坐标原点O在直线AB 上的射影为点C，即OC⊥AB可求出直线OC的方程，进而得到点C即向量的坐标，代入向量数量积公式，可得答案．解答：解：∵坐标原点O在直线AB上的射影点为C∴直线OC⊥AB由A（，0），B（0，1）可得，直线AB的斜率k AB=，AB的方程为y﹣1=（x﹣）…①∴k AC=∴OC直线方程为：y=x…②由①②和∴x=，y=∴=（，）∴=故答案为：点评：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，直线的方程，直线的交点，其中根据已知，求出点C即向量的坐标，是解答的关键．11．（5分）（2012•佛山二模）（几何证明选做题）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且，AF：FB：BE=4：2：1，若CE与圆相切，则线段CE的长为．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：设出AF=4k，BF=2k，BE=k，由DF•FC=AF•BF求出k的值，利用切割定理求出CE．解答：解：设AF=4k，BF=2k，BE=k，由DF•FC=AF•BF，得2=8k2，即k=．∴AF=2，BF=1，BE=，AE=；由切割定理得CE2=BE•EA=×=．∴CE=．故答案为：．点评：本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，基本知识掌握的情况，是常考题型．12．（5分）（2009•长宁区一模）已知直线m、n与平面α，β，给出下列三个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．其中真命题的个数是2个．考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题．分析：分别加以判断：若m、n是平面β内的相交直线，且β∥α，则m∥α，n∥α，但m 不平行于n，故①不正确；若m∥α，则在α内可以找到直线m′，使m′∥m，再结合n⊥α，可得n⊥m′，最终得到n⊥m，故②正确；若m∥β，则在β内可以找到直线m′，使m′∥m，结合m⊥α，得m′⊥α，β经过α的垂线，所以α⊥β，故③正确．解答：解：对于①：设m、n是平面β内的相交直线，且β∥α，∵β∥α∴m∥α，n∥α，而m不平行于n，故①不正确；对于②：∵m∥α，∴在α内可以找到直线m′，使m′∥m，又∵n⊥α，m′⊂α∴n⊥m′，结合m′∥m，得到n⊥m，故②正确；对于③：∵m∥β，∴在β内可以找到直线m′，使m′∥m，又∵m⊥α，得m′⊥α，∵β经过α的垂线，∴α⊥β，故③正确．故答案为：2个点评：本题考查了空间两直线、直线与平面位置关系等知识点，属于中档题．熟练掌握直线与平面平行垂直和平面与平面的平行与垂直的判定与性质，是解好本题的关键．13．（5分）等差数列{a n}中，a1=1，a7=4，在等比数列{b n}中，b1=6，b2=a3，则满足b n a26＜1的最小正整数n是 6 ．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：在等差数列{a n}中，由a1=1，a7=4求出a3和a26，在等比数列{b n}中，b1=6，b2=a3求出b n，代入b n a26＜1可求最小正整数n．解答：解：在等差数列{a n}中，设其公差为d，由a1=1，a7=4，得，所以，，．又在等比数列{b n}中，b1=6，b2=a3=2，所以其公比q=，所以，，由，得：35﹣n＜1，则n＞5．所以，满足b n a26＜1的最小正整数n是6．故答案为6．点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了指数不等式的解法，是基础题．14．（5分）设，则m与n的大小关系为m＞n ．考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：根据 e x，lnx的导数等于e x，，得到原函数是 e x，lnx，写出当自变量取两个不同的值时，对应的函数值，让两个数字相减进而比较即可得到结果．解答：解：∵e x，lnx的导数等于e x，，∴m=e x|=e1﹣e0=e﹣1；n=lnx|=lne﹣ln1=1．而e﹣1＞1∴m＞n．故答案为：m＞n．点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题．三.解答题：15．（13分）（2011•孝感模拟）在△ABC中，．（1）求的值；（2）当△ABC的面积最大时，求∠A的大小．考点：向量的模；向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：（1）．变形出的表达式，求值即可．（2）由面积公式表示出△ABC的面积，根据其形式用基本不等式求出等号成立的条件，即可．解答：解：（1）．得，﹣2•=4，故=2•+4，又•═2所以=8（2）由面积公式S△ABC=|AB||AC|sin∠BAC又•=|AB||AC|cos∠BAC=2∴cos∠BAC=∴sin∠BAC═=∴S△ABC=|AB||AC|sin∠BAC=≤等号当且仅当|AB|=|AC|时成立，又由（1）|AB|=|AC|=2时，三角形面积取到最大值．cos∠BAC=，即∠BAC=60°答：当△ABC的面积最大时，求∠A的大小是600．点评：考查向量的夹角公式、三角形中同角三角函数的基本关系以及基本不等式求最值，综合性与知识性较强．16．（13分）某机构向民间招募防爆犬，首先进行入围测试，计划考察三个项目：体能，嗅觉和反应．这三个项目中只要有两个通过测试，就可以入围．某训犬基地有4只优质犬参加测试，已知它们通过体能测试的概率都是，通过嗅觉测试的概率都是，通过反应测试的概率都是．求：（1）每只优质犬能够入围的概率；（2）若每入围1只犬给基地记10分，设基地的得分为随机变量ξ，求ξ的数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（1）利用相互独立事件的概率计算公式和互斥事件的概率计算公式即可得出；（2）利用（1）求出优质犬入围的只数的随机变量的数学期望，进而求出得分ξ的数学期望．解答：解：（1）每只优质犬入围概率相等：若一只优质犬能够入围，则包括三项测试都通过或其中的任意两项通过两类：因此每只优质犬能够入围的概率：P=++=．（2）设随机变量η表示优质犬入围的只数，则η的取值为0，1，2，3，4．则服从η～B（4，），ξ=10η．∴Eη=，Eξ=10Eη=点评：熟练掌握相互独立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率公式、离散型随机变量的期望计算公式是解题的关键．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M，N分别为PC，PB的中点．（1）求证：PB⊥DM；（2）求CD与平面ADMN所成角的正弦值；（3）在棱PD上是否存在点E，PE：ED=λ，使得二面角C﹣AN﹣E的平面角为60°．存在求出λ值．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）建立空间直角坐标系，利用⇔即可证明；（2）先求出平面ADMN的法向量，利用斜线段CD的方向向量与平面的法向量的夹角即可得出；（3）利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．解答：解：（1）如图以A为原点建立空间直角坐标系，不妨设|AB|=2．则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0），M（1，，1），N（1，0，1），P（0，0，2），∵=（2，0，﹣2），=（1，﹣，1），∴=0，∴PB⊥DM．（2）由（1）可得：=（﹣2，1，0），=（0，2，0），=（1，0，1）．设平面ADMN法向量=（x，y，z），则得到，令x=1，则z=﹣1，y=0，∴=（1，0，﹣1）．设CD与平面ADMN所成角α，则．（3）假设在棱PD上存在点E（0，m，2﹣m），满足条件．设平面ACN法向量=（x，y，z），由，，，可得，令x=1，则y=﹣2，z=﹣1，∴=（1，﹣2，﹣1）．设平面AEN的法向量=（x0，y0，z0），由，，，可得，令x0=1，则z0=﹣1，，∴．∴cos60°=，得，化为，化为23m 2﹣52m+20=0，又m ∈[0，2]． 解得，满足m ∈[0，2]．∴λ=PE：ED=：=m ：（2﹣m ）=．点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系，利用⇔、斜线的方向向量与平面的法向量的夹角求线面角、利用两个平面的法向量的夹角求二面角是解题的关键．18．（13分）数列{a n }满足4a 1=1，a n ﹣1=[（﹣1）na n ﹣1﹣2]a n （n≥2）， （1）试判断数列{+（﹣1）n}是否为等比数列，并证明；（2）设a n 2∙b n =1，求数列{b n }的前n 项和S n ．考点：数列的求和；等比关系的确定． 专题：综合题；等差数列与等比数列． 分析： （1）由a n ﹣1=[（﹣1）na n ﹣1﹣2]a n （n≥2），两边取倒数，整理即可证明（2）由（1）及已知a n 2∙b n =1可求b n ，结合数列的通项的特点，考虑利用分组求和，结合等比数列与等差数列的求和公式即可求解解答：解：（1）数列{+（﹣1）n }是等比数列，证明如下由=即∵a 1= ∴=3另：∴是首项为3公比为﹣2的等比数列则（2）由∴∴+6（20+2+22+…+2n ﹣1）+（1+1+ (1)∴=3•4n +6•2n +n ﹣9（n ∈N *）点评： 本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列，等比数列的通项公式及求和公式的应用．19．（13分）设n ∈N *，不等式组所表示的平面区域为D n ，把D n 内的整点（横、纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排列成点列：（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（1）求（x n ，y n ）；（2）设数列{a n}满足，求证：n≥2时，；（3）在（2）的条件下，比较与4的大小．考点：数列与函数的综合．专题：综合题．分析：（1）由﹣nx+2n＞0及x＞0得0＜x＜2，因为x∈N*，所以x=1，从而x=1与y=﹣nx+2n 的交点为（1，n），即所以D n内的整点（x n，y n）为（1，n）（2）先化简为，两式相减即可证得（3）先猜想：n∈N*时，，再利用（2）的结论可以证明．解答：解：（1）由﹣nx+2n＞0及x＞0得0＜x＜2，因为x∈N*，所以x=1又x=1与y=﹣nx+2n的交点为（1，n），所以D n内的整点，按由近到远排列为：（1，1），（1，2），…，（1，n）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）证明：n≥2时，所以，两式相减得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（3）n=1时，，n=2时，可猜想：n∈N*时，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）事实上n≥3时，由（2）知所以====﹣﹣﹣﹣﹣（15分）点评：本题以线性规划为载体，考查数列、不等式的证明，应注意充分挖掘题目的条件，合理转化20．（15分）设函数f（x）=ax﹣（a+1）ln（x+1），其中a＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞0时，证明不等式：；（Ⅲ）设f（x）的最小值为g（a），证明不等式：﹣．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由f（x）=ax﹣（a+1）ln（x+1），其中a＞0，知函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），且，由f′（x）=0，得x=．列表讨论，能求出f （x）的单调区间．（Ⅱ）设∅（x）=ln（x+1）﹣，x∈[0，+∞），则∅′（x）==．由此能够证明．（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，将代入，得，由此能够证明﹣．解答：（Ⅰ）解：∵f（x）=ax﹣（a+1）ln（x+1），其中a＞0，∴函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），且，由f′（x）=0，得x=．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x（﹣1，）（，+∞）f′（x）﹣ 0 +f（x）↓极小值↑由上表知，当x∈（﹣1，）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（﹣1，）内单调递减；当x∈（）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（）内单调递增．∴函数f（x）的增区间是（），减区间是（﹣1，）．（Ⅱ）证明：设∅（x）=ln（x+1）﹣，x∈[0，+∞），对∅（x）求导，得∅′（x）==．当x≥0时，∅′（x）≥0，所以∅（x）在[0，+∞）内是增函数．∴∅（x）＞∅（0）=0，即ln（x+1）﹣＞0，∴．同理可证ln（x+1）＜x，∴．（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，将代入，得，即1，∴，故﹣．点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明，考查推理论证能力，考查运算推导能力，考查等价转化思想，考查分类讨论思想．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的综合应用．。

天津一中2012届高三年级三次月考数学试题（文科）一、选择题（每小题5分，共40分） 1． i 是虚数单位，复数ii215-的虚部为（ ）A ．iB ．i -C ．1D ．1-2．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≥,,032,1x y y x x 则目标函数y x z 2+=的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．93．下列命题中，假命题是（ ） A ．0,>∈∀xe R xB ．1sin ,≤∈∀x R xC ．0lg ,=∈∃x R xD ． 11,=+∈∃xx R x 4．如图所示，运行相应的程序框图，则输出k 的值为（ ） A ．14 B ．15 C ．16 D ．175．已知ααcos 21sin +=，且)2,0(πα∈，则)4sin(2cos παα-的值为 （ ）A ．214B ．214-C ．414D ．414-6．已知函数,l o g )31()(2x x f x-=实数c b a ,,成公差为正数的等差数列，且满足：0)()()(<c f b f a f ；实数d 是方程0)(=x f 的一个解，那么下列四个判断：①;a d <②;b d >③;cd <④c d >中有可能成立的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．已知抛物线x y 42=的准线与双曲线1222=-y ax )0(>a 相交于B A ,两点，且F 是抛物线的焦点，若FAB ∆是直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．6C ．2D ．38． 已知二次函数x ax x f +=2)(，对任意R x ∈，总有1|)1(|2≤+x xf ，则实数a 的最大整数值为（ ） A ．2- B ．0 C ．2D ．4二、填空题（每小题5分，共30分）9．设集合},2|2||{R x x x A ∈≤-=， }21,|{2≤≤--==x x y y B则=)(B A C R ．10．一个几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3cm ．11．如图，在ABC ∆中，D 为AC 边上的中点，BC AE //，ED 交AB 于点G ，交BC 延长线于点F ，若1:3:=GA BG ，10=BC ，则AE 的长为 ． 12．在ABC ∆中，角C B A ,,为所对的边分别是c b a ,,，若ABC ∆的面积)(41222c b a S -+=，则C ∠的度数为 ．13．若正实数y x ,满足xy y x =++62，则xy 的最小值是 ．14．已知ABC ∆内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且543=++，则⋅的值为 ． 三、解答题： 15．（本小题满分13分）已知函数),,0(cos 2)2sin(sin 3sin)(22R x x x x x x f ∈>+++=ωωπωωω在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若将函数)(x f 的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象，求函数)(x g 的最大值及单调递减区间．16．（本小题满分13分）在两个袋内，分别装有编号为4,3,2,1四个数字的4张卡片，现从每个袋内任取一张卡片． （Ⅰ）利用卡片上的编号写出所有可能抽取的结果；（Ⅱ）求取出的卡片上的编号之和不大于4的概率；（Ⅲ）若第一个袋内取出的卡片上的编号记为m ，第二个袋内取出的卡片上的编号记为n ，求2+<m n 的概率． 17．（本小题满分13分）如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，,2==PA AD ,22=CD F E ,分别是AB 、PD 的中点．（Ⅰ）求证：//AF 平面PCE ；（Ⅱ）求证：平面⊥PCE 平面PCD ； （Ⅲ）求二面角D EC F --的大小． 18．（本小题满分13分）已知各项均为正数的数列}{n a 满足11=a ，且02212121=-+++++n n n n n n a a a a a a ．（Ⅰ）求32,a a 的值； （Ⅱ）求证：}1{na 是等差数列； （Ⅲ）若12++=n n nnn a a a b ，求数列}{n b 的前n 项和．19．（本小题满分14分）设函数)0()(223>+-+=a m x a ax x x f ．（Ⅰ）若1=a 时函数)(x f 有三个互不相同的零点，求m 的取值范围； （Ⅱ）若函数)(x f 在]1,1[-∈x 内没有极值点，求a 的取值范围；（Ⅲ）若对任意的]6,3[∈a ，不等式1)(≤x f 在]2,2[-∈x 上恒成立，求m 的取值范围． 20．（本小题满分14分）已知F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点，A 是椭圆短轴上的一个顶点，椭圆的离心率为21，点B 在x 轴上，AF AB ⊥，F B A ,,三点确定的圆C 恰好与直线033=++y x 相切． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在过F 作斜率为k )0(≠k 的直线l 交椭圆于N M ,两点，P 为线段MN 的中点，设O 为椭圆中心，射线OP 交椭圆于点Q ，若OM ON OQ +=，若存在求k 的值,若不存在则说明理由．参考答案一．选择题 1．C 2．B 3．D 4．B 5．B6．C7．B8．C二．填空题 9．{x|x ≠0}10．18+π2911．512．45013．1814．51-三．解答题2215.(1)()sin cos 2cos 1'1cos 2()1sin 2223()sin(2)4'623()162sin()13636212'f x x x x x x f x x f x x f ϖϖϖϖϖϖπϖπππϖπππϖϖ=⋅++=++=++∴=+∴+=∴+=∴='123)621sin()(23)621sin()('123)62sin()(23]6)6(2sin[)(23)62sin()()2(211+-=∴+-=→+-=++-=→++=ππππππx x g x x f x x f x x f x x f'2)(]3104,344[:'225231)(max Z k k k x g ∈++=+=ππππ　单减区间16．（1）第一个袋内卡片分别为A 1、A 2、A 3、A 4第二个袋内卡片分别为B 1、B 2、B 3、B 4 （A 1B 1） （A 1B 2） （A 1B 3） （A 1B 4） （A 2B 1） （A 2B 2） （A 2B 3） （A 2B 4） （A 3B 1） （A 3B 2） （A 3B 3） （A 3B 4） （A 4B 1） （A 4B 2） （A 4B 3） （A 4B 4） 共16种 4‘（2）卡片之和不大于4（小于或等于4）共6种634'168(3)213135'16P n m P ==<+=共种17．（1）取PC 中点G ∴AFGE 是□ ∴AF ∥EG ∴AF ∥平面PCE 4‘（2）AF ⊥平面PCD ∴EG ⊥平面PCD ∴平面PCE ⊥平面PCD 4‘63331Q tan )3(πθθ=∴===H FH H AD 中点取 5‘11111111111223318.(2)()()()0()()0011101111{}11(1)22113'3111(3)22((1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a AP a a a a a a b n n n n n n +++++++++++⋅++-⋅+=∴+⋅⋅+-=∴-+⋅=∴-+=∴-=∴=∴==∴==∴=⋅+=⋅+-+是 ５' ２111)12n (1)2211n 11{}n :Sn+Tn=(1)221n n n n n n n n S n nT n n n nb n n +++⋅=-⨯+-=++∴-⨯+++｛｝的前项和：｛｝的前项和：前项和 ６'19．（1）当a=1时，f （x ）=x 3+x 2-x+m f ’（x ）=3x 2+2x-1 令f ’（x ）=0则x 1=-1或x 2=31 x （-∞, -1） -1 （-1,31） 31 （31, +∞） f ’（x ） + 0 - 0 +f （x ） ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ ∴y 极大值=f （-1）=-1+1+1+m=m+1 y 极小值=f （312753191271)-=+-+=m m 105027515'm m m +>⎧⎪∴⎨-<⎪⎩∴-<< （2） f ’（x ）=3x 2+2ax-a 2依题意：3x 2+2ax-a 2=0 在[-1, 1]上无实根'(1)0(0)'(1)035'f a f a -<⎧>⎨<⎩∴> （3）f ’（x ） =（x+a ）·（3x-a ） （a>0） x （-∞, -a ） -a （-a,3a ） 3a （3a,+∞） f ’（x ） + 0 - 0 +f （x ） ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ a ∈[3, 6]3a∈[1, 2], -a ∈[-6, -3] x （-2, 3a ） （3a, 2]f ’（x ） - +f （x ） ↓ ↑∴f （x ）max =max{f （-2）, f （2）} f （-2）=-8+4a+2a 2+m f （2）=8+4a-2a 2+mf （2）-f （-2）=16-4a 2<0∴f （x ）max =f （-2）=2a 2+4a-8+m 依题意: f （x ）max ≤1 ∴m ≤-2a 2-4a+9 当a=6时m ≤-87 4‘11120.(1),(,0)(0,)2220210()2:32330(,0)22AF AB AB e c a b F a A k k a l y x ay x a B a =∴==∴--∴==∴=--∴=-+=∴=∴令221(,0),23013222143a r ax d a d a a x y ∴=∴++=+==∴=∴+=圆心半径圆心到直线的距离椭圆方程为 6'⎩⎨⎧=++=)2(1243)1()1(:)2(22y x x k y l将（1）代入（2）可得：（3+4k 2）x 2+8k 2x+（4k 2-12）=0 2’'24362438222433)1('2434243820220222212221⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+-==∴=∴=+=++=+=+-=+=∴+-=+k k y y k k x x O O O OP ON OM k kx k y k k x x x k k x x p p p p p 且又12)436(4)438(3134222222020=+++-∴=+kk k k yx 又3×64k 4+4×36k 2=12（4k 2+3）2 64k 4+48k 2=4（16k 4+24k 2+9） 48k 2=96k 2+36 2’-48k 2=36 ∴k 无解 ∴不存在。

2015-2016学年天津一中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数为纯虚数，其中i虚数单位，则实数x的值为（）A．﹣B．C．2 D．12．已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p为（）A．∃x0≤0，使得（x0+1）e≤1 B．∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1C．∀x＞0，总有（x+1）e x≤1D．∀x≤0，总有（x+1）e x≤13．设a=log2π，b=logπ，c=π﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a4．设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．5．在△ABC中，若，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰或直角三角形 D．钝角三角形6．为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位7．数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列，且b n=a n+1﹣a n（n∈N*）．若则b2=﹣4，b5=2，则a8=（）A．0 B．3 C．8 D．118．已知函数y=f（x）是R上的可导函数，当x≠0时，有，则函数的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上）9．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．11．数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+1，则通项a n= ．12．已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（）⊥（﹣），则λ=．13．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且=， =，则•的值为．14．设a+b=2，b＞0，则的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供75g的碳水化合物，60g的蛋白质，60g的脂肪，100g食物A含有12g的碳水化合物，8g的蛋白质，16g的脂肪，花费3元；而100g食物B含有12g的碳水化合物，16g的蛋白质，8g的脂肪，花费4元．（Ⅰ）根据已知数据填写下表：100g食物碳水化合物/g 蛋白质/g 脂肪/gAB（Ⅱ）列车每天食用食物A和食物B所满足的不等式组；（Ⅲ）为了满足营养学家指出的日常饮食要求，并且花费最低，每天需要食用食物A和食物B个多少g？16．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．17．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°AB=PA=2，PA⊥平面ABCD，E是PC 的中点，F是AB的中点．（1）求证：BE∥平面PDF；（2）求证：平面PDF⊥平面PAB；（3）求BE与平面PAC所成的角．18．设等差数列{a n}的公差为d，点（a n，b n）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）（Ⅰ）证明：数列{b n}为等比数列；（Ⅱ）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{a n b n2}的前n项和S n．19．已知数列{a n}中，a1=a，a2=2，S n是数列{a n}的前n项和，且2S n=n（3a1+a n），n∈N*．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）若T n是数列{b n}的前n项和，且对一切n∈N*都成立，求实数m取值范围．20．已知函数f（x）=4x﹣x4，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若方程f（x）=a（a为实数）有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x2﹣x1≤﹣+4．2015-2016学年天津一中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数为纯虚数，其中i虚数单位，则实数x的值为（）A．﹣B．C．2 D．1【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】利用两个复数代数形式的除法法则化简复数z为，再由纯虚数的定义可得2x ﹣1=0，且x+2≠0，由此求得实数x的值．【解答】解：∵ ==是纯虚数，∴2x﹣1=0，且x+2≠0，∴x=，故选B．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法法则的应用，属于基础题．2．已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p为（）A．∃x0≤0，使得（x0+1）e≤1 B．∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1C．∀x＞0，总有（x+1）e x≤1D．∀x≤0，总有（x+1）e x≤1【考点】命题的否定；全称命题．【专题】简易逻辑．【分析】据全称命题的否定为特称命题可写出命题p的否定．【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题可知，￢p为∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1，故选：B．【点评】本题主要考查了全称命题的否定的写法，全称命题的否定是特称命题．3．设a=log2π，b=logπ，c=π﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对数函数和幂函数的性质求出，a，b，c的取值范围，即可得到结论．【解答】解：log2π＞1，logπ＜0，0＜π﹣2＜1，即a＞1，b＜0，0＜c＜1，∴a＞c＞b，故选：C【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键，比较基础．4．设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．【考点】基本不等式；等比数列的性质．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为2+，利用基本不等式就可得出其最小值【解答】解：因为3a•3b=3，所以a+b=1，，当且仅当即时“=”成立，故选择B．【点评】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力．5．在△ABC中，若，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰或直角三角形 D．钝角三角形【考点】正弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】先由正弦定理得求出sinA•cosA=sinB•cosB，利用倍角公式化简得sin2A=sin2B，因a≠b，进而求出，A+B=．【解答】解：由正弦定理得，∴sinA•cosA=sinB•cosB，∴sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A+2B=π，但a≠b，∴2A≠2B，A+B=，即△ABC是直角三角形．故选A【点评】本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．6．为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题．【分析】先根据诱导公式将函数化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案．【解答】解：∵，只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象．故选A．【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．7．数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列，且b n=a n+1﹣a n（n∈N*）．若则b2=﹣4，b5=2，则a8=（）A．0 B．3 C．8 D．11【考点】数列递推式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式可得b n=a n+1﹣a n=2n﹣8，再利用“累加求和”：a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，即可得出．【解答】解：设等差数列{b n}的公差为d，∵b2=﹣4，b5=2，∴，解得b1=﹣6，d=2，∴b n=﹣6+2（n﹣1）=2n﹣8．∴b n=a n+1﹣a n=2n﹣8，∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=[2（n﹣1）﹣8]+[2（n﹣2）﹣8]+…+（2﹣8）+3=+3=n2﹣9n+11．∴a8=82﹣9×8+11=3．故选：B．【点评】本题考查了递推关系的应用、等差数列的通项公式、“累加求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．已知函数y=f（x）是R上的可导函数，当x≠0时，有，则函数的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】将函数=0，转化为xf（x）=﹣，然后利用函数和导数之间的关系研究函数g（x）=xf（x）的单调性和取值范围，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由=0，得xf（x）=﹣，设 g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x），∵x≠0时，有，∴x≠0时，，即当x＞0时，g'（x）=f（x）+xf'（x）＞0，此时函数g（x）单调递增，此时g（x）＞g（0）=0，当x＜0时，g'（x）=f（x）+xf'（x）＜0，此时函数g（x）单调递减，此时g（x）＞g（0）=0，作出函数g（x）和函数y=﹣的图象，（直线只代表单调性和取值范围），由图象可知函数的零点个数为1个．故选：B．【点评】本题主要考查方程根的个数的应用，利用方程和函数之间的关系，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上）9．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是30【考点】程序框图．【专题】对应思想；试验法；算法和程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行后输出的S值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的是S=12+22+32+42=30．故答案为：30．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的答案．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为108+3π．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由三视图可知，该几何体是两个四棱柱和一个圆柱的组合体，代入圆柱和棱柱的体积公式，进而可得答案．【解答】解：由三视图可知，该几何体是两个四棱柱和一个圆柱的组合体，两个四棱柱的体积均为：（2+2+2）×（2+2+2）×1.5=54，圆柱的体积为：π××3=3π，故组合体的体积V=54×2+3π=108+3π，故答案为：108+3π【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积，其中根据已知分析出几何体的形状是解答的关键．11．数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+1，则通项a n= 2n﹣1 ．【考点】等比关系的确定．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由a n+1=2a n+1得a n+1+1=2（a n+1），从而判断出数列{a n+1}是以2为首项、公比的等比数列，代入等比数列的通项公式求出a n．【解答】解：由题可得，a n+1+1=2（a n+1），则=2，又a1=1，则a1+1=2，所以数列{a n+1}是以2为首项、公比的等比数列，所以a n+1=2•2n﹣1=2n，则a n=2n﹣1．故答案为：2n﹣1．【点评】本题考查等比数列的定义、通项公式，以及构造法求数列的通项公式，是常考的题．12．已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（）⊥（﹣），则λ=﹣3 ．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】平面向量及应用．【分析】由向量的坐标加减法运算求出（），（﹣）的坐标，然后由向量垂直的坐标运算列式求出λ的值．【解答】解：由向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），得，由（）⊥（﹣），得（2λ+3）×（﹣1）+3×（﹣1）=0，解得：λ=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了平面向量的坐标加法与减法运算，考查了数量积判断两个向量垂直的条件，是基础的计算题．13．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且=， =，则•的值为．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据向量数量积的公式和应用，进行运算求解即可．【解答】解：∵AB=2，BC=1，∠ABC=60°，∴BG==，CD=2﹣1=1，∠BCD=120°，∵=， =，∴•=（+）•（+）=（+）•（+）=•+•+•+•=2×1×cos60°+×2×1×cos0°+×1×1×cos60°+××1×1×cos120°=1+=，故答案为：【点评】本题主要考查向量数量积的应用，根据条件确定向量的长度和夹角是解决本题的关键．14．设a+b=2，b＞0，则的最小值为．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题意得代入所求的式子，进行化简后，再对部分式子利用基本不等式求出范围，再由a 的范围求出式子的最小值．【解答】解：∵a+b=2，∴，∴=，∵b＞0，|a|＞0，∴≥1（当且仅当b2=4a2时取等号），∴≥1，故当a＜0时，的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了基本不等式的应用，需要根据条件和所求式子的特点，进行变形凑出定值再进行求解，考查了转化和分类讨论的能力．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供75g的碳水化合物，60g的蛋白质，60g的脂肪，100g食物A含有12g的碳水化合物，8g的蛋白质，16g的脂肪，花费3元；而100g食物B含有12g的碳水化合物，16g的蛋白质，8g的脂肪，花费4元．（Ⅰ）根据已知数据填写下表：100g食物碳水化合物/g 蛋白质/g 脂肪/gAB（Ⅱ）列车每天食用食物A和食物B所满足的不等式组；（Ⅲ）为了满足营养学家指出的日常饮食要求，并且花费最低，每天需要食用食物A和食物B个多少g？【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】综合题；数形结合；综合法；不等式的解法及应用．【分析】利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．【解答】解：（Ⅰ）根据已知数据填写下表：100g食物碳水化合物/g 蛋白质/g 脂肪/gA 12 8 16B 12 16 8（Ⅱ）设每天食用xg食物A，yg食物B，那么，即；（Ⅲ）作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．考虑总成本为z=，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z=取得最小值．当直线z=经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小．解方程组，得M的坐标为x=500，y=125，所以z min=20．答：每天食用食物A为500g，食物B为125g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为20元．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．16．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）利用cosA求得sinA，进而利用A和B的关系求得sinB，最后利用正弦定理求得b的值．（Ⅱ）利用sinB，求得cosB的值，进而根两角和公式求得sinC的值，最后利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，∴b=•sinB=×=3．（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，∴S=a•b•sinC=×3×3×=．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中结合了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，注重了基础知识的综合运用．17．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°AB=PA=2，PA⊥平面ABCD，E是PC 的中点，F是AB的中点．（1）求证：BE∥平面PDF；（2）求证：平面PDF⊥平面PAB；（3）求BE与平面PAC所成的角．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）利用线面平行的判定定理去证明．（2）利用面面垂直的判定定理去证明．（3）利用定义或向量法求直线与平面所成的角．【解答】解：（1）证明：取PD的中点为M，连接ME，MF，∵E是PC的中点，∴ME是△PCD的中位线．∴ME∥CD，ME=CD．又∵F是AB的中点，且由于ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB=CD，∴ME∥FB，且ME=FB．∴四边形MEBF是平行四边形，∴BE∥MF．∵BE⊄平面PDF，MF⊂平面PDF，∴BE∥平面PDF．（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，DF⊂平面ABCD，∴DF⊥PA．连接BD，∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△DAB为正三角形．∵F是AB的中点，∴DF⊥AB．∵PA∩AB=A，∴DF⊥平面PAB．∵DF⊂平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAB．（3）连结BD交AC于O，∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，∴BD⊥平面PAC．∴OB⊥OE，即OE是BE在平面PAC上的射影．∴∠BEO是BE与平面PAC所成的角．∵O，E，分别是中点，∴OE=AP=1，OD===1，∴Rt△BOE为等腰直角三角形，∴∠BEO=45°，即BE与平面PAC所成的角的大小为45°．【点评】本题主要考查线面平行和面面垂直的位置关系的判定，要求熟练掌握线面、面面垂直与平行的判定定理和性质定理．综合性较强．18．设等差数列{a n}的公差为d，点（a n，b n）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）（Ⅰ）证明：数列{b n}为等比数列；（Ⅱ）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{a n b n2}的前n项和S n．【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）利用等比数列的定义证明即可；（Ⅱ）先由（Ⅰ）求得a n，b n，再利用错位相减求数列{a n b n2}的前n项和S n．【解答】（Ⅰ）证明：由已知得，b n=＞0，当n≥1时， ===2d，∴数列{b n}为首项是，公比为2d的等比数列；（Ⅱ）解：f′（x）=2x ln2∴函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为y﹣=ln2（x﹣a2），∵在x轴上的截距为2﹣，∴a2﹣=2﹣，∴a2=2，∴d=a2﹣a1=1，a n=n，b n=2n，a n b n2=n4n，∴T n=1•4+2•42+3•43+…+（n﹣1）•4n﹣1+n•4n，4T n=1•42+2•43+…+（n﹣1）•4n+n•4n+1，∴T n﹣4T n=4+42+…+4n﹣n•4n+1=﹣n•4n+1=，∴T n=．【点评】本题考查等差数列与等比数列的概念，等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式，导数的几何意义等知识；考查学生的运算求解能力、推理论证能力，属中档题．19．已知数列{a n}中，a1=a，a2=2，S n是数列{a n}的前n项和，且2S n=n（3a1+a n），n∈N*．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）若T n是数列{b n}的前n项和，且对一切n∈N*都成立，求实数m取值范围．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】综合题；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（Ⅰ）由2S n=n（3a1+a n），S1=a1=a，能求出a=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故．所以．由此能求出a n．（Ⅲ）当n≥2时，．由b1=2，知T n==，由此能够求出对一切n∈N*都成立时，实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵2S n=n（3a1+a n），S1=a1=a，∴2a=4a，所以a=0．…..（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴．∴．∴（n﹣1）a n+1=na n．∴当n≥2时，．∴，…，，∴．∴a n=2（n﹣1），n≥2．∵a1=a=0满足上式，∴a n=2（n﹣1），n∈N*．…..（Ⅲ）当n≥2时，．…..又b1=2，∴T n=b1+b2+…+b n=…..==所以．…..因为对一切n∈N*都成立，即对一切n∈N*都成立．∴．…..∵，当且仅当，即n=1时等号成立．∴．∴∴．…..【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．20．已知函数f（x）=4x﹣x4，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若方程f（x）=a（a为实数）有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x2﹣x1≤﹣+4．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】开放型；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性；（Ⅱ）设出点p的坐标，利用导数求出切线方程g（x）=f′（x0）（x﹣x0），构造辅助函数F（x）=f（x）﹣g（x），利用导数得到对于任意实数x，有F（x）≤F（x0）=0，即对任意实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，求出方程g（x）=a的根，由g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，得到x2≤x2′．同理得到x1′≤x1，则可证得．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=4x﹣x4，可得f′（x）=4﹣4x3．当f′（x）＞0，即x＜1时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞1时，函数f（x）单调递减．∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1），单调递减区间为（1，+∞）．（Ⅱ）证明：设点p的坐标为（x0，0），则，f′（x0）=﹣12，曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x0）（x﹣x0），即g（x）=f′（x0）（x﹣x0），令函数F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0），则F′（x）=f′（x）﹣f′（x0）．∵F′（x0）=0，∴当x∈（﹣∞，x0）时，F′（x）＞0；当x∈（x0，+∞）时，F′（x）＜0，∴F（x）在（﹣∞，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，∴对于任意实数x，F（x）≤F（x0）=0，即对任意实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，，设方程g（x）=a的根为x2′，可得．∵g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，又由（Ⅱ）知g（x2）≥f（x2）=a=g（x2′），因此x2≤x2′．类似地，设曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=h（x），可得h（x）=4x，对于任意的x∈（﹣∞，+∞），有f（x）﹣h（x）=﹣x4≤0，即f（x）≤h（x）．设方程h（x）=a的根为x1′，可得，∵h（x）=4x在（﹣∞，+∞）上单调递增，且h（x1′）=a=f（x1）≤h（x1），因此x1′≤x1，由此可得．【点评】本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质等基础知识．考查函数思想、化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力，是压轴题．。

8 4 4 6 4 7m 9 35 4 5 5 10 7 9乙甲2012-2013-2天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷（理）一．选择题：1.复数10i12i=-（ A ）A. 42i -+B. 42i -C. 24i -D. 24i +2.“0ϕ=”是“函数()sin()f x x ϕ=+为奇函数”的（ A ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ C ） A ．3 B ．6- C ．10 D ．15-4.已知函数()=ln f x x ，则函数()=()'()g x f x f x -的零点所在的区间是( B )A.（0,1）B. （1,2）C. （2,3）D. （3,4） 5. 2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是（ D ） A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．36.在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ C ）A.2B. C. 12 D. 12-7.如图，边长为1的正方形ABCD 的顶点A ,D 分别在x 轴、y 轴正半轴上移动，则⋅的最大值是（ A ）A.2 B.1π D.48.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2.双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（ D ）A ．22182x y += B.221126x y += C.221164x y += D.221205x y += 二．填空题：9.在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数是 84 ；若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数后，两组数据的平均数中较大的一组是 乙 组．10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积与体积分别为_____7＋2，32 ______11.如图，AC 为⊙O 的直径，OB AC ⊥，弦BN 交AC 于 点M．若OC =1OM =，则MN =___1__．12.在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知抛物线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝4sin θ(ρ≥0)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝1＋t (t 为参数)，设直线l 与抛物线C 的两交点为A ，B ，点F 为抛物线C 的焦点，则|AF |＋|BF |＝___163_______.13.已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 9 ．14.已知函数y mx =的图像与函数11x y x -=-的图像没有公共点,则实数m 的取值范围是三．解答题：15.已知函数1sin cos )2sin sin 32()(2+⋅-=xx x x x f .（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]42ππ上的最值.解：（Ⅰ）由sin 0x ≠得πx k ≠(k ∈Z)，故()f x 的定义域为{x ∈R |π,x k ≠k ∈Z}．…………………2分因为1sin cos )2sin sin 32()(2+⋅-=xxx x x f2cos )cos 1x x x =-⋅+ABCOM N2cos 2x x =-π2sin(2)6x =-，………………………………6分所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==．…………………7分 （II ）由 5[,],2[,],2[,],422636x x x πππππππ挝-?…………..9分 当52,,()1662x x f x πππ-==即时取得最小值，…………….11分 当2,,()2623x x f x πππ-==即时取得最大值.……………….13分16.为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.(Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；(Ⅱ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X ，求X 的分布列和数学期望. 解：（Ⅰ）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A ，则()23!15!10P A ⨯==. 所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为110.…………………3分 (Ⅱ）随机变量X 的可能取值为0, 1, 2, 3.()24!205!5P X ⨯===， ()323!315!10P X ⨯⨯===，()22!32!125!5P X ⨯⨯⨯===，()23!135!10P X ⨯===. …………….11分 随机变量X 的分布列为：因为 231101231510510EX =⨯+⨯+⨯+⨯=， 所以 随机变量X 的数学期望为1.…………….13分17.在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12AA =，E 为1BB 中点.（Ⅰ）证明：1AC D E ⊥；（Ⅱ）求DE 与平面1AD E 所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AD 上是否存在一点P ，使得BP ∥平面1AD E ？若存在，求DP 的长；若不存在，说明理由.（Ⅰ）证明：连接BD ∵1111ABCD A B C D -是长方体，∴1D D ⊥平面ABCD ， 又AC ⊂平面ABCD ∴1D D AC⊥……1分在长方形ABCD 中，AB BC = ∴BD AC ⊥ …………2分 又1BDD D D =∴AC ⊥平面11BB D D ， …………3分而1D E ⊂平面11BB D D ∴1AC D E⊥………4分（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系Dxyz ，则1(1,0,0),(0,0,2),(1,1,1),(1,1,0)A D E B ,1(0,1,1),(1,0,2),(1,1,1)AE AD DE ==-=………5分设平面1AD E 的法向量为(,,)n x y z =，则100n AD n AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 200x z y z -+=⎧⎨+=⎩令1z =，则(2,1,1)n =- ………7分cos ,3n DE n DE n DE<>===⨯…………8分D 1C 1B 1A 1EDCBAzyxD 1C 1B 1A 1EDCBA所以 DE 与平面1AD E………………9分（Ⅲ）假设在棱AD 上存在一点P ，使得BP ∥平面1AD E . 设P 的坐标为(,0,0)(01)t t ≤≤，则(1,1,0)BP t =-- 因为 BP ∥平面1AD E所以 BP n ⊥， 即0BPn =， 2(1)10t -+=，解得12t =， ………………12分所以 在棱AD 上存在一点P ，使得BP ∥平面1AD E ,此时DP 的长12.……13分18.设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =，131n n a S +=+，n *∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n T 为数列{}n na 的前n 项和，求n T ． 解：（Ⅰ）由题意，131n n a S +=+，则当2n ≥时，131n n a S -=+.两式相减，得14n n a a +=（2n ≥）. ……………………………………………2分 又因为11a =，24a =，214a a =，……………………………………………4分 所以数列{}n a 是以首项为1，公比为4的等比数列，……………………5分所以数列{}n a 的通项公式是14n n a -=（n *∈N ）. ………………………………6分（Ⅱ）因为2112323124344n n n T a a a na n -=++++=+⨯+⨯++⋅，所以2314412434(1)44n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅， ……………………8分两式相减得，2114314444414nn nn n T n n ---=++++-⋅=-⋅-， ………11分整理得，311499n n n T -=⋅+ (n *∈N ). ………………………………13分19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，直线l 过点(4,0)A ，(0,2)B ，且与椭圆C 相切于点P .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在过点(4,0)A 的直线m 与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ，使得23635AP AM AN =⋅?若存在，试求出直线m 的方程；若不存在,请说明理由.（Ⅰ）由题得过两点(4,0)A ，(0,2)B 直线l 的方程为240x y +-=.因为12c a =，所以2a c =，b =. 设椭圆方程为2222143x y c c +=,………2分由2222240,1,43x y x y c c+-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得，224121230y y c -+-=.又因为直线l 与椭圆C 相切,所以………4分………6分………8分又直线:240l x y +-=与椭圆22:143x y C +=相切， 由22240,1,43x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得31,2x y ==，所以3(1,)2P …………10分则2454AP =. 所以3645813547AM AN ⋅=⨯=.又AM AN ⋅==212(1)(4)(4)k x x =+--21212(1)(4()16)k x x x x =+-++22222641232(1)(416)3434k k k k k -=+-⨯+++2236(1).34k k =++ 所以223681(1)347k k +=+，解得k =经检验成立.所以直线m 的方程为4)y x =-.………14分20.已知函数()()2ln f x x a x x =+--在0x =处取得极值.(1)求实数a 的值；(2)若关于x 的方程()52f x x b =-+在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根,求实数b 的取值范围； (3)证明:对任意的正整数n ,不等式()23412ln 149n n n+++++>+都成立.解:(1)()'121,f x x x a=--+ …………1分0x =时,()f x 取得极值, ()'00,f ∴= …………2分故12010,0a-⨯-=+解得 1.a =经检验1a =符合题意. …………3分 （2）由1a =知()()2ln 1,f x x x x =+-- 由()52f x x b =-+,得()23ln 10,2x x x b +-+-=令()()23ln 1,2x x x x b ϕ=+-+-则()52f x x b =-+在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根等价于()0x ϕ=在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根. ()()()()'451132,1221x x x x x x ϕ-+-=-+=++当[]0,1x ∈时,()'0x ϕ>,于是()x ϕ在[)0,1上单调递增;当(]1,2x ∈时,()'0x ϕ<,于是()x ϕ在(]1,2上单调递减.…………6分依题意有()()()()()0031ln 111022ln 12430b b b ϕϕϕ=-≤⎧⎪⎪=+-+->⎨⎪⎪=+-+-≤⎩,解得,1ln 31ln 2.2b -≤<+ …………9分(3) ()()2ln 1f x x x x =+--的定义域为{}1x x >-,由(1)知()()()'231x x f x x -+=+,令()'0fx =得,0x =或32x =-(舍去), ∴当10x -<<时, ()'0f x >,()f x 单调递增; 当0x >时, ()'0fx <,()f x 单调递减. ()0f ∴为()f x 在()1,-+∞上的最大值. …11分()()0f x f ∴≤,故()2ln 10x x x +--≤(当且仅当0x =时,等号成立)对任意正整数n ,取10x n =>得,2111ln 1,n n n ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭ …………12分211ln n n n n ++⎛⎫∴< ⎪⎝⎭故()23413412ln 2ln ln lnln 14923n n n n n++++++>++++=+. …………14分 （方法二）数学归纳法证明：当1n =时，左边21121+==，右边ln(11)ln 2=+=，显然2ln 2>，不等式成立. 假设()*,1n k k N k ≥∈≥时，()23412ln 149k k k+++++>+成立，则1n k =+时，有()()()222341222ln 14911k k k k k k k ++++++++>++++.做差比较：()()()()222222111ln 2ln 1lnln 1111(1)11k k k k k k k k k k k ⎛⎫+++⎛⎫+-+-=-=+-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭++⎝⎭构建函数()()()2ln 1,0,1F x x x x x =+--∈，则()()2301x x F x x -+'=<+，()()0,1F x ∴在单调递减，()()00F x F ∴<=.取()*11,1x k k N k =≥∈+，()2111ln 10011(1)F k k k ⎛⎫⎛⎫+-+<= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭即()()()22ln 2ln 101k k k k ++-+-<+，亦即()()()22ln 1ln 21k k k k +++>++，故1n k =+时，有()()()()222341222ln 1ln 24911k k k k k k k k ++++++++>++>+++，不等式成立. 综上可知，对任意的正整数n ,不等式()23412ln 149n n n+++++>+都成立.。