10月考文科数学单科成绩

年10月12日—10月14日，高一年级组组织了本学期的第一次月考考试，这次考试组织严密，纪律严格，没有发现学生有作弊现象。

本次考试科目为九科，语数外各150分，理化生政史地各100分，满分1050分。

希望班主任和各位任课教师结合这次考试相关数据，结合本班教学实际情况，认真分析。

现将本次考试情况分析如下： 一、优生情况：1、10月月考年级前30名学生成绩及各班分布情况：前30名学生中，13班5人，14班10人，23班7人，24班4人，17班1人，18班1个，21班1人，28班1人，重点班尖子生占了,83%，其中王亚鹏同学第一名。

2.尖子生各学科成绩统计情况姓名王亚鹏李江峰邵伟杰郜丽娟王亚旗焦天震李浩桤李晓婕尚雨露姬梦菲班级 141424 1414 24 2314 13 14 分数 732.5 730.5 715 708.5 708.5 707.5 697695 691 688.5名次12345678910姓名李雪秦安霖何喆秦晨阳琚锐李巧程钰婷牛冰锟张然张润班级 232318142323131324 17 分数 687.5 677.5 676 675.5 675.5 672.5 671671 670 669 名次11121314151617181920姓名许珂任高鑫李泽晨张浈宇张璐李博牛雨菲庞泽锐邵坤郗佳琳班级 241414 14 21 28 23 13 23 13 分数 668 667 667 666 665 663.5 662.5 661.5 661.5 661名次21222324252627282930班级 姓名语文 数学 英语 物理 化学 生物 政治 历史 地理 总分 名次14 王亚鹏105 （64） 88 （20） 117.5 （49） 53 （71） 60 （48） 76 （5） 77 （12） 70.5 （19） 85.5（7）732.5 114 李江峰97（366）117（1）90（548）66（9）79（1）79（2）52（553）58（243）92.5（1）730.5 224 邵伟杰101（185）87（24）122.5（14）68（5）66（17）76（6）59（334）67（48）68.5（123）715 314 郜丽娟110（11）87（25）122.5（15）57（37）47（274）75（12）73（35）68.5（31）68.5（124）708.5 414 王亚旗98（306）76（86）129.5（3）52（88）51（173）66（76）68（116）85（1）83（12）708.5 524 焦天震106（43）100（5）105（258）50（114）62（35）67（62）75（22）69.5（25）73（72）707.5 623 李浩桤108（24）83（39）86（617）64（12）67（12）69（39）84（2）66（63）70（105）697 714 李晓婕104（90）83（40）126（8）29（621）65（21）73（21）66（146）74.5（3）74.5(58)695 813 尚雨露113（3）55（398）120（30）52（89）69（10）74（16）69（98）66（64）73（73）691 914 姬梦菲106（44）88（21）114（92）55（53）51（174）72（24）64（192）66（65）72.5（81）688.5 1023 李雪94（501）90（15）108.5（190）59（28）52（154）68（85）76（14）61（166）82（17）687.5 1123 秦安霖108（25）70（157）115.5（71）57（38）54（118）60（163）70（74）74（5）69（117）677.5 1218 何喆84（757）92（13）110（158）81（1）76（3）68（51）43（751）42（712）80（24）676 1314 秦晨阳95（452）70（158）116（64）64（13）65（22）64（100）55（470）57.5（259）89（4）675.5 1423 琚锐103（124）52（467）119（34）53（72）63（27）76（7）82（5）62.5（133）65（184）675.5 1523 李巧106（45）70（159）120.5（27）52（90）63（28）66（77）64（193）52（424）79（28）672.5 1613 程钰婷107（35）58（337）111（141）54（60）59（59）67（63）71（58）62（145）82（18）671 1713 牛冰锟100（224）103（3）103（295）67（7）70（8）74（17）63（226）63（122）28（790）671 1824 张然112（5）61（290）116.5（58）55（54）57（78）73（22）73（36）58.5（226）64（205）670 1917 张润98（307）62（277）110.5（151）55（55）58（70）69（40）65（170）60.5（178）91（3）669 20班级姓名语文数学英语物理化学生物政治历史地理总分名次24 许珂94（502）83（41）130.5（2）69（4）59（60）59（186）53（526）59.5（201）61(268)668 2114 任高鑫109（17）92（14）122.5（16）43（250）46（307）66（78）71（59）55.5（314）62（249）667 22尖子生各学科排名情况：语文有16名同学排在100名之后,何喆757名，牛雨菲620名；数学琚锐467名，尚雨露398名；英语有13名同学排在了100名之后，张浈宇699名，李浩桤617名，李江峰548名；物理有7名同学排在了100名之后，李晓婕621名、邵坤408名；化学李泽晨368名，任高鑫307名；生物李泽晨407名；政治何喆751名，李江峰553名；历史李巧424名；地理张然790名。

2023-2024学年广西壮族自治区高二上册新高考10月月考测试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}24A x x =≤<，集合{}2320B x x x =-+<，则A B ⋃=（）A.∅B.{}12x x << C.{}24x x ≤< D.{}14x x <<【正确答案】D【分析】将集合A 、B 化简，再根据并集的运算求解即可.【详解】∵集合{}24A x x =≤<，集合{}{}232012B x x x x x =-+<=<<，∴{}14A B x x ⋃=<<．故选：D.2.已知复数3i1iz +=+，则z =（）A.B.C.3D.5【正确答案】B【分析】按照复数的除法运算求出复数z 的代数形式，再根据复数的模长公式求解即可.【详解】()()()()23i 1i 3i 33i i i 42i2i 1i 1i 1i 22z +-+-+--=====-++-.z ∴.故选：B.3.已知1253a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 5b =，3log 7c =，则a ，b ，c 的大小顺序是（）A.a b c >> B.c a b>> C.c b a>> D.b c a>>【正确答案】D【分析】由11225335-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22log 5log 4>，333log 3log 7log 9<<判断.【详解】因为112253135a -⎛⎫⎛⎫==< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22log 5log 42b =>=，3331log 3log 7log 92c =<=<=，所以b c a >>故选：D4.已知直线1l ：()220a x ay -++=，2l ：()20x a y a +-+=，则“12l l ⊥”是“1a =-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】当1a =-时，根据斜率的乘积等于1-可得12l l ⊥；当12l l ⊥时，根据()()2120-⨯+-=a a a 求出a ，再根据必要不充分条件的概念可得答案.【详解】当1a =-时，1:32l y x =-+，211:33l y x =-，121313k k ⋅=-⨯=-，所以12l l ⊥；当12l l ⊥时，可得()()()()212210a a a a a -⨯+-=-+=，解得1a =-或2a =，所以“12l l ⊥”是“1a =-”的必要不充分条件．故选：B ．5.已知4a = ，3b = ，6a b ⋅=-，则向量b 在a 方向上的投影向量为（）A.38a- B.38b- C.38a D.38b 【正确答案】A【分析】利用平面向量数量积的几何意义进行求解.【详解】因为4a = ，3b = ，6a b ⋅=-，所以向量b 在a方向上的投影向量为63448a b a a a aa ⋅-⋅=⋅=-⨯.故选：A.6.已知点()2, 2,,3()1A B -，若直线10kx y --=与线段AB 有交点，则实数k 的取值范围是A.3(,4),2⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭B.34,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C.3(,4],2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭D.34,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【正确答案】C【分析】根据题意知A 、B 两点在直线的异侧或在直线上，得出不等式（2k ﹣2﹣1）×（﹣k ﹣3﹣1）≤0，求出解集即可．【详解】根据题意，若直线l ：kx ﹣y ﹣1＝0与线段AB 相交，则A 、B 在直线的异侧或在直线上，则有（2k ﹣2﹣1）×（﹣k ﹣3﹣1）≤0，即（2k ﹣3）（k +4）≥0，解得k ≤﹣4或k ≥32，即k 的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[32，+∞）．故选C ．本题考查直线与线段AB 相交的应用问题，考查了转化思想，是基础题．7.已知1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos(2)3πα-=（）A.79-B.79 C.29-D.29【正确答案】A【分析】根据余弦的二倍角公式，结合诱导公式进行求解即可.【详解】因为1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以由11sin cos 26363πππαα⎛⎫⎛⎫+-=⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，217cos(2)2cos ()1213699ππαα-=--=⨯-=-，故选：A8.已知三棱锥-P ABC 的顶点都在球O 的球面上，,AB AC BC PB ⊥=⊥平面ABC ，若球O 的体积为36π，则该三棱锥的体积的最大值是（）A.3B.5C.3D.83【正确答案】A【分析】将三棱锥-P ABC 放入长方体内，得到PC 为球直径，由基本不等式求出4AB AC ⨯≤，从而求出三棱锥的体积的最大值.【详解】因为,AB AC BC ⊥=ABC 为等腰直角三角形，又PB ⊥平面ABC ，所以PB 为三棱锥-P ABC 的高，则可将三棱锥-P ABC 放入长方体内，如图，长方体的体对角线即为外接球直径，即PC 为球直径，34π36π32PC V ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，解得6PC =，又6PC ===，解得PB =2222BC AB AC AB AC =+≥⨯，所以4AB AC ⨯≤所以三棱锥的体积11323V AB AC =⨯⨯⨯⨯≤，故选：A解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径二、多选题：共4小题，每小题5分，共20分，每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错得0分．9.下列说法正确的是（）A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m 被抽到的概率是0.1B.已知一组数据1，2，m ，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23D.若样本数据1x ，2x ，…，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，…，1021x -的标准差为32【正确答案】AC【分析】分别利用古典概型的计算公式，方差和标准差的计算公式及其百分位数的定义求解即可.【详解】对于选项A ,个体m 被抽到的概率为50.150=，故该选项正确；对于选项B ，126745m ++++=，解得4m =，则方差为()()()()()2222221=1424446474 5.25S ⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦，故该选项错误；对于选项C ,数据27，12，14，30，14，17，19，23从小到大排列为，12，14，14，17，19，23，27，30，由于870⨯% 5.6=，其中第6个数为23，故该选项正确；对于选项D ,设数据1x ，2x ，…，10x 的均值为x ，则数据121x -，221x -，…，1021x -的均值为21x -，因为数据1x ，2x ，…，10x8=，所以数据121x -，221x -，…，1021x -的标准差为16==，故该选项错误；故选：AC.10.在ABC 中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，有如下判断，其中正确的判断是（）A.若sin 2sin 2A B =，则ABC 为直角三角形B.若sin cos a b C c B =+，则π4C ∠=C.若12,10,60a b B ===︒，则符合条件的ABC 有两个D.在锐角三角形ABC 中，不等式2220b c a +->恒成立【正确答案】BD【分析】根据正弦定理和余弦定理，逐个判断即可.【详解】对于A ：sin 2sin 2A B =，所以22A B =或者22πA B +=，即A B =或π2A B +=，所以ABC 为等腰三角形或者直角三角形，A 错误；对于B ：sin cos sin sin sin sin cos a b C c B A B C C B =+⇒=+，又()sin sin sin cos sin cos A B C B C C B =+=+，代入可得sin sin sin cos B C B C =，所以sin cos C C =，所以π4C =，B 正确；对于C ：由正弦定理可得sinsin a bA B=，代入可得12sin 1sin A A =⇒=，所以符合条件的三角形没有，C 错误；对于D ：ABC 是锐角三角形，所以222222cos 002b c a A b c a bc+-=>⇒+->，D 正确，故选：BD11.已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.函数()f x 的最小正周期为πB.函数()f x 的图象关于直线5π12x =-对称C.函数()f x 图象向右平移π6个单位可得函数2sin y x =的图象D.若方程()()R f x m m =∈在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不等实数根1x ，2x ，则()121cos 2x x +=．【正确答案】AB【分析】根据图象确定函数的解析式，然后由正弦函数性质判断各选项．【详解】由图可知2A =，πππ43124T =-=，所以2ππT ω==，于是A 正确，所以2ω=，则()()2sin 2f x x ϕ=+，将点π,212⎛⎫⎪⎝⎭代入得：π2sin 26ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π62k ϕ+=+，Z k ∈，又2πϕ<，所以π3ϕ=，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于B ，因为5π5ππ2sin 21263f ⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，为最小值，所以函数()f x 的图象关于直线5π12x =-对称，故B 正确；对于C ，将函数()f x 图象向右平移π6个单位，可得函数ππ2sin 22sin 263y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故C 错误；对于D ，由条件结合图象可知12π212x x +=，于是12π6x x +=，所以()12π3cos cos 62x x +==，故D 错误．故选：AB ．12.已知222,0()1ln ,0x x x f x x x ⎧++≤=⎨+>⎩，若存在123x x x <<，使得()()()123f x f x f x m ===，则下列结论错误的有（）A.实数m 的取值范围为[]1,2B.31e x <≤C.122x x +=-D.12x x 的最大值为1【正确答案】AD【分析】根据分段函数解析式画出函数图象，再利用方程的根的个数即为函数图象的交点个数，即可求得实数m 的取值范围，再利用图象判断出根的分布情况即可做出判断.【详解】由函数222,0()1ln ,0x x x f x x x ⎧++≤=⎨+>⎩可知其图象如下图所示，又因为存在123x x x <<，使得()()()123f x f x f x m ===，所以函数()f x 与y m =有三个不同的交点，根据图象可知(]1,2m ∈，故A 错误；根据函数图像可知30x >，所以(]31ln 1,2x m +=∈得30ln 1x ≤<，即31e x <≤，故B 正确；显然120x x <<，且关于=1x -对称，所以122x x +=-，故C 正确；因为120x x <<，且122x x +=-，所以12()2x x -+-=，2121212()()()12x x x x x x -+-⎛⎫=--≤= ⎪⎝⎭，当且仅当121x x ==-时，等号成立；又因为12x x <，所以121x x <，故D 错误；故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知点()1,1P 在直线410(0)ax by ab +-=>上，则11a b+的最小值为______．【正确答案】9【分析】先由题意得41a b +=，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】根据点在线上，得到410a b +-=，则41a b +=，又0ab >，故11114()(4)5549.b a a b a b a b a b+=++=++≥+=当且仅当4b a a b =，即123a b ==时，等号成立，故11a b+的最小值为9．故9.14.已知偶函数()f x 在区间[)0,∞+单调递增，则满足()()211f x f -<的x 的取值范围是__________.【正确答案】(0,1)【分析】因为21x -不一定也在单调递增区间[0,)+∞内,所以不能利用函数单调性解函数不等式,所以要用偶函数的性质将(21)f x -变成(|21|)f x -,然后再用函数在[0,)+∞上的单调性解函数不等式.【详解】因为函数()f x 为偶函数,所以(21)(|21|)f x f x -=-,所以不等式()()211f x f -<等价于(|21|)(1)f x f -<,又因为函数()f x 在区间[)0,∞+单调递增,所以|2|11x -<,解得01x <<,所以x 的取值范围是(0,1).故答案为(0,1).本题考查了函数的奇偶性,单调性以及抽象函数不等式的解法,抽象函数不等式的解法,都是用函数的单调性来解,利用函数的单调性时,一定要保证自变量在同一个单调区间内,不满足这一点的,往往利用偶函数的性质变形后,再用函数的单调性解不等式.本题属于中档题.15.在ABC 中，60,2,BAC AB BC ∠=︒==，BAC ∠的角平分线交BC 于D ，则AD =_________．【正确答案】2【分析】方法一：利用余弦定理求出AC ，再根据等面积法求出AD ；方法二：利用余弦定理求出AC ，再根据正弦定理求出,B C ，即可根据三角形的特征求出．【详解】如图所示：记,,AB c AC b BC a ===，方法一：由余弦定理可得，22222cos606b b +-⨯⨯⨯= ，因为0b >，解得：1b =由ABC ABD ACD S S S =+ 可得，1112sin 602sin 30sin 30222b AD AD b ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ，解得：1212AD b +===+．故答案为：2．方法二：由余弦定理可得，22222cos606b b +-⨯⨯⨯= ，因为0b >，解得：1b=由正弦定理可得，2sin 60sin sin b B C == ，解得：62sin 4B +=，2sin 2C=，因为1>>45C = ，180604575B =--= ，又30BAD ∠=o ，所以75ADB ∠= ，即2AD AB ==．故2．本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．16.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1AA 的中点，点P 在侧面11ABB A 内，若1D P CM⊥，则PBC △的面积的最小值是________．【正确答案】510【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量、三角形的面积公式、二次函数进行求解.【详解】如图，以点D 为空间直角坐标系的原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则点()1,,,[01]P y z y z ∈、，，()10,0,1D 所以()11,,1D P y z =- ，因为()10,1,0,1,0,2C M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以11,1,2CM =-⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，因为1D P CM ⊥ ，所以()11102y z -+-=，所以21z y =-，因为()1,1,0B ，所以()0,1,21BP y y =-- ，所以()()222121562BP y y y y =-+-=-+，因为01y ≤≤，所以当35y =时，min 55BP =，因为正方体中，BC ⊥平面11,ABB A BP ⊂平面11ABB A ，故BC BP ⊥，所以()min 155=1=2510PBC S ⨯⨯ .故答案为.510四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知直线l 过点()2,1P .（1）若直线l 与3240x y -+=垂直，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.【正确答案】（1）2370x y +-=；（2）20x y -=或30x y +-=.【分析】（1）根据互相垂直直线的斜率关系，结合直线点斜式方程进行求解即可；（2）根据直线的截距是否为零分类讨论求解即可.【小问1详解】直线3240x y -+=的斜率为32，与直线3240x y -+=垂直的直线的斜率为23-，过点P 且与直线3240x y -+=垂直的直线的方程为()2123y x -=--，即2370x y +-=.【小问2详解】分两种情况讨论：①当直线在两坐标轴上的截距均为零时，设所求直线的方程为y kx =，将点P 的坐标代入该直线方程得21k =，解得12k =，此时，所求直线的方程为20x y -=；②当直线在两坐标轴上的截距均不为零时，设所求直线的方程为1x y a a +=，即x y a +=，将点P 的坐标代入该直线方程得213a =+=，此时，所求直线的方程为30x y +-=综上所述，所求直线的方程为20x y -=或30x y +-=.18.如图，空间四边形OABC 的各边及对角线长为2，E 是AB 的中点，F 在OC 上，且2OF FC = ，设OA a = ，OB b = ，OC c = ，（1）用a ，b ，c 表示EF；（2）求向量OA 与向量EF 所成角的余弦值.【正确答案】（1）112223a b c --+ （2）51938-【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解；（2）计算22112223EF a b c ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 的值即可得EF ，再计算OA EF ⋅ 的值，由空间向量夹角公式即可求解.【小问1详解】因为OA a = ，OB b = ，OC c =，所以()2111232223EF OF OE OC OA OB a b c =-=-+=--+ .【小问2详解】因为空间四边形OABC 的各边及对角线长为2，所以四面体OABC 是正四面体，2a b c === ，且a ，b ，c 间的夹角为π3，所以22cos602a b a c b c ⋅=⋅=⋅=⨯⨯= ，2112112223223EF a b c a b OA a a c a ⎛⎫=--+=-⋅⋅⋅⋅-+ ⎪⎝⎭ 211252222233=-⨯-⨯+⨯=-，22222112114122223449233EF a b c a b c a b a c b c ⎛⎫=--+=+++⋅-⋅-⋅ ⎪⎝⎭ 222114122192222224492339=⨯+⨯+⨯+⨯-⨯-⨯=，所以193EF =，所以5,3cos 38193OA EF OA EF OA EF -===-⋅⨯ ，所以向量OA 与向量EF 所成角的余弦值为51938-.19.在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足()(sin sin )()sin a b A B a c C +-=-.（1）求角B 的大小；（2）若c =，求a 的取值范围.【正确答案】（1）3π（2）【分析】（1）先利用正弦定理把已知式子统一成边的关系，再利用余弦定理可求出角B 的大小，（2）由（1）可得23A CB π+=π-=，由正弦定理可得312cos sin 2233sin sin sin sin tan C C C c a A C C C Cπ⎫⎛⎫+⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅===+，然后由ABC 为锐角三角形求出角C 的范围，再利用正切函数的性质可求得结果【小问1详解】因为()(sin sin )()sin a b A B a c C +-=-，所以由正弦定理可得()()()a b a b a c c +-=-，化简得222a c b ac +-=，所以由余弦定理得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，因为(0,)B π∈，所以3B π=【小问2详解】因为3B π=，所以23A C B π+=π-=,由正弦定理得，sin sin a c A C =，所以12cos sin 2233sin sin sin sin tan C C C c a A C C C Cπ⎫⎛⎫+⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅===，因为ABC 为锐角三角形，所以022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，得62C ππ<<，所以3tan 3C >，所以30tan C <<3tan C<+<，a <<，即a 的取值范围为20.某省将实行“312++”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A 、B 、C 、D 、E 共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分，A 等级排名占比15%，赋分分数区间是86～100；B 等级排名占比35%，赋分分数区间是71～85；C 等级排名占比35%，赋分分数区间是56～70；D 等级排名占比13%，赋分分数区间是41～55；E 等级排名占比2%，赋分分数区间是30～40；现从全年级的生物成绩中随机取100学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：（1）求图中a 的值，并求抽取的这100名学生的原始成绩的平均数；（2）用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的B 等级及以上（含B 等级）？（结果保留整数）（3）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在[)40,50和[)50,60内的学生中共抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中恰有一人原始成绩在[)40,50内的概率．【正确答案】（1）0.03a =，平均数为71.（2）74（3）35【分析】（1）由频率分布直方图中所有小长方形的面积和为1，可求出a ，进而可求出平均数.（2）由频率分布直方图结合B 等级及以上排名占比列方程即可得解．（3）列出所有基本事件及满足要求的基本事件，由古典概型概率公式即可得解.【小问1详解】()10.010.01520.0250.00510100.03a ⎡⎤=-+⨯++⨯÷=⎣⎦；平均数450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问2详解】由已知等级达到B 及以上所占排名等级占比为15%35%50%+=，假设原始分不少于x 分可以达到赋分后的B 等级及以上，由频率分布直方图知[)40,70占比()0.010.0152100.4+⨯⨯=，[]80,100占比()0.0050.025100.3+⨯=，所以7080x <<，且(0.0050.025)10(80)0.030.50x ⨯-=⨯++，解得73.3x ≈（分），所以原始分不少于74分才能达到赋分后的B 等级及以上．【小问3详解】由题知得分在[)40,50和[)50,60内的频率分别为0.1和0.15，由0.120.153=知抽取的5人中，得分在[)40,50内的有2人，记为AB ,得分在[)50,60的有3人，记为cde ，则从5人中抽取两人的基本事件为：()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A c A d A e B c B d B e c d c e d e 共10种，这2人中恰有一人原始成绩在[)40,50内的基本事件有：()()()()()(),,,,,,,,,,,A c A d A e B c B d B e ，共6种，故所求概率63105P ==.21.每年的3月14日为国际数学日，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节，其中一项活动是“数学知识竞赛”，竞赛共分为两轮，每位参赛学生均须参加两轮比赛，若其在两轮竞赛中均胜出，则视为优秀，已知在第一轮竞赛中，学生甲、乙胜出的概率分别为45，35；在第二轮竞赛中，甲、乙胜出的概率分别为p ，q .甲、乙两人在每轮竞赛中是否胜出互不影响.（1）若58p =，求甲恰好胜出一轮的概率；（2）若甲、乙各胜出一轮的概率为950，甲、乙都获得优秀的概率为625.（i ）求p ，q ，的值；（ii ）求甲、乙两人中至少有一人获得优秀的概率.【正确答案】（1）1740（2）（i ）23p =，34q =；（ii ）223300【分析】（1）利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可.（2）（i ）利用对立事件和独立事件的概率公式表示出()P D 和()P E ，即可求解；（ii ）利用对立事件和独立事件的概率公式即可求解.【小问1详解】设“甲在第一轮竞赛中胜出”为事件1A ，“甲在第二轮竞赛中胜出”为事件2A ，“乙在第一轮竞赛中胜出”为事件1B ，“乙在第二轮竞赛中胜出”为事件2B ，则1A ，2A ，1B ，2B 相互独立，且()145P A =，()2P A p =，()135P B =，()2P B q =.设“甲恰好胜出一轮”为事件C ，则1212C A A A A =+，12A A ，12A A 互斥.当58p =时，()()()()12121212P A A A A P P C A A P A A +=+=()()()()1212P A P A P A P A =+431517585840=⨯+⨯=.所以当58p =，甲恰好胜出一轮的概率为1740.【小问2详解】由（1）知，（i ）记事件D 为“甲、乙各胜出一轮”，事件E 为“甲、乙都获得优秀”，所以()()12121212D A A A A B B B B =++，1122E A B A B =.因为甲、乙两人在每轮竞赛中是否胜出互不影响，所以()()()12121212P P A A A A P B B B D B ⋅=++()()()()12121212A A A A B P P P B B P B ⎡⎤⎡⎤=++⎣⎦⎣⎦()()()()()()()()12121212P A P A P A P A P B P B P B P B ⎡⎤=++⎣⎦⎡⎤⎣⎦()()4132911555550p p q q ⎡⎤⎡⎤=-+-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()()()()()()112211224365525P E P A B A B P A P B P A P B p q ===⨯=，则2481869012q p pq pq --+-=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得2334p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1332p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去）.综上，23p =，34q =.（ii ）设事件G 为“甲获得优秀”，事件H 为“乙获得优秀”，于是G H ⋃=“两人中至少有一人获得优秀”，且()()12815P G P A A ==，()()12920P H P B B ==，所以()()87111515P G P G =-=-=，()()911112020P H P H =-=-=，所以()()()()7112231111520300P G H P GH P G P H ⋃=-=-=-⨯=.故甲、乙两人中至少有一人获得优秀的概率为223300.22.已知四棱锥E —ABCD 中，四边形ABCD 为等腰梯形，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝2，AB ＝4，△ADE 为等边三角形，且平面ADE ⊥平面ABCD．（1）求证：AE ⊥BD ；（2）是否存在一点F ，满足EF EB λ= (0＜λ≤1)，且使平面ADF 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值为13．若存在，求出λ的值，否则请说明理由．【正确答案】（1）证明见解析；（2）存在12λ=使得平面ADF 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值为13.【分析】（1）取AB 的中点G ，连接DG ，证明ABD △是直角三角形，得AD BD ⊥，从而由面面垂直的性质定理得线面垂直，则可得证线线垂直；（2）取AD 的中点H ,连接EH ，证明EH ⊥平面ABCD ，以,DA DB 为,x y 轴，过D 平行于EH 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，由空间向量法求二面角的余弦值，由已知求得λ，说明存在．【详解】（1）取AB 的中点G ，连接DG ,1,//2BG AB CD BG CD == ,∴四边形BCDG 是平行四边形，2DG BC AG AD ====,ADG ∴ 为等边三角形，1,2DG AB ABD =∴△是直角三角形，AD BD ∴⊥， 平面ADE ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ，AD =平面ADE 平面ABCD ,BD ∴⊥平面ADE ,AE ⊂平面ADE ,AE BD∴⊥（2）F 为EB 中点即可满足条件.取AD 的中点H ,连接EH ，则EH AD ⊥，取AD 的中点H ,连接EH ,平面ADE ⊥平面ABCD ，EH ⊂平面EAD ，所以EH ⊥平面ABCD ，EH BD ==如图建立空间直角坐标系D xyz -,则()()()()(0,0,0,2,0,0,0,,,1,0D A B C E -,则()()(()2,0,0,,1,,,,,CB EB EF E D B A λλ===-==-()1,,DF λ=- 设平面ADF 的法向量为111(,,)m x y z = ，平面BCE 的法向量为222(,,)n x y z = ．由00DF m DA m ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，得())11111020x y z x λ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩，取()0,12m λλ=- ，；由00CB n EB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得2222200x x ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取()n = ．于是，|65|cos ,|13m n m n m n ⋅〈〉==⋅ ．解得1=2λ或1=-3λ（舍去）方法点睛：本题考查证明线面平行，由二面角求参数．求二面角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论；（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．所以存在12λ=使得平面ADF 与平面BCE所成的锐二面角的余弦值为13.。

2021年高二上学期第二次（10月）月考数学（文）试题 含答案杨晓霞 注意事项：1. 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

2. 答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”的规定答题；3. 选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应位置，在试卷和草稿纸上做答无效.第I 卷（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上。

1．如下图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的实物是( )2． 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于( ) A ．1 B.2C.2－12 D.2＋123．用平行于圆锥底面的截面去截圆锥，所得小圆锥的侧面积与原来大圆锥的侧面积的比是12，则小圆锥的高与大圆锥的高的比是A.12B ．1 C.22D. 24．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，下面有三个命题：①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β.则真命题的个数为 A ．0B ．1C ．2D ．35．已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是A ．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB ．若m ∥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α∥βC ．若m ∥n ，m ∥α，则n ∥αD ．若n ⊥α，n ⊥β，则α∥β6. 正六棱锥P —ABCDEF 中，G 为PB 的中点，则三棱锥D －GAC 与P －GAC 体积之比为A ．1∶1B ．1∶2C ．2∶1D ．3∶27．如右图，设平面α∩β＝EF ，AB ⊥α，CD ⊥α，垂足分别是B 、D ，如果增加一个条件，就能推出BD ⊥EF ，这个条件不可能是下面四个选项中的 A ．AC ⊥β B ．AC ⊥EFC ．AC 与BD 在β内的射影在同一条直线上 D ．AC 与α、β所成的角相等8．若二面角M －l －N 的平面角大小为2π3，直线m ⊥平面M ，则平面N 内的直线与m 所成角的取值范围是 A ．[π6，π2]B ．[π4，π2]C ．[π3，π2]D ．[0，π2]9．如下图所示，E 、F 分别为正方体的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是下图中的( )A ．四个图形都正确B ．只有(2)(3)正确C ．只有(4)错误D ．只有(1)(2)正确 10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，其棱长为1，下列命题中，正确的命题个数为①A 1C 1和AD 1所成角为π3；②点B 1到截面A 1C 1D 的距离为233；③正方体的内切球与外接球的半径之比为1∶ 2 A ．3B ．2C ．1D ．011．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BB 1中点，G 是DD 1中点，F 是BC 上一点且FB ＝14BC ，则GB与EF所成的角为( )．A．30° B．120° C．60° D．90°12．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2.若二面角B1－DC－C1的大小为60°，则AD的长为( )A. 2B. 3 C．2 D.2 2二、填空题13．如右图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直径为1的圆，那么这个几何体的侧面积为________．14．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上移动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是________．15．已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，∠BAD＝60°，长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动．则MN中点P的轨迹与该直平行六面体的表面所围成的几何体中体积较小的几何体的体积为________．16. 已知点E、F分别在正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为________．三、解答题17．如图1－2，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.18．如图1－4所示，在三棱锥P－ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F 分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，联结GH.(1)求证：AB∥GH；(2)求二面角D－GH－E的余弦值．19．如右图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD ＝8，E是PB上任意一点，△AEC面积的最小值是3.(1)求证：AC⊥DE；(2)求四棱锥P－ABCD的体积．20．如图1－3所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．(1)证明：B1C1⊥CE；(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值；(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为26.求线段AM的长．高二文科数学第二次月考试题答案1. A 2. C 3. C 4. C 5. D 6. C 7. D 8. A 9. B 10. C 11. D 12. A13．Π14. 线段B1C 15. 2π9 16.2317．证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA 的中点，所以EF∥AB.因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA平面SAB，所以BC⊥SA.18．解：(1)证明：因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，所以EF∥AB，DC∥AB，所以EF∥DC.又EF平面PCD，DC平面PCD，所以EF∥平面PCD.又EF平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD＝GH，所以EF∥GH.又EF∥AB，所以AB∥GH.(2)方法一：在△ABQ中，AQ＝2BD，AD＝DQ，所以∠ABQ ＝90°，即AB ⊥BQ.因为PB ⊥平面ABQ ，所以AB ⊥PB.又BP ∩BQ ＝B ，图1－5所以AB ⊥平面PBQ.由(1)知AB ∥GH ，所以GH ⊥平面PBQ.又FH平面PBQ ，所以GH ⊥FH.同理可得GH ⊥HC ，所以∠FHC 为二面角D －GH －E 的平面角． 设BA ＝BQ ＝BP ＝2.联结FC ，在Rt △FBC 中，由勾股定理得FC ＝2，在Rt △PBC 中，由勾股定理得PC ＝ 5.又H 为△PBQ 的重心，所以HC ＝13PC ＝53.同理FH ＝53.在△FHC 中，由余弦定理得cos ∠FHC ＝59＋59－22×59＝－45.即二面角D －GH －E 的余弦值为－45.方法二：在△ABQ 中，AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ，所以∠ABQ ＝90°.又PB ⊥平面ABQ ，所以BA ，BQ ，BP 两两垂直．以B 为坐标原点，分别以BA ，BQ ，BP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BA ＝BQ ＝BP ＝2，则E(1，0，1)，F(0，0，1)，Q(0，2，0)，D(1，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，2)．所以EQ →＝(－1，2，－1)，FQ →＝(0，2，－1)，DP →＝(－1，－1，2)，CP →＝(0，－1，2)． 设平面EFQ 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 由m ·EQ →＝0，m ·FQ →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋2y 1－z 1＝0，2y 1－z 1＝0，取y 1＝1，得m ＝(0，1，2)． 设平面PDC 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 由n ·DP →＝0，n ·CP →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－y 2＋2z 2＝0，－y 2＋2z 2＝0， 取z 2＝1，得n ＝(0，2，1)． 所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n |＝45.因为二面角D －GH －E 为钝角， 所以二面角D －GH －E 的余弦值为－45.19.解：(1)连接BD ，设AC 与BD 相交于点F .因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD . 又因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以PD ⊥AC .而PD ∩BD ＝D ，所以AC ⊥平面PDB .E 为PB 上任意一点，DE ⊂平面PDB ，所以AC ⊥DE . (2)连接EF .由(1)知AC ⊥平面PDB ， EF ⊂平面PDB ，所以AC ⊥EF .S △ACE ＝12AC ·EF ，在△ACE 面积最小时，EF 最小，则EF ⊥PB .此时S △ACE ＝3，12×6×EF ＝3，解得EF ＝1.由△PDB ∽△FEB ，得PD EF ＝PBFB .由于EF ＝1，FB ＝4，所以PB ＝4PD . 又PB ＝PD 2＋64，∴PD 2＋64＝4PD ，解得PD ＝81515.∴V P －ABCD ＝13S 菱形ABCD ·PD＝13×24×81515＝641515. 20．解：方法一：如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0，0，0)，B(0，0，2)，C(1，0，1)，B 1(0，2，2)，C 1(1，2，1)，E(0，1，0)．(1)证明：易得B 1C 1→＝(1，0，－1)，CE →＝(－1，1，－1)，于是B 1C 1→·CE →＝0，所以B 1C 1⊥CE.(2)B 1C →＝(1，－2，－1)，设平面B 1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·B 1C →＝0，m ·CE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －z ＝0，－x ＋y －z ＝0，消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量为m ＝(－3，－2，1)．由(1)，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故B 1C 1→＝(1，0，－1)为平面CEC 1的一个法向量．于是cos 〈m ，B 1C 1→〉＝m ·B 1C 1→|m |·|B 1C 1→|＝－414×2＝－2 77，从而sin 〈m ，B 1C 1→〉＝217.所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为217. (3)AE →＝(0，1，0)，EC 1→＝(1，1，1)．设EM →＝λEC 1→＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM →＝AE →＋EM →＝(λ，λ＋1，λ)．可取AB →＝(0，0，2)为平面ADD 1A 1的一个法向量．设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角，则sin θ＝|cos 〈AM →，AB →〉|＝|AM →·AB →||AM →|·|AB →|＝2λλ2＋（λ＋1）2＋λ2×2＝λ3λ2＋2λ＋1.于是λ3λ2＋2λ＋1＝26，解得λ＝13(负值舍去)，所以AM ＝ 2.方法二：(1)证明：因为侧棱CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，B 1C 1平面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1C 1.经计算可得B 1E ＝5，B 1C 1＝2，EC 1＝3，从而B 1E 2＝B 1C 21＋EC 21，所以在△B 1EC 1中，B 1C 1⊥C 1E.又CC 1，C 1E 平面CC 1E ，CC 1∩C 1E ＝C 1，所以B 1C 1⊥平面CC 1E ，又CE 平面CC 1E ，故B 1C 1⊥CE.(2)过B 1 作B 1G ⊥CE 于点G ，联结C 1G.由(1)，B 1C 1⊥CE.故CE ⊥平面B 1C 1G ，得CE ⊥C 1G ，所以∠B 1GC 1为二面角B 1－CE －C 1的平面角．在△CC 1E 中，由CE ＝C 1E ＝3，CC 1＝2，可得C 1G ＝2 63.在Rt △B 1C 1G 中，B 1G ＝423，所以sin ∠B 1GC 1＝217，即二面角B 1－CE －C 1的正弦值为217. (3)联结D 1E, 过点M 作MH ⊥ED 1于点H ，可得MH ⊥平面ADD 1A 1，联结AH ，AM ，则∠MAH 为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角．设AM ＝x ，从而在Rt △AHM 中，有MH ＝26x ，AH ＝346x.在Rt △C 1D 1E 中，C 1D 1＝1，ED 1＝2，得EH ＝2MH ＝13x.在△AEH 中，∠AEH ＝135°，AE ＝1，由AH 2＝AE 2＋EH 2－2AE·EHcos 135°，得1718x 2＝1＋19x 2＋23x.整理得5x 2－2 2x －6＝0，解得x ＝2(负值舍去)，所以线段AM 的长为 2.20948 51D4 凔37830 93C6 鏆J34427 867B 虻w~28985 7139 焹C$27645 6BFD 毽20055 4E57 乗?22734 58CE 壎33003 80EB 胫32026 7D1A 級。

2021年高三上学期10月月考数学试卷（文科）含解析）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x（x﹣1）＜0，x∈R}，B={x|﹣2＜x＜2，x∈R}，那么集合A∩B 是（）A．∅B．{x|0＜x＜1，x∈R} C．{x|﹣2＜x＜2，x∈R} D．{x|﹣2＜x＜1，x ∈R}2．i是虚数单位，计算=（）A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i3．设向量=（1，x﹣1），=（x+1，3），则“x=2”是“∥”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）5．已知数列{a n}中，a n=﹣4n+5，等比数列{b n}的公比q满足q=a n﹣a n（n≥2），且b1=a2，﹣1则|b1|+|b2|+…+|b n|=（）A．1﹣4n B．4n﹣1 C． D．6．设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.10.9，则a，b，c的大小关系是C（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b7．已知函数y=log b（x﹣a）（b＞0且b≠1）的图象如图所示，那么函数y=a+sinbx的图象可能是（）A． B． C．D．8．若存在负实数使得方程2x﹣a=成立，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，+∞）C．（0，2）D．（0，1）二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）9．向量=（1，1），=（2，t），若⊥，则实数t的值为．10．在△ABC中，若cos2B+3cos（A+C）+2=0，则sinB的值为．11．已知tan（+α）=，α∈（，π），则tanα的值是；cosα的值是．12．已知角α的终边经过点（3a，4a）（a＜0），则cosα=．13．通项公式为a n=an2+n的数列{a n}，若满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，且a n＞a n对n≥8恒成立，+1则实数a的取值范围是．14．已知函数f（x）=对∀x1，x2∈R，x1≠x2有＜0，则实数a的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a3=S3=9（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=a2，b4=S4，求{b n}的前n项和公式．16．已知函数f（x）=sinωx﹣sin2+（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的取值范围．17．在△ABC中，A=，cosB=，BC=6．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求△ABC的面积．=1+S n（n∈N*）．18．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；与1+b1+b2+…+b n的（Ⅱ）若数列{b n}为等差数列，且b1=a1，公差为．当n≥3时，比较b n+1大小．19．已知f（x）=lg（﹣＜x，1）．（I）判断f（x）的奇偶性，并予以证明；（Ⅱ）设f（）+f（）=f（x0），求x0的值．（Ⅲ）求证：对于f（x）的定义域内的任意两个实数a，b，都有f（a）+f（b）=f（）．20．设函数y=f（x）的定义域为R，满足下列性质：（1）f（0）≠0；（2）当x＜0时，f（x）＞1；（3）对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）成立．（I）求f（0）及f（x）*f（﹣x）的值；（Ⅱ）判断函数g（x）=是否具有奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）求证：y=f（x）是R上的减函数；（Ⅳ）若数列{a n}满足a1=f（0），且f（a n）=（n∈N*），求证：{a n}是等差数列，并求{a n}+1的通项公式．xx学年北京交大附中高三（上）10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x（x﹣1）＜0，x∈R}，B={x|﹣2＜x＜2，x∈R}，那么集合A∩B是（）A．∅B．{x|0＜x＜1，x∈R}C．{x|﹣2＜x＜2，x∈R}D．{x|﹣2＜x＜1，x∈R}【考点】交集及其运算．【分析】先求解一元二次不等式化简集合A，然后直接利用交集的运算求解．【解答】解：由x（x﹣1）＜0，得0＜x＜1．所以A={x|x（x﹣1）＜0，x∈R}={x|0＜x＜1}，又B={x|﹣2＜x＜2，x∈R}，所以A∩B={x|0＜x＜1，x∈R}∩{x|﹣2＜x＜2，x∈R}={x|0＜x＜1，x∈R}．故选B．2．i是虚数单位，计算=（）A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】通过复数的分母实数化，即可得到结果．【解答】解：===i．故选：C．3．设向量=（1，x﹣1），=（x+1，3），则“x=2”是“∥”的（）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平行向量与共线向量．【分析】利用向量共线的充要条件求出的充要条件，利用充要条件的定义判断出“x=2”是的充分但不必要条件．【解答】解：依题意，∥⇔3﹣（x﹣1）（x+1）=0⇔x=±2，所以“x=2”是“∥”的充分但不必要条件；故选A4．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．5．已知数列{a n}中，a n=﹣4n+5，等比数列{b n}的公比q满足q=a n﹣a n（n≥2），且b1=a2，﹣1则|b1|+|b2|+…+|b n|=（）A．1﹣4n B．4n﹣1 C． D．【考点】数列的求和．【分析】先由a n=﹣4n+5及q=a n﹣a n求出q，再由b1=a2，求出b1，从而得到b n，进而得到﹣1|b n|，根据等比数列前n项和公式即可求得|b1|+|b2|+…+|b n|．=（﹣4n+5）﹣[﹣4（n﹣1）+5]=﹣4，b1=a2=﹣4×2+5=﹣3，【解答】解：q=a n﹣a n﹣1所以=﹣3•（﹣4）n﹣1，|b n|=|﹣3•（﹣4）n﹣1|=3•4n﹣1，所以|b1|+|b2|+…+|b n|=3+3•4+3•42+…+3•4n﹣1=3•=4n﹣1，故选B．6．设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.10.9，则a，b，c的大小关系是C（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵0＜a=log0.80.9＜1，b=log1.10.9＜0，c=1.10.9＞1，∴b＜a＜c．故选：C．7．已知函数y=log b（x﹣a）（b＞0且b≠1）的图象如图所示，那么函数y=a+sinbx的图象可能是（）A． B． C．D．【考点】函数的图象．【分析】先根据对数函数的图象和性质象得到a，b的取值范围，再根据正弦函数的图得到答案．【解答】解∵由对数函数图象可知，函数为增函数，∴b＞1，y=log b（x﹣a）函数的图象过定点（a+1，0），∴a+1=2，∴a=1∴函数y=a+sinbx（b＞0且b≠1）的图象，是有y=sinbx的图象向上平移1的单位得到的，由图象可知函数的最小正周期T=＜2π，故选：B8．若存在负实数使得方程2x﹣a=成立，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，+∞）C．（0，2）D．（0，1）【考点】特称命题．【分析】由已知，将a分离得出a=．令f（x）=，（x＜0）．a的取值范围为f（x）在（﹣∞，0）的值域．【解答】解：由已知，将a分离得出a=．令f（x）=，（x＜0）．已知在（﹣∞，0）上均为增函数，所以f（x）在（﹣∞，0）上为增函数．所以0＜f（x）＜f（0）=2，a的取值范围是（0，2）．故选C．二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）9．向量=（1，1），=（2，t），若⊥，则实数t的值为﹣2．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积公式，可得=2+t=0，由此求得t的值．【解答】解：∵向量=（1，1），=（2，t），若⊥，则=2+t=0，t=﹣2，故答案为：﹣2．10．在△ABC中，若cos2B+3cos（A+C）+2=0，则sinB的值为．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用三角形内角和定理化简即可得到答案！【解答】解：∵B+A+C=π，∴A+C=π﹣B那么cos（A+C）=cos（π﹣B）=﹣cosB．则：cos2B+3cos（A+C）+2=0⇔cos2B﹣3cosB+2=0⇔2cos2B﹣1﹣3cosB+2=0⇔2cos2B﹣3cosB+1=0⇔（2cosB﹣1）（cosB﹣1）=0解得：cosB=1，此时B=0°，不符合题意．或cosB=，此时B=60°，符合题意．那么：sinB=sin60°=．故答案为：．11．已知tan（+α）=，α∈（，π），则tanα的值是﹣；cosα的值是﹣．【考点】两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义．【分析】利用两角和与差的正切函数及任意角的三角函数的定义，即可求得tanα与cosα的值．【解答】解：tan（+α）=，∴tanα=tan[（+α）﹣]===﹣；又α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣．故答案为：；．12．已知角α的终边经过点（3a，4a）（a＜0），则cosα=﹣．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．【解答】解：∵角α的终边经过点（3a，4a）（a＜0），∴x=3a，y=4a，r==5|a|=﹣5a，则cosα===﹣，故答案为：﹣．13．通项公式为a n=an2+n的数列{a n}，若满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，且a n＞a n对n≥8恒成立，+1则实数a的取值范围是．【考点】数列递推式；数列的应用．【分析】由a n=an2+n是二次函数型，结合已知条件得，由此可知答案．【解答】解：∵a n=an2+n是二次函数型，且a1＜a2＜a3＜a4＜a5，a n＞a n对n≥8恒成立，+1∴，解得﹣．故答案为：﹣．14．已知函数f（x）=对∀x1，x2∈R，x1≠x2有＜0，则实数a的取值范围是0≤a＜1或a＞3．【考点】分段函数的应用．【分析】由任意x1≠x2，都有＜0成立，得函数为减函数，根据分段函数单调性的性质建立不等式关系即可．【解答】解：∵f（x）满足对任意x1≠x2，都有＜0成立∴函数f（x）在定义域上为减函数，则满足，得0≤a＜1或a＞3，故答案为：0≤a＜1或a＞3．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a3=S3=9（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=a2，b4=S4，求{b n}的前n项和公式．【考点】等比数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由a3=S3=9，得，解出a1，d，由等差数列通项公式即可求得答案；（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q，由b1=a2可得b1，由b4=S4可得q，由等比数列前n项和公式可得答案；【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d．因为a3=S3=9，所以，解得a1=﹣3，d=6，所以a n=﹣3+（n﹣1）•6=6n﹣9；（II）设等比数列{b n}的公比为q，因为b1=a2=﹣3+6=3，b4=S4=4×（﹣3）+=24，所以3q3=24，解得q=2，所以{b n}的前n项和公式为=3（2n﹣1）．16．已知函数f（x）=sinωx﹣sin2+（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的取值范围．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性．【分析】（Ⅰ）利用两角和的正弦公式，二倍角公式化简函数f（x）的解析式为，由此求得它的最小正周期．令，求得x的范围，即可得到函数f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）因为，根据正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）==．…因为f（x）最小正周期为π，所以ω=2．…所以．由，k∈Z，得．所以函数f（x）的单调递增区间为[]，k∈Z．…（Ⅱ）因为，所以，…所以．…所以函数f（x）在上的取值范围是[]．…17．在△ABC中，A=，cosB=，BC=6．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知结合平方关系求得sinB=，再由正弦定理求得AC的长；（Ⅱ）由sinC=sin（B+60°）展开两角和的正弦求得sinC，代入三角形的面积公式求得△ABC 的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵cosB=，B∈（0，π），又sin2B+cos2B=1，解得sinB=．由正弦定理得：，即，∴AC=4；（Ⅱ）在△ABC中，sinC=sin（B+60°）=sinBcos60°+cosBsin60°==．∴=．18．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=1+S n（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}为等差数列，且b1=a1，公差为．当n≥3时，比较b n+1与1+b1+b2+…+b n的大小．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）由a n+1=1+S n（n∈N*），当n≥2时可得a n+1=2a n，当n=1时，=2，利用等比数列即可得出；（II）利用等差数列的通项公式可得：b n=2n﹣1．当n≥3时，b n+1=2n+1.1+b1+b2+…+b n=n2+1．通过作差即可比较出大小．【解答】解：（I）∵a n+1=1+S n（n∈N*），∴当n≥2时，a n=1+S n﹣1，∴a n+1﹣a n=a n，即a n+1=2a n，当n=1时，a2=1+a1=2，∴=2，综上可得：a n+1=2a n（n∈N*），∴数列{a n}是等比数列，公比为2，∴．（II）数列{b n}为等差数列，且b1=a1=1，公差为=2．∴b n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．当n≥3时，b n+1=2n+1．1+b1+b2+…+b n=1+=n2+1．∴n2+1﹣（2n+1）=n（n﹣2）＞0，∴b n+1＜1+b1+b2+…+b n．19．已知f（x）=lg（﹣＜x，1）．（I）判断f（x）的奇偶性，并予以证明；（Ⅱ）设f（）+f（）=f（x0），求x0的值．（Ⅲ）求证：对于f（x）的定义域内的任意两个实数a，b，都有f（a）+f（b）=f（）．【考点】函数奇偶性的判断；抽象函数及其应用．【分析】（I）利用奇偶性的定义，看f（﹣x）和f（x）的关系，注意到和互为倒数，其对数值互为相反数；也可计算f（﹣x）+f（x）=0得到结论．（Ⅱ）根据题意得到关于x0的方程，解方程可得x0的值；（Ⅲ）将a与b代入函数f（x）=lg（﹣＜x，1）．求出f（a）+f（b）的值，然后计算出f（）的值，从而证得结论．【解答】解：（I）f（x）是奇函数，理由如下：f（x）的定义域为（﹣1，1）关于原点对称；又∵f（﹣x）=lg=﹣lg=﹣f（x），所以f（x）为奇函数；（Ⅱ）∵f（x）=lg（﹣1＜x＜1）．∴由f（）+f（）=f（x0）得到：lg+lg=lg，整理，得lg3×2=lg，∴=6，解得x0=；（Ⅲ）证明：∵f（x）=lg（﹣＜x，1）．∴f（a）+f（b）=lg+lg=lg•=lg，f（）=lg=lg，∴对于f（x）的定义域内的任意两个实数a，b，都有f（a）+f（b）=f（）．得证．20．设函数y=f（x）的定义域为R，满足下列性质：（1）f（0）≠0；（2）当x＜0时，f（x）＞1；（3）对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）成立．（I）求f（0）及f（x）*f（﹣x）的值；（Ⅱ）判断函数g（x）=是否具有奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）求证：y=f（x）是R上的减函数；（Ⅳ）若数列{a n}满足a1=f（0），且f（a n+1）=（n∈N*），求证：{a n}是等差数列，并求{a n}的通项公式．【考点】抽象函数及其应用．【分析】（I）令x=y=0得出f（0），令y=﹣x得出f（x）f（﹣x）=f（0）；（II）求出g（x）的定义域，计算g（﹣x）并化简得出结论；（III）设x1＜x2，根据f（x1）=f（x1﹣x2+x2）=f（x1﹣x2）f（x2）得出=f（x1﹣x2）＞1，得出结论；（IV）根据f（﹣x）f（x）=1得出a n+1﹣a n﹣2=0得出结论．【解答】解：（I）令x=y=0得f（0）=f2（0），又f（0）≠0，∴f（0）=1．令y=﹣x得f（x）f（﹣x）=f（0）=1．（II）∵f（x）f（﹣x）=1，∴f（﹣x）=，∵x＜0时，f（x）＞1，∴x＞0时，0＜f（x）＜1，由g（x）有意义得f（x）≠1，∴x≠0，即g（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．∴g（﹣x）====﹣g（x），∴g（x）是奇函数．证明：（III）设x1＜x2，则x1﹣x2＜0，∴f（x1﹣x2）＞1，∵f（x1）=f（x1﹣x2+x2）=f（x1﹣x2）f（x2），∴=f（x1﹣x2）＞1，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）是R上的减函数．（IV）∵f（a n+1）=，∴f（a n+1）f（﹣2﹣a n）=1，∵f（x）f（﹣x）=1，∴a n+1﹣a n﹣2=0，即a n+1﹣a n=2，又a1=f（0）=1，∴{a n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．精品文档xx年11月30日39234 9942 饂cCK23691 5C8B 岋39065 9899 颙g29049 7179 煹34685 877D 蝽31197 79DD 秝&25755 649B 撛28880 70D0 烐实用文档。

中央民族大学附属中学2018－2019学年第一学期10月月考数学试卷(文科)年级 高三 科目 数学 时量 120 分钟 总分 150 分一.选择题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1.复数i (1+i )在复平面对应的点是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2.设命题p :$x 0>0，2x 0£log 2x 0，则Øp 为（ ）A ．"x >0, 2x >log 2xB ．"x £0,2x >log 2xC ．$x 0>0, 2x 0>log 2x 0 D ．"x >0,2x ³log 2x3.下列函数中既是奇函数，又在区间[-1,1]上是增函数的是（ ）A.y =2x B.y =-1xC. y =-sin xD. y =x 3+2x4.已知两个非零向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则“x 1x 2=y 1y 2”是“ a 与 b 共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 5.函数f (x )=(x -a )(x -b )（其中 a >b ）的图象如图所示，则函数g (x )=a x +b 的大致图象是（ ）A ． B. C ． D ．6.已知 a >0，若不等式组 x ³1y ³02x +y £6x +y £a ìíïïîïï表示的平面区域是一个三角形，则 a 的取值范围是（ ） A ．[1,3]∪(5,+¥) B. (1,3]∪[5,+¥) C. (1,5] D. [3,5]7.已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数 关系式为y =-13x 3+81x -234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（ ） A.9万件 B.11万件 C.12万件 D.13万件8.为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查。

2023-2024学年内蒙古高三上册10月月考数学（文）试题A ．74mB ．60mC ．52mD ．9．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2=f x f x -.当01x ≤≤时，(f ()()20222023f f +=（）①()21π3cos 64x x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦②函数()y f x =在[]2,5上单调递减；③函数()y f x =在[]3,6上的值域为二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，直线4y =与抛物线交于点M ，且4MF =，则p =．14．已知()0,παβ∈、，tan α与tan β是方程23340x x ++=的两个根，则αβ+=．15．已知ABC 中，若2π,2,3A c ABC == 的面积为3,2D 为BAC ∠的平分线与边BC 的交点，则AD 的长度是.16．已知直线y ax a =+与曲线ln y x b =+相切，则5a b -的最小值为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：每题12分，共60分.17．已知函数()()2cos sin 3cos 3f x x x x =-+.（1）求()f x 的最小正周期和()f x 的单调递减区间；（2）当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最小值及取得最小值时x 的值.18．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知585S =，且617a a =．(1)求n a 和n S ；(2)设15n n n b a a +=，求数列{}n b 前n 项和n T ．19．在△ABC 内，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()cos cos cos b A c B c a B -=-．(1)求角B 的值；(2)若24a c +=，点D 是AC 边上靠近点C 的三等分点，求BD 的取值范围.20．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的短轴长为22，一个焦点为1(2,0)F -．(1)求椭圆E 的方程和离心率；(2)设直线:20l x my --=与椭圆E 交于两点,A B ，点M 在线段AB 上，点1F 关于点M 的对称点为C ．当四边形1AF BC 的面积最大时，求m 的值．21．函数()()21ln f x x a x =-+的定义域为1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，并且在定义域内恰有两个极值点1x ，()212x x x <.==，有r+则OC OS r∴该四面体外接球的表面积为故选：A.12．C【分析】首先根据函数图象求函数的解析式，根据21．(1)31,82 a⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(2)2e1eλ<-【分析】（1）求导得到导函数，根据两个极值点得到。

2023-2024学年上期十月阶段检测高2023级数学试卷（答案在最后）（考试时间：120分钟，总分：150分）注意事项：01．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上，或将条形码贴在答题卡规定的位置上．02．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．03．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．04．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．05．考试结束后，只将答题卡交回．一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合{}220A x x x =-=，则（）A.{}0A∈ B.2A∉ C.{}2A∈ D.0A∈【答案】D 【解析】【分析】先化简集合A ，根据元素与集合的关系可得答案.【详解】因为{}{}2200,2A x x x =-==，所以{}{}0,2,0,2A A A A ∈∈⊂⊂.故选：D.2.已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}2,4,6A =，{}1,3,5B =，则U A B ⋂ð等于A.{}2,5 B.{}1,3,5C.{}2,4,5 D.{}2,4,6【答案】D 【解析】【详解】因为全集1234567{}U =，，，，，，，{246}A =，，，5{}13B =，，，所以{}2467U B =，，，ð，所以{}246U A B ⋂=，，ð．故选：D.3.已知命题:p x R ∀∈,210x x -+>，则p ⌝A.x ∃∈R ，210x x -+≤ B.x ∀∈R ，210x x -+≤C.x ∃∈R ，210x x -+> D.x ∀∈R ，210x x -+≥【答案】A 【解析】【分析】根据全称命题与特称命题互为否定的关系，即可求解，得到答案．【详解】由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题:p x R ∀∈,210x x -+>，则:p ⌝x ∃∈R ，210x x -+≤，故选A ．【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与特称性命题的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.若,,R a b c ∈，则下列命题正确的是（）A.若0ab ≠且a b <，则11a b> B.若01a <<，则2a a >C.若0a b <<，则22a b > D.若,a b >c d >，则ac bd >【答案】C 【解析】【分析】根据不等式的性质结合作差法判断求解；【详解】选项A ：令1,1,a b =-=11a b>不成立，选项错误；选项B ：当01a <<时，()210a a a a -=-<，选项错误；选项C ：0a b <<，()()22a b a b a b -=+-，因为00a b a b +-＜，＜，所以220a b -＞，即22a b >，选项正确；选项D ：12,a b =-=-，31c d ==，，ac bd >，不成立，选项错误；故选：C.5.对于实数x ，“202xx+≥-”是“2x ≤”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据两个不等式解集的包含关系，判定结论.【详解】不等式202xx +≥-的解集{}22A x x =-≤<，不等式2x ≤的解集{}22B x x =-≤≤，由AB ，所以“202xx+≥-”是“2x ≤”的充分不必要条件.故选：A6.设2x >，则函数4412y x x =-+-，的最小值为（）A.7B.8C.14D.15【答案】D 【解析】【分析】利用基本不等式求解.【详解】因为2x >，所以20x ->，所以()444142771522y x x x x =-+=-++=--≥，当且仅当()4422x x -=-，即3x =时等号成立，所以函数4412y x x =-+-的最小值为15，故选:D ．7.若不等式20ax bx c ++<的解集是{}23x x <<，则不等式20cx bx a ++>的解集为A.1132⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， B.1132⎛⎫ ⎪⎝⎭，C.1123⎛⎫-- ⎪⎝⎭，D.1123⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，【答案】A 【解析】【分析】由题可得2,3为20ax bx c ++=的两根,利用韦达定理算出,,a b c 的关系式,再将,,a b c 换成同一参数再求20cx bx a ++>的根即可.【详解】因为不等式20ax bx c ++<的解集是{}23x x <<,故0a >且2,3为20ax bx c ++=的两根.根据韦达定理有235236bac a⎧-=+=⎪⎪⎨⎪=⨯=⎪⎩,故56b a c a =-⎧⎨=⎩,故20cx bx a ++>可写成2650ax ax a -+>,因为0a >所以26510(21)(31)0x x x x -+>⇒-->解得13x <或12x >,即x ∈1132⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，故选A.【点睛】二次不等式的解集的端点值为二次函数的零点,注意二次函数开口方向影响不等式的取值在区间内还是区间外.8.对于集合,M N ，定义{}|,M N x x M x N -=∈∉，()()M N M N N M ⊕=-- ，设9|,R 4A x x x ⎧⎫=≥-∈⎨⎬⎩⎭，{}|0,R B x x x =<∈，则A B ⊕=（）A.904,⎛⎫-⎪⎝⎭B.904,⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.[)4,,90⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ D.()4,,90⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】根据题中集合新定义的特性结合集合的基本运算可求解出结果.【详解】集合9|,R 4A x x x ⎧⎫=≥-∈⎨⎬⎩⎭，{}|0,R B x x x =<∈，则R A ð9,R 4x x x ⎧⎫=<-∈⎨⎬⎩⎭，R B ð{}|0,R x x x =≥∈，由定义可得：{A B x x A -=∈且}x B A ∉=⋂R B ð{}[)|0,R 0,x x x ∞=≥∈=+，{B A x x B -=∈且}x A B ∉=⋂R A ð99,R ,44x x x ∞⎧⎫⎛⎫=<-∈=--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，所以()()[)9,0,4A B A B B A ∞∞⎛⎫⊕=--=--+ ⎪⎝⎭，选项ABD 错误，选项C 正确.故选：C ．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.若集合{}1A x x =≥，则满足B A ⊆的集合B 可以是（）A.{}2,3 B.{}2x x ≥ C.{}0,1,2 D.{}0x x ≥【答案】AB 【解析】【分析】根据子集的定义可得出结论.【详解】{}1A x x =≥ ，则{}2,3A ⊆，{}2x x A ≥⊆，{}0,1,2A ⊄，{}x x ≥A .故选：AB.10.下列命题是真命题的为（）A.2,10x R x ∀∈--<B.,,n Z m Z nm m∀∈∃∈=C.所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径D.存在实数x ，使得213234x x =-+【答案】ABC 【解析】【分析】根据题意，依次分析各选项即可得答案.【详解】对于A ，2,0x R x ∀∈-≤，所以210x --<，故A 选项是真命题；对于B ，当0m =时，nm m =恒成立，故B 选项是真命题；对于C ，任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C 选项是真命题.对于D ，因为()2223122-+=-+≥x x x ，所以21132324x x ≤<-+.故D 选项是假命题.故选：ABC.11.若a ，b 均为正数，且21a b +=，则下列结论正确的是（）A.ab 的最大值为19B.12a b+的最小值为9C.224a b +的最小值为12 D.()()221a b ++的最小值为4【答案】BC 【解析】【分析】根据基本不等式“1”的妙用与()0,02a ba b +≤>>逐项判断即可.【详解】因为a ，b 均为正数，且21a b +=，所以21a b +=≥，所以18ab ≤，当且仅当2a b =，即12a =，14b =时，等号成立，所以A 错误；()12122214592b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当22b a a b =，即13a b ==时，等号成立，所以B 正确；()()22222212422224a b a b ab a b a b +⎛⎫=+-≥+-= ⎪⎝+⎭，当且仅当2a b =，即12a =，14b =时，等号成立，所以C 正确；()()222122142a b a b +++⎛⎫≤= ⎪⎝+⎭+，当且仅当221a b +=+，即0a =，12b =时，等号成立，而a ，b 均为正数，故等号不成立，所以D 错误.故选：BC.12.若关于x 的不等式201(0)ax bx c a ≤++≤>的解集为{}12x x -≤≤，则32a b c ++的值可以是（）A.59B.34C.56D.2【答案】ABC 【解析】【分析】根据解集的形式先分析出20ax bx c ++≥解集为R ，210ax bx c ++-≤的解集为[1,2]-，得到a 的范围，将32a b c ++最终用含a 的式子表达出来即可得到答案.【详解】先考虑20(0)ax bx c a ++≥>的解集，若解集不是R ，不妨设20ax bx c ++=的根为3434,()x x x x <，则20ax bx c ++≥的解集为(][)34,,x x -∞⋃+∞，根据最终解集的形式为[1,2]-可知：210ax bx c ++-≤的解集非空，设210ax bx c ++-=的根为1212,()x x x x <，则210ax bx c ++-≤的解集为12[,]x x ，由根与系数的关系：1234bx x x x a+=+=-，可能1234,,,x x x x 的排序有两种可能：3124x x x x <<<，此时原不等式201(0)ax bx c a ≤++≤>解集为空集，不符题意；又或者1342x x x x <<<，此时不等式的解集为1342[,][,]x x x x ⋃，形式与题意不符，于是原假设矛盾，故20(0)ax bx c a ++≥>的解集是R ，于是210ax bx c ++-≤的解集是[1,2]-，由韦达定理：12112b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨-⎪-⋅=⎪⎩，整理可得21b a c a =-⎧⎨=-+⎩，于是321a b c a ++=-+，又20(0)ax bx c a ++≥>解集是R ，故224()4(21)0b ac a a a ∆=-=--⋅-+≤，即2940a a -≤，结合题干0a >，于是409a <≤，故5321,19abc a ⎡⎫++=-+∈⎪⎢⎣⎭.故选：ABC三、填空题（本题共8小题，每小题5分，共计40分．）13.已知集合{1,2}A =-，2{,}B a a =，若{}1A B ⋂=，则实数a 的值为___【答案】1-【解析】【分析】由集合中元素的互异性以及集合间的运算即可求得.【详解】解：∵{1,2}A =-，2{,}B a a =，{}1A B ⋂=，∴21a =，且1a ≠，∴1a =-．故答案为：1-．14.已知32a b -≤<≤，则b a -的范围是______．【答案】05b a <-≤【解析】【分析】根据不等式的性质即可求解.【详解】由32a b -≤<≤可得32,32a b -≤<-<≤，0b a <-所以23a -<-≤，则05b a <-≤，故答案为：05b a <-≤15.中国健儿在杭州亚运会上取得傲人佳绩，获奖多多，为丰富学生课余生活，拓宽学生视野，石室成飞中学积极开展社团活动，每人都至少报名参加一个社团，高一（1）班参加A 杜团的学生有17人，参加B 杜团的学生有21人，参加C 社团的学生有22人，同时参加,A B 社团的学生有3人，同时参加,B C 社团的学生有4人，同时参加,A C 社团的学生有7人，三个社团同时参加的学生有1人，那么高一（1）班总共有学生人数为______．【答案】47【解析】【分析】根据题意，利用容斥原理结合集合的运算概念和运算方法，即可求解【详解】由题意，用,,A B C 分别表示参加A 杜团、参加B 杜团和参加C 杜团的学生形成的集合，则card()17,card()21,card()22A B C ===,card()3,card()4,card()7,card()1A B B C A C A B C ==== ,因此()()()()card card card card A B C A B C =++ ()()()()card card card card A B B C A C A B C ---+ 172122347147=++---+=.所以高一（1）班总共有学生人数为47人.故答案为：47.16.已知a b >，关于x 的不等式240ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又存在实数0x ，使得20040ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为____________.【答案】【解析】【分析】首先由不等式恒成立得到4ab ≥，再由存在成立问题，得到4ab ≤，从而确定4ab =，然后将原问题转化为单变量最值问题，利用整体代换和基本不等式得到最值即可.【详解】由不等式240ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立可得01640a ab >⎧⎨-≤⎩，解得4ab ≥，又存在实数0x ，使得20040ax x b ++=成立，则Δ1640ab =-≥，得4ab ≤，所以4ab =.∴4=b a∵a b>∴40a b a a-=->∴2222244848444a a a b a a a a b a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭===-+≥----（当且仅当248a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，4ab =，即a b ⎧=+⎪⎨=⎪⎩或a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩取等号）故答案为：【点睛】本题的考查点较多，首先是对于能成立和恒成立问题的转化确定4ab =，然后运用了我们常用的一种处理最值的方法，多变量变单变量，最后在化解的过程中还需要整体代换，最后再利用基本不等式的方法求取最值，所以平时对于恒成立与能成立的问题要十分熟悉，最值问题的常见处理方法，如多变量多变单量法，整体代换法，构造一元二次不等式法，判别式法等，平时要熟练运用.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知U =R 且{}2560A x x x =--<，{}44B x x =-≤≤，求：（1）A B ⋃；（2）()()U UA B ⋂痧.【答案】（1）[)4,6-（2）()[),46,-∞-+∞ 【解析】【分析】（1）将集合A 化简，结合并集的运算，即可得到结果；（2）根据题意，由交集以及补集的运算，即可得到结果.【小问1详解】因为{}()25601,6A x x x =--<=-，且{}[]444,4B x x =-≤≤=-，则[)4,6A B =- .【小问2详解】由（1）可知，()[]1,6,4,4A B =-=-，则(][),16,U A =-∞-+∞U ð，()(),44,U B =-∞-+∞U ð，所以()()()[),46,U U A B ⋂=-∞-+∞U 痧.18.已知命题p ：x ∀∈R ，2240x tx -+≥恒成立，命题p 为真命题时实数t 的取值集合为A ．（1）求集合A ；（2）设集合{}231B t m t m =-<<+，若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}|22=-≤≤A t t （2）[)1,14,2⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立，0∆≤，求得结果即可.（2）根据充分不必要条件得出B 是A 的真子集，根据集合的包含关系列不等式求得结果.【小问1详解】命题p 为真命题时,x ∀∈R ，2240x tx -+≥恒成立，所以()22160∆=--≤t ，解得22t -≤≤，所以集合{}|22=-≤≤A t t .【小问2详解】若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，所以B 是A 的真子集，又{}231B t m t m =-<<+，当B =∅时，231m m -≥+，解得4m ≥，所以423212m m m <⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得112m ≤≤，所以实数m 的取值范围[)1,14,2⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦．19.为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用P （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()3R,0845mP x x x =∈≤≤+．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设S 为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和．（1）求m 的值及用x 表示S ；（2）当隔热层的厚度为多少时，总费用S 达到最小，并求最小值．【答案】（1）15m =，1800845S x x =++（08x ≤≤）；（2）当隔热层的厚度为6.25cm 时，总费用S 取得最小值110万元.【解析】【分析】（1）利用给定条件，求出m 的值，进而可得能源消耗费用与隔热层建造成本之和.（2）利用基本不等式即可求最值，根据等号成立的条件可得隔热层厚度.【小问1详解】设隔热层厚度x ，依题意，每年的能源消耗费用为：345m P x =+，而当0x =时，9P =，则395m =，解得15m =，显然建造费用为8x ，所以隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和为：45180040840884545S P x x x x x =+=⨯+=+++（08x ≤≤）.【小问2详解】由（1）知()180018008245104545S x x x x =+=++-++1026010110≥=⨯-=，当且仅当()180024545x x =++，即 6.25x =时取等号，所以当隔热层的厚度为6.25cm 时，总费用S 取得最小值110万元．20.（1）已知正实数x ，y 满足等式144x y +=，求4x y +的最小值；（2）已知0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y +的最小值．【答案】（1）4；（2）4.【解析】【分析】（1）利用“1”的妙用求出最小值作答；（2）利用均值不等式建立不等关系，再解一元二次不等式即可.【详解】（1）因为0,0x y >>，144x y+=，所以1114x y+=，所以()4441111244x y x y y x x y ⎛⎫+=+++≥+= +⎪⎝⎭，当且仅当44x y y x =即1,22x y ==时取等号，所以4x y +的最小值为4；（2）因为0,0,228x y x y xy >>++=，而()222222x y x y xy x y +⎛⎫++≤++ ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =时取等号，因此()22282x y x y +⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，即()()2242320x y x y +++-≥，化为()()28240x y x y +++-≥，解得24x y +≥或28x y +≤-（舍去），由22820x y xy x y ++=⎧⎨=>⎩解得2,1x y ==，所以当2,1x y ==时，2x y +取得最小值4.21.已知关于x 的不等式()2121mx m x m m +-+-<-．（1）当2m =时，求该不等式的解集；（2）当R m ∈时，求该不等式的解集．【答案】（1）112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据因式分解即可结合一元二次解的特征求解，（2）对m 分类讨论，即可结合一元二次不等式的解的特征求解.【小问1详解】当2m =时，2210x x --<，所以()121(1)012x x x +-<⇒-<<，故不等式的解为112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【小问2详解】不等式()2121mx m x m m +-+-<-变形为()1(1)0mx x +-<，当0m =时，不等式为101x x -<⇒<，当0m >时，不等式可化为1(1)0x x m ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，解得11x m-<<，当10m -<<时，11m ->，不等式可化为1(1)0x x m ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，解得1x m >-或1x <，当1m <-时，11m -<，不等式可化为1(1)0x x m ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，解得1x m <-或1x >，当1m =-时，不等式可化为2(1)0x ->，解得1x ≠，综上可知：当0m =时，不等式的解为{}1x x <，当0m >时，不等式的解为11x x m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，当10m -<<时，不等式的解为11x x x m ⎧⎫>-<⎨⎬⎩⎭或，当1m <-时，不等式的解为11x x x m ⎧⎫><-⎨⎩⎭或，当1m =-时，不等式的解为{}1x x ≠.22.已知二次函数22y ax bx =++(a ,b 为实数)且当1x =时，1y =．（1）当0a ≥时，对()2,5x ∀∈，0y >恒成立，求实数a 的取值范围；（2）对[]2,1a ∀∈--，0y >恒成立，求实数x 的取值范围．【答案】（1）(3)∞-+（2）11(,44+【解析】【分析】（1）依题意可得1b a =--，即对(2,5)x ∀∈，2(1)20ax a x -++>恒成立，参变分离可得2(1)x a x x ->-对(2,5)x ∀∈恒成立，令2t x =-，则212(1)3x x x t t-=-++，再利用基本不等式计算可得；（2）依题意2()20x x a x --+>对[]2,1a ∀∈--恒成立，结合一次函数的性质得到不等式组，解得即可；【小问1详解】1x = 时1y =，21a b ∴++=，即1b a =--，(2,5)x ∀∈ ，0y >恒成立，即2(1)20ax a x -++>恒成立，(1)2ax x x ∴->-恒成立，(2,5)x ∈ ，2(1)x a x x -∴>-，对(2,5)x ∀∈恒成立，max 2(1)x a x x ⎡⎤-∴>⎢⎥-⎣⎦．令2t x =-，则(0,3)t ∈，则22132(1)(2)(1)323x t t x x t t t t t t-===≤--++++++，当且仅当2t t=，即t =，此时2x =+时取“”=，所以实数a的取值范围时(3)∞-+．【小问2详解】[]2,1a ∀∈-- ，0y >恒成立，即2(1)20ax a x -++>对[]2,1a ∀∈--恒成立，2()20x x a x ∴--+>对[]2,1a ∀∈--恒成立．2222020x x x ⎧-++>∴⎨-+>⎩，解得11711744x x ⎧-+<<⎪⎨⎪<<⎩，1144x +∴<<，所以实数x的取值范围是11,44⎛+ ⎝⎭．。

2024级“高中”10月高一年级新高考月考测试数学（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{32}A x x =-<<，集合{05}B x x =<<，则图中阴影部分表示的集合为（）A .{35}x x -<< B.{02}x x <<C .{30}x x -<≤D .{3025}x x x -<≤≤<或2.已知命题2:1,1p x x ∀<->，则p ⌝是（）A .21,1x x ∃≤-≤B .21,1x x ∃<-≤C .21,1x x ∀<->D .21,1x x ∀≥->3.已知集合{}()210R M x ax x a =-+=∈，则“14a =”是“集合M 仅有1个真子集”的（）A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件4.已知函数)(x f y ＝的对应关系如下表，函数)(x g y ＝的图象如图，则()1f g ⎡⎤⎣⎦的值为（）A .3B .0C .1D .25.给出下列结论：①两个实数a ，b 之间，有且只有a ﹥b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种；②若1>ab，则a ﹥b ；③若0a b >>，0a bc d d c >>⇒>；④已知0ab >，则11a b a b>⇔<.其中正确结论的个数为（）A .1B .2C .3D .4x123()f x 236.已知函数()1y f x =-的定义域是[]1,2-，则()13y f x =-的定义域为（）A .1,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .1,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C .[]0,1D .1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7．已知函数()()()22241,f x mx m x g x mx =--+=，若对于任意的实数(),x f x 与()g x 至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（）A .()0,2B .()0,8C .[)2,8D .(),0-∞8.已知正实数a ，b ，记max 4,M a b⎧=⎨⎩，则M 的最小值为（）AB .2C .1D .二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

2021年高三上学期10月月考文科数学试卷含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合，集合，则( )A．(-) B．(- C．-) D．-2．已知为虚数单位，复数，则复数在复平面内的对应点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3．一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是A 球B 三棱锥C 正方体D 圆柱4. 已知直线平面,直线平面,则“”是“”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5. 函数的零点所在的区间是（）A．（3，4）B．（2，e） C．（1，2） D．（0，1）6．.若，满足约束条件，则的最小值是 ( )（A）-3 （B）0 （C）（D）37.平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为2，则此球的体积为（A）6π（B）43π（C）46π（D）63π8.已知等差数列的前n项和为，且满足则的值是（）A、，B、，C、D、9. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位10.数列{a n}的通项公式，其前n项和为S n，则S xx等于（）A.1008B.2015C.0D.-111．函数的图像大致是（）A. B. C. D.12．设函数是R上的单调递减函数，则实数的取值范围为( )A．(-∞，2) B．(-∞， C．(0,2) D．,2)二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．.不等式x2-5x+6≤0的解集为______14．已知,且在第二象限,则15．设，则大小关系是_______________.16．在中,是的中点,,点在上,且满足,则三．解答题：(解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分）在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A、B、C所对的边，且(1)求角C；(2)若，且ΔABC的面积为，求的值.18.(本题满分12分）如图所示，在棱锥P-ABC D中，平面，底面为直角梯形，且//，，PA=AD=DC=2，AB=4.（Ⅰ）求证：;（Ⅱ）若F为PB的中点，求证：CF//平面PAD.19．本题满分12分已知等差数列为递增数列，且是方程的两根，数列的前项和；（1）求数列和的通项公式；（2）若，为数列的前n项和，证明：；20．本题满分12分设∈（0，），且（1）求及，的值；（2）设①求的最小正周期和图象的对称中心坐标；②求在区间上的值域.21．本题满分12分如图,四边形是边长为2的正方形,为等腰三角形,,平面平面,点在上,且平面.(Ⅰ)证明:平面平面;22．本题满分12分设函数，曲线在点处的切线方程为。

北京市八一学校2023—2024学年度第一学期10月月考高二数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知34ii z +=，求z =（）A.5B.13C.15D.252.已知向量()2,2,1a = ，(),2,1b x x =- ，若a b ⊥ ，则x =（）A .1B.1-C.0D.123.设ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b =，c =60C =︒，则角B =（）A.45︒B.30︒C.45︒或135︒D.30︒或150︒4.要得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（）A.向左平移π6个单位长度 B.向右平移π6个单位长度C.向左平移π3个单位长度D.向右平移π3个单位长度5.设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若//αβ，a α⊂，b β⊂，则//a bB.若a αβ⋂=，//b a ，则//b αC.若αβ⊥，a α⊂，b β⊂，则a b⊥r rD.若a α⊥，b β⊂，//αβ，则a b⊥r r6.已知向量(1,,2)a x = ，(0,1,2)b = ，(1,0,0)c = ，若a ，b ，c共面，则x 等于（）A.1- B.1C.1或1- D.1或07.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若,AB a AD b == ，1AA c =，则BM = （）A.1122-+ a b cB.1122++a b cC.1122--+ a b cD.1122a b c-++8.如图，三棱锥O ABC -，点D 是棱AB 的中点，点E 在棱OC 上的动点，则DE 的最小值为（）A.2B.2C.2D.19.沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）.在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的.已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时10分钟.那么经过5分钟后，沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度之比是（假定沙堆的底面是水平的）A.1:2B.)1:1+ C. D.)1:110.在正方体ABCD A B C D -''''中，若点P （异于点B ）是棱上一点，则满足BP 与AC '所成的角为45︒的点P 的个数为A.0B.3C.4D.6二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.空间两点(1,2,4)M --，(1,1,2)N -间的距离MN 为_____．12.已知(0,0,0)O ，(3,2,4)A --，(0,5,1)B -，若23OC AB =uuu r uu u r，则C 的坐标是______________.13.在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，则直线1AA 与1BC 所成角的大小为___________；直线1AA 到平面11BB C C 的距离为___________.14.函数()()sin f x A x ωϕ=+0,0,0()A ωϕπ>><<的图象如图所示，则()0f =________________．15.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的点（点M 与A 、1C 不重合），则下列结论正确的是______________.（请填写序号）①存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ；②存在点M ，使得//DM 平面11B CD ；③若1A DM 的面积为S ，则23,3S ⎛∈ ⎝⎭；④若1S 、2S 分别是1A DM 在平面1111D C B A 与平面11BB C C 的正投影的面积，则存在点M ，使得12S S =.三、解答题：本大题共4小题，共45分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在ABC 中，2AB =，1AC =，π6B =，点D 在边BC 上，且cos 3ADB ∠=-．（1）求AD ；（2）求ACD 的面积．17.如图，在三棱锥S ABC -中，,D E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在AC 上，且SD ⊥底面ABC .（1）求证：//DE 平面SAC ；（2）若SF AC ⊥，求证：平面SFD ⊥平面SAC .18.如图，PDCE 为矩形，ABCD 为梯形，平面PDCE ⊥平面ABCD ，90BAD ADC ∠=∠=︒，112AB AD CD ===，PD =（1）若M 为PA 中点，求证：//AC 平面MDE ；（2）求直线PB 与直线CD 所成角的大小；（3）设平面PAD ⋂平面EBC l =，试判断l 与平面ABCD 能否垂直？并证明你的结论.19.已知集合{}12{|(,,,),0,1,1,2,,}(2)n n i S X X x x x x i n n ==∈=≥ ，对于12(,,,)n A a a a = n S ∈，12(,,,)n n B b b b S =∈ ，定义A 与B 的差为1122(,,,)n n A B a b a b a b -=--- ；A 与B 之间的距离为1122(,)=+n n d A B a b a b a b --++- .（1）若(0,1)A B -=，试写出所有可能的A ，B ；（2）,,n A B C S ∀∈，证明：(,)(,)d A C B C d A B --=；（3）,,n A B C S ∀∈，(,),(,),(,)d A B d A C d B C 三个数中是否一定有偶数？证明你的结论.北京市八一学校2023—2024学年度第一学期10月月考高二数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知34ii z +=，求z =（）A.5B.13C.15D.25【答案】A【分析】根据复数乘除法的性质与模的性质计算．【详解】34i 34i 345i i 1z ++====．故选：A ．2.已知向量()2,2,1a = ，(),2,1b x x =- ，若a b ⊥ ，则x =（）A.1B.1- C.0D.12【答案】B【分析】根据空间向量垂直的坐标表示列出方程，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，0a b ⋅=，所以()222110x x +⨯+⨯-=，解得=1x -.故选：B.3.设ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且b =，c =60C =︒，则角B =（）A.45︒B.30︒C.45︒或135︒D.30︒或150︒【答案】A【分析】先根据大边对大角判断角B 范围，再直接利用正弦定理求解即可．【详解】∵b =，c =60C =︒，∴b c <，B C <，即060B ︒<<︒.由正弦定理sin sin b c B C =，得sin sin b CB c=3222==，∴45B =︒，故选：A ．4.要得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（）A.向左平移π6个单位长度 B.向右平移π6个单位长度C.向左平移π3个单位长度D.向右平移π3个单位长度【答案】B【分析】根据三角函数平移变换原则直接判断即可.【详解】ππsin 2sin 236y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴只需将sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度即可.故选：B.5.设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若//αβ，a α⊂，b β⊂，则//a bB.若a αβ⋂=，//b a ，则//b αC.若αβ⊥，a α⊂，b β⊂，则a b⊥r rD.若a α⊥，b β⊂，//αβ，则a b⊥r r【答案】D【分析】利用长方体模型，举例说明排除ABC ，D 项加以证明.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -，令平面ABCD 是平面α，对于A ，若平面1111D C B A 为平面β，直线BC 为直线a ，直线11A B 为直线b ，显然//αβ，a α⊂，b β⊂，此时直线,a b 是异面直线，,a b 不平行，故A 错误；对于B ，若平面11CDD C 为平面β，则DC αβ⋂=，直线DC 为直线a ，直线AB 为直线b ，显然//a b ，但b α⊂，此时直线b 不与平面α平行，故B 错误；对于C ，若平面11CDD C 为平面β，直线AB 为直线a ，直线DC 为直线b ，显然αβ⊥，a α⊂，b β⊂，此时直线,a b 平行，,a b 不垂直，故C 错误；对于D ，过直线b 作平面γ与平面α相交，设交线为b '，因为b β⊂，所以b βγ= ，b αγ'= ，由//αβ，所以//b b '，又因为a α⊥，b α'⊂，所以a b '⊥，所以a b ⊥r r，故D 正确.故选：D.6.已知向量(1,,2)a x = ，(0,1,2)b = ，(1,0,0)c = ，若a ，b ，c共面，则x 等于（）A.1-B.1C.1或1- D.1或0【答案】B【分析】根据向量共面关系a mb nc =+，建立坐标等式即可得解.【详解】向量(1,,2)a x = ，(0,1,2)b = ，(1,0,0)c = ，由a ，b ，c共面，a mb nc =+，即(1,,2)(0,1,2)(1,0,0)(,,2)x m n n m m =+=122n x m m =⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得1x m n ===，1x ∴=．故选：B ．7.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若,AB a AD b == ，1AA c =，则BM =（）A.1122-+ a b c B.1122++a b c C.1122--+ a b cD.1122a b c -++ 【答案】D【分析】根据空间向量基本定理结合空间向量线性运算求解.【详解】由题意可得：()11111111111122BM BB B M BB B D BB A D A B =+=+=+-uuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu u r111112222AB AD A c A =-++=-++.故选：D.8.如图，三棱锥O ABC -，点D 是棱AB 的中点，点E 在棱OC 上的动点，则DE 的最小值为（）A.22B.2C.32D.1【答案】B【分析】利用垂线段最短，再利用正四面体的性质、勾股定理求解.【详解】根据题意，在DOC △中，当DE OC ⊥时，即E 为OC 的中点时，DE 取到最小值，连结,CD OD ，易得DOC △为等腰三角形，3,22CD CE ==，由勾股定理，得222DE CD CE =-，解得62DE =，则DE 的最小值为2.故A ，C ，D 错误.故选：B.9.沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）.在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的.已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时10分钟.那么经过5分钟后，沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度之比是（假定沙堆的底面是水平的）A.1:2B.)21:1+ C.2D.)31:21【答案】D【分析】根据题意可知下方圆锥的空白部分就是上方圆锥中的沙子部分，把高度比转化为体积比.【详解】由于时间刚好是5分钟，是总时间的一半，而沙子漏下来的速度是恒定的，所以漏下来的沙子是全部沙子的一半，下方圆锥的空白部分就是上方圆锥中的沙子部分，所以可以单独研究下方圆锥，下方圆锥被沙子的上表面分成体积相等的两部分，所以312V h V h ⎛⎫== ⎪⎝⎭上上全全，所以312h h 上全，所以3121h h -上下.故选D【点睛】本题考查几何体的体积问题的应用，考察空间想象能力和运算求解能力.10.在正方体ABCD A B C D -''''中，若点P （异于点B ）是棱上一点，则满足BP 与AC '所成的角为45︒的点P 的个数为A.0B.3C.4D.6【答案】B【详解】解：当点P 在BB '上时，符合题意，另外在棱DD '上也是符合题意的．分别对各个棱进行分类讨论，就可以得到结论．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.空间两点(1,2,4)M --，(1,1,2)N -间的距离MN 为_____．【答案】3【分析】根据空间中两点间的距离公式即可得到答案【详解】由空间中两点间的距离公式可得;3MN ==;故距离为3【点睛】本题考查空间中两点间的距离公式，属于基础题．12.已知(0,0,0)O ，(3,2,4)A --，(0,5,1)B -，若23OC AB =uuu r uu u r，则C 的坐标是______________.【答案】142,,23⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】先求得()3,7,3AB =- ，再根据23OC AB =uuu r uu u r ，求得142,,23OC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，即可求解.【详解】因为()()3,2,4,0,5,1A B ---，则()3,7,3AB =-.所以2142,,233OC AB ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ，即142,,23C ⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：142,,23⎛⎫- ⎪⎝⎭.13.在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，则直线1AA 与1BC 所成角的大小为___________；直线1AA 到平面11BB C C 的距离为___________.【答案】①.45︒##4π②.【详解】如图所示：在正三棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC ，1BC C ∠为锐角，所以1BC C ∠为直线1AA 与1BC 所成的角，因为1CC BC =，所以145BC C ∠=，作AD BC ⊥，因为平面11BB C C ⊥平面ABC ，平面11BB C C 平面ABC =BC ，所以AD ⊥平面11BB C C ，因为11//AA CC ，且1AA ⊄平面11BB C C ，1CC ⊂平面11BB C C ，所以1//AA 平面11BB C C ，所以AD 即为直线1AA 到平面11BB C C 的距离，且AD =，故答案为：45︒14.函数()()sin f x A x ωϕ=+0,0,0()A ωϕπ>><<的图象如图所示，则()0f =________________．【答案】1【分析】根据图像求得函数的解析式为()34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而利用解析式求解.【详解】解:由图像可知，函数的最小值为()min f x =，故A =，324244T ππππω⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，解得1ω=，再将点3,4π⎛ ⎝代入解析式得34πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得32,4k k Z πϕπ=+∈，因为0ϕπ<<，所以34πϕ=，所以()34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()321042f π===故答案为：115.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的点（点M 与A 、1C 不重合），则下列结论正确的是______________.（请填写序号）①存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ；②存在点M ，使得//DM 平面11B CD ；③若1A DM 的面积为S，则23,3S ⎛∈ ⎝；④若1S 、2S 分别是1A DM 在平面1111D C B A 与平面11BB C C 的正投影的面积，则存在点M ，使得12S S =.【答案】①②④【分析】平面1A DM 与平面11A B CD 为同一平面,证明1B C ⊥平面11A B CD 即可判断①；由证明平面1//A BD 平面11B D C 判断②；连接1AD 交1A D 于点O ,当1OM AC ⊥时可得1AD OM ⊥,利用相似可得111OM OA C D AC =,进而求得1A DM 的最小面积,即可判断③；分别判断点M 从1AC 的中点向着点A 运动的过程中,1S 、2S 的范围,进而判断④.【详解】连接1B C ,1BC,①设平面11A B CD 与对角线1AC 交于M ,由11B C BC ⊥,1DC BC ⊥，且1B C ⊂平面11A B CD ，CD ⊂平面11A B CD ，且1B C CD C ⋂=，所以1BC ⊥平面11A B CD ，即1BC ⊥平面1A DM ,所以存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ，所以①正确；②连接BD ,11B D ,由11//BD B D ，BD ⊄平面11CB D ，11B D ⊂平面11CB D ，所以//BD 平面11CB D ，同理由11//A D B C 可得1//A D 平面11CB D ，又1A D BD D ⋂=，1A D ⊂平面1A DB ，DB ⊂平面1A DB ，所以平面1//A DB 平面11CB D ，设平面1A DB 与1AC 交于点M ，则DM ⊂平面1A DB ，所以//DM 平面11CB D ，所以②正确；③连接1AD 交1A D 于点O ,过O 点作1OM AC ⊥,在正方体1111ABCD A B C D -中，由①1BC ⊥平面11A B CD ，同理可证1AD ⊥平面11ABC D ，且OM ⊂平面11ABC D ，所以1AD OM ⊥,所以OM 为异面直线1A D 与1AC 的公垂线,根据11AOM AC D ∽,所以111OM OA C D AC =,即11126323OA C D OM AC ⋅===,此时1A DM 的面积为1111623222233A DM S A D OM =⨯⨯=⨯⨯= ,所以③不正确；④设点M 在平面1111D C B A 的正投影为1M ，在平面11BB C C 的正投影为2M 如图，因为1AA ⊥平面1111D C B A ，则1AC 在平面1111D C B A 内的射影为11A C ，由1M AC ∈，则111M A C ∈，故在点M 从1AC 的中点向着点A 运动的过程中，点1M 也从11A C 的中点向着点1A 运动.由1MM ⊥平面1111D C B A ，则11//MM AA ，故当M 为1AC 中点时，正投影1M 也为1AC 中点，此时1A DM 在平面1111D C B A 的正投影的面积111112112A D M S S ==⨯⨯= ，因此，在点M 从1AC 的中点向着点A 运动的过程中，111A D M 的面积即1S 从1减少到趋向于0,即1(0,1)S ∈,同理，在点M 从1AC 的中点向着点A 运动的过程中，点2M 也从1BC 的中点向着点B 运动，112A D M △的面积即2S 从0开始增加，当M 与A 重合时，正投影2M 与B 重合，此时1A DM 在平面11BB C C 的正投影的面积1212222B CB S S ==⨯ ，所以2(0,2)S ∈,故在此过程中,必存在某个点M 使得12S S =,所以④正确,故答案为：①②④.三、解答题：本大题共4小题，共45分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在ABC 中，2AB =，1AC =，π6B =，点D 在边BC 上，且6cos 3ADB ∠=-．（1）求AD ；（2）求ACD 的面积．【答案】（13（2）22【分析】（1）先求sin ADB ∠，然后通过正弦定理即可得结果；（2）通过余弦定理解出三角形，再计算面积即可.【小问1详解】由题意得23sin 1cos 3ADB ADB ∠=-∠=．在ADB 中，由正弦定理sin sin AD AB B ADB =∠，得sin 3sin B AD AB ADB =⋅=∠【小问2详解】由余弦定理2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅，得22330BC BC -+=，解得3BC =．因为222AC BC AB +=，所以π2C =，所以222CD AD AC =-=．故ACD 的面积为122122=．17.如图，在三棱锥S ABC -中，,D E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在AC 上，且SD ⊥底面ABC .（1）求证：//DE 平面SAC ；（2）若SF AC ⊥，求证：平面SFD ⊥平面SAC .【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）由中位线知：DE //AC ，可证：DE //平面SAC ；（2）由SD ⊥平面ABC ，知SD ⊥AC ，又SF ⊥AC ，SD 与SF 交于点S ，所以，AC ⊥平面SFD ，然后再根据面面垂直的判定定理，即可证明出结果.【详解】在三角形ABC ，由中位线定理知：DE //AC ，又DE ⊂面SAC ，AC ⊂面SAC所以DE //平面SAC ;（2）由SD ⊥平面ABC ，知SD ⊥AC ，又SF ⊥AC ，SD 与SF 交于点S ，所以，AC ⊥平面SFD ，所以，平面SAC ⊥平面SFD【点睛】本题主要考查了线面平行和面面垂直的判定定理，熟练掌握判定定理的条件是解决本题的关键.18.如图，PDCE 为矩形，ABCD 为梯形，平面PDCE ⊥平面ABCD ，90BAD ADC ∠=∠=︒，112AB AD CD ===，2PD =（1）若M 为PA 中点，求证：//AC 平面MDE ；（2）求直线PB 与直线CD 所成角的大小；（3）设平面PAD ⋂平面EBC l =，试判断l 与平面ABCD 能否垂直？并证明你的结论.【答案】（1）证明见解析（2）π3（3）能垂直，证明见解析【分析】（1）先证明MN AC ∥，再利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）利用线线平行可得PBA ∠是直线PB 与直线CD 所成角，利用面面垂直可得PD AB ⊥，结合已知条件可得PA =AB PA ⊥，可得出tan PBA ∠的值，即可求解.（3）根据题意可得EC l ∥，利用平行的传递性，可证明l⊥平面ABCD .【小问1详解】连结PC ，交DE 于N ，连接MN ，∵PDCE 为矩形，∴N 为PC 的中点，在PAC △中，M ，N 分别为PA ，PC 的中点，∴MN AC ∥，因为MN ⊂面MDE ，AC ⊄面MDE ，所以AC ∥平面MDE .【小问2详解】∵90BAD ADC ∠=∠=︒，∴AB CD ∥，∴PBA ∠是直线PB 与直线CD 所成角.∵PDCE 为矩形，∴PD CD ⊥，∵平面PDCE ⊥平面ABCD ，又PD ⊂平面PDCE ，平面PDCE ⋂平面ABCD CD =，∴PD ⊥平面ABC ，∵,AD AB ⊂平面ABCD ，∴PD AD ⊥，PD AB ⊥，在Rt PDA 中，∵1AD =，PD =PA =，∵90BAD ∠=︒，∴AB AD ⊥，又∵PD AB ⊥，=PD AD D ⋂，PD ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥平面PAD ，∵PA ⊂平面PAD ，∴AB PA ⊥，在Rt PAB 中，∵1AB =，∴tan PA PBA AB ∠==∴π3PBA ∠=，从而直线PB 与直线CD 所成的角为π3；【小问3详解】l 与平面ABCD 垂直.证明如下：∵PDCE 为矩形，∴EC PD ∥，∵PD ⊂平面PAD ，EC ⊄平面PAD ，∴EC ∥平面PAD ，EC ⊂平面EBC ，∵平面PAD ⋂平面EBC l =，∴EC l ∥，则∥l PD ，由（2）可知PD ⊥平面ABCD ，∴l ⊥平面ABCD .19.已知集合{}12{|(,,,),0,1,1,2,,}(2)n n i S X X x x x x i n n ==∈=≥ ，对于12(,,,)n A a a a = n S ∈，12(,,,)n n B b b b S =∈ ，定义A 与B 的差为1122(,,,)n n A B a b a b a b -=--- ；A 与B 之间的距离为1122(,)=+n n d A B a b a b a b --++- .（1）若(0,1)A B -=，试写出所有可能的A ，B ；（2）,,n A B C S ∀∈，证明：(,)(,)d A C B C d A B --=；（3）,,n A B C S ∀∈，(,),(,),(,)d A B d A C d B C 三个数中是否一定有偶数？证明你的结论.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）一定有偶数，理由见解析【分析】（1）由题意结合新概念A B -可直接得解；（2）先证明0i c =、1i c =时，均有i i i i i i a c b c a b ---=-，由新概念运算即可得证；（3）设(,)d A B k =，(,)d A C l =，(,)d B C h =，由（2）可得(,)(0,)d A B d B A k =-=，(,)(0,)d A C d C A l =-=，(,)(,)d B C d B A C A h =--=，设t 是使1i i i i b a c a -=-=成立的i 的个数，即可得2h l k t =+-，即可得解.【详解】（1）由题意可得，所有满足要求的A ，B 为：()0,0A =，()0,1B =；()0,1A =，()0,0B =；()1,0A =，()1,1B =；()1,1A =，()1,0B =.（2）证明：令12(,,,)n A a a a = ，12(,,,)n B b b b = ，12(,,,)n C c c c = ，对1,2,,i n = ，当0i c =时，有i i i i i i a c b c a b ---=-；当1i c =时，有1(1)i i i i i i i i a c b c a b a b ---=---=-.所以(,)d A C B C --11112222n n n na cbc a c b c a c b c =---+---+⋅⋅⋅+---1122(,)n n a b a b a bd A B =-+-++-= .（3）A ∀，B ，n C S ∈，(,)d A B ，(,)d A C ，(,)d B C 三个数中一定有偶数.理由如下：设12(,,,)n A a a a =⋅⋅⋅，12(,,,)n B b b b =⋅⋅⋅，12(,,,)n n C c c c S =⋅⋅⋅∈，(,)d A B k =，(,)d A C l =，(,)d B C h =，记0(0,0,0)n S =⋅⋅⋅∈，由（2）可知:(,)(,)(0,)d A B d A A B A d B A k =--=-=，(,)(,)(0,)d A C d A A C A d C A l =--=-=，(,)(,)d B C d B A C A h =--=，所以(1,2,,)i i b a i n -=⋅⋅⋅中1的个数为k ，(1,2,,)i i c a i n -=⋅⋅⋅中1的个数为l .设t 是使1i i i i b a c a -=-=成立的i 的个数，则2h l k t =+-.由此可知，k ，l ，h 三个数不可能都是奇数，即(,)d A B ，(,)d A C ，(,)d B C 三个数中一定有偶数.【点睛】本题考查了新概念在推理与证明中的应用，考查了逻辑推理能力和新概念的理解能力，属于中档题.。

2024-2025学年河南省新乡市高一上学期10月月考数学质量检测试题全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 命题“，使得”的否定形式为（ ）2024x ∃≥24048x >A. ，2024x ∃<24048x ≤B. ，2024x ∀≥24048x <C. ，2024x ∀<24048x ≤D. ，2024x ∀≥24048x ≤2. 设全集，集合，则的子集个数为{}*|8U x x =∈<N {1,3,6},{3,5,7}A B ==()U A B ð（ ）A. 3B. 4C. 7D. 83. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（）24430x x --<A.B. 112x -<<1322x -<<C. D. 1433x -<<3522x -<<4. 某校举行中学生田径运动会（田径运动会分田赛和径赛两大类），高一（2）班48名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有12人，参加径赛的有18人，则田赛和径赛都参加的学生人数为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 105. 若关于x 的不等式的解集是，则关于x 的不等式20ax b ->{}|2x x >的解集是（）()()20ax b x +->A .或 B.或{4x x <-2}x >{2x x <-2}x >C.D.{}42x x -<<{}22x x -<<6. 集合，，，{}2,P x x k k ==∈Z ∣{}21,Q x x k k ==+∈Z ∣{}41,M x x k k ==+∈Z ∣且，，则（ ）a P ∈b Q ÎA. B. a b P +Îa b Q+ÎC. D. 不属于，，中的任意a b M +Îa b +P Q M 一个7. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S 可由公式求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦S =—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为4a =6b c +=（）A. B. C.D.8. 若关于x 的不等式的解集中恰有3个整数，则a 的取值范围是（()24410a x x --+<）A. B. 201493a <≤201493a ≤<C. D. 2549916a <≤2549916a ≤<二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列各组中M ，N 表示不同集合的是（ ）A. ，{}4,3M =-(){}4,3N =-B. ，(){}3,2M =(){}2,3N =C. ，{}21,M y y k k Z ==+∈{}21,N x x k k Z ==-∈D.，{}2,2M y y x x ==-≥(){},2,2N x y y x x ==-≥10. 已知，则下列命题正确的是（ ）,,,a b c d ∈R A. 若，，则a b >c d >ac bd>B. 若，，则0bc ad ->0bd >a b c db d ++<C. 若，则0a b <<b aa b<D. 若，，则，a b >11a b >0a >0b <11. 已知正实数a ，b ，c 满足，当取得最小值时，下列说法正确22202a b b c -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭c ab 的是（ ）A. B. 3a b=29c b=C. 的最大值为 D. 的最大值为32a b c +-3232a b c +-43三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12. 若，则 ______.{}242,1,5a a ∈+-a =13. 已知命题，，命题，使得{}:12p x x x ∀∈-≤≤225x a +≥{}:21q x x x ∃∈-≤≤成立，若p 是真命题，q 是假命题，则a 的取值范围为______.10ax a +->14. 用表示非空集合中的元素的个数，定义，若()C A A ()()*A B C A C B =-，，若，则的所有{}2870A x x x =--=()(){}22360B x x ax x ax =+++=*1A B =a可能取值构成集合，则______.M ()C M =四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15. 已知，，且.0a >0b >24a b +=（1）求ab 的最大值；（2）求的最小值.222a b +16. 已知全集，集合，.U =R {}217A x x =-≤{}2142B x m x m =-≤≤-（1）若，求和；2m =A B ⋂()U A B ⋃ð（2）若，求m 的取值范围.A B A = 17. 已知命题，使得.:p x ∀∈R 22540x ax a -+-≥（1）若p 是真命题，求a 的取值范围；（2）记（1）中a 的取值范围为集合A ，关于t 的不等式的解集为集()2220t m t m -++≤合B ，若“”是“”的必要不充分条件，求m 的取值范围.x A ∈x B ∈18. 某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭()018x x <<氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k ，且当2x 21350x -时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06.10x =（1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y 关于x 的表达式；（2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x 的值.19.已知函数.23y ax bx a =+-+（1）若关于x 的不等式的解集是.求实数a ，b 的值；230ax bx a +-+>{}14x x -<<（2）若，，，是关于x 的的根，求0a >21b a =--1x 2x 230ax bx a +-+=的最小值；()()1211x x ++（3）若，解关于x 的不等式.3b =230ax bx a +-+≤2024-2025学年河南省新乡市高一上学期10月月考数学质量检测试题全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 命题“，使得”的否定形式为（）2024x ∃≥24048x >A. ，2024x ∃<24048x ≤B. ，2024x ∀≥24048x <C. ，2024x ∀<24048x ≤D .，2024x ∀≥24048x ≤【正确答案】D【分析】根据题意，利用全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】由全称命题与存在性命题的关系，可得：命题“，使得”的否定形式为“，”.2024x ∃≥24048x >2024x ∀≥24048x ≤故选：D.2. 设全集，集合，则的子集个数为{}*|8U x x =∈<N {1,3,6},{3,5,7}A B ==()U A B ð（ ）A. 3B. 4C. 7D. 8【正确答案】B【分析】根据题意，得到，结合并集与补集的运算，求得{1,2,3,4,5,6,7}U =，进而得到其子集的个数.(){2,4}U A B = ð【详解】由题意，全集，*{|8}{1,2,3,4,5,6,7}U x x =∈<=N 因为，可得，{1,3,6},{3,5,7}A B =={1,3,5,6,7}A B ⋃=所以，所以的子集个数为个.(){2,4}U A B = ð()U A B ð224=故选：B.3. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（）24430x x --<A.B. 112x -<<1322x -<<C. D. 1433x -<<3522x -<<【正确答案】C【分析】先解不等式，求出其解集，根据充分不必要条件的概念进行判断即24430x x --<可.【详解】因为.24430x x --<⇒()()21230x x +-<⇒1322x -<<设它的充分不必要条件为，则集合满足是的真子集.p {|x x }p 13|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭结合选项知，满足题意，故C 成立.1433x -<<故选：C4. 某校举行中学生田径运动会（田径运动会分田赛和径赛两大类），高一（2）班48名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有12人，参加径赛的有18人，则田赛和径赛都参加的学生人数为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 10【正确答案】B【分析】参加田赛的有12人，参加径赛的有18人，总共有30人，而参加比赛的人数为24人，则多出来的的人数为田赛和径赛都参加的人数.【详解】因为参加比赛的总人数为24人，参加田赛的有12人，参加径赛的有18人，所以田赛和径赛都参加的学生人数为：人.1218246+-=故选：B5. 若关于x 的不等式的解集是，则关于x 的不等式20ax b ->{}|2x x >的解集是（）()()20ax b x +->A. 或 B. 或{4x x <-2}x >{2x x <-2}x >C.D.{}42x x -<<{}22x x -<<【正确答案】A【分析】由一元一次不等式的解集可知的关系，再求解一元二次不等式.,a b 【详解】由不等式的解集是，可知，且，20ax b ->{}2x x 22ba =0a >，即，解得或，(ax +b )(x−2)>0⇔(ax +4a )(x−2)>0()()420x x +-><4x -2x >所以不等式的解集为或.{4x x <-2}x >故选：A 6. 集合，，，{}2,P x x k k ==∈Z ∣{}21,Q x x k k ==+∈Z ∣{}41,M x x k k ==+∈Z ∣且，，则（ ）a P ∈b Q ÎA .B. a b P+Îa b Q+ÎC. D. 不属于，，中的任意a b M +Îa b +P Q M 一个【正确答案】B【分析】由已知可得，，可得，可得112,(Z)a k k =∈222+1,(Z)b k k =∈122()a b k k +=+结论.【详解】因为，所以，a P ∈112,(Z)a k k =∈因为，所以，b Q Î222+1,(Z)b k k =∈所以.122()+121,(Z)a b k k k Q k +=+=+∈∈故选：B.7. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S 可由公式求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦S =—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为4a =6b c +=（）A. B. C. D. 【正确答案】B【分析】首先计算，再代入公式，结合基本不等式，即可求解.p 【详解】由题意可知，，52a b cp ++==所以S ===而，所以时等号成立，292b c bc +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭S ≤=3==b c 所以三角形面积的最大值为.故选：B8. 若关于x 的不等式的解集中恰有3个整数，则a 的取值范围是（()24410a x x --+<）A. B. 201493a <≤201493a ≤<C. D. 2549916a <≤2549916a ≤<【正确答案】C【分析】先根据确定的取值范围，初步判断在不等式的解集内，不在不等式的0∆>a 120解集内，进而确定不等式解集内的整数，列出不等式，可求出结果.【详解】由题意，且，且，解得，4a ≠0∆>⇒16−4(4−a )>0⇒0a >40a ->4a <则，04a <<设不等式的解集为.A 因为时，不成立，所以；因为时，，所以0x =10<0A ∉12x =121044a a--+=-<.12A ∈又因为中恰有3个整数，所以这3个整数必定是1，2，3.A 由.()()()44104442104943104164410a a a a --+<⎧⎪-⨯-⨯+<⎪⎨-⨯-⨯+<⎪⎪-⨯-⨯+≥⎩⇒2549916a <≤综上所述.2549916a <≤故选：C关键点点睛：不等式中所含有的整数解必定是连续的整数，弄清楚1，2，3满足不等式后，还要注意0，4不满足原不等式.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列各组中M ，N 表示不同集合的是（ ）A. ，{}4,3M =-(){}4,3N =-B. ，(){}3,2M =(){}2,3N =C. ，{}21,M y y k k Z ==+∈{}21,N x x k k Z ==-∈D.，{}2,2M y y x x ==-≥(){},2,2N x y y x x ==-≥【正确答案】ABD【分析】根据相同集合的概念和集合中元素的意义可直接得出结果.【详解】对A ：集合中有两个元素，是数；集合中只有一个元素，是点，所以两个集M N 合不同，故选项A 符合题意；对B ：两个集合中都只有一个元素，是点，但点的坐标不一样，所以两个集合不同，故选项B 符合题意；对C ：两个集合都是表示所有奇数构成的集合，所以两个集合相同，选项C 不合题意；对D ：集合表示函数的值域，元素是数；集合表示的是图形，元素是点，所以两个集M N 合不同，故选项D 符合题意.故选：ABD10. 已知，则下列命题正确的是（ ）,,,a b c d ∈R A. 若，，则a b >c d >ac bd>B. 若，，则0bc ad ->0bd >a b c db d ++<C. 若，则0a b <<b a a b <D. 若，，则，a b >11a b >0a >0b <【正确答案】BCD【分析】举反例排除A ，利用不等式的基本性质判断BCD ，从而得解.【详解】A 选项：，满足条件，但是，故A 选项错误；0,1,1,0a b c d ==-==ac bd =B 选项：由题意，，所以，故B 选项正确；0a a b d bc d d d b b c -=++<-a b c db d ++<C 选项，因为，故C 选项正确；()()220b a b a b a b a a b ab ab -+--==<D 选项，因为，，所以，110b a a b ab --=>a b >0ab <又因为，所以，，故D 选项正确；a b >0a >0b <故选：BCD.11. 已知正实数a ，b ，c 满足，当取得最小值时，下列说法正确22202a b b c -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭c ab 的是（ ）A. B. 3a b=29c b=C. 的最大值为 D. 的最大值为32a b c +-3232a b c +-43【正确答案】AC【分析】根据条件进行变形，再利用均值不等式即可求解.【详解】因为正实数，，满足，所以，a b c 22202a b b c -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭22924a b ab c +=+由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，2296a b ab +≥3a b =即，解得：，故，246ab c ab +≥c ab ≥1c ab ≥的最小值为1，此时,故A 正确；cab 3a b =，B 错误；23c ab b ==，故C 正确,D 错误22213332336666222a b c b b b b b b ⎛⎫+-=+-=-+=--+≤⎪⎝⎭故选:AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12. 若，则 ______.{}242,1,5a a ∈+-a =【正确答案】3-【分析】根据题意，列出方程，求得或，结合元素的互异性，即可求解.3a =3a =-【详解】因为，可得或，解得或，{}242,1,5a a ∈+-14a +=254a-=3a =3a =-当时，可得，此时不满足集合元素的互异性，舍去；3a =214,54a a +=-=当时，可得，符合题意.3a =-{}42,2,4∈-故答案为.3-13. 已知命题，，命题，使得{}:12p x x x ∀∈-≤≤225x a +≥{}:21q x x x ∃∈-≤≤成立，若p 是真命题，q 是假命题，则a 的取值范围为______.10ax a +->【正确答案】215a -≤≤【分析】分别求命题为真命题和命题为真命题的的取值范围，再求交集，即可求解.p q ⌝a 【详解】由题意可知，，即，:p ()2min 522a x ≤+=25a ≤若是假命题，则，使得，是真命题，q {}:21q x x x ⌝∀∈-≤≤10ax a +-≤即，得，21010a a a a -+-≤⎧⎨+-≤⎩112a -≤≤若是真命题，是假命题，则，即.p q 25112a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪-≤≤⎪⎩215a -≤≤故215a -≤≤14. 用表示非空集合中的元素的个数，定义，若()C A A ()()*A B C A C B =-，，若，则的所有{}2870A x x x =--=()(){}22360B x x ax x ax =+++=*1A B =a 可能取值构成集合，则______.M ()C M =【正确答案】5【分析】由新定义可知，或，根据集合的元素个数，讨论方程解的情况，()1C B =()3C B =即可求解.【详解】中，，所以方程有两个不同的实数根，2870x x --=()()2Δ8470=--⨯->即，()2C A =若，则或，*1A B =()1C B =()3C B =当时，方程，只有实数根，()1C B =()()()()22236360xax x ax x x a x ax +++=+++=0所以且，得；0a =2240a -<0a =当时，方程，()3C B =()()()()22236360xax x ax x x a x ax +++=+++=时，方程有个不等的实数根，分别为和，0a ≠230x ax +=20x =3a x =-0不是方程的实数根，260x ax ++=若是方程的实数根，则3a-260x ax ++=a =±若，则方程整理为，方程的实数根，分别为，a =((230x x x ++=0和，，满足条件，-()3C M =若，则方程整理为，方程的实数根，分别为a =-((230x x x -=0，满足条件，()3C M =若不是方程的实数根，3a-260x ax ++=所以方程有个相等的实数根，即，得，260x ax ++=22240a -=a =±当，满足条件，a=0,B ⎧⎪=⎨⎪⎩当时，，满足条件，a =-B ⎧⎪=⎨⎪⎩所以，.{M =--()5C M =故5四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15. 已知，，且.0a >0b >24a b +=（1）求ab 的最大值；（2）求的最小值.222a b +【正确答案】（1）2（2）163【分析】（1）根据基本不等式，即可求解；（2）根据，代入，转化为二次函数求最小值.42a b =-222a b +【小问1详解】，，0,0a b >>24a b +=≥2ab ≤当时，等号成立，22a b ==所以的最大值为2；ab 【小问2详解】，()22222242261616a b b b b b +=-+=-+，2416633b ⎛⎫=-+⎪⎝⎭当时，时，取得最小值.43b =43a =222a b +16316.已知全集，集合，.U =R {}217A x x =-≤{}2142B x m x m =-≤≤-（1）若，求和；2m =A B ⋂()U A B ⋃ð（2）若，求m 的取值范围.A B A = 【正确答案】（1）；或；{}34A B x x ⋂=≤≤(){4U A B x x ⋃=≤ð6}x >（2）32m ≤【分析】（1）首先分别求解两个集合，再代入集合的运算公式，即可求解；（2）首先判断，再讨论和两种情况，根据端点值列不等式，即可求解.B A ⊆B =∅B ≠∅【小问1详解】，解得：，2177217x x -≤⇔-≤-≤34x -≤≤即，{}34A x x =-≤≤当时，，所以，2m ={}36B x x =≤≤{}34A B x x ⋂=≤≤或，或；{3U B x x =<ð6}x >(){4U A B x x ⋃=≤ð6}x >【小问2详解】由，则，A B A = B A ⊆当时，，得，B =∅2142m m ->-12m <当时，，解得：，B ≠∅2142213424m m m m -≤-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩1322m ≤≤所以的取值范围是.m 32m ≤17. 已知命题，使得.:p x ∀∈R 22540x ax a -+-≥（1）若p 是真命题，求a 的取值范围；（2）记（1）中a 的取值范围为集合A ，关于t 的不等式的解集为集()2220t m t m -++≤合B ，若“”是“”的必要不充分条件，求m 的取值范围.x A ∈x B ∈【正确答案】（1）[]1,4（2）[]1,4【分析】（1）由可求a 的取值范围.0∆≤（2）问题转化为是的真子集，根据集合的包含关系可求m 的取值范围.B A 【小问1详解】由.0∆≤⇒()244540a a --≤⇒14a ≤≤所以a 的取值范围为：[]1,4【小问2详解】由题意：是的真子集.B A 由.()2220t m t m -++≤⇒()()20t t m --≤若，则，由是的真子集，得；2m <[],2B m =B A 12m ≤<若，则，此时是的真子集；2m ={}2B =B A 若，则，由是的真子集，得.2m >[]2,B m =B A 24m <≤综上，m 的取值范围为.[]1,418. 某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭()018x x <<氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k ，且当2x 21350x -时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06.10x =（1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y 关于x 的表达式；（2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x 的值.【正确答案】（1），222501350y x x =+-018x <<（2）当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小，为.15x =475【分析】（1）由题意，把，代入，可求的值.2221350ky x x =+-10x =0.06y =k （2）利用基本不等式“1”的妙用，可求的最小值及对应的的值.y x 【小问1详解】由题意，，2221350k y x x =+-018x <<因为时，，所以，10x =0.06y =20.061001350100k +=-⇒50k =所以，.222501350y x x =+-018x <<【小问2详解】因为，所以，018x <<213500x ->所以222501350y x x =+-()22221250135013501350x x x x ⎛⎫⎡⎤=+-+ ⎪⎣⎦-⎝⎭()22222135015025013501350x x x x ⎡⎤-⎢⎥=+++-⎢⎥⎣⎦1521350⎡⎢≥+⎢⎣，()145220135075=+=当且仅当，即时取“”，()222221350501350x x x x -=-15x ==所以当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小，为.15x =47519. 已知函数.23y ax bx a =+-+（1）若关于x 的不等式的解集是.求实数a ，b 的值；230ax bx a +-+>{}14x x -<<（2）若，，，是关于x 的的根，求0a >21b a =--1x 2x 230ax bx a +-+=的最小值；()()1211x x ++（3）若，解关于x 的不等式.3b =230ax bx a +-+≤【正确答案】（1），. 1a =-3b =（2）4（3）答案见解析.【分析】（1）问题转化为方程的两根为，利用韦达定理求.230ax bx a +-+=1,4-,a b （2）利用韦达定理，表示出，利用基本（均值）不等式求最小值，需要分析()()1211x x ++等号成立的条件.（3）根据参数的不同取值，分情况讨论一元二次不等式解集的形式.a 【小问1详解】由题意：方程的两根为，且230ax bx a +-+=1,4-0a <所以；.314a a -+-⨯=⇒1a =-14b a -+=-⇒3b =所以，.1a =-3b =【小问2详解】由韦达定理可得：，，2121b a x x a a ++=-=123a x x a -+=所以.()()121212111x x x x x x ++=+++2131a a a a +-+=++24a a +=4a a =+因为，所以，（当且仅当时取“”）.0a >44a a +≥=2a ==又当时，方程为，因为，所以方程由两个根.2a =22510x x -+=254210∆=-⨯⨯>所以的最小值为4.()()1211x x ++【小问3详解】当时，原不等式为.3b =2330ax x a ++-≤若，则原不等式可化为：；0a =330x +≤⇒1x ≤-若，则原不等式可化为.0a ≠()()310ax a x ⎡⎤--+≤⎣⎦当时，，因为，所以不等式的解为：或.0a <()310a x x a -⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭a−3a >01x ≤-3a x a -≥当时，原不等式可化为.0a >()310a x x a -⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭由，此时原不等式的解为：；31a a -<-⇒302a <<31a x a -≤≤-由，此时原不等式的解为：；31a a-=-⇒32a =1x =-由，此时原不等式的解为.31a a->-⇒32a >31a x a --≤≤综上可知：当时，原不等式的解集为；0a <(]3,1,a a ∞∞-⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭当时，原不等式的解集为；0a =(],1-∞-当时，原不等式的解集为；302a <<3,1a a-⎡⎤-⎢⎥⎣⎦当时，原不等式的解集为；32a ={}1-当时，原不等式的解集为.32a >31,a a -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦关键点点睛：解含参数的一元二次不等式的问题，要注意：（1）二次项系数是否可以为0；（2）二次想系数不为0时，不等式解集的形式及两根大小的比较.。

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学生姓名：贺祎辛
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成都2023～2024学年度上期高2025届十月考试数学试卷（答案在最后）一､单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.石室中学高一年级有男生570名，若用分层随机抽样的方法从高一年级学生中抽取一个容量为110的样本其中女生53人，则高一年级学生总数为（）A.950B.1000C.1050D.1100【答案】D【解析】【分析】根据分层抽样的抽样比的性质进行求解即可.【详解】设高一年级学生总数为N,根据分层抽样11053110570N-=有，则1100N=.故选：D.2.直线l的方向向量为(1,1)-，则该直线的倾斜角为（）A.π4 B.π3 C.3π4 D.2π3【答案】C【解析】【分析】根据直线的方向向量，结合直线斜率与倾斜角的关系进行求解即可.【详解】由题意知：直线l的斜率为111-=-，则直线l的倾斜角为3π4.故选：C3.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数：907966191925271932812458569683 431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A.0.35B.0.25C.0.20D.0.15【答案】B【解析】【分析】已知三次投篮共有20种，再得到恰有两次命中的事件的种数，然后利用古典概型的概率公式求解.【详解】三次投篮共有20种，恰有两次命中的事件有：191，271，932，812，393，有5种∴该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为50.2520p ==故选：B【点睛】本题主要考古典概型的概率求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若,m ββα⊥∥，则m α⊥B.若,,m n n ββα⊥⊥⊥，则m α⊥C.若//m α且//n α，则//m nD.若,,m n n ββα⊥⊥⊥，则m α⊥【答案】D 【解析】【分析】根据线面垂直以及面面垂直的性质判断A ，B ；根据线面平行的性质判断C ；根据线面垂直的性质判断D.【详解】对于A ，若m β∥，βα⊥，则m α⊂或者m α∥或者,m α相交，故A 错误，对于B ，若,,m n n ββα⊥⊥⊥，则m α⊂或者m α∥或者,m α相交，故B 错误，对于C ，若//m α且//n α，则m 与n 可能平行、相交或异面，故C 错误.对于D ，若,m n ββ⊥⊥，则m n ∥，又n α⊥，所以m α⊥，故D 正确，故选：D.5.在ABC 中，3C π∠=，=2AC ，M 为AB 边上的中点，且CM ，则BC =（）A. B.4C. D.6【答案】B 【解析】【分析】分别在AMC 和BCM 中利用余弦定理得到22220BC AB -=，在ABC 中利用余弦定理得到2242220BC BC BC +-=-，然后解方程即可.【详解】在AMC 中，222cos 2AM CM AC AMC AM CM+-∠=⋅；在BCM 中，222cos 2BM CM BC BMC BM CM+-∠=⋅；πAMC BMC ∠+∠= ，∴cos cos AMC BMC ∠=-∠，又AM BM =，22222222AM CM AC AM CM BC AM CM AM CM +-+-∴=-⋅⋅，整理可得：()22222AC BC CM AM +=+，即()22427BC AM +=+，∴22212102AM AB BC ==-，22220BC AB ∴-=，在ABC 中，222222cos 42AB AC BC AC BC C BC BC AB =+-⋅=+-=，2242220BC BC BC ∴+-=-，解得：6BC =-（舍）或4BC =.故选：B.6.十项全能是田径运动中全能项目的一种，是由跑、跳、投等10个田径项目组成的综合性男子比赛项目，比赛成绩是按照国际田径联合会制定的专门田径运动会全能评分表将各个单项成绩所得的评分加起来计算的，总分多者为优胜者.如图，这是某次十项全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图，则下列说法不正确的是（）A.在400米跑项目中，甲的得分比乙的得分高B.在跳高和标枪项目中，甲、乙水平相当C.甲的各项得分比乙的各项得分更均衡D.甲的各项得分的极差比乙的各项得分的极差大【答案】C 【解析】【分析】利用雷达图、结合方差、极差的概念逐项判断即可.【详解】对于A ，由图中数据知，在400米跑项目中，甲的得分比乙的得分高，正确；对于B ，由图中数据知，在跳高和标枪项目中，甲、乙水平相当，正确；对于C ，甲的各项得分差异比乙的各项得分差异大，因此乙的各项得分更均衡，不正确；对于D ，甲的各项得分的极差大于400，乙的各项得分的极差小于200，所以乙的各项得分的极差大，正确.故选：C.7.已知ABC 中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =，O 为ABC 的外心，若16AO mAB AC =+，则m 的值为（）A.49B.29 C.518D.718【答案】A 【解析】【分析】根据三角形外心的性质，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【详解】过O 作OD AB ⊥，垂足分别为D ，显然D 为AB 的中点，所以OD AB ⊥ ，即·0OD AB =，因为16AO mAB AC =+，所以有216AO AB mAB AC AB ⋅=+⋅ ，()211111149239996222229AD DO AB m AB m m m +⋅=+⨯⨯⨯⇒=+⇒⨯=+⇒=故选：A.8.已知点()3,5M ，在直线:220l x y -+=和y 轴上各找一点P 和Q ，则MPQ 的周长的最小值为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据点关于直线对称的性质进行求解即可.【详解】设点()3,5M 关于直线:220l x y -+=的对称点为()1,M x y ，则有()135220225,151132xy M y x ++⎧-⋅+=⎪⎪⇒⎨-⎪⋅=-⎪-⎩，点()3,5M 关于y 轴的对称点为()23,5M -，如图所示：当21,,,M Q P M 四点共线时，MPQ 的周长的最小，最小值为21MM ==，故选：D二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.甲､乙各投掷一枚骰子，下列说法正确的是（）A.事件“甲投得5点”与事件“甲投得4点”不是互斥事件B.事件“甲投得6点”与事件“乙投得5点”是相互独立事件C.事件“甲､乙都投得6点”与事件“甲､乙不全投得6点”是对立事件D.事件“至少有1人投得6点”与事件“甲投得6点且乙没投得6点”是相互独立事件【答案】BC 【解析】【分析】根据互斥事件、独立事件和对立事件的定义逐一判断即可.【详解】对于A ，事件“甲投得5点”与事件“甲投得4点”不可能同时发生，二者为互斥事件，A 错误；对于B,事件“甲投得6点”发生与否对事件“乙投得5点”没有影响，二者是相互独立事件，B 正确；对于C ，事件“甲､乙都投得6点”的反面为“至少有1人没有投得6点”，也即“甲､乙不全投得6点”，故事件“甲､乙都投得6点”与事件“甲､乙不全投得6点”是对立事件，C 正确；对于D ，事件“至少有1人投得6点”包含“甲投得6点且乙没投得6点”的情况，故事件“至少有1人投得6点”与事件“甲投得6点且乙没投得6点”不是相互独立事件，D 错误，故选：BC10.直线l 过点()1,2A ，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l 在y 轴上的截距可能是（）A.3B.0C.13D.1【答案】ABD 【解析】【分析】通过讨论直线截距是否为0的情况，即可得出结论【详解】由题意，直线l 过点()1,2A ，在两坐标轴上的截距的绝对值相等，当直线l 的截距为0时，显然满足题意，为：:2l y x =；当直线l 的截距不为0时，设横、纵截距分别为,a b ，则直线方程为：1x ya b+=，∴121a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：1b =或3，∴直线l 的纵截距可取0,1,3.故选：ABD.11.设12e e ，为夹角为120 的两个单位向量，则（）A.12||2e e -=B.21||e te - 的最小值为12C.212|()|e t e e +- 的最小值为12D.对任意的实数t 有12121||||2e e e te +≤+恒成立【答案】CD 【解析】【分析】根据平面向量数量积的定义和运算性质逐一判断即可.【详解】因为12e e，为夹角为120 的两个单位向量，所以12111122e e ⎛⎫=⨯⨯⋅-=- ⎪⎝⎭.对A：12e e -==A 错误；对B：21||e te -== 当且仅当12t =-时，21||e te -的最小值为2，故B 错误；对C ：212|()|e t e e +-=== ，当且仅当12t =时取得最小值12，故C 正确.对D ：12121||||2e e e te +≤+ ，两边平方可得：2102t ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭对任意的恒成立，故D正确；故选：CD【点睛】关键点睛：本题的关键是利用= a 这一公式、配方法求解最值.12.如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，60BAD ∠=,11AB AA==，点P 是经过点1B 的半圆弧 11A D 上的动点（不包括端点），点Q 是经过点D的半圆弧 BC 上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（）A.四面体PBCQ 的体积的最大值为13B.1BC A P ⋅的取值范围是[0,4]C.若二面角1C QB C --的平面角为θ，则1tan 2θ>D.若三棱锥P BCQ -的外接球表面积为S ，则[)4π,13πS ∈【答案】ACD【解析】【分析】根据棱锥的体积公式可判断A ；根据向量的相等以及数量积的定义可判断B ；结合二面角平面角定义找出θ，结合解直角三角形判断C ；确定三棱锥P BCQ -的外接球球心位置，列等式求得半径表达式，求得其取值范围，即可求出三棱锥P BCQ -外接球表面积取值范围，判断D.【详解】由题意知在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，半圆弧 BC 经过点D ，故2BC =，点P 到底面ABCD 的距离为11AA =，当点Q 位于半圆弧 BC上的中点时BCQ S 最大，即四面体PBCQ 体积最大，则()max 111211323P BCQV -=⨯⨯⨯⨯=，故A 正确；由于11BC AD A D == ，则1111B D C A P A P A ⋅=⋅ ，又在11Rt A PD △中，1111cos A PD AP A D ∠=，故121111111111||||cos 4cos BC A P A D A D D A P D A P A P A P ⋅⋅==∠=∠，因为11π,02D A P ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以()11cos 0,1D A P ∠∈，则()10,4AD A P ⋅∈ ，故B 错误；因为1CC ⊥平面ABCD ，QB ⊂平面ABCD ，故1CC QB ⊥，而QB QC ⊥,11,,C C QC C C QC C =⊂ 平面1C CQ ，故QB ⊥平面1C CQ ，1C Q ⊂平面1C CQ ，故1QB C Q ⊥，所以1C QC ∠是二面角1C QB C --的平面角，则111tan CC C QC CQ CQ ∠==，因为()0,2CQ ∈，所以11tan 2C QC ∠>，故C 正确；设线段BC 的中点为N ，线段11B C 的中点为K ，则三棱锥P BCQ -的外接球球心O 在NK 上，在四边形1111D C B A 中，1120A MK ∠=,1A K ==,设,(0PK t t =≤<，在Rt OQN △中ON =，在Rt OPK 中OK =，故1ON OK +==，整理得4244t R +=，所以2131,4R ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以外接球的表面积为[)2,4π4π13πS R =∈，D 正确，故选：ACD【点睛】难点点睛：解答本题的难点在选项D 的判断，解答时要发挥空间想象，明确空间的点线面位置关系，确定外接球球心位置，进而找出等量关系，求得球的半径取值范围，即可求解球表面积取值范围.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．13.2023年四川省高考分数公布后，石室中学再续辉煌，某基地班的12名同学成绩分别是（单位：分）：673，673，677，679，682，682，684，685，687，691，697，705，则这12名学生成绩的上四分位数为_________.【答案】689【解析】【分析】根据上四分位数的定义进行求解即可.【详解】因为12759100⨯=，所以这12名学生成绩的上四分位数为6876916892+=，故答案为：68914.已知直线1:0,l x ay a +-=()2:2310l ax a y ---=互相垂直，则a 的值为______.【答案】02或.【解析】【分析】根据两条直线垂直的条件，得到a 所满足的等量关系式，解方程，求得a 的值.【详解】因为直线1:0,l x ay a +-=()2:2310l ax a y ---=互相垂直，则有1[(23)]0a a a ⨯+⨯--=，即2230a a a -+=，进一步化简得220a a -=，解得0a =或2a =，故答案是0或2.【点睛】该题所考查的是有关两条直线垂直的条件，利用11112222:0:0l A x B y C l A x B y C ++=++=与垂直的条件是12120A A B B +=，得到关于a 所满足的等量关系式，求得结果.15.已知等腰直角ABC 的斜边AB 在平面α内，AC 与α所成角为030，CD 是斜边AB 上的高，则CD 与平面α所成角的正弦值为______.【答案】2【解析】【分析】过C 作CH α⊥于H ，连接,,AH BH DH ，得直线,,CD CA CB 与平面α所成的角，再设CH m =，求得CD ，然后计算正弦值．【详解】如图所示，过C 作CH α⊥于H ，连接,,AH BH DH ，则CDH ∠为CD 与平面α所成角，同理,CAH CBH ∠∠分别是,CA CB 与平面α所成的角，又DH ⊂平面CDH ，则CH DH ⊥，由题意可得003090CAH CBH ACB ∠=∠=∠=，，设CH m =，则有2,CA CB m AB CD ====，，在Rt CDH △中，sin 2CH CDH CD ∠==.故答案为：2.16.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，4c =，CD AB ⊥于点D ，且2cos cos()4sin sin sin c C A B c C b A C -+=+，则线段CD 长度的最大值为_________.【答案】【解析】【分析】先利用正弦定理与三角恒等变换推得1cos 2C =，再利用余弦定理与基本不等式求得16ab ≤，从而利用三角形面积相等即可得解.【详解】因为2cos cos()sin sin sin c C A B c c C b A C -+=+，所以由正弦定理得2sin cos cos()sin sin sin sin sin sin C C A B C C C B A C -+=+，由于0πC <<，sin 0C ≠，所以2cos cos()1sin sin sin C A B C B A -+=+，所以22sin sin cos cos()1sin cos cos()cos B A C A B C C A B C=-+-=-+cos [cos()cos ]cos [cos()cos()]2cos sin sin C A B C C A B A B C A B =-+=--+=，由于0π,0π,0πA B C <<<<<<，sin 0,sin 0A B ≠≠，所以1cos 2C =，则3C π=，所以22222162cos 2c a b ab C a b ab ab ab ==+-=+-≥-，得16ab ≤，当且仅当4a b ==时，等号成立，因为CD AB ⊥，所以11sin 22S ab C c CD ==⋅，故π3sin 438ab CD ab ==≤，所以CD 的最大值为故答案为：四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.如图，已知ABC 的顶点为()1,1A -，()3,0C ，1()0,1B 是边AB 的中点，AD 是BC 边上的高，AE 是BAC ∠的平分线．（1）求高AD 所在直线的方程；（2）求AE 所在直线的方程．【答案】（1）4370x y --=（2）340x y --=【解析】【分析】（1）根据互相垂直的直线斜率的性质，结合直线点斜式方程进行求解即可；（2）根据角平分线的性质，结合两点式方程进行求解即可.【小问1详解】因为1()0,1B 是边AB 的中点，所以()1,3B -，因为1BC AD k k ⋅=-，所以3041133AD AD k k -⋅=-⇒=--，因此高AD 所在直线的方程为：41(1)43703y x x y +=-⇒--=；【小问2详解】因为AE 是BAC ∠的平分线，所以2AB BEBEAC EC EC =⇒=，所以23BE BC = ，设(),E x y ，所以()()251,34,3,133x y E ⎛⎫+-=-⇒ ⎪⎝⎭，所以AE 所在直线的方程为：()51334051113x y x y --=⇒--=---.18.某蔬果经销商销售某种蔬果，售价为每千克25元，成本为每千克15元，其销售宗旨是当天进货当天销售，若当天未销售完，未售出的全部降价以每千克10元处理完．据以往销售情况，按[0,100),[100,200),[200,300),[300,400),[400,500)进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图求该蔬果日需求量的平均数x （同组数据用区间中点值代表）；（2）该经销商某天购进了250千克蔬果，假设当天的日需求量为x 千克（0500x ≤≤），利润为y 元．①求y 关于x 的函数表达式；②根据频率分布直方图估计利润y 不小于1750元的概率．【答案】（1）265千克；（2）①151250,02502500,250500x x y x -≤<⎧=⎨≤≤⎩；②0.7.【解析】【分析】(1)用频率分布直方图中每一个矩形的面积乘以矩形的底边中点横坐标的和即为平均值；(2)①根据日需求量与进货量250千克的关系，分类讨论即可求出；②由1750y ≥解出日需求量x 的取值范围，再根据频率分布直方图求出对应的面积即可．【详解】(1)x =50×0.001×100+150×0.002×100+250×0.003×100+350×0.0025×100+450×0.0015×100=265故该蔬果日需求量的平均数为265千克．(2)①当日需求量低于250千克时，利润(2515)(250)5y x x =---⨯=151250x -（元）；当日需求量不低于250千克时，利润(2515)2502500y =-⨯=（元），所以151250,02502500,250500x x y x -≤<⎧=⎨≤≤⎩．②由1750y ≥，解得200500x ≤≤．所以(1750)P y ≥=(200500)P x ≤≤=0.003100⨯+0.0025100⨯+0.0015100⨯=0.7故根据频率分布直方图估计利润y 不小于1750元的概率为0.7【点睛】本题主要考查利用频率分布直方图估计样本的平均数，以及分段函数的求法应用，属于基础题．结论点睛：在频率分布直方图中，众数等于最高矩形底边中点横坐标，中位数是把频率分布直方图分成左右两边面积相等的分界对应的数值，平均数等于频率分布直方图中每一个矩形的面积乘以矩形的底边中点横坐标的和．19.石室北湖后勤服务中心为监控学校三楼食堂的服务质量情况，每学期会定期进行两次食堂服务质量抽样调查，每次调查的具体做法是：随机调查50名就餐的教师和学生，请他们为食堂服务质量进行评分，师生根据自己的感受从0到100分选取一个分数打分，根据这50名师生对食堂服务质量的评分并绘制频率分布表．下图是根据本学期第二次抽样调查师生打分结果绘制的频率分布表，其中样本数据分组为[40，50），[50，60），……，[90，100]．分数[40，50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频率0.040.060.220.280.220.18（1）用每组数据的中点值代替该组数据，试估计频率分布表中前三组的平均分；（2）学校每周都会随机抽取3名学生和田校长共进午餐，每次田校长都会通过这3名学生了解食堂服务质量，田校长的做法是让学生在“差评、中评、好评”中选择一个作答，如果出现“差评”或者“没有出现好评”，田校长会立即责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务情况．若以本次抽取的50名师生样本频率分布表作为总体估计的依据，用频率估计概率，并假定本周和田校长共进午餐的学生中评分在[40，60）之间的会给“差评”，评分在[60，80）之间的会给“中评”，评分在[80，100]之间的会给“好评”，已知学生都会根据自己的感受独立地给出评价不会受到其它因素的影响，试估计本周田校长会责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务质量的概率．【答案】（1）60.625x=（2）0.396【解析】【分析】（1）根据平均值的定义计算平均值；（2）对3名学生给出好评中评和差评作分类讨论，计算出田校长不会责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务质量的事件的概率即可.【小问1详解】由已知得前三组的平均分为450.04550.06650.2260.6250.32x⨯+⨯+⨯==；【小问2详解】由图可知，[40，60）、[60，80）、[80，100]这三组的频率分别为0.1、0.5、0.4；用频率估计概率，即差评、中评、好评的概率分别为0.1、0.5、0.4，以本次抽取的3名学生，让学生在“差评、中评、好评”中选择一个作答，已知学生都会根据自己的感受独立地给出评价不会受到其它因素的影响，记3名学生分别为甲、乙、丙；设本周田校长不会责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务质量的事件记为A，则A事件即为：甲好评乙丙中评、甲乙好评丙中评、甲丙好评乙中评、乙好评甲丙中评、乙丙好评甲中评、丙好评甲乙中评、甲乙丙都好评；()0.40.50.50.40.40.50.40.50.40.50.40.50.50.40.40.50.50.40.40.40.40.604P A =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=即本周田校长会责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务质量的概率为()10.396P A -=；综上，前三组的平均分为60.625，本周田校长会责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务质量的概率为0.396.20.某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m 人，按年龄分成5组，其中第一组：[20，25），第二组：[25，30），第三组：[30，35），第四组：[35，40），第五组：[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.（1）根据频率分布直方图，求m 的值并估计这m 人年龄的第80百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者.（i ）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲､乙两人至少有一人被选上的概率；（ii ）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这m 人中35~45岁所有人的年龄的方差.【答案】（1）200m =，第80百分位数为37.5（2）（i ）35；（ii ）10【解析】【分析】（1）根据第一组的人数及所占比例求出200m =，利用百分位数的计算公式求出第80百分位数为37.5；（2）（i ）利用列举法求解甲､乙两人至少有一人被选上的概率；（ii ）结合第四组和第五组的平均数和方差，利用公式求出这m 人中35~45岁所有人的平均数和方差.【小问1详解】由题意，1050.01m=⨯，所以200m =.设第80百分位数为a ，因为0.0150.0750.0650.70.8⨯+⨯+⨯=<，0.0150.0750.0650.0450.90.8⨯+⨯+⨯+⨯=>，故第80百分位数位于第四组：[35，40）内，由()0.050.350.3350.040.8a +++-⨯=，解得：37.5a =，所以第80百分位数为37.5；【小问2详解】（i ）由题意得，第四组应抽取4人，记为,,A B C ，甲，第五组抽取2人，记为D ，乙，对应的样本空间为：()()Ω{,,,,(A B A C A =，甲),(A ，乙()()),,,,,(A D B C B ，甲),(B ，乙），（B ，D ），（C ，甲）()(),,,,C C D 乙，（甲，乙），（甲，D ），（乙，D ）},共15个样本点.设事件M =“甲､乙两人至少一人被选上”，则{(M A =，甲),(A ，乙),(B ，甲),(B ，乙），(C ，甲),(C ，乙），（甲，乙），（甲，),(D 乙，)}D ，共有9个样本点.所以()()()3Ω5n M P M n ==.（ii ）设第四组､第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为45,x x ，方差分别为2245,s s ，则224545537,43,,12x x s s ====，设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z ，方差为2s .则4542396x x z +==，()(){}222224455142106s s x z s x z ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦，因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，据此，可估计这m 人中年䍅在3545 岁的所有人的年龄方差约为10.21.如图1，已知平面四边形BCMN 是矩形，//AD BC ，(0)BC kAB k =>，将四边形ADMN 沿AD 翻折，使平面ADMN ⊥平面BCDA ，再将ABC 沿着对角线AC 翻折，得到1AB C V ，设顶点1B 在平面ABCD 上的投影为O .图1图2图3（1）如图2，当2k =时，若点1B 在MN 上，且1DM =，1AB >，证明：1AB ⊥平面1B CD ，并求AB的长度.（2）如图3，当3k =O 恰好落在ACD 的内部（不包括边界），求二面角1B AC D --的余弦值的取值范围.【答案】（1）证明见解析，2（2）10,.3⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由面面垂直的判定定理得到CD ⊥平面1AB D ，从而有1AB CD ⊥，又11AB CB ⊥1AB ⊥平面1B CD 得证；设AB x =，由11ANB B MD 可求出1B D ，在1Rt B CD △中，根据勾股定理解出AB 的长度；（2）作BF AC ⊥，交AC 于E ，交AD 于F ，当点O 恰好落在ACD 的内部(不包括边界)，点O 恰好在线段EF 上，1B EF ∠为二面角1B AC D --的平面角，由此能求出二面角1B AC D --的余弦值的取值范围.【小问1详解】点1B 在平面ABCD 上的射影为O 且点1B 在MN 上，∴点O 恰好落在边AD 上，∴平面1AB D ⊥平面ACD ，又CD AD ⊥，平面1AB D ⋂平面ACD AD=∴CD ⊥平面1AB D ，又1AB ⊂平面1AB D ，1AB CD ∴⊥，又11AB CB ⊥ ，1CD CB C = ，CD ⊂平面1B CD ，1CB ⊂平面1B CD ,1AB ∴⊥平面1B CD ，1B D ⊂平面1B CD ,11AB B D∴⊥设AB x =，BC AD ==，则1NB =，11AB B D ⊥ ，11B ANB MD ∴，111MD B D AB B N ∴=⋅=，在1Rt B CD △中，222)x +=,解得x =，AB ∴=.【小问2详解】作BF AC ⊥，交AC 于E ，交AD 于F，如图：当点O 恰好落在ACD 的内部(不包括边界)时，点O 恰好在线段EF 上，又1B E AC ⊥ ，EF AC ⊥，1B EF ∴∠为二面角1B AC D --的平面角,当k =AEF CEB V :V ,可得13EF EB =，且1B E EB =，111cos 0,3EO B EF B E ⎛⎫∴∠=∈ ⎪⎝⎭，故二面角1B AC D --的余弦值的取值范围为10,.3⎛⎫ ⎪⎝⎭22.如图，已知ABC ，3AC =，D 为边AC 上靠近A 点的三等分点.（1）若34BA BD ⋅= ，90DBC ∠=︒，求cos ABD ∠.（2）若直线BD 平分ABC ∠，求ABD △与CBD △内切圆半径之比的取值范围.【答案】（1）3cos 4ABD ∠=（2）3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据条件，利用向量的线性运算，得到2BD =，在ABD △中，令ABD α∠=，AB m =，根据余弦定理得，2cos α=，再结合条件即可求出结果；（2）根据角平线的性质得出2BC AB =，在ABC中，利用余弦定理和条件得出BD =等面积法得到112r R ⎛⎫=+ ⎝，再结果c 的范围即可求出结果.【小问1详解】由题意，1AD =，2CD =，所以()11312222BA BD DA BD CD BD BD BC BD BC =+=+=+-=- ，因为34BA BD ⋅= ，0BC BD ⋅= ，所以22313133222224BA BD BD BC BD BD BC BD BD ⎛⎫⋅=-⋅=-⋅== ⎪⎝⎭，故21||2BD = ，则2||2BD =，即2BD =，故22BC =，不妨记ABD α∠=，AB m =，则22222112cos 2m AB BD AD AB BD α+-+-==⋅，又3||||cos 4BA BD BA BD α⋅== ，所以2324m ⨯，解得m =3cos 4α==，所以3cos 4ABD ∠=.【小问2详解】设ABD △与CBD △内切圆的半径分别为r 与R ，因为直线BD 平分ABC ∠，所以由角平分线性质定理得12AB AD BC CD ==，记AB c =，则2BC c =，记ABC β∠=，则22222224959cos 2224AB BC AC c c c AB BC c c c β+-+--===⋅⨯⨯，因为()11213333BD BA AD BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+ ，所以2222222241441459||cos 42229999994c BD BA BC BA BC c c c c c c β-=++=+⨯+⨯⨯=- ，因为,AB BC AC BC AB AC +>-<，即23,23c c c c +>-<，则31c >>，所以||BD =BD =设顶点B 到AC 的距离为h ，因为112122ABD BCD AD h S S CD h ⋅==⋅ ，又()()11122ABD S AB BD AD r c r =++= ，()()112222BCD S BC BD CD R c R =++= ，112c r +=，则11122r R ⎛⎫== ⎝，令1t c =+，则1c t =-，24t <<，=，因为24t <<，所以11142t <<，则01<<，故112<+<，所以112<，即112<<，所以311142⎛⎫<+< ⎝，故314r R<<，所以ABD △与CBD △内切圆半径之比的取值范围为3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭.。

成都高2024级高一上学期10月月考数学（答案在最后）考试时间:120分钟试卷满分:150分考试范围：必修第一册第一章，第二章注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}1,3,7,9M =，{23,4,9}N =，，则M N = （）A.{3,9}B.{1,2,3}C.{1,2,4,7}D.{1,2,4,7,9}【答案】A 【解析】【分析】由交集概念即可求解.【详解】由{}1,3,7,9M =，{}2,3,4,9N =，可得：{3,9}M N = .故选：A2.已知集合A 满足{}0,1,2,3A ⊆，则满足条件的集合A 的个数为（）A.8B.10C.14D.16【答案】D 【解析】【分析】计算出集合{}0,1,2,3中元素个数，即可得其子集个数，即可得解.【详解】集合{}0,1,2,3中有4个元素，故集合{}0,1,2,3的子集有4216=个，即满足条件的集合A 的个数为16.故选：D .3.命题“2[1,3],320x x x ∀∈--+≤”的否定为（）A.2[1,3],320x x x ∃∈--+>B.2[1,3],320x x x ∀∉--+>C.2[1,3],320x x x ∀∈--+>D.[]21320,3,x x x ∃-+-∉>【答案】A 【解析】【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【详解】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“2[1,3],320x x x ∀∈--+≤”的否定为：2[1,3],320x x x ∃∈--+>．故选：A ．4.已知p ：02x <<，那么p 的一个充分不必要条件是（）A.13x <<B.11x -<< C.01x << D.03x <<【答案】C 【解析】【分析】判断出{}02x x <<的真子集，得到答案.【详解】因为{}01x x <<是{}02x x <<的真子集，故{}01x x <<是p 的一个充分不必要条件，C 正确；ABD 选项均不是{}02x x <<的真子集，均不合要求.故选：C 5.若{}31,2,a a ∈，则a 的所有可能的取值构成的集合为（）A.{}0B.{}0,1-C.{}0,2 D.{}0,1,2-【答案】D 【解析】【分析】讨论参数对应的元素，结合集合元素互异性确定参数取值集合即可.【详解】当1a =，则31a =，显然集合元素不满足互异性；当2a =，则38a =，此时集合为{}1,2,8，满足；当3a a =，即0a =或1a =-，（其中1a =舍），若0a =，此时集合为{}0,1,2，满足；若1a =-，此时集合为{}1,1,2-，满足；综上，a 的取值集合为{}0,1,2-.故选：D6.成都外国语学校秋季运动会即将举行，高一年级同学踊跃报名.其中高一（1）班共有28名学生报名参加比赛，有15人报名参加游泳比赛，有8人报名参加田径比赛，有14人报名参加球类比赛，同时报名参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时报名参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时报名参加三项比赛，只报名参加一项比赛的有（）人．A.3B.9C.19D.14【答案】C 【解析】【分析】设同时报名参加游泳比赛和球类比赛的有x 人，列方程求x ，然后只报名参加一项比赛的有：()2833x -++人.【详解】设同时报名参加游泳比赛和球类比赛的有x 人，则()158143328x ++-++=，解得：3x =.所以只报名参加一项比赛的有：()2833319-++=人.故选：C7.已知集合{}23260,01x A x x x B xx ⎧⎫+=+-≤=<⎨⎬-⎩⎭，则A B = （）A.{}21x x -≤< B.{}21x x -≤≤ C.332x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭D.332x x ⎧⎫-<<⎨⎩⎭【答案】C 【解析】【分析】先求集合A,B ，然后取并集即可.【详解】{}23|260=|2,2A x x x x x ⎧⎫=+-≤-≤≤⎨⎬⎩⎭{}3|0|31,1x B x x x x +⎧⎫=<=-<<⎨⎬-⎩⎭则3|32A B x x ⎧⎫⋃=-<≤⎨⎬⎩⎭故选：C8.若实数a 、b 满足0a >，0b >，412ab a b =++，则ab 的所有取值构成的集合是（）A.{}36x x ≥B.{}036x x <≤C.{}18x x ≥ D.{}018x x <≤【答案】A 【解析】【分析】利用基本（均值）不等式求ab 的取值范围.【详解】因为0a >，0b >，所以41212ab a b =++≥⇒12ab ≥+⇒120ab -≥.所以)620≥⇒6≥2≤-（舍去）.故36ab ≥，当且仅当412b a ==时等号成立.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错或不选得0分.9.下列命题为真命题的是（）A.若a b >，则22a b >B.若,a b c d >>，则a d b c ->-C.若a b >，则11a b<D.若0,0a b c d >>>>，则ac bd >【答案】BD 【解析】【分析】利用特值法判断AC ；由不等式的性质判断BD.【详解】若a b >，取0,1a b ==-，则22a b <，故A 错误；若,a b c d >>，则d c ->-，则a d b c ->-，故B 正确；若a b >，取1,1a b ==-，则11a b>，故C 错误；若0,0a b c d >>>>，由不等式的性质得ac bd >，故D 正确.故选：BD.10.已知不等式20ax bx c ++≥的解集是{}1|2x x -≤≤，则（）A.0b <B.0a b c ++>C.0c >D.0a b +=【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，得到1-和2是方程20ax bx c ++=的两个实数根，且0a <，结合韦达定理，可得判定A 正确，C 正确，D 正确，再令1x =，可得判定B 正确.【详解】由不等式20ax bx c ++≥的解集是{}1|2x x -≤≤，可得1x =-和2x =是方程20ax bx c ++=的两个实数根，且0a <，则1212b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，可得020b a c a =->⎧⎨=->⎩，所以A 错误，C 正确；由=-b a ，可得0a b +=，所以D 正确；又由{}1|12x x ∈-≤≤，令1x =，可得0a b c ++>，所以B 正确.故选：BCD.11.设集合A 为非空数集，若,x y A ∀∈，都有,,x y x y xy A +-∈，则称A 为封闭集．下列结论正确的有（）A.若集合A 为封闭集，则0A ∈B.集合{|2,Z}A n n k k ==∈为封闭集C.若集合A 、B 为封闭集，则A B 为封闭集D.集合{2,1,0,1,2}A =--为封闭集【答案】AB 【解析】【分析】根据封闭集的定义判断各项所描述集合是否满足即可.【详解】A ：若x y =时，有0x y A -=∈，对；B ：{|2,Z}A n n k k ==∈是偶数集合，而对于任意两个偶数，它们的和、差、积均为偶数，故为封闭集，对；C ：同B 分析易知{|2,Z}A n n k k ==∈，{|3,Z}B n n k k ==∈均为封闭集，而2,3A B ∈∈，但23A B +∉⋃，即A B 不是封闭集，错；D ：显然存在224A -⨯=-∉，故{2,1,0,1,2}A =--不为封闭集，错.故选：AB三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡上.12.已知集合{|1}A x x =>，{|}B x x a =>，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是______.【答案】(,1]-∞【解析】【分析】在数轴上画出两个集合对应的范围，利用A B ⊆可得实数a 的取值范围.【详解】如图，在数轴表示,A B ，因为A B ⊆，故1a ≤，填(],1-∞.【点睛】含参数的集合之间的包含关系，应借助于数轴、韦恩图等几何工具直观地讨论参数的取值范围，解决此类问题时，还应注意区间端点处的值是否可取.13.已知14,23x y x y -<-<<+<，则3x y +的取值范围是__________.【答案】()3,10【解析】【分析】先设出()()3x y m x y n x y +=++-，求出,m n ，再结合不等式的性质解出即可；【详解】设()()()()3x y m x y n x y m n x m n y +=++-=++-，所以31m n m n +=⎧⎨-=⎩，解得2,1m n ==，所以()()32x y x y x y +=++-，又23x y <+<，所以()426x y <+<，又14,x y -<-<所以上述两不等式相加可得()()3210x y x y <++-<，即3310x y <+<，所以3x y +的取值范围是()3,10，故答案为：()3,10.14.已知323a b c >>且213223ma b b c a c+≥---恒成立，则实数m 的最大值是_________．【答案】1+【解析】【分析】不等式变形为21()()3223m a c a b b c≤-+--，利用基本不等式求得右侧的最小值即可得结论．【详解】∵323a b c >>，∴0a c ->，320a b ->，230b c ->，213223m a b b c a c +≥---21()()3223m a c a b b c⇔≤-+--，21121121()()(33)()(3223)()32233322333223a c a c a b b c a b b c a b b c a b b c -+=-+=-+-+------1322(23)[3]32332a b b c b c a b --=++--1(33≥+，当且仅当322(23)2332a b b c b c a b--=--时等号成立，所以3133m +≤=+，即m 的最大值是13+．故答案为：13+．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合{}2280A x x x =+-≥，{}26B x a x a =-≤<.（1）当3a =时，求()R A B ð；（2）若A B =∅ ，求a 的取值范围.【答案】（1）{0x x <或}2x ≥（2）(][)1,26,+∞ 【解析】【分析】（1）算出A ，B 即可计算出R C B ；（2）分B 是否为空集计算即可.【小问1详解】由题意可得{}24A x x x =≥≤-或，当3a =时，{}03B x x =≤<，则R }C {|03B x x x =<≥或，故R (C ){|02}B x x A x ⋃=<≥或.【小问2详解】当B =∅时，26a a -≥，解得6a ≥，此时A B =∅ ，符合题意，当B ≠∅时，由A B =∅ ，可得26,2,264,a a a a -<⎧⎪≤⎨⎪->-⎩解得12a <≤，综上，a 的取值范围为(][)1,26,+∞ .16.已知p ：2280x x +-≤，q ：()22210x m x m m -+++≤.（1）若q 是p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围；（2）若q 是p 的既不充分也不必要条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）41m -≤≤（2）1m >或4m <-【解析】【分析】（1）解不等式化简命题,p q ，由充分不必要条件列出不等式求解；（2）根据命题,p q 的关系，可得对应集合互不包含，列出不等式求解.【小问1详解】由2280x x +-≤，可得42x -≤≤，则p ：42x -≤≤，又由()22210x m x m m -+++≤，可得1m x m +≤≤，则q ：1m x m +≤≤，若q 是p 的充分不必要条件，可得[],1m m +是[]4,2-的真子集，有412m m ≥-⎧⎨+≤⎩，解可得41m -≤≤；【小问2详解】若q 是p 的既不充分也不必要条件，则[],1m m +和[]4,2-互不包含，可得12m +>或4m <-，解得1m >或4m <-.17.如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制的矩形菜园，设菜园的长为m x ，宽为m y．（1）若菜园面积为272m ，则x ，y 为何值时，可使所用篱笆总长最小；（2）若使用的篱笆总长度为30m ，求12x y+的最小值．【答案】（1）12,6x y ==（2）310．【解析】【分析】（1）由已知得72xy =，篱笆总长为(2)m x y +，利用基本不等式即可求出最小值；（2）根据条件得230x y +=，然后令12(2)x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，展开化简，利用基本不等式即可求出最小值.【小问1详解】由已知可得72xy =，篱笆总长为(2)m x y +．又因为224x y +≥=，当且仅当2x y =，即12,6x y ==时等号成立．所以当12,6x y ==时，可使所用篱笆总长最小．【小问2详解】由已知得230x y +=，又因为1222(2)5y x x y x y x y ⎛⎫++=++⎪⎝⎭59≥+=，所以12310x y +≥，当且仅当x y =，即10,10x y ==时等号成立．所以12x y +的最小值是310．18.设26y mx mx m =--+.（1）解关于x 的不等式()5y m x m <--∈R ；（2）若对于任意13x ≤≤，0y <恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若对于任意22m -≤≤，0y <恒成立，求实数x 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）6,7∞⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）()1,2-.【解析】【分析】（1）就m 的不同的取值范围分类讨论后可得不等式的解集；（2）利用参变分离结合二次函数的性质可求参数的取值范围；（3）构建关于m 的一次函数，根据其单调性可得关于x 的不等式，从而可求x 的范围.【小问1详解】由265mx mx m m x --+<--，化简得()2110mx m x +--<，即()()110mx x +-<，当0m =时，10x -<，解得<1.当>0时，不等式()()110mx x +-<解得11x m-<<，当10m -<<时，不等式()()110mx x +-<解得<1或1x m>-，当1m =-时，不等式()()110mx x +-<解得<1或>1，当1m <-时，对于不等式()()110mx x +-<，解得>1或1x m<-，综上所述：当1m <-时，关于x 的不等式解为()1,1,m ∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭；当1m =-时，关于x 的不等式解为()(),11,∞∞-⋃+；当10m -<<时，关于x 的不等式解为()1,1,m ∞∞⎛⎫-⋃-+ ⎪⎝⎭；当0m =时，关于x 的不等式解为(),1∞-；当>0时，关于x 的不等式解为1,1m ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【小问2详解】要使()()22616f x mx mx m m x x =--+=-+-在[]1,3上恒成立，即()216m x x -+<，[]1,3x ∈，因为当[]1,3x ∈时，[]211,7x x -+∈，所以有261m x x <-+在[]1,3上恒成立，当[]1,3x ∈时，令()22666171324g x x x x ==≥-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即()min 67g x =，所以261m x x <-+在[]1,3上恒成立，则()min m g x <，即67m <，故实数m 的取值范围为6,7∞⎛⎫- ⎪⎝⎭.【小问3详解】设()()()22616f x g m mx mx m m x x ==--+=-+-则()g m 是关于m 的一次函数，且一次项系数为22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以()g m 在[]22-,上单调递增，所以()0g m <等价于()()222160g x x =-+-<，解得12x -<<，故实数x 的取值范围为()1,2-.19.对{}()12,,,2k A a a a k =≥L ，定义集合{}*,i j i j i j A a a a a A a a =-∈>且，称其为集合A 的“间距集”．用X 表示有限集合X 的元素个数．（1）已知{}()1,,,717A a b a b =<<<，*6A =，求满足要求的整数,a b 的值并说明理由.（2）若4,A A =⊆N ，写出*A 的所有可能值，并写出每个值对应的一个集合A .不需要证明.（3）若,,A n A n =⊆N 为大于等于2的正整数，求*A 的最大值和最小值（用含n 的表达式给出），每个最值给出至少一个取等时的集合A ．【答案】（1）2a =，5b =或3a =，6b =（2）答案见解析（3）最大(1)2n n -，最小1n -【解析】【分析】（1）根据A 的元素的特征结合*6A =可得{}*1,2,3,4,5,6A =，再分类讨论后可得A ；（2）根据4A =可得*36A ≤≤，结合（1）的实例可得每一个*A 对应的一个集合；（3）根据A n =可得()*112n n n A --≤≤，最值对应的A 可根据指数形式或一次形式构造.【小问1详解】由*A 的定义可得*A 中的元素均为正数，而{}()1,,,7A a b a b =<，由于a 、b 为正整数，*A 的元素均为正整数，最大的元素为716-=，而*6A =，则{}*1,2,3,4,5,6A =，由*5A ∈则75a -=或15b -=，75a -=时，2a =，此时5b =，{}1,2,5,7A =，满足题意；15b -=时，6b =，此时3a =，{}1,3,6,7A =，满足题意；2a =，5b =或3a =，6b =；【小问2详解】因为4A =，故可设{}1234,,,A a a a a =，其中1234a a a a <<<，因为213141a a a a a a -<-<-，故*3A ≥，而A 中任意两个元素差的绝对值有6个，故*6A ≤，若*6A =，可取{}1,2,5,7A =；若*5A =，可取{}1,2,3,6A =；若*4A =，可取{}1,2,3,5A =；若*3A =，可取{}1,2,3,4A =.【小问3详解】当A 中的差两两不同时，*A 有最大值为(1)12(1)2n n n -+++-=，取{2|1,2,,}i A i n == ，下证()*12n n A -=.证明：取*A 中的两个差为112222,22i j i j --，其中()()1122,,i j i j ≠，不妨设12j j ≥，若11222222i j i j -=-，则有()()111222221221j i j j i j ---=-即()12112222121j j i j i j ----=-，若12j j =，则1222i i =即12i i =，与()()1122,,i j i j ≠矛盾若12j j >，则122j j -为偶数，而112221,21i j i j ----均为奇数，矛盾；综上可得当()()1122,,i j i j ≠时，11222222i j i j -≠-，即*A 中的任意两个差都是相异的，故()*12n n A -=.设{}1212),(,,n n A a a a a a a =<<< ，则*1,2,,1,n i a a A i n -∈∀=- 成立，且其两两不同，于是*1A n ≥-，故*A 的最小值为1n -，取{|1,2,,}A i i n == ，{}*|1,2,,1A i i n ==- ，此时*1A n =-.【点睛】思路点睛：对于与集合有关的组合最值问题，首先探究一般范围，再根据集合的特征构造相应的集合从而求得最值.。

2021学年黑龙江省大庆市某校高二（上）10月月考数学试卷（文科）一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分．）1. 下列语句不是命题的有（ ）①x 2−3＝0；②与一条直线相交的两直线平行吗？③3+1＝5；④5x −3>6． A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④2. 命题“若A ∪B ＝A ，则A ∩B ＝B ”的否命题是（ ） A.若A ∪B ≠A ，则A ∩B ≠B B.若A ∩B ＝B ，则A ∪B ＝A C.若A ∩B ≠A ，则A ∪B ≠B D.若A ∪B ＝B ，则A ∩B ＝A3. 双曲线x 2−3y 2＝9的焦距为（ ） A.√6 B.2√6 C.2√3 D.4√34. 设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C.丙是甲的充要条件D.丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件5. 命题“设a 、b 、c ∈R ，若ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个6. 已知椭圆x 25+y 2m=1的离心率e =√105，则m 的值为（ ） A.3 B.253或 3C.√5D.5√153或√157. 下列命题中的假命题是( ) A.∀x ∈R ，2x−1>0 B.∀x ∈N ∗，(x −1)2>0 C.∃x ∈R ，lg x <1 D.∃x ∈R ，tan x =28. 如果椭圆x 236+y 29=1的弦被点(2, 2)平分，那么这条弦所在的直线的方程是（ ） A.x +4y ＝0 B.x +4y −10＝0 C.x +4y −6＝0D.x −4y −10＝09. 设f(x)=x 2−4x(x ∈R)，则f(x)>0的一个必要而不充分的条件是( ) A.x <0 B.x <0或x >4 C.|x −1|>1 D.|x −2|>310. 下列命题中正确的是（ ）A.若命题p:∃x ∈R ，x 3−x 2+1<0，则命题￢p:∀x ∈R ，x 3−x 2+1>0B.“a ＝1”是“直线x −ay ＝0与直线x +ay ＝0互相垂直”的充要条件C.若x ≠0，则x +1x ≥2D.函数f(x)=2sin (2x +π6)图象的一条对称轴是x =π611. 存在实数x ，使不等式sin x +cos x >m 成立，则实数m 的取值范围是（ ） A.(−√2,+∞) B.(√2,+∞) C.(−∞,−√2) D.(−∞,√2)12. 已知椭圆x 28+y 22=1上一点A(2, 1)和该椭圆上两动点B 、C ，直线AB 、AC 的斜率分别为k 1、k 2，且k 1+k 2＝0，则直线BC 的斜率k( ) A.k >12或k <−12B.k =−12C.k =12D.k 的值不确定二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）已知p:3<m <5，q ：方程x 2m−2+y 2m−5=1表示双曲线，则p 是q 的________条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）已知双曲线过点(2√3,2)，且渐近线方程为y =±√22x ，则该双曲线的标准方程为________．在平面直角坐标系中，点(2m +3−m 2,2m−32−m)在第四象限的充要条件是________<3或−1<m <32 ．设F 1，F 2分别是椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|BF 1|，若cos ∠AF 2B =35，则椭圆E 的离心率为________√22．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）将命题“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题，同时判断它们的真假．椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为2√13．一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7:3，求椭圆和双曲线的方程．已知p ：实数x 满足(x −a)(x −3a)<0，其中a >0；q ：实数x 满足x−3x−2≤0．（1）若a ＝1，且p ，q 均正确，求实数x 的取值范围；（2）若￢p 是￢q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．已知椭圆E 的焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为 √32． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）直线l:y =12x +m 与椭圆E 相交于A ，B 两点，且弦AB 中点横坐标为1，求m 值．已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c, 0)，(0, b)的直线的距离为12c ．(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x +2)2+(y −1)2=52的一条直径，若椭圆E 经过A 、B 两点，求椭圆E的方程．设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，左顶点到直线x+2y−2＝0的距离为4√55．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线l与椭圆C相交于A、B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点O，试探究：点O到直线AB的距离是否为定值？若是，求出这个定值；否则，请说明理由；(Ⅲ)在（2）的条件下，试求△AOB面积S的最小值．参考答案与试题解析2021学年黑龙江省大庆市某校高二（上）10月月考数学试卷（文科）一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分．）1.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】命题①和命题④无法判断其真假，命题②为疑问句，所以只有③为命题．【解答】①x2−3＝0，无法判断真假，故①不是命题；②由命题的概念知，命题不能是疑问句，故②不是命题；③3+1＝5，这个语句不成立，因为这个语句能判断真假，故③是命题；④5x−3>6，无法判断真假，故④不是命题．2.【答案】A【考点】四种命题的定义【解析】对所给命题的条件和结论分别否定，即：A∪B≠A和A∩B≠B，作为否命题的条件和结论．【解答】“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题：“若A∪B≠A则A∩B≠B”3.【答案】D【考点】双曲线的离心率【解析】化双曲线的方程为标准方程，求得a，b，c，可得焦距2c．【解答】双曲线x2−3y2＝9的标准方程为x29−y23=1，可得a＝3，b=√3，c=√9+3=2√3，则双曲线的焦距为2c＝4√3，4.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】搞清楚甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，结合选项作答．【解答】解：∵甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，即甲⇐乙⇐丙，且乙⇏丙，∴甲⇐丙，∴丙是甲的充分条件.又∵甲⇏丙，∴丙不是甲的必要条件．综上所述，丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件.故选A.5.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断命题的真假判断与应用四种命题的真假关系不等式的概念与应用【解析】先看原命题，∵若ac2>bc2，则c≠0，∴a>b，由于等价命题同真同假，只要判断原命题和逆命题即可．【解答】解：原命题：，∵若ac2>bc2，则c≠0，∴a>b，成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为真；逆命题：若a>b，则ac2>bc2，不正确，∵a>b，∴关键是c是否为0，∴逆命题为假，由等价命题同真同假知否命题也为假，∴命题“设a、b、c∈R，若ac2>bc2，则a>b”的逆命题、否命题、逆否命题中有1个真命题．故选B6.【答案】B【考点】椭圆的离心率【解析】当m>5时，a2＝m，b2＝5，c2＝m−5，e2=c2a2⇒m当0<m<5时，a2＝5，b2＝m，c2＝5−m，e2=c2a2⇒m；【解答】当m>5时，a2＝m，b2＝5，c2＝m−5，e2=c2a2=25⇒m=253；当0<m<5时，a2＝5，b2＝m，c2＝5−m，e2=c2a2=25⇒m＝3；B【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据指数函数的值域，得到A项正确；根据一个自然数的平方大于或等于0，得到B项不正确；根据对数的定义与运算，得到C项正确；根据正弦函数y＝tan x的值域，得D 项正确．由此可得本题的答案．【解答】解：∵指数函数y=2t的值域为(0, +∞)，∴任意x∈R，均可得到2x−1>0成立，故A项正确；∵当x∈N∗时，x−1∈N，可得(x−1)2≥0，当且仅当x=1时取等号，∴任意x∈N∗，使(x−1)2>0不成立，故B项不正确；∵当x=1时，lg x=0<1，∴存在x∈R，使得lg x<1成立，故C项正确；∵正切函数y=tan x的值域为R，∴存在锐角x，使得tan x=2成立，故D项正确.综上所述，只有B项是假命题.故选B.8.【答案】B【考点】直线与椭圆结合的最值问题【解析】设这条弦与椭圆x 236+y29=1交于A(x1, y1)，B(x2, y2)，由中点坐标公式知x1+x2＝4，y1+y2＝4，把A(x1, y1)，B(x2, y2)代入x2+4y2＝36，得{x12+4y12=36x22+4y22=36，4(x1−x2)+16(y1−y2)＝0，k=y1−y2x1−x2=−14，由此能求出这条弦所在的直线的方程．【解答】设这条弦与椭圆x 236+y29=1交于A(x1, y1)，B(x2, y2)，由中点坐标公式知x1+x2＝4，y1+y2＝4，把A(x1, y1)，B(x2, y2)代入x2+4y2＝36，得{x12+4y12=36x22+4y22=36，①-②，得4(x1−x2)+16(y1−y2)＝0，∴k=y1−y2x1−x2=−14，∴这条弦所在的直线的方程y−2=−14(x−2)，即x+4y−10＝0．C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】利用不等式的解法、充要条件的判定方法即可得出．【解答】解：由f(x)=x2−4x>0，解得x>4或x<0，所以x<0是f(x)>0的充分不必要条件，故A错误；x>4或x<0是f(x)>0的充要条件，故B错误；由|x−1|>1，解得x<0或x>2，则x<0或x>2是f(x)>0的必要不充分条件，故C正确；由|x−2|>3，解得x<−1或x>5，则x<−1或x>5是f(x)>0的充分不必要条件，故D错误.所以f(x)>0的一个必要而不充分的条件是|x−1|>1.故选C.10.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】直接写出特称命题的否定判断A；由充分必要条件的判定方法判断B；利用基本不等式求出x≠0时，x+1x 的范围判断C；把x=π6代入函数解析式求得f(π6)＝2说明D正确．【解答】若命题p:∃x∈R，x3−x2+1<0，则命题￢p:∀x∈R，x3−x2+1≥0，故A错误；由a＝1，可得直线x−ay＝0与直线x+ay＝0互相垂直，反之，直线x−ay＝0与直线x+ay＝0互相垂直，得a＝±1，∴“a＝1”是“直线x−ay＝0与直线x+ay＝0互相垂直”的充分不必要条件，故B错误；若x≠0，则x+1x ≥2或x+1x≤−2，故C错误；∵f(π6)=2sin(2×π6+π6)=2，∴函数f(x)=2sin(2x+π6)图象的一条对称轴是x=π6，故D正确．11.【答案】D【考点】三角函数的最值【解析】将左边看成关于x的函数，然后求其最大值，要使原不等式有解，只需m小于左边的最大值即可．【解答】令t ＝sin x +cos x ，x ∈R ， 则t =√2sin (x +π4)，易知−√2≤√2sin (t +π4)≤√2；要使sin x +cos x >m 有解，只需m <√2即可； 所以m 的取值范围是(−∞, √2)． 12.【答案】 C【考点】 椭圆的离心率 【解析】 由点A(2, 1)在椭圆x 28+y 22=1上，直线AB 、AC 的斜率分别为k 1、k 2，且k 1+k 2＝0，联立方程，求出B ，C 点的坐标，代入斜率公式，可得答案． 【解答】∵ 点A(2, 1)在椭圆x 28+y 22=1上，直线AB 、AC 的斜率分别为k 1、k 2，且k 1+k 2＝0，∴ 设直线AB 的方程为：y −1＝k 1(x −2)，直线AC 的方程为：y −1＝k 2(x −2)＝−k 1(x −2)，即直线AB 的方程为：y ＝k 1(x −2)+1，直线AC 的方程为：y ＝−k 1(x −2)+1， 将y ＝k 1(x −2)+1，代入x 28+y 22=1得：(4k 12+1)x 2−(16k 12−8k 1)x +16k 12−8k 1+4=0，由A 的横坐标为2，结合韦达定理可得B 点的横坐标为：16k 12−8k 14k 12+1−2=8k 12−8k 1−24k 12+1，则B 点的纵坐标为−4k 12−4k 1+14k 12+1，即B 点坐标为：(8k 12−8k 1−24k 12+1, −4k 12−4k 1+14k 12+1)，同理可得：C 点的坐标为：(8k 12+8k 1−24k 12+1, −4k 12+4k 1+14k 12+1)故BC 的斜率k =−4k 12+4k 1+14k 12+1−−4k 12−4k 1+14k 12+18k 12+8k 1−24k 12+1−8k 12−8k 1−24k 12+1=12，二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 【答案】充分不必要 【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】结合双曲线的方程，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【解答】若方程x 2m−2+y 2m−5=1表示双曲线， 则(m −2)(m −5)<0，解得2<m <5， 即q:2<m <5， ∵ p:3<m <5，∴ p 是q 的充分不必要， 【答案】 x 24−y 22=1 【考点】双曲线的离心率 【解析】由题意可设双曲线的方程为y 2−12x 2＝m(m ≠0)，代入点(2√3, 2)，解方程可得所求双曲线的标准方程． 【解答】渐近线方程为y =±√22x ，可设双曲线的方程为y 2−12x 2＝m(m ≠0)，代入点(2√3, 2)，可得m ＝4−12×12＝−2， 则双曲线的方程为y 2−12x 2＝−2，即x 24−y 22=1，【答案】 2<m 【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】根据题意，分析可得{2m +3−m 2>02m−32−m<0，解可得m 的取值范围，反之验证即可得答案．【解答】根据题意，若点(2m +3−m 2,2m−32−m )在第四象限，则有{2m +3−m 2>02m−32−m<0 ，解可得：2<m <3或−1<m <32，反之，当2<m <3或−1<m <32时，有{2m +3−m 2>02m−32−m<0成立，则点(2m +3−m 2,2m−32−m)在第四象限，故点(2m +3−m 2,2m−32−m)在第四象限的充要条件是2<m <3或−1<m <32，【答案】√22．【考点】椭圆的离心率【解析】设|F1B|＝k(k>0)，则|AF1|＝3k，|AB|＝4k，由cos∠AF2B=35，利用余弦定理，可得a＝3k，从而△AF1F2是等腰直角三角形，即可求椭圆E的离心率．【解答】设|F1B|＝k(k>0)，则|AF1|＝3k，|AB|＝4k，∴|AF2|＝2a−3k，|BF2|＝2a−k．∵cos∠AF2B=35，在△ABF2中，由余弦定理得，|AB|2＝|AF2|2+|BF2|2−2|AF2|⋅|BF2|cos∠AF2B，∴(4k)2＝(2a−3k)2+(2a−k)2−65(2a−3k)(2a−k)，化简可得(a+k)(a−3k)＝0，而a+k>0，故a＝3k，∴|AF2|＝|AF1|＝3k，|BF2|＝5k，∴|BF2|2＝|AF2|2+|AB|2，∴AF1⊥AF2，∴△AF1F2是等腰直角三角形，∴c=√22a，∴椭圆的离心率e=ca =√22，三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）【答案】“若p，则q”的形式：若一个四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形．（真命题）逆命题：若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等．（真命题）否命题：若一个四边形的一组对边不平行或不相等，则这个四边形不是平行四边形．（真命题）逆否命题：若一个四边形不是平行四边形，则这个四边形的一组对边不平行或不相等．（真命题）【考点】命题的真假判断与应用【解析】按照四种命题的形式，写出命题，然后判断真假即可．【解答】“若p，则q”的形式：若一个四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形．（真命题）逆命题：若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等．（真命题）否命题：若一个四边形的一组对边不平行或不相等，则这个四边形不是平行四边形．（真命题）逆否命题：若一个四边形不是平行四边形，则这个四边形的一组对边不平行或不相等．（真命题）【答案】①焦点在x轴上，椭圆方程为x2a2+y2b2=1，c=√13设双曲线为x 2m2−y2n2=1，m＝a−4，∵ee =73，易得a＝7，m＝3∵椭圆和双曲线的焦距为2 √13，∴b2＝36，n2＝4．∴椭圆方程为x249+y236=1，双曲线方程为x29−y24=1②焦点在y轴上，椭圆方程为y249+x236=1，双曲线方程为y29−x24=1【考点】椭圆的应用直线与椭圆的位置关系【解析】首先根据焦点分别在x轴、y轴上进行分类，不妨先设焦点在x轴上的椭圆、双曲线的标准方程，然后根据题意与椭圆、双曲线的性质列方程组，再解方程组求得焦点在x轴上的椭圆、双曲线的标准方程，最后把焦点在y轴上的椭圆、双曲线的标准方程补充上即可．【解答】①焦点在x轴上，椭圆方程为x2a2+y2b2=1，c=√13设双曲线为x 2m2−y2n2=1，m＝a−4，∵ee =73，易得a＝7，m＝3∵椭圆和双曲线的焦距为2 √13，∴b2＝36，n2＝4．∴椭圆方程为x249+y236=1，双曲线方程为x29−y24=1②焦点在y轴上，椭圆方程为y249+x236=1，双曲线方程为y29−x24=1【答案】当a＝1，(x−1)(x−3)<0，解得1<x<3，由x−3x−2≤0解得2<x≤3，∵p，q均正确，∴2<x<3，故实数x的取值范围为(2, 3)，∵￢p是￢q的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件，∵ p 为a <x <3a ， ∴ {a ≤23a >3，解得1<a ≤2，故实数a 的取值范围(1, 2]．【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】（1）利用绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法即可化简命题p ，q ，命题p 与q 都为真命题，即可得出．（2）求出￢p 是￢q 的充分不必要条件得到q 是p 的充分不必要条件，即可解出． 【解答】当a ＝1，(x −1)(x −3)<0，解得1<x <3， 由x−3x−2≤0解得2<x ≤3，∵ p ，q 均正确， ∴ 2<x <3，故实数x 的取值范围为(2, 3)， ∵ ￢p 是￢q 的充分不必要条件， ∴ q 是p 的充分不必要条件， ∵ p 为a <x <3a ， ∴ {a ≤23a >3，解得1<a ≤2，故实数a 的取值范围(1, 2]． 【答案】椭圆E 的焦点在x 轴上，设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)， 短轴长为2，离心率为√32，可得{2b =2ca =√32a 2=b 2+c 2，解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆方程为x 24+y 2=1；由{y =12x +mx 24+y 2=1 ，得x 2+2mx +2(m 2−1)＝0，△＝(2m)2−8(m 2−1)>0，得m 2<2， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2＝−2m ，∴ −2m ＝2，得m ＝−1，符合题意． 【考点】直线与椭圆的位置关系 椭圆的应用 【解析】（1）设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，由b ＝1，结合离心率公式和a ，b ，c 的关系，解得a ，b ，可得椭圆方程；（2）联立直线l 的方程和椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，解方程可得m 的值． 【解答】椭圆E 的焦点在x 轴上，设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，短轴长为2，离心率为√32，可得{2b =2ca =√32a 2=b 2+c 2，解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆方程为x 24+y 2=1；由{y =12x +mx 24+y 2=1，得x 2+2mx +2(m 2−1)＝0，△＝(2m)2−8(m 2−1)>0，得m 2<2， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2＝−2m ，∴ −2m ＝2，得m ＝−1，符合题意． 【答案】解：(1)经过点(0, b)和(c, 0)的直线方程为bx +cy −bc =0， 则原点到直线的距离为： d =√b 2+c 2=12c ，即为a =2b .e =c a=√1−b 2a2=√32； (2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2，① 由题意可得圆心M(−2, 1)是线段AB 的中点， 则|AB|=√10，易知AB 与x 轴不垂直，记其方程为y =k(x +2)+1，代入①可得(1+4k 2)x 2+8k(1+2k)x +4(1+2k)2−4b 2=0， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 则x 1+x 2=−8k(1+2k)1+4k 2，x 1x 2=4(1+2k)2−4b 21+4k 2，由x 1+x 2=−4，得−8k(1+2k)1+4k 2=−4，解得k =12，从而x 1x 2=8−2b 2，于是|AB|=√1+(12)2⋅|x 1−x 2|=√52⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√10(b 2−2)=√10，解得b 2=3， 则有椭圆E 的方程为x 212+y 23=1．【考点】直线与椭圆结合的最值问题 曲线与方程【解析】（1）求出经过点(0, b)和(c, 0)的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；（2）由（1）知，椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2，①设出直线AB 的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b 2=3，即可得到椭圆方程．【解答】解：(1)经过点(0, b)和(c, 0)的直线方程为bx +cy −bc =0， 则原点到直线的距离为： d =√b 2+c 2=12c ，即为a =2b .e =c a=√1−b 2a 2=√32； (2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2，① 由题意可得圆心M(−2, 1)是线段AB 的中点， 则|AB|=√10，易知AB 与x 轴不垂直，记其方程为y =k(x +2)+1，代入①可得(1+4k 2)x 2+8k(1+2k)x +4(1+2k)2−4b 2=0， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 则x 1+x 2=−8k(1+2k)1+4k 2，x 1x 2=4(1+2k)2−4b 21+4k 2，由x 1+x 2=−4，得−8k(1+2k)1+4k 2=−4，解得k =12，从而x 1x 2=8−2b 2，于是|AB|=√1+(12)2⋅|x 1−x 2|=√52⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√10(b 2−2)=√10，解得b 2=3， 则有椭圆E 的方程为x 212+y 23=1．【答案】（本小题满分1 （1）由已知，√5=√5⇒a ＝2因为e =ca =√32⇒c =√3⇒b 2=a 2−c 2=1故所求椭圆的方程为x 24+y 2=1（2）法一：设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，①当直线l 的斜率不存在时，由椭圆对称性知x 1＝x 2，y 1＝−y 2，因为以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，故OA →⋅OB →=0⇒x 1x 2+y 1y 2＝0，即x 12−y 12＝又因为点A(x 1, y 1)在椭圆上，故x 124+y 12＝1，解得|x 1|＝|y 1|=2√55， 此时点O 到直线AB 的距离为d =2√55⋯ ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为l:y ＝kx +m ．联立{y =kx +m x 2+4y 2=4得：(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−4＝0所以x 1+x 2=−8km1+4k 2，x 1x 2=4m 2−41+4k 2，由已知，以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，则OA →⋅OB →=0⇒x 1x 2+y 1y 2＝0， 且y 1y 2＝(kx 1+m)(kx 2+m)＝k 2x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2故(1+k 2)x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2＝0⇒(1+k 2)4m 2−41+4k 2+mk −8km1+4k 2+m 2=0 化简得5m 2＝4(1+k 2)， 故点O 到直线AB 的距离为d =√1+k2=2√55综上，点O 到直线AB 的距离为定值2√55⋯ 法二：（若设直线方程为l:x ＝my +c ，也要对直线斜率为0进行讨论）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，①当直线l 的斜率为0时，由椭圆对称性知x 1＝−x 2，y 1＝y 2，因为以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，故OA →⋅OB →=0⇒x 1x 2+y 1y 2=0，即−x 12+y 12＝0又因为点A(x 1, y 1)在椭圆上，故x 124+y 12＝1，解得|x 1|＝|y 1|=2√55， 此时点O 到直线AB 的距离为d =2√55⋯ ②当直线l 的斜率不为0，或斜率不存在时，设其方程为l:x ＝my +c ．联立{x =my +c x 2+4y 2=4 得：(m 2+4)y 2+2cmy +c 2−4＝0 所以y 1+y 2=−2cm m 2+4,y 1y 2=c 2−4m 2+4，故OA →⋅OB →=0⇒x 1x 2+y 1y 2＝y 1y 2+(my 1+c)(my 2+c) ＝(1+m 2)y 1y 2+mc(y 1+y 2)+c 2＝0⇒(1+m 2)c 2−4m 2+4−2c 2m 2m 2+4+c 2=0化简得5c 2＝4(1+m 2)，故点O 到直线AB 的距离为d =√1+m2=2√55综上，点O 到直线AB 的距离为定值2√55⋯ (Ⅲ)法一：当直线OA 、直线OB 中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，易知S ＝1；当直线OA 、直线OB 斜率存在且不为0时，设直线OA 的斜率为k ，则直线OB 的斜率为−1k，由{y =kx x 2+4y 2=4 得{x 12=41+4k 2y 12=4k 21+4k 2 ，同理{x 22=4k2k 2+4y 22=4k 2+4⋯⋯ 故S △AOB =12|OA|⋅OB|=12√1+k 2|x 1|⋅√1+1k 2|x 2|=2√(1+k 2)2(1+4k 2)(k 2+4) 令1+k 2＝t(t >1)，则S ＝2√t 24t 2+9t−9=2√1−9t 2+9t+4=2√1−9(1t −12)2+254故45≤S <1综上，△AOB面积S的最小值为45．法二：由(Ⅱ)，①当直线l的斜率不存在时，S=12⋅4√55⋅2√55=45，②当直线l的斜率存在时，5m2＝4(1+k2)，且点O到直线AB的距离为d=2√55，|AB|=√1+k2⋅√(x1+x2)2−4x1x2=√1+k2⋅√(−8km1+4k2)2−4(4m2−4)1+4k2＝4√1+k2⋅√4k2+1−m2(1+4k2)2＝4√1+k2⋅√16k2+15(1+4k2)2故S=12|AB|⋅d=45√(k2+1)(16k2+1)(1+4k2)2，令1+4k2＝t(t≥1)，则S=25√4t2+9t−9t2=25√−9t2+9t+4=25√−9(1t−12)2+254，因为0<1t ≤1，故45≤S≤1．综上，△AOB面积S的最小值为45．【考点】椭圆的标准方程椭圆的离心率圆锥曲线的综合问题椭圆的应用直线与椭圆的位置关系【解析】(Ⅰ)利用距离公式求出a，离心率求出c，得到b后即可求出椭圆方程．(Ⅱ)法一：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，①当直线l的斜率不存在时，求解点O到直线AB的距离．②当直线l的斜率存在时，设其方程为l:y＝kx+m．联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合数量积，求出m，k关系式，然后求解距离即可．法二：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，①当直线l的斜率为0时，求解点O到直线AB的距离，②当直线l的斜率不为0，或斜率不存在时，设其方程为l:x＝my+c．联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及数量积，求解距离即可．(Ⅲ)法一：当直线OA、直线OB中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，易知S＝1；当直线OA、直线OB斜率存在且不为0时，设直线OA的斜率为k，则直线OB的斜率为−1k，利用平方差法以及弦长公式表示三角形的面积，利用基本不等式求出最值．法二：由(Ⅱ)，①当直线l的斜率不存在时，求出面积；②当直线l的斜率存在时，求出写出以及点到直线的距离，得到面积的表达式，利用二次函数的性质求解面积的最值．【解答】（本小题满分1 （1）由已知，√5=√5⇒a ＝2因为e =c a=√32⇒c =√3⇒b 2=a 2−c 2=1故所求椭圆的方程为x 24+y 2=1（2）法一：设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，①当直线l 的斜率不存在时，由椭圆对称性知x 1＝x 2，y 1＝−y 2，因为以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，故OA →⋅OB →=0⇒x 1x 2+y 1y 2＝0，即x 12−y 12＝又因为点A(x 1, y 1)在椭圆上，故x 124+y 12＝1，解得|x 1|＝|y 1|=2√55， 此时点O 到直线AB 的距离为d =2√55⋯ ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为l:y ＝kx +m ． 联立{y =kx +mx 2+4y 2=4 得：(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−4＝0 所以x 1+x 2=−8km 1+4k2，x 1x 2=4m 2−41+4k 2，由已知，以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，则OA →⋅OB →=0⇒x 1x 2+y 1y 2＝0， 且y 1y 2＝(kx 1+m)(kx 2+m)＝k 2x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2 故(1+k 2)x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2＝0⇒(1+k 2)4m 2−41+4k 2+mk−8km 1+4k 2+m 2=0化简得5m 2＝4(1+k 2)， 故点O 到直线AB 的距离为d =√1+k 2=2√55综上，点O 到直线AB 的距离为定值2√55⋯ 法二：（若设直线方程为l:x ＝my +c ，也要对直线斜率为0进行讨论）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，①当直线l 的斜率为0时，由椭圆对称性知x 1＝−x 2，y 1＝y 2，因为以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，故OA →⋅OB →=0⇒x 1x 2+y 1y 2=0，即−x 12+y 12＝0又因为点A(x 1, y 1)在椭圆上，故x 124+y 12＝1，解得|x 1|＝|y 1|=2√55， 此时点O 到直线AB 的距离为d =2√55⋯ ②当直线l 的斜率不为0，或斜率不存在时，设其方程为l:x ＝my +c ．联立{x =my +c x 2+4y 2=4 得：(m 2+4)y 2+2cmy +c 2−4＝0 所以y 1+y 2=−2cmm 2+4,y 1y 2=c 2−4m 2+4，故OA →⋅OB →=0⇒x 1x 2+y 1y 2＝y 1y 2+(my 1+c)(my 2+c)＝(1+m2)y1y2+mc(y1+y2)+c2＝0⇒(1+m2)c2−4m2+4−2c2m2m2+4+c2=0化简得5c2＝4(1+m2)，故点O到直线AB的距离为d=√1+m2=2√55综上，点O到直线AB的距离为定值2√55⋯(Ⅲ)法一：当直线OA、直线OB中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，易知S＝1；当直线OA、直线OB斜率存在且不为0时，设直线OA的斜率为k，则直线OB的斜率为−1k，由{y=kxx2+4y2=4得{x12=41+4k2y12=4k21+4k2，同理{x22=4k2k2+4y22=4k2+4⋯⋯故S△AOB=12|OA|⋅OB|=12√1+k2|x1|⋅√1+1k2|x2|=2√(1+k2)2(1+4k2)(k2+4)令1+k2＝t(t>1)，则S＝2√t24t2+9t−9=2√1−9t2+9t+4=2√1−9(1t−12)2+254故45≤S<1综上，△AOB面积S的最小值为45．法二：由(Ⅱ)，①当直线l的斜率不存在时，S=12⋅4√55⋅2√55=45，②当直线l的斜率存在时，5m2＝4(1+k2)，且点O到直线AB的距离为d=2√55，|AB|=√1+k2⋅√(x1+x2)2−4x1x2=√1+k2⋅√(−8km1+4k2)2−4(4m2−4)1+4k2＝4√1+k2⋅√4k2+1−m2(1+4k2)2＝4√1+k2⋅√16k2+15(1+4k2)2故S=12|AB|⋅d=45√(k2+1)(16k2+1)(1+4k2)2，令1+4k2＝t(t≥1)，则S=25√4t2+9t−9t2=25√−9t2+9t+4=25√−9(1t−12)2+254，因为0<1t ≤1，故45≤S≤1．综上，△AOB面积S的最小值为45．。

高2023届10月月考文科数学（答案在最后）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.31ii +=+（）A.2i -B.2i+ C.12i+ D.12i-【答案】A 【解析】【分析】由复数的除法运算即可求得答案.【详解】3(3)(1)1(1)(1)i i i i i i ++-=++-4222ii -==-，故选：A【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题.2.已知集合{|12}U x x =-<≤，{|B y y ==，则U B =ð（）A.(1,0)-B.[1,0)- C.(1,0]- D.[1,0]-【答案】A 【解析】【分析】先求出集合B ，再进行补集运算即可求解.【详解】因为2044x ≤-≤，所以02≤≤，所以{}|02B y y =≤≤，因为{|12}U x x =-<≤，所以U B =ð()1,0-，故选：A.3.sin1230︒=（）A.12-B.12C. D.32【答案】B 【解析】【分析】根据题意利用诱导公式运算求解.【详解】由题意可得：()()1sin1230sin 3603150sin150sin 18030sin302︒=︒⨯+︒=︒=︒-︒=︒=．故选：B.4.已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α等于（）A.513B.－513C.512D.－512【答案】B 【解析】【分析】根据同角三角函数平方关系式以及三角函数值在各象限的符号即可解出．【详解】由条件知α是第四象限角，所以sin 0α<，即sin α＝＝＝513-.故选：B ．【点睛】本题主要考查同角三角函数平方关系式以及三角函数值在各象限的符号的应用，属于容易题．5.已知角α终边所在直线的斜率为2-，则2sin 2cos cos 2ααα-=（）A.5-B.5C.53-D.53【答案】D 【解析】【分析】先求出tan 2α=-，再根据二次齐次式化简代入即可求解.【详解】由三角函数定义得tan 2α=-，所以22222sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15cos 2cos sin 1tan 3αααααααααα---===--．故选：D6.已知πsin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.13-B.13C.3-D.3【答案】A 【解析】【分析】以π6α+为整体，结合倍角公式可得πcos 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用诱导公式运算求解.【详解】因为22πππ1cos 2=cos212sin 1236633ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2πππ1cos 2cos π2cos 23333ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：A.7.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a=A.0 B.1C.2D.3【答案】D 【解析】【详解】D试题分析：根据导数的几何意义，即f′（x 0）表示曲线f （x ）在x=x 0处的切线斜率，再代入计算．解：，∴y′（0）=a ﹣1=2，∴a=3．故答案选D ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．8.若21sin2512sin αα+=-，则tan α=（）A.23-B.32-C.23D.32【答案】C 【解析】【分析】通过“1”的替换，齐次化，然后得到关于tan α的方程，解方程即可【详解】22221sin 2(cos sin )cos sin 1tan 512sin cos sin cos sin 1tan αααααααααααα++++====----,解得2tan 3α=故选：C9.要得到函数2cos2y x x =+的图象，只需将函数2sin 2y x =的图象A.向左平移6π个单位 B.向右平移6π个单位C.向左平移12π个单位 D.向右平移12π个单位【答案】C 【解析】【详解】函数y=sin2x +cos2x=2sin （2x +）=2sin2（x +），故把函数y=2sin2x 的图象向左平移个单位，可得函数y=sin2x +cos2x 的图象，故选C ．10.在ABC 中，下列等式错误的是（）A.()()22sin sin sin sin sin sin B A B A B A -=+-B.()()22sin sin sin sin B A B A B A -=+-C.tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=D.sinsin 22A B C+=【答案】D 【解析】【分析】对A ：由平方差公式分析判断；对B 、C 、D ：根据三角恒等变换结合三角形中角的关系分析判断.【详解】对于选项A ：由平方差公式可知()()22sin sin sin sin sin sin B A B A B A -=+-，故A 正确；对于选项B ：221cos21cos2sin sin 22B AB A ---=-()()()()cos cos cos2cos222A B A B A B A B A B ⎡⎤⎡⎤++--+---⎣⎦⎣⎦==()()()()sin sin sin sin A B A B B A B A =-+-=+-，故B 正确；对于选项C ：因为()tan tan tan tan 1tan tan A BA B C A B++==--，即tan tan tan tan tan tan A B C A B C +=-+，所以tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故C 正确；对于选项D ：因为π222A B C ++=，则π222A B C +=-所以πsinsin cos 2222A B C B C ++⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故D 错误；故选：D.11.已知函数()cos f x x =，,32x π⎛⎫∈π⎪⎝⎭，若方程()f x m =有三个不同的实数根，且三个根从小到大依次成等比数列，则实数m 的值可能是（）A.12-B.12C.2-D.2【答案】A 【解析】【分析】根据等比中项以及余弦函数的对称性列式求得a ，进而可得结果.【详解】如图，设方程()f x m =的三个不同的实数根从小到大依次为a ，b ，c则22π4πb ac a b b c ⎧=⎪+=⎨⎪+=⎩，解得2π34π38π3a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以()2π2π1cos 332m f a f ⎛⎫====- ⎪⎝⎭.故选：A.12.ABC 中,,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知22222,c b a =-22sin 1cos22A BC +=+,则()sin B A -的值为()A.12B.4C.23D.45【答案】B 【解析】【分析】先化简22sin1cos22A BC +=+,再对22222c b a =-进行边化角.【详解】因为22sin1cos 22A B C +=+,所以21cos()212cos 12A B C -+⨯=+-.所以21cos 2cos C C +=,即22cos cos 10C C --=即(cos 1)(2cos 1)0C C -+=所以cos 1C =(舍)或1cos 2C =-,所以23C π=因为22222c b a =-.所以222sin 2sin 2sin 1cos 2(1cos 2)C B A B A =-=---.cos 2cos 2cos[()()]cos[()()]A B A B A B A B A B =-=++--+--2sin()sin()2sin sin()A B A B C B A =-+-=-所以1sin()sin 24B AC -==.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在[]0,π上的单调递减区间为______.【答案】511 ,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】令3222232k x k πππππ+≤-≤+()k ∈Z 解不等式，再结合范围即可.【详解】令3222232k x k πππππ+≤-≤+()k ∈Z ，解得5111212k x k ππππ+≤≤+()k ∈Z ，令0k =得5111212x ππ≤≤，所以函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,π上的单调递增区间为511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.14.过点（2,0）且与曲线y ＝1x相切的直线的方程为________【答案】20x y +-=.【解析】【详解】试题分析：设切点为()0000220000111,2y x y y y x x x x -∴==-'∴-=- ，所以切点为()1,1，由点()2,0可知直线方程为20x y +-=考点：1．直线方程；2．导数的几何意义15.中国古代数学经典《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥为鳖臑,若三棱锥-P ABC 为鳖臑,且PA ⊥平面ABC ,3AB BC ==,又该鳖臑的外接球的表面积为34π,则该鳖臑的体积为__________．【答案】6【解析】【分析】补形成长方体即可获解【详解】设外接球的半径为R ,则2434R ππ=,所以2434R =.将鳖臑补成长方体,则鳖臑的外接球直径为长方体对角线.即222243334R PA =++=,得4PA =,所以11334632V =⨯⨯⨯⨯=.故答案为：616.函数()410,12()x f x a a a a=->≠+是定义在R 上的奇函数，且当(]0,1x ∈时，()22xt f x ⋅≥-恒成立，则实数t 的取值范围为________．【答案】[)0,∞+【解析】【分析】先根据奇函数求得2a =，令21x u =-，参变分离整理得21t u u≥-+，根据恒成立问题结合函数单调性运算求解.【详解】因为()f x 是定义在(),-∞+∞上的奇函数，所以()40102f a =-=+，得2a =，当2a =，则()111422211222221x x x x x f x +++--=-==+++，可得()()21221112x xx x f x f x ----===-++-，所以2a =符合题意.当(]0,1x ∈时，212221x x x t -⋅≥-+恒成立，设21x u =-，则(]0,1u ∈，21x u =+，可得12u t u u ⋅≥-+，整理得()()212221u u u u t u u u u -++-≥==-+，因为函数21y u u=-+在(]0,1上单调递增，当1u =时，函数21y u u=-+取到最大值0，则0t ≥，所以实数t 的取值范围为[)0,∞+.故答案为：[)0,∞+.三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.为了了解学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小长方形面积之比为2:4:17:15:9:3，第二小组频数为12.（1）学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？（2）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（3）若次数在110以上（含110次）为良好，试估计该学校全体高一学生的良好率是多少？【答案】（1）中位数落在第四小组内；（2）0.08,150；（3）88%【解析】【分析】（1）根据中位数落在的位置，刚好把频率分布直方图分成左右面积相等两部分，计算前三组与前四组的频率和即可得答案；（2）根据各个小矩形的面积之比，求出第二组的频率，再根据所给的频数，求出样本容量．（3）根据频率分布直方图求出次数在110以上的频数，用频数除以样本容量得到达标率，进而估计全体学生的达标率．【详解】（1）由题意得：前三组频率和为241723150502++=<，前四组频率之和为24171538150502+++=>，∴中位数落在第四小组内；（2）由题意第二小组的频率为：40.0824171593=+++++，又 频率=第二小组频数样本容量，∴样本容量121500.08===频数频率;（3）次数在110以上（含110次）为良好，∴良好的学生数为24150()1501325050-+⨯=，由此可估计该学校全体高一学生的良好率约为：13288%150=．18.在长方体1111ABCD A B C D -中，12AAAD ==，E 是棱CD 上的一点．（1）求证：1AD ⊥平面11A B D ；（2）求证：11B E AD ⊥；（3）若E 是棱CD 的中点，在棱1AA 上是否存在点P ，使得//DP 平面1B AE ？若存在，求出线段AP 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）在棱1AA 上存在点P ，使得//DP 平面1B AE ，此时线段AP 的长1.【解析】【分析】（1）由11A B ⊥平面11A D DA ，可得111A B AD ⊥，在矩形11A D DA 中，可证得11AD A D ⊥，根据线面垂直的判定定理即可证得1AD ⊥平面11A B D ；（2）由（1）可知，AD ⊥平面11A B CD ，根据线面垂直的性质可得11B E AD ⊥；（3）假设点P 是棱1AA 的中点时，有//DP 平面1B AE ，在1AB 上取中点M ，连接PM ，ME ，根据线面平行的性质定理可得四边形PMED 是平行四边形，所以//DP ME ，再根据线面平行的判定定理可得//DP 平面1B AE .【详解】（1）证明：在长方体1111ABCD A B C D -中，因为11A B ⊥平面11A D DA ，1AD ⊂平面11A D DA ，所以111A B AD ⊥．在矩形11A D DA 中，因为12AA AD ==，所以11AD A D ⊥，因为1111A D A B A = ，所以1AD ⊥平面11A B D ．（2）证明：因为E CD ∈，所以1B E ⊂平面11A B CD ，由（1）可知，AD ⊥平面11A B CD ，所以11B E AD ⊥．（3）解：当点P 是棱1AA 的中点时，有//DP 平面1B AE ．理由如下：在1AB 上取中点M ，连接PM ，ME ，因为P 是棱1AA 的中点，M 是1AB 的中点，所以11//PM A B ，且1112PM A B =，又11//DE A B ，且1112DE A B =，所以//PM DE ，且PM DE =，所以四边形PMED 是平行四边形，所以//DP ME ．又DP ⊄平面1B AE ，ME ⊂平面1B AE ，所以//DP 平面1B AE ，此时1112AP A A ==．19.已知数列{}n a 中，121,2a a ==，()*11322,n n n a a a n n N+-=-≥∈.设1n n n b a a +=-（1）证明：数列{}n b 是等比数列；（2）设2(41)2n n n b c n =-，求数列{}n c 的前n 项和n S .【答案】（1）证明见解析；（2）42n S n n =+.【解析】【分析】（1）由1n n n b a a +=-递推得到121n n n b a a +++=-,欲证{}n b 是等比数列，只需利用等比数列的定义证明1n nb b +为常数即可；（2）由（1）的结论求出数列{}n b 通项公式，进而求出数列{}nc 的通项公式，再利用裂项相消法即可求出数列{}n c 的前n 项和n S .【详解】（1）证明：因为()*11322,n n n a a a n n N +-=-≥∈,1n n n b a a +=-所以1n n b b +=211n n n n a a a a +++--=11132n n n n n a a a a a +++---=112()n n n na a a a ++--=2，又121b a a =-,所以数列{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知11122n n n b --=⨯=，2(41)2n n n b c n =- 1111=2(21)(21)42121n c n n n n ⎛⎫∴=- ⎪-+-+⎝⎭12311111111=+14335572121n n S c c c c n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11=142142n n S n n ⎛⎫∴-= ⎪++⎝⎭20.已知函数()x f x ae x =-，()f x '是()f x 的导数.（1）讨论不等式()()10f x x '->的解集；（2）当0m >且1a =时，若()22f x e <-在[],x m m ∈-恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）02m <<.【解析】【分析】（1）计算得'()(1)(1)(1)x f x x ae x -=--，其有一个零点1，因此可对a 分类讨论研究另一个零点（如有）与1的大小关系，得出不等式的解集.（2）先求()f x 在[,]m m -上的最大值，由导数知识知最大值是()f m 和()f m -中的较大者，因此可比较两者大小（通过作差得()()2m m f m f m e e m ---=--，再构造新函数利用导数研究单调性可得最大值为()f m ），也可分类，由()x f x e x =-的单调性得02m <<时有()(2)f m f <，再由()(2)(2)f m f f -<-<得出最终结论.【详解】（1）()'1x f x ae =-，所以()()()()'1110x f x x ae x -=-->，当0a ≤时，不等式的解集为{}|1x x <；当10a e <<时，1ln 1a >，不等式的解集为{1x x <或1ln x a ⎫>⎬⎭；当1a e =时，1ln =1a ，不等式的解集为{}|1x x ≠；当1a e >时，1ln 1a<，不等式的解集为{1ln x x a <或}1x >；（2）法一：当1a =时，由()'1=0x f x e =-得0x =，当[],0x m ∈-时，()0f x '≤，()f x 单调递减，当[]0,x m ∈时，()0f x '≥，()f x 单调递增；()max f x 是()()f m f m -、的较大者.()()2m m f m f m e e m ---=--，令()2x x g x e e x -=--，()'220x x g x e e -=+-≥-=，所以()g x 是增函数，所以当0m >时，()()00g m g >=，所以()()f m f m >-，所以()()max =m f x f m e m =-.()22f x e <-恒成立等价于()2max 2m f x e m e =-<-，由()f x 单调递增以及()222f e =-，得02m <<；法二：当1a =时，由()'1=0x f x e =-得0x =，当[],0x m ∈-时，()0f x '≤，()f x 单调递减，当[]0,x m ∈时，()0f x '≥，()f x 单调递增；()max f x 是()()f m f m -、的较大者.由()22m f m e m e =-<-，由()f x 单调递增以及()222f e =-，得02m <<.当02m <<时，20m -<-<，因为当0x <时，()f x 单调递减，所以()()22222f m f ee --<-=+<-，综上m 的范围是02m <<.【点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性和值域，解决不等式的恒成立的问题，属于较难题.21.已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左、右有顶点分别是A 、B ,上顶点是D ,圆O :221x y +=的圆心O 到直线BD的距离是5,且椭圆的右焦点与抛物线2y =的焦点重合．（1）求椭圆C 的方程;（2）平行于x 轴的动直线与椭圆和圆在第一象限内的交点分别为P 、Q ,直线AP 、BP 与y 轴的交点记为M ,N ．试判断MQN ∠是否为定值,若是,证明你的结论．若不是,举反例说明．【答案】（1）2214x y +=（2）MQN ∠是定值为90【解析】【分析】(1)写出BD 的方程,利用点到直线的距离和抛物线的焦点坐标进行求解;(2)设出直线方程,联立直线和椭圆的方程,得到关于x 的一元二次方程,利用根与系数的关系、点在圆上及平面向量的数量积公式进行求解.【小问1详解】BD 方程：bx ay ab+=得2225c a b c ⎧==⎨⎪=+⎪⎪⎩,解得2241a b ⎧=⎨=⎩所以椭圆C 的方程为2214x y +=【小问2详解】设直线:(2)AP y k x =+,则(0,2)M k 联立2214(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,得()()222241164410k x k x k +++-=所以()22441241k x k --=+,即()222284,24141P P P k k x y k x k k -==+=++所以222284,4141⎛⎫- ⎪++⎝⎭k k P k k 22241412824241P BP P k y k k k x k k +===----+所以BP 方程为1(2)4y x k =--,则10,2N k ⎛⎫ ⎪⎝⎭设()00,Q x y ,则22001x y +=且02414P ky y k ==+所以()00001,2,2QM QN x k y x y k ⎛⎫⋅=--⋅-- ⎪⎝⎭()2220000001122122x k y y x y k y k k ⎛⎫⎛⎫=+--=+-++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭2202414142202214k k k y k k k++=-=-=+所以QM QN ⊥ .所以MQN ∠是定值为90︒【点睛】关键点点睛：本题,PA PB 斜率之积为定值.二选一：22.[选修4—4：坐标系与参数方程]已知曲线1C 的参数方程为23x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩(ϕ为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin(14πρθ-=．（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）射线OM ：()2πθααπ=<<与曲线1C 交于点M ，射线ON ：4πθα=-与曲线2C 交于点N ，求2211OM ON +的取值范围．【答案】（1）1C 的极坐标方程为222cos 26ρθρ+=，2C 的直角方程为20x y -=；（2）13()32，.【解析】【分析】(1)利用三种方程的互化方法求出曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程即可；（2）设点M 和点N 的极坐标分别为()1,ρα，2,4πρα⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中2παπ<<，可得2OM ，2ON 的值，代入2211OM ON +可得其取值范围.【详解】解：（1）由曲线1C 的参数方程23x cos y sin ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩(ϕ为参数)得：2222cos sin 123ϕϕ+=+=，即曲线1C 的普通方程为22123x y +=又cos ,sin x y ρθρθ==，曲线1C 的极坐标方程为22223cos 2sin 6ρθρθ+=，即222cos 26ρθρ+=曲线2C的极坐标方程可化为sin cos ρθρθ-=故曲线2C的直角方程为0x y -+=（2）由已知，设点M 和点N 的极坐标分别为()1,ρα，2,4πρα⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中2παπ<<则22126cos 2OM ρα==+，2222211cos sin 2ON ρπαα===⎛⎫- ⎪⎝⎭于是2222211cos 27cos 2cos 66OM ON ααα+++=+=由2παπ<<，得1cos 0α-<<故2211OM ON +的取值范围是1332，⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查简单曲线的极坐标方程、参数方程化为普通方程及极坐标方程的简单应用，需熟练掌握三种方程的互化方法.23.已知函数()11f x x x =+--.（1）求不等式()1f x ≤的解集；（2）若1a ≥-，1b ≥-，2a b +=.【答案】（1）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）【解析】【分析】（1）利用分类讨论思想，分1x ≤-、11x -<<、1x ≥，将问题转化为一次不等式进行求解；（2）利用柯西不等式进行求解.【小问1详解】当1x ≤-时，原不等式等价于111x x ---+≤，即03≤成立，所以1x ≤-；当11x -<<时，原不等式等价于111x x +-+≤，解得12x ≤，又11x -<<，所以112x -<≤；当1x ≥时，原不等式等价于111x x ++-≤，即21≤不成立，解得x ∈∅；综上所述，不等式()1f x ≤的解集为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；【小问2详解】由柯西不等式得()()214220a b ≤+++=，≤当且仅当=15a =-且115b =时等号成立，。

武汉2024～2025学年上学期高二10月月考数学试卷（答案在最后）考试时间：2024年10月10日试卷满分：150分注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将答题卡上交.一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1.已知A ，B ，C ，D ，E 是空间中的五个点，其中点A ，B ，C 不共线，则“存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+ 是“//DE 平面ABC ”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用存在实数x ，y ，使得DE xAB y AC =+⇔uuu r uu u r uuu r//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC ，结合充分必要条件的定义即可求解.【详解】若//DE 平面ABC ，则,,DE AB AC uuu r uu u r uuu r 共面，故存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+，所以必要性成立；若存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+，则,,DE AB AC uuu r uu u r uuu r 共面，则//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC ，所以充分性不成立；所以“存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+是“//DE 平面ABC ”的必要不充分条件，故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量共面的问题，理清存在实数x ，y ，使得DE xAB y AC =+⇔uuu r uu u r uuu r//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC 是解题的关键，属于基础题.2.若图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别是k 1，k 2，k 3，则有（）A.k 1<k 2<k 3B.k 3<k 1<k 2C.k 3<k 2<k 1D.k 2<k 3<k 1【答案】D 【解析】【分析】根据图像可知10k >，20k <，30k <，再由3l 与2l 倾斜角的大小得到32k k >，进而得到结果.【详解】由图可知10k >，20k <，30k <，且直线3l 的倾斜角大于直线2l 的倾斜角，所以32k k >.综上可知231k k k <<.故选:D.3.李华家养了白、灰、黑三种颜色的小兔各1只，从兔窝中每次摸取1只，有放回地摸取3次，则3次摸取的颜色不全相同的概率为（）A.19B.89C.13D.23【答案】B 【解析】【分析】由题意可知：每次摸到白、灰、黑三种颜色的概率均为13，根据独立事件概率乘法公式结合对立事件运算求解.【详解】由题意可知：每次摸到白、灰、黑三种颜色的概率均为13，记“3次摸取的颜色不全相同”为事件A ，则()311339P A ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，所以()()819P A P A =-=.故选：B.4.已知直线l 的方向向量为(1,2,2)n =-，(3,0,1)A 为直线l 上一点，若点(4,3,0)P 为直线l 外一点，则P 到直线l 上任意一点Q 的距离的最小值为（）A.2B.C.D.1【答案】C 【解析】【分析】根据点到直线距离的空间向量公式求出答案.【详解】()()()3,0,14,3,01,3,1PA =-=--，()()31,2,216291,,1P n A ⋅=-=------⋅=，3P nA n =⋅=- ，点P 到直线l=则P 到直线l上任意一点Q .故选：C5.下列命题：①若向量,a b 满足0a b ⋅<，则向量,a b 的夹角是钝角；②若,,OA OB OC 是空间的一组基底，且232OD OA OB OC =-+，则,,,A B C D 四点共面；③若向量{},,a b c 是空间的一个基底，若向量m a c =+ ，则{},,a b m 也是空间的一个基底；④若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =，平面α的法向量为(2,0,2)n =- ，则直线l 与平面α所成角的余弦值为55；⑤已知向量(9,8,5)a =-- ，(2,1,1)b = ，则向量a在向量b 上的投影向量是1055,,666⎛⎫ ⎪⎝⎭；其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据向量夹角、空间点共面、基底、线面角、投影向量等知识进行分析，从而确定正确答案.【详解】①，若向量,a b满足0a b ⋅<，可能向量,a b的夹角是π，所以①错误.②，对于232OD OA OB OC =-+，由于2321-+=，所以,,,A B C D 四点共面，所以②正确.③，设(),,1m xa yb a c xa yb c x a yb =++=+=-+ ，则,,a b c共面，这与已知向量{},,a b c 是空间的一个基底矛盾，所以{},,a b m也是空间的一个基底，所以③正确.④，设直线l 与平面α所成角为θ，π02θ≤≤，则sin 5e n e n θ⋅===⋅，cos 5θ==，所以④错误.⑤，向量a在向量b上的投影向量是2,1,11055,,666a b b bb⋅⎛⎫⋅== ⎪⎝⎭，所以⑤正确.所以一共有3个正确.故选：C6.已知某运动员每次射击击中目标的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：75270293714098570347437386366947761042811417469803716233261680456011366195977424根据以上数据估计该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为（）A.0.852B.0.8192C.0.8D.0.75【答案】D 【解析】【分析】由题设模拟数据确定击中目标至少3次的随机数组，应用古典概型的概率求法求概率.【详解】在20组随机数中含{}2,3,4,5,6,7,8,9中的数至少3个（含3个或4个），共有15组，即模拟结果中射击4次至少击中3次的频率为150.7520=.据此估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率为0.75.故选：D.7.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为A.116B.316C.14D.1316【答案】D 【解析】【详解】由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，后下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种情况的事件都是相互独立的，所以灯泡不亮的概率为111111111322222222216111222⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⨯，所以灯泡亮的概率为31311616-=，故选D ．8.将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，则下列结论不正确的是（）A.AC BD⊥ B.ACD 是等边三角形C.点B 与平面ACD 的距离为3D.AB 与CD 所成的角为60︒【答案】C 【解析】【分析】设BD 的中点为O ，证明BD ⊥平面AOC ，再根据线面垂直的性质即可判断A ；根据直二面角可得AO OC ⊥，利用勾股定理求出AC 即可判断B ；以点O 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到面的距离即可判断C ；利用向量法求线线夹角即可判断D.【详解】对于选项A ：设BD 的中点为O ，则,OA BD OC BD ⊥⊥，且OA OC O = ，,OA OC ⊂平面AOC ，可得BD ⊥平面AOC ，又因为AC ⊂平面AOC ，所以AC BD ⊥，故A 正确；对于选项B ：由A 的分析知AOC ∠即为二面角A BD C --的平面角，故=90AOC ︒∠，即AO OC ⊥，可知12OA OC OB OD ====，则2AC AD CD ===，所以ACD 是等边三角形，故B 正确；对于选项CD ：以点O 为原点，,,OB OC OA 分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，则11110,0,,,0,0,0,,0,,0,02222A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可得111111,0,,,,0,,0,222222AB DC DA ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设平面ACD 的法向量为(),,n x y z = ，则1102211022n DC x y n DA x z ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，令1x =，则1y z ==-，可得()1,1,1n =--，所以点B 与平面ACD的距离33AB n d n ⋅===，故C 错误；又因为21cos ,222AB CD AB CD AB CD ⋅-===-⨯，且AB 与CD 所成的角取值范围为π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，可知AB 与CD 所成的角的余弦值为12，所以AB 与CD 所成的角为π3，故D 正确.故选：C.【点睛】方法点睛：1．利用空间向量求空间角的一般步骤（1）建立恰当的空间直角坐标系．（2）求出相关点的坐标，写出相关向量的坐标．（3）结合公式进行论证、计算．（4）转化为几何结论．2．利用空间向量求点到平面距离的方法如图，设A 为平面α内的一点，B 为平面α外的一点，n为平面α的法向量，则B 到平面α的距离n AB d n⋅=.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个随机事件，则()()()P A B P A P B =+ ；③若事件A ，B 满足1()3P A =，3()4P B =，1()4P AB =，则A ，B 相互独立；④若事件A ，B 满足()()1P A P B +=，则A 与B 是对立事件．其中错误的命题是（）A.①B.②C.③D.④【答案】BD 【解析】【分析】利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义及概率的基本性质依次判断4个命题作答.【详解】对于①：对立事件一定是互斥事件，①正确；对于②：若A ，B 为两个随机事件，则()()()()P A B P A P B P A B =+- ，②错误；对于③：由()()()113434P AB P A P B ==⨯=，得A ，B 相互独立，③正确；对于④：记事件A 为抛一枚硬币正面朝上，事件B 为掷一枚骰子出现偶数点，则()0.5P A =，()0.5P B =，满足()()1P A P B +=，显然事件A 与B 可以同时发生，它们不是对立事件，④错误.故选：BD10.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BB BC ===，E ，F ，N 分别为AC ，1CC 和BC 的中点，D 为棱11A B 上的一动点，且11BF A B ⊥，则下列说法正确的是（）A.BF DE⊥B.三棱锥F DEN -的体积为定值C.13FD AA ⋅= D.异面直线1AC 与1B N 所成角的余弦值为155【答案】ABD 【解析】【分析】根据图形特点取11A C 的中点为M ，以E 为原点，,,EC EB EM 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的线线关系计算可判断A,C,D 选项；利用线面关系及三棱锥体积即可判断B 选项.【详解】解：直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BB BC ===，E ，F ，N 分别为AC ，1CC 和BC 的中点，取11A C 的中点为M ，由于2AB BC ==，所以EB AC ⊥，如图以E 为原点，,,EC EB EM 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设AC 2a =,EB b =，则222AB AE EB =+，所以224a b +=则()()()()11,0,2,0,,2,0,,0,,0,1A a B b B b F a -，又11BF A B ⊥，所以()()2211,,1,,000BF A B a b a b a b ⋅=-⋅=-+=，所以a b ==对于A，()()())()112,2,0,,,0,0,0A B B FE，设)[]111,0,0,1A D A B λλ==∈ ，则)))112,0,,2DE A E A D =-=--=--，所以)),,222220BF DE λλ⋅=⋅-=-+-= ，则BF DE ⊥，故A 正确；对于B ，因为E ，N 分别为AC ，BC 的中点，所以//EN AB ，又11//AB A B ，则11//EN A B 又11A B ⊄平面EFN ，EF ⊂平面EFN ，所以11//A B 平面EFN ，故D 到平面EFN 的距离d 为定值，所以三棱锥F DEN -的体积13F DEN D EFN EFN V V S d --==⋅ 为定值，故B 正确；对于C ，由A选项得)())11,01,1FD A D A F =-=--=-，()10,0,2AA =，所以)()1,10,0,22FD AA ⋅=-⋅= ，故C 不正确；对于D，由于),,,022C N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以()112,222A C B N ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以111111cos ,5A C B N A C B N A C B N ⋅==⋅，故异面直线1AC 与1B N所成角的余弦值为5，故D 正确.故选：ABD.11.如图，四边形ABCD 是边长为5的正方形，半圆面APD ⊥平面ABCD ，点P 为半圆弧 AD 上一动点（点P 与点A ，D 不重合），下列说法正确的是（）A.三棱锥P ABD -的四个面都是直角三角形B.三棱锥P ABD -的体积最大值为1254C.当30PAD ∠=︒时，异面直线PA 与BD 夹角的余弦值为4D.当直线PB 与平面ABCD 所成角最大时，平面PAB 截四棱锥P ABCD -外接球的截面面积为4【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，使用空间中直线、平面垂直有关定理证明；对于B ，三棱锥P ABD -底面积固定，当高最大时，体积最大，可通过计算进行判断；对于C ，找到与PA 和BD 所成异面直线夹角，再由余弦定理代入计算，即可判断；对于D ，首先利用空间向量解决PB 与平面ABCD 所成角最大时点P 的位置，再用PAB 的外接圆解决平面PAB 的截面圆面积的计算即可.【详解】对于A ， 四边形ABCD 为正方形，BAD ∴ 为直角三角形；AD 为直径，P 为半圆弧 AD 上一动点，PA PD ∴⊥，APD △为直角三角形；平面APD ⊥平面ABCD ，平面APD 平面ABCD AD =，AB ⊂平面ABCD ，AB AD ⊥，AB ∴⊥平面APD ，PA ⊂ 平面APD ，AB PA ∴⊥，PAB 为直角三角形；AB ⊥Q 平面APD ，PD ⊂平面APD ，AB PD ∴⊥，又PA PD ⊥ ，AB PA A = ，AB ⊂平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，PD ∴⊥平面PAB ，PB ⊂ 平面PAB ，PD PB ∴⊥，BPD △为直角三角形；因此，三棱锥P ABD -的四个面都是直角三角形，故A 正确；对于B ，过点P 在平面APD 内作PE AD ⊥于点E ，平面APD ⊥平面ABCD ，平面APD 平面ABCD AD =，PE ⊂平面APD ，PE ∴⊥平面ABCD ，PE 为三棱锥P ABD -的高，∴三棱锥P ABD -的体积13P ABD ABD V S PE-=⋅△ABD 的面积1255522ABD S =⨯⨯=△为定值，∴当PE 最大时，三棱锥P ABD -的体积最大，此时点P 为半圆弧 AD 的中点，1522PE AD ==，∴三棱锥P ABD-体积的最大值为1255125 32212⨯⨯=，故B错误；取PD中点H，AB中点F，AD中点G，连接,,,HG HF FG AH，则//HG PA，//GF BD，所以异面直线PA与BD的夹角为HGF∠或其补角，且122GF BD==，又30PAD∠=︒，则353cos30522PA AD=⋅︒=⨯=，52PD=，则1153532224HG PA==⨯=，又5134AH==，则4HF==，在HGF△中，由余弦定理可得2227520042515016161616cos24424HG GF HFHGFHG GF+--+-∠==-⋅，则异面直线PA与BD夹角的余弦值为4，故C正确；对于D，由B选项解析知，PE⊥平面ABCD，EB为PB在平面ABCD内的射影，PBE∴∠为直线PB与平面ABCD所成角，当直线PB与平面ABCD所成角最大时，cos PBE∠取最小值，以D 为原点，建立空间直角坐标系如图，设DE a =，(0,5)a ∈，PE h =，则5AE a=-∴在直角三角形APD 内，2PE AE ED =⋅，即2(5)h a a =-，(,0,0)E a ∴，(,0,)P a h ，(5,5,0)B ，(5,5,)BP a h =-- ，(5,5,0)BE a =--，2cos cos ,BP BEPBE BP BE BP BE -+⋅∠========(0,5)a ∈ ，100a ∴->.≥∴当且仅当1010510a a -=-，即10a =-cos PBE ∠取最小值，直线PB 与平面ABCD 所成角最大，此时，2222(5)25505PB BP a h a ==-++=-= P ，A ，B 三点均为四棱锥P ABCD -的顶点，∴平面PAB 截四棱锥P ABCD -外接球的截面为PAB 的外接圆面， 直角三角形PAB 外接圆半径12r PB =，∴截面面积22252πππ44PB S r ===，故D 正确.故选：ACD.【点睛】易错点睛：在判断三棱锥P ABD -的四个面是否都是直角三角形时，易忽视BPD △，需通过证明PD ⊥平面PAB 进行判断；在确定直线PB 与平面ABCD 所成角最大时点P 的位置时，容易错误的认为当点P 为半圆弧 AD 的中点时，直线PB 与平面ABCD 所成角最大，需使用空间向量，借助三角函数知识进行判断.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知直线1l 的倾斜角为45︒，直线12l l ∥，若直线2l 过点()()2,3,5,A B n ，则n =______．【答案】6【解析】【分析】根据平行直线的斜率的关系列方程，从而求得n 的值.【详解】因为直线1l 的倾斜角为45︒，所以11l k =．又直线12l l ∥，则23152l n k -==-，解得6n =．故答案为：613.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1π3A AB DAB ∠=∠=，1π2A AD ∠=，12AB AD AA ===，则1D B =________．【答案】2【解析】【分析】据空间向量基本定理把1D B 用1D D ，DA ，AB作为基底表示，利用向量数量积运算即可求解.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中,111D B D D DA AB A A DA AB =++=++，所以11||||D B A A DA AB =++ ，因为1π2A AD ∠=，所以10A A DA ⋅= ，又1π3A AB DAB ∠=∠=，所以12π22cos 23A A AB ⋅=⨯⨯=- ，2π22cos 23DA AB ⋅=⨯⨯=- ，所以2211||()D B A A DA AB =++ 222111222A A DA AB A A DA A A AB DA AB=+++⋅+⋅+⋅ 44422224=++-⨯-⨯=所以1||2D B =.故答案为：2.14.甲､乙两队进行答题比赛，每队3名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得1分，答错一题得0分.已知甲队中每名选手答对题的概率都为12，乙队中3名选手答对题的概率分别为211,,334.在第一轮比赛中，甲队得x 分，乙队得y 分，则在这一轮中，满足02x y <-≤且0y ≠的概率为__________.【答案】79288【解析】【分析】首先求出甲在一轮比赛中得2分、3分的概率，乙在一轮比赛中得1分、2分的概率，设在这一轮中，满足02x y <-≤且0y ≠为事件A ，则A 包含①甲队得2分，乙队得1分，②甲队得3分，乙队得1分，③甲队得3分，乙队得2分，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得.【详解】依题意甲队在一轮比赛中得2分的概率为2111332228P =⨯⨯⨯=，甲队在一轮比赛中得3分的概率为311112228P =⨯⨯=，乙队在一轮比赛中得1分的概率为：12111211121711111133433443336P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=⨯-⨯-+⨯-⨯-+⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，乙队在一轮比赛中得2分的概率为：22112111121111133433443336P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=⨯⨯-+⨯-⨯+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设在这一轮中，满足02x y <-≤且0y ≠为事件A ，则A 包含①甲队得2分，乙队得1分，②甲队得3分，乙队得1分，③甲队得3分，乙队得2分，所以()21313231711711179836836836288P A P P P P PP '''=++=⨯+⨯+⨯=，即在这一轮中，满足02x y <-≤且0y ≠的概率为79288.故答案为：79288【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是分析得到①甲队得2分，乙队得1分，②甲队得3分，乙队得1分，③甲队得3分，乙队得2分，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算.四、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，M 分别是线段1A D ，EC ，1AA 的中点.设AB a =，AD b =，1AA c = .（1）用基底{},,a b c表示向量1A F .（2）棱BC 上是否存在一点G ，使得MF EG ⊥？若存在，指出G 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1133244A F a b c=+-（2）不存在一点G ，理由见解析【解析】【分析】（1）结合空间向量的线性运算，由空间向量基本定理求解即可；（2）假设棱BC 上存在点G ，使得MF EG ⊥，设()01BG BC λλ=≤≤ ，由基底{},,a b c表示出向量,MF EG ，由0MF EG ⋅=即可求出λ.【小问1详解】因为()()1111111112222A E A D A A AD AA b c =+=-=- ，111A C A A AC AA AB AD a b c =+=-++=+-，所以()11111111332222244A F A E A C b c a b c a b c ⎛⎫=+=-++-=+- ⎪⎝⎭ ．【小问2详解】假设棱BC 上存在点G ，使得MF EG ⊥，设()01BG BC λλ=≤≤．因为1113311312442244MF A F A M a b c c a b c =-=+-+=+- ，所以()111222EG AG AE AB BG AE a b b c a b c λλ⎛⎫=-=+-=+-+=+-- ⎪⎝⎭ ．因为MF EG ⊥，所以0MF EG ⋅=，化简得131102428λ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，得103λ=-<，所以棱BC上不存在一点G，使得MF EG⊥.16.已知不透明的盒子中装有标号为1，2，3的小球各2个（小球除颜色､标号外均相同）.（1）若一次取出3个小球，求取出的3个小球上标号均不相同的概率；（2）若有放回地先后取出2个小球，求取出的2个小球上标号不相同的概率.【答案】（1）2 5；（2）2 3.【解析】【分析】（1）使用列举法，结合古典概型概率公式可得；（2）先求2个小球上标号相同的概率，然后由对立事件的概率关系可得.【小问1详解】分别记6个小球为1,1,2,2,3,3a b a b a b，从中任取3个小球有：()()()()()()() 1,1,2,1,1,2,1,1,3,1,1,3,1,2,2,1,2,3,1,2,3, a b a a b b a b a a b b a a b a a a a a b()()()()()()() 1,2,3,1,2,3,1,3,3,1,2,2,1,2,3,1,2,3,1,2,3, a b a a b b a a b b a b b a a b a b b b a()()()()()()1,2,3,1,3,3,2,2,3,2,2,3,2,3,3,2,3,3b b b b a b a b a a b b a a b b a b，共20种.3个小球上标号均不相同的有：()()()()()()1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,a a a a ab a b a b a a b b a b a b()()1,2,3,1,2,3,a b b b b b共8种，所以取出的3个小球上标号均不相同的概率为82 205=.【小问2详解】每次取球都有6种取法，所以总的取法有6636⨯=种取法.2个小球上标号相同的取法有：()()()()()()1,1,2,2,3,3,1,1,2,2,3,3,a b a b a b b a b a b a()()()()()()1,1,2,2,3,3,1,1,2,2,3,3,a a a a a ab b b b b b共12种取法，所以2个小球上标号相同的概率为121 363=，所以取出的2个小球上标号不相同的概率12133-=.17.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ==122BC BB ==，P ，Q 分别为11B C ，1A B 的中点.（1）证明：1A B CP ⊥.（2）求直线1A B 与平面CPQ 所成角的正弦值.（3）设点1C 到直线CQ 的距离为1d ，点1C 到平面CPQ 的距离为2d ，求12d d 的值.【答案】（1）证明见解析（2）3（3）14【解析】【分析】（1）由题意可知平面111A B C ⊥平面11CBB C ，根据面面垂直的性质定理可得1AP ⊥平面11CBB C ，进而得到1A P CP ⊥，在矩形11BB C C 中，由题意可得BP CP ⊥，由线面垂直判定定理及性质即可证得；（2）取BC 的中点M ，连接PM ，建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求线面角的正弦值；（3）利用空间向量求出1d 和2d ，即可求出12d d .【小问1详解】连接1A P ，BP，因为1111A B A C =，P 为11B C 的中点，所以111A P B C ⊥，因为棱柱111ABC A B C -直三棱柱，所以1BB ⊥面111A B C ，1BB ⊂平面11CBB C ，所以平面111A B C ⊥平面11CBB C ，又平面111A B C Ç平面1111CBB C B C =，1A P ⊂面111A B C ，则1AP ⊥平面11CBB C ，又CP ⊂平面11CBB C ，所以1A P CP ⊥，在矩形11BB C C 中，122BC BB ==，P 为11B C 的中点，所以CP BP ==，所以222CP BP BC +=，故BP CP ⊥，又1A P BP P =I ，1A P ⊂面1A BP ，BP ⊂面1A BP ，所以⊥CP 平面1A PB ，又1A B ⊂平面1A PB ，所以1CP A B ⊥.【小问2详解】取BC 的中点M ，连接PM ，由（1）及题意易知1A P ，PM ，1PB 两两垂直，则以P 为坐标原点，建立空间直角坐标系P xyz -，如图所示.由11A B =11PB =，则12A P =，(1,1,0)B ，(1,1,0)C -，1(0,0,2)A ，11,,122Q ⎛⎫⎪⎝⎭.设平面CPQ 的法向量为(,,)n x y z =，又(1,1,0)PC =-uu u r ，11,,122PQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则0,0,n PC n PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,110,22x y x y z -=⎧⎪⎨++=⎪⎩令1x =，则(1,1,1)n =- .设直线1A B 与平面CPQ 所成的角为θ，又1(1,1,2)A B =-uuu r，则111sin cos ,3n A Bn A B n A Bθ⋅====，故直线1A B 与平面CPQ所成角的正弦值为3.【小问3详解】由（2）知平面CPQ 的一个法向量为(1,1,1)n =-，1(0,1,0)C -，1(1,0,0)C C =uuu r，所以点1C 到平面CPQ的距离为12C C n d n ⋅==，又13,,122CQ ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，直线CQ的一个单位方向向量为13,,122CQu CQ ⎫==-⎪⎭，则211C C =uuu r，1C C u ⋅=uuu r r 所以点1C 到直线CQ的距离为1d ==，所以1254614d d ==.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，1,2,60PA AD PB BD AB BDC ∠====== ，且BD BC ⊥．（1）若点E 在PC 上，且//BE 平面PAD ，证明：E 为PC 的中点；（2）已知二面角P AB D --的大小为60o ，求平面PBD 与平面PCD 夹角的正切值．【答案】（1）证明见解析（2）43【解析】【分析】（1）首先判断底面ABCD 的几何关系，再结合线面平行的性质定理，构造辅助线，即可证明；（2）首先由几何关系确定PAD ∠为二面角P AB D --的大小，再根据几何关系确定空间直角坐标系，分别求平面PBD 和平面PCD 的法向量，再利用法向量求二面角的余弦值，即可求正切值.【小问1详解】因为222AB AD BD +=，222AB PA PB +=，所以，AB AD ⊥，AB PA ⊥，在直角三角形BAD 中，60BDA ∠= ，又因为60BDC ∠= ，BD 为ADC ∠的平分线，延长CB 、DA 交于点F ，连接PF ，在CDF V 中，BD BC ⊥，所以，CDF V 是等腰三角形，所以，点B 是CF 的中点，因为直线//BE 平面PAD ，过BE 的平面PFC 与平面PAD 的交线为PF ，则//BE PF ，因为B 是CF 的中点，所以E 是PC 的中点.【小问2详解】在ABD △中，1AD =，2BD =，AB =，则90BAD ∠=，即BA AD ⊥，由已知得60BDC BDA ∠=∠= ，4CD =，又平面PAD ⊥平面ABCD ，BA ⊂平面ABCD ，所以BA ⊥平面PAD ，因为PA ⊂平面PAD ，即BA PA ⊥，所以，PAD ∠为二面角P AB D --的平面角，所以60PAD ∠= ，又1PA AD ==，所以PAD △为正三角形，取AD 的中点为O ，连OP ，则OP AD ⊥，OP ⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，OA 、OP 所在直线分别为x 、z 轴，平面ABCD 内垂直于直线AD 的直线为y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则1151,0,0,,,,0,0,0,0,22222A B C D P⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()1,0,,1,,22DP BD DC⎛⎫==-=-⎪⎪⎝⎭，设()()111222,,,,,m x y z n x y z==分别为平面PBD和平面PCD的法向量，则11111022m DP x zm BD x⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=--=⎩，取11y=-，则)1,1m=--，2222102220n DP x zn DC x⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩，取21y=，则)1n=-，所以()23113cos,5m nm nm n-+===⋅⋅，则44sin,,tan,53m n m n〈〉=〈〉=，所以平面PBD与平面PCD夹角的正切值为43．19.某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三人通过初赛，进入决赛.决赛比赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，直到一人累计获胜三局，则此人获得比赛胜利，比赛结束.假设每局比赛双方获胜的概率均为12，且每局比赛相互独立.（1）求比赛进行四局结束的概率；（2）求甲获得比赛胜利的概率.【答案】（1）18（2）38【解析】【分析】列举各问中的可能事件，由独立事件的乘法公式计算出概率，再由互斥事件概率的加法公式即可得解；【小问1详解】比赛进行四局结束有以下两种情况：第一局甲获胜，后三局丙获胜；第一局乙获胜，后三局丙获胜,第一局甲获胜，后三局丙获胜的概率111111 222216P=⨯⨯⨯=,第一局乙获胜，后三局丙获胜的概率211111 222216P=⨯⨯⨯=,故比赛进行四局结束的概率12111 16168P P P=+=+=.【小问2详解】设甲获胜为事件A，乙获胜为事件B，丙获胜为事件C，比赛进行三局，甲获胜的概率为1111 2228⨯⨯=,比赛进行五局，有以下6种情况：,,,,,AABBA AABCA ACBAA ACCAA BBAAA BCAAA，甲获胜的概率为1111136 2222216⨯⨯⨯⨯⨯=,比赛进行七局，有一下8种情况：,,,,,,, AABCCBA AABBCCA ACBBCAA ACBACBA ACCABBA BBACA CA BCAACBA BCCBAAA甲获胜的概率为111111118 222222216⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=,故甲获得比赛胜利的概率为1313 816168 ++=.。