2020版高考数学(人教版)理科一轮复习课时作业43空间点、直线、平面之间的位置关系含解析

第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系[考纲传真] 1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧相交直线平行直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)． ②范围：(0°，90°]．3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况． 4．平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况． 5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． [常用结论]1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图所示．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a ，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a .( ) (2)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线．( ) (3)平面ABC 与平面DBC 相交于线段BC .( ) (4)没有公共点的两条直线是异面直线．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× 2．下列命题正确的是( ) A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．四边形确定一个平面D ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 D [依据公理2可知D 选项正确．]3．(教材改编)如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则异面直线B 1C 与EF 所成的角的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°C [连接B 1D 1，D 1C (图略)，则B 1D 1∥EF ，故∠D 1B 1C 为所求的角，又B 1D 1＝B 1C ＝D 1C ，∴∠D 1B 1C ＝60°.]4．已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是( ) A ．空间四边形 B ．矩形 C ．菱形D ．正方形B [如图，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，易知EH 綊12BD ，FG 綊12BD ，∴EH 綊FG ，∴四边形EFGH 为平行四边形， 又AC ⊥BD ，故EF ⊥FG ， ∴四边形EFGH 为矩形．故选B .]5．在三棱锥S -ABC 中，G 1，G 2分别是△SAB 和△SAC 的重心，则直线G 1G 2与BC 的位置关系是________．平行 [如图所示，连接SG 1并延长交AB 于M ，连接SG 2并延长交AC 于N ，连接MN .由题意知SM 为△SAB 的中线，且SG 1＝23SM ，SN 为△SAC 的中线，且SG 2＝23SN ，∴在△SMN 中，SG 1SM ＝SG 2SN ， ∴G 1G 2∥MN ，易知MN 是△ABC 的中位线，∴MN∥BC，因此可得G1G2∥BC.]空间两条直线的位置关系1．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使得m与l()A．平行B．相交C．垂直D．互为异面直线C[若l⊂α，则排除选项D；若l∩α＝A，则排除选项A；若l∥α，则排除选项B，故选C.] 2．设a，b，c是空间中三条不同的直线，给出下面四个说法：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a与b一定是异面直线．其中说法正确的是________．(写出所有正确说法的序号)①[①显然正确；若a⊥b，b⊥c，则a与c可以相交，平行，异面，故②错误；③当a与b相交，b与c相交时，a与c可能相交，也可能平行，还可能异面，故③错误；④中a与b的关系，也可能有相交，平行，异面三种情况，故④错误．故只有①正确．] 3．(2019·唐山模拟)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．①②③④②④[图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GH N，因此直线GH与MN异面；图③中，连接M G，G M∥H N，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面G MN，因此GH与MN异面．所以在图②④中GH与MN异面．]平面的基本性质及应用【例1】如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．[证明](1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈直线CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．[证明](1)因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD.在△BCD中，BGGC＝DHHC＝12，所以GH∥BD，所以EF∥GH.所以E，F，G，H四点共面．(2)因为EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.所以P为平面ABC与平面ADC的公共点．又平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三点共线．异面直线所成的角【例2】(1)(2018·银川二模)已知P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M，N分别是AB，PC的中点，若MN＝BC＝4，PA＝43，则异面直线PA与MN所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°(2)在三棱锥S-ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝SA，SA⊥平面ABC，D为BC中点，则异面直线AB 与SD所成角的余弦值为()A.55B.66C.306D.305(1)A(2)B[(1)连接AC，并取其中点O，连接OM，ON，则OM綊12BC，ON綊12PA，∴∠ONM是异面直线PA与MN所成的角，由MN＝BC＝4，PA＝43，得OM＝2，ON＝23，MN＝4，∴cos∠ONM＝ON2＋MN2－OM22ON×MN＝12＋16－42×23×4＝32，又∠ONM ∈(0°，90°]，∴∠ONM ＝30°，即异面直线PA 与MN 所成角的大小为30°，故选A . (2)以A 为原点，建立空间直角坐标系A -xyz ，如图所示． 设AB ＝AC ＝SA ＝2，则AS →＝(0,0,2)，AB →＝(2,0,0)，AC →＝(0,2,0)，AD →＝12AB →＋12AC →＝(1,1,0)，SD →＝AD→－AS →＝(1,1，－2)．∴cos 〈AB →，SD →〉＝226＝66.故选B .]111F 分别是AB ，A 1C 1的中点，则EF 与侧棱C 1C 所成的角的余弦值是( ) A .55B .255C .12D ．2(2)(2019·安庆模拟)正四面体ABCD 中，E ，F 分别为AB ，BD 的中点，则异面直线AF ，CE 所成角的余弦值为________．(1)B (2)16 [(1)如图，取AC 中点G ，连接FG ，EG ，则FG ∥C 1C ，FG ＝C 1C ，EG ∥BC ，EG ＝12BC ，故∠EFG 即为EF 与C 1C 所成的角，在Rt △EFG 中，cos ∠EFG ＝FG FE ＝25＝255.(2)取BF 的中点G ，连接CG ，EG (图略)，易知EG ∥AF ，所以异面直线AF ，CE 所成的角即为∠GEC (或其补角)．不妨设正四面体棱长为2，易求得CE ＝3，EG ＝32，CG＝132，由余弦定理得cos ∠GEC ＝EG 2＋CE 2－CG 22EG ·CE ＝34＋3－1342×32×3＝16，所以异面直线AF ，CE 所成角的余弦值为16.]1.(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( ) A .15 B .56 C .55D .22C [法一：如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM ，易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角．因为在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝AD 2＋DD 21＝2，DM ＝AD 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB 2＝52，DB 1＝AB 2＋AD 2＋DD 21＝5，所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是在△DMO 中，由余弦定理，得cos ∠MOD ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫5222×1×52＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55，故选C .法二：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．由条件可知D (0,0,0)，A (1,0,0)，D 1(0,0，3)，B 1(1,1，3)，所以AD 1→＝(－1,0，3)，DB 1→＝(1,1，3)，则由向量夹角公式，得cos 〈AD 1→，DB 1→〉＝AD 1→·DB 1→|AD 1→|·|DB 1→|＝225＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55，故选C .] 2.(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( ) A .32B .155C .105D .33C [以B 1为坐标原点，B 1C 1所在的直线为x 轴，垂直于B 1C 1的直线为y 轴，BB 1所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．由已知条件知B 1(0,0,0)，B (0,0,1)，C 1(1,0,0)，A (－1，3，1)，则BC 1→＝(1,0，－1)，AB 1→＝(1，－3，－1)．所以cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝AB 1→·BC 1→|AB 1→|·|BC 1→|＝25×2＝105.所以异面直线AB 1与BC 1所成的角的余弦值为105. 故选C .]3．(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( ) A .32 B .22C .33D .13A [如图，设平面CB 1D 1∩平面ABCD ＝m 1. ∵平面α∥平面CB 1D 1，∴m 1∥m . 又平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1， 且平面CB 1D 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1， ∴B 1D 1∥m 1.∴B 1D 1∥m . ∵平面ABB 1A 1∥平面DCC 1D 1， 且平面CB 1D 1∩平面DCC 1D 1＝CD 1， 同理可证CD 1∥n .因此直线m 与n 所成的角即直线B 1D 1与CD 1所成的角． 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，△CB 1D 1是正三角形， 故直线B 1D 1与CD 1所成角为60°，其正弦值为32.]。

课时作业第43讲直线平面平行的判定与性质时间/45分钟分值/100分■基础热身1•如果直线a //平面a那么直线a与平面a内的（）A. 一条直线不相交B. 两条直线不相交C. 无数条直线不相交D. 任意一条直线都不相交2•在空间四边形ABCD中,E,F分别为ABAD上的点，且AE EB=AF F D=1 4,又H,G分别为BC,CD的中点，则（）A. BD //平面EFG,且四边形EFGH是平行四边形B. EF //平面BCD,且四边形EFGH是梯形C. HG //平面ABD,且四边形EFGH是平行四边形D. EH //平面ADC,且四边形EFGH是梯形3. [2018 •福州质检]下列说法中，错误的是（）A. 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B. 平行于同一平面的两个不同平面平行C. 若直线I与平面a平行，则过平面a内一点和直线l平行的直线在a内D. 若直线I不平行于平面a则在平面a内不存在与I平行的直线4. [2019 •温州九校一联]已知m为一条直线，a卩为两个不同的平面，则下列说法正确的是A. 若m // a all B则m //卩B. 若m丄a, a丄B则m //卩C. 若m丄a, a// B则m丄BD. 若m // a, a丄B则m丄B图K43-15.如图K43-1,四棱锥P-ABCD 的底面是直角梯形,AB // CD,BA丄AD,CD=2AB,PA丄底面ABCD,E为PC的中点贝U BE与平面PAD的位置关系为__________ .■能力提升6. 若平面all平面B点A,C€ a,B,D €卩,则直线AC //直线BD的充要条件是（）A.AB // CDB.AD // CBC.AB与CD相交D.A,B,C,D四点共面7. 已知三个不同的平面a B Y三条不同的直线a,b,c,则下列命题正确的是（）A. 若a丄Y B丄Y,则all BB. 若a 丄c,b 丄G则a / bC. 若a 丄a,b丄a,贝U a / bD.若a // a,b// a,贝y a// b8.在如图K43-2所示的三棱柱ABC-A 1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE,则DE与AB的位置关系是（）A .异面B .平行C .相交D .以上均有可能 9. [2018 •黄山八校联考]已知a 堤两个不同的平面，m ,n 是两条不同的直线，给出下列命题 ① 若m 丄a ,m 丄3则a//3 ② 若 m ? a n ? a ,m // ®,n // 卩,则 a /卩 ③ 如果m ? a n ? a ,m ,n 是异面直线，那么n 与o 相交 ④若a H 3=m ,n // m 且n ? a n ? 3则n // a 且 n // 3其中正确的命题是 （ ） A .①② B .②③ C .③④ D .①④ 10. 已知平面all 平面3P 是a 3外一点，过点P 的直线m 与a 3分别交于点 A ,C ,过点P 的直线n 与a , 3分别交于点 B ,D ,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD 的长为（ ） A .16 B .24 或C .14D .20 图 K43-2K43-3所示，在直三棱柱 ABC-A i B i C i 中,D 为AA i 的中点，点P 在侧面BCC i B i 上运i2.已知直线a ,b ,平面a , 3 Y 给出以下三个命题11.如图 动,当点 P 满足条件 时,A i P //平面BCD.（答案不唯一，填一个满足题意的条件即①若a II b,b? a则a II a②若a II b,a II a则b II a③若a H 萨a,b? Y且b // B，a? Y则a I b.其中真命题的序号是__________ .13. 在正四棱柱ABCD-A i B i C i D i中O为底面ABCD的中心,P是DD i的中点，设Q是CC i上的点，则点Q满足条件______ 时有平面D i BQ //平面PAO.14. (iO分)如图K43-4,在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形,PD丄底面ABCD,M,N分别是PA,BC的中点，且AD=2PD=2.(i)求证:MN //平面PCD;⑵求点N到平面PAB的距离.图K43-4i5.(i2分)[20i8 •资阳三诊]如图K43-5所示,三棱柱ABC-A i B i C i的各棱长均为2AA i丄平面ABC,E,F分别为棱A i B i,BC的中点.(1)求证:直线BE //平面A i FC i;⑵平面A i FC i与直线AB交于点M,指出点M的位置，说明理由，并求三棱锥B-EFM的体积.图K43-5■难点突破16. (13分)[2018 •南昌一模]如图K43-6,在四棱锥P-ABCD中,PA丄底面ABCD,四边形ABCD为直角梯形AC与BD相交于点O,AD // BC,AD丄AB,AB=BC=AP= 3,三棱锥P-ACD 的体积为9.(1)求AD的值；⑵过0点的平面a平行于平面PAB,平面a与棱BC,AD,PD,PC分别相交于点E,F,G,H,求截面EFGH的周长.图K43-6。

课时作业43 空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．在下列命题中，不是公理的是( A ) A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 解析：选项A 是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的． 2．若空间三条直线a ，b ，c 满足a ⊥b ，b ∥c ，则直线a 与c ( D ) A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定是异面直线 D ．一定垂直解析：两条平行线中一条与第三条直线垂直，另一条直线也与第三条直线垂直．故选D.3．空间四边形两对角线的长分别为6和8，所成的角为45°，连接各边中点所得四边形的面积是( A )A ．6 2B ．12C ．12 2D ．24 2 解析：如图，已知空间四边形ABCD ，对角线AC ＝6，BD ＝8，易证四边形EFGH 为平行四边形，∠EFG 或∠FGH 为AC 与BD 所成的角，大小为45°，故S 四边形EFGH ＝3×4×sin45°＝6 2.故选A.4．(2019·南宁市摸底联考)在如图所示的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱B 1B ，AD 的中点，异面直线BF 与D 1E 所成角的余弦值为( D )A.147 B.57 C.105D.255解析：如图，过点E 作EM ∥AB ，过M 点作MN ∥AD ，取MN 的中点G ，连接NE ，D 1G ，所以平面EMN ∥平面ABCD ，易知EG ∥BF ，所以异面直线BF 与D 1E 的夹角为∠D 1EG ，不妨设正方体的棱长为2，则GE ＝5，D 1G ＝2，D 1E ＝3，在△D 1EG 中，cos ∠D 1EG ＝D 1E 2＋GE 2－D 1G 22D 1E ·GE＝255，故选D.5．已知异面直线a ，b 分别在平面α，β内，且α∩β＝c ，那么直线c 一定( C ) A ．与a ，b 都相交 B ．只能与a ，b 中的一条相交 C ．至少与a ，b 中的一条相交 D ．与a ，b 都平行解析：如果c 与a 、b 都平行，那么由平行线的传递性知a 、b 平行，与异面矛盾．故选C.6．到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为( C ) A ．1 B ．4 C ．7 D ．8解析：当空间四点不共面时，则四点构成一个三棱锥．①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，如图 1.令截面与四棱锥的四个面之一平行，第四个顶点到这个截面的距离与其相对的面到此截面的距离相等，这样的平面有4个；②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，如图2，当平面过AB ，BD ，CD ，AC 的中点时，满足条件．因为三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面有3个．所以满足条件的平面共有7个，故选C.二、填空题7．三条直线可以确定三个平面，这三条直线的公共点个数是0或1.解析：因三条直线可以确定三个平面，所以这三条直线有两种情况：一是两两相交，有1个交点；二是互相平行，没有交点．8．(2019·武汉调研)在正四面体ABCD 中，M ，N 分别是BC 和DA 的中点，则异面直线MN 和CD 所成角的余弦值为22.解析：取AC 的中点E ，连接NE ，ME ，由E ，N 分别为AC ，AD 的中点，知NE ∥CD ，故MN 与CD 所成的角即MN 与NE 的夹角，即∠MNE .设正四面体的棱长为2，可得NE ＝1，ME ＝1，MN ＝2，故cos ∠MNE ＝NE 2＋MN 2－ME 22NE ·MN ＝22.9.如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，点F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，则下列说法正确的是④.(填写所有正确说法的序号)①EF 与GH 平行； ②EF 与GH 异面；③EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上； ④EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上．解析：连接EH ，FG (图略)，依题意，可得EH ∥BD ，FG ∥BD ，故EH ∥FG ，所以E ，F ，G ，H 共面．因为EH ＝12BD ，FG ＝23BD ，故EH ≠FG ，所以EFGH 是梯形，EF 与GH 必相交，设交点为M .因为点M 在EF 上，故点M 在平面ACB 上．同理，点M 在平面ACD 上， ∴点M 是平面ACB 与平面ACD 的交点，又AC 是这两个平面的交线，所以点M 一定在直线AC 上． 三、解答题10.如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点．问：(1)AM 与CN 是否是异面直线？说明理由； (2)D 1B 与CC 1是否是异面直线？说明理由． 解：(1)AM 与CN 不是异面直线．理由如下： 如图，连接MN ，A 1C 1，AC .因为M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点，所以MN ∥A 1C 1.又因为A 1A 綊C 1C ， 所以四边形A 1ACC 1为平行四边形， 所以A 1C 1∥AC ，所以MN ∥AC ， 所以A ，M ，N ，C 在同一平面内， 故AM 和CN 不是异面直线．(2)D 1B 与CC 1是异面直线．理由如下： 因为ABCD ­A 1B 1C 1D 1是正方体， 所以B ，C ，C 1，D 1不共面．假设D 1B 与CC 1不是异面直线，则存在平面α，使D 1B ⊂平面α，CC 1⊂平面α， 所以D 1，B ，C ，C 1∈α， 这与B ，C ，C 1，D 1不共面矛盾．所以假设不成立，即D 1B 与CC 1是异面直线．11．如图，在三棱锥P ­ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求：(1)三棱锥P ­ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．解：(1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P ­ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·PA ＝13×23×2＝433. (2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.12．如图是三棱锥D ­ABC 的三视图，点O 在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO 和AB 所成角的余弦值等于( A )A.33B.12C. 3D.22解析：由三视图及题意得如图所示的直观图，从A 出发的三条线段AB ，AC ，AD 两两垂直且AB ＝AC ＝2，AD ＝1，O 是BC 中点，取AC 中点E ，连接DE ，DO ，OE ，则OE ＝1，又可知AE ＝1，由于OE ∥AB ，故∠DOE 即为所求两异面直线所成的角或其补角．在直角三角形DAE中，DE ＝2，由于O 是BC 的中点，在直角三角形ABC 中可以求得AO ＝2，在直角三角形DAO 中可以求得DO ＝ 3.在三角形DOE 中，由余弦定理得cos ∠DOE ＝1＋3－22×1×3＝33，故所求异面直线DO 与AB 所成角的余弦值为33.13．正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 为线段B 1D 1上的一个动点，则下列结论中正确的是①②③(填序号)．①AC ⊥BE ； ②B 1E ∥平面ABCD ；③三棱锥E ­ABC 的体积为定值； ④直线B 1E ⊥直线BC 1.解析：因AC ⊥平面BDD 1B 1，故①正确；因B 1D 1∥平面ABCD ，故②正确；记正方体的体积为V ，则V E ­ABC ＝16V ，为定值，故③正确；B 1E 与BC 1不垂直，故④错误．14.如图所示，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，底面是边长为2的正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2.(1)当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?(2)若BM ∥平面AEF ，判断BM 与EF 的位置关系，说明理由；并求BM 与EF 所成的角的余弦值．解：(1)解法1：如图所示，取AE 的中点O ，连接OF ，过点O 作OM ⊥AC 于点M .因为侧棱A 1A ⊥底面ABC ， 所以侧面A 1ACC 1⊥底面ABC . 又因为EC ＝2FB ＝2，所以OM ∥EC ∥FB 且OM ＝12EC ＝FB ，所以四边形OMBF 为矩形，BM ∥OF . 因为OF ⊂平面AEF ，BM ⊄平面AEF ， 故BM ∥平面AEF ，此时点M 为AC 的中点．解法2：如图所示，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接PQ ，PB ，BQ .因为EC ＝2FB ＝2，所以PE 綊BF ， 所以PQ ∥AE ，PB ∥EF ，所以PQ ∥平面AFE ，PB ∥平面AEF ，因为PB ∩PQ ＝P ，PB ⊂平面PBQ ，PQ ⊂平面PBQ ，所以平面PBQ ∥平面AEF . 又因为BQ ⊂平面PBQ ， 所以BQ ∥平面AEF .故点Q 即为所求的点M ，此时点M 为AC 的中点．(2)由(1)知，BM 与EF 异面，∠OFE (或∠MBP )就是异面直线BM 与EF 所成的角或其补角． 易求AF ＝EF ＝5，MB ＝OF ＝3，OF ⊥AE ，所以cos ∠OFE ＝OF EF＝35＝155， 所以BM 与EF 所成的角的余弦值为155. 尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．平面α过正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( A )A.32B.22C.33D.13解析：如图所示，设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1，因为α∥平面CB1D1，所以m1∥m，又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面B1D1C∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以B1D1∥m1，故B1D1∥m.因为平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，同理可证CD1∥n.故m，n所成角即直线B1D1与CD1所成角，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为3 2.16．(2019·成都诊断性检测)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，已知底面ABCD为正方形，P 为A1D1的中点，AD＝2，AA1＝3，点Q是正方形ABCD所在平面内的一个动点，且QC＝2QP，则线段BQ的长度的最大值为6.解析：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则P(1,0，3)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，Q(x，y,0)，因为QC＝2QP，所以x2＋y－2＝2x－2＋y2＋3⇒(x－2)2＋(y＋2)2＝4，所以(y＋2)2＝4－(x－2)2≤4⇒|y＋2|≤2⇒－4≤y≤0，BQ ＝x－2＋y－2＝4－y＋2＋y－2＝4－8y，根据－4≤y≤0可得4≤4－8y≤36，所以2≤BQ≤6，故线段BQ的长度的最大值为6.。

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义含答案解析§7.3空间点、直线、平面之间的位置关系课标要求1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．知识梳理1．基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．2．“三个”推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．3．空间中直线与直线的位置关系异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.4．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交a ∩α＝A 1个平行a ∥α0个在平面内a ⊂α无数个平面与平面平行α∥β0个相交α∩β＝l 无数个5.等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．6．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 分别作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把直线a ′与b ′所成的角叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．(2)，π2.常用结论1．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．2．分别在两个平行平面内的直线平行或异面．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)没有公共点的两条直线是异面直线．(×)(2)直线与平面的位置关系有平行、垂直两种．(×)(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(×)(4)两两相交的三条直线共面．(×)2．(必修第二册P147例1改编)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，直线BD 1与直线AA 1所成角的余弦值是()A.12B.13C.63D.33答案D解析连接BD (图略)，由于AA 1∥DD 1，所以∠DD 1B 即为直线BD 1与直线AA 1所成的角，不妨设正方体的棱长为a ，则BD ＝2a ，BD 1＝D 1D 2＋BD 2＝3a ，所以cos ∠DD 1B ＝DD 1D 1B ＝13＝33.3．(多选)给出以下四个命题，其中错误的是()A ．不共面的四点中，其中任意三点不共线B ．若点A ，B ，C ，D 共面，点A ，B ，C ，E 共面，则点A ，B ，C ，D ，E 共面C ．若直线a ，b 共面，直线a ，c 共面，则直线b ，c 共面D ．依次首尾相接的四条线段必共面答案BCD解析反证法：如果四个点中，有3个点共线，第4个点不在这条直线上，根据基本事实2的推论可知，这四个点共面，这与已知矛盾，故A 正确；如图1，A ，B ，C ，D 共面，A ，B ，C ，E 共面，但A ，B ，C ，D ，E 不共面，故B 错误；如图2，a ，b 共面，a ，c 共面，但b ，c 异面，故C 错误；如图3，a ，b ，c ，d 四条线段首尾相接，但a ，b ，c ，d 不共面，故D 错误．图1图2图34.如图，在三棱锥A －BCD 中，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则：(1)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为菱形；(2)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为正方形．答案(1)AC ＝BD(2)AC ＝BD 且AC ⊥BD解析(1)由题意知，EF ∥AC ，EH ∥BD ，且EF ＝12AC ，EH ＝12BD ，∵四边形EFGH 为菱形，∴EF ＝EH ，∴AC ＝BD .(2)∵四边形EFGH 为正方形，∴EF ＝EH 且EF ⊥EH ，∴AC ＝BD 且AC ⊥BD .题型一基本事实的应用例1已知在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，C 1B 1的中点，AC ∩BD ＝P ，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；(3)DE，BF，CC1三线交于一点．证明(1)如图所示，连接B1D1.因为EF是△C1D1B1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接A1C，设A1，C，C1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．(3)因为EF∥BD且EF<BD，所以DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1.所以DE，BF，CC1三线交于一点．思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．跟踪训练1在如图所示的空间几何体中，四边形ABEF 与ABCD 都是梯形，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G ，H 分别为AF ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？(1)证明由题设知，因为G ，H 分别为AF ，FD 的中点，所以GH ∥AD 且GH ＝12AD ，又BC ∥AD 且BC ＝12AD ，故GH ∥BC 且GH ＝BC ，所以四边形BCHG 是平行四边形．(2)解C ，D ，F ，E 四点共面．理由如下：由BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G 是AF 的中点知BE ∥GF 且BE ＝GF ，所以四边形EFGB 是平行四边形，所以EF ∥BG .由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH .故EC ，FH 共面．又点D 在直线FH 上，所以C ，D ，F ，E 四点共面．题型二空间位置关系的判断例2(1)(多选)下列推断中，正确的是()A ．M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ⇒M ∈lB ．A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β⇒α∩β＝ABC ．l ⊄α，A ∈l ⇒A ∉αD ．A ，B ，C ∈α，A ，B ，C ∈β，且A ，B ，C 不共线⇒α，β重合答案ABD解析对于A ，因为M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，由基本事实3可知M ∈l ，故A 正确；对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，即α∩β＝AB，故B正确；对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，故C错误；对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，α，β重合，故D正确．(2)(2023·龙岩模拟)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是() A．异面或平行B．异面或相交C．异面D．相交、平行或异面答案D解析如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，①若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线B1A1记为直线c，此时a和c相交；②若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线DD1记为直线c，此时a和c平行；③若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线C1D1记为直线c，此时a和c异面．思维升华判断空间直线的位置关系一般有两种方法：一是构造几何体(如长方体、空间四边形等)模型来判断．二是排除法．特别地，对于异面直线的判定常用到结论：“平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．”跟踪训练2(1)空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD 的位置关系是()A．平行B．异面C．相交或平行D．平行或异面或相交均有可能答案D解析根据条件作出示意图，容易得到以下三种情况，由图可知AB与CD有相交、平行、异面三种情况．(2)(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个选项正确的是()A ．直线AM 与CC 1是相交直线B ．直线AM 与BN 是平行直线C ．直线BN 与MB 1是异面直线D ．直线AM 与DD 1是异面直线答案CD解析因为点A 在平面CDD 1C 1外，点M 在平面CDD 1C 1内，直线CC 1在平面CDD 1C 1内，CC 1不过点M ，所以直线AM 与CC 1是异面直线，故A 错误；取DD 1的中点E ，连接AE (图略)，则BN ∥AE ，但AE 与AM 相交，所以AM 与BN 不平行，故B 错误；因为点B 1与直线BN 都在平面BCC 1B 1内，点M 在平面BCC 1B 1外，BN 不过点B 1，所以BN 与MB 1是异面直线，故C 正确；同理D 正确．题型三异面直线所成的角例3(1)如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为弧BC 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为()A.33B.55C.306D.66答案D解析如图，过点E 作圆柱的母线交下底面于点F ，连接AF ，易知F 为 AD 的中点，设四边形ABCD 的边长为2，则EF ＝2，AF ＝2，所以AE ＝22＋(2)2＝ 6.连接ED ，则ED ＝ 6.因为BC ∥AD ，所以异面直线AE 与BC 所成的角即为∠EAD (或其补角)．在△EAD 中，cos ∠EAD ＝6＋4－62×2×6＝66.所以异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为66.(2)四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD ，异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为105，则四棱锥外接球的表面积为()A ．48πB ．12πC ．36πD ．9π答案D解析如图，将其补成长方体．设PA ＝x ，x >0，连接AB 1，B 1C ，则异面直线AC 与PD 所成的角就是∠ACB 1或其补角．则cos ∠ACB 1＝105＝8＋x 2＋4－x 2－42×22×x 2＋22，解得x ＝1(舍去负值)，所以外接球的半径为12×12＋22＋22＝32，所以该四棱锥外接球的表面积为4π＝9π.思维升华异面直线所成角的求法方法解读平移法将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解补形法在该几何体的某侧补接上一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解跟踪训练3(1)(2023·莆田模拟)若正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，高为6，则直线AE 1和EF 所成角的大小为()A.π6B.π4C.π3D.π2答案C解析如图所示，EF ∥E 1F 1，则∠AE 1F 1即为所求．∵AF ＝EF ＝1，EE 1＝6，且∠AFE ＝2π3，∴AE ＝AF 2＋EF 2－2AF ·EF ·cos2π3＝3，∴AE 1＝AE 2＋EE 21＝3，AF 1＝AF 2＋FF 21＝7，∴cos ∠AE 1F 1＝AE 21＋E 1F 21－AF 212AE 1·E 1F 1＝9＋1－72×3×1＝12，∴∠AE 1F 1＝π3，即直线AE 1和EF 所成角的大小为π3.(2)平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为()A.32B.22C.33D.13答案A解析如图所示，过点A 补作一个与正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1相同棱长的正方体，易知平面α为平面AF 1E ，则m ，n 所成的角为∠EAF 1.∵△AF 1E 为正三角形，∴sin ∠EAF 1＝sin 60°＝32.课时精练一、单项选择题1．若直线上有两个点在平面外，则()A ．直线上至少有一个点在平面内B ．直线上有无穷多个点在平面内C ．直线上所有点都在平面外D ．直线上至多有一个点在平面内答案D解析根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内．2．已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n .“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析由m ，n ，l 在同一平面内，可能有m ，n ，l 两两平行，所以m ，n ，l 可能没有公共点，所以不能推出m ，n ，l 两两相交．由m ，n ，l 两两相交且m ，n ，l 不经过同一点，可设l ∩m ＝A ，l ∩n ＝B ，m ∩n ＝C ，且A ∉n ，所以点A 和直线n 确定平面α，而B ，C ∈n ，所以B ，C ∈α，所以l ，m ⊂α，所以m ，n ，l 在同一平面内．3．已知平面α∩平面β＝l ，点A ，C ∈α，点B ∈β，且B ∉l ，又AC ∩l ＝M ，过A ，B ，C 三点确定的平面为γ，则β∩γ是()A ．直线CMB ．直线BMC ．直线ABD ．直线BC答案B解析已知过A ，B ，C 三点确定的平面为γ，则AC ⊂γ.又AC ∩l ＝M ，则M ∈γ，又平面α∩平面β＝l ，则l ⊂α，l ⊂β，又因为AC ∩l ＝M ，所以M ∈β，因为B ∈β，B ∈γ，所以β∩γ＝BM .4.如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，M 为A 1C 1的中点，则AM 与BC 1所成角的余弦值为()A.153B.155C.64D.104答案D 解析如图，取AC 的中点D ，连接DC 1，BD ，易知AM ∥DC 1，所以异面直线AM 与BC 1所成角就是直线DC 1与直线BC 1所成的角，即∠BC 1D ，因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，可设三棱柱的棱长都为2，则DC 1＝5，BD ＝3，BC 1＝22，则在△BDC 1中，由余弦定理可得cos ∠BC 1D ＝(5)2＋(22)2－(3)22×5×22＝104，即异面直线AM 与BC 1所成角的余弦值为104.5．四边形ABCD 是矩形，AB ＝3AD ，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，将四边形AEFD 绕EF 旋转至与四边形BEFC 重合，则直线ED ，BF 所成角α在旋转过程中()A ．逐步变大B ．逐步变小C ．先变小后变大D ．先变大后变小答案D 解析由题可知初始时刻ED 与BF 所成的角为0，如图1，故B ，C 错误；图1在四边形AEFD 绕EF 旋转过程中，EF ⊥DF ，EF ⊥FC ，DF ∩FC ＝F ，DF ，FC ⊂平面DFC ，所以EF ⊥平面DFC ，EF ⊂平面EFCB ，所以平面DFC ⊥平面EFCB ，故D 在平面BCFE 内的投影P 一直落在直线CF 上，如图2，图2所以一定存在某一时刻EP ⊥BF ，而DP ⊥平面EFCB ，DP ⊥BF ，又DP ∩PE ＝P ，DP ，PE ⊂平面DPE ，所以BF ⊥平面DPE ，此时DE 与BF 所成的角为π2，然后α开始变小，故直线ED ，BF 所成角α在旋转过程中先变大后变小，故A 错误，D 正确．6．在正四棱锥P －ABCD 中，AB ＝2，E ，F ，G 分别为AB ，PC ，AD 的中点，直线BF 与EG 所成角的余弦值为63，则三棱锥P －EFG 的体积为()A.5212 B.24 C.23 D.26答案B解析连接BD ，DF ，AC ，CG ，CE ，如图，设BF ＝DF ＝x ，由BD ∥EG ，得∠FBD 即为BF 与EG 所成的角，在△FBD 中，易知BD ＝22，cos ∠FBD ＝x 2＋8－x 242x＝63，解得x ＝ 3.设PB ＝PC ＝y ，在△PFB ＋3－23·y 2cos ∠PFB ＝y 2，①因为∠PFB ＋∠BFC ＝180°，故cos ∠BFC ＝cos(180°－∠PFB )＝－cos ∠PFB ，则在△BCF ＋3－23·y 2cos ∠BFC ＝4，即＋3＋23·y 2cos ∠PFB ＝4，②①＋②得y 22＋6＝y 2＋4，因为y >0，解得y ＝2.因为F 为PC 的中点，故V 三棱锥P －EFG ＝V 三棱锥C －EFG ＝V 三棱锥F －ECG ，因为PA 2＋PC 2＝AC 2，PA ＝PC ，所以△PAC 为等腰直角三角形，则在等腰直角三角形PAC 中，易求得点P 到AC 的距离即点P 到底面的距离为2×222＝2，故点F 到平面CEG 的距离为22，S △ECG ＝S ▱ABCD －S △AEG －S △CDG －S △CEB ＝2×2－12×1×1－12×2×1－12×1×2＝4－12－1－1＝3 2，故所求三棱锥的体积为13×32×22＝24.二、多项选择题7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是()A．C1，M，O三点共线B．C1，M，O，C四点共面C．C1，O，B1，B四点共面D．D1，D，O，M四点共面答案AB解析∵O∈AC，AC⊂平面ACC1A1，∴O∈平面ACC1A1.∵O∈BD，BD⊂平面C1BD，∴O∈平面C1BD，∴O是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点，同理可得，点M和点C1都是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点，∴点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O 三点共线，故A，B正确；根据异面直线的判定定理可得BB1与C1O为异面直线，故C1，O，B1，B四点不共面，故C不正确；根据异面直线的判定定理可得DD1与MO为异面直线，故D1，D，O，M四点不共面，故D不正确．8．(2024·朝阳模拟)在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝2，AD＝BC＝AC＝BD＝5，则() A．AB⊥CDB．三棱锥A－BCD的体积为23C．三棱锥A－BCD外接球的半径为6D．异面直线AD与BC所成角的余弦值为35答案ABD解析将三棱锥补形为长方体，如图所示．其中BE ＝BN ＝1，BF ＝2，所以AB ＝CD ＝2，AD ＝BC ＝AC ＝BD ＝5，连接MF ，则AM ∥BF ，AM ＝BF ，所以四边形AMFB 为平行四边形，所以AB ∥MF ，又四边形MCFD 为正方形，所以MF ⊥CD ，所以AB ⊥CD ，故A 正确；长方体的体积V 1＝1×1×2＝2，三棱锥E －ABC 的体积V 2＝V 三棱锥A －BEC ＝13×12×1×2×1＝13，同理，三棱锥N －ABD ，三棱锥F －BCD ，三棱锥M －ACD 的体积也为13，所以三棱锥A －BCD 的体积V ＝2－4×13＝23，故B 正确；长方体的外接球的直径为12＋12＋22＝6，所以长方体的外接球的半径为62，长方体的外接球也是三棱锥A －BCD 的外接球，所以三棱锥A －BCD 外接球的半径为62，故C 错误；连接MN ，交AD 于点O ，因为MN ∥BC ，所以∠AOM (或其补角)为异面直线AD 与BC 所成的角，由已知OA ＝12AD ＝52，OM ＝12MN ＝52，AM ＝2，所以cos ∠AOM ＝54＋54－42×52×52＝－35，所以异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为35，故D 正确．9．已知α，β是不同的平面，l ，m ，n 是不同的直线，P 为空间中一点．若α∩β＝l ，m ⊂α，n ⊂β，m ∩n ＝P ，则点P 与直线l 的位置关系用符号表示为________．答案P ∈l 解析∵m ⊂α，n ⊂β，m ∩n ＝P ，∴P ∈α且P ∈β，又α∩β＝l ，∴点P 在直线l 上，即P ∈l .10.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB ，CD ，EF ，GH 在原正方体中互为异面直线的有________对．答案3解析画出该正方体的直观图如图所示，易知异面直线有(AB ，GH )，(AB ，CD )，(GH ，EF )．故共有3对．11．(2023·南阳模拟)如图，AB 和CD 是异面直线，AB ＝CD ＝3，E ，F 分别为线段AD ，BC上的点，且AE ED ＝BF FC ＝12，EF ＝7，则AB 与CD 所成角的大小为________．答案60°解析在平面ABD 中，过E 作EG ∥AB ，交DB 于点G ，连接GF ，如图，∵AE ED ＝12，∴BG GD ＝12，又BF FC ＝12，∴BG GD ＝BF FC，∴∠EGF (或其补角)即为AB 与CD 所成的角，在△EGF 中，EG ＝23AB ＝2，GF ＝13CD ＝1，EF ＝7，∴cos ∠EGF ＝22＋12－(7)22×2×1＝－12，∴∠EGF ＝120°，∴AB 与CD 所成角的大小为60°.12．(2023·长春模拟)如图，在底面为正方形的棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为棱CC 1，BB 1，CF ，AF 的中点，对空间任意两点M ，N ，若线段MN 与线段AE ，BD 1都不相交，则称点M 与点N 可视，下列与点D 不可视的为________．(填序号)①B 1；②F ；③H ；④G .答案①②③解析如图所示，连接B 1D 1，BD ，DB 1，EF ，DE ，DH ，DF ，DG ，因为E ，F 分别为棱CC 1，BB 1的中点，所以EF ∥BC ，又底面ABCD 为正方形，所以BC ∥AD ，所以EF ∥AD ，所以四边形EFAD 为梯形，所以DH 与AE 相交，DF 与AE 相交，故②③不可视；因为B 1D 1∥DB ，所以四边形B 1D 1DB 是梯形，所以B 1D 与BD 1相交，故①不可视；因为EFAD 为梯形，G 为CF 的中点，即G ∉EF ，则D ，E ，G ，A 四点不共面，所以DG 与AE 不相交，若DG 与BD 1相交，则D ，B ，G ，D 1四点共面，显然D ，B ，B 1，D 1四点共面，G ∉平面DBB 1D 1，所以D ，B ，G ，D 1四点不共面，即假设不成立，所以DG 与BD 1不相交，即点G 与点D 可视，故④可视．四、解答题13.已知ABCD 是空间四边形，如图所示(M ，N ，E ，F 分别是AB ，AD ，BC ，CD 上的点)．(1)若直线MN 与直线EF 相交于点O ，证明：B ，D ，O 三点共线；(2)若E ，N 为BC ，AD 的中点，AB ＝6，DC ＝4，NE ＝2，求异面直线AB 与DC 所成角的余弦值．(1)证明因为M ∈AB ，N ∈AD ，AB ⊂平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，所以MN ⊂平面ABD ，因为E ∈CB ，F ∈CD ，CB ⊂平面CBD ，CD ⊂平面CBD ，所以EF ⊂平面CBD ，由于直线MN 与直线EF 相交于点O ，即O ∈MN ，O ∈平面ABD ，O ∈EF ，O ∈平面CBD ，又平面ABD ∩平面CBD ＝BD ，则O ∈BD ，所以B ，D ，O 三点共线．(2)解连接BD ，作BD 的中点G ，并连接GN ，GE ，如图所示，在△ABD 中，点N ，G 分别是AD 和BD 的中点，且AB ＝6，所以GN ∥AB ，且GN ＝12AB ＝3，在△CBD 中，点E ，G 分别是BC 和BD 的中点，且DC ＝4，所以GE ∥CD ，且GE ＝12DC ＝2，则异面直线AB 与DC 所成的角等于直线GE 与GN 所成的角，即∠EGN 或∠EGN 的补角，又NE ＝2，由余弦定理得cos ∠EGN ＝GE 2＋GN 2－NE 22GE ·GN ＝22＋32－222×2×3＝34>0，故异面直线AB 与DC 所成角的余弦值为34.14.如图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AD ⊥DC ，AB ∥DC ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，点E 是PB 的中点．(1)线段PA 上是否存在一点G ，使得点D ，C ，E ，G 共面？若存在，请证明，若不存在，请说明理由；(2)若PC ＝2，求三棱锥P －ACE 的体积．解(1)存在．当G 为PA 的中点时满足条件．如图，连接GE ，GD ，则GE 是△PAB 的中位线，所以GE ∥AB .又AB ∥DC ，所以GE ∥DC ，所以G ，E ，C ，D 四点共面．(2)因为E 是PB 的中点，所以V 三棱锥P －ACE ＝V 三棱锥B －ACE ＝12V 三棱锥P －ACB .又S △ABC ＝12AB ·AD ＝12×2×1＝1，V 三棱锥P －ACB ＝13PC ·S △ABC ＝23，所以V 三棱锥P －ACE ＝13.15.(多选)如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段BC 1上运动，则下列判断中正确的是()A ．DP ∥平面AB 1D 1B ．三棱锥C －AD 1P 的体积为定值C ．平面PB 1D ⊥平面ACD 1D ．异面直线DP 与AD 1所成角的范围是π4，π2答案ABC 解析对于A ，连接DB ，C 1D ，AB 1，D 1B 1，因为BC 1∥AD 1，BC 1⊄平面AB 1D 1，AD 1⊂平面AB 1D 1，所以BC 1∥平面AB 1D 1，因为DB ∥D 1B 1，DB ⊄平面AB 1D 1，D 1B 1⊂平面AB 1D 1，所以DB ∥平面AB 1D 1，又DB ∩BC 1＝B ，DB ，BC 1⊂平面BDC 1，所以平面AB 1D 1∥平面BDC 1，又DP ⊂平面BDC 1，所以DP ∥平面AB 1D 1，故A 正确；对于B ，由点P 在线段BC 1上运动知平面AD 1P 即平面AD 1C 1B ，故点C 到平面AD 1P 的距离不变，且△AD 1P 的面积不变，所以三棱锥C －AD 1P 的体积不变，故B 正确；对于C ，因为四边形DCC 1D 1为正方形，则CD 1⊥C 1D ，而AD ⊥平面DCC 1D 1，CD 1⊂平面DCC 1D 1，所以CD 1⊥AD ，又AD ∩C 1D ＝D ，AD ，C 1D ⊂平面AB 1C 1D ，则CD 1⊥平面AB 1C 1D ，而DB 1⊂平面AB 1C 1D ，因此DB 1⊥CD 1，同理DB 1⊥CA ，又CD 1∩CA ＝C ，CD 1，CA ⊂平面ACD 1，所以DB 1⊥平面ACD 1，又DB 1⊂平面PB 1D ，则平面PB 1D ⊥平面ACD 1，故C 正确；对于D ，由AD 1∥BC 1，异面直线DP 与AD 1所成角即为DP 与BC 1所成角，又△DBC 1为等边三角形，当P 与线段BC 1的两端点重合时，DP 与AD 1所成角取最小值π3，当P 与线段BC 1的中点重合时，DP 与AD 1所成角取最大值π2，故DP 与AD 1所成角的范围为π3，π2，故D 错误．16．(2023·孝感模拟)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有顶点均在体积为43π的球O 上，则该正方体的棱长为________，若动点P 在四边形A 1B 1C 1D 1内运动，且满足直线CC 1与直线AP 所成角的正弦值为13，则OP 的最小值为________．答案262解析设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，球O 的半径为R ，则由正方体体对角线L ＝3a ＝2R 得R ＝3a 2，所以V 球O ＝43πR 3＝43π3a 23＝43π，故a ＝2，因为CC 1∥AA 1，所以AA 1与AP 所成角的正弦值也是13，即sin ∠A 1AP ＝13，又因为AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，A 1P ⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以AA 1⊥A 1P ，故sin ∠A 1AP ＝A 1P AP ＝A 1P A 1P 2＋AA 21，即A 1P A 1P 2＋4＝13，解得A 1P ＝22，所以点P 的轨迹是以A 1为圆心，22为半径的圆与四边形A 1B 1C 1D 1内的一段弧，如图所示，设正方形A 1B 1C 1D 1的中心为O 1，连接O 1P ，OO 1，因为O 1A 1＝12A 1C 1＝12×22＋22＝2，所以(O 1P )min ＝O 1A 1－A 1P ＝22，所以(OP )min ＝OO 21＋(O 1P )2min ＝1＋12＝62，即(OP )min ＝62.。

第4课时直线、平面的平行和垂直考纲索引1.直线与平面平行、垂直.2.平面与平面平行、垂直.课标要求1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质和判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行、垂直关系的简单命题.知识梳理1.直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形 a b a条件结论a∩α=2.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件结论α∥βα∥βa∥b a∥α3.直线与平面垂直定义:如果直线l与平面α的直线都垂直,则直线l与此平面α垂直.(1)判定直线和平面垂直的方法:①定义法.②利用判定定理:如果一条直线与平面内的两条直线垂直,则这条直线与这个平面垂直.③推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也这个平面.(2)直线和平面垂直的性质:①直线垂直于平面,则垂直于平面内直线.②垂直于同一个平面的两条直线.③垂直于同一直线的两平面.4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法:①定义法.②利用判定定理:如果一个平面过另一个平面的,则这两个平面互相垂直.(2)平面与平面垂直的性质:如果两平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的直线垂直于另一个平面.1.(教材改编)下列条件中,能判定直线l⊥平面α的是().A.l与平面α内的两条直线垂直B.l与平面α内无数条直线垂直C.l与平面α内的某一条直线垂直D.l与平面α内任意一条直线垂直2.设a,b,c是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则a⊥b的一个充分条件是().A.a⊥c,b⊥cB.α⊥β,b⊂βC.α⊥a,b∥αD.a⊥α,b⊥α3.(教材改编)给出下列四个命题:①垂直于同一平面的两条直线相互平行;②垂直于同一平面的两个平面相互平行;③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线,那么这条直线垂直于这个平面.其中真命题的个数是().A.1B.2C.3D.44.(课本精选题)已知不重合的直线a,b和平面α.①若a∥α,b⊂α,则a∥b;②若a∥α,b∥α,则a∥b;③若a∥b,b⊂α,则a∥α;④若a∥b,a∥α,则b∥α或b⊂α.上面命题中正确的是.(填序号)5.(课本改编)过△ABC所在平面α外一点P,作PO⊥α,垂足为O,连接PA,PB,PC.(1)若PA=PB=PC,∠C=90°,则点O是边AB的点.(2)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的心.(3)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的心.指点迷津1.判定定理或性质定理使用时,条件要完备.如:证明b∥α时,不要忽略b⊄α;用线面平行的性质定理时,不要忽略α∩β=b等.2.六个平行转化关系:3.六种转化关系:考点透析考向一直线与平面平行的判定与性质例1(2014·某某)如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为.点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH.(1)求证:GH∥EF;(2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.【审题视点】利用BC∥平面GEFH,可证得GH∥BC,即可证出GH∥BC.再由PO∥平面GEFH,可证得GK是梯形GEFH的高,由此可求得四边形GEFH的面积.变式训练1.如图,在四面体PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.求证:(1)DE∥平面BCP;(2)四边形DEFG为矩形.(第1题)考向二平面与平面平行的判定与性质例2(2013·某某高考名校联考信息优化卷)如图,沿等腰直角三角形ABC的中位线DE,将平面ADE折起,使得平面ADE⊥平面BCDE得到四棱锥A-BCDE.(1)求证:平面ABC⊥平面ACD;(2)过CD的中点M的平面α与平面ABC平行,试求平行α与四棱锥A-BCDE各个面的交线所围成的多边形的面积与△ABC的面积之比.【审题视点】平面翻折后可得AD⊥平面BCDE.依据α∥平面ABC得出交线位置,可求面积之比.变式训练2.如图所示,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,G在BB1上,且AE=FC1=B1G=1,H是B1C1的中点.求证:(1)E,B,F,D1四点共面;(2)平面A1GH∥平面BED1F.(第2题)考向三直线与平面垂直的判定与性质例3(2013·东北三校联考)如图,在四面体ABCD中,O,E分别是BD,BC的中点,AB=AD=,CA=CB=CD=BD=2.(1)求证:BD⊥AC;(2)求三棱锥E-ADC的体积.【审题视点】BD⊥AO,BD⊥CO➝BD⊥平面AOC➝BD⊥AC,AO⊥CO,AO⊥BD➝AO⊥平面BDC➝V E-ADC.变式训练3.(2014·某某)在如图所示四棱锥P-ABCD中,底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD=,M为BC上一点,且BM=.(1)求证:BC⊥平面POM;(2)若MP⊥AP,求四棱锥P-ABMO的体积.(第3题)考向某某面与平面垂直的判定与性质例4(2013·某某四校达标检测)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,点P为DD1的中点.(1)求证:平面PAC⊥平面BDD1;(2)求证:PB1⊥平面PAC.【审题视点】(1)利用AC⊥面BDD1;(2)利用计算关系PB1⊥PC,PB1⊥PA.【方法总结】面面垂直的关键是线面垂直.两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注意“平面内的直线”.变式训练4.(2013·海滨区期末练习)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,AC∩BD=O.(1)若AC⊥PD,求证:AC⊥平面PBD;(2)若平面PAC⊥平面ABCD,求证:PB=PD.(第4题)考向五平行与垂直的综合应用例5(2013·某某两所名校模拟)如图(1),在梯形BCDE中,BC∥DE,BA⊥DE,且EA=DA=AB=2CB=2,如图(2),沿AB将四边形AB-CD折起,使得平面AB-CD与平面ABE垂直,M为CE的中点.(1)(2)(1)求证:AM⊥BE;(2)求三棱锥C-BED的体积.【审题视点】取BE中点N,MN∥BC∥DA⇒MN⊥平面ABE⇒BE⊥平面AMN⇒AM⊥BE.【方法总结】平行与垂直之间的转化常用结论:①a⊥α,b∥α⇒a⊥b;②a∥b,a∥α⇒b⊥a;③a∥β,a∥α⇒a⊥β;④a⊥α,b∥α⇒a∥b.变式训练5.如图,在四面体ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,点E,F分别是AB、BD的中点.求证:(1)直线EF∥平面ACD;(2)平面EFC⊥平面BCD.(第5题)经典考题典例(2014·)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;(2)求证:C1F∥平面ABE;(3)求三棱锥E-ABC的体积.【解题指南】(1)证明BB1⊥AB,从而证得平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明四边形FGEC1为平行四边形,进而可证得C1F∥平面ABE.(3)先计算AB,再求得三棱锥E-ABC的体积.【解】(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥底面ABC,所以BB1⊥AB.又AB⊥BC,所以AB⊥平面B1BCC1.所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)如图,取AB的中点G,连接EG,FG.因为E,F,G分别是A1C1,BC,AB的中点,所以FG∥AC,且.因为AC∥A1C1,且AC=A1C1,所以FG∥EC1,且FG=EC1,所以四边形FGEC1为平行四边形.真题体验1.(2014·某某)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点.求证:(1)直线BC1∥平面EFPQ;(2)直线AC1⊥平面PQMN.(第1题)2.(2014·某某)如图所示,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.求证:(1)直线PA∥平面DEF;(2)平面BDE⊥平面ABC.(第2题)参考答案与解析知识梳理3.任一(1)相交垂直于(2)所有平行平行4.垂线交线基础自测1.D2.C3.B4.④5.(1)中(2)外(3)垂考点透析【例1】(1)因为BC∥平面GEFH,BC⊂平面PBC,且平面PBC∩平面GEFH=GH,所以GH∥BC.同理可证EF∥BC,因此GH∥EF.(2)连接AC,BD交于点O,BD交EF于点K,连接OP,GK.因为PA=PC,O是AC的中点,所以PO⊥AC,同理可得PO⊥BD.又BD∩AC=O,且AC,BD都在平面ABCD内,所以PO⊥平面ABCD.又平面GEFH⊥平面ABCD,且PO⊄平面GEFH,所以PO∥平面GEFH.因为平面PBD∩平面GEFH=GK,所以PO∥GK.所以GK⊥平面ABCD.又EF⊂平面ABCD,所以GK⊥EF.变式训练经典考题真题体验1.(1)如图,连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知AD1∥BC1.因为F,P分别是AD,DD1的中点,所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(第1题)(2)如图,连接AC,BD,A1C1,则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,可得CC1⊥BD.又AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1A1.而AC1⊂平面ACC1A1,所以BD⊥AC1.因为M,N分别是A1B1,A1D1的中点,所以MN∥BD,从而MN⊥AC1.同理可证PN⊥AC1.又PN∩MN=N,所以直线AC1⊥平面PQMN.。

第三节　空间点、直线、平面之间的位置关系2019考纲考题考情1．平面的基本性质名称图示文字表示符号表示公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A ∈l ，B ∈l ，且A ∈α，B ∈α⇒l ⊂α公理2过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A 、B 、C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A 、B 、C ∈α续表名称图示文字表示符号表示公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过P ∈α，且P ∈β⇒α∩β＝l ，且P ∈l该点的公共直线2.空间两直线的位置关系(2)平行公理：公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行——空间平行线的传递性。

(3)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

(4)异面直线所成的角：①定义：设a、b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b所成的角(或夹角)。

②范围：。

(0，π2]3．直线与平面的位置关系位置关系图示符号表示公共点个数直线l在平面l⊂α无数个α内直线l与平面l∩α＝A一个α相交直线l与平面l∥α0个α平行1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。

2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线。

3．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角。

一、走进教材。

第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系基础知识整合1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的□01两点在一个平面内，那么这条直线就在此平面内． 公理2：经过□02不在同一直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有□03且只有一条过□04该点的公共直线．2．用集合语言描述点、线、面间的关系 (1)点与平面的位置关系：点A 在平面α内记作□05A ∈α，点A 不在平面α内记作□06A ∉α. (2)点与线的位置关系点A 在直线l 上记作□07A ∈l ，点A 不在直线l 上，记作□08A ∉l . (3)线面的位置关系：直线l 在平面α内记作□09l ⊂α，直线l 不在平面α内记作□10l ⊄α.(4)平面α与平面β相交于直线a ，记作□11α∩β＝a . (5)直线l 与平面α相交于点A ，记作□12l ∩α＝A . (6)直线a 与直线b 相交于点A ，记作□13a ∩b ＝A . 3．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧□14平行.□15相交.异面直线：不同在□16任何一个平面内的两条直线.(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的□17锐角或直角叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)． ②范围：□18⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2.1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．1．(2019·银川模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m ⊥α，n⊥β，且β⊥α，则下列结论一定正确的是( )A．m⊥n B．m∥nC．m与n相交D．m与n异面答案 A解析若β⊥α，m⊥α，则直线m与平面β的位置关系有两种：m⊂β或m∥β.当m⊂β时，又n⊥β，所以m⊥n；当m∥β时，又n⊥β，所以m⊥n.故选A.2．(2019·福州质检)已知命题p：a，b为异面直线，命题q：直线a，b不相交，则p 是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若直线a，b不相交，则a，b平行或异面，所以p是q的充分不必要条件，故选A.3．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( )A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC答案 D解析A，B，C，D构成的四边形可能为平面四边形，也可能为空间四边形，D不成立．4．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定( ) A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行答案 C解析由题意易知，c与a，b都可相交，也可只与其中一条相交，故A，B均错误；若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知a∥b，与a，b异面矛盾，D错误．故选C.5．设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中错误的是________(写出所有错误命题的序号)．答案②③④解析由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错误；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错误；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错误．故填②③④.6．(2019·河南南阳模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，O为CD上的动点，V P－OAB恒为定值，且△PDC是正三角形，则直线PD与直线AB所成角的大小是________．答案60°解析因为V P－OAB为定值，所以S△ABO为定值，即O到线AB的距离为定值．因为O为CD上的动点，所以CD∥AB.所以∠PDC即为异面直线PD与AB所成角．因为△PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60°.所以PD与AB所成角为60°.核心考向突破考向一平面基本性质的应用例1 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明(1)如图所示，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1.∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P.则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．触类旁通共面、共线、共点问题的证明方法(1)证明点或线共面，①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．证明点共线，①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定的直线上.证明线共点，先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.提醒：点共线、线共点等都是应用公理3，证明点为两平面的公共点，即证明点在交线上.即时训练 1. 如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)设EG 与FH 交于点P . 求证：P ，A ，C 三点共线．证明 (1)∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点， ∴EF ∥BD . 在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12，∴GH ∥BD ，∴EF ∥GH ，∴E ，F ，G ，H 四点共面． (2)由(1)知EF 綊12BD ，GH 綊23BD .∴四边形FEGH 为梯形，∴GE 与HF 交于一点， 设EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG ⊂平面ABC ， ∴P ∈平面ABC .同理P ∈平面ADC . ∴P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点， 又平面ABC ∩平面ADC ＝AC ， ∴P ∈AC ，∴P ，A ，C 三点共线． 考向二 空间两条直线的位置关系角度1 两条直线位置关系的判定例2 (1)若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4即不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定 答案 D解析 构造如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，取l 1为AD ，l 2为AA 1，l 3为A 1B 1，当取l 4为B 1C 1时，l 1∥l 4，当取l 4为BB 1时，l 1⊥l 4，故排除A ，B ，C ，选D.(2)(2019·贵州六盘水模拟)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是( )A．垂直B．相交C．异面D．平行答案 D解析∵α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，m⊄α，n⊂α，A∈m，A∈α，∴n在平面α内，m与平面α相交，A是m和平面α的交点，∴m和n异面或相交(垂直是相交的特殊情况)，一定不平行．故选D.角度2异面直线的判定例3 (2019·许昌模拟)如下图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．答案②④解析①中HG∥MN；③中GM∥HN且GM≠HN，所以直线HG与MN必相交．触类旁通空间两条直线位置关系的判定方法即时训练 2.(2019·太原期末)已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l( )A．平行B．相交C．垂直D．异面答案 C解析直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错误；l⊂α时，在平面α内不存在与l异面的直线，∴D错误；l∥α时，在平面α内不存在与l 相交的直线，∴B错误．无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．故选C.3．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论序号都填上)．答案③④解析 因为点A 在平面CDD 1C 1外，点M 在平面CDD 1C 1内，直线CC 1在平面CDD 1C 1内，CC 1不过点M ，所以AM 与CC 1是异面直线，故①错；取DD 1中点E ，连接AE ，则BN ∥AE ，但AE 与AM 相交，故②错；因为B 1与BN 都在平面BCC 1B 1内，M 在平面BCC 1B 1外，BN 不过点B 1，所以BN 与MB 1是异面直线，故③正确；同理④正确，故填③④.考向三 异面直线所成的角例4 (1)如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15B.25 C.35 D.45答案 D解析 连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1或其补角即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．连接A 1C 1，由AB ＝1，AA 1＝2，则A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，故cos ∠A 1BC 1＝5＋5－22×5×5＝45.则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为45.故选D.(2)正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是________．答案 60°解析 如图所示，连接A 1B ，可知A 1B ∥E 1D ，∴∠A 1BC 1是异面直线E 1D 和BC 1所成的角．连接A 1C 1，可求得A 1C 1＝C 1B ＝BA 1＝3， ∴∠A 1BC 1＝60°. 触类旁通用平移法求异面直线所成的角的三步法(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．二证：证明作出的角是异面直线所成的角.三求：解三角形，求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.即时训练 4. 如图，在三棱锥D －ABC 中，AC ＝BD ，且AC ⊥BD ，E ，F 分别是棱DC ，AB 的中点，则EF 和AC 所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 B解析 如图所示，取BC 的中点G ，连接FG ，EG .∵E ，F 分别为CD ，AB 的中点， ∴FG ∥AC ，EG ∥BD ， 且FG ＝12AC ，EG ＝12BD .∴∠EFG 为EF 与AC 所成的角． ∵AC ＝BD ，∴FG ＝EG . ∵AC ⊥BD ，∴FG ⊥EG ， ∴∠FGE ＝90°，∴△EFG 为等腰直角三角形，∴∠EFG ＝45°，即EF 与AC 所成的角为45°.故选B.5．在三棱锥S －ACB 中，∠SAB ＝∠SAC ＝∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29，则SC 与AB 所成角的余弦值为________．答案1717解析 如图所示，取BC 的中点E ，分别在平面ABC 内作DE ∥AB ，在平面SBC 内作EF ∥SC ，则异面直线SC 与AB 所成的角为∠FED ，过F 作FG ⊥AB ，连接DG ，则△DFG 为直角三角形．由题知AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29可得DE ＝172，EF ＝2，DF ＝52，在△DEF 中，由余弦定理可得cos ∠FED ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ·EF ＝1717.(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )A.32B.155C.105D.33答案 C解析 将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1补形为直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，如图所示，连接AD 1，B 1D 1，BD .由题意知∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，所以AD 1＝BC 1＝2，AB 1＝5，∠DAB ＝60°.在△ABD 中，由余弦定理知BD 2＝22＋12－2×2×1×cos60°＝3，所以BD ＝3，所以B 1D 1＝ 3.又AB 1与AD 1所成的角即为AB 1与BC 1所成的角θ ，所以cos θ＝AB 21＋AD 21－B 1D 212×AB 1×AD 1＝5＋2－32×5×2＝105.故选C. 答题启示(1)当异面直线所成的角不易作出或难于计算时，可考虑使用补形法．(2)补形法的目的是平移某一条直线，使之与另一条相交，常见的补形方法是对称补形． 对点训练(2019·银川模拟)如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝12，BC ＝3，AA 1＝4，N 在A 1B 1上，且B 1N ＝4，则异面直线BD 1与C 1N 所成角的余弦值为( )A.25 B.35 C.45 D ．－35答案 B解析 补一个与原长方体相同的，并与原长方体有公共面BC 1的长方体B 1F ， 如图所示．连接C 1E ，NE ，则C 1E ∥BD 1，于是∠NC 1E 即为异面直线BD 1与C 1N 所成角(或其补角)．在△NC 1E 中，根据已知条件可求C 1N ＝5，C 1E ＝13，EN ＝E 1N 2＋EE 21＝417.由余弦定理，得cos ∠NC 1E ＝C 1N 2＋C 1E 2－EN 22C 1N ×C 1E ＝－35.所以BD 1与C 1N 所成角的余弦值为35.。

[时间：45分钟分值：100分]基础热身1．[2011·威海质检] 已知直线l、m，平面α，且m⊂α，则“l∥m”是“l∥α”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．[2011·浙江卷] 若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则( )A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交3．[2011·泰安模拟] 设m，n表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列结论中正确的是( )A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥βD．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β4．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )图K43－1A．①③ B．①④ C．②③ D．②④能力提升5．[2011·海口调研] 平面α∥平面β的一个充分条件是( )A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥βD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α图K43－26．如图K43－2所示，在四面体A－BCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为( )A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMNC．AC＝BD D．异面直线PM与7．有一木块如图K43－3所示，点P在平面A′C′内，棱BC平行于平面A′C′，要经过P 和棱BC 将木料锯开，锯开的面必须平整，有N 种锯法，N 为( )A ．0B ．1C ．2D ．无数8．已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过点P 的直线m 与α、β分别交于点A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于B 、D 且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )A ．16B ．24或245C ．14D ．20图K43－49．[2010·福建卷] 如图K43－4所示，若Ω是长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH ∥A 1D 1，则下列结论中不正确的是( )A ．EH ∥FGB ．四边形EFGH 是矩形C ．Ω是棱柱D ．Ω是棱台10．[2011·临沂模拟] 考查下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l 、m 为直线，α、β为平面)，则此条件为________．①⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αl ∥m ⇒l ∥α；②⎭⎪⎬⎪⎫l ∥mm ∥α ⇒l ∥α；③⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥βα⊥β ⇒l ∥α. 11．[2011·济宁一模] 过三棱柱ABC －A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条．12．如图K43－5所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，点Q 在CD 上，则PQ ＝________.13．[2011·汕头质检] 若m ，n 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是________．①若m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不是相交直线； ②若m 、n 都垂直于平面α，则m ，n 一定是平行直线；③已知α，β互相平行，m 、n 互相平行，若m ∥α，则n ∥β； ④若m 、n 在平面α内的射影互相平行，则m 、n 互相平行．14．(10分)[2011·九江联考] 如图K43－6所示，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AB ＝2，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、BC 的中点．(1)求证：PA ∥平面EFG ； (2)求三棱锥P －EFG 的体积．15．(13分)[2011·济南三调] 如图K43－7，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别为所在边的中点，O为面对角线A1C1的中点．(1)求证：平面MNP∥平面A1C1B；(2)求证：MO⊥平面A1C1B.难点突破16．(12分)一个多面体的直观图和三视图如下：K43－8图K43－9(其中M，N分别是AF，BC中点)(1)求证：MN∥平面CDEF；(2)求多面体A－CDEF的体积．课时作业(四十三)【基础热身】1．D [解析] 由l ∥m 可知，l ∥α或l ⊂α；l ∥α且m ⊂α，则l ∥m 或l 与m 异面，故选D.2．B [解析] 在α内存在直线与l 相交，所以A 不正确；若α内存在直线与l 平行，又∵l ⊄α，则有l ∥α，与题设相矛盾，∴B 正确，C 不正确；在α内不过l 与α交点的直线与l 异面，D 不正确．3．D [解析] A 选项不正确，n 还有可能在平面α内，B 选项不正确，平面α还有可能与平面β相交，C 选项不正确，n 也有可能在平面β内，选项D 正确．4．B [解析] 对图①，可通过面面平行得到线面平行．对图④，通过证明AB ∥PN 得到AB ∥平面MNP ，故选B.【能力提升】5．D [解析] 可构造正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1辅助求解．对于A ，记平面AD 1＝α，平面AB 1＝β，CC 1＝a ，满足A 中条件，但α、β不平行，A 错误．对于B ，记平面AD 1＝α，平面AB 1＝β，DD 1＝a ，满足B 中条件，但α、β不平行，B 错误．对于C ，记平面AD 1＝α，平面AB 1＝β，DD 1＝a ，BB 1＝b ，满足C 中条件，但α、β不平行，C 错误，排除A 、B 、C ，故选D.6．C [解析] 由PQ ∥MN ∥AC ，AC ⊥BD ，故A 正确；由PQ ∥AC 可得AC ∥截面PQMN ，故B 正确；异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与PN 所成的角，故D 正确，排除法选C.7．B [解析] ∵BC ∥平面A ′C ′，∴BC ∥B ′C ′，∴在平面A ′C ′上过P 作EF ∥B ′C ′，则EF ∥BC ，所以过EF 、BC 所确定的平面锯开即可，又由于此平面唯一确定，∴只有一种方法，选B.8．B [解析] 根据题意可出现以下如图两种情况，由面面平行的性质定理，得AB ∥CD ，则PA AC ＝PB BD， 可求出BD 的长分别为245或24.9．D [解析] A 项，由于EH ∥A 1D 1，所以EH ∥B 1C 1，EH ∥面BB 1C 1C ，又因为面EFGH ∩面BB 1C 1C ＝FG ，所以EH ∥FG ；B 项，由EH ∥A 1D 1知EH ⊥面AA 1B 1B ，则EH ⊥EF ，又因为四边形EFGH 为平行四边形，所以四边形EFGH 是矩形；C 项，由于面AA 1EFB ∥面DD 1HGC ，且A 1D 1∥AD ∥BC ∥FG ∥EH ，所以Ω是棱柱．故选D.10．l ⊄α [解析] 线面平行的判定中指的是平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，故此条件为：l ⊄α.11．6 [解析] 过三棱柱ABC －A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，记AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点分别为E ，F ，E 1，F 1，则直线EF ，EF 1，EE I ，FF 1，E 1F ，E 1F 1均与平面ABB 1A 1平行，故符合题意的直线共6条．12.223a [解析] 如图，连接AC ，由平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，得MN ∥平面ABCD ，∴MN ∥PQ .又∵MN ∥AC ，∴PQ ∥AC . ∴PD AD ＝DQ CD ＝PQ AC ＝23， ∴PQ ＝23AC ＝223a .13．② [解析] ①为假命题，②为真命题，在③中，n 可以平行于β，也可以在β内，故③是假命题，在④中，m 、n 也可以异面，故④为假命题．14．[解答] (1)证明：如图，取AD 的中点H ，连接GH ，FH . ∵E ，F 分别为PC ，PD 的中点，∴EF ∥CD . 又G ，H 分别是BC ，AD 的中点，∴GH ∥CD . ∴EF ∥GH ，∴E ，F ，H ，G 四点共面． ∵F ，H 分别为DP ，DA 的中点，∴PA ∥FH .又PA ⊄平面EFG ，FH ⊂平面EFG ，∴PA ∥平面EFG .(2)由题易得GC ⊥面PCD ，∴三棱锥以GC 为高，△PEF 为底．PF ＝12PD ＝1，EF ＝12CD ＝1，∵PD ⊥平面ABCD ， ∴PD ⊥CD ，又EF ∥CD ，∴PD ⊥EF ，即∠PFE ＝90°，∴S △PEF ＝12EF ·PF ＝12.又GC ＝12BC ＝1，∴V P －EFG ＝V G －PEF ＝13×12×1＝16.15．[解答] 证明：(1)连接D 1C ，则MN 为△DD 1C 的中位线， ∴MN ∥D 1C .又∵D 1C ∥A 1B ，∴MN ∥A 1B .同理MP ∥C 1B . 而MN 与MP 相交，MN ，MP ⊂平面MNP ，C 1B ，A 1B ⊂平面A 1C 1B ，∴平面MNP ∥平面A 1C 1B . (2)连接C 1M 和A 1M ，设正方体的边长为a ， 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有C 1M ＝A 1M ， 又∵O 为A 1C 1的中点， ∴A 1C 1⊥MO .连接BO 和BM ，在三角形BMO 中， 经计算知OB ＝62a ，OM ＝32a ，BM ＝32a ，∴OB 2＋MO 2＝MB 2，即BO ⊥MO .又A 1C 1∩BO ＝O ，∴MO ⊥平面A 1C 1【难点突破】16．[解答] (1)证明：由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱，且AB ＝BC ＝BF ＝2，DE ＝CF ＝22，∴∠CBF ＝90°.取BF 中点G ，连接MG ，NG ，由M ，N 分别是AF ，BC 中点，∴MG ∥AB ，NG ∥CF .∵AB ∥EF ，∴MG ∥EF ，∵MG 、NG ⊂平面MNG ，MG ∩NG ＝G ，EF 、CF ⊂平面CDEF ，EF ∩CF ＝F ， ∴平面MNG ∥平面CDEF .又MN ⊂平面MNG ，∴MN ∥平面CDEF .(2)作AH ⊥DE 于H ，由于三棱柱ADE －BCF 为直三棱柱， ∴AH ⊥平面CDEF ，且AH ＝2，∴V A －CDEF ＝13S 矩形CDEF ·AH ＝13×2×22×2＝83.。