【文数】长郡中学2020届高三适应性模拟试卷及答案(3月)

绝密★启用前长郡中学2020届高三适应性考试（四）数学（文科）试卷本试题卷共8页，23题（含选考题）．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已如集合2|1,A x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭{3,2,1,1,2,3}B =---，则A B ⋂=（ ）A ．{2,1,1,2,3}--B ．{2,1}--C ．{1,1,2,3}-D ．{3,2}--2．已知i 为虚数单位，复数122i()i,i z z a a -==+∈R ．若12z z >，则a 的取值范围是（ ） A ．(2,2)-B ．(0,2)C ．(2,)+∞D ．(,2)-∞3．函数||2x a y +=在区间(1,)+∞内单调递增的一个充分不必要条件是（ ） A ．1a -…B ．2a -…C ．1a >-D ．2a >-4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13134S π=，则222579cos cos cos a a a ++=（ ） A ．1B ．32 C ．52D ．25．函数1()2||cos2||)2f x x x =-的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知某组合体的正视图和侧视图如图1所示，其俯视图的直观图如图2（粗线部分）所示，其中四边形A B C D ''''为平行四边形，B C x '''∥轴，O '为边A B ''的中点，则平行四边形A B C D ''''的面积为（ ）A ．B ．C ．16D ．87．已知函数()|)|f x x =-，若19log 4a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()5log 2b f =，()0.21.8c f =，则a ，b ，c 之间的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<8．如图，抛物线21:2(0)C y px p =>，圆222:12p C x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，圆2C 与y 轴相切，过1C 的焦点F 的直线从上至下依此交1C ，2C 于,,,A B C D ，且||||AB BD =，O 为坐标原点，则DA u u u r 在OF u u u r方向上的投影为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．89．已知实数,x y 满足约束条件|2|0y x mx y m ≥-⎧⎨-+≥⎩，其中01m <<，若222x y y ++的最大值为40，则m =（ ）A ．2B C ．12 D ．1310．毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据“勾股定理”所画出来的一个可以无限重复的图形，也叫“勾股树”，其是由一个等腰直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到．图1所示是第1代“勾股树”，重复图1的作法，得到第2代“勾股树”（如图2），如此继续．若“勾股树”上共得到8191个正方形，设初始正方形的边长为1，则最小正方形的边长为（ ）A ．116B ．164C ．128D ．3211．定义“互倒函数”为对于定义域内每一个x ，都有1()f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，已知函数()f x 是定义在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的“互倒函数”，且当[1,2]x ∈时，211()2f x x =+，若函数2[()]1y f f x a =--（其中0a ≥）恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．10,4⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎩⎭B ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,4⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭12．数列{}n a 满足1cos 2n n n a n a π+=⋅+，则数列{}n a 的前40项和为（ ）A ．40213-B ．4122-C ．()404213- D ．()402213-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

炎德·英才大联考长郡中学2020届高三月考试卷（一）数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.复数201911i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭A. 1B. -1C. iD. i -2.已知集合{}07U x N x =∈<<，{}2,5A =，{}1,3,5B =，则()U A B =I ð（ ） A .{}1,3,5,6B. {}1,5C. {}2,5D. {}1,33.三个数6log 7，60.7，0.7log 6的大小顺序是( )A. 60.76log 60.7log 7<< B. 660.70.7log 7log 6<< C. 60.76log 6log 70.7<<D. 60.760.7log 6log 7<<4.已知双曲线的一条渐近线方程为2y x =，且经过点(2,，则该双曲线的标准方程为（ ）A. 2214x y -=B. 2214y x -=C. 2214y x -=D. 2214x y -=5.已知α是给定的平面，设不在α内的任意两点M ，N 所在的直线为l ，则下列命题正确的是（ ） A. 在α内存在直线与直线l 异面 B. 在α内存在直线与直线l 相交 C. 在α内存在直线与直线l 平行 D. 存在过直线l 的平面与α平行6.A 4纸是生活中最常用的纸规格．A 系列的纸张规格特色在于：①A 0、A 1、A 2…、A 5，所有尺寸的纸张长宽比都相同．②在A 系列纸中，前一个序号的纸张以两条长边中点连线为折线对折裁剪分开后，可以得到两张后面序号大小的纸，比如1张A 0纸对裁后可以得到2张A 1纸，1张A 1纸对裁可以得到2张A 2纸，依此类推．这是因为A 系列纸张的长宽比为2：1这一特殊比例，所以具备这种特性．已知A0纸规格为84.1厘米×118.9厘米.118.9÷84.1≈1.41≈2，那么A4纸的长度为（）A.14.8厘米 B. 21.0厘米 C. 29.7厘米 D. 42.0厘米7.函数()sin2f x x x x=-的大致图象是（）A. B. C. D. 8.若非零向量,a b r r满足||||,(2)0a b a b b=+⋅=r r r r r，则,a b r r的夹角为（）．A. 6π B. 3π C. 56π D. 23π9.已知数列{}n a的前n项和为n S，若13,a=()11322n n n S S n---=≥g，则5S=（）A. 324B. 93C. 144D. 4510.如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食落在圆锥外面”的概率是（）A.π14- B.π12C.π4D.π112-11.设P ，Q 分别是圆()2262x y +-=和椭圆22110x y +=上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A. B.C. D. 712.已知函数()f x 满足()()110f x f x ++-=，且()()f x f x -=，则()2019f =（ ） A. 1-B. 0C. 1D. 2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则4a =_______.14.已知函数()1sin 2=-f x x x ，则()f x 在点22,33f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处切线的倾斜角为______. 15.4cos50tan40-=o o ______．16.已知三棱锥A BCD -，1AB =，2AC =，2AD =，当ABC ABD ACD S S S ∆∆∆++取最大值时，三棱锥A BCD -的外接球表面积是______.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题.每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题.考生根据要求作答.17.2022年第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行，为了宣传冬奥会，某大学从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看第23届平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：（1）根据上表数据，能否有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关？（2）现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人，参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动，若从这8人中随机选取2人到较广播站开展冬奥会及冰雪项目宣传介绍，求恰好选到一名男生一名女生的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.P （20K k ≥）0.100.050.025 0.01 0.0050k2.7063.8415.0246.6357.87918.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足22sin sin sin 6sin 0A A B B +-=.（1）求ab的值； （2）若3cos 4C =，求sin B 的值.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，60BAC CAD ︒∠=∠=，AB BC ⊥，AD DC ⊥，点E 为PD 的中点，2PA =，4AC =.（1）证明：PB P 平面AEC ； （2）求点D 到平面AEC 的距离.20.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点． （1）求线段AF 的中点M 的轨迹方程；（2）已知△AOB 的面积是△BOF 面积的3倍，求直线l 的方程． 21.已知函数2()22ln (0)f x ax x x a =-++>（1）若()f x 在其定义域上是单调增函数，求实数a 的取值集合； （2）当38a =时，函数()y f x =在[,)()ne n Z +∞∈有零点，求n 的最大值 22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为32sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，其中α为参数，(0,)απ∈.在以坐标原点O 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为(42,)4π，直线l 的极坐标方程为sin()04πρθ-+=.(1)求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；(2)若Q 是曲线C 上的动点，M 为线段PQ 的中点.求点M 到直线l 的距离的最大值. 23.设a ，b ，c 均为正数，且a+b+c=1，证明： （Ⅰ）ab+bc+ac ≤13； （Ⅱ）2221a b c b c a++≥.炎德·英才大联考长郡中学2020届高三月考试卷（一）数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.复数201911i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭A. 1B. -1C. iD. i -【答案】D 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算11ii+-，再由虚数单位i 的性质求解． 【详解】Q21(1)21(1)(1)2i i ii i i i ++===--+， ∴20192019450431()()?1i i i i i i+===--．故答案为D【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.已知集合{}07U x N x =∈<<，{}2,5A =，{}1,3,5B =，则()U A B =I ð（ ） A. {}1,3,5,6 B. {}1,5 C. {}2,5 D. {}1,3【答案】D 【解析】 【分析】利用集合的交、并、补的混合运算即可求解. 【详解】{}{}071,2,3,4,5,6U x x =∈<<=N ，则{}1,3,4,6U A =ð， 则(){}1,3U A B =I ð.故选：D .【点睛】本题考查了集合的交、并、补混合运算，需掌握交、并、补的概念，属于基础题. 3.三个数6log 7，60.7，0.7log 6的大小顺序是( )A. 60.76log 60.7log 7<< B. 660.70.7log 7log 6<< C. 60.76log 6log 70.7<<D. 60.760.7log 6log 7<<【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数和对数函数单调性得出范围，从而得出结果．【详解】66log 7log 61>=，6000.70.71<<=，0.70.7log 6log 10<=；60.76log 60.77log ∴<<．故选A ．【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，熟记函数性质是解题的关键，是基础题. 4.已知双曲线的一条渐近线方程为2y x =，且经过点(2,，则该双曲线的标准方程为（ ）A .2214x y -=B. 2214y x -=C. 2214y x -=D. 2214x y -=【答案】B 【解析】 【分析】对选项逐一分析排除，由此得出正确选项. 【详解】对于A 选项，双曲线的渐近线为12y x =±，不符合题意.对于B 选项，双曲线的渐近线为2y x =±，且过点(2,，符合题意.对于C 选项，双曲线的渐近线为2y x =±，但不过点(2,，不符合题意.对于D 选项，双曲线的渐近线为12y x =±，不符合题意.综上所述，本小题选B. 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线标准方程的求法，属于基础题.5.已知α是给定的平面，设不在α内的任意两点M ，N 所在的直线为l ，则下列命题正确的是（ ） A. 在α内存在直线与直线l 异面 B. 在α内存在直线与直线l 相交 C. 在α内存在直线与直线l 平行 D. 存在过直线l 的平面与α平行 【答案】A 【解析】 【分析】利用M 、N 是不在α内的任意两点，可得直线l 与平面α平行或相交，进而可判断直线与平面内直线的位置关系.【详解】M 、N 是不在α内的任意两点，则直线l 与平面α平行或相交， 若l 与平面α平行，则在α内不存在直线与直线l 相交，所以B 错误： 若直线l 与平面α相交，则不存在过直线l 的平面与α平行，所以D 错误： 若直线l 与平面α相交，则在α内都不存在直线与直线l 平行，所以C 错误； 不论直线l 与平面α平行还是相交.在α内都存在直线与直线l 异面，所以A 正确. 故选：A .【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系，属于基础题.6.A 4纸是生活中最常用的纸规格．A 系列的纸张规格特色在于：①A 0、A 1、A 2…、A 5，所有尺寸的纸张长宽比都相同．②在A 系列纸中，前一个序号的纸张以两条长边中点连线为折线对折裁剪分开后，可以得到两张后面序号大小的纸，比如1张A 0纸对裁后可以得到2张A 1纸，1张A 1纸对裁可以得到2张A 2纸，依此类推．这是因为A 系列纸张的长宽比为2：1这一特殊比例，所以具备这种特性．已知A 0纸规格为84.1厘米×118.9厘米.118.9÷84.1≈1.41≈2，那么A 4纸的长度为（ ） A. 14.8厘米 B. 21.0厘米C. 29.7厘米D. 42.0厘米【答案】C 【解析】 【分析】根据对折规律可得A 4纸的长度.【详解】由题意，A 0纸的长与宽分别为118.9厘米，84.1厘米，则A 1纸的长为2，A 2纸的长为222(2)=， A 3纸的长为23(2)2(2)=A 4纸的长为34(2)2(2)=（厘米）． 故选C【点睛】本题考查的是图形的变化规律，根据题意正确找出图形变化过程中存在的规律是解题的关键. 7.函数()sin 2f x x x x =-的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性,再求()0fπ>，进行排除，可得选项．【详解】由题意得()()sin 2sin2()f x x x x x x x f x -=----=-+=-，所以函数()f x 是奇函数，排除C 、D 选项；当πx =时，()2πππ2ππ0f sin =-=>，因此排除B ，故选A ．【点睛】本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值的特点，属于基础题．8.若非零向量,a b r r 满足||||,(2)0a b a b b =+⋅=r r rr r ，则,a b r r 的夹角为（ ）． A.6πB.3π C.56π D.23π 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用数量积的运算法则化简已知即得解.【详解】由题得2222+=02cos ,0a b b b a b b ⋅∴<>+=r r r r r r r ，，所以12cos ,,,23a b a b π<>=-∴<>=r r r r .故选D【点睛】本题主要考查数量积的运算和向量的夹角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13,a =()11322n n n S S n ---=≥g，则5S =（ ） A. 324B. 93C. 144D. 45【答案】B 【解析】 【分析】先由()113?22n n n S S n ---=≥求出n a ，结合等比数列的前n 项和公式，可求出结果．【详解】因为()113?22n n n S S n ---=≥，所以()13?22n n a n -=≥，又13a =满足13?2n n a -=，因此数列{}n a 是以3为首项，以2为公比的等比数列. 所以()553129312S -==-.故选B【点睛】本题主要考查等比数列的概念以及求和公式，熟记概念和求和公式即可，属于基础题型.10.如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食落在圆锥外面”的概率是（ ）A. π14-B.π12C.π4D. π112-【答案】A 【解析】【详解】由题意,正方形的面积为22=4.圆锥的底面面积为π. 所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1-π 4. 故选A .11.设P ，Q 分别是圆()2262x y +-=和椭圆22110x y +=上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A. 52B.462C.D. 7【答案】C【解析】【分析】 求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P ，Q 两点间的最大距离.【详解】圆()2262x y +-=的圆心为M (0,6)，设()00,Q x y ，则2200110x y +=， 即[]01,1y ∈-， MQ ==[]0 ,?1,1y ∈- ∴当0y =-23时，MQ =最大PQ 的最大值为. 故选C. 【点睛】本题考查了椭圆与圆的综合，圆外任意一点到圆的最大距离是这个点到圆心的距离与圆的半径之和，根据圆外点在椭圆上，即可列出椭圆上一点到圆心的距离的解析式，结合函数最值，即可求得椭圆上一点到圆上一点的最大值.12.已知函数()f x 满足()()110f x f x ++-=，且()()f x f x -=，则()2019f =（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】 利用()()110f x f x ++-=可得函数周期为4，进而可得()()20191f f =，令0x =得()10f =，即可求解.【详解】由()()110f x f x ++-=，得()()11f x f x +=--.所以()()()211f x f x f x +=---=--，又()()f x f x -=. 所以()()()()24f x f x f x f x +=-⇒+=，所以函数()f x 是以4为周期的周期函数.所以()()()()()()20194504333411f f f f f f =⨯+==-=-=，在()()110f x f x ++-=中令0x =得()10f =.故选：B .【点睛】本题考查了函数的奇偶性与周期性求函数值，同时考查了求抽象函数的函数值，属于基础题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则4a =_______.【答案】7【解析】【分析】利用443a S S =-求解.【详解】由题得4431697a S S =-=-=.故答案为7【点睛】本题主要考查数列项和公式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 14.已知函数()1sin 2=-f x x x ，则()f x 在点22,33f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处切线的倾斜角为______. 【答案】4π 【解析】【分析】求出函数的导函数()1cos 2f x x '=-，进而求出213f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭，利用导数的几何意义以及斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】由题意，函数()1sin 2=-f x x x ，则()1cos 2f x x '=-. 所以21211cos 132322f ππ⎛⎫'=-=+= ⎪⎝⎭， 则函数()f x 在点22,33f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处切线的倾斜角为4π.故答案为：4π 【点睛】本题考查了导数的几何意义以及斜率与倾斜角的关系，解题的关键是基本初等函数的导数，属于基础题.15.4cos50tan40-=o o ______．【解析】 【详解】4sin 40cos 40sin 404cos50tan 40cos 40--=o o oo oo 2cos10sin 30cos10sin10cos30cos 40--=o o o o oo, 1sin102cos 40⎫-⎪⎝⎭=o o o==考点：三角函数诱导公式、切割化弦思想.16.已知三棱锥A BCD -，1AB =，2AC =，2AD =，当ABC ABD ACD S S S ∆∆∆++取最大值时，三棱锥A BCD -的外接球表面积是______.【答案】9π【解析】【分析】由题意分析当ABC ABD ACD S S S ∆∆∆++取最大值时AB ，AC ，AD 两两垂直，从而可得以AB ，AC ，AD 为长方体的三条棱，长方体的外接球也即是三棱锥A BCD -的外接球，长方体的对角线即为外接球直径，利用球的表面积公式即可求解.【详解】当ABC ABD ACD S S S ∆∆∆++取最大值时AB ，AC ，AD 两两垂直，此时以AB ，AC ，AD 为长方体的三条棱，长方体的外接球也即是三棱锥A BCD -的外接球，3=，设球的半径为R ，则23R =，球的表面积为()229R ππ=.故答案为：9π【点睛】本题考查了多面题的外接球问题以及球的表面积公式，需熟记公式，属于基础题. 三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题.每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题.考生根据要求作答.17.2022年第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行，为了宣传冬奥会，某大学从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看第23届平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：（1）根据上表数据，能否有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关？（2）现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人，参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动，若从这8人中随机选取2人到较广播站开展冬奥会及冰雪项目宣传介绍，求恰好选到一名男生一名女生的概率. 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）有；（2）37【解析】分析】（1）根据列联表计算出2K ，结合附表即可求解.（2）根据分层抽样可得选取的8人中，男生有6人，女生有2人，再利用组合式以及古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】（1）因为()22120602020207.5 6.63580408040K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为，收着开幕式与性别有关.（2）根据分层抽样方法得， 男生3864⨯=人，女生1824⨯=人， 所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人， 再从这8人中，选取2人的所有情况共有2887282C ⨯==种， 其中恰有一名男生一名女生的情况共有11626212C C ⋅=⨯=种， 所以，所求概率123287P ==. 【点睛】本题考查了独立性检验、分层抽样、组合数以及古典概型的概率计算公式，属于基础题. 18.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足22sin sin sin 6sin 0A A B B +-=.（1）求a b的值； （2）若3cos 4C =，求sin B 的值.【答案】（1）2；（2）8 【解析】【分析】（1）对22sin sin sin 6sin 0A A B B +-=两边同除以2sin B ，即可求得sin 2sin A B =，结合正弦定理即可得解．（2）由余弦定理及2a b =可得c =，再利用余弦定理即可求得cos 8B =，问题得解． 【详解】（1）因为22sin sin sin 6sin 0A A B B +-=，sin 0B ≠， 所以2sin sin 60sin sin A A B B ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，得sin 2sin A B =或sin 3sin A B =-（舍去），由正弦定理得sin 2sin a A b B ==. （2）由余弦定理得2223cos 24a b c C ab +-== ① 将2a b=，即2a b =代入①，得22253b c b -=，得2c b =， 由余弦定理得：222cos 2a c b B ac +-=，即：22252cos 222B b b==⨯⨯， 则()214sin 1cos 8B B =-=. 【点睛】本题主要考查了正、余弦定理及同角三角函数基本关系，考查计算能力及方程思想，属于中档题． 19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，60BAC CAD ︒∠=∠=，AB BC ⊥，AD DC ⊥，点E 为PD 的中点，2PA =，4AC =.（1）证明：PB P 平面AEC ；（2）求点D 到平面AEC 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）217. 【解析】【分析】（1）先连接BD 交AC 于O 点，再根据线面平行的判定定理，即可证明出结论成立；（2）先由线面垂直的判定定理，证明CD ⊥平面PAD ，得到CD PD ⊥，再由勾股定理得到AE CE ⊥，设点D 到平面AEC 的距离为h ，根据111332AEC ACD S h S PA ∆∆⋅=⋅，即可求出结果. 【详解】（1）证明：连接BD 交AC 于O 点，因为60BAC CAD ︒∠=∠=，90ABC ADC ∠=∠=o ，AC AC =，所以Rt ABC Rt ADC ≅V V ，AB AD =.又AO 为BAD ∠的平分线，所以AO BD ⊥，且O 为BD 中点.又因为E 为PD 的中点，所以OE PB P .因为PB ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，所以PB P 平面AEC .（2）解：在1C 中，4AC =，60CAD ︒∠=，所以2AD =，CD 23=由PA ⊥平面ABCD ，得PA CD ⊥，因为AD CD ⊥，PA AD A ⋂=，所以CD ⊥平面PAD ，从而CD PD ⊥.在Rt PAD △中，2PA =，2AD =， 所以22PD =2AE ED ==在Rt CDE △中可得14EC =222AC AE EC =+，所以AE CE ⊥. 所以121472AEC S ∆==1223232ACD S ∆=⨯⨯=. 设点D 到平面AEC 的距离为h ， 则111332AEC ACD S h S PA ∆∆⋅=⋅， 解得232217h ==【点睛】本题主要考查线面平行的证明，以及点到面的距离，熟记线面平行，线面垂直的判定定理以及性质，即可求解，属于常考题型.20.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点．（1）求线段AF 的中点M 的轨迹方程；（2）已知△AOB 的面积是△BOF 面积的3倍，求直线l 的方程．【答案】（1）221y x =-；（2）)1y x =±-【解析】【分析】（1）设线段AF 的中点的坐标为(),M x y ，()11,A x y ，即可求得1121,2x x y y =-=，将它们代入24y x =即可得解．（2）设()()1122,,,A x y B x y ，由△AOB 的面积是△BOF 面积的3倍可得：直线AB 的斜率存在，且OAF ∆的面积是OBF ∆面积的2倍，即可整理得：122y y =-，设直线AB 的方程为：()1y k x =-，联立直线方程与抛物线方程可得：124y y k+=，124y y ⋅=-，结合122y y =-即可求得：k =± 【详解】（1）设线段AF 的中点的坐标为(),M x y ，()11,A x y由抛物线C 的方程24y x =可得：焦点()1,0F 由中点坐标公式可得：1110,22x y x y ++== 即：1121,2x x y y =-=又()11,A x y 在抛物线24y x =上，所以2114y x =， 将1121,2x x y y =-=代入上式可得：()()22421y x =-整理得：221y x =-所以线段AF 的中点M 的轨迹方程为：221y x =-（2）依据题意作出图形，如下：设()()1122,,,A x y B x y ，且1y 与2y 的取值一正、一负因为△AOB 的面积是△BOF 面积的3倍，所以直线AB 的斜率存在，且OAF ∆的面积是OBF ∆面积的2倍， 即：1211222OF y OF y ⨯⨯=⨯⨯⨯，整理得：122y y =- 设直线AB 的方程为：()1y k x =-联立直线与抛物线方程可得：()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，整理得：204k y y k --=. 所以124y y k+=，124y y ⋅=- 由121212244y y y y y y k ⎧⎪=-⎪⋅=-⎨⎪⎪+=⎩解得：22k =±所以直线AB 的方程为：)221y x =±-【点睛】本题主要考查了利用相关动点法求点的轨迹方程，还考查了转化思想及韦达定理，考查方程思想及计算能力，属于中档题．21.已知函数2()22ln (0)f x ax x x a =-++>（1）若()f x 在其定义域上是单调增函数，求实数a 的取值集合；（2）当38a =时，函数()y f x =在[,)()n e n Z +∞∈有零点，求n 的最大值【答案】（1）12a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭；（2）最大值为2- 【解析】【分析】 （1）确定函数定义域，求导，导函数大于等于0恒成立，利用参数分离得到答案.（2）当38a =时，代入函数求导得到函数的单调区间，依次判断每个区间的零点情况，综合得到答案. 【详解】解：（1）()f x 的定义域为()()10,,'220f x ax x +∞=+-≥在()0,∞+上恒成立，即 2112a x x ≥-即12a ≥∴实数a 的取值集合是12a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ （2）38a =时，()()()322'4x x f x x--=，即()f x 在区间20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦和[)2,+∞单调增，()f x 在区间2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调减.()f x 在2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭最小值为()2f 且()231ln 412242ln 2ln 20822f -=⨯-++=-=> ()f x ∴在2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上没有零点. ∴要想函数()f x 在)(),n e n Z ⎡+∞∈⎣上有零点，并考虑到()f x 在区间20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调且 2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减，只须23n e <且()0n f e ≤，易检验()1213108f e e e ---=••+> ()22423122ln 8f e e e e--=•-+2213108e e ⎛⎫=•-< ⎪⎝⎭ 当2n ≤-时，且n Z ∈时均有()0n f e <，即函数()f x 在上有)()1,,n n e e e n Z -⎡⎤⎡⊂+∞∈⎣⎦⎣上有零点. n ∴的最大值为2-【点睛】本题考查了函数单调性，恒成立问题，参数分离法，零点问题，综合性强难度大，需要灵活运用导数各个知识点.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，其中α为参数，(0,)απ∈.在以坐标原点O 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为)4π，直线l 的极坐标方程为sin()04πρθ-+=. (1)求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；(2)若Q 是曲线C 上的动点，M 为线段PQ 的中点.求点M 到直线l 的距离的最大值.【答案】(1)100x y --=，221(0)124x y y +=>；(2)【解析】【分析】(1) 已知直线l 的极坐标方程，运用互化公式cos x ρθ=，sin y ρθ=，即可求出直角坐标方程.将曲线C 的参数方程进行消去参数α，即可得出曲线C 的普通方程.(2) 利用曲线C 的参数方程表示出Q 点坐标，再写出点P 的直角坐标，便得出中点M 坐标，利用点到直线的距离公式求出点到M 直线l 的距离的最大值.【详解】(1)∵直线的极坐标方程为sin()04πρθ-+=，即sin cos 100ρθρθ-+=.由cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得直线的直角坐标方程为100x y --=.将曲线C的参数方程2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩消去参数α，得曲线C 的普通方程为221(0)124x y y +=>. (2)设,2sin )Q αα(0)απ<<.点P的极坐标)4π化为直角坐标为(4,4).则2,sin 2)M αα++.∴点M到直线的距离d==≤. 当sin()13πα-=，即56πα=时，等号成立. ∴点M到直线的距离的最大值为【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化，以及点到直线距离公式的运用，还需要辅助角公式进行化简，意在考查学生的运算求解能力.23.设a ，b ，c 均为正数，且a+b+c=1，证明：（Ⅰ）ab+bc+ac ≤13； （Ⅱ）2221a b c b c a++≥. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（II ）证明见解析.【解析】【详解】（Ⅰ）由222a b ab +≥，222c b bc +≥，222a c ac +≥得：222a b c ab bc ca ++≥++， 由题设得，即2222221a b c ab bc ca +++++=，所以3()1ab bc ca ++≤，即13ab bc ca ++≤. （Ⅱ）因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥， 所以222()2()a b c a b c a b c b c a+++++≥++， 即222a b c a b c b c a++≥++， 所以2221a b c b c a++≥. 本题第（Ⅰ）（Ⅱ）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:“一正二定三相等”.【考点定位】本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.。

长郡中学2020届高三第三次适应性考试数学（文）试题一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合,集合则M∩N=A. B.{1} C.{2} D.{1,2}2.已知单位向量a满足等式则a与b的夹角为A.30°B.60°C.90°D.120°3.已知a>0,函数若满足关于x的方程2ax+b=0,则下列选项的命题中为假命题的是A. B.∃C.∀x∈R,f(x)≤f(xo)D.∀x4.已知某函数图象如图所示，则图象对应的函数可能是5.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论:他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米......所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为6.设数列的前n项和为满足则A.07.已知数据1,2,3,4,x(0<x<5)的平均数与中位数相等,从这5个数中任取2个，则这2个数字之积大于5的概率为8.某几何体由一个棱柱与一个棱锥组合而成,其三视图如图所示,其中俯视图和侧视图中的正方形的边长为2,正视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形,则该几何体的体积为或或69.己知函数.若对任意的不等式恒成立,则正数m的取值范围是A.(0,1-1n2)C.(ln2,+∞)10.已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2c=bsin2A+2asin AcosB，点D在△ABC的内部,且满足∠A.若a则AD+BD+CD=A.3B.6C.711.为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线OL时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线OKL时，表示收入完全不平等.记区域为不平等区域，a表示其面积,S为△OKL的面积,将称为基尼系数.①Gini越小，则国民分配越公平;②设劳伦茨曲线对应的函数为y=f(x),则对∀x∈(0,1),均有③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为则④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为上述说法正确序号的是A.①④B.②③C.①③④D.①②④12.我们把形如(a>0,b>0)的函数因其图象类似于汉字“囧”字，故生动地称为“囧函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当a=1,b=1时,所有的“囧圆”中面积的最小值为A.2πB.3πC.4πD.12π二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。