2014年丰台高三一模文科数学及答案

2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为（）A．2B．3C．5D．72．（5分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣3．（5分）不等式组的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＞1}4．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．5．（5分）函数y=ln（+1）（x＞﹣1）的反函数是（）A．y=（1﹣e x）3（x＞﹣1）B．y=（e x﹣1）3（x＞﹣1）C．y=（1﹣e x）3（x∈R）D．y=（e x﹣1）3（x∈R）6．（5分）已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•=（）A．﹣1B．0C．1D．27．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种8．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6=（）A．31B．32C．63D．649．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1B．+y2=1C．+=1D．+=110．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．11．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2B．2C．4D．412．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．（5分）（x﹣2）6的展开式中x3的系数是．（用数字作答）14．（5分）函数y=cos2x+2sinx的最大值是．15．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为．16．（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．三、解答题17．（10分）数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2=2a n+1﹣a n+2．（Ⅰ）设b n=a n+1﹣a n，证明{b n}是等差数列；（Ⅱ）求{a n}的通项公式．18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC 上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．20．（12分）设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值．21．（12分）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为（）A．2B．3C．5D．7【考点】1A：集合中元素个数的最值；1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】根据M与N，找出两集合的交集，找出交集中的元素即可．【解答】解：∵M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，∴M∩N={1，2，6}，即M∩N中元素的个数为3．故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．【解答】解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x=﹣4，y=3，r==5．∴cosα===﹣，故选：D．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．3．（5分）不等式组的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＞1}【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】解一元二次不等式、绝对值不等式，分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取交集，即得所求．【解答】解：由不等式组可得，解得0＜x＜1，故选：C．【点评】本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，属于基础题．4．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】5G：空间角．【分析】由E为AB的中点，可取AD中点F，连接EF，则∠CEF为异面直线CE 与BD所成角，设出正四面体的棱长，求出△CEF的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE与BD所成角的余弦值．【解答】解：如图，取AD中点F，连接EF，CF，∵E为AB的中点，∴EF∥DB，则∠CEF为异面直线BD与CE所成的角，∵ABCD为正四面体，E，F分别为AB，AD的中点，∴CE=CF．设正四面体的棱长为2a，则EF=a，CE=CF=．在△CEF中，由余弦定理得：=．故选：B．【点评】本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题．5．（5分）函数y=ln（+1）（x＞﹣1）的反函数是（）A．y=（1﹣e x）3（x＞﹣1）B．y=（e x﹣1）3（x＞﹣1）C．y=（1﹣e x）3（x∈R）D．y=（e x﹣1）3（x∈R）【考点】4R：反函数．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由已知式子解出x，然后互换x、y的位置即可得到反函数．【解答】解：∵y=ln（+1），∴+1=e y，即=e y﹣1，∴x=（e y﹣1）3，∴所求反函数为y=（e x﹣1）3，故选：D．【点评】本题考查反函数解析式的求解，属基础题．6．（5分）已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•=（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得、的值，可得（2﹣）•的值．【解答】解：由题意可得，=1×1×cos60°=，=1，∴（2﹣）•=2﹣=0，故选：B．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．7．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】5O：排列组合．【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，再从5名女医生中选出1人，有C51=5种选法，则不同的选法共有15×5=75种；故选：C．【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．8．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6=（）A．31B．32C．63D．64【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，代入数据计算可得．【解答】解：S2=a1+a2，S4﹣S2=a3+a4=（a1+a2）q2，S6﹣S4=a5+a6=（a1+a2）q4，所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，即3，12，S6﹣15成等比数列，可得122=3（S6﹣15），解得S6=63故选：C．【点评】本题考查等比数列的性质，得出S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列是解决问题的关键，属基础题．9．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1B．+y2=1C．+=1D．+=1【考点】K4：椭圆的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．故选：A．【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴R2=（4﹣R）2+（）2，∴R=，∴球的表面积为4π•（）2=．故选：A．【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．11．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2B．2C．4D．4【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论．【解答】解：∵：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，∴e=，双曲线的渐近线方程为y=，不妨取y=，即bx﹣ay=0，则c=2a，b=，∵焦点F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为，∴d=，即，解得c=2，则焦距为2c=4，故选：C．【点评】本题主要考查是双曲线的基本运算，利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组是解决本题的关键，比较基础．12．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）=f（x），即可得到结论．【解答】解：∵f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数，∴设g（x）=f（x+2），则g（﹣x）=g（x），即f（﹣x+2）=f（x+2），∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x+2）=f（x+2）=﹣f（x﹣2），即f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=f（x+4+4）=﹣f（x+4）=f（x），则f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1，∴f（8）+f（9）=0+1=1，故选：D．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．（5分）（x﹣2）6的展开式中x3的系数是﹣160．（用数字作答）【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】根据题意，由二项式定理可得（x﹣2）6的展开式的通项，令x的系数为3，可得r=3，将r=3代入通项，计算可得T4=﹣160x3，即可得答案．【解答】解：根据题意，（x﹣2）6的展开式的通项为T r=C6r x6﹣r（﹣2）r=（﹣1）+1r•2r•C6r x6﹣r，令6﹣r=3可得r=3，此时T4=（﹣1）3•23•C63x3=﹣160x3，即x3的系数是﹣160；故答案为﹣160．【点评】本题考查二项式定理的应用，关键要得到（x﹣2）6的展开式的通项．14．（5分）函数y=cos2x+2sinx的最大值是．【考点】HW：三角函数的最值．【专题】11：计算题．【分析】利用二倍角公式对函数化简可得y=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx=，结合﹣1≤sinx≤1及二次函数的性质可求函数有最大值【解答】解：∵y=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx=又∵﹣1≤sinx≤1当sinx=时，函数有最大值故答案为：【点评】本题主要考查了利用二倍角度公式对三角函数进行化简，二次函数在闭区间上的最值的求解，解题中要注意﹣1≤sinx≤1的条件．15．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为5．【考点】7C：简单线性规划．【专题】31：数形结合．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得C（1，1）．化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式，得．由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大．此时z max=1+4×1=5．故答案为：5．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16．（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．【考点】IV：两直线的夹角与到角问题．【专题】5B：直线与圆．【分析】设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sinθ=的值，可得cosθ、tanθ 的值，再根据tan2θ=，计算求得结果．【解答】解：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，且点A与圆心O之间的距离为OA==，圆的半径为r=，∴sinθ==，∴cosθ=，tanθ==，∴tan2θ===，故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题．三、解答题17．（10分）数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2=2a n+1﹣a n+2．（Ⅰ）设b n=a n+1﹣a n，证明{b n}是等差数列；（Ⅱ）求{a n}的通项公式．【考点】83：等差数列的性质；84：等差数列的通项公式；8H：数列递推式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）将a n=2a n+1﹣a n+2变形为：a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n+2，再由条件得+2b n+1=b n+2，根据条件求出b1，由等差数列的定义证明{b n}是等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）和等差数列的通项公式求出b n，代入b n=a n+1﹣a n并令n从1开始取值，依次得（n﹣1）个式子，然后相加，利用等差数列的前n项和公式求出{a n}的通项公式a n．=2a n+1﹣a n+2得，【解答】解：（Ⅰ）由a n+2a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n+2，由b n=a n+1﹣a n得，b n+1=b n+2，即b n﹣b n=2，+1又b1=a2﹣a1=1，所以{b n}是首项为1，公差为2的等差数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，由b n=a n+1﹣a n得，a n+1﹣a n=2n﹣1，则a2﹣a1=1，a3﹣a2=3，a4﹣a3=5，…，a n﹣a n﹣1=2（n﹣1）﹣1，所以，a n﹣a1=1+3+5+…+2（n﹣1）﹣1==（n﹣1）2，又a1=1，所以{a n}的通项公式a n=（n﹣1）2+1=n2﹣2n+2．【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n项和公式，及累加法求数列的通项公式和转化思想，属于中档题．18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）即可得出．【解答】解：∵3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，∴3tanA=2tanC，∵tanA=，∴2tanC=3×=1，解得tanC=．∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=﹣1，∵B∈（0，π），∴B=【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC 上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；（Ⅱ）作辅助线可证∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，解三角形由反三角函数可得．【解答】解：（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC∴BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C，又AC1⊥BC，A1C∩BC=C，∴AC1⊥平面A1BC，AB1⊂平面A1BC，∴AC1⊥A1B；（Ⅱ）∵BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1，∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1，作A1E⊥CC1，E为垂足，可得A1E⊥平面BCC1B1，又直线AA1∥平面BCC1B1，∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E=，∵A1C为∠ACC1的平分线，∴A1D=A1E=，作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F，又可得AB⊥A1D，A1F∩A1D=A1，∴AB⊥平面A1DF，∵A1F⊂平面A1DF∴A1F⊥AB，∴∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，由AD==1可知D为AC中点，∴DF==，∴tan∠A1FD==，∴二面角A1﹣AB﹣C的大小为arctan【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加，即得所求．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得若k=2，不满足条件．若k=3，求得“同一工作日需使用设备的人数大于3”的概率为0.06＜0.1，满足条件，从而得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）=0.31．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得若k=2，则“同一工作日需使用设备的人数大于2”的概率为0.31＞0.1，不满足条件．若k=3，则“同一工作日需使用设备的人数大于3”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4=0.06＜0.1，满足条件．故k的最小值为3．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．21．（12分）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过导数为0，利用二次函数的根，通过a的范围讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，推出f′（1）≥0且f′（2）≥0，即可求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=ax3+3x2+3x，∴f′（x）=3ax2+6x+3，令f′（x）=0，即3ax2+6x+3=0，则△=36（1﹣a），①若a≥1时，则△≤0，f′（x）≥0，∴f（x）在R上是增函数；②因为a≠0，∴a≤1且a≠0时，△＞0，f′（x）=0方程有两个根，x1=，x2=，当0＜a＜1时，则当x∈（﹣∞，x2）或（x1，+∞）时，f′（x）＞0，故函数在（﹣∞，x2）或（x1，+∞）是增函数；在（x2，x1）是减函数；当a＜0时，则当x∈（﹣∞，x1）或（x2，+∞），f′（x）＜0，故函数在（﹣∞，x1）或（x2，+∞）是减函数；在（x1，x2）是增函数；（Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f′（x）=3ax2+6x+3＞0 故a＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当且仅当：f′（1）≥0且f′（2）≥0，解得﹣，a的取值范围[）∪（0，+∞）．【点评】本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围，考查分类讨论思想的应用．22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0=，根据|QF|=|PQ|求得p的值，可得C的方程．（Ⅱ）设l的方程为x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN 四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px （p＞0），可得x0=，∵点P（0，4），∴|PQ|=．又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，∴+=×，求得p=2，或p=﹣2（舍去）．故C的方程为y2=4x．（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），设l的方程为x=my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1•y2=﹣4．∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|=|y1﹣y2|==4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为x=﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，把线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4=，y3•y4=﹣4（2m2+3）．故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），∴|MN|=|y3﹣y4|=，∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，∴+DE2=MN2，∴4（m2+1）2 ++=×，化简可得m2﹣1=0，∴m=±1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0，或x+y﹣1=0．【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）【2014年北京，文1，5分】若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则A B =I （ ）（A ）{}0,1,2,3,4 （B ）{}0,4 （C ）{}1,2 （D ）{}3 【答案】C【解析】因为{1,2}A B =I ，故选C ．【点评】本题考查交集及其运算，是基础题． （2）【2014年北京，文2，5分】下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）（A ）x y e -= （B ）y x = （C ）ln y x = （D ）y x =【答案】B【解析】对于选项A ，在R 上是减函数；选项C 的定义域为),0(+∞；选项D ，在)0,(-∞上是减函数，故选B ． 【点评】本题主要考查函数定义域和单调性的判断，比较基础．（3）【2014年北京，文3，5分】已知向量()2,4a =r ，()1,1b =-r，则2a b -=r r （ ）（A ）()5,7 （B ）()5,9 （C ）()3,7（D ）()3,9【答案】A【解析】因为2(4,8)a =r，所以2(4,8)(1,1)(5,7)a b -=--=r r ，故选A ． 【点评】本题考查平面向量的数乘及坐标减法运算，是基础的计算题． （4）【2014年北京，文4，5分】执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）（A ）1 （B ）3 （C ）7 （D ）15 【答案】C【解析】当0k =时，1S =；当1k =时，123S =+=；当2k =时，347S =+=；当3k =时，输出7S =，故选C ．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．（5）【2014年北京，文5，5分】设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）（A ）充分必要条件 （B ）必要而不必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分不必要条件 【答案】D【解析】若0,2a b ==-，则22a b <，故不充分； 若2,0a b =-=，则22a b >，而a b <，故不必要，故选D ． 【点评】判断充要条件的方法是：①若p q ⇒为真命题且q p ⇒为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件； ②若p q ⇒为假命题且q p ⇒为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件； ③若p q ⇒为真命题且q p ⇒为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p q ⇒为假命题且q p ⇒为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q的关系．⑥涉及不等式平方大小的比较问题，举反例不失为一种有效的方法．（6）【2014年北京，文6，5分】已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ）（A ）()0,1 （B ）()1,2 （C ）()2,4 （D ）()4,+∞ 【答案】C【解析】因为3(2)410,(4)202f f =->=-<，所以由根的存在性定理可知，故选A ． 【点评】本题考查还是零点的判断，属基础题．（7）【2014年北京，文7，5分】已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=o ，则m 的最大值为（ ）（A ）7 （B ）6 （C ）5 （D ）4 【答案】B【解析】由题意知，点P 在以原点()0,0为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两个圆有交点即可，所以15m -=，故选B ．【点评】本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C 上的点到点O 的距离的最大值为6，是解题的关键，属于中档题．（8）【2014年北京，文8，5分】加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．咋特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）（A ）3.50分钟 （B ）3.75分钟 （C ）4.00分钟 （D ）4.25分钟 【答案】B【解析】由图形可知，三点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)都在函数2p at bt c =++的图象上，所以930.71640.82550.5a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得0.2, 1.5,2a b c =-==-．2215130.2 1.520.2()416p t t t =-+-=--+，当153.754t ==时，p 取最大值，故选B ．【点评】本题考查了二次函数模型的应用，考查利用二次函数的图象与性质求函数的最值问题，确定函数模型是关键．第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分． （9）【2014年北京，文9，5分】若()()i i 12i x x R +=-+∈，则x = ． 【答案】2【解析】由题意知：i 112i x -=-+，所以由复数相等的定义知2x =． 【点评】本题考查复数相等的充要条件，属基础题．（10）【2014年北京，文10，5分】设双曲线C的两个焦点为()，)，一个顶点式()1,0，则C 的方程为 ． 【答案】221x y -=【解析】由题意知：1c a ==，所以2221b c a =-=，又因为双曲线的焦点在x 轴上，所以C 的方程为221x y -=．【点评】本题考查双曲线方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题． （11）【2014年北京，文11，5分】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为______．【答案】【解析】由三视图可知：该几何体为一条侧棱垂直底面的三棱锥，底面为边长为2的等边三角形，棱锥的高为2=．【点评】本题考查点、线、面间的距离计算，考查空间图形的三视图，考查学生的空间想象能力，考查学生分析解决问题的能力． （12）【2014年北京，文12，5分】在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = ．【答案】2【解析】由余弦定理得：22212cos 52244c a b ab C =+-=-⨯⨯=，故2c =；因为4417cos 2228A +-==⨯⨯，所以sin A =正（主）视图【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．（13）【2014年北京，文13，5分】若x 、y 满足11010y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则z y =+的最小值为_______．【答案】1【解析】画出不等式组表示的平面区域，可知区域为三角形，平移直线z y =+可得，当直线经过两条直线1y =与10x y +-=的交点()0,1时，z 取得最小值1．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． （14）【2014年北京，文14，5分】顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成则最短交货期为 工作日．【答案】42【解析】因为第一件进行粗加工时，工艺师什么都不能做，所以最短交货期为6152142++=天． 【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 三、解答题：共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）【2014年北京，文15，13分】已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -为等比数列．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得41123333a a d --===， 所以()()11312n a a n d n n =+-==L ，，．设等比数列{}n n b a -的公比为q ， 由题意得344112012843b a q b a --===--，解得2q =．所以()11112n n n n b a b a q ---=-=． （2）由（1）知()13212n n b n n -=+=L ，，．数列{}3n 的前n 项和为()312n n +， 数列{}12n -的前n 项和为1212112n n -=--×．所以，数列{}n b 的前n 项和为()31212n n n ++-．【点评】本题主要考查学生对等差数列及等比数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查学生的基本的运算能力，属基础题．（16）【2014年北京，文16，13分】函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值； （2）求()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．解：（1）()f x 的最小正周期为π，07π6x =．03y =．（2）因为ππ212x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，，所以π5π2066x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，．于是当π206x +=，即π12x =-时，()f x 取得最大值0；当ππ262x +=-，即π3x =-时，()f x 取得最小值3-．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，属基础题． （17）【2014年北京，文17，14分】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥， 12AA AC ==，E 、F 分别为11A C 、BC 的中点．（1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ；（2）求证：1//C F 平面ABE ；（3）求三棱锥E ABC -的体积． 解：（1）在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ．所以1BB AB ⊥．又因为AB BC ⊥． 所以AB ⊥平面11B BCC ．所以平面ABE ⊥平面11B BCC ．（2）取AB 中点G ，连结EG ，FG ．因为E ，F 分别是11A C ，BC 的中点，所以FG AC ∥，且12FG AC =．因为11AC AC ∥，且11AC AC =，所以1FG EC ∥，且1FG EC =．所以四边形1FGEC 为平行四边形．所以1C F EG ∥． 又因为EG ⊂平面ABE ，1C F ⊄平面ABE ，所以1C F ∥平面ABE ． （3）因为12AA AC ==，1BC =，AB BC ⊥，所以AB ==所以三棱锥E ABC -的体积111112332ABC V S AA =⋅=⨯⨯=△．【点评】本题考查线面平行、垂直的证明，考查三棱锥E ﹣ABC 的体积的计算，正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键．（18）【2014年北京，文18，13分】从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图： （1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（2）求频率分布直方图中的a ，b 的值； （3）假设同一组中的每个数据可用该组区间 的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）． 解：（1）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时 间不少于12小时的学生共有62210++=名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1010.9100-=．从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9．（2）课外阅读时间落在组[46)，的有17人，频率为0.17，所以0.170.0852a ===频率组距．课外阅读时间落在组[810)，的有25人，频率为0.25，所以0.250.1252b ===频率组距．（3）样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组． 【点评】本题考查了频率分布表与频率分布直方图，再频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=频数样本容量． （19）【2014年北京，文19，14分】已知椭圆22:24C x y +=．（1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在直线2y =，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值．解：（1）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=．所以24a =，22b =，从而2222c a b =-=．因此2a =，c =C的离心率c e a ==．C 1B 1A 1FE CBAG C 1B 1A 1FE CBA阅读时间频数（2）设点A ，B 的坐标分别为()2t ，，()00x y ，，其中00x ≠．因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=u u u r u u u r，即0020tx y +=，解得002y t x =-．又22024x y +=，所以()()222002AB x t y =-+- ()22000022y x y x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭2220002044y x y x =+++()2202002024442x x x x --=+++()22002084042x x x =++<≤． 因为()22002084042x x x +<≥≤，且当204x =时等号成立，所以28AB ≥． 故线段AB长度的最小值为【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． （20）【2014年北京，文20，13分】已知函数3()23f x x x =-．（1）求()f x 在区间[2,1]-上的最大值；（2）若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；（3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？（只需写出结论）．解：（1）由()323f x x x =-得()263f x x '=-．令()0f x '=，得x =或x =．因为()210f -=-，f ⎛= ⎝⎭()11f f ==-⎝⎭，所以()f x 在区间[]21-，上的最大值为f ⎛= ⎝⎭（2）设过点()1P t ，的直线与曲线()y f x =相切于点()00x y ，，则300023y x x =-，切线斜率2063k x =-， 所以切线方程为()20063y y x -=-()0x x -，()()20631t y xx -=--．整理得32004630x x t -++=． 设()32463g x x x t =-++，则“过点()1P t ，存在3条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 有3个不同零点”．()()21212121g x x x x x '=-=-． ()g x 与g x '的情况如下：所以，g 当(0)30g t =+≤，即3t -≤时，此时()g x 在区间(]1-∞，和(1)+∞，上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点． 当(1)10g t =+≥，即1t -≥时，此时()g x 在区间(0)-∞，和[)0+∞，上分别至多有1个零点， 所以()g x 至多有2个零点．当()00g >且()10g <，即31t -<<-时，因为()()1702110g t g t -=-<=+>，，所以()g x 分别在 区间[)10-，，[)01，和[)12，上恰有1个零点．由于()g x 在区间()0-∞，和()1+∞，上单调， 所以()g x 分别在区间()0-∞，和[)1-∞，上恰有1个零点．综上可知，当过点()1P t ，存在3条直线与曲线()y f x =相切时，t 的取值范围是()31--，． （3）过点()12A -， 存在3条直线与曲线()y f x =相切；过点()210B ，存在2条直线与曲线()y f x =相切；过点()02C ， 存在1条直线与曲线()y f x =相切．【点评】本题主要考查利用导数求切线方程及判断函数的单调性求最值等知识，考查转化划归思想及分类讨论思想的运用能力和运算能力，属难题．。

2014 年高考北京卷数学（文）卷解析（精编版）第一部分（选择题共40 分）一、选择题共8 小题.每小题 5 分，共40 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1. 若集合A={0,1, 2, 4}，B={1, 2, 3}，则A ⋂B =（）A. {0,1, 2, 3, 4}B. {0, 4}C.{1, 2}D.{3}【答案】C【解析】 A B ={0,1,2,4} {1,2,3}={1,2}.2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（）A.y =e-xB.y =x3C.y = ln xD.y =x【答案】B【解析】对于选项A，在R 上是减函数；选项C 的定义域为(0, +∞) ；选项D，在(-∞, 0) 上是减函数，故选B.【考点】本小题主要考查函数的单调性，属基础题，难度不大.3.已知向量a =(2, 4)，b =(-1,1)，则2a -b =（）B. (5, 9)C. (3, 7)D. (3, 9)A. (5, 7)【答案】A【解析】2a－b= 2(2,4)-(-1,1)=(5,7).4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）A.1B. 3C. 7D.15【答案】C【解析】 S = 20 + 21 + 22 = 7 .5.设a 、b 是实数，则“a >b ”是“a2 >b2 ”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】当a ⋅b < 0时，由a >b 推不出a2 >b2 ，反之也不成立.6.已知函数 f (x )=6- logx 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是（）A. (0,1)B. (1, 2)C. (2, 4)D. (4, +∞)【答案】C【解析】因为f (2) = 4 -1 > 0 ，f (4) =3- 2 < 0 ，所以由根的存在性定理可知：选C.2【考点】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.7.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0)，B(m,0)(m>0)，若圆C上存在点P ，使得∠APB = 90 ，则m 的最大值为（）A. 7B. 6C. 5D. 432 + 42⎩ ⎩【答案】B【解析】由图可知当圆 C 上存在点 P 使∠APB = 90O，即圆 C 与以 AB 为直径的圆有公共点，∴ m -1 ≤ ≤ m + 1，解之得 4 ≤ m ≤ 6.PA (- m ,0)B (m ,0)8.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系 p = at 2 + bt + c （ a 、b 、 c 是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A. 3.50分钟B. 3.75分钟C. 4.00 分钟D. 4.25 分钟【答案】B⎧0.7 = 9a + 3b + c ⎪⎧a = -0.2⎪【解析】由题意得 ⎨0.8 = 16a + 4b + c ，解之得 ⎨b = 1.5 ，⎪0.5 = 25a + 5b + c ⎪c = -2∴ p = -0.2t 2+ 1.5t - 2 = -0.2(t - 3.75)2+ 0.8125 ，即当t = 3.75时， P 有最大值.2 2 22+ 222 22+ ( 2)26 第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 题，每小题 5 分，共 30 分.9.若(x + i )i = -1+ 2i (x ∈ R )，则 x = . 【答案】2【解析】∵ (x + i )i = -1 + xi = -1 + 2i ，∴ x = 2. 10. 设双曲线 C 的两个焦点为 (- 为.【答案】 x 2- y 2= 12, 0)， ( 2, 0)， 一个顶点式 (1, 0) ， 则 C 的方程【解析】由题意设双曲线方程 x 2- y 2 b 2 = 1，又∵1 + b 2 = ( )2 ，∴b 2 = 1即双曲线方程为x 2 - y 2 = 1. 11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为.【答案】 2【解析】三棱锥的直观图如图所示，并且 PB ⊥ 面ABC ，PB = 2 ，AB = 2, AC = BC = ，PA = = 2 ， PC = = .21 - ⎛ 7 ⎫2 ⎝ 8 ⎭⎪ 15 ⎨ ⎩⎩12.在∆ABC 中， a = 1， b = 2 ， cos C = 1，则c =； sin A =.4【答案】2、8【解析】由余弦定理得c 2= a 2+ b 2- 2ab cos C = 1 + 4 - 2 ⨯ 2 ⨯1⨯ 1= 2 ，即c = 2；4cos A =b 2 +c 2 - a 2 2bc = 4 + 4 - 1 = 2 ⨯ 2 ⨯ 2 7 ，∴ sin A = = . 8 8⎧ y ≤ 1 13.若 x 、 y 满足 ⎪x - y -1 ≤ 0 ，则 z = ⎪ x + y -1 ≥ 03x + y 的最小值为.【答案】1【解析】可行域如图，当目标函数线 z = y +3x 过可行域内 A 点时， z 有最小值，联立⎧ y = 1⎨x + y - 1 = 0 ，解之得 A (0,1)， Z min = ⨯ 0 + 1⨯1 = 1. PBC A15314.顾客请一位工艺师把 A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：则最短交货期为 工作日.【答案】42【解析 】因为第 一件进行粗 加工时， 工艺师 什么都 不能做， 所以最短 交货期为6 +15 + 21 = 42天.【考点】本小题以实际问题为背景，主要考查逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能 力. 15.已知{a n }是等差数列，满足 a 1 = 3， a 4 = 12 ，数列{b n }满足 b 1 = 4 ， b 4 = 20 ，且{b n - a n }是等比数列.（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）求数列{b n }的前 n 项和.Ay = 1x - y -1 = 0x + y -1 = 0y = - 3x工序时间原料粗加工精加工原料 A 9 15 原料 B621{【解析】⑴ 设等差数列{a }的公差为 d ，由题意得 d = a 4 - a 1 = 12 - 3= 3n3 3所以 a n = a 1 + (n -1)d = 3n (n = 1，2 ， )． 设等比数列{b n - a n }的公比为 q ，由题意得·· q 3 = b 4 - a 4 = 20 -12= 8 ，解得q = 2 ．b 1 - a 1 4 - 3所以b - a = (b - a )q n -1 = 2n -1 ．nn11从而b n = 3n + 2n -1 (n = 1 ，2 ， ) ⑵ 由⑴知b n = 3n + 2 (n = 1 ，2 ， )． n -13n -11 - 2nn数列{3n }的前 n 项和为 n (n + 1)，数列 2 2 }的前 n 项和为1× 1 - 2 = 2- 1． 所以，数列{b }的前 n 项和为 3n (n + 1) + 2n - 1．n216. 函数 f (x ) = 3sin ⎛2x +π⎫的部分图象如图所示. 6 ⎪ ⎝⎭（1）写出 f (x )的最小正周期及图中 x 0 、 y 0 的值；⎡ π π⎤（2）求 f (x )在区间 ⎢⎣- 2 , - 12 ⎥⎦上的最大值和最小值.【解析】⑴f (x )的最小正周期为 πx = 7π ． 06y3 0⑵ 因为 x ∈ ⎡- π，- π ⎤ ，所以2x + π ∈ ⎡- 5π ，0⎤ ．⎣⎢ 212 ⎥⎦ 6 ⎢⎣ 6 ⎥⎦ 于是当 2x + π = 0 ，即 x = - π时， f (x )取得最大值 0；6 12 当 2x + π = - π ，即 x = - π时， f (x )取得最小值 -3．6 2 317. 如图，在三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中，侧棱垂直于底面， AB ⊥ BC ， AA 1 = AC = 2 ，BC = 1。

2014 年一般高等学校招生全国一致考试北京卷文科数学本试卷共 6 页， 150 分。

考试时长120 分钟，。

考生务势必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8 小题，每题 5 分，共 40 分。

在每题列出的 4 个选项中，选出切合题目要求的一项。

1.若会合A 0,1,2,4 ， B 1,2,3 ，则A B （）A. 0,1,2,3,4B. 0,4C. 1,2D. 32.以下函数中，定义域是R 且为增函数的是（）A. y e xB. y xC. y ln xD. y x3.已知向量a 2,4 ， b 1,1 ，则 2a b （）A. 5,7B. 5,9C. 3,7D. 3,94.履行以下图的程序框图，输出的S 值为（）A. 1B. 3C. 7D. 15开始否是输出结束5.设a、b是实数，则“ a b ”是“ a2 b2”的（）A. 充分而不用要条件B. 必需而不用要条件C.充分必需条件D. 既不充分不用要条件6.已知函数f x 6log 2 x ，在以下区间中，包括 f x 零点的区间是（）xA. 0,1 1,2 2,4 D. 4,B. C.7.已知圆C : x2 21和两点A m,0 ， B m,0 m 0 ，若圆C上存在点3 y 4P ，使得 APB 90 ，则 m 的最大值为（）A. 7B. 6C. 5D. 48.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”at 2 . 咋特定条件下，可食用率p 与加工时间t（单位：分钟）学科网知足的函数关系 p bt c （ a 、b、 c 是常数），以下图记录了三次实验的数据. 依据上述函数模型和实验数据，能够获得最正确加工时间为（）A. 3.50分钟B. 3.75分钟C. 4.00分钟D. 4.25分钟p0.80.70.5O 3 4 5 t第 2 部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分。

2014年普通高等学校招生全国统一考试北京卷文科数学一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则A B = （ ）A.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}3 2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.x y e -=B.y x =C.ln y x =D.y x =3.已知向量()2,4a = ，()1,1b =-，则2a b -= （ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9 4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A.1B.3C.7D.155.设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分不必要条件 6.已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中， 包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1B.()1,2C.()2,4D.()4,+∞7.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ， 使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.4 8.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”. 在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟） 满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数）， 图中记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据， 可以得到最佳加工时间为（ ）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.若()()12x i i i x R +=-+∈，则x = . 10.设双曲线C的两个焦点为()，)，一个顶点式()1,0，则C 的方程为.11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为.侧（左）视图正（主）视图12.在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = . 13.若x 、y 满足11010y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则z y +的最小值为 .14.顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这 项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都 完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：则最短交货期为 工作日.三、解答题共6小题，共80分。

2019北京丰台高三一模数学（文）试题及答案解析点击查看2019北京各区高三一模试卷及答案汇总（完整版）新东方：2019丰台一模文数试题解析2019西城一模答案及试题解析汇总新东方：2019北京西城高三一模语文试题及答案解析2019海淀一模答案及试题解析汇总新东方:2019北京西城高三一模语文试题及答案解析2019东城一模答案及试题解析汇总新东方：2019北京东城高三一模文综试题及答案解析新东方：2019北京东城高三一模化学试题及答案解析新东方：2019北京东城高三一模英语试题及答案解析新东方：2019北京东城高三一模生物试题及答案解析新东方:2019北京东城高三一模语文试题及答案解析2019朝阳一模答案及试题解析汇总新东方：2019北京朝阳高三一模英语试题及答案解析新东方：2019北京朝阳高三一模文数试题及答案解析新东方：2019北京朝阳高三一模文综试题及答案解析新东方：2019北京朝阳高三一模物理试题及答案解析新东方：2019北京朝阳高三一模化学试题及答案解析新东方：2019北京朝阳高三一模生物试题及答案解析新东方：2019北京朝阳高三一模语文试题及答案解析2019丰台一模答案及试题解析汇总新东方：2019北京丰台高三一模数学(文)试题及答案解析2019门头沟一模答案及试题解析汇总新东方：2019北京门头沟高三一模生物试题及答案解析2019顺义一模答案及试题解析汇总新东方:2019北京顺义高三一模语文试题及答案解析2019石景山一模答案及试题解析汇总要练说，得练听。

听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。

我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。

当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。

2014年全国普通高等学校招生统一考试数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3） D．（﹣2，3）2．（5分）若tanα＞0，则（）A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞03．（5分）设z=+i，则|z|=（）A．B．C．D．24．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（）A．2 B．C．D．15．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数6．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D．7．（5分）在函数①y=cos|2x|，②y=|cosx|，③y=cos（2x+），④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③8．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱9．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．10．（5分）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，则x0=（）A．1 B．2 C．4 D．811．（5分）设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（）A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣312．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为．14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．（5分）设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是．16．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN=m．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．18．（12分）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．20．（12分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．21．（12分）设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

2014年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文）（北京卷）第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则AB =（ ）（A ）{}0,1,2,3,4 （B ）{}0,4 （C ）{}1,2 （D ）{}3（2）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）（（3 （))5,9 （4 （ （C （5）设a (A) (C) （6 (A)（7）()(,0B m 若圆 （ （C （8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），如图记录了三次函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） （A ）3.50分钟 （B ）3.75分钟 （C ）4.00分钟 （D ）4.25分钟第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）若()()12x i i i x R +=-+∈，则x = .（10）设双曲线C的两个焦点为()，)，一个顶点式()1,0，则C 的方程为 .（11）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 . （12）在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = . （13）若x 、y 满足11010y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则z y =+的最小值为 .（14）顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带（15（16）（本小题13分）函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（Ⅰ）写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值；（Ⅱ）求()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.（17）（本小题14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC⊥，12AA AC==，E、F分别为11A C、BC的中点. （Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面11B BCC；（Ⅱ）求证：1//C F平面ABE；（Ⅲ）求三棱锥E ABC-的体积.（18）（本小题14分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：12OB⊥，（20（1）若集合{}0,1,2,4A=，{}1,2,3B=，则A B=（）（A）{}0,1,2,3,4（B）{}0,4（C）{}1,2（D）{}3【答案】C【解析】因为}2,1{=BA ，所以选C.【考点】本小题主要考查集合的基本运算，属容易题，熟练集合的基础知识是解答集合题目的关键.（2）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）（A）xy e-=（B）y x=（C）lny x=（D）y x=【答案】B【解析】对于选项A ，在R 上是减函数；选项C 的定义域为),0(+∞；选项D ，在)0,(-∞上是减函数，故选B. 【考点】本小题主要考查函数的单调性，属基础题，难度不大. （3）已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ）（A ）()5,7 （B ）()5,9 （C ）()3,7 （D ）()3,9【答案】A【解析】因为)8,4(2=a，所以)7,5()1,1()8,4(2=--=-b a ，故选A.（4 （ （C 【答案】当k=2（5）设a (A) 件(C) 【答案】 （6) (B)【答案】【解析】因为022)4(,014)2(<-=>-=f f ，所以由根的存在性定理可知，选C. 【考点】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键. （7）已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0Am -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ） （A ）7 （B ）6 （C ）5 （D ）4 【答案】B【解析】由题意知，点P 在以原点(0,0)为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两个圆有交点即可，所以51=-m ，故选B.【考点】本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.（8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）（A ）3.50分钟 （B ）3.75分钟 （C ）4.00分钟 （D ）4.25分钟【答案】B【解析】由图形可知，三点)5.0,5(),8.0,4(),7.0,3(都在函数c bt at p ++=2的图象上，所以⎪⎩⎪⎨⎧=++25167.039a a c b a 所以=p （9）若(【答案】（10则C 【答案】的焦点在的能力.（11【答案】【解析】2的等边三角形，棱锥的高为2，所以最长的棱长为222222=+.【考点】本小题主要考查立体几何的三视图，考查同学们的空间想象能力，考查分析问题与解决问题的能力.（12）在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = . 【答案】2，815 【解析】由余弦定理得：441225cos 2222=⨯⨯-=-+=C ab b a c，故2=c ；因为87222144cos =⨯⨯-+=A ，所以815sin =A . 【考点】本小题主要考查解三角形的知识，考查正弦定理，三角函数的基本关系式等基础止水，属中低档题目.（131y ≤⎧1=y 与+y x . （14（15）（本小题13分）已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =， 且{}n n b a -为等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和.（15）（共13分）解：（Ⅰ） 设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得41123333a a d --===所以()()11312n a a n d n n =+-==，，．设等比数列{}n n b a -的公比为q ， 由题意得344112012843b a q b a --===--，解得2q =．所以()11112n n n n b a b a q ---=-=． 从而()13212n n b n n -=+=，，（Ⅱ）由⑴知()13212n n b n n -=+=，，．数列{}3n 的前n 项和为()312n n +，数列{}12n -的前n 项和为1212112n n -=--×．（16函数（Ⅱ）求（16解：（（Ⅱ（171AA =E 、F （17）（共14分）解：（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ．所以1BB AB ⊥． 又因为AB BC ⊥． 所以AB ⊥平面11B BCC ． 所以平面ABE ⊥平面11B BCC ．（Ⅱ）取AB 中点G ，连结EG ，FG ．（Ⅲ（1812小时的学小时的频从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9．（Ⅱ）课外阅读时间落在组[46)，的有17人，频率为0.17，所以0.170.0852a ===频率组距．课外阅读时间落在组[810)，的有25人，频率为0.25， 所以0.250.1252b ===频率组距． （Ⅲ）样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组． （19）（本小题14分）已知椭圆C ：2224x y +=. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）设O 为原点，若点A 在直线2y =，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值. （19）（共14分）解：（22（Ⅱ即0020y +=，解得又（20（Ⅰ）求（20）（共13分）解：（Ⅰ） 由()323f x x x =-得()263f x x '=-.令()0f x '=，得x =或x =. 因为()210f -=-，f ⎛= ⎝⎭()11f f ==-⎝⎭所以()f x 在区间[]21-，上的最大值为f ⎛= ⎝⎭（Ⅱ） 设过点()1P t ，的直线与曲线()y f x =相切于点()00x y ，， 则300023y x x =-，且切线斜率为2063k x =-， 所以切线方程为()20063y y x -=-()0x x -，因此()()2000631t y x x -=-- . 整理得3204630x x t -++=. 设()32463g x x x t =-++，则“过点()1P t ，存在3条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 有3个不同零点”. ()()21212121g x x x x x '=-=-.g↗当()g x 至多有2当()g x 至多有2当[)10-，，()0-∞，（Ⅲ）。

2014年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文）（北京卷）第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则A B =I （ ）（A ）{}0,1,2,3,4 （B ）{}0,4 （C ）{}1,2 （D ）{}3 （2）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）（A ）xy e -= （B ）y x = （C ）ln y x = （D ）y x =（3）已知向量()2,4a =r ，()1,1b =-r，则2a b -=r r （ ）（A ）()5,7 （B ）()5,9 （C ）()3,7 （D ）()3,9 （4）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）（A ）1 （B ）3 （C ）7 （D ）15（5）设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分不必要条件 （6）已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ）(A)()0,1 (B)()1,2 (C)()2,4 (D)()4,+∞（7）已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=o ，则m 的最大值为（ ） （A ）7 （B ）6 （C ）5 （D ）4 （8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） （A ）3.50分钟 （B ）3.75分钟（C ）4.00分钟 （D ）4.25分钟第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。