关于原点对称的点的坐标特点

五种点的对称点的规律确定图形的位置及描述图形的变化规律都需要求点的坐标，对这类基本题型，有的同学由于对点的坐标概念理解不清，单凭直觉来思维，往往导致误解，现总结五种点的对称点的规律，记住此规律，可使解题省时准确。

一、点关于x 轴的对称点如图1，P （a ，b ）关于x 轴的对称点为P ′，则|PA|=|P ′A|，∴P ′（a ，-b ） 规律：点P 关于x 轴的对称点P ′的坐标是P 的，横坐标不变，纵坐标互为相反数二、点关于y 轴的对称点如图2，P （a ，b ）关于y 轴的对称点为P ′，则|PB|=|P ′B|，∴P ′（-a ，b ） 规律：点P 关于y 轴的对称点P ′的坐标是P的横坐标互为相反数，纵坐标不变。

三、点关于原点的对称点如图3，P （a ，b ）关于原点的对称点为P ′，则|OP|=|OP ′|，作PA ⊥x 轴于A ，作P ′B ⊥x 轴于B ，有∠PAO=∠P ′BO=Rt ∠，∠POA=∠P ′OB ，故△POA ≌△P ′OB ，∴|PA|=|P ’B|，|OA|=|OB|，∴P ′（-a ，-b ）规律：点P 关于原点的对称点P ′的坐标是P 的横、纵坐标的相反数。

四、点关于一、三象限角平分线的对称点如图4，l 为一、三象限的角平分线，P （a ，b ）关于l 的对称点为P ′，则|PC|=|P ′C|，易证Rt △PCO ≌Rt △P ′OC∴OP=OP ′，∠COP=∠COP ′作PA ⊥x 轴于A ，作P ′B ⊥y 轴于B ，易证图2 b ） ，b ） x∵l 平分一、三象限∴∠COA=∠COB ，所以∠POA=∠P ′OBRt △POA ≌Rt △P ′OB ，所以|PA|=|P ′B|，|OA|=|OB|∴P ′（b ，a ）规律：点P 关于一、三象限的角平分线的对称点P ′的坐标是P 的纵、横坐标。

五、点关于二、四象限角平分线的对称点如图5，l 是二、四象限的角平分线，P （a证Rt △PCO ≌Rt △P ′CO ∴|OP|=|OP ′|，∠POC=∠P ′OC作PA ⊥x 轴于A ，作P ′B ⊥y 轴于B又∵l 为二、四象限的角平分线∴∠AOC=∠BOC∴∠POA=∠P ′OB又∵|OP|=|P ′O| ∴Rt △PAO ≌Rt △P ′BO ∴|OA|=|OB|，|PA|=|P ′B|∴P ′（-b ，-a ）规律：点P 关于二、四象限的角平分线的对称点P ′的 坐标是P 的纵、横坐标的相反数。

关于原点对称点的坐标特点原点对称点是在平面直角坐标系中存在的一种特殊点，其特点可以通过以下几个方面进行描述：1.定义：原点对称点是指与原点关于其中一直线对称的点。

对于平面直角坐标系来说，原点是指坐标轴的交点，即(0,0)。

2.坐标特点：设原点对称点的坐标为(x,y)，则可以得出以下关系：对于任意一点(x,y)，其对称点为(-x,-y)。

也就是说，原点对称点的坐标的横坐标和纵坐标分别与原点对称点的横坐标和纵坐标相反。

3.图形特点：原点对称点对于图形的对称性起到了重要的作用。

以平面直角坐标系为例，如果一个图形是对称的，那么它的每个点都可以找到一个与之关于原点对称的点。

对称性可以体现在几何图形的对称轴上，如直线、平面、曲线等。

4.函数特点：在数学的函数中，原点对称点具有一些特殊性质。

例如，对于一个函数f(x)，若f(x)在x=a处取值为b，则f(-x)在x=-a处也取值为b。

这意味着函数的图像关于y轴对称时，也会关于原点对称。

5.性质特点：原点对称点还具有一些其他的性质特点。

首先，由于原点对称点的坐标的横坐标和纵坐标相反，所以它们之间的距离是相等的。

其次，它们之间的直线斜率也是相等的。

此外，两点连线与坐标轴之间的夹角和其对称点连线与坐标轴之间的夹角也是相等的。

6.应用特点：原点对称点的性质在实际应用中具有重要意义。

例如，在物理学中，物体的质心是各个质点的平均位置，质心关于原点对称点的坐标就是物体的质心。

在工程中，了解原点对称点的特点可以帮助我们设计对称的结构，提高结构的稳定性。

总之，原点对称点是平面直角坐标系中一种特殊的点，具有一系列独特的坐标特点。

通过对原点对称点的特点进行深入地了解，我们可以更好地用数学的语言描述图形的对称性，进一步分析函数的性质，并在实际应用中灵活运用这些性质。

关于原点对称什么意思在数学的广阔天地里，“关于原点对称”是一个重要的概念。

那它到底是什么意思呢？让我们一起来揭开它神秘的面纱。

想象一下，在一个平面直角坐标系中，有一个点 A(x,y)。

如果存在另一个点 B(x,y)，使得点 A 和点 B 到原点 O 的距离相等，并且它们的连线经过原点 O，那么我们就说点 A 和点 B 关于原点对称。

为了更直观地理解这个概念，我们可以通过一些具体的例子来感受。

比如说，点(2,3)关于原点对称的点就是(－2,－3)。

再比如，点(－5,4)关于原点对称的点就是(5,－4)。

那关于原点对称有什么特点呢？首先，它们的横纵坐标都互为相反数。

也就是说，如果一个点的横坐标是 a，纵坐标是 b，那么它关于原点对称的点的横坐标就是 a，纵坐标就是 b。

其次，连接这两个对称点的线段会被原点平分。

这就好像原点是一个公平的裁判，将这条线段分成了完全相等的两部分。

为什么要研究关于原点对称呢？这在数学中有着广泛的应用。

比如在函数的图像中，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数就是奇函数。

奇函数有着独特的性质和规律，对于我们研究函数的性质、解决函数相关的问题都非常有帮助。

在几何图形中，也经常会用到关于原点对称的概念。

比如，一个圆形关于原点对称后，仍然是一个圆形；而一个正方形关于原点对称后，就会得到另一个与之全等的正方形。

关于原点对称还和我们的日常生活有着一定的联系。

假设我们在一个地图上，以某个地点为原点建立坐标系。

如果有两个地点关于这个原点对称，那么在规划路线、分配资源等方面，我们就可以利用这个对称关系来更高效地进行操作。

在数学的学习中，理解关于原点对称的概念对于我们进一步学习其他数学知识，如圆锥曲线、向量等，都有着重要的铺垫作用。

只有真正掌握了这个基础概念，我们才能在数学的道路上越走越稳，越走越远。

再深入思考一下，关于原点对称其实反映了一种平衡和对称的美感。

就像大自然中的许多现象，如雪花的对称结构，花朵的对称形态，都蕴含着一种和谐与规律。

坐标平面内图形的轴对称和平移（基础）责编：杜少波【学习目标】1.能在同一直角坐标系中，感受图形经轴对称后点的坐标的变化.2.掌握左右、上下平移点的坐标规律.【要点梳理】要点一、关于坐标轴对称点的坐标特征1.关于坐标轴对称的点的坐标特征P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,－b)；P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (－a,b)；P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (－a,－b)．2.象限的角平分线上点坐标的特征第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，－a)．3.平行于坐标轴的直线上的点平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.要点二、用坐标表示平移1.点的平移：在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b)．要点诠释：（1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；（2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；（3）在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变．2.图形的平移：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．要点诠释：（1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决．（2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.【典型例题】类型一、用坐标表示轴对称1．已知点P（3，－1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a＋b，1－b），则b a的值为_______.【思路点拨】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得a＋b ＝－3，1－b＝－1，再解方程可得a、b的值，进而算出b a的值．【答案】25【解析】解：∵点P（3，－1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a＋b，1－b），∴a＋b＝－3，1－b＝－1，解得：b＝2，a＝－5，ba＝25，【总结升华】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．举一反三：【变式】点（3，2）关于x轴的对称点为（ ）A．（3，－2）B．（－3，2）C．（－3，－2）D．（2，－3）【答案】A．2.已知点A(－3，2)与点B(x，y)在同一条平行于y轴的直线上，且点B到x轴的距离等于3，求点B的坐标．【思路点拨】由“点A(－3，2)与点B(x，y)在同一条平行于y轴的直线上”可得点B的横坐标；由“点B到x轴的距离等于3”可得B的纵坐标为3或﹣3，即可确定B的坐标．【答案与解析】解：如图，∵点B与点A在同一条平行于y轴的直线上，∴点B与点A的横坐标相同，∴ x＝－3．∵点B到x轴的距离为3，∴ y＝3或y＝－3．∴点B的坐标是(－3，3)或(－3，－3)．【总结升华】在点B的横坐标为－3的条件下，点B到x轴的距离等于3，则点B可能在第二象限，也可能在第三象限，所以要分类讨论，防止漏解．举一反三：【变式1】若x轴上的点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为（）.A．（3，0） B．（3，0）或（–3，0）C．（0，3） D．（0，3）或（0，–3）【答案】B.【变式2】若点P (a ,b)在第二象限，则：（1）点P1（a ,－b)在第象限；（2）点P2（－a ,b)在第象限；（3）点P3（－a ,－b)在第象限；（4）点P4（ b ,a )在第象限.【答案】（1）三；（2）一；（3）四；（4）四.类型二、用坐标表示平移3.（2015•海安县校级二模）在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移2个【解析】解：∵将点A（﹣2，3）向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度得点B，∴点B的坐标是（﹣2+2，3﹣6），即（0，﹣3）．故答案为：（0，﹣3）．【总结升华】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．举一反三：【高清课堂：第二讲平面直角坐标系2 369935 练习4 】【变式1】已知：两点A（－4，2）、B（－2，－6），(1)线段AB的中点C坐标是；(2)若将线段AB沿x轴向右平移5个单位，得到线段A1B1，则A1点的坐标是 ,B1点的坐标是．(3)若将线段AB沿y轴向下平移3个单位，得到线段A2B2，则A2点的坐标是,B2点的坐标是．【答案】（1）(－3, －2)； (2)(1,2),(3,－6)； (3)(－4,－1),(－2,－9).【变式2】点P（－2，5）向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，变为P′（0，1）．【答案】2、4．4. 如图所示的直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(0，0)，B(6，0)，C(5，5)．(1)求△ABC的面积；(2)如果将△ABC向上平移1个单位长度，得△A1B1C1，再向右平移2个单位长度，得到△A2B2C2，试求A2、B2、C2的坐标；(3)△A2B2C2与△ABC的大小、形状有什么关系．【思路点拨】(1)已知AB＝6，故只要求得C到x轴距离即可．(2)在平面直角坐标系中，将图形向右(或左)平移a个单位长度，那么图形的点(x，y)向右(或向左)平移a个单位长度，可得对应点(x＋a，y)或(x－a，y)，将图形向上(或向下)平移b个单位长度，可得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b)．(3)可根据平移的性质进行分析和判断．【答案与解析】解：(1)点C到x轴的距离为5，所以11651522ABCS AB h==⨯⨯=A△；(2)根据题意求出三角形A2B2C2各顶点的坐标为A2(2，1)，B2(8，1)，C2(7，6)；(3)连接A2B2C2三点可以看出△A2B2C2与△ABC的大小、形状相等或相同．【总结升华】平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小．举一反三：【变式】（2014秋•宣汉县期末）如图所示，△ABC三个顶点A，B，C的坐标分别为A（1，2），B（4，3），C（3，1）．把△A1B1C1向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，恰好得到△ABC，试写出△A1B1C1三个顶点的坐标．【答案】解：A1（﹣3，5），B1（0，6），C1（﹣1，4）．。

福建省龙岩学院附属中学教案纸（ 2018 ~ 2019 学年第一学期）姓名：郑丽萍年级：九年级任课班级: 九（3）（4）科目: 数学一、复习引入1.填空：点A（-4，2）关于x轴对称的点的坐标是；点A（-4，2）关于y轴对称的点的坐标是；点M（a,b）关于x轴对称的点的坐标是，关于y轴对称的点的坐标是 .2.思考：成轴对称的两个对称点坐标之间有规律，那么成中心对称的两个对称点之间又有什么联系呢？引出课题：关于原点对称的点的坐标二、自主探究1.阅读课本P68页：”探究“：如图所示，在直角坐标系中，作出下列已知点关于原点O的对称点，并写出它的坐标.这些坐标与已知点的坐标有什么关系？A(4,0),B(0,-3),C(2,1),D(-1,2),E(-3,-4)板书：两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点P（x,y）关于原点O的对称点P’（-x,-y）引申：若点P和点P’的坐标互为相反数，即P（x,y）和P’（-x,-y），则点P和点P’的位置关系是 .2.口答课本P69页第1、2（强调规律）3.填一填1.点P(1,3)关于x 轴的对称点的坐标是_______ 关于y 轴的对称点的坐标是________关于原点的对称点的坐标是________.2、已知点P(2a+b,a)与点P’(1,b)关于原点对称，则a=_____ ，b=_______.标是关于原点对称的点的坐则点，）满足等式（、点P y y x x y x P 0222,322=+++-_______.三、 例题讲解 例1.作出与线段AB 关于原点对称的图形．例2.利用关于原点对称的点的坐标特点，作出与△ABC 关于原点对称的图形△A′B′C′解：点A(-4,1) 、 B (-1,-1)、 C (-3,2)关于原点对称的点的坐标分别是A ′(4,-1), B ′(1,1)，C ′ (3,-2)-3-33O BA-2-21-1yx3-44221-1提问：作出与原点对称的图形有几种方法？第一种：直接作图，第二种：先根据点的规律，写出各点的坐标，再描点画图.四、练习1.课本P69页第3题2.在平面直角坐标系中，点P（2，-3）关于x轴对称的点的坐标是，关于y轴对称的点的坐标是，关于原点对称的点的坐标是 . 3．已知点P是第二象限内的点，它到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点P关于原点的对称点P’的坐标是 .4.点A（a，4）与点B（3，b）关于原点对称，则a+b= .5.已知点P（x+1,-6）与点Q（5，y）是关于原点O的对称点，则x+y= .6.如图所示，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P外开始跳动，第一次跳到点P关于x轴的对称点P1处，接着跳到点P1关于y轴的对称点P2处，第三次再跳到点P2关于原点的对称点处…….,如此循环下去，当跳到第2018次时，棋子落点处的坐标是 .7．已知ΔABC各顶点的坐标分别为A（0，4），B（-1，0），C（3，2）.(1).画出关于原点对称的△A′B′C′.（2）.直接写出△A′B′C′三个顶点的坐标.（3）求△A′B′C′的面积8.如图所示，直角坐标系中，已知点P（-2，-1），点T(t,0)是x轴上的一个动点.（1）求点P关于原点的对称点P’的坐标.（2）当t取何值时，ΔP’TO是等腰三角形？1.P（x,y）关于原点O的对称点P’（-x,-y）。

2３.２.３关于原点对称的点的坐标班级: 姓名:学习目标：1、理解P与点P′点关于原点对称时,它们的横纵坐标的关系,2、掌握P(ｘ,y）关于原点的对称点为P′（-x,－y)的运用.学习重、难6点:重点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反,即点Ｐ（ｘ,y）•关于原点的对称点P′(-x，-y）及其运用.难点：运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题．一、复习引入：1、如右图，⑴画出点A关于x轴的对称点A′;⑵画出点Ｂ关于x轴的对称点Ｂ′;⑶画出点C关于y轴的对称点C′;⑷画出点A关于y轴的对称点D′。

观察点A′、B′、C′、D′的坐标与点Ａ、B、Ｃ、D的坐标有什么相同和不同？2、⑴点A（－2,1)关于x轴的对称点为A′（ , ）;⑵点B(０，－３）关于ｘ轴的对称点为Ｂ′（ , ）;⑶点C（-4,－２)关于y轴的对称点为C′( ，）;⑷点Ｄ(5,0)关于ｙ轴的对称点为D′（，）。

观察点A′、B′、C′、D′的坐标与点Ａ、B、Ｃ、Ｄ的坐标有什么相同和不同？归纳:点P（x,y)关于x轴的对称点为Ｐ′（， )；点P（ｘ，y)关于y轴的对称点为Ｐ′( ， );二、合作探究:如右图，A(3，2)，B(－3，2）,C（３,0）,⑴在直角坐标系中，画出点A，Ｂ,Ｃ关于原点的对称点A′，B′，Ｃ′;⑵点A(3,2)关于原点的对称点为A′( ，）点B(-３,2)关于原点的对称点为Ｂ′（ ,);点Ｃ(3，0)关于原点的对称点为C′( , );思考:你发现了什么规律吗？归纳：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号 ,即点P（x,ｙ)关于原点的对称点P（， )跟踪训练：1、点P（-3，-１)关于ｘ轴对称的点P1的坐标是_＿_＿，关于y轴对称的点P2的坐标是____＿_＿_，关于原点对称的点ｐ3的坐标为___＿_＿_＿＿___。

2、已知点A（m,1)与点Ｂ(3,n)关于原点对称，则m=__＿_＿_＿，n=＿__＿＿__.３、已知点A关于原点对称点的坐标为(a，ｂ)，那么点A关于y轴对称点的坐标是( )A．（a,-b）B．（-a,b）Ｃ．（－a,－ｂ） D.（a,b）三、应用新知：例1已知△AＢC的三个顶点的坐标分别为A(-3，5），B(- 4，１)，C(-1，3),作出△AB Ｃ关于原点对称的图形。

关于原点的对称点
原点对称是数学中的一种几何现象，原点是X轴与Y轴的交点。

奇函数的任何一个点都有对称点，直角坐标系上一点（x，y）关于原点对称的点为（-x，-y）。

在直角坐标系（即X，Y坐标轴）中的X轴与Y轴的交点叫做原点。

当坐标轴上有一点（X，Y）（此处X，Y取正值）其对称点为同坐标系中的（-X，-Y）这2个点就叫做原点对称，刚才所指的点（X，Y）为第一象限的点（直角坐标系的右上），（-X，-Y）为第三象限的点（直角坐标系的左下）。

如果一个函数f（x）的定义域内的任何一个x和值域内的任何一个y，都有f（-x）=-f（x），且定义域也关于原点对称的话就说f（x）为奇函数（就是说这个函数f（x）的任何一个点（X，Y）都有对称点的话就称其为奇函数）。