23.2.3 关于原点对称的点的坐标

23.2.3 关于原点对称的点的坐标〔李萨〕一、教学目标〔一〕学习目标1．理解P点与P′点关于原点对称时，它们的横纵坐标的关系，掌握P〔x，y〕关于原点的对称点为P′〔-x，-y〕的运用．2．复习轴对称、旋转，尤其是中心对称，知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系及其运用．〔二〕学习重点两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P〔x，y〕•关于原点的对称点P′〔-x，-y〕及其运用．〔三〕学习难点运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题．二、教学设计〔一〕课前设计1．预习任务两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P〔x，y〕关于原点O的对称点P′〔-x，-y〕2．预习自测〔1〕点A〔a，1〕与点A'〔5，b〕关于坐标原点对称，那么实数a、b的值是〔〕A.a=5，b=1B.a=-5，b=1C.a=5，b=-1D.a=-5，b=-1【知识点】关于原点对称的点的坐标的性质【解题过程】∵A与A'点关于原点成中心对称∴a+5=0,1+b=0∴a=-5，b=-1【思路点拨】抓住关于原点对称的点的坐标的性质【答案】D.〔2〕如下图，△PQR是△ABC△ABC中任意一点M的坐标为〔a，b〕，那么它的对应点N的坐标为．【知识点】关于原点对称的点的坐标的性质【解题过程】∵M与N点关于原点成中心对称∴a+x=0,b+y=0∴=-a,y=-b∴N〔-a，-b〕【思路点拨】抓住关于原点对称的点的坐标的性质【答案】〔-a，-b〕〔3〕在平面直角坐标系中，点A〔2m+3n，1〕与点B〔5，3m-2n〕关于原点0中心对称，那么m= ，n= ．【知识点】关于原点对称的点的坐标的性质【解题过程】∵A与B点关于原点成中心对称∴2m+3n=-5,3m-2n=-1∴ m=-1,n=-1【思路点拨】抓住关于原点对称的点的坐标的性质【答案】-1，-1.〔4〕在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A〔-4,3〕，B〔-3,1〕，C〔-1,3〕. （1）请按以下要求画图：①将△ABC先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；②△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2 .〔2〕在第1题中，所得的△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称，请直接写出点M的坐标. 【知识点】平移与中心对称的性质【数学思想】数形结合【解题过程】〔1〕①将点A、B、C分别先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得点A1、B1、C1，然后顺次连接，可得△A1B1C1，如下图；②先找出点A、B、C关于原点O的对称点A2、B2、C2，然后顺次连接，可得△A2B2C2，如下图；〔2〕点M的坐标为〔2,1〕.【思路点拨】抓住平移和中心对称的性质【答案】〔1〕〔2〕点M的坐标为〔2,1〕.〔二〕课堂设计1．知识回忆〔1〕中心对称的定义：如果把一个图形绕某个点旋转180，它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点对称或中心对称.这个点叫做它们的对称中心.这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.〔2〕中心对称的性质:①中心对称的两个图形，对称点所连线段必过对称中心，且被对称中心平分.②中心对称的两个图形是全等图形.2．问题探究探究一理解P与点P′点关于原点对称时，它们的横纵坐标的关系重点知识★●活动①回忆旧知，回忆中心对称中的相关概念作图：作出三角形AOB关于O点的对称图形，如下图．B AO解：延长AO使OC=AO，延长BO使OD=BO，连结CD那么△COD为所求的，如下图．【设计意图】通过对旧知识的复习，为新知识的学习作铺垫.●活动②整合旧知探究P与点'P点关于原点对称时，它们的横纵坐标的关系〔学生活动〕如图，在直角坐标系中，A〔-3，1〕、B〔-4，0〕、C〔0，3〕、•D〔2，2〕、E 〔3，-3〕、F〔-2，-2〕，作出A、B、C、D、E、F点关于原点O的中心对称点，并写出它们的坐标，并答复：这些坐标与点的坐标有什么关系？教师点评：画法：〔1〕连结AO并延长AO〔2〕在射线AO上截取OA′=OA〔3〕过A作AD′⊥x轴于D′点，过A′作A′D″⊥x轴于点D″．∵△AD′O与△A′D″O全等∴AD′=A′D″，OA=OA′∴A′〔3，-1〕同理可得B、C、D、E、F这些点关于原点的中心对称点的坐标．〔学生活动〕分组讨论〔每四人一组〕：讨论的内容：关于原点作中心对称时，①它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？②坐标与坐标之间符号又有什么特点？教师点评：〔1〕从上可知，横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等．〔2〕坐标符号相反，即设P〔x，y〕关于原点O的对称点P′〔-x，-y〕．【设计意图】鼓励学生独立自主解决问题，让学生初步感受通过观察来掌握几何知识的相关概念，引导学生由观察得到感性认识，思考满足中心对称关系的条件，寻求解决问题的方法. 探究二轴对称、旋转，尤其是中心对称，知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系及其运●活动①大胆猜测，大胆操作，探究新知如图,利用关于原点对称的点的坐标特点,作出与线段AB关于原点对称的图形．分析：要作出线段AB A、点B关于原点的对称点A′、B′即可．解：点P〔x，y〕关于原点的对称点为P′〔-x，-y〕，因此，线段AB的两个端点A〔0，-1〕，B〔3，0〕关于原点的对称点分别为A′〔1，0〕，B〔-3，0〕．连结A′B′．那么就可得到与线段AB关于原点对称的线段A′B′．【设计意图】教师综合学生的疑惑，把有意义的问题归纳，并展示出来.●活动②集思广益，探索关于原点对称的点的特点〔学生活动〕△ABC，A〔1，2〕，B〔-1，3〕，C〔-2，4〕利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出△ABC关于原点对称的图形．教师点评分析：先在直角坐标系中画出A、B、C三点并连结组成△ABC，要作出△ABC关于原点O的对称三角形，只需作出△ABC中的A、B、C三点关于原点的对称点，•依次连结，便可得到所求作的△A′B′C′．因此，综合以上我们得出关于原点对称的点的性质：①横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等．②坐标符号相反，即设P〔x，y〕关于原点O的对称点P′〔-x，-y〕．【设计意图】通过关于原点中心对称的作图，发坐标的关系.●活动③关于原点中心对称的应用1.△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如下图．画出△ABC关于点O成中心对称的△A1B1C1．【知识点】中心对称的性质【数学思想】数形结合【解题过程】先找出点A、B、C关于原点O的对称点A1、B1、C1,然后顺次连接，可得△A1B1C1，如下图；【思路点拨】抓住中心对称的性质【答案】2.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为〔2,4〕，请解答以下问题：〔1〕画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．〔2〕画出△A1B1C1绕原点旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．【知识点】轴对称的性质和中心对称的性质【数学思想】数形结合【解题过程】〔1〕先找出点A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1，然后顺次连接，可得△A1B1C1，如下图；点A1的坐标〔2,-4〕．(2)先找出点A1、B1、C1关于原点O的对称点A2、B2、C2，然后顺次连接，可得△A2B2C2，如下图；点A2的坐标〔-2,4〕．【思路点拨】抓住轴对称的性质和中心对称的性质【答案】〔1〕如下图：点A1的坐标〔2,-4〕．〔2〕如下图，点A2的坐标〔-2,4〕．探究三拓展应用★▲●活动①根底性例题例1. 如下图，△ABC三个顶点的坐标分别为A〔-2，-1〕，B〔-3，-3〕，C〔-1，-3〕．画出△ABC关于原点0对称的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．【知识点】中心对称的性质【数学思想】数形结合【解题过程】先找出点A、B、C关于原点O的对称点A2、B2、C2，然后顺次连接，可得△A2B2C2，如下图；点A2的坐标〔2,1〕【思路点拨】抓住中心对称的性质【答案】如下图.A2〔2,1〕练习：如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上．画出△ABC关于原点成中心对称的△A'B'C'【知识点】中心对称的性质【数学思想】数形结合【解题过程】先找出点A、B、C关于原点O的对称点A1、B1、C1，然后顺次连接，可得△A1B1C1，如下图；【思路点拨】根据关于原点对称的点的坐标，可得答案；【答案】见解答过程【设计意图】让学生熟练掌握坐标系中中心对称点的性质，并快速作图.●活动2 提升型例题例2.在如下图的单位正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，在AC上一点P〔2.4，2〕平移后的对应点为P1，点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，那么P2点的坐标为〔〕A.〔1.4，-1〕B.〔1.5，2〕C.〔1.6,1〕D.〔2.4,1〕【知识点】平移和旋转的性质【数学思想】数形结合【解题过程】∵A点坐标为：〔2,4〕，A1〔-2,1〕，∴点P〔2.4，2〕平移后的对应点P1为：〔-1.6,-1〕．∵点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，∴P2点的坐标为：〔1.6,1〕．应选C.【思路点拨】抓住平移和旋转的性质【答案】 C.练习：如图，在平面直角坐标系中，假设△ABC与△A1B1C1关于E点成中心对称，那么对称中心E点的坐标．【知识点】找对称中心【解题过程】因为△ABC与△A1B1C1关于点E成中心对称，所以点E是AA1的中点，所以点E 的坐标为〔3，-1〕.【思路点拨】抓住中心对称图形的性质【答案】〔3，-1〕.【设计意图】结合平移和中心对称的性质，进展综合运用●活动3 探究型例题例3.如下图，将△ABC绕点C〔0，-1〕旋转180°得到△A'B'C，设点A的坐标为〔a，b〕，那么点A'的坐标为．【知识点】中心对称的性质【解题过程】∵A'与A关于C点成中心对称∴a+x=2×0,b+y=-1×2∴x=-a,y=-b-2，∴点A'的坐标为〔-a，-b-2〕.【思路点拨】对称中心不是原点的中心对称问题.【答案】〔-a，-b-2〕.练习：如下图，把长方形OABC放在直角坐标系中，OC在x轴上，OA在y轴上，且OC=2,OA=4，把长方形OABC绕着原点顺时针旋转90°得到长方形OA'B'C'，那么点B'的坐标为．【知识点】旋转的性质【解题过程】∵OA'=OA=4,OC'=OC=2∴B'〔4,2〕【思路点拨】抓住旋转的性质【答案】〔4,2〕【设计意图】提升训练，学会从特殊到一般的转化.3. 课堂总结知识梳理两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P〔x，y〕，•关于原点的对称点P′〔-x，-y〕，及利用这些特点解决一些实际问题．重难点归纳运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题．〔三〕课后作业根底型自主突破1.在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A〔2，-1〕，B〔3，-3〕，C〔0，-4〕．〔1〕画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；〔2〕画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2．【知识点】中心对称与轴对称的性质【数学思想】数形结合【解题过程】〔1〕先找出点A、B、C关于原点成中心对称的点A1、B1、C1，然后顺次连接，可得△A1B1C1，如下图；(2)先找出点A1、B1、C1关于y轴的对称点A2、B2、C2，然后顺次连接，可得△A2B2C2，如下图；【思路点拨】中心对称与轴对称的性质【答案】〔1〕△A1B1C1如下图．〔2〕△A2B2C2如〔1〕图所示．2. 在如下图的正方形网格中，△ABC顶点均在格点上，请在所给的平面直角坐标系中按要求作图并完成填空：〔1〕作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，写出点B1的坐标；〔2〕作出△A1B1C1绕点O逆时针旋转90°的△A2B2C2，写出点C2的坐标．【知识点】中心对称和旋转的性质【数学思想】数形结合【解题过程】〔1〕先找出点A、B、C关于原点成中心对称的点A1、B1、C1，然后顺次连接，可得△A1B1C1，如下图；写出点B1的坐标为〔4，-4〕；（2）先找出点A1、B1、C1绕点逆时针旋转90°的对应点A2、B2、C2，然后顺次连接，可得△A2B2C2，如下图；写出点C2的坐标为〔1,4〕.【思路点拨】抓住中心对称和旋转的性质 【答案】〔1〕 如下图，B 1〔4，-4〕 〔2〕如下图，C 2〔1,4〕3.如图，在平面直角坐标系中，直角△ABC 的三个顶点分别是A (-3，1)，B(0，3)，C (0，1) .〔1〕将△ABC 以点C 为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A 1B 1C 1； 〔2〕分别连接AB 1、BA 1后，求四边形AB 1A 1B 的面积． 【知识点】中心对称的性质和菱形的面积 【解题过程】〔1〕如图，△A 1B 1C 1为所作，〔2〕四边形AB 1A 1B 的面积=.124621=⨯⨯【思路点拨】抓住中心对称后图形的特点【答案】〔1〕如图〔2〕四边形AB1A1B的面积为12．4. △ABC在平面直角坐标系中位置如下图，△ABC的顶点A、B、C都在格点上．〔1〕作出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1〔点A、B、C关于原点O的对称点分别为A1、B、C1〕．1〔2〕写出点C1的坐标及CC1长．〔3〕BC与BC1的位置关系为．【知识点】中心对称的性质和两点间的距离公式【数学思想】数形结合【解题过程】〔1〕先找出点A、B、C关于原点成中心对称的点A1、B1、C1，然后顺次连接，可得△A1B1C1，如下图；2. 〔2〕用两点间的距离公式求线段CC1的长，C1〔2,1〕，CC1=5〔3〕垂直【思路点拨】抓住中心对称的性质【答案】〔1〕2.〔2〕C1〔2,1〕，CC1=5〔3〕垂直5.△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如下图．〔1〕作△ABC 关于点C 成中心对称的△A 1B 1C 1．〔2〕将△A 1B 1C 1向右平移4个单位，作出平移后的△A 2B 2C 2．〔3〕在x 轴上求作一点P ，使PA 1+PC 2的值最小，并写出点P 的坐标〔不写解答过程，直接写出结果〕．【知识点】中心对称的性质和轴对称的应用 【数学思想】数形结合 【解题过程】〔1〕先找出点A 、B 、C 分别关于点C 的对称点A 1、B 1、C 1，然后顺次连接，可得△A 1B 1C 1，如下图；〔2〕先找出点A 1、B 1、C 1分别向右平移4个单位的对应点A 2、B 2、C 2，然后顺次连接，可得△A 2B 2C 2 ，如下图；〔3〕作点A 1关于x 轴的对称点A'，连接A'C 2，交x 轴于点P ，可得P 点坐标为 〔38，0〕，如下图【思路点拨】抓住中心对称的性质和轴对称的应用 【答案】 〔1〕 如下图．〔2〕 如下图．〔3〕〔38，0〕.6.如下图，将△ABC 绕点P 顺时针旋转 得到 △A'B'C'，那么点P 的坐标是 〔 〕A.〔1，1〕B.〔1，2〕C. 〔1，3〕D. 〔1，4〕【知识点】旋转的性质【解题过程】∵将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△A′B′C′，∴点A的对应点为点A′，点C的对应点为点C′，作线段AA′和CC′的垂直平分线，它们的交点为P〔1，2〕，∴旋转中心的坐标为〔1，2〕．应选B．【思路点拨】抓住旋转中心的性质【答案】B.能力型师生共研7.在平面直角坐标系中，线段OP的两个端点坐标分别是O〔0，0〕，P〔4，3〕，将线段OP 绕点O逆时针旋转90°到OP'位置，那么点P'的坐标为A.〔3,4〕B.〔-4,3〕C.〔-3,4〕D.〔4,-3〕【知识点】旋转的性质【解题过程】先做图，将点P绕点O逆时针旋转90°到P'，再利用全等知识求线段，应选C.【思路点拨】抓住旋转三要素作图【答案】C.8. 正方形ABCD与正方形A1B1C1D1，关于某点中心对称，A、D1、D三点的坐标分别是〔0,4〕〔0,3〕〔0,2〕．〔1〕求对称中心的坐标；〔2〕写出顶点B 、C 、B 1、C 1的坐标． 【知识点】中心对称的性质【解题过程】〔1〕 因为D 和D 1是对称点，所以对称中心是线段DD 1的中点，所以对称中心的坐标是〔0，25〕． 〔2〕B 〔-2,4〕,C 〔-2,2〕,C 1〔2,3〕，B 1〔2,1〕.【思路点拨】抓住旋转的性质 【答案】〔1〕〔0，25〕. 〔2〕B 〔-2,4〕,C 〔-2,2〕,C 1〔2,3〕，B 1〔2,1〕.探究型 多维突破9.在平面直角坐标系中，△ABC 三个顶点的坐标分别为()()()1,2,3,4,2,9.A B C --- ⑴画出ABC △，并求出AC 所在直线的解析式.⑵画出ABC △绕点A 顺时针旋转90后得到的111A B C △，并求出ABC △在上述旋转过程中扫过的面积.【知识点】旋转的性质和扇形面积【解题过程】⑴如下图，ABC △即为所求. 设AC 所在直线的解析式为()0y kx b k =+≠∵()1,2A -，()2,9C - ∴229k b k b -+=⎧⎨-+=⎩ 解得 75k b =-⎧⎨=-⎩∴75y x =--⑵如下图，11B C 1△A 即为所求.由图可知，52AC =ABC S S S =+△扇形=()2905225663602ππ+=+ 【思路点拨】〔1〕利用两点坐标列方程组就一次函数解析式； 〔2〕利用旋转的性质和扇形面积公式求解. 【答案】〔1〕75y x =-- 〔2〕2562π+ 10.去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱,某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A 和李村B 送水．经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O 为坐标原点，以河道所在的直线为x 轴建立直角坐标系〔如图〕，两村的坐标分别为A 〔2，3〕，B (12，7)．(1)假设从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O 多远的地方可使所用输水管最短? (2)水泵站建在距离大桥O 多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？【知识点】对称的性质，中垂线的性质 【解题过程】〔1〕作点B 关于x 轴的对称点E ，连接AE ，O2 4 6 8 10 12 x /千米2 4 6 8y /千米 ABA BCOB 1C 1A 1 xy11那么点E 为〔12，－7〕，设直线AE 的函数关系式为y =kx ＋b ，那么23127k b k b +=⎧⎨+=-⎩，解得15k b =-⎧⎨=⎩， 所以，直线AE 解析式为y =－x ＋5当y =0时，x =5，所以，水泵站应建在距离大桥5千米的地方时，可使所用输水管道最短． 〔2〕作线段AB 的垂直平分线GF ，交AB 于点F ，交x 轴于点G ， 设点G 的坐标为〔x ，0〕，在Rt △AGD 中，AG 2=AD 2＋DG 2=32＋〔x －2〕2 在Rt △BCG 中，BG 2=BC 2＋GC 2=72＋〔12－x 〕2 ∵AG= BG ，∴32＋〔x －2〕2=72＋〔12－x 〕2 解得x =9．所以，水泵站建在距离大桥9千米的地方，可使它到张村、李村的距离相等．【思路点拨】〔1〕利用对称找出最短距离，再用一次函数与x 轴交点求距离 〔2〕先做出AB 的中垂线，再利用AB 的中垂线上与x 轴交点求距离 【答案】〔1〕水泵站应建在距离大桥5千米的地方〔2〕水泵站建在距离大桥9千米的地方自助餐A(a,2)与点A'(3,b)关于坐标原点对称，那么实数a、b的值是______.【知识点】关于原点对称的点的坐标的性质【解题过程】∵A与A'点关于原点成中心对称∴a+3=0,2+b=0∴a=-3，b=-2【思路点拨】抓住关于原点对称的点的坐标的性质【答案】a=-3，b=-2.2.在平面直角坐标系内，假设点P〔-1，p〕和点Q〔q，3〕关于原点O对称，那么pq的值为．【知识点】关于原点对称的点的坐标．【解题过程】∵点P〔-1，p〕和点Q〔q，3〕关于原点O对称，∴q=1，p=-3，那么pq的值为：-3．故答案为：-3．【思路点拨】抓住关于原点对称的点的坐标的性质【答案】-33.在平面直角坐标系中，线段OP的两个端点坐标分别是O〔0，0〕，P〔2，5〕，将线段OP 绕点O逆时针旋转90°到OP'位置，那么点P'的坐标为.【知识点】旋转的性质【解题过程】先做图，将点P绕点O逆时针旋转90°到P'，再利用全等知识求线段，故为〔-5,2〕.【思路点拨】抓住旋转三要素作图【答案】〔-5,2〕.4.正方形ABCD在坐标系中的位置如下图，将正方形ABCD绕D点顺时针方向旋转90后，B点的坐标为〔〕A．〔-2,2〕 B．〔4,1〕 C．〔3,1〕 D．〔4,0〕【知识点】坐标和旋转变换【解题过程】由旋转性质找到B旋转后的对应点B'，应选D.【思路点拨】抓住旋转的性质【答案】D.5.如图，在正方形网格中每个小正方形的边长都是单位长度1，△ABC的顶点都在格点上，且△ABC与△DEF关于点O成中心对称．〔1〕在网格图中标出对称中心点O的位置；〔2〕画出将△ABC沿水平方向向右平移5个单位后的△D1E1F1．【知识点】作图-旋转变换；作图-平移变换【数学思想】【解题过程】〔1〕如下图，点O为所求．（2）如下图，△D1E1F1即为所画的三角形．【思路点拨】〔1〕连接对应点B、E，对应点C、F，其交点即为对称中心O的位置；〔2〕利用网格构造找出平移后的点的位置，然后顺次连接即可．【答案】见解答过程6.如图，方格纸中有三个点A、B、C要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边〔包括顶点〕上，且四边形的顶点在方格的顶点上．〔1〕在①中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；〔2〕在②中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；〔3〕在③中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．【知识点】轴对称和中心对称的性质【解题过程】〔1〕作一个平行四边形如答图①；〔2〕作一个等腰梯形如答图②；〔3〕作一个正方形如答图③．【思路点拨】抓住轴对称和中心对称的性质【答案】。

23.2.3关于原点对称的点的坐标【知识与技能】1.理解点P与P′关于原点对称时，它们的横、纵坐标的关系；2.能运用关于原点对称的点的坐标的关系解决具体问题.【过程与方法】通过观察、操作、交流、归纳等过程，培养学生探究问题的能力、动手能力、观察能力以及与他人合作交流的能力.【情感态度】结合坐标系内点的坐标对称关系的学习，培养学生合作交流的意识和归纳类比的能力，增强数学学习的信心和乐趣.【教学重点】关于原点对称的点的坐标关系及其应用.【教学难点】运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标性质.一、情境导入，初步认识问题1以前我们学习过关于x轴、y轴对称的点的坐标问题，你能说说关于x轴、y轴对称的点的坐标的关系吗？问题2在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-3，2），则点A关于原点O 的对称点A′的坐标是什么呢？你能说说吗？【教学说明】让学生通过对问题的思考，初步感受关于原点对称的点的坐标的确定方法，激发学习兴趣和求知欲望，导入新知.二、思考探究，获取新知探究如图，在直角坐标系中，作出下列已知点关于原点O的对称点，并写出它们的坐标.A（4，0）B（0，-3）C（2，1）D（-1，2）E（-4，-3）思考通过你的作图，你能说出这些点和它们关于原点O的对称点的坐标之间有什么关系吗？【教学说明】通过让学生在平面直角坐标系中画出某点关于原点O的对称点的过程，可让学生初步感受到关于原点对称的点的坐标的特征，学生在自我探索的过程中，体会成功的喜悦和学习的乐趣.如图所示，可得到点A、B、C、D、E关于原点O的对称点分别为A′、B′、C′、D′、E′.以点C为例，作C点关于原点O的对称点C′的方法为：连接CO并延长至C′，使CO=C′O，则C′点即为点C关于原点O的对称点.过C作CM⊥x轴于M，作C′N⊥x轴于N.易知△OCM≌△OC′N.∴CM=C′N，OM=ON.又C(2，1)，即OM=2，CM=1，∴ON=2，C′N=1.∴C′点坐标为(-2，-1).同理可知点A、B、D、E关于原点O的对称点A′、B′、D′、E′的坐标分别为（-4，0），（0，3），（1，-2），（4，3）【归纳结论】两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点P′的坐标为（-x，-y）.【教学说明】在上面的探索活动过程中，先让学生动手画出一些点关于原点的对称点，并写出它们的坐标，然后让学生观察坐标之间的变化，总结出规律，从而归纳出结论，即本节的重点.在这一活动中，既学到了新知识，又锻炼了学生的数学归纳能力.三、典例精析，掌握新知例1 图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与△ABC关于原点对称的图形.分析：（1）由图可知，A、B、C三点坐标分别是什么？（2）它们关于原点的对称点的坐标又应分别是什么？（3）这样画出的△A′B′C′与前面利用中心对称来作图有什么区别？解：（1）A、B、C三点坐标分别是（-4，1）、（-1，-1）、（-3，2）（2）它们关于原点对称的点的坐标分别是（4，-1）、（1，1）、（3，-2）（3）略例2 如图，平行四边形的中心在坐标原点，AD∥BC，D(3，2)，C(1，-2)，求A、B两点的坐标.分析：因为平行四边形是中心对称图形，所以相对的两个顶点关于中心对称，图中该平行四边形的中心为原点，故A与C、B与D关于原点对称，从而可求出A、B坐标.解：平行四边形是中心对称图形，A与C，B与D关于原点对称.∴A（-1，2），B（-3，-2）.【教学说明】教师提出问题来帮助学生理清思路，既是对所学知识的回顾与反思，又为解决问题寻求解题思路，增强学生运用知识的能力.例1的作图过程可由学生自己完成.四、运用新知，深化理解1.点M（-2，3）关于原点的对称点M′的坐标为（）A.（-2，-3）B.（2，-3）C.（3，-2）D.（2，3）2.下列各点中哪两个点关于原点O对称？A（-5，0），B（0，2），C（2，-1），D（2，0），E（0，5），F（-2，1），G （-2，-1）【教学说明】设计这两个小题的目的在于进一步使学生掌握知识，可由学生自主完成，教师予以点评.【答案】1.B2.C（2，-1）与F（-2，1）关于原点O对称五、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和想法？说说看.【教学说明】教师还可让学生及时回顾本节课的知识，通过反思、提炼学习的收获，并通过交流，教师可了解学生的学习情况，并及时调整.1.布置作业：从教材“习题23.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.。

人教版九年级数学上册23.2.3《关于原点对称的点的坐标》说课稿一. 教材分析《关于原点对称的点的坐标》是人教版九年级数学上册第23章《坐标与图形的变换》的第三节内容。

这部分教材是在学生已经掌握了坐标系的建立、点的坐标、图形的平移等知识的基础上进行学习的。

通过这部分内容的学习，使学生能够掌握原点对称的点的坐标规律，进一步理解和运用坐标系和图形的变换。

教材通过引入对称轴、对称点的概念，引导学生探索原点对称的点的坐标特征，从而推导出对称点的坐标规律。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对坐标系和图形的变换有一定的了解。

但是，对于原点对称的点的坐标规律的理解和运用还需要进一步的引导和培养。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对学生的实际水平进行教学设计和调整。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解原点对称的点的坐标概念，掌握原点对称的点的坐标规律，能够运用坐标规律解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、表达等活动，培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和数学表达的能力。

3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与数学学习，体验数学学习的乐趣，增强自信心，培养合作意识和探究精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：原点对称的点的坐标规律。

2.教学难点：理解原点对称的点的坐标规律，并能够灵活运用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、探究学习法、合作交流法等，引导学生主动探究、积极思考。

2.教学手段：利用多媒体课件、教学挂图、学具等辅助教学，帮助学生直观形象地理解原点对称的点的坐标规律。

六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一些对称的图形，引导学生观察和思考，引出原点对称的点的坐标规律。

2.探究新知：学生分组讨论，每组提供一些关于原点对称的点的坐标数据，引导学生通过观察、操作、思考，总结出原点对称的点的坐标规律。

3.巩固新知：学生进行一些相关的练习题，加深对原点对称的点的坐标规律的理解和运用。

课题：第二十三章图形的旋转23.2.3关于原点对称的点的坐标上课时间年月日教学目标知识与技能：理解P与点P′点关于原点对称时，它们的横纵坐标的关系，掌握P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）的运用．过程与方法：复习轴对称、旋转，尤其是中心对称，知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系及其运用．情感，态度与价值观：•通过实例归纳出两个点关于原点对称时，坐标符号之间的关系，并运用它解决一些实际问题．享受成功的喜悦，激发学习热情．教学重点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）•关于原点的对称点P′（-x，-y）及其运用．教学难点：运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题．教学方法：观察法，探究法，分组讨论法，合作交流法．教学准备：直尺，圆规，多媒体课件．课时安排：1课时教学过程二次备课一、复习旧知，引入新课【教师活动】教师展示多媒体课件【学生活动】请同学们动手画出完成下面三题．1．已知点A和直线ｌ，如图，请画出点A关于l对称的点A′.2．如图，△ABC是正三角形，以点A为中心，把△ABC顺时针旋转60°，画出旋转后的图形．3．如图△ABO，绕点O旋转180°，画出旋转后的图形．老师点评：老师通过巡查，根据学生解答情况进行点评．二、讲授新课(探究题１)：如图，在直角坐标系中，已知A(－3，1)，B(－4，0)，C(0，3)，D(2，2)，E(3，－3)，F(－2，－2)，作出A，B，C，D，E，F点关于原点O的中心对称点，并写出它们的坐标，并回答：这些坐标与已知点的坐标有什么关系？老师点评：画法：(1)连接AO并延长AO；(2)在射线AO上截取OA′＝OA；(3)过A作AD′⊥x轴于点D′，过A′作A′D″⊥x轴于点D″.∵△AD′O与△A′D″O全等，∴AD′＝A′D″，OA＝OA′，∴A′(3，－1)，同理可得B，C，D，E，F这些点关于原点的中心对称点的坐标．(学生活动)分组讨论(每四人一组)：讨论的内容：关于原点作中心对称时，①它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？②坐标与坐标之间符号又有什么特点？提问几个同学口述上面的问题．老师点评：(1)从上可知，横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等．(2)坐标符号相反，即P(x，y)关于原点O的对称点P′(－x，－y)．例３如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段AB关于原点对称的图形．分析：要作出线段AB关于原点的对称线段，只要作出点A、点B关于原点的对称点A′，B′即可．解：点P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y)，因此，线段AB的两个端点A(0，1)，B(3，0)关于原点的对称点分别为A′(0，－1)，B(－3，0)．连接A′B′.则就可得到与线段AB关于原点对称的线段A′B′.(学生活动)例2已知△ABC，A(1，2)，B(－1，3)，C(－2，4)，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出△ABC关于原点对称的图形．老师点评分析：先在直角坐标系中画出A，B，C三点并连接组成△ABC，要作出△ABC关于原点O的对称三角形，只需作出△ABC中的A，B，C三点关于原点的对称点，依次连接，便可得到所求作的△A′B′C′.三，课堂训练【教师活动】。

教版数学九年级上册同步课时训练第二十三章旋转23.2中心对称23.2.3关于原点对称的点的坐标自主预习基础达标要点1关于原点对称的点的坐标在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，那么它们的坐标符号，即点P(x，y)关于原点的对称点为P′ .要点2关于原点对称的点的坐标的应用根据关于原点对称的点的坐标特征求出图形中关键点的对称点的坐标，在平面直角坐标系中根据坐标描出这些点，按照原图顺序连接作出的点得到求作的图形.课后集训巩固提升1. 已知点A(a，1)与点A′(5，b)关于坐标原点对称，则实数a，b的值是()A. a ＝5，b ＝1B. a ＝－5，b ＝1C. a ＝5，b ＝－1D. a ＝－5，b ＝－12. 点A 到x 轴的距离为6，到y 轴的距离为3，它关于原点的对称点为B ，由点A 和点B 确定的直线为y ＝m 2x ＋b ，则直线的解析式为( )A. y ＝12x B. y ＝2x C. y ＝±2x D. 条件不足，不可以求出3. 若点P (－1－2a ，2a －4)关于原点对称的点是第一象限内的点，则a 的整数解有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4. 已知菱形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，若AD 边的中点P 的坐标为(1.5，2)，则BC 边的中点Q 的坐标是( )A. (－1.5，－2)B. (－2，－1.5)C. (－3，－2)D. (－3，－4)5. 已知△ABC 在平面直角坐标系上三顶点坐标为A (－2，3)，B (－1，1)，C (－3，2)，△A 1B 1C 1与△ABC 关于原点对称，则A 1 ，B 1 ，C 1 .6. 点A (1，m )在函数y ＝2x 的图象上，则点A 关于原点对称的点的坐标是 .7. 若△ABC 的三边为a ，b ，c ，且A (|c －6|，1)与B (b －4，－1)关于原点对称，|a －4|＝2，则△ABC 的形状是 三角形.8. 如图所示，平面直角坐标系中，点P (1，0)作如下变换：先向上平移1个单位长度(后一次平移均比上一次多1个单位长度)，再作关于原点的对称点，即向上平移1个单位长度得到点P 1，作点P 1关于原点的对称点P 2，向上平移2个单位长度得到点P 3，作点P 3关于原点的对称点P 4，…，那么点P 2020的坐标是 .9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点B(4，2)，BA△x轴于A.(1)画出将△OAB绕原点逆时针旋转90°后所得的△OA1B1，并写出点A1，B1的坐标；(2)画出△OAB关于原点O的中心对称图形，并写出点A，B对称点的坐标.10. 已知点(2x，y2＋4)与点(x2＋1，－4y)关于坐标原点对称，试求x＋y的值.参考答案自主预习 基础达标要点1 相反 (－x ，－y )课后集训 巩固提升1. D2. B3. B4. A5. (2，－3) (1，－1) (3，－2)6. (－1，－2)7. 等腰8. (1，－505)9. 解：(1)如图所示，△OA 1B 1即为所求，A 1(0，4)，B 1(－2，4).(2)如图所示，△OA ′B ′即为所求，点A ，B 对称点的坐标分别为A ′(－4，0)，B ′(－4，－2).10. 解：△点(2x ，y 2＋4)与点(x 2＋1，－4y )关于坐标原点对称，△⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋x 2＋1＝0，y 2＋4－4y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.△x ＋y ＝－1＋2＝1，即x ＋y 的值是1.。

23.2.3 关于原点对称的点的坐标教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册第二十三章“旋转”23.2.3 关于原点对称点的坐标，内容包括：关于原点对称的点的坐标及应用．2.内容解析本节课在学生学习平移、轴对称在平面直角坐标系中坐标特点的基础上，进一步探究关于原点对称的两点坐标间的关系，并利用这一关系解决一些问题.基于以上分析，确定本节课的教学重点是：掌握关于原点对称的两点坐标间的关系.二、目标和目标解析1.目标1）通过探究学习能够正确认识关于原点对称的两点坐标间的关系.2）通过对知识的学习能够运用关于原点对称的两点坐标间的关系，在平面直角坐标系中作图.3）通过学生经历观察、操作、交流、归纳等过程，培养学生探究问题的能力、动手能力、观察能力，以及与他人合作交流的能力.2.目标解析达成目标1）的标志是：求直角坐标系中任意一点关于原点对称的点的坐标.达成目标2）的标志是：运用关于原点对称的两点坐标间的关系，在平面直角坐标系中作图.教学重难点：通过探究学习能够正确认识关于原点对称的两点坐标间的关系.通过对知识的学习能够运用关于原点对称的两点坐标间的关系，在平面直角坐标系中作图.三、教学问题诊断分析本节课是在中心对称的基础上学习关于原点对称的点的坐标，学生得出两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，教学时，教师要充分利用具体图形，让学生获得感性认识，进而利用这一性质作一个图形关于原点对称的图形.基于以上分析，本节课的教学难点是：能够运用关于原点对称的两点坐标间的关系，在平面直角坐标系中作图．四、教学过程设计（一）复习旧知，引入新课问题1：对于图形的运动，我们已经学习了哪些内容？平移，轴对称，旋转，中心对称追问1：以轴对称为例，我们学习了它的哪些相关知识，是按照怎样的顺序学习的?定义——性质——作图——坐标表示追问2：对于中心对称，我们已经学习了哪些内容？定义——性质——作图与轴对称的学习过程作对比，我们这一节课就来学习用坐标表示中心对称。

教案《23.2.3关于原点对称的点的坐标》说课稿一、教材分析本节课是在中心对称、中心对称图形和它们的性质，并且在以往学习平移、轴对称在平面直角坐标系中坐标的特点的基础上，进一步研究中心对称在直角坐标系中的坐标的特点，并利用这一特点解决一些问题。

掌握了这部分知识为以后平移、轴对称和中心对称在平面直角坐标系中的综合运用打下坚实的基础。

二、教学目标1、知识与技能：理解P与点P′点关于原点对称时，它们的横纵坐标的关系，掌握P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）的运用。

2、过程与方法：在复习轴对称、旋转，尤其是中心对称的知识的过程中，知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系及其运用。

3、情感态度与价值观：培训学生自主探究的能力和归纳知识的能力，调动学生的学习兴趣。

三、重点、难点重点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点P′（-x，-y）及其运用。

难点：运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及运用它解决实际问题。

四、教法与学法1、利用中心对称和中心对称图形的性质，以及平移、轴对称在平面直角坐标系中的坐标特点，知识迁移到旋转特别是中心对称在平面直角坐标系中坐标的特点。

2、通过学生自主探究的方式，发现规律并总结规律，加强学生的动手能力。

3、利用所学知识解决一些综合性的问题。

五、教学过程1、复习中心对称和中心对称图形及其性质，并复习轴对称在平面直角坐标系中对称点的坐标的特点，迁引出本节课所要探究的关于原点对称的点的坐标的特点。

2、让学生自己动手完成探究问题，并发现规律，总结规律。

3、利用所发现的规律解决一些问题，以巩固所学知识。

4、新旧知识结合，培养学生综合运用知识解决问题的能力，提升学生的能力。

5、归纳总结本节学到的知识，提出疑问。

6、布置作业。