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第二部分应用第6章不含时微扰理论6.1非简并微扰理论6.1.1 一般公式表达假设对于某些势场（比如，一维无限深势阱），我们已经解出了（定态）薛定谔方程：(6.1)ψ，从而可以得到一套完备的正交本征函数，0n(6.2)E。
现在，我们对这个势进行微小扰动(比方说,在势阱底部加入一个小突起−及对应的能量本征值0n图6.1)。
我们期望可以找到新的本征函数和本征值：(6.3) 但是除非我们非常幸运，对于这个有些复杂的势场，一般我们是不可能精确求解薛定谔方程的。
微扰理论是一套系统的理论，它可以利用已得的无微扰时地精确解求出有微扰时的近似解。
图6.1：受到小微扰的无限深势阱。
首先，我们将哈密顿量写成两项之和：(6.4)其中'H 是微扰（上标0总是表示非微扰量）。
此时，我们将λ取为一个很小的数；稍后我们会将取它为1，H 将为真实的哈密顿量。
下面我们把n ψ和n E 展为λ的幂级数：(6.5)(6.6)其中，1n E 为第n 个本征值的一级修正，1n ψ为第n 个本征函数的一级修正；2n E 和2n ψ为二级修正，以此类推。
将6.5和6.6式代入6.3式，得到：或（将λ幂次相同的项合并）对于零级（0λ）项1有，这没有什么新的内容（它就是6.1式）。
对于一级（1λ）项有，(6.7)对于二级（2λ）项有，(6.8)以此类推。
（方程中并没有λ——它仅仅用来更清楚地按数量级分出各方程——所以现在把λ取为1。
）6.1.2 一级近似理论将0n ψ与6.7式进行内积运算（即乘以(0n ψ)*后积分），1级数展开的唯一性（见第2章，脚标25）保证了相同幂次的系数是相等的。
但是0H 为厄米算符，所以它和右边第一项相抵消。
又有001n n ψψ=，所以，2(6.9)这就是一级近似理论的一个最基本的结果；在实际中，它也是量子力学最重要的方程。
它说明能量的一级修正就是微扰在非微扰态中的期待值。
例子6.1 无微扰的无限深势阱波函数为（2.28式）：图6.2：存在于整个势阱的常微扰。
量子力学微扰理论量子力学微扰理论是量子力学中一个重要的理论工具，它可以用来研究体系在外加微弱扰动下的行为。
这个理论被广泛应用于各个领域，如原子物理、固体物理和量子化学等。
在本文中，我们将介绍微扰理论的基本原理、应用以及一些相关的研究进展。
一、量子力学微扰理论的基本原理量子力学微扰理论的基本原理是基于微扰理论的思想，通过将体系的哈密顿量拆分为一个容易求解的部分和一个微弱扰动部分，从而简化求解复杂问题的过程。
根据微扰的性质，我们可以将微扰分为两类：一类是无简并微扰，即体系本身的能级是非简并的；另一类是简并微扰，即体系本身的能级是简并的。
对于无简并微扰，我们可以使用微扰理论的一阶近似来计算体系的能级和波函数的改变。
一阶微扰理论的基本公式可以表示为：E_n^{(1)} = E_n^{(0)} + \langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle其中，E_n^{(1)}为包含微扰的能级修正，E_n^{(0)}为无微扰的能级，|n^{(0)}\rangle为无微扰下的波函数，V为微弱扰动的哈密顿量。
对于简并微扰，由于在简并态上的微扰能级修正不再是一个确定的值，我们需要使用微扰理论的高阶近似来计算体系的能级和波函数的改变。
高阶微扰理论的计算过程更加复杂，需要考虑简并态之间的耦合效应。
二、量子力学微扰理论的应用1. 原子物理领域在原子物理领域中，微扰理论广泛应用于计算原子的能级结构和跃迁概率。
通过引入微弱的扰动，我们可以计算原子能级的微小变动，并且预测产生的光谱线的频率和强度。
这对于原子吸收光谱和发射光谱的解释具有重要意义。
2. 固体物理领域在固体物理领域中，微扰理论被用来研究固体中的电子能级和电子态密度。
通过引入微弱的外电场或者磁场，我们可以计算固体材料的电子能级的变化，并且研究外界扰动对电子输运性质的影响。
3. 量子化学领域在量子化学领域中，微扰理论被广泛用于计算分子的能谱和分子反应的速率常数。
量子力学的微扰理论与微扰级数展开量子力学是研究微观世界的基本理论，而微扰理论则是量子力学中一种重要的计算方法。
微扰理论的核心思想是将复杂的物理系统分解为一个已知的简单系统和一个微小的扰动，通过对这个扰动的处理来获得原系统的近似解。
微扰理论的应用范围广泛，从原子物理到凝聚态物理都有其身影。
微扰理论的起点是薛定谔方程，它描述了量子系统的演化。
对于一个没有扰动的系统，薛定谔方程可以写作：Hψ = Eψ其中H是系统的哈密顿算符，ψ是系统的波函数，E是系统的能量。
而当系统受到微小扰动时，薛定谔方程变为：(H0 + λV)ψ = Eψ其中H0是已知的哈密顿算符，V是微小扰动的势能项，λ是一个无量纲的参数，用来控制扰动的大小。
我们希望通过微扰理论来求解这个方程，得到近似的能量和波函数。
微扰理论的核心思想是将波函数和能量进行级数展开。
我们将波函数和能量写成如下形式：ψ = ψ0 + λψ1 + λ^2ψ2 + ...E = E0 + λE1 + λ^2E2 + ...其中ψ0和E0是零阶近似，它们是已知的系统的波函数和能量。
将这个级数代入薛定谔方程，我们可以得到一系列的微分方程。
然后通过逐阶求解这些微分方程，我们就可以得到各个阶次的近似解。
微扰理论的一般步骤如下：1. 将薛定谔方程展开成级数形式。
2. 逐阶求解微分方程，得到各个阶次的波函数和能量。
3. 检查级数的收敛性，如果级数收敛，我们就可以得到系统的近似解。
如果级数发散，我们需要重新考虑微扰的选择或者使用其他方法来求解。
微扰理论的一个重要应用是计算能级的位移。
在没有微扰的情况下，能级是精确的，但当系统受到微小扰动时，能级会发生位移。
通过微扰理论，我们可以计算出这个位移的大小，并与实验结果进行比较。
另一个重要的应用是计算态的混合。
在没有微扰的情况下，态是纯态，但当系统受到微小扰动时，不同的能级之间会发生耦合，导致态的混合。
通过微扰理论，我们可以计算出这种混合的程度，并对系统的行为进行预测。
第五章 微扰理论本章介绍：在量子力学中，由于体系的哈密顿算符往往比较复杂，薛定谔方程能严格求解的情况不多（一维谐振子，氢原子）。
因此，引入各种近似方法就显得非常重要，常用的近似方法有微扰论，变分法，WKB （半经典近似），Hatree-Fock 自恰场近似等。
本章将介绍微扰论和变分法。
本章将先讨论定态微扰论和变分法，然后再讨论含时微扰以及光的发射和吸收等问题。
§5.1 非简并定态微扰论 §5.2 简并定态微扰论§5.3 氢原子的一级Stark 效应§5.4 变分法§5.5 氦原子基态§5.6 含时微扰§5.7 跃迁几率和黄金费米规则§5.8 光的发射与吸收§5.9 选择定则附录： 氦原子基态计算过程非简并定态微扰论本节将讨论体系受到外界与时间无关的微小扰动时，它的能量和波函数所发生的变化。
假设体系的哈密顿量不显含时间，能量的本征方程ˆH E ψψ= 满足下列条件： ˆH 可分解为 0ˆH 和 ˆH '两部分，而且 0ˆH 远大于ˆH'。
00ˆˆˆˆˆ H H H H H ''=+ 0ˆH 的本征值和本征函数已经求出，即 0ˆH 的本征方程(0)(0)(00ˆn n n H E ψψ=中，能级(0)n E 和波函数(0)n ψ都是已知的。
微扰论的任务就是从0ˆH 的本征值和本征函数出发，近似求出经过微扰ˆH ' 后，ˆH 的本征值和本征函数。
3. 0ˆH 的能级无简并。
严格来说，是要求通过微扰论来计算它的修正的那个能级无简并的。
例如我们要通过微扰计算ˆH '对 0ˆH 的第n 个能级(0)n E 的修正，就要求(0)nE 无简并，它相应的波函数只有(0)n ψ一个。
其他能级既可以是简并的，也可以是无简并的。
4. 0H 的能级组成分离谱。
严格说来，是要求通过微扰来计算它的修正的那个能级(0)n E 处于分离谱内，(0)n ψ是束缚态。
102第六章 近似计算方法§6.1 微扰理论 一、非简并定态微扰论 1、定态微扰论的主要思想在量子力学中，当体系的哈密顿算符不显含时间时，属于定态问题，通过解其基本方程：ˆn n nH E Ψ=Ψ 可以求出Hˆ的本征值和本征函数。
如果H ˆ比较复杂，但是如果H ˆ可以写成两部分： H H H ˆˆˆ0′+= （0ˆH 和H ′ˆ都不显含时间），而且满足下列条件：（1）0ˆH 的本征方程：(0)(0)(0)0ˆnn n H E ψψ= 可以精确求解，即n ε和n Φ是已知的。
（2）0ˆH 和H ′ˆ的差别很大，或者说H ′ˆ很小，可以看作0ˆH 的基础上加一个小的微扰H ′ˆ，故H′ˆ称为微扰项。
这样，我们就可以通过微扰理论来近似求解。
(0)(1)(2)n n n n E E E E =+++ (0)(1)(2)n n n n ψψψψ=+++2、定态微扰计算假设微扰时体系的能量是哈密顿算符0ˆH 的第n 个本征值(0)nE ，这个本征值无简并，即体系于定态(0)n ψ。
当体系受到一个与时间无关的微扰H ˆ′作用时，它将处于一个新的能级nE 和状态n Ψ。
n E 和n Ψ是H H H ˆˆˆ0′+=的本征值和本征函数.即满足： ˆn n nH E Ψ=Ψ 微扰论的主要思想：H ˆ′代表一个微小的扰动，那么我们就有理由认为n E 和(0)n E 相差不多，nΨ和(0)n ψ也十分接近。
（1）、非简并能量的一级修正在非简并微扰情况下，由一级微扰确定一级近似波函数和一级能量修正103010010ˆˆn n n nE E H H Ψ′+Ψ=Ψ′+Ψ 两边左乘()*0n Ψ，并对整个空间积分得：()()()()()()()()τττd H d E d E H n n n n n n n n ∫∫∫Ψ′Ψ−ΨΨ=Ψ−Ψ0*00*01100*0ˆˆ 注意到0ˆH 是厄密算符，所以有： ()()()()()()[]0*ˆˆ0001100*0=Ψ−Ψ=Ψ−Ψ∫∫ττd E H d E H n n n n n n 从而得到()()()τd H E nn n 0*01ˆΨ′Ψ=∫ 即()n H n E n′=1 （2）、非简并能量的二级修正令()()()001l ll n a Ψ=Ψ∑得：000ˆˆn n n n nE E E H H Ψ′′+Ψ′′+Ψ′′=Ψ′′+Ψ′′ ()()()()()()()001010010ˆnn n ll l n l l llH E a E a EΨ′−Ψ=Ψ−Ψ∑∑ 将()()n m m ≠Ψ*0左乘上式两边后，对整个空间积分，所以有()()()()mn n m ml ll n ml l lH d H a E a H ′−=Ψ′Ψ−=−∫∑∑τδδ0*01010ˆˆ 其中()()ml l m d δτ=ΨΨ∫0*()()mnm l n H a E E ′=−100 ()01mn mnm E E H a −′=()()0001m mn mn n E E H Ψ−′=Ψ∑左乘()*0n Ψ，并对整个空间积分得104()()()()()()()2111200*0ˆn nl ll n nl ll n n n E a E H a d E H ++′−=Ψ−Ψ∑∑∫δτ 当n l ≠时，利用0ˆH 的厄密性可得 ()∑∑−′=′=ll n nlnlll n E E H H a E 022即()∑−′′=ll n n E E l H n l Hn E 02ˆ（3）、非简并波函数的一级修正(1)'(0)(0)(0)mn n m mn mH E E ψψ′=−∑ 二、简并定态微扰论 1、简并的处理 （1）问题假设(0)n E 是k 度简并的，0ˆH 属于本征值(0)n E 的本征函数有k 个: k φφφ,,,21 ，且它们已经是相互正交的。
量子跃迁理论与不含时微扰论的关系量子跃迁是指量子系统中电子在两个能级之间的转化，这个转化是突然的，而非连续的。
而在量子力学中，不含时微扰论是一种广泛应用于计算量子系统中电子能量和态的方法。
虽然这两种概念在本质上不同，但它们之间有着紧密的联系。
本文将深入探讨量子跃迁理论与不含时微扰论的关系。
1. 量子跃迁理论的基本概念在量子力学中，系统的态可以用波函数来表示。
而该波函数是由薛定谔方程决定的。
假设该系统处于一个由波函数Ψ1表示的状态，而它可以发生跃迁到一个由波函数Ψ2表示的状态。
在该系统内部，发生了一个量子跃迁。
在量子力学中，系统中某个粒子的能量可以用哈密顿量来表示。
系统从状态Ψ1到Ψ2的跃迁，需要发生能量的转化。
这种能量的转化可以使用斯托克斯定理和费马黄金定律来计算。
这表明跃迁的能够与所处的能态有关系，因此，量子力学将其称为量子跃迁。
在某些情况下，一个电子可以通过受激辐射来发生跃迁。
这种现象叫做激光诱导量子跃迁，即通过垂直于电子发射方向的激光，使电子发生跃迁。
量子跃迁还可以分为有辐射跃迁和无辐射跃迁。
辐射跃迁是指在电子跃迁过程中，它向外部辐射光子并传播的现象。
而无辐射跃迁则是电子在出射态和入射态之间跃迁的过程，没有任何辐射产生。
2. 不含时微扰论的基本概念在量子力学中，我们往往需要计算出一些物理量的期望值 即平均值）。
不含时微扰论是一种广泛应用于计算量子系统中电子能量和态的方法。
它的主要思想是，在薛定谔方程的哈密顿量中添加一个微弱的扰动，然后在该体系中求解电子的波函数和能级。
具体来说，假设系统的哈密顿量为H0，并向其添加一个微弱的扰动H1。
则新的哈密顿量为：H=H0 + λH1其中，λ是微弱扰动的系数。
我们可以把H视为一个完整的哈密顿算符，并计算出其对应的本征值和本征函数。
然后，我们将结果展开成幂级数，来近似计算电子的波函数和能级。
这一过程将导致所谓的级数散度，也就是说，随着级数的增加，计算误差将会不断增加。
微扰理论 (量子力学)维基百科，自由的百科全书跳转至：导航、搜索量子力学的微扰理论引用一些数学的微扰理论的近似方法于量子力学。
当遇到比较复杂的量子系统时，这些方法试着将复杂的量子系统简单化或理想化，变成为有精确解的量子系统，再应用理想化的量子系统的精确解，来解析复杂的量子系统。
基本的点子是，从一个简单的量子系统开始，这简单的系统必须有精确解，在这简单系统的哈密顿量里，加上一个很弱的微扰，变成了较复杂系统的哈密顿量。
假若这微扰不是很大，复杂系统的许多物理性质（例如，能级，量子态）可以表达为简单系统的物理性质加上一些修正。
这样，从研究比较简单的量子系统所得到的知识，我们可以进而研究比较复杂的量子系统。
微扰理论可以分为两类，不含时微扰理论与含时微扰理论。
不含时微扰理论的微扰哈密顿量不相依于时间；而含时微扰理论的微扰哈密顿量相依于时间，详见含时微扰理论。
本篇文章只讲述不含时微扰理论。
此后凡提到微扰理论，皆指不含时微扰理论。
目录[隐藏]∙ 1 微扰理论应用∙ 2 历史∙ 3 一阶修正∙ 4 二阶与更高阶修正∙ 5 简并∙ 6 参阅∙7 参考文献∙8 外部链接[编辑]微扰理论应用微扰理论是量子力学的一个重要的工具。
因为，物理学家发觉，甚至对于中等复杂度的哈密顿量，也很难找到其薛定谔方程的精确解。
我们所知道的就只有几个量子模型有精确解，像氢原子、量子谐振子、与盒中粒子。
这些量子模型都太过理想化，无法适当地描述大多数的量子系统。
应用微扰理论，我们可以将这些理想的量子模型的精确解，用来生成一系列更复杂的量子系统的解答。
例如，通过添加一个微扰的电位于氢原子的哈密顿量，我们可以计算在电场的作用下，氢原子谱线产生的微小偏移（参阅斯塔克效应）。
应用微扰理论而得到的解答并不是精确解，但是，这方法可以计算出相当准确的解答。
假若我们使展开的参数变得非常的小，得到的解答会很准确。
通常，解答是用有限数目的项目的的幂级数来表达。
[编辑]历史薛定谔在创立了奠定基石的量子波力学理论后，经过短短一段时间，于 1926 年，他又在另一篇论文里，发表了微扰理论[1]。
