第5章
微扰理论
5.1复习笔记
一、定态微扰理论1．适用范围及使用条件
求分立能级及所属波函数的修正。
适用条件是：一方面要求H 可分成两部分，即'0H H H +=，
同时0H 的本征值和本征函数已知或较易计算；另一方面又要求0H 把H 的主要部分尽可能包括进去，使剩下的微扰'
H 比较小，以保证微扰计算收敛较快，即
'(0)(0)
(0)(0)
1,mn
n m
n m
H E E E E <<≠-（1）非简并情况
微扰作用下的哈密顿量可表示为：'
0H H H +=第n 个能级可近似表示为：∑+-++=m
m
n
nm
nn n
n E
E
H H E E
)0()0(2'
'
'
)
0(相应的波函数可近似表示为：∑
+-+=m
m m
n mn n
n E E H )
0()
0()0(''
)0(ψψψ（2）简并情况
能级的一级修正由久期方程
0det )
1('=-v k v E H μμδ即
)
1(''2
'1
'
2)1('22'
21
'1'
12)1('11=---n
kk k k k
n
k
n
E H H H H E H H H H E H
给出。
个实根，记为有k k f E )
1(k k f E ,,2,1,)
1( =αα，分别把每一个根)
1(αk E 代入方程
∑==-k
f v v v k v
a E H 1
)
1('
0)(μαμ
δ，即可求得相应的解，记为v a α，于是可得出新的零级波函数
∑>>=v
kv v
kv a φα
||。
相应的能量为：)1()0(αk k k E E E +=。
2．氢原子的一级斯塔克效应
（1）斯塔克（Stark）效应：原子在外电场作用下所产生的谱线分裂的现象。
（2）用简并情况下的微扰论解释氢原子的斯塔克效应：
由于电子在氢原子中受到球对称的库仑场的作用，第n 个能级有2
n 度简并。
加上电场后，势场的对称性受到破坏，能级发生分裂，使简并部分被消除。
二、变分法
1．变分法求体系基态能量方法总结：
选择含有参数λ的尝试波函数)(λψ，计算H 的平均能量)(λH ，它是变分参量λ的函数。
由极值条件
0)
(=λ
λd H d ，求出)(λH 的最小值。
它表示基态能量的上限。
2．变分法在氦原子基态中的应用举例（1）选择适当的尝试波函数
取两个类氢原子基态本征函数的乘积做尝试波函数)()(),(2100110021r r r r ψψψ=（2）以有效电荷数做参量，求H 的平均能量)
(Z H
（3）求
0)
=λ
d Z H d 的极值，得出Z=1.69（4）将Z=1.69代回)(Z H 表达式，求得其基态能量上限0
2
085
.2a e E s -=说明：能精确求解的量子体系并不是很多，而有时问题也并不一定要求有十分精确的答案，于是我们就需要发展求解的近似方法。
从时间的关系讲，近似方法有一类是与时间无关的，用以求能级、期望值等；另一类是随时间变化的，主要求跃迁几率等。
从取近似的做法而言，有小参数展开的，如微扰论、WKB 近似等；有从整体讨论问题的，如变分法。
要根据具体问题的特征选择恰当的近似方法。
三、与时间有关的微扰理论
1．定态微扰论和与时间有关微扰论研究对象比较：
（1）定态微扰论与时间无关，研究在有微扰作用下，定态能量与波函数的修正，从而得到有微扰时的能量和波函数。
（2）与时间相关的微扰论的哈密顿算符与时间有关，体系的能量不守恒。
因而不存在定态，也就谈不上对能量的修正。
故只能研究有微扰时的波函数，量子状态之间的跃迁，以及体系对光的吸收和发射（能量变化）等。
2．含时微扰体系理论
含时微扰体系哈密顿量)
()('
0t H H t H
+=体系波函数ψ所满足的薛定谔方程ψψ
)(t H t
i =∂∂将ψ按0H
的本征函数n φ展开∑=n
n n t a φψ)(，则在t 时刻发现体系处于m φ态的概率
是2
)(t a m 。
若体系t=0时处于0H
的本征态k φ，则
nk n a δ=)0()
0(，
⎰=t
t i mk m dt e t H i t a mk 0
'''')(1)(ω ，
体系在微扰作用下由初态k φ跃迁到终态m φ态的概率为：
2
'
''2
2
'
)(1)(⎰=
=→t
t i mk m m k dt e t H t a W mk ω ，其中)(1
k m mk εεω-=
上式的适用条件是：()1k m W t →<<，m k ≠。
3．跃迁概率计算
（1）如果末态是连续谱，由能量为k E 的态跃迁到能量间隔为m m m E E E ∆+→的态的跃迁几率可由费米黄金规则给出：
)
(22
'm H t W mk ρπ
=单位时间内的跃迁概率（跃迁速度）为：
)(22
'm H w mk ρπ
=。
（2）若作用于体系的是周期微扰)('t
i t
i e e F H ωω-+= ，则
)(22
ωεεδπ±-=
→k m mk m k F t W
单位时间内体系由k φ态跃迁到m φ态的概率为：
)(22
ωεεδπ±-=
→k m mk m k F w。
4．能量时间的不确定关系
~t E ∆∆由此关系可知，测量能量越准确（E ∆小），则用于测量的时间越长（t ∆大）。
四、光的发射和吸收1．几个相关概念
（1）自发跃迁：在不受外界影响的情况下体系由能级m ε跃迁到较低能级k ε，这种跃迁称为自发跃迁。
（2）受激跃迁：体系在外界（例如辐射场）作用下由m ε跃迁到较低能级k ε，这种跃迁称为受激跃迁。
2．自发辐射
自然光照射到原子上，跃迁几率由坐标矩阵给出，是偶极跃迁。
设原子从k 态跃迁到m 态（并设k m E E >），受激辐射系数km B 等于吸收系数mk B ，为：
2
2
2234mk
s km
mk r e B B π==。
自发辐射系数为：
2
3
3
234mk
mk s mk
r c e A ω=原子由m φ态自发跃迁到k φ态的辐射强度为：
2
3
4
234mk mk s m mk
r c
e N J ω=。
3．为了获得受激发射必须满足两个条件：
（1）单位时间内由m φ态到k φ态的受激辐射应该超过由k φ态到m φ态的吸收。
即粒子数必须反转。
（2）自发发射应远小于受激发射。
五、选择定则
一般把不能实现的跃迁称为禁戒跃迁。
偶极跃迁中角量子数和磁量子数的选择定则是：
⎩⎨⎧±=-=∆±=-=∆1
,01'
'm m m l l l 对于总量子数n 没有选择定则。
如果在任何级近似中跃迁概率均为零，则这种跃迁称为严格禁戒跃迁。
说明：无论是自发辐射还是受激辐射或是受激吸收，都要满足相同的选择定则。
5.2课后习题详解
5.1如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为r 0、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。
据题意知：
)()(ˆ0
r U r U H -='其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即
204Ze U r r
πε=-
（）)(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域，r
Ze r U 02
4)(πε-
=。
