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怀远一中蒙城一中淮南一中涡阳一中2018届高三上学期“五校”联考数学（文）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A.....................所以，所以，故选 A.2. 已知命题；命题若，则，下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，命题，所以是真命题；命题：若，则是真命题，所以是真命题，故选 A.3. 已知是公差为的等差数列，为的前项和，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，根据等差数列的性质，可得，又数列的公差为，所以，故选C．4. 已知下列四个条件：①；②；③；④，能推出成立的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】①中，因为，所以，因此①能推出成立；②中，因为，所以，所以，所以，因此②正确的；③中，因为，所以，所以③不正确的；④中，因为，所以，所以③正确的；故选 C.5. 已知函数，则下列结论正确的是（）A. 是奇函数B. 是增函数C. 是周期函数D. 的值域为【答案】D所以；当，所以，所以，所以函数的值域，故选 D.6. 在中，,则边上的高等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在中，由于余弦定理得，又因为，代入可得，整理得，所以，又由正弦定理得，作，所以，故选 A.7. 已知非零向量满足，且在方向上的投影与在方向上的投影相等，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为在方向上的投影与在方向上的投影相等，设这两个向量的夹角为，则，又由且，所以，故选 B.8. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A. 是奇函数B. 的周期为C. 的图象关于直线对称D. 的图象关于点的对称【答案】C【解析】将函数的图象向左平移个单位，得到函数，结合余弦函数的图象，可得此时函数的图象关于直线对称，故选 C.9. 已知非零向量满足，向量的夹角为，且，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，所以与的夹角为，故选B．10. 已知正项等比数列满足，若存在两项使得，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为正项等比数列满足，所以，即，解得，因为存在两项使得，所以，整理，得，所以，所以，当且仅当时，即等号成立，故选 B.。
怀远一中、颍上一中、蒙城一中、涡阳一中、淮南一中2021届高三“五校”联考文科数学试题考试时间： 2020年12月4日考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，函数、导数及其应用，三角函数、解三角形，平面向量，复数，数列，不等式。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}24A x x =≤≤，{}2430B x x x =-+<，则AB =A .{}14x x <<B .{}23x x ≤< C .{}23x x << D .{}14x x <≤2.已知复数z 满足i 1i z ⋅=+，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数为 A .1i -- B .1i -+ C .1i - D .1i +3.设:p 11<+x ，:q 22<<-x ，则p 是q 的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 4.已知2.02=a ，2.0log 2=b ，0.2log 0.3c =，则a b c ，，的大小关系为 A .a b c << B .b a c << C .c b a << D .a c b <<5.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到 使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1所示）.假定 在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心O 到水面的距离h 为1.5m ，筒车的半径r 为2.5m ，筒车每秒转动πrad 12，如图2所示，盛水桶M 在0P 处距水面的距离为3m ，则2s 后盛水桶M 到水面的距离近似为 A .3.2m B .3.4m C .3.6m D .3.8m图1 图26.在正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若2AB =，则AM BN += A .2 BC . 4 D.7.函数1()f x =的部分图象可能是A B C D8.若正实数x y ，满足+=1x y ，则下列不等式恒成立的是 A 1≤ B 12≥C .2212x y +≥ D .1114x y +≤9.已知数列{}n a 为单调递增的等差数列，且11=a ，若2a ，31a +，6a 成等比数列，则=20a A .18 B .28 C .38 D .58 10.已知函数()f x 满足(2)()f x f x -=，当1x ≥时，12()221x f x x x -=+-+，则不等式(21)(1)f x f x -<+的解集为A .2(2)3， B .2(1)(12)3，， C .(1)(2)-∞+∞，， D .2()(2)3-∞+∞，，11.ΔABC 中，D 为ΔABC 内一点，120ADC .若2CD ，则BCD =A .15︒B .30︒C .45︒D .60︒ 12.已知正实数a b ，满足a b a b b a ->-ln ln ，下列命题中的真命题是 A .若)ln(|ln ||ln |ab b a =+，则b a > B .若)ln(|ln ||ln |ab b a -=+，则b a > C .若b a b a ln ln |ln ln |=，则b a < D .若b a b a ln ln |ln ln |-=，则b a <第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x y ，满足约束条件301020x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩,则34z x y =+的最大值为 .14.已知向量(23)a k =，，(41)b k =-，. 若a 与b 方向相同，则k = .15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S . 且满足721=+a a ，173(3)m m a a m -+=≥，2020m S =，则m = .16.已知函数π()sin()(0)6f x x ωω=+>，若函数()f x 在(0π)，内恰有6个极值点，则ω的取值范围为 .三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17题满分为10分，第18~22题每题满分为12分. 17. （10分）已知函数2()e xf x ax =-的图象在点))1(,1(f 处的切线斜率为e 2-. （1）求实数a 的值；（2）已知函数)(x f 的导函数是)(x f '，记()()x x f x g +'=，求()x g 的极小值.18. （12分） 已知函数ππ()4cos()sin() 3.26f x x x =-+- （1）求()f x 的最小正周期；（2）若方程()f x m =在ππ[]43-，有实根，求实数m 的取值范围．19. （12分）设数列{}n a 中41=a ，142n n a a n -=≥（），设n n a b 2log 21=. （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）令()n nn nb c ⋅-=1，求1220c c c ++⋅⋅⋅+.20. （12分）ABC △的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c .设sin 2sin A Ca b=. （1）判断ΔABC 的形状；（2）若3a ，2c ，B 的平分线交AC 于D ，求ΔBCD 的面积.21. （12分）第二届阜阳花博会于2020年9月28日在颍上八里河开幕，其主题为“花漾水上，花开颍上”．据调研获悉，某花卉基地培育有水生与水陆两生花卉30余种，计划在花博会期间举行展销活动．经分析预算，投入展销费x 万元时，销售量为m 万个单位，且112++=x x m （a x ≤<0，a 为正实数）．假定销售量与基地的培育量相等，已知培育m 万个单位还需要投入成本)12(+m 万元（不含展销费），花卉的销售价为4(11)m+万元/万个单位． （1）写出该花卉基地的销售利润y 万元与展销费x 万元的函数关系； （2）展销费x 为多少万元时，该花卉基地可以获得最大利润？ （注：⨯--利润=销售价销售量投入成本展销费）22. （12分） 已知函数ln ()e xxf x a x=+. （1）当0a =时，求函数)(x f 的单调区间； （2）证明：当21ea =-时，()()g x xf x x =+在(0)+∞，有两个零点.2021届高三“五校”联考文数答案2020年12月4日题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 BDADDBACDACA1.B2.D3. A4. D5.D6. 解：以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：因为AB=2，所以A(0,0),B(2,0),M(2,1),N(1,2)所以AM=(2,1),BN=(-1,2),AM BN (1,3)+=． 则22AM+BN =1+3=10B ．7. 解：首先函数为偶函数，排除A ，当10<<x ，()0<x f ；当1>x ，()0>x f ，选C ．8.解析: 222()122x y x y ++≥=,故选择C . 9.解析:设公差为d ，2a =1+d ，31a +=2+2d ，6a =1+5d 所以()22+21+1+5d d d =⋅（）（）解得31d =-或，又因为d >0,所以3d =所以=20a 1+3（20-1）=5810.由题意知()f x 图象关于直线1x =对称,且()f x 在区间(1)+∞，上单调递增22223x x x ∴-<⇒<<.故选择A 11. 解析:在ACD 中，2CD ，3AC ，120ADC ，由正弦定理得，sin sin AC CDADC CAD ,即32sin 32CAD,解得，2sin 2CAD,所以45CAD ，45BCD CAD ，选择C 项.12.解析： 由a b a b b a ->-ln ln ，得a a bb 1ln 1ln +>+， 设x x x f 1ln )(+=，则)()(a f b f >. 由2ln )(xxx f -='，可知)(x f 在)1,0(上单调递增，在),1(+∞上单调递减.故当1≥a 且1≥b 时，a b <；当1≤a 且1≤b 时，a b >.A 选项中由)ln(|ln ||ln |ab b a =+可知1≥a 且1≥b ，可得b a >.故A 选项正确 另解：取e,1a b ==排除CD 选项；取1,1ea b ==排除B 选项.故选A . 13.解析: 由已知可得34z x y =+在点(25)-，处取得最大值14. 14. 解：向量(23)(41)a k b k ==-，，，，a 与b 方向相同，∴2(-1)-43=0k k ⋅⨯且>0k ，解得3k =.3故答案为：.15.解析：8077321211=+=+=+++-）（n n na a a a a a所以()202024011=+==+n a a S a a n n n 又因为解得n =10116. 解：由()0,πx ∈得πππ(,π)666x ωω+∈+，若函数()f x 在()0,π内恰有6个极值点，则11ππ13ππ262ω<+≤，解得161933ω<≤.17. 解析：(1)ax x f x2e )(-='. ............................................... 1分2e 2e )1(-=-='a f ....................................4分解得1=a ...................................5分（2）由（1）知2e )(-='x x f ，,2e )(x x g x+-= .............................. 6分,1e )(-='x x g 令,0)(='x g 得0=x ， ................................................ 7分当)0,(-∞∈x 时，,0)(<'x g )(x g 单调递减；当),0(+∞∈x 时，,0)(>'x g )(x g 单调递增； ..................................... 9分故当0=x 时，)(x g 取极小值1)0(-=g .................................................. 10分18. 解：（1）函数231()4sin (sin cos )323sin 2sin cos 322f x x x x x x x =+-=+-π3(1cos 2)sin 232sin(2)3x x x =-+-=-， ................................................... 4分()f x ∴的最小正周期为2ππ2=．（5分）（2）在区间ππ,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，π5ππ2,363x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， .................................................... 6分故当ππ232x -=-时，函数()f x 取得最小值，为-2， .............................................. 8分 当ππ233x -=时，函数()f x 取得最大值，为3，故()f x 的值域为2,3⎡⎤-⎣⎦...........................10分若方程()f x m =在ππ,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦有实根，则实数m 的取值范围为2,3⎡⎤-⎣⎦ .................................................. 12分19. 19. （1）因为41=a ，）（*-∈≥=N n n a a n n ,241 所以数列{}n a 是以4为首项以4为公比的等比数列....................................................2分所以nn n a 4441=⨯=-.....................................................................................................3分n b n n ==⇒4log 212......................................................................................................5分（2）由（1）可知2)1(n c n n ⋅-= ...............................................................7分2222220212019321+-⋅⋅⋅-+-=+⋅⋅⋅++∴c c c）（）（）（22222219203412-+⋅⋅⋅-+-=..............................................................................9分20321+⋅⋅⋅+++=.............................................................................10分 ()210220201=⋅+= (12)分20. （1）由sin 2sin A C a b =及正弦定理得2sin cos sin sin sin A ACA B，............................1分 即2sin cos sin sin cos cos sin B A C A B A B ，..................................................2分 所以sin cos sin cos B A A B ,即tan tan A B ..........................................................4分 所以A B ，ABC ∆为等腰三角形. .........................................................................5分 （2）因为A B 且3a ，所以3b a ....................................................................6分 由余弦定理得1cos 3B，所以22sin 3B ................................................................8分 1sin 222ABCS ac B ..........................................................................9分 1sin 32212sin 22BCD ABDB BC BD S BC B S AB AB BD ， (10)分 所以36255BCDABCSS . ..........................................................................12分 （其他解法酌情给分） 21. 解析：（1）由题意得()x m m m y -+-⎪⎭⎫⎝⎛+=12411 ...................................................2分 x m -+=39x x x -+++⋅=31129x x -+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=31129x x -+-=1921， ...................................................4分所以x x y -+-=1921（a x ≤<0，a 为正实数）． .........................................5分 （2）由（1）得：x x y -+-=1921()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=19122x x ， ......................................7分易知20<<x ，函数递增，2>x ，函数递减．又0>a ． .........................9分所以当2>a 时，31=+x ，2=x 万元时，函数取得最大值为16万元； 当20≤<a 时，a x =万元时，函数取得最大值为（a a -+-1921）万元．...........11分 答：（1）函数关系为x x y -+-=1921（a x ≤<0，a 为正实数）． （2）所以当2>a 时，31=+x ，2=x 万元时，函数取得最大值为16万元；当20≤<a 时，a x =万元时，函数取得最大值为（a a -+-1921）万元． ......12分22.解析（1）当0a =时ln ()x f x x =,21ln ()=xf x x-' ........................2分 21ln ()=00xf x x e x -'>⇒<< ........................3分 21ln ()=0x f x e x x -'<⇒< ........................4分()f x ∴单调递减区间为(e,)+∞,单调递增区间为(0,e,) .......................5分（2分2x e -=即0201x e x -=易得0(1,2)x ∈ ...........................................................8分()g x 在0(0,)x 上为增函数,在0()x +∞，上为减函数 020000()ln 10x g x x e x x -=-++=> .................................................................... 9分222()10e g e e e-=+-< ..................................................................... 10分........................................................................ 11分 ()g x ∴在(0,)+∞上有两个零点. ........................................................................ 12分（其他解法酌情给分）。
2021年高三上学期第一次五校联考数学理试题含解析【试卷综析】试题比较平稳，基本符合高考复习的特点，稳中有变，变中求新,适当调整了试卷难度，考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、导数等几章知识，重视学科基础知识和基本技能的考察，同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察，有相当一部分的题目灵活新颖，知识点综合与迁移。
试卷的整体水准应该说可以看出编写者花费了一定的心血。
但是综合知识、创新题目的题考的有点少,试题以它的知识性、思辨性、灵活性，基础性充分体现了考素质，考基础，考方法，考潜能的检测功能。
试题起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1. 已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则＝（）A． B． C． D．【知识点】复数.L4【答案解析】D 解析：解：由题可知，所以D正确.【思路点拨】根据复数的概念与运算法则可求出结果.2.设集合，，则＝（）A． B． C． D．【知识点】集合.A1【答案解析】 C 解析：解：由题意可求出集合()(){}|13,|0|0x 3A x x B y y A B x =-<<=>∴⋂=<<，所以正确选项为C.【思路点拨】根据集合的概念先求出集合A,B.再求它们的交集. 3. 函数的零点所在的区间为（ ）A ．B ．C ．D ． 【知识点】函数的性质.B10【答案解析】C 解析：解：因为，函数为连续函数，所以函数的零点在之间. 【思路点拨】可过特殊值验证函数值的正负来判定零点的区间. 4. 已知m ，n ，则 “a ＝2”是“mn ”的（ ）A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【知识点】向量，充要条件.A2,G9【答案解析】B 解析： 解：由共线的条件可知()//12021m n a a a a ⇒-+=∴==-或，所以“a ＝2”是“mn ”的充分而不必要条件，所以B 正确.【思路点拨】根据向量共线的条件求出a 的值，然后再根据题意判定逻辑关系.5. 一个多面体的三视图如右图所示，则该多面体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ． 【知识点】三视图.G2【答案解析】A 解析：解：由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，故几何体的体积为：11232=2222111323V V -⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=正方体三棱锥 ．故选：A ．【思路点拨】本题考查三视图求解几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状． 6. 在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务. 已知：①食物投掷地点有远、近两处； ②由于Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处。
怀远一中、颍上一中、蒙城一中、涡阳一中、淮南一中2021届高三“五校”联考理科数学试题考试时间： 2020年12月4日考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，函数、导数及其应用（含定积分），三角函数、解三角形，平面向量，复数，数列。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}24,A x x =≤≤{}2430B x x x =-+<，则AB = A ．{}14x x << B ．{}23x x ≤<C ．{}23x x <<D ．{}14x x <≤2.已知复数z 满足i 1i z ⋅=+，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数为A ．1i -+B ．1i --C ．1i +D ．1i -3.设: |1|1p x +<,:22q x -<<,则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.已知点A B ，是圆O 上两点，2π3AOB ∠=，AOB ∠的平分线交圆O 于点C ，则OC =A ．1122OA OB + B ．322OA OB + C ．2233OA OB + D ．OA OB + 5.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1所示）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心O到水面的距离h为1.5m，筒车的半径r为2.5m，筒车转动的角速度ω为πrad/s12，如图2所示，盛水桶M在0P处距水面的距离为3m，则2s后盛水桶M到水面的距离近似为A．3.2m B．3.4m C．3.6m D．3.8m图1 图26.记n S是等差数列{}n a的前n项和，已知30S=，68a=，则10a=A．12 B．14 C．16 D．187.函数21()log||f xx=的部分图象可能是A B C D8.已知2.02=a，2.0log2=b，2log2.0=c，则,,a b c的大小关系为A．a b c<< B．b a c<< C．c b a<< D．acb<<9.已知ABC△是边长为3的等边三角形，点D为ABC△内一点，且120ADC∠=︒，1AD=，则BD=xyO xyO xyxyOA ．12B ． C. 1 D 10.已知函数22()log |1|21f x x x x =-+-+，则不等式(21)(1)f x f x -<+的解集为A ．2(,1)(1,2)3B ．2(2,0)(0,)3- C ．2(,2)3 D ．2(,2)(,)3-∞-+∞ 11.已知函数π()sin(),(0,||)2f x x ωϕωϕ=+>≤，π4x =-是()f x 的零点，直线π4x =是()f x 图象的对称轴，且()f x 在ππ()42，上单调，则ω的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．4 12.若关于x 的不等式2e (ln )x a x x x ≥-对任意(0,+)x ∈∞恒成立，则实数a 的取值范围为A ．2(,e ]-∞B ．(,e]-∞C ．(,1]-∞D ．1(,]e-∞ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量,a b 为单位向量，其夹角为π3，则|2|+=a b . 14.函数2()23ln f x x x x =--的极小值为 .15.已知复数12,z z 满足1||1z =，234i z =+，其中i 为虚数单位，则12||z z -的最大值为 . 16.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，q 为{}n a 的公比且43ln S S =.若11>S ，则下列命题中所有正确的序号是 .①10q -<<；②40a >；③321S S S >+；④321S S S <+.三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17题满分为10分，第18~22题每题满分为12分.17.（10分）已知函数122()(1)f x x ax -=-+.（1）若函数()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若1[,2]2x ∀∈，都有()12f x ≤成立，求实数a 的取值范围.18.（12分）已知向量a =(cos ,sin )x x ，b 33(cos sin ,cos sin )=+-x x x x ，设函数()=f x ⋅a b .（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）若关于x 的方程()0f x m -=在π[0,]2上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围.19.（12分）设数列{}n a 满足13a =，1233n n a a n +=-+.（1）计算2a ，3a ，猜想{}n a 的通项公式并加以证明；（2）求数列1{}3nn a +的前n 项和n S .20.（12分）ABC △的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c .设sin 2sin A C a b=. （1）判断ABC △的形状； （2）若ABC △的外接圆半径为1，求ABC △周长的最大值.21.（12分）第二届阜阳花博会2020年9月28日在颍上八里河开幕，其主题为“花漾水上，花开颍上”．据调研获悉，某花卉基地培育有水生与水陆两生花卉30余种，计划在花博会期间举行展销活动．经分析预算，投入展销费x 万元时，销售量为m 万个单位，且112++=x x m （a a x -≤<20，a 为正实数）．假定销售量与基地的培育量相等，已知该基地每培育m 万个单位还需要投入成本(21)m +万元（不含展销费），花卉的销售价定为4(11)m+万元/万个单位． （1）写出该花卉基地的销售利润y 万元与展销费x 万元的函数关系；（2）展销费x 为多少万元时，该花卉基地可以获得最大利润？（注：⨯--利润=销售价销售量投入成本展销费）22.（12分） 已知函数ln ()e x x f x a x=+，()()g x xf x x =+. （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线过点(2,1)，求实数a 的值；（2）当21ea =-时，证明：()2g x <.。
2022届安徽省蒙城一中、涡阳一中、淮南一中等五校高三上学期第一次联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合(){}ln 1M x y x ==-，{}|e xN y y ==，则()M N =R （ ）A ．()1,0-B ．()0,1C ．(]0,1D ．[]0,1【答案】C【分析】根据函数ln(1)y x =-的定义域和函数e x y =的值域，化简集合,M N ，再利用补集及交集定义，即可求解.【详解】∵{|ln(1)}(1,)M x y x ==-=+∞，{}|e (0,)xN y y ===+∞，∴(,1]M =-∞R ，()(]0,1M N =R . 故选：C.2．已知复数1i z =+，则在复平面内表示复数2izz z-的点位于（ ） A ．实轴上 B ．虚轴上 C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】利用复数的乘法及除法运算可得2i2i zz z-=-，即得. 【详解】∵复数1i z =+，∴()()()()()21i 1i 2i 21i 2i 22i=2i 1i 1i 1i 1i zz z +-----===-+++-， ∴在复平面内表示复数2izz z-的点位于虚轴上. 故选：B.3．若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ） A ．22a b < B ．2ab a > C ．11a b< D ．22ac bc >【答案】C【分析】利用不等式的基本性质依次判断选项即可. 【详解】对于A ，由0a b >>，知22a b >，故A 错误； 对于B ，由0a b >>，知2ab a <，故B 错误；对于C ，由0a b >>，知11a b<，故C 正确； 对于D ，由0a b >>，2c ≥0知22ac bc ≥，故D 错误； 故选：C4．已知实数x ，y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则由该不等式组确定的可行域的面积为（ ）A ．1B ．12C ．13D ．14【答案】D【分析】根据不等式组画出可行域，结合三角形的面积公式计算即可. 【详解】由不等式组画出表示的平面区域，如图，结合图形可知，1111224ABOS =⨯⨯=. 故选：D5．已知命题p ：01x ∃>，1041log 2x >；命题q ：x ∀∈R ，1e 2xx >+；则下列说法中正确的是（ ） A ．p q ∨是假命题B ．p q ∧是真命题C ．()¬p q ∧是假命题D ．()¬p q ∨是真命题【答案】C【分析】分别通过解对数不等式和构造函数证明不等式成立来判断命题p 和命题q 的真假，然后根据选项的组合一一验证排除，即可完成解答. 【详解】命题p ：01x ∃>，1041log 2x >，即101441log log 2x >，解得012x 0＜＜，故该命题错误；命题q ：x ∀∈R ，1e 2xx >+，设函数1()e 2x h x x =--，'()e 1x h x =-，x ∀∈R ，所以令'()e 10x h x =-=，解得0x =，在∞（-，0）上，'()0h x ＜，所以()h x 单调递减， 在0（，）+∞上，'()0h x ＞，所以()h x 单调递增，所以()h x 在0x =处取得极小值，即0111()(0)e 010222h x h ==--=-=极小值＞， 故()(0)0h x h ≥＞，所以1e 2xx >+，对于x ∀∈R 恒成立，该命题正确；选项A ，p q ∨应为真命题，故该选项错误；选项B ，p q ∧应为假命题，故该选项错误；选项C ，()¬p q ∧为假命题，故该选项正确；选项D ，()¬p q ∨应为假命题，故该选项错误. 故选：C.6．已知向量()1,2a x =，()0,2b =，则2a ab ⋅的最大值为（ ）A ．B ．2C D ．1【答案】D【分析】根据题意可得22441a xab x ⋅=+，分0x ≤和0x >两种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案.【详解】解：由向量()1,2a x =，()0,2b =，得22441a xab x ⋅=+， 当0x ≤时，20aa b ⋅≤，当0x >时，224411414a bx x x x a ⋅==≤=++， 当且仅当14x x =，即12x =时，取等号， 综上2a ab ⋅的最大值为1.故选：D.7．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知40S =，55a =，则（ ） A ．25n a n =+ B ．24n S n n =- C ．310na nD ．228n S n n =-【答案】B【分析】将40S =转化为1460a d +=，将55a =转化为145a d +=，然后两式联立，解得2d =以及13a =-，最后根据等差数列通项公式以及前n 项和公式即可得出结果.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则412341460S a a a a a d =+++=+=，5145a a d =+=，联立1146045a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得2d =，13a =-，则()()1132125n a a n d n n =+-=-+-=-，2211342n n n S na d n n n n n ，故选：B.8．将函数()12sin 26x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移4t 个单位长度，再将图像上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图像，若对任意的x ∈R 均有()6⎛⎫≥ ⎪⎝⎭g x g π成立，则()y g x =的图像（ ）A ．关于6x π=-对称 B ．关于12x π=对称C ．关于,03π⎛-⎫⎪⎝⎭对称D ．关于,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】C【分析】根据三角函数的平移伸缩变换可得()2sin(2)6g x x t π=+-，由题意可得min ()()6g x g π=且min ()2g x =-，进而求出522()6t k k Z ππ=+∈，利用验证法依次判断选项即可.【详解】将函数1()2sin()26f x x π=+图象向右平移4t 个单位长度，得到1()2sin(2)26f x x t π=+-，再将图象上各点横坐标缩短为原来的12倍，得到()2sin(2)6f x x t π=+-，即()2sin(2)6g x x t π=+-，对任意()()6x R g x g π∈≥，恒成立，则min ()()6g x g π=，又()6g π=2sin(2)66t ππ+-，min ()2g x =-，所以sin(2)166t ππ+-=-，得22662t k ππππ+-=-+，解得5226t k k Z ππ=+∈，. A ：当6x π=-时，51sin(2)sin(2)16662t k ππππ+-=-+=-≠±，故A 错误； B ：当12x π=时，7sin(2)sin(2)112612t k ππππ+-=-+≠±，故B 错误； C ：当3x π=-时，sin(2)sin(2)036t k ππππ-+-=-+=，所以()g x 图象关于点(0)3π-，中心对称，故C 正确； D ：当3x π=时，3sin(2)sin(2)03632t k ππππ+-=-+=-≠，故D 错误. 故选：C9．已知函数()()()24,532,3x x f x f x x ⎧+-≤<-⎪=⎨-≥-⎪⎩，若函数()()log a g x f x x =-有9个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()5,7 B ．(]5,7C ．(]9,11D ．()9,11【答案】A【分析】原问题等价于函数()y f x =与log a y x =的图象有9个不同的交点，对a 分01a <<和1a >两种情况进行讨论，分别画出两个函数的图象，利用数形结合即可求解.【详解】解：因为3x ≥-时，()()2f x f x =-，所以()f x 在[)3,∞-+上是周期函数， 又当31x -≤<-时，523x -≤-<-，所以()()()222f x f x x =-=+，所以()f x 在[)5,-+∞上的图象如图所示，若函数()()log a g x f x x =-有9个零点，则函数()y f x =与log a y x =的图象有9个不当01a <<时，易得函数()y f x =与log a y x =的图象有且只有2个不同的交点，不符合题意；当1a >时，要使函数()y f x =与log a y x =的图象有9个不同的交点，由图可知log 51log 71a a<⎧⎨>⎩，解得57a <<； 综上，实数a 的取值范围为()5,7. 故选：A.10．已知函数()2cos 2f x x x x π=+-的定义城为3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则不等式()23f x f x ππ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭的解集为（ ） A ．,66ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．,26ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．,62ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．,4ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A【分析】由题可得函数()2cos 2f x x x x π=+-在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且关于x π=对称，进而可得2323232322x x x x ππππππππππ⎧+->--⎪⎪⎪≤+≤⎨⎪⎪≤-≤⎪⎩，即求.【详解】∵函数cos y x =在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且关于x π=对称，函数22y x x π=-的对称轴为x π=，函数在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴函数()2cos 2f x x x x π=+-在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且关于x π=对称，∴由()23f x f x ππ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭可得， 2323232322x x x x ππππππππππ⎧+->--⎪⎪⎪≤+≤⎨⎪⎪≤-≤⎪⎩，解得66x ππ-≤<.11．给出下列命题：①函数()tan f x x =图像的对称中心为()(),0k k π∈Z ；②已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .则a b <是cos cos A B >的充要条件；③若函数()()2202113lg120211x x f x x x -=+++-+在区间[](),0k k k ->上的最大值，最小值分别为m ，n ，则6m n +=；④已知函数()cos sin 2f x x x =，则()f x 的最大值为439.以上命题中正确的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】D【分析】利用正切函数的性质可判断①，利用大角对大边及余弦函数的性质可判断②，利用奇函数的性质可判断③，通过构造函数()322g t t t =-+，利用导数求函数最值可判断④.【详解】对于①，因为函数()tan f x x =图像的对称中心为(),0Z 2k k π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故①错误； 对于②，因为函数cos y x =在()0,π上单调递减，所以cos cos A B >，故a b <是cos cos A B >的充要条件，故②正确； 对于③，设())220211lg120211x x g x x x -=+++，[](),0x k k k ∈->，则()())()1222021112021lg1lg12021120211x xx x g x x x x xg x ------=++=++=-++，所以函数()g x 为奇函数，所以在区间[](),0k k k ->上()()max min g x g x =-，即()()max min 0g x g x +=，所以()()3f x g x =+在区间[](),0k k k ->上的最大值，最小值分别为max3mg x，()min 3n g x =+，所以maxmin336ng m g xx，故③正确；对于④，函数()23cos sin 22sin cos 2sin 2sin f x x x x x x x ===-+，令[]sin 1,1t x =∈-，设()322g t t t =-+，[]1,1t ∈-，则()262g t t =-'+，令()0g t '=，得3t =∴在区间33[1,),(-，()0g t '<，函数()g t 单调递减，在区间33⎛ ⎝⎭上()0g t '>，函数()g t 单调递增，又()10,g g -==⎝⎭，所以()g t 在[]1,1-，即()f x ，故④正确；综上，命题正确的个数为3. 故选：D.12．设22ln 20a =，21ln 21b =，20ln 22c =，则（ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．b a c >> D ．c b a >>【答案】B【分析】先比较a 与c 的大小，通过构造出()ln xf x x=，然后根据单调性可得a c >；再比较b 和a ，通过构造()()ln 1g x x x =-+进行适当放缩即可；最后比较b 和c ，也是运用()()ln 1g x x x =-+函数进行适当放缩即可. 【详解】设()ln xf x x= 则有：()21ln xf x x -'=令()0f x '>，解得：0e x << 故()f x 在()0,e 上单调递增； 令()0f x '<，解得：e x > 故()f x 在()e,+∞上单调递减. 可得：()()2220f f <，即ln 22ln 202220<，即20ln2222ln20< 故有：a c >设()()ln 1g x x x =-+()0x ≥ 则有：()11011xg x x x =-=≥++' 则()g x 在[)0,∞+上单调递增()()00g x g ≥=故()()ln 10x x x ≥+≥()21ln21ln20ln20b a -=--12121ln 1ln 20ln 2002020⎛⎫=+-≤-< ⎪⎝⎭ 故有：b a <同理：c b < 综上可得：a b c >> 故选：B【点睛】（1）对于实数比较大小，我们通常观察式子结构，构造出对应的函数，然后利用函数的单调性；（2）作差比较法是比较两个数值大小的最常用的方法，即对两值作差，看其值是正还是负，从而确定所比值的大小；（3）当直接无法比较的时候，往往需要选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小. 二、填空题13．1211x dx-⎰-=__________________. 【答案】2π【分析】根据定积分意义,画出几何图形,根据积分上限和下限即可求得其面积,即为积分值.【详解】令21y x =- 则221x y +=()0y ≥ 画出图像如下图:所以定积分值为122111122x dx ππ-⎰-=⨯⨯=【点睛】本题考查了定积分的简单应用,几何法在求定积分中的应用,属于基础题.14．曲线()e cos 1xf x x =+在点()()0,0f 处的切线方程为______.【答案】2y x =+【分析】直接根据函数的导数的几何意义，求出函数()f x 在点()0,2处的切线方程的斜率为()01f '=，进而求出切线方程【详解】对()f x 求导可得：()()e cos sin xx x f x =-'则曲线()f x 在点()()0,0f 处的切线方程的斜率为：()01f '= 又()02f =则切线方程为：2y x =+ 故答案为：2y x =+ 15．已知π0π2αβ<<<<，又4cos 5α=，()4cos 5αβ+=-，则sin β=______.【答案】24250.96 【分析】利用同角关系式可得3sin 5α=，()4sin 5αβ+=±，然后利用差角公式即求.【详解】∵π0π2αβ<<<<，又4cos 5α=，∴3sin 5α=，322ππαβ<+<，又()4cos 5αβ+=-， ∴()3sin 5αβ+=±，当()3sin 5αβ+=时，()()()344324cos cos sin sin sin s 5i 25n 555αβααββααβα+-+-+=⨯+⨯===，当()3sin 5αβ+=-时，()()()3443cos cos sin 0555sin sin s n 5i αβααβαααββ+-+-+⨯+==-⨯==，此时不合题意. 故答案为：2425. 16．正项数列{}n a 满足11a =，22a =.又是以12为公比的等比数列，则使得不等式122111113142021n a a a +<++⋅⋅⋅+<成立的正整数n =______. 【答案】5【分析】利用等比数列的定义和通项公式可得，数列{}n a 的奇数项，偶数项分别成公比为14等比数列，再利用等比数列前n 项和公式和不等式的解法即可求解. 【详解】12的等比数列，112n -=，两边平方得12312n n n a a +-⨯=，所以122112n n n a a ++-⨯=，两式相除得214n n a a +=， 故{}21n a -是以11a =为首项，公比为14的等比数列， 故122211124n n n a ---⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，所以222112n n a --=，{}2n a 是以22a =为首项.公比为14的等比数列， 故13221224n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，所以23212n n a -=， 所以12211321242111111111n n n a a a a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()2121212141123241212n n n +---=+=⨯---， 由21113143220212n -<⨯-<， 经检验可知，5n =符合题意.故答案为：5.三、解答题17．设命题p ：函数()()2log 1a f x x ax =-+定义域为R ；命题q ：x ∃∈R 使不等式39x x a -≥能成立.(1)若命题q 为真命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题()¬p q ∨为假命题，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)14a ≤(2)124a <<且1a ≠ 【分析】（1）由题意，()max 39x x a -≥，令()30x t t =>，利用二次函数的图象与性质求出最大值即可求解；（2）由题意，命题p 为真命题，命题q 为假命题，由p 为真命题得02a <<且1a ≠，由q 为假命题时14a >，从而即可得答案. (1)解：因为命题q 是真命题，所以()max 39x x a -≥，令()30x t t =>，则2211139244x x t t t ⎛⎫-=-+=--+≤ ⎪⎝⎭，当12t =，即31log 2x =时等号成立，所以实数a 的取值范围为14a ≤； (2) 解：因为命题()¬p q ∨为假命题，所以命题p 为真命题，命题q 为假命题， 由p 为真命题得：0a >且1a ≠，240a ∆=-<，所以02a <<且1a ≠，由（1）知：当q 为假命题时14a >， 综上，实数a 的取值范围为124a <<且1a ≠. 18．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量()1,e c a =，2cos ,sin 6e C A π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且12e e . (1)求角C ；(2)若cos cos 1c B b C +=，且4A π=，求ABC 面积S . 【答案】(1)3π【分析】（1）利用12e e 及正弦定理得到sin C C =，直接求出角C ；（2）先由余弦定理求出1a =，再由正弦定理求得c 即可求解.(1) 因为向量()1,e c a =，2cos ,sin 6e C A π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且12e e . 所以，sin cos 6c A a C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由正弦定理得：sin sin sin cos 6C A A C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵sin 0A ≠，∴1sin cos sin 62C C C C π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，∴sin C C =，∴tan C =∵0C π<<，∴3C π=. (2) 222222cos cos 122a c b a b c c B b C c b ac ab+-+-+=⋅+⋅=，∴1a =， 又3C π=，4A π=，得512B π=， 由正弦定理：sin sin 43a cππ=得c =.由5sin sin sin cos cos sin 12464646πππππππ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭所以11sin 122S ac B ==⨯=19．已知函数()()221ln f x x a x a x =---，其中a ∈R .(1)求函数()y f x =的极值；(2)若函数()f x 有两个不同的零点，求实数a 的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2)()1,+∞.【分析】（1）由题可得()()()()2210x x a f x x x +⋅-'=>，分0a ≤，0a >讨论即得；（2）由题可得0a ≤时不合题意，当0a >时，分01a <≤，1a >讨论，结合极小值小于零及零点存在定理即得.(1)∵()()221ln f x x a x a x =---，函数()f x 的定义域是()0,∞+，∴()()()()()()222221212210x a x a x x a a f x x a x x x x---+⋅-'=---==>， 当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，此时无极值；当0a >时，0x a <<，()0f x '<，函数()f x 单调递减，x a >，()0f x '>，函数()f x 单调递增，故()()ln 1f a a a a =-+-是极小值，无极大值；综上：当0a ≤时无极值；当0a >时，()()ln 1f a a a a =-+-是极小值，无极大值.(2)当0a ≤时，()f x 单调递增，()f x 最多有一零点，不满足条件；当01a <≤时，()f x 的极小值是()ln 1a a a -+-设()ln 1g x x x =+-，()10x g x x +'=>，()g x 在0x >单调递增， ∵()1ln1110g =+-=，01a <≤，∴()0g a ≤，则()f x 的极小值大于等于零，()f x 最多有一零点，不满足条件. 当1a >时，()f x 的极小值()()f a ag a =-，∵()()10g a g >=，()0f a <，2111210e e e e f a ⎛⎫⎛⎫=++-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以在1,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭必有一零点； ()()2333ln33ln3330f a a a a a a a a a a =+-=-+>>，()f x 在(),3a a 也有一零点，满足条件，故a 的取值范围是()1,+∞.20．淮南市位于安徽省中北部，地处长江三角洲腹地，淮河之滨，素有“中州咽喉，江南屏障”、“五彩准南”之称，是沿淮城市群的重要节点，如图所示，淮南市准备在准河的一侧修建一条直路OC ，另一侧修建一条观光大道，它的前一段OD 是以O 为顶点，x 轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段DBC 是函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，[]4,8x ∈时的图像，[]12,4,8x x ∀∈有()()12833f x f x -≤，且最高点B 与点C 的距离为2733，DF OC ⊥，垂足为F .(1)求函数()sin y A ωx φ=+的解析式；(2)若在淮河上修建如图所示的矩形水上乐园PMFE ，问点P 落在曲线OD 上何处时，水上乐园的面积最大？【答案】(1)63y x ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)P 坐标为43⎛ ⎝⎭【分析】（1）结合图象，根据()()12f x f x -≤()f x 的振幅，根据最高点B 与点C 的距离为3()f x 的周期，然后根据点在曲线上求得ϕ； （2）先根据点D 坐标，进而求得抛物线的方程，然后表示出矩形PMFE 的面积S ，最后研究面积244t S t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调性即可 (1)对于函数()sin y A ωx φ=+，由图象知：A =2224T ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 解得：12T = 又26T ππω==得B ⎛ ⎝⎭，并将其代入到6y x ϕπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭中 解得：()5262k k ππϕπ+=+∈Z 又2πϕ<，可得：3πϕ=-.故63y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ (2)在63y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，令4x =，得()44D , 则曲线OD 所在抛物线的方程为：24y x = 设点()2,044t P t t ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，则矩形PMFE 的面积为：244t S t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[]0,4t ∈可得：2344t S =-' 令0S '=，解得：t =且当t ⎛∈ ⎝⎭时，0S '>，则S 单调递增；当4t ⎫∈⎪⎪⎝⎭时，0S '<，则S 单调递减.故当t =时，S 最大，此时P坐标为43⎛ ⎝⎭21．若数列{}n A 满足21n n A A +=，则称数列{}n A 为“平方递推数列”.已知数列{}n a 中，19a =，点()1,n n a a +在函数()22f x x x =+的图象上，其中n 为正整数.(1)证明数列{}1n a +是“平方递推数列”，且数列(){}lg 1n a +为等比数列；(2)设（1）中“平方递推数列”的前n 项积为n T ，即()()()12111n n T a a a =++⋅⋅⋅+，求lg n T ；(3)在（2）的条件下，记()lg lg 1n n n T b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】(1)证明见解析(2)21n - (3)11222n n S n -=-+ 【分析】（1）根据212n n n a a a +=+，得到211(1)n n a a ++=+，即{}1n a +是“平方递推数列”．对211(1)n n a a ++=+两边取对数得1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+，利用等比数列的定义证明；(2)由(1)得到1lg(1)2n n a -+=，利用等比数列的求和公式和对数的运算公式即可得出结果；(3)由(20可得通项112()2n n b -=-，进而利用分组求和即可得出11222n n S n -=-+. (1)由题意得：212n n n a a a +=+，即()2111++=+n n a a ， 则{}1n a +是“平方递推数列”.对()2111++=+n n a a 两边取对数得()()1lg 12lg 1++=+n n a a ，又1lg(1)1a += 所以数列(){}lg 1n a +是以1为首项，2为公比的等比数列.(2)由（1）知()()111lg 1lg 122n n n a a --+=+⋅= ()()()()()()1212lg lg 111lg 1lg 1lg 1n n n T a a a a a a =+++=++++⋅⋅⋅++⎡⎤⎣⎦()1122112n n ⋅-==--； (3)()11lg 2112lg 122n n n n n n T b a ---⎛⎫===- ⎪+⎝⎭，111122221212n n n S n n --=-=-+- 22．已知函数()()11ln x f x x x-=>. (1)讨论()f x 的单调性；(2)已知0λ>，若关于x 的不等式()22e ln 10x f x x λ-+≥在区间()1,+∞上恒成立，求λ的取值范围.【答案】(1)()f x 在区间()1,+∞上单调递增 (2)2,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 【分析】（1）求出导函数，根据导函数的分子构造新函数，再次求导即可得到单调性；（2）处理不等式，同构函数，转化为()()2e x f f x λ≥，根据单调性即可得解.(1)因为()()11ln x f x x x -=>，()()21ln 11(ln )x x f x x x +-'=> 令()()1ln 11g x x x x =+->，则()()211x g x x x '-=> 当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，所以函数()g x 在区间()1,+∞上单调递增，此时()()10g x g >=，则()0f x '>所以，函数()f x 在区间()1,+∞上单调递增；(2)∵0λ>，当1x >时，ln 0x >，所求不等式可化为，()221eln x x f x λ-≥即()()2e x f f x λ≥. 易知，由（1）知，()f x 在()1,+∞单调递增， 故只需2e x x λ≥在()1,+∞上恒成立.两边同取自然对数，得2ln x x λ≥，即ln 2x x λ≥ 令()()ln 1x x x xϕ=>，则()21ln x x x ϕ-'= 当()1,e x ∈时，()0x ϕ'>，函数()y x ϕ=单调递增， 当()e,x ∈+∞时，()0x ϕ'<，函数()y x ϕ=单调递减，∴()()max 1e e x ϕϕ==，所以12eλ≥， 故λ的取值范围2,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.。
安徽省五校2021届上学期高三年级12月联考数学试卷（理科）怀远一中、颍上一中、蒙城一中、涡阳一中、淮南一中满分150分，考试时间120分钟。
本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，函数、导数及其应用（含定积分），三角函数、解三角形，平面向量，复数，数列。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}24,A x x =≤≤{}2430B x x x =-+<，则AB =A ．{}14x x <<B ．{}23x x ≤<C ．{}23x x <<D ．{}14x x <≤ 2.已知复数z 满足i 1i z ⋅=+，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数为A ．1i -+B ．1i --C ．1i +D ．1i -3.设: |1|1p x +<，:22q x -<<，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.已知点A B ，是圆O 上两点，2π3AOB ∠=，AOB ∠的平分线交圆O 于点C ，则OC =A ．1122OA OB + B 3OB+ C ．2233OA OB + D ．OA OB + 5.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1所示）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心O 到水面的距离h 为1.5m ，筒车的半径r 为2.5m ，筒车转动的角速度ω为πrad /s 12，如图2所示，盛水桶M 在0P 处距水面的距离为3m ，则2s 后盛水桶M 到水面的距离近似为图1 图2A ．3.2mB ．3.4mC ．3.6mD ．3.8m 6.记n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知30S =，68a =，则10a =A ．12B ．14C ．16D ．187.函数21()log ||f x x =的部分图象可能是8.已知2.02=a ，2.0log 2=b ，2log 2.0=c ，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．a c b <<9.已知ABC △的等边三角形，点D 为ABC △内一点，且120ADC ∠=︒，1AD =，则BD =A ．12 B ． 2C. 1 D 10.已知函数22()log |1|21f x x x x =-+-+，则不等式(21)(1)f x f x -<+的解集为A ．2(,1)(1,2)3 B ．2(2,0)(0,)3- C ．2(,2)3 D ．2(,2)(,)3-∞-+∞ 11.已知函数π()sin(),(0,||)2f x x ωϕωϕ=+>≤，π4x =-是()f x 的零点，直线π4x =是()f x 图象的对称轴，且()f x 在ππ()42，上单调，则ω的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．412.若关于x 的不等式2e (ln )x a x x x ≥-对任意(0,+)x ∈∞恒成立，则实数a 的取值范围为A ．2(,e ]-∞B ．(,e]-∞C ．(,1]-∞D ．1(,]e-∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知向量,a b 为单位向量，其夹角为π3，则|2|+=a b . 14.函数2()23ln f x x x x =--的极小值为 .15.已知复数12,z z 满足1||1z =，234i z =+，其中i 为虚数单位，则12||z z -的最大值为 . 16.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，q 为{}n a 的公比且43ln S S =.若11>S ，则下列命题中所有正确的序号是 .①10q -<<；②40a >；③321S S S >+；④321S S S <+.三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17题满分为10分，第18~22题每题满分为12分.17.（10分）已知函数1 22()(1)f x x ax -=-+.（1）若函数()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若1[,2]2x ∀∈，都有()12f x ≤成立，求实数a 的取值范围.18.（12分）已知向量a =(cos ,sin )x x ，b 33(cos sin ,cos sin )=+-x x x x ，设函数()=f x ⋅a b .（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）若关于x 的方程()0f x m -=在π[0,]2上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围.19.（12分）设数列{}n a 满足13a =，1233n n a a n +=-+. （1）计算2a ，3a ，猜想{}n a 的通项公式并加以证明； （2）求数列1{}3nn a +的前n 项和n S .20.（12分）ABC △的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c .设sin 2sin A Ca b=. （1）判断ABC △的形状；（2）若ABC △的外接圆半径为1，求ABC △周长的最大值.21.（12分）第二届阜阳花博会2020年9月28日在颍上八里河开幕，其主题为“花漾水上，花开颍上”．据调研获悉，某花卉基地培育有水生与水陆两生花卉30余种，计划在花博会期间举行展销活动．经分析预算，投入展销费x 万元时，销售量为m 万个单位，且112++=x x m （a a x -≤<20，a 为正实数）．假定销售量与基地的培育量相等，已知该基地每培育m 万个单位还需要投入成本(21)m +万元（不含展销费），花卉的销售价定为4(11)m+万元/万个单位．（1）写出该花卉基地的销售利润y 万元与展销费x 万元的函数关系； （2）展销费x 为多少万元时，该花卉基地可以获得最大利润？ （注：⨯--利润=销售价销售量投入成本展销费） 22.（12分）已知函数ln ()e xxf x a x=+，()()g x xf x x =+.（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线过点(2,1)，求实数a 的值； （2）当21ea =-时，证明：()2g x <.安徽省五校2021届上学期高三年级12月联考数学试卷（理科）怀远一中、颍上一中、蒙城一中、涡阳一中、淮南一中参考答案【解析】11. 由对称轴和零点可知()(),444T k N T ω--=∈=，得到N k k ∈+=,12ω①由()f x 在区间ππ()42，上单调可知πππ242T ω-≤=，得到4≤ω②，由①②可知ω可能取3.当3ω=时，可得4πϕ=-，()⎪⎭⎫⎝⎛-=43sin πx x f 满足在⎪⎭⎫⎝⎛24ππ，上单调，所以3=ω满足题意，故ω的最大值为3.12.解法一：易知2ln 0x x x ->在(0,)x ∈+∞时恒成立，从而可知0a ≤满足题意；当0a >时，原不等式可化为21ln e x x x x a -≥.记2ln ()e xx x xg x -=，则max 1()g x a ≥.而 (1)(ln 1)()exx x x g x --+'=，ln 10x x -+≤，因此，(0,1)x ∈时()0g x '>；(1,)x ∈+∞时 ()0g x '<；所以，max 1()(1)e g x g ==，11ea ≥，0e a <≤.又0a ≤也满足题意，所以a 的取值范围为(,e]-∞，故选D.解法二：原不等式可化为ln e e (ln )xx x a x x x-=≥-，令ln t x x =-，则1t ≥.从而e t at ≥在[1,)t ∈+∞恒成立，由切线法知，e a ≤.14.1- 15.6 16.①③【解析】15. 由复数的几何意义可知，复数1z 在复平面内对应的点P 在以原点为圆心的单位圆上，2z 对应的点为定点(3,4)Q ，则12z z -表示P ，Q 两点间距离，由解析几何知识得16=. 16.43ln ,S S =34330,ln 1S S S S ∴>=≤-，进而得41a ≤-..0,11<∴>q a 又2210,11,q q q q q <-+>++>若，则21131,(1)1,1,a a q q S >∴++>>即 23234341ln 0,(1)0, 10,S S S a q q q q q q ∴=>=+++>+++>.1,0)1)(1(,0)1()1(22相矛盾这与-<>++∴>+++∴q q q q q q 1312310,,..q a a S S S ∴-<<∴>+>即17.【解】（1）由题意可知210x ax -+>在R 上恒成立，故0∆<……………2分可得a 2-4＜0，解得22a -<< ………………………………4分 （2）由题意可得，1 221(1)2x ax --+≤，也即1[,2]2x ∀∈时214x ax -+≥恒成立可化为23x a x -≤…6分 设()23x g x x -=，只要()min a g x ≤即可…8分 ()2310g x x '=+>，所以()min11122g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以11.2a ≤-……10分 18.【解】（1）44()cos cos sin sin cos sin f x x x x x x x =++-2222(cos sin )(cos sin )2sin cos x x x x x x =-++cos2sin 2x x =+π24x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭…2分周期2ππ2T ==…3分 由222,Z 242k x k k πππππ-+<+<+∈…4分 解得3ππππ,Z 88k x k k -+<<+∈…5分 所以，函数()f x 的单调递增区间为3πππ,π,Z 88k k k ⎛⎫-++∈⎪⎝⎭.………6分 （2）由方程()0f x m -=在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，可得()m f x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，即函数y m =与函数π(),02y f x x =≤≤的图象有两个交点…8分令π24t x =+，则π5π44t ≤≤，即函数y m =与函数()g t t =，π5π44t ≤≤的图象有两个交点，函数()y g t =在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在π5π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，草图如下：且ππ5π()()1,()1244g g g ===-…10分 故1m ≤<分19.【解】（1）.9,632==a a …2分 猜想：,3n a n =…3分 证明：由已知可得),3(2)1(31n a n a n n -=+-+[],)1(3231--=--n a n a n n ........2132(3)a a -=- .3,31n a a n =∴= …6分（2）,.3311n n n n a =+）得由（……7分 .331........333231132nn nnn S +-++++=∴- ①.331........333231311432++-++++=∴n n n n n S ②……8分 ①-②可得,331......31313212+-+++=n n n n S …10分 nn n nS 32341431⋅-⋅-=∴- 12分 20.【解】（1）解法一：ABC △中，由sin 2sin A C a b =及正弦定理得，2sin cos sin sin sin A A CA B=. 2cos sin sin A B C ∴=…2分 又 sin sin()C A B =+ 2cos sin sin()A B A B ∴=+，进而sin()0A B -= A B ∴=，从而即得ABC △为等腰三角形.……5分 解法二：ABC △中，由sin 2sin A C a b =及正弦定理得，2sin cos sin A A Ca b=， 进而2cos a A c a b = 2cos c A b ∴=.…2分 由余弦定理，222 22b c a cbc b+-=，化简得22a b =，即a b =. 所以ABC △为等腰三角形……5分 （2）由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===（2R 为ABC △的外接圆直径）及题意， 2sin ,2sin ,2sin a A b B c C === 2(sin sin sin )a b c A B C ∴++=++…7分由（1）知，A B =且πA B C ++=π4sin 2sin 2, (0,)2a b c A A A ∴++=+∈…9分 令π()4sin 2sin 2, (0,)2f A A A A =+∈，则2()4cos 4cos 24(2cos cos 1)4(2cos 1)(cos 1)f A A A A A A A '=+=+-=-+， 易知，当π (0,)3A ∈时，()0f A '>，()f A 为递增的；当ππ (,)32A ∈时，()0f A '<，()f A为递减的.……11分 所以，当π 3A =时()f A 有最大值ππ2π()4sin 2sin333f =+=也即ABC △周长的最大值为 …………………………12分21.【解】（1）由题意得()x m m m y -+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12411…2分x m -+=39x x x -+++⋅=311294分x x -+-=1921， 所以x x y -+-=1921（a a x -≤<20，a 为正实数）……………5分 （2）由（1）得x x y -+-=1921()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=19122x x ……7分 易知20<<x ，函数递增，2>x ，函数递减……8分又02>-a a ，a 为正实数，故1>a ……9分所以，当22>-a a ，即2>a 时，31=+x ，2=x 时，函数取得最大值……10分 当22≤-a a ，即21≤<a 时，a a x -=2时，函数取得最大值……11分综上所述，当2>a 时，展销费为2万元时，该花卉基地可以获得最大利润；当21≤<a 时，展销费为2()a a -万元时，该花卉基地可以获得最大利润…12分 22.【解】（1）解法一：由题意，21ln ()e ,xxf x a x-'=+……1分 (1)e 1, (1) e.f a f a '∴=+=…2分 从而，曲线()f x 在点(1,(1))f 处切线方程为e (e 1)(1)y a a x -=+-3分 又该切线过点(2,1)，则有1e e 1a a -=+ 4分 解得0a =5分解法二：由题意，21ln ()e ,xxf x a x-'=+……1分 (1)e 1, (1) e.f a f a '∴=+= …2分 由曲线()f x 在点(1,(1))f 处切线过点(2,1)，则有(1)1e 112f a -=+-…4分即1e e 1a a -=+，解得0a =……5分（2）解法一：由题意，2()e ln ,(0)x g x x x x x -=-++>，则2211()(1)e1(1)(e )x x g x x x x x--'=-+++=+-.……7分 易知10x +>，记21()e x h x x -=-，则可知()h x 在(0,)+∞上递减，且1(1)10eh =->， 1(2)02h =-<0 (1,2)x ∴∃∈.使得0()0h x =.……9分从而，当0(0,)x x ∈时()0h x >，即()0g x '>；当0(,)x x ∈+∞时()0h x <，即()0g x '<.()g x ∴在0(0,)x 递增，在0(,)x +∞递减.…10分由0()0h x =可得020e1x x -=及00ln +2x x =02max 0000 g ()()e ln 1212x x g x x x x -∴==-++=-+=<(注：此处或者处理为“由0()0h x =可得020e1x x -=，max 000 g ()()1ln 1ln 22ln212x g x x x ∴==-++<-++=+<”）从而 ()2g x <…12分解法二：记 ()ln 1,0h x x x x =-+>，则1()1,h x x'=-…6分 易知(0,1), ()0;(1,), ()0.x h x x h x ''∈>∈+∞<时时所以在(0,1)递增，在(1,)+∞递减，则()(1)0h x h ≤=.………7分从而有 ()ln 10,ln 1;h x x x x x =-+≤≤- (e )ln e e 10,e 1.xxxxh x =-+≤≥+…9分由题意及上述结果225()eln [(2)1](1)3124x g x x x x x x x x x x -=-++≤--++-+=-+-≤<12分 解法三：由题意，欲证 2()e ln 2,x g x x x x -=-++<，只需证2ln 2e x x x x x-+<+.……6分 记ln (),0.x x m x x x +=>则1ln (),xm x x-'=从而易知()m x 在e x =处有极大值也是最大值11e+. …8分 记22()e ,0.x n x x x -=+>则222()e ,x n x x-'=-+易知()n x '在(0,)+∞递增， 且11(1)20,(2)10e 2n n ''=-+<=-+>，因此0(1,2),x ∃0()0n x '=，()n x 有最小值0()n x .而021200221()e e 12ex n x x --=+>+=+……11分 从而即证()()m x n x <，也即 ()2g x <.…12分。
安徽省蒙城县第一中学、淮南第一中学等2018届高三上学期“五校”联考数学试题（理科）1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，，所以，故选D．2. 函数的大致图象是（）【答案】A【解析】函数是偶函数，所以选项C、D不正确，当时，函数是增函数，所以B不正确，故选A．请在此填写本题解析!3. 已知是公差为的等差数列，为的前项和，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，根据等差数列的性质，可得，又数列的公差为，所以，故选C．4. 已知函数，，则“”是“函数的最小正周期为”的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，当时，函数的周期充分性成立，若函数的最小正周期为，则，解得，必要性不成立，故“”是“函数的最小正周期为”的充分不必要条件，故选B.5. 函数是定义在上的单调递增的奇函数，若，则满足的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为函数是定义在上单调递增的奇函数，由，则，又，则，所以，所以，故选A．6. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（）A. 向右平移移动个单位B. 向左平移移动个单位C. 向上平行移动个单位D. 向下平行移动个单位【答案】C【解析】由，所以只需把函数的图象向上平移1个单位，即可得到，故选C．7. 已知非零向量，，满足，向量，的夹角为，且，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，所以与的夹角为，故选B．8. 若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数的定义域为，所以，即，又，令，解得或（舍去），由于函数在区间内不是单调函数，所以，即，解得，综上可得，故选D．9. 若函数，满足，则称，为区间上的一组正交函数．给出三组函数：①，；②，；③．其中为区间上的正交函数的组数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】函数满足，则为奇函数，对于①：，所以为奇函数，所以在区间上是一组正交函数；对于②：，则为偶函数，所以在区间上不是一组正交函数；对于③：，，则为偶函数，所以在区间上不是一组正交函数，故选B．10. 已知正项等比数列（）满足，若存在两项，使得，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵正项等比数列{a n}满足：，又q＞0，解得，∵存在两项a m，a n使得，∴，即，∴，当且仅当=取等号，但此时m，n∉N*．又，所以只有当，取得最小值是．故选C．点睛：本题解题时要认真审题，注意正项等比数列的性质，利用等比数列的通项公式，解得，运用均值不等式求最值，一般运用均值定理需要要根据一正、二定、三取等的思路去思考，本题根据条件构造，研究的式子乘以1后变形，即可形成所需条件，应用均值不等式．11. 已知为上的可导函数，为的导函数且有，则对任意的，，当时，有（）A. B. C. D.【答案】A【解析】不妨设，则，因为当，，即，则，所以函数为单调递减函数，又且，所以，故选A．点睛：本题主要考查了导数在函数中的应用问题，其中解答中涉及到导数四则运算公式的逆用，利用导数研究函数的单调性，以及利用函数的单调性比较大小等知识点的运用，试题比较基础，属于基础题，解答中根据题意构造新函数，利用新函数的单调性解答的关键．12. 已知函数，若对任意，总存在使得，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当时，为单调递增函数，且，当时，，又对任意，总存在使得，所以，所以，综上，实数的取值范围是，故选D．点睛：本题主要考查分段函数的应用，其中解答中涉及到指数函数的单调性与值域，基本不等式的应用求最值，以及命题的转化等知识点的综合运用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中根据题意转化为两段函数的最值之间的关系是解答本题的关键．13. 已知点，则向量在方向上的投影为__________．【答案】【解析】由题意得，所以，所以向量在方向上的投影为．........................【答案】【解析】由题意得，画出约束条件所表示的平面区域如图所示又，设，当取可行域内点时，此时取得最大值，由，得，此时，所以的最大值为．15. 若函数的图象上存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】函数的导数为，因为函数存在与直线平行的切线，所以方程在区间上有解，即在区间上有解，因为，则，所以．点睛：本题主要考查了导数的几何意义的应用问题，其中解答中涉及到函数的导数的求解，导数的几何意义的应用，以及存在性问题的转化等知识点的运用，试题有一定的难度，属于中档试题，解答中把存在性命题转化为方程的有解问题是解答的关键．16. 已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有6个不同的实数根，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】作出函数的图象如图所示，令，则由图象可得：当时，方程只有1解；当或时，方程有2解；当时，方程有4解；因为，所以或，因为有解，所以又两解，所以或．点睛：本题主要考查了方程根的个数的判定与应用问题，其中解答中涉及到一元二次方程根的求解，函数的图象的应用等知识点的综合运用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中正确作出函数的图象和合理应用的根的个数的应用是解答的关键．17. 已知函数．（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）若在区间上的最大值与最小值的和为1，求的值．【答案】（1）,（）．（2）．【解析】试题分析: （Ⅰ）根据二倍角公式和两角和与差的正弦公式化简函数,求出函数的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）由x的范围,求出的范围,画出正弦函数的图象,求出函数的最大值与最小值的和等于1,解出a的值.试题解析:（Ⅰ）所以．由，得．故，函数的单调递增区间是（）．（Ⅱ）因为，所以．所以．因为函数在上的最大值与最小值的和为，所以．18. 已知是等比数列，公比，前项和为，且，数列满足：.（1）求数列，的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由等比数列，利用等比数列的通项公式和前项和公式，求得，即可求出通项公式；（2）由（1）求得，利用裂项求和的方法，即可求解数列的和，由此可作出证明．试题解析：（1）故解得所以，．（2）设，，因为，所以，．19. 已知分别为角的对边，它的外接圆的半径为为常数），并且满足等式成立.（1）求；（2）求的面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用正弦定理，化简得，再由余弦定理，即可求得的值，从而求解的值；（2）由（1）知，，利用两角和与差的正弦，即可求解，从而求得三角形面积的最大值．试题解析：（1）由，∴，由正弦定理得，，，代入得，由余弦定理，∴．（2）由（1）知，，所以，当且仅当时，．20. 设数列的前项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，且，求数列的通项公式；（3）设，求数列的前项和．【答案】（1）（2）（3）．【解析】试题分析：解：(1)当n=1时，，所以当n≥2时，，且所以得：则数列是以1为首项，为公比的等比数列，所以：数列的通项公式是。
蒙城县第一中学、第一中学等2021届高三上学期“五校〞联考数学试题〔理科〕1. 集合，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，，所以，应选D．2. 函数的大致图象是〔〕【答案】A【解析】函数是偶函数，所以选项C、D不正确，当时，函数是增函数，所以B不正确，应选A．请在此填写上此题解析!3. 是公差为的等差数列，为的前项和，假设，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，根据等差数列的性质，可得，又数列的公差为，所以，应选C．4. 函数，，那么“〞是“函数的最小正周期为〞的〔〕A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，当时，函数的周期充分性成立，假设函数的最小正周期为，那么，解得，必要性不成立，故“〞是“函数的最小正周期为〞的充分不必要条件，应选B.5. 函数是定义在上的单调递增的奇函数，假设，那么满足的的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】因为函数是定义在上单调递增的奇函数，由，那么，又，那么，所以，所以，应选A．6. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点〔〕A. 向右平移挪动个单位B. 向左平移挪动个单位C. 向上平行挪动个单位D. 向下平行挪动个单位【答案】C【解析】由，所以只需把函数的图象向上平移1个单位，即可得到，应选C．7. 非零向量，，满足，向量，的夹角为，且，那么向量与的夹角为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，所以与的夹角为，应选B．8. 假设函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】函数的定义域为，所以，即，又，令，解得或者〔舍去〕，由于函数在区间内不是单调函数，所以，即，解得，综上可得，应选D．9. 假设函数，满足，那么称，为区间上的一组正交函数．给出三组函数：①，；②，；③．其中为区间上的正交函数的组数是〔〕A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】函数满足，那么为奇函数，对于①：，所以为奇函数，所以在区间上是一组正交函数；对于②：，那么为偶函数，所以在区间上不是一组正交函数；对于③：，，那么为偶函数，所以在区间上不是一组正交函数，应选B．10. 正项等比数列〔〕满足，假设存在两项，使得，那么的最小值为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】∵正项等比数列{a n}满足：，又q＞0，解得，∵存在两项a m，a n使得，∴，即，∴，当且仅当=取等号，但此时m，n∉N*．又，所以只有当，获得最小值是．应选C．点睛：此题解题时要认真审题，注意正项等比数列的性质，利用等比数列的通项公式，解得，运用均值不等式求最值，一般运用均值定理需要要根据一正、二定、三取等的思路去考虑，此题根据条件构造，研究的式子乘以1后变形，即可形成所需条件，应用均值不等式．11. 为上的可导函数，为的导函数且有，那么对任意的，，当时，有〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】不妨设，那么，因为当，，即，那么，所以函数为单调递减函数，又且，所以，应选A．点睛：此题主要考察了导数在函数中的应用问题，其中解答中涉及到导数四那么运算公式的逆用，利用导数研究函数的单调性，以及利用函数的单调性比拟大小等知识点的运用，试题比拟根底，属于根底题，解答中根据题意构造新函数，利用新函数的单调性解答的关键．12. 函数，假设对任意，总存在使得，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】当时，为单调递增函数，且，当时，，又对任意，总存在使得，所以，所以，综上，实数的取值范围是，应选D．点睛：此题主要考察分段函数的应用，其中解答中涉及到指数函数的单调性与值域，根本不等式的应用求最值，以及命题的转化等知识点的综合运用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中根据题意转化为两段函数的最值之间的关系是解答此题的关键．13. 点，那么向量在方向上的投影为__________．【答案】【解析】由题意得，所以，所以向量在方向上的投影为．........................【答案】【解析】由题意得，画出约束条件所表示的平面区域如下图又，设，当取可行域内点时，此时获得最大值，由，得，此时，所以的最大值为．15. 假设函数的图象上存在与直线平行的切线，那么实数的取值范围是__________．【答案】【解析】函数的导数为，因为函数存在与直线平行的切线，所以方程在区间上有解，即在区间上有解，因为，那么，所以．点睛：此题主要考察了导数的几何意义的应用问题，其中解答中涉及到函数的导数的求解，导数的几何意义的应用，以及存在性问题的转化等知识点的运用，试题有一定的难度，属于中档试题，解答中把存在性命题转化为方程的有解问题是解答的关键．16. 函数是定义域为的偶函数，当时，，假设关于的方程有且仅有6个不同的实数根，那么实数的取值范围是__________．【答案】【解析】作出函数的图象如下图，令，那么由图象可得：当时，方程只有1解；当或者时，方程有2解；当时，方程有4解；因为，所以或者，因为有解，所以又两解，所以或者．点睛：此题主要考察了方程根的个数的断定与应用问题，其中解答中涉及到一元二次方程根的求解，函数的图象的应用等知识点的综合运用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中正确作出函数的图象和合理应用的根的个数的应用是解答的关键．17. 函数．〔1〕求的最小正周期及单调递增区间；〔2〕假设在区间上的最大值与最小值的和为1，求的值．【答案】〔1〕,〔〕．〔2〕．【解析】试题分析: 〔Ⅰ〕根据二倍角公式和两角和与差的正弦公式化简函数,求出函数的最小正周期及单调递增区间；〔Ⅱ〕由x的范围,求出的范围,画出正弦函数的图象,求出函数的最大值与最小值的和等于1,解出a的值.试题解析:〔Ⅰ〕所以．由，得．故，函数的单调递增区间是〔〕．〔Ⅱ〕因为，所以．所以．因为函数在上的最大值与最小值的和为，所以．18. 是等比数列，公比，前项和为，且，数列满足：.〔1〕求数列，的通项公式；〔2〕设数列的前项和为，求证：.【答案】〔1〕〔2〕【解析】试题分析：〔1〕由等比数列，利用等比数列的通项公式和前项和公式，求得，即可求出通项公式；〔2〕由〔1〕求得，利用裂项求和的方法，即可求解数列的和，由此可作出证明．试题解析：〔1〕故解得所以，．〔2〕设，，因为，所以，．19. 分别为角的对边，它的外接圆的半径为为常数〕，并且满足等式成立.〔1〕求；〔2〕求的面积的最大值.【答案】〔1〕〔2〕【解析】试题分析：〔1〕利用正弦定理，化简得，再由余弦定理，即可求得的值，从而求解的值；〔2〕由〔1〕知，，利用两角和与差的正弦，即可求解，从而求得三角形面积的最大值．试题解析：〔1〕由，∴，由正弦定理得，，，代入得，由余弦定理，∴．〔2〕由〔1〕知，，所以，当且仅当时，．20. 设数列的前项和为，且满足．〔1〕求数列的通项公式；〔2〕假设数列满足，且，求数列的通项公式；〔3〕设，求数列的前项和．【答案】〔1〕〔2〕〔3〕．【解析】试题分析：解：(1)当n=1时，，所以当n≥2时，，且所以得：那么数列是以1为首项，为公比的等比数列，所以：数列的通项公式是。
安徽省怀远第一中学等2020届高三上学期“五校”联考数学试题（理科）命题单位： 审题单位：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22题，共150分，共4页。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2{4,},1,A a B a ==，a R ∈，则AB 不可能．．．是 A.{}1,1,4- B.{}1,0,4 C.{}1,2,4 D.{}2,1,4-2.复数z 的实部为1，且1z i -=，则复数z 的虚部为 A.iB. i -C.1D.1-3.《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为1.732≈≈） A.1.012米 B.1.768米 C.2.043米 D.2.945 米4.数列{}n a 的前n 项和()1n S n n =-，若510k a a -=，则k = A.10 B.15 C.20 D.255.已知向量(),1λ=-a ，()1,3=-b ，若，则λ的值为（ ） A.3- B.2- C.0 D.16.曲线21:C y x =，22:4C y x x =-以及直线:2l x =所围成封闭图形的面积为A.1B.3C.6D.87.已知正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1>q ”是“1012112+>S S S ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.函数2211()sin f x x x x π=+-在区间[]2,2ππ-上的大致图像为9.已知平面,,αβγ有一个公共点，直线,,a b c 满足：,,a b c αβγ⊆⊆⊆，则直线,,a b c 不可能．．．满足以下哪种关系 A.两两平行B.两两异面C.两两垂直D.两两相交10.安徽怀远石榴（Punicagranatum ）自古就有“九州之奇树，天下之名果”的美称，今年又喜获丰收.怀远一中数学兴趣小组进行社会调查，了解到某石榴合作社为了实现100万元利润目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过6万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%.同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合合作社要求的是（参考数据：1001.015 4.432,lg11 1.041≈≈）A.0.04y x =B. 1.0151xy =- C.tan 119x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.()11log 310y x =-11.设函数()()21ln x f x e e x =-+（其中e 为自然对数的底数）．则函数()f x 的零点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.312.锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 5A C b Aa+=，22BA BC AB AC ⋅+⋅=． 则ABC ∆面积的取值范围是A.14,33⎛⎫⎪⎝⎭B. C.()1,2 D.3⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知不等式组330300x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域为D ，,P Q 是区域D 内任意两点，若()3,3R ，则,PR QR 的最大值是 ．14.cos102cos20cos10-⋅= ．15.若直线y kx b =+是曲线ln y x =的切线，也是曲线2x y e -=的切线，则b = ．16.我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一 种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台）， 如果一个方斗的容积为28升（一升为一立方分米），上底 边长为4分米，下底边长为2分米，则该方斗的外接球的 表面积为 平方分米.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（10分）已知221a b +=.（1）求证：1a b ab -≤-；（2）若0a b ⋅>，求()()33a b a b +⋅+的最小值.18.（12分）把正弦函数函数图象沿x 轴向左平移6π个单位，向上平移12个单位，然后再把所得曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来1ω()0ω>，所得曲线是()f x .点,,P Q R 是直线()0y m m =>与函数()f x 的图象自左至右的某三个相邻交点，且123PQ QR π==.（1）求()f x 解析式； （2）求m 的值.19.（12分）已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1a b ==-，131144n n n a a b +-=+ ，111443n n n b b a +-=-. （1）证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列；（2）若22n n n c a b =-，求数列{}n c 的前n 项和n S .20.（12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，,E F 分别为AB 的三等分点FG ED BC ∥∥，BC AB ⊥，BC CD ⊥， 3 ,2AB BC ==，若沿着,FG ED 折叠使得点,A B 重合，如图2所示，连结,GC BD .（1）求证：平面GBD ⊥平面BCE ； （2）求二面角C GB D --的余弦值.21.（12分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设(sin sin sin )(sin sin sin )A B C A B C ++⋅+-2sin sin A B =.（1）求C ；（2）若D 为BC 边上的点，M 为AD 上的点，1CD =，CAB MBD DMB ∠=∠=∠. 求AM ．22.（12分）已知函数()1()cos 1()x f x ex ax a R +=++-∈.（1）若()f x 在()1,-+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）当 1a =-时，若实数1212,()x x x x <满足12()()2f x f x +=，求证：120x x +<.安徽省怀远第一中学等2020届高三上学期“五校”联考数学试题（理科）一、选择题二、填空题13.90； 14. 15.0或1-； 16.33π三、解答题17.【解析】（1）要证原不等式，即证： ()()221a b ab -≤-，只需证：()()22110a b --≤，∵221a b +=， ∴221,1a b ≤≤∴()()22110a b --≤，故原不等式成立. …………………………5分 （2）()()334334a b a b a ab a b b +⋅+=+++44a b ≥+()2221a b=+=…………………………10分18.【解析】（1）由题意可得()()1sin 062f x x πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭， T PQ QR π=+=，∵2T πω=，且0ω>，∴2ω=.()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. …………………………6分 （2）设()0,P x m ，0,3Q x m π⎛⎫+⎪⎝⎭，则0011sin 2sin 262362x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即005sin 2sin 266x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得02k x π=()k Z ∈，则1sin 62m k ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∵0m >∴1m =. …………………………12分19.【解析】（1）由题意可知131144n n n a a b +-=+，111443n n n b b a +-=-，111a b +=，113a b -=， ∴()11313111144442n n n n n n n n a b a b b a a b ++=++=+---+，即()1112n n n n a b a b ++=++，∴数列{}n n a b +是首项为1、公比为12的等比数列，故112n n n a b -+=，…………………………3分∵1131311124444n n nn n n n n a b a b b a a b ++骣琪=+-=-+琪桫----， ∴数列{}n n a b -是首项3、公差为2的等差数列，故21n n a b n -=+.…………………………6分 (2)由(1)可知，112n n n a b -+=，21n n a b n -=+， ∴()()221212n n n n n n n n n c a b a b a b -+=-=-⋅+=，…………………………8分()0111113521222n n S n -=⨯+⨯+++⨯ ①①式两边同乘12，得()()1211111135212122222n n n S n n -=⨯+⨯++-⨯++⨯ ② ①－②得()0111111132122222n n nS n -⎛⎫=++++-+⨯ ⎪⎝⎭ ∴125102nn n S -+=-…………………………12分20.【解析】（1）取,BD BE 的中点分别为,O M ，连结,,GO OM MF .OM ED ∥且12OM DE =， 又∵GF ED ∥，且12GF ED =∴GF OM ∥且GF OM =∴四边形OMFG 是平行四边形，故GO FM ∥ ∵M 是EB 的中点，三角形BEF 为等边三角形， 故FM EB ⊥∵平面EFM ⊥平面BCDE∴FM ⊥平面BCDE ，因此GO ⊥平面BCDE 故平面GBD ⊥平面BCE …………………………6分 （2）建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,1,0B ，()0,1,2C ，()0,0,2D，1,12G ⎫⎪⎪⎝⎭，故()0,0,2BC =，31,12BG ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，()0,1,2BD =-设平面CBG 的法向量为m (),,x y z =，则00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m BC m BG ，即2020z y z =⎧⎪-+=， 令1x =得m ()=，设平面DBG 的法向量为n (),,x y z =，则00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n BD n BG ，即2020y z y z -=⎧⎪-+=， 令1z =得n ()0,2,1=，cos ,m n=⋅⋅mn mn 5==∵二面角C GB D --的平面角是锐角，设为θ ∴cos θ=…………………………12分 21.【解析】（1）由(sin sin sin )(sin sin sin )A B C A B C ++⋅+-2sin sin A B =，得()222a b c ab +-=，即222a b c +=∴90C =； …………………………4分 （2）令CAB MBD DMB θ∠=∠=∠=，则在AMB ∆中，902,180MBA BMA θθ∠=-∠=- 由正弦定理得：()()sin 902sin 180AM ABθθ=--， 即cos 2sin AB AM θθ⋅=…………………………8分在ACD ∆中，90,2ACD CDA θ∠=∠=由正切定义：tan 2AC θ=在ACB ∆中，90,ACB BAC θ∠=∠= 由正切定义：tan 2cos cos AC AB θθθ==，…………………………10分 ∴tan 2cos 2cos 2sin AM θθθθ⋅==.…………………………12分22.【解析】（1）()1()sin 1x f x ex a +'=-+-由()f x 在()1,-+∞上单调递增， 故当1x >-时，()1sin 10x e x a +-+-≥恒成立即()1sin 1x a ex +≤-+设()()()1sin 11x g x ex x +=-+>-，()()1cos 1x g x e x +'=-+，∵1x >-，∴()11,cos 11x ex +>+≤∴()0g x '>，即()g x 在()1,-+∞上单调递增， 故()()11g x g >-=∴1a ≤；…………………………5分（2）当1a =-时，()()1cos 1x f x e x x +=+++，()()1sin 110x f x e x +'=-++>∴()f x 在R 上单调递增，又∵()11f -=且()()122f x f x +=， 故121x x <-<要证120x x +<，只需证21x x <-即证()()21f x f x <-，只需证()()112f x f x -<- 即证()()1120f x f x +--> 令()()()2h x f x f x =+--，()h x '()()()()11sin 11sin 11x x e x e x +-=-+++-+--112cos1sin x x e e x +-=--⋅令()112cos1sin x x x ee x ϕ+-=--⋅，()112cos1cos 22cos1cos 0x x x e e x e x ϕ+-'=+-⋅≥-⋅>∴()x ϕ在(),1-∞-上单调递增∴()()211sin 20x e ϕϕ<-=--<，故()h x 在(),1-∞-上单调递减，∴()()()12120h x h f >-=--=，故原不等式成立. …………………12分。
黔西北州欣宜市实验学校二零二一学年度皖北协作区2021年高三数学理科联考试卷试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部.第一卷1至2页.第二卷3至8页。
一共100分.考试时间是是120分种.第一卷(选择题一共60分)一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合要求。
〕1．假设集合S={a,b,c}(a,b,c ∈R)中三个元素为边可构成一个三角形，那么该三角形一定不可能．．．是 〔B 〕A ．锐角三角形B ．等腰三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形2.复数632)i 1()i 31()i 2(i 34-⋅---+-的值是〔A 〕A.–2iB.0C.2iD.-i3．设M ={平面内的点〔a ，b 〕}，N ={f 〔x 〕|f 〔x 〕=a cos2x +b sin2x }.给出M 到N 的映射f :〔a ，b 〕→f 〔x 〕=a cos2x +b sin2x ，那么点〔1，3〕的象f 〔x 〕的最小正周期为〔A 〕A.ππC.2πD.4π 4.假设以圆锥曲线的一条经过焦点的弦为直径的圆与对应的准线有两个交点，那么此圆锥曲线为(A)5.函数y=asinx －bcosx 的一条对称轴方程为4x π=，那么直线ax －by+c=0的倾斜角是〔B 〕 A ．45°B ．135°C ．60°D ．120°6．曲线2x x )x (f 3-+=过曲线上的点0P 切线平行于直线1x 4y -=，那么点0P 的坐标为〔C 〕 A ．〔1，0〕B ．〔2，8〕C ．〔1，0〕和〔－1，－4〕D ．〔2，8〕和〔－1，－4〕7.某校高二年级一共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，那么不同的安排方案种数为〔B 〕A.180 B ．90 C ．288D ．728.定义在R 上的偶函数f(x)在),0[+∞上是增函数，且0)21(f =，那么不等式0)x (log f 4>的解集为〔C 〕A ．{2x |x >}B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x 0|xC ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<2x 21x 0|x 或D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<2x 1x 21|x 或9．β--αa 为大小确定的一个二面角，b 和c 空间中的两条直线，下面给出的四个条件中，使b 和c 所成的角为定值的是〔D 〕A ．b ∥α且c ∥βB ．b ∥α且β⊥cC ．α⊥b 且c ∥βD ．α⊥b 且β⊥c10、设函数)x (f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，假设)3a 2)(1a ()2(f ,0)1(f -+=>，那么a 的取值范围是〔D 〕 A ．23a <B ．1a 23a -≠<且C ．1a 23a -<>或D ．23a 1<<-11.a ＞0，a ≠1，函数y=a │x 2-x-2│的图象与函数y=│log a x │的图像的交点个数是〔C 〕A.1个B.2个C.3个D.4个12.如图，A 、B 、C 、D 是某煤矿的四个采煤点，l 为公路，图中所示线段为道路，ABQP 、BCRQ 、CDSR 近似于正方形，A 、B 、C 、D 四个采煤点每天的采煤量之比约为3∶2∶1∶P 、Q 、R 、S 中选出一处设立一个运煤中转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，那么地点应选在C A.P B.QC.RD.S第二卷(非选择题一共90分)二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分。
