抽象形式幂级数的收敛半径

幂级数函数项级数、幂级数的概念幂级数的收敛性幂级数的运算和函数的性质函数项级数、幂级数的概念给定一个定义在区间I 上的函数列1()u x ,2()u x ,,()n u x ,,表达式1231()()()()()nn n u x u x u x u x u x ∞==+++++∑称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数, 简称(函数项)级数.例 21sin n nx n ∞=∑ 22sin 2sin sin 2x nxx n=++++对于每一个确定的值0x I ∈, 有常数项级数1201()()()()nn n u x u x u x u x ∞==++++∑若01()nn u x ∞=∑收敛, 称点0x 是1()nn u x ∞=∑的收敛点;若1()nn u x ∞=∑发散, 称点0x 是1()nn u x ∞=∑的发散点.函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛点的全体称为它的收敛域,发散点的全体称为它的发散域.例 函数项级数21sin n nxn ∞=∑, (,)x ∀∈-∞+∞, 22sin 1nx n n≤, 211n n ∞=∑收敛, 故级数21sin n nx n ∞=∑收敛, 且它的收敛域为(,)-∞+∞.在收敛域上, 函数项级数的和是x 的函数()s x ,通常称()s x 为函数项级数的和函数.和函数的定义域就是级数的收敛域, 并写成12()()()()n s x u x u x u x =++++.级数1()n n u x ∞=∑的前n项的部分和()n s x在收敛域上有lim ()()n n s x s x →∞=.记()()()n n r x s x s x =-, 有lim ()0n n r x →∞=.特殊地,形如20102000()()()()nnnn n a x x a a x x a x x a x x ∞=-=+-+-++-+∑的函数项级数称为0()x x -的幂级数. 当00x =时,函数项级数的余项20120nnn n n a xa a x a x a x ∞==+++++∑,其中常数0a ,1a ,2a ,,n a ,称作幂级数的系数.t x x =-x取数轴上的哪些点时幂级数收敛,取哪些点时幂级数发散?幂级数的收敛性1.幂级数收敛域的结构例 考察幂级数0n n x∞==∑21n x x x +++++的收敛性. 解 当||1x <时, 011n n x x ∞==-∑; 当||1x ≥时, 这级数发散. 收敛域是开区间(1,1)-, 发散域是(,1]-∞-及[1,)+∞, 2111n x x x x =+++++-(11)x -<<.定理(阿贝尔(Abel)定理)如果级数0n nn a x ∞=∑当0x x =0(0)x ≠时收敛,则适合不等式0||||x x <的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数0n nn a x ∞=∑当0x x =时发散,则适合不等式0||||x x >的一切x 使这幂级数发散.证 先设0x 是0n n n a x ∞=∑的收敛点, 即级数00n n n a x ∞=∑收敛, 0lim 0n n n a x →∞=. 存在常数M ,使0||n n a x M ≤(0,1,2,)n =.00||n n n n x a x x =⋅ 0n x M x ≤. ||n n a x 00n n n n x a x x =⋅ 当0||||x x <时01x x <, 00n n x M x ∞=∑收敛, 0n n n a x ∞=∑绝对收敛.反之, 假设幂级数0n nn a x ∞=∑当0x x =时发散,而有一点1x 适合10||||x x >使级数收敛, 则当0x x =时级数收敛, 这与定理的假设矛盾, 定理表明, 若幂级数0n nn a x ∞=∑在0x x =处收敛,则对于开区间00(||,||)x x -内的任何x ,幂级数都收敛;若幂级数0n nn a x ∞=∑在0x x =处发散,则对于闭区间00[||,||]x x -外的任何x ,幂级数都发散. 在某一时刻, 遇到发散点, 幂级数的收敛域有如下特征:收敛域从原点开始向两端扩张, 初始时遇到的均为收敛点, 以后的所有点均为发散点.推论 如果幂级数0n nn a x ∞=∑不是仅在0x =一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个确定的正数R 存在, 使得当||x R < 时,幂级数绝对收敛;当||x R >时，幂级数发散;当x R =与x R =-时，幂级数可能收敛也可能发散.正数R 通常称作幂级数的收敛半径.例如, 幂级数0n n x∞=∑的收敛半径为1R =.开区间(,)R R -叫做幂级数的收敛区间. 收敛域是 (,)R R -、[,)R R -、(,]R R -或[,]R R -之一. 若幂级数只在0x =处收敛,规定收敛半径0R =;若幂级数对一切x 都收敛,规定R =+∞,收敛域(,)-∞+∞.。

收敛半径公式
用第n+1项除以第n项,整个的绝对值,小于1,解出x(或x-a这决定
于你级数的展开)的绝对值小于的值就是收敛半径。

收敛域就是求使其收
敛的所有的点构成的区域。

1、收敛半径r是一个非负的实数或无穷大，使得在|z-a|<r时幂级
数收敛，在|z-a|>r时幂级数发散。

幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。

2、如果幂级数中的幂次是按自然数顺序依次递增的，即该级数是不
缺项的幂级数，可用两种方法即系数模比值法和系数模根值法求其收敛半
径R。

如果幂级数中的幂次不是按自然数的顺序依次递增的（比如缺奇次
幂或缺偶次幂等）必须直接使用比值审敛法。

3、因为函数项级数的收敛域其实就是由所有收敛点构成的，而对于
每个收敛点对应的函数项级数的收敛性的判定，其实对应的就是常值级数
收敛性的判定，所以函数项级数的收敛域的计算一般基于常值级数判定的
方法，常用的是基于取项的绝对值的比值审敛法与根值判别法。

幂级数函数项级数、幂级数的概念幂级数的收敛性幂级数的运算和函数的性质函数项级数、幂级数的概念给定一个定义在区间I 上的函数列1()u x ,2()u x ,,()n u x ,,表达式1231()()()()()nn n u x u x u x u x u x ∞==+++++∑称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数, 简称(函数项)级数.例 21sin n nx n ∞=∑ 22sin 2sin sin 2x nxx n=++++对于每一个确定的值0x I ∈, 有常数项级数1201()()()()nn n u x u x u x u x ∞==++++∑若01()nn u x ∞=∑收敛, 称点0x 是1()nn u x ∞=∑的收敛点;若1()nn u x ∞=∑发散, 称点0x 是1()nn u x ∞=∑的发散点.函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛点的全体称为它的收敛域,发散点的全体称为它的发散域.例 函数项级数21sin n nxn ∞=∑, (,)x ∀∈-∞+∞, 22sin 1nx n n≤, 211n n ∞=∑收敛, 故级数21sin n nx n ∞=∑收敛, 且它的收敛域为(,)-∞+∞.在收敛域上, 函数项级数的和是x 的函数()s x ,通常称()s x 为函数项级数的和函数.和函数的定义域就是级数的收敛域, 并写成12()()()()n s x u x u x u x =++++.级数1()n n u x ∞=∑的前n项的部分和()n s x在收敛域上有lim ()()n n s x s x →∞=.记()()()n n r x s x s x =-, 有lim ()0n n r x →∞=.特殊地,形如20102000()()()()nnnn n a x x a a x x a x x a x x ∞=-=+-+-++-+∑的函数项级数称为0()x x -的幂级数. 当00x =时,函数项级数的余项20120nnn n n a xa a x a x a x ∞==+++++∑,其中常数0a ,1a ,2a ,,n a ,称作幂级数的系数.t x x =-x取数轴上的哪些点时幂级数收敛,取哪些点时幂级数发散?幂级数的收敛性1.幂级数收敛域的结构例 考察幂级数0n n x∞==∑21n x x x +++++的收敛性. 解 当||1x <时, 011n n x x ∞==-∑; 当||1x ≥时, 这级数发散. 收敛域是开区间(1,1)-, 发散域是(,1]-∞-及[1,)+∞, 2111n x x x x =+++++-(11)x -<<.定理(阿贝尔(Abel)定理)如果级数0n nn a x ∞=∑当0x x =0(0)x ≠时收敛,则适合不等式0||||x x <的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数0n nn a x ∞=∑当0x x =时发散,则适合不等式0||||x x >的一切x 使这幂级数发散.证 先设0x 是0n n n a x ∞=∑的收敛点, 即级数00n n n a x ∞=∑收敛, 0lim 0n n n a x →∞=. 存在常数M ,使0||n n a x M ≤(0,1,2,)n =.00||n n n n x a x x =⋅ 0n x M x ≤. ||n n a x 00n n n n x a x x =⋅ 当0||||x x <时01x x <, 00n n x M x ∞=∑收敛, 0n n n a x ∞=∑绝对收敛.反之, 假设幂级数0n nn a x ∞=∑当0x x =时发散,而有一点1x 适合10||||x x >使级数收敛, 则当0x x =时级数收敛, 这与定理的假设矛盾, 定理表明, 若幂级数0n nn a x ∞=∑在0x x =处收敛,则对于开区间00(||,||)x x -内的任何x ,幂级数都收敛;若幂级数0n nn a x ∞=∑在0x x =处发散,则对于闭区间00[||,||]x x -外的任何x ,幂级数都发散. 在某一时刻, 遇到发散点, 幂级数的收敛域有如下特征:收敛域从原点开始向两端扩张, 初始时遇到的均为收敛点, 以后的所有点均为发散点.推论 如果幂级数0n nn a x ∞=∑不是仅在0x =一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个确定的正数R 存在, 使得当||x R < 时,幂级数绝对收敛;当||x R >时，幂级数发散;当x R =与x R =-时，幂级数可能收敛也可能发散.正数R 通常称作幂级数的收敛半径.例如, 幂级数0n n x∞=∑的收敛半径为1R =.开区间(,)R R -叫做幂级数的收敛区间. 收敛域是 (,)R R -、[,)R R -、(,]R R -或[,]R R -之一. 若幂级数只在0x =处收敛,规定收敛半径0R =;若幂级数对一切x 都收敛,规定R =+∞,收敛域(,)-∞+∞.。

幂级数的收敛半径与收敛区间幂级数（1）的收敛域可分成三种情形：I.它只在原点 x ＝0 处收敛；II.它在整个数轴上都收敛；III.它在数轴上除原点外既有收敛点又有发散点。

前两种情形的收敛域是明确的，对于情形III.，设与分别是幂级数（1）的收敛点与发散点，阿贝尔定理指出，幂级数（1）在以原点为中心、半径为 | | 的开区间 (－| |, | |)内是绝对收敛的，而在与原点的距离大于 | | 的区域内是发散的，这说明在原点与收敛点之间不可能有发散点。

结论：如果幂级数（1）除了原点外既有收敛点又有发散点，则必存在正数 R ，使得当 | x | < R 时，幂级数（1）绝对收敛；当 | x | > R 时，幂级数（1）发散；当 | x | = R 时，幂级数（1）可能收敛也可能发散；我们称这样的正数 R 为幂级数（1）的收敛半径。

特别地，当幂级数（1）只在 x ＝0 处收敛时，规定 R ＝0；当幂级数（1）在整个数轴上都收敛时，规定 R = + ∞。

确定了幂级数（1）的收敛半径 R 后，再根据幂级数（1）在 x ＝±R 处的敛散性，就可确定幂级数（1）的收敛域是以下四个区间：(－R , R ), (－R , R ] , [－R , R )，[－R , R ] 中的一个，称为幂级数（1）的收敛。

下面的定理给出了幂级数的收敛半径的求法定理2 设幂级数（1）的各项系数至多只有有限个为零，且则数 R 就是幂级数（1）的收敛半径证：对于每一个固定的 x ，幂级数（1）是一个常数项级数，为讨论它的收敛性问题，可以考虑幂级数（1）各项取绝对值后所成的正项级数（3）①若 R ≠ 0，R ≠∞，则有根据比值判别法，当即 | x | < R 时，级数（3）收敛，从而级数（1）绝对收敛；当即| x | > R 时，级数（3）发散且从某一个 n 开始，有，这表明当时，级数（3）的一般项于0，从而于0 ，故幂级数（1）发散。

收敛半径和收敛区间一、收敛半径与收敛区间的概念（一）幂级数的形式形如∑_{n = 0}^∞a_{n}(x - x_{0})^n=a_{0}+a_{1}(x - x_{0})+a_{2}(x -x_{0})^2+·s的级数称为幂级数，其中a_{n}为系数，x_{0}为中心点。

（二）收敛半径的定义对于幂级数∑_{n = 0}^∞a_{n}(x - x_{0})^n，存在一个非负实数R（R可以为0或+∞），使得当| x - x_{0}| < R时，幂级数绝对收敛；当| x - x_{0}|> R时，幂级数发散；当| x - x_{0}| = R时，幂级数可能收敛也可能发散。

这个R就称为幂级数的收敛半径。

（三）收敛区间的定义由收敛半径R确定的开区间(x_{0}-R,x_{0} + R)称为幂级数的收敛区间。

当考虑端点x=x_{0}-R和x = x_{0}+R处的敛散性后，得到的包含端点（如果收敛）的区间称为幂级数的收敛域。

二、收敛半径的求法（一）比值法设幂级数∑_{n = 0}^∞a_{n}(x - x_{0})^n，如果lim_{n→∞}<=ftfrac{a_{n + 1}(x - x_{0})^n+1}{a_{n}(x - x_{0})^n}right=lim_{n→∞}<=ftfrac{a_{n+1}}{a_{n}}right| x - x_{0}|=ρ| x - x_{0}|1. 当ρ≠0时，收敛半径R = (1)/(ρ)。

2. 当ρ = 0时，R=+∞。

3. 当ρ =+∞时，R = 0。

（二）根值法设幂级数∑_{n = 0}^∞a_{n}(x - x_{0})^n，如果lim_{n→∞}sqrt[n]{| a_{n}(x - x_{0})^n|}=lim_{n→∞}| a_{n}|^(1)/(n)| x - x_{0}|=ρ| x - x_{0}|1. 当ρ≠0时，收敛半径R=(1)/(ρ)。

关于幂级数的收敛半径及其应用1刖言在数学分析中曾学过一些关于幕级数的知识。

在这里我们将讨论由幕级数列◎n X-X Q I 所产生的函数项级数式函数的延伸。

幕级数在理论和实际上都有很多应用，特别在应用它表示函数方面, 使我们对它的作用有许多新的认识。

下面我们将着重讨论X Q =0，即od、a n x n =a n +a 1x+a 2x + +a n x n + （2）n=0的情形，因为只要把（2）中的x 换成x-x 0，就得到（1）。

定理1 （阿贝耳定理） 若幕级数（2）在x=x 0丸 收敛，则对满足不等式|x<x 的 任何x ，幕级数（2）收敛而且绝对收敛；若幕级数（2）在x=x 时发散，则对满足不 等式x> X 的任何x ，幕级数（2）发散由此定理知道：幕级数（2）的收敛域是以原点为中心的区间，若以 2R 表示区间 的长度，则称R 为幕级数的收敛半径。

实际上，它就是使得幕级数（2）收敛的那些 点的绝对值的上确界。

所以当R=0时，幕级数（2）仅在x=0处收敛； 当R=+：：时，幕级数（2）在-：：,+：：上收敛;当0vRv+：：时，幕级数（2）在-R ，R 内收敛；对一切满足不等式x >R 的x ，幕 级数（2）都发散；至于x 二一 R ，（2）可能收敛也可能发散。

我们称-R, R 为幕级数（2）的收敛区间。

2幂级数的收敛半径怎么求得幕级数（2）的收敛半径，有如下几种方法。

2.1比值法' a n X -X Q n=0它称为幕级数, n2=a 0+a i x-x 0 +a ? x-x 0 +是一类最简单的函数项级数 +a n x-x0 +，（1）从某种意义上说，它也可以看作是多项=P ，则有lim Ja n 二P 。

因此，我们也常用比式判别法来 n _ic ¥ 退出幕级数(2)的收敛半径。

2.2根值法定理2对于幕级数(2)，若!^润=卩，(3)则当(i ) 0＜：、＜+：：时，幕级数(2)的收敛半径R 二丄；(ii )心0时，幕级数(2)的收敛半径R=+：：; (iii ) 「=+：：时，幕级数(2)的收敛半径R=0。

高考数学知识点精讲幂级数的展开与收敛半径高考数学知识点精讲：幂级数的展开与收敛半径在高考数学中，幂级数是一个重要的知识点，其中幂级数的展开与收敛半径更是理解和解决相关问题的关键。

让我们一起来深入探讨这个知识点，帮助同学们在高考中轻松应对相关题型。

首先，我们来了解一下什么是幂级数。

简单来说，幂级数就是形如∑（n=0 到∞） aₙ xⁿ ＝ a₀＋ a₁ x ＋ a₂ x²＋ a₃ x³＋的无穷级数。

其中，aₙ 被称为幂级数的系数，x 是变量。

那么，为什么要研究幂级数的展开呢？这是因为通过将一些复杂的函数展开成幂级数的形式，我们能够更方便地对其进行分析、计算和研究。

接下来，我们看看幂级数的展开方法。

常见的有直接展开法和间接展开法。

直接展开法是根据幂级数的定义，利用泰勒公式将函数在某一点展开成幂级数。

泰勒公式为：f(x) ＝ f(x₀) ＋ f'（x₀)（x x₀) ＋ f'＇（x₀)（x x₀)²／ 2! ＋ f'＇＇（x₀)（x x₀)³／ 3! ＋。

例如，对于函数 f(x) ＝eˣ，我们想在 x ＝ 0 处将其展开成幂级数。

首先求导可得 f'（x) ＝eˣ，f'＇（x) ＝eˣ，f'＇＇（x) ＝eˣ，，所以f(0) ＝ 1，f'（0) ＝ 1，f'＇（0) ＝ 1，，则eˣ ＝ 1 ＋ x ＋ x²／ 2! ＋ x³／ 3! ＋。

间接展开法则是利用已知的幂级数展开式，通过一些运算（如四则运算、变量代换等）得到新的幂级数展开式。

比如，已知 1 ／（1 x) ＝ 1 ＋ x ＋ x²＋ x³＋（｜x| ＜ 1），那么通过将 x 替换为 x²，可以得到 1 ／（1 ＋ x²) ＝ 1 x²＋ x⁴ x⁶＋（｜x| ＜ 1）。

讲完了幂级数的展开，我们再来重点探讨一下收敛半径。

幂级数与收敛半径幂级数是数学中的一个重要概念，它在分析学、函数论以及物理学等领域中有着广泛的应用。

与之相关的一个重要性质是收敛半径，它决定了幂级数收敛的范围。

本文将介绍幂级数的定义、常见的收敛测试方法以及计算收敛半径的方法。

一、幂级数的定义幂级数是指形如∑(an * x^n)的级数，其中an是系数序列，x是一个变量。

幂级数可以看作是一种特殊的函数表达形式，通过在级数中取不同的变量值，可以得到函数在该点的函数值。

二、收敛测试方法在研究幂级数的收敛性质时，我们经常会用到一些常见的收敛测试方法。

下面介绍几种常见的方法：1. 比值测试法：对于幂级数∑(an * x^n)，计算序列(an * x^n)的极限lim(an+1 * x^(n+1)) / (an * x^n)。

如果该极限存在，且小于1，则幂级数绝对收敛；如果大于1，则幂级数发散；如果等于1，则无法确定幂级数的收敛性。

2. 根值测试法：对于幂级数∑(an * x^n)，计算序列(an * x^n)的极限lim|an * x^n|^1/n。

如果该极限存在，且小于1，则幂级数绝对收敛；如果大于1，则幂级数发散；如果等于1，则无法确定幂级数的收敛性。

3. 高斯-魏尔斯特拉斯法：如果存在正数R，使得对于所有的x满足|x|<R，幂级数都收敛，那么称R为幂级数的收敛半径。

高斯-魏尔斯特拉斯法给出了一种计算幂级数收敛半径的方法。

三、计算收敛半径的方法计算幂级数的收敛半径常常是一个复杂的任务，但幸运的是，有一些常用的方法可以帮助我们进行计算，下面介绍几种常见的方法：1. 比值法：根据比值测试法的定义，计算lim|an+1 / an|，如果该极限存在，则幂级数的收敛半径为1/lim|an+1 / an|。

2. 根值法：根据根值测试法的定义，计算lim|an|^1/n，如果该极限存在，则幂级数的收敛半径为1/lim|an|^1/n。

3. 高斯-魏尔斯特拉斯法：根据高斯-魏尔斯特拉斯法的定义，计算lim sup|an|^1/n，幂级数的收敛半径为1/lim sup|an|^1/n。

幂级数的收敛半径及收敛域的计算方法哎呀呀，朋友们！今天咱就来讲讲幂级数的收敛半径及收敛域的计算方法，这可真是个超级有趣的东西呢！
比如说幂级数∑(n=0 到∞)aₙxⁿ，这个大家都不陌生吧。

那怎么去找到它的收敛半径呢？其实有个很简单的办法哦，就好像我们去寻找宝藏的线索一样。

我们可以用比值判别法呀！就拿这个例子来说，设 an+1/an=l，当 n 趋向于无穷时，如果 l 的绝对值小于 1，那这个幂级数不就收敛啦？这就好像是我们找到了打开宝藏大门的钥匙！
再来说说收敛域。

它就像是一个神秘的区域，我们要一点点去探索。

比如说，如果我们求出了收敛半径，那在这个半径范围内，幂级数肯定是收敛的呀，但还要考虑端点的情况呢！“哎呀，这收敛域可真是让人捉摸不透啊！”朋友小张曾经这么感叹过。

咱就好比说有个幂级数∑(n=1 到∞)(-1)ⁿ(x-2)ⁿ/n，先求出它的收敛半径是 1，然后再去研究 1 和 3 这两个端点。

经过一番计算和分析，最后才能确定整个收敛域。

其实呀，掌握了幂级数的收敛半径及收敛域的计算方法，就像是掌握了
一种神奇的魔法！我们可以用它来解决很多问题，就像魔法师挥动魔法棒一样酷呢！
总之啊，大家一定要好好去理解和掌握这个计算方法，它真的超级重要！不要觉得难就退缩呀，要勇敢地去探索，去尝试，肯定能学会的！相信我！。

关于幂级数的收敛半径及其应用1 前言在数学分析中曾学过一些关于幂级数的知识。

在这里我们将讨论由幂级数列(){}0a -nn x x 所产生的函数项级数 ()()()()20010200=0-=+-+-++a -+n n n n n a x x a a x x a x x x x ∞⋅⋅⋅⋅⋅⋅∑，（1） 它称为幂级数，是一类最简单的函数项级数，从某种意义上说，它也可以看作是多项式函数的延伸。

幂级数在理论和实际上都有很多应用，特别在应用它表示函数方面，使我们对它的作用有许多新的认识。

下面我们将着重讨论0=0x ，即212=0=+++++n n nn n n a x a a x a x a x ∞⋅⋅⋅⋅⋅⋅∑（2） 的情形，因为只要把（2）中的x 换成0-x x ，就得到（1）。

定理1（阿贝耳定理） 若幂级数（2）在0x =0x ≠收敛，则对满足不等式<x x 的任何x ，幂级数（2）收敛而且绝对收敛；若幂级数（2）在=x x 时发散，则对满足不等式>x x 的任何x ，幂级数（2）发散。

由此定理知道：幂级数（2）的收敛域是以原点为中心的区间，若以2R 表示区间的长度，则称R 为幂级数的收敛半径。

实际上，它就是使得幂级数（2）收敛的那些点的绝对值的上确界。

所以当=0R 时，幂级数（2）仅在=0x 处收敛；当=+R ∞时，幂级数（2）在()-,+∞∞上收敛；当0<<+R ∞时，幂级数（2）在()-R R ，内收敛；对一切满足不等式>x R 的x ，幂级数（2）都发散；至于=x R ±，（2）可能收敛也可能发散。

我们称()-R R ，为幂级数（2）的收敛区间。

2 幂级数的收敛半径怎么求得幂级数（2）的收敛半径，有如下几种方法。

2.1 比值法我们知道，若1lim n n n a a ρ+→∞=，则有n ρ。

因此，我们也常用比式判别法来退出幂级数（2）的收敛半径。

2.2 根值法定理2 对于幂级数（2），若n ρ，（3） 则当（i ）0<<+ρ∞时，幂级数（2）的收敛半径1=R ρ；（ii ）=0ρ时，幂级数（2）的收敛半径=+R ∞；（iii ）=+ρ∞时，幂级数（2）的收敛半径=0R 。