缺项幂级数收敛域的求法

求幂级数∑nx^n的收敛域及和函数
求幂级数∑nx^n的收敛域及和函数是一个比较常见的数学分析问题。

首先，我们来看一下这个幂级数的收敛域。

因为这个幂级数是由幂数
x^n组成的，只有当其幂指数n可以作为一个正整数时，它才能收敛，
所以它的收敛范围就是x的不等于为0的任何实数构成的域D＝(-∞，
+∞). 接着，要求出这个幂级数的和函数，首先，我们要知道他的基本
元素x^n的和函数，易知，它的和函数为：f（x）= 1+x+x^2+...+x^n.
因此，对于幂级数∑nx^n，其和函数便是基本元素x^n的和函数的一般
形式：f（x）= 1+x+x^2+...+x^n = (1-x^(n+1))/(1-x)。

其中，当x≠0时，这个函数f（x）仍有意义。

综上所述，求幂级数∑nx^n的收敛域及和函数是由x的不等于为0的任何实数构成的域D＝(-∞，+∞)，其和函数为f（x）= (1-x^(n+1))/(1-x)。

幂级数与幂函数的收敛半径幂级数与幂函数是数学中重要的概念，它们在实际问题的建模和分析中具有广泛的应用。

本文将探讨幂级数以及幂函数的收敛半径的概念和计算方法。

一、幂级数的收敛半径幂级数是形如∑(n=0)~∞(a_n(x-a)^n)的无穷级数，其中a_n为系数，a为常数。

幂级数在特定的收敛半径内可以收敛到某个特定的函数。

而收敛半径R则决定了幂级数的收敛性以及收敛的范围。

1. 收敛半径的定义设幂级数为∑(n=0)~∞(a_n(x-a)^n)，如果存在一个正数R，使得当|x-a|<R时，级数绝对收敛；而当|x-a|>R时，级数发散。

则称R为幂级数的收敛半径，并称幂级数在以a为中心、R为半径的区间上绝对收敛。

2. 收敛半径的计算幂级数的收敛半径可以通过求和式的柯西-阿达玛公式来求得。

柯西-阿达玛公式表示为：1/R = lim sup⁡√(|a_n|)其中lim sup⁡表示上极限。

根据该公式，我们可以通过计算幂级数系数的绝对值的上极限来求得收敛半径。

二、幂函数的收敛半径幂函数是形如f(x) = a(x-c)^r的函数，其中a、c、r为常数。

幂函数的收敛半径与幂级数的收敛半径存在一定的联系。

1. 幂函数的收敛性对于幂函数来说，当r为正整数时，在定义域内收敛；当r为负整数时，在除去c的邻域外收敛；当r为0时，只在x=c处收敛。

2. 幂函数的收敛半径与级数的关系对于形如∑(n=0)~∞(a_n(x-a)^n)的幂级数，可以将其视为一个幂函数的泰勒展开形式。

幂级数的收敛半径R与幂函数的收敛半径之间存在以下关系：收敛半径R ≥ 收敛域半径r其中，收敛域半径r是幂函数在定义域内收敛的区间的半径。

三、幂级数与幂函数的应用幂级数与幂函数在实际问题的建模和分析中有广泛的应用。

例如，在物理学中，幂级数可以用于描述电磁场的分布和电路的性质；在工程学中，幂函数可以用于建模复杂的机械运动和能量传输等问题。

总结起来，幂级数与幂函数的收敛半径是决定它们收敛性和收敛范围的重要指标。

幂级数的收敛半径的求法
根据达朗贝尔审敛法，收敛半径R满足：如果幂级数满足，则：p是正实数时，R=1/p；p=0时，R=+oo；p=+o时，R=0。

根据根值审敛法，则有柯西阿达马公式。

或者，复分析中的收敛半径将一个收敛半径是正数的幂级数的变量取为复数，就可以定义一个全纯函数。

如果幂级数在a附近可展，并且收敛半径为r，那么所有满足za=r 的点的集合（收敛圆盘的边界）是一个圆，称为收敛圆。

幂级数在收敛圆上可能收敛也可能发散。

即使幂级数在收敛圆上收敛，也不一定绝对收敛。

用第n+1项除以第n项，整个的绝对值，小于1，解出x（或x-a 这决定于你级数的展开）的绝对值小于的值就是收敛半径收敛域就是求使其收敛的所有的点构成的区域。

注意：对于级数1nn u∞=∑，当1nn u∞=∑收敛时，1nn u∞=∑绝对收敛.例 证121(1)(21)n n n -∞=--∑绝对收敛：令12(1)(21)n n u n --=-，则 222211111,(21)[(1)]n n u n n n n n ∞===≤-+-∑收敛⇒1n n u ∞=∑收敛故 原级数绝对收敛.§ 幂级数教学目的：弄清幂级数的相关概念；掌握幂级数收敛半径、收敛区间、 收敛域定义与求法；掌握幂级数的性质，能灵活正确运用性质 求幂级数的和函数.重难点：掌握幂级数收敛半径、收敛区间、收敛域概念与求法；掌握幂 级数的性质，能灵活正确运用性质求幂级数的和函数，以及常 数项级数的和. 教学方法：启发式讲授 教学过程：一、函数项级数的概念1．【定义】设 ),(,),(),(21x u x u x u n 是定义在区间I 上的函数,则++++=∑∞=)()()()(211x u x u x u x u nn n称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数. 2．收敛域(1) 收敛点I x ∈0—— 常数项级数∑∞=10)(n nx u 收敛；(2) 发散点I x ∈0——常数项级数∑∞=10)(n nx u 发散；(3) 收敛域D —— 函数项级数∑∞=1)(n nx u的所有收敛点形成的集合D ；(4) 发散域G ——∑∞=1)(n nx u的发散点的全体构成的集合G .3．和函数)(x S —— ∑∞==1)()(n n x u x S , D x ∈.若函数项级数∑∞=1)(n nx u在收敛域内每一点都对应于)(x S 的一个函数值，则称)(x S 为函数项级数∑∞=1)(n nx u的和函数.4．余项)(x r n —— )()()(x S x S x r n n -=, ∑==nk kn x ux S 1)()(, D x ∈.注: ①只有在收敛域D 上, )(x r n 才有意义； ② 0)(lim =∞→x r n n , D x ∈.二、幂级数及其收敛半径和收敛域 1．【定义】形如nn nx x a )(0∑∞=-的函数项级数称为0()x x -的幂级数.（也称为一般幂级数），其中 012,,,.,n a a a a 为常数，称为幂级数的系数.当00=x 时,∑∞=0n nn xa 称为x 的幂级数（也称为标准幂级数）, 其中常数n a （0,1,2,n =）称为幂级数的系数.结论：对于级数nn nx x a )(0∑∞=-，作代换0t x x =-可以将一般幂级数化为标准幂级数n nn a t∞=∑，所以我们只研究标准幂级数敛散性的判别方法.∑∞=0n nn xa 的收敛域：此级数的全体收敛点的集合.显然: D x ∈0(收敛域)，即幂级数总在0x x =点处收敛.例如: ∑∞=0n nx , ∑∞=-0!)1(n nn x 均为幂级数.显然:∑∞=0n nx的收敛域)1,1(-=D ,其发散域),1[]1,(+∞--∞= G .且和函数,11)(0xx x S n n -==∑∞= 1||<x .此结论可当公式使用. 2.级数的收敛域 把级数∑∞=0n nn xa 的各项取绝对值得正项级数nnn a x∞=∑，记 1lim n n na l a +→∞=，则 11lim n n n n n a x l x a x ++→∞=；于是由比值判别法知 （1）若1,(0)l x l <≠，即1x R l <=，∑∞=0n nn x a 绝对收敛.(2) 若1l x >，即1x R l >=，∑∞=0n n n x a 发散.(3) 若1l x =，即1x R l ==，比值法失效，∑∞=0n n n x a 敛散另行判定.（4）若0l =，即01l x =<，此时对任意x ，∑∞=0n nn xa 收敛.上述分析显示级数∑∞=0n nn xa 在一个以原点为中心，从R -到R 的区间内绝对收敛，区间(,)R R -称为幂级数的收敛区间，1R l=为收敛半径.若级数∑∞=0n nn xa 仅在点0x =收敛，则规定0R =，级数的收敛域为0x =例如 级数20!12!!nn n n xx x n x ∞==+++++∑由于 11lim lim lim 1(0)(1)!nn n n n n nx un x x u n x +-→∞→∞→∞==>≠-n ！， ∴ 级数收敛域为 0x =或 {0}；独点集. 若∑∞=0n nn xa 对任意x 都收敛，则R =+∞，级数的收敛域为(,)-∞+∞.当0R <<+∞时，要讨论级数在x R =±处的敛散性才能确定收敛域.此时收敛域可能是下列区间之一：),,(R R -),,[R R -],,(R R -].,[R R - 3.【阿贝尔定理】（补充）设∑∞=0n nn xa 的收敛域为D ，则（1）若D x ∈0且00x ≠, 则对||||0x x <∀,∑∞=0n nn xa 收敛且绝对收敛.(2) 若D x ∉0, 则 对||||0x x >∀,有D x ∉即级数∑∞=0n nn xa 发散.证明: (1) D x ∈0⇒∑∞=0n n n xa 收敛，由∑∞=00n n n xa 收⇒00()nn a x n →→∞0>∃===>M 0||(0nn a x M M ≤>的常数） ||||0x x <===>0000||||n nn nn n x x a x a x M x x ≤=⋅≤,因10<x x , 从而 00nn x M x ∞=∑收敛,⇒正项级数∑∞=0||n nn x a 收敛⇒∑∞=0n nn x a 收敛⇒D x ∈即对||||0x x <∀,∑∞=0n n n x a 收敛且绝对收敛.(2) D x ∉0,假若有D x ∈1满足||||01x x >)1(由==>∑∞=0n nn xa 收敛⇒D x ∈0矛盾. 所以||||0x x >∀,有∑∞=0n n n x a 发散，即D x ∉.注意:(1) 若D x ∈0, 则 00(||,||)x x D -⊂(收敛域), )0(0≠x ； (2) 若D x ∉0, 则 00(,||)(||,)x x G -∞-+∞⊂(发散域).4.【定理】若幂级数∑∞=0n n n x a 系数满足条件 1limn n na l a +→∞=或lim ||n n n a l →∞=（l 为常数或∞），则(1) 当0l <<+∞时, 则1R l=； (2) 当0l =时, 则R =+∞. （3）当l =+∞时, 则0R =. 常用公式: 1lim+∞→=n n n a a R ，1lim n n n R a →∞=.例如: 幂级数∑∞=0n nx的收敛半径1=R ,1x =±时，级数发散，故其敛区与敛域均为(1,1)-. 例1 求幂级数11(1)nn n x n∞-=-∑的收敛半径与收敛域. 解 (1) 级数的通项为 11(1)n n a n-=- 1lim+∞→=n n n a a R 11lim =+=∞→n n n .(2) 当1=x 时, 级数为∑∞=-1)1(n nn 收敛；当1-=x 时, 级数为∑∞=11n n 发散.故收敛区间（敛区）是()1,1-，收敛域为]1,1(-（敛域）.例2（1） 求幂级数∑∞=0!n nn x 的收敛半径与收敛域.解: 1!n a n =⇒1lim +∞→=n n n a a R +∞=+=+=∞→∞→)1(lim !)!1(limn n n n n , 故 收敛区间和收敛域均是 ),(+∞-∞. （2） 求幂级数∑∞=0!n nxn 的收敛半径.解: !na n =⇒1lim +∞→=n n n a a R 011lim )!1(!lim =+=+=∞→∞→n n n n n . 练习：求幂级数110(1)n n n x ∞--=-∑的收敛半径与收敛域.提示：1lim11nn n a R R a →∞+==⇒=，又1x =时级数发散.收敛域()1,1-.例3 （1）求幂级数213(1)n nn n x n∞-=⋅-∑的收敛半径与收敛域.（缺项级数） 提示：12(1)112(1)3lim lim 1(1)3n n n n n n n n n nu x nu n x +++-→∞→∞-=⋅+- 223lim31n n x x n →∞==+当21313x x <⇒<时级数收敛；当21313x x >⇒>时级数发散.当 13x =±时，原级数是111(1)n n n ∞-=-∑，收敛的交错级数.所以 收敛半径13R =，收敛区间11(,)33-，收敛域11[,]33-. 注意：缺项级数可以直接用比值法求收敛半径.（2）求幂级数1211(1)21n n n x n --∞=--∑的收敛域.解：21221212121lim lim lim 2121n n n n n n nu x n n x x u n x n ++-→∞→∞→∞--=⋅=⋅=++由211x x <<即时级数收敛，由由211x x >>即时级数发散. 得 1R =当1x =时，1121n ∞∑n －n=1（－）－收敛，当1x =-时，121n ∞∑n n=1（－）－收敛，所以 收敛域为 [1,1]-.例4求幂级数1(21)nn x n ∞=+∑的收敛半径与收敛域.（中心不在原点的级数）解 令21t x =+,幂级数变形为1nn t n∞=∑,1111lim lim lim 11112n t t x n n n n a n n R R R a n n→∞→∞→∞++====⇒=⇒=+11122t x <⇒+<时级数绝对收敛，11122t x >⇒+>时级数发散，11,0t x x =⇒=-=，当1x =-时原级数为11(1)nn n∞=-∑收敛， 当0x =时，11n n ∞=∑发散，故 原级数收敛半径12R =，收敛域为[1,0]-. 注意：一般幂级数求收敛半径时作变量代换.提问：（1） 设幂级数∑∞=1n nn xa 与∑∞=1n nn xb 的收敛半径分别为35与31,则幂级数∑∞=122n n nnx b a 的收敛半径为（A ）(A) 5 (B)35 (C) 31 (D) 51答案 53lim1=+→∞nn n a a ,3lim1=+→∞nn n b b 1R ⇒=519159lim 222121=⋅=⋅++→∞n nn n n a b b a （2） 求级数∑∞=-12)3(n nn x 的收敛域. 解 令3t x =-，级数21n n t n ∞=∑,由1)1(lim lim221=+=→∞+→∞n n a a n nn n 知1t R =, 因此当131<-<-x 即42<<x 时级数收敛.当2=x 时,原级数为∑∞=-12)1(n nn 收敛,当4=x 时,原级数为∑∞=121n n收敛. 所以收敛域为]4,2[.（3） 级数21(2)4nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域为)4,0(. 答 令(2)nt x =- 对于14n n n t n ∞=⋅∑,由1141lim lim (1)44n n n n n na n a n ++→∞→∞⋅==+⋅, 于是收敛半径4t R =,则4)2(42<-<-x ,即40<<x 内收敛.当0=x 和4=x 时,原级数都为∑∞=11n n发散,所以收敛域为)4,0(. 三、幂级数以及和函数的运算性质 1.设nn n n n n a xb x ∞∞==∑∑和的收敛半径分别为a b R R 和1）加减法:∑∑∑∞=∞=∞=±=±0)(n n n nn nnn nnx b ax b x a ,()c c R R x ,-∈.其中: },min{b a c R R R =. 2）乘法:0()nnnnnnni jn n n n i j na xb xc x a b x∞∞∞∞====+=⋅==∑∑∑∑∑,()c c R R x ,-∈.其中: },min{b a c R R R =, ∑=-=nk kn k n ba c 0, ,2,1=n .3）除法:∑∑∑∞=∞=∞==0n n n n nn n nnx c xb xa ,()c c R R x ,-∈.其中: c R 待定, 而n c 由系列表达式∑=-=nk kn k n cb a 0, ,2,1=n 确定.此处, +∞==b a R R , 但1=c R . 2.幂级数∑∞=0n nn xa 的和函数()S x 在其收敛区间(,)R R -内是连续.3.幂级数∑∞=0n nn xa 的和函数()S x 在其收敛区间(,)R R -内可积，且有逐项积分公式1()1xx n n nn n n a S x dx a t dt xn ∞∞+====+∑∑⎰⎰,R R x ='<||.(积分前后的收敛半径不变). 例:+++++=-n x x x x2111, 1||<x .逐项积分时在1x =处无 意义. 4.幂级数∑∞=0n nn xa 的和函数()S x 在其收敛区间上可微，且在收敛区间上101()n n n n n n S x a x na x ∞∞-=='⎛⎫'== ⎪⎝⎭∑∑, R R x ='<||.说明：求导与积分前后两级数的收敛半径不变，但收敛域有可能改变. 公式11n n x x∞==-∑收敛域为1x < 例5 求幂级数∑∞=+01n n n x 的和函数)(x S ,并求0(1)1nn n ∞=-+∑.解：(1) 1lim +∞→=n n n a a R 112lim =++=∞→n n n .当1-=x 时,级数为∑∞=+-11)1(n n n 收 敛；当1=x 时, 级数为∑∞=+111n n 发散. 故原级数收敛域是)1,1[-. (2) 当1||0<<x 时, 有∑∑∞=∞=+-=='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='001111])([n nn n x x n x x xS .于是 )1ln(11])([)(00x dt tdt t tS x xS xx--=-='=⎰⎰, 由于(0)1S =且幂级数在其收敛域上连续,1ln(1), 10,01;()1, 0.x x x S x xx ⎧---≤<<<⎪=⎨⎪=⎩或 取 1x =-代入和函数可得 2ln )1(1)1(0=-=+-∑∞=S n n n. （2）求幂级数1211123n n n nxx x nx ∞--==+++++∑的和函数)(x S ，并求级数12n n n ∞=∑及级数123n n n∞=∑的和.解 1）11limlim 1n n n n a n a nρ+→∞→∞+===，所以1R =. 当1x =时，1n n ∞=∑发散，当1x =-时，1(1)nn n ∞=-⋅∑发散.所以 级数敛域为(1,1)-. 2）设11(),(1,1)n n S x nxx ∞-==∈-∑，则 100111()1,(1,1)11xx n n n n xS t dt ntdt x x x x ∞∞-=====-=∈---∑∑⎰⎰201()()(),(1,1)1(1)x d x S x S t dt x dx x x '===∈---⎰为所求和函数.3）令12x =，则有 12111()12(1)2n n n ∞-==-∑，所以122n n n∞==∑.4）令13x =，则有 12111()13(1)3n n n ∞-==-∑，所以12332n n n ∞==∑.练习：（1）求幂级数1nn x n∞=∑的和函数)(x S ：[)敛域－1，1()S x ＝－ln(1-x)(2)∑∞=-=11_______)21(n n n . 因为121111()()()(1)11(1)n n n n x S x nxx x x x ∞∞-=='''====-=---∑∑, 令12x =，则有∑∞=-==114)21()21(n n S n ,所以答案为4.例6 设,,2,1,0,d cos sin 40==⎰n x x x I nn π求∑∞=0n n I 的和.解 由4014)(sin 11dsin sin ππ++==⎰n n n x n x x I 1)22(11++=n n ,得∑∑∞=+∞=+=010)22(11n n n n n I ,令∑∞=++=0111)(n n x n x S , 则其收敛半径1=R ,在)1,1(-内x x x S n n-=='∑∞=11)(0,于是 x t tx S x --=-=⎰1ln d 11)(0,令22=x ,则221ln )22(11)22(01--=+=∑∞=+n n n S ,从而∑⎰∑∞=∞=+=-==040)22ln(2211lnd cos sin n n n n x x x I π.例7 求幂级数∑∞=<-+12)1(2)1(1n nnx n x 的和函数)(x f 及其极值. 解 依题意)(x f 211(1)(1)2nnn x x n ∞==+-<∑ ,1)(1)1()(212112x x x x x x f n n n n n +-=-=-='∑∑∞=∞=- 上式两边从0到x 积分,得)1ln(21)d(11121d 1)0()(202202x t t t t t f x f x x+-=++-=+-=-⎰⎰, 由1)0(=f 得)1(),1ln(211)(2<+-=x x x f .令0)(='x f ,求得唯一驻点0=x ,由于,01)0(,)1(1)(222<-=''+--=''f x x x f 可见)(x f 在0=x 处取得极大值,且极大值为1)0(=f . 例8 求幂级数n n x n 21)1121(-+∑∞=在区间)1,1(-内的和函数)(x S . 解 设∑∑∞=∞==+=122121)(,12)(n n n nx x S n x x S , 则 )1,1(),()()(21-∈-=x x S x S x S , 由于∑∞=--=12222,1)(n nx x x x S ),1,1(,1))((12221-∈-=='∑∞=x x x xx xS n n因此 ,11ln 21d 1)(0221xx x t t t x xS x-++-=-=⎰ 又由于,0)0(1=S所以 ⎪⎩⎪⎨⎧=<<-++-=.00,,10 ,11ln 211)(1x x xx x x S 故 ⎪⎩⎪⎨⎧=<<---+=-=.00, ,10 ,1111ln21)()()(221x x x x x x x S x S x S练习:求下列级数的收敛区间,并求和函数:(1) +-+-753753x x x x 解 该级数为∑∞=----112112)1(n n n x n ,由 22121211212lim 1212lim limx n n x n x n x u u n n n n nn n =+-=-+=→∞-+→∞+→∞,知当12<x 时幂级数绝对收敛. 当1-=x 时,幂级数∑∞=--112)1(n n n 收敛;当1=x 时,幂级数∑∞=---1112)1(n n n 收敛,所以原幂级数的收敛域为]1,1[-.设=)(x S ∑∞=----112112)1(n n n x n ,则当)1,1(-∈x 时有 =')(x S 21121221112111)()1()12)1((x x x x n n n n n n n n n +=-=-='--∑∑∑∞=-∞=--∞=--, 所以 =)(x S ⎰=+x x t t 02arctan d 11.(2) ++++7538642x x x x解 该幂级数为∑∞=-1122n n nx,由22121211lim 2)22(lim lim x n n x nx x n u u n n n n nn n =+=+=→∞-+→∞+→∞, 知当12<x 时幂级数绝对收敛. 当1-=x 时,幂级数∑∞=-1)2(n n 发散;当1=x 时,幂级数∑∞=12n n 发散,所以原幂级数的收敛区间为)1,1(-. 设=)(x S ∑∞=-1122n n nx,则当)1,1(-∈x 时,有22221212)1(2)1()()()(x xx x x x x S n nn n-='-='='=∑∑∞=∞=. 小结：1.注意收敛区间与收敛域的联系与区别.2.利用幂级数的性质求幂级数的和函数时，求导或求积分时前后的收敛区间不变.3.利用幂级数的和函数可以求常数项级数的和；求出和函数后， 取x 的特值代入和函数即得所求.4．对缺项幂级数在求收敛半径时应设辅助变量转化为常规形幂级数或直接用正项级数的比值判别法求收敛区间.课后记：存在问题：1.对缺项幂级数以及通项为0()nn a x x -的幂级数求收敛半径以及收敛域 问题多.2.求幂级数的和函数，不知从何下手.不能灵活运用幂级数的性质以及四S x的表达式.个常用公式灵活变形找()3.不能灵活运用和函数求常数项级数的和.。

③若ａ１ʂａ２(ｋ１<ｋ２)时ꎬ则条件组[ａ１ꎬｋ１][ａ２ꎬｋ２]]⇒[ａ１ꎬｋ１－ｋ１][ａ２ꎬｋ２－ｋ１]]＋ｋ１⇒[ａ１ꎬ０][ａ２ꎬｋ２－ｋ１]]＋ｋ１⇒ａ１Ｎ１ａ２Ｎ２＋Ｋ２－Ｋ１＋ｋ１.由于ａ１Ｎ１ａ２Ｎ２＋Ｋ２－Ｋ１ꎬ所以推出(ＴＮ＋Ｋ１)＋ｍ(ａ１ꎬａ２)∗Ｎ⇒[ｍ(ａ１ꎬａ２)∗ＮꎬＴＮ＋Ｋ１]⇒[ｍ(ａ１ꎬａ２)ꎬＴＮ＋Ｋ１](简洁式).所以:Ｇ＝(ＴＮ＋Ｋ１)＋ｍ(ａ１ꎬａ２)∗Ｎ(跳跃数).则Ｇ＝ＴＮ＋Ｋ１ꎬＧ＝[ｍ(ａ１ꎬａ２)ꎬＴＮ＋Ｋ１](循环是生机).故而ꎬ当平余式(条件式)运算规则确立后ꎬ素数的递推式也就由此呈现ꎬ但里面并不是单一和纯粹的.平余式运算法则:[ａꎬｂ]相与ｙ＝ａｘ＋ｂ的整数值[ａꎬｂ]＝[ａꎬｂʃａ]ꎻ[ａꎬｂ]ʃｍ＝[ａꎬｂʃａ]ʃｍ＝[ａꎬｂʃａʃｍ]＝[ａꎬｂʃｍ][ａꎬｂ]∗ｍ＝[ａꎬｂ∗ｍ]ꎻ[ａꎬｂ]ｎ＝[ａꎬｂｎ]ꎻ[ａꎬｂ]ʃ[ａꎬｃ]＝[ａꎬｂ]ʃｃ＝[ａꎬｂʃｃ]ꎻ[ＮꎬＮ－Ｍ][ＫꎬＫ－Ｍ]]⇒[Ｎ∗ＫꎬＮ∗Ｋ－Ｍ](ＮꎬＫ互质).为了减少书写的难度ꎬ以后将形如[ａꎬｂ][ｃꎬｄ]]⇒[ｅꎬｆ]改写成[ａꎬｂ][ｃꎬｄ]＝[ｅꎬｆ].平余式运算的逆运算 共数的逆向求解设平余式[ａꎬｂ]ꎬ[ｃꎬｄ]ꎬ[ｅꎬｆ].假若[ａꎬｂ][ｃꎬｄ]＝[ｅꎬｆ](ａ与ｃ互质).现已知:[ｃꎬｄ]ꎬ[ｅꎬｆ](ａꎬｃ互质)ꎬ求[ａꎬｂ].解㊀由平余式公式知ｅ＝ａ∗ｃ⇒ａ＝ｅːｃꎬａ∗Ｎ＝ｆ－ｂ(０ɤｂ<ａ)⇒ｂ＝ｆ－ａ∗Ｎ.由于ｆ是实数ꎬ且０ɤｂ<ａꎬ即ｆ与ａ的余数是唯一且稳定的ꎬ故ｂ值也是唯一的ꎬ所以ꎬ在ａ∗Ｎ＝ｆ－ｂ中ꎬ定可确定ｂ的值.其中ａ∗Ｎ<ｆ<ａ(Ｎ＋１)ꎬ则ｂ＝ｆ－ａ∗Ｎ.即可求出[ａꎬｂ].㊀㊀参考文献:[１]郜洪三.运算能力及其培养[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０１３(２１):８３－８４.[２]彭月英ꎬ李世才ꎬ苗丽.求解 余数问题 的算法研究[Ｊ].数学的实践与认识ꎬ２００８(１０):２０９－２１５.[责任编辑:杨惠民]幂级数收敛半径和收敛域的求解探讨如何培养学生的创新思维刘㊀洋(广东省佛山市广州工商学院三水校区㊀５１０８５０)摘㊀要:幂级数收敛半径和收敛域的探讨课堂ꎬ不仅可以培养学生的逻辑思维能力ꎬ而且还能培养学生的创新思维.高等数学是一门抽象的㊁理论性和逻辑性很强的一门课ꎬ学起来比较枯燥无味ꎬ本文以幂级数收敛半径和收敛域的求解的探讨ꎬ引导学生学会创新思维ꎬ不断激发学生学习数学的兴趣.关键词:幂级数ꎻ收敛半径ꎻ收敛域ꎻ对分课堂中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)０６－００１２－０２收稿日期:２０１９－１１－２５作者简介:刘洋(１９８９－)ꎬ女ꎬ讲师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁幂级数的收敛半径关于此幂级数的收敛半径的求法可直接利用下面的定理.定理１㊀如果ｌｉｍｎң¥ａｎ＋１ａｎ＝ρꎬ其中ａｎꎬａｎ＋１是幂级数ð¥ｎ＝０ａｎｘｎ的相邻两项的系数ꎬ那么此幂级数的收敛半径Ｒ＝１/ρꎬρʂ０ꎬ＋¥ꎬρ＝０ꎬ０ꎬρ＝＋¥.{形如幂级数ð¥ｎ＝０ａｎｘｎ将其记为 标准型 幂级数ꎬ可直接利用公式ｌｉｍｎң¥ａｎ＋１ａｎ＝ρꎬ求其收敛半径Ｒ＝１ρꎬ收敛区间为(－ＲꎬＲ).对于 一般型 幂级数在求收敛半径时可通过换元转换为标准型求解ꎬ对于规则缺项幂级数和一类缺项幂级数求收敛半径和收敛区间ꎬ可通过逐项求导(或逐项求积分)和换元转换为标准型求解.本文先引用定理引出结论ꎬ然后讨论不同类型幂级数都可以通过换元化为标准型幂级数进行求解ꎬ最后将其结论进行推广应用.２１Copyright©博看网 . All Rights Reserved.㊀㊀二㊁不同类型的幂级数收敛半径和收敛域的求法㊀㊀本文对标准型幂级数求它们的收敛半径和收敛域的求解进行研究.幂级数的形式多样ꎬ不同类型幂级数的求解方法各异ꎬ但本文主要把不同类型幂级数通过换元的方法化为标准型幂级数后ꎬ再进行求解.１. 标准型 ð¥ｎ＝０ａｎｘｎ的求法步骤㊀(１)求ｌｉｍｎң¥ａｎ＋１ａｎ＝ρꎬ则Ｒ＝１ρꎬ收敛区间(－ＲꎬＲ)ꎻ(２)求收敛域(即考察端点ｘ＝ʃＲ的敛散性).例１㊀求幂级数ｘ－ｘ２２＋ｘ３３－ ＋(－１)ｎ－１ｘｎｎ＋ 的收敛半径与收敛域.解㊀此级数可记为ð¥ｎ＝１(－１)ｎ－１ｘｎｎ.因为ρ＝ｌｉｍｎң¥ａｎ＋１ａｎ＝ｌｉｍｎң¥１ｎ＋１１ｎ＝１ꎬ所以收敛半径Ｒ＝１ρ＝１ꎬ收敛区间为(－１ꎬ１).对于端点ｘ＝－１ꎬ级数成为－１－１２＋１３－ －１ｎ－ ꎬ此级数发散ꎻ对于端点ｘ＝１ꎬ级数成为交错级数１－１２＋１３－ ＋(－１)ｎ－１１ｎ＋ ꎬ此级数收敛.因此ꎬ此级数收敛域是(－１ꎬ１].２. 一般型 化为 标准型 的求法通过换元将 一般型 化为 标准型 ꎬ利用标准型求解.例２㊀求幂级数ð¥ｎ＝０(ｘ－５)ｎｎ的收敛半径和收敛域.解㊀令ｔ＝ｘ－５ꎬ得新级数为ð¥ｎ＝０ｔｎｎ.因为ρ＝ｌｉｍｎң¥ａｎ＋１ａｎ＝ｌｉｍｎң¥１ｎ＋１１ｎ＝ｌｉｍｎң¥ｎｎ＋１＝１ꎬ所以收敛半径Ｒ＝１ρ＝１ꎬ新级数的收敛区间为(－１ꎬ１).对于端点ｔ＝－１ꎬ新级数成为ð¥ｎ＝０(－１)ｎｎꎬ满足莱布尼茨定理的交错级数ꎬ故此时新级数收敛ꎻ对于端点ｔ＝１ꎬ新级数成为ð¥ｎ＝０１ｎꎬ即ρ＝１２<１是Ｐ－级数ꎬ故此时新级数发散.因此ꎬ新级数收敛域是[－１ꎬ１)即－１ɤｔ<１ꎬ则－１ɤｘ－５<１ꎬ解得４ɤｘ<６.综上ꎬ原级数的收敛域为[４ꎬ６)ꎬ收敛半径Ｒ＝１.３. 有缺型 化为 标准型 的求法通过逐项积分或逐项求导或换元将 有缺型 化为标准型 ꎬ利用标准型求解.例３㊀求幂级数ð¥ｎ＝１(－１)ｎ－１３ｎｘ２ｎ的收敛半径和收敛域.解㊀令ｔ＝ｘ２ꎬ得新级数为ð¥ｎ＝１(－１)ｎ－１３ｎｔｎꎬ因为ρ＝ｌｉｍｎң¥ａｎ＋１ａｎ＝ｌｉｍｎң¥３ｎ＋１３ｎ＝３ꎬ所以收敛半径Ｒ＝１ρ＝１３ꎬ新级数的收敛区间为(－１３ꎬ１３).对于端点ｔ＝－１３ꎬ新级数成为ð¥ｎ＝１(－１)＝－１－１－１－ ꎬ故此时新级数发散ꎻ对于端点ｔ＝１３ꎬ新级数成为ð¥ｎ＝１(－１)ｎ－１＝１－１＋１－１＋ ꎬ故此时新级数发散.因此ꎬ新级数收敛域是(－１３ꎬ１３)即－１３<ｔ<１３ꎬ则－１３<ｘ２<１３ꎬ解得－１３<ｘ<１３.综上ꎬ原级数的收敛域为－１３ꎬ１３æèçöø÷ꎬ收敛半径Ｒ＝１３.㊀㊀三㊁归纳总结一般规律定理２㊀形如ð¥ｎ＝０ａｎｆｎ(ｘ)的幂级数ꎬ称为广义幂级数.(其中ｆ(ｘ)为ｘ函数)其收敛半径和收敛域的求法如下:步骤㊀(１)令ｔ＝ｆ(ｘ)ꎬ则得新级数为ð¥ｎ＝０ａｎｔｎꎻ(２)求收敛半径Ｒ＝１ρ＝１ｌｉｍｎң¥ａｎ＋１ａｎ＝ｌｉｍｎң¥ａｎａｎ＋１ꎬ收敛区间(－ＲꎬＲ)ꎻ(３)求收敛域(即考察端点ｘ＝ʃＲ的敛散性).由于求收敛域和收敛半径题目类型多样ꎬ为更好更快地解决问题ꎬ需要按 标准型 ㊁ 一般型 和 有缺项 三种类型求解.在上述过程中我们以 标准型 ㊁ 一般型 和 有缺项 三种类型的三个例题通过换元化为 标准型 来具体说明求收敛域和收敛半径的求解方法ꎬ最后总结出一般的规律.本文利用现有的有用信息定理１ꎬ举例讲解例１ꎬ让学生自己去理解体会标准型幂级数求解收敛半径和收敛域的步骤ꎬ进一步探索和想出可供选择的信息进行考虑不同类型的幂级数的求解方法.本文中幂级数收敛半径和收敛域的求解方法按不同的类型化归同一种类型求解的对分课堂ꎬ不仅激发了学生学习数学的兴趣ꎬ而且还培养了学生的创新思维.㊀㊀参考文献:[１]吕端良ꎬ王云丽.广义幂级数收敛域的求法[Ｊ].科技信息ꎬ２０１３(１７):１５２.[２]蒋国强ꎬ一类幂级数收敛半径的统一求法[Ｊ].高等函授学报(自然科学版)ꎬ２００３(０３):２０－２１.[责任编辑:杨惠民]３１ Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。