学而思 二次根式(知识点精讲+例题解析)复习过程

次根式知识点一：二次根式的概念形如■ J （口工〔）的式子叫做二次根式。

在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须 注意：因为负数没有平方根，所以 “「一】是、・J 为二次根式的前提条件，如 ， 1，■*' 1■■ ■''等是二次根式，而 J ， 等都不是二次根式。

知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ± 0时，■二 有意义，是二次根式。

所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2.二次根式无意义的条件： 因负数没有算术平方根， 所以当a < 0时，■丿没有意义。

知识点三：二次根式（二二】）的非负性•“（：工〕）表示a 的算术平方根，也就是说， （山工'■）是一个非负数，即■■』 三0 ( * —)。

…三0「）这个性质和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多, 如若 G ••八 ,则 a=0,b=0 ;若' I ' _ ，则 a=0,b=0 ;若,则a=0,b=0 。

1、不同点”与表示的意义是不同的，，'表示一个正数 a 的算术平方根的平方，而：表示一个实数a 的平方的算术平方根；在、… 中二--，而弋‘中a 可以 是正实数，0,负实数。

因而它的运算的结果是有差别的,if知识点四：二次根式（■'）的性质(■—;)知识点五：二次根式的性质 知识点六：与「：一 即：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

-a （YOj= |of| =的异同点2、相同点：都是非负数，即 — L 。

当被开方数都是非负数，即L . - L 时,知识点七：二次根式的运算(1) 因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的 算术平方根代替，从而移到根号外面； 如果被开方数是代数式和的形式，那么先分解因式，变形为积的形 式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2) 二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式. (3) 二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商) 仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.Vab = 4a •b ( a >0 b >0 ；(4) 有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及 多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.本节中还要记住一些常见根式的约等数，常见的有.2 1.414; .3 1.732; ,5 2.236 ; 、7 2.646【主要题型】 二次根式有意义的条件:例：求下列各式有意义的所有 x 的取值范围。

专题12 二次根式知识网络重难突破知识点一二次根式的定义与性质1、二次根式的定义a）叫做二次根式，“a”叫做被开方数．2、二次根式有意义的条件a（1）有意义：由二次根式的定义可知，当0（2）无意义：因为负数没有算术平方根，所以当0a <时，没有意义．3、二次根式的性质（10a ）的非负性（0a ）表示a （0a 0（0a ）．（2）二次根式2的性质：2a =（0a ）（3()()00a a a a ⎧⎪=⎨-<⎪⎩典例1（2019x 的取值范围是 6x ． 【解答】解：由题意得，60x -， 解得，6x ， 故答案为：6x ． 典例2（2019秋•松桃县期末）计算2的结果是( ) A ．2-B ．2C ．2±D ．4【解答】解：22=，故选：B ． 典例3（2019春•徐州期末）如图所示，数轴上点A 所表示的数是a 的结果为 1a -- ．【解答】解：由数轴知1a <-， 则10a +<，∴原式|1|(1)1a a a =+=-+=--，故答案为：1a --．知识点二 二次根式的运算1、最简二次根式一般地，化简二次根式就是使二次根式： （1）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式； （2）被开方数中不含分母； （3）分母中不含根号．这样化简后得到的二次根式叫做最简二次根式．注：在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式． 2、二次根式的乘除二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作被开方数并将运算结果化为最简二次根式．=0b>）．a，0b）=0a，03、二次根式的加减二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式．典例1（2019是同类二次根式的是()A B C D【解答】解：A不是同类二次根式；B不是同类二次根式；C=D=不是同类二次根式；故选：C．典例2（20190,0)x y>的结果是．x y>0,0)==．．典例3（2019春•徐州期末）计算：（1|1-（2）(3+【解答】解：（1）原式1=1=-；（2）原式97=-23=+5=．巩固训练一、单选题（共6小题）1．（2019()A．32B．32-C．32±D．8116【解答】解：原式32 ==，故选：A ．2．（2019春•南京期末）下列运算中错误的是( )A B ．=C2=D 4=【解答】解：A 、原式A 选项的计算正确；B 、B 选项的计算错误；C 、原式2=，所以C 选项的计算正确； D 、原式4=，所以D 选项的计算正确．故选：B ．3．（2019春•惠山区期末）下列运算正确的是( )A B 123=C =D 2【解答】解：AB =C ，故本选项错误；D 2=，故本选项正确．故选：D ．4．（2019春•常熟市期末）下列二次根式是最简二次根式的是( )AB C D【解答】解：（A ）原式=，故A 错误；（C ）原式C 错误；（D）原式=D错误；故选：B．5．（2019春•相城区期末）下列二次根式中与()A B C D【解答】解：A=A不符合题意；B=B符合题意；C=C不符合题意；D3=，与D不符合题意；故选：B．6．（2019春•锡山区校级期末）已知24<<+()aA．25-C．3-D．3a-B．52a【解答】解：24a<<，∴a a=-+-，|1||4|a a=-+-，14=，3故选：D．二、填空题（共5小题）7．（2020x 的取值范围为 2x - ． 【解答】解：根据题意得，20x +， 解得2x -． 故答案为：2x -．8．（2019==故答案为9．（2019春•鼓楼区期末）写一个无理数，使它与2的积是有理数： 2【解答】解：写一个无理数，使它与2+的积是有理数2故答案为：2-10．（20191+．（填“>”“ <”或“=” )【解答】解：25=，21)3=+1>，∴21)5>，∴1．故答案为：<11．（2019春•兰陵县期末）已知2a =2b =22a b ab += 4 ．【解答】解：2a =+2b =-∴原式()ab a b =+(22=+-(43)4=-⨯14=⨯4=，故答案为：4．三、解答题（共2小题）12．（2019春•苏州期末）计算或化简（1+（2）2 (3)+【解答】解：（1）原式==（2）原式11=-=．13．（2019春•盐城期末）两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理11等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．==；1==；⋯请仿照上述过程，化去下列各式分母中的根号．（1；（2n为正整数）【解答】解：（1）原式==（2）原式=。

二次根式复习【知识回忆】1. 二次根式： 式子 a 〔 a ≥ 0〕叫做二次根式。

2. 最简二次根式： 必定同时满足以下条件：⑴被开方数中 不含开方开的尽的因数或因式 ； ⑵被开方数中 不含分母 ； ⑶分母中 不含根式 。

3. 同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，假设被开方数相同，那么这几个二次根式就是同类二次根式。

4. 二次根式的性质：〔1〕〔2〔 a ≥ 0〕；〔2〕a 〕 = a 2aa 5. 二次根式的运算： ⑴二次根式的加减运算：先把二次根式化成最简二次根式，尔后合并同类二次根式即可。

⑵二次根式的乘除运算：a 〔 a ＞0〕0 〔 a =0〕；a 〔 a ＜ 0〕① ab =a ?b 〔 a ≥ 0,b ≥ 0〕；②aaba 0,b 0b【例题讲解】例 1 计算：〔1〕 (3)2 ；〔2〕 (2 ) 2 ； 〔3〕 ( a b )2〔a+b ≥ 0〕3解析：依照二次根式的性质可直接获取结论。

例 2 计算：⑴6·15⑵ 1 ·24⑶ a 3 · ab 〔 a ≥ 0，b ≥ 0〕2解析：本例先利用二次根式的乘法法那么计算， 再利用积的算术平方根的意义进行化简得出计算结果。

例 3计算：〔1〕32+23－22+3〔 2〕12 +18 － 8 －32〔 3〕40 －1 +10510【基础训练】1．化简：〔 1〕72____ ；〔2〕252242___ __；〔3〕612 18 ____；〔4〕75x3 y2 (x0, y0) ____；〔5〕204_______ 。

2.(08 ，安徽 ) 化简42=_________。

3. 〔 08，武汉〕计算 4 的结果是Ａ .2Ｂ．± 2Ｃ． -2Ｄ． 44. 化简：〔1〕〔 08，泰安〕9 的结果是；〔 2〕〔 08，南京〕12 3 的结果是；〔3〕(08 ，宁夏 ) 528 =；〔 4〕〔 08，黄冈〕 5 x -2x =_____ _；5．〔 08，重庆〕计算82的结果是A、 6B、 6C、 2D、 26．〔 08，广州〕 3 的倒数是。

二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.；2.；3.；4.积的算术平方根的性质：；5. 商的算术平方根的性质：.6.假设，那么.知识点二、二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意每一步运算的算理；2．二次根式的加减运算先化简，再运算，3．二次根式的混杂运算(1) 明确运算的序次，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；(2) 整式、分式中的运算律、运算法那么及乘法公式在二次根式的混杂运算中也同样适用.一. 利用二次根式的双重非负性来解题〔a0 〔a≥0〕，即一个非负数的算术平方根是一个非负数。

〕1.〕。

A、3；B、x ；C、x21；D、x1以下各式中必然是二次根式的是〔2．等式(x 1)2＝1－ x 成立的条件是 _____________ ．3．当 x____________ 时，二次根式2x 3 有意义．4.x 取何值时，以下各式在实数范围内有意义。

〔 1〕〔 2〕1〔3〕5x 2 x1x4〔 4〕假设x( x1)x x1，那么 x 的取值范围是〔 5〕假设x3x3，那么 x 的取值范围是。

x1x16.假设3m 1 有意义，那么m能取的最小整数值是；假设 20m 是一个正整数，那么正整数m的最小值是________．7.当 x 为何整数时，10x11有最小整数值，这个最小整数值为。

8. 假设2004 a a2005a ，那么a2004 2=_____________；假设y x33x 4 ，那么x y9．设 m、n 满足n m299m22mn =。

m 3，那么10. 假设三角形的三边a、 b、 c 满足a24a 4 b 3 =0，那么第三边c的取值范围是11. 假设|4x8 |x y m0 ，且 y 0 时，那么〔〕 A 、0m1 B 、m2C、m 2 D、 m 2利用二次根式的性质2a(a b)(即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题二． a =|a|=0(a0)a(a0)1.x33x2＝－x x 3 ，那么〔〕 A.x≤0 B. x≤－ 3Ｃ. x≥－ 3 D.－ 3≤x≤ 02.． a<b，化简二次根式 a 3b 的正确结果是〔〕A．a ab B ．a ab C． a ab D ．a ab3.假设化简 | 1-x |-28x16 的结果为2x-5 那么〔〕 A 、 x 为任意实数B、1≤ x≤ 4C、 x≥1 D 、x≤ 4 x4. a， b， c 为三角形的三边，那么(a b c)2(b c a) 2(b c a) 2=5.当 -3<x<5 时，化简26921025 =。

中考数学复习知识讲解+例题解析+强化训练（二次根式）二次根式◆知识讲解1．二次根式a≥0）叫做二次根式．2．最简二次根式同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式．3．同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式．4．二次根式的性质）2=a（a≥0）；│a│=(0)0(0)(0)a aaa a>⎧⎪=⎨⎪-<⎩；（a≥0，b≥0）；=（b≥0，a>0）．5．分母有理化及有理化因式把分母中的根号化去，叫做分母有理化；两个含有二次根式的代数式相乘，•若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．6．二次根式的运算（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．◆例题解析例1填空题：（1其中是二次根式的是_________（填序号）．（2有意义，则x 的取值范围是_______．（3）实数a ，b ，c a －b │．o【解答】（1）1) 3) 4) 5) 7)．（2）由x －3≥0－2≠0，得x ≥3且x ≠7． （3）由图可知，a<0，b>0，c<0，且│b │>│c │－a ，－│a －b │=a －ba －b │．例2 选择题：（1）在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）A BC（2）在根式，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)（3）已知a>b>0，的值为（ ）A ．2 B ．2 C D ．12【解答】（1A 错．3，B 正确．||b =│a ， ∴C 错，而显然，D 错，∴选B ． （2）选C ．（3）∵a>b>0）2）2=a+b－=421,22===，故选A．例3（2006，辽宁十一市）先化简，再求值：11()ba b b a a b++++，其中，【解答】原式＝22()()()()ab a a b b a b a bab a b ab a b ab+++++==++当，．◆强化训练一、填空题1．（2007，福州）当x______在实数范围内有意义．2．已知0<x<1=______．3．已知最简二次根式b a=______，b=_______．4．（2008，长沙）已知a，b为两个连续整数，且<b，则a+b=______．5．已知实数x，y满足x2+y2－4x－2y+5=0________．6．（2006，内蒙古）已知a－1，a+1）（b－1）=_______．7===，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：(200620062005++++1）=________．二、选择题8．（2006，四川南充）已知a<02a│可化简为（）A．－a B．a C．－3a D．3aob a 9．已知xy>0，化简二次根式） A..C D 10，甲，乙两位同学的解法如下=====甲乙对于甲，乙两位同学的解法，正确的判断（ ） A ．甲，乙的解法都正确 B ．甲正确，乙不正确 C ．甲，乙都不正确 D ．甲不正确，乙正确11．若的小数部分是a ，3的小数部分为b ，则a+b 等于（ ）A ．0B ．1C ．－1D ．±112．如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b │ 的结果等于（ ） A ．－2b B ．2b C ．－2a D ．2a13．若a=3a 2－6a －2的值为（ ）A ．0B ．－1C ．1D ．3 14．若ab ≠0=成立的条件是（ ） A ．a>0，b>0 B ．a>0，b<0 C ．a<0，b>0 D ．a<0，b<015．（2007，连云港）已知m ，n 是两个连续自然数（m<n ），且q=mn ，设p （ ） A ．总是奇数 B ．总是偶数C ．有时是奇数，有时是偶数D ．有时是有理数，有时是无理数 三、解答题16．计算：（1）（2008）。

2021年中考数学专题03 二次根式的运算（知识点总结+例题讲解）一、数的乘方与开方：1.数的乘方：（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（2）正数的任何次幂都是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；2.数的开方：（1）平方根：如果一个数x的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方根）；即：若x2=a，则x叫做a的平方根；①正数有两个平方根（互为相反数）；②负数没有平方根；③0的平方根是0；（2）算术平方根：正数的正的平方根叫做算术平方根；记作“a”。

3，则b叫做a的立方根；（3）若ab=①一个正数有一个正的立方根；②一个负数有一个负的立方根；③0的立方根是0；【例题1】(2020•青海)(-3+8)的相反数是；的平方根是．【答案】-5；±2【解析】解：-3+8=5，5的相反数是-54，4的平方根是±2．【变式练习1】4的算术平方根是，9的平方根是，－27的立方根是。

【答案】2；±3，﹣3【解析】解：4的算术平方根是2，9的平方根是±3，﹣27的立方根是﹣3．【例题2】（2020•黄冈）计算38-= 。

【答案】-2【解析】解：38-=-2.【变式练习2】若a=，则a的值为( )A. 1B. 0C. 0或1D. 0或1或–1【答案】C=，∴a 为0或1；故选C 。

二、二次根式：1.二次根式的定义：形如a （a ≥0）的式子，叫做二次根式；（或是说，表示非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式）2.二次根式有意义的条件：被开方数≥0；（被开方数大于或等于 0 ）3.二次根式的性质：（1）a （a ≥0）是非负数；（2）（a ）2=a （a ≥0）；（3）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==），（），（），（00002a a a a a a a（4）非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积； 即：b a ab •=（a ≥0，b ≥0）；反之：ab b a =⨯；（5）非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；即：b ab a =（a ≥0，b>0）；反之：b ab a=；【例题3】(2020•广东)在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( )A ．x ≠2B ．x ≥2C ．x ≤2D ．x ≠-2【答案】B∴2x-4≥0，解得：x ≥2，∴x 的取值范围是：x ≥2；故选：B 。

第二节二次根式的运算二、核心纲要一 二次根式的乘除(1)乘法：即两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变．),0,0(≥≥=⋅b a ab b a(2)除法：即两个二次根式相乘，被开方数相除，根指数不变．),0,0(>≥=b a ba b a (3)乘法公式的推广： );0,0,0()(≥≥≥+=+c b a ac ab c b a ①);0,0,0,0())((≥≥≥≥+++=++d c b a bd bc ad ac d c b a ②;))((,2)(2b a b a b a ab b a b a -=-+±+=±③).0,,0,0(......21321321≥≥≥⋅⋅=⋅⋅⋅n n n a a a a a a a a a a a ④(4)充分利用).0,0)()(();0()(2≥≥-+=-≥=b a b a b a b a a a a注：结果必须化为最简二次根式．2.二次根式 的加减(1)二次根式的加减的实质：先化简（化为最简二次根式），后合并（合并同类二次根式）．(2)二次根式的加减步骤①一化：将每个二次根式化为最简二次根式；②二找：找出同类二次根式；③三合并：合并同类二次根式．3.二次根式的混合运算先算乘方（或开方），再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公武行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算．注：(1)原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用，(2)进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便．二次根式运算结果必须是最简二次根式．另外，与根式相乘的因数若是带分数，必须写成假分数，例如：237不能写成2312 4．分母有理化(1)分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化．(2)有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称两个代数式互为有理化因式．(3)常用的有理化因式b a b a b a b a a a -+-+与、与、与等互为有理化因式．(4)分母有理化步骤：先将二次根式化简，找分母最简有理化因式；然后将计算结果化为最简二次根式的形式．5．比较二次根式的大小的常用方法(1)被开方数法：当a≥0，b≥O 时，若要比较形如b b a a 与的两数大小，可先把根号外的非负因数 a 与b 平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较．(2)平方法：①如果a>b>0，则;b a >②如果,0b a <<则.b a <这种方法常用于比较无理数的大小．(3)估算法：若一个非负数a 介于另外两个非负数21a a 、之间，即210a a a <<≤ 时，它的算术平方根也介于21a a 、之间，即：..021a a a <<≤(4)倒数法：设a 、b 为任意两个正实数，先分别求出a 与b 的倒数，再根据 “当ba 11<时，a>b ；当=a 1b 1时，a=b ；当b a 11>时，a<b”来比较a 与b 的大小． (5)作差法：在对两数比较大小时，经常运用如下性质：.0;0b a b a b a b a ≤⇔≤-≥⇔≥-②①(6)分母有理化法：通过分母有理化，利用分子的大小来比较．☆(7)分子有理化法：通过分子有理化，利用分母的大小来比较．本节重点讲解：一个方法，两个概念，两个运算，三、全能突破基础训练1．下列计算正确的是( )．3232.--=--A a a B 3313.= a a C =33. a a D 333.= 2．计算)32)(21(+- 等于( )．63.-A 62232.-++B 3.C 62232.--+D3．计算1231-的结果是( )． A 337- 2333.-B 3.C 33.-D 4．下列运算正确的是( )．525.±=A 12734.=-B 9218.=÷C 623.24.=D 5．如果,)32(,321--=+=b a 那么a 与b 的关系为( )．A ．互为相反数B ．互为倒数C ．互为有理化因式D ．相等6．与61-相乘，结果为有理数的因式为( )．6.A 61.-B 16.-C 16.+D7．计算：2484554)1(+-+ 48323153113122)2(--+ 3)154276485)(3(÷+- 2)153()347)(347)(4(---+2201322013)31()21()31()21)(5(--++20)21()2336329186--+-++-（）（ 4.61932)7(32x x xx x x +⋅-⋅ nm a a n m a n m -⋅+÷--232333)8(22 8．比较下列二次根式的大小：3553)1(--与 7362)2(++与5667)3(--与 3527)4(--和121132)5(--与9．阅读下面的解题过程，判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答．已知m 为实数，化简：⋅----m m m 13 解：原式.)1(1.m m m mm m m ----=----= 能 力 提 升10.等式aba b a 1.35-=--成立的条件是( )． 0,0.>>b a A 0,0.><b a B 0,0.<>b a C 0,0.<<b a D11．(1)计算)(ba ab a b b a÷的正确结果是( )． b a A . ab B . 22.b a C 1.D(2)若,2022218=++xx x x 则x 的值等于( )． 4.A 4.±B 8.C 8.±D12.估计202132+⨯的运算结果应在( )． A.6到7之间 B ．7到8之间 C ．8到9之间 D.9到10之间13.化简,231+甲，乙两同学的解法如下： 甲：.23)23)(23(23231-=-+-=+ 乙：.2323)23)(23(2323231-=+-+=+-=+对于甲，乙两同学的解法，正确的判断是( )．A.甲，乙解法都正确 B ．甲正确，乙不正确 C ．甲，乙都不正确， D ．乙正确，甲不正确14．725-的立方根是( )．12.-A 21.-B )12(.-±C 12.+D15．若整数m 满足条件,1)1(2+=+m m 且,52<m 则m 的值是16. -个等腰三角形的两边长分别是32和23则这个等腰三角形的周长为17．(1)已知正数a 和b ，有下列命题： ①若;1,2≤=+ab b a 则②若,3=+b a 则;23≤ab ③若,6=+b a 则;3≤ab 根据以上三个命题所提供的规律猜想：若,9=+b a 则≤ab(2)计算,,1515,1414,1313,12122222 --------根据你发现的规律， 判断,1)1(1)1(1122-+-+=--=n n Q n n P 与（n 为大于1的整数）的值的大小关系为 18．不等式31)31(+>-x 的最大整数解为19.已知,72=+y x 且,0y x <<那么满足条件的整数对(x ，y)有 组．20．计算及化简：y x x y yx x y x y y x xy y x -+-+-)1( a b b a ab+)2((3)计算：nn n n n n 105...20102105132...642321⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯10.15142157)4(--+- 21.已知,0,0<<ab a 化简⋅+----|3|)2312a b b a （22.先观察下列等式，再回答问题： ;2111111112111122=+-+=++① ;6111212113121122=+-+=++② ;12111313114131122=+-+=++③ (1)根据上面三个等式，请猜想2251411++的结果（直接写出结论）． (2)根据上面各等式反应的规律，试写出用含n （n 为正整数）表示一般规律的等式，并加以验证．(3)根据上述规律，解答问题： 设,201312012114131131211.2111122222222++++++++++++= m 求不超过m 的最大整数[m]是多少？中 考 链 接23.（2011．湖北孝感）下列计算正确的是( )．2218.=-A 532.=+B 6.32.=⨯C 428.=÷D24．（2012．上海）在下列各式中，二次根式b a -的有理化因式是( )．b a A +. b a B +. b a C -. b a D -.25．（2011．上海）计算：⋅+-+--21|21|27)3(0巅 峰 突 破26.计算)7103)(32130(-+-+的值等于( )．76.A 76.-B 76320.+C 76320.-D27.已知,26,622,12-=-=-=c b a 那么a,b,c 的大小关系是( )．c b a A <<. c a b B <<. a b c C <<. b a c D <<.。

第二节 二次根式的运算1.二次根式的乘除法(1)二次根式的乘法法则：).0,0(≥≥=⋅b a ab b a(2)二次根式的除法法则：).0,0(>≥=b a bab a 注：①ab b a =⋅是积的算术平方根性质的逆用，此法则可推广到多个二次根式相乘，即).0,0,0(≥≥≥=⋅⋅c b a abc c b abab a =②是商的算术平方根性质的逆用，如果b a ,是负数，那b a ,无意义． 2. 二次根式的加减法(1)法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变，(2)步骤：①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简，③合并被开方数相同的二次根式．注：①与整式的加减类似，二次根式的加减，就是化简后合并被开方数相同的二次根式，合并时，只将二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变．②二次根式中的系数不能写成带分数．③二次根式的加减法也满足加法交换律和结合律． 3.分母有理化(1)分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式，例如：;111aa a ⨯=①⋅-⨯+-babb a a111②(2)两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个，例如：32-的有理化因式可以是,32+也可以是),32(+a 这里的a 可以是任意不为0的有理数． 注：分母有理化因式不唯一，但运算最简便为宜，二次根式的混合运算 4. 二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的，运算结果化为最简二次根式或整式．1.二次根式的乘除法 规律方法总结： 在使用性质)0,0(≥≥=⋅b a ab b a 时一定要注意0,0≥≥b a 的条件限制，如果,0,0<<b a 使用该性质会使二次根式无意义，如⨯-=/-⨯-4)9()4(⋅-9同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式 的除法运算也是如此， 2. 合并被开方数相同的二次根式的方法二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并，合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 3.二次根式加减的实质(l)化筒（化为最简二次根式）． (2)合并（合并同类二次根式）． 4.二次根式加减的步骤(1)一化：将每一个二次根式化为最简二次根式． (2)二找：找出同类二次根式． (3)三合并：合并同类二次根式， 5.比较二次根式的方法(1)被开方数法，当0,0≥≥b a 时，若要比较ab 与cd 两数的大小，可先将根号外的数平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较． (2)平方法：如果,0>>b a 则.b a >如果,0b a <<则.b a <(3)估算法：若一个非负数a 介于另两个非负数c ，d 之间，则.d a c <<(4)倒数法：将两个正实数取倒数进行比较大小，再确定原来两数的大小． (5)作差法：在两个数比较大小时，经常会用到如下性质：,0≥-b a ①则.b a ≥-a ②,0≤b 则.b a ≤(6)分母有理化法：通过分母有理化，利用分子的大小来比较． 6.二次根式混合运算注意事项(1)二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先乘方、再乘除，最后加减， 整式与分式的运算法则根式中仍然适用．(2)二次根式的混合运算结果是根式的，一般应表示为最简二次根式．(3)二次根式混合运算中，每一个根式可看作是一个“单项式”，多个不是同类二次根式之和可以看成一个多项式，因此多项式乘法法则及乘法公式在根式运算中，仍然适用，以简便计算．(4)在二次根式的综合运算中，除按运算顺序进行以外，还要注意分式性质的灵活运用，例1．计算.50511221831332++-- 检测1.（南陵县期末）计算：.27814872a a aa a a +- 例2．（绵阳校级自主招生）已知,0<xy 化简二次根式2x yx -的正确结果为( ) y A . y B -. y C -. y D --.检测2.（柘城县校级一模）把aa 1--中根号外面的因式移到根号内的结果是( ) a A -. a B -. a C --. a D .例3．（祁门县校级模拟）计算=--+-020192018)2()32()32(检测3.（江西模拟）计算：=+--+)123)(123( 例4．比较1213-与1415-的大小．检测4.（周口期末）已知,561,65-=+=b a 则a 与b 的大小关系是a .b第二节 二次根式的运算(建议用时:35分钟)实战演练1．计算5253-的结果是( )5.A 52.B 53.C6.D2．化简24的结果是( ) 2.A 2.B 22.C 24.D3．（镇赉期末）计算)52()52(+⨯-的结果是( )3.-A 3.B 7.C4.D4．与232⨯的值最接近的整数是( )3.A4.B5.C6.D5．（忻州自主招生）计算：32313123-÷的结果为( ) 32.-A 3.B 326.-C 3236.-D6．把aa 1-中根号外面的因式移到根号内的结果是( ) a A -. a B -. a C --. a D .7．下列各式与227-的乘积是有理数的是( )227.+-A 3228.+B 722.+-C 3228.-D8.甲，乙两同学对代数式)0,0(>>+-n m nm nm 分别作了如下变形：甲：;))(())((n m n m n m n m n m n m n m -=-+--=+-乙：.))((n m nm n m n m n m n m -=+-+=+-关于这两种变形过程的说法正确的是( )A ．甲，乙都正确B ．甲，乙都不正确C ．只有甲正确D ．只有乙正确 9．（上海杨浦二模）写出b a -的一个有理化因式：10.（福建洛江模拟）计算：=⨯315511（安徽模拟）8316212+-的结果是 12.计算：=--+)227(32813.（湖北襄城模拟）计算：=÷-6)272483(14.三角形周长为,)6257(cm +已知两边长分别为cm 45和,24cm 则第三边的长是 .cm 15.化简：=⋅÷y x xy x 31243216.对于任意的正数n m ,定义运算*为：⎪⎩⎪⎨⎧<+>-=*)()(m n m n m n m n n m 计算)128()23(*⨯*的结果为17.(河北博野县校级自主招生考题）比较大小：n -+11-n （填“>”或“<”)． 18.（上海虹口月考）化简：=-÷-x x 15212 =--5322;r19.王聪学习了二次根式性质公式b ab a =后，他认为该公式逆过来baba =也应该成立的，于是这样化简下面一题：=--=--327327=-⨯-=-⨯-39339)3(,39= 你认为他的化简过程对吗？请说明理由．20.（湖北黄石中考）观察下列等式：第1个等式：，122111-=+=a第2个等式：;233212-=+=a第3个等式：;322313-=+=a 第4个等式：.255214-=+=a按上述规律，回答以下问题： (1)请写出第n 个等式：=n a=++++n a a a a Λ321)2(21.比较2和2111+的大小，并写出推理过程．22，计算：;)25()12(525)23()32(62)1(-⨯+--+⨯++ ⋅-++-+--++-+311102115)2(x x x x x x 拓展创新23，比较62与10223的大小． 拓展1．比较215-和0.5的大小． 拓展2．（山东临朐一模）已知：,321,321+=-=b a 则a 与b 的关系是( )1.=ab A 0.=+b a B 0.=-b a C 22.b a D =拓展3．已知a ，b 为正实数，试比较ab b a +与b a +的大小，极限挑战 24.把3333-+化为最简二次根式．答案。

学而思二次根式(知识点精讲+例题解析)二次根式知识点精析二次根式1、定义：形如a ）（0≥a 的式子，称为二次根式。

)0(≥a a 12+a2、最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式②被开方数中不能含开得尽方的因数或因式③分母中不含如：12 18 4.632 32 2a 23a a +3、二次根式的化简如： 16 811 42b a 24-）（ ② ）（0)(2≥=a a a（2）乘法法则逆应用b a b a ⋅=⋅ （0,0≥≥b a ）如：b a 2（a ＞0） 8 32 512（1）①（3）除法法则逆应用 ba b a = （0,0≥≥b a ） 如：a 1 43 （4）分母有理化常用公式： ）（0)(2≥=a a a22))((b a b a b a -=+-如：a 1 3-21 321+ 5323+ 5-3234、同类二次根式①几个根式化成最简二次根式后，被开方数相同如：812与 4312与 520与②同类二次根式的加减先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并， 合并方法为系数相加减，根式不变．5、二次根式的运算法则加减法： m b a m b m a )(±=±乘法： b a b a ⋅=⋅ （a ≥0，b ≥0）除法： ba b a = （0,0＞b a ≥） m m a a =)( （0≥a ）若0b ＞＞a ，则0b ＞＞a乘法公式推广：① n 321321a a a a a a a a n ⋯⋯⋅⋅⋅=⋯⋯⋅⋅（ 0000n 321≥⋯⋯≥≥≥a a a a ，，，） ②b ab a b a ++=±22）（③ b a b a b a -=-+))((例题解析【例1】判断下列各式是不是最简二次根式 6 8 12 15 18 20 24 48500 21 81 43322 2.1【例2】（1）在二次根式322,,9,8,5a b a c a a +中最简二次根式有（ ）个。

二次根式复习专题讲义一、二次根式的概念：1.二次根式：a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

①.式子中，被开方数(式)必须大于等于零。

②.a ≥0）是一个非负数。

③.2＝a （a ≥0）（a ≥0）2.二次根式的乘：①.②. 3.二次根式的除：①. 一般地，对二次根式的除法规定：②. 4. 二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

典型例题分析：例1. 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、1xx>0）1x y+x ≥0，y•≥0）．例2.当x+11x+在实数范围内有意义？变式题1：当x在实数范围内有意义？变式题2：①.当x2在实数范围内有意义？例3.①.已知，求xy的值．②.=0，求a2004+b2004的值．③.，求x y的值．例4.计算1．22．（）23．24．（2）2例5. 计算1．2（x≥0）2．23．24．2变式题：计算1.（-）22.例6.在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3例7.化简（2（3（4（1例8.填空：当a≥0时，=_____；当a<0时，=_______，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a可以是什么数？（2，则a可以是什么数？（3，则a可以是什么数？例9.当x>2．例10．先化简再求值：当a=9时，求的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．=a，求a-19952的值．变式题1．若│1995-a│变式题2．若-3≤x≤2时，试化简│x-2│。

（2（3（4）（1a≥0，b≥0）计算即可．分析：（2（3（4例12 .化简（2（3（1（5（4例13 .判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=4（2变式题1：和，•那么此直角三角形斜边长是（）．变式题2：化简a）．．√169×6变式题3变式题5：探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）验证：（2）验证：同理可得：，……通过上述探究你能猜测出：a=_______（a>0）,并验证你的结论．例14．计算：（1（2÷（3÷（4）例15．化简：（1（2（3（4例16．，且x为偶数，求（1+x的值．变式题1.的结果是（）．变式题2.阅读下列运算过程：，化”）．变式题3.已知x=3，y=4，z=5，是_______．变式题4.有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长：1，•现用直径为的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？变式题5.计算（1·（m>0，n>0）（2）（a>0）例17.把它们化成最简二次根式：(1)3; (2)总结：二次根式有如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．例18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．B A C例19.观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：-1，=，，……从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算++（+1）的值．练习：一、选择题1（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）．y>0） B y>0） C y>0）AD．以上都不对2．把（a-1中根号外的（a-1）移入根号内得（）．C． D．ABA=a2DC4的结果是（）B．C．D．A．二、填空题1．（x≥0）2．化简二次根式号后的结果是_________．三、综合提高题1．已知a 过程，请判断是否正确？若不正确，•请写出正确的解答过程：2．若x 、y 为实数，且y=y x y -的值．例20.计算 （1（2总结：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．例21．计算（1）（2））+例22．已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23+y-（x -5x）的值．练习： 一、选择题1中，与是同类二次根式的是（ ）．A ．①和②B ．②和③C ．①和④D ．③和④ 2．下列各式：①3+3=6；②17=1；③=；④，其中错误的有（ ）．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 二、填空题1、、与是同类二次根式的有________．2．计算二次根式5-3-7+9的最后结果是________．三、综合提高题1．已知≈2.236，求（-）-+）的值．（结果精确到0.01） 2．先化简，再求值．（）-（，其中x=32，y=27．例23．如图所示的Rt △ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始沿BA 边以1厘米/•秒的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点C 移动．问：几秒后△PBQ 的面积为35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）BAC QP例23．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m ）？例24．若最简根式3是同类二次根式，求a 、b 的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）练习： 一、选择题1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（ ）．（•结果用最简二次根式） A ．BC ．D ．以上都不对2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm 和20cm 的长方形的木框，•为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）米．（结果同最简二次根式表示）A．． D．二、填空题1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，•鱼塘的宽是_______m．（结果用最简二次根式）2．，•那么这简二次根式）三、综合提高题1．若最简二次根式与n是同类二次根式，求m、n的值．2．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a ±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=）2，5=（2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：-1）2=）2-2·1+12+1=3-2反之，∴-1求：（1（2；（3吗？(√3-1)（4，则m 、n 与a 、b 的关系是什么？并说明理由．例25．计算: （1）+（2）（4）÷例26．计算 （1））（3-） （2）））例27．已知xba-=2-xa b-，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0，练习： 一、选择题1．）．AC2（ ）．A．2 B．3 C．4 D．1二、填空题+）2的计算结果（用最简根式表示）是 1．（-12________．）（）-（）2的计算结果（用最简2．（二次根式表示）是_______．-1，则x2+2x+1=________．3．若4．已知a=3+2，，则a2b-ab2=_________．三、综合提高题12．当+的值．（结果用最简二次根式表示）课外知识1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，•这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）．AC2．互为有理化因式：•互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+1-与x+1+与也是互为有理化因式．+的有理化因式是________；的有理化因式是_________．_______．3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、•分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．练习：把下列各式的分母有理化（1（2；（3（44．其它材料：如果n是任意正整数，=_____=_______．例28.-1的大小。

(完整word)二次根式知识点归纳及题型总结-精华版文档二次根式知识点归纳和题型归类二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：［爲工Og叭2“)=9-0)；3^★4L鳥<0)；积的算术平方根的性质：、’、：、「「〔；E=^a>OfZ>>0)商的算术平方根的性质：*.若7'.知识点二、二次根式的运算二次根式的乘除运算运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号注意每一步运算的算理；二次根式的加减运算先化简，再运算，二次根式的混合运算(1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；(2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用TOC\o"1-5"\h\z.利用二次根式的双重非负性来解题（岛0（a>0）,即一个非负数的算术平方根是一个非负数。

）B、?：；X；C、弩B、?：；X；C、弩x1;Dx1i"22?等式J（X1）=1—x成立的条件是.3?当x时，二次根式J2x3有意义.x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

(2)（4）若x（x1）.XIX1，则x的取值范围是（5）若X3.X3,则x的取值范围是\X1Jx16若J3m1有意义，则m能取的最小整数值是;若J20m是一个正整数，则正整数m的最小值是TOC\o"1-5"\h\z当X为何整数时，10X11有最小整数值，这个最小整数值为。

若2022aVa2022a，则a20222=;若y4，则xym29.9m22—设m、n满足n，贝V.mn=。

m3若三角形的三边ab、c满足a24a4-b3=0,则第三边c的取值范围是若|4x8|xym0，且y0时，则（）A、0m1B、m2C、m2Dm2二.利用二次根式的性质a2=|a|=a（ab）（即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值）来解题u（a0）a（a0）1.已知x33x2=—1.已知x33x2=—x厂3，则()A.xw0B.xw—3C.x>—3D.—3<xw02..已知a<b,化简二次根式?a3b的正确结果是（)A.aaba、abC.aabd.aabA、x为任意实数3.若化简|1-x|-x28x16的结果为A、x为任意实数4.已知a,b,c为三角形的三边，则(abc)2,(bca)2.(bca)2=5.当-3<x<5时，化简x26x9、x210x25=6、化简|xy|x2（xy0）的结果是（）A6、化简|xy|x2（xy0）的结果是（）AyC.2x7、已知：a2aa2=1,则a的取值范围是（）。