二次根式的加减知识点整理,初二数学二次根式的加减典型例题讲解与详细解析

3、二次根式的加减--知识讲解（基础）【学习目标】1、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；2、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.【要点梳理】要点一、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.要点二、二次根式的加减1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 要点诠释：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.（2）二次根式加减运算的步骤：1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；3)合并同类二次根式.要点三、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用. 要点诠释：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.【典型例题】类型一、同类二次根式1.下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【思路点拨】直接利用同类二次根式的定义分别化简二次根式求出答案．【答案】B．【解析】A、=3，与不是同类二次根式，故此选项错误；B、=，与，是同类二次根式，故此选项正确；C、=2，与不是同类二次根式，故此选项错误；D、==，与不是同类二次根式，故此选项错误【总结升华】此题主要考查了同类二次根式，正确化简二次根式是解题关键．举一反三：【变式】如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a、b的值是( )A.a=2，b=1B.a=1，b=2C. a=1，b=-1D. a=1，b=1 【答案】D.根据题意，得解之，得，故选D.类型二、二次根式的加减运算2.计算（1）4﹣+．（2）．【答案与解析】解：(1)原式=4×﹣3+2=2﹣3+2=．（2）原式=2+3﹣2 =3x ． 【总结升华】一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并. 举一反三： 【变式】计算:011(1)()527232π--++-- 【答案】011(1)()527232π--++-- 125332333352332=++--=+--=-类型三、二次根式的混合运算3.计算:(1) (+)×；(2) 22)3223()3223(--+【思路点拨】二次根式的混合运算要注意公式的灵活运用.【答案与解析】(1)(+)×=×+×=+=3226+;(2)=(32233223)(32233223)++-+-+原式=6243246⨯=.【总结升华】二次根式仍然满足整式的运算规律,•所以直接可用整式的运算规律．4、计算： 已知625,625-=+=b a ，则ab =_______,a b +=________.【答案】1；10.【解析】225+26526,5(26)1a b ab ==-∴=-=Q ，10a b +=【总结升华】数学运算包含着很多技巧性的东西，技巧运用得好计算就很简便而且准确.举一反三：【变式】已知x y ==求22x xy y -+的值。

专题03 二次根式的加减目录必备知识点 (1)考点一二次根式的加减法 (2)考点二二次根式的混合运算 (2)考点三二次根式的化简求值 (3)考点四二次根式的应用..... (4)知识导航必备知识点1．同类二次根式的定义一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．合并同类二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．2．二次根式的加减法（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．（2）步骤：①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．③合并被开方数相同的二次根式．（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．3．二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．4．二次根式的化简求值二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．考点一二次根式的加减法1．下列计算正确的是（）A．3﹣1＝﹣3 B．a2•a3＝a6C．D．2．下列计算正确的是（）A．3+＝3B．C．D．3．计算：﹣﹣（1﹣）＝．4．计算：＝．考点二二次根式的混合运算5．下列计算正确的是（）A．B．C．D．6．下列计算正确的是（）A．B．C．D．＝﹣57．下列计算正确的是（）A．×＝B．＝1 C．×＝42 D．＝8．下列运算正确的是（）A．+＝B．3+＝3C．＝6 D．＝﹣29．计算（﹣3）（+3）的结果为．10．如图是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为时，则输出的值为．11．计算：＝．考点三二次根式的化简求值12．若x＝+1，则代数式x2﹣2x+2的值为（）A．7 B．4 C．3 D．3﹣2 13．若，则的值是（）A．3 B．±3 C．D．±14．设M＝，其中a＝3，b＝2，则M的值为（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣115．已知x＝，那么2x2+6x﹣3的值是．16．已知x＝+，y＝﹣，则式子xy2+x2y的值为．17．已知（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，则a+的值是．考点四二次根式的化简求值18．已知a、b、c是△ABC三边的长，则+|a+b﹣c|的值为（）A．2a B．2b C．2c D．2（a一c）19．某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为8米，宽AB 为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为+1米，宽为﹣1米．（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）（2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）20．若矩形的长a＝，宽b＝．（1）求矩形的面积和周长；（2）求a2+b2﹣20+2ab的值．21．已知a、b均为正数，且、、是一个三角形的三条边的长，求这个三角形的面积．。

21.3 二次根式的加减学习目标1. 理解最简二次根式的概念，掌握二次根式加减的方法。

2. 经历整式加减运算与二次根式加减运算的比较体会类比思想，探究二次根式加减的方法。

知识详解1. 同类二次根式经过化简后，被开方数相同的二次根式，称为同类二次根式。

2. 二次根式的加减二次根式的加减，与整式的加减相类似，关键是将同类二次根式合并。

二次根式相加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并。

【典型例题】例1a的一个可能取值：【答案】2【解析】a+1=3，解得a=2；a+1是3的完全平方数，∴a+1=9，即a=8，a+1=27，即a=26，a+1=81，即a=80，…故a的值可以是2、8、26、80…．例2是同类二次根式但不相等的二次根式【答案】【解析】由同类二次根式的被开方数相同可得例3可）【答案】3或27或243等∴a1=3，a2=3×32，a3=3×33，…a n=3n+1；∴a的值是3、27、243等；【误区警示】易错点1：同类二次根式的被开方数相同1. 的一个同类二次根式：=【解析】同类二次根式的被开方数相同可得：易错点2：二次根式运算2. 已知m＝n＝，且（7m2-14m+a）（3n2-6n-7）=8，则a的值等于（）A．-5B．5C．-9D．9【答案】C【解析】观察已知等式可知，两个括号里分别有m2-2m，n2-2n的结构，可由已知m、n的值移项，平方得出m2-2m，n2-2n的值，代入已知等式即可。

由m＝n＝，两边平方，得m2-2m+1=2即m2-2m=1，同理得n2-2n=1．又（7m2-14m+a）（3n2-6n-7）=8，所以（7+a）（3-7）=8，解得a=-9【综合提升】针对训练1. 小华和小明计算“2a-2”，小明忽略了算式后面括号中的条件，得到的结果是“2”，请你判断，括号中的条件是（）A．a＜2B．a≥2C．a≤2D．a≠22. 计算y x=，则xy=3. 如图，将一个正方形分割成面积分别为S（平方单位）和3S（平方单位）的两个小正方形和两个长方形，那么图中两个长方形的面积和是（平方单位）1. 【答案】B【解析】原式=a+|a-2|，小华的运算为a+a-2=2a-2，小明的运算为a-a+2=2，因为小华正确审题可得括号中的条件为a≥22. 【答案】a-b==-【解析】xy a b3. 【答案】∵两小正方形的面积分别是2和5，2=【中考链接】（2014【答案】【解析】二次根式相减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并。

二次根式的加减二次根式是代数中常见的一种形式，它可以表达为√n的形式，其中n是一个非负实数。

在代数学中，我们常常需要对二次根式进行加减运算。

本文将探讨二次根式的加减规则以及一些实际问题的应用。

一、二次根式的加法对于两个相同的二次根式√n的相加运算，我们可以简化为2√n。

例如，√3 + √3 = 2√3。

对于两个不同的二次根式√m 和√n 的相加运算，我们需要考虑它们的根数是否相同。

如果根数相同，即两个二次根式的根数都为m，那么它们可以合并为(√m + √n)。

例如，√5 + √5 = 2√5。

如果根数不同，我们无法直接合并它们。

在这种情况下，我们可以先将它们的根数调整为相同的形式，然后再进行合并。

例如，√2 + √3，我们可以通过乘以一个1的形式来调整根数，即(√2 + √3) * (1) = (√2 + √3) * (√3/√3) = (√2 * √3 + √3 * √3) / √3 = (√6 + 3) / √3 = (√6/√3 + 3/√3) = (√6/√3 + 3√3/√3) = (√6 + 3√3) / √3 = (√6/√3 + 3√3/√3) = (√6 + 3√3) / √3 = (√6/√3 + 3√3/√3) = √6/√3 + 3√3/√3 = (√6 + 3√3) / √3。

二、二次根式的减法对于两个相同的二次根式√n的相减运算，我们可以简化为0。

例如，√4 - √4 = 0。

对于两个不同的二次根式√m 和√n 的相减运算，我们的方法与二次根式的加法类似。

我们需要调整它们的根数，使它们变为相同的形式，然后再进行运算。

例如，√7 - √3，我们可以通过乘以一个1的形式来调整根数，即(√7 - √3) * (1) = (√7 - √3) * (√7/√7) = (√7 * √7 - √3 * √7) /√7 = (7 - √21) / √7。

三、二次根式的应用二次根式在实际问题的求解中经常出现。

二次根式加减乘除混合运算考点与解析1．计算：．考点：二次根式的乘除法．专题：计算题．分析：按照•=，从左至右依次相乘即可．解答：解：，=2．点评：本题考查二次根式的乘法运算，比较简单，注意在运算时要细心．2．计算：﹣32+×+|﹣3|考点：二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．分析：分别利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质化简求出即可．解答：解：﹣32+×+|﹣3|=﹣9+×+3﹣=﹣5﹣．点评：此题主要考查了二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键．3．计算：（﹣1）2015+sin30°+（2﹣）（2+）．考点：二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．分析：运用﹣1的奇次方等于﹣1，30°角的正弦等于，结合平方差公式进行计算，即可解决问题．解答：解：原式=﹣1++4﹣3=．点评：该题主要考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值等知识点及其应用问题；牢固掌握特殊角的三角函数值、灵活运用二次根式的混合运算法则是正确进行代数运算的基础和关键．4．计算：．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：先根据二次根式的乘除法法则得到原式=﹣+2，然后利用二次根式的性质化简后合并即可．解答：解：原式=﹣+2=4﹣+2=4+．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后进行二次根式的加减运算．5．计算：（1）sin60°﹣|﹣|﹣﹣（）﹣1（2）（1+）÷．考点：二次根式的混合运算；分式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：（1）根据特殊角的三角函数值、分母有理化和负整数指数幂的意义得到原式=﹣﹣﹣2，然后合并即可；（2）先把括号内合并和除法运算化为乘法运算，然后约分即可．解答：解：（1）原式=﹣﹣﹣2=﹣2；（2）原式=•=x．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂和分式的混合运算．6．计算：（2015﹣π）0+|﹣2|+÷+（）﹣1．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．分析：首先根据零指数幂、负整数指数幂的运算方法，二次根式的除法的运算法则，以及绝对值的求法计算，然后根据加法交换律和结合律，求出算式（2015﹣π）0+|﹣2|+÷+（）﹣1的值是多少即可．解答：解：（2015﹣π）0+|﹣2|+÷+（）﹣1．=1+3=（1+2+3）=6+0=6点评：（1）此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）a0=1（a≠0）；（2）00≠1．（3）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）a﹣p=（a≠0，p为正整数）；（2）计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；（3）当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．（4）此题还考查了绝对值的非负性和应用，要熟练掌握．7．化简：（1）（2）（3）．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）、（2）利用二次根式的性质把二次根式化为最简二次根式；（3）根据平方差公式计算．解答：解：（1）原式=4；（2）原式=；（3）原式=（﹣）（+）=3﹣2=1．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．8．计算：（1）（2）﹣5+6（3）×﹣（4）﹣π（精确到0.01）．考点：二次根式的混合运算．分析：（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（3）根据二次根式的乘法法则运算；（4）把≈1.414，π=3.142代入原式进行近似计算即可．解答：解：（1）原式=2+4﹣=5；（2）原式=4﹣+=3；（3）原式=﹣=20﹣3=17；（4）原式≈0.5+1.414﹣3.142≈﹣1.23．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．9．计算：﹣﹣（）2+|2﹣|．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：先把各二次根式化为最简二次根式，再根据绝对值的意义去绝对值，然后合并即可．解答：解：原式=2﹣﹣2+2﹣=．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．10．计算：（）﹣1﹣|2﹣1|+．考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂．专题：计算题．分析：根据负整数指数幂和分母有理化的意义得到原式3﹣2+1+，然后合并即可．解答：解：原式=3﹣（2﹣1）+=3﹣2+1+=4﹣．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂．11．计算：+（﹣）+．考点：二次根式的混合运算．分析：先进行二次根式的化简和乘法运算，然后合并．解答：解：原式=+1+3﹣3+=4﹣．点评：本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简和乘法法则．12．计算：（）﹣2﹣+（﹣6）0﹣．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式=4﹣4+1﹣，然后进行二次根式的除法运算后合并即可．解答：解：原式=4﹣4+1﹣=1﹣2=﹣1．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值．13．计算：（2﹣）2+﹣（）﹣1．考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂．专题：计算题．分析：根据完全平方公式和负整数指数幂的意义得到原式=4﹣4+3﹣3，然后合并即可．解答：解：原式=4﹣4+3﹣3=1﹣．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂．14．计算（1）（2）．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．分析：（1）先算负指数幂，0次幂和绝对值，再进一步合并即可；（2）先利用平方差公式和二次根式的性质化简，再进一步合并即可．解答：解：（1）原式=2﹣1+3=4；（2）原式=2﹣3+﹣2=﹣3．点评：此题考查二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的性质化简以及乘法计算公式是解决问题的关键．15．（1）计算：4×÷﹣2sin30°﹣（）﹣1（2）化简：÷﹣．考点：二次根式的混合运算；分式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．分析：（1）分别进行二次根式的乘法运算、除法运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂等运算，然后合并；（2）根据分式的混合运算法则求解．解答：解：（1）原式=10÷﹣2×﹣2=10﹣1﹣2=7；（2）原式=•﹣=﹣=．点评：本题考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值、负整数指数幂等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．16．计算：（1）+（﹣2013）0﹣（）﹣1+|﹣3|（2）÷﹣×+．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．专题：计算题．分析：（1）根据零指数幂和负整数指数幂的意义得到原式=3+1﹣2+3，然后进行加减运算；（2）根据二次根式的乘除法则运算．解答：解：（1）原式=3+1﹣2+3=5；（2）原式=﹣+2=4﹣+2=4+．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和负整数指数幂．17．计算（1）÷+﹣3（2）（+）（﹣）．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）先进行二次根式的除法运算，再先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用平方差公式计算．解答：解：（1）原式=+2﹣3=0；（2）原式==a﹣2b．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．18．（1）（2）．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）先进行乘方和开方运算，再进行乘法运算，然后进行减法运算；（2）先去括号，然后合并即可．解答：解：（1）原式=4+4×（﹣）=4﹣3=1；（2）原式=2+2﹣=2+．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．19．计算题：（1）+﹣；（2）（1+）（﹣）﹣（2﹣1）2．考点：二次根式的混合运算．分析：（1）先进行二次根式的化简，然后合并；（2）先进行二次根式的乘法运算，然后合并．解答：解：（1）原式=3+﹣=4﹣；（2）原式=﹣+﹣3﹣13+4=4﹣2﹣13．点评：本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则以及二次根式的化简．20．计算（1）+（3+）（2）（﹣）×2（3）先化简，再求值．（a+）﹣（﹣b），其中a=2，b=3．考点：二次根式的混合运算；二次根式的化简求值．专题：计算题．分析：（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）根据二次根式的乘法法则运算；（3）先把各二次根式化为最简二次根式得到原式=+2﹣+，然后合并后把a和b的代入即可．解答：解：（1）原式=3+3+2=8；（2）原式=2﹣2=4﹣；（3）原式=+2﹣+=+3当a=2，b=3时，原式=+3．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了二次根式的化简求值．。

“三步六字”围攻二次根式的加减二次根式加减时，必须先将所给式子中的每个二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并，所以进行二次根式的加减运算时，可以分成“三步六字”围攻，智取其值.一、运算过程解读第一步：化简-—把每一个根式化简成“最简二次根式”所谓“最简二次根式”就是二次根式必须符合如下的两个特征：（1）被开方数不含分母。

如果被开方数是分式或分数，可以利用)0,0(>≥=b a b a b a ，然后再分母有理化得到)0,0(>≥=b a b ab b a 。

如93271271==. (2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.也就是说应该把能开得尽方的因数或因式开出来.如222282=⨯=第二步：观察—-观察被开方数相同的项.在第一步化简的基础上，观察寻找出被开方数相同的项,将它们分别聚集在一起,特别要注意一定是化简后再识别，防止出现认为12与31，8与5.0被开方数是不相同错误现象. 第三步:合并-—合并同类二次根式（即被开方数相同二次根式）与整式的合并同类项相似,合并同类二次根式时，只是把被开方数相同的二次根式外面的因数或因式进行加减,根式内部的被开方数（或式）保持不变.二、典型案例剖析【例1】(临沂）27－1831－12 分析：因为题中的二次根式都不是最简二次根式，因此必须对每个二次根式先进行化简. 解：原式=332⨯－23312⨯－322⨯=33－2－23=（33－23)－2 =3－2【例2】（新疆乌鲁木齐市）计算：⎛÷ ⎝ 分析：本题是加减乘除的混合运算，根据运算顺序应当先算有括号内的，事实上括号内就是二次根式的加减，可用“三步六字”去解决。

解：原式⎛=÷ ⎝143==．【例302)+ 分析:本题是一个较为复杂的“二次根式的加减"运算问题,需要搞清两个性质，一个就是“任何不等于0的数的零次幂都等于1"，另一个就是二次根式的性质：||2a a =，还要掌握一个去括号法则：去掉括号和括号前的“－"时,括号内各项都要变号.02)+(11|1=++-．111=-+．1= 创新展台：【例4】（邵阳市）阅读下列材料，然后回答问题. 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如35，32，132+一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简:35＝5535553＝⨯⨯；……① 32＝363332＝⨯⨯……② 132+＝））（（）－（1313132-+⨯＝131313222---＝）（）（ ……③ 以上这种化简的步骤叫做分母有理化.132+还可以用以下方法化简: 132+＝131313131313131322-+-++-+-＝））（（＝）（＝……④ （1)请用不同的方法化简352+. 参照③式得352+＝_________________________； 参照④式得352+＝___________________________。

二次根式的加减二次根式是数学中的一个重要概念，涉及到对根号下的数值进行加减运算。

本文将以清晰、准确的语言来介绍二次根式的加减运算方法，并提供相关示例来帮助读者更好地理解。

一、二次根式的定义二次根式是由数字或表达式的平方根组成的表达式。

一般形式为√a或√(a + b)，其中a和b代表实数。

例如，√4、√(9 + 16)都属于二次根式。

二、二次根式的加法运算1. 当两个二次根式的根号下数值完全相同时，可以直接将系数相加。

例如，√2 + √2 = 2√2。

2. 当两个二次根式的根号下数值不同但可以化简时，需要根据化简规则来进行计算。

例如，√8 + √18可以化简为2√2 + 3√2，进一步合并得5√2。

3. 当两个二次根式无法化简时，直接写出并对根号下数值进行合并即可。

例如，√3 + √5无法化简，可将其写为√3 + √5。

示例1：计算√7 + √7：由于两个根号下数值相同，可以直接相加，得到2√7。

示例2：计算√3 + √5 + √3 - √5：根据根号下数值不同但可化简的规则，可以将√3 + √3和√5 - √5合并，得到2√3 + 0。

最终结果为2√3。

三、二次根式的减法运算1. 当两个二次根式的根号下数值相同时，可以直接将系数相减。

例如，√6 - √6 = 0。

2. 当两个二次根式的根号下数值不同但可以化简时，需要根据化简规则进行计算。

例如，√8 - √2可以化简为2√2 - √2，进一步合并得√2。

3. 当两个二次根式无法化简时，直接写出并对根号下数值进行合并即可。

例如，√7 - √3无法化简，可将其写为√7 - √3。

示例1：计算√7 - √7：由于两个根号下数值相同，直接相减得0。

示例2：计算√8 - √2 + √5 - √3：按照化简规则，可以将√8 - √2和√5 - √3合并，得到2√2 + √5 - √3。

最终结果为2√2 + √5 - √3。

四、小结本文介绍了二次根式的加减运算方法，特别强调了根号下数值相同或可以化简时的合并原则。

二次根式的运算在数学中，我们常常遇到二次根式的运算问题。

二次根式是指形如√a的数，其中a表示一个非负实数。

本文将详细介绍二次根式的加减乘除运算规则，并给出一些实例进行演示。

一、二次根式的加减运算对于两个二次根式的加减运算，我们需要保证它们的根数和被开方数相同。

下面是二次根式加减的基本规则：规则1：根号下的数相同，即根数和被开方数相同，才能进行加减运算。

规则2：二次根式加减运算时，只需对根号下的数进行加减运算，根号不变。

规则3：运算结果保持根号下的数不变，即根号下的数仍然是二次根式。

例如：（1）√2 + √3 = √2 + √3，因为根号下的数不同，无法进行运算。

（2）2√5 - 3√5 = （2 - 3）√5 = -√5，因为根号下的数相同，可以进行运算。

二、二次根式的乘法运算二次根式的乘法运算是指两个二次根式相乘的过程。

下面是二次根式乘法的基本规则：规则1：二次根式乘法运算时，只需对根号下的数进行乘法运算，根号不变。

规则2：运算结果保持根号下的数不变，即根号下的数仍然是二次根式。

例如：（1）√2 × √3 = √(2 × 3) = √6，根号下的数相乘得到新的根号下的数。

（2）2√5 × 3√5 = （2 × 3）√(5 × 5) = 6√25 = 30，根号下的数相乘得到新的根号下的数，但是根号下的数不变。

三、二次根式的除法运算二次根式的除法运算是指两个二次根式相除的过程。

下面是二次根式除法的基本规则：规则1：二次根式除法运算时，只需对根号下的数进行除法运算，根号不变。

规则2：运算结果保持根号下的数不变，即根号下的数仍然是二次根式。

例如：（1）√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √3，根号下的数相除得到新的根号下的数。

（2）6√25 ÷ 3√5 = （6 ÷ 3）√(25 ÷ 5) = 2√5，根号下的数相除得到新的根号下的数，但是根号下的数不变。