三线八角模型

数学三线八角模型数学中有一种特殊的八角形模型，它被称为数学三线八角模型。

这个模型在数学领域中有着重要的应用，它是由数学三线和八角形组成的。

下面我将详细介绍数学三线和八角形的定义和性质，以及数学三线八角模型的应用。

让我们来了解一下数学三线。

数学三线是指一个多边形内部的三条特殊的直线，它们分别是：内角平分线、中线和高线。

内角平分线是指从多边形内部的一个顶点出发，将相邻两个内角平分成相等的两部分的直线。

中线是指连接多边形的两个不相邻顶点的直线，并且中线的长度等于两个顶点连线长度的一半。

高线是指从多边形的一个顶点向对边的垂直直线。

接下来，我们来了解一下八角形。

八角形是一种具有八个角的多边形。

它有八条边和八个顶点。

八角形是一种特殊的多边形，它具有许多有趣的性质。

例如，八角形的内角和为1080度，每个内角的度数为135度。

此外，八角形的对角线个数为20条，对角线的长度可以通过数学公式计算得出。

有了数学三线和八角形的定义和性质，我们可以将它们结合起来，形成数学三线八角模型。

数学三线八角模型是指通过连接八角形的顶点和边上的特殊直线，形成的一个几何模型。

这个模型具有许多有趣的性质和应用。

数学三线八角模型在几何学中有着重要的应用。

它可以帮助我们研究八角形的特性和性质，推导出八角形的各种公式和定理。

例如，通过数学三线八角模型，我们可以证明八角形的内角和为1080度，每个内角的度数为135度。

这个结论对于解决与八角形相关的几何问题非常有帮助。

数学三线八角模型在数学解题中也有着广泛的应用。

通过运用数学三线八角模型，我们可以解决各种与八角形相关的问题。

例如，给定一个八角形的边长，我们可以利用数学三线八角模型中的定理和公式计算出八角形的面积和周长。

这对于解决实际问题非常有用，如建筑设计中的八角形建筑物的设计和计算。

数学三线八角模型还可以帮助我们研究其他几何形体的特性和性质。

通过将数学三线八角模型应用到其他多边形中，我们可以推导出它们的性质和定理。

2023七年级三线八角课件CATALOGUE 目录•引言•三线八角的定义和性质•基础概念和定理•习题解答和分析•课堂互动与拓展•教学反思和总结01引言1课程背景23学生在小学阶段已经接触过简单的图形知识七年级数学上册第一章已经学习了线段和角本课件是为了帮助学生巩固所学知识并深入理解三线八角相关内容掌握三线八角的概念及基本性质会用符号表示三线八角能利用三线八角解决实际问题课程目标教学内容三线八角的概念及基本性质三线八角的表示方法利用三线八角解决实际问题02三线八角的定义和性质三线八角的定义七年级数学中三线八角是指由同一条直线上的三条线段或射线组成的八个角。

底角: 在三角形中，相邻两边之间的夹角小于90度，这个角叫做底角。

顶角: 在三角形中，相邻两边之间的夹角大于90度，这个角叫做顶角。

等角: 如果两个角的度数相等，那么这两个角叫做等角。

如果两个角是等角，那么它们所对的边也是相等的。

等角对等边 在两条平行线被第三条直线所截的情况下，内错角相等。

内错角相等 在两条平行线被第三条直线所截的情况下，同位角相等。

同位角相等 对顶角相等是指如果两个角是对顶角，那么它们的度数相等。

对顶角相等在几何证明中，三线八角是一种常见的几何图形，常常被用来进行各种几何证明。

在解决一些实际问题时，三线八角也常常被用来作为辅助线或者构造一些几何形状。

03基础概念和定理基础概念射线一个点沿着一定方向无限延伸形成的图形。

直线一个或多个点沿着一定路径无限延伸形成的图形。

线段两个点之间的距离形成的图形。

平行线永远不会相交的两条直线。

相交线两条直线或射线在同一点相遇形成的交点。

定理的证明和解读对顶角相等两个相交的直线或射线在形成两个角，这两个角互为对顶角，它们的大小相等。

三角形内角和为180度一个三角形内的三个角的度数之和等于180度。

四边形内角和为360度一个四边形内的四个角的度数之和等于360度。

定理的应用利用对顶角相等，可以证明两个角是否相等。

2018年中考数学学⼏何的关键点三线⼋⾓模型掌握了吗⼤家好我是张芙华⽼师【考点定位】三线⼋⾓模型是学⼏何的基础【难度系数】五星级必考【命题可能】五星级必考【精确解读】三线⼋⾓的定义（平⾏线与相交线的组合）在同⼀平⾯内，两条直线被⼀条直线相截所形成的⼋个⾓称为"三线⼋⾓"．⼋个⾓依照其相对位置有不同的名称(如右图)三线⼋⾓同位⾓:∠1和∠5、∠2和∠6、∠3和∠7、∠4和∠8相对位置相同，称为"同位⾓"．同位⾓的形状似字母F．两条横向的线如是平⾏线，则同位⾓度数相等．同⽅向错⾓:∠1和∠8、∠4和∠5、∠3和∠6、∠2和∠7在被截线同⽅向，但被截线错开，称为"同⽅向错⾓"．(有理论验证才可使⽤)．内错⾓:∠2和∠8、∠3和∠5相互交错，且均在内部，称为"内错⾓"．内错⾓的形状似字母Z．外错⾓:∠1和∠7、∠4和∠6相互交错，且均在外部，称为"外错⾓"．(有理论验证才可使⽤)．同旁内⾓:∠2和∠5、∠3和∠8在截线同旁，且均在内部，称为"同旁内⾓"．同旁内⾓的形状似字母U或同旁外⾓:∠1和∠6、∠4和∠7在截线同旁，且均在外部，称为"同旁外⾓"．同旁外⾓的形状似希腊字母π．(有理论验证才可使⽤)．两直线平⾏，同旁内⾓互补，同位⾓相等，内错⾓相等．【精准剖析】我们已经学习了对顶⾓、邻补⾓和“三线⼋⾓”，能够准确地识别这⼏种⾓，对我们以后的学习起着铺垫作⽤．识别“三线⼋⾓”中的两个⾓属于何种类别时可联想英⽂⼤写字母，即“F”形的为同位⾓，“Z”形的为内错⾓，“U”形的为同旁内⾓，每类⾓都有⼀个共同点，即：有两条边在截线上，另外两条边在被截直线上．三线⼋⾓被⼴泛⽤于三⾓形全等（相似）的证明，平⾏四边形的证明、特殊四边形（正⽅形、矩形、菱形）证明、以及梯形（等腰梯形）的证明中．中考综合⼏何证明题的复杂图形，都可以根据已知条件，将复杂的图形分解成最简单、最基础的“三线⼋⾓”来进⾏解决．更多中考数学解题技巧，命题规律，易错点睛请关注张⽼师⼀点号精品推荐⾼考数学黄⾦考点之集合命题规律和必考热点归纳中考数学模型解题2 掌握六种对称模型突破⼏何中的最值问题⾼考数学8个函数中的易错点很多学⽣不得⾼分的主要原因。

同位角、内错角、同旁内角知识讲解【学习目标】1.了解“三线八角”模型特征；2．掌握同位角、内错角、同旁内角的概念，并能从图形中识别它们．【要点梳理】要点一、同位角、内错角、同旁内角的概念1. “三线八角”模型如图，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图1.图1要点诠释：⑴两条直线AB,CD与同一条直线EF相交．⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成．2. 同位角、内错角、同旁内角的定义在“三线八角”中，如上图1，（1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.（2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角.（3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角.要点诠释：(1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角.(2)“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．要点二、同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征要点诠释：巧妙识别三线八角的两种方法：(1)巧记口诀来识别：一看三线，二找截线，三查位置来分辨.(2)借助方位来识别根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图2．【典型例题】类型一、“三线八角”模型1.(1)图3中，∠1、∠2由直线被直线所截而成．(2)图4中，AB为截线，∠D是否属于以AB为截线的三线八角图形中的角？【答案】(1) EF，CD； AB．（2）不是．【解析】（1）∠1、∠2两角共同的边所在的直线为截线，而另一边所在的直线为被截线．（2）因为∠D的两边都不在直线AB上，所以∠D不属于以AB为截线的三线八角图形中的角．【总结升华】判断“三线八角”的关键是找出哪两条直线是被截线，哪条直线是截线.类型二、同位角、内错角、同旁内角的辨别2.如图，(1)DE为截线,∠E与哪个角是同位角?(2)∠B与∠4是同旁内角，则截出这两个角的截线与被截线是哪些直线？(3)∠B和∠E是同位角吗?为什么?【答案与解析】解：（1）DE为截线,∠E与∠3是同位角；（2）截出这两个角的截线是直线BC,被截线是直线BF、DE；（3）不是,因为∠B与∠E的两边中任一边没有落在同一直线上,所以∠B和∠E不是同位角. 【总结升华】确定角的关系的方法：（1）先找出截线，由截线与其它线相交得到的角有哪几个；（2）将这几个角抽出来，观察分析它们的位置关系；（3）再取其它的线为截线，再抽取与该截线相关的角来分析.举一反三：【变式】（2016春•邹城市校级期中）如图所示，下列说法错误的是（）A．∠1和∠3是同位角B．∠1和∠5是同位角C．∠1和∠2是同旁内角D．∠5和∠6是内错角【答案】B解：从图上可以看出∠1和∠5不存在直接联系，而其它三个选项都符合各自角的定义，正确．3.（2014秋•太康县期末）如图，用数字标出的八个角中，同位角、内错角、同旁内角分别有哪些？请把它们一一写出来．【答案与解析】解：内错角：∠1与∠4，∠3与∠5，∠2与∠6，∠4与∠8；同旁内角：∠3与∠6，∠2与∠5，∠2与∠4，∠4与∠5；同位角：∠3与∠7，∠2与∠8，∠4与∠6．【总结升华】要分析各对角是由哪两条直线被哪一条直线所截的，可以把复杂图形按题目要求分解成简单的图形后，结论便一目了然.举一反三：【变式】如图∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中，哪些是同位角？哪些是内错角？哪些是同旁内角？【答案】解：同位角：∠5与∠1，∠4与∠3；内错角：∠2与∠3，∠4与∠1；同旁内角：∠4与∠2，∠5与∠3，∠5与∠4.4. 分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角.【答案与解析】解：同位角：∠B与∠ACD，∠B与∠ECD；内错角：∠A与∠ACD，∠A与∠ACE；同旁内角：∠B与∠ACB，∠A与∠B，∠A与∠ACB，∠B与∠BCE．【总结升华】在复杂图形中，分析同位角、内错角、同旁内角，应把图形分解成几个“两条直线与同一条直线相交”的图形，并抽取交点处的角来分析．举一反三：【变式】请写出图中的同位角、内错角、同旁内角．【答案】解：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8是同位角；∠2与∠8，∠3与∠5是内错角；∠2与∠5，∠3与∠8是同旁内角.类型三、同位角、内错角、同旁内角大小之间的关系5. 如图直线DE、BC被直线AB所截，(1)∠1和∠2、∠1和∠3、∠1和∠4各是什么角？每组中两角的大小关系如何？(2)如果∠1=∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？【答案与解析】解：(1)∠1和∠2是内错角；∠1和∠3是同旁内角；∠1和∠4是同位角．每组中两角的大小均不确定．(2) ∠1与∠2相等，∠1和∠3互补. 理由如下：①∵∠1=∠4（已知）∠4＝∠2（对顶角相等）∴∠1＝∠2.②∵∠4＋∠3＝180°(邻补角定义)∠1＝∠4(已知)∴∠1＋∠3＝180°即∠1和∠3互补.综上，如果∠1=∠4，那么∠1与∠2相等，∠1和∠3互补．【总结升华】在“三线八角”中，如果有一对同位角相等，则其他对同位角也分别相等，并且所有的内错角相等，所有同旁内角互补．举一反三：【变式1】若∠1与∠2是内错角，则它们之间的关系是 ( ) ．A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．∠1＝∠2或∠1＞∠2或∠1＜∠2 【答案】D【变式2】下列命题：①两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两条直线垂直；②两条直线相交，一角与其邻补角相等，则这两条直线垂直；③内错角相等，则它们的角平分线互相垂直；④同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直，其中正确的个数为（）．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C （提示：②④正确）．。

第一讲有关三线八角的几何证明一.三线八角模型两条直线被第三条直线所截，产生两个交点，形成了八个角（不可分的）：同位角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD的同侧，在第三条直线EF的同旁（即位置相同），这样的一对角叫做同位角；内错角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线 EF的两旁（即位置交错），这样的一对角叫做内错角；同旁内角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线 EF的同旁，这样的一对角叫做同旁内角；二.平行线判定定理：如果两条直线被第三条直线所截，形成的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，是否能证明这两条直线平行呢？两条直线被第三条直线所截，以下几种情况可以判定这两条直线平行:平行线判定定理1 :同位角相等，两直线平行如图所示，只要满足 1 = 2 （或者 3 ==8）,就可以说AB//CD平行线判定定理2 :内错角相等，两直线平行如图所示，只要满足 6 = 2 （或者 5 = 平行线判定定理4）,就可以说AB//CD3 :同旁内角互补，两直线平行如图所示，只要满足5+ 2 = 180 （或者 6+ 4 = 180 ）,就可以说 AB//CD是内错角 平行线判定定理4 :两条直线同时平行于第三条直线，两条直线平行 三•平行线的性质定理 两条直线平行，被第三条直线所截，其同位角，内错角，同旁内角有如下关系: 两直线平行，被第三条直线所截，同位角相等；两直线平行，被第三条直线所截，内错角相等两直线平行，被第三条直线所截，同旁内角互补。

概念巩固1.如图，下面结论正确的是（ ）A.是同位角 B.C.是同位角D. 是内错角2.如图，图中同旁内角的对数是（）4.如图，图中的内错角的对数是（）A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对3.如图，能与 构成同位角的有（ A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对⑴ ⑵5.如图（1）所示，同位角共有（）6 .下图中，/ 1和/2是同位角的是C.定理应用 7 •一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则两次拐弯的角度可以是（）A .第一次向右拐40。

三线八角、同位角、内错角、同旁内角
三线八角如图1，直线a、b被直线l所截构成八个角，简称“三线八角”.
同位角如图1，∠1与∠5都在截线l的同旁，又分别处在直线a、b相同一侧的位置，具有这样位置关系的一对角叫做同位角（corresponding angles）. 内错角∠2与∠8在截线l的两旁，又在直线a、b之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角（alternate interior angles）.
同旁内角∠2与∠5在截线l的同旁，并且这两个角在直线a、b之间，具有这样位置关系的一对角叫做同旁内角（interior angles on the same side）
★要点提示★
1.概念的理解：（1）这三类角都是成对出现的；（2）这三类角必须是两直线被第三条直线所截而成的；（3）每对角的顶点都不相同.
2.“三线八角”中，共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角.
3.位置特征：
（1）同位角成“F”形.
（2）内错角成“Z”形.
（3）同旁内角成“U”形.。

三线八角的题型及解答1. 什么是三线八角？三线八角是一种数学题型，常见于中小学的数学考试中。

它的名称源自题目的形状，由三条线段和八个角构成。

这种题型通常要求解答与几何形状相关的问题，涉及到线段长度、角度大小、面积计算等内容。

2. 常见的三线八角题型2.1 线段长度计算这种题型要求根据给定的条件计算出某条线段的长度。

常见的条件包括已知两点坐标、已知与其他线段之间的关系等。

示例题：已知平面直角坐标系中，点A(3,4)和点B(7,9)，求线段AB的长度。

解答：根据两点间距离公式可得：AB = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2) = √((7-3)^2 + (9-4)^2) = √(16 + 25) = √41 所以线段AB的长度为√41。

2.2 角度计算这种题型要求根据给定条件计算出某个角度的大小。

常见的条件包括已知两条直线之间的夹角、已知三个点的坐标等。

示例题：已知平面直角坐标系中，点A(3,4)、点B(7,9)和点C(1,8)，求∠ABC的大小。

解答：根据向量的内积公式可得：cos∠ABC = (AB·BC) / (|AB|·|BC|) 其中，AB = B - A = (7-3, 9-4) = (4, 5) BC = C - B = (1-7, 8-9) = (-6, -1) 所以，AB·BC = 4(-6) + 5(-1) = -24 - 5 = -29 |AB| = √(4^2 + 5^2) = √41 |BC| = √((-6)^2 + (-1)^2) = √37 代入公式计算可得：cos∠ABC ≈ -0.897 ∠ABC ≈ arccos(-0.897) ≈ 152.35° 所以∠ABC的大小约为152.35°。

2.3 面积计算这种题型要求根据给定条件计算出某个几何形状的面积。

常见的条件包括已知图形的边长、已知图形的高等。

示例题：已知平面直角坐标系中，正方形ABCD，顶点A(-2,-2)，边长为4，求正方形ABCD的面积。

同位角、内错角、同旁内角知识讲解【学习目标】1.了解“三线八角”模型特征；2．掌握同位角、内错角、同旁内角的概念，并能从图形中识别它们．【要点梳理】要点一、同位角、内错角、同旁内角的概念1. “三线八角”模型如图，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图1.图1要点诠释：⑴两条直线AB,CD与同一条直线EF相交．⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成．2. 同位角、内错角、同旁内角的定义在“三线八角”中，如上图1，（1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.（2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角.（3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角.要点诠释：(1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角.(2)“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．要点二、同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征要点诠释：巧妙识别三线八角的两种方法：(1)巧记口诀来识别：一看三线，二找截线，三查位置来分辨.(2)借助方位来识别根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图2．【典型例题】类型一、“三线八角”模型1.(1)图3中，∠1、∠2由直线被直线所截而成．(2)图4中，AB为截线，∠D是否属于以AB为截线的三线八角图形中的角？【答案】(1) EF，CD； AB．（2）不是．【解析】（1）∠1、∠2两角共同的边所在的直线为截线，而另一边所在的直线为被截线．（2）因为∠D的两边都不在直线AB上，所以∠D不属于以AB为截线的三线八角图形中的角．【总结升华】判断“三线八角”的关键是找出哪两条直线是被截线，哪条直线是截线.类型二、同位角、内错角、同旁内角的辨别2.如图，(1)DE为截线,∠E与哪个角是同位角?(2)∠B与∠4是同旁内角，则截出这两个角的截线与被截线是哪些直线？(3)∠B和∠E是同位角吗?为什么?【答案与解析】解：（1）DE为截线,∠E与∠3是同位角；（2）截出这两个角的截线是直线BC,被截线是直线BF、DE；（3）不是,因为∠B与∠E的两边中任一边没有落在同一直线上,所以∠B和∠E不是同位角. 【总结升华】确定角的关系的方法：（1）先找出截线，由截线与其它线相交得到的角有哪几个；（2）将这几个角抽出来，观察分析它们的位置关系；（3）再取其它的线为截线，再抽取与该截线相关的角来分析.举一反三：【变式】（2015•江干区一模）下列图形中，∠1和∠2不是同位角的是（）A．B．C．D．【答案】C解：选项A、B、D中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角；选项C中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角．3.（2014秋•太康县期末）如图，用数字标出的八个角中，同位角、内错角、同旁内角分别有哪些？请把它们一一写出来．【答案与解析】解：内错角：∠1与∠4，∠3与∠5，∠2与∠6，∠4与∠8；同旁内角：∠3与∠6，∠2与∠5，∠2与∠4，∠4与∠5；同位角：∠3与∠7，∠2与∠8，∠4与∠6．【总结升华】要分析各对角是由哪两条直线被哪一条直线所截的，可以把复杂图形按题目要求分解成简单的图形后，结论便一目了然.举一反三：【变式】如图∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中，哪些是同位角？哪些是内错角？哪些是同旁内角？【答案】解：同位角：∠5与∠1，∠4与∠3；内错角：∠2与∠3，∠4与∠1；同旁内角：∠4与∠2，∠5与∠3，∠5与∠4.【高清课堂：平行线及其判定403102三线八角练习（2）】4. 分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角.【答案与解析】解：同位角：∠B与∠ACD，∠B与∠ECD；内错角：∠A与∠ACD，∠A与∠ACE；同旁内角：∠B与∠ACB，∠A与∠B，∠A与∠ACB，∠B与∠BCE．【总结升华】在复杂图形中，分析同位角、内错角、同旁内角，应把图形分解成几个“两条直线与同一条直线相交”的图形，并抽取交点处的角来分析．举一反三：【变式】请写出图中的同位角、内错角、同旁内角．【答案】解：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8是同位角；∠2与∠8，∠3与∠5是内错角；∠2与∠5，∠3与∠8是同旁内角.类型三、同位角、内错角、同旁内角大小之间的关系5. 如图直线DE、BC被直线AB所截，(1)∠1和∠2、∠1和∠3、∠1和∠4各是什么角？每组中两角的大小关系如何？(2)如果∠1=∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？【答案与解析】解：(1)∠1和∠2是内错角；∠1和∠3是同旁内角；∠1和∠4是同位角．每组中两角的大小均不确定．(2) ∠1与∠2相等，∠1和∠3互补. 理由如下：①∵∠1=∠4（已知）∠4＝∠2（对顶角相等）∴∠1＝∠2.②∵∠4＋∠3＝180°(邻补角定义)∠1＝∠4(已知)∴∠1＋∠3＝180°即∠1和∠3互补.综上，如果∠1=∠4，那么∠1与∠2相等，∠1和∠3互补．【总结升华】在“三线八角”中，如果有一对同位角相等，则其他对同位角也分别相等，并且所有的内错角相等，所有同旁内角互补．举一反三：【变式1】若∠1与∠2是内错角，则它们之间的关系是 ( ) ．A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．∠1＝∠2或∠1＞∠2或∠1＜∠2 【答案】D【变式2】下列命题：①两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两条直线垂直；②两条直线相交，一角与其邻补角相等，则这两条直线垂直；③内错角相等，则它们的角平分线互相垂直；④同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直，其中正确的个数为（）．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C （提示：②④正确）．。

第02课同位角、内错角、同旁内角课程标准1.了解“三线八角”模型特征；2．掌握同位角、内错角、同旁内角的概念，并能从图形中识别它们．知识点01 同位角、内错角、同旁内角的概念1. “三线八角”模型如图，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图.注意：⑴两条直线AB,CD与同一条直线EF相交．⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成．2. 同位角、内错角、同旁内角的定义在“三线八角”中，如上图，(1)同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.(2)内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角.(3)同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角.注意：(1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角.目标导航知识精讲(2)“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．基本图形注意：巧妙识别三线八角的两种方法：(1)巧记口诀来识别：一看三线，二找截线，三查位置来分辨.(2)借助方位来识别根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图．与两直线的位置关系与截线的位置关系同位角两直线同侧截线的同旁内错角两直线之间截线两侧同旁内角两直线之间截线同侧知识点03 截线与被截线的判断判断截线与被截线的步骤：(1)找出两个角的边所在直线，得到三条直线；(2)公共直线即为截线，另外两条直线即为被截线；考法01 同位角的判断【典例1】如图，∠B的同位角可以是()A．∠1B．∠2C．∠3D．∠4【答案】D【分析】直接利用两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角，进而得出答案．【详解】∠B的同位角可以是：∠4．故选D．【点睛】此题主要考查了同位角的定义，正确把握定义是解题关键．【即学即练】如图，直线AB，CD被射线CE所截，与1构成同位角的是( )能力拓展A ．2∠B ．3∠C ．4∠D ．5∠【答案】D 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角． 【详解】解：直线AB ，CD 被射线CE 所截，与1∠构成同位角的是5∠， 故选D ． 【点睛】本题主要考查了同位角，记住同位角、内错角、同旁内角的定义及结构是解答此题的关键，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 【即学即练】下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是( )A ．②③B ．①②③C ．①②④D ．①④【答案】C 【分析】根据同位角的定义逐一判断即得答案． 【详解】图①中的∠1与∠2是同位角， 图②中的∠1与∠2是同位角， 图③中的∠1与∠2不是同位角， 图④中的∠1与∠2是同位角，所以在如图所示的四个图形中，图①②④中的∠1和∠2是同位角．【点睛】本题考查了同位角的定义，属于基础概念题型，熟知概念是关键．【即学即练】在下列四个图中，∠1与∠2是同位角的图是( )图① 图② 图③ 图④A．①②B．①③C．②③D．③④【答案】B【分析】根据同位角的特征：两条直线被第三条直线所截形成的角中，两个角都在两条被截直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，由此判断即可．【详解】①∠1 和∠2 是同位角；②∠1 的两边所在的直线没有任何一条和∠2 的两边所在的直线公共，∠1 和∠2 不是同位角；③∠1 和∠2 是同位角；④∠1 的两边所在的直线没有任何一条和∠2 的两边所在的直线公共，∠1 和∠2 不是同位角．故选B．【点睛】本题考查三线八角中的某两个角是不是同位角，同位角完全由两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别同位角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形．【即学即练】如图，四个图形中的∠1和∠2，不是同位角的是( )A．B．C．D．【答案】D要想成为同位角，两个角必须有一对边在同一条直线上，依据这一条件分析判断即可． 【详解】A 、∠1、∠2有一条边在一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角； C 、∠1、∠2有一条边在一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角； D 、∠1、∠2有一条边在一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角； D 、∠1、∠2的两条边都不在一条直线上，不是同位角； 故选：D 【点睛】本题考查同位角的定义，解题的关键是熟悉三线八角的位置关系．考法02 内错角的判断【典例2】如图,∠1的内错角是( )A ．∠2B ．∠3C ．∠4D ．∠5【答案】D 【详解】试题分析：根据内错角位于截线异侧，位于两条被截线之间可知∠1的内错角是∠5． 故选D ．点睛：本题考查了内错角的辨识，熟记内错角的概念是解决此题的关键． 【即学即练】如图，直线a b ，被直线c 所截，则4 的内错角是 ( )A ．∠1B ．∠2C ．∠3D ．∠4【答案】B 【分析】根据内错角的定义判断即可. 【详解】解：4∠的内错角是∠2. 故选择：B. 【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角等定义，能熟记内错角的定义是解此题的关键． 【即学即练】下列图形中1∠与2∠是内错角的是A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】A. <2与<1是内错角，故此选项正确；B. <2与<1的对顶角是内错角，故此选项错误；C. <2与<1 是同旁内角，故此选项错误；D. <2与<1的邻补角是内错角，故此选项错误； 故选A.点睛：本题主要考查的知识点为内错角，两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角.掌握内错角的定义是解答本题的关键. 【即学即练】如图，B 的内错角是( )A ．1∠B ．2∠C ．3∠D ．4∠【答案】A 【分析】根据内错角的定义判断即可； 【详解】解：A 、B 的内错角是1∠，故此选项符合题意；B 、B 与2∠是同旁内角，故此选项不合题意；C 、B 与3∠是同位角，故此选项不合题意；D 、B 与4∠不是内错角，故此选项不合题意； 答案：A ． 【点睛】本题主要考查了内错角的判定，准确分析判断是解题的关键． 【即学即练】如图，下列各组角是内错角( )A ．∠1和∠2B ．∠3和∠4C ．∠2和∠3D ．∠1和∠4【答案】B 【详解】A 、∠1和∠2不是内错角，故本选项错误；B 、∠3和∠4是内错角，故本选项正确；C 、∠2和∠3不是内错角，故本选项错误；D 、∠1和∠4不是内错角，故本选项错误， 故选B ．【点睛】本题考查了内错角，熟知内错角的定义以及位置特征是解题的关键. 【即学即练】如图，属于内错角的是( )A ．∠1和∠2B ．∠2和∠3C ．∠1和∠4D ．∠3和∠4【答案】D【详解】试题解析：A、∠1和∠2不是内错角，故本选项错误；B、∠2和∠3不是内错角，故本选项错误；C、∠1和∠4不是内错角，故本选项错误；D、∠3和∠4是内错角，故本选项正确；故选D．点睛：两条直线被第三条直线所截，不在同一个顶点的两个角中，如果在这两条直线之间，并且在第三条直线的两旁，这两个角就叫内错角．考法03 同旁内角的判断【典例3】下列图形中，1∠与2∠是同旁内角的是()A．B．C．D．【答案】A【分析】根据同旁内角的定义去判断【详解】∵A选项中的两个角，符合同旁内角的定义，∴选项A正确；∵B选项中的两个角，不符合同旁内角的定义，∴选项B错误；∵C选项中的两个角，不符合同旁内角的定义，∴选项C错误；∵D选项中的两个角，不符合同旁内角的定义，∴选项D错误；故选A．【点睛】本题考查了同旁内角的定义，结合图形准确判断是解题的关键．【即学即练】如图，2∠的同旁内角是( )A ．3∠B ．4∠C ．5∠D ．1∠【答案】B 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． 【详解】解：由图可得，∠2与∠4是BD 与EF 被AB 所截而成的同旁内角， ∴∠2的同旁内角是∠4， 故选B ． 【点睛】此题主要考查了同旁内角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．【即学即练】下列图形中，∠1和∠2是同旁内角的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】首先弄清各图中，∠1，∠2是哪两条直线被另一条直线所截形成的角；接下来根据互为同旁内角的两角的位置特点，进行判别即可.【详解】解：A.∠1，∠2在截线的同旁，夹在两条被截线之间，是同旁内角；B.∠1，∠2不是两条直线被第三条直线所截形成的角，谈不上是同位角，同旁内角，还是内错角；C.如图C，∠1，∠2在截线AE的同旁，两条被截线AB，EF同侧，是同位角；D.如图D，∠1是直线a，b相交形成的角，∠2是直线c，d相交形成的角，所以不是同旁内角(也不是同位角，更不是内错角).故选A.【点睛】本题考查了同位角、同旁内角、内错角，熟悉掌握定义是解题关键.【即学即练】如图，与∠1是同旁内角的是()A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5【答案】A【分析】根据同位角、内错角、同旁内角定义逐个判断即可．【详解】A.∠1和∠2，是同旁内角，故本选项正确；B.∠1和∠3是内错角，不是同旁内角，故本选项错误；C.∠1和∠4是同位角，不是同旁内角，故本选项错误；D.∠1和∠5不是同旁内角，故本选项错误；故选A.【点睛】考查同位角、内错角、同旁内角的定义，掌握它们的判断方法是解题的关键.【即学即练】如图，与∠α构成同旁内角的角有()A．1个B．2个C．5个D．4个【答案】C【详解】试题分析：根据题意可知与∠α构成同旁内角的角有如图5个．考点：三线八角点评：本题难度较低，主要考查学生对三线八角的掌握．分析这类题型是，主要抓住已知角两边与第三边相交的构成三线基础，为解题关键．【即学即练】如图，直线l与∠BAC的两边分别相交于点D、E，则图中是同旁内角的有()A．2对B．3对C．4对D．5对【答案】C【分析】根据同旁内角的定义依次【详解】解：直线AC与直线AB被直线l所截形成的同旁内角有：∠ADE与∠AED、∠CDE与∠BED；直线AC与直线DE被直线AB所截形成的同旁内角有：∠DAE与∠DEA；直线AB与直线DE被直线AC所截形成的同旁内角有：∠EAD与∠EDA；故选C．【点睛】此题主要考查同旁内角的定义，解题的关键是每条直线依次判断.【即学即练】下列选项中，∠5和∠6不是同旁内角的是( )A．B．C．D．【答案】B【分析】根据同旁内角的定义:两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角.进行解答【详解】A. ∠5和∠6是同旁内角,不合题意,故此选项错误.B.∠5和∠6不是同旁内角,符合题意,故此选项正确C.∠5和∠6是同旁内角,不合题意,故此选项错误D.∠5和∠6是同旁内角,不合题意,故此选项错误【点睛】本题考查同旁内角的定义,理解掌握同旁内角定义是解题关键考法04 角的判断【典例4】如图，两只手的食指和拇指在同一个平面内，它们构成的一对角可看成是( )A．同位角B．内错角C．对顶角D．同旁内角【答案】B【分析】图中两只手的食指和拇指构成”Z“形，根据内错角是在截线两旁，被截线之内的两角，内错角的边构成“Z” “形即可解答．【详解】两只手的食指和拇指在同一个平面内，它们构成的一对角可看成是内错角．故选B.【点睛】本题考查了内错角的定义，熟知内错角的定义是解决本题的关键．【即学即练】如图所示，下列说法不正确的是( )A．∠1和∠2是同旁内角B．∠1和∠3是对顶角C．∠3和∠4是同位角D．∠1和∠4是内错角【答案】A【分析】根据对顶角、邻补角、同位角、内错角定义判断即可．【详解】A. ∠1和∠2是邻补角，故此选项错误；B. ∠1和∠3是对顶角，此选项正确；C. ∠3和∠4是同位角，此选项正确；D. ∠1和∠4是内错角，此选项正确；故选A.【点睛】此题考查对顶角，邻补角，同位角，内错角，同旁内角，解题关键在于掌握各性质定义.【即学即练】如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法中错误的是()A．∠1与∠2是邻补角B．∠1与∠3是对顶角C．∠2与∠4是同位角D．∠3与∠4是内错角【答案】D【详解】解：∠3与∠4是同旁内角．故选：D【即学即练】如图，下列说法错误的是()A．∠A与∠EDC是同位角B．∠A与∠ABF是内错角C．∠A与∠ADC是同旁内角D．∠A与∠C是同旁内角【答案】D【详解】解：根据同位角的意义，可知∠A与∠EDC是同位角，故A不正确；根据内错角的意义，可知∠A与∠ABF是内错角，故B不正确；根据同旁内角的特点，可知∠A的同旁内角为∠ADC或∠ABC，故C不正确，D不是同旁内角，故正确．故选D．【点睛】本题考查两直线被第三条直线所截，同位角在截线的同侧，在被截线的同旁，同旁内角是在被截线之间，截线的同侧，内错角在被截线之间，截线的两侧．【即学即练】如图，下列说法错误的是()A．∠1与∠3是对顶角B．∠3与∠4是内错角C．∠2与∠6是同位角D．∠3与∠5是同旁内角【答案】C【分析】根据对顶角定义、内错角定义、同位角定义、同旁内角定义进行分析即可．【详解】A、∠1与∠3是对顶角，故A说法正确；B、∠3与∠4是内错角，故B说法正确；C、∠2与∠6不是同位角，故C说法错误；D、∠3与∠5是同旁内角，故D说法正确；故选：C．【点睛】本题考查对顶角、内错角、同位角和同旁内角的定义，掌握其定义是选择本题答案的关键．、被AC所截，下列说法，正确的有( )【即学即练】如图，直线AB BE①1∠与2∠是同旁内角；②1∠是内错角；∠与ACE③B与4∠是同位角；∠是内错角．④1∠与3A．①③④B．③④C．①②④D．①②③④【答案】D【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义可直接得到答案．【详解】解：①1∠与2∠是同旁内角，说法正确；②1∠是内错角，说法正确；∠与ACE③B与4∠是同位角，说法正确；∠是内错角说法正确，④1∠与3故选：D．【点睛】此题主要考查了三线八角，在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F” 形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．【即学即练】如图所示，下列结论中正确的是( )A．∠1和∠2是同位角B．∠1和∠4是内错角C．∠2和∠3是同旁内角D．∠3和∠4是对顶角【答案】C【分析】根据同位角，内错角，同旁内角以及对顶角的定义进行解答．【详解】解：A、∠1和∠2是同旁内角，故本选项错误；B、∠1和∠4是同位角，故本选项错误；C、∠2和∠3是同旁内角，故本选项正确；D、∠3和∠4是邻补角，故本选项错误；故选：C．【点睛】考查了同位角，内错角，同旁内角以及对顶角的定义．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．【即学即练】如图，下列判断中，正确的是( )A．∠2和∠4是同位角B．∠1和∠B是内错角C．∠3和∠5是同旁内角D．∠5和∠B是同旁内角【答案】D【分析】根据三线八角的相关定义逐个判断，同位角在截线的同侧，在被截线的同一方向上，内错角在截线的两侧，在被截线的内侧，同旁内角在截线的同侧，在被截线的内侧.A、∠2和∠4无关系；B、∠1和∠B无关系；C、∠3和∠5是内错角；D、∠5和∠B是同旁内角，正确，故选D.【点睛】熟记三线八角的相关定义是解题关键.考法05 截线与被截线的判断【典例5】如图，直线AB，CD与EF相交．(1)图中∠1和∠2分别在直线AB，CD的同_______，并且都在直线EF的_____，具有这样位置关系的一对角叫做______；(2)图中∠2和∠8都在直线AB，CD____，并且分别在直线EF的___，具有这样位置关系的一对角叫做_____；(3)图中∠2和∠7都在直线AB，CD____，且都在直线EF的____，具有这样位置关系的一对角叫做______．【答案】(1) 同一方(或上方)，同侧(或右侧)，同位角；(2)之间，两侧，内错角；(3)之间，同一旁(或右侧)，同旁内角．【解析】【分析】(1)根据同位角的定义进行解答即可。

初中数学模型汇总(1)三线八角是一个几何图形的分类方法，其中包括锯齿型、鹰嘴型、铅笔头型等几种模型。

这些模型有着不同的特点和应用方法。

锯齿型模型可以通过找到同位角、F型内错角、Z型同旁内角和U型拐角模型来计算。

其中，左和等于右和。

鹰嘴型模型可以通过找到鹰嘴角和小角等于大角来计算。

铅笔头型模型可以通过找到等积变换模型来计算。

其中，△ACD = △BCD。

八字模型可以通过找到AD+BC＞AB+CD来计算。

飞镖模型可以通过找到AB+AC＞BD+CD来计算。

内内角平分线模型和内外角平分线模型可以用于角分线构造和轴对称构造。

外外角平分线模型可以用于构造平行线和等腰模型。

倍长中线模型可以用于构造等腰三角形和等边三角形。

角分线构造全等模型可以用于构造轴对称三垂模型和手拉手模型。

半角模型可以用于证明EF=AE+CF，EF=BE+DF和DE2=BD2+CE2.将军饮马模型可以用于寻找周长最小的四边形、五边形和六边形。

费马点模型可以用于寻找费马点到三角形三顶点距离和最短。

中位线模型和斜边中线模型可以用于构造中位线和等腰模型。

平移造全等模型是几何学中常用的一种构造方法。

通过平移，可以将一个图形移动到另一个位置，使得两个图形完全重合，从而构造出全等的图形。

这种方法通常用于解决几何问题，例如构造平四、等腰直角三角形等。

旋转构造全等模型也是一种常用的构造方法。

通过旋转，可以将一个图形旋转到另一个位置，使得两个图形完全重合，从而构造出全等的图形。

这种方法通常用于解决几何问题，例如构造等腰三角形、等边三角形、正方形等。

对称构造全等模型是一种常用的构造方法。

通过对称，可以将一个图形对称到另一个位置，使得两个图形完全重合，从而构造出全等的图形。

这种方法通常用于解决几何问题，例如构造对称图形、对称半角模型等。

射影定理模型是一种常用的相似模型。

通过射影定理，可以求出两个图形之间的相似比例，从而构造出相似的图形。

这种方法通常用于解决几何问题，例如构造相似三角形、相似四边形等。