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导数与微分

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导数公式微分公式和积分公式的比较

导数公式微分公式和积分公式的比较

导数公式微分公式和积分公式的比较导数、微分和积分是微积分中的三个重要概念，它们在数学和其他科学领域中有着广泛的应用。

本文将对导数公式、微分公式和积分公式进行比较，并介绍它们的定义、性质以及应用。

一、导数公式：导数是研究函数变化率的工具，用于描述函数在其中一点的瞬时变化情况。

在微积分中，导数是函数的斜率，表示函数在其中一点处的瞬时变化率。

导数可以通过极限的概念进行定义，常用的导数公式包括：1.基本求导公式：导数的定义是函数值变化的极限比率，基本求导公式给出了一些基本函数的导数公式，如：常数函数的导数为0；幂函数的导数是该幂次减1倍的幂函数；指数函数、对数函数等的导数公式。

2.链式法则：当一个函数是由两个函数相互嵌套而成时，可以利用链式法则求导。

链式法则给出了复合函数导数的计算方法，即外函数对内函数的导数乘以内函数对自变量的导数。

3.高阶导数：导数不仅可以计算一次，还可以计算多次，当导函数再次求导时，得到的导函数叫做函数的二阶导数。

高阶导数的概念可以一直推广下去。

二、微分公式：微分是研究函数在其中一点附近的近似变化的工具，微分公式是一种通过求函数的导数来描述函数的微小变化量的方法。

微分可以用于近似计算和最优化问题，常用的微分公式有：1.微分的定义：微分可以通过导数的概念进行定义，即函数在其中一点的微分是函数在该点的导数与自变量的微小变化量之积。

2.差分：微分可以理解为函数在其中一点附近的线性逼近，差分是微分的离散形式，通过求函数在两点间的斜率来近似描述函数的变化。

3.微分的性质：微分具有线性性质，即函数的和/差的微分等于函数的和/差的微分；函数的常数倍的微分等于该常数倍的函数的微分。

三、积分公式：积分是函数曲线下面积的计算工具，可以用于计算函数的总体积、质量、能量等。

积分公式是一种描述函数曲线下面积计算方法的公式，常用的积分公式有：1.不定积分和定积分：不定积分是通过求导函数来确定的，定积分是通过求曲线在一定区间上的面积来确定的。

高等数学 第二章 导数与微分

高等数学 第二章 导数与微分

（2）算比值： y f (x x) f (x) ．
x
x
（3）求极限： f (x) lim y lim f (x x) f (x) ．
x x0
x0
x
四、函数可导性与连续性的关系
定理 如果函数 y f (x) 在点 x0 处可导，则函数 y f (x) 在点 x0 处一定连续． 如果函数 f (x) 在点 x0 处连续，则函数 f (x) 在点 x0 处不一定可导．
第二章
导数与微分
导学
我们在解决实际问题时，除了需要确定变量之间的函数关系外，有时 还需要研究函数相对于自变量变化的快慢程度，即函数的变化率，以及当 自变量发生微小变化时函数的近似改变量，这两个问题就是我们本章所要 讨论的主要内容——导数与微分．
第一节
导数的概念
一、导数的定义
设某物体在数轴上做变速直线运动，运动方程为 s s(t) ，现在求该物体在 t0 时刻的瞬时速度 v(t0 ) ．
当
u
C （C
为常数）时，有
C v
Cv v2
．
二、反函数的求导法则
定理 2 如果函数 x f ( y) 在区间 I y 内单调、可导且 f ( y) 0 ，那么它的反函数 y f 1(x) 在
区间 Ix {x | x f ( y) ，y I y} 内也可导，且有
[ f 1(x)] 1 或 dy 1 ．
当时间 t 由 t0 变到 t0 t 时，物体的路程 s(t) 由 s(t0 ) 变到 s(t0 t) ，
路程的增量 s 为 s s(t0 +t) s(t0 ) ，
物体在
t0
到 t0
t
这段时间内的平均速度为
v
s t

导数 微分 积分的区别

导数 微分 积分的区别

导数微分积分的区别
导数和微分实质一样，但表达形式的不同，y等于fx为导数表达形式，而dy等于fx乘dx为微分表达形式。

导数是特殊情况下的极限，即导数是在极限的基础上进行研究。

积分和导数，可以理解为逆运算，积分是知道导数求原函数，导数是知道原函数求导数。

1、导数，曲线某点的导数就是该点切线的斜率，在物理学里体现了是瞬时速度，二阶导数则是加速度。

这个是由牛顿提出并研究的方向。

2、微分，也就是把函数分成无限小的部分，当曲线无限的被缩小后，可以近似当作直线对待，微分也就能表示为导数与dx的乘积。

这个是莱布尼兹提出并研究的方向。

3、积分，定积分就是求曲线与x轴所夹的面积；不定积
分就是该面积满足的方程式,因此后者是求定积分的一种手段，本质上来说，不定积分就是变限的定积分。

导数与微分的区别与联系

导数与微分的区别与联系

导数与微分的区别与联系
(1)起源(定义)不同：导数起源是函数值随自变量增量的变化率，即厶y/ △ x的极限•微分起源于微量分析，如厶y可分解成A A x与0( △ x)两部分之和，其线性主部称微分•当△ x很小时，△ y的数值大小主要由微分A A x 决定,而0( △ x)对其大小的影响是很小的.
⑵几何意义不同：导数的值是该点处切线的斜率，微分的值是沿切线方向上纵坐标的增量，而厶y则是沿曲线方向上纵坐标的增量.可参考任何一本教材的图形理解.
⑶联系：导数是微分之商(微商)y' =dy/dx,微分dy=f(x)dx,这里公式本身也体现了它们的区别.
(4)关系：对一元函数而言，可导必可微,可微必可导.
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第二章 导数与微分

第二章 导数与微分
Δy=2×10×0.001+0.0012=0.020 001.
由此可见,当|Δx|很小时,(Δx)^2的作用非常小,可以忽略不计 因此,函数y=x^2在x0有微小改变量Δx时,函数的改变量Δy约为 2x0·Δx, Δy≈2x0·Δx.
从图2-3中不难看出,Δy表示的是以x0为边长的正方形外围 的阴影部分面积,它为图示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ部分面积之和 2(x0·Δx)+(Δx)2，显然当|Δx|相对于x0很小时，(Δx)^2是微乎其 微的. 当f(x)=x2时，f′(x0)=2x0，因此Δy≈2x0·Δx可以写成 Δy≈f′(x0)·Δx. 由于f′(x0)·Δx是Δx的线性函数，所以通常把 f′(x0)·Δx叫做Δy的线性主部.
一般地，对于给定的可导函数y=f(x)，当自变量在x0处有 微小的改变量Δx时，函数值y的改变量Δy可用下式近似计算， 即
已知曲线方程y=f(x)，可以求过曲线上点M(x0，y0)处的 切线斜率.在M点的附近取点N(x0+Δx，y0+Δy)，其中Δx可正 可负，作割线MN，其斜率为(φ为倾斜角) tanφ=Δy/Δx=[f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx.当Δx→0时，割线MN将绕着 点M转动到极限位置MT,如图2-2所示.根据上面切线的定义， 直线MT就是曲线y=f(x)在点M处的切线.自然，割线MN的斜 率tanφ的极限就是切线MT的斜率tanα(α是切线MT的倾斜角).
以上两个问题，虽然它们所代表的具体内容不同，但从 数量上看，它们有共同的本质：都是计算当自变量的增量趋 于零时，函数的增量与自变量的增量之比的极限.在自然科学 、工程技术问题和经济管理中，还有许多非均匀变化的问题 ，也都可归结为这种形式的极限.因此，抽去这些问题的不同 的实际意义，只考虑它们的共同性质，就可得出函数的导数 定义.

导数微积分公式大全

导数微积分公式大全
【导数】 注：【】里面是次方的意思 （1）常数的导数： （c）′＝ 0 （2）x 的 α 次幂： ╭ 【α】╮′ 【α － 1】 │ｘ │ ＝ αｘ ╰ ╯ （3）指数类： ╭ 【x】╮′ 【x】
1
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

高二数学《导数与微分》知识点概述

高二数学《导数与微分》知识点概述

高二数学《导数与微分》知识点概述导数与微分是高二数学学科中的重要内容，对于学生来说，掌握这些知识点不仅能够帮助他们理解数学的基本概念，还能够为后续学习奠定坚实的基础。

第一部分：导数的概念及性质导数作为微积分的重要概念之一，其本质是函数在某点处的变化率。

导数的定义是通过极限的方法得到的，即函数在一点处的导数等于函数在该点附近变化最快的直线的斜率。

导数的性质主要有如下几个方面：1. 导数的存在性和唯一性：对于任意一个函数，只要它在某一点上可导，那么它在该点上的导数就是唯一确定的。

2. 导数的几何意义：导数可以理解为函数曲线在某一点处的切线斜率，因此导数的大小与斜率的大小成正比。

3. 导数与函数的关系：如果一个函数在某点处可导，则该函数在该点的导数可以作为函数的局部性质的判断标准，如函数的增减性、极值点等。

第二部分：导数的计算方法为了更好地应用导数的概念解决实际问题，在计算导数时，我们可以根据导数的定义以及一些基本的导数性质来进行计算。

下面是一些常见的导数计算方法：1. 常数函数的导数：常数函数的导数为0，即导数与自变量无关。

2. 幂函数的导数：对于幂函数$x^n$，它的导数为$nx^{n-1}$。

3. 反比例函数的导数：反比例函数$y=\frac{1}{x}$的导数为$y'=-\frac{1}{x^2}$。

4. 指数函数的导数：自然对数函数$y=e^x$的导数为$y'=e^x$。

5. 对数函数的导数：自然对数函数的逆函数$y=\ln x$的导数为$y'=\frac{1}{x}$。

第三部分：微分的概念及应用微分是导数的一个重要应用，它包含了更多的几何和物理背景。

微分的概念是函数在某点局部的线性近似，同时也可以理解为函数值的微小变化量。

微分的性质和计算方法与导数类似。

微分的应用广泛，尤其在物理学和工程学中有着重要的地位。

比如在速度和加速度的分析中，微分可以帮助我们计算物体在某一瞬间的速度和加速度。

导数与微分互为逆运算

导数与微分互为逆运算

导数与微分互为逆运算
在高等数学中，微积分和求导数是一对相关联的基本概念。

求导
数指的是求函数在某一点处的斜率，即在此点处函数变化速率；而微
积分则是用几何或者分析方法去研究函数的变化规律。

它们之间有着
密切的关系。

微分和导数可以互相转换，也就是说，可以用求导数的方法求出
微分，也可以利用微分的公式求出导数，而且微分和导数互为逆运算，可以彼此抵消。

我们可以用实际例子来解释，如果现在有一个函数
y=f(x)，此时这个函数的一阶导数是多少，用微分运算即可求出导数，做法是：在函数中，把f(x)按x进行展开变化，然后把相应的函数项
积分，最后得到f(x)的微分。

由此可见，微分和导数依存于同一个基
础函数当中，所以彼此之间可以互抵消，即完成了微分和导数的互为
逆运算。

另一方面，微分和导数的关系还体现在对称性上。

假设现在有一
个函数，当把函数的自变量变为原来的相反数时，函数中的峰和谷就
会发生变化。

我们在这种情况下，利用微分和求导数，可以把原函数
中新变得的峰和谷还原回去，这也证明了，微分和求导数互为逆运算。

总之，求导数和微分是高等数学的基本概念，它们之间有着密切
的关系，可以完成互相转换，进而互为逆运算，使得通过求导数或者
微分，可以研究函数在某一点处的斜率，并且能够分析函数变化规律。

导数与微分的意义

导数与微分的意义

导数与微分是微积分中的重要概念，它们不仅具有理论意义，还有实际应用意义。

导数表示了函数在某一点上的变化率，而微分则是导数的一种具体表示方式。

导数与微分的意义是深远的，它们在物理、经济学、工程等多个领域有着广泛的应用。

首先，导数与微分在物理学中有着重要的地位。

物理学中的许多基本规律和方程都可由导数与微分得到。

例如，牛顿第二定律 F=ma 中的加速度 a 就是速度v 对时间 t 的导数，位移 x 对时间的导数则是速度。

导数描述了物体在空间和时间上的变化规律，其在描述运动、力学以及连续媒介中的传热、传质等问题都发挥着关键作用。

而微分方程则是描述物理学中许多重要问题的数学工具，它能够通过微分运算将复杂的物理问题转化为可以求解的数学问题，例如描述弹簧振子、电路中的电流变化等问题。

因此，导数与微分对于理解和研究物理学中的运动、变化以及相互关系具有不可替代的意义。

其次，导数与微分在经济学中也具有重要意义。

经济学研究的对象是人们在资源有限的条件下作出的决策和行为，而这些决策和行为往往涉及到效率、边际成本等概念。

导数和微分在经济学中常被用于分析边际效应。

例如，在微观经济学中，家庭的消费行为通常涉及到效用最大化问题，而效用函数的边际效应正是通过导数和微分来描述的。

又如，企业的生产决策往往涉及到边际成本和边际效益的平衡，导数和微分在分析企业的最优生产决策时发挥着重要的作用。

在宏观经济学中，导数和微分也被广泛应用于经济指标的研究，例如国内生产总值、就业率等指标的增长率即是导数的一种具体表示，而指标的波动则可以通过微分运算来描述。

因此，导数与微分对于经济学的研究和实践都具有不可或缺的意义。

最后，导数与微分在工程学中也有着广泛的应用。

工程学研究的重点是设计和优化问题，而这些问题的解决离不开对变化率的分析与理解。

例如，在控制工程中，需要对系统的响应进行分析和控制。

导数和微分可以帮助工程师了解系统的动态性能、稳定性以及抗干扰能力，从而进行优化设计。

微分和导数

微分和导数

微分和导数
区别：导数和微分的区别一个是比值、一个是增量。

1、导数是函数图像在某一点处的斜率，也就是纵坐标增量（△y）和横坐标增量（△x）在△x-->0时的比值。

2、微分是指函数图像在某一点处的切线在横坐标取得增量△x以后，纵坐标取得的增量，一般表示为dy。

导数：
导数，也叫导函数值。

又名微商，是微积分中的重要基础概念。

当函数y-f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量△x时，函数输出值的增量△y与自变量增量△x的比值在△x趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx。

微分：
微分在数学中的定义∶由函数B=f（A），得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。

微分是函数改变量的线性主要部分。

微积分的基本概念之一。

微分导数积分的区别与联系

微分导数积分的区别与联系

微分导数积分的区别与联系微分、导数、积分都是微积分的基本概念，它们是互相关联的。

微分和导数是一对概念，积分和微分则是互逆的操作。

下面我就详细介绍微分、导数和积分的区别和联系。

一、微分和导数的区别与联系微分和导数是密切相关的两个概念。

微分属于导数的一种运算方法，可以说微分是导数的一种表现形式。

微分描述了函数在某一点附近的变化情况，是函数值的增量与自变量的增量之比的极限，可以看作是一个过程。

微分常用“dy”来表示，表示函数y=f(x)在某一点x处的微小变化量。

微分的物理意义是函数f(x)在x处的切线的斜率，即函数f(x)在x处的导数。

导数描述了函数在整个定义域上的变化规律，是一个函数。

导数可以看作是微分的结果，是微分的极限。

导数常用“f'(x)”或“df(x)/dx”来表示，表示函数y=f(x)的导数。

微分和导数的关系可以用下面的式子来表示：dy=f'(x)dx二、积分和微分的区别与联系积分和微分是微积分中的两个重要概念，也是微分方程的基本工具。

1.区别：积分是微分的逆运算，它描述了曲线下某一区间的累计性质。

积分可以看作是将一个函数变成另一个函数的一个过程，它反映了曲线下的面积、容积等的大小。

积分常用符号“∫”表示。

微分是为了求解导数而发展起来的概念，它描述了函数在某一点附近的变化情况。

微分可以看作是一个过程，它表示了函数值的微小变化量。

微分常用符号“d”表示。

2.联系：微分和积分之间存在一种联系，即微分和积分是互逆的操作。

对一个函数进行积分然后再对积分结果进行微分，可以得到原函数。

这个关系可以用下面的式子来表示：∫(d/dx)f(x)dx = f(x) + C其中，C为积分常数。

三、微分、导数和积分的联系微分、导数和积分是紧密联系的三个概念，它们在微积分中有着重要的地位，相互之间相互依存着。

1.微分和导数的联系：微分是导数的一种表现形式，导数是微分的极限。

微分描述了函数在某一点附近的变化情况，是函数值的增量与自变量的增量之比的极限。

导数和微分的定义

导数和微分的定义

则 f ( x) 在点 x0 可导, 且 f '( x0 ) a.
例6. 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
解 f (0 x) f (0) x ,
x
x
lim f (0 x) f (0) lim x 1,
x0
x
h0 x
lim
f (0 x) f (0)
lim
x
1.
在 M 点处旳切线
割线 M N 旳极限位置 M T
(当
时)
切线 MT 旳斜率
o
y f (x)
N
CM
T
x0 x x
lim tan
割线 M N 旳斜率 tan
f (x) f (x0 ) x x0
k
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
瞬时速度 切线斜率
f (t0 )
o t0
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A x2 , 当 x 在 x0 取
得增量x 时, 面积旳增量为
x x0x (x)2
有关△x 旳 x 0 时为
线性主部 高阶无穷小
x0 A x02
x0x
故
称为函数在 x0 旳微分
定义: 若函数
在点 x0 旳增量可表达为 Ax o(x)
( A 为不依赖于△x 旳常数)
3. 导数旳几何意义: 切线旳斜率;
4. 可导必连续, 但连续不一定可导;
5. 已学求导公式 :
(C) 0;
(ln x) 1
(cos x) sin x ;
x
不连续, 一定不可导. 6. 判断可导性 直接用导数定义;
看左右导数是否存在且相等.

微分和导数的区别

微分和导数的区别
使得当 |x-xo|<δ时，，|f(x)-A|<ε成立，那么称A是函数f(x)在x0处的极限。
(1)起源（定义）不同：导数起源是函数值随自变量增量的变化率，即△y/△x的极限。
微分起源于微量分析，如△y可分解成A△x与o(△x)两部分之和，其线性主部称微分。
当△x很小时，△y的数值大小主要由微分A△x决定，而o(△x)对其大小的影响是很小的。
(2)几何意义不同：导数的值是该点处切线的斜率，微分的值是沿切线方向上纵坐标的增量，
|xn-a|<ε成立，那么称a是数列{xn}的极限。
函数极限标准定义：设函数f(x),|x|大于某一正数时有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，
总存在正整数X，使得当x>X时，|f(x)-A|<ε成立，那么称A是函数f(x)在无穷大处的极限。
设函数f(x)在x0处的某一去心邻域内有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正数δ，
而△y则是沿曲线方向上纵坐标的增量。
可参ห้องสมุดไป่ตู้任何一本教材的图形理解。
(3)联系：导数是微分之商（微商）y' =dy/dx, 微分dy=f'(x)dx，这里公式本身也体现了它们的区别。
(4)关系：对一元函数而言，可导必可微，可微必可导。
数列极限标准定义：对数列{xn}，若存在常数a，对于任意ε>0，总存在正整数N，使得当n>N时，

第二章 导数与微分

第二章 导数与微分

例4
求自由落体运动 s
=
1 2
gt 2
在时刻 t0
的瞬时速度 v(t0 )
.
解
Δs
=
1 2
g (t0
+
Δt)2
−
1 2
gt02
=
gt0Δt
+
1 2
g (Δt )2
Δs Δt
=
gt0Δt
+ 1 g (Δt )2
2 Δt
=
gt0
+
1 2
gΔt
lim
Δt → 0
Δs Δt
=
lim
Δt → 0
(
g
t
0
+
1 2
也随着变动而趋向于极限位置，即直线 M0T .称直线 M0T 为曲线 y = f (x) 在定点
29
M0 处的切线.显然，此时倾角ϕ 趋向于切线 M 0T 的倾角α ，即切线 M 0T 的斜率
为
tan α = lim tanϕ = lim Δy = lim f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) .
lim Δy = lim (2x + Δx) = 2x
Δx Δx→0
Δx→0
y′ = ( x2 )′ = 2x .
同理可得 (xn )′ = nxn−1 （ n 为正整数）
例 6 求 y = sin x 的导函数.
解 Δy = sin ( x + Δx) − sin x = 2 cos(x + Δx ) ⋅ sin Δx
d f (x)
dx
x= x0
这时称函数 y = f (x0 ) 在点 x0 处是可导的函数.

求导和微分的关系

求导和微分的关系

求导和微分的关系
微分是一种方法,就是取对象的微小变量或微元来处理数学问题,而导数是微元式的极限,所以数学上分别用符号⊿x和dx区分两者。

导数的定义式很好的说明了两者的关系,例如df/dx=lim{⊿f/⊿x}=lim{fx+⊿x-fx/⊿x} 表达式⊿f/⊿x,就是对函数fx在x处取微
元⊿x和⊿f,来计算斜率,而当⊿x趋近于0时,⊿f/⊿x的极限就定义为导数。

微分应用：
1、我们知道，曲线上一点的法线和那一点的切线互相垂直，微分可以求出切线的斜率，自然也可以求出法线的斜率。

2、假设函数y=fx的图象为曲线，且曲线上有一点x1,y1，那么根据切线斜率的求法，就可以得出该点切线的斜率m：m=dy/dx在x1,y1的值，所以该切线的方程式为：y-
y1=mx-x1。

由于法线与切线互相垂直，法线的斜率为-1/m且它的方程式为：y-y1=-1/mx-
x1
3、增函数与减函数
微分是一个鉴别函数（在指定定义域内）为增函数或减函数的有效方法。

鉴别方法：dy/dx与0进行比较，dy/dx大于0时，说明dx增加为正值时，dy增加为正值，所以函数为增函数；dy/dx小于0时，说明dx增加为正值时，dy增加为负值，所
以函数为减函数。

4、变化的速率
微分在日常生活中的应用，就是求出非线性变化中某一时间点特定指标的变化。

在t=3时，我们想知道此时水加入的速率，于是我们算出dV/dt=2/t+1^2，代入t=3
后得出dV/dt=1/8。

感谢您的阅读，祝您生活愉快。

导数与函数的微分与积分

导数与函数的微分与积分

导数与函数的微分与积分导数、微分和积分是微积分中三个重要的概念，它们在数学和物理学等领域中有广泛的应用。

在本文中，我们将详细介绍导数的定义与性质，以及函数的微分和积分的概念。

一、导数的定义与性质1. 导数的定义：对于函数f(x)，在某一点x处的导数可以定义为该点处的函数值的变化率。

数学上可以表示为f'(x)，即f(x)对x的导数。

2. 导数的几何意义：导数可以理解为函数图像在某一点处的切线斜率。

当函数的导数为正数时，表示函数递增；当导数为负数时，表示函数递减；导数为零时，表示函数取得极值。

3. 导数的计算方法：常见函数的导数计算可以通过一些基本的求导法则来进行。

例如，常数函数的导数为零，幂函数的导数可以利用幂函数的导数规则来计算。

4. 导数的性质：导数具有一系列的性质。

例如，导数与函数的和、差、乘积和商都有相应的运算规则，可以简化导数的计算过程。

二、函数的微分1. 函数的微分概念：函数的微分可以理解为函数在某一点附近的局部线性逼近。

微分可以通过导数来计算，即函数在某一点处的导数即为其微分。

2. 微分的计算方法：对于给定的函数f(x)，在某一点x处的微分可以通过求导得到。

微分可以表示为df(x)，即函数f(x)在x处的微分。

3. 微分的应用：微分在实际问题中有广泛应用。

例如，在物理学中，速度的定义为位移对时间的微分；在经济学中，边际成本的概念可以通过微分来解释。

三、函数的积分1. 函数的不定积分：函数的不定积分可以理解为给定函数的原函数。

不定积分可以用符号∫来表示，即∫f(x)dx，表示对函数f(x)关于x的积分。

2. 不定积分的计算方法：不定积分可以通过一些基本的积分公式和积分法来进行计算。

例如，幂函数的积分可以通过幂函数的积分公式来计算。

3. 定积分的概念与计算：定积分可以理解为给定区间上函数的面积或曲线长度等。

定积分可以用符号∫[a,b]f(x)dx来表示，表示对函数f(x)在[a,b]区间上的积分。

高等数学导数、微分、不定积分公式

高等数学导数、微分、不定积分公式

高等数学导数、微分、不定积分公式一、基本导数公式：'k1. kx2. x n'nx n 13. a x 'a x ln a4. e x'xe5. log a x'1 x ln a'16. ln x x'cos x7. sin x8. cosx'sin x'9. tan x sec2 x'csc2 x 10. cot11. secx 'secx tan x12. cscx'csc x cot x'113. arcsin x1x2'1 14. arccosx1 x2'115. arctan x1x2'1 16. arc cot1x2二、基本微分公式：1.d kx k2.d x n nx n 1dx3.d a x a x ln adx4.d e x e x dx5.d ln x1dxx6.d1dxlog a xx ln a7.d sin x cosxdx8.d cosx sin xdx9.d tan x sec2 xdx10.d cot x csc2 xdx11.d secx secx tan xdx12.d cscx cscxcot xdx13.d arcsinx1dxx2114.d arccosx1dx1x215.d1dxarctanxx21116.d arc cot x2 dxx1- 1 -高等数学导数、微分、不定积分公式三、不定积分基本公式：1.kdxkxc2.x ndxx n 1cn 13. e x dxe xc4.a x dxax1 cln a5.1dxln | x |cx6. sin xdxcosxc7.cos xdxsin xc8. tan xdxln | cosx | c9.cot xdxln |sin x |c10. cscxdxln |cscxcot x | c11. secxdxln |secxtan x |c12.1dxcsc 2xdxcot xcsin 2x13.1dx2tan xc2sec xdxcos x114.1 x 2dxarctanxc15.1dxarcsin xc1x216.secx tan xdxsecxc17.cscx cot xdxcscxc18.dx 1arctan xcx 2a2aa19.dx 1ln |xa |cx 2a22axa20.dxarcsin xca 2x 2a21.dxln | xx 2a 2|cx2a222.dxln | xx2a2|cx 2a 2xdx12cx12xx 2dx2ln 1 xc21x 2dx1x 3c12 dxarctan xc3112 dx1xcxx- 2 -高等数学导数、微分、不定积分公式四、特殊的三角函数值：030°45°60°90°sin x01231222cosx13210 222tan x0313无3cot x无31303五、三角函数的和差化积公式：sin sin2sin cos22sin sin2cos.sin22 cos cos2cos.cos22 cos cos2sin.sin22六、三角函数的积化和差公式：sin cos 1sin sin 2cos sin 1sin sin 2cos cos 1cos cos 2sin sin 1cos cos 2幂的公式 :sin 21cos2a2cos21cos 22七、万能公式：令 tanxt则 x=2arctantd x2 d t2 1 t 2x x2sinxcosx2 tanx2t222 sin2sin cos2 2 x 2 x 2 x 1 t 22sin12cos tan222x2x2xt2cosxcos2sin21tan212x2x2x1t2sin1cos22tan22tanx2ttan x2x 112t2tan2八、平方关系：sin2cos211 tan2sec21 cot2csc2九、导数关系：tan .cot1sin .csc1cos .sec1十、商的关系：sin seccostancsccsc cscsincotsec- 3 -。

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导数与微分双基训练*1.在曲线y=x 2+x 上取点P(1,2)及邻近点Q(1+Δx,2+Δy),那么yx为( )。

【1】 (A) Δx+2 (B)2Δx+(Δx)2(C) Δx+3 (D)3Δx+(Δx)2*2.设函数y=f(x)，当自变量x 由x 0改变到x 0+Δx 时，函数的改变量Δy 为( )。

【1】 (A)f(x 0+Δx) (B)f(x 0)+ Δx(C)f(x 0)·Δx (D)f(x 0+Δx)-f(x 0)*3.已知曲线y=2x3上一点A(1,2)，则A 处的切线斜率为( )。

【2】(A)6 (B)4 (C)6+Δx+2(Δx)2(D)2 *4.已知函数那么y ’|x=3=( )。

【2】(A)1/2 (B)1/3 (C)1/4 (D)1/5 *5.已知分段函数f(x)=201+x ,x<0≥⎪⎩，那么f ’(1)·f ’(-1)等于( )。

【2】(A)-2 (B)-3 (C)-1 (D)1*6.已知函数2x ,x 0y=x,x<0⎧≥⎨⎩，那么y ’|x=0的值为( )【2】(A)0 (B)1 (C)1或0 (D)不存在*7.曲线y=x3在点P 处切线斜率为k,当k=3时，点P 的坐标为( )。

【2】 (A)(-2，-8) (B)(-1，-1)，(1,1) (C)(2,8) (D)(-1/2,-1/8)*8.若物体位移公式为s=s(t),从t 0到t 0+Δt 这段时间内，下列说法错误的是( )【2】 (A) Δs=s(t0+Δt)-s(t0)是物体的位移(B) Δs=s(t0+Δs)-s(t0)是位移的一个改变量(C)00s(t +t)-s(t )s =t t 叫这段时间内物体的平均速度 (D)s t一定与Δt 无关*9.物体自由落体运动方程为s=1/2gt 2，g=9.8m/s 2，若n s (1+t )-s (1)l i mt→∞ =g=9.8m/s ，那么下列说法正确的是( )。

【2】(A)9.8m/s 是在0到1s 这段时间内的速率(B)9.8m/2是在1s 到(1+Δt)s 这段时间内的速率 (C)9.8m/2是物体在t=1s 这一时刻的速率(D)9.8m/2是物体在1s 到(1+Δt)s 这段时间内的平均速率*10.一质点作直线运动，若它经过的路程与时间关系为s(t)=4t 2-3，s(t)的单位是m/s ，那么下列说法正确的是( )。

【2】(A)37 (B)38 (C)39 (D)40*11.以初速率v 0竖直上抛物体，其上升高度s 与时间t 的关系式为s(t)=v 0t-1/2gt2,它运动到时刻t 时，速率为0，那么t 等于( )。

【2】(A)v 0/g (B)2v 0/g (C)4v 0/g (D)g/v 0*12.已知过曲线y=1/3x 3上点P 的切线l 方程为12x-3y=16，那么P 点坐标为( )。

【2】(A)(2，8/3) (B)(1,-4/3) (C)(-1,-28/3) (D)(3,20/3)*13.已知曲线y=4/x 在点P(1,4)处的切线与直线l ，则直线l 的方程为( )。

【2】(A)4x-y+9=0 (B)4x-y+9=0或4x-y+25=0 (C)4x+y+9=0或4x+y-25=0 (D)4x-y+25=0*14.已知曲线y=x 2在点P 处切线与直线3x-y+1=0的夹角为45。

，那么点P 坐标为( )。

【2】(A)(1,1) (B)(1/4,1/16),(1/2,1/4) (C)(1/3,1/9) (D)(1,1),(1/4,1/16) *15.一直线过原点与曲线y=1x+1相切于点P 的切线l 方程为12x-3y=16，那么P 点坐标为( )。

【2】(A)(-1/2,2) (B)(-1/2,2/3) (C)(-2,-1) (D)(2,1/3)*16.在下列函数中，在点x=1处可导的函数是( )。

【2】(A)y=13x (B)y=|x-1| (C)y=31x -1 (D)y=2x x +x-2*17.若f(x)可导，则y=f(sinx)的导数y ’等于( )。

【2】 (A)f(cosx) (B)f ’(cosx)cosx (C)f ’(sinx)sinx (D)f ’(sinx)cosx*18.已知f(x)=2x ,x 0y=sinx,x<0⎧≥⎨⎩则在x=0处f(x)的导数为( )。

【2】(A)0 (B)1 (C)2 (D)不存在 *19.若f(x)=ln(x 2+x)，则f ’(x)等于( )。

【2】(A)22x x +x (B)24x +x (C)22x +x (D)22x+1x +x**20.函数y=f(x)在x 处可导，则0()()lim 2h f x h f x h h→+--等于( )。

【3】(A)2f ’(x) (B)1/2f ’(x)(C)f ’(x) (D)4f ’(x)**21.设y=2x 3，则y ’等于( )。

【2】(A)6x 2+23x --sinx (B)2x 2+2313x --sinx(C)6x 2+2313x -+sinx (D)6x 2+2313x --sinx**22.设f(x)为可导的奇函数，且f ’(-x 0)=k ，则f ’(x 0)等于( )。

【2】(A)k (B)-k (C)1k (D)-1k**23.已知y=x 2+sin 2x ，则y n等于( )。

【2】(A)2+2cos2x (B)2-2cos2x (C)2+2sin2x (D)2+cos2x 24.设f(x)在点x 0处可导，a 、b 为常数，则00x f(x +a x)-f(x +b x)lim x→∞ 等于( )。

【2】(A)abf ’(x 0) (B)(a+b)f ’(x 0) (C)(a-b)f ’(x 0) (D)0'()a f x b 0'()af x b**25.函数f(x)=(x 2-x-2)|x 3-x|的不可导点的个数为( )。

【2】(A)0 (B)1 (C)2 (D)3**26.函数f(x)2|x -1|,x 1=x-12,x=1⎧≠⎪⎨⎪⎩在x=1处( )。

【2】(A)不连续 (B)连续不可导 (C)可导不连续 (D)可导且导数连续 **27.y=tanx,则dy 等于( )。

【2】(A)cotxdx (B)-cotxdx(C)2cos dx x (D)2cos dxx-**28.y=cotx,则dy 等于( )。

【2】 (A)tanxdx (B)-tanxdx(C)2sin dx x (D)2sin dxx-**29.设y=e cos2x ，则dy 等于( )。

【2】 (A)e cos2x dx (B)e sin2xdx(C)-e cos2x ·sin2xdx (D)e cos2x·sin2xdx **30.设y=x3(ex+1)，则dy 等于( )。

【2】(A)x 3e x dx (B)x 2(3+3e x +xe x)dx(C)3x 2(e 3+1)dx (D)(4e x +3)x 3dx***31.已知f(x)2x2+1,x<1x ,x<1=,g(x)=3x-1,x 12x-1,x 1⎧⎧⎨⎨≥≥⎩⎩23h(x)=|x-1|,s(x)=(x-1)，在x=1处连续的函数是 ，在x=1处可导的函数是 。

【3】**32. y=x 3sinxcosx 的导数y ’= .【2】**33. y=21sin sin 2xx+的导数y ’= .【3】的导数y ’= .【3】的导数y ’= .【3】**36.设y=(x 2+a)2,y ’|x=1=8,则a= .【3】**37.已知y=x xx xe e e e--+-,则y ’|x=1= .【3】 **38.设f ’(a)=2,则0()()lim2h f a h f a h→--= .【3】**39.设f(x)=x(x+1)(x+2)·…·(x+n),则f ’(0)= .【3】**40.设则f ’’(0)= .【3】 纵向应用**1.分别求下列函数的导数：【20】 (1) 4(2) y=lntanx(3) y=e sinx2(4) (5) y=cos(x 2)·sin21x(6) y=sin 2(3x=1)**2.分别求下列函数的微分：【6】(1) y=ln(1+e -x) (2)**3.分别求下列各式的近似值：【12】(3) sin30。

30’(4)**4.设有一半径为45cm 的圆形铁板，受热后其直径增加了1mm ，试利用微分计算面积增量的近似值。

【4】**5.有一直径为15cm 的空心薄壁铜球，壁厚0.2mm ，试求该空心球的质量的近似值(铜的密度为8.9g/cm 3)【4】**6.记shx=1/2(e x -e -x ),chx=1/2(e x +e -x),试证明：(shx)’=chx,(chx)’=shx.【4】**7.一质点在x 轴上运动，其运动规律为x=e-2tsin(ωt+ϕ)(ω、ϕ为常数)，试求t=1/2时质点运动的速度v.【4】**8.设曲线y=e 1-x2与直线x=-1的交点为P ，求曲线在点P 处的切线方程。

【4】**9.已知函数f(x)=2x -1,0x 1=ax+b,1<x 1⎧≤≤⎨≥⎩ 在x=1处可导，求a 和b 的值。

【4】**10.设f(x)=ae x+blnx ，且f ’(1)=e ，f ’(-1)=1e,求a 、b 的值。

【4】 **11.圆柱形容器，其底直径为2m ，深度为1m ，盛满液体后以0.01m3/s 的速率放出，求液面高度的变化率。

【5】***12.探照灯演习时，在仰角为45。

的上空捕获到“敌机”并进行跟踪，设“敌机”的飞行速度为h(m),以v0(m/s)速率沿远离探照灯的水平方向逃逸，求此时探照灯的仰角的变化率。

【6】 ***13.证明：从位于抛物线焦点处的点光源射出的光线，经抛物线反射后成为平行于对称轴的光线。

【6】***14.一个底面半径为rcm ，高为hcm 的倒立圆锥形容器，若以acm3/s 的速率向容器里注水，求注水ts 时刻水面上升的速率。

【6】***15.利用导数求和S=1+2x+3x 2+…+nx n-1，其中x ≠1.【6】***16.利用导数证明：1231232nn n n n n C C C nC n -+++⋅⋅⋅+= .【6】***17.已知双曲线xy=a2,过其上任一点P 作切线与x 、y 轴分别交于Q 、R 点，试证：(1)P平分QR ；(2)ΔOQR 面积为定值。

【8】***18.已知抛物线y=ax2+bx+c 通过点P(1,1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a 、b 、c 的值。