St Andrews map

等距特征映射
等距特征映射（Isometric Feature Mapping）是一种用于数据降维的方法，它可以将高维数据映射到低维空间中，同时保持数据之间的距离不变。

这种方法在机器学习和数据分析领域中得到了广泛的应用。

在传统的降维方法中，如主成分分析（PCA）和线性判别分析（LDA），数据的降维是通过线性变换来实现的。

这种方法虽然可以有效地减少数据的维度，但是它无法保持数据之间的距离不变。

因此，在某些情况下，这种方法可能会导致数据的失真和信息的丢失。

等距特征映射通过非线性变换来实现数据的降维，它可以将高维数据映射到低维空间中，同时保持数据之间的距离不变。

这种方法的核心思想是将数据映射到一个流形空间中，然后在流形空间中进行降维操作。

流形空间是指具有局部欧几里得性质的空间，它可以用一个低维的欧几里得空间来近似表示。

等距特征映射的优点在于它可以保持数据之间的距离不变，从而避免了数据的失真和信息的丢失。

此外，它还可以有效地处理非线性关系和高维数据。

这种方法在图像处理、语音识别、自然语言处理等领域中得到了广泛的应用。

等距特征映射是一种非常有用的数据降维方法，它可以有效地处理高维数据，并保持数据之间的距离不变。

在实际应用中，我们可以
根据具体的问题选择合适的降维方法，以达到最好的效果。

Package‘andrews’October23,2023Type PackageTitle Various Andrews CurvesVersion1.1.2Maintainer Sigbert Klinke<********************>Depends R(>=2.10)Description Visualisation of multidimensional data through different Andrews curves: Andrews,D.F.(1972)Plots of High-Dimensional Data.Biometrics,28(1),125-136.<doi:10.2307/2528964>.License GPL-3URL https:///sigbertklinke/andrews(development version)Encoding UTF-8LazyData trueImports grDevices,graphics,gmpSuggests knitr,rmarkdown,robustbase,mclustVignetteBuilder knitrRoxygenNote7.2.3NeedsCompilation noAuthor Jaroslav Myslivec[aut],Sigbert Klinke[cre,ctb]Repository CRANDate/Publication2023-10-2310:20:05UTCR topics documented:andrews (2)andrews0 (4)banknote (5)deftype (6)generate_n_primes (7)normalize (7)1numarray ..........................................8outlyingness .........................................9selectand ..........................................10zzz ..............................................11Index12andrews Andrews curvesDescriptionAndrews curves for visualization of multidimensional data.For colouring the curves see the details.For differences between andrews and andrews0see the vignette("andrews").With the same parameters called both functions should create the same plot.type==5is a modification of type==3and type==6is a modification of type==ageandrews(df,type =1,clr =NULL,step =100,ymax =10,alpha =NULL,palcol =NULL,lwd =1,lty ="solid",...)Argumentsdf data frame or an R object that can be converted into a data frame with as.data.frame typetype of curve •1:f (t )=x 1/√2+x 2sin(t )+x 3cos(t )+x 4sin(2t )+x 5cos(2t )+...•2:f (t )=x 1sin(t )+x 2cos(t )+x 3sin(2t )+x 4cos(2t )+...•3:f (t )=x 1cos(t )+x 2cos(√2t )+x 3cos(√3t )+...•4:f (t )=0.5p/2x 1+0.5(p −1)/2x 2(sin(t )+cos(t ))+0.5(p −2)/2x 3(sin(t )−cos(t ))+0.5(p −3)/2x 4(sin(2t )+cos(2t ))+0.5(p −4)/2x 5(sin(2t )−cos(2t ))+...)with p the number of variables•5:f (t )=x 1cos(√p 0t )+x 2cos(√p 1t )+x 3cos(√p 2t )+...with p 0=1and p i the i-th prime number•6:f (t )=1/√2(x 1+x 2(sin(t )+cos(t ))+x 3(sin(t )−cos(t ))+x 4(sin(2t )+cos(2t ))+x 5(sin(2t )−cos(2t ))+...)clr number/name of column in the data frame for color of curvesstep smoothness of curvesymax maximum of y coordinatealpha semi-transparent color(0<alpha<1)which are supported only on somedevicespalcol a function which generates a set of colors,see detailslwd line width,a positive number,defaulting to1.lty line type,can either be specified as an integer(0=blank,1=solid(default),2=dashed, 3=dotted,4=dotdash,5=longdash,6=twodash)or as one of the character strings"blank","solid","dashed","dotted","dotdash","longdash",or"twodash",where"blank"uses‘invisible lines’(i.e.,does not draw them)....further named parameters given to graphics::plot.default()except x,y,and type.DetailsIf clr has length one then it is used as column number or column name for coloring the curves:•If df[,clr]is numeric then palcol must be function which returns colors for values in therange\[0,1\]using normalized variable.The default is function function(v){hsv(0,1,v)}.•Otherwise df[,clr]is converted to a factor and palcol must be a function which returnsfor each level a color.The parameter for palcol is the numbe of levels and the default isgrDevices::rainbow().If the length of clr is the number of rows of df then clr is inter-preted as colors.Andrews curves transform multidimensional data into curves.This package presents four types of curves.ValuenothingAuthor(s)Sigbert Klinke********************,Jaroslav Myslivec*************************References•Andrews,D.F.(1972)Plots of High-Dimensional Data.Biometrics,vol.28,no.1,pp.125-136.•Khattree,R.,Naik,D.N.(2002)Andrews Plots for Multivariate Data:Some New Suggestionsand Applications.Journal of Statistical Planning and Inference,vol.100,no.2,pp.411-425.Examplesdata(iris)op <-par(mfrow=c(1,2))andrews0(iris,clr=5,ymax=3)andrews(iris,clr=5,ymax=3)par(op)andrews(iris,type=4,clr=5,ymax=NA)andrews0Andrews curvesDescriptionAndrews curves for visualization of multidimensional data.For differences between andrews and andrews2see the ‘vignette("andrews").For colouring the curves see the ageandrews0(df,type =1,clr =NULL,step =100,ymax =10,main =NULL,sub =NULL )Argumentsdf data frame typetype of curve•1:f (t )=x 1/√2+x 2sin(t )+x 3cos(t )+x 4sin(2t )+x 5cos(2t )+...•2:f (t )=x 1sin(t )+x 2cos(t )+x 3sin(2t )+x 4cos(2t )+...•3:f (t )=0.5p/2x 1+0.5(p −1)/2x 2(sin(t )+cos(t ))+0.5(p −2)/2x 3(sin(t )−cos(t ))+0.5(p −3)/2x 4(sin(2t )+cos(2t ))+0.5(p −6)/2x 5(sin(2t )−cos(2t ))+...)with $p$the number of variables•4:f (t )=1/√2(x 1+x 2(sin(t )+cos(t ))+x 3(sin(t )−cos(t ))+x 4(sin(2t )+cos(2t ))+x 5(sin(2t )−cos(2t ))+...)clr number/name of column in the date frame for color of curves step smoothness of curves ymax maximum of y coordinate.main main title for the plot subsub title for the plotbanknote5DetailsAndrews curves transform multidimensional data into curves.This package presents four types of curvesIf df[,clr]is numeric then hsv(1,1,v)with the normalized values(on\[0,1\])of df[,clr]is used.Otherwise the number of unique values in nuv<-unique(df[,clr])is used in connection with rainbow(nuv).ValuenothingAuthor(s)Jaroslav Myslivec*************************References•Andrews,D.F.(1972)Plots of High-Dimensional Data.Biometrics,vol.28,no.1,pp.125-136.•Khattree,R.,Naik,D.N.(2002)Andrews Plots for Multivariate Data:Some New Suggestions and Applications.Journal of Statistical Planning and Inference,vol.100,no.2,pp.411-425. Examplesdata(iris)andrews0(iris,clr=5,ymax=3)andrews0(iris,type=4,clr=5,ymax=2)banknote Swiss banknotes dataDescriptionThe data set contains six measurements made on100genuine and100counterfeit old-Swiss1000-franc bank notes.The data frame and the documentation is a copy of mclust::banknote.UsagebanknoteFormatA data frame with200rows and7columns:Status the status of the banknote:genuine or counterfeitLength Length of bill(mm)Left Width of left edge(mm)6deftypeRight Width of right edge(mm)Bottom Bottom margin width(mm)Top Top margin width(mm)Diagonal Length of diagonal(mm)SourceFlury,B.and Riedwyl,H.(1988).Multivariate Statistics:A practical approach.London:Chapman &Hall,Tables1.1and1.2,pp.5-8.deftype deftypeDescriptionDefines a function which can be used as basis for Andrews curves f t(t)= pj=1x ij f i(t).Usagedeftype(index=NULL,FUN=NULL,xlim=c(-pi,pi))Argumentsindex index/name of the functionFUN function of the form function(n,t){...}xlim default range for displaying curves(default:c(-pi,pi))Valueeither a list of all functions or a single functionExamples#define a new andrews curve,just with sine curvesdeftype("sine",function(n,t){n<-as.integer(if(n<1)1else n)m<-matrix(NA,nrow=length(t),ncol=n)for(i in1:n)m[,i]<-sin(i*t)m})andrews(iris,"sine")#querydeftype()deftype("sine")generate_n_primes7 generate_n_primes Generate a Sequence of Prime NumbersDescriptionGenerates a vector of thefirst n primes using gmp::nextprime().Usagegenerate_n_primes(n,one=FALSE)Argumentsn the number of primes to generate.one should1included in the sequence(default:FALSE)Valuean integer vector of prime numbersExamplesgenerate_n_primes(5)generate_n_primes(5,TRUE)normalize NormalizationDescriptionNormalization of a variable:•type==1:ar normalized into[0,1],•type==2:ar is standardized,•otherwise no normalization is done.Usagenormalize(ar,type=1)Argumentsar numeric variable.type integer:type of normalization(default:1)8numarrayDetailsNormalization of variable:ar<-(ar-min(ar))/(max(ar)-min(ar))ValueReturns normalized variable.Author(s)Jaroslav Myslivec*************************,Sigbert Klinke********************Examplesnormalize(iris[,1])numarray Numeric arrayDescriptionExtracts numeric array from data frame.Usagenumarray(df)Argumentsdf data frame.DetailsExtracts numeric array from data frame.ValueReturns numeric array.Author(s)Jaroslav Myslivec*************************,Sigbert Klinke********************Examplesnumarray(iris)outlyingness9 outlyingness outlyingnessDescriptionComputes the Stahel-Donoho outlyingness.If type is any of the available types by andrews()then the projection vectors are generated along the andrews curves.Otherwise step random directions will be used.Note that the projection vectors are always normalized to length one.Usageoutlyingness(x,type=1,step=100,xlim=NULL,normalize=1)Argumentsx data frametype type of curve,see andrews()step step smoothness of curvesxlim the x limits(x1,x2)normalize type of normalization,see normalize()Valuethe Stahel-Donoho outlyingnessReferences•Stahel,W.(1981),Robuste Schätzungen:infinitesimale Optimalität und Schätzungen von Kovarianzmatrizen,PhD thesis,ETH Z¨urich.•Donoho,D.(1982),Breakdown properties of multivariate location estimators,Ph.D.Qualify-ing paper,Dept.Statistics,Harvard University,Boston.Examples#use projection vectors from the Andrews curvesdo<-outlyingness(iris)col<-gray(1-sdo/max(sdo))andrews(iris,clr=col,ymax=NA)#use1000random projection vectorssdo<-outlyingness(iris,type=0,step=1000)col<-gray(1-sdo/max(sdo))andrews(iris,clr=col,ymax=NA)#use1000random projection vectors with adjusted outlyingnesslibrary("robustbase")x<-numarray(iris)x<-scale(x,center=apply(x,2,min),scale=apply(x,2,max)-apply(x,2,min))sdo<-adjOutlyingness(x,ndir=1000,only.outlyingness=TRUE)10selectand col<-gray(1-sdo/max(sdo))andrews(as.data.frame(x),clr=col,ymax=NA)selectand Selecting in Andrews curvesDescriptionSelecting object utility in Andrews curvesUsageselectand(df,type=1,step=100,ncol=0,from=0,to=1,col=2)Argumentsdf data frame.type type of curve.step smoothness of curves.ncol number of column in data frame for selection.from from value.to to value.col color of selected objects.DetailsDefine which objects will be selected(colored)in Andrews curves.ValueNothingAuthor(s)Jaroslav Myslivec*************************Examplesdata(iris)andrews(iris,clr=5,ymax=3)selectand(iris,ncol=1,from=5,to=5.5,col=1)zzz11 zzz ComparisonDescriptionCreates and displays a temporary PDFfile with different diagrams comparing andrews and andrews0 plots.Usagezzz()ValuenothingExamplesif(interactive())zzz()Index∗datasetsbanknote,5∗hplotandrews,2andrews0,4selectand,10andrews,2andrews(),9andrews0,4banknote,5deftype,6generate_n_primes,7gmp::nextprime(),7graphics::plot.default(),3grDevices::rainbow(),3mclust::banknote,5normalize,7normalize(),9numarray,8outlyingness,9selectand,10zzz,1112。

"Fast-SCNN"（快速语义分割）是一种用于图像语义分割的神经网络架构。

它旨在快速准确地对图像进行语义分割，适用于实时应用场景。

而"SAM" 则是一种注意力机制（Spatial Attention Module），用于增强模型对空间信息的感知。

针对Fast-SCNN 结合SAM 的全景分割，大致的使用流程通常涉及以下步骤：
### 1. 数据准备：
- 获取训练数据集和测试数据集，这些数据集包含了图像以及每个像素的语义标签（即每个像素对应的类别标签）。

### 2. 网络架构和模型训练：
- 定义Fast-SCNN 结构，并添加SAM（注意力机制）以增强模型的性能。

- 对数据集进行训练，通过传递图像数据和相应的标签数据来训练模型。

### 3. 模型评估与推理：
- 使用测试数据集对训练好的模型进行评估，检查模型在图像语义分割方面的性能表现。

- 对新的图像进行推理，即使用训练好的模型对图像进行预测，生成语义分割的结果。

### 4. 模型调优与改进：
- 分析模型在评估过程中的性能表现，可能需要对模型架构、超参数或数据预处理方法进行调整，以提高模型的准确性和效率。

针对Fast-SCNN 结合SAM 的使用，通常需要深入了解该模型的论文或相关文档，以了解详细的网络架构、超参数设置以及训练和推理的具体细节。

这样能够更好地应用该模型，并根据实际需求进行定制化调整。

请注意，这只是使用Fast-SCNN 结合SAM 的一般流程概述，实际使用可能需要更多特定的细节和代码实现，包括数据预处理、模型的具体实现等。

18种和“距离(distance)”、“相似度(similarity)”相关的量的小结在计算机人工智能领域，距离(distance)、相似度(similarity)是经常出现的基本概念，它们在自然语言处理、计算机视觉等子领域有重要的应用，而这些概念又大多源于数学领域的度量(metric)、测度(measure)等概念。

?这里拮取其中18种做下小结备忘，也借机熟悉markdown的数学公式语法。

常见的距离算法和相似度（相关系数）计算方法1.常见的距离算法1.1欧几里得距离（Euclidean?Distance）以及欧式距离的标准化（Standardized Euclidean distance）1.2马哈拉诺比斯距离（Mahalanobis?Distance）1.3曼哈顿距离（Manhattan?Distance）1.4切比雪夫距离（Chebyshev?Distance）1.5明可夫斯基距离（Minkowski?Distance）1.6海明距离（Hamming distance）2.常见的相似度（系数）算法2.1余弦相似度（Cosine?Similarity）以及调整余弦相似度（Adjusted?Cosine?Similarity）2.2皮尔森相关系数（Pearson?Correlation?Coefficient）2.3Jaccard相似系数（Jaccard?Coefficient）2.4Tanimoto系数（广义Jaccard相似系数）2.5对数似然相似度-对数似然相似率2.6互信息-信息增益，相对熵-KL散度2.7信息检索--词频-逆文档频率（TF-IDF）2.8词对相似度--点间互信息3.距离算法与相似度算法的选择（对比）1.常见的距离算法1.1欧几里得距离（Euclidean?Distance）公式：标准欧氏距离的思路：现将各个维度的数据进行标准化：标准化后的值?=?(?标准化前的值?－?分量的均值?)?-分量的标准差，然后计算欧式距离欧式距离的标准化（Standardized Euclidean distance）公式：1.2马哈拉诺比斯距离（Mahalanobis?Distance）公式：关系：若协方差矩阵是对角矩阵，公式变成了标准化欧氏距离；如果去掉马氏距离中的协方差矩阵，就退化为欧氏距离。

流形学习之等距特征映射（Isomap） 感觉是有很久没有回到博客园，发现⾃⼰⾟苦写的博客都被别⼈不加转载的复制粘贴过去真的⼼塞，不过乐观如我，说明做了⼀点点东西，不⾄于太蠢，能帮⼈最好。

回校做毕设，专⼼研究多流形学习⽅法，⽣出了考研的决⼼。

话不多说，看带⼤家⾛⼊Joshua B. Tenenbaum的Isomap的世界！ ⼤数据时代的⼈总是那么的浮躁不安，⾼维并不可怕，事实的本质总是简单⽽单调的，因此流形学习理念中直接假设⾼维的数据都存在低维的本征结构。

⾃“流形”这个概念被提出以来，许多⼈都在寻找⼀个⾼维数据中最现实的问题——降维（维数简约）。

为在⾼维观察值中寻找有意义的低维，Tenenbaum提出“⾮线性降维的全局⼏何框架”计算出了全局最优解，并保证近似收敛到原始⾼维数据的真实结构。

我这⾥不想翻译⼈家的东西，仅仅是将该算法接着前⾯说的研究⽣的数模题给出的数据来讲解，也是对作者本⼈的尊重（可以学习，但拒绝粘贴！）。

题⽬：3c.mat中的数据为两个⼈在不同光照下的⼈脸图像共20幅（X变量的每⼀列为拉成向量的⼀副⼈脸图像），请将这20幅头像分为两类。

思考1：不管如何，⾸先加载数据（load 3c.mat）看看这个3c.mat⽂件中到底是个神马数据 我们知道，这个数据的20个⼈脸（来源于两个⼈在不同光照下的照⽚），其中每⼀个⼈脸数据是经过拉长后的2016维的⼈脸头像数据，这样每⼀张图⽚就是⼀个2016维欧式空间的⼀个点。

按照流形的定义，可以认为这两个⼈脸头像经过不同光照内嵌在2016维的⾼维空间中。

因此需要降维到三维流形，三维流形中的三个变量分别是：⼈脸1、⼈脸2与不同的光照。

思考2：说道维数约简（降维技术哪家强），经典的降维技术就是主成分分析（PAC）和多维尺度分析（MDS）简单易⾏，并且能保证发现⾼维输⼊空间的位于线性⼦空间上的真实数据结构。

其中PCA以⽅差的⼤⼩来衡量信息量的多少，认为⽅差正⽐的反应提供的信息量，其基本思想是通过线性变换尽可能地保留⽅差⼤的数据量。

逻辑斯谛分布的特征函数
逻辑斯谛分布 (Logistic Distribution) 是统计模型中一种
常用的概率分布函数，描述了随机变量关于它们取值的概率分布模式，也叫归一分布、S型函数或S形曲线，因其性质来源于逻辑斯谛回归，故而取此名。

在概率论中，逻辑斯谛分布是一个双峰函数，它定义了随机变量的概率分布，函数的形状是一条S型曲线，
形状由截距和斜率决定。

也就是说，截距和斜率决定了它的曲线的陡度和位置。

从概率论的角度来看，在满足各种条件下，逻辑斯谛分布函数就可以模拟一个事件的概率分布，它比较适用于建模那种取值介于0到1之间的连续概率变量，比如事件发生的概率等。

与正态分布不同，逻辑斯谛分布在两个极值点处的密度更大，这一特性也使它更适合用来描述事件的发生概率。

比如能将事件的发生概率模拟为一种归一分布的函数——它的特性与人的判断在绝大多数情况下比较贴合，使用起来更有效和方便。

同时，逻辑斯谛分布函数也可以建模根据不同情况下不同数据之间的关系，可以用来分析行为，用以鉴别虚假反应，以及应用于预测分析，这些功能也都是非常有效的。

简单来说，逻辑斯谛分布是一种归一化函数，它根据截距及斜率来模拟不同事件的发生概率，是特别适合用来建模取值介于0到1之间的连续概率变量的函数，它的特性使它可以广泛应用于各种描述概率的分析和预测中，从而可以进行各种数据分析，改善计算机应用程序的性能，使其在更有针对性的操作中发挥更好的效果。

postgis st_centroid函数算法一、简介PostGIS是一款开源的地理信息系统（GIS）软件，它提供了丰富的地理空间数据操作和分析功能。

ST_Centroid函数是PostGIS提供的一个用于计算点状地理空间数据（如点型特征、点状栅格等）的中心点的算法。

二、算法原理ST_Centroid函数的基本原理是通过将点状数据按照其坐标值进行排序，然后逐个计算每个点的中心点。

具体步骤如下：1. 输入：一组点状数据，每个数据包含x和y两个坐标值。

2. 排序：将点状数据按照x和y坐标值进行排序，以便于后续的中心点计算。

3. 计算均值：对于排序后的每个点，计算其x和y坐标值的均值，得到该点的中心坐标。

4. 聚合：将所有点的中心坐标进行聚合，得到最终的中心点。

三、算法实现在PostGIS中，ST_Centroid函数的实现采用了高效的算法，以确保在处理大量点状数据时能够快速准确地计算中心点。

具体实现过程如下：1. 创建一个临时表，用于存储待计算的中心点数据。

2. 使用ORDER BY子句将点状数据按照x和y坐标值进行排序。

3. 使用PostGIS特有的聚合函数ST_MEAN（或AVG）计算每个点的中心坐标值。

4. 使用GROUP BY子句将所有点的中心坐标值进行聚合，得到最终的中心点。

5. 将中心点数据写入目标表或返回给调用者。

四、应用场景ST_Centroid函数在以下场景中有着广泛的应用：1. 地理空间数据分析：在需要进行点状数据聚合和分析的场景中，可以使用ST_Centroid函数快速得到每个点的中心位置，进而进行进一步的统计分析。

2. 地图制作：在制作地图或可视化数据时，需要将点状数据转换为地图上的图形表示。

使用ST_Centroid函数可以方便地得到每个点的中心位置，进而绘制出相应的图形。

3. 空间查询和检索：在空间数据库中，经常需要进行点状数据的查询和检索。

使用ST_Centroid函数可以快速得到指定点的中心位置，进而进行相关的查询和检索操作。

depthmap空间句法《Depthmap空间句法》是一种基于空间理论的研究方法，它为研究空间中的共同联系和活动提供了一种可视化的工具。

该方法能够将空间中的社会活动与其社会网络关系表示出来，例如社会活动如物流系统、工厂、人口分布、城市规划等的连接和关系，以及它们彼此之间的联系。

Depthmap空间句法是由托马斯克莱因教授（Tomas Karlsson）于1997年发明的。

它是一种看待城市空间结构的新方法，旨在探索城市空间中的嵌套关系，以及人口在这些空间结构中的活动。

Depthmap空间句法建立在一个称为网络局部度（Network Local Depth）的概念之上。

网络局部度是一种度量方法，旨在检测某个节点在其社会网络中的中心性，以及其附近节点之间的联系紧密程度。

Depthmap空间句法的研究首先针对的是研究全球城市空间结构的目的，包括城市中的社会空间改造、城市化、城市经济结构、交通流量和街区外观等问题。

然而，Depthmap空间句法的应用不仅限于城市空间研究，还可用于许多其他社会科学研究当中。

例如，它可用于研究社会交换关系、组织行为、旅游和视觉物体。

Depthmap空间句法是一种提供可视化工具的研究方法，可以帮助科学家更加直观地理解空间社会的活动和结构。

它的可视化结构可以帮助科学家研究空间中的关系，而不必通过复杂的数学计算来确定空间中的依赖关系。

另外，Depthmap空间句法还可以帮助学者以更快的速度研究空间、城市等问题，而不必花费大量时间。

Depthmap空间句法可以被用于诸多社会空间分析，从而有助于研究地理空间变化，以及其对人们行为和生活的影响。

通过使用Depthmap空间句法，科学家们可以更有效地识别社会活动和关系，从而更好地理解空间的社会结构。

Depthmap空间句法还可以帮助政府和规划者构建更加可持续的城市环境，增强城市社区的繁荣和安全性。

克里斯托菲德斯算法（Christofides algorithm）是一种应用于旅行商问题（TSP，Traveling Salesman Problem）的近似算法。

该算法在度量空间（即距离对称且满足三角不等式）上进行求解，可以保证找到的相对最优哈密尔顿回路长度有3/2的近似比。

克里斯托菲德斯算法的基本思想是在一个有权图中寻找一个哈密顿回路（即经过所有顶点的回路），并通过构造最小生成树来得到近似解。

算法的主要步骤如下：
1. 初始化：随机生成一个源顶点，将其作为起始点。

2. 构造最小生成树：使用Prim或Kruskal算法构建最小生成树。

3. 寻找哈密顿回路：从起始点开始，沿着最小生成树进行遍历，尝试寻找一个哈密顿回路。

4. 优化：如果找到的哈密顿回路长度大于当前最优解，则替换最优解。

需要注意的是，克里斯托菲德�算法依赖于图的性质，例如度数、连通性等。

在实际应用中，算法的结果可能受到初始化策略和最小生成树构建算法的影响。

因此，有时需要对算法进行多次运行，以获得更好的近似解。

截至2017年，克里斯托菲德斯算法仍然是一般性旅行商问题算法中近似比最好的结果。

在实际应用中，该算法在解决大规模旅行商问题时表现出较好的性能。

迪科斯彻算法总结最短路之~迪科斯彻算法迪科斯彻算法是由荷兰计算机科学家艾滋郝尔·戴克斯拉提出的。

本算法使⽤⼴度优先搜索解决⾮负权有向图的单源最短路径问题。

算法终于得到⼀个最短路径树。

此算法经常使⽤于路由算法或者作为其它图算法⼀个⼦模块。

本算法是⽤来找⼀个点到其它全部点之间的最短路径。

此算法中变量的使⽤：map[][]⼆维数组记录两点之间的权值，⽐如map[i][j]存放i点到j点的权值。

当作为有向图时，给出i,j须要存放的仅仅有⼀个map[][],但普通情况下都是⽤⽆向图，需存两个map[][],即map[i][j]=map[j][i]=权值。

dis[]⼀维数组存放各点到起点的最短距离。

mark[]⼀维数组标记使⽤过的点。

单源最短路：Ⅰ、从⼀个点出发到其它全部点的最短路径的长度Ⅱ、基本操作：松弛操作。

Ⅲ、dis[j] > dis[vir] + map[vir][j]这种边(vir,j)成为紧的，能够对它进⾏松弛操作。

对全部点进⾏松弛操作的代码可參考：for(int j = 1; j <= n; j++){if(dis[j] > dis[vir] + map[vir][j] && !mark[j])dis[j] = dis[vir] + map[vir][j];}Ⅳ、最開始给每个点⼀个⾮常⼤的dis值，从dis[s] = 0；開始，不断给能够松弛的点进⾏松弛操作。

直⾄求出全部点的最短路径。

本算法要求图中不存在负权边。

可证明：具有最⼩的dis[i]的点没有增加最短路时，此后的点⽆法松弛。

所以每次均要寻找近期的点进⾏松弛操作。

详细请參考代码：#include<stdio.h>#define INF 0x3f3f3f3f //定义⼀个较⼤的值。

⽤来初始化int map[1010][1010]; //存放两点间的权值int dis[1010]; //存放各点距起点的距离int mark[1010]; //标记使⽤过的点int n,m; //有n个点，编号为1~n,有m组数据void dijkstra(int s){int vir,min;for(int i=1;i<=n;i++) //初始化标记数组和距离数组{mark[i]=0; //0表⽰未使⽤此点dis[i]=INF;}dis[s]=0;for(int i=1;i<=n;i++){min=INF;for(int j=1;j<=n;j++) //查找权值最⼩的点{if(!mark[j]&&dis[j]<min){min=dis[j];vir=j;}}if(min==INF) break; //若没查找到或已查找完成。

设计地图英语知识点总结1. Geographic Information Systems (GIS):GIS is a framework for gathering, managing, and analyzing geographic data. It integrates hardware, software, and data for capturing, managing, analyzing, and displaying all forms of geographically referenced information. Knowledge of GIS is essential for designing a map, as it enables the collection and visualization of spatial data.2. Cartography:Cartography is the practice of creating maps or visual representations of geographic areas. It involves the utilization of design principles, such as scale, symbolization, and representation, to communicate spatial information effectively. Understanding the principles of cartography is crucial for creating clear and informative maps.3. Spatial Analysis:Spatial analysis is the process of examining the locations, attributes, and relationships of features in geographic data. It involves the use of techniques such as overlay, proximity analysis, and spatial statistics to gain insights into the patterns and trends of spatial data. A solid grasp of spatial analysis is important for designing maps that provide valuable insights into geographic phenomena.4. Data Visualization:Data visualization is the graphical representation of information and data. It involves the use of visual elements such as charts, graphs, and maps to communicate data patterns and trends. Knowledge of data visualization is critical for creating maps that effectively convey complex spatial information to the intended audience.5. Design Principles:Design principles, such as balance, contrast, and hierarchy, play a crucial role in map design. Understanding these principles helps in creating maps that are visually appealing and easy to interpret. Additionally, knowledge of typography, color theory, and layout design is important for creating maps that are aesthetically pleasing and functional.6. Spatial Data Management:Spatial data management involves the organization, storage, and retrieval of geographic data. It includes techniques such as data capture, data storage, and data manipulation, which are essential for managing the spatial data used in map design. Proficiency in spatial data management is necessary for handling large volumes of geographic data efficiently. 7. Geospatial Technologies:Geospatial technologies, such as GPS, remote sensing, and geographic information systems, are used to capture, analyze, and visualize spatial data. Understanding these technologies is important for incorporating various data sources and creating accurate and up-to-date maps.8. Map Projection:Map projection is the process of transforming the 3-dimensional surface of the Earth into a 2-dimensional map. It involves the use of mathematical formulas to represent the Earth's curved surface on a flat map. Knowledge of map projection is crucial for producing maps that accurately represent geographic features and spatial relationships.9. Spatial Analysis Techniques:Spatial analysis techniques, such as clustering, interpolation, and network analysis, are used to analyze the spatial patterns and relationships within geographic data. Understanding these techniques is important for identifying spatial trends, patterns, and anomalies, and for making informed decisions based on spatial data.10. Spatial Data Visualization Tools:There are a variety of spatial data visualization tools, such as Geographic Information Systems (GIS), web mapping platforms, and data visualization software, that are used to create and display maps. Familiarity with these tools is essential for designing maps that are interactive, dynamic, and accessible to a wide audience.In conclusion, designing a map requires a diverse set of skills and knowledge, including geographic information systems, cartography, spatial analysis, data visualization, design principles, spatial data management, geospatial technologies, map projection, spatial analysis techniques, and spatial data visualization tools. By mastering these knowledge points, map designers can create maps that effectively communicate spatial information and insights to a wide audience.。

r语言andrews函数用法
Andrews函数是一种用于绘制多元函数的图形的函数。

它可以用来比较不同变量之间的关系，并且可以很容易地发现数据中的模式和趋势。

使用R语言的Andrews函数，可以很容易地绘制多元函数的图形。

它的用法非常简单，只需要提供数据框或矩阵作为输入，然后将其作为参数传递给Andrews函数。

例如，我们可以使用以下命令来绘制一个数据框中多个变量之间的关系：
```R
library(reshape2) # 导入reshape2包
library(Andrews) # 导入Andrews包
data(mtcars) # 加载数据
mtcars_melt <- melt(mtcars) # 转换数据框
andrews(mtcars_melt[,c(4,6,8,9,10,11)]) # 绘制图形
```
在此示例中，我们使用了mtcars数据集，并使用melt函数将其转换为长格式。

然后，我们选择了一组变量来绘制Andrews函数的图形。

最后，我们调用andrews函数，并将这些变量作为参数传递给它。

Andrews函数将生成一个图形，其中每个变量都表示为不同的颜色曲线。

我们可以根据这些曲线之间的交叉和重叠，来了解这些变量之间的关系。

在pandas中的安德鲁斯曲线安德鲁斯曲线（Andrews Curve）是一种可视化多维数据的方法，其中每个样本通过一条曲线进行表示。

它是用于高维数据可视化的一种常见方法，能够将数据的多个特征以一种优美的方式表现出来，同时也提供了一种检查异常点的方式。

安德鲁斯曲线是由Geoffrey Hinton和David Poole在1994年发明的。

它的灵感来源于Fraunhofer（德国的光学公司）在19世纪早期开发的一种称为spectrograms的技术，该技术用于将复杂的大气干扰噪声和光谱信号进行可视化。

安德鲁斯曲线的整体结构很简单，它基于余弦级数的傅里叶级数表示法。

在这种表示法中，任意函数都可以表示为一系列余弦函数的线性组合，每个函数的振幅和波长都是不同的，这种表示法也是一种常见的信号处理技术。

具体来说，假设我们有N个样本，每个样本有d个特征，那么我们可以用如下的公式来表示每个样本的安德鲁斯曲线：F_i(t) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{k=1}^{d} w_{ik} \sin(k t) + b_i其中，i是样本的编号（从1到N），t是时间参数，w_{ik} 和 b_i分别表示第i个样本的第k个特征的权重和偏移。

将这个公式应用于每个样本，就可以得到N条安德鲁斯曲线，每条曲线表示一个样本。

通过观察整个安德鲁斯曲线集合，我们可以发现相似的样本以及异常值。

相似的样本在安德鲁斯曲线上形成明显的类似形状，而异常值则可能在曲线上有不寻常的已知形状。

安德鲁斯曲线的可视化效果非常好，不仅可以方便地观察多个特征之间的关系，还能够将多个样本之间的差异可视化出来。

此外，安德鲁斯曲线还可以与其它可视化技术（如Scatter Plot、3D图形和Heatmap等）结合使用，以得到更好的数据分析效果。

在Pandas中，我们可以使用andrews_curves函数来绘制安德鲁斯曲线。

下面，我们将通过一个例子来演示如何在Pandas中使用安德鲁斯曲线。

flatmap rxswift原理摘要：1.RxSwift 简介2.FlatMap 的作用3.FlatMap 原理4.FlatMap 的应用示例正文：【1.RxSwift 简介】RxSwift 是一个用于iOS 和macOS 平台的函数式编程库，它基于响应式编程概念，使用观察者模式来处理异步事件。

与传统的基于回调的编程模式相比，RxSwift 可以让开发者用更简洁、可读性更强的代码来处理异步操作。

【2.FlatMap 的作用】FlatMap 是RxSwift 中的一个重要操作符，它的主要作用是将一个序列（如数组、集合等）中的每个元素映射为一个新的序列，然后将这些新序列的所有元素合并为一个新的序列。

【3.FlatMap 原理】FlatMap 的原理是基于函数式编程中的映射和组合概念。

首先，FlatMap 接收两个参数，一个是要对序列中的每个元素进行映射的函数，另一个是序列本身。

然后，FlatMap 会遍历序列中的每个元素，将这些元素通过映射函数映射为新的序列，最后将这些新序列的所有元素合并为一个新的序列。

具体来说，FlatMap 的实现过程可以分为以下几个步骤：1.创建一个新的序列，用于存储FlatMap 的结果。

2.遍历序列中的每个元素，将这些元素通过映射函数映射为新的序列。

3.将这些新序列的所有元素添加到新的序列中。

4.返回新序列。

【4.FlatMap 的应用示例】下面是一个使用FlatMap 的简单示例：```swiftlet numbers = [1, 2, 3, 4, 5]let flatMapResult = numbers.flatMap { $0 * 2 }print(flatMapResult) // 输出[2, 4, 6, 8, 10]```在这个示例中，我们使用FlatMap 将数组`numbers`中的每个元素乘以2，然后输出结果。

安德鲁斯曲线安德鲁斯曲线（AndrewsCurve）是一种多元数据图形，于1966年由格兰瑟姆安德鲁斯（G.K.Andrews）提出。

它能够把定量和定性属性放到一条曲线中，展示出每个被研究者的多变量特征，有助于比较多个被研究者之间的相似度和差异性。

安德鲁斯曲线的构成由多条条线段（曲线的分段组成）组成，每一条条线段代表一个变量。

安德鲁斯曲线不但可以依据变量之间的相关性或者是彼此之间的差异，而且可以提供研究者对多元数据做出更准确的描述，发现数据之间的细节特征。

它原本可以用于研究多变量数据，而后来可以根据非线性函数，把异构数据放入安德鲁斯曲线中比较。

安德鲁斯曲线可以把不同类型的数据进行比较，比如定量数据和定性数据；安德鲁斯曲线也可以使用把定量、定性数据进行混合组成曲线，在此曲线中会显示多个变量的数据，能够以全新的视角发现数据之间的关系。

安德鲁斯曲线的实现要求对于研究数据要具备一定的计算能力和数据处理能力。

它可以通过统计软件和编程语言来实现，比如R、Python、SPSS等。

曲线的构成原理是，将每一个变量投影到同一条曲线上，并且通过差异性评估，从而比较各个变量之间的相互关系。

安德鲁斯曲线可以用于研究很多多元数据，比如调查研究中的人口统计学、心理学、营销学等数据的研究和分析。

除此之外，它也可以用于工业设计、预测、机器学习、系统研究、数据挖掘等。

安德鲁斯曲线具有许多优点，首先，它可以清晰、直观地展示多变量、异构数据之间的关系，使得研究者可以快速把握数据之间的关系，便于分析和推断；其次，它可以为更深入的数据分析提供可视化的基础，帮助研究者更好地理解数据；再者，它可以把多变量中定性变量的差异性放入安德鲁斯曲线中比较，增强定性变量的可视化表现能力。

总而言之，安德鲁斯曲线可以说是一种比较高级、非常强大的可视化方法，它可以让研究者清晰展示和比较多变量、异构数据之间的关系，进而更好地把握数据及深入分析，推断数据之间的规律，可以说是一种非常实用且有效的数据可视化方法。

andrew曲线 r语言Andrew曲线是一种可视化多元数据的技术，能够有效地展现数据的特征和相互作用。

它由Computer Science Center at Bell Labs的Patrick Andrew发明，经过不断的发展和改进，目前成为了可视化多元数据的常用方法之一。

在R语言中，我们可以使用Andrews曲线图库来生成Andrew曲线。

Andrew曲线的特点是将多维数据映射到二维平面上，在平面上显示出来。

Andrew曲线通过将每个样本的特征向量进行三角函数变换，将数据映射到一个混合曲线上。

Andrew曲线的优点在于它可以用较小的维度表示多元数据，从而便于数据的可视化比较和分类。

此外，它没有假定数据有任何特定的概率分布，因此更适用于现实世界的数据。

使用R语言绘制Andrew曲线图的方法也很简单。

首先，我们需要安装Andrews曲线图库，使用命令install.packages('andrews')即可。

接下来，我们可以读取数据，例如使用命令data(iris)读取iris数据，然后使用andrews()绘制曲线图。

如下是一个绘制Andrew曲线的示例代码：```library(andrews)data(iris)andrews(iris[,-5], iris$Species)```上述代码可绘制出一个具有多个分类的Andrews曲线。

除了Andrews曲线，R语言还提供了许多其他的多元数据可视化工具。

例如，可以使用ggplot2库绘制散点图、统计直方图，甚至是动画图表。

总之，无论是Andrews曲线还是其他多元数据可视化方法，在正确选择数据和相应的工具的前提下，能够让我们更好地理解和分析数据。

octmap的数学原理
OctMap是一种用于三维点云地图建立和处理的数据结构。

它将空间划分为八个等分的小立方体，称为八叉树。

每个小立方体可以是空的、被占据或者未知。

OctMap的数学原理是基于递归分割的思想，每次将当前区域分为八个子区域，并根据点云数据判断子区域的占据情况，直到达到所需精度。

在OctMap中，每个八叉树节点都对应一个坐标范围和一个占据概率值。

占据概率值表示该节点内部点云的占据情况，通常为0-1之间的实数。

OctMap还可以通过遍历八叉树来实现各种空间查询和操作，如查找某个点是否在地图中、计算某个空间区域的占据概率等。

OctMap的数学原理为三维点云地图提供了一种高效、灵活和可扩展的数据结构，具有广泛的应用前景。

- 1 -。

octmap的数学原理
OctMap是一种空间分割数据结构，用于表示三维环境中的物体和场景。

它将空间划分成八个等分的立方体，称为八叉树节点。

每个节点可以表示空间中的一个体积或空间中是否存在物体。

OctMap的数学原理基于二进制编码。

每个节点可以用一个8位二进制数表示，其中每一位表示该节点在三维空间中的位置是在其父节点的左子树还是右子树。

例如，如果第一位为0，则该节点在其父节点的左子树中，如果为1，则该节点在其父节点的右子树中。

OctMap的另一个重要概念是分辨率，它定义了每个节点代表的空间大小。

在OctMap中，每个节点的大小可以是任意的，这取决于应用程序的需要。

更高的分辨率意味着更多的节点，而更低的分辨率意味着更少的节点。

OctMap还支持节点的动态添加和删除，这使得它非常适合用于建立动态的三维环境地图，例如机器人导航和虚拟现实应用程序中的场景建模。

总之，OctMap是一种非常有用的三维环境表示方法，它的数学原理基于二进制编码和空间分割的概念。

它可以用于许多应用程序，例如机器人导航、虚拟现实和计算机图形学。

- 1 -。