东北大学本科概率论作业2及答案

第二次网络作业：（一）单项选择题：1、设A ，B 为任意两个事件，则下列关系成立的是[ C ]。

()()()()()()()()A A B B AB A B B AC A B B AD A B B A +-=+-⊃+-⊂-+=2、如果A ，B 为两个事件，则下列条件中，[ C ]成立时，A 与B 为对立事件。

()()()()A AB B A B C AB A B D AB =Φ+=Ω=Φ+=Ω=Φ且3、一批产品的次品率为(01)p p <<，为发现一件次品至少要检查2件产品的概率是[ C ]。

2()()1()(1)()(1)A p B p C p p D p p --- 4、两封信随机投入4个邮筒，则前两个信筒都没有投入信的概率为[ C ]。

22244222!2!2()()()()4!4!44C C A B C D5、设A ，B 为随机事件，()0.7,()0.3P A P A B =-=，则()P A B =[ A]。

()0.6()0.5()0.4()0.35A B C D6、设事件A 与B 相互独立，则下列各式中成立的是[ A]。

()()()()()()0()()()()()()1()()A P A B P A P B B P AB C P A B P A P B D P A B P A P B +=+=-=-+=-7、某人射击时，中靶率为34，如果射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率为[ C ]。

3223331131()()()()444444A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭8、袋中装有5个大小相同的球，其中3个白球，2个黑球，甲先从袋中随机取出一球后，乙再从中随机地取一球，则乙取出的球的白球的概率为[ C ]。

1231()()()()5554A B C D9、每次试验成功的概率为(01)p p <<，则在3次重复试验中至少失败一次的概率为[ B ]。

东北⼤学19春学期《概率论》在线作业2（答案）东⼤19春学期《概率论》在线作业2试卷总分:100 得分:100[题⽬1]、设X、Y的联合分布函数是F(x，y)，则F(+∞，y)等于：A、0；B、1；C、Y的分布函数；D、Y的密度函数。

标准答案:C[题⽬2]、若P(A)=0,B为任⼀事件，则A、A为空集B、B包含AC、A,B相互独⽴D、A,B互不相容标准答案:C[题⽬3]、如果随机事件A，B相互独⽴，则有：A、AB=空集；B、P(A)=P(B)；C、P(A|B)=P(A)；D、AB=B。

标准答案:C[题⽬4]、从概率论的⾓度来看，你认为下列⽣活中的哪⼀种现象具有合理的成分？A、某同学认为某门课程太难，考试不可能及格，因此放弃了努⼒学习；B、某⼈总是⽤⼀个固定的号码去买彩票，她坚信总有⼀天这个号码会中奖；C、某⼈总是抢先第⼀个抽签，认为这样抽到好签的可能性最⼤；D、某⾜球教练认为⽐赛时他的⾐服颜⾊与⽐赛的结果有关，所以总穿着同⼀件“幸运服”去指挥⽐赛。

标准答案:B[题⽬5]、在某学校学⽣中任选⼀名学⽣,设事件A:选出的学⽣是男⽣”;B选出的学⽣是三年级学⽣"。

则P(A|B)的含义是：A、选出的学⽣是三年级男⽣的概率B、已知选出的学⽣是三年级的，他是男⽣的概率C、已知选出的学⽣是男⽣，他是三年级学⽣的概率D、选出的学⽣是三年级的或他是男⽣的概率标准答案:B[题⽬6]、设随机事件A发⽣的概率为0.4,B 发⽣的概率为0.3及A,B两事件⾄少有⼀件发⽣的概率为0.6，那么A发⽣且B不发⽣的概率为A、0.2B、0.3C、0.4D、0.6标准答案:B[题⽬7]、设随机变量X与Y均服从正态分布，X~N（u，42），Y~N（u,52），记p1=P{X=u-4},p2=P{u+5},那么（）A、对任何实数u,都有p1=p2B、对任何实数u，都有p1p2C、只对u的个别值，才有p1=p2D、对任何实数u,都有p1p2标准答案:A[题⽬8]、n个⼈排成⼀列，已知甲总排在⼄的前⾯，求⼄恰好紧跟在甲后⾯的概率：A、2/n-1B、1/n-1C、2/nD、1/n标准答案:C第9题,随机变量X与Y的联合分布函数为F(x,y)，X与Y的各⾃分布函数分别为FX(x)和FY(y),则A、FY(y)B、FX(x)C、FX(x)FY(y)D、FX(x)+FY(y)标准答案:B第10题,设表⽰10次独⽴重复射击命中次数，每次命中的概率为0.4，则E（X2）=A、18.4B、16.4C、12D、16标准答案:A第11题,如果A、B是任意两个随机事件，那么下列运算正确的是：A、（A–B）+（B–A）＝空集；B、（A–B）+（B–A）＝A∪B；C、（A–B）＝A∪B–A；D、（A–B）＝A–AB正确答案:D第12题,随机变量X表⽰某学校⼀年级同学的数学期末成绩，则⼀般认为X服从（）。

2012-2013(2)概率统计试题A一.填空题（每小题3分，共15分）1. 已知()A P =0.6，().70=⋃B A P ，则()A B P |=______.2. 设随机变量),(~b a U X ，且3)(,4)(==X D X E ，则__________,==b a .3. 设随机变量X 的分布函数为)(x F ，且4.0}1{,3.0}1{=>=<X P X P ，则.____)1(=F 4. 设1021,,,X X X 是来自正态总体)5,2(N 的简单随机样本，X 为样本均值，则.___)(=X D5. 设随机变量X 1, X 2,X 3是来自正态总体)1,0(N 的简单随机样本，则2322212X X X +服从参数为_____的 _分布.二.单项选择题（每小题3分，共15分）1. 设B A ,是两个随机事件，若6.0)(,8.0)(==B P A P ，则)|(A B P 的值有可能是[ ]. (A ) 0； (B )41； (C ) 43； (D ) 1.2. 设Y X ,是方差均不为0的两个随机变量，若)()()(Y E X E XY E =，则一定有[ ]. (A )Y X ,相互独立； (B )Y X , 不相关； (C )Y X ,相关； (D )Y X ,不独立.3. 抛掷两枚均匀硬币，以X 表示正面朝上出现的次数，则)(X D 等于[ ]. (A ) 0； (B )21； (C ) 23； (D ) 1.4. 已知随机变量X 的概率密度为)()(∞<<-∞x x f X ，则12+=X Y 的概率密度为[ ]. (A ))1(21-y f X ； (B ) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-212y f X ； (C ) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-212y f X ； (D ) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2121y f X . 5. 设4321,,,X X X X 为来自正态总体)4,1(N 的简单随机样本，X 是样本均值，2S 是样本方差， 则有[ ].(A ) )4(~4322χS ； (B ) )3(~22χS ； (C ))4(~2/1t S X -； (D ) )3(~2/1t S X -.三.计算题 （每小题5分，共15分）1. 设袋中有10个球，其中有3个红球、3个白球和4个黑球，今有二人依次从袋中不放回地各取一个球，已知第二人取到了红球，求第一人取到黑球的概率. 2. 设随机变量X 的分布律为P {X 0}0.2,P {X 1}0.3,P {X======，随机变量YU (0,2)，且X, Y 相互独立，求P{3X Y 2}-≤.3．设A,B 为随机事件，且2.0)(=A P ，3.0)|(=A B P ，4.0)|(=B A P ，令⎩⎨⎧=不发生，发生A A X 0,1， ⎩⎨⎧=不发生，发生B B Y 0,1， 求X, Y 的联合分布律.四.计算题 （每小题5分，共15分） 设随机变量Y X ,的联合分布律为 X \ Y 1100.20.30.110.10.3－，求：1. 随机变量Y X Z +=2的分布律；2. }0|0{=≤X Y P ；3. 随机变量X,Y 的相关系数),(Y X ρ.五.计算题 （第1、2小题各5分，第3小题6分，共16分）设随机变量Y X ,的联合概率密度为 ⎩⎨⎧<<<=其他,0220,5.1),(y x x y x f ，求：1. 条件概率密度)1|(|y P X Y ；2. 随机变量Y 的方差)(Y D ；3. Y X Z +=的概率密度.六.计算题 （每小题6分，共12分） 已知总体X 的分布律为θθθθ36122101--PX，其中)10(<<θθ为未知参数，设12n x ,x ,,x 是来自总体X 的简单随机样本的一组观测值，其中有N 个1，求：1. θ的矩估计；2. θ的最大似然估计.七.计算题 （每小题6分，共12分）1．设某批产品的重量(单位：克)服从均值为50，方差为16 的某种分布，现任意地从中取出100件，求这100件产品总重量不超过5100克的概率.（已知 0.975)96.1(=Φ,0.9772)2(=Φ，0.9938)5.2(=Φ.）2. 已知一批零件的重量X (单位:kg )服从正态分布),(2σμN ，其中2,μσ未知. 今从中随机地抽取25个零件，测得重量的平均值是47千克，标准差是6千克. 问：在显著性水平0.05下，可以认为这批零件的平均重量为50千克吗？(已知220.950.050.025(24)13.848,(24)36.415,t (24) 2.0639χ=χ==,7109.1)24(05.0=t .)。

习题1解答1. 写出下列随机试验的样本空间Ω：（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）； （2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数；（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记为“正品”，不合格的记为“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果； （4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.解：（1）以n 表示该班的学生人数，总成绩的可能取值为0，1，2，…，100n ，所以该试验的样本空间为{|0,1,2,,100}ii n nΩ==.（2）设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品，样本空间为{10|0,1,2,}k k Ω=+=，或写成{10,11,12,}.Ω=（3）采用0表示检查到一个次品，以1表示检查到一个正品，例如0110表示第一次与第四次检查到次品，而第二次与第三次检查到的是正品，样本空间可表示为{00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=.（3）取直角坐标系，则有22{(,)|1}x y x y Ω=+<，若取极坐标系，则有{(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<.2．设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件. (1)A 发生而B 与C 不发生； (2)A 、B 、C 中恰好发生一个； (3)A 、B 、C 中至少有一个发生； (4)A 、B 、C 中恰好有两个发生； (5)A 、B 、C 中至少有两个发生； (6)A 、B 、C 中有不多于一个事件发生.解：(1)ABC 或A B C --或()A B C -；(2)ABC ABC ABC ；(3)AB C 或ABCABCABCABCABCABCABC ；(4)ABC ABCABC .(5)AB AC BC 或ABC ABC ABCABC ；(6)ABCABCABCABC .3．设样本空间{|02}x x Ω=≤≤，事件{|0.51}A x x =≤≤，{|0.8 1.6}B x x =<≤，具体写出下列事件：(1)AB ；（2）A B -；（3）A B -；（4）A B .解：（1）{|0.81}AB x x =<≤； （2）{|0.50.8}A B x x -=≤≤；（3）{|00.50.82}A B x x x -=≤<<≤或； （4）{|00.5 1.62}AB x x x =≤<<≤或.4. 一个样本空间有三个样本点， 其对应的概率分别为22,,41p p p -， 求p 的值. 解：由于样本空间所有的样本点构成一个必然事件，所以2241 1.p p p ++-=解之得1233p p =-=-，又因为一个事件的概率总是大于0，所以3p =- 5. 已知()P A =0.3，()P B =0.5，()P A B =0.8，求(1)()P AB ；(2)()P A B -；(3)()P AB .解：(1)由()()()()P AB P A P B P AB =+-得()()()()030.50.80P AB P A P B P A B =+-=+-=.(2) ()()()0.300.3P A B P A P AB -=-=-=. (3) ()1()1()10.80.2.P AB P AB P AB =-=-=-=6. 设()P AB =()P AB ，且()P A p =，求()P B . 解：由()P AB =()1()1()1()()()P AB P AB P AB P A P B P AB =-=-=--+得()()1P A P B +=，从而()1.P B p =-7. 设3个事件A 、B 、C ，()0.4P A =，()0.5P B =，()0.6P C =，()0.2P AC =，()P BC =0.4且AB =Φ，求()P A B C .解：()()()()()()()()0.40.50.600.20.400.9.P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+=++---+=8. 将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 解：依题意可知，基本事件总数为34个.以,1,2,3i A i =表示事件“杯子中球的最大个数为i ”，则1A 表示每个杯子最多放一个球，共有34A 种方法，故34136().416A P A ==2A 表示3个球中任取2个放入4个杯子中的任一个中，其余一个放入其余3个杯子中，放法总数为211343C C C 种，故211343239().416C C C P A == 3A 表示3个球放入同一个杯子中，共有14C 种放法，故14331().416C P A ==9. 在整数0至9中任取4个，能排成一个四位偶数的概率是多少?解：从0至9 中任取4个数进行排列共有10×9×8×7种排法.其中有(4×9×8×7－4×8×7＋9×8×7)种能成4位偶数. 故所求概率为4987487987411098790P ⨯⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯==⨯⨯⨯. 10. 一部五卷的文集，按任意次序放到书架上去，试求下列事件的概率：(1)第一卷出现在旁边；(2)第一卷及第五卷出现在旁边；(3)第一卷或第五卷出现在旁边；(4)第一卷及第五卷都不出现在旁边；(5)第三卷正好在正中.解：(1)第一卷出现在旁边，可能出现在左边或右边，剩下四卷可在剩下四个位置上任意排，所以5/2!5/!42=⨯=p .(2)可能有第一卷出现在左边而第五卷出现右边，或者第一卷出现在右边而第五卷出现在左边，剩下三卷可在中间三人上位置上任意排，所以 10/1!5/!32=⨯=p .(3)p P ={第一卷出现在旁边}+P{第五卷出现旁边}-P{第一卷及第五卷出现在旁边}2217551010=+-=. (4)这里事件是(3)中事件的对立事件，所以 10/310/71=-=P .(5)第三卷居中，其余四卷在剩下四个位置上可任意排，所以5/1!5/!41=⨯=P . 11. 把2，3，4，5诸数各写在一X 小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率.解：末位数可能是2或4.当末位数是2(或4)时，前两位数字从剩下三个数字中选排，所以 23342/1/2P A A =⨯=.12. 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客.电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率.解：每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为79.事件A “没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”.所以包含79A 个样本点，于是7799)(A A P =.13. 某人午觉醒来,发觉表停了, 他打开收音机,想听电台报时, 设电台每正点是报时一次,求他(她)等待时间短于10分钟的概率.解:以分钟为单位, 记上一次报时时刻为下一次报时时刻为60, 于是这个人打开收音机的时间必在),60,0(记 “等待时间短于10分钟”为事件,A 则有(0,60),Ω=)60,50(=A ,⊂Ω于是)(A P 6010=.61= 14. 甲乙两人相约812-点在预定地点会面。

一填空题k1.设随机变量 X 的分布律为P{ X k }a(k0,1,2,),0 为常数，则a=ek!2.一实习生用一台机器接连独立地制造 3 个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率p ii 1(i 1,2,3)，以X表示3个中1零件合格品的个数，则P{ X2} =11 243.设在三次独立试验中，事件 A 出现的概率相等，若已知 A 至少出现一次的概率等于19/27，则事件 A 在一次试验中出现的概率是13二选择题1.设离散型随机变量X 的分布律为P{ X k}b k (k1,2,), 且 b0,0,则为[C]（ A）0的任意常数（ B）b1（ C）11（ D）1b b12.设离散型随机变量X 的分布律为P{X k}1k(k1,2,), 则P{ X为偶数 }的概率是[B]2（A） 1/2 （B） 1/3 （ C） 1/4 （ D） 1/5三计算题1. 某射手的命中率为 P，现对某一目标连续不断的射击，直到第一次命中目标为止，设各次射击是相互独立的，求他射击次数不超过 5 次就把目标击中的概率。

解：设 X 表示停止射击时所射击的次数， P(X k)p(1p) k1k1,2,3,...5p)k1所以所求概率为P( X5)k1p(12. 一大批产品，其次品率为P，采取下列方法抽样检查：抽样直至抽到一个次品为止，或一直抽到10个产品就停止检查，设X为停止检查时抽样的个数，求X的分布律。

解： X12910p k p p(1p)(1p) 8 p(1p) 9 p(1p) 10．已知离散型随机变量只取1357，求c的值并计算概率P{ X 1}及P{X 0}X1,0,1, 2，相应的概率为,,,8c2c4c16c解：由分布律的性质知：13571则得 c37 2c4c8c16c16所以 P{|X| 1}P{1X1} 1P{ X 2 }30P{ X0} 1 P{X29 371}374. 已知甲、乙两箱装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和3 件次品，乙箱中仅装有 3 件合格品，从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱中，求乙箱中次品数X 的分布律。

一、习题详解：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω；(2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;解：}{12,11,4,3,22 =Ω；(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{,2,1,03=Ω； (4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：()}{;51,4≤≤=Ωj i j i(5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ；1.2 设A ，B ，C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件：(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃；(3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃；(5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃；(6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃； (7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC ；(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

1. 写出下列随机试验的样本空间及事件中的样本点：1) 将一枚均匀硬币连续掷两次，记事件A=｛第一次出现正面｝, B=｛两次出现同一面｝, C=｛至少有一次正面出现｝.2) 一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5,从中同时取3只球.记事件A = ｛球的最小号码为1｝.3) 10件产品中有一件废品，从中任取两件，记事件A=｛得一件废品｝.4) 两个口袋各装一个白球与一个黑球，从第一袋中任取一球记下其颜色后放入第二袋,搅均后再从第二袋中任取一球•记事件A=｛两次取出的球有相同颜色｝.5) 掷两颗骰子，记事件A二｛出现点数之和为奇数，且其中恰好有一个1点｝,B =｛出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现1点｝.答案:1)门-｛ (H,H), (H,T),仃，H),仃,T)｝, 其中H:正面出现；T :反面出现•A=｛(H,H),(H,T)｝；B =｛ (H,H), (T,T)｝;C 讯(H,H), (H,T), (T,H)｝.2)由题意，可只考虑组合,则G = ! (1, 2, 3), (1, 2,4), (1, 2, 5), (1, 3, 4), (1, 3, 5),]一-、(1, 4, 5), (2, 3, 4), (2, 3, 5), (2, 4, 5), (3, 4,5)「A =「(1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), (1,3,4), (1,3,5), (1, 4,5) ：f.3) 用1,2，…,9号表示正品,10号表示废品.则”(1,2), (1,3), (1,4),…，(1,10厂(2,3), (2,4),…,(2,10)Q = •: ＞；匕(8,10)I(9,10) JA—(1,10), (2,10), , (9,10) \4)记第一袋中的球为(W1, th),第二袋中的球为(W2, b2),则l；1 = ' (W6, W2), (W1, b2), (W, W), (b, W2), (b, b2), (b, b) f;A，(w1,w2),(w1,w), (bi,b2),(b,b)二(1,1), (1,2),…,(1,6)、 (2,1), (2,2),…，(2, 6) - ；I ''-.(6,1), (6,2), , (6,6)A 」(1,2), (1,4), (1,6), (2,1), (4,1), (6,1) ?;[(2, 2), (2, 4), (2,6), (3, 3), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (4,6),(5,3),(5,5), (6,2),(6, 4),(6,6)注：也可如下表示：'(1,1), (1,2),…，(1,6厂(2, 2),…，(2,6)(6,6)A =「(1,2),(1,4), (1,6) ?;B =「(2, 2), (2, 4), (2,6), (3,3), (3, 5), (4, 4), (4,6), (5, 5), (6,6) /.2. 一个工人生产了 n 个零件，以事件A 表示“他生产的第i 个零件是正品” (1兰i 兰n).3. 设A 、B C 为三个事件，用A 、B C 的运算关系表示下列各事件1 )A 发生；2 )只有A 发生；3)A 与B 发生而C 不发生； 4 )三个事件都发生；5) 三个事件中至少有一个发生； 6) 三个事件中至少有两个发生 ；7) 三个事件中恰好发生一个； 8) 三个事件中恰好发生两个； 9) 三个事件都不发生；试用A 1,A,…,A n 表示下列事件： 1)没有一个零件是次品； 2) 3)只有一个零件是次品；4) n答案：1) A ;2)i 壬nn3) [A' ( A j )];4)i 吕j dj -i至少有一个零件是次品； 至少有两个零件不是次品nA ；(亦即：全部为正品的对立事件)i d nn n (M2[U (A * A))]・i di =1j dj -i10) 三个事件中不多于两个发生 ； 11) 三个事件中不多于一个发生 • 解:1) A ; 2) ABC ;3) ABC ;4) ABC ;5) A B C ;6)ABC 1 - ABC 1 . ABC 1 - ABC( =AB BC AC =BC 一 AC 一 AB )(等价说法：至少有两个不发生的对立事件); 7)ABC 一 ABC 一 ABC ;8)ABC 一 ABC 一 ABC ;9) ABC (= A- -^/C );10)ABC (= A B 一 C )(等价说法：至少有一个不发生.);11) ABC AB C _ ABC ABC (= BC AC AB )(即：至少有两个不发 生)•4.试把事件 A A ? 一…A n 表示成n 个两两互不相容事件之并•答案：A u A A 2 Q A A A 3 u""" <j' A 「" Ai _1An . 7. 一栋10层楼中的一架电梯在底层上了 7位乘客,电梯在每层都停，乘客从第二层起离开 电梯,设每位乘客在每层离开是等可能的•求没有2位乘客在同一层离开的概率•A 7 解：所有可能情况为97种,则所求概率为p 9 •979.设甲袋中有a 只白球b 只黑球，乙袋中有e 只白球d 只黑球•在两袋中各任取一只球 求所得两球颜色不同的概率•所有可能情况有(a - b)(e d)种，则所求概率为p 二(a+ b)(c + d)从n 双尺码不同的鞋子中任取 2r ( 2r ::: n )只，求下列事件的概率： 所取2r 只鞋子中没有两只成对； 所取2r 只鞋子中只有两只成对； 所取2r 只鞋子恰好配成r 对•ad be 11. 1)2) 3) 样本空间可考虑有2ni 种可能结果，古典概型，则所求概率分别为1)n2r .2rn22r 2r 22r口丨2】r [ 2 ]2r指定的n 间房里各住一人； 恰有n 间房，其中各住一人. 所有可能情况为N n 种,则所求概率分别为13.甲乙两人从装有a 个白球与b 个黑球的口袋中轮流摸取一球 ，甲先摸，不放回，直至有 一人取到白球为止.求甲先摸到白球的概率.解：甲先摸到白球，则可能结果如下(注：至多有限次摸球)：甲W ， 甲B 乙B 甲W ，甲 B 乙 B 甲 B 乙 B 甲 W ， 甲 B 乙 B 甲 B 乙 B 甲 B 乙 B 甲 W ，a①当b 为偶数时，则所求概率为a 丄b b —1 ap 甲二 "a+b a+b a+b T a+b-2 + b b —1 b —2 b -3 aa b a b-1 a b-2 a b-3 a b-4 +…+ b b-1 …2 1 aa +b a +b T a + 2 a +1 a=亠口 + ___________ b (bT ) _______ +…+ ____________ ____________ ] a b (a b -1) (a b -2) (a b —1) (a b —2厂(a 1) a2)P 2 -■n^ 'Q (n -0/2 J 八2八2―2丿2；— n2n2「3)12.设有n 个人，每人都被等可能地分配到 N(N -n)个房间中的任一间.求下列事件的概率: 1) 2) 解 :1)n!A ；1)B 市市2)P 2 =n JN ；②当b 为奇数时，则所求概率为a b -1 a 217. 口袋中有2n -1只白球，2n 只黑球，一次取出n 只球，发现都是同色球，问这种颜色是 黑色的概率为多少？ 解：记事件A = ｛所取n 个球为同一种颜色｝，B = ｛所取n 个球全为黑球｝，要求 P(B | A) =?ntt P(AB) 则 P(B| A):P(A)勾］(2n)!= l n 丿 = ___________________ n Xn! ___ = 2 「2n-1 2n - (2n-1)! (2n)!「3..n n n! (n -1)! n! n!18. 设M 件产品中有 m 件废品，从中任取两件. 1) 在这两件中有一件是废品的条件下 ，求另一件也是废品的概率 2) 在这两件中有一件是正品的条件下，求另一件是废品的概率解: 1)记事件A=｛任取两件，有废品｝, B =｛任取两件，均为废品｝,则所求概率为m M m2 2 2 _ m-1 M - m M M M - m 2M 「m 「1 .2 2 2 一 . 22)记事件C =｛任取两件，有正品｝, D 珂任取两件，有一正品一件废品｝,贝V 所求 概率为a b p 甲=a +b 丄 a bb -1a b a b -1 a b -2 b -1 b —2b -3 a b -1 a b -2 ba b -4b -1 b(b -1)+'(a b -1) (a b-2)b!(a b — 1) (a b — 2) (a 1)].P 1 二 P(B|A)二P(AB)P(A) P(B)P(A) ■‘2n n ⑴J v n 丿已知 P(A) =0.25,P(A 2)=0.35, P(A) =0.40,m (M - m)M _ m M m -1 2 - 219. 袋中有黑、白球各一个，一次次从中摸球，如果摸到白球，则放回白球，且再加入一个白 球,直至摸到黑球为止.求摸了 n 次都没有摸到黑球的概率.解：记事件A ：第i 次摸到白球，i=1,2,…，n ,要求：P(AA2…A n )二？ 由计算概率的乘法定理，则所求概率为P(AA …A n ) = P(A) P(A|A) P^IAA)…P(A n |A …AU=12 3 ...21.某射击小组有20名射手，其中一级射手4 人，二级8 人，三级7 人，四级1人各级射手 能通过选拔进入比赛的概率依次为 0.9,0.7,0.5,02 求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率.P(B|A)=0.9, P(B|A 2)=0.7, P(B|A 3)=0.5, P(B|A 4)=0.2.用全概率公式，则所求概率为4P(B)八 P(A i ) P(B| A i )im4 8 7 1 0.9 0.7 0.5 0.2 =0.645.20 20 20 2023. 甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉 ，它们的产量各占25%,35%,40%,并且在各自的产品中 废品各占5%,4%,2%从它们的产品中任取一个恰好是废品 ，问此废品是甲、乙、丙生产的概 率各为多少？解：记事件A 1, A 2, A 3表示所取产品分别是甲、乙、丙机器所生产 ；事件B=｛所取产品是废品｝. 要求：P(A|B)=? ( i=1,2,3)P2=P(D|C)品)P (D )P(C)M -mm M.1 121 一 ：鸟2 22m解：记事件B =｛所选射手能进入比赛｝,A =｛所选射手为第i 级｝, i =1,234.4已知心20P(A2“ 280PT1 卩(小20P(B|A)=0.05, P(B|A) = 0.04, P(B| A 3) = 0.02.3则 P(B) =' P(AJ P(B| A)i 1= 0.25 0.05 0.35 0.04 0.4 0.02 =0.0345.由贝叶斯公式，则所求概率分别为P(A |B) P (AB )P(A) P(B|AJ 0.25 0.05-P(B) 一 P(B) -0.0345P(A|B)=P^BLA^28,0.4058, P(B) 69 P(A|B)』A 3)P(B|阳』7.2319.P(B)6924.有朋友自远方来,他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3,0.2,0.1,04 如果他乘火车、轮船、汽车，则迟到的概率分别是 1/4,1/3,1/12; 而乘飞机不会迟到.可他迟到了，问他是乘火车来的概率为多少 ？解：记事件A 1, A 2, A 3, A 分别表示朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来 事件B =｛朋友迟到 }.要求:P(A|B)二? 已知 P(A)=0.3,P(A) =0.2,P(A) =0.1,P(^) =0.4,1 P(B|A), 411P(B | A 2), P(B| A c ) , P(B|A)=0.3124贝y P(B) = » P(A) P(B| A i )i =11 1 1= 0.3 — 0.2 — 0.10.4 0 =0.15.4 3 12由贝叶斯公式，则所求概率为25.装有m (m _3)个白球和n 个黑球的罐子中丢失一球，但不知其颜色.现随机地从罐中摸取两个球，结果都是白球，求丢失的是白球的概率.解：记事件A =｛丢失白球｝, B =｛任取两个球都是白球｝.要求：P(A| B) =?着°.3623,P(A 1 I B)二P(AQ P(B| A,)P(B)-0.5.0.15P(A) P(B| A) P(A) P(B| A) P(A) P(B |A)已知 P(A)=^^, P(A)=^^m + nm + n(m _1)(m _2) (m n - 1)(m n - 2)mP(B| A)2m(m")i'm + n-1 ! (m + n- 1)(m + n —2)2则所求概率为m (m -1)(m -2)P (A | B ) = _______________ m n (m n - 1)(m n-2)m (m —1)(m —2) + n 二 m(m-1) m n (m n _ 1)( m n _2) m n (m n_ 1)( m n _ 2) m —2 m n -227. 一架轰炸机袭击1号目标，另一架袭击2号目标，击中1号目标的概率为0.8,击中2号目 标的概率为0.5,求至少击中一个目标的概率 .解：记事件A =｛击中i 号目标｝, i =1,2.要求：P(Au A) =? 方法一 ：P(A ・ A 2)= P(A) + P(A0—P(AA0 二 P(A) P(A 2)-P(A) P(AO= 0.8 0.5 -0.8 0.5 =0.90.方法二：P (A ・ A 2)= 1—p (A^TA 2)= 1 —p (AA z )=1-P(A) P(A 2)= 1_(1_0.8) (1 -0.5) =0.90.29.今有甲、乙两名射手轮流对同一目标进行射击，甲、乙命中的概率分别为 p 1, p 2 ,甲先射，谁先命中谁得胜.问甲、乙两人获胜的概率各为多少？解：记事件A =｛第i 轮甲命中目标｝, B i =｛第i 轮乙命中目标｝, i =12….则P(A|B)P(AB) P(B) P(B|A)｛甲获胜｝ =Ai- A 国 A 一 AB 1A 2耳A s 一 ,所以P ｛甲获胜｝ = P(A i A 1B 1A AB 1A 2B 2A _.)二 P(A i ) P(A I B I A 2) P(A I B 1A 2B 2A S ) ■-二 P(A i ) P(A 1 厂P(B l ) P(A 2)P(A I )卩(B) P(A 2)P(B 2)P(A s )二 p (1 - p i ) (1 - P 2) p i[(1 - pi) (1 - P 2)]2 p i_______ P 1 ___________ ___ _________ P 1 ______1 -(1 - pj (1 - P 2) P 1 P2 - pi P 2由于｛乙获胜｝ = A B 一 A 1B 1A 2B 2 一 A^A^A s B s —, 所以 P ｛乙获胜｝ = P (A B _ A 1B 1A 2B 2 一_.)=p (瓦B )+P (AB 1瓦B 2)+ P (瓦氏瓦目2入^3)+… 二(1 - P 1) P 2 (1 - P 1)2 (1 - P 2) P 2(1 - P 1)3 (1 - P 2)2 P 2(1 - P 1)卩2_ (1 - Pl) P 21 -(1 - P 1)(1 - P 2)P 1P 2 - PlP 2P ｛乙获胜｝ =1 -P ｛甲获胜｝ -1-P 1 + P 2 - P 1 ' P 2 解：(1 )由题设知，随机变量 X 的可能取值为：1,2，…，且事件(X = n)(n =1,2，…)表示 一共进行了 n 次试验，且前2 一口袋中装有 m 个白球，n- m 个黑球，连续无放回地从袋中取球，直到取出黑球为止， 此时取出了 X 个白球，求X 的分布律。

概率论与数理统计习题二答案概率论与数理统计习题二答案概率论与数理统计是一门重要的数学学科，广泛应用于各个领域。

习题是学习这门学科的重要方式之一，通过解答习题可以巩固理论知识，提高问题解决能力。

本文将针对概率论与数理统计习题二给出详细的答案解析。

1. 设事件A和事件B为两个相互独立的事件，且P(A) = 0.3，P(B) = 0.4。

求P(A并B)和P(A或B)。

解析：由于事件A和事件B是相互独立的，所以P(A并B) = P(A) * P(B) = 0.3 * 0.4 = 0.12。

而P(A或B) = P(A) + P(B) - P(A并B) = 0.3 + 0.4 - 0.12 = 0.58。

2. 一批产品中有10%的次品，从中随机抽取5个产品进行检验，求恰好有3个次品的概率。

解析：设事件A为恰好有3个次品，事件B为抽取的5个产品中有3个次品。

根据二项分布的概率公式，P(B) = C(5, 3) * (0.1)^3 * (0.9)^2 = 10 * 0.001 * 0.81 = 0.0081。

因此，恰好有3个次品的概率为0.0081。

3. 一批产品的质量服从正态分布，已知平均值为μ，标准差为σ。

从中随机抽取一个样本，样本容量为n。

求样本均值的期望值和方差。

解析：样本均值的期望值为总体均值μ，样本均值的方差为总体方差除以样本容量n。

因此，样本均值的期望值为μ，方差为σ^2/n。

4. 设X和Y是两个随机变量，它们的协方差为Cov(X, Y) = 5，方差分别为Var(X) = 9，Var(Y) = 16。

求随机变量Z = 2X + 3Y的方差。

解析：根据随机变量的性质，Var(Z) = Var(2X + 3Y) = 4Var(X) + 9Var(Y) +12Cov(X, Y) = 4 * 9 + 9 * 16 + 12 * 5 = 36 + 144 + 60 = 240。

5. 设X服从参数为λ的指数分布，即X ~ Exp(λ)。

《概率论与数理统计》习题及答案习题二1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】353524353,4,51(3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6C X P X P X P X ==========故所求分布律为2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律；（2） X 的分布函数并作图； (3)133{},{1},{1},{12}222P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.【解】313315122133151133150,1,2.C 22(0).C 35C C 12(1).C 35C 1(2).C 35X P X P X P X ========== 故X 的分布律为（2） 当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)=2235当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数0,022,0135()34,12351,2x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩(3)1122()(),2235333434(1)()(1)02235353312(1)(1)(1)2235341(12)(2)(1)(2)10.3535P X F P X F F P X P X P X P X F F P X ≤==<≤=-=-=≤≤==+<≤=<<=--==--=3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3.31232233(0)(0.2)0.008(1)C 0.8(0.2)0.096(2)C (0.8)0.20.384(3)(0.8)0.512P X P X P X P X ============故X 的分布律为0,00.008,01()0.104,120.488,231,3x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩(2)(2)(3)0.896P X P X P X ≥==+==4.（1） 设随机变量X 的分布律为P {X =k }=!k akλ，其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a .（2） 设随机变量X 的分布律为P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，试确定常数a . 【解】（1） 由分布律的性质知1()e !kk k P X k a a k λλ∞∞======∑∑故 ea λ-=(2) 由分布律的性质知111()NNk k aP X k a N======∑∑即 1a =.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率; （2） 甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7)(1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+(3,3)P X Y ==33121233(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++22223333C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+0.32076=(2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ (2,1)(3,1)(3,2)P X Y P X Y P X Y ==+==+==12322333C 0.6(0.4)(0.3)C (0.6)0.4(0.3)=++ 33221233(0.6)(0.3)C (0.6)0.4C 0.7(0.3)++31232233(0.6)C 0.7(0.3)(0.6)C (0.7)0.3+=0.2436.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，则有()0.01P X N ><即 2002002001C (0.02)(0.98)0.01k k kk N -=+<∑利用泊松近似2000.02 4.np λ==⨯=41e 4()0.01!kk N P X N k -∞=+≥<∑ 查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b （1000，0.0001）(2)1(0)(1)P X P X P X ≥=-=-=0.10.11e0.1e --=--⨯8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则1422355C (1)C (1)p p p p -=-故 13p =所以 4451210(4)C ()33243P X ===. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3）5553(3)C (0.3)(0.7)0.16308kk k k P X -=≥==∑(2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3）7773(3)C (0.3)(0.7)0.35293k k k k P Y -=≥==∑10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；（2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）32(0)eP X -== (2) 52(1)1(0)1eP X P X -≥=-==-11.设P {X =k }=kkkp p --22)1(C , k =0,1,2P {Y =m }=mmmp p --44)1(C , m =0,1,2,3,4分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=59，试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥=，故4(1)9P X <=. 而 2(1)(0)(1)P X P X p <===-故得 24(1),9p -=即 1.3p =从而 465(1)1(0)1(1)0.8024781P Y P Y p ≥=-==--=≈ 12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X 为2000册书中错误的册数，则X~b (2000,0.001).利用泊松近似计算,20000.0012np λ==⨯=得 25e 2(5)0.00185!P X -=≈= 13.进行某种试验，成功的概率为34，失败的概率为14.以X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率. 【解】1,2,,,X k =113()()44k P X k -==(2)(4)(2)P X P X P X k =+=++=+321131313()()444444k -=++++213141451()4==- 14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： （1） 保险公司亏本的概率;（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.（1） 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X ，则X~b (2500,0.002)，则所求概率为(200030000)(15)1(14)P X P X P X >=>=-≤由于n 很大，p 很小，λ=np =5，故用泊松近似，有514e 5(15)10.000069!kk P X k -=>≈-≈∑(2) P (保险公司获利不少于10000)(30000200010000)(10)P X P X =-≥=≤510e 50.986305!kk k -=≈≈∑即保险公司获利不少于10000元的概率在98%P （保险公司获利不少于20000）(30000200020000)(5)P X P X =-≥=≤55e 50.615961!kk k -=≈≈∑即保险公司获利不少于20000元的概率约为62% 15.已知随机变量X 的密度函数为f (x )=A e -|x |, -∞<x <+∞,求：（1）A 值；（2）P {0<X <1}; (3) F (x ). 【解】（1） 由()d 1f x x ∞-∞=⎰得||1e d 2e d 2x x A x A x A ∞∞---∞===⎰⎰故 12A =.(2) 11011(01)e d (1e )22x p X x --<<==-⎰(3) 当x <0时，11()e d e 22x x x F x x -∞==⎰当x ≥0时，0||0111()e d e d e d 222x x x x x F x x x x ---∞-∞==+⎰⎰⎰11e 2x-=-故 1e ,02()11e 02xx x F x x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≥.100,0,100,1002x x x求：（1） 在开始150小时内没有电子管损坏的概率； （2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率； （3） F （x ）. 【解】（1） 15021001001(150)d .3P X x x ≤==⎰ 33128[(150)]()327p P X =>==(2) 1223124C ()339p ==(3) 当x <100时F （x ）=0当x ≥100时()()d xF x f t t -∞=⎰100100()d ()d x f t t f t t -∞=+⎰⎰2100100100d 1xt t x==-⎰ 故 1001,100()0,0x F x xx ⎧-≥⎪=⎨⎪<⎩ 17.在区间［0，a ］上任意投掷一个质点，以X 表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a ］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X 的分布函数. 【解】 由题意知X ~∪[0,a ]，密度函数为1,0()0,x af x a⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他故当x <0时F （x ）=0 当0≤x ≤a 时01()()d ()d d xx xx F x f t t f t t t a a-∞====⎰⎰⎰当x >a 时，F （x ）=1 即分布函数0,0(),01,x x F x x a a x a<⎧⎪⎪=≤≤⎨⎪>⎪⎩ 18.设随机变量X 在[2，5]上服从均匀分布.现对X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率. 【解】X ~U [2,5]，即1,25()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 5312(3)d 33P X x >==⎰故所求概率为22333321220C ()C ()33327p =+= 19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分钟计）服从指数分布1()5E .某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求P {Y ≥1}. 【解】依题意知1~()5X E ，即其密度函数为51e ,0()50,xx f x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩x 0该顾客未等到服务而离开的概率为25101(10)e d e 5x P X x -∞->==⎰2~(5,e )Y b -,即其分布律为225525()C (e )(1e ),0,1,2,3,4,5(1)1(0)1(1e )0.5167kk k P Y k k P Y P Y ----==-=≥=-==--=20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服从N （40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从N （50，42）. （1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？（2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？ 【解】（1） 若走第一条路，X~N （40，102），则406040(60)(2)0.977271010x P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭若走第二条路，X~N （50，42），则506050(60)(2.5)0.993844X P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭++故走第二条路乘上火车的把握大些.（2） 若X~N （40，102），则404540(45)(0.5)0.69151010X P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭若X~N （50，42），则504550(45)( 1.25)44X P X P Φ--⎛⎫<=<=- ⎪⎝⎭1(1.25)0.1056Φ=-=故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设X ~N （3，22），（1） 求P {2<X ≤5}，P {-4<X ≤10}，P {｜X ｜＞2}，P {X ＞3}; （2） 确定c 使P {X ＞c }=P {X ≤c }. 【解】（1） 23353(25)222X P X P ---⎛⎫<≤=<≤⎪⎝⎭11(1)(1)1220.841310.69150.5328ΦΦΦΦ⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+=433103(410)222X P X P ----⎛⎫-<≤=<≤ ⎪⎝⎭770.999622ΦΦ⎛⎫⎛⎫=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(||2)(2)(2)P X P X P X >=>+<-323323222215151122220.691510.99380.6977X X P P ΦΦΦΦ-----⎛⎫⎛⎫=>+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+-=333(3)()1(0)0.522X P X P Φ->=>=-=- (2) c=322.由某机器生产的螺栓长度（cm ）X ~N （10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. 【解】10.050.12(|10.05|0.12)0.060.06X P X P ⎛-⎫->=>⎪⎝⎭1(2)(2)2[1(2)]0.0456ΦΦΦ=-+-=-=23.一工厂生产的电子管寿命X （小时）服从正态分布N （160，σ2），若要求P {120＜X ≤200＝≥0.8，允许σ最大不超过多少？ 【解】120160160200160(120200)X P X P σσσ---⎛⎫<≤=<≤⎪⎝⎭ 404040210.8ΦΦΦσσσ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-≥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故4031.251.29σ≤= 24.设随机变量X 分布函数为F （x ）=e ,0,(0),00.xt A B x ,x λ-⎧+≥>⎨<⎩ （1） 求常数A ，B ；（2） 求P {X ≤2}，P {X ＞3}； （3） 求分布密度f （x ）.【解】（1）由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x →+∞→+→-=⎧⎪⎨=⎪⎩得11A B =⎧⎨=-⎩（2） 2(2)(2)1eP X F λ-≤==-33(3)1(3)1(1e)e P X F λλ-->=-=--=(3) e ,0()()0,0x x f x F x x λλ-⎧≥'==⎨<⎩25.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x 求X 的分布函数F （x ），并画出f （x ）及F （x ）.【解】当x <0时F （x ）=0当0≤x <1时0()()d ()d ()d xxF x f t t f t t f t t -∞-∞==+⎰⎰⎰20d 2xx t t ==⎰当1≤x<2时()()d xF x f t t -∞=⎰1011122()d ()d ()d d (2)d 132222212xx f t t f t t f t tt t t tx x x x -∞==+=+-=+--=-+-⎰⎰⎰⎰⎰当x ≥2时()()d 1x F x f t t -∞==⎰故 220,0,012()21,1221,2x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩26.设随机变量X 的密度函数为（1） f (x )=a e -|x |,λ>0;(2) f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<.,0,21,1,10,2其他x xx bx 试确定常数a ,b ，并求其分布函数F （x ）. 【解】（1） 由()d 1f x x ∞-∞=⎰知||021e d 2e d x x aa x a x λλλ∞∞---∞===⎰⎰故 2a λ=即密度函数为 e ,02()e 02xx x f x x λλλλ-⎧>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩当x ≤0时1()()d e d e 22xxx x F x f x x x λλλ-∞-∞===⎰⎰当x >0时0()()d e d e d 22xxxx F x f x x x x λλλλ--∞-∞==+⎰⎰⎰11e 2xλ-=-故其分布函数11e ,02()1e ,02xx x F x x λλ-⎧->⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩(2) 由12201111()d d d 22b f x x bx x x x ∞-∞==+=+⎰⎰⎰得 b =1即X 的密度函数为2,011(),120,x x f x x x<<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎩其他当x ≤0时F （x ）=0 当0<x <1时0()()d ()d ()d xxF x f x x f x x f x x -∞-∞==+⎰⎰⎰2d 2xx x x ==⎰当1≤x <2时01211()()d 0d d d x xF x f x x x x x x x -∞-∞==++⎰⎰⎰⎰312x=- 当x ≥2时F （x ）=1 故其分布函数为20,0,012()31,1221,2x x x F x x x x ≤⎧⎪⎪<<⎪=⎨⎪-≤<⎪⎪≥⎩27.求标准正态分布的上α分位点， （1）α=0.01，求z α; （2）α=0.003，求z α，/2z α. 【解】（1） ()0.01P X z α>=即 1()0.01z αΦ-= 即 ()0.09z αΦ= 故 2.33z α= （2） 由()0.003P X z α>=得1()0.003z αΦ-=即 ()0.997z αΦ= 查表得 2.75z α= 由/2()0.0015P X z α>=得/21()0.0015z α-Φ=即 /2()0.9985z αΦ= 查表得 /2 2.96z α=【解】Y 可取的值为0，1，4，91(0)(0)5117(1)(1)(1)615301(4)(2)511(9)(3)30P Y P X P Y P X P X P Y P X P Y P X =======-+==+====-=====故Y 的分布律为29.设P {X =k }=(2)k, k =1,2,…,令 1,1,.X Y X ⎧=⎨-⎩当取偶数时当取奇数时 求随机变量X 的函数Y 的分布律. 【解】(1)(2)(4)(2)P Y P X P X P X k ===+=++=+242111()()()222111()/(1)443k =++++=-=2(1)1(1)3P Y P Y =-=-==30.设X ~N （0，1）.（1） 求Y =e X 的概率密度； （2） 求Y =2X 2+1的概率密度； （3） 求Y =｜X ｜的概率密度.【解】（1） 当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时，()()(e )(ln )xY F y P Y y P y PX y =≤=≤=≤ln ()d yX f x x -∞=⎰故 2/2ln d ()1()(ln ),0d y Y Y x F y f y f y y y y -===> (2)2(211)1P Y X =+≥=当y ≤1时()()0Y F y P Y y =≤=当y >1时2()()(21)Y F y P Y y P X y =≤=+≤212y P X P X ⎛-⎛⎫=≤=≤≤ ⎪ ⎝⎭⎝()d X f x x =故 d ()()d Y Y XX f y F y f f y ⎤⎛==+⎥ ⎥⎝⎦(1)/4,1y y --=>(3) (0)1P Y ≥=当y ≤0时()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时()(||)()Y F y P X y P y X y =≤=-≤≤ ()d yX yf x x -=⎰故d()()()()d Y Y X X f y F y f y f y y==+- 2/2,0y y -=>31.设随机变量X ~U （0,1），试求：（1） Y =e X 的分布函数及密度函数； （2） Z =-2ln X 的分布函数及密度函数. 【解】（1） (01)1P X <<=故 (1e e )1XP Y <=<=当1y ≤时()()0Y F y P Y y =≤=当1<y <e 时()(e )(ln )XY F y P y P X y =≤=≤ln 0d ln yx y ==⎰当y ≥e 时()(e )1XY F y P y =≤=即分布函数0,1()ln ,1e 1,e Y y F y y y y ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩故Y 的密度函数为11e ,()0,Y y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 （2） 由P （0<X <1）=1知(0)1P Z >=当z ≤0时，()()0Z F z P Z z =≤=当z >0时，()()(2ln )Z F z P Z z P X z =≤=-≤/2(ln )(e )2z z P X P X -=≤-=≥/21/2ed 1e z z x --==-⎰即分布函数-/20,0()1-e ,Z z z F z z ≤⎧=⎨>⎩0故Z 的密度函数为/21e ,0()20,z Z z f z z -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩032.设随机变量X 的密度函数为f (x )=22,0π,π0,.xx ⎧<<⎪⎨⎪⎩其他试求Y =sin X 的密度函数. 【解】(01)1P Y <<=当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当0<y <1时，()()(sin )Y F y P Y y P X y =≤=≤(0arcsin )(πarcsin π)P X y P y X =<≤+-≤<arcsin π220πarcsin 22d d ππyy x xx x -=+⎰⎰ 222211arcsin 1πarcsin ππy y =+--（）（）2arcsin πy =当y ≥1时，()1Y F y = 故Y 的密度函数为22,01π()10,Y y f y y⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其他 33.设随机变量X 的分布函数如下：⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=.)3(,)2(,)1(,11)(2x x x x F试填上(1),(2),(3)项.【解】由lim ()1x F x →∞=知②填1。

12.设在一次试验中事件A发生的概率为P现重复进行n次独立试验则事件A至多发生一次的概率为（1-P）nD.(1-P)n+nP(1-P)n-1正确答案:D13.一工人看管3台机床，在1小时内机床不需要照顾的概率分别为，设X为1小时内需要照顾的机床台数（）正确答案:A14.离散型随机变量X，X所有取值为012，且P(X=0)=(X=1)=，P(X=2)=，则P(X3)=( )正确答案:D15.一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80/81，则该射手的命中率为3364正确答案:B二、判断题(25分)16.样本量较小时，二项分布可以用正态分布近似。

A.错误B.正确正确答案:A17.抛一个质量均匀的硬币n次，当n为奇数时，正面出现(n+1)/2和(n-1)/2次的概率最大。

A.错误B.正确正确答案:B18.甲、乙二人做如下的游戏：从编号为1到20的卡片中任意抽出一张，若抽到的数字是奇数，则甲获胜，否则乙获胜，这个游戏对甲、乙双方是公平的。

A.错误B.正确正确答案:B19.小概率事件在一次实验中能够认为不会发生，飞机失事就是小概率事件，虽然乘坐飞机有危险，但是人们还是会乘坐飞机旅行。

A.错误B.正确正确答案:B20.任何情况都可以利用等可能性来计算概率。

A.错误B.正确正确答案:A【奥鹏】[东北大学]19春学期《概率论》在线作业2试卷总分:100 得分:100第1题设X、Y的联合分布函数是F(x，y)，则F(+∞，y)等于：A、0；B、1；C、Y的分布函数；D、Y的密度函数。

正确答案:C第2题若P(A)=0B为任一事件，则A、A为空集B、B包含AC、AB相互独立D、AB互不相容正确答案:C第3题如果随机事件A，B相互独立，则有：A、AB=空集；B、P(A)=P(B)；C、P(A|B)=P(A)；正确答案:C第4题从概率论的角度来看，你认为下列生活中的哪一种现象具有合理的成分？A、某同学认为某门课程太难，考试不可能及格，因此放弃了努力学习；B、某人总是用一个固定的号码去买彩票，她坚信总有一天这个号码会中奖；C、某人总是抢先第一个抽签，认为这样抽到好签的可能性最大；D、某足球教练认为比赛时他的衣服颜色与比赛的结果有关，所以总穿着同一件“幸运服”去指挥比赛。

东北大学远程教育14秋学期《概率论》在线作业2 答案本次《概率论》在线作业2试卷共有15道单选题和判断题，总分为100分。

1.若随机变量X和Y的相关系数为0.9，Z=X-0.4，则Y 与Z的相关系数为多少？正确答案为C，即0.9.2.已知P(A)=0.8，P(B)=0.7，P(A|B)=0.8，则下列结论正确的是什么？正确答案为A，即A与B独立。

3.对于随机变量X和Y，下列哪一个是正确的？正确答案为A，即E(X+Y)=E(X)+E(Y)。

4.将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于多少？正确答案为A，即-1.5.若X～N(u1,σ12)，Y～N(u2,σ22)，则（X，Y）的联合分布是什么？正确答案为C，即未必是二维正态。

6.设表示10次独立重复射击命中次数，每次命中的概率为0.4，则E(X2)等于多少？正确答案为A，即18.4.7.以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为什么？正确答案为D，即甲种产品滞销或乙种产品畅销。

8.设X~N(0,1)，Y=3X+2，则Y的分布是什么？正确答案为C，即Y~N(2,9)。

9.离散型随机变量X，X所有取值为0,1,2，且P(X=0)=0.5，P(X=1)=0.25，P(X=2)=0.25，则P(X<3)等于多少？正确答案为D，即1.10.某人从家到单位途中经过3个交通岗亭，每个岗亭遇到红灯的概率是独立的且为0.4.求此人上班途中遇到红灯的次数的期望值。

正确答案：B，即1.2次。

11.设X和Y是两个独立的随机变量，且P(X=1)=0.3，P(Y=2)=0.4，则P(X=1且Y=2)=0.3×0.4=0.12.正确答案：D。

12.设随机变量X的分布函数为F(x)，则F(A)可以表示为P(X≤A)。

正确答案：D。

13.XXX极限定理表明，二项分布的极限分布是正态分布。

正确答案：D。

14.随机变量X表示某种电子元件的使用寿命，一般认为其服从指数分布。