下载文档原格式
概1、将一颗骰子抛掷两次，以X 1表示两次所得点数之和，以X 2表示两次得到的点数的最小者，试分别求X 1和X 2的分布律。
解：X 1可取2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、123616161)1,1()2(1=⨯===P X P36261616161)"1,2""2,1(")3(1=⨯+⨯=⋃==P X P363616161616161)"1,3""2,2""3,1(")4(1=⨯+⨯+⨯=⋃⋃==P X P ……2P （X 2=1）=P （"1,6""1,5""1,4""1,3""1,2""6,1""5,1""4,1""3,1""2,1""1,1"⋃⋃⋃⋃⋃⋃⋃⋃⋃⋃）=36112求X 的分布律。
解：X 可取0、1、2{}310380C C X P ==157={}15713102812===C C C X P {}15123101822===C C C X P 3、进行重复独立试验。
设每次试验成功的概率为)10(<<p p（1） 将试验进行到出现一次成功实验为止，以X 表示所需试验的次数，此时称X 服从参数为p 的几何分布。
求X 的分布律。
（2） 将试验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需试验的次数，此时称Y 服从参数为r 、p 的巴斯卡分布。
求Y 的分布律。
解：（1）{},......2,1,)1(1=-==-k p p k X P k （k-1次未成功，最后一次成功）（2）{},......1,,)1(11+=-==---r r k p p C k X P rk r r k解：（1）是 （2）不是，因概率之和不为15、（1）设随机变量X 的分布律为{}N k Nak X P .....,2,1,===试确定常数a（2）设随机变量X 的分布律为{}.....2,1,32=⎪⎭⎫⎝⎛⋅==k b k X P k试确定常数b（3）设随机变量X 的分布律为{}0......2,1,0,!>=⋅==λλk k c k X P k为常数，试确定常数c 解：（1）{}111====∑∑==a Nak X P Nk Nk ， 1=∴a （2）{}1231323211==-=⎪⎭⎫⎝⎛⋅==∑∑∞=∞=b b b k X P k kk ， 21=∴b（3）{}1!==⋅==∑∑∞=∞=λλe c k c k X P k kk ， λ-=∴e c6、设随机变量X 的分布律为{}5,4,3,2,1,15===k kk X P 其分布函数为)(x F ，试求：（1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<2521X P ， （2）{}21≤≤X P ， （3）⎪⎭⎫⎝⎛51F 解：（1）{}{}212521=+==⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<X P X P X P 51152151=+=（2）{}21≤≤X P {}{}21=+==X P X P 51152151=+= （3）⎪⎭⎫⎝⎛51F051=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=X P7、一大楼装有5个同类型的供水设备。
沈阳铁路局学习中心第一部分：必须掌握的重点理论知识习题。
一、填空：1、某人投篮命中率为54，直到投中为止，所用投球数为4的概率为___6254________。
2、已知,31,9)Y (D ,16)X (D X Y =ρ== 则.___36___)Y 2X (D =- 3、设总体X 服从正态分布),,0(2σN 从总体中抽取样本,,,,4321X X X X 则统计量24232221X X X X ++服从_______)2,2(F ______________分布。
4、设总体X 服从正态分布),1,(μN 其中μ为未知参数，从总体X 中抽取容量为16的样本，样本均值,5=X 则总体均值μ的%95的置信区间为____（4.51，5.49）____。
（96.1975.0=u ）5、若),(~),,(~222211σμσμN Y N X ，且X 与Y 相互独立，则Y X Z +=服从______),(222121σσμμ++N ______分布。
6、设事件A 与B 相互独立，事件B 与C 互不相容，事件A 与C 互不相容，且()()0.5P A P B ==，()0.2P C =，则事件A 、B 、C 中仅C 发生或仅C 不发生的概率为___0.45___.7、甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为____1/2___.8、设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它, 现对X 进行四次独立重复观察，用Y 表示观察值不大于0.5的次数，则2EY =___5/4____.9、 设两位化验员A ，B 独立地对某中聚合物含氯两用同样的方法各做10次测定，其测定值的样本方差依次为2222,.6065.0,5419.0B A B A σσS S 设==分别为A ，B 所测定的测定值总体的方差，设总体均为正态的。
习题2参考答案2.1 X 23456789101112P1/36 1/18 1/12 1/95/36 1/6 5/36 1/91/12 1/18 1/362.2解：根据1)(0==∑∞=k k X P ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae。
故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=11220202111120202222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124CC C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628CC C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++=(2) P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+=2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++ =11[1()]1441314kk lim →∞-=-（2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--=2.6解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719⨯⨯⨯=1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=12323{2}1{0}{1}1199595P X P X P X ==-=-==--=2.7解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X CC ≥==+==+= (2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X CC C ≥==+=+==++=2.8 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5) 01.51.5{0}0!P X e-=== 1.5e -（2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e ee---≥=-=-==--=-2.9解：设应配备m 名设备维修人员。
第一章 基本概念1、试对下列随机试验各写出一个样本空间： （1）掷一颗骰子；（2）一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1、2、3、4、5，从中同时取出3个球； （3）10只产品中有3只是次品，每次从中任取一只（取出后不放回），直到将3只次品全部取出，记录抽取的次数；（4）对某工厂生产的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如果查出2件次品就停止检查，或者查满4件也就停止检查，记录检查结果。
解：（1）}6,5,4,3,2,1{＝Ω（2）)}5,4,3(),5,4,2(),5,3,2(),4,3,2(),5,4,1(),5,3,1(),4,3,1(),5,2,1(),4,2,1(),3,2,1{(＝Ω5个球中选3各球进行组合，有1035＝C 种。
（3）}109876543{，，，，，，，＝Ω最少抽取的次数是每次取出的都是次品；最多抽取的次数是把10只产品全部取出，总能抽出3个是次品。
（4）用数字1代表正品，数字0代表次品；样本空间包括查出2件是次品和查满4件产品这两种情况。
)}1,1,1,0(),1,1,1,1(),1,0,1,1(),1,1,0,1(),0,1,1,1(),0,0,1,1(),0,1,0,1(),0,1,1,0(),0,0,1(),0,1,0(),0,0{(＝Ω2、工厂对一批产品作出厂前的最后检查，用抽样检查方法，约定，从这批产品中任意取出4件产品来做检查，若4件产品全合格就允许这批产品正常出厂；若有1件次品就再作进一步检查；若有2件次品则将这批产品降级后出厂；若有2件以上次品就不允许出厂。
试写出这一试验的样本空间，并将“正常出厂”、“再作检查”、“降级出厂”、“不予出厂”这4个事件用样本空间的子集表示。
解：用数字1代表正品，数字0代表次品设＝“正常出厂”； ＝“再作检查”； ＝“降级出厂”；D ＝“不予出厂”)}1,1,1,1{(＝A)}0,1,1,1(),1,0,1,1(),1,1,0,1(),1,1,1,0{(=B)}0,0,1,1(),0,1,0,1(),1,0,0,1(),1,1,0,0(),1,0,1,0(),0,1,1,0{(=C )}0,0,0,0(),0,0,0,1(),0,0,1,0(),0,1,0,0(),1,0,0,0{(=D)}0,0,0,0(),0,0,0,1(),0,0,1,0(),0,1,0,0(),1,0,0,0(),0,0,1,1(),0,1,0,1(),1,0,0,1(),1,1,0,0(),1,0,1,0(),0,1,1,0(),0,1,1,1(),1,0,1,1(),1,1,0,1(),1,1,1,0(),1,1,1,1{(=⋃⋃⋃=ΩDC B A3、设A 、B 、C 是三个事件，试用A 、B 、C 的运算关系表示下列事件： （1）A 与B 都发生，但C 不发生；（2）A 发生，但B 与C 可能发生也可能不发生； （3）这三个事件都发生； （4）这三个事件都不发生； （5）这三个事件中至少有一个发生； （6）这三个事件中最多有一个发生； （7）这三个事件中至少有两个发生； （8）这三个事件中最多有两个发生； （9）这三个事件中恰有一个发生； （10）这三个事件中恰有两个发生。
《概率论与数理统计》在线作业（2）精品⽂档17春学期《概率论与数理统计》在线作业⼀、单选题（共 30 道试题，共 60 分。
）得分：601. 设X1，X2,X3是X的⼀个样本，EX的⼀个⽆偏估计量为（）A. X1/2+X2/3+X3/4B. X1/4+X2/6+X3/12C. X1/2+X2/3-X3/6D. 2X1/3+X2/2-X3/6满分：2 分得分：22.A，B为两个互不相容事件，则下列各式中错误的是（）。
A.B.C.D.满分：2 分得分：23. 设X服从⼆项分布B(n,p)，E表⽰期望，D表⽰⽅差，则下列式⼦成⽴的是（）A. E(2X-1)=2npB. D(2X-1)=4npC. E(2X+1)=4np+1D. D(2X_1)=4np(1-p)满分：2 分得分：24. .B.C.D.满分：2 分得分：25..A.B.C.D.满分：2 分得分：26. 若X与Y线性不相关，以下哪⼀个是正确的（）。
A. cov(X,Y)=1B. cov(X,Y)=-1C. cov(X,Y)=0D. cov(X,Y)=100满分：2 分得分：27. 某⼈连续射击⼀⽬标，每次命中的概率为3/4，他连续射击知道命中，则射击次数为3的概率为（）A. 27/64B. 3/16C. 3/64D. 3/8满分：2 分得分：2A. 0.125B. 0.5C. 0.875D. 1满分：2 分得分：29. 区间估计表明的是⼀个（）A. 绝对可靠的范围B. 可能的范围C. 绝对不可靠的范围D. 不可能的范围满分：2 分得分：210. 抛币试验时，如果记“正⾯朝上”为1，“反⾯朝上”为0。
现随机抛掷硬币两次，记第⼀次抛币结果为随机变量X，第⼆次抛币结果为随机变量Y,则（X,Y）的取值有（）个。
A. 1B. 2C. 3D. 4满分：2 分得分：2 11..A.B.C.D.A.B.C.D.满分：2 分得分：213. 在100件产品中，有95件合格品，5件次品，从中任取2件，则下列叙述正确的是（）。
北京交通大学远程教育课程作业年级：层次：专业名称：课程名称：作业序号：学号：姓名：作业说明：1、请下载后对照网络学习资源、光盘、学习导航内的导学、教材等资料学习；有问题在在线答疑处提问；2、请一定按个人工作室内的本学期教学安排时间段按时提交作业，晚交、不交会影响平时成绩；需要提交的作业内容请查看下载作业处的说明3、提交作业后，请及时查看我给你的评语及成绩，有疑义请在课程工作室内的在线答疑部分提问；需要重新上传时一定留言，我给你删除原作业后才能上传4、作业完成提交时请添加附件提交，并且将作业附件正确命名：学号课程名称作业次数《概率论与数理统计》习题二第三章多维随机变量及其分布一、选择题1、设二维随机变量（X，Y则P{XY=2}=（）A． B. C. D.2、设二维随机变量（X，Y）的概率密度为，则当时，（X，Y）关于X的边缘概率密度为f x(x)=（）A． B.2x C. D. 2y3、二维随机变量（X，Y）的联合密度函数是f(x,y)，分布函数为F(x,y)，关于X，Y的边缘分布函数分别是F X(x)，F Y(y),则，，分别为（）A．0，F X(x)，F(x,y) B. 1，F Y(y)，F(x,y)C. f(x,y), F(x,y) , F Y(y)D. 1, F X(x)，F(x,y)4、设随机变量X，Y，独立同分布且X的分布函数为F（x）,则Z=max{X,Y}的分布函数为（）A．F2(z) B. 1，F(x)F(y)C. 1-[1-F(z)]2D. [1-F（x）][1-F（y）]5、设X～N（-1，2），Y～N（1.3），且X与Y相互独立，则X+2Y～（）A．N（1，8） B.N（1，14） C.N（1，22） D. N（1，40）二、填空题1、设X和Y为两个随机变量，且P{X,Y}=，P{X}= P{Y}=,则P{max{X,Y}}=______2、设随机变量Xi～（i=1，2……），且满足P{X1X2=0}=1,则P{X1=X2}等于_______________3、设平面区域D由曲线y=及直线y=0,x=1,x=e2,所围成，二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，则（X，Y）关于X的边缘概率密度在x=2处的值为__________4、 设随机变量X 与Y 相互独立，且服从区间[0,3]上的均匀分布，则P{max{X,Y }}=___________5、 设随机变量（X ，Y ）～N （0，22；1，32；0），则P{}=_________三、解答题1. 在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。
一.填空题（共10分）已知P(A)=12，P BA c h=34，P(B) =58，则P( A ∣B ) =______ 。
设随机变量X 服从参数为 λ 的泊松分布，且已知P{ X= 7 } =P{ X= 9 }，则 λ =___________。
3、样本(,,,)X X X n 12 来自总体2~(, )X N μσ，则22(1)~n n S σ- ______________；()~n X S μ- ____________。
其中X 为样本均值，S n X X n i n 22111=--=∑()。
4、设X X X n 12,, 是来自正态总体N (,)μσ2的样本，记1nn i ii Y a X ==∑，若n Y 为μ的无偏估计，则12,,...n a a a 满足的等式为 。
5、设总体~(1,)X B p ，其中未知参数01<<p , X X X n 12,, 是X 的 样本，则p的矩估计为________，样本的似然函数为_________。
(f x p p p x x(;)()=-1 为 X的 概 率 密 度 函 数 ) 二、选择题（共10分）6、4, 1, 0.6XY DX DY ρ===，则(32)D X Y -=( )。
( A ) 40 ( B ) 34 ( C ) 25.6( D ) 17.67、样本(,,,)X X X n 12 来自总体X ，已知X 服从参数λ=1的指数分布，则Max X X X n {,,,}12 的分布函数为( )。
( A )F z z e z z()=<-≥R S T - 0010 ( B ) F z z e z z n()()=<-≥R S T - 0010 ( C ) F z z e z z ()=<≥R S T - 000 ( D )0 0()n 0nzz F Z e z -<⎧=⎨≥⎩ 8、随机变量~(1,1)X N ，记X 的概率密度为f(x)，分布函数为F( x )，则有( )。
习题4.11．设10个零件中有3个不合格． 现任取一个使用，若取到不合格品，则丢弃重新抽取一个，试求取到合格品之前取出的不合格品数X 的数学期望．解 可得X 的概率分布为0123~77711030120120X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是X 的数学期望为7771()012310301201204531208E X =⨯+⨯+⨯+⨯==2．.某人有n 把外形相似的钥匙，其中只有1把能打开房门，但他不知道是哪一把，只好逐把试开．求此人直至将门打开所需的试开次数X 的数学期望．解 可得X 的概率分布为12~111n X nn n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是X 的数学期望为111()121(1)122E X n n n nn n n n =⨯+⨯++⨯++==3．设5次重复独立试验中每次试验的成功率为0.9，若记失败次数为X ，求X 的数学期望。
解 由题意~(5,0.1)X B ，则X 的数学期望为()50.10.5E X =⨯=4．设某地每年因交通事故死亡的人数服从泊松分布．据统计，在一年中因交通事故死亡一人的概率是死亡两人的概率的21，求该地每年因交通事故死亡的平均人数。
解 设该地每年因交通事故死亡的人数为X ，由题意X 服从泊松分布() (0)P λλ>.因1{1}{2}2P X P X === 即121 41!22!ee λλλλλ--=⇒= 于是X 的数学期望为()4E X λ==所以地每年因交通事故死亡的平均人数为4人。
5．设随机变量X 在区间(1,7)上服从均匀分布，求2{()}P X E X <. 解 因X 在区间(1,7)上服从均匀分布，故X 的数学期望为17()42E X +== 于是22{()}{4}1 {22}6P X E X P X P X <=<=<-<<=6．设连续型随机变量X 的概率密度为01() (,0)0 b ax x p x a b ⎧<<=>⎨⎩其它又知()0.75E X =,求,a b 的值解 由密度函数的性质可得()1p x dx +∞-∞=⎰即1111b aax dx b =⇒=+⎰又由()0.75E X =，可得1()0.75b xp x dx x ax dx +∞-∞=⋅=⎰⎰即0.752ab =+ 求解110.752a b a b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ 可得 3,2a b ==.7．设随机变量X 的概率密度为0<1()2 120 x x p x x x <⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其它求数学期望()E X解12013312201()() (2) ()133E X xp x dxx xdx x x dx x x x +∞-∞==⋅+⋅-=+-=⎰⎰⎰8.设随机变量X 的概率分布为 X -2 -1 0 1 P 0.2 0.3 0.1 0.4 求(1)(21)E X -；（2）2()E X .解 (1) (21)2()1E X E X -=- 其中()20.210.3010.40.3E X =-⨯-⨯++⨯=-则(21)2()12(0.3)1 1.6E X E X -=-=⨯--=-(2）22222()0.2(2)0.3(1)0.100.41 1.5E X =⨯-+⨯-+⨯+⨯=9．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作。
第一阶段在线作业第1题1-设川与另互为对立事件，且* ? U) >0, P <B) >0,则下列各式中错误的是(P VA JP⑷=1申⑻ B.P (>4B) =P <A)B (B)屮C.F(AB) = 1D.P (AUB) =2您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：对立不是独立。
两个集合互补。
第2题2•设儿&为两个随机事件.且P U)>0,则P UU5U)=( 八A. P (AB)B.P (乂)4C P (B) D3您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：A发生，必然导致和事件发生。
■3.下列各函数可作为随机变壘分市函曹时是(0<r<l(_1」工w -1；C.用兀-[1 r>l.X 2 0<XClj .J r>l.I <0;0 <x <1 ；zx>1.您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：分布函数的取值最大为1，最小为0.第4题4 .设随机变量X的概率密度次(|x|a 其他4c.2J!l JP{-i<z<i}=(DU您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：密度函数在【-1，1】区间积分。
第5题玄役岛B为陋机事件，P (B) Ah P (A|B) =1贝J必有( )束A. F(AUB)^F (A)B. A ziBC. P (A) =P (B) D・ P (AB) =F <A)-您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：A答案，包括了BC两种情况。
第6题&将两封信ffi机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为（）心C. 2!D当C：4!您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：古典概型，等可能概型，16种总共的投法。
第7题第9题7.某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率沟轴 他连续射击直至倫中沟止，则射註 i ■燉沏3的概率是（ ）-您的答案：C题目分数：0.5 此题得分：0.5批注：几何概型，前两次没有命中，且第三次命中，三次相互独立，概率相乘。
第二章 随机变量及其分布习题2.11． 口袋中有5个球，编号为1, 2, 3, 4, 5．从中任取3只，以X 表示取出的3个球中的最大号码．（1）试求X 的分布列；（2）写出X 的分布函数，并作图． 解：样本点总数1012334535=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，（1）X 的全部可能取值为3, 4, 5，且事件“X = 3”所含样本点个数为k 1 = 1，有1.0101}3{===X P ， 事件“X = 4”所含样本点个数为31223232=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，有3.0103}4{===X P ， 事件“X = 5”所含样本点个数为61234243=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，有6.0106}5{===X P ， 故X 的分布列为6.03.01.0543P X；（2）因分布函数F (x ) = P {X ≤ x }，分段点为x = 3, 4, 5，当x < 3时，F (x ) = P {X ≤ x } = P (∅) = 0，当3 ≤ x < 4时，F (x ) = P {X ≤ x } = P {X = 3} = 0.1，当4 ≤ x < 5时，F (x ) = P {X ≤ x } = P {X = 3} + P {X = 4} = 0.1 + 0.3 = 0.4，当x ≥ 5时，F (x ) = P {X ≤ x } = P {X = 3} + P {X = 4} + P {X = 5} = 0.1 + 0.3 + 0.6 = 1，故X 的分布函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=.5,1;54,4.0;43,1.0;3,0)(x x x x x F2． 一颗骰子抛两次，以X 表示两次中所得的最小点数．（1）试求X 的分布列； （2）写出X 的分布函数． 解：样本点总数n = 62 = 36，（1）X 的全部可能取值为1, 2, 3, 4, 5, 6，且事件“X = 1”所含样本点个数为k 1 = 62 − 52 = 11，有3611}1{==X P ， 事件“X = 2”所含样本点个数为k 2 = 52 − 42 = 9，有369}2{==X P ，事件“X = 3”所含样本点个数为k 3 = 42 − 32 = 7，有367}3{==X P ，事件“X = 4”所含样本点个数为k 4 = 32 − 22 = 5，有365}4{==X P ，事件“X = 5”所含样本点个数为k 5 = 22 − 1 = 3，有363}5{==X P ， 事件“X = 6”所含样本点个数为k 6 = 1，有361}6{==X P ， 故X 的分布列为3613633653673693611654321PX ； （2）因分布函数F (x ) = P {X ≤ x }，分段点为x = 1, 2, 3, 4, 5, 6，当x < 1时，F (x ) = P {X ≤ x } = P (∅) = 0，当1 ≤ x < 2时，3611}1{}{)(===≤=X P x X P x F ， 当2 ≤ x < 3时，36203693611}2{}1{}{)(=+==+==≤=X P X P x X P x F ， 当3 ≤ x < 4时，36273673693611}3{}2{}1{}{)(=++==+=+==≤=X P X P X P x X P x F ，当4 ≤ x < 5时，36323653673693611}{}{)(41=+++===≤=∑=k k X P x X P x F ， 当5 ≤ x < 6时，36353633653673693611}{}{)(51=++++===≤=∑=k k X P x X P x F ， 当x ≥ 6时，F (x ) = P {X ≤ x } = P (Ω) = 1，故X 的分布函数⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<≤<=.6,1;65,3635;54,3632;43,3627;32,3620;21,3611;1,0)(x x x x x x x x F 3． 口袋中有7个白球、3个黑球．（1）每次从中任取一个不放回，求首次取出白球的取球次数X 的概率分布列；（2）如果取出的是黑球则不放回，而另外放入一个白球，此时X 的概率分布列如何． 解：（1）X 的全部可能取值为1, 2, 3, 4，且107}1{==X P ，30797103}2{=×==X P ，12078792103}3{=××==X P ， 1201778192103}4{=×××==X P ， 故X 的概率分布列为120112073071074321PX ；（2）X 的全部可能取值仍为1, 2, 3, 4，且7.0107}1{===X P ，24.0108103}2{=×==X P ，054.0109102103}3{=××==X P ， 006.01010101102103}4{=×××==X P ，故X 的概率分布列为006.0054.024.07.04321P X ．4． 有3个盒子，第一个盒子装有1个白球、4个黑球；第二个盒子装有2个白球、3个黑球；第三个盒子装有3个白球、2个黑球．现任取一个盒子，从中任取3个球．以X 表示所取到的白球数． （1）试求X 的概率分布列；（2）取到的白球数不少于2个的概率是多少？解：设A 1 , A 2 , A 3分别表示“取到第一个、第二个、第三个盒子”，（1）X 的全部可能取值为0, 1, 2, 3，且P {X = 0} = P (A 1) P {X = 0 | A 1} + P (A 2) P {X = 0 | A 2} + P (A 3) P {X = 0 | A 3}610301304031353331353431=++=×+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=， P {X = 1} = P (A 1) P {X = 1 | A 1} + P (A 2) P {X = 1 | A 2} + P (A 3) P {X = 1 | A 3}2130330630635221331352312313524131=++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛××=， P {X = 2} = P (A 1) P {X = 2 | A 1} + P (A 2) P {X = 2 | A 2} + P (A 3) P {X = 2 | A 3}10330630303512233135132231031=++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×+×=， P {X = 3} = P (A 1) P {X = 3 | A 1} + P (A 2) P {X = 3 | A 2} + P (A 3) P {X = 3 | A 3}30130100353331031031=++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×+×+×=， 故X 的概率分布列为30110321613210PX ； （2）所求概率为3130********}3{}2{}2{==+==+==≥X P X P X P ． 5． 一批产品共有100件，其中10件是不合格品．根据验收规则，从中任取5件产品进行质量检验，假如5件中无不合格品，则这批产品被接受，否则就要重新对这批产品逐个检验． （1）试求5件产品中不合格品数X 的分布列； （2）需要对这批产品进行逐个检验的概率是多少？解：样本点总数7528752012345969798991005100=××××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ， （1）X 的全部可能取值为0, 1, 2, 3, 4, 5，且事件“X = 0”所含样本点个数为439492681234586878889905900=××××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ， 事件“X = 1”所含样本点个数为25551900123487888990104901101=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ， 事件“X = 2”所含样本点个数为5286600123888990129103902102=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，事件“X = 3”所含样本点个数为48060012899012389102903103=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，事件“X = 4”所含样本点个数为18900901234789101904104=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，事件“X = 5”所含样本点个数为252123456789105105=××××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，则583752.07528752043949268}0{===X P ，339391.07528752025551900}1{===X P ，070219.0752875205286600}2{===X P ，006384.075287520480600}3{===X P ，000251.07528752018900}4{===X P ，000003.075287520252}5{===X P ，故X 的分布列为000003.0000251.0006384.0070219.0339391.0583752.0543210P X ；（2）所求概率为P {X > 0} = 1 − P {X = 0} = 1 − 0.583752 = 0.416248． 6． 设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<=.6,1;63,21;31,31;10,41;0,0)(x x x x x x F试求X 的概率分布列及P {X < 3}，P {X ≤ 3}，P {X > 1}，P {X ≥ 1}． 解：X 的全部可能取值为其分布函数F (x ) 的分段点0, 1, 3, 6，且41041)00()0(}0{=−=−−==F F X P ，1214131)01()1(}1{=−=−−==F F X P ， 613121)03()3(}3{=−=−−==F F X P ，21211)06()6(}6{=−=−−==F F X P ，故X 的概率分布列为2161121413210PX ； 且31)03(}3{=−=<F X P ；21)3(}3{==≤F X P ；32311)1(1}1{1}1{=−=−=≤−=>F X P X P ； 43411)01(1}1{1}1{=−=−−=<−=≥F X P X P ．7． 设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.e ,1e;1,ln ;1,0)(x x x x x F试求P {X < 2}，P {0 < X ≤ 3}，P {2 < X < 2.5}．解：P {X < 2} = F (2 − 0) = ln 2；P {0 < X ≤ 3} = F (3) − F (0) = 1 − 0 = 1；P {2 < X < 2.5} = F (2.5 − 0) − F (2) = ln 2.5 − ln 2 = ln 1.25．8． 若P {X ≥ x 1} = 1 − α ，P {X ≤ x 2} = 1 − β ，其中x 1 < x 2 ，试求P {x 1 ≤ X ≤ x 2}．解：P {x 1 ≤ X ≤ x 2} = P {X ≤ x 2} − P {X < x 1} = P {X ≤ x 2} + P {X ≥ x 1} − 1 = 1 − β + 1 − α − 1 = 1 − α − β ． 9． 从1, 2, 3, 4, 5五个数字中任取三个，按大小排列记为x 1 < x 2 < x 3 ，令X = x 2 ，试求（1）X 的分布函数；（2）P {X < 2}及P {X > 4}．解：样本点总数1012334535=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，（1）X 的全部可能取值为2, 3, 4，且事件“X = 2”所含样本点个数为k 1 = 3，有3.0103}2{===X P ， 事件“X = 3”所含样本点个数为k 2 = 2 × 2 = 4，有4.0104}3{===X P ，事件“X = 4”所含样本点个数为k 3 = 3，有3.0103}4{===X P ，因分布函数F (x ) = P {X ≤ x }，分段点为x = 2, 3, 4， 当x < 2时，F (x ) = P {X ≤ x } = P (∅) = 0，当2 ≤ x < 3时，F (x ) = P {X ≤ x } = P {X = 2} = 0.3，当3 ≤ x < 4时，F (x ) = P {X ≤ x } = P {X = 2} + P {X = 3} = 0.3 +0.4 = 0.7， 当x ≥ 4时，F (x ) = P {X ≤ x } = P (Ω) = 1，故X 的分布函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=;4,1;43,7.0;32,3.0;2,0)(x x x x x F（2）P {X < 2} = P (∅) = 0，P {X > 4} = P (∅) = 0．10．设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤−−=.,0;11|,|1)(其他x x x p试求X 的分布函数．解：分布函数F (x ) = P {X ≤ x }，分段点为x = −1, 0, 1，当x < −1时，F (x ) = P {X ≤ x } = P (∅) = 0，当−1 ≤ x < 0时，21221122)](1[)()(22121++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=−−==−−∞−∫∫x x x x u u du u du u p x F xxx， 当0 ≤ x < 1时，xxxu u u u du u du u du u p x F 021200122)1()](1[)()(⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=−+−−==−−∞−∫∫∫21202211022++−=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−−=x x x x ， 当x ≥ 1时，F (x ) = P {X ≤ x } = P (Ω) = 1，故X 的分布函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤++−<≤−++−<=.1,1;10,212;01,212;1,0)(22x x x x x x x x x F11．如果X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≤−<≤=.,0;21,2;10,)(其他x x x x x p试求P {X ≤ 1.5}． 解：16132325.13021222)2()(}5.1{25.112125.11105.1=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=−+==≤∫∫∫∞−x x x dx x xdx dx x p X P ． 12．设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=.2π||,0;2π||,cos )(x x x A x p 试求（1）系数A ；（2）X 落在区间 (0, π /4) 内的概率． 解：（1）由密度函数正则性知122πsin 2πsinsin cos )(2π2π2π2π==⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−===−−∞+∞−∫∫A A A xA xdx A dx x p ， 故21=A ；（2）所求概率为4204πsin 21sin 21cos 21}4π0{4π04π=−===<<∫x xdx X P ．13．设连续随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1;10,;0,0)(2x x Ax x x F试求（1）系数A ；（2）X 落在区间 (0.3, 0.7) 内的概率； （3）X 的密度函数．解：（1）由连续随机变量分布函数的连续性知A A x F F F x =⋅==−==−→211)(lim )01()1(1，故A = 1； （2）所求概率为P {0.3 < X < 0.7} = F (0.7) − F (0.3) = 0.7 2 − 0.3 2 = 0.4；（3）密度函数p (x ) = F ′(x )，当x < 0时，F (x ) = 0，有p (x ) = F ′(x ) = 0，当0 ≤ x < 1时，F (x ) = x 2，有p (x ) = F ′(x ) = 2x ， 当x ≥ 1时，F (x ) = 1，有p (x ) = F ′(x ) = 0，故X 的密度函数为⎩⎨⎧<≤=.,0;10,2)(其他x x x p 14．学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量，单位为小时．它的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=.,0;5.00,)(2其他x x cx x p （1）确定常数c ；（2）写出X 的分布函数；（3）试求在20min 内完成一道作业的概率； （4）试求10min 以上完成一道作业的概率． 解：（1）由密度函数正则性知1812423)()(5.00235.002=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=+=∫∫∞+∞−c x x c dx x cx dx x p ，故c = 21； （2）分布函数F (x ) = P {X ≤ x }，分段点为x = 0, 0.5，当x < 0时，F (x ) = P {X ≤ x } = P (∅) = 0，当0 ≤ x < 0.5时，2727)21()()(2302302x x u u du u u du u p x F xxx+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=+==∫∫∞−，当x ≥ 0.5时，F (x ) = P {X ≤ x } = P (Ω) = 1，故X 的分布函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤+<=;5.0,1;5.00,27;0,0)(23x x x x x x F（3）所求概率为5417181277312131731}316020{23=+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛×+⎟⎠⎞⎜⎝⎛×=⎟⎠⎞⎜⎝⎛==≤F X P ；（4）所求概率为1081037212167161216171611}616010{23=−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛×−⎟⎠⎞⎜⎝⎛×−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==≥F X P ． 15．设随机变量X 和Y 同分布，X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0;20,83)(2其他x x x p 已知事件A = {X > a }和B = {Y > a }独立，且P (A ∪B ) = 3/4，求常数a ． 解：由于事件A 和B 独立，且显然有P (A ) = P (B )，则43)]([)(2)()()()()()()()(2=−=−+=−+=A P A P B P A P B P A P AB P B P A P B A P ∪， 可得21)(=A P 或23)(=A P （舍去）， 显然0 < a < 2，有218181d 83}{)(32322=−===>=∫a x x x a X P A P a a ， 故34=a ．16．设连续随机变量X 的密度函数p (x ) 是一个偶函数，F (x ) 为X 的分布函数，求证对任意实数a > 0，有（1）∫−=−=−adx x p a F a F 0)(5.0)(1)(；（2）P {| X | < a } = 2F (a ) − 1；（3）P {| X | > a } = 2[1 − F (a )]． 证：（1）因p (x ) 为偶函数，有∫∫+∞−∞−=a a dx x p dx x p )()(且5.0)(0=∫∞−dx x p ，则∫∫∫∫+=+==∞−∞−a aa dx x p dx x p dx x p dx x p a F 0)(5.0)()()()(，故∫∫∫∫−=−=−===−∞−+∞−∞−a aadx x p a F dx x p dx x p dx x p a F 0)(5.0)(1)(1)()()(；（2）P {| X | < a } = P {−a < X < a } = F (a ) − F (−a ) = F (a ) − [1 − F (a )] = 2 F (a ) − 1； （3）P {| X | > a } = 1 − P {| X | ≤ a } = 1 − P {| X | < a } = 1 − [2 F (a ) − 1] = 2 − 2 F (a )．习题2.21． 设离散型随机变量X 的分布列为3.03.04.0202P X −试求E (X ) 和E (3X + 5)．解：E (X ) = (−2) × 0.4 + 0 × 0.3 + 2 × 0.3 = −0.2；E (3X + 5) = (−1) × 0.4 + 5 × 0.3 + 11 × 0.3 = 4.4． 2． 某服装店根据历年销售资料得知：一位顾客在商店中购买服装的件数X 的分布列为04.009.013.031.033.010.0543210P X试求顾客在商店平均购买服装件数．解：平均购买服装件数为E (X ) = 0 × 0.10 + 1 × 0.33 + 2 × 0.31 + 3 × 0.13 + 4 × 0.09 + 5 × 0.04 = 1.9． 3． 某地区一个月内发生重大交通事故数X 服从如下分布002.0006.0026.0087.0216.0362.0301.06543210P X试求该地区发生重大交通事故的月平均数． 解：月平均数E (X ) = 0 × 0.301 + 1 × 0.362 + 2 × 0.216 + 3 × 0.087 + 4 × 0.026 + 5 × 0.006 + 6 × 0.002 = 1.201． 4． 一海运货船的甲板上放着20个装有化学原料的圆桶，现已知其中有5桶被海水污染了．若从中随机抽取8桶，记X 为8桶中被污染的桶数，试求X 的分布列，并求E (X )．解：样本点总数125970820=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，X 的全部可能取值为0, 1, 2, 3, 4, 5，且事件“X = 0”所含样本点个数64358150=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，有0511.01259706435}0{===X P ， 事件“X = 1”所含样本点个数32175715151=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，有2554.012597032175}1{===X P ， 事件“X = 2”所含样本点个数50050615252=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，有3973.012597050050}2{===X P ， 事件“X = 3”所含样本点个数30030515353=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，有2384.012597030030}3{===X P ， 事件“X = 4”所含样本点个数6825415454=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，有0542.01259706825}4{===X P ， 事件“X = 5”所含样本点个数455315555=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，有0036.0125970455}5{===X P ， 故X 的分布列为0036.00542.02384.03973.02554.00511.0543210PX且E (X ) = 0 × 0.0511 + 1 × 0.2554 + 2 × 0.3973 + 3 × 0.2384 + 4 × 0.0542 + 5 × 0.0036 = 2． 5． 用天平称某种物品的质量（砝码仅允许放在一个盘中），现有三组砝码：（甲）1, 2, 2, 5, 10（g ）；（乙）1, 2, 3, 4, 10（g ）；（丙）1, 1, 2, 5, 10（g ），称重时只能使用一组砝码．问：当物品的质量为1g 、2g 、…、 10g 的概率是相同的，用哪一组砝码称重所用的平均砝码数最少？ 解：设X 1 , X 2 , X 3分别表示使用甲、乙、丙组砝码称重时需要的砝码个数，当物品的质量为1g 、2g 、…、10g 时，有X 1 = 1、1、2、2、1、2、2、3、3、1，即P {X 1 = 1} = 0.4，P {X 1 = 2} = 0.4，P {X 1 = 3} = 0.2， X 2 = 1、1、1、1、2、2、2、3、3、1，即P {X 2 = 1} = 0.5，P {X 2 = 2} = 0.3，P {X 2 = 3} = 0.2， X 3 = 1、1、2、3、1、2、2、3、4、1，即P {X 3 = 1} = 0.4，P {X 3 = 2} = 0.3，P {X 3 = 3} = 0.2，P {X 3 = 4} = 0.1，则平均砝码数E (X 1 ) = 1 × 0.4 + 2 × 0.4 + 3 × 0.2 = 1.8，E (X 2 ) = 1 × 0.5 + 2 × 0.3 + 3 × 0.2 = 1.7， E (X 3 ) = 1 × 0.4 + 2 × 0.3 + 3 × 0.2 + 4 × 0.1 = 2， 故用乙组砝码称重所用的平均砝码数最少．6． 假设有十只同种电器元件，其中有两只不合格品．装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是不合格品，则扔掉重新任取一只；如仍是不合格品，则扔掉再取一只，试求在取到合格品之前，已取出的不合格品只数的数学期望．解：设X 表示在取到合格品之前已取出的不合格品只数，X 的全部可能取值为0, 1, 2，则54108}0{===X P ，45898102}1{=×==X P ，4518891102}2{=××==X P ， 故9245124581540)(=×+×+×=X E ．7． 对一批产品进行检查，如查到第a 件全为合格品，就认为这批产品合格；若在前a 件中发现不合格品即停止检查，且认为这批产品不合格．设产品的数量很大，可以认为每次查到不合格品的概率都是p ．问每批产品平均要查多少件？解：设X 表示检查一批产品要查的件数，X 的全部可能取值为1, 2, …, a – 1, a ，则P {X = 1} = p ，P {X = 2} = (1 – p )p ，…，P {X = a – 1} = (1 – p ) a − 2 p ，P {X = a } = (1 – p ) a − 1， 即E (X ) = 1 ⋅ p + 2 (1 – p ) p + … + (a – 1) (1 – p ) a − 2 p + a (1 – p ) a − 1，有(1 – p )E (X ) = 1 ⋅ (1 – p ) p + 2 (1 – p )2 p + … + (a – 2) (1 – p ) a − 2 p + (a – 1) (1 – p ) a − 1 p + a (1 – p ) a ， 得E (X ) – (1 – p )E (X ) = p + (1 – p ) p + … + (1 – p ) a − 2 p + a (1 – p ) a − 1 – (a – 1) (1 – p ) a − 1 p – a (1 – p ) a ，即)]1()1([)1()1(1])1(1[)(11p a p a a p p p p X pE a a −−−−−+−−−−=−−= 1 – (1 – p ) a − 1 + (1 – p ) a − 1 ⋅ p = 1 – (1 – p ) a − 1 ⋅ (1 – p ) = 1 – (1 – p ) a ，故pp X E a)1(1)(−−=．8． 某厂推土机发生故障后的维修时间T 是一个随机变量（单位：h ），其密度函数为⎩⎨⎧≤>=−.0,0;0,e 02.0)(02.0t t t p t 试求平均维修时间． 解：平均维修时间5002.0e e e )e (e 02.0)(002.0002.0002.0002.0002.0=−=+−=−=⋅=+∞−∞+−∞+−∞+−∞+−∫∫∫tttt t dt t d t dt t T E ．9． 某新产品在未来市场上的占有率X 是仅在区间 (0, 1) 上取值的随机变量，它的密度函数为⎩⎨⎧<<−=.,0;10,)1(4)(3其他x x x p 试求平均市场占有率．解：平均市场占有率∫∫−+−=−⋅=143213)412124()1(4)(dx x x x x dx x x X E5154342105432=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−=x x x x ．10．设随机变量X 的密度函数如下，试求E (2 X + 5)．⎩⎨⎧≤>=−.0,0;0,e )(x x x p x 解：7e 25e 2e )52()e )(52(e )52()52(0=−=++−=−+=+=++∞−+∞−+∞−+∞−+∞−∫∫∫xx xx x dx x d x dx x X E ．11．设随机变量X 的分布函数如下，试求E ( X )．⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥−<≤<=−−.1,e 211;10,21;0,2e )()1(21x x x x F x x解：因分布函数F (x ) 是连续函数，有X 为连续型，密度函数p (x ) = F ′(x )，当x < 0时，2e )()(xx F x p =′=，当0 < x < 1时，p (x ) = F ′(x ) = 0，当x > 1时，)1(21e 41)()(−−=′=x x F x p ，∫∫∞+−−∞−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅+⋅=1)1210][e 21)(e 21x x d x d x 则∫∫∫∫∫∞+−−∞−∞+−−∞−∞+∞−+=⋅+⋅==1)12101)1(210e 41e 21e 412e )()(dx x dx x dx x dx x dx x xp X E x x x x ，因1e 0e e )(e e 00000−=−=−⋅=⋅=∞−∞−∞−∞−∞−∫∫∫xx xx x dx x d x dx x ， 6e42e2e2][e2e1)1211)1(211)1(211)1(211)1(21=−=+−=⋅−=+∞−−∞+−−+∞−−∞+−−∞+−−∫∫∫x x x x x dx x d x dx x ，故1641)1(21)(=×+−×=X E ．12．某工程队完成某项工程的时间X （单位：月）是一个随机变量，它的分布列为1.02.03.04.013121110P X（1）试求该工程队完成此项工程的平均月数；（2）设该工程队所获利润为Y = 50(13 – X )，单位为万元．试求该工程队的平均利润； （3）若该工程队调整安排，完成该项工程的时间X （单位：月）的分布为1.04.05.0121110P X则其平均利润可增加多少？解：（1）平均月数E (X ) = 10 × 0.4 + 11 × 0.3 + 12 × 0.2 + 13 × 0.1 = 11．（2）平均利润为E (Y ) = E [50 (13 – X )] = 150 × 0.4 + 100 × 0.3 + 50 × 0.2 + 0 × 0.1 = 100（万元）； （3）因E (Y 1) = E [50 (13 – X 1)] = 150 × 0.5 + 100 × 0.4 + 50 × 0.1 = 120，有E (Y 1) – E (Y ) = 20，故平均利润增加20万元．13．设随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0π;0,2cos 21)(其他x x x p 对X 独立重复观察4次，Y 表示观察值大于π /3的次数，求Y 2的数学期望．解：Y 的全部可能取值为0, 1, 2, 3, 4，因216πsin 2πsin2sin2cos 21}3π{π3ππ3π=−===>=∫x dx x X P p ， 则161)1(}0{4=−==p Y P ，164)1(14}1{3=−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==p p Y P ，166)1(24}2{22=−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==p p Y P ， 164)1(34}1{3=−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==p p Y P ，161}4{4===p Y P ， 故5168016141643166216411610)(222222==×+×+×+×+×=Y E ．14．设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0;20,83)(2其他x x x p 试求21X 的数学期望． 解：438383112020222==⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∫∫dx dx x x X E ．15．设X 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明∑+∞=≥=1}{)(k k X P X E ．证：)(}{}{}{}{11111X E n X nP n X P n X P k X P n n nk k kn k =======≥∑∑∑∑∑∑+∞=+∞==+∞=+∞=+∞=．16．设连续随机变量X 的分布函数为F (x )，且数学期望存在，证明∫∫∞−+∞−−=0)()](1[)(dx x F dx x F X E ．证：设X 的密度函数为p (x )，有p (x ) = F ′(x )，故∫∫∫∫∞−∞−+∞+∞∞−+∞+−−−−=−−000)]([)()](1[)](1[)()](1[x F xd x xF x F xd x F x dx x F dx x F)()()()()(0)]([00000X E dx x xp dx x xp dx x xp dx x xp dx x p x ==+=+−−−=∫∫∫∫∫+∞∞−∞−+∞∞−+∞．习题2.31． 设随机变量X 满足E (X ) = Var (X ) = λ ，已知E [(X − 1) (X − 2)] = 1，试求λ ． 解：因E (X ) = Var (X ) = λ ，有E (X 2) = Var (X ) + [E (X )]2 = λ + λ 2 ，则E [(X − 1) (X − 2)] = E (X 2 – 3X + 2) = E (X 2) – 3E (X ) + 2 = λ + λ 2 – 3λ + 2 = λ 2 – 2λ + 2 = 1， 得λ 2 – 2λ + 1 = 0，即 (λ – 1)2 = 0， 故λ = 1．2． 假设有10只同种电器元件，其中有两只不合格品．装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是不合格品，则扔掉重新任取一只；如仍是不合格品，则扔掉再取一只，试求在取到合格品之前，已取出的不合格品数的方差．解：设X 表示在取到合格品之前已取出的不合格品只数，X 的全部可能取值为0, 1, 2，则54108}0{===X P ，45898102}1{=×==X P ，4518891102}2{=××==X P ， 得9245124581540)(=×+×+×=X E ，且154451245124581540)(2222==×+×+×=X E ， 故4058892154)]([)()Var(222=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=X E X E X ． 3． 已知E (X ) = –2，E (X 2) = 5，求Var (1 – 3X )．解：因Var (X ) = E (X 2) – [E (X )]2 = 5 – (–2) 2 = 1，故Var (1 – 3X ) = (–3)2 Var (X ) = 9 × 1 = 9． 4． 设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥−<≤<=−−.1,e 211;10,21;0,2e )()1(21x x x x F x x试求Var (X )．解：因分布函数F (x ) 是连续函数，有X 为连续型，密度函数p (x ) = F ′(x )，当x < 0时，2e )()(xx F x p =′=，当0 < x < 1时，p (x ) = F ′(x ) = 0， 当x > 1时，)1(21e 41)()(−−=′=x x F x p ，则∫∫∫∫∫∞+−−∞−∞+−−∞−∞+∞−+=⋅+⋅==1)12101)1(21e 41e 21e 412e )()(dx x dx x dx x dx x dx x xp X E x x x x ，因1e 0e e )(e e 00000−=−=−⋅=⋅=∞−∞−∞−∞−∞−∫∫∫xx xx x dx x d x dx x ， 6e42e2e2][e2e1)1211)1(211)1(211)1(211)1(21=−=+−=⋅−=+∞−−∞+−−+∞−−∞+−−∞+−−∫∫∫x x x x x dx x d x dx x ，可得1641)1(21)(=×+−×=X E ，且∫∫∫∫∫∞+−−∞−∞+−−∞−∞+∞−+=⋅+⋅==1)1(212021)1(2120222e 41e 21e 412e )()(dx x dx x dx x dx x dx x p x X E x x x x因2e 202e e )(e e 00020202=−=⋅−⋅=⋅=∫∫∫∫∞−∞−∞−∞−∞−dx x xdx x d x dx x x x xx x ，∫∫∫∞+−−+∞−−∞+−−∞+−−⋅+−=⋅−=1)1(211)1(2121)1(2121)1(2122e2e2][e2exdx x d x dx x x x x x26642e421)1(21=×+=+=∫∞+−−dx x x ，可得2152641221)(2=×+×=X E ，故2131215)]([)()Var(222=−=−=X E X E X ．5． 设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤<−≤<−+=.,0;10,1;01,1)(其他x x x x x p试求Var (3X + 2)．解：因061613232)1()1()()(13201321001=+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=−++==−−∞+∞−∫∫∫x x x x dx x x dx x x dx x xp X E ， 且611211214343)1()1()()(1043014310201222=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=−++==−−∞+∞−∫∫∫x x x x dx x x dx x x dx x p x X E ， 则61)]([)()Var(22=−=X E X E X ， 故23619)Var(9)23Var(=×==+X X ．6． 试证：对任意的常数c ≠ E (X )，有Var (X ) = E (X – E (X ))2 < E (X – c )2．证：因E (X – c )2 = E (X 2 – 2cX + c 2) = E (X 2) – 2c E (X ) + c 2 = E (X 2) – [E (X )]2 + [E (X )]2 – 2c E (X ) + c 2= E (X – E (X ))2 + [E (X ) – c ]2 > E (X – E (X ))2 = Var (X )．7． 设随机变量X 仅在区间[a , b ]上取值，试证a ≤ E(X) ≤ b ，22)Var(⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≤a b X ．证：因X ≥ a ，有X – a ≥ 0，得E (X – a ) = E (X ) – a ≥ 0，即E (X ) ≥ a ，又因X ≤ b ，同理可得E (X ) ≤ b ，故a ≤ E (X ) ≤ b ；因a ≤ X ≤ b ，有222a b b a X a b −≤+−≤−−，得2222⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−a b b a X ， 则022222222≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−a b b a X E a b b a X E ，即2222⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−a b b a X E ， 故22222))(()Var(⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−≤−=a b b a X E X E X E X ．8． 设随机变量X 取值x 1 ≤ … ≤ x n 的概率分别是p 1 , …, p n ，11=∑=nk k p ．证明212)Var(⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≤x x X n ．证：因x 1 ≤ X ≤ x n ，有222111x x x x X x x n n n −≤+−≤−−，得212122⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−x x x x X n n ，故2121212222))(()Var(⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−≤−=x x x x E x x X E X E X E X n n n ．9． 设g (x ) 为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且E (g (X )) 存在，证明：对任意的ε > 0，有)())((}{εεg X g E X P ≤>．注：此题应要求g (ε ) ≠ 0．证：以连续型随机变量为例加以证明，设连续型随机变量X 的密度函数为p (x )，因g (x ) 为非负不减函数，当x > ε 时，有g (x ) ≥ g (ε ) > 0，即1)()(≥εg x g ， 故)())(()()()()()()()()()(}{εεεεεεεg X g E g X g E dx x p g x g dx x p g x g dx x p X P =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=≤≤=>∫∫∫∞+∞−∞+∞+． 10．设X 为非负随机变量，a > 0．若E (e aX)存在，证明：对任意的x > 0，有axaX E x X P e )(e }{≤≥．证：以连续型随机变量为例加以证明，设连续型随机变量X 的密度函数为p (x )，故ax aX ax aX ax au xax auxE E du u p du u p du u p x X P e )(e e e )(e e )(e e )(}{=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=≤≤=≥∫∫∫∞+∞−∞+∞+． 11．已知正常成人男性每升血液中的白细胞数平均是7.3 × 10 9，标准差是0.7 × 10 9．试利用切比雪夫不等式估计每升血液中的白细胞数在5.2 × 10 9至9.4 × 10 9之间的概率的下界． 解：设X 表示“每升血液中的白细胞数”，有E (X ) = 7.3 × 10 9，Var (X ) = (0.7 × 10 9) 2 = 0.49 × 10 18，则P {5.2 × 10 9 ≤ X ≤ 9.4 × 10 9} = P {–2.1 × 10 9 ≤ X – 7.3 × 10 9 ≤ 2.1 × 10 9} = P { | X – E (X ) | ≤ 2.1 × 10 9}989111041.41049.01)101.2()Var(1181829=−=××−=×−≥X ，故所求概率的下界为98．习题2.41． 一批产品中有10%的不合格品，现从中任取3件，求其中至多有一件不合格品的概率． 解：设X 表示“取到的不合格品个数”，有X 服从二项分布b (3, 0.1)，故所求概率为972.09.01.0139.0}1{}0{}1{23=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+==+==≤X P X P X P ． 2． 一条自动化生产线上产品的一级品率为0.8，现检查5件，求至少有2件一级品的概率． 解：设X 表示“检查到的一级品个数”，有X 服从二项分布b (5, 0.8)，故所求概率为99328.02.08.0152.01}1{}0{1}2{45=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−==−=−=≥X P X P X P ． 3． 某优秀射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3．试求该射手三次射击所得的环数不少于29环的概率．解：设X 表示“三次射击所中的10环次数”，有X 服从二项分布b (3, 0.7)，故所求概率为784.07.03.07.023}3{}2{}2{32=+××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==+==≥X P X P X P ．4． 经验表明：预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为20%．如今餐厅有50个座位，但预定给了52位 顾客，问到时顾客来到餐厅而没有座位的概率是多少？ 解：设X 表示“到时来到餐厅的顾客人数”，有X 服从二项分布b (52, 0.8)，故所求概率为0001279.08.02.08.05152}52{}51{}51{5251=+××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==+==≥X P X P X P ．5． 设随机变量X ~ b (n , p )，已知E (X ) = 2.4，Var (X ) = 1.44，求两个参数n 与p 各为多少？ 解：因X ~ b (n , p )，有E (X ) = np = 2.4，Var (X ) = np (1 – p ) = 1.44，有6.04.244.11==−p ， 故p = 0.4，64.04.2==n ． 6． 设随机变量X 服从二项分布b (2, p )，随机变量Y 服从二项分布b (4, p )．若P {X ≥ 1} = 8/9，试求P {Y ≥ 1}．解：因X 服从二项分布b (2, p )，有98)1(1}0{1}1{2=−−==−=≥p X P X P ，即32=p ，故8180311)1(1}0{1}1{44=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−−==−=≥p Y P Y P ．7． 一批产品的不合格率为0.02，现从中任取40件进行检查，若发现两件或两件以上不合格品就拒收这批产品．分别用以下方法求拒收的概率：（1）用二项分布作精确计算；（2）用泊松分布作近似计算． 解：设X 表示“发现的不合格品个数”，有X 服从二项分布b (40, 0.02)，（1）所求概率为1905.098.002.014098.01}1{}0{1}2{3940=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−==−=−=≥X P X P X P ；（2）因n = 40较大，p = 0.02很小，取λ = np = 0.8，有)8.0(~P X ，故查表可得所求概率为191.0809.01}1{1}2{=−=≤−=≥X P X P ． 8． 设X 服从泊松分布，且已知P {X = 1} = P {X = 2}，求P {X = 4}． 解：设X 服从泊松分布P (λ )，有λ > 0，则λλλλλ−−=====e 2}2{e 1}1{21P X P ，得22λλ=，即λ = 2，故查表可得P {X = 4} = P {X ≤ 4} – P {X ≤ 3} = 0.947 – 0.857 = 0.090．9． 已知某商场一天来的顾客数X 服从参数为λ 的泊松分布，而每个来到商场的顾客购物的概率为p ，证明：此商场一天内购物的顾客数服从参数为λ p 的泊松分布． 证：设Y 表示“该商场一天内购买商品的顾客人数”，Y 的全部可能取值为0, 1, 2, …，有∑∑∞=−−∞=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅======rk rk r k rk p p r k k k X r Y P k X P r Y P )1(!e }|{}{}{λλ ∑∑∑∞=+−∞=−−∞=−−−=−−=−−⋅⋅=0!)1(!e )!()1(!e )1()!(!!!e n nr n r rk rk k r rk rk r k n p r p r k p r p p p r k r k k λλλλλλpr p r n n r r r p r p n p r p λλλλλλλλ−−−−∞=−=⋅=−=∑e !)(e !e )(!)]1([!e )1(0， r = 0, 1, 2, …， 故Y 服从参数为λ p 的泊松分布．10．从一个装有m 个白球、n 个黑球的袋子中返回地摸球，直到摸到白球时停止．试求取到黑球数的期望． 解：设X 表示“取到的黑球数”，有X + 1服从参数为n m mp +=的几何分布，有mn m p X E +==+1)1(， 故mnm n m X E =−+=1)(． 11．某种产品上的缺陷数X 服从下列分布列：121}{+==k k X P ，k = 0, 1, …，求此种产品上的平均缺陷数．解：因X + 1服从参数为21=p 的几何分布⎟⎠⎞⎜⎝⎛21Ge ，有21)1(==+p X E ，故E (X ) = 2 – 1 = 1． 12．设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=.,0;10,2)(其他x x x p 以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件{X ≤ 1/2}出现的次数，试求P {Y = 2}．解：因412}21{212210===≤∫x xdx X P ，有Y 服从二项分布⎟⎠⎞⎜⎝⎛41,3b ， 故649434123}2{2=⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==Y P ．13．某产品的不合格品率为0.1，每次随机抽取10件进行检查，若发现其中不合格品数多于1，就去调整设备．若检验员每天检查4次，试问每天平均要调整几次设备． 解：设X 表示“所取10件中的不合格品数”，有X 服从二项分布b (10, 0.1)，则需要调整设备的概率为2639.09.01.01109.01}1{}0{1}2{910=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−==−=−=≥X P X P X P ， 设Y 表示“每天调整设备的次数”，有X 服从二项分布b (4, 0.2639)， 故E (X ) = 4 × 0.2639 = 1.0556，即每天平均要调整1.0556次设备．习题2.51． 设随机变量X 服从区间 (2, 5)上的均匀分布，求对X 进行3次独立观察中，至少有2次的观察值大于3的概率． 解：设Y 表示“X 大于3的次数”，有Y 服从二项分布b (3, p )，且322535}3{=−−=>=X P p ， 故所求概率为272032313223}2{32=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=≥Y P ． 2． 在 (0, 1)上任取一点记为X ，试求⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥+−081432X X P ．解：因X 服从区间 (0, 1)上的均匀分布，且021*******≥⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=+−X X X X ，即41≤X 或21≥X ，故432110412141081432=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥+−X X P X X P 或．3． 设K 服从 (1, 6)上的均匀分布，求方程x 2 + Kx + 1 = 0有实根的概率．解：因方程x 2 + Kx + 1 = 0有实根，有判别式 ∆ = K 2 – 4 ≥ 0，即K ≤ – 2或K ≥ 2，故所求概率为5416260}22{=−−+=≥−≤K K P 或． 4． 设流经一个2 Ω 电阻上的电流I 是一个随机变量，它均匀分布在9A 至11A 之间．试求此电阻上消耗的平均功率，其中功率W = 2I 2．解：因电流I 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0,119,21)(其他x x p故平均功率36023212)(2)2()(1193119222==⋅===∫∫∞+∞−x dx x dx x p x I E W E ． 5． 某种圆盘的直径在区间 (a , b )上服从均匀分布，试求此种圆盘的平均面积． 解：设d 表示“圆盘的直径”，S 表示“圆盘的面积”，有2π41d S =， 因直径d 密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=.,0,,1)(其他b x a ab x p 故平均面积)(4π)(4π1π41)(π41π41)(223222b ab a a b x dx a b x dx x p x d E S E ba b a ++=−=−⋅==⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∫∫∞+∞−． 6． 设某种商品每周的需求量X 服从区间 (10, 30)上的均匀分布，而商店进货数为区间 (10, 30)中的某一整数，商店每销售1单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理1单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每一单位商品仅获利300元．为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量．解：因X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=,,0,3010,201)(其它x x p 并设每周进货量为a 单位商品，商店所获利润为Y 元，当X ≤ a 时，Y = 500X − 100 (a − X ) = 600X − 100a ；当X > a 时，Y = 500a + 300 (X − a ) = 300X + 200a ，即⎩⎨⎧>+≤−==,,200300,,100600)(a X a X a X a X X g Y则∫∫∫++−==+∞∞−3010201)200300(201)100600()()()(a adx a x dx a x dx x p x g Y E5250350215)10215()515(2302102++−=++−=a a ax x ax x a a ，要使得92805250350215)(2≥++−=a a Y E ，有040303502152≤+−a a ，可得26362≤≤a ，故a 可取21, 22, 23, 24, 25, 26，即最少进货量为21单位商品． 7． 已知X ~ Exp (λ )，试在λ = 0.1下求P {5 ≤ X ≤ 20}．解：因X 的密度函数为⎩⎨⎧<≥=−,0,0,0,e )(x x x p x λλ 故4712.0e e )e (e 1.0e }205{25.02051.02051.0205=−=−===≤≤−−−−−∫∫x x x dx dx X P λλ．8． 统计调查表明，英格兰在1875年至1951年期间，在矿山发生10人或10人以上死亡的两次事故之间的时间T （以日计）服从均值为241的指数分布．试求P {50 ≤ T ≤ 100}．解：因T 服从指数分布，且2411)(==λT E ，有T 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=−,0,0,0,e 2411)(241t t t p t故1523.0ee)e(e 2411}10050{241100241501005024110050241=−=−==≤≤−−−−∫x t dt T P ．9． 若一次电话通话时间X （单位：min ）服从参数为0.25的指数分布，试求一次通话的平均时间． 解：因X 服从参数为λ = 0.25的指数分布，故一次通话的平均时间41)(==λX E ．10．某种设备的使用寿命X （以年计）服从指数分布，其平均寿命为4年．制造此种设备的厂家规定，若设备在使用一年之内损坏，则可以予以调换．如果设备制造厂每售出一台设备可盈利100元，而调换一台设备需花费300元．试求每台设备的平均利润．解：因X 服从指数分布，且41)(==λX E ，有X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=−,0,0,0,e 41)(4x x x p x设Y 表示“每台设备的利润”，当X ≤ 1时，Y = 100 − 300 = −200；当X > 1时，Y = 100．故平均利润∫∫∞+−−+−=>+≤−=14104e 41100e 41200}1{100}1{200)(dx dx X P X P Y E xx 6402.33200e 300e100)e 1(200)e (100)e (2004141411414=−=+−−=−+−−=−−−+∞−−x x．11．设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以min 计）服从指数分布，其密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>=−.,0,0,e 51)(5其他x x p x某顾客在窗口等待服务，若超过10min ，他就离开．他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未。
《概率论与数理统计》习题及答案第 四 章1．一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字1,2,2,3，今从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以,X Y 分别表示第一次，第二次取出的球上的标号，求(,)X Y 的分布列.解(,)X Y 的分布列为其中(1,1)(1)(1|1)0P X Y P X P Y X =======余者类推。
2．将一枚硬币连掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出(,)X Y 的分布列及边缘分布列。
解一枚硬币连掷三次相当于三重贝努里试验，故1~(3,).2X B 331()(),0,1,2,32k P X k C k ===，于是(,)X Y 的分布列和边缘分布为01013818i p ⋅其中(0,1)(0)(1|0)0P X Y P X P Y X =======，13313(1,1)(1)(1|1)()128P X Y P X P Y X C =======⨯=，余者类推。
3．设(,)X Y 的概率密度为又（1）{(,)|1,3}D x y x y =<<；（2）{(,)|3}D x y x y =+<。
求{(,)}P X Y D ∈ 解（1）1321{(,)}(6)8P x y D x y dxdxy ∈=--⎰=321(6)8x x y dxdy --- =)落在圆222()x y r r R +≤<内的概率. 解（1）22223201(R x y R CR dxdy C R C r drd ππθ+≤==-⎰⎰⎰⎰333233R R C R C πππ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦， ∴33C R π=.（2）设222{(,)|}D x y x y r =+≤，所求概率为322323232133r r r Rr R R R πππ⎡⎤⎡⎤=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 5．已知随机变量X 和Y 的联合概率密度为 求X 和Y 的联合分布函数.解1设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则解2由联合密度可见，,X Y 独立，边缘密度分别为 边缘分布函数分别为(),()X Y F x F y ，则 设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则6．设二维随机变量(,)X Y 在区域:0D x <<求边缘概率密度。
随机事件及其概率1.1 随机事件习题1试说明随机试验应具有的三个特点．习题2将一枚均匀的硬币抛两次，事件A，B，C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”，试写出样本空间及事件A，B，C中的样本点.1.2 随机事件的概率1.3 古典概型与几何概型1.4 条件概率1.5 事件的独立性复习总结与总习题解答习题3. 证明下列等式：习题6.习题7习题9习题10习题12习题13习题14习题15习题16习题18习题20习题21习题23习题24习题26第二章随机变量及其分布2.1 随机变量习题1随机变量的特征是什么？解答：①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.②随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值.③随机变量取特定值的概率大小是确定的.习题2试述随机变量的分类.解答：①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来，则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.②若X的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称X为连续型随机变量.习题3盒中装有大小相同的球10个，编号为0,1,2,⋯,9, 从中任取1个，观察号码是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率.解答：分别用ω1,ω2,ω3表示试验的三个结果“小于5”，“等于5”，“大于5”，则样本空间S={ω1,ω2,ω3}, 定义随机变量X如下：X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3则X取每个值的概率为P{X=0}=P{取出球的号码小于5}=5/10,P{X=1}=P{取出球的号码等于5}=1/10,P{X=2}=P{取出球的号码大于5}=4/10.2.2 离散型随机变量及其概率分布习题1设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2}, 求λ.解答：由P{X=1}=P{X=2}, 得λe-λ=λ^2/2e^-λ,解得λ=2.习题2设随机变量X的分布律为P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,试求(1)P{12<X<52; (2)P{1≤X≤3};(3)P{X>3}.解答：(1)P{12<X<52=P{X=1}+P{X=2}=115+215=15;(2)P{≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=115+215+315=25;(3)P{X>3}=P{X=4}+P{X=5}=415+515=35.习题3已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值，相应概率依次为12c,34c,58c,716c, 试确定常数c, 并计算P{X<1∣X≠0}.解答：依题意知，12c+34c+58c+716c=1, 即3716c=1,解得c=3716=2.3125.由条件概率知P{X<1∣X≠0}=P{X<1,X≠0}P{X≠0}=P{X=-1}P{X≠0}=12c1-34c=24c-3=26.25=0.32.习题4一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.解答：随机变量X的可能取值为3,4,5.P{X=3}=C22⋅1C53=110, P{X=4}=C32⋅1C53=310, P{X=5}=C42⋅1C53=35,所以X的分布律为设X表示取出3件产品的次品数，则X的所有可能取值为0,1,2,3. 对应概率分布为P{X=0}=C73C103=35120, P{X=1}=C73C31C103=36120,P{X=2}=C71C32C103=21120, P{X=3}=C33C103=1120.X的分布律为X 0123P 3512036120211201120习题9一批产品共10件，其中有7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，取出的产品仍放回去，求直至取到正品为止所需次数X的概率分布.解答：由于每次取出的产品仍放回去，各次抽取相互独立，下次抽取时情况与前一次抽取时完全相同，所以X的可能取值是所有正整数1,2,⋯,k,⋯.设第k次才取到正品(前k-1次都取到次品), 则随机变量X的分布律为P{X=k}=310×310×⋯×310×710=(310)k-1×710,k=1,2,⋯.习题10设随机变量X∼b(2,p),Y∼b(3,p), 若P{X≥1}=59,求P{Y≥1}.解答：因为X∼b(2,p),P{X=0}=(1-p)2=1-P{X≥1}=1-5/9=4/9,所以p=1/3.因为Y∼b(3,p), 所以P{Y≥1}=1-P{Y=0}=1-(2/3)3=19/27.习题11纺织厂女工照顾800个纺绽，每一纺锭在某一段时间τ内断头的概率为0.005, 在τ这段时间内断头次数不大于2的概率.解答：以X记纺锭断头数, n=800,p=0.005,np=4,应用泊松定理，所求概率为：P{0≤X≤2}=P{⋃0≤xi≤2{X=xi}=∑k=02b(k;800,0.005)≈∑k=02P(k;4)=e-4(1+41!+422!)≈0.2381.习题12设书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率.解答：\becauseP{X=1}=P{X=2}, 即λ11!e-λ=λ22!e-λ⇒λ=2,∴P{X=0}=e-2,∴p=(e-2)4=e-8.2.3 随机变量的分布函数习题1F(X)={0,x<-20.4,-2≤x<01,x≥0,是随机变量X的分布函数，则X是___________型的随机变量.解答：离散.由于F(x)是一个阶梯函数，故知X是一个离散型随机变量.习题2设F(x)={0x<0x20≤1,1x≥1问F(x)是否为某随机变量的分布函数.解答：首先，因为0≤F(x)≤1,∀x∈(-∞,+∞).其次，F(x)单调不减且右连续，即F(0+0)=F(0)=0, F(1+0)=F(1)=1,且F(-∞)=0,F(+∞)=1,所以F(x)是随机变量的分布函数.习题3已知离散型随机变量X的概率分布为P{X=1}=0.3,P{X=3}=0.5,P{X=5}=0.2,试写出X的分布函数F(x)，并画出图形.解答：由题意知X的分布律为：X 135Pk 0.30.50.2所以其分布函数F(x)=P{X≤x}={0,x<10.3,1≤x<30.8,3≤x<51,x≥5.F(x)的图形见图.习题4设离散型随机变量X的分布函数为F(x)={0,x<-10.4,-1≤x<10.8,1≤x<31,x≥3,试求：(1)X的概率分布；(2)P{X<2∣X≠1}.解答：(1)X -113pk 0.40.40.2(2)P{X<2∣X≠1}=P{X=-1}P{X≠1}=23.习题5设X的分布函数为F(x)={0,x<0x2,0≤x<1x-12,1≤x<1.51,x≥1.5,求P{0.4<X≤1.3},P{X>0.5},P{1.7<X≤2}.解答：P{0.4<X≥1.3}=P{1.3}-F(0.4)=(1.3-0.5)-0.4/2=0.6,P{X>0.5}=1-P{X≤0.5}=1-F(0.5)=1-0.5/2=0.75,P{1.7<X≤2}=F(2)-F(1.7)=1-1=0.习题6设随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx(-∞<x<+∞),试求：(1)系数A与B; (2)X落在(-1,1]内的概率.解答：(1)由于F(-∞)=0,F(+∞)=1,可知{A+B(-π2)A+B(π2)=1=0⇒A=12,B=1π,于是F(x)=12+1πarctanx, -∞<x<+∞;(2)P{-1<X≤1}=F(1)-F(-1)=(12+1πarctan1)-[12+1πarctanx(-1)]=12+1π⋅π4-12-1π(-π4)=12.习题7在区间[0,a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求X的分布函数.解答：F(x)=P{X≤x}={0,x<0xa,0≤x<a.1,x≥a2.4 连续型随机变量及其概率密度习题1设随机变量X的概率密度为f(x)=12πe-(x+3)24(-∞<x<+∞),则Y=¯∼N(0,1).解答：应填3+X2.由正态分布的概率密度知μ=-3,σ=2由Y=X-μσ∼N(0,1), 所以Y=3+X2∼N(0,1).习题2已知X∼f(x)={2x,0<x<10,其它, 求P{X≤0.5};P{X=0.5};F(x).解答：P{X≤0.5}=∫-∞0.5f(x)dx=∫-∞00dx+∫00.52xdx=x2∣00.5=0.25,P{X=0.5}=P{X≤0.5}-P{X<0.5}=∫-∞0.5f(x)dx-∫-∞0.5f(x)dx=0.当X≤0时，F(x)=0;当0<x<1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt=t2∣0x=x2;当X≥1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt+∫1x0dt=t2∣01=1,故F(x)={0,x≤0x2,0<x<1.1,x≥1习题3设连续型随机变量X的分布函数为F(x)={A+Be-2x,x>00,x≤0,试求：(1)A,B的值；(2)P{-1<X<1}; (3)概率密度函数F(x).解答：(1)\becauseF(+∞)=limx→+∞(A+Be-2x)=1, ∴A=1;又\becauselimx→0+(A+Be-2x)=F(0)=0, ∴B=-1.(2) P{-1<X<1}=F(1)-F(-1)=1-e-2.(3)f(x)=F′(x)={2e-x,x>00,x≤0.习题4服从拉普拉斯分布的随机变量X的概率密度f(x)=Ae-∣x∣, 求系数A及分布函数F(x).解答：由概率密度函数的性质知，∫-∞+∞f(x)dx=1,即∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=1,而∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=∫-∞0Aexdx+∫0+∞Ae-xdx=Aex∣-∞0+(-Ae-x∣0+∞)=A+A=2A或∫-∞+∞Ae-xdx=2∫0+∞Ae-xdx=-2Ae-x∣0+∞=2A,所以2A=1, 即A=1/2.从而f(x)=12e-∣x∣,-∞<x<+∞,又因为F(x)=∫-∞xf(t)dt,所以当x<0时，F(x)=∫-∞x12e-∣t∣dt=12∫-∞xetdt=12et∣-∞x=12ex;当x≥0时，F(x)=∫-∞x12e-∣x∣dt=∫-∞012etdt+∫0x12e-tdt=12et∣-∞0-12e-t∣0x=12-12e-x+12=1-12e-x,从而F(x)={12ex,x<01-12e-x,x≥0.习题5某型号电子管，其寿命(以小时计)为一随机变量，概率密度f(x)={100x2,x≥1000,其它,某一电子管的使用寿命为X, 则三个电子管使用150小时都不需要更换的概率.解答：设电子管的使用寿命为X, 则电子管使用150小时以上的概率为P{X>150}=∫150+∞f(x)dx=∫150+∞100x2dx=-100x∣150+∞=100150=23,从而三个电子管在使用150小时以上不需要更换的概率为p=(2/3)3=8/27.习题6设一个汽车站上，某路公共汽车每5分钟有一辆车到达，设乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的，试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率.解答：设X为每位乘客的候车时间，则X服从[0,5]上的均匀分布. 设Y表示车站上10位乘客中等待时间超过4分钟的人数. 由于每人到达时间是相互独立的.这是10重伯努力概型. Y服从二项分布，其参数n=10,p=P{X≥4}=15=0.2,所以P{Y=1}=C101×0.2×0.89≈0.268.习题7设X∼N(3,22).(1)确定C, 使得P{X>c}=P{X≤c};(2)设d满足P{X>d}≥0.9,问d至多为多少?解答：因为X∼N(3,22), 所以X-32=Z∼N(0,1).(1)欲使P{X>c}=P{X≤c},必有1-P{X≤c}=P{X≤c},即P{X≤c}=1/2,亦即Φ(c-32)=12, 所以 c-32=0, 故c=3.(2)由P{X>d}≥0.9可得1-P{X≤d}≥0.9,即P{X≤d}≤0.1.于是Φ(d-32)≤0.1,Φ(3-d2)≥0.9.查表得3-d2≥1.282,所以d≤0.436.习题8设测量误差X∼N(0,102), 先进行100次独立测量，求误差的绝对值超过19.6的次数不小于3的概率. 解答：先求任意误差的绝对值超过19.6的概率p,p=P{∣X∣>19.6}=1-P{∣X∣≤19.6}=1-P{∣X10∣≤1.96=1-[Φ(1.96)-Φ(-1.96)]=1-[2Φ(1.96)-1]=1-[2×0.975-1]=1-0.95=0.05.设Y为100次测量中误差绝对值超过19.6的次数，则Y∼b(100,0.05).因为n很大，p很小，可用泊松分布近似，np=5=λ, 所以P{Y≥3}≈1-50e-50!-51e-51!-52e-52!=1-3722-5≈0.87.习题9某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖，为此需对生产定额作出规定. 根据以往记录，各工人每月装配产品数服从正态分布N(4000,3600).假定车间主任希望10%的工人获得超产奖，求：工人每月需完成多少件产品才能获奖？解答：用X表示工人每月需装配的产品数，则X∼N(4000,3600).设工人每月需完成x件产品才能获奖，依题意得P{X≥x}=0.1,即1-P{X<x}=0.1,所以1-F(x)=0.1, 即1-Φ(x-400060)=0.1, 所以Φ(x-400060)=0.9.查标准正态人分布表得Φ(1.28)=0.8997, 因此x-400060≈1.28,即x=4077件，就是说，想获超产奖的工人，每月必须装配4077件以上.习题10某地区18岁女青年的血压(收缩压，以mm-HG计)服从N(110,122). 在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X.(1)求P{X≤105},P{100<X≤120};(2)确定最小的x, 使P{X>x}≤0.005.解答：已知血压X∼N(110,122).(1)P{X≤105}=P{X-11012≤-512≈1-Φ(0.42)=0.3372,P{100<X≤120}=Φ(120-11012)-Φ(100-11012)=Φ(0.833)-Φ(-0.833)=2Φ(0.833)-1≈0.595.(2)使P{X>x}≤0.05,求x, 即1-P{X≤x}≤0.05, 亦即Φ(x-11012)≥0.95,查表得x-10012≥1.645,从而x≥129.74.习题11设某城市男子身高X∼N(170,36), 问应如何选择公共汽车车门的高度使男子与车门碰头的机会小于0.01.解答：X∼N(170,36), 则X-1706∼N(0,1).设公共汽车门的高度为xcm，由题意P{X>x}<0.01, 而P{X>x}=1-P{X≤x}=1-Φ(x-1706)<0.01,即Φ(x-1706)>0.99, 查标准正态表得x-1706>2.33, 故x>183.98cm.因此，车门的高度超过183.98cm时，男子与车门碰头的机会小于0.01.习题12某人去火车站乘车，有两条路可以走. 第一条路程较短，但交通拥挤，所需时间(单位：分钟)服从正态分布N(40,102); 第二条路程较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布N(50,42), 求：(1)若动身时离开车时间只有60分钟，应走哪一条路线？(2)若动身时离开车时间只有45分钟，应走哪一条路线？解答：设X,Y分别为该人走第一、二条路到达火车站所用时间，则X∼N(40,102),Y∼N(50,42).哪一条路线在开车之前到达火车站的可能性大就走哪一条路线.(1)因为P{X<60}=Φ(60-4010)=Φ(2)=0.97725, P{Y<60}=Φ(60-504)=Φ(2.5)=0.99379,所以有60分钟时应走第二条路.(2)因为P{X<45}=Φ(45-4010)=Φ(0.5)=0.6915,P{X<45}=Φ(45-504)=Φ(-1.25)=1-Φ(1.25)=1-0.8925=0.1075所以只有45分钟应走第一条路.当c>0时，fY(y)={1c(b-a),ca+d≤y≤cb+d0,其它,当c<0时，fY(y)={-1c(b-a),cb+d≤y≤ca+d0,其它.习题4设随机变量X服从[0,1]上的均匀分布，求随机变量函数Y=eX的概率密度fY(y).解答：f(x)={1,0≤x≤10,其它,f=ex,x∈(0,1)是单调可导函数，y∈(1,e), 其反函数为x=lny, 可得f(x)={fX(lny)∣ln′y,1<y<e0,其它={1y,1<y<e0,其它.习题5设X∼N(0,1)，求Y=2X2+1的概率密度.解答：因y=2x2+1是非单调函数，故用分布函数法先求FY(y).FY(y)=P{Y≤y}=P{2X2+1≤y}(当y>1时)=P{-y-12≤X≤y-12=∫-y-12y-1212πe-x2dx,所以fY(y)=F′Y(y)=22πe-12⋅y-12⋅122y-1,y>1, 于是fY(y)={12π(y-1)e-y-14,y>10,y≤1.习题6设连续型随机变量X的概率密度为f(x), 分布函数为F(x), 求下列随机变量Y的概率密度：(1)Y=1X; (2)Y=∣X∣.解答：(1)FY(y)=P{Y≤y}=P{1/X≤y}.①当y>0时，FY(y)=P{1/X≤0}+P{0<1/X≤y}=P{X≤0}+P{X≥1/y}=F(0)+1-F(1/y),故这时fY(y)=[-F(1y)]′=1y2f(1y);；②当y<0时，FY(y)=P{1/y≤X<0}=F(0)-F(1/y),故这时fY(y)=1y2f(1y);③当y=0时，FY(y)=P{1/X≤0}=P{X<0}=F(0),故这时取fY(0)=0, 综上所述fY(y)={1y2⋅f(1y),y≠00,y=0.(2)FY(y)=P{Y≤y}=P{∣X∣≤y}.①当y>0时，FY(y)=P{-y≤X≤y}=F(y)-F(-y)这时fY(y)=f(y)+f(-y);②当y<0时，FY(y)=P{∅}=0, 这时fY(y)=0;③当y=0时，FY(y)=P{Y≤0}=P{∣X∣≤0}=P{X=0}=0,故这时取FY(y)=0, 综上所述fY(y)={f(y)+f(-y),y>00,y≤0.习题7某物体的温度T(∘F)是一个随机变量, 且有T∼N(98.6,2), 已知θ=5(T-32)/9, 试求θ(∘F)的概率密度.解答：已知T∼N(98.6,2). θ=59(T-32), 反函数为T=59θ+32, 是单调函数，所以fθ(y)=fT(95y+32)⋅95=12π⋅2e-(95y+32-98.6)24⋅95=910πe-81100(y-37)2.习题8设随机变量X在任一区间[a,b]上的概率均大于0, 其分布函数为FY(x), 又Y在[0,1]上服从均匀分布，证明:Z=FX-1(Y)的分布函数与X的分布函数相同.解答：因X在任一有限区间[a,b]上的概率均大于0, 故FX(x)是单调增加函数，其反函数FX-1(y)存在，又Y在[0,1]上服从均匀分布，故Y的分布函数为FY(y)=P{Y≤y}={0,y<0y,0≤y≤11,y>0,于是，Z的分布函数为FZ(z)=P{Z≤z}=P{FX-1(Y)≤z}=P{Y≤FX(z)}={0,FX(z)<0FX(z),0≤FX(z)≤1,1,FX(z)>1由于FX(z)为X的分布函数，故0≤FX(z)≤1.FX(z)<0和FX(z)>1均匀不可能，故上式仅有FZ(z)=FX(z), 因此，Z与X的分布函数相同.总习题解答习题1从1∼20的整数中取一个数，若取到整数k的概率与k成正比，求取到偶数的概率.解答：设Ak为取到整数k, P(Ak)=ck, k=1,2,⋯,20.因为P(⋃K=120Ak)=∑k=120P(Ak)=c∑k=120k=1，所以c=1210,P{取到偶数}=P{A2∪A4∪⋯∪A20} =1210(2+4+⋯+20)=1121.习题2若每次射击中靶的概率为0.7, 求射击10炮,(1)命中3炮的概率;(2)至少命中3炮的概率;(3)最可能命中几炮.解答：若随机变量X表示射击10炮中中靶的次数. 由于各炮是否中靶相互独立，所以是一个10重伯努利概型，X服从二项分布，其参数为n=10,p=0.7, 故(1)P{X=3}=C103(0.7)3(0.3)7≈0.009;(2)P{X≥3}=1-P{X<3}=1-[C100(0.7)0(0.3)10+C101(0.7)1(0.3)9+C102(0.7)2(0.3)8]≈0.998;(3)因X∼b(10,0.7), 而k0=[(n+1)p]=[(10+1)]×0.7=[7.7]=7,故最可能命中7炮.习题3在保险公司里有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在1年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交120元保险费，而在死亡时家属可从保险公司里领20000元赔偿金，求:(1)保险公司亏本的概率;(2)保险公司获利分别不少于100000元, 200000元的概率.解答：1)以“年”为单位来考虑，在1年的1月1日，保险公司总收入为2500×120元=30000元.设1年中死亡人数为X, 则X∼b(2500,0.002), 则保险公司在这一年中应付出200000X(元)，要使保险公司亏本，则必须200000X>300000即X>15(人).因此，P{保险公司亏本}=P{X>15}=∑k=162500C2500k(0.002)k×(0.998)2500-k≈1-∑k=015e-55kk!≈0.000069,由此可见,在1年里保险公司亏本的概率是很小的.(2)P{保险公司获利不少于100000元}=P{300000-200000X≥100000}=P{X≤10}=∑k=010C2500k(0.002)×(0.998)2500-k≈∑k=010e-55kk!≈0.986305,即保险公司获利不少于100000元的概率在98%以上.P{保险公司获利不少于200000元}=P{300000-200000X≥200000}=P{X≤5}=∑k=05C2500k(0.002)k×(0.998)2500-k≈∑k=05e-55kk!≈0.615961,即保险公司获利不少于200000元的概率接近于62%.习题4一台总机共有300台分机，总机拥有13条外线，假设每台分机向总机要外线的概率为3%, 试求每台分机向总机要外线时，能及时得到满足的概率和同时向总机要外线的分机的最可能台数.解答：设分机向总机要到外线的台数为X, 300台分机可看成300次伯努利试验，一次试验是否要到外线. 设要到外线的事件为A, 则P(A)=0.03, 显然X∼b(300,0.03), 即P{X=k}=C300k(0.03)k(0.97)300-k(k=0,1,2,⋯,300),因n=300很大，p=0.03又很小,λ=np=300×0.03=9,可用泊松近似公式计算上面的概率. 因总共只有13条外线，要到外线的台数不超过13，故P{X≤13}≈∑k=0139kk!e-9≈0.9265,(查泊松分布表)且同时向总机要外线的分机的最可能台数k0=[(n+1)p]=[301×0.03]=9.习题5在长度为t的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数X服从参数t2的泊松分布，而与时间间隔的起点无关(时间以小时计), 求：(1)某一天从中午12至下午3时没有收到紧急呼救的概率；(2)某一天从中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率.解答：(1)t=3,λ=3/2, P{X=0}=e-3/2≈0.223;(2)t=5,λ=5/2, P{X≥1}=1-P{X=0}=1-e-5/2≈0.918.习题6设X为一离散型随机变量，其分布律为X -101pi 1/21-2qq2试求：(1)q的值；(2)X的分布函数.解答：(1)\because离散型随机变量的概率函数P{X=xi}=pi, 满足∑ipi=1,且0≤pi≤1,∴{1/2+1-2q+q2=10≤1-2q≤1q2≤1,解得q=1-1/2. 从而X的分布律为下表所示：因F(x)在x=π6处连续，故P{X=π6=12, 于是有P{∣X∣<π6=P{-π6<X<π6=P{-π6<X≤π6=F(π6)-F(-π6)=12..习题8使用了x小时的电子管，在以后的Δx小时内损坏的概率等于λΔx+o(Δx), 其中λ>0是常数，求电子管在损坏前已使用时数X的分布函数F(x)，并求电子管在T小时内损坏的概率.解答：因X的可能取值充满区间(0,+∞),故应分段求F(x)=P{X≤x}.当x≤0时，F(x)=P{X≤x}=P(∅)=0;当x>0时，由题设知P{x<X≤x+Δx/X}=λΔx+o(Δx), 而P{x<X≤x+Δx/X}=P{x<X≤x+Δx,X>x}P{X>x}=P{x<X≤x+Δx}1-P{X≤x}=F(x+Δx)-F(x)1-F(x),故F(X+Δx)-F(x)1-F(x)=λΔx+o(Δx), 即F(x+Δx)-F(x)Δx=[1-F(x)][λ+o(Δx)Δx],令o(Δx)→0,得F′(x)=λ[1-F(x)].这是关于F(x)的变量可分离微分方程，分离变量dF(x)1-F(x)=λdx, 积分之得通解为C[1-F(x)]=e-λx(C为任意常数).注意到初始条件F(0)=0, 故C=1.于是F(x)=1-e-λx,x>0,λ>0, 故X的分布函数为F(x)={0,x≤01-e-λx,x>0(λ>0),从而电子管在T小时内损坏的概率为P{X≤T}=F(T)=1-e-λT.习题9设连续型随机变量X的分布密度为f(x)={x,0<x≤12-x,1<x≤20,其它,求其分布函数F(x).解答：当x≤0时，F(x)=∫-∞x0dt=0;当0<x≤1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00tdt+∫0xtdt=12x2;当1<x≤2时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫01tdt+∫1x(2-t)dt=0+12+(2t-12t2)∣1x=-1+2x-x22;当x>2时，F(x)=∫-∞00dt+∫01tdt+∫12(2-t)dt+∫2x0dt=1,故F(x)={0,x≤212x2,0<x≤1-1+2x-x22,1<x≤21,x>2.习题10某城市饮用水的日消费量X(单位：百万升)是随机变量，其密度函数为：f(x)={19xe-x3,x>00,其它,试求：(1)该城市的水日消费量不低于600万升的概率；(2)水日消费量介于600万升到900万升的概率.解答：先求X的分布函数F(x). 显然，当x<0时，F(x)=0, 当x≥0时有F(x)=∫0x19te-t3dt=1-(1+x3)e-x3故F(x)={1-(1+x3)e-x3,x≥00,x<0,所以P{X≥6}=1-P{X<6}=1-P(X≤6}=1-F(6)=1-[1-(1+x3)e-x3]x=6=3e-2,P{6<X≤9}=F(9)-F(6)=(1-4e-3)-(1-3e-2)=3e-2-4e-3.习题11已知X∼f(x)={cλe-λx,x>a0,其它(λ>0), 求常数c及P{a-1<X≤a+1}.解答：由概率密度函数的性质知∫-∞+∞f(x)dx=1,而∫-∞+∞f(x)dx=∫-∞a0dx+∫a+∞cλe-λxdx=c∫a+∞e-λxd(λx)=-ce-λx\vlinea+∞=ce-λa,所以ce-λa=1, 从而c=eλa. 于是P{a-1<X≤a+1}=∫a-1a+1f(x)dx=∫a-1a0dx+∫aa+1λeλae-λxdx=-eλae-λx\vlineaa+1=-eλa(e-λ(a+1)-e-λa)=1 -e-λ.注意，a-1<a, 而当x<a时，f(x)=0.习题12已知X∼f(x)={12x2-12x+3,0<x<10,其它, 计算P{X≤0.2∣0.1<X≤0.5}.解答：根据条件概率;有P{X≤0.2∣0.1<X≤0.5}=P{X≤0.2,0.1<X≤0.5}P{0.1<X≤0.5}=P{0.1<X≤0.2}P{0.1<X≤0.5}=∫0.10.2(12x2-12x+2) dx∫0.10.5(12x2-12x+3)dx=(4x3-6x2+3x)∣0.10.2(4x3-6x2+3x)∣0.10.5=0.1480.256=0.578125.习题13若F1(x),F2(x)为分布函数，(1)判断F1(x)+F2(x)是不是分布函数，为什么？(2)若a1,a2是正常数，且a1+a2=1. 证明：a1F1(x)+a2F2(x)是分布函数.解答：(1)F(+∞)=limx→+∞F(x)=limx→+∞F1(x)+limx→+∞F2(x)=1+1=2≠1故F(x)不是分布函数.(2)由F1(x),F2(x)单调非减，右连续，且F1(-∞)=F2(-∞)=0,F1(+∞)=F2(+∞)=1,可知a1F1(x)+a2F2(x)单调非减，右连续，且a1F1(-∞)+a2F2(-∞)=0,a1F1(+∞)+a2F2(+∞)=1.从而a1F1(x)+a2F2(x)是分布函数.习题14设随机变量X的概率密度ϕ(x)为偶函数，试证对任意的a>0, 分布函数F(x)满足：(1)F(-a)=1-F(a); (2)P{∣X∣>a}=2[1-F(a)].解答：(1)F(-a)=∫-∞-aϕ(x)dx=∫a+∞ϕ(-t)dt=∫a+∞ϕ(x)dx=1-∫-∞aϕ(x)dx=1-F(a).(2)P{∣X∣>a}=P{X<-a}+P{X>a}=F(-a)+P{X≥a}F(-a)+1-F(a)=2[1-F(a)].习题15设K在(0,5)上服从均匀分布，求x的方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的概率.解答：因为K∼U(0,5), 所以fK(k)={1/5,0<k<50,其它,方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的充要条件为(4K)2-4⋅4(K+2)≥0,即K2-K-2≥0,亦即(k-2)(K+1)≥0,解得K≥2(K≤-1舍去), 所以P{方程有实根}=P{K≥2}=∫2515dx=35.习题16某单位招聘155人，按考试成绩录用，共有526人报名，假设报名者考试成绩X∼N(μ,σ2), 已知90分以上12人，60分以下83人，若从高分到低分依次录取，某人成绩为78分，问此人是否能被录取？解答：要解决此问题首先确定μ,σ2, 因为考试人数很多，可用频率近似概率.根据已知条件P{X>90}=12/526≈0.0228,P{X≤90}=1-P{X>90}≈1-0.0228}=0.9772;又因为P{X≤90}=P{X-μσ≤90-μσ, 所以有Φ(90-μσ)=0.9772, 反查标准正态表得90-μσ=2 ①同理：P{X≤60}=83/526≈0.1578; 又因为P{X≤60}=P{X-μσ≤60-μσ,故Φ(60-μσ)≈0.1578.因为0.1578<0.5,所以60-μσ<0, 故Φ(μ-60σ)≈1-0.1578=0.8422, 反查标准正态表得μ-60σ≈1.0 ②联立①，②解得σ=10,μ=70, 所以，X∼N(70,100).某人是否能被录取，关键看录取率. 已知录取率为155526≈0.2947, 看某人是否能被录取，解法有两种：方法1：P{X>78}=1-P{X≤78}=1-P{x-7010≤78-7010=1-Φ(0.8)≈1-0.7881=0.2119,因为0.2119<0.2947(录取率), 所以此人能被录取.方法2：看录取分数线. 设录取者最低分为x0, 则P{X≥x0}=0.2947(录取率),P{X≤x0}=1-P{X≥x0}=1-0.2947=0.7053,P{X≤x0}=P{x-7010≤x0-7010=Φ{x0-7010=0.7053,反查标准正态表得x0-7010≈0.54, 解得x0≈75. 此人成绩78分高于最低分，所以可以录取.习题17假设某地在任何长为t(年)的时间间隔内发生地震的次数N(t)服从参数为λ=0.1t的泊松分布，X表示连续两次地震之间间隔的时间(单位：年).(1)证明X服从指数分布并求出X的分布函数；(2)求今后3年内再次发生地震的概率；(3)求今后3年到5年内再次发生地震的概率.解答：(1)当t≥0时，P{X>t}=P{N(t)=0}=e-0.1t,∴F(t)=P{X≤t}=1-P{X>t}=1-e-0.1t;当t<0时，F(t)=0,∴F(x)={1-e-0.1t,x≥00,x<0,X服从指数分布(λ=0.1);(2)F(3)=1-e-0.1×3≈0.26;(3)F(5)-F(3)≈0.13.习题18100件产品中，90个一等品，10个二等品，随机取2个安装在一台设备上，若一台设备中有i个(i=0,1,2)二等品，则此设备的使用寿命服从参数为λ=i+1的指数分布.(1)试求设备寿命超过1的概率；(2)已知设备寿命超过1，求安装在设备上的两个零件都是一等品的概率 .解答：(1)设X表示设备寿命. A表示“设备寿命超过1”，Bi表示“取出i个二等品”(i=0,1,2)，则X的密度函数为fX(x)={λe-λx,x>00,x≤0 (λ=i+1,i=0,1,2),P(B0)=C902C1002, P(B1)=C901C102C1002, P(B2)=C102C1002, P(A∣B0)=∫1+∞e-xdx=e-1, P(A∣B1)=∫1+∞2e-2xdx=e-2,P(A∣B2)=∫1+∞3e-3xdx=e-3,由全概率公式：P(A)=∑i=02P(Bi)P(A∣Bi)≈0.32.(2)由贝叶斯公式：P(B0∣A)=P(B0)P(A∣B0)P(A)≈0.93.fX(x)={e-x,x>00,其它,求Y=eX的概率密度.解答：因为α=min{y(0),y(+∞)}=min{1,+∞}=1,β=max{y(0),y(+∞)}=max{1,+∞}=+∞.类似上题可得fY(y)={fX[h(y)]∣h′(y)∣,1<y<+∞0,其它={1/y2,1<y<+∞0,其它.习题22设随便机变量X的密度函数为fX(x)={1-∣x∣,-1<x<10,其它,求随机变量Y=X2+1的分布函数与密度函数.解答：X的取值范围为(-1,1), 则Y的取值范围为[1,2). 当1≤y<2时，FY(y)=P{Y≤y}=P{X2+1≤y}=P{-Y-1≤x≤y-1}=∫-y-1y-1(1-∣x∣)dx=2∫0y-1(1-x)dx=1-(1-y-1)2,从而Y的分布函数为FY(y)={0,y<11-(1-y-1)2,1≤y<2,1,其它Y的概率密度为fY(y)={1y-1-1,1<y<20,其它.第三章多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量及其分布习题1设(X,Y)的分布律为X\Y 1231 1/61/91/182 1/3a1/9求a.解答：由分布律性质∑i⋅jPij=1, 可知1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,解得a=2/9.习题2(1)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：(1)P{a<X≤b,Y≤c};解答：P{a<X≤b,Y≤c}=F(b,c)-F(a,c).习题2(2)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：(2)P{0<Y≤b};解答：P{0<Y≤b}=F(+∞,b)-F(+∞,0).习题2(3)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：(3)P{X>a,Y≤b}.解答：P{X>a,Y≤b}=F(+∞,b)-F(a,b).习题3(1)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：(1)P{12<X<32,0<Y<4;解答：P{12<X<23,0<Y<4P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=14+0+0=14.习题3(2)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：(2)P{1≤X≤2,3≤Y≤4};解答：P{1≤X≤2,3≤Y≤4}=P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4}=0+116+0+14=516.习题3(3)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：(3)F(2,3).解答：F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3)=14+0+0+116+14+0=916.习题4设X,Y为随机变量，且P{X≥0,Y≥0}=37,P{X≥0}=P{Y≥0}=47,求P{max{X,Y}≥0}.解答：P{max{X,Y}≥0}=P{X,Y至少一个大于等于0} =P{X≥0}+P{Y≥0}-P{X≥0,Y≥0}=47+47-37=57.习题5(X,Y)只取下列数值中的值：(0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0)且相应概率依次为16,13,112,512, 请列出(X,Y)的概率分布表，并写出关于Y的边缘分布.解答：(1)因为所给的一组概率实数显然均大于零，且有16+13+112+512=1, 故所给的一组实数必是某二维随机变量(X,Y)的联合概率分布. 因(X,Y)只取上述四组可能值，故事件：{X=-1,Y=0}, {X=0,Y=13, {X=0,Y=1},{X=2,Y=13,{X=2,Y=1}均为不可能事件，其概率必为零. 因而得到下表：Y 01/31pk 7/121/121/3习题6设随机向量(X,Y)服从二维正态分布N(0,0,102,102,0), 其概率密度为f(x,y)=1200πex2+y2200,求P{X≤Y}.解答：由于P{X≤Y}+P{X>Y}=1，且由正态分布图形的对称性，知P{X≤Y}=P{X>Y},故P{X≤Y}=12.习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={k(6-x-y),0<x<2,2<y<40,其它,(1)确定常数k; (2)求P{X<1,Y<3}; (3)求P{X<1.5}; (4)求P{X+Y≤4}.解答：如图所示(1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1,确定常数k.∫02∫24k(6-x-y)dydx=k∫02(6-2x)dx=8k=1,所以k=18.(2)P{X<1,Y<3}=∫01dx∫2318(6-x-y)dy=38.(3)P{X<1.5}=∫01.5dx∫2418(6-x-y)dy=2732.(4)P{X+Y≤4}=∫02dx∫24-x18(6-x-y)dy=23.习题8已知X和Y的联合密度为f(x,y)={cxy,0≤x≤1,0≤y≤10,其它,试求：(1)常数c; (2)X和Y的联合分布函数F(x,y).解答：(1)由于1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=c∫01∫01xydxdy=c4,c=4.(2)当x≤0或y≤0时，显然F(x,y)=0;当x≥1,y≥1时，显然F(x,y)=1;设0≤x≤1,0≤y≤1,有F(x,y)=∫-∞x∫-∞yf(u,v)dudv=4∫0xudu∫0yvdv=x2y2.设0≤x≤1,y>1,有F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫0xudu∫01ydy=x2.最后，设x>1,0≤y≤1,有F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫01xdx∫0yvdv=y2.函数F(x,y)在平面各区域的表达式F(x,y)={0,x≤0或y≤0x2,0≤x≤1,y>1x2y2,0≤x≤1,0≤y≤1.y2,x>习题9设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={4.8y(2-x),0≤x≤1,x≤y≤10,其它,求边缘概率密度fY(y).解答：fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0x4.8y(2-x)dy,0≤x≤10,其它={2.4x2(2-x),0≤x≤10,其它.fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx={∫0y4.8y(2-x)dx,0≤y≤10,其它={2.4y(4y-y2),0≤y≤10,其它.习题10设(X,Y)在曲线y=x2,y=x所围成的区域G里服从均匀分布，求联合分布密度和边缘分布密度.解答：区域G的面积A=∫01(x-x2)dx=16, 由题设知(X,Y)的联合分布密度为f(x,y)={6,0≤x≤1,x2≤y≤x0,其它,从而fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=6∫x2xdy=6(x-x2),0≤x≤1,即fX(x)={6(x-x2),0≤x≤10,其它fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx=6∫yydx=6(y-y),0≤y≤1,即fY(y)={6(y-y),0≤y≤10,其它.习题6某旅客到达火车站的时间X均匀分布在早上7:55∼8:00, 而火车这段时间开出的时间Y的密度fY(y)={2(5-y)25,0≤y≤50,其它,求此人能及时上火车站的概率.解答：由题意知X的密度函数为fX(x)={15,0≤x≤50,其它, 因为X与Y相互独立，所以X与Y的联合密度为：fXY(x,y)={2(5-y)125,0≤y≤5,0≤x≤50,其它,故此人能及时上火车的概率为P{Y>X}=∫05∫x52(5-y)125dydx=13.习题7设随机变量X与Y都服从N(0,1)分布，且X与Y相互独立，求(X,Y)的联合概率密度函数.解答：由题意知，随机变量X,Y的概率密度函数分别是fX(x)=12πe-x22，fY(y)=12πe-y22因为X与Y相互独立，所以(X,Y)的联合概率密度函数是f(x,y)=12πe-12(x+y)2.习题8设随机变量X的概率密度f(x)=12e-∣x∣(-∞<x<+∞),问：X与∣X∣是否相互独立？解答：若X与∣X∣相互独立，则∀a>0, 各有P{X≤a,∣X∣≤a}=P{X≤a}⋅P{∣X∣≤a},而事件{∣X∣≤a}⊂{X≤a},故由上式有P{∣X∣≤a}==P{X≤a}⋅P{∣X∣≤a},⇒P{∣X∣≤a}(1-P{X≤a})=0⇒P{∣X≤a∣}=0或1=P{X≤a}⋅(∀a>0)但当a>0时，两者均不成立，出现矛盾，故X与∣X∣不独立.习题9设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0,1)上服从均匀分布，Y的概率密度为fY(y)={12e-y2,y>00,y≤0,(1)求X与Y的联合概率密度；(2)设有a的二次方程a2+2Xa+Y=0, 求它有实根的概率.解答：(1)由题设易知fX(x)={1,0<x<10,其它,又X,Y相互独立，故X与Y的联合概率密度为f(x,y)=fX(x)⋅fY(y)={12e-y2,0<x<1,y>00,其它;(2)因{a有实根}={判别式Δ2=4X2-4Y≥0}={X2≥Y},故如图所示得到：P{a有实根}=P{X2≥Y}=∫∫x2>yf(x,y)dxdy=∫01dx∫0x212e-y2dy=-∫01e-x22dx=1-[∫-∞1e-x22dx-∫-∞0e-x22dx] =1-2π[12π∫-∞1e-x22dx-12π∫-∞0e-x22dx]=1-2π[Φ(1)-Φ(0),又Φ(1)=0.8413, Φ(0)=0.5, 于是Φ(1)-Φ(0)=0.3413, 所以P{a有实根}=1-2π[Φ(1)-Φ(0)]≈1-2.51×0.3413=0.1433.3.3 二维随机变量函数的分布习题1设随机变量X和Y相互独立，且都等可能地取1,2,3为值，求随机变量U=max{X,Y}和V=min{X,Y}的联合分布.解答：由于U≥V,可见P{U=i,V=j}=0(i<j).此外，有P{U=V=i}=P{X=Y=i}=1/9(i=1,2,3), P{U=i,V=j}=P{X=i,Y=j}+P{X=j,Y=i}=2/9(i>j),于是，随机变量U和V的联合概率分布为Z的分布密度为fZ(z)={ze-z22,z>00,z≤0.习题5设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={12(x+y)e-(x+y),x>0,y>00,其它,(1)问X和Y是否相互独立？(2)求Z=X+Y的概率密度.解答：(1)fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0+∞12(x+y)e-(x+y)dy,x>00,x≤0\under2line令x+y=t{∫x+∞12te-tdt=12(x+1)e-x,x>00,x≤0,由对称性知fY(y)={12(y+1)e-y,y>00,y≤0,显然f(x,y)≠fX(x)fY(y),x>0,y>0,所以X与Y不独立.(2)用卷积公式求fZ(z)=∫-∞+∞f(x,z-x)dx.当{x>0z-x>0 即{x>0x<z时，f(x,z-x)≠0,所以当z≤0时，fZ(z)=0;当z>0时，fZ(z)=∫0z12xe-xdx=12z2e-z.于是，Z=X+Y的概率密度为fZ(z)={12z2e-z,z>00,z≤0.习题6设随机变量X,Y相互独立，若X服从(0,1)上的均匀分布，Y服从参数1的指数分布，求随机变量Z=X+Y 的概率密度.解答：据题意，X,Y的概率密度分布为fX(x)={1,0<x<10,其它, fY(y)={e-y,y≥00,y<0,由卷积公式得Z=X+Y的概率密度为fZ(z)=∫-∞+∞fX(x)fY(z-x)dx=∫-∞+∞fX(z-y)fY(y)dy =∫0+∞fX(z-y)e-ydy.由0<z-y<1得z-1<y<z,可见：当z≤0时，有fX(z-y)=0, 故fZ(z)=∫0+∞0⋅e-ydy=0;当z>0时，fZ(z)=∫0+∞fX(z-y)e-ydy=∫max(0,z-1)ze-ydy=e-max(0,z-1)-e-z,即fZ(z)={0,z≤01-e-z,0<z≤1e1-z-e-z,z>1.习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={be-(x+y),0<x<1,0<y<+∞,0,其它.（1）试确定常数b；（2）求边缘概率密度fX(x),fY(y)；（3）求函数U=max{X,Y}的分布函数.解答：（1）由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1，确定常数b. ∫01dx∫0+∞be-xe-ydy=b(1-e-1)=1，所以b=11-e-1，从而f(x,y)={11-e-1e-(x+y),0<x<1,0<y<+∞,0,其它.（2）由边缘概率密度的定义得fX(x)={∫0+∞11-e-1e-(x+y)dy=e-x1-e-x,0<x<1,0,其它，fY(x)={∫0111-e-1e-(x+y)dx=e-y,0<y<+∞,0,其它（3）因为f(x,y)=fX(x)fY(y)，所以X与Y独立，故FU(u)=P{max{X,Y}≤u}=P{X≤u,Y≤u}=FX(u)FY(u)，其中FX(x)=∫0xe-t1-e-1dt=1-e-x1-e-1,0<x<1，所以FX(x)={0,x≤0,1-e-x1-e-1,0<x<1,1,x≥1.同理FY(y)={∫0ye-tdt=1-e-y,0<y<+∞,0,y≤0，因此FU(u)={0,u<0,(1-e-u)21-e-1,0≤u<1,1-e-u,u≥1.。
概率论习题册答案第一章 随机事件及其概率§1.1 样本空间与随机事件一、计算下列各题1.写出下列随机实验样本空间：(1) 同时掷出三颗骰子，记录三只骰子总数之和；(2) 10只产品中有3次产品，每次从中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数；(3) 一只口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中抽取4只，观察它们具有哪种颜色；(4) 有C B A ,,三只盒子，c b a ,,三只球，将三只球，装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球情况；(5) 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。
解 1（1）}18,,5,4,3{ ； （2）}10,,5,4,3{ ；（3）},,,,,,{RW BW B RB RW B W R ；其中B W R ,,分别表示红色，白色和蓝色； （4）{,,;,,;,,;,,;,,,,,}Aa Bb Cc Aa Bc Cb Ab Ba Cc Ab Bc Ca Ac Bb Ca Ac Ba Cb 其中Aa 表示a 求放在盒子A 中，可类推；（5）}1,0,0,0|),,{(=++>>>z y x z y x z y x 其中z y x ,,分别表示三段之长。
2. 设C B A ,,为三事件，用C B A ,,运算关系表示下列事件：（1）A 发生,B 和C 不发生； （2）A 与B 都发生, 而C 不发生； （3）C B A ,,均发生； （4）C B A ,,至少一个不发生； （5）C B A ,,都不发生； （6）C B A ,,最多一个发生； （7）C B A ,,中不多于二个发生； （8）C B A ,,中至少二个发生。
解 （1）C B A ；（2）C AB ；（3）ABC ；（4）A B C ++；（5）C B A ； （6）C B A C B A C B A C B A +++；（7）ABC ；（8）BC AC AB ++3．下面各式说明什么包含关系？(1) A AB = ； (2) A B A =+； (3) A C B A =++ 解 （1）B A ⊂； （2）B A ⊃； （3）C B A +⊃4. 设}7,6,5{ },5,4,3{ },4,3,2{A },10,9,8,7,6,5,4,3,2,1{====ΩC B 具体写出下列各事件： (1) B A ， (2) B A +， (3) B A ， (4) BC A ， (5))(C B A +. 解 （1）{5}； (2) {1,3,4,5,6,7,8,9,10}； (3) {2,3,4,5}；(4) {1,5,6,7,8,9,10}； (5) {1,2,5,6,7,8,9,10}。
(单选题)1: 市场供应的某种商品中，甲厂生产的产品占50%，乙厂生产的产品占30%，丙厂生产的产品占
20%，甲、乙、丙产品的合格率分别为90%、85%、和95%，则顾客买到这种
产品为合格品的概率是（）
A: 0.24
B: 0.64
C: 0.895
D: 0.985
正确答案: C
(单选题)2:
A: A
B: B
C: C
D: D
正确答案: B
(单选题)3: 现抽样检验某车间生产的产品，抽取100件产品，发现有4件次品，60件一等品，36件二等品。
问此车间生产的合格率为（）
A: 96﹪
B: 4﹪
C: 64﹪
D: 36﹪
正确答案: A
(单选题)4: 某单位有200台电话机，每台电话机大约有5%的时间要使用外线电话，若每台电话机是否使用外线是相互独立的，该单位需要安装（）条外线，才能以90%以上的概率保证每台电话机需要使用外线时而不被占用。
A: 至少12条
B: 至少13条
C: 至少14条
D: 至少15条
正确答案: C
(单选题)5: 设一百件产品中有十件次品，每次随机地抽取一件，检验后放回去，连续抽三次，计算最多取
到一件次品的概率（）
A: 0.45
B: 0.78
C: 0.972
D: 0.25
正确答案: C。
