《数理统计》试题库-填空题

1．设事件,A B 都不发生的概率为0.3，且()()0.8P A P B +=，则,A B 中至少有一个不发生的概率为__________. 2．设()0.4,()0.7P A P AB ==，那么（1）若,A B 互不相容，则()P B =__________; （2）若,A B 相互独立，则()P B =__________. 3．设,A B 是任意两个事件，则{()()()}P AB A B A B A B =_______.4．从0,1,2,…,9中任取4个数，则所取的4个数能排成一个四位偶数的概率为__________.5．有5条线段，其长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，所取的3条线段能拼成三角形的概率为__________.6．袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，甲、乙两人依次各取一球，取后不放回，甲先取，则乙取得黄球的概率为__________.7．设事件,,A B C 两两独立，且1,()()()2ABC P A P B P C =∅==<，()9/16P A B C =，则()P A =__________.8．在区间（0, 1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于6/5”的概率为__________.9．假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，今从中随机取一件产品，结果不是三等品，则它是二等品的概率为__________.10．设事件,A B 满足：11(|)(|),()33P B A P B A P A ===，则()P B =__________. 11．某盒中有10件产品，其中4件次品，今从盒中取三次产品，一次取一件，不放回，则第三次取得正品的概率为__________，第三次才取得正品的概率为__________.12．三个箱子，第一个箱子中有4个黑球，1个白球；第二个箱子中有3个黑球，3个白球；第三个箱子中有3个黑球，5个白球. 现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率为__________； 13．设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1/9，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则()P A =__________.14．设在一次试验中，事件A 发生的概率为p . 现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为__________，而事件A 至多发生一次的概率为_________. 15．设离散型随机变量X 的分布律为()(0,1,2,3)2AP X k k k===+，则A =__________, (3)P X <=__________.16．设~(2,),~(3,)X B p Y B p ，若(1)5/9P X ≥=，则(1)P Y ≥=________.17．设~()X P λ，且(1)(2)P X P X ===，则(1)P X ≥=__________，2(03)P X <<=__________. 18．设连续型随机变量X 的分布函数为0,0,()sin ,0,21,,2x F x A x x x ππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩则A =__________，||6P X π⎛⎫<= ⎪⎝⎭__________.19．设随机变量X 的概率密度为22,0()0,0,x Ax e x f x x -⎧>=⎨≤⎩则A =__________，X 的分布函数()F x =__________.20．设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,.x x f x <<⎧=⎨⎩其他 现对X 进行三次独立重复观察，用Y 表示事件(1/2)X ≤出现的次数，则(2)P Y ==__________. 21．设随机变量X 服从[,]a a -上均匀分布，其中0a >. （1）若(1)1/3P X >=，则a =__________； （2）若(1/2)0.7P X <=，则a =__________； （3）若(||1)(||1)P X P X <=>，则a =__________.22．设2~(,)X N μσ，且关于y 的方程20y y X ++=有实根的概率为1/2，则μ=__________.23．已知某种电子元件的寿命X （以小时计）服从参数为1/1000的指数分布. 某台电子仪器内装有5只这种元件，这5只元件中任一只损坏时仪器即停止工作，则仪器能正常工作1000小时以上的概率为__________. 24．设随机变量X 的概率密度为1,[0,1]32,[3,6]()90,.x x f x ⎧∈⎪⎪⎪∈=⎨⎪⎪⎪⎩若若其他 若k 使得()2/3P X k ≥=，则k 的取值范围是__________.25．设随机变量X 服从(0,2)上均匀分布，则随机变量2Y X =在(0,4)内的密度函数为()Y f y =__________. 26．设X 服从参数为1的指数分布，则min(,2)Y X =的分布函数()Y F y =__________.27．设二维随机变量(,)X Y 在由1/,0,1y x y x ===和2x e =所形成的区域D 上服从均匀分布，则(,)X Y 关于X 的边缘密度在2x =处的值为______.28．设随机变量,X Y 相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则(1/2)P X Y +≤=__________. 29．设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且~(1,),01i X B p p <<，1,2,,i n =，则1~ni i X X ==∑__________.30．设随机变量123,,X X X 相互独立，且有相同的概率分布(1)i P X p ==，(0),1,2,3,1i P X q i p q ===+=，记121120,1,,X X Y X X ⎧+⎪=⎨+⎪⎩当取偶数,当取奇数232230,1,,X X Y X X ⎧+⎪=⎨+⎪⎩当取偶数,当取奇数则12Z Y Y =的概率分布为__________.31．设X 服从泊松分布. （1）若2(1)1P X e-≥=-，则2EX =__________；（2）若212EX =，则(1)P X ≥=__________.32．设~(,)X B n p ，且2,1EX DX ==，则(1)P X >=__________. 33．设~[,]X U a b ，且2,1/3EX DX ==，则a =______；b =______. 34．设随机变量X 的概率密度为221(),xx f x Ae x -+-=-∞<<+∞，则A =________，EX =_________，DX =_________.35．设X 表示10次独立重复射击中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则2X 的数学期望2EX =__________.36．设一次试验成功的概率为p ，现进行100次独立重复试验，当p =________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________.37．设X 服从参数为λ的指数分布，且2(1)P X e -≥=，则2EX =_______.38．设随机变量X 的概率密度为,,()0,0,,x a x b f x a b <<⎧=<<⎨⎩其他且22EX =，则a =__________，b =___________. 39．设随机变量,X Y 同分布，其概率密度为22,01/,()0,0,,x x f x θθθ⎧<<⎪=>⎨⎪⎩其他若(2)1/E CX Y θ+=，则C =__________.40．一批产品的次品率为0.1，从中任取5件产品，则所取产品中的次品数的数学期望为________，均方差为________.41．某盒中有2个白球和3个黑球，10个人依次摸球，每人摸出2个球，然后放回盒中，下一个人再摸，则10个人总共摸到白球数的数学期望为______.42．有3个箱子，第i 个箱子中有i 个白球，4i -个黑球(1,2,3)i =.今从每个箱子中都任取一球，以X 表示取出的3个球中白球个数，则EX =_________，DX =__________. 43．设二维离散型随机变量(,)X Y 的分布列为(,)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)0.40.2X Y Pa b若()0.8E XY =，a =_________，b =__________.44．设,X Y 独立，且均服从11,5N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若2(1)[(1)]D X aY E X aY -+=-+，则a =__________，|1|E X aY -+=__________.45．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且已知[(1)(2)]1E X X --=，则λ=__________. 46．设随机变量~[2,2]X U -，记 1,1,1,2,0,1,k X k Y k X k >-⎧==⎨≤-⎩则12Cov(,)Y Y =__________.47．设,X Y 是两个随机变量，且1,1/4,1/3XY DX DY ρ===，则(3)D X Y -=__________. 48．设1,2,1,4,0.6XY EX EY DX DY ρ=====，则2(21)E X Y -+=__________.49．设随机变量X 的数学期望为μ，方差为2σ，则由切比雪夫不等式知 (||2)P X μσ-≥≤__________. 50．设随机变量12100,,,X X X 独立同分布，且0,10,i i EX DX == 1,2,,100i =，令10011100i i X X ==∑，则10021{()}ii E XX =-=∑__________.51．设12,,,n X X X 是总体(,4)N μ的样本，X 是样本均值，则当n ≥__________时，有2()0.1E X μ-≤. 52．设12,,,n X X X 是来自0–1分布：(1),(0)1P X p P X p ====-的样本，则EX =__________，DX =__________，2ES =__________.53．设总体12~(),,,,n X P X X X λ为来自X 的一个样本，则EX =_________，DX =__________.54．设总体12~[,],,,n X U a b X X X 为X 的一个样本，则EX =________，DX =__________.55．设总体2126~(0,),,,,X N X X X σ为来自X 的一个样本，设22123456()()Y X X X X X X =+++++，则当C =_________时，2~(2).CY χ 56．设1216,,,X X X 是总体2(,)N μσ的样本，X 是样本均值，2S 是样本方差，若()0.95P X aS μ>+=，则a =__________.57．设129,,,X X X 是正态总体X 的样本，记1126278911(),()63Y X X X Y X X X =+++=++，92221271(),)/,2i i S X Y Z Y Y S ==-=-∑则~Z __________.58．设总体12~[,](0),,,,n X U x x x θθθ->为样本，则θ的一个矩估计为__________.59．设总体X 的方差为1，根据来自X 的容量为100的样本，测得样本均值为5，则X 的数学期望的置信度近似为0.95的置信区间为_________.60．设由来自总体2(,0.9)N μ的容量为9的简单随机样本其样本均值为5x =，则μ的置信度为0.95的置信区间是__________.《概率论与数理统计》习题及答案填空题1．设事件,A B 都不发生的概率为0.3，且()()0.8P A P B +=，则,A B 中至少有一个不发生的概率为__________.解：()()1()P AB P A B P A B ==-1()()()P A P B P AB =--+10.8()0.3P AB =-+=()0.1P AB = ()()1()10.10.9P AB P AB P AB ==-=-=2．设()0.4,()0.7P A P A B ==，那么（1）若,A B 互不相容，则()P B =__________; （2）若,A B 相互独立，则()P B =__________. 解：（1）()()()()()P AB P A P B P AB P B =+-⇒()()()0.70.40.3P A B P A P AB =-+=-=（由已知AB φ=）（2）()()()()P B P A B P A P AB =-+0.70.4()()P A P B =-+0.30.4()P B =+10.6()0.3()2P B P B =⇒= 3．设,A B 是任意两个事件，则{()()()}P AB A B A B A B =_______.解：{()}()()()}{()()()()}P A B A B A B A B P AA AB AB B A B AB ={()()()}P AB B A B AB ={()()}{()()}()0.P ABBB AB P AB AB P φ====4．从0,1,2,…,9中任取4个数，则所取的4个数能排成一个四位偶数的概率为__________.解：设A =取4个数能排成一个四位偶数，则4541041()1()142C P A P A C =-=-=5．有5条线段，其长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，所取的3条线段能拼成三角形的概率为__________.解：设A =能拼成三角形，则3533()10P A C == 6．袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，甲、乙两人依次各取一球，取后不放回，甲先取，则乙取得黄球的概率为__________.解1：由抓阄的模型知乙取到黄球的概率为25. 解2：设A =乙取到黄球，则1111201930201150492()5C C C C P A C C +== 或 201930202()504950495P A =⋅+⋅=.7．设事件,,A B C 两两独立，且1,()()()2ABC P A P B P C =∅==<，()9/16P A B C =，则()P A =__________.解：9()()()()()()()()16P A B C P A P B P C P AB AC P BC P ABC ==++---+ 23()3[()]P A P A =-216[()]16()30P A P A -+=. 3()4P A =或 1()4P A =，由 1()2P A < 1()4P A ∴=. 8．在区间（0, 1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于6/5”的概率为__________. 解：设A =两数之和小于6/5，两数分别为,x y ，由几何概率如图 A 发生⇔01x <<01y << 65x y +<2111(1)52()1S P A S --⋅==阴正1725= 9．假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，今从中随机取一件产品，结果不是三等品，则它是二等品的概率为__________.解：i A =取到i 等品，3122A A A A =+⊃23223312()()0.31(|)()()()0.60.33P A A P A P A A P A P A P A ====++10．设事件,A B 满足：11(|)(|),()33P B A P B A P A ===，则()P B =__________.解：()()()(|)()()()P AB P AB P A B P B A P A P A P A ===1()()()1()P A P B P AB P A --+=- 111()1391313P B --+==- （因为111()()(/)339P AB P A P B A ==⋅=）5()9P B ∴=.11．某盒中有10件产品，其中4件次品，今从盒中取三次产品，一次取一件，不放回，则第三次取得正品的概率为__________，第三次才取得正品的概率为__________.解：设i A =第i 次取到正品，1,2,3i =则363()105P A ==或 3123123123123()()()()()P A P A A A P A A A P A A A P A A A =+++654465436645310981098109810985=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= 1234361()0.1109810P A A A =⋅⋅==12．三个箱子，第一个箱子中有4个黑球，1个白球；第二个箱子中有3个黑球，3个白球；第三个箱子中有3个黑球，5个白球. 现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率为__________；已知取出的球是白球，此球属于第一个箱子的概率为__________. 解：设i A =取到第i 箱 1,2,3i =，B =取出的是一个白球 31113553()()(|)()3568120iiP B P A P B A ==++=∑22213()(|)2036(|)53()53120P A P B A P A B P B ⋅===13．设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1/9，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则()P A =__________.解：由 ()()P AB P AB =知()()P A B P B A -=-即 ()()()()P A P AB P B P AB -=- 故 ()()P A P B =，从而()()P A P B =，由题意：21()()()[()]9P AB P A P B P A ===，所以1()3P A =故 2()3P A =.（由,A B 独立A ⇒与B ，A 与B ，A 与B 均独立）14．设在一次试验中，事件A 发生的概率为p . 现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为__________，而事件A 至多发生一次的概率为_________. 解：设 B A =至少发生一次 ()1(1),nP B p =-- C A =至多发生一次 1()(1)(1)nn P C p np p -=-+-15．设离散型随机变量X 的分布律为()(0,1,2,3)2AP X k k k===+，则A =__________, (3)P X <=__________.解：31111()()123452345k A A A A P X K A ===+++=+++=∑ 6077A ∴= 16065(3)1(3)157777P X P X <=-==-⨯=16．设~(2,),~(3,)X B p Y B p ，若(1)5/9P X ≥=，则(1)P Y ≥=________. 解：~(2,)X B p 22()(1)0,1,2kkkP X k C p p k -==-= ~(3,)Y B p 33()(1)0,1,2,3.k k kP Y k C p p k -==-=002225(1)1(0)1(1)1(1)9P X P X C p p p ≥=-==--=--= 24(1)9p -=213p -= 13p = 33219(1)1(0)1(1)1()327P Y P Y p ∴≥=-==--=-=. 17．设~()X P λ，且(1)(2)P X P X ===，则(1)P X ≥=__________，2(03)P X <<=__________.解：122(1)2(0)1!2!2P X eeλλλλλλλλ--===⇒=⇒=>2(1)1(0)110!P X P X e e λλ--≥=-==-=-22(03)(1)2P X P X e -<<=== 18．设连续型随机变量X 的分布函数为0,0,()sin ,0,21,,2x F x A x x x ππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩则A =__________，||6P X π⎛⎫<= ⎪⎝⎭__________.解：()F x 为连续函数，22lim ()lim ()()2x x F x F x F πππ→+→-==1sin 12A A π=⇒=.1(||)()()()sin 6666662P X P X F F ππππππ<=-<<=--==. 19．设随机变量X 的概率密度为22,0()0,0,x Ax e x f x x -⎧>=⎨≤⎩则A =__________，X 的分布函数()F x =__________.解：222220001()()22xx x f x dx Ax e dx A x e xe dx +∞+∞+∞+∞----∞⎡⎤==--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰2220001()12244xx x A A A A xde e dx e +∞+∞+∞---=-==-==⎰⎰4A =.222222000()441(221),0()0,0x x x x u x f x dx x e dx u e du x x e x F x x ---⎧===-++>⎪=⎨⎪≤⎩⎰⎰⎰20．设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,.x x f x <<⎧=⎨⎩其他现对X 进行三次独立重复观察，用Y 表示事件(1/2)X ≤出现的次数，则(2)P Y ==__________.解：~(3,)Y B p ，其中112220011()224p P X xdx x =≤===⎰ 223139(2)(1)316464P Y C p p ==-=⋅⋅=21．设随机变量X 服从[,]a a -上均匀分布，其中0a >.（1）若(1)1/3P X >=，则a =__________； （2）若(1/2)0.7P X <=，则a =__________； （3）若(||1)(||1)P X P X <=>，则a =__________.解：1,[,]()20,x a a f x a ⎧∈-⎪=⎨⎪⎩其它（1）1111111(1)(1) 3.322223a P X dx a a a a a >===-=-=⇒=⎰（2）121111115()0.7()0.72222424a P X dx a a a a a -<===+=+=⇒=⎰ （3）(||1)(||1)1(||1)1(||1)P X P X P X P X <=>=-≤=-<111111(||1)2 2.222P X dx a a a a -∴<===⋅=⇒=⎰22．设2~(,)X N μσ，且关于y 的方程20y y X ++=有实根的概率为1/2，则μ=__________.解：20y y X ++=有实根11404X X ⇔∆=-≥⇔≤1111114()()()(0)42424P X F μμσ-≤=⇒=Φ=Φ=⇒=.23．已知某种电子元件的寿命X （以小时计）服从参数为1/1000的指数分布. 某台电子仪器内装有5只这种元件，这5只元件中任一只损坏时仪器即停止工作，则仪器能正常工作1000小时以上的概率为__________. 解：Y =仪器正常工作时间，则()00x e x f x x λλ-⎧≥=⎨<⎩15(1000)(10001000)P Y P X X ≥=≥≥15(1000)(1000)P X P X =≥≥5[(1000)]P X =≥1100010001(1000)1000xP X e dx e -+∞-≥==⎰ 5(1000)P Y e -∴≥=24．设随机变量X 的概率密度为1,[0,1]32,[3,6]()90,.x x f x ⎧∈⎪⎪⎪∈=⎨⎪⎪⎪⎩若若其他 若k 使得()2/3P X k ≥=，则k 的取值范围是__________.解：16312()()39kk P X K f x dx dx dx +∞≥==+⎰⎰⎰12(63)323933k k ---=+== 1k ∴=k ∴的取值范围为[1,3].25．设随机变量X 服从(0,2)上均匀分布，则随机变量2Y X=在(0,4)内的密度函数为()Y f y =__________.解：1(0,2)()2x f x ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其它2(||0()()()00Y P X y F y P Y y P X y y ⎧≤>⎪=≤=≤=⎨≤⎪⎩((000X X P X F F y y ⎧≤≤=->⎪=⎨≤⎪⎩112211(0422()()00X XY Y f y f y y f y F y y --⎧⋅+⋅=<<⎪'==⎨⎪≤⎩当 2Y X =在（0，4）内时()Y f y = 26．设X 服从参数为1的指数分布，则min(,2)Y X =的分布函数()Y F y =__________. 解1：()()(min(,2))1(min(,2))Y F y P Y y P X y P X y =≤=≤=-> 1(,2)P X y y =->>1()()()00()1021012X yX P X y P X y F y y F y ey y -⎧->=≤==≤⎪==-<<⎨⎪-=≥⎩解2：设X 的分布函数为()X F x ，2的分布函数为2()F z ，则1,0,()0,0;x X e x F x x -⎧->=⎨≤⎩ 20,2,()1,2;z F z z <⎧=⎨≥⎩2()1[1()][1()]Y X F y F y F y =---0,0,1,02,1, 2.yy e y y -≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩27．设二维随机变量(,)X Y 在由1/,0,1y x y x ===和2x e =,)Y 关于X 的边缘密度在2x =处的值为______. 解：22111(0)ln 2e eS dx x x=-==⎰阴1(,)(,)20x y D f x y ⎧∈⎪∴=⎨⎪⎩其他()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰120111,220x dy x e x⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩⎰其它. 或 12011(2)24x f dy ==⎰28．设随机变量,X Y 相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则(1/2)P X Y +≤=__________.解：1[0,1]()0X x f x ∈⎧=⎨⎩其它 1[0,1]()0Y y f y ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其它10,1(,)()()0X Y x y f x y f x f y ≤≤⎧=⋅=⎨⎩其它11111()(,)22228S P X Y f x y dxdy S +≤===⋅⋅=⎰⎰阴阴29．设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且~(1,),01i X B p p <<，1,2,,i n =，则1~ni i X X ==∑__________.解：~(1,)i X B p 1~(,)ni i X X B n p =∴=∑30．设随机变量123,,X X X 相互独立，且有相同的概率分布(1)i P X p ==，(0),1,2,3,1i P X q i p q ===+=，记121120,1,,X X Y X X ⎧+⎪=⎨+⎪⎩当取偶数,当取奇数232230,1,,X X Y X X ⎧+⎪=⎨+⎪⎩当取偶数,当取奇数则12Z Y Y =的概率分布为__________. 解：011Z Ppqpq- 121223(1)(1,1)(1,1)P Z P Y Y P X X X X =====+=+= 123123(1,0,1)(0,1,0)P X X X P X X X ====+=== 12322()X X X p q pq pq p q pq ======+=+=独立(0)1(1)1P Z p Z qp ==-==-31．设X 服从泊松分布. （1）若2(1)1P X e -≥=-，则2EX =__________；（2）若212EX =，则(1)P X ≥=__________.解：()0,1,2,!kP X K e k k λλ-===0λ>（1）2(1)1(0)1110!P X P X e e e λλλ---≥=-==-=-=-2.λ∴=2222()DX EX EX EX λλ==-=- 22246EX λλ∴=+=+= （2）22212120(4)(3)0,3EX λλλλλλλ==++-=+-==3(1)11P X e e λ--≥=-=-32．设~(,)X B n p ，且2,1EX DX ==，则(1)P X >=__________.解：~(,)2X B n p EX np ==111422DX npq q p n ==⇒=== 0041344111111(1)1(0)(1)1()()()()222216P X P X P X C C >=-=-==--=33．设~[,]X U a b ，且2,1/3EX DX ==，则a =______；b =______.解：~[,]242a bX U a b EX a b +==⇒+=221()()42312b a DX a b b a -==⇒-=⇒-= 13a b ∴==34．设随机变量X 的概率密度为221(),xx f x Ae x -+-=-∞<<+∞，则A =________，EX =_________，DX =_________.解：222(1)1(1)1x dx x Ae dx A --+∞---∞-∞==⎰⎰22(1)1x dx dx A --+∞-∞=⇒=1EX =，12DX =. 35．设X 表示10次独立重复射击中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则2X 的数学期望2EX =__________.解：~(10,0.4)100.4440.6 2.4X B EX np DX npq ==⨯===⨯=22() 2.41618.4EX DX EX =+=+=36．设一次试验成功的概率为p ，现进行100次独立重复试验，当p =________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________.解：21100(1)100100(100)()252DX npq p p p p p ==-=-+=--+12p =5. 37．设X 服从参数为λ的指数分布，且2(1)P X e -≥=，则2EX =_______.解：10()00x e x F x x λ-⎧->=⎨≤⎩ 2(1)1(1)1(1)P X P X F e -≥=-<=-=21(1)2e e λλ----=⇒=.21111,24EX DX λλ====，22111()442EX DX EX ∴=+=+=38．设随机变量X 的概率密度为,,()0,0,,x a x b f x a b <<⎧=<<⎨⎩其他且22EX =，则a =__________，b =___________.解：2222211()()222ba x f x dx xdxb a b a +∞-∞====-⇒-=⎰⎰ ① 422344222211()()()()444b b a a x EX x f x dx x dx b a b a b a ====-=-+⎰⎰ 22221()242a b a b =+=⇒+= ②解（1）（2）联立方程有：1,a b == 39．设随机变量,X Y 同分布，其概率密度为22,01/,()0,0,,x x f x θθθ⎧<<⎪=>⎨⎪⎩其他若(2)1/E CX Y θ+=，则C =__________.解：11322222233xEX x dx EY θθθθθ====⎰ 21(2)2(2)3E CX Y CEX EY C θθ+=+=+=21(2)132C C +=⇒=-40．一批产品的次品率为0.1，从中任取5件产品，则所取产品中的次品数的数学期望为________，均方差为________.解：设X 表示所取产品的次品数，则~(5,0.1)X B . 50.10.5,0.45EX np DX npq ==⨯===10== 41．某盒中有2个白球和3个黑球，10个人依次摸球，每人摸出2个球，然后放回盒中，下一个人再摸，则10个人总共摸到白球数的数学期望为______.解：设i X 表示第i 个人模到白球的个数，X 表示10个人总共摸到白球数，则101ii X X==∑12361101010iX P61812101010i EX =⨯+⨯= 81010810i EX EX ==⨯= 42．有3个箱子，第i 个箱子中有i 个白球，4i -个黑球(1,2,3)i =.今从每个箱子中都任取一球，以X 表示取出的3个球中白球个数，则EX =_________，DX =__________.解：012362626664646464XP3216(0)44464P X ==⋅⋅= 12132132326(1)44444444464P X ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=12112332326(2)44444444464P X ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=1236(3)44464P X ==⋅⋅= 326183642EX ⨯+==25269623648EX ⨯+⨯== 2223185()888DX EX EX =-=-=.43．设二维离散型随机变量(,)X Y 的分布列为(,)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)0.40.2X Y P a b若()0.8E XY =，a =_________，b =__________.解：0.220.80.3EXY b b =+=⇒= 10.40.20.40.1a b a +=--=⇒= 44．设,X Y 独立，且均服从11,5N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若2(1)[(1)]D X aY E X aY -+=-+，则a =__________，|1|E X aY -+=__________.解：2(1)[(1)](1)0D X aY E X aY E X aY -+=-+⇒-+=.10EX aEY -+=，1102a a -+=⇒=.令 21,0,1Z X aY EZ DZ DX a DY =-+==+=. ~(0,1)Z N ∴2220|||z zE Z z dx ze dz --+∞+∞-∞∴====⎰⎰ 45．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且已知[(1)(2)]1E X X --=，则λ=__________.解：22[(1)(2)](32)321E X X E X X EX EX --=-+=-+=2222~(),()X P EX DX DX EX EX EX λλλλ∴===-⇒=+223212101λλλλλλ∴+-+=⇒-+=⇒=.46．设随机变量~[2,2]X U -，记1,1,1,2,0,1,k X k Y k X k >-⎧==⎨≤-⎩则12Cov(,)Y Y =__________.解：1[2,2]()4X x f x ⎧∈-⎪=⎨⎪⎩其它212111(1,1)(0,1)(1)44P Y Y P X X P X dx ===>>=>==⎰ 112011(1,0)(0,1)(01)44P Y Y P X X P X dx ===>≤=<≤==⎰0122111(0,0)(0,1)(0)2442P Y Y P X X P X dx -===≤≤=≤==⨯=⎰1(0,0P Y ==.111101222EY =⨯+⨯=231101444EY =⨯+⨯=12111144EY Y =⨯⨯=121212cov()Y Y EY Y EY EY ∴=-1111.4248=-⋅= 47．设,X Y 是两个随机变量，且1,1/4,1/3XY DX DY ρ===，则(3)D X Y -=__________.解：(3)(3)2cov(,3)96cov(,)D X Y DX D Y X Y DX DY X Y -=+-=+-991191616144324XY ρ=+-⋅=+-⨯⨯⨯=. 48．设1,2,1,4,0.6XY EX EY DX DY ρ=====，则2(21)E X Y -+=__________.解：(21)211E X Y EX EY -+=-+=，0.6XY ρ== cov(,)0.612 1.2X Y ∴=⨯⨯= cov(,)0C Y =，C 常数 (21)(21)2cov[(21),]D X Y D X DY X Y -+=++-+44cov(,)444 1.2 3.2DX DY X Y =+-=+-⨯= 222(21)(21)[(21)] 3.21 4.2E X Y D X Y E X Y -+=-++-+=+=. 49．设随机变量X 的数学期望为μ，方差为2σ，则由切比雪夫不等式知 (||2)P X μσ-≥≤__________.解：2221(||2)44DXP X σμσεσ-≥≤==. 50．设随机变量12100,,,X X X 独立同分布，且0,10,i i EX DX == 1,2,,100i =，令10011100i i X X ==∑，则10021{()}ii E XX =-=∑__________.解1：()0i i E X X EX EX -=-= 11001()[()]100i i D X X D X X X -=-++111100199[()()]100100i i i D X X X X X -+=-+++++22199()9910()10100100=-⨯⨯+⨯ 22299()[()]()10i i i E X X E X X E X X ==---=-100100221199{()}()10099010i i i E X X E X X =∴-=-=⨯=∑∑ 解2：设1100,,X X 为总体X 的样本，则1002211()99i i S X X ==-∑为样本方差，于是210ES DX ==，即10021()1099990.i i E X X =-=⨯=∑51．设12,,,n X X X 是总体(,4)N μ的样本，X 是样本均值，则当n ≥__________时，有2()0.1E X μ-≤.52．设12,,,n X X X 是来自0–1分布：(1),(0)1P X p P X p ====-的样本，则EX =__________，DX =__________，2ES =__________.解：11,(1)ni i i i X X EX p DX pq p p n =====-∑2111(1)i i EX nEX pDX nDX p p n n n=⋅==⋅=- 22222111()[]11n i i i ES E X nX nEX nEX n n ==-=⋅---∑ 2211[((1))((1))]1n p p p n p p p n n =-+--+- 21[(1)](1).1np p n p p p n =---=--53．设总体12~(),,,,n X P X X X λ为来自X 的一个样本，则EX =_________，DX =__________.解：~()i i X P EX DX EX DX nλλλλ====54．设总体12~[,],,,n X U a b X X X 为X 的一个样本，则EX =________，DX =__________.解：2()~[,]212a b b a X U a b EX DX +-==2a bEX += 2()12b a DX n -=55．设总体2126~(0,),,,,X N X X X σ为来自X的一个样本，设22123456()()Y X X X X X X =+++++，则当C =_________时，2~(2).CY χ解：123456()()0E X X X E X X X ++=++=2123456()()33i D X X X D X X X DX σ++=++==12312321)]()13D X X X D X X X σ++=++=123)~(0,1)X X X N ∴++，456)~(0,1)X X X N ++且独立 213C σ∴=56．设1216,,,X X X 是总体2(,)N μσ的样本，X 是样本均值，2S 是样本方差，若()0.95P X aS μ>+=，则a =__________.解：0.05()((15))0.95X P X aS P P t t μ>+=≥=≥-= 查t 分布表0.054(15) 1.750.4383.a t a =-=-⇒=-57．设129,,,X X X 是正态总体X 的样本，记1126278911(),()63Y X X X Y X X X =+++=++，92221271(),)/,2i i S X Y Z Y Y S ==-=-∑则~Z __________.解：设总体2~(,)X N μσ则2212~(,)~(,)63Y N Y N σσμμ且 12Y Y~(0,1)N ，而2222~(2)S χσ.故12)~(2)Y Y Z t S -==.58．设总体12~[,](0),,,,n X U x x x θθθ->为样本，则θ的一个矩估计为__________.解：221(2)10,,021232EX DX EX x dx θθθθθθμθ--=======⎰222222()33EX DX EX DX θμθμθ==+==⇒=⇒= 其中 2211n i i a X n ==∑59．设总体X的方差为1，根据来自X的容量为100的样本，测得样本均值为5，则X的数学期望的置信度近似为0.95的置信区间为_________.解：X不是正态总体，应用中心极限定理10~(0,1)0.051niX nEXX EXU Nα--==⨯=∑/20.025()10.05/20.975 1.96αμμΦ=-=⇒=使0.025(||)(|10| 1.96)0.951X EXP u Pμ-<=⨯<=EX的置信区间为11( 1.96, 1.96)(4.804,5,196)1010X X-⨯+⨯=60．设由来自总体2(,0.9)Nμ的容量为9的简单随机样本其样本均值为5x=，则μ的置信度为0.95的置信区间是__________.解：/20.0255,0.9,9,10.950.05, 1.96n uαχσαμ====-===故置信限为：/20.95 1.965 1.960.350.5883αχμ±=±=±⨯=±∴置信区间为(4.412, 5.588)。

1．设事件,A B 都不发生的概率为0.3，且()()0.8P A P B +=，则,A B 中至少有一个不发生的概率为__________. 2．设()0.4,()0.7P A P AB ==，那么（1）若,A B 互不相容，则()P B =__________; （2）若,A B 相互独立，则()P B =__________. 3．设,A B 是任意两个事件，则{()()()}P AB A B A B A B =_______.4．从0,1,2,…,9中任取4个数，则所取的4个数能排成一个四位偶数的概率为__________.5．有5条线段，其长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，所取的3条线段能拼成三角形的概率为__________.6．袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，甲、乙两人依次各取一球，取后不放回，甲先取，则乙取得黄球的概率为__________.7．设事件,,A B C 两两独立，且1,()()()2ABC P A P B P C =∅==<，()9/16P A B C =，则()P A =__________.8．在区间（0, 1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于6/5”的概率为__________.9．假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，今从中随机取一件产品，结果不是三等品，则它是二等品的概率为__________.10．设事件,A B 满足：11(|)(|),()33P B A P B A P A ===，则()P B =__________. 11．某盒中有10件产品，其中4件次品，今从盒中取三次产品，一次取一件，不放回，则第三次取得正品的概率为__________，第三次才取得正品的概率为__________.12．三个箱子，第一个箱子中有4个黑球，1个白球；第二个箱子中有3个黑球，3个白球；第三个箱子中有3个黑球，5个白球. 现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率为__________； 13．设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1/9，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则()P A =__________.14．设在一次试验中，事件A 发生的概率为p . 现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为__________，而事件A 至多发生一次的概率为_________. 15．设离散型随机变量X 的分布律为()(0,1,2,3)2AP X k k k===+，则A =__________, (3)P X <=__________.16．设~(2,),~(3,)X B p Y B p ，若(1)5/9P X ≥=，则(1)P Y ≥=________.17．设~()X P λ，且(1)(2)P X P X ===，则(1)P X ≥=__________，2(03)P X <<=__________. 18．设连续型随机变量X 的分布函数为0,0,()sin ,0,21,,2x F x A x x x ππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩则A =__________，||6P X π⎛⎫<= ⎪⎝⎭__________.19．设随机变量X 的概率密度为22,0()0,0,x Ax e x f x x -⎧>=⎨≤⎩ 则A =__________，X 的分布函数()F x =__________.20．设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,.x x f x <<⎧=⎨⎩其他 现对X 进行三次独立重复观察，用Y 表示事件(1/2)X ≤出现的次数，则(2)P Y ==__________. 21．设随机变量X 服从[,]a a -上均匀分布，其中0a >. （1）若(1)1/3P X >=，则a =__________； （2）若(1/2)0.7P X <=，则a =__________； （3）若(||1)(||1)P X P X <=>，则a =__________.22．设2~(,)X N μσ，且关于y 的方程20y y X ++=有实根的概率为1/2，则μ=__________.23．已知某种电子元件的寿命X （以小时计）服从参数为1/1000的指数分布. 某台电子仪器内装有5只这种元件，这5只元件中任一只损坏时仪器即停止工作，则仪器能正常工作1000小时以上的概率为__________. 24．设随机变量X 的概率密度为1,[0,1]32,[3,6]()90,.x x f x ⎧∈⎪⎪⎪∈=⎨⎪⎪⎪⎩若若其他 若k 使得()2/3P X k ≥=，则k 的取值范围是__________.25．设随机变量X 服从(0,2)上均匀分布，则随机变量2Y X =在(0,4)内的密度函数为()Y f y =__________.26．设X 服从参数为1的指数分布，则min(,2)Y X =的分布函数()Y F y =__________.27．设二维随机变量(,)X Y 在由1/,0,1y x y x ===和2x e =所形成的区域D 上服从均匀分布，则(,)X Y 关于X 的边缘密度在2x =处的值为______.28．设随机变量,X Y 相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则(1/2)P X Y +≤=__________. 29．设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且~(1,),01i X B p p <<，1,2,,i n =，则1~ni i X X ==∑__________.30．设随机变量123,,X X X 相互独立，且有相同的概率分布(1)i P X p ==，(0),1,2,3,1i P X q i p q ===+=，记121120,1,,X X Y X X ⎧+⎪=⎨+⎪⎩当取偶数,当取奇数232230,1,,X X Y X X ⎧+⎪=⎨+⎪⎩当取偶数,当取奇数则12Z Y Y =的概率分布为__________.31．设X 服从泊松分布. （1）若2(1)1P X e-≥=-，则2EX =__________；（2）若212EX =，则(1)P X ≥=__________.32．设~(,)X B n p ，且2,1EX DX ==，则(1)P X >=__________. 33．设~[,]X U a b ，且2,1/3EX DX ==，则a =______；b =______. 34．设随机变量X 的概率密度为221(),xx f x Ae x -+-=-∞<<+∞，则A =________，EX =_________，DX =_________.35．设X 表示10次独立重复射击中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则2X 的数学期望2EX =__________.36．设一次试验成功的概率为p ，现进行100次独立重复试验，当p =________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________.37．设X 服从参数为λ的指数分布，且2(1)P X e -≥=，则2EX =_______. 38．设随机变量X 的概率密度为 ,,()0,0,,x a x b f x a b <<⎧=<<⎨⎩其他且22EX =，则a =__________，b =___________. 39．设随机变量,X Y 同分布，其概率密度为22,01/,()0,0,,x x f x θθθ⎧<<⎪=>⎨⎪⎩其他若(2)1/E CX Y θ+=，则C =__________.40．一批产品的次品率为0.1，从中任取5件产品，则所取产品中的次品数的数学期望为________，均方差为________.41．某盒中有2个白球和3个黑球，10个人依次摸球，每人摸出2个球，然后放回盒中，下一个人再摸，则10个人总共摸到白球数的数学期望为______.42．有3个箱子，第i 个箱子中有i 个白球，4i -个黑球(1,2,3)i =.今从每个箱子中都任取一球，以X 表示取出的3个球中白球个数，则EX =_________，DX =__________. 43．设二维离散型随机变量(,)X Y 的分布列为(,)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)0.40.2X Y P a b若()0.8E XY =，a =_________，b =__________. 44．设,X Y 独立，且均服从11,5N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若2(1)[(1)]D X aY E X aY -+=-+，则a =__________，|1|E X aY -+=__________.45．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且已知[(1)(2)]1E X X --=，则λ=__________. 46．设随机变量~[2,2]X U -，记 1,1,1,2,0,1,k X k Y k X k >-⎧==⎨≤-⎩则12Cov(,)Y Y =__________.47．设,X Y 是两个随机变量，且1,1/4,1/3XY DX DY ρ===，则(3)D X Y -=__________.48．设1,2,1,4,0.6XY EX EY DX DY ρ=====，则2(21)E X Y -+=__________.49．设随机变量X 的数学期望为μ，方差为2σ，则由切比雪夫不等式知 (||2)P X μσ-≥≤__________. 50．设随机变量12100,,,X X X 独立同分布，且0,10,i i EX DX == 1,2,,100i =，令10011100i i X X ==∑，则10021{()}ii E XX =-=∑__________.51．设12,,,n X X X 是总体(,4)N μ的样本，X 是样本均值，则当n ≥__________时，有2()0.1E X μ-≤.52．设12,,,n X X X 是来自0–1分布：(1),(0)1P X p P X p ====-的样本，则EX =__________，DX =__________，2ES =__________.53．设总体12~(),,,,n X P X X X λ为来自X 的一个样本，则EX =_________，DX =__________.54．设总体12~[,],,,n X U a b X X X 为X 的一个样本，则EX =________，DX =__________.55．设总体2126~(0,),,,,X N X X X σ为来自X 的一个样本，设22123456()()Y X X X X X X =+++++，则当C =_________时，2~(2).CY χ 56．设1216,,,X X X 是总体2(,)N μσ的样本，X 是样本均值，2S 是样本方差，若()0.95P X aS μ>+=，则a =__________.57．设129,,,X X X 是正态总体X 的样本，记1126278911(),()63Y X X X Y X X X =+++=++，92221271(),)/,2i i S X Y Z Y Y S ==-=-∑则~Z __________.58．设总体12~[,](0),,,,n X U x x x θθθ->为样本，则θ的一个矩估计为__________.59．设总体X 的方差为1，根据来自X 的容量为100的样本，测得样本均值为5，则X 的数学期望的置信度近似为0.95的置信区间为_________.60．设由来自总体2(,0.9)N μ的容量为9的简单随机样本其样本均值为5x =，则μ的置信度为0.95的置信区间是__________.《概率论与数理统计》习题及答案填空题1．设事件,A B 都不发生的概率为0.3，且()()0.8P A P B +=，则,A B 中至少有一个不发生的概率为__________.解：()()1()P AB P A B P A B ==-1()()()P A P B P AB =--+10.8()0.3P AB =-+=()0.1P AB = ()()1()10.10.9P AB P AB P AB ==-=-=2．设()0.4,()0.7P A P A B ==，那么（1）若,A B 互不相容，则()P B =__________; （2）若,A B 相互独立，则()P B =__________. 解：（1）()()()()()P AB P A P B P AB P B =+-⇒()()()0.70.40.3P A B P A P AB =-+=-=（由已知AB φ=）（2）()()()()P B P A B P A P AB =-+0.70.4()()P A P B =-+0.30.4()P B =+10.6()0.3()2P B P B =⇒= 3．设,A B 是任意两个事件，则{()()()}P AB A B A B A B =_______.解：{()}()()()}{()()()()}P A B A B A B A B P AA AB AB B A B AB ={()()()}P AB B A B AB ={()()}{()()}()0.P ABBB AB P AB AB P φ====4．从0,1,2,…,9中任取4个数，则所取的4个数能排成一个四位偶数的概率为__________.解：设A =取4个数能排成一个四位偶数，则4541041()1()142C P A P A C =-=-=5．有5条线段，其长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，所取的3条线段能拼成三角形的概率为__________.解：设A =能拼成三角形，则3533()10P A C == 6．袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，甲、乙两人依次各取一球，取后不放回，甲先取，则乙取得黄球的概率为__________.解1：由抓阄的模型知乙取到黄球的概率为25. 解2：设A =乙取到黄球，则1111201930201150492()5C C C C P A C C +== 或 201930202()504950495P A =⋅+⋅=. 7．设事件,,A B C 两两独立，且1,()()()2ABC P A P B P C =∅==<，()9/16P A B C =，则()P A =__________.解：9()()()()()()()()16P A B C P A P B P C P AB AC P BC P ABC ==++---+ 23()3[()]P A P A =-216[()]16()30P A P A -+=. 3()4P A =或 1()4P A =，由 1()2P A < 1()4P A ∴=. 8．在区间（0, 1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于6/5”的概率为__________. 解：设A =两数之和小于6/5，两数分别为,x y ，由几何概率如图 A 发生⇔01x <<01y << 65x y +<2111(1)52()1S P A S --⋅==阴正1725= 9．假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，今从中随机取一件产品，结果不是三等品，则它是二等品的概率为__________.解：i A =取到i 等品，3122A A A A =+⊃23223312()()0.31(|)()()()0.60.33P A A P A P A A P A P A P A ====++10．设事件,A B 满足：11(|)(|),()33P B A P B A P A ===，则()P B =__________.解：()()()(|)()()()P AB P AB P A B P B A P A P A P A ===1()()()1()P A P B P AB P A --+=- 111()1391313P B --+==- （因为111()()(/)339P AB P A P B A ==⋅=）5()9P B ∴=.11．某盒中有10件产品，其中4件次品，今从盒中取三次产品，一次取一件，不放回，则第三次取得正品的概率为__________，第三次才取得正品的概率为__________.解：设i A =第i 次取到正品，1,2,3i =则363()105P A ==或 3123123123123()()()()()P A P A A A P A A A P A A A P A A A =+++654465436645310981098109810985=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= 1234361()0.1109810P A A A =⋅⋅== 12．三个箱子，第一个箱子中有4个黑球，1个白球；第二个箱子中有3个黑球，3个白球；第三个箱子中有3个黑球，5个白球. 现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率为__________；已知取出的球是白球，此球属于第一个箱子的概率为__________. 解：设i A =取到第i 箱 1,2,3i =，B =取出的是一个白球31113553()()(|)()3568120i iP B P A P B A ==++=∑ 22213()(|)2036(|)53()53120P A P B A P A B P B ⋅===13．设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1/9，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则()P A =__________.解：由 ()()P AB P AB =知()()P A B P B A -=-即 ()()()()P A P AB P B P AB -=- 故 ()()P A P B =，从而()()P A P B =，由题意：21()()()[()]9P AB P A P B P A ===，所以1()3P A = 故 2()3P A =.（由,A B 独立A ⇒与B ，A 与B ，A 与B 均独立）14．设在一次试验中，事件A 发生的概率为p . 现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为__________，而事件A 至多发生一次的概率为_________. 解：设 B A =至少发生一次 ()1(1),nP B p =-- C A =至多发生一次 1()(1)(1)nn P C p np p -=-+-15．设离散型随机变量X 的分布律为()(0,1,2,3)2AP X k k k===+，则A =__________, (3)P X <=__________.解：31111()()123452345k A A A A P X K A ===+++=+++=∑ 6077A ∴= 16065(3)1(3)157777P X P X <=-==-⨯=16．设~(2,),~(3,)X B p Y B p ，若(1)5/9P X ≥=，则(1)P Y ≥=________. 解：~(2,)X B p 22()(1)0,1,2kkkP X k C p p k -==-= ~(3,)Y B p 33()(1)0,1,2,3.k k kP Y k C p p k -==-=002225(1)1(0)1(1)1(1)9P X P X C p p p ≥=-==--=--= 24(1)9p -=213p -= 13p = 33219(1)1(0)1(1)1()327P Y P Y p ∴≥=-==--=-=. 17．设~()X P λ，且(1)(2)P X P X ===，则(1)P X ≥=__________，2(03)P X <<=__________.解：122(1)2(0)1!2!2P X e e λλλλλλλλ--===⇒=⇒=>2(1)1(0)110!P X P X e e λλ--≥=-==-=-22(03)(1)2P X P X e -<<=== 18．设连续型随机变量X 的分布函数为0,0,()sin ,0,21,,2x F x A x x x ππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩则A =__________，||6P X π⎛⎫<= ⎪⎝⎭__________.解：()F x 为连续函数，22lim ()lim ()()2x x F x F x F πππ→+→-==1sin 12A A π=⇒=.1(||)()()()sin 6666662P X P X F F ππππππ<=-<<=--==. 19．设随机变量X 的概率密度为22,0()0,0,x Ax e x f x x -⎧>=⎨≤⎩则A =__________，X 的分布函数()F x =__________.解：222220001()()22x x xf x dx Ax e dx A x e xe dx +∞+∞+∞+∞----∞⎡⎤==--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 2220001()12244x x x A A AA xde e dx e +∞+∞+∞---=-==-==⎰⎰4A =.222222000()441(221),0()0,0x x x x u x f x dx x e dx u e du x x e x F x x ---⎧===-++>⎪=⎨⎪≤⎩⎰⎰⎰20．设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,.x x f x <<⎧=⎨⎩其他现对X 进行三次独立重复观察，用Y 表示事件(1/2)X ≤出现的次数，则(2)P Y ==__________.解：~(3,)Y B p ，其中112220011()224p P X xdx x =≤===⎰ 223139(2)(1)316464P Y C p p ==-=⋅⋅=21．设随机变量X 服从[,]a a -上均匀分布，其中0a >.（1）若(1)1/3P X >=，则a =__________； （2）若(1/2)0.7P X <=，则a =__________； （3）若(||1)(||1)P X P X <=>，则a =__________.解：1,[,]()20,x a a f x a ⎧∈-⎪=⎨⎪⎩其它（1）1111111(1)(1) 3.322223a P X dx a a a a a >===-=-=⇒=⎰（2）121111115()0.7()0.72222424a P X dx a a a a a -<===+=+=⇒=⎰ （3）(||1)(||1)1(||1)1(||1)P X P X P X P X <=>=-≤=-<111111(||1)2 2.222P X dx a a a a-∴<===⋅=⇒=⎰22．设2~(,)X N μσ，且关于y 的方程20y y X ++=有实根的概率为1/2，则μ=__________.解：20y y X ++=有实根11404X X ⇔∆=-≥⇔≤1111114()()()(0)42424P X F μμσ-≤=⇒=Φ=Φ=⇒=.23．已知某种电子元件的寿命X （以小时计）服从参数为1/1000的指数分布. 某台电子仪器内装有5只这种元件，这5只元件中任一只损坏时仪器即停止工作，则仪器能正常工作1000小时以上的概率为__________. 解：Y =仪器正常工作时间，则()00x e x f x x λλ-⎧≥=⎨<⎩15(1000)(10001000)P Y P X X ≥=≥≥15(1000)(1000)P X P X =≥≥5[(1000)]P X =≥1100010001(1000)1000xP X e dx e -+∞-≥==⎰ 5(1000)P Y e -∴≥=24．设随机变量X 的概率密度为1,[0,1]32,[3,6]()90,.x x f x ⎧∈⎪⎪⎪∈=⎨⎪⎪⎪⎩若若其他 若k 使得()2/3P X k ≥=，则k 的取值范围是__________.解：16312()()39kk P X K f x dx dx dx +∞≥==+⎰⎰⎰12(63)323933k k ---=+== 1k ∴=k ∴的取值范围为[1,3].25．设随机变量X 服从(0,2)上均匀分布，则随机变量2Y X =在(0,4)内的密度函数为()Y f y =__________.解：1(0,2)()2x f x ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其它2(||0()()()00Y P X y F y P Y y P X y y ⎧≤>⎪=≤=≤=⎨≤⎪⎩((000X X P X F F y y ⎧≤≤=->⎪=⎨≤⎪⎩112211(0422()()00X X Y Y f y f y y f y F y y --⎧⋅+⋅=<<⎪'==⎨⎪≤⎩当 2Y X =在（0，4）内时()Y f y = 26．设X 服从参数为1的指数分布，则min(,2)Y X =的分布函数()Y F y =__________. 解1：()()(min(,2))1(min(,2))Y F y P Y y P X y P X y =≤=≤=-> 1(,2)P X y y =->>1()()()00()1021012X yX P X y P X y F y y F y ey y -⎧->=≤==≤⎪==-<<⎨⎪-=≥⎩解2：设X 的分布函数为()X F x ，2的分布函数为2()F z ，则1,0,()0,0;x X e x F x x -⎧->=⎨≤⎩ 20,2,()1,2;z F z z <⎧=⎨≥⎩2()1[1()][1()]Y X F y F y F y =---0,0,1,02,1, 2.yy e y y -≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩27．设二维随机变量(,)X Y 在由1/,0,1y x y x ===和2x e =,)Y 关于X 的边缘密度在2x =处的值为______. 解：22111(0)ln 2e eS dx x x=-==⎰阴1(,)(,)20x y D f x y ⎧∈⎪∴=⎨⎪⎩其他()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰120111,220x dy x e x⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩⎰其它. 或 12011(2)24x f dy ==⎰28．设随机变量,X Y 相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则(1/2)P X Y +≤=__________.解：1[0,1]()0X x f x ∈⎧=⎨⎩其它 1[0,1]()0Y y f y ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其它10,1(,)()()0X Y x y f x y f x f y ≤≤⎧=⋅=⎨⎩其它11111()(,)22228S P X Y f x y dxdy S +≤===⋅⋅=⎰⎰阴阴29．设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且~(1,),01i X B p p <<，1,2,,i n =，则1~ni i X X ==∑__________.解：~(1,)i X B p 1~(,)ni i X X B n p =∴=∑30．设随机变量123,,X X X 相互独立，且有相同的概率分布(1)i P X p ==，(0),1,2,3,1i P X q i p q ===+=，记121120,1,,X X Y X X ⎧+⎪=⎨+⎪⎩当取偶数,当取奇数232230,1,,X X Y X X ⎧+⎪=⎨+⎪⎩当取偶数,当取奇数则12Z Y Y =的概率分布为__________.解： 011Z P pq pq-121223(1)(1,1)(1,1)P Z P Y Y P X X X X =====+=+= 123123(1,0,1)(0,1,0)P X X X P X X X ====+=== 12322()X X X p q pq pq p q pq ======+=+=独立(0)1(1)1P Z p Z qp ==-==-31．设X 服从泊松分布. （1）若2(1)1P X e -≥=-，则2EX =__________；（2）若212EX =，则(1)P X ≥=__________.解：()0,1,2,!kP X K e k k λλ-===0λ>（1）2(1)1(0)1110!P X P X e e e λλλ---≥=-==-=-=-2.λ∴=2222()DX EX EX EX λλ==-=- 22246EX λλ∴=+=+= （2）22212120(4)(3)0,3EX λλλλλλλ==++-=+-==3(1)11P X e e λ--≥=-=-32．设~(,)X B n p ，且2,1EX DX ==，则(1)P X >=__________.解：~(,)2X B n p EX np ==111422DX npq q p n ==⇒=== 0041344111111(1)1(0)(1)1()()()()222216P X P X P X C C >=-=-==--=33．设~[,]X U a b ，且2,1/3EX DX ==，则a =______；b =______.解：~[,]242a bX U a b EX a b +==⇒+=221()()42312b a DX a b b a -==⇒-=⇒-= 13a b ∴==34．设随机变量X 的概率密度为221(),xx f x Ae x -+-=-∞<<+∞，则A =________，EX =_________，DX =_________.解：222(1)1(1)1x dx x Ae dx A --+∞---∞-∞==⎰⎰22(1)1x dx dx A --+∞-∞=⇒=1EX =，12DX =. 35．设X 表示10次独立重复射击中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则2X 的数学期望2EX =__________.解：~(10,0.4)100.4440.6 2.4X B EX np DX npq ==⨯===⨯=22() 2.41618.4EX DX EX =+=+=36．设一次试验成功的概率为p ，现进行100次独立重复试验，当p =________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________.解：21100(1)100100(100)()252DX npq p p p p p ==-=-+=--+12p =5. 37．设X 服从参数为λ的指数分布，且2(1)P X e -≥=，则2EX =_______.解：10()00x e x F x x λ-⎧->=⎨≤⎩ 2(1)1(1)1(1)P X P X F e -≥=-<=-=21(1)2e e λλ----=⇒=.21111,24EX DX λλ====，22111()442EX DX EX ∴=+=+=38．设随机变量X 的概率密度为,,()0,0,,x a x b f x a b <<⎧=<<⎨⎩其他且22EX =，则a =__________，b =___________.解：2222211()()222ba x f x dx xdxb a b a +∞-∞====-⇒-=⎰⎰ ① 422344222211()()()()444b b a a x EX x f x dx x dx b a b a b a ====-=-+⎰⎰ 22221()242a b a b =+=⇒+= ②解（1）（2）联立方程有：1,a b == 39．设随机变量,X Y 同分布，其概率密度为22,01/,()0,0,,x x f x θθθ⎧<<⎪=>⎨⎪⎩其他若(2)1/E CX Y θ+=，则C =__________.解：11322222233xEX x dx EY θθθθθ====⎰ 21(2)2(2)3E CX Y CEX EY C θθ+=+=+=21(2)132C C +=⇒=-40．一批产品的次品率为0.1，从中任取5件产品，则所取产品中的次品数的数学期望为________，均方差为________.解：设X 表示所取产品的次品数，则~(5,0.1)X B . 50.10.5,0.45EX np DX npq ==⨯===== 41．某盒中有2个白球和3个黑球，10个人依次摸球，每人摸出2个球，然后放回盒中，下一个人再摸，则10个人总共摸到白球数的数学期望为______.解：设i X 表示第i 个人模到白球的个数，X 表示10个人总共摸到白球数，则101ii X X==∑012361101010iXP61812101010iEX=⨯+⨯=81010810iEX EX==⨯=42．有3个箱子，第i个箱子中有i个白球，4i-个黑球(1,2,3)i=.今从每个箱子中都任取一球，以X表示取出的3个球中白球个数，则EX=_________，DX=__________.解：012362626664646464XP3216(0)44464P X==⋅⋅=12132132326(1)44444444464P X==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=12112332326(2)44444444464P X==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=1236(3)44464P X==⋅⋅=326183642EX⨯+==25269623648EX⨯+⨯==2223185()888DX EX EX=-=-=.43．设二维离散型随机变量(,)X Y的分布列为(,)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)0.40.2X YP a b若()0.8E XY=，a=_________，b=__________.解：0.220.80.3EXY b b=+=⇒=10.40.20.40.1a b a+=--=⇒=44．设,X Y独立，且均服从11,5N⎛⎫⎪⎝⎭，若2(1)[(1)]D X aYE X aY-+=-+，则a=__________，|1|E X aY-+=__________.解：2(1)[(1)](1)0D X aYE X aY E X aY-+=-+⇒-+=.10EX aEY-+=，1102a a-+=⇒=.令21,0,1Z X aY EZ DZ DX a DY=-+==+=.~(0,1)Z N∴222|||zzE Z z dx ze dz--+∞+∞-∞∴====⎰⎰45．设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且已知[(1)(2)]1E X X--=，则λ=__________.解：22[(1)(2)](32)321E X X E X X EX EX --=-+=-+=2222~(),()X P EX DX DX EX EX EX λλλλ∴===-⇒=+223212101λλλλλλ∴+-+=⇒-+=⇒=. 46．设随机变量~[2,2]X U -，记1,1,1,2,0,1,k X k Y k X k >-⎧==⎨≤-⎩则12Cov(,)Y Y =__________.解：1[2,2]()4X x f x ⎧∈-⎪=⎨⎪⎩其它212111(1,1)(0,1)(1)44P Y Y P X X P X dx ===>>=>==⎰ 112011(1,0)(0,1)(01)44P Y Y P X X P X dx ===>≤=<≤==⎰0122111(0,0)(0,1)(0)2442P Y Y P X X P X dx -===≤≤=≤==⨯=⎰1(0,0P Y ==.111101222EY =⨯+⨯=231101444EY =⨯+⨯=12111144EY Y =⨯⨯=121212cov()Y Y EY Y EY EY ∴=-1111.4248=-⋅= 47．设,X Y 是两个随机变量，且1,1/4,1/3XY DX DY ρ===，则(3)D X Y -=__________.解：(3)(3)2cov(,3)96cov(,)D X Y DX D Y X Y DX DY X Y -=+-=+-991191616144324XY ρ=+-⋅=+-⨯⨯⨯=. 48．设1,2,1,4,0.6XY EX EY DX DY ρ=====，则2(21)E X Y -+=__________.解：(21)211E X Y EX EY -+=-+=，0.6XY ρ== cov(,)0.612 1.2X Y ∴=⨯⨯= cov(,)0C Y =，C 常数 (21)(21)2cov[(21),]D X Y D X DY X Y -+=++-+44cov(,)444 1.2 3.2DX DY X Y =+-=+-⨯=222(21)(21)[(21)] 3.21 4.2E X Y D X Y E X Y -+=-++-+=+=. 49．设随机变量X 的数学期望为μ，方差为2σ，则由切比雪夫不等式知 (||2)P X μσ-≥≤__________. 解：2221(||2)44DXP X σμσεσ-≥≤==. 50．设随机变量12100,,,X X X 独立同分布，且0,10,i i EX DX == 1,2,,100i =，令10011100i i X X ==∑，则10021{()}ii E XX =-=∑__________.解1：()0i i E X X EX EX -=-= 11001()[()]100i i D X X D X X X -=-++111100199[()()]100100i i i D X X X X X -+=-+++++22199()9910()10100100=-⨯⨯+⨯ 22299()[()]()10i i i E X X E X X E X X ==---=-100100221199{()}()10099010i i i E X X E X X =∴-=-=⨯=∑∑ 解2：设1100,,X X 为总体X 的样本，则1002211()99i i S X X ==-∑为样本方差，于是210ES DX ==，即10021()1099990.i i E X X =-=⨯=∑51．设12,,,n X X X 是总体(,4)N μ的样本，X 是样本均值，则当n ≥__________时，有2()0.1E X μ-≤.52．设12,,,n X X X 是来自0–1分布：(1),(0)1P X p P X p ====-的样本，则EX =__________，DX =__________，2ES =__________.解：11,(1)ni i i i X X EX p DX pq p p n =====-∑2111(1)i i EX nEX pDX nDX p p n n n=⋅==⋅=- 22222111()[]11n i i i ES E X nX nEX nEX n n ==-=⋅---∑ 2211[((1))((1))]1n p p p n p p p n n =-+--+- 21[(1)](1).1np p n p p p n =---=--53．设总体12~(),,,,n X P X X X λ为来自X 的一个样本，则EX =_________，DX =__________.解：~()i i X P EX DX EX DX nλλλλ====54．设总体12~[,],,,n X U a b X X X 为X 的一个样本，则EX =________，DX =__________.解：2()~[,]212a b b a X U a b EX DX +-==2a bEX += 2()12b a DX n -=55．设总体2126~(0,),,,,X N X X X σ为来自X的一个样本，设22123456()()Y X X X X X X =+++++，则当C =_________时，2~(2).CY χ解：123456()()0E X X X E X X X ++=++=2123456()()33i D X X X D X X X DX σ++=++==12312321)]()13D X X X D X X X σ++=++=123)~(0,1)X X X N ∴++，456)~(0,1)X X X N ++且独立 213C σ∴=56．设1216,,,X X X 是总体2(,)N μσ的样本，X 是样本均值，2S 是样本方差，若()0.95P X aS μ>+=，则a =__________.解：0.05()((15))0.95X P X aS P P t t μ>+=≥=≥-= 查t 分布表0.054(15) 1.750.4383.a t a =-=-⇒=-57．设129,,,X X X 是正态总体X 的样本，记1126278911(),()63Y X X X Y X X X =+++=++，92221271(),)/,2i i S X Y Z Y Y S ==-=-∑则~Z __________.解：设总体2~(,)X N μσ则2212~(,)~(,)63Y N Y N σσμμ且 12Y Y~(0,1)N ，而2222~(2)S χσ.故12)~(2)Y Y Z t S -==.58．设总体12~[,](0),,,,n X U x x x θθθ->为样本，则θ的一个矩估计为__________.解：221(2)10,,021232EX DX EX x dx θθθθθθμθ--=======⎰222222()33EX DX EX DX θμθμθ==+==⇒=⇒= 其中 2211n i i a X n ==∑59．设总体X 的方差为1，根据来自X 的容量为100的样本，测得样本均值为5，则X 的数学期望的置信度近似为0.95的置信区间为_________. 解：X 不是正态总体，应用中心极限定理10~(0,1)0.051niXnEXX EXU N α--==⨯=∑/20.025()10.05/20.975 1.96αμμΦ=-=⇒=使0.025(||)(|10| 1.96)0.951X EXP u P μ-<=⨯<= EX 的置信区间为11( 1.96, 1.96)(4.804,5,196)1010X X -⨯+⨯=60．设由来自总体2(,0.9)N μ的容量为9的简单随机样本其样本均值为5x =，则μ的置信度为0.95的置信区间是__________.解：/20.0255,0.9,9,10.950.05, 1.96n u αχσαμ====-===故置信限为：/20.95 1.965 1.960.350.5883αχμ±=±=±⨯=± ∴置信区间为(4.412, 5.588)。

《概率论与数理统计》第一部分一、填空题1. 设A ，B 为两事件，且()0.4P A =，(|)0.6P B A =，则()P AB = 0.162. 设随机变量X 和Y 独立同服从正态分布(0,1)N ，则Z X Y =+2z -3. 设随机变量X 的密度函数为22, 0()0, 0x e x p x x -⎧>=⎨≥⎩，则X 的分布函数()F X = .20, 0()1, 0xx F x e x -≤⎧=⎨->⎩4. 设二维随机变量(,)X Y 的联合分布律为1(,),1,2,3,1,2,3,412i i P X x Y y i j =====，则1()P X x ==13 .5. 设,,A B C 是随机事件，1()()(),4P A P B P C ===1()()().8P AB P BC P AC ===则,,A B C 三个事件恰好出现一个的概率为12.6. 甲、乙两人独立地向同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲命中的概率是 0.75 .7. 设X 和Y 为两个随机变量，且34(0,0),(0)(0)77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=，则{ma x (,)0}P X Y <57 .8. 设随机变量X 和Y 独立，(2,),(3,)X b p Y b p ，且5(1)9P X ≥=，则(1)P X Y +== 80243 .9. 设12,,,,m n X X X X 是来自正态总体(0,1)N 的简单随机样本，令22121(,)() ()n m m n Y a X X X b X X m n +=+++++< 为使n Y 服从2χ分布，则a = ，b = . 11,a b m n m ==-10. 设由来自正态总体(,0.81)X N μ 的一个容量为9的简单随机样本计算得样本均值为5，则未知参数μ的置信水平为0.95的置信区间为 []4.412,5.588 .11. 设()1,()2,()1,()4,0.6XY E X E Y D X D Y ρ=====，则2(21)E X Y ⎡⎤-+=⎣⎦ 4212. 设,X Y是两个相互独立同服从正态分布2)N 的随机变量，则(||)E X Y -=.13．设在15只同类型的零件中有2只是次品，在其中取3次，每次取1只，作不放回抽样，则取出次品的只数为1的概率 12/35 。

数理统计练习一、填空题1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=0.5，P (B)=0.6，P (B |A)=0.8，则P (A+B)=__ 0.7 __。

2、某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为8180，则此射手的命中率32。

3、设随机变量X 服从[0，2]上均匀分布，则=2)]([)(X E X D 1/3 。

4、设随机变量X 服从参数为λ的泊松（Poisson ）分布，且已知)]2)(1[(--X X E ＝1，则=λ___1____。

5、一次试验的成功率为p ，进行100次独立重复试验，当=p 1/2_____时 ，成功次数的方差的值最大，最大值为 25 。

6、（X ，Y ）服从二维正态分布),,,,(222121ρσσμμN ，则X 的边缘分布为 ),(211σμN 。

7、已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,20,23),(2y x xy y x f ，则E (X )=34。

8、随机变量X 的数学期望μ=EX ，方差2σ=DX ，k 、b 为常数，则有)(b kX E += ,k b μ+；)(b kX D +=22k σ。

9、若随机变量X ～N (－2，4)，Y ～N (3，9)，且X 与Y 相互独立。

设Z ＝2X －Y ＋5，则Z ～ N(-2, 25) 。

10、θθθ是常数21ˆ ,ˆ的两个 无偏 估计量，若)ˆ()ˆ(21θθD D <，则称1ˆθ比2ˆθ有效。

1、设A 、B 为随机事件，且P (A )=0.4, P (B )=0.3, P (A ∪B )=0.6，则P (B A )=_0.3__。

2、设X ~B (2,p )，Y ~B (3,p )，且P {X ≥ 1}=95，则P {Y ≥ 1}=2719。

3、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Y =3X -2, 则E (Y )=4 。

4、设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。

概率论和数理统计试题及答案一、填空题：1 11、 设 A 与 B 相互独立,P(A) = , P(B)=,贝U P (B-A)=.3 2 ----------------11 1解: P(B _A)二 P(B)[1 _P(A)](1 ): 23 32、 设 X~U[1,3](均匀分布)，则 E(X 2)=, D(2X)二 ______________.E(5X _2) = ___________________ ,解: E(X)二 2;D(X) =1/ 3E(X 2) = D(X) E(X)2 =13/3 D( 2X 4D (X =)4 / 3E(5X - 2)= 5E X ) 2 102Y~ P(3),Z ~ N(3,2 )，且 X , Y,Z 相互独立，则3、设随机变量X 服从指数分布，即X ~ E(2),定义随机变量2,X 3 Y £,X =3-1,X ：3解：F Y (Y)=P(Jy)二 P(丫 乞 一1) = P(X :: 3)2e'x dx = -e^x 0F Y (Y)二 P(Y D二 P(—1 ：： 丫 乞1) = P(X 空 3)3=2e "dx =-e'xF Y (Y)二 P(丫 乞 y)二 P(1 ：： Y ^2) = P(X 3)则Y 的分布列为二 1 —e ■6 -2C其中二是与y 无关的量2e"dx _ -e^x4、设 X ~ B(200,0.1)E(2X -3Y -Z 5) = , D(2X -3Y -Z 5)二 ____________________2XE(D(2X -3Y -Z 5) =4D(X) 9D(Y) D(Z) =72 27 4 =10325、设总体X ~ N（j 匚）,X i, X2, X3 为来自X 的样本，二0.5/ • 0.1X2 - ax 3 是未知参数丄的无偏估计，则a =。

解：因为是无偏估计所以E（?）=E（0.X+ 0.x1— ax =） 0E5x 什）E.2X-（ aJEj x （）= （0.5 0.-1 E）X（=）（ 0.5- 01"口二）（0.5 0•中=）1a ~ -0. 46、设X〜N（叫，打），Y~N（」2,/）,X与丫相互独立，且X与丫分别为X,Y的样2 2本均值，样本容量分别为n i,n2。

《概率论与数理统计》复习题一、填空题1. 已知()()P A B P A =，则A B 与的关系是 独立 。

2．已知,A B 互相对立，则A B 与的关系是 互相对立 。

3.B A ,为随机事件，4.0)(=A P ，3.0)(=B P ，()0.6P A B =，则()P AB = 0.3 。

4. 已知()0.4P A =，()0.4P B =，5.0)(=B A P ，则()P A B ⋃= 0.7 。

5.B A ,为随机事件，3.0)(=A P ，4.0)(=B P ，()0.5P A B =，则()P B A =__23__。

6．已知()P B A =0.3 ，()P A B -=0.2，则()P A = 2 / 7 。

7．将一枚硬币重复抛掷3次，则正、反面都至少出现一次的概率为 0.75 。

8. 设某教研室共有教师11人，其中男教师7人，现该教研室中要任选3名为优秀教师，则3名优秀教师中至少有1名女教师的概率为___2633____。

9. 设一批产品中有10件正品和2件次品，任意抽取2次，每次抽1件，抽出后不放回，则第2次抽出的是次品的概率为___61___。

10. 3人独立破译一密码，他们能单独译出的概率为41,31,51，则此密码被译出的概率为___35___。

11．每次试验成功的概率为p ，进行重复独立试验，则第8次试验才取得第3次成功的概率为___5327)1(p p C -___。

12. 已知3次独立重复试验中事件A 至少成功一次的概率为1927，则一次试验中事件A 成功的概率p =___13___。

13．随机变量X 能取1,0,1-，取这些值的概率为35,,248c c c ，则常数c =_815_。

14．随机变量X 分布律为5,4,3,2,1,15)(===k kk X P ，则(35)P X X ><=_0.4_。

15.02,()0.420,10x F x x x <-⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩是X 的分布函数，则X 分布律为__200.40.6i X p -⎛⎫⎪⎝⎭__。

概率论与数理统计 第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。

2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。

3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率为 。

4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。

5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。

6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。

7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。

8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。

9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率为 。

10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A{}Y X B >=，则=)|(A B P 。

11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。

12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。

13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。

14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。

15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。

16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。

17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。

数理统计一、填空题1、设n X X X ,,21为母体X 的一个子样，如果),,(21n X X X g ， 则称),,(21n X X X g 为统计量。

不含任何未知参数2、设母体σσμ),,(~2N X 已知，则在求均值μ的区间估计时，使用的随机变量为nX σμ-3、设母体X 服从修正方差为1的正态分布，根据来自母体的容量为100的子样，测得子样均值为5，则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 。

025.01015u ⨯±4、假设检验的统计思想是 。

小概率事件在一次试验中不会发生5、某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%， 此问题的原假设为 。

0H ：05.0≤p6、某地区的年降雨量),(~2σμN X ，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为： (单位：mm) 587 672 701 640 650 ，则2σ的矩估计值为 。

1430.87、设两个相互独立的子样2121,,,X X X 与51,,Y Y 分别取自正态母体)2,1(2N 与)1,2(N ， 2*22*1,S S 分别是两个子样的方差，令2*2222*121)(,S b a aS +==χχ，已知)4(~),20(~222221χχχχ，则__________,==b a 。

用)1(~)1(222*--n S n χσ，1,5-==b a8、假设随机变量)(~n t X ，则21X 服从分布 。

)1,(n F 9、假设随机变量),10(~t X 已知05.0)(2=≤λX P ，则____=λ 。

用),1(~2n F X 得),1(95.0n F =λ10、设子样1621,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ，X为子样均值，而01.0)(=>λX P ， 则____=λ01.04)1,0(~1z N nX=⇒λ 11、假设子样1621,,,X X X 来自正态母体),(2σμN ，令∑∑==-=161110143i i i iX XY ，则Y 的分布 )170,10(2σμN12、设子样1021,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ，X 与2S 分别是子样均值和子样方差，令2*210S X Y =，若已知01.0)(=≥λY P ，则____=λ 。

<数理统计>试题一、填空题1．设1621,,,X X X 是来自总体X ),4(~2σN 的简单随机样本，2σ已知，令∑==161161i i X X ，则统计量σ-164X 服从分布为 （必须写出分布的参数）。

2．设),(~2σμN X ，而，，，，是从总体X 中抽取的样本，则μ的矩估计值为 。

3．设]1,[~a U X ，n X X ,,1 是从总体X 中抽取的样本，求a 的矩估计为 。

4．已知2)20,8(1.0=F ，则=)8,20(9.0F 。

5．θˆ和βˆ都是参数a 的无偏估计，如果有 成立 ，则称θˆ是比βˆ有效的估计。

6．设样本的频数分布为则样本方差2s =_____________________。

7．设总体X~N （μ，σ²），X 1，X 2，…，X n 为来自总体X 的样本，X 为样本均值，则D （X ）＝________________________。

8．设总体X 服从正态分布N （μ，σ²），其中μ未知，X 1，X 2，…，X n 为其样本。

若假设检验问题为1H 1H 2120≠↔σσ：＝：，则采用的检验统计量应________________。

9．设某个假设检验问题的拒绝域为W ，且当原假设H 0成立时，样本值（x,x, …，x ）落入W 的概率为，则犯第一类错误的概率为_____________________。

10．设样本X 1，X 2，…，X n 来自正态总体N （μ，1），假设检验问题为：，：＝：0H 0H 10≠↔μμ 则在H 0成立的条件下，对显著水平α，拒绝域W 应为______________________。

11．设总体服从正态分布，且未知，设为来自该总体的一个样本，记，则的置信水平为的置信区间公式是 ；若已知，则要使上面这个置信区间长度小于等于，则样本容量n 至少要取__ __。

12．设为来自正态总体的一个简单随机样本，其中参数和均未知，记，，则假设：的检验使用的统计量是 。

概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)概率论试题一、填空题1．设A、B、C是三个随机事件。

试用A、B、C分别表示事件1）A、B、C 至少有一个发生2）A、B、C 中恰有一个发生3）A、B、C不多于一个发生2．设A、B为随机事件，P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(BA)=0.8。

则P(B A)＝3．若事件A和事件B相互独立, P(A)= ,P(B)=0.3，P(A B)=0.7,则4. 将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词__的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量X分布律为P{X k} 5A(1/2)A=______________7. 已知随机变量X的密度为f(x)k(k 1,2, )则ax b,0 x 1,且P{x 1/2} 5/8,则0,其它a ________b ________28. 设X～N(2, ),且P{2 x 4} 0.3,则P{x 0} _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为中率为_________10.若随机变量在（1，6）上服从均匀分布，则方程x+ x+1=0有实根的概率是280，则该射手的命8111.设P{X 0,Y 0}34，P{X 0} P{Y 0} ，则P{max{X,Y} 0} 7712.用（X,Y）的联合分布函数F（x,y）表示P{a X b,Y c} 13.用（X,Y）的联合分布函数F（x,y）表示P{X a,Y b} 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D上服从均匀分布，则（x,y）关于X的边缘概率密度在x = 1 处的值为。

15.已知X~N( 2,0.4)，则E(X 3)＝16.设X~N(10,0.6),Y~N(1,2)，且X与Y相互独立，则17.设X的概率密度为f(x)22D(3X Y)x2，则D(X)＝18.设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在[0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N（0，2），X3服从参数为=3的泊松分布，记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）= 219.设D(X) 25,D Y 36, xy 0.4，则D(X Y) 20.设X1,X2, ,Xn, 是独立同分布的随机变量序列,且均值为,方差为,那么当n充分大时,近似有X～或2～。

《概率论与数理统计》试题（1)一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。

正确打“√"，错误打“×”）⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB ）=P （A)P （B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B ）—B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX （ ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ）⑸ 样本方差2n S=n121)(X Xni i-∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ）二 、（20分)设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 (1）仅A 发生，B 、C 都不发生;（2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生; （5）,,A B C 中至多有一个发生.三、(15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、(10分) 已知离散型随机变量X 的分布列为210131111115651530XP-- 求2Y X =的分布列。

五、（10分）设随机变量X 具有密度函数||1()2x f x e -=，∞＜ x ＜∞, 求X 的数学期望和方差.六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20％，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤。

x 0 0.5 1 1.5 2 2。

5 3 Ф(x ） 0.500 0。

691 0.841 0。

933 0.977 0.994 0。

999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布1()(1),1,2,,01k P X k p p k p -==-=<<，的样本，试求未知参数p 的极大似然估计。

《概率论与数理统计》试题（1）评分标准一 ⑴ ×;⑵ ×；⑶ √；⑷ √；⑸ ×. 二 解 (1）ABC(2）AB AC BC 或ABC ABC ABC ABC ；(3)A B C 或ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ；（4）ABC ABC ABC ;（5）AB AC BC 或ABC ABC ABC ABC每小题4分;三 解 设A =‘三段可构成三角形’，又三段的长分别为,,x y a x y --，则0,0,0x a y a x y a <<<<<+<，不等式构成平面域S 。

一、填空（一）各章节的introduction1、Continuous variables or interval data can assume any value in some interval of real numbers.连续变量或间隔数据可以假设在某个实数间隔中的任意值。

（measurement）Discrete variables assume only isolated values.离散变量只假定孤立的值。

(counting)11、The lower or first quartile is the 25th percentile and the upper or third quartile is the 75th percentile.12、The fist qurtile Q1 is the median of the observations falling below the median of the entire sample and the third quartile Q3 is the median of the observations falling above the median of the entire sample.The interquartile range is defined as IQR=Q3-Q1.第一个四分位数Q1是低于整个样本中位数的观测值的中位数，第三个四分位数Q3是高于整个样本中位数的观测值的中位数。

四分位数范围定义为IQR=Q3-Q1。

2、Statistics applied to the life sciences in often called biostatistics or biometry.统计学应用于生命科学，通常称为生物统计学或生物计量学。

3、A descriptive measure associated with a random variable when it is considered over the entire population is called a parameter.当在整个总体中考虑一个随机变量时，与它相关的描述性度量称为参数4、One is forced to examine a subset or sample of the population and make inferences about the entire variable of a sample is called a statistic.人们被迫检查总体中的一个子集或样本，并对样本中的整个变量做出推断，这被称为统计量。

数理统计考试试卷一、填空题（本题15分，每题3分）1、总体的容量分别为10，15的两独立样本均值差________；2、设为取自总体的一个样本，若已知，则=________；3、设总体，若和均未知,为样本容量，总体均值的置信水平为的置信区间为，则的值为________;4、设为取自总体的一个样本，对于给定的显著性水平,已知关于检验的拒绝域为2≤,则相应的备择假设为________;5、设总体,已知，在显著性水平0.05下,检验假设，，拒绝域是________。

1、；2、0.01;3、；4、；5、.二、选择题（本题15分，每题3分）1、设是取自总体的一个样本，是未知参数，以下函数是统计量的为（）。

（A）(B) (C）(D)2、设为取自总体的样本,为样本均值，，则服从自由度为的分布的统计量为（）。

（A）（B) （C）（D）3、设是来自总体的样本，存在, ，则( )。

(A）是的矩估计（B）是的极大似然估计（C）是的无偏估计和相合估计（D）作为的估计其优良性与分布有关4、设总体相互独立，样本容量分别为，样本方差分别为,在显著性水平下，检验的拒绝域为（）。

(A) （B)（C）（D)5、设总体，已知，未知,是来自总体的样本观察值，已知的置信水平为0.95的置信区间为（4.71，5。

69)，则取显著性水平时,检验假设的结果是（）。

（A）不能确定(B)接受(C）拒绝（D）条件不足无法检验1、B；2、D；3、C；4、A;5、B。

三、（本题14分）设随机变量X的概率密度为：，其中未知参数，是来自的样本,求（1）的矩估计；（2）的极大似然估计。

解：(1) ,令，得为参数的矩估计量。

（2)似然函数为：，而是的单调减少函数,所以的极大似然估计量为.四、(本题14分)设总体，且是样本观察值,样本方差，(1）求的置信水平为0.95的置信区间;(2）已知，求的置信水平为0。

95的置信区间；(，)。

解:（1)的置信水平为0。

95的置信区间为,即为(0。

一、填空题（每小题3分，共15分）1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________.2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________.4． 设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>eX P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________.5． 设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它,0,10,)1()(x x x f θθ 1->θ.n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是 （A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立. （B ）若()1P C =，则A C 与B 也独立. （C ）若()0P C =，则A C 与B 也独立.（D ）若C B ⊂，则A 与C 也独立. （ ） 2．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为 （A ）2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-.（C ）2(2)-Φ. （D ）12(2)-Φ. （ ） 3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（A ）X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+.（C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =. （ ） 4．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183X Y P αβ若,X Y 独立，则,αβ的值为（A ）21,99αβ==. （A ）12,99αβ==.（C ） 11,66αβ== （D ）51,1818αβ==. （ ） 5．设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ 为来自X 的样本，则下列结论中正确的是（A ）1X 是μ的无偏估计量. （B ）1X 是μ的极大似然估计量. （C ）1X 是μ的相合（一致）估计量. （D ）1X 不是μ的估计量. （ ）四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设X 为途中遇到红灯的次数，求X 的分布列、分布函数、数学期望和方差.五、（10分）设二维随机变量(,)X Y 在区域{(,)|0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤ 上服从均匀分布. 求（1）(,)X Y 关于X 的边缘概率密度；（2）Z X Y =+的分布函数与概率密度.六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X 和纵坐标Y 相互独立，且均服从2(0,2)N 分布. 求（1）命中环形区域22{(,)|12}D x y x y =≤+≤的概率；（2）命中点到目标中心距离Z =.七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm ）2~(,)X N μσ，今抽取容量为16的样本，测得样本均值10x =，样本方差20.16s =. （1）求μ的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设20:0.1H σ≤（显著性水平为0.05）. （附注）0.050.050.025(16) 1.746,(15) 1.753,(15) 2.132,t t t ===2220.050.050.025(16)26.296,(15)24.996,(15)27.488.χχχ=== 一、填空题（每小题3分，共15分）（1） 设事件A 与B 相互独立，事件B 与C 互不相容，事件A 与C 互不相容，且()()0.5P A P B ==，()0.2P C =，则事件A 、B 、C 中仅C 发生或仅C 不发生的概率为___________.（2） 甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为___________.（3） 设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它, 现对X 进行四次独立重复观察，用Y 表示观察值不大于0.5的次数，则2EY =___________. （4） 设二维离散型随机变量(,)X Y 的分布列为(,)(1,0)(1,1)(2,0)0.40.2X Y P a b若0.8EXY =，则Cov(,)X Y =____________.（5） 设1217,,,X X X 是总体(,4)N μ的样本，2S 是样本方差，若2()0.01P S a >=，则a =____________.（注：20.01(17)33.4χ=, 20.005(17)35.7χ=, 20.01(16)32.0χ=, 20.005(16)34.2χ=）二、单项选择题（每小题3分，共15分）（1）设A 、B 、C 为三个事件，()0P AB >且(|)1P C AB =，则有 （A ）()()() 1.P C P A P B ≤+- （B ）()().P C P A B ≤（C ）()()() 1.P C P A P B ≥+- （D ）()().P C P A B ≥ （ ） （2）设随机变量X 的概率密度为2(2)4(),x f x x +-=-∞<<∞且~(0,1)Y aX b N =+，则在下列各组数中应取（A ）1/2, 1.a b == （B ）2,a b ==（C ）1/2,1a b ==-. （D ）2,a b == （ ） （3）设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布分别为 010.40.6X P 010.40.6Y P则有（A ）()0.P X Y == （B ）()0.5.P X Y ==（C ）()0.52.P X Y == （D ）() 1.P X Y == （ ） （4）对任意随机变量X ，若EX 存在，则[()]E E EX 等于（A ）0. （B ）.X （C ）.EX （D ）3().EX （ ） （5）设12,,,n x x x 为正态总体(,4)N μ的一个样本，x 表示样本均值，则μ的 置信度为1α-的置信区间为（A ）/2/2(x u x u αα-+ （B ）1/2/2(x u x u αα--+（C ）(x u x uαα-+（D ）/2/2(x u x u αα-+ （ ）三、（8分）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都 是一等品，求丢失的也是一等品的概率。

概率论及数理统计一、填空题1．已知()()(),5.0,4.0,3.0===B A P B P A P 则()=B A B P （ 0.25 ） 2．已知在10只产品中有2只次品，在其中任取一只，作不放回抽样，则两只都是正品的概率为（ 28/45 ）3．理论上，泊松分布是作为二项分布的极限引入的。

即当n →0，p →∞，且np →λ（常数 ）时，有关系式lim ∞→n C mnpmmn q-=e m mλλ-!成立。

4．三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4,则三人中至少有一人能将此密码译出的概率是（ 0.6 ）5．若事件A,B 为任意事件,则P(A+B)=P(A)+P(B)-P( AB ). 6．写出随机变量X 服从参数为λ（正常数）的泊松分布的概率公式{}==k X P （!k e k λλ-）7．当随机变量R.V. ξ~N （μ,σ2）时，有P{a<ξ≤b}=（F （b ）-F （a ））8．写出样本k 阶中心矩公式=k B （ ()∑==-ni k i k X X n 1,3,2,1 ）9．已知()()(),21,31,41===B A P A B P A P 则()=B A P （ 1/3 ） 10．设第一只盒子中装有3只蓝球，2只绿球，2只白球；第二只盒子中装有2只蓝球，3只绿球，4只白球。

独立地分别在两只盒子中各取一只球，则至少有一只蓝球的概率是（ 5/9 ）11．已知在10只产品中有2只次品，在其中任取一只，作不放回抽样，则正品次品各有一只的概率为（ 16/45 ） 二、判断题1、 对立事件一定是互斥事件。

（ ）2、 明天下雨是随机事件。

（ ）3、 若事件A 和事件B 相互独立，则P(AB)=P(A)+P(B). ( )4、 设随机变量X 的概率密度为a, 则E （X ＋1）＝1 。

（）5、 设随机变量X 及Y 相互独立，且D(X)=1,D(Y)=2,则D （X+Y ）＝3 。

概率论与数理统计期末考试试题及解答概率论与数理统计》期末试题一、填空题（每小题3分，共15分）1.设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)+P(B)=0.5，则A,B至少有一个不发生的概率为0.9.解：由题意可得P(AB+AB)=0.3，即0.3=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.5-2P(AB)，所以P(AB)=0.1，P(A∪B)=P(AB)=1-P(AB)=0.9.2.设随机变量X服从泊松分布，且P(X≤1)=4P(X=2)，则P(X=3)=1-e^(-6)。

解：由P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=e^(-λ)+λe^(-λ)，P(X=2)=λ^2e^(-λ)/2，且P(X≤1)=4P(X=2)，可得λ=1，因此P(X=3)=λ^3e^(-λ)/3!=1-e^(-6)。

3.设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y=X在区间(0,4)内的概率密度为f_Y(y)=1/2，0<y<2；f_Y(y)=1，2<y<4；其它为0.解：设Y的分布函数为F_Y(y)，X的分布函数为F_X(x)，密度为f_X(x)，则F_Y(y)=P(Y≤y)=P(X≤y)=P(-y≤X≤y)=F_X(y)-F_X(-y)。

因为X~U(0,2)，所以F_X(-y)=0，即F_Y(y)=F_X(y)。

又因为f_Y(y)=F_Y'(y)=f_X(y)，所以f_Y(y)=1/2，0<y<2；f_Y(y)=1，2<y<4；其它为0.另解：在(0,2)上函数y=x严格单调，反函数为h(y)=y，所以f_Y(y)=f_X(y)/h'(y)=f_X(y)/2y=1/2，0<y<2；f_Y(y)=f_X(y)/h'(y)=f_X(y)/2y=1，2<y<4；其它为0.4.设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，P(X>1)=e^(-2)，则λ=2，P{min(X,Y)≤1}=1-e^(-2)。