例P109布朗二次曲线指数平滑法预测

指数平滑预测原文地址：指数平滑预测 1指数平滑预测 1指数平滑法是布朗(Robert G..Brown)所提出，布朗(Robert G..Brown)认为时间序列的态势具有稳定性或规则性，所以时间序列可被合理地顺势推延；他认为最近的过去态势，在某种程度上会持续到最近的未来，所以将较大的权数放在最近的资料。

指数平滑法是产量预测中的一种常用方法。

它也被用来预测短期和中期的经济发展趋势。

在所有的预测方法中，指数平滑法是应用最广泛的一种。

简单的整期平均法，就是把时间序列的所有过去的数据都均等地利用起来；移动平均法没有考虑更长期的数据，在加权移动平均法中给予近期数据更多的权重；指数平滑法兼容了整期平均和移动平均的优点，并没有抛弃过去的数据，只是给出了逐渐减弱的影响程度，即随着与数据的距离，给出了逐渐收敛到零的权重。

也就是说，指数平滑法是在移动平均法的基础上发展起来的一种时间序列分析预测方法。

它通过计算指数平滑值，配合一定的时间序列预测模型，预测现象的未来。

原理是任意一期的指数平滑值都是本期实际观测值和上一期指数平滑值的加权平均值。

指数平滑预测 2指数平滑预测 2是：式中，•St--时间t的平滑值；•yt--时间t的实际值；•St− 1--时间t-1的平滑值；•a--平滑常数，其取值范围为[0,1]；由该公式可知：1.St是yt和St− 1的加权算数平均数，随着a取值的大小变化，决定yt和St− 1对St的影响程度，当a 取1时，St= yt；当a取0时，St= St− 1。

2.St具有逐期追溯性质，可探源至St−t+ 1为止，包括全部数据。

其过程中，平滑常数以指数形式递减，故称之为指数平滑法。

指数平滑常数取值至关重要。

平滑常数决定了平滑水平以及对预测值与实际结果之间差异的响应速度。

平滑常数a越接近于1，远期实际值对本期平滑值影响程度的下降越迅速；平滑常数a越接近于 0，远期实际值对本期平滑值影响程度的下降越缓慢。

指数平滑法试讲讲义试讲讲义课程名称：市场调查与预测主要内容：指数平滑法主讲⼈：周娟10.2 指数平滑法学习⽬标：1.指数平滑法定义及公式2.⼀次指数平滑3.⼆次指数平滑4.指数平滑系数α的确定5.对指数平滑法进⾏评价⼀、指数平滑法1.1 产⽣背景：指数平滑由布朗提出、他认为时间序列的态势具有稳定性或规则性，所以时间序列可被合理地顺势推延；他认为最近的过去态势，在某种程度上会持续的未来，所以将较⼤的权数放在最近的资料。

指数平滑法是⽣产预测中常⽤的⼀种⽅法。

也⽤于中短期经济发展趋势预测，所有预测⽅法中，指数平滑是⽤得最多的⼀种。

1.2 定义：指数平滑法是⼀种特殊的加权平均法，其加权特点是对离预测期较近的原始数据给予较⼤权数，⽽较远的原始数据则给予较⼩权数。

权数由近⾄远按指数规律递减。

可分为⼀次指数平滑法、⼆次指数平滑法及更⾼次指数平滑法。

⼀、指数平滑法1.3 基本公式：1)1(--+=t t t S Y S αα其中，t S —时间t 的平滑值； t Y —时间t 的实际值； 1-t S —时间t-1的平滑值；α—平滑系数或加权系数，其取值范围为（0,1）其原理：任⼀期的指数平滑值都是本期实际观察值与前⼀期指数平滑值的加权平均。

⼆、⼀次指数平滑法 2.1 概念⼀次指数平滑法适⽤于⽔平波动模式数据的短期预测。

其预测公式为：''1)1(t t t y y y αα-+=+式中，'1+t y --t+1期的预测值，即本期（t 期）的平滑值t S ；t y --t 期的实际值；'t y --t 期的预测值，即上期的平滑值1-t S 。

2.2 初始值S 0的确定⼀次指数平滑法的初始值不能由公式计算得出，那么初始值S 0只能采⽤下⾯两种⽅法确定：1、在数据较多时，以Y 1代替S 0，即选择第⼀期的实际值作为其预测值；2、以前⼏期原始数据的平均值作为初始值。

2.3 ⼀次指数平滑法的应⽤13解：为了分析加权系数的不同取值的特点，分别取α=0.1，α=0.3，α=0.5计算⼀次指数平滑值，并设初始值为最早的三个数据的平均值，以α=0.5的⼀次指数平滑值计算为例，有0.1133210=++=y y y S 5.10115.0105.0)1()1(01)1(1=?+?=-+=S y S αα8.125.105.0155.0)1()1(12)1(2=?+?=-+=S y S αα以此类推，分别求得5.0,3.0,1.0===ααα时的⼀次指数平滑值数列，计算结果如表1所⽰。

⎪⎩S 0 = x 1,⎪ t t 式中， S t 表示第 t 时点的一次指数平滑值， a 称为平滑系数。

递推公式（3-6）中，初 始值 S 0 常用时间序列的首项 x 1 （适用于历史数据个数较多，如 50 个历史数据及以上）， 均值作为初始值 S 0 ，这些选择都有一定的经验性和主观性。

容易看出，由于 0 < a < 1， x i 的系数 a (1 - a ) 随着 i 的增加而递减。

注意到这些系数 t 1∑ a (1 - a )i -1+ (1 - a )t= a 于是，递推公式（3-6）中的 S t 就是样本值 x 1, x 2 ,L , x t 的一个加权平均。

当用递推公式（3-6）来进行预测时，我们将用 S t 作为第 t + 1 时点的预测值。

从上面的讨论可以看到， 若平滑系数 a = 0 ，此时有 S t = S t -1 = L = S 0(= x 1 ) ，这表明确定 S 0 (= x 1 ) 后，每个3.2 时间序列的指数平滑预测法指数平滑法（Expinential smoothing method ）的思想也是对时间序列进行修匀以消 除不规则和随机的扰动。

该方法是建立在如下基础上的加权平均法：即认为时间序列中的 近期数据对未来值的影响比早期数据对未来值得影响更大。

于是通过对时间序列的数据进 行加权处理，越是近期的数据，其权数越大；反之，权数就越小。

这样就将数据修匀了， 并反映出时间序列中对预测时点值的影响程度。

根据修匀的要求，可以有一次、二次甚至 三次指数平滑。

3.3.1 一次指数平滑法1．一次指数平滑法的计算公式及平滑系数 a 的讨论设时间序列为 x 1, x 2 x 3,L , x N ，一次指数平滑数列的递推公式为：⎧S 1 = ax t + (1 - a )S 1-1, ⎨ 10 < a < 1,1 ≤ t ≤ N（3-6）11如果历史数据个数较少，如在 15 或 20 个数据及以下时，可以选用最初几期历-史数据的平 1下面讨论平滑系数 a 。

二次指数平滑法的应用庄赟二次指数平滑法也称布朗指数平滑法。

二次指数平滑值记为)2(tS ，它是对一次指数平滑值)1(t S 计算的平滑值，即)2(1)1()2()1(--+=t ttS αS αS （1）二次指数平滑法主要用于变参数线性趋势时间序列的预测。

变参数线性趋势预测模型的表达式为：Tb a y t t T t +=+^（2）（2）式的预测模型与一般的线性趋势模型的区别在于，式中t a 、t b 是参数变量，随着时间自变量t 的变化而变化，即直线在各时期的截距和斜率是可能不同的； T 是从t 期开始的预测期数。

运用二次指数平滑法求解（2）式可得参数变量的表达式，即(1)(2)(1)(2)2()1t t t t t ta S Sb S S αα⎧=-⎪⎨=-⎪-⎩ （3）根据（3）求出各期参数变量的取值，代入（2）式，则具有无限期的预测能力，当仅作一期预测时，有^(1)(2)(1)(2)1(1)(2)2()12111t t t tttt tty a b S S S S S S ααααα+=+=-+---=--- （4）表1中第③栏是我国1978-2002年全社会客运量的资料,据期绘制散点图，见图1，可以看出，各年的客运量资料基本呈线性趋势，但在几个不同的时期直线有不同的斜率，因此考虑用变参数线性趋势模型进行预测。

具体步骤如下：第一步，计算一次指数平滑值。

取6.0=α， 2539931)1(0)2(0===y S S ，根据一次指数平滑公式)1(1)1()1(--+=t t t S αy αS ，可计算各期的一次指数平滑预测值： 1978年：2539932539934.02539936.04.06.0)1(01)1(1=⨯+⨯=⨯+⨯=S y S1979年：2.2753962539934.02896656.04.06.0)1(12)1(2=⨯+⨯=⨯+⨯=S y S同理可得各年的一次指数平滑预测值，见表1中第④栏。

二次移动平均法一次移动平均法一般只适用于现象没有明显的上升或下降趋势的现象，若时间数列呈直线趋势，则要进行二次移动平均法。

二次移动平均法，就是在一次移动平均的基础上再进行一次移动平均。

建立二次移动平均法直线预测模型：式中：和分别代表第t期的一次移动平均数和二次移动平均数；，N为选择移动平均的时期数。

应用二次移动平均法请注意：1.时间数列发展趋势为直线型；2.在计算以及时，移动平均的项数N应相同，其值的确定方法同一次移动平均; 3) 与不直接用于预测。

指数平滑法指数平滑法是在移动平均法的基础上发展起来的一种趋势分析预测法。

其具体操作方法是以前期的实际值和前期的预测值（或平滑值），经过修匀处理后作为本期预测值。

根据平滑次数不同，指数平滑法分为一次指数平滑法和二次指数平滑法。

一次指数平滑法一次指数平滑公式是由移动平均数的计算公式改进而来的，其基本公式为：式中：为第t期一次指数平滑值；为第t–1期一次指数平滑值；a为平滑系数。

平滑系数a在原数列波动不大时，a取较小值（0.1—0.3），以加重前期预测值的权重；若原数列波动较大时，则a可取较大值（如0.6—0.9）,以加重前期观测值的权重。

实践中可分别用几个不同的a值试算对比，然后选用误差较小的a值。

对于初始值的确定，若资料项数较大（如n大于或等于50）则可把第一期观测值作为初始值使用，因为经过多次平滑推算后，对的影响已经不会很大了，若资料项数n较小（n小于或等于20），此时可用前几期观测值的平均数作为使用。

二次指数平滑法一次指数平滑一般也只能适用于没有明显趋势的现象，若时间数列呈上升或下降的直线趋势变化，则要进行二次指数平滑。

二次指数平滑法是在第一次平滑的基础上再进行一次指数平滑。

因此，二次指数平滑值计算公式为：式中：分别为t期和t–1期的二次指数平滑值；a为平滑系数。

在和已知的条件下，二次指数平滑法的预测模型为：。

指数平滑法实验实验目的：掌握用指数平滑法对时序的平滑过程并进行相关的预测。

实验内容：指数平滑法知识准备：指数平滑法是另一种计算时间序列长期趋势的方法，是加权平均的一种特殊形式。

指数平滑法是布朗(Robert G..Brown)所提出，是在移动平均法基础上发展起来的一种时间序列分析预测法，是最常用的一种预测方法，特别适用于中短期预测。

1、单指数平滑法单指数平滑通常适用于不可预测的向上或向下趋势的预测。

设观测序列,为加权系数，其计算公式如下：(0<a<1)(43)现对（43）式进行递推，则（43）式可写成：(44)（44）式表明是全部历史数据的加权平均，加权系数分别为，,，…；由于加权系数呈指数函数衰减，加权平均又能消除或减弱随机干扰的影响，所以（43）式称为指数平滑。

根据实践经验，a的实际取值范围一般以0.1~0.3之间为宜。

如何进一步确定a的最佳取值，通常要结合理论分析和模型对比的方法来进行。

单指数平滑的预测公式如下：(45)2、双指数平滑双指数平滑是对一次指数平滑的再平滑，当观测数据有清楚的趋势并可能包括未来向上运动预测的信息时采用此法预测。

其表达式如下：(46)其中，(47)(48)其中：0<a<1，是单指数平滑序列，是二次指数平滑序列。

双指数平滑的预测公式如下：另外，由于指数平滑公式是递推计算公式，所以必须确定初始值。

初始值实质上是序列起始点之前所有历史数据的加权平均值，但在实际工作中，由于获得历史数据多少的不同，往往采用经验方法来确定。

因而可以通过在最初预测时，选择较高的值来减少由初始值选择不当所造成的预测偏差，从而使预测模型调整到当前水平。

Holt-Winters法也是指数平滑中的一种，它适用于对具有季节影响的线性增长趋势的序列进行预测。

这种方法计算截距（常数项）、趋势系数（斜率）和季节影响的各个递推值。

其可分为乘法、加法及无季节模型。

3、Holt-Winters乘法模型这种方法适用于序列具有线性趋势和乘法季节变化。

第五章 时间序列的指数平滑预测技术本章重点内容：常数模型的指数平滑法的基本公式与预测方程，初值对预测值的影响及其选择，基本公式的误差校正式，霍尔特指数平滑法，布朗二次指数平滑法，布朗适应性平滑法，各种平滑法之间的关系，比例模型的指数平滑法。

5.1常用模型的指数平滑法5.1.1基本公式与预测方程利用时间序列前t 期的观察值x 1 , x 2 ,…, x t 预测第t ＋1期的值x t ＋1时，设赋予第i 期的权重为w t ＋1－I (i=1,2…t), w 1>w 2 >… >w t ,计算诸观察值的加权平均：并取第t+1期预测值为 这就是所谓加权平均法。

加权平均法的缺点：(1)权重不易确定(2)要记忆的数据太多 (3)计算较繁权重不易确定自动取权重的方法：自当前期向前，各期权重按指数规律下降，即第t 期，第t-1期…的权重依次为由上式看出，为使计算方便，使权数之和等于1。

我们使这一条件当t 趋近∞时成立，即使得各期权重依次为上述办法显然解决了自动选权重的问题，但尚未克服记忆数据多和计算繁两个缺点。

为此，我们考虑t 充分大时的情形，这时得到:将滞后一期拿出：得到即:上式称为指数平滑法的基本公式，这个公式是用递推公式给出的，α叫做平滑常数，0 <α<1，其值可由预测者任意指定。

T t 称为T 的(实际上也是t...t ...t t t x x x W ωωωωωω+++++-+=211121tt W x ˆ=+1)10,0,...(,,2<<>βααβαβα12=+++...αβαβα +-+-+=--221)1()1(t t t t x x x T ααααα...t t t t x )(x )(x T +-+-+=----3221111αααααttt x T T αα=---1)1(1)1(--+=t t t T x T ααx 的)第t 期的指数平滑值。

平滑预测法第一节 平滑预测法概述平滑法所预测的对象具有某种发展规律（模式），而历史资料既包括了这一发展规律也包括随机变动。

因此，要进行预测就必须将随机波动和现象所具有的发展规律区分出来。

通过计算平滑值，可以限制极端值的影响，使数列变得比较平滑，这样就能反映出基本发展规律，根据这种规律即可进行外推预测。

平滑预测法适用于平稳或具有线性趋势的数据序列的预测，若要对具有非线性趋势的数据序列进行平滑法预测，可以先将数据序列平稳化，即利用差分法或利用适当的趋势外推法对数据序列进行处理，利用趋势外推法时，得到的残差作为新的数据序列，再用平滑法对新数据序列进行预测。

平滑预测法可分为： 1、常数模型的移动平均法 2、常数模型指数平滑法3、线性模型的霍尔特指数平滑法4、线性模型的布朗二次指数平滑法5、线性模型的布朗适应性平滑法6、比例模型的缪尔指数平滑法第二节 移动平均法本节讨论的预测模型是：t t R T x += 或 t t TR x =但假定t R 存在正自相关对于时间数列，项之间距离越近，相关性越强，所以在预测中应更加重视近期数据，根据这种思想我们采用移动平均法：首先取定一个自然数N,预测某一期的值时，只利用最近N 期的数据取平均，而把更糟的数据弃之不用，N 称为其步长。

设给定时间序列观察值)(,,21N t x x x t ≥ ，移动平均法的基本公式： Nx x x M tN t N t t +++=+-+- 21预测方程：t t M x=+1ˆ M t 称为第t 期的步长为N 的移动平均值， 1ˆ+t x为第t+1期的预测值。

移动平均法就是以第t 期的移动平均值作为第t+1的预测值。

用移动平均法对时间序列进行预测时，步长N 原则上可以任意指定。

采用不同的N 一般说来预测结果是不一致的。

如果N 取得大，求移动平均值时使用的数据就多，于是随即成分抵消得较好，对数据的平滑作用强；但当数据由一个水平变到另一个水平时，预测值要过一段较长的时间才能跟上，即预测值对数据变化的敏感性较差。

2次指数平滑预测#include "stdafx.h"#include "iostream"#include "fstream"#include "math.h"using namespace std;int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]){floata,a1,b1,a2,b2,c2,y0[100],y1[100],y2[100],y3[100],s1[100],s2[100], s3[100];int i,m,n;i=m=n=0;a=a1=b1=a2=b2=c2=0;y0[100]=y1[100]=y2[100]=y3[100]=s1[100]=s2[100]=0;cout<<"平滑预测"<<endl;< p="">cout<<"请输入历史数据个数:"<<endl;< p="">cin>>m;cout<<m<<endl;< p="">if(m<1)exit(1);cout<<"请按顺序输入历史数据:"<<endl;< p="">for(i=0;i<m;){< p="">cin>>y0[i];i++;}cout<<"请输入要预测的参数个数:"<<endl;< p="">cin>>n;cout<<n<<endl;< p="">if(n==0 || n>100){cout<<"参数个数错误";exit(1);}cout<<"请输入a值:"<<endl;< p=""> cin>>a;ofstream output("c:\\output.csv");s1[0]=y0[0];s2[0]=s1[0];s3[0]=s2[0];for(i=1;i<m;){< p="">//一次平滑：St(1)=a∑(1-a)jyt-js1[i]=a*y0[i]+(1-a)*s1[i-1];//二次平滑1：St(1)=ayt+(1-a)St-1(1) //二次平滑2：St(2)=aSt(1)+(1-a)St-1(2) s2[i]=a*s1[i]+(1-a)*s2[i-1];i++;}y1[0]=s1[m-1];s1[m]=a*y0[m-1]+(1-a)*y1[0];//一次预测for(i=1;i<n;){< p="">y1[i]=s1[m+i-1];s1[m+i]=a*y1[i-1]+(1-a)*s1[m+i-1];i++;}//二次预测//at=2st(1)-st(2)//bt=(st(1)-st(2))a/(1-a)//预测值：yt+T=at+btTfor(i=0;i<n;){< p="">s2[m+i]=a*s1[m+i]+(1-a)*s2[m+i-1];a1=2*s1[m+i-1]-s2[m+i-1];b1=a/(1-a)*(s1[m+i-1]-s2[m+i-1]);y2[i]=a1+b1*(i+1);i++;}//三次预测//at=3St(1)-3St(2)+St(3)//bt=a/(2(1-a)^2)((6-5a)St(1)-2(5-4a)St(2)+(4-3a)St(3))//ct=a^2/(2(1-a)^2)(St(1)-2St(2)+St(3))//预测值：yt+T=at+btT+ctT2for(i=0;i<n;){< p="">s3[m+i]=a*s2[m+i]+(1-a)*s3[m+i-1];a2=3*s1[m+i-1]-3*s2[m+i-1]+s3[m+i-1];b2=a/(2*(1-a)*(1-a))*((6-5*a)*s1[m+i-1]-2*(5-4*a)*s2[m+i-1]+(4-3*a)*s3[m+i-1]);c2=a*a/(2*(1-a)*(1-a))*(s1[m+i-1]-2*s2[m+i-1]+s3[m+i-1]);y3[i]=a2+b2*(i+1)+c2*(i+1)*(i+1);i++;}if(output.is_open()){cout<<"变量a值："<<a<<endl;< p="">output<<"变量a值："<<a<<endl;< p="">cout<<"一次平滑值: ,";output<<"一次平滑值: ,";for(i=0;i<m+n;){< p="">cout<<s1[i]<<',';< p="">output<<s1[i]<<',';< p="">i++;}cout<<"一次预测值: ,";output<<" 一次预测值: ,";for(i=0;i<n;){< p="">cout<<y1[i]<<',';< p="">output<<y1[i]<<',';< p="">i++;}cout<<endl;< p="">output<<endl;< p="">cout<<"二次平滑值: ,";output<<"二次平滑值: ,";for(i=0;i<m+n;){< p="">cout<<s2[i]<<',';< p="">output<<s2[i]<<',';< p="">i++;}cout<<"二次预测值:,";output<<" 二次预测值: ,";for(i=0;i<n;){< p="">cout<<y2[i]<<',';< p="">output<<y2[i]<<',';< p="">i++;}cout<<endl;< p="">output<<endl;< p="">}output.close();cout<<"预测成功，参数输出到C:\Users\zexian-tang\Desktop\output.csv文件中.可以用office excel或者文本编辑器打开"<<endl;< p=""> system("PAUSE");return 0;}</endl;<></endl;<></endl;<></y2[i]<<',';<></y2[i]<<',';<></n;){<></s2[i]<<',';<></s2[i]<<',';<></m+n;){<></endl;<></endl;<></y1[i]<<',';<></y1[i]<<',';<></n;){<></s1[i]<<',';<></s1[i]<<',';<></m+n;){<></a<<endl;<></a<<endl;<></n;){<></n;){<></n;){<></m;){<></endl;<></n<<endl;<></endl;<></m;){<></endl;<></m<<endl;<> </endl;<></endl;<>。

java⼆次指数平滑法预测未来的值指数平滑法是⼀种特殊的加权平均法，加权的特点是对离预测值较近的历史数据给予较⼤的权数，对离预测期较远的历史数据给予较⼩的权数，权数由近到远按指数规律递减，所以，这种预测⽅法被称为指数平滑法。

它可分为⼀次指数平滑法、⼆次指数平滑法及更⾼次指数平滑法。

⼀次指数平滑的局限性：像⼀次移动平均法⼀样，⼀次指数平滑法只适⽤于⽔平型历史数据的预测，⽽不适⽤于斜坡型线性趋势历史数据的预测。

⽽⼆次指数平滑法就是以斜坡型为模型来预测未来数据。

除了⼆次指数平滑法外，还有更⾼次的多次指数平滑法，由于它们在实际预测中并不常⽤，因此忽略。

所以就以⼆次指数平滑法为例： /*** ⼆次指数平滑法求预测值* @param list 基础数据集合* @param year 未来第⼏期* @param modulus 平滑系数* @return预测值*/private static Double getExpect(List<Double> list, int year, Double modulus ) {if (list.size() < 10 || modulus <= 0 || modulus >= 1) {return null;}Double modulusLeft = 1 - modulus;Double lastIndex = list.get(0);Double lastSecIndex = list.get(0);for (Double data :list) {lastIndex = modulus * data + modulusLeft * lastIndex;lastSecIndex = modulus * lastIndex + modulusLeft * lastSecIndex;}Double a = 2 * lastIndex - lastSecIndex;Double b = (modulus / modulusLeft) * (lastIndex - lastSecIndex);return a + b * year;}测试代码：public static void main(String[] args) {List<Double> list = new LinkedList<Double>();list.add(253993d);list.add(289665d);list.add(342785d);list.add(384763d);list.add(428964d);list.add(470614d);list.add(530217d);list.add(620206d);list.add(688212d);list.add(746422d);list.add(809592d);list.add(791376d);list.add(772682d);list.add(806048d);list.add(860855d);list.add(996633d);list.add(1092883d);list.add(1172596d);list.add(1245356d);list.add(1326094d);list.add(1378717d);list.add(1394413d);list.add(1478573d);list.add(1534122d);list.add(1608150d);Double value = getExpect(list, 1, 0.6);System.out.println(value);}。