2014年高考椭圆综合题做题技巧与方法总结

高考椭圆大题知识点总结椭圆是高中数学中的一个重要内容，也是高考中常出现的考点。

椭圆是平面几何中的一种特殊曲线，它具有许多有趣的性质和特点。

在解题过程中，我们应该了解椭圆的定义、性质和相关公式，从而灵活运用椭圆的知识来解答高考试题。

一、椭圆的定义和基本性质椭圆是指平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。

这两个定点称为焦点，两焦点间的距离称为焦距。

椭圆的形状由焦距和离心率决定，离心率小于1时，椭圆比较扁，离心率等于1时，椭圆退化为圆。

椭圆的主要性质有：对称性、切点和法线、焦点和直线的性质等。

在解题时，我们需要根据具体情况运用这些性质，简化计算步骤，提高解题效率。

二、椭圆的标准方程和一般方程椭圆的标准方程可以表示为：(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(h，k)为椭圆的中心坐标，a为椭圆的长半轴长度，b为椭圆的短半轴长度。

当椭圆的中心在原点时，方程可以简化为x²/a²+y²/b²=1。

而一般方程则可以表示为：Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0。

在解题时，我们常常需要将椭圆的方程进行转化，使其符合标准方程的形式，以便于进行求解和分析。

三、椭圆的焦点和直线的关系椭圆的焦点是反映椭圆性质的重要元素之一。

根据焦点和椭圆的关系，我们可以推导出椭圆的两个焦点与椭圆上的点的连线的交点分别位于椭圆的法线和切线上的性质。

根据焦点和直线的关系，我们可以解决一些有关焦点和直线的题目，如：已知一个点在椭圆上，连接该点和椭圆的两个焦点，然后以该点为圆心，过两个焦点的直线为半径画圆，证明所得的圆和椭圆相切等。

四、椭圆的参数方程和极坐标方程除了直角坐标系表示椭圆外，我们还可以使用参数方程和极坐标方程来描述椭圆。

在解题时，椭圆的参数方程和极坐标方程常常能够简化计算步骤，提高解题效率。

椭圆的参数方程可以表示为：x = a*cosθ，y = b*sinθ。

椭圆常见题型与典型方法归纳椭圆是平面内与两个定点距离之和等于常数的点的轨迹。

这两个定点被称为椭圆的焦点，椭圆的焦距是两个焦点之间的距离。

另外，椭圆也可以被定义为平面内一个点到一个定直线距离与到一个定点距离之比等于常数的轨迹。

这个定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，这个常数是椭圆的离心率。

需要注意的是，当两个定点之间的距离等于常数时，椭圆的轨迹是线段，而当两个定点之间的距离小于常数时，椭圆的轨迹不存在。

椭圆的标准方程有两种形式，一种是焦点在x轴上的形式，另一种是焦点在y轴上的形式。

这些方程可以用来确定椭圆的形状和位置。

需要注意的是，椭圆的焦点位置可以通过方程中分母的大小来判断。

如果分母中x的系数大于y的系数，那么焦点在y轴上，反之则在x轴上。

如果椭圆过两个定点，但焦点位置不确定，可以设椭圆方程为mx+ny=1，其中m和n都是正数。

在解题时，需要牢记椭圆的几何性质。

例如，如果一个点到椭圆的左焦点的距离是到右焦点距离的两倍，那么这个点的横坐标可以通过解方程得到。

又例如，如果一个点在椭圆上，那么它到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

1.椭圆的基本性质椭圆方程为x2/a2 + y2/b2 = 1 (a>b>0)，其中a和b分别为长轴和短轴长。

椭圆的中心在原点(0,0)处，长轴与x轴平行。

椭圆的顶点分别为(a,0)。

(-a,0)。

(0,b)。

(0,-b)，离心率为e=c/a，其中c为焦点到中心的距离，焦距为2c。

椭圆的准线方程为y=±(b/a)x，通径方程为y=kx或x=h，其中k和h为常数。

椭圆关于x轴和y轴对称，且具有中心对称性。

椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴长，即PF1 + PF2 = 2a。

椭圆上任意一点到两焦点的距离之差等于该点到准线的距离，即PF1 - PF2 = 2b。

椭圆上点的横坐标的范围为-x ≤ x ≤ x，纵坐标的范围为-y ≤ y ≤ y。

2.典型练1) 题目描述：给定椭圆方程x2/a2 + y2/b2 = 1，已知长轴位于x轴上，长轴长为8，短轴位于y轴上，短轴长为6，焦点在x轴上，焦点坐标为(5,0)和(-5,0)，求离心率e、左顶点坐标、下顶点坐标和椭圆上点的横坐标的范围、纵坐标的范围以及x+y的取值范围。

高中数学椭圆知识题型总结，高二升高三的你们复习必备
高中数学：椭圆知识题型总结，高二升高三的你们复习必备！-
或许，这就是数学的魅力吧，只需一二定理，三四公式，就可以制出成百上千道不同的题目。

今天来说说高中数学重要章节——圆锥曲线椭圆相关知识点。

椭圆题在高中数学中占据比较重要的位置，占的分数也比较多。

分析历年高考题可知，选择题、填空题、大题中都有椭圆相关的题型。

所以一定要系统的掌握知识，对各类题型和基本解题方法有一定的了解。

关于椭圆的复习指导：
1、熟悉椭圆的定义及其几何性质，能求出椭圆的标准方程。

2、掌握常见的几种数学思想方法—函数与方程、数形结合、转化与回归等。

体会解析几何的本质问题（用代数的方法解决几何问题）
为了帮助同学们更好地复习，边肖为大家整理了高中数学椭圆中的几种题型汇总。

高二高三的孩子就趁这个假期好好复习。

相信对你的数学会有帮助。

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第十六讲 椭圆、双曲线与抛物线曲线与方程曲线与方程求曲线与方程椭圆椭圆的定义与几何图形椭圆的几何性质椭圆的标准方程双曲线双曲线的定义与几何图形双曲线的几何性质双曲线的标准方程抛物线抛物线的定义与几何图形抛物线的几何性质抛物线的标准方程1．(椭圆的标准方程)(2013·广东高考)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1D.x 24＋y 23＝1 【解析】 右焦点为F (1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x 轴上；c ＝1.又离心率为c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，故选D.【答案】 D2．(双曲线的性质)(2013·福建高考)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A.25B.45C.255D.455【解析】 双曲线的渐近线为直线y ＝±12x ，即x ±2y ＝0，顶点为(±2,0)，∴所求距离为d ＝|±2±0|5＝255.【答案】 C3．(抛物线定义)(2013·江西高考)已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |∶|MN |＝( )A ．2∶ 5B ．1∶2C ．1∶ 5D ．1∶3【解析】 如图所示，由抛物线定义知|MF |＝|MH |，所以|MF |∶|MN |＝|MH |∶|MN |.由于△MHN ∽△FOA ，则|MH ||HN |＝|OF ||OA |＝12，则|MH |∶|MN |＝1∶5， 即|MF |∶|MN |＝1∶ 5. 【答案】 C4．(椭圆的定义与性质)(2013·辽宁高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率e ＝__________. 【解析】 设椭圆的右焦点为F 1，因为直线过原点，所以|AF |＝|BF 1|＝6，|BO |＝|AO |.在△ABF 中，设|BF |＝x ，由余弦定理得36＝100＋x 2－2×10x ×45，解得x ＝8，即|BF |＝8.所以∠BF A ＝90°，所以△ABF 是直角三角形，所以2a ＝6＋8＝14，即a ＝7.又因为在Rt △ABF 中，|BO |＝|AO |，所以|OF |＝12|AB |＝5，即c ＝5.所以e ＝57.【答案】 575．(圆锥曲线的应用)(2013·天津高考改编)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝________.【解析】 由已知得c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，解得ba ＝3，即渐近线方程为y ＝±3x .而抛物线准线方程为x ＝－p 2，于是A ⎝⎛⎭⎫－p 2，－3p 2，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，3p 2，从而△AOB 的面积为12·3p ·p 2＝3，可得p ＝2.【答案】 2(2013·课标全国卷Ⅰ)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P 、圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.【思路点拨】 (1)第(1)问，注意到圆M 与圆N 的圆心关于原点对称，暗示曲线C 可解是椭圆或双曲线．依据两圆的位置关系的几何性质建立关系式，利用定义求曲线C 的方程．(2)在第(2)问中，先求圆P 的方程，然后利用直线l 与圆相切，求出直线l 的方程，进而求弦AB 的长．【自主解答】 由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切， 所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．(2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2，所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝2 3.若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则|QP ||QM |＝R r 1，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y＝k (x ＋4)．由l 与圆M 相切得|3k |1＋k2＝1，解得k ＝±24. 当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 24＋y 23＝1，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝－4±627，所以|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝187.当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝23或|AB |＝187.1．(1)本题易出现两点错误：①利用定义求曲线C ，不能剔除点(－2,0)；②求弦AB 的长，忽视斜率的讨论，遗漏|AB |＝2 3.(2)求解第(2)问的关键有两点：①求圆P 的方程；②利用坐标法，解方程组，灵活利用弦长公式．2．求椭圆的标准方程，常用定义和待定系数法．确定椭圆的标准方程，需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a ，b 的值．运用待定系数法时，常结合椭圆性质、已知条件，列关于a ，b ，c 的方程．变式训练1 (1)(2013·辽宁高考)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．(2)(2013·陕西高考)已知动点M (x ，y )到直线l ：x ＝4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍．①求动点M 的轨迹C 的方程；②过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点，若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率． 【解】 (1)由双曲线方程知，b ＝4，a ＝3，c ＝5，则虚轴长为8，则|PQ |＝16.由左焦点F (－5,0)，且A (5,0)恰为右焦点，知线段PQ 过双曲线的右焦点，则P ，Q 都在双曲线的右支上．由双曲线的定义可知|PF |－|P A |＝2a ，|QF |－|QA |＝2a ，两式相加得，|PF |＋|QF |－(|P A |＋|QA |)＝4a ，则|PF |＋|QF |＝4a ＋|PQ |＝4×3＋16＝28，故△PQF 的周长为28＋16＝44.【答案】 44图a(2)①如图a ，设点M 到直线l 的距离为d ，根据题意，d ＝2|MN |，由此得|4－x | ＝2(x －1)2＋y 2， 化简得x 24＋y 23＝1，∴动点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.②由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如图b.图b将y ＝kx ＋3代入x 24＋y 23＝1中，有(3＋4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0.其中Δ＝(24k )2－4×24(3＋4k 2)＝96(2k 2－3)>0， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－24k3＋4k 2，①x 1x 2＝243＋4k 2.② 又A 是PB 的中点，故x 2＝2x 1.③ 将③代入①②，得x 1＝－8k 3＋4k 2，x 21＝123＋4k 2， 可得⎝⎛⎭⎪⎫－8k 3＋4k 22＝123＋4k 2，且k 2>32，解得k ＝－32或k ＝32，∴直线m 的斜率为－32或32.(1)(2013·课标全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x(2)抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.【思路点拨】 (1)由离心率的概念得a ，c 之间的关系，转化为a ，b 之间的关系，从而求出其渐近线方程．(2)注意到△ABF 为等边三角形和双曲线的对称性，用p 表示点A (或B )的坐标，代入双曲线方程，求p 的值．【自主解答】 (1)由e ＝52，得c a ＝52，∴c ＝52a ，b ＝c 2－a 2＝12a . 而x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ba x ， ∴所求渐近线方程为y ＝±12x .(2)由于x 2＝2py (p >0)的准线为y ＝－p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－p 2，x 2－y 2＝3，解得准线与双曲线x 2－y 2＝3的交点为A ⎝⎛⎭⎫－3＋14p 2，－p 2，B ⎝⎛⎭⎫3＋14p 2，－p 2，所以|AB |＝23＋14p 2.由△ABF 为等边三角形，得32|AB |＝p ，解得p ＝6. 【答案】 (1)C (2)61．第(2)题充分注意到双曲线与△ABF 的对称性，数形结合，巧求点B 的坐标，优化了解题过程．2．求椭圆、双曲线的离心率：一是利用定义、方程、性质求出a ，c ，进而求e ；二是运用条件构建关系a ，c 的齐次方程，变形求e .变式训练2 (2013·湖南高考)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点．P是C 上一点．若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．【解析】 由双曲线定义，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ， ∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，由余弦定理，得 |PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|cos 30°， 化简得3a 2－23ac ＋c 2＝0，则3a －c ＝0. ∴双曲线的离心率e ＝ca ＝ 3.【答案】3在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )(a ＞b ＞0)为动点 ，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的左、右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形．(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM →＝－2，求点M 的轨迹方程．【思路点拨】 ①在△F 1PF 2中，可知|PF 2|＝|F 1F 2|，从而得关于a ，c 的方程，求离心率e .②设动点M (x ，y )，进而表示向量AM →，BM →，依条件AM →·BM →＝－2，求得轨迹方程．【自主解答】 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)．由题意，可得|PF 2|＝|F 1F 2|，即(a －c )2＋b 2＝2c ，整理得2(c a )2＋c a －1＝0，得c a ＝－1(舍去)或c a ＝12.所以e ＝12.(2)由(1)知，a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c ).消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c .得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，或⎩⎨⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A (85c ，335c )，B (0，－3c )．设点M 的坐标为(x ，y )，则AM →＝(x －85c ，y －335c )，BM →＝(x ，y ＋3c )．由y ＝3(x －c )，得c ＝x －33y . 于是AM →＝(8315y －35x ，85y －335x )，BM →＝(x ，3x )．由AM →·BM →＝－2，即(8315y －35x )·x ＋(85y －335x )·3x ＝－2，化简得18x 2－163xy －15＝0.将y ＝18x 2－15163x 代入c ＝x －33y ，得c ＝10x 2＋516x＞0，所以x ＞0.因此，点M 的轨迹方程是18x 2－163xy －15＝0(x ＞0)．1．求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线，则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解；否则利用直接法或代入法．2．讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应，要注意字母的取值范围．变式训练3 (2013·辽宁高考)如图5－2－1，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p >0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－12.图5－2－1(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重 合于O 时，中点为O )．【解】 (1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x2，且切线MA的斜率为－12，所以A 点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，14，故切线MA 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋14. 因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上，于是 y 0＝－12(2－2)＋14＝－3－224，①y 0＝－(1－2)22p ＝－3－222p .②由①②得p ＝2.(2)设N (x ，y )，A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 214，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 224，x 1≠x 2，由N 为线段AB 中点知x ＝x 1＋x 22，③ y ＝x 21＋x 228.④切线MA ，MB 的方程为 y ＝x 12(x －x 1)＋x 214，⑤y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为 x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24.因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0，所以x 1x 2＝－x 21＋x 226.⑦由③④⑦得x 2＝43y ，x ≠0.当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 中点N 为O ，坐标满足x 2＝43y .因此AB 中点N 的轨迹方程为x 2＝43y .从近两年的高考看，抛物线的定义、标准方程及几何性质是高考的热点，且常以选择题、填空题的形式出现，属中档题目．有时与圆、向量等综合交汇，考查定点、定(最)值、或开放性问题，以解答题的形式出现，突出数学思想与创新探究能力考查．抛物线中定点问题的求解策略(12分)如图5－2－2，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上．(1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q ，证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．【规范解答】 (1)依题意，|OB |＝83，∠BOy ＝30°， 设B (x ，y )，∠BOx ＝60°，由三角函数定义 x ＝|OB |cos 60°＝43，y ＝|OB |sin 60°＝12，2分因为点B (43，12)在x 2＝2py 上， 所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2. 故抛物线E 的方程为x 2＝4y .4分(2)由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，k l ＝12x 0. ∴直线l ：y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.6分由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q (x 20－42x 0，－1)．设M (0，y 1)，若以|PQ |为直径的圆恒过定点M ，则MP →·MQ →＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立．8分由于MP →＝(x 0，y 0－y 1)，MQ →＝(x 20－42x 0，－1－y 1)，由MP →·MQ →＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0，即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0. (*) 10分由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0， 解之得y 1＝1.故以|PQ |为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)． 12分【阅卷心语】易错提示 (1)不会运用等边三角形及抛物线的对称性而错误表达B 点坐标，导致错求p 值 .(2)不能正确运用导数工具表示切线方程，求出Q 点坐标思维受阻，或表示出P ，Q 点坐标后不能把|PQ |为直径的条件转化为MP →·MQ →＝0恒成立来正确求出定点M 的坐标．防范措施 (1)强化知识间交汇转化训练，对于圆锥曲线的切线问题，应重视导数的工具作用．(2)①充分利用圆的几何性质，重视向量数量积在解决垂直关系中的转化作用；②对于定点的探求：一是由特殊寻求点的坐标，然后证明所求点满足一般性，二是设出含参数的点坐标，利用恒成立直接求解．必须注意，两种方法都要重视方程思想的应用．1．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( ) A.22 B.2 C.322D ．2 2 【解析】 如图所示，由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又|AF |＝3，由抛物线定义知：点A 到准线x ＝－1的距离为3，∴点A 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知点A 的纵坐标y ＝22，∴A (2,22)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．联立直线与抛物线的方程⎩⎨⎧ y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 2. 由图知B ⎝⎛⎭⎫12，－2，∴S △AOB ＝12|OF |·|y A －y B |＝12×1×|22＋2|＝32 2. 【答案】 C2．已知椭圆x 24＋y 29＝1上任一点P ，由点P 向x 轴作垂线PQ ，垂足为Q ，设点M 在PQ 上，且PM →＝2MQ →，点M 的轨迹为C .(1)求曲线C 的方程；(2)过点D (0，－2)作直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设N 是过点⎝⎛⎭⎫0，－417且平行于x 轴的直线上一动点，且满足四边形OANB 为矩形，求直线l 的方程．【解】 (1)设点M (x ，y )∵PM ⊥x 轴，且PM →＝2MQ →，所以点P 的坐标为(x,3y )．又点P 在椭圆x 24＋y 29＝1上，所以x 24＋(3y )29＝1，因此曲线C 的方程是x 24＋y 2＝1. (2)当直线l 的斜率不存在时，显然不满足条件，所以设直线l 的方程为y ＝kx －2，直线l 与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0， 依题意Δ＝(16k )2－48(1＋4k 2)＞0，得k 2＞34.(*) 此时x 1＋x 2＝16k 1＋4k 2，x 1x 2＝121＋4k 2. 又四边形OANB 是矩形，所以OA →·OB →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4＝(1＋k 2)x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4＝0，∴(1＋k 2)·121＋4k 2－2k ·16k 1＋4k 2＋4＝0， 解之得k 2＝4，∴k ＝±2，满足(*)式．设N (x 0，y 0)，由ON →＝OA →＋OB →，得y 0＝y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝16k 21＋4k 2－4＝－417， 从而点N 在直线y ＝－417上，满足题设． 故直线l 的方程为y ＝±2x －2.。

高考椭圆大题知识点公式椭圆是初中数学中的一个重要的几何概念，它也是高考中常见的题型之一。

椭圆的性质和计算方法在高考中一直以来都是考察的重点，掌握了椭圆的知识点和公式，对于解答相关题目有着至关重要的作用。

本文将详细介绍高考椭圆大题的知识点和公式。

1. 椭圆的定义和基本性质椭圆可以用一个特定的平面曲线来描述，它是一个离心率小于1的闭合曲线。

椭圆有两个特殊的焦点和一个长轴和短轴。

在求解椭圆的相关题目时，我们需要了解椭圆的四个基本性质：离心率、焦半径、焦距和准线。

2. 椭圆的方程和标准方程对于给定的椭圆，我们需要根据已知条件求解其方程。

椭圆的标准方程是(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1（a>b>0），其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆的长轴和短轴长度。

3. 椭圆的焦点和准线椭圆的焦点是与椭圆的离心率相关的关键概念。

根据椭圆的标准方程，椭圆的焦点分别位于椭圆的长轴两侧，并与中心坐标的y坐标有一定的关系。

在求解与焦点相关的问题时，我们需要根据给定条件确定焦点的坐标和与焦点相关的长度。

4. 椭圆的参数方程和切线方程椭圆的参数方程是描述椭圆上任意一点的坐标与参数的关系。

根据椭圆的参数方程，我们可以求解椭圆上特定点的坐标，并进一步求解与椭圆相关的问题。

另外，椭圆的切线方程是求解椭圆上某一点的切线斜率和方程的重要手段。

5. 椭圆的面积和周长椭圆的面积和周长是解答椭圆相关题目时常见的考点。

椭圆的面积公式为πab，其中a是椭圆的长轴半径，b是椭圆的短轴半径。

椭圆的周长公式是2π√(a²+b²/2)。

6. 椭圆在平面几何中的应用椭圆不仅仅是一个抽象的数学概念，它在实际生活和工程领域中有着丰富的应用。

椭圆的轨迹和焦点特性在天体运动、建筑设计、电子工程等领域有着广泛的应用。

通过了解椭圆的应用，我们可以更好地理解椭圆的几何性质和相关计算方法。

高考数学椭圆解题方法总结一、设点或直线做题一般都需要设点的坐标或直线方程，其中点或直线的设法有很多种。

其中点可以设为,等，如果是在椭圆上的点，还可以设为。

一般来说，如果题目中只涉及到唯一一个椭圆上的的动点，这个点可以设为。

还要注意的是，很多点的坐标都是设而不求的。

对于一条直线，如果过定点并且不与y轴平行，可以设点斜式,如果不与x轴平行，可以设，如果只是过定点，可以设参数方程，其中α是直线的倾斜角。

一般题目中涉及到唯一动直线时可以设直线的参数方程。

二、转化条件有的时候题目给的条件是不能直接用或直接用起来不方便的，这时候就需要将这些条件转化一下。

对于一道题来说这是至关重要的一步，如果转化得巧，可以极大地降低运算量。

比如点在圆上可以转化为向量点乘得零，三点共线可以转化成两个向量平行，某个角的角平分线是一条水平或竖直直线则这个角的两条边斜率和是零。

有的题目可能不需要转化直接带入条件解题即可，有的题目给的条件可能有多种转化方式，这时候最好先别急着做题，多想几种转化方法，估计一下哪种方法更简单。

三、代数运算转化完条件就剩算数了。

很多题目都要将直线与椭圆联立以便使用一元二次方程的韦达定理，但要注意并不是所有题目都是这样。

有的题目可能需要算弦长，可以用弦长公式，设参数方程时，弦长公式可以简化为解析几何中有时要求面积，如果O是坐标原点，椭圆上两点A、B坐标分别为和，AB与x轴交于D，则(d是点O到AB的距离；第三个公式是我自己推的，教材上没有，解答题慎用)。

解析几何中很多题都有动点或动直线。

如果题目只涉及到一个动点时，可以考虑用参数设点。

若是只涉及一个过定点的动直线，题目中又涉及到求长度面积之类的东西，这时设直线的参数方程会简单一些。

在解析几何中还有一种方法叫点差法，设椭圆上两个点的坐标，将两点在椭圆上的方程相减，整理即可得到这两点的中点的横纵坐标与这两点连线的斜率的关系式。

四、能力要求做解析几何题，首先对人的耐心与信心是一种考验。

椭圆的解题方法和技巧省市褚兰中学海平一、椭圆的定义的应用椭圆的定义是用椭圆上的点到焦点的距离来描述的，因此在解题中凡涉及曲线上的点到焦点的距离时，应先想到用定义求解，常会有事半功倍之效。

例1 的三边、、成等差数列且满足，、两点的坐标分别是、。

求顶点的轨迹。

分析：数列与解析几何相联系，往往构成综合性较大的题目，历来是高考考查的热点之一。

解析：∵、、成等差数列，∴，即，又，∴。

根据椭圆的定义，易得点的轨迹方程为。

又∵，∴，即，∴，∴。

故点的轨迹是椭圆的一半，方程为（）。

又当时，点、、在同一条直线上，不能构成三角形，∴。

∴点的轨迹方程为。

评注：该例是先由条件找到动点所满足的几何关系，寻找出满足椭圆定义的条件，然后确定椭圆的方程。

解题时，易忽略这一条件，因此易漏掉这一限制；由于、、三点构成三角形，故应剔除使、、共线的点。

例2 、椭圆上一点到两焦点、的距离之差为2，试判断的形状。

分析：由椭圆定义知，的和为定值，且二者之差为题设条件，故可求出的两边。

解析：由，解得。

又，故满足。

∴为直角三角形。

评注：由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称作焦点三角形。

利用焦点三角形能有意识地考查定义、三角形正（余）弦定理、角和定理及面积公式能否灵活运用。

二、利用待定系数法确定椭圆的标准方程。

例3、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1(6,1)P ,2(3,2)P ,求椭圆的方程.【解析】设椭圆方程为22mx ny 1+=（m ＞0,n ＞0且m≠n）. ∵椭圆经过1P ，2P 点，∴1P ，2P 点坐标适合椭圆方程， 则①6m+n=1，② 3m+2n=1，①②两式联立，解得m= 19, n= 13.∴所求椭圆方程为22x y 193+=评注：运用待定系数法求椭圆标准方程,即设法建立关于a ，b 的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+ny2=1（m ＞0,n ＞0,m≠n），由题目所给条件求出m ，n 即可. 三、 利用向量解决椭圆问题几何中突出向量的工具作用成为高考命题的新亮点，向量本身具有“数”与“形”的双重身份，常把向量的代数式转化为坐标表示或利用其几何关系求解．()()()22410,14111()()22212||y x M l A B O P OP OA OB N l M P NP +==+例、最值问题设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于、两点，是坐标原点，点满足，点的坐标为，．当绕点旋转时，求：动点的轨迹方程；的最大值与最小值．()()112222221221221212220,1 1.()()1(4)2301424.8414()()()212244l M k l y kx A x y B x y y kx k x kx y x k x x k y y k x x y y k OP OA OB k k =+=+⎧⎪++-=⎨+=⎪⎩⎧+=-⎪⎪+⎨⎪+=⎪+⎩++-=+==++直线过点，当斜率存在时，设其斜率为，则的方程为记，，，，由，得，所以解，：，析则．()()222222222()40.0,0111.16441117||()()3(40.1||6611||.4).2261242P x P x y k x y y AB P x x NP x y y y x NP x x NP +-=≤-≤≤=-+-=-+-=++=-=点的轨迹方程为当时，取得设点的坐标为，，则，消去得当斜率不存在时，的中点为原点，也满足上述方程．所以由点的轨迹方程知，即所以故当时，取得最小值为评注：由向量作为载体的解析几何问题一要利用向量的几何意义，二要熟悉向量的坐标运算．而与椭圆有关的求最值问题则常与求函数的值域相联系． 例5、参数围问题()()()(01)0,1||()12||G ABC A B x M MA MC GM AB R C k l C P Q AP AQ k λλ∆-==∈=已知点是的重心，，，，在轴上有一点，满足，．求点的轨迹方程；若斜率为的直线与点的轨迹交于不同的两点、，且满足，试求的取值()222()()33()(0)3||1(0)3131(0)x yC x y G ABC G GM AB R GM AB xM x M MA MC y x x C y x λλ∆=∈==+=≠+=≠设，，为的重心，则，．因为，所以，而点在轴上，则，．，得整理得．所点的轨迹方析：程为以解()()()222222222211220||.013(13)63(1)0*(6)4(13)3(1)0130**()()2k l C P Q AP AQ k l y kx m x y k x kmx m l km k m k m P x y Q x y ==≠=++=+++-=∆=-+⋅->+->①当时，与椭圆有两个不同的交点、，由椭圆的对称性知②当时，可设的方程为，代入，整理得，，因为直线与椭圆交于不同的两点，所以，即，设，，，，1122212122212000002222()()63(1)1313()231313||11313-13AN P x y Q x y km m x x x x k kx xPQ N x y x km m y kx m k k AP AQ AN PQ mk k k k km k -+=-=+++==-=+=++=⊥++⋅=⋅=-+设，，，，则，，则中点，的坐标为，，又，所以，所以，()()()()2213**121,00,1,11k m k k k -+=<∈-得，代入得，所以．的取值范围得，是综合①②．． 评注：解决参数的取值围问题常用的方法有两种：①不等式(组)求解法：根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式(组)得出参数的取值围；②函数值域求解法：把所讨论的参数表示为有关某个变量的函数，通过讨论函数的值域求参数的变化围．。

椭 圆一、直线与椭圆问题的常规解题方法:1.设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别）2.设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）3.联立方程组；4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）5.根据条件重转化；常有以下类型：①“以弦AB 为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K 是否存在）⇔OA OB ⊥ ⇔121K K •=- ⇔0OA OB •= ⇔ 12120x x y y += ②“点在圆内、圆上、圆外问题”⇔“直角、锐角、钝角问题” ⇔“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ⇔12120x x y y +>>0；③“等角、角平分、角互补问题” ⇔斜率关系（120K K +=或12K K =）； ④“共线问题”（如：AQ QB λ= ⇔数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； （如：A 、O 、B 三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等）； ⑤“点、线对称问题” ⇔坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式 的 合理选择）； 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0.二、基本解题思想：1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无 关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。

4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求 出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、 三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等 式的方法等再解决；6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。

高中数学解椭圆方程的常见方法和注意事项椭圆方程是高中数学中的重要内容，解椭圆方程需要掌握一些常见的方法和注意事项。

本文将介绍几种常见的解椭圆方程的方法，并给出相应的例题进行说明。

一、配方法解椭圆方程配方法是解椭圆方程的一种常用方法，它的基本思想是通过变量代换将椭圆方程转化为标准形式，从而求解出方程的解。

例题一：解方程$x^2-3xy+2y^2=7$解法：首先，我们将方程进行配方，即将$x^2-3xy+2y^2$转化为$(x-y)(x-2y)$的形式。

因此，原方程可写为$(x-y)(x-2y)=7$。

接下来，我们可以尝试令$u=x-y$和$v=x-2y$，则方程可以进一步转化为$uv=7$。

这样，我们就将原方程转化为了一个更简单的形式，可以通过求解$u$和$v$的值来得到方程的解。

假设$u=1$，则$v=7$；假设$u=7$，则$v=1$。

因此，原方程的解为$(x-y,x-2y)=(1,7)$和$(7,1)$。

二、直接求解椭圆方程直接求解椭圆方程是一种简单直接的方法，需要将方程转化为标准形式，然后根据标准形式进行求解。

例题二：解方程$4x^2+9y^2-24x+36y=0$解法：首先，我们将方程进行配方，即将$4x^2-24x$转化为$4(x^2-6x)$，将$9y^2+36y$转化为$9(y^2+4y)$。

然后，我们再将方程进行分组，即$4(x^2-6x)+9(y^2+4y)=0$。

接下来，我们可以将$x^2-6x$转化为$(x-3)^2-9$，将$y^2+4y$转化为$(y+2)^2-4$。

将这些转化代入方程，得到$(x-3)^2-9+9(y+2)^2-36=0$。

整理后，得到$(x-3)^2+9(y+2)^2=45$。

这是一个标准的椭圆方程，可以根据标准形式求解。

通过对方程进行分析，我们可以得到椭圆的中心坐标为$(3,-2)$，长轴长度为$\sqrt{45}$，短轴长度为$\sqrt{5}$。

椭圆知识点总结方法技巧第一部分：椭圆的定义和基本性质1.1 椭圆的定义椭圆的定义可以通过焦点和短轴长轴长度等方法描述。

其中一个重要的定义是通过离心率e这一参数描述。

离心率是焦点与椭圆长轴的交点之间的距离和椭圆长轴的长度的比值。

离心率小于1时为椭圆。

这一定义可以帮助我们快速判断一个曲线是不是椭圆。

1.2 椭圆的性质椭圆具有许多独特的性质。

其中一些重要的性质包括焦点的位置、椭圆的三角形特性、椭圆的离心率和焦距。

这些性质可以用于解决椭圆相关的问题和应用。

第二部分：椭圆的常见问题解法2.1 椭圆的参数方程椭圆的参数方程描述了椭圆上任意一点的坐标。

它可以通过角度、离心率等参数来描述椭圆上的点的位置。

参数方程可以帮助我们计算椭圆上任意一点的坐标，解决相关问题。

2.2 椭圆的焦点坐标椭圆的焦点坐标是解决椭圆相关问题的重要参数。

它可以帮助我们确定焦点的位置、椭圆的形状、大小等。

通过计算椭圆的焦点坐标，我们可以更好地理解和应用椭圆的性质。

2.3 椭圆的方程椭圆的方程描述了椭圆的形状和位置。

通过椭圆的方程，我们可以计算椭圆的焦点、长轴、短轴等参数，解决相关问题。

第三部分：椭圆在实际问题中的应用椭圆在生活和工作中有着广泛的应用。

例如，椭圆可以用来描述行星的轨道、地球的椭球形等。

在工程领域，椭圆的形状和性质被广泛应用于桥梁、隧道、建筑等结构的设计和施工中。

在地理学中，椭圆被用来描述地图的形状、比例尺等参数。

椭圆的应用不仅限于理论研究，更广泛地渗透到人类的生活和工作中。

总结综上所述，椭圆是一个重要的几何学曲线，具有许多独特的性质和应用。

通过了解椭圆的定义、性质和解法，我们可以更好地理解和应用椭圆。

椭圆在生活和工作中有着广泛的应用，对促进人类社会的发展和进步起着重要的作用。

希望通过本文的介绍，读者能更好地理解和应用椭圆，为自己的学习和工作带来更多的帮助。

椭圆问题的类型与解法椭圆问题是近几年高考的热点内容之一。

可以这样毫不夸张地说，高考试卷中，每卷必有椭圆问题。

从题型上看，可能是选择题或填空题，也可能是大题，难度为中档或高档。

纵观近几年高考试卷，归结起来椭圆问题主要包括：①求椭圆的标准方程；②椭圆定义与几何性质的运用；③求椭圆离心率的值或取值范围；④与椭圆相关的最值问题；⑤直线与椭圆位置关系问题等几种类型。

各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。

那么在实际解答椭圆问题时到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确的解答问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。

【典例1】解答下列问题： D 1、如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 相交于点P ，则点P的轨迹是（ ）A 椭圆B 双曲线C 抛物线D 圆【解析】【知识点】①椭圆的定义与性质；②圆的定义与性质；③求点的轨迹方程的基本方法。

【解题思路】设点P （x ，y ），运用椭圆的定义与性质，结合问题条件可知点P 的轨迹是一个椭圆，从而得出选项。

【详细解答】设点P （x ，y ），纸片折叠后M 与F 重合，折痕为CD ，CD 与OM 相交于点P ，∴|PM|=|PF|，⇒|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|OM|是圆O 的半径为一个定值，∴点P 的轨迹是以2c=|OF|，2a=|OM|的椭圆，⇒A 正确，∴选A 。

2、根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）焦点在x 轴上，且过点（2,0）和点（0,1）； （2）焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P （0，-10），P 到它较近一个焦点的距离等于2； （3）已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；（4）已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A （3,0），并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程。

椭圆的解题方法和技巧椭圆的解题方法和技巧安徽省宿州市褚兰中学海平一、椭圆的定义的应用椭圆的定义是用椭圆上的点到焦点的距离来描述的，因此在解题中凡涉及曲线上的点到焦点的距离时，应先想到用定义求解，常会有事半功倍之效。

例1的三边、、成等差数列且满足、。

求顶点的轨迹。

，、两点的坐标分别是分析：数列与解析几何相联系，往往构成综合性较大的题目，历来是高考考查的热点之一。

解析：∵、、成等差数列，∴ 又，∴。

，即，根据椭圆的定义，易得点的轨迹方程为又∵ ∴，∴，即，∴，。

（故点的轨迹是椭圆的一半，方程为）。

又当。

时，点、、在同一条直线上，不能构成三角形，∴ ∴点的轨迹方程为。

评注：该例是先由条件找到动点所满足的几何关系，寻找出满足椭圆定义的条件，然后确定椭圆的方程。

解题时，易忽略因此易漏掉这一条件，这一限制；由于、、三点构成三角形，故应剔。

除使、、共线的点例2 、椭圆断的形状。

上一点到两焦点、的距离之差为2，试判分析：由椭圆定义知，件，故可求出解析：由又∴，故满足为直角三角形。

的两边。

的和为定值，且二者之差为题设条，解得。

评注：由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称作焦点三角形。

利用焦点三角形能有意识地考查定义、三角形正（余）弦定理、内角和定理及面积公式能否灵活运用。

二、利用待定系数法确定椭圆的标准方程。

例3、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1,P2,求椭圆的方程.【解析】设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0,n＞0且m≠n）. ∵椭圆经过P1，P2点，∴P1，P2点坐标适合椭圆方程，则①6m+n=1，② 3m+2n=1，①②两式联立，解得m=x2y2∴所求椭圆方程为+=19311, n= . 93评注：运用待定系数法求椭圆标准方程,即设法建立关于a，b的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+ny2=1（m＞0,n＞0,m≠n），由题目所给条件求出m，n即可.三、利用向量解决椭圆问题几何中突出向量的工具作用成为高考命题的新亮点，向量本身具有“数”与“形”的双重身份，常把向量的代数式转化为坐标表示或利用其几何关系求解．例4、最值问题y2设椭圆方程为x+=1，过点M(0,1)的直线l交椭圆于A、B两点，O是坐标原点，41 11点P满足OP=(OA+OB)，点N的坐标为()．当l绕点M旋转时，222求：P的轨迹方程；(1)动点(2)|NP|的最大值与最小值．2解析：(1)直线l过点M(0,1)，当斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y=kx+1.记A(x1，y1)，B(x2，y2)，⎧y=kx+1⎪由⎨2y2，得(4+k2)x2+2kx-3=0，=1⎪x+⎩42k⎧x+x=-⎪⎪124+k2所以⎨.⎪y+y=812⎪4+k2⎩ 1 x+xy+y2-k4则OP=(OA+OB)=(121)=()．222224+k4+k设点P的坐标为(x，y)，则，消去k得4x2+y2-y=0.当斜率不存在时，AB的中点为原点(0,0)，也满足上述方程．所以点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0.111，即-≤x≤.164421117所以|NP|=(x-)2+(y-)2=-3(x+)2+.22612 1故当x=-时，|NP|取得6 11当x=时，|NP|取得最小值为.44(2)由点P的轨迹方程知x2≤评注：由向量作为载体的解析几何问题一要利用向量的几何意义，二要熟悉向量的坐标运算．而与椭圆有关的求最值问题则常与求函数的值域相联系．例5、参数范围问题已知点G是∆ABC的重心，A(0，-1)，B(0,1)，在x轴上有一点M，满足|MA=MC|，GM=λAB(λ∈R)．(1)求点C的轨迹方程；(2)若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同的两点P、Q，且满足|AP=AQ|，试求k 的取值xy解析：(1)设C(x，y)，G为∆ABC的重心，则G()．因为GM=λAB(λ∈R)，所以GM AB，x而点M在x轴上，则M(，．0)3 =整理得+y2=1(x≠0)．3x2所以点C的轨迹方程为+y2=1(x≠0)3由椭圆的对称性知|AP=AQ|.(2)①当k=0时，l与椭圆C有两个不同的交点P、Q，②当k≠0时，可设l的方程为y=kx+m，x2代入+y2=1，整理得，3(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0，(*)因为直线l与椭圆交于不同的两点，所以∆=(6km)2-4(1+3k2)⋅3(m2-1)>0，即1+3k2-m2>0，(**)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，6km3(m2-1)则x1+x2=-，x1x2=，221+3k1+3kx+x则PQ中点N(x0，y0)的坐标为x0=12=23kmm-，y=kx+m=， 00221+3k1+3k 又|AP=AQ|，所以AN⊥PQ，+12所以k⋅kAN=k⋅=-1，3km-1+3k21+3k2得m=，代入(**)得k22所以k∈(-1,0) (0,1)．．综合①②得，k的取值范围是(-1,1)．评注：解决参数的取值范围问题常用的方法有两种：①不等式(组)求解法：根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式(组)得出参数的取值范围；②函数值域求解法：把所讨论的参数表示为有关某个变量的函数，通过讨论函数的值域求参数的变化范围．。

椭圆的解题思路和基本题型题型1.若椭圆1222=+ky kx （k>0）的离心率为13，求实数k 的值为结论：_______________________________________________________ 题型2..过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若01230F PF ∠=，则椭圆的离心率为方法一：方法二：结论：_______________________________题型3. 已知椭圆5x 2+9y 2=45，椭圆的右焦点为F ，(1)求过点F 且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.(2)并求以A(1,1)为中点的椭圆弦所在的直线方程.结论：___________________________________________椭圆中的常用结论:__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________练习：（2015广东）1.椭圆221(m 0)25x y m+=>的左焦点为1F （-4,0），求m 值2.（2014全国高考）已知1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b +=>>2F 的直线交椭圆于A,B 两点，若1AF B V 周长为3.过椭圆221164x y +=内一点(2,1)M 引一条弦,使弦被点M 平分,求这条弦所在的直线方程.并求其弦长4.若椭圆22221x y a b+=的焦点在x 轴上，过点（1，12）作圆22+=1x y 的切线，切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是5.（2014理科全国卷2）20. （本小题满分12分）设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N.（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2， 且15MN F N =，求a,b .6.（2015理科全国卷2）20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：)0(9222>=+m m y x ，直线l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点B A ,，线段AB 的中点为M .(Ⅰ)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若l 过点），（m m 3,延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能 否平行四边行？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由.7.（2014全国卷1理）20. (本小题满分12分) 已知点A （0，-2），椭圆E 22221(0)x y a b a b+=>>的离心F 是椭圆的焦点，直线AF O 为坐标原点.(Ⅰ)求E 的方程； （Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.（Ⅱ）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线l ：2y kx =-，设()()1122,,,P x y Q x y将2y kx =-代入2214x y +=，得()221416120k x kx +-+=，当216(43)0k ∆=->，即234k >时，1,2x =从而12214PQ x k =-=+ 又点O 到直线PQ 的距离d =∆OPQ 的面积12OPQ S d PQ ∆== t =，则0t >，244144OPQ t S t t t∆==≤++， 8.（2015全国卷）（本小题满分12分）设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N.（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b .。

高考椭圆选填题中常考的8个神奇结论【名师综述】在高考中，圆锥曲线肯定要出一至两道小题，难度在中等偏上，所以，为了节省时间，记住一些重要的结论，到时候就可以直接用了！下面小数老师给大家带来8条出题率最高的结论，一定要记住哦;【典例剖析】 例题1. 椭圆＝1上存在n 个不同的点P 1，P 2，…，P n ，椭圆的右焦点为F ．数列{|P n F |}是公差大于的等差数列，则n 的最大值是（ ） A ．16B ．15C ．14D ．13【分析】（|P n F |）min ≥|a ﹣c |＝，（|P n F |）max ≤a +c ＝3，|P n F |＝|P 1F |+（n ﹣1）d ．再由数列{|P n F |}是公差大于的等差数列，可求出n 的最大值． 【解答】解：∵（|P n F |）min ≥|a ﹣c |＝，（|P n F |）max ≤a +c ＝3，||P n F |＝|P 1F |+（n ﹣1）d∵数列{|P n F |}是公差d 大于的等差数列，∴d ＝＞，解得n ＜10+1，则n 的最大值为15 故选：B ．例题2.已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．解法一：基本解题法【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2＝2，y1+y2＝﹣2，利用斜率计算公式可得＝＝．于是得到，化为a2＝2b2，再利用c＝3＝，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x 1+x 2＝2，y 1+y 2＝﹣2，＝＝．∴，化为a 2＝2b 2，又c ＝3＝，解得a 2＝18，b 2＝9．∴椭圆E 的方程为．故选：D ．解法二：结论解题法 【典例剖析】 例题3. 椭圆C ：＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2的斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】由题意求A1、A2的坐标，设出点P的坐标，代入求斜率，进而求PA1斜率的取值范围．【解答】解：由椭圆的标准方程可知，左右顶点分别为A1（﹣2，0）、A2（2，0），设点P（a，b）（a≠±2），则＝1…①，＝，＝；则＝＝，将①式代入得＝﹣，∵∈[﹣2，﹣1]，∴∈．故选：D．解法二：结论解题法【典例剖析】例题4.已知P是椭圆+＝1上的点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若＝，则△F1PF2的面积为（）A．3B．2C．D．【分析】先根据椭圆的方程求得c，进而求得|F1F2|，设F1P＝m，F2P＝n，再根据条件求出∠F1PF2＝60°，然后利用余弦定理可求得mn的值，je利用三角形面积公式求解．【解答】解：由题意可得：a＝5，b＝3，所以c＝4，即F1F2＝2c＝8．设F1P＝m，F2P＝n，所以由椭圆的定义可得：m+n＝10…①．因为，所以由数量积的公式可得：cos＜＞＝，所以．在△F1PF2中∠F1PF2＝60°，所以由余弦定理可得：64＝m2+n2﹣2mn cos60°…②，由①②可得：mn＝12，所以．故选：A．解法二：结论解题法【典例剖析】例题5. 已知椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，若椭圆上存在点P 使得∠F 1PF 2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】当动点P 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个焦点的张角∠F 1PF 2渐渐增大，当且仅当P 点位于短轴端点P 0处时，张角∠F 1PF 2达到最大值，由此可得结论．【解答】解：如图，当动点P 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个焦点的张角∠F 1PF 2渐渐增大，当且仅当P 点位于短轴端点P 0处时，张角∠F 1PF 2达到最大值．由此可得：∵椭圆上存在点P 使得∠F 1PF 2是钝角，∴a 2﹣c 2＜c 2，可得a 2＜2c 2， ∴e ＞，∵0＜e ＜1， ∴＜e ＜1．故选：B ．解法二：结论解题法【典例剖析】例题6. 已知圆的方程为x 2+y 2＝1，则经过圆上一点M （x 0，y 0）的切线方程为x 0•x +y 0•y ＝1，类比上述性质，可以得到椭圆x 2+4y 2＝8上经过点的切线方程为； ．【分析】已知圆的方程为x 2+y 2＝1，则经过圆上一点M （x 0，y 0）的切线方程为x 0•x +y 0•y ＝1，类比上述性质，可以得到：椭圆mx 2+ny 2＝c （m ，n ，c 同号，且m ≠n ）经过椭圆上一点M （x 0，y 0）的切线方程为：．【解答】解：已知圆的方程为x 2+y 2＝1，则经过圆上一点M （x 0，y 0）的切线方程为x 0•x +y 0•y ＝1，类比上述性质，可以得到：椭圆mx 2+ny 2＝c （m ，n ，c 同号，且m ≠n ）经过椭圆上一点M （x 0，y 0）的切线方程为：故椭圆x 2+4y 2＝8上经过点的切线方程为：2x ﹣4y ＝8，即；，故答案为：．【典例剖析】例题7. 已知两定点A （﹣1，0），B （1，0），若直线l 上存在点M ，使得|MA |+|MB |＝3，则称直线l 为“M 型直线”，给出下列直线：①x ＝2；②y ＝x +3；③y ＝﹣2x ﹣1；④y ＝1；⑤y ＝2x +3．其中是“M 型直线”的条数为（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】点M的轨迹方程是，把①，②，③，④，⑤分别和联立方程组，如果方程组有解，则这条直线就是“M型直线”．【解答】解：由题意可知，点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，其方程是，①把x＝2代入，无解，∴x＝2不是“M型直线”；②把y＝x+3代入，无解，∴y＝x+3不是“M型直线”；③把y＝﹣2x﹣1代入，有解，∴y＝﹣2x﹣1是“M型直线”；④把y＝1代入，有解，∴y＝1是“M型直线”；⑤y＝2x+3代入，有解，∴y＝2x+3是“M型直线”．故选：C．解法二：结论解题法数学思想 高中数学【高考椭圆选填题中常考的8个神奇结论】【典例剖析】例题8.过点(0,2)P 的直线l 交椭圆22:142x y E +=于,M N 两点，且OM ON ⊥，则直线l 的方程为 ；20y -+=或20y +-=，则有OA OB ⊥，第１１页，共１１页。

2014年高考椭圆综合题做题技巧与方法总结2014年高考椭圆综合题做题技巧与方法总结知识点梳理： 1. 椭圆定义：第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数2a(2a?|F2F2|)的动点P的轨迹叫椭圆,其中两个定点F1、F2叫椭圆的焦点. 当PF1?PF2?2a?F1F2时, P的轨迹为椭圆;; 当PF1?PF2?2a?F1F2时, P 的轨迹不存在; 当PF1?PF2?2a?F1F2时, P的轨迹为以F1、F2为端点的线段椭圆的第二定义:平面内到定点F与定直线l(定点F不在定直线l上)的距离之比是常数e(0?e?1)的点的轨迹为椭圆. 2.椭圆的方程与几何性质: y2x2x2y2标准方程??1(a?b?0) ??1(a?b?0)a2b2a2b2 性质参数关系焦点焦距范围顶点对称性离心率a2?b2?c2 (c,0),(?c,0)(0,c),(0,?c) 2c |x|?a,|y|?b (?a,0),(a,0),(0,?b),(0,b) |y|?a,|x|?b (0,?a),(0,a),(?b,0),(b,0) 关于x轴、y轴和原点对称ce??(0,1) a准线a2x?? ca2y??c 考点1 椭圆定义及标准方程题型1:椭圆定义的运用[例 1 ] 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是A．4a B．2(a－c) C．2(a+c) D．以上答案均有可能[解析]按小球的运行路径分三种情况:(1)A?C?A,此时小球经过的路程为2(a－c); (2)A?B?D?B?A, 此时小球经过的路程为2(a+c); (3)A?P?B?Q?A此时小球经过的路程为4a,故选D 总结：考虑小球的运行路径要全面练习2的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A、B3两点，则△ABF2的周长为[解析]C. 长半轴a=3，△ABF2的周长为4a=12 C A O y P D B x Q 1.短轴长为5，离心率e?x2y2??1上的一点，M,N分别为圆(x?3)2?y2?1和圆2.已知P 为椭圆2516(x?3)2?y2?4上的点，则PM?PN的最小值为A．5 B．7 C ．13D．15 |PC|?|PD|?10，PM?PN的最[解析]B. 两圆心C、D恰为椭圆的焦点，?小值为10-1-2=7 题型 2 求椭圆的标准方程[例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为42－4，求此椭圆方程. 【解题思路】将题中所给条件用关于参数a,b,c的式子“描述”出来x2y2x2y2[解析]设椭圆的方程为2?2?1或2?2?1(a?b?0)，abbab?c??则?a?c?4(2?1)，?a2?b2?c2?x2y2x2y2?1或??1. 解之得：a?42，b=c＝4.则所求的椭圆的方程为?32161632总结：准确把握图形特征，正确转化出参数a,b,c的数量关系．［警示］易漏焦点在y轴上的情况．练习： 3. 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________. x2y22[解析](0,1). 椭圆方程化为+=1. 焦点在y轴上，则>2，即k22kk又k>0，∴0 4.已知方程x2cos??y2sin??1,??(0,?),讨论方程表示的曲线的形状?[解析]当??(0,)时，sin??cos?，方程表示焦点在y轴上的椭圆，4?当??时，sin??cos?，方程表示圆心在原点的圆，4??当??(,)时，sin??cos?，方程表示焦点在x轴上的椭圆425. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，求这个椭圆方程. 2??a?c?3x2yx2y2?a?23??[解析] ?，?b?3，所求方程为+=1或+=1. 129129??a?2c?c?3 考点2 椭圆的几何性质题型1:求椭圆的离心率[例 3 ] 在△ABC 中，?A?300,|AB|?2,S?ABC?3．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e?．【解题思路】条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率[解析] S?ABC?1|AB|?|AC|sinA?3，2?|AC|?23，|BC|?|AB|2?|AC|2?2|AB|?|AC|cosA?2e?|AB|23?1 ??|AC|?|BC|23?22总结：离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定只要列出a、b、c 的齐次关系式，就能求出离心率“焦点三角形”应给予足够关注练习6.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为1532 A. B. C. D. 2422[解析]选 B x2y2?1的离心7.已知m,n,m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆?mn率为?2n?2m?n?m?2x2y22?22?1的离心率为[解析]?n?mn??，椭圆?mn2?n?4?mn?0?题型2:椭圆的其他几何性质的运用x2y2?1,求x2?y2?x的最大值与最小值[例4 ] 已知实数x,y满足?42【解题思路】把x2?y2?x看作x 的函数1x2y2?1得y2?2?x2, [解析] ?242?2?12x?0??2?x?2 2113?x2?y2?x?x2?x?2?(x?1)2?,x?[?2,2] 2223当x?1时,x2?y2?x取得最小值,当x??2时,x2?y2?x取得最大值6 2练习x2y29.已知点A,B是椭圆2?2?1上两点,且AO??BO,则?= mn [解析] AO??BO知点A,O,B共线,因椭圆关于原点对称,????1 x2y210.如图，把椭圆??1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭2516圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点，F是椭圆的一个焦点则________________PF?P?P12F?PF34F?P5F?P6F?P7F?［解析］椭圆的对称性知：P1F?P7F?P2F?P6F?P3F?P5F?2a?35 ．考点3 椭圆的最值问题x2y2??1上的点到直线l:x?y?9?0的距离的最小值为[例 5 ]椭圆169___________．【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数[解析]在椭圆上任取一点P,设P(4cos?,3sin?). 那么点P到直线l的距离为：|4cos??3sin??12|12?12?2|5sin(???)?9|?22. 2总结：也可以直接设点P(x,y)，用x表示y后，把动点到直线的距离表示为x的函数，关键是要具有“函数思想” 练习：x2y2?1的内接矩形的面积的最大值为11.椭圆?169[解析]设内接矩形的一个顶点为(4cos?,3sin?)，矩形的面积S?48sin?cos??24sin2??24 x2y212. P是椭圆2?2?1上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，求|PF1|?|PF2|的ab最大值与最小值。