初中几何反证法专题

例4
求证：两条直线相交只有一个交点。 已知：如图两条相交直线a、b。 求证：a与b只有一个交点。
证明：假设a与b不止一个交点，不 妨假设有两个交点A和A’。 因为两点确定一条直线，即经 过点A和A’的直线有且只有一条，这与 与已知两条直线矛盾,假设不成立。 所以两条直线相交只有一个交点。
a
●
A，
A
一、复习引入
A
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b, 如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为 什么？
解析： 由∠C=90°可知是直角三角 形，根据勾股定理可知 a2 +b2 ＝c2 .
b
c
C
a
B
二、探究
若将上面的条件改为“在 △ABC中，AB=c，BC=a， AC=b,∠C≠90°”，请问结论a2 +b2 ≠ c2 成立吗？请说明理由。
A
P C
在一元二次方程 2 ax bx c 中， a,b,c均为奇数时，方程无实数解。
0
2用反证法证明若a3用反证法证明如果一个三角形没有两个相等的角那么这个三角形不是等腰三角形的第一步a不是实数a小于或等于2a大于或等于2没有两个一个也没有两直线相交假设ab假设这个三角形是等腰三角形1已知
反证法的一般步骤: 假设命 题结论 反面成 立 推理 得出 矛盾
假设不成立 即所证命题 成立
与定理，定义， 公理矛盾 与已知条件矛盾
P l1 l2
四。巩固新知
1、试说出下列命题的反面： （1）a是实数。 a不是实数 （2)a大于2。a小于或等于２ 没有两个 a大于或等于２ （3）a小于2。 （4）至少有 2个 （5）最多有一个 一个也没有 （6）两条直线平行。 两直线相交 2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是 假设a=b。 3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么 这个三角形不是等腰三角形”的第一步 假设这个三角形是等腰三角形 。

反证法几何练习题初二反证法是一种重要的数学证明方法，在几何学中也有广泛应用。

初二学生在学习几何知识的过程中，掌握和运用反证法可以帮助他们更好地理解几何概念和定理。

本文将介绍一些适合初二学生的反证法几何练习题，并解答它们。

1. 问题：证明如果一个三角形的三个内角之和不是180度，那么这个三角形一定不是一个普通的三角形。

解答：假设存在一个三角形ABC，其三个内角之和不是180度。

我们要证明这个三角形不是一个普通的三角形。

首先，假设这个三角形是普通的三角形。

根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和必定是180度。

而现在我们的假设是三角形ABC的三个内角之和不是180度，所以我们的假设与事实相矛盾。

因此，我们可以得出结论：如果一个三角形的三个内角之和不是180度，则这个三角形不是个普通的三角形。

2. 问题：证明在任何直角三角形中，斜边的长度一定大于任意一条直角边的长度。

解答：假设存在一个直角三角形ABC，其斜边的长度不大于任意一条直角边的长度。

我们要证明这个假设是错误的。

首先，假设斜边AC的长度不大于直角边AB的长度。

根据勾股定理，斜边AC的长度的平方等于直角边AB的长度的平方加上直角边BC的长度的平方，即AC² = AB² + BC²。

由于斜边AC的长度不大于直角边AB的长度，所以AC²不大于AB²。

另一方面，根据直角边BC的长度不为0，我们可以得知BC²大于0。

因此，根据AC² = AB² + BC²，我们可以得出结论AC²小于AB²，这与我们的假设相矛盾。

因此，我们可以得出结论：在任何直角三角形中，斜边的长度一定大于任意一条直角边的长度。

通过以上两个例子，我们可以看到反证法在几何证明中的重要性和应用。

初二学生可以通过解决这些反证法几何练习题，提高他们的逻辑思维和数学证明能力。

希望本文可以对初二学生在几何学习中应用反证法有所帮助。

数学反证法经典例题一、题目：假设“所有整数都是偶数”成立，则下列结论正确的是？A. 1是奇数B. 2是奇数C. 3是偶数D. 存在奇数（答案）C（注：在假设下，所有整数包括奇数也应被视为偶数，但此假设本身是错误的，此题考察反证法思维）二、题目：若声称“所有质数都是大于2的偶数”，则根据这一错误假设，下列哪个数不应被视为质数？A. 2B. 3C. 5D. 7（答案）B（注：在假设下，只有大于2的偶数被视为质数，但实际上3是质数且为奇数，此题同样考察反证法及质数定义）三、题目：假设“所有三角形的内角和不等于180度”，则以下哪个三角形的内角和在此假设下不可能成立？A. 等边三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 任意三角形（答案）D（注：根据几何学基本定理，任意三角形的内角和总是180度，此假设错误，用于考察反证法）四、题目：若有人认为“所有正整数的倒数都小于1”，则下列哪个数的倒数不符合这一错误假设？A. 1B. 2C. 3D. 4（答案）A（注：1的倒数是1，不小于1，此题考察反证法及对倒数概念的理解）五、题目：假设“所有平行线都会相交”，则根据这一错误假设，在平面几何中不可能存在的是？A. 两条平行线B. 两条相交线C. 一条直线和一个点D. 一个三角形（答案）A（注：平行线定义为不相交的直线，此假设与平行线定义相悖，考察反证法及平行线概念）六、题目：若声称“所有实数的平方都是正数”，则下列哪个数的平方不符合这一错误假设？A. 1B. -1C. 0.5D. -0.5（答案）B和D（注：负数和0的平方不是正数，但此题为单选题形式，更严谨的答案是指出存在多个不符合，若必须单选，可选B或D中的任意一个作为代表，此题考察反证法及实数平方性质）七、题目：假设“所有自然数的因数都只有1和它本身”，则根据这一错误假设，下列哪个数不符合这一条件？A. 1B. 2C. 3D. 4（答案）D（注：4除了1和4本身外，还有2作为因数，此假设实际上描述了质数的性质，但4不是质数，考察反证法及质数定义）八、题目：若有人认为“所有圆的周长与其直径的比值都不等于π”，则以下哪个圆的性质在此假设下不成立？A. 圆是闭合曲线B. 圆的对称性C. 圆的面积公式D. 圆的周长与直径之比是常数（答案）D（注：根据圆的定义，其周长与直径之比是π，此假设错误，考察反证法及对圆的基本性质的理解）。

初中数学竞赛辅导资料（初二18）反证法甲内容提要1. 反证法是一种间接的证明方法。

它的根据是原命题和逆否命题是等价命题，当一个命题不易直接证明时，釆取证明它的逆否命题。

2. 一个命题和它的逆否命题是等价命题，可表示为：A →B A B →⇔ 例如 原命题：对顶角相等 (真命题)逆否命题：不相等的角不可能是对顶角 (真命题)又如 原命题：同位角相等，两直线平行 (真命题)逆否命题：两直线不平行，它们的同位角必不相等 (真命题)3. 用反证法证明命题，一般有三个步骤：① 反设 假设命题的结论不成立（即假设命题结论的反面成立）② 归谬 推出矛盾（和已知或学过的定义、定理、公理相矛盾）③ 结论 从而得出命题结论正确例如： 求证两直线平行。

用反证法证明时① 假设这两直线不平行；② 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③从而肯定，非平行不可。

乙例题例1两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两直线平行已知：如图∠1＝∠2 A 1 B 求证：AB ∥CD 证明：设AB 与CD 不平行 C 2 D 那么它们必相交，设交点为M D这时，∠1是△GHM 的外角 A 1 M B ∴∠1＞∠2 G这与已知条件相矛盾 2 ∴AB 与CD 不平行的假设不能成立 H∴AB ∥CD C例2.求证两条直线相交只有一个交点证明：假设两条直线相交有两个交点，那么这两条直线都经过相同的两个点，这与“经过两点有且只有一条直线”的直线公理相矛盾，所以假设不能成立，因此两条直线相交只有一个交点。

（从以上两例看出，证明中的三个步骤，最关键的是第二步——推出矛盾。

但有的题目，第一步“反设”也要认真对待）。

例3.已知：m 2是3的倍数，求证：m 也是3的倍数证明：设m 不是3的倍数，那么有两种情况：m=3k+1或m= 3k+2 (k 是整数)当 m=3k+1时， m 2＝（3k+1）2＝9k 2+6k+1=3(3k 2+2k)+1当 m=3k+2时， m 2＝（3k+2）2＝9k 2＋12k+4=3(3k 2+4k+1)+1即不论哪一种，都推出m 2不是3的倍数，这和已知条件相矛盾，所以假设不能成立。

第六章 反证法在立体几何中的应用在立体几何中哪些命题适合应用反证法，我们进行了一些归纳，下面以实例来说明。

一、证明诸直线共面例题：求证：过一点和一条直线垂直的所有直线都在同一平面内。

已知：一点P 与一条直线l ，且a 、b 、c.......n 都垂直于l.求证：a 、b 、c.......n 在同一平面内。

证明：⎩⎨⎧⊥⊥=⋂bl a l P b a , α确定的平面b a l ,⊥⇒； 假设、确定的平面又面ααn a l n l a ,l ,pn ⊥⇒⎩⎨⎧⊥⊥⊄； 这样过一点有两个平面与直线l 垂直，与有且只有一个矛盾，那么α⊂pn ，故命题得证。

二、证明诸点共面例题：已知空间四点A 、B 、C 、D 满足2π=∠=∠=∠=∠DAB CDA BCD ABC ,求证：A 、B 、C 、D 共面。

证明：抓住四个角都是直角这一特征，容易联想到勾股定理进行比较，从二推出矛盾。

假设A 、B 、D α∈， C α∉，/C 是C 在α内的射影，连/C D,D C CD AD D C C C ADCD /// ⇒⊥⇒⊥⊥α ⑴同理B C CB / ⇒ ⑵D ABC D C B A ADAB AB B C AD D C ////,,,,,⇒∈⊥⊥⊥α且是矩形， 所以22/2//2BD D C BC D BC =+⇒=∠π⑶已知2222BD CD BC BCD =+⇒=∠π⑷ 由⑴⑵有 2/2/22B C D C CB CD ++由⑶⑷有 2/2/22B C D C CB CD +=+ ⇒矛盾，则C 一定在α内，即A 、B 、C 、D 共面。

三、证明两条直线异面例题1：已知两个不同平面βα、相交于直线l ，经过直线l 上两点A 和B 分别在α内直线 作AC ，β内作直线BD;求证：AC 、BD 是异面直线。

证明：假设 AC 、BD 共面，则 AC 、BD 所在平面βα点，即和过点，即和过A BC B AC 那么，βα、重合与已知矛盾；所以 AC 、BD 是异面直线。

1.下列哪个命题适合用反证法证明？A.两直线平行，同位角相等。

B.若a=b，则a2=b2。

C.三角形中至少有一个角不大于60°。

（答案）D.全等三角形的对应边相等。

2.使用反证法证明“√2是无理数”时，应先假设什么？A.√2是有理数。

（答案）B.√2是无理数。

C.√2是整数。

D.√2不是整数。

3.下列哪个步骤不是反证法的一般步骤？A.假设命题的结论不成立。

B.从假设出发，经过推理得出矛盾。

C.肯定假设正确，从而肯定原命题成立。

（答案）D.得出原命题成立的结论。

4.用反证法证明“三角形的内角和为180°”时，应假设什么？A.三角形的内角和不为180°。

（答案）B.三角形的内角和为180°。

C.三角形的外角和为360°。

D.三角形的内角和大于180°。

5.下列哪个命题不能用反证法证明？A.相邻的两个角不互补。

B.至少有一个角大于或等于60°的三角形存在。

（答案）C.两个连续整数的乘积不是完全平方数。

D.在三角形中，至少有一个角不大于60°。

6.使用反证法证明命题时，如果推出了与哪个条件矛盾，则说明假设错误？A.已知条件B.命题的结论C.已知条件、定义、定理或公理等（答案）D.假设的条件7.下列哪个选项不是反证法中的“归谬”步骤？A.导出与假设相矛盾的结论。

B.导出与已知条件相矛盾的结论。

（答案）C.导出与定义、定理或公理等相矛盾的结论。

D.导出与临时假设相矛盾的结论。

8.用反证法证明“正方形的对角线不相等”是错误的命题时，应先假设什么？A.正方形的对角线相等。

（答案）B.正方形的对角线不相等。

C.正方形的四条边相等。

D.正方形的对角线互相垂直。

9.下列哪个命题适合用反证法证明其不存在性？A.存在一个三角形，其内角和为181°。

（答案）B.所有三角形的内角和都为180°。

C.三角形的外角和为360°。

“反证法”应用例析反证法是一种间接证题方法。

证题时，首先假设结论不成立，然后以此为出发点，通过正确的逻辑推理，推导出与已知条件、定义、公理或定理等相矛盾的结果，从而肯定假设错误，得出结论正确。

下面举例加以说明，供同学们参考。

一、证明与三角形有关的问题例题1、求证：一个三角形中不能有两个角是直角。

分析：应首先据题意画出一个三角形草图，并写出已知、求证，然后按照反证法的步骤进行推理即可。

已知：△ABC。

求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角。

证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90º，则∠A+∠B+∠C=90º+90º+∠C＞180º，这与三角形的内角和定理相矛盾，所以假设∠A=∠B=90º不成立，因此，一个三角形中不能有两个角是直角。

二、证明与一元二次方程有关的问题例题2、已知a＞2，b＞2，请判断关于x的方程x2-(a+b)x+ab=0与x2-abx+(a+b)=0有没有公共根；并说明理由。

分析：可用反证法，先假设两个方程有公共根，然后推导出与已知相矛盾。

解：这两个方程没有公共根。

理由如下：假设所给的这两个方程有公共根x0,根据题意，得x02-(a+b)x0+ab=0①x02-abx0+(a+b)=0②②-①得：(x0+1) (a+b-ab)=0。

因为：a＞2，b＞2，所以a+b≠ab。

这样有，x0=-1。

将x0=-1代入到方程②中，得：1+ a+b+ab=0,显然这是不可能的。

故假设两个方程存在着公共根x0不成立。

因此，已知的两个方程没有公共根。

评注：应用反证法解题应首先掌握基本的解题步骤，其次熟练有关图形和代数等的基础知识，这些都是不可或缺的。

应认真体会、总结，并配合强化训练等加以融会贯通。

结论的可验证性
反证法的结论必须是可验证的，不能出现无法验证或违背事实的情 况。
结论的普遍性
如果反证法的结论是针对某一特定情况，那么这个结论必须具有普 遍性，不能只适用于个别情况。
05
反证法练习题与解析
等腰三角形性质练习题与解析
题目
假设在一个三角形ABC中，角A是直角，角B是锐角，那么角 C是钝角。
解析
根据勾股定理，在直角三角形中，直 角边的平方和等于斜边的平方。即， c^2 + b^2 = AB^2。因此，AB的长 度是c和b的平方和的平方根。
平行线性质练习题与解析
题目
假设两条直线平行且被一条横线相交，那么它们的同位角相等。
解析
根据平行线的性质，如果两条直线平行且被一条横线相交，那么它们的同位角是相等的 。这是因为平行线之间的横线将它们分成相等的两部分，所以它们的同位角必然相等。
02
反证法基础
反证法的定义
• 反证法的定义：反证法是一种证明方法，通过否 定待证明的命题，然后推导出矛盾，从而肯定原 命题。
反证法的适用范围
• 适用范围：反证法适用于证明某一命题是否成立，特别是当直接证明困难时，可以通过否定命题来找到证明的突破口。
反证法的证明步骤
01
02
03
步骤一
假设待证明的命题不成立 ，即假设命题为假。
04
反证法的注意事项
假设的合理性
假设条件明确
在应用反证法时，假设的条件必须是 明确的，不能有歧义或模糊不清的情 况。
假设条件与结论相关
假设条件的逻辑性
假设的条件必须具有逻辑性，不能出 现自相矛盾或违背事实的情况。
假设的条件必须与要证明的结论相关 ，不能偏离主题或无关紧要。

2.有关结论是以“至多……”或 “至少……”的形式出现的一
类命题.
3.关于唯一性、存在性的问题.
4.结论的反面是比原结论更具体更容易研究的命题.
知识点 2
中点四边形
【例2】（2013·恩施中考）如图所示，在梯形ABCD中，
AD∥BC,AB=CD,E,F,G,H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，求证：
反面
矛盾
论的_____出发,引出_____,从而证明命题成立的方法.
(2)证明命题的一般步骤:
正确
①假设结论的反面是_____的;
②通过逻辑推理,推出与公理、已证的定理、定义或已知条件
相矛盾;
不成立
原结论
③由矛盾说明假设_______,从而得到_______正确.
2.中点四边形：
中点
(1)概念:顺次连结四边形的各边_____所组成的四边形.
•2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独
立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/212022/3/212022/3/213/21/2022
•3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022/3/212022/3/21March 21, 2022
正方形.( ×)
(4)顺次连结平行四边形各边中点所得到的四边形是矩形.( ×)
知识点 1
反证法
【例1】用反证法证明：四边形中至少有一个角是钝角或直
角．
【思路点拨】根据题设与结论，写出已知、求证，然后按反证
法的步骤进行证明．
【自主解答】已知：四边形ABCD．

反证法在初中数学解题中的应用探讨反证法是初中数学中常用的一种证明方法，是通过假设命题不成立，推导出矛盾的结果，从而证明原命题成立。

反证法在数学证明中具有重要的作用，同时也在数学解题中有很多应用。

一、应用举例1. 直角三角形定理的证明要证明直角三角形定理，可以使用反证法。

假设三角形不是直角三角形，即三条边不能成直角，那么三条边呈现的几何形状就是一个锐角三角形和一个钝角三角形。

由于锐角三角形的每个角都小于90度，所以它的三角度数之和小于180度。

因此，它的两条短边加起来肯定小于斜边的长度，这与勾股定理不符合。

同理，对于钝角三角形，由于它的两条短边加起来肯定大于斜边的长度，也不符合勾股定理，因此可以得出结论：三角形必须为直角三角形。

2. 二次不等式当我们需要解决类似于x²+2x<3这样的不等式时，可以先假设x²+2x≥3，即假设不等式右边小于左边。

那么可以将不等式两边移项得到x²+2x-3≥0，然后可以因式分解得到(x+3)(x-1)≥0。

根据符号法可以知道方程的解集为(-∞，-3]∪[1,∞)，由此可以得到原始不等式的解集为(-3,1)。

3. 对于奇偶性问题的判断对于奇偶性问题，可以使用反证法。

首先，假设一个数n为奇数，那么可以得到2n为偶数，可是，如果2n为偶数，那么n一定为偶数。

因此，我们可以得出结论：如果n是奇数，那么2n一定是偶数；反之，如果2n是偶数，那么n一定是偶数。

二、反证法的特点1. 简单实用反证法是初中数学中最为简单实用的证明方法之一。

这种证明方法可以减少证明的复杂度和时间，使证明更加简单和直观。

通过假设未知量在某种前提情况下为错误的来证明未知量的正确性。

2. 适用范围广反证法的适用范围非常广泛，可以处理大多数数学问题。

特别是在数学证明中，它通常用来证明那些难证或没有直观的结论。

在不少数学分支中，反证法是解题的重要手段。

3. 可以检验猜想的正确性使用反证法不仅可以证明一个结论，还可以证明一个猜想的错误性。

上 ，而体现在整体与综合之中． 有效 ，是通过我们诸 多美术教师
美术课 给学生 的不仅仅是美 术． 蔡元培在任教育总长 （ 民国 长期的 、共 同的努力形成的．
３ ４
硅教 育论蛞 ［ ２ ０ １ ３ 年第 ８ 期］
证 明：假设 ＡＣ和 Ｂ Ｄ不 是异面 直线 ，那 么 ＡＣ和 Ｂ Ｄ在 同 也有． 这类题 目用直接证法证明相当困难 ，因此一般情况下都采
具来创作一样 的东西 ． 美 术课应 给学生一种 或几种创 造美 的技 是给学生 以创造美的技艺 ，更在于对美的认同或创造．所以美术 术 ，而这种技术是 因人而异 的 ，教育 中应 给学生提供 多种 方式 课要 给学生美的体验．给学生提供发现美 、感受美 的眼睛 ，给学 让其选择 ．同时 ，向学生提供 的技术也应是考虑学生的不同年龄 生创造美 的意识及精 神 ，当学生 具有 了审美 的眼睛及创 造美的 及控 制相应成本．不能为了学校的特色而不考虑学生的个性及经 意识及 能力 ，学生就有了一个美好 的生活及美好 的明天． 济 ，不能 以学校 的特色取代学 生的特性 ，为了学校 的名誉 而牺 从 学校 的地位 看 ，美 术是 门小学科 ，但 从培 养学生 来讲 ， 牲 了 学生 的利 益 ． 美术又有其他学科 所无法取代 的功能 ，甚 至在某种程度 上会超 让 学生掌握鉴 赏美的方法及 知识也是美 术教育 的一个 重要 黑色六月 ”的离去 ，而被学 内容 ，对一般学 生来讲 ，这方 面 的知 识及 能力反 而更为重 要 ， 越其他学科．当其他学科随着高考 “
会不会作 画对 大部分学生来讲 不是很重要 的 ，但有没有 审美能 生抛置九霄云外 之时 ，美术依然 会以其独特 的方式长久 地影响 力却会影响学 生的生活质量及学识修养．中学美术教育主要不是 着学生 ，陪伴其一生．

反证法证明初二几何难题，难为初中同学，典型过渡问题如图：在梯形ABCD中，AD//BC，BD＝BC，CD＝CO，∠ABD＝15°，求证：△ABC是等腰直角三角形[思路导航] 因为求证的△ABC是等腰直角三角形，而15°不好直接用，所以联系和15°角一条边相关的条件BD＝BC，以此为切入点作等边三角形（可出45°角），将已知条件结合起来，构造出与所求相同的等腰直角三角形，再利用全等得出∠DBC的度数再计算如图：以BD为边作等边三角形BDE，连接AE•明显，如果∠EAB＝90°就好办•问题出现了但不论如何∠EAB的大小只有大于、小于或等于90°三种情况所以转化为对这个角的大小情况分类讨论（1）假设∠EAB＝90°∵△BDE是等边三角形,∠ABD=15°∴∠ABE=45°∴△AEB是等腰Rt△，∠AEB=45°在△ADE与△ADB中AE＝AB，AD＝AD，DE＝DB∴△ADE≌△ADB（SSS）∴∠ADB=∠ADE=30°∵AD//BC∴∠DBC=30°∵BD=BC∴∠BDC=∠BCD =75°∵CD=CO∴∠DCO =30°∴∠BCO =45°∴△ABC是等腰Rt△(2)假设∠EAB<90°如下图：过E作EF⊥BA，交BA于F，连接DF证明：同（1）可得△FEB是等腰Rt△，∠FEB=45°△FDE≌△FDB（SSS）∴∠FDE=∠FDB=30°∴∠ADB=∠FDB+∠ADF>30°∵AD//BC∴∠DBC＝∠ADB>30°∴∠BDC<75°(i)∠EBC>90°如下图，过B作BM⊥BE，交EF延长线于M∵∠EBC>90°∴M在△BCD内∵∠FEB=45°∴△EBM是等腰Rt△∴BM=BE=BD易得∠MBD=30°∴∠MDB=75°(ii)显然（i）与（ii）矛盾所以假设的∠EAB<90°不成立（3）假设∠EAB>90°作图如下，方法类似（2），也可证也不成立综上所述：△ABC是等腰Rt△小结：本题出现在初二几何，作辅助线的难度适中，其意义在于分类讨论结合反证法，可作为初中向高中及以后学习“过渡”的一个问题，“分类+反证法”具有一定的价值。

立体几何中的反证法方法总结1．位置关系：（1）两条异面直线相互横向证明方法：①证明两条异面直线所成角为90o；②证明线面垂直，得到线线垂直；③证明两条异面直线的方向量相互垂直。

（2）直线和平面相互平行证明方法：①证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；②证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；③证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。

（3）直线和平面横向证明方法：①证明直线和平面内两条相交直线都垂直，②证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直；③证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。

（4）平面和平面相互横向证明方法：①证明这两个平面所成二面角的平面角为90o；②证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；③证明两个平面的法向量相互垂直。

2．谋距离：求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。

（1）两条异面直线的距离求法：利用公式法。

（2）点至平面的距离求法：①“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。

②等体积法。

③向量法。

3．谋角（1）两条异面直线所成的角带发修行：①先通过其中一条直线或者两条直线的位移，找到这两条异面直线阿芒塔的角，然后通过求解三角形回去求出；②通过两条异面直线的方向量阿芒塔的角去求出，但是注意到异面直线阿芒塔角得范围就是，向量阿芒塔的角范围就是，如果算出的就是钝角，必须特别注意转化成适当的.锐角。

（2）直线和平面所成的角带发修行：①“一打听二证三求”，三步都必须必须确切地写下出。

②向量法，先求直线的方向量于平面的法向量阿芒塔的角α，那么所建议的角为或。

（3）平面与平面所成的角带发修行：①“一打听二证三求”，找到这个二面角的平面角，然后再去证明我们打听出的这个角是我们建议的二面角的平面角，最后就通过求解三角形xi。

②向量法，先求两个平面的法向量阿芒塔的角为α，那么这两个平面阿芒塔的二面角的平面角为α或π－α。

反证法专题50道18．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程30至少有两个实根”时，要x ax b做的假设是（）A．方程30恰好有两个实根x ax bx ax b没有实根B．方程30C．方程30至多有一个实根x ax b至多有两个实根D．方程30x ax ba b ，则,a b至少有一个小于0”时，假设应为（）19．利用反证法证明“若0A．,a b都小于0B．,a b都不小于0C．,a b至少有一个不小于0D．,a b至多有一个小于020．用反证法证明命题时，对结论：“自然数a，b，c中至少有一个是奇数”正确的假设为（）A．a，b，c都是偶数B．a，b，c都是奇数C．a，b，c中至少有两个奇数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数第1页，共17页参考答案：1．A【分析】根据命题的结论的否定进行判断即可.【详解】因为a ，b 中至少有一个能被5整除的否定是a ，b 都不能被5整除，所以假设的内容应该是a ，b 都不能被5整除，故选：A 2．B【分析】“至少有一个”的否定是“一个也没有”，进而可得答案.【详解】由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故命题“a ，b ∈N+，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除”的否定是“a ，b 都不能被5整除”．故选：B ．3．C【分析】根据反证法的定义即可直接得出结果.【详解】由反证法的定义，知在推导过程中，不能把原结论作为条件使用，其他都可以当作条件来使用，所以可以使用结论的否定、已知条件、公理、定理、定义等.故选：C.4．C【分析】根据反证法基本原理，对结论进行否定即可得到结果.【详解】“a 与b 都不能被7整除”的否定为：,a b 至少有一个能被7整除.故选：C.5．D【分析】根据给定条件，利用反证法的意义写出结论的否定作答.【详解】命题“如果0a b ”，“那么22a b ”的结论是22a b ，而反证法证明命题时，是假设结论不成立，即结论的反面成立，所以所求假设是22a b .故选：D 6．C答案第2页，共17页【分析】取命题的反面即可.【详解】用反证法证明命题，应先假设它的反面成立，即1x 且1y ，故选：C ．7．D【分析】利用反证法证明规则即可得到应假设0x 或0y .【详解】利用反证法证明，应先假设结论不成立，本题应假设0x 或0y 故选：D 8．C【分析】根据反证法证明命题的方法，应先假设命题的反面成立，故求出命题的反面即可.【详解】“x ，y 至多有一个大于0”包括“x ，y 都不大于0和有且仅有一个大于0”，故其对立面为“x ，y 都大于0”.故选：C.9．C【分析】反证法中“a ，b ，c 至少有一个是无理数”的假设为“假设a ，b ，c 都不是无理数”，对照选项即可得到答案.【详解】依题意，反证法中“a ，b ，c 至少有一个是无理数”的假设为“假设a ，b ，c 都不是无理数”，即“假设a ，b ，c 都是有理数”.故选：C.10．A【分析】根据“至少有一个大于”的反设是“三个都不大于”可直接得到结果.【详解】“至少有一个大于”的反设是“三个都不大于”，反设正确的是“三个内角都不大于60 ”.故选：A.11．B【分析】根据“至少有一个是偶数”的否定形式可直接判断出结果.【详解】∵“至少有一个是偶数”的否定形式为“都不是偶数”，假设正确的是：假设,,a b c 都不是偶数.故选：B.12．B【分析】“反证法”就是从命题的反面即否定形式入手考虑题设.故答案为：若“6x y ，则3x 且4y ”成立.45．0x 且0y 【分析】根据反证法思想，写出原命题证明中的假设条件即可.【详解】由反证法思想：否定原结论，推出矛盾，所以题设命题的证明，应假设0x 且0y .故答案为：0x 且0y 46．02a 【分析】根据反证法的结构特点可得正确的假设.【详解】对于命题：“已知a R ，若|1|1a ，则a<0或2a ”，用反证法证明时应假设：若02a .故答案为：02a .47．a b 且b c 成立【分析】假设结论的反面成立，即可求解．【详解】解：假设结论的反面成立，即a b 且b c 成立．故答案为：a b 且b c 成立．48．在一个三角形中至少有两个内角是钝角【分析】依据命题的否定即可求得结论的否定为“在一个三角形中至少有两个内角是钝角”【详解】命题“一个三角形中最多只有一个内角是钝角”的否定为“在一个三角形中至少有两个内角是钝角”故答案为：在一个三角形中至少有两个内角是钝角49．1x 且1y 【分析】根据给定条件，写出已知命题结论的否定作答.【详解】命题若2x y ，则1x 或1y 的结论是“1x 或1y ”，其否定为“1x 且1y ”，所以假设的内容应该是：1x 且1y .故答案为：1x 且1y 50．1x 且1y 【分析】根据反证法的原理可知.【详解】根据反证法的原理可知，求证1x 或1y 时，应首先假设1x 且1y .故答案为：1x 且1y 51．a ，b ，c 中至少有两个偶数【分析】用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，所以找出命题的否定是解题的关键.【详解】用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立.因为“自然数a，b，c中至多有一个偶数”的否定是：“a，b，c中至少有两个偶数”，所以用反证法证明“自然数a，b，c中至多有一个偶数”时，假设应为“a，b，c中至少有两个偶数”，故答案为：a，b，c中至少有两个偶数.。

初二数学反证法练习题反证法是一种常用的数学证明方法，它通过推导出与已知条件相矛盾的结论来证明一个命题的真假。

在初二数学学习中，反证法常常被用于解决一些复杂的问题。

本文将介绍一些初二数学中常见的反证法练习题，帮助同学们熟悉并掌握反证法的应用。

题目一：证明“根号2是无理数”。

解析：要证明根号2是无理数，首先我们假设根号2是有理数，并将其表示为p/q，其中p和q是互质的整数（即最大公约数为1）。

那么我们可以得到等式2 = (p/q)^2，即2q^2 = p^2。

由此可知，p^2一定是2的倍数，因此p也一定是2的倍数。

令p = 2k（k为整数），则原等式可以写成2q^2 = (2k)^2，简化得q^2 = 2k^2。

同样地，我们可以得出q也是2的倍数。

但这与我们最初假设的“p 和q是互质的整数”相矛盾。

因此，假设错误，根号2不可能表示为有理数，即根号2是无理数。

题目二：证明“开方后是无理数的数的平方是无理数”。

解析：我们假设存在一个数x，它的开方后是无理数，即√x是无理数。

那么我们可以假设√x是有理数，即√x = p/q，其中p和q为整数，且p/q为最简分数。

根据已知条件，我们有x = (√x)^2 = (p/q)^2 = p^2/q^2。

将x的表达式代入上式中，得到x = p^2/q^2。

由此可知，p^2和q^2均为x的因数。

根据因数的性质，我们可以得知p也是x的因数，且q也是x的因数。

这与我们最初的假设“p和q为最简分数”相矛盾，因此假设错误，开方后是无理数的数的平方一定是无理数。

题目三：证明“3不能表示成形如4k+1的整数的平方”。

解析：我们假设存在一个整数m，使得m^2 = 4k + 1，其中k为整数。

那么我们可以得到等式m^2 ≡ 1 (mod 4)，即m^2除以4的余数为1。

考虑整数的平方的情况，我们可以得知一个整数的平方只可能是0或1（对4取余）。

根据这个性质，我们可以考虑m的两种情况：情况一：m为偶数假设m = 2n，其中n为整数。

利用反证法证明有关异面直线问题反证法在立体几何中用得较多，下面用反证法证明有关异面直线问题。

例1 求证：分别和两条异面直线AB 和CD 同时相交的直线AC 、BD 是异面直线。

证明：假设AC 和BD 不是异面直线，则AC 和BD 在同一平面内，设这个平面为α，由AC BD ⊂⊂αα，，知A B C D 、、、∈α，故AB CD ⊂⊂αα，。

这与AB 和CD 是异面直线矛盾，于是假设不成立，故直线AC 和BD 是异面直线。

例2 已知a 与b 是异面直线，求证过a 且平行于b 的平面只有一个。

证明：如图1，假设过直线a 且平行于直线b 的平面有两个α和β。

在直线a 上取点A ，过b 和A 确定一个平面γ，且γ与α，β分别交于过A 点的直线c 、d 。

由b//α，知b//c 。

同理b//d 。

故c//d ，这与c 、d 相交于点A 矛盾。

故假设不成立。

从而过a 且平行于b 的平面只有一个。

例3 平面α∩平面β= a ，异面直线b ，c ，分别在α、β内．⑴求证b ，c 中至少有一条与a 相交．⑵若a∩b = P ，c∩a = Q ，在β内过P 作异于a 的直线b '，在α内过Q 作异于a 的直线c '，求证：b '，c '为异面直线．证明：⑴若b 、c 均不与a 相交．∵ a ⊂α，b ⊂α，∴a ∥b ，∵a ⊂β，c ⊂β，∴a ∥c ，∴b ∥c ，与题设b ，c 为异面直线矛盾．即b ，c 中至少有一条与a 相交．⑵若b '，c '在同一平面γ内，即b '⊂γ，c '⊂γ，∵Q ∈c '，∴Q ∈γ，又Q ∉b '（ 若Q ∈b '，由P ∈b '，则b '与a 重合，与题设矛盾），过b '及Q 可确定平面（即为β），但b '⊂γ，c '⊂γ，及Q ∈γ，从而得β、γ重合，同理、α、γ重合，由此得α、β重合，与题设α∩β= a 矛盾．所以b '，c '不可能在同一平面内，即b '，c '为异面直线．例4 求证：两条异面直线有且只有一条公垂线． 证明：如图，设a 、b 是异面直线，b ⊂α，a ∥α，β是过a 而与α垂直的平面，AA 1是a 、b 的公垂线．假设EF 也是a 、b 的公垂线（显然F 与A 不重合，E 与A 1不重合），则EF ⊥α， 从而EF ⊂β．由A 、F 都在β内，可得b ⊂β，这与a 、b 是异面直线矛盾．所以，两条异面直线有且只有一条公垂线．例5 如图所示，已知直线a 、b 、c 不共面，它们相交于点P ，A ∈a ，D ∈a ，B ∈b ，E ∈c ，求证：BD 和AE 是异面直线．证明：设BD 和AE 不是异面直线，则BD 与AE 确定一个平面β，因此有A ∈β，B ∈β，E ∈β，D ∈β．因为A ∈a ，D ∈a ，所以a ⊂β．又因为P ∈a ，所以P ∈β．因P ∈b ，B ∈b ，所以b ⊂β．因E ∈c ，P ∈c ，所以c ⊂β，这与a 、b 、c 不共面矛盾，从而有BD 和AE 是异面直线．P b E B D A c a。

反证法之几何证明专题例1．已知：AB、CD是⊙O内非直径的两弦（如图1），求证AB与CD不能互相平分。

（1）证明：假设AB与CD互相平分于点M、则由已知条件AB、CD均非⊙O直径，可判定M不是圆心O，连结OA、OB、OM。

∵OA＝OB，M是AB中点∴OM⊥AB（等腰三角形底边上的中线垂直于底边）同理可得：OM⊥CD，从而过点M有两条直线AB、CD都垂直于OM这与已知的定理相矛盾。

故AB与CD不能互相平分。

例2．已知：在四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，且MN＝（AD＋BC）。

求证：AD∥BC（2）证明：假设AD BC，连结ABD，并设P是BD的中点，再连结MP、PN。

在△ABD中∵BM＝MA，BP＝PD∴MP AD，同理可证PN BC从而MP＋PN＝（AD＋BC）①这时，BD的中点不在MN上若不然，则由MN∥AD，MN∥BC，得AD∥BC与假设AD BC矛盾，于是M、P、N三点不共线。

从而MP＋PN＞MN②由①、②得（AD＋BC）＞MN，这与已知条件MN＝（AD＋BC）相矛盾，故假设AD BC不成立，所以AD∥BC。

练习1．求证：三角形中至少有一个角不大于60°。

2．求证：一直线的垂线与斜线必相交。

3. 已知：设m，n分别为直线l的垂线和斜线（如图），垂足为A，斜足为B求证：m和n必相交。

3．在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于H，求证：AD 与BE不能被点H互相平分。

4．求证：直线与圆最多只有两个交点。

5．求证：等腰三角形的底角必为锐角。

已知：△ABC中，AB＝AC求证：∠B、∠C必为锐角。

参考答案：1．证明：假设△ABC中的∠A、∠B、∠C都大于60°则∠A＋∠B＋∠C＞3×60°＝180°这与三角形内角和定义矛盾，所以假设不能成立。

故三角形中至少有一个角不大于60°。

2．证明：假设m和n不相交则m∥n∵m⊥l ∴n⊥l这与n是l的斜线相矛盾，所以假设不能成立。