初中几何反证法专题(75[1]5K).

九年级数学反证法知识点反证法是数学中一种常用的证明方法，它通过否定了某种假设，从而导出了矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。

在九年级数学学习中，掌握反证法的应用能力是非常重要的。

本文将从基本概念、应用技巧和典型例题三个方面，探讨九年级数学中的反证法知识点。

一、基本概念反证法是一种证明方法，其基本思想是假设所要证明的命题不成立，进而推出一个矛盾结论，因此可以判断原命题为真。

在使用反证法时，需要注意以下几个基本概念。

1.1 假设反证法的关键是从反方面出发，首先进行假设。

这个假设通常是对所要证明的命题的否定进行假定。

例如，当我们要证明一个命题P时，可以先假设 ¬P（P的否定）为真。

1.2 推导在假设的基础之上，运用逻辑推理，通过演绎的过程推导出一种矛盾的结论。

这个矛盾的结论与可能的情况相矛盾，从而判断原命题为真。

1.3 矛盾结论通过推导，得到一个与可能的情况相矛盾的结论。

这个矛盾结论可以是一个不成立的等式、不等式，或者是两个相互矛盾的命题。

从而推出原命题的正确性。

二、应用技巧使用反证法进行证明时，需要掌握一些应用技巧。

以下是几种常见的反证法应用技巧。

2.1 尝试排除其他情况在进行反证证明时，可以通过排除其他情况来确定假设。

在假设的基础上，可以分析用其他方法证明步骤中的问题，并排除其他可能性，从而得出矛盾结论。

2.2 采用对否定进行假设在反证法中，我们通常是对所要证明的命题的否定进行假设。

这种假设通常可以导出与已知条件相矛盾的结论。

假设的否定要与已知条件相关，并且能够导出矛盾的结论。

2.3 寻找关键信息在使用反证法进行证明时，需要注意观察已知条件，寻找其中的关键信息。

这些关键信息可能是同一性质、同一性质的取值范围等等。

找到这些关键信息，可以更好地进行反证证明。

三、典型例题以下是几道典型的九年级数学反证法例题，通过这些例题可以更好地理解反证法的应用。

3.1 例题1假设集合A和集合B是一个数的集合,如果存在一个数x∈N，使得(x+5)∈A，且2x∈B-x，那么证明集合A与集合B的交集不为空。

第六章 反证法在立体几何中的应用在立体几何中哪些命题适合应用反证法，我们进行了一些归纳，下面以实例来说明。

一、证明诸直线共面例题：求证：过一点和一条直线垂直的所有直线都在同一平面内。

已知：一点P 与一条直线l ，且a 、b 、c.......n 都垂直于l.求证：a 、b 、c.......n 在同一平面内。

证明：⎩⎨⎧⊥⊥=⋂bl a l P b a , α确定的平面b a l ,⊥⇒； 假设、确定的平面又面ααn a l n l a ,l ,pn ⊥⇒⎩⎨⎧⊥⊥⊄； 这样过一点有两个平面与直线l 垂直，与有且只有一个矛盾，那么α⊂pn ，故命题得证。

二、证明诸点共面例题：已知空间四点A 、B 、C 、D 满足2π=∠=∠=∠=∠DAB CDA BCD ABC ,求证：A 、B 、C 、D 共面。

证明：抓住四个角都是直角这一特征，容易联想到勾股定理进行比较，从二推出矛盾。

假设A 、B 、D α∈， C α∉，/C 是C 在α内的射影，连/C D,D C CD AD D C C C ADCD /// ⇒⊥⇒⊥⊥α ⑴同理B C CB / ⇒ ⑵D ABC D C B A ADAB AB B C AD D C ////,,,,,⇒∈⊥⊥⊥α且是矩形， 所以22/2//2BD D C BC D BC =+⇒=∠π⑶已知2222BD CD BC BCD =+⇒=∠π⑷ 由⑴⑵有 2/2/22B C D C CB CD ++由⑶⑷有 2/2/22B C D C CB CD +=+ ⇒矛盾，则C 一定在α内，即A 、B 、C 、D 共面。

三、证明两条直线异面例题1：已知两个不同平面βα、相交于直线l ，经过直线l 上两点A 和B 分别在α内直线 作AC ，β内作直线BD;求证：AC 、BD 是异面直线。

证明：假设 AC 、BD 共面，则 AC 、BD 所在平面βα点，即和过点，即和过A BC B AC 那么，βα、重合与已知矛盾；所以 AC 、BD 是异面直线。

反证法在几何、代数、三角中的应用反证法在数学命题的证明中占有非常重要的地位，当对于一个命题直接证明比较困难时，往往尝试用反证法来证明该命题，本文拟从数学的不同分支出发，分别介绍反证法在几何、代数、三角中的应用。

一、反证法的有关知识1反证法的基本概念所谓反证法，就是从要证明的结论的否定面出发，以有关的定义、公理、定理为依据，结合原命题的条件进行推理，直到得出矛盾，从而断定原命题结论否定面不能成立，也就断定了原命题成立，这种证题方法就叫反证法。

2反证法的证题步骤用反证法证明一个命题常采用以下步骤：（1）假定命题的结论不成立，（2）进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理、定义矛盾或者与既定的事实相矛盾。

（3）由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的。

（4）肯定原来命题的结论是正确的。

用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立“，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾的方式呈现出来的。

这个毛病是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件，公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定。

”结论不成立“与”结论成立“必然有一个正确。

既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了。

二、反证法在数学分支中的应用1在几何中的应用反证法在几何中有着重要的应用，特别是在平面几何与立体几何中的作用更为突出，其中很多的定理、例题和习题都是借助反证法证明的。

在解析几何中很多也用反证法来证明。

例1：证明：格点三角形不能成为正三角形（若一点的纵、横坐标均为整数，称此点为格点）。

证点的坐标是整数的性质，在坐标原点移到格点的平移下是不变的，所以不妨设格点三角形ABC的一个顶点A在坐标原点，B坐标为（a，b），a，b是整数，如图所示，并设AB 与x轴的正半轴的夹角 。

所以 ABcos θ，sin θ。

点C 的坐标为 C x=cos(60)60)AC θθ+=+=cos60sin sin 60)θθ-=2a ， C y =sin(60)60)AC θθ+=+ =2b +。

初中数学中的反证法例谈反证法是数学证明中非常常用的一种方法，在初中数学中也经常会遇到一些需要使用反证法来证明的问题。

以下是几个反证法的例子：1. 证明所有正整数都是奇数或偶数。

假设存在一个既不是奇数也不是偶数的正整数，那么这个正整数既不满足奇数的定义也不满足偶数的定义，与假设矛盾。

因此，所有正整数都是奇数或偶数。

2. 证明根号2是无理数。

假设根号2是有理数，那么可以表示为一个分数，即根号2 =a/b，其中a和b都是整数，且a和b互质。

将这个等式两边平方得2 = a^2 / b^2，即a^2 = 2b^2。

因为2是质数，所以a必须是2的倍数，那么就可以表示为a = 2c（c是整数）。

带入到a^2 =2b^2中得到(2c)^2 = 2b^2，即4c^2 = 2b^2或2c^2 = b^2。

这意味着b也是2的倍数，与a和b互质的条件矛盾。

因此，根号2是无理数。

3. 证明当正整数n不是完全平方数时，√n是无限不循环小数。

假设√n是有限循环小数，即可以表示为a/b（a和b都是整数，且a和b互质），那么可以得到n = a^2/b^2。

因为n不是完全平方数，所以a和b必须互质，且a和b至少有一个是奇数。

假设a是奇数，那么a^2是奇数，b^2是偶数，所以a^2/b^2是一个无限不循环小数。

同理，如果b是奇数，也可以推出a^2/b^2是一个无限不循环小数。

因此，当正整数n不是完全平方数时，√n是无限不循环小数。

这些例子展示了在初中数学中应用反证法的常见情形，可以巩固理解反证法在解决数学问题时的重要作用。

∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1
∴a2是奇数，则2不能整除a2 ，这与已 知矛盾。∴假设不成立，故2能整除a。
1.命题”三角形中最多有一个内角是直角“的结论 的否定是（ C ） A、有两个内角是直角 B、有三个内角是直角 C、至少有两个内角是直角 D、没有一个内角是直角 2.否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时，正 确的反设为（ ） D A.a、b、c都是奇数 B. a、b、c都是偶数 C. a、b、c中至少有两个偶数 D. a、b、c中都是奇数或至少有两个偶数
我来告诉你（经验之谈）
探究4：
1.存在性问题 2.否定性问题 3.唯一性问题 4.至多、至少类问题 5.一些基本命题、基本定理
哪些问题适宜用反证法
总之，直接证明比较困难的命题
反思与收获
你能谈谈举反例与反证法 的联系和区别吗？
同学们，学了这节课， 你们有何体会？ ---德国数学家希尔伯特说， 禁止数学家使用反证法， 就象禁止拳击家使用拳头。
C
2.已知：如图，直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3 ∥l1， 求证： l3∥l2
l1
P
证明： l2 假设l3∥l2，即l3与l2相交，记交点为Pl3
而l1∥l2,l3 ∥l1
这与“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线 平行”相矛盾， 所以假设不成立， 即l3∥l2
例1：已知：a是整数，2能整除a2 求证：2能整除a。 证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整 除a”,因为a是整数，故a是奇数 不妨设a=2n+1(n是整数)
道 旁 苦 李
王戎七岁时，爱和小朋友结伴玩耍。一 天，他们发现路边的一棵树上结满了李子， 小朋友一哄而上去摘李子，独有王戎没动。 等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！ 他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的

题 正
确
延伸拓展 你能用反证法证明以下命题吗？
如图，在△ABC中,若∠C是直角， 那么∠B一定是锐角.
证明：假设结论不成立,则∠B是_直__角__或_钝__角___ 当∠B是_直__角__时，则∠__B__+_∠__C__=_1_8_0_°
这与_三__角__形__的__三__个__内__角__和__等__于__1_8_0_°__矛盾
定理
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线
平行,那么这两条直线也互相平行.
(1)你首先会选择哪一种证明方法?
(2)如果选择反证法,先怎样假设?结果和什么产生矛盾?
已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3
求证： l１∥l３
p
l１ l２ l３
证明：假设l１不平行l３，则l１与l３相交,设交点为p.
Ｂ说：这里有２个人说谎．
Ｃ说：这里有３个人说谎．
Ｄ说：这里有４个人说谎．
Ｅ说：这里有５个人说谎．
倍
速
课 时
聪明的同学们，假如你是警察，你觉得谁说了真话
学 你会释放谁？
练
请与大家分享你的判断！
甲、乙、丙、丁、戊五人在运动会上分获一百米、 二百米、跳高、跳远、铅球冠军，有四个人猜测比 赛结果：
A说：乙获铅球冠军，丁获跳高冠军；
练
例:小华睡觉前，地上是干的，早晨起来 看见地上全湿了。小华对婷婷说：“昨天 晚上下雨了。”
您能对小华的判断说出理由吗？
倍
假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是
速 课
干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以
时 学
说昨晚下雨是正确的。
练
在证明一个命题时,人们有时
先假设命题不成立,

勾股定理证明反证明法反证法是一种常用的数学证明方法，它的核心思想是通过假设命题不成立，从而推出一个矛盾的结论，进而证明命题的正确性。

在数学中，反证法可以应用于各种定理的证明过程中，而勾股定理是其中一个经典的例子。

勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯在约公元前500年左右发现的，它表明：在直角三角形中，三条边的平方之和等于斜边的平方。

这个定理在数学中有着广泛的应用，涉及到几何学、物理学以及工程学等领域。

我们来看一下如何使用反证法证明勾股定理。

假设存在一个直角三角形ABC，其中AB、BC和AC分别表示三条边，满足AB² + BC² ≠ AC²。

根据反证法的思想，我们假设勾股定理不成立，即三条边的平方之和不等于斜边的平方。

根据勾股定理的条件，可以得到AB² + BC² = AC²。

接下来，我们通过推理来得出矛盾的结论，从而证明假设的错误。

我们假设AC² - AB² = BC²。

根据这个假设，我们可以得到以下推论：AC² - AB² = BC²AC² - AB² + AB² = BC² + AB²AC² = BC² + AB²进一步，我们将假设的条件带入到推论中，得到：AC² = AC²这个推论表明，AC的平方等于AC的平方，这是一个显然成立的等式。

根据这个等式，我们可以得出结论：假设AB² + BC² ≠ AC²是错误的。

因此，我们通过反证法证明了勾股定理的正确性。

在这个证明过程中，我们假设了勾股定理不成立，然后通过推理得到一个矛盾的结论，从而证明了假设的错误。

反证法作为一种常用的证明方法，可以帮助数学家们在研究中发现新的定理和推论。

它的思想简单直观，但在实际应用中需要注意逻辑的严密性和推理的合理性。

初二数学反证法在初二数学的学习中，我们会接触到一种独特而有趣的证明方法——反证法。

它就像是一位神秘的魔法师，能够在看似复杂的数学难题中，巧妙地找出答案。

反证法是什么呢？简单来说，反证法是一种间接的证明方法。

当我们要证明一个命题成立时，先假设这个命题不成立，然后从这个假设出发，通过一系列的推理，得出矛盾的结果。

这个矛盾的结果就说明我们最初的假设是错误的，从而间接证明了原命题是正确的。

比如说，我们要证明“在一个三角形中，最多只能有一个直角”这个命题。

如果我们直接去证明，可能会感觉有点无从下手。

但如果用反证法，那就不一样啦。

我们先假设在一个三角形中，可以有两个或三个直角。

假设一个三角形中有两个直角，比如∠A ＝ 90°，∠B ＝ 90°。

那么在三角形的内角和定理中，三角形的内角和是 180°。

而∠A ＋∠B 就已经等于 180°了，再加上第三个角∠C，内角和就超过 180°了，这与三角形内角和定理相矛盾。

所以，假设不成立，从而证明了在一个三角形中，最多只能有一个直角。

再来看一个例子，证明“根号 2 是无理数”。

假设根号 2 是有理数，那么它可以表示为一个分数 m ／ n （m、n是互质的正整数）。

即√2 ＝ m ／ n ，两边平方得到 2 ＝ m²／ n²，所以 m²＝ 2n²。

这意味着 m²是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以 m 也是偶数。

不妨设 m ＝ 2k（k 是正整数），代入 m²＝ 2n²中，得到 4k²＝ 2n²，即 2k²＝ n²。

这又说明 n 也是偶数。

但是 m 和 n 都是偶数，这与 m、n 是互质的正整数相矛盾。

所以，假设不成立，从而证明了根号 2 是无理数。

反证法在数学中的应用非常广泛，它可以帮助我们解决很多看似困难的问题。

几何证明中的反证法与归纳法在几何学中，证明是一种基本的思维方式。

为了证明一个几何问题的正确性，数学家们使用了许多不同的方法。

其中，反证法和归纳法是两种常见的证明方法，它们在几何证明中发挥着重要的作用。

本文将详细介绍几何证明中的反证法和归纳法，并探讨它们在解决几何问题中的应用。

一、反证法反证法是一种常用的证明方法，它通过假设问题的对立面，推导出矛盾的结论，以此证明原命题的正确性。

在几何证明中，反证法可以用来证明很多命题，特别是与平行线和垂直线相关的命题。

例如，我们要证明两条平行线之间的夹角等于180度。

首先，我们假设这两条线之间的夹角小于180度。

然后，通过推理和几何定理，我们可以得出两条平行线之间的夹角等于180度的矛盾结论。

因此，我们可以得出结论，两条平行线之间的夹角等于180度。

通过反证法可以简洁地证明一个命题的正确性，因为它只需假设一个假设，并通过推理得出矛盾的结论。

然而，反证法并不适用于所有的几何问题，有时候需要更加直接的证明方法，比如归纳法。

二、归纳法归纳法是一种证明数学命题的常用方法，它通过从特殊情况出发，逐步推广至一般情况，以此证明一个命题的正确性。

在几何证明中，归纳法常常用于证明关于面积、周长和角度的命题。

例如，我们要证明一个三角形的内角和等于180度。

首先，我们证明一个等边三角形的内角和等于180度。

然后，我们假设一个等腰三角形的内角和等于180度。

最后，我们通过推理可以得出结论，在一个任意的三角形中，内角和也等于180度。

通过归纳法可以一步步地推导出结论，从特殊到一般，使证明过程更加具体有效。

然而，归纳法的使用有时需要构造特定的几何图形，并且证明过程可能相对复杂。

在一些情况下，我们需要结合其他证明方法，如反证法，以获得更好的证明效果。

总结：在几何证明中，反证法和归纳法是两种常见的证明方法。

反证法通过假设问题的对立面，推导出矛盾的结论，以此证明命题的正确性。

归纳法则通过从特殊到一般的推广方式，证明命题在所有情况下的正确性。

结论的可验证性
反证法的结论必须是可验证的，不能出现无法验证或违背事实的情 况。
结论的普遍性
如果反证法的结论是针对某一特定情况，那么这个结论必须具有普 遍性，不能只适用于个别情况。
05
反证法练习题与解析
等腰三角形性质练习题与解析
题目
假设在一个三角形ABC中，角A是直角，角B是锐角，那么角 C是钝角。
解析
根据勾股定理，在直角三角形中，直 角边的平方和等于斜边的平方。即， c^2 + b^2 = AB^2。因此，AB的长 度是c和b的平方和的平方根。
平行线性质练习题与解析
题目
假设两条直线平行且被一条横线相交，那么它们的同位角相等。
解析
根据平行线的性质，如果两条直线平行且被一条横线相交，那么它们的同位角是相等的 。这是因为平行线之间的横线将它们分成相等的两部分，所以它们的同位角必然相等。
02
反证法基础
反证法的定义
• 反证法的定义：反证法是一种证明方法，通过否 定待证明的命题，然后推导出矛盾，从而肯定原 命题。
反证法的适用范围
• 适用范围：反证法适用于证明某一命题是否成立，特别是当直接证明困难时，可以通过否定命题来找到证明的突破口。
反证法的证明步骤
01
02
03
步骤一
假设待证明的命题不成立 ，即假设命题为假。
04
反证法的注意事项
假设的合理性
假设条件明确
在应用反证法时，假设的条件必须是 明确的，不能有歧义或模糊不清的情 况。
假设条件与结论相关
假设条件的逻辑性
假设的条件必须具有逻辑性，不能出 现自相矛盾或违背事实的情况。
假设的条件必须与要证明的结论相关 ，不能偏离主题或无关紧要。

反证法(⼜称背理法)是⼀种论证⽅式，他⾸先假设某命题不成⽴(即在原命题的条件下，结论不成⽴)，然后推理出明显⽭盾的结果，从⽽下结论说原假设不成⽴，原命题得证。

反证法与归谬法相似，但归谬法不仅包括推理出⽭盾结果，也包括推理出不符事实的结果或显然荒谬不可信的结果。

例：桌上有9只杯⼦，全部⼝朝上，每次将其中6只同时“翻转”.请说明：⽆论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯⼦全部⼝朝下。

解：要使⼀只杯⼦⼝朝下，必须经过奇数次“翻转”.要使9只杯⼦⼝全朝下，必须经过9个奇数之和次“翻转”.即“翻转”的总次数为奇数.但是，按规定每次翻转6只杯⼦，⽆论经过多少次“翻转”，翻转的总次数只能是偶数次.因此⽆论经过多少次“翻转”，都不能使9只杯⼦全部⼝朝下。

这个证明过程教给我们⼀种思考问题和解决问题的⽅法.先假设某种说法正确，再利⽤假设说法和其他性质进⾏分析推理，最后得到⼀个不可能成⽴的结论，从⽽说明假设的说法不成⽴.这种思考证明的⽅法在数学上叫“反证法”。

初中数学反证法在初中数学的学习中，我们会接触到各种各样的解题方法，其中反证法是一种独特而富有魅力的方法。

它就像是数学世界中的“逆向思维魔法”，常常能帮助我们在看似无解的困境中找到出路。

反证法，顾名思义，就是先假设命题的结论不成立，然后通过一系列的推理，得出与已知条件、定理、公理等相互矛盾的结果，从而证明原命题的结论是正确的。

这种方法听起来似乎有点绕，但其实只要我们深入理解，就能发现它的巧妙之处。

为了更好地理解反证法，让我们来看一个简单的例子。

假设要证明“在一个三角形中，最多只能有一个直角”。

我们先假设在一个三角形中可以有两个或三个直角。

如果有两个直角，那么三角形的内角和就会超过 180 度，这与三角形内角和是 180 度这个定理相矛盾。

同样，如果有三个直角，内角和更是远远超过 180 度，这显然是不可能的。

所以，我们的假设是错误的，从而得出在一个三角形中最多只能有一个直角的结论。

再比如，证明“根号 2 是无理数”。

如果假设根号 2 是有理数，那么它可以表示为一个既约分数 p/q（p、q 为整数，且互质），即根号 2 ＝p/q，两边平方得到 2 ＝ p^2/q^2，即 p^2 ＝ 2q^2。

由此可知 p^2 是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以 p 也是偶数。

不妨设 p ＝ 2m，代入上式得到 4m^2 ＝ 2q^2，即 2m^2 ＝ q^2，这又说明 q 也是偶数。

但是 p、q 都是偶数，这与 p、q 互质矛盾。

所以，假设不成立，根号 2 是无理数。

反证法的应用范围非常广泛。

在几何证明中，当直接证明某个结论比较困难时，反证法常常能发挥意想不到的作用。

比如在证明“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”时，就可以使用反证法。

假设过直线外一点有两条直线与已知直线平行，然后通过一系列的推理，会得出与平行公理相矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。

在代数中，反证法也有很多用武之地。

例如，证明方程 x^5 ＋ x 1＝0 只有一个正实数根。

初中几何证明基本方法几何证明是数学中的一种重要方法，通过构建逻辑链条和运用几何定理，来解决几何问题并验证结论的正确性。

在初中数学学习过程中，几何证明是一个必不可少的内容。

本文将介绍初中几何证明的基本方法，帮助学生提高几何证明的能力和水平。

一、直接证明法直接证明法是最常用的一种几何证明方法，它通过说明给定条件和已知结论之间存在直接的逻辑关系，从而得出结论。

具体步骤如下：1. 根据题目中给出的已知条件，画出相应的图形。

2. 根据图形特点和给定条件中的几何定理或性质，推导出需要证明的结论。

3. 用文字叙述或符号表示，清晰地陈述证明过程。

二、间接证明法间接证明法是一种通过反设法来证明某个结论的方法。

具体步骤如下：1. 根据已知条件，画出相应的图形。

2. 假设需要证明的结论不成立，并根据这个假设进行推理。

3. 利用假设的不成立，推导出与已知条件或已有结论矛盾的结论。

4. 从而得出反设法的结论，证明原结论的正确性。

三、反证法反证法是一种通过假设结论不成立，然后通过推导得出矛盾结论，从而证明结论的正确性的方法。

具体步骤如下：1. 假设需要证明的结论不成立，并根据这个假设进行推理。

2. 推导出与已知条件或已有结论矛盾的结论。

3. 得出矛盾结论后，说明这种情况是不存在的，从而证明原结论的正确性。

四、数学归纳法数学归纳法主要用于证明关于正整数的结论，它基于一个基础情况成立和一个由前一情况导出下一情况的假设。

具体步骤如下：1. 证明第一个情况成立，即基础情况成立。

2. 假设第n个情况成立，推导出第n+1个情况成立。

3. 基于以上推理，得出结论在所有情况下成立。

五、反证法证明等腰三角形定理等腰三角形定理：在三角形中，如果两边的边长相等，那么两个对应的角度也相等。

下面通过反证法来证明等腰三角形定理。

假设有一个三角形ABC，边AB = AC，但∠B ≠ ∠C。

根据夹角和定理，∠A + ∠B + ∠C = 180°。

初中几何反证法专题学习要求停了解反证法的意义，懂得什么是反证法。

® 理解反证法的基本思路，并掌握反证法的一般证题步骤。

知识讲解证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命题结论的反面不能成立。

从而推岀命题的结论必然成立，它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提升推理论证的水平、探索新知识的水平都是非常必要的。

下而我们对反证法作一个简单介绍。

1.反证法的概念：不直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

2.反证法的基本思路：首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假左条件下实行一系列的准确逻辑推理，直至得出一个矛盾的结论来，并据此否左原先的假设，从而确认所要证明的结论成立。

这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾，或是与数学中已知立理、公理和定义相矛盾，还能够是与日常生活中的事实相矛盾，甚至还能够是从两个不同角度实行推理所得岀的结论之间相互矛盾(即自相矛盾)。

3.反证法的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立：(2)从这个假设岀发，经过推理论证得出矛盾：(3)由矛盾判定假设不准确，从而肯左命题的结论准确。

简来说之就是“反设-归谬一结论"三步曲。

相平分。

证明：假设AB与CD互相平分于点M、则由已知条件AB. CD均非OO直径, 可判泄M不是圆心0,连结OA、OB. 0NLVOA=OB, M 是AB 中点.・.OM丄AB (等腰三角形底边上的中线垂直于底边)同理可得：OM丄CD,从而过点M有两条直线AB、CD都垂直于OM这与已知的泄理相矛盾。

故AB与CD不能互相平分。

例2.已知：在四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，丄且MN= 2 (AD+BC)o求证：AD〃BC(2)证明：假设AD*BC,连结ABD,并设P是BD的中点，再连结NIP、PN。

在AABD中VBM=MA, BP=PD丄1_AMP= 2 AD,同理可证PN^ 2BC1_从而MP+PN= 2 (AD+BC)①这时，BD的中点不在MN上若不然，则由MN〃AD, MN〃BC,得AD〃BC与假设AD*BC矛盾, 于是M、P、N 三点不共线。

反证法在初中数学解题中的运用分析反证法是一种常见的数学证明方法，也是初中数学中常用的解题思路之一。

反证法是指假设所证明的命题不成立，通过利用这个假设导出矛盾，从而证明所证明的命题一定成立的证明方法。

在初中数学中，反证法的应用涉及到数形结合、代数运算、不等式运算等多个方面。

一、数形结合题目的解法在初中数学中，数形结合是常见的一类问题。

例如，有一条线段，两个端点为A、B，还有一个点C在该线段上，问是否存在另一条线段使得它同时与AC、BC垂直。

这类问题解法中，经常需要通过反证法进行证明。

在这样的问题中，我们可以先假设不存在这样的线段，假设AC和BC的斜率分别为k1、k2，那么这个假设就是AC和BC垂直的充分必要条件是k1 k2=-1，即两者斜率的乘积为-1。

然后我们假设存在一条直线（假设为DE）同时与AC、BC垂直，并且交于CD处，然后尝试用类似于等式代数的方式进行求解。

我们可以通过计算数学关系，连接D、E两点并画一条直线，得到一个与原始假设相矛盾的情形，说明我们的假设不成立。

因此，这个问题得到的结论是，存在这样的线段使得它同时与AC、BC垂直。

在初中代数中，反证法也被广泛应用。

例如，在解一元二次方程时，如果方程的判别式b²-4ac小于零，则无实数解。

假设方程有解，则可以列出方程写出其解的公式。

通过展开平方和完全平方公式，我们可以得到解的通用公式：x=[-b±√( b²-4ac)]/2a。

那么现在我们假设方程有解，那么一定有b²-4ac≥0。

因此，这个假设与方程无实数解的判定条件不符，从而得出结论，该二次方程无实数解。

另外，在解一元二次方程的过程中，还存在一类问题，需要通过反证法进行证明。

例如，已知一元二次方程ax²+bx+c=0中a、b、c都是整数，若存在有理数解，则一定存在正整数解。

这个问题假设了方程存在有理数解，那么对于该方程可以写出rational根定理：若p/q(Fraction形式薪 %tatio)是方程ax²+bx+c=0的有理数解，其中p、q没有公共因数（最大公约数为1），则p是c的因数，q是a的因数。

立体几何中的反证法方法总结1．位置关系：（1）两条异面直线相互横向证明方法：①证明两条异面直线所成角为90o；②证明线面垂直，得到线线垂直；③证明两条异面直线的方向量相互垂直。

（2）直线和平面相互平行证明方法：①证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；②证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；③证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。

（3）直线和平面横向证明方法：①证明直线和平面内两条相交直线都垂直，②证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直；③证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。

（4）平面和平面相互横向证明方法：①证明这两个平面所成二面角的平面角为90o；②证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；③证明两个平面的法向量相互垂直。

2．谋距离：求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。

（1）两条异面直线的距离求法：利用公式法。

（2）点至平面的距离求法：①“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。

②等体积法。

③向量法。

3．谋角（1）两条异面直线所成的角带发修行：①先通过其中一条直线或者两条直线的位移，找到这两条异面直线阿芒塔的角，然后通过求解三角形回去求出；②通过两条异面直线的方向量阿芒塔的角去求出，但是注意到异面直线阿芒塔角得范围就是，向量阿芒塔的角范围就是，如果算出的就是钝角，必须特别注意转化成适当的.锐角。

（2）直线和平面所成的角带发修行：①“一打听二证三求”，三步都必须必须确切地写下出。

②向量法，先求直线的方向量于平面的法向量阿芒塔的角α，那么所建议的角为或。

（3）平面与平面所成的角带发修行：①“一打听二证三求”，找到这个二面角的平面角，然后再去证明我们打听出的这个角是我们建议的二面角的平面角，最后就通过求解三角形xi。

②向量法，先求两个平面的法向量阿芒塔的角为α，那么这两个平面阿芒塔的二面角的平面角为α或π－α。

反证法专题50道18．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程30至少有两个实根”时，要x ax b做的假设是（）A．方程30恰好有两个实根x ax bx ax b没有实根B．方程30C．方程30至多有一个实根x ax b至多有两个实根D．方程30x ax ba b ，则,a b至少有一个小于0”时，假设应为（）19．利用反证法证明“若0A．,a b都小于0B．,a b都不小于0C．,a b至少有一个不小于0D．,a b至多有一个小于020．用反证法证明命题时，对结论：“自然数a，b，c中至少有一个是奇数”正确的假设为（）A．a，b，c都是偶数B．a，b，c都是奇数C．a，b，c中至少有两个奇数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数第1页，共17页参考答案：1．A【分析】根据命题的结论的否定进行判断即可.【详解】因为a ，b 中至少有一个能被5整除的否定是a ，b 都不能被5整除，所以假设的内容应该是a ，b 都不能被5整除，故选：A 2．B【分析】“至少有一个”的否定是“一个也没有”，进而可得答案.【详解】由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故命题“a ，b ∈N+，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除”的否定是“a ，b 都不能被5整除”．故选：B ．3．C【分析】根据反证法的定义即可直接得出结果.【详解】由反证法的定义，知在推导过程中，不能把原结论作为条件使用，其他都可以当作条件来使用，所以可以使用结论的否定、已知条件、公理、定理、定义等.故选：C.4．C【分析】根据反证法基本原理，对结论进行否定即可得到结果.【详解】“a 与b 都不能被7整除”的否定为：,a b 至少有一个能被7整除.故选：C.5．D【分析】根据给定条件，利用反证法的意义写出结论的否定作答.【详解】命题“如果0a b ”，“那么22a b ”的结论是22a b ，而反证法证明命题时，是假设结论不成立，即结论的反面成立，所以所求假设是22a b .故选：D 6．C答案第2页，共17页【分析】取命题的反面即可.【详解】用反证法证明命题，应先假设它的反面成立，即1x 且1y ，故选：C ．7．D【分析】利用反证法证明规则即可得到应假设0x 或0y .【详解】利用反证法证明，应先假设结论不成立，本题应假设0x 或0y 故选：D 8．C【分析】根据反证法证明命题的方法，应先假设命题的反面成立，故求出命题的反面即可.【详解】“x ，y 至多有一个大于0”包括“x ，y 都不大于0和有且仅有一个大于0”，故其对立面为“x ，y 都大于0”.故选：C.9．C【分析】反证法中“a ，b ，c 至少有一个是无理数”的假设为“假设a ，b ，c 都不是无理数”，对照选项即可得到答案.【详解】依题意，反证法中“a ，b ，c 至少有一个是无理数”的假设为“假设a ，b ，c 都不是无理数”，即“假设a ，b ，c 都是有理数”.故选：C.10．A【分析】根据“至少有一个大于”的反设是“三个都不大于”可直接得到结果.【详解】“至少有一个大于”的反设是“三个都不大于”，反设正确的是“三个内角都不大于60 ”.故选：A.11．B【分析】根据“至少有一个是偶数”的否定形式可直接判断出结果.【详解】∵“至少有一个是偶数”的否定形式为“都不是偶数”，假设正确的是：假设,,a b c 都不是偶数.故选：B.12．B【分析】“反证法”就是从命题的反面即否定形式入手考虑题设.故答案为：若“6x y ，则3x 且4y ”成立.45．0x 且0y 【分析】根据反证法思想，写出原命题证明中的假设条件即可.【详解】由反证法思想：否定原结论，推出矛盾，所以题设命题的证明，应假设0x 且0y .故答案为：0x 且0y 46．02a 【分析】根据反证法的结构特点可得正确的假设.【详解】对于命题：“已知a R ，若|1|1a ，则a<0或2a ”，用反证法证明时应假设：若02a .故答案为：02a .47．a b 且b c 成立【分析】假设结论的反面成立，即可求解．【详解】解：假设结论的反面成立，即a b 且b c 成立．故答案为：a b 且b c 成立．48．在一个三角形中至少有两个内角是钝角【分析】依据命题的否定即可求得结论的否定为“在一个三角形中至少有两个内角是钝角”【详解】命题“一个三角形中最多只有一个内角是钝角”的否定为“在一个三角形中至少有两个内角是钝角”故答案为：在一个三角形中至少有两个内角是钝角49．1x 且1y 【分析】根据给定条件，写出已知命题结论的否定作答.【详解】命题若2x y ，则1x 或1y 的结论是“1x 或1y ”，其否定为“1x 且1y ”，所以假设的内容应该是：1x 且1y .故答案为：1x 且1y 50．1x 且1y 【分析】根据反证法的原理可知.【详解】根据反证法的原理可知，求证1x 或1y 时，应首先假设1x 且1y .故答案为：1x 且1y 51．a ，b ，c 中至少有两个偶数【分析】用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，所以找出命题的否定是解题的关键.【详解】用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立.因为“自然数a，b，c中至多有一个偶数”的否定是：“a，b，c中至少有两个偶数”，所以用反证法证明“自然数a，b，c中至多有一个偶数”时，假设应为“a，b，c中至少有两个偶数”，故答案为：a，b，c中至少有两个偶数.。