2018年秋高中数学课时分层作业19空间向量与垂直关系新人教A版选修21

2．设直线l的方向向量u＝(－2,2，t)，平面α的一个法向量v＝
(6，－6,12)，若直线l⊥平面α，则实数t等于( )
A．4
B．－4
C．2
D．－2
B [因为直线l⊥平面α，所以u∥v，则－62＝－26＝1t2，解得t＝
－4，故选B．]
3．若直线l1的方向向量为u1＝(1,3,2)，直线l2上有两点A(1,0， 1)，B(2，－1,2)，则两直线的位置关系是______．
∵M 为 BC 中点，
∴M14， 43，0．
∴M→N＝－41， 43，14，A→B1＝(1,0,1)， ∴M→N·A→B1＝－14＋0＋14＝0． ∴M→N⊥A→B1，∴AB1⊥MN．
应用向量法证明线面垂直
【例 2】 如图所示，正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都为 2， D 为 CC1 的中点．
⇔_(_a_1，__b_1_，__c_1_)＝__k_(_a_2_，__b_2，__c_2_) __(k∈R)
若平面 α 的法向量 u＝(a1，b1，c1)，平面 β 的法向量
面面垂直 v＝(a2，b2，c2)，则 α⊥β ⇔ u⊥v ⇔__a_1_a_2＋__b_1_b_2_＋__c_1c_2_＝__0___
2基向量法：利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算 律，结合图形，将两直线所在的向量用基向量表示，然后根据数量积 的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于 0，从而证明两条直线 的方向向量互相垂直.
[跟进训练] 1．如图，已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长都为 1，M 是底面 上 BC 边的中点，N 是侧棱 CC1 上的点，且 CN＝14CC1．
取 B1C1 的中点 O1，以 O 为原点，以O→B，O→O1，O→A分别为 x 轴， y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 B(1,0,0)，D(－1,1,0)， A1(0,2， 3)，A(0，0， 3)，B1(1,2,0)．所以A→B1＝(1,2，－ 3)，B→A1＝ (－1,2， 3)，B→D＝(－2,1,0)．

2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的 交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.
证明： 证法一：设A→1B1＝a，A→1D1＝b，A→1A＝c. 则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0. 而A→1O＝A→1A＋A→O＝A→1A＋12(A→B＋A→D) ＝c＋12(a＋b)， B→D＝A→D－A→B＝b－a， O→G＝O→C＋C→G＝12(A→B＋A→D)＋12C→C1 ＝12(a＋b)－12c，
三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如图 所示，截面为 A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面 ABC，A1A＝ 3， AB＝AC＝2A1C1＝2，D 为 BC 中点．
解答本题可证明B→C垂直于平面A1AD内的两个不共线向量 A→A1和A→D或求两平面的法向量，再证明两个法向量互相垂直．
则nn11··AA→A→C1＝＝00， ⇒z－1＝2x01，＋2y1＝0.
令x1＝1，得y1＝1，∴n1＝(1,1,0)．
设平面AEC1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则nn22··AA→C→E1＝＝00，， ⇒z－2＝2x42x＋2，2y2＋z2＝0
令x2＝1，则n2＝(1，－1,4)，n1·n2＝1－1＝0， 即平面AEC1⊥平面AA1C1C.
空间中的垂直关系及其向量证明方法 (1)线线垂直 ①证明两直线的方向向量垂直． ②证明两直线所成角为90°. ③先证明线面垂直，利用线面垂直的性质． (2)线面垂直 ①证明直线的方向向量与平面的法向量平行． ②证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直． ③先证明面面垂直，利用面面垂直的性质．
求证：AB1⊥MN.
解答本题可先选基向量，证明A→B1·M→N＝0或先建系，再证 明A→B1·M→N＝0.

第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 第2课时 空间向量与垂直关系A 级 基础巩固一、选择题1．若直线l 的方向向量a ＝(1，0，2)，平面α的法向量为u ＝(－2，0，－4)，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ．l ⊂αD ．l 与α斜交解析：所以u ＝－2a ，所以a ∥u ，所以l ⊥α. 答案：B2．在菱形ABCD 中，若PA →是平面ABCD 的法向量，则以下等式中可能不成立的是( ) A.PA →·AB →＝0 B.PC →·BD →＝0 C.PC →·AB →＝0D.PA →·CD →＝0解析：因为PA ⊥平面ABCD ， 所以BD ⊥PA .又AC ⊥BD ，所以BD ⊥平面PAC ， 所以PC ⊥BD .故选项B 正确，选项A 和D 显然成立， 故选C. 答案： C3．若平面α、β的法向量分别为a ＝(－1，2，4)，b ＝(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为( )A ．10B ．－10 C.12D ．－12解析：因为α⊥β，则它们的法向量也互相垂直， 所以a ·b ＝(－1，2，4)×(x ，－1，－2)＝0， 解得x ＝－10. 答案：B4．设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b ，若a ·b ＝0，则( ) A ．l ∥αB ．l ⊂αC ．l ⊥αD ．l ⊂α或l ∥α解析：因为a ·b ＝0， 所以a ⊥b ，故选D. 答案：D5．已知A (3，0，－1)，B (0，－2，－6)，C (2，4，－2)，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：AB →＝(－3，－2，－5)，AC →＝(－1，4，－1)，则AB →·AC →＝－3×(－1)－2×4＋5＝0.所以AB →⊥AC →，故△ABC 为直角三角形．又|AB →|≠|AC →|，故选C.答案：C 二、填空题6．若l 的方向向量为(2，1，m )，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，且l ⊥α，则m ＝________．解析：由l ⊥α得，21＝112＝m2，即m ＝4.答案：47．平面α，β的法向量分别为(－1，2，4)，(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为________．解析：因为α⊥β，所以它们的法向量也互相垂直， 则有－x －2－8＝0，所以x ＝－10. 答案：－108．在直角坐标系O -xyz 中，已知点P (2cos x ＋1，2cos 2x ＋2，0)和点Q (cos x ，－1，3)，其中x ∈[0，π]，若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________．解析：由OP ⊥OQ ，得OP →·OQ →＝0，即(2cos x ＋1)·cos x ＋(2cos 2x ＋2)·(－1)＝0.所以cos x ＝0或cos x ＝12.因为x ∈[0，π]，所以x ＝π2或π3.答案：π2或π3三、解答题9．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，求证：OB 1⊥平面PAC .证明：如图，建立空间直角坐标系，不妨设正方体棱长为2，则A (2，0，0)，P (0，0，1)，C (0，2，0)，B 1(2，2，2)，O (1，1，0)．于是OB 1→＝(1，1，2)，AC →＝(－2，2，0)，AP →＝(－2，0，1)， 由于OB 1→·AC →＝－2＋2＋0＝0 及OB 1→·AP →＝－2＋0＋2＝0. 所以OB 1→⊥AC →，OB 1→⊥AP →， 所以OB 1⊥AC ，OB 1⊥AP .又AC ∩AP ＝A ，所以OB 1⊥平面PAC .10．三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为A 1B 1C 1，∠BAC ＝90°，A 1A ⊥平面ABC ，A 1A ＝3， AB ＝AC ＝2A 1C 1＝2，D 为BC 中点．证明：平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.证明：法一：如图，建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，A 1(0，0，3)，C 1(0，1，3)，因为D 为BC 的中点， 所以D 点坐标为(1，1，0)， 所以BC →＝(－2，2，0)， AD →＝(1，1，0)，AA 1→＝(0，0，3)，因为BC →·AD →＝－2＋2＋0＝0，BC →·AA 1→＝0＋0＋0＝0， 所以BC →⊥AD →，BC →⊥AA 1→，所以BC ⊥AD ，BC ⊥AA 1， 又AD ∩AA 1＝A ，所以BC ⊥平面ADA 1， 而BC ⊂平面BCC 1B 1， 所以平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1. 法二：同法一，得AA 1→＝(0，0，3)，AD →＝(1，1，0)，BC →＝(－2，2，0)，CC 1→＝(0，－1，3)，设平面A 1AD 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 平面BCC 1B 1的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 由⎩⎨⎧n 1·AA 1→＝0，n 1·AD →＝0得⎩⎨⎧3z 1＝0，x 1＋y 1＝0.令y 1＝－1得x 1＝1，z 1＝0， 所以n 1＝(1，－1，0)．由⎩⎨⎧n 2·BC →＝0，n 2·CC 1→＝0，解⎩⎨⎧－2x 2＋2y 2＝0，－y 2＋3z 2＝0.令y 2＝1，得x 2＝1， z 2＝33， 所以n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，33. 所以n 1·n 2＝1－1＋0＝0，所以n 1⊥n 2. 所以平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.B 级 能力提升1．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A ．AC B ．BD C ．A 1D D ．A 1A答案：B2．已知点A ，B ，C 的坐标分别为(0，1，0)，(－1，0，1)，(2，1，1)，点P 的坐标为(x ，0，z )，若PA →⊥AB →，PA →⊥AC →，则点P 的坐标为________．解析：因为AB →＝(－1，－1，1)， AC →＝(2，0，1)，PA →＝(－x ，1，－z )，由PA →·AB →＝0，PA →·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －1－z ＝0，－2x －z ＝0，则x ＝13，z ＝－23，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，－23.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，－233.在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 的中点，试在棱CC 1上求一点P ，使得平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE .解：如图，以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，P (0，1，a )，则A 1(1，0，1)，B 1(1，1，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，C 1(0，1，1)，A 1B 1→＝(0，1，0)，A 1P →＝(－1，1，a －1)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，DC 1→＝(0，1，1)．设平面A 1B 1P 的一个法向量为 n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧n 1·A 1B 1→＝0，n 1·A 1P →＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝0，－x 1＋y 1＋（a －1）z 1＝0， 所以x 1＝(a －1) z 1，y 1＝0. 令z 1＝1，得x 1＝a －1， 所以n 1＝(a －1，0，1)．设平面C 1DE 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎨⎧n 2·DE →＝0，n 2·DC 1→＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧12x 2＋y 2＝0，y 2＋z 2＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2y 2，z 2＝－y 2.令y 2＝1，得x 2＝－2，z 2＝－1， 所以n 2＝(－2，1，－1)． 因为平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE ，所以n 1·n 2＝0，即－2(a －1)－1＝0，得a ＝12.所以当P 为CC 1的中点时，平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE .。

课时作业24 空间向量与垂直关系时刻：45分钟分值：100分一、选择题(每题6分，共36分)1．假设向量m同时垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R，λ，μ≠0)，那么( )A．m∥n B．m⊥nC．m与n既不平行也不垂直D．以上三种情形均有可能解析：m·n＝m·(λa＋μb)＝λm·a＋μm·b＝0.答案：B2．已知平面α内的三点A(0,0,1)、B(0,1,0)、C(1,0,0)，平面β的一个法向量为n＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，那么( )A．α∥βB．α⊥βC．α与β相交不垂直D．以上都不对解析：AB→＝(0,1，－1)，AC→＝(1,0，－1)，n·AB→＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0，n·AC→＝－1×1－1×0＋(－1)×(－1)＝0，∴n⊥AB→，n⊥AC→.∴n也为α的一个法向量．又α与β不重合，∴α∥β.答案：A3．在菱形ABCD中，假设PA→是平面ABCD的法向量，那么以劣等式中可能不成立的是( )A.PA→·AB→＝0B.PC→·BD→＝0C.PC→·AB→＝0D.PA→·CD→＝0解析：∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA.又AC⊥BD，∴PC⊥BD.应选项B正确，选项A和D显然成立．应选C.答案：C4．已知向量a，b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，那么c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的( )A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又没必要要条件解析：若c ·a ＝0且c ·b ＝0⇒/ l ⊥α，缘故是a 可能与b 共线，而l ⊥α那么必然有c ·a ＝0且c ·b ＝0成立．应选B.答案：B5．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，假设AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ，那么BP→等于( )A ．(337，－157，4)B ．(337，－157，－3)C ．(407，－157，4)D ．(407，157，－3)解析：由AB →·BC →＝0得3＋5－2z ＝0，∴z ＝4.又BP →⊥平面ABC ，∴⎩⎨⎧ BP →·AB →＝0BP →·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＋5y ＋6＝03x －3＋y －12＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407y ＝－157.答案：B6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，假设E 为A 1C 1的中点，那么直线CE 垂直于() A ．AC B ．BDC ．A 1D D ．A 1A图1解析：成立如图1坐标系，设正方体棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，E (12，12，1)． ∴CE →＝(12，12，1)－(0,1,0)＝(12，－12，1)． AC →＝(－1,1,0)，BD →＝(－1，－1,0)，A 1D →＝(－1,0，－1)，A 1A →＝(0,0，－1)．∵CE →·BD →＝(12，－12，1)·(－1，－1,0) ＝－12＋12＋0＝0. ∴CE →⊥BD →，∴CE ⊥BD .答案：B二、填空题(每题8分，共24分)7．已知A 、B 、C 三点的坐标别离为A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，λ)，假设AB ⊥AC ，那么λ等于________．解析：∵AB →＝(－2，－6，－2)，AC →＝(－1,6，λ－3)，AB →·AC →＝2－36－2(λ－3)＝0，∴λ＝－14.答案：－148．已知A ，B ，C 的坐标为(0,1,0)，(－1,0,1)，(2,1,1)，点P 的坐标(x,0，z )，假设PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，那么P 点坐标为________．解析：利用向量垂直的条件． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，－23 9．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，若是AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．关于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的选项是________．解析：由AP →·AB →＝－2－2＋4＝0知AP ⊥AB ；由AP →·AD →＝－4＋4＋0＝0，知AP ⊥AD ，由①②知AP →是平面ABCD 的法向量，易知AP →不平行BD →，因此①②③正确．答案：①②③三、解答题(共40分)10．(10分)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 别离是BB 1、CD 的中点，求证：D 1F ⊥平面ADE . 图2证明：不妨设已知正方体的棱长为1个单位长度．以D 为坐标原点，成立如图2所示的空间直角坐标系，那么D (0,0,0)，A (1,0,0)，D 1(0,0,1)，E (1,1，12)，F (0，12，0)， 因此D 1F →＝(0，12，－1)，AD →＝(－1,0,0)，AE →＝(0,1，12)． 因此D 1F →·AD →＝0，D 1F →·AE →＝0＋12－12＝0. 因此D 1F →⊥AD →且D 1F →⊥AE →，即D 1F ⊥AD ，D 1F ⊥AE .又AE ∩AD ＝A ，因此D 1F ⊥平面ADE .图311．(15分)已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面相互垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点． 求证：AM ⊥平面BDF .图4证明：以C 为坐标原点，成立如图4所示的空间直角坐标系，那么A (2，2，0)，B (0，2，0)，D (2，0,0)，F (2，2，1)，M (22，22，1)． 因此AM →＝(－22，－22，1)，DF →＝(0，2，1)，BD →＝(2，－2，0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BDF 的法向量，则n ⊥BD →，n ⊥DF →，因此⎩⎨⎧ n ·BD →＝2x －2y ＝0n ·DF →＝2y ＋z ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝y ，z ＝－2y ，取y ＝1， 得x ＝1，z ＝－2. 则n ＝(1,1，－2)． 因为AM →＝(－22，－22，1)， 因此n ＝－2AM →，得n 与AM →共线．因此AM ⊥平面BDF .图512．(15分)如图5所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 别离是BB 1，DC 的中点．(1)证明平面AD 1F⊥平面ADE.(2)在AE 上求一点M ，使得A 1M⊥平面DAE.解：(1)不妨设正方体的棱长为1，以D 为坐标原点，别离以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z轴成立如图6所示的空间直角坐标系，那么A(1,0,0)，D 1(0,0,1)，F(0，12，0)，E(1,1，12)，AD 1→＝(－1,0,1)，AF →＝(－1，12，0)，AD →＝(－1,0,0)，AE →＝(0,1，12)．设n 1，n 2别离为平面AD 1F ，平面ADE 的法向量．令n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)，图6∴AD 1→·n 1＝(－1,0,1)·(x 1，y 1，z 1)＝－x 1＋z 1＝0，AF →·n 1＝(－1，12，0)·(x 1，y 1，z 1)＝－x 1＋12y 1＝0， 令x 1＝1，∴n 1＝(1,2,1)．又AD →·n 2＝(－1,0,0)·(x 2，y 2，z 2)＝－x 2＝0，AE →·n 2＝(0,1，12)·(x 2，y 2，z 2)＝y 2＋12z 2＝0，令y 2＝1， ∴n 2＝(0,1，－2)．∵n 1·n 2＝(1,2,1)·(0,1，－2) ＝1×0＋2×1＋1×(－2)＝0，∴平面AD 1F ⊥平面ADE .(2)由于点M 在AE 上，∴可设AM →＝λAE →＝λ(0,1，12)＝(0，λ，12λ) 可得M (1，λ，12λ)，又∵A 1(1,0,1)，于是A 1M →＝(0，λ，12λ－1) 要使A 1M ⊥平面DAE ，需A 1M ⊥AE ，∴A 1M →·AE →＝(0，λ，12λ－1)·(0,1，12)＝54λ－12＝0， 得λ＝25. 故当AM ＝25AE 时，即点M 的坐标为(1，25，15)时，A 1M ⊥平面DAE .。

§3.2 立体几何中的向量方法（二）——空间向量与垂直关系课时目1. 能利用平面法向量证明两个平面垂直.2. 能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系．一、选择题1. 设直线l i ,丨2的方向向量分别为 a = (1,2 , - 2), b = ( — 2,3 , m )，若l i 丄丨2，贝卩m 等于 ( ) A . 1B . 2C . 3D . 42 .已知 A (3,0 , — 1) , B (0，— 2, — 6) , C (2,4 , — 2)，则△ ABC 是 ( )A .等边三角形B •等腰三角形 C.直角三角形D•等腰直角三角形6.如图所示，在正方体ABC —ABCD 中，E 是上底面中心，则AC 与CE 的位置关系是( )A .平行 B•相交 C.相交且垂直D.以上都不是二、 填空题7. ______________________________ 已知直线l 与平面a 垂直，直线I 的一个方向向量为 U = (1 ,- 3, Z )，向量V = (3 , —2,1)与平面a 平行，则Z= . &已知a = (0,1,1), b = (1,1,0) , C = (1,0,1)分别是平面 a ,卩，Y 的法向量，贝U a ,卩,丫三个平面中互相垂直的有 __________ 对. 9. 下列命题中：① 若u , V 分别是平面a ,卩的法向量，贝U a 丄卩？U ・v = 0； ② 若U 是平面a 的法向量且向量a 与a 共面，则u ・a = 0; ③ 若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直. 正确的命题序号是 __________ .(填写所有正确的序号) 三、 解答题10. 已知正三棱柱 ABC-ABC 的各棱长都为1, M 是底面上 BC 边的中点，N 是侧棱 CC1上的点，且 CN= [CC.求证：AB 丄MN3.若直线 l 的方向向量为 a = (1,0,2),平面A . I // aB .I 丄aC . l ?aD . l 与 a 斜交4. 平面 a 的一个法向量为 (1,2,0),平面卩 平面卩 的位置关系是 ( )A . 平行 B.相交但不垂直 C . 垂直D.不能确定5. 设直线I 1的方向向量为a = (1 , — 2,2), 关系是 ( )A . 平行B .垂直C 相交不垂直D.不确定a 的法向量为n = ( — 2,0 , — 4)，则( )的一个法向量为(2 , — 1,0),贝U 平面a 与12的方向向量为b = (2,3,2)，贝U I 1与12的11. 已知ABC-ABC是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC的中点，求证：平面ABD丄平面ABBA1.能力提升12.如图，在四面体ABO（中，OCL OA OCL OB / AOB= 120°,且OA OB= OC= 1.设P为AC的中点，Q在AB上且AB= 3AQ证明：PQLOA13•如图，四棱锥P— ABCDK底面ABC［为矩形，PAL底面ABCD PA= AB={2，点E是棱PB的中点•证明：AE!平面PBC§ 3.2 立体几何中的向量方法(二)――空间向量与垂直关系知识梳理1. a 丄b a //u u 丄v2.作业设计1. B [ T l 1丄|2,.・.a丄b,.・.a •b = (1,2 , -2) - ( —2,3 , m) =- 2+ 6-2m^0,二m^2. ]2. C [ T AB= ( - 3,- 2, - 5) , XC= ( - 1,4 , - 1) , BC= (2,6,4),二XB- X C= 0AB丄AC且|爲AC工|丽，•••△ ABC为直角三角形.]3. B [T n = —2a,「. n// a,「. l 丄a .]4. C [T (1,2,0) - (2 , - 1,0) = 0,「.两法向量垂直，从而两平面也垂直. ]5. B [ T a -b = 2x 1 —2x 3+ 2x 2= 0, • a Xb,2，•'•I 1 丄 I 2.] 6. C [可以建立空间直角坐标系，通过 AC 与6E 的关系判断.]7. — 9解析 •/ I 丄％,••• U 丄V ,•- (1 , — 3, z ) • (3 , — 2,1) = 0,即 3+ 6 + z = 0, • z =— 9.8. 0解析 •/ a -b = (0,1,1)• (1,1,0) = 1工0,a ・c = (0, 1,1) • (1,0,1) = 1工0,b ・c = (1,1,0) • (1,0,1) = 1工 0. • a , b , c 中任意两个都不垂直，即a 、卩、丫中任意两个都不垂直.9. ①②③ 10. 证明• AB 丄M N 即AB 丄MN如图，以平面 2 ,4，ABC 内垂直于AC 的直线为x 轴,A G AA 所在直线为y 轴、z 轴,则A (0,0,0),12 , 1 33 ,• AB =亚1 ,N O ,1, 4.工1 14 , 4 , 412 ,T T 31 1• AB • MN= —；+；+ ；= 0 ,1 , MN=11 .证明2，如图，取AB1 的中点M，则3M= D C+ C A A M又A M= DG+ G~B I + B M,两式相加得2DM= C B+CB I=CA+ C Bb b b b b由于2D M- AA= (CA^CB • AA = 0, (c b B－c b A)=|C b B|2－|C b A|2=0.•••DML AA, DML AB AA Q AB= A •••DML平面ABBA，而 DM 平面ABD. •••平面ABD!平面ABBA.12．证明取O为坐标原点，以OA OC所在的直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz(如图所示) ．设A(1,0,0) ，C(0,0,1) ，故 P QL C A ,I 卩 PQL OA13.证明 如图所示，以A 为坐标原点，射线 AB AD AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴, 建立空间直角B - 2 © 0.2， 2，1••• P 为 AC 中点，• P 2，0,T 3 3•- AB= - 2，丐,0 ,又由已知，可得 AQ = 1A B = 3v,_3 ~6 ,1 —2 又 &o= O A + A Q = 2, ••• Pg OQb OP= 0, ••• PQ - &= 0,上6 -(1,0,0) = 0,坐标系Axyz.设D(0 , a,0),则B .2, 0,0) , Q 2, a,0),P(0,0 , 2),曰# 0 , * .于是AE= (# , 0 , #) , Bc= (0 , a,0), PC= ( .2 , a , —2),贝UAE- BC= 0 , AE- PC= 0.所以AE丄BC AE丄PC又因为B6 PC= C,所以AEL平面PBC。

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课时跟踪检测(十七) 空间向量与平行、垂直关系层级一学业水平达标1．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( ）A．(0，－3,1）B．（2，0，1)C．(－2，－3,1） D．（－2，3，－1)解析:选D 问题即求与n共线的一个向量．即n＝（2，－3，1）＝－（－2，3，－1)．2．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝（1，－3，z)，向量v＝（3，－2，1）与平面α平行，则z等于（)A．3 B．6C．－9 D．9解析：选C ∵l⊥α，v与平面α平行，∴u⊥v,即u·v＝0，∴1×3＋3×2＋z×1＝0，∴z＝－9.3．已知A(1，0，0），B(0，1，0),C（0，0,1），则平面ABC的一个法向量是( ）A．（1,1，－1) B．（1，－1，1)C．(－1,1，1) D．(－1，－1，－1)解析:选D AB＝(－1，1，0)，AC＝（－1,0,1）．设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则有错误!取x＝－1,则y＝－1，z＝－1.故平面ABC的一个法向量是(－1，－1，－1)．4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于( ）A．AC B．BD C．A1D D．A1A解析:选B 建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1.则A(1，0，0)，B(1,1,0），C(0，1,0)，D(0，0,0)，A1(1,0，1），C1（0,1，1），E错误!，∴CE＝错误!,AC＝（－1，1,0）,BD＝(－1，－1，0）,A D 1＝（－1,0，－1），A A1＝（0,0，－1）．∵CE·BD＝(－1）×错误!＋（－1)×错误!＋0×1＝0,∴CE⊥BD。

课时分层作业(十九) 空间向量与垂直关系(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知平面α的法向量为a ＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b ＝(－2，－4，k )，若α⊥β，则k ＝( )A ．4B ．－4C ．5D ．－5 D [∵α⊥β，∴a ⊥b ，∴a ·b ＝－2－8－2k ＝0. ∴k ＝－5.]2．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( )A ．337，－157，4B ．407，－157，4C ．407，－2,4D ．4，407，－15B [∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4， 又BP ⊥平面ABC ，∴BP →⊥AB →，BP →⊥BC →，则⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)＋5y ＋6＝0，3(x －1)＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157.]3．在菱形ABCD 中，若PA →是平面ABCD 的法向量，则以下等式中可能不成立的是( )【导学号：46342170】A ．PA →⊥AB → B ．PA →⊥CD →C ．PC →⊥BD →D ．PC →⊥AB →D [由题意知PA ⊥平面ABCD ，所以PA 与平面上的线AB ，CD 都垂直，A ，B 正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD ⊥平面PAC ，故PC ⊥BD ，C 选项正确．]4．已知点A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，点D 满足条件：DB ⊥AC ，DC ⊥AB ，AD ＝BC ，则点D 的坐标为( )A ．(1,1,1)B ．(－1，－1，－1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13 D ．(1,1,1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－13，－13D [设D (x ，y ，z )，则BD →＝(x ，y －1，z )，CD →＝(x ，y ，z －1)，AD →＝(x －1，y ，z )，AC →＝(－1,0,1)，AB →＝(－1，1,0)， BC →＝(0，－1,1)．又DB ⊥AC ⇔－x ＋z ＝0 ①，DC ⊥AB ⇔－x ＋y ＝0 ②， AD ＝BC ⇔(x －1)2＋y 2＋z 2＝2 ③，联立①②③得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－13，所以点D 的坐标为(1,1,1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－13，－13.故选D ．] 5.如图3­2­14所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在A 1D ，AC 上，且A 1E ＝23A 1D ，AF ＝13AC ，则( )图3­2­14A ．EF 至多与A 1D ，AC 之一垂直B ．EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC C ．EF 与BD 1相交 D ．EF 与BD 1异面B [建立分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系(图略)，不妨设正方体的棱长为1，则DA 1→＝(1,0,1)，AC →＝(0,1,0)－(1,0,0)＝(－1,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，13，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13，0，EF →＝⎝⎛⎭⎪⎫13，13，－13，∴EF →·DA 1→＝0，EF →·AC →＝0， ∴EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC ．] 二、填空题6．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．给出下列结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的一个法向量．其中正确的是________(填序号)．①②③ [AB →·AP →＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则AB →⊥AP →，则AB ⊥AP .AD →·AP →＝4×(－1)＋2×2＋0＝0，则AP →⊥AD →，则AP ⊥AD ．又AB ∩AD ＝A ，∴AP ⊥平面ABCD ，故AP →是平面ABCD 的一个法向量．]7．已知a ＝(0,1,1)，b ＝(1,1,0)，c ＝(1,0,1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对.【导学号：46342171】0 [∵a ·b ＝(0,1,1)·(1,1,0)＝1≠0，a ·c ＝(0,1,1)·(1,0,1)＝1≠0，b ·c ＝(1,1,0)·(1,0,1)＝1≠0，∴a ，b ，c 中任意两个都不垂直，即α，β，γ中任意两个都不垂直．]8．已知空间三点A (－1,1,1)，B (0,0,1)，C (1,2，－3)，若直线AB 上存在一点M ，满足CM ⊥AB ，则点M 的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，1 [设M (x ，y ，z )，∵AB→＝(1，－1,0)，BM →＝(x ，y ，z －1)，CM →＝(x －1，y －2，z ＋3)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －1－(y －2)＝0x ＝－yz －1＝0，∴x ＝－12，y ＝12，z ＝1，∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，1.]三、解答题9.如图3­2­15，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：AM ⊥平面BDF .图3­2­15[证明] 以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2，2，0)，B (0，2，0)，D (2，0,0)，F (2，2，1)，M ⎝⎛⎭⎪⎫22，22，1.所以AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，DF →＝(0, 2，1)，BD →＝(2，－2，0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BDF 的法向量， 则n ⊥BD →，n ⊥DF →，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝2x －2y ＝0，n ·DF →＝2y ＋z ＝0⇒⎩⎨⎧x ＝y ，z ＝－2y ，取y ＝1，得x ＝1，z ＝－ 2. 则n ＝(1,1，－2)． 因为AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1.所以n ＝－ 2 AM →，得n 与AM →共线． 所以AM ⊥平面BDF .10．如图3­2­16所示，△ABC 是一个正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝CA ＝2BD ．图3­2­16求证：平面DEA ⊥平面ECA ．[证明] 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，不妨设CA ＝2，则CE ＝2，BD ＝1，C (0,0,0)，A (3，1,0)，B (0,2,0)，E (0,0,2)，D (0,2,1)．所以EA →＝(3，1，－2)，CE →＝(0,0,2)，ED →＝(0,2，－1)．分别设平面CEA 与平面DEA 的法向量是n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·EA →＝0，n 1·CE →＝0，即⎩⎨⎧3x 1＋y 1－2z 1＝0，2z 1＝0，解得⎩⎨⎧y 1＝－3x 1，z 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧n 2·EA →＝0，n 2·ED →＝0，即⎩⎨⎧3x 2＋y 2－2z 2＝0，2y 2－z 2＝0，解得⎩⎨⎧x 2＝3y 2，z 2＝2y 2.不妨取n 1＝(1，－3，0)，n 2＝(3，1,2)，因为n 1·n 2＝0，所以n 1⊥n 2. 所以平面DEA ⊥平面ECA ．[能力提升练]1．两平面α，β的法向量分别为μ＝(3，－1，z )，v ＝(－2，－y ，1)，若α⊥β，则y ＋z 的值是( )A ．－3B ．6C ．－6D ．－12B [∵μ＝(3，－1，z )，v ＝(－2，－y,1)分别为α，β的法向量且α⊥β， ∴μ⊥v ， 即μ·v ＝0， －6＋y ＋z ＝0 ∴y ＋z ＝6.]2.如图3­2­17，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，D 是棱CC 1的中点，P 是AD 的延长线与A 1C 1的延长线的交点．若点Q 在线段B 1P上，则下列结论正确的是( )图3­2­17A ．当点Q 为线段B 1P 的中点时，DQ ⊥平面A 1BD B ．当点Q 为线段B 1P 的三等分点时，DQ ⊥平面A 1BDC ．在线段B 1P 的延长线上，存在一点Q ，使得DQ ⊥平面A 1BD D ．不存在DQ 与平面A 1BD 垂直D [以A 1为原点，A 1B 1，A 1C 1，A 1A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，则由已知得A 1(0,0,0)，B 1(1,0,0)，C 1(0,1,0)，B (1,0,1)，D ⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，P (0,2,0)，A 1B →＝(1,0,1)，A 1D →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，B 1P →＝(－1,2,0)，DB 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－1，－12.设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·A1B →＝x ＋z ＝0，n ·A 1D →＝y ＋12z ＝0，取z ＝－2，则x ＝2，y ＝1，所以平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(2,1，－2)．假设DQ ⊥平面A 1BD ，且B 1Q →＝λB 1P →＝λ(－1,2,0)＝(－λ，2λ，0)，则DQ →＝DB 1→＋B 1Q →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ，－1＋2λ，－12，因为DQ →也是平面A 1BD 的法向量，所以n ＝(2,1，－2)与DQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ，－1＋2λ，－12共线，于是有1－λ2＝－1＋2λ1＝－12－2＝14成立，但此方程关于λ无解．故不存在DQ 与平面A 1BD 垂直，故选D ．] 3.如图3­2­18，四棱锥P ­ABCD 的底面ABCD 是边长为1的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝1，若E ，F 分别为PB ，AD 中点，则直线EF 与平面PBC 的位置关系是________.【导学号：46342173】图3­2­18垂直 [以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，－12，平面PBC 的一个法向量n ＝(0,1,1)，∵EF →＝－12n ，∴EF →∥n ， ∴EF ⊥平面PBC ．]4．设A 是空间任意一点，n 是空间任意一个非零向量，则适合条件AM →·n ＝0的点M 的轨迹是________．过点A 且与向量n 垂直的平面 [∵AM →·n ＝0，∴AM →⊥n 或AM →＝0，∴点M 在过点A 且与向量n 垂直的平面上．]5．如图3­2­19，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，且AD ∥BC ，∠ABC ＝∠PAD ＝90°，侧面PAD ⊥底面ABCD ．若PA ＝AB ＝BC ＝12AD ．图3­2­19(1)求证：CD ⊥平面PAC ；(2)侧棱PA 上是否存在点E ，使得BE ∥平面PCD ？若存在，指出点E 的位置并证明，若不存在，请说明理由．[解] 因为∠PAD ＝90°，所以PA ⊥AD ．又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，且侧面PAD ∩底面ABCD ＝AD ，所以PA ⊥底面ABCD ．又因为∠BAD ＝90°，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AD ＝2，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)． (1)证明：AP →＝(0,0,1)，AC →＝(1,1,0)，CD →＝(－1,1,0)， 可得AP →·CD →＝0，AC →·CD →＝0，所以AP ⊥CD ，AC ⊥CD ． 又因为AP ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面PAC ．(2)设侧棱PA 的中点是E ，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12. 设平面PCD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0，n ·PD →＝0，因为CD →＝(－1,1,0)，PD →＝(0,2，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，2y －z ＝0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝2，所以平面PCD 的一个法向量为n ＝(1,1,2)．所以n ·BE →＝(1,1,2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12＝0，所以n ⊥BE →.因为BE ⊄平面PCD ，所以BE ∥平面PCD ． 综上所述，当E 为PA 的中点时，BE ∥平面PCD ．。

第2课时 空间向量与垂直关系1.掌握直线的方向向量和平面的法向量的求法.(重点)2.能利用方向向量和法向量处理线线、线面、面面间的垂直问题.(重点、难点)教材整理 空间中垂直关系的向量表示阅读教材P 103～P 104练习以上部分，完成下列问题.若直线l 的方向向量a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( ) A.l ∥α B.l ⊥α C.l ⊂αD.l 与α斜交【解析】 ∵n ＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a ， ∴n ∥a ，∴l ⊥α. 【答案】 B111N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN .图3­2­8【精彩点拨】 (1)若选AB →，AC →，AA 1→为基向量，你能用基向量表示AB 1→与MN →吗？怎样证明AB 1→与MN →垂直？(2)若要建立空间直角坐标系，本题该怎样建立？你能用坐标表示向量AB 1→与MN →并证明它们垂直吗？【自主解答】 设AB 的中点为O ，作OO 1∥AA 1.以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，0，N ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，14， B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1，∵M 为BC 的中点， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，0. ∴MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34，14，AB 1→＝(1,0,1)，∴MN →·AB 1→＝－14＋0＋14＝0.∴MN →⊥AB 1→，∴AB 1⊥MN .利用空间向量证明两直线垂直的常用方法及步骤：基向量法①选取三个不共线的已知向量通常是它们的模及其两两夹角为已知为空间的一个基底；②把两直线的方向向量用基底表示；③利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0； ④由方向向量垂直得到两直线垂直.坐标法①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标； ②根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标； ③计算两直线方向向量的数量积为0； ④由方向向量垂直得到两直线垂直.1.如图3­2­9，直四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是矩形，AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，M 是BC 的中点.在DD 1上是否存在一点N ，使MN ⊥DC 1？并说明理由.【导学号：37792133】图3­2­9【解】 如图所示，建立以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴的坐标系，则C 1(0,2,3)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，0，D (0,0,0).设N (0,0，h )，则MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，h ， DC 1→＝(0,2,3)，由MN →·DC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，h ·(0,2,3)＝－4＋3h .∴当h ＝43时，MN →·DC 1→＝0，此时MN →⊥DC 1→.∴存在N ∈DD 1，使MN ⊥DC 1.如图1111B 1B ，DC 的中点，求证：AE ⊥平面A 1D 1F .图3­2­10【精彩点拨】 建立空间直角坐标系，得到有关向量的坐标，求出平面A 1D 1F 的法向量，然后证明AE →与法向量共线.【自主解答】 如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，A 1(1,0,1)，D 1(0,0,1)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0， ∴AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，A 1D 1→＝(－1,0,0)，D 1F →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，12，－1.设平面A 1D 1F 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则n ·A 1D 1→＝0，n ·D 1F →＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝0，12y －z ＝0，解得x ＝0，y ＝2z . 令z ＝1，则n ＝(0,2,1). 又AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，∴n ＝2AE →.∴n ∥AE →，即AE ⊥平面A 1D 1F .1.坐标法证明线面垂直有两种思路 方法一：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量； (4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0. 方法二：(1)建立空间直角坐标系； (2)将直线的方向向量用坐标表示； (3)求出平面的法向量；(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.2.使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用方法二，否则常常选用方法一解决.2.如图3­2­11，长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，点P 为DD 1的中点，求证：直线PB 1⊥平面PAC .【导学号：37792134】图3­2­11【证明】 依题设，以D 为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，则C (1,0,0)，P (0,0,1)，A (0，1,0)，B 1(1,1,2)，于是CA →＝(－1,1,0)，CP →＝(－1,0,1)，PB 1→＝(1,1,1)， ∴CA →·PB 1→＝(－1,1,0)·(1,1,1)＝0， CP →·PB 1→＝(－1,0,1)·(1,1,1)＝0，故CP →⊥PB 1→，CA →⊥PB 1→，即PB 1⊥CP ，PB 1⊥CA ， 又CP ∩CA ＝C ，且CP ⊂平面PAC ，CA ⊂平面PAC . 故直线PB 1⊥平面PAC .探究 【提示】 只需求出两个平面的法向量，再看它们的法向量的数量积是否为0即可.如图3­2­12所示，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，BB 1＝1，E为BB 1的中点，证明：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .图3­2­12【精彩点拨】 要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条件，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平面的法向量n 1，n 2，证明n 1·n 2＝0.【自主解答】 由题意得AB ，BC ，B 1B 两两垂直.以B 为原点，BA ，BC ，BB 1分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则A (2,0,0)，A 1(2,0,1)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12， 则AA 1→＝(0,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，AC 1→＝(－2,2,1)，AE →＝－2,0，12.设平面AA 1C 1C 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1). 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AA 1→＝0，n 1·AC →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝0，－2x 1＋2y 1＝0.令x 1＝1，得y 1＝1.∴n 1＝(1,1,0).设平面AEC 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2). 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AC 1→＝0，n 2·AE →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋2y 2＋z 2＝0，－2x 2＋12z 2＝0，令z 2＝4，得x 2＝1，y 2＝－1.∴n 2＝(1，－1,4). ∵n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0. ∴n 1⊥n 2，∴平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .1.利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直.2.向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度.3.在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，证明：平面B 1ED ⊥平面B 1BD .【导学号：37792135】【证明】 以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，DB 1→＝(1,1,1)，DE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，设平面B 1DE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝0且y ＋12z ＝0，令z ＝－2，则y ＝1，x ＝1，∴n 1＝(1,1，－2).同理求得平面B 1BD 的法向量为n 2＝(1，－1,0)，由n 1·n 2＝0，知n 1⊥n 2，∴平面B 1DE ⊥平面B 1BD .1.若直线l 的方向向量a ＝(8，－12,0)，平面α的法向量μ＝(2，－3,0)，则直线l 与平面α的位置关系是( )A.l ∥αB.l ⊥αC.直线l 与平面α相交但不垂直D.无法确定【解析】 ∵μ＝14a .∴μ∥a ，∴l ⊥α.【答案】 B2.已知AB →＝(2,2,1)，AC →＝(4,5,3)，则平面ABC 的一个单位法向量为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－23，－23B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，－23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，23D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，23 【解析】 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＋z ＝0，4x ＋5y ＋3z ＝0，取x ＝1，则y ＝－2，z ＝2.所以n ＝(1，－2,2).由于|n |＝3，所以平面ABC 的一个单位法向量可以是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，－23.【答案】 B3.已知平面α和平面β的法向量分别为a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，－2,3)，且α⊥β，则x ＝________.【解析】 ∵α⊥β，∴a ⊥b ， ∴a ·b ＝x －4＋9＝0， ∴x ＝－5. 【答案】 －54.如图3­2­13，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4. (1)求证：AC ⊥BC 1；(2)在AB 上是否存在点D ，使得AC 1⊥CD?【导学号：37792136】图3­2­13【解】 在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AC ，BC ，CC 1两两垂直，以C 为坐标原点，直线CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (3,0,0)，C 1(0,0,4)，B (0,4,0)，B 1(0,4,4).(1)证明：∵AC →＝(－3,0,0)，BC 1→＝(0，－4,4)， ∴AC →·BC 1→＝0.∴AC →⊥BC 1→. ∴AC ⊥BC 1.(2)假设在AB 上存在点D ，使得AC 1⊥CD ， 设AD →＝λAB →＝(－3λ，4λ，0)，其中λ∈， 则D (3－3λ，4λ，0)， 于是CD →＝(3－3λ，4λ，0)， ∵AC 1→＝(－3,0,4)，且AC 1⊥CD ， ∴－9＋9λ＝0，得λ＝1. ∴在AB 上存在点D ， 使得AC 1⊥CD ， 且这时点D 与点B 重合.。

空间垂直关系的向量表示 [提出问题] 问题1：直线的方向向量与一平面的法向量平行，则该直线 与平面有什么关系？ 提示：垂直． 问题2：若两平面的法向量垂直，则两平面垂直吗？
提示：垂直．
求平面的法向量 [例1] 已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，
求平面α的一个法向量．
6.明析空间向量加减运算的失误
[典例] (12 分)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是棱 BC 的中点， 试在棱 CC1 上求一点 P，使得平面 A1B1P⊥平面 C1DE.
[解题流程]
[随堂即时演练]
1．若两个不同平面 α，β 的法向量分别为 u＝(1,2，－1)，v＝(－3，
[活学活用] 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2， P，Q，R，S 分别是 AA1，D1C1，AB，CC1 的中点． 求证：PQ∥RS. 证明：法一：以点 D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标课时 空间向量与平行、垂直关系
平面的法向量 [提出问题] 1．如图(1)所示，直线l∥m，在直线l上取两点A，B，在 直线m上取两点C，D. 2．如图(2)所示，直线l⊥平面α，直线l∥m，在直线m上 取向量n.
问题1：―A→B 与直线l有何关系？―C→D 与直线l有何关系？ 提示：―A→B 在直线l上，―C→D 与直线l平行． 问题2：图(2)中，n与直线l平行吗？ 提示：平行． 问题3：l⊥α，向量n也垂直于α吗？ 提示：垂直．
[类题通法] 利用待定系数法求法向量的解题步骤
用空间向量证明平行问题
[例2] 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是 BB1，DD1的中点，求证：

例1 如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝ 1，AA1＝2，点P为DD1的中点，求证：直线PB1⊥平面 PAC.
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证明：依题设，以 D 为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系
Dxyz，则 C(1，0，0)，P(0，0，1)，A(0，1，0)，B1(1，1，2)，
于是C→A＝(－1，1，0)，C→P＝(－1，0，1)，P→B1＝(1，1，1)，
∴C→A·P→B1＝(－1，1，0)·(1，1，1)＝0，
C→P·P→B1＝(－1，0，1)·(1，1，1)＝0，
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故C→P⊥P→B1，C→A⊥P→B1，即 PB1⊥CP，PB1⊥CA，
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又 CP∩CA＝C，且 CP⊂平面 PAC，CA⊂平面 PAC.
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证明：方法一 设A→B＝a，A→D＝c，A→A1＝b， 则E→F＝E→B1＋B→1F＝12(B→B1＋B→1D1)＝12(A→A1＋B→D)＝ 21(A→A1＋A→D－A→B)＝12(－a＋b＋c)． 因为A→B1＝A→B＋A→A1＝a＋b， 所以E→F·A→B1＝21(－a＋b＋c)·(a＋b) ＝21(b2－a2＋c·a＋c·b)＝21(|b|2－|a|2＋0＋0)＝0. 所以E→F⊥A→B1，即 EF⊥AB1.同理，EF⊥B1C. 又 AB1∩B1C＝B1，所以 EF⊥平面 B1AC.
B121，0，1，∵M 为 BC 中点，
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∴M14， 43，0，∴M→N＝－14， 43，14，A→B1＝(1，0，1)，
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∴M→N·A→B1＝－41＋0＋41＝0，∴M→N⊥A→B1，∴AB1⊥MN.

1 3 ∵M 为 BC 中点，∴ M(4， 4 ，0)． 1 3 1 → → ∴MN ＝(－4， 4 ，4)，AB1 ＝(1，0，1)． 1 1 → → ∴MN ·AB1 ＝－ ＋0＋ ＝0. 4 4 → → ∴MN ⊥AB1 ，∴AB1⊥MN.
题型二
利用空间向量证明线面垂直
例2
如图， 正四棱柱 ABCD－ A1B1C1D1 中，
AA1＝2AB＝4，点 E 在 CC1 上且 C1E＝3EC. 证明：A1C⊥平面 BED.
【解析】
以 D 为坐标原点，射线 DA 为 x 轴的正半轴，射
线 DC 为 y 轴的正半轴，射线 DD1 为 z 轴的正半轴，建立如图所 示的空间直角坐标系 D－xyz.
依题设 B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(0，2，1)，A1(2，0，4)． → ＝(0，2，1)，DB → ＝(2，2，0)，A → → DE C ＝ ( － 2 ， 2 ，－ 4) ， DA 1 1 ＝(2，0，4)． → → ＝0，A → → ＝0， 因为A C · DB C · DE 1 1 故 A1C⊥BD， A1C⊥DE. 又 BD∩DE＝D， 所以 A1C⊥平面 BED.
三、面面垂直 若平面 α 的法向量 u＝(a1，b1，c1)，平面 β 的法向量 v＝(a2， b2，c2)，则 α⊥β⇔________⇔________⇔________.
【答案】 u⊥v u· v＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
题型一
利用空间向量证明线线垂直
例 1
已知正三棱柱 ABC－ A1B1C1 的各棱
→ ＝0，即 设平面 BEF 的法向量 n＝(x， y， z)，∴n· EF 3 3 (x， y，z)· (－ 4 a， 4 a，0)＝0，∴x＝ y. 3 a 3 a → 由 n· BF＝0，即(x，y，z)· (0， 2 a，2 )＝0，有 2 ay＋2 z＝0， ∴z＝－ 3y. 取 y＝1，得 n＝(1，1，－ 3)． 3 3 → →. ∵n· CD＝(1，1，－ 3)· (－ 2 a， 2 a，0)＝0，∴n⊥ CD ∴平面 BEF⊥平面 ABC.

第三章 3.2 第2课时请同学们认真完成练案[24]A 级 基础巩固一、选择题1．(福州八县市协作校2018－2019学年期末)若直线l 的方向向量为a ＝(1，－2,3)，平面α的法向量为n ＝(－3,6，－9)，则( C )A ．1⊂αB ．l ∥αC ．l ⊥αD ．l 与α相交[解析] ∵直线l 的方向向量为a ＝(1，－2,3)， 平面α的法向量为n ＝(－3,6，－9)， ∴a ＝－13n ，∴a ∥n ，∴l ⊥α. 故选C ．2．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，12，2)，则m 为( C )A ．－4B ．－6C ．－8D ．8[解析] ∵l ∥α，∴l 与平面α的法向量垂直． 故2×1＋12×m ＋1×2＝0，解得m ＝－8，故选C ．3．若n ＝(1，－2,2)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α法向量的是( C )A ．(1，－2,0)B ．(0，－2,2)C ．(2，－4,4)D ．(2,4,4)[解析] ∵(2，－4,4)＝2(1，－2,2)＝2n ， ∴(2，－4,4)可作为α的一个法向量．4．已知平面α内有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量n ＝(6，－3,6)，则下列点P 中在平面α内的是( A )A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)[解析] 选项A ：∵P (2,3,3)，∴MP →＝(1,4,1)，则n ·MP →＝6－12＋6＝0，∴MP →⊥n ，∴P (2,3,3)在α内，故A 正确，同理B ，C ，D 不正确．5．四边形ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，则下列不等式①PA →·AB →＝0；②PC →·BD →＝0；③PA →·CD →＝0；④PC →·AB →＝0中成立的等式个数为( C )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] PA ⊥平面ABCD ，则PA ⊥AB ，∴PA →·AB →＝0，①式成立；在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，又PA ⊥BD ，∴BD ⊥平面PAC ，∴BD ⊥PC ，∴BD →·PC →＝0，故②成立；PA ⊥平面ABCD ，则PA ⊥CD ，∴PA →·CD →＝0，故③成立；④式不成立，故选C ．6．若平面α，β的法向量分别为n 1＝(2，－3,5)，n 2＝(－3,1，－4)，则( C ) A ．α∥βB ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确[解析] n 1与n 2不是平行向量，且n 1·n 2≠0，∴α，β相交且不垂直． 二、填空题7．同时垂直于a ＝(2,2,1)、b ＝(4,5,3)的单位向量是__⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－23，23或⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，－23__.[解析] 设所求向量为c ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＋z ＝04x ＋5y ＋3z ＝0x 2＋y 2＋z 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝13y ＝－23z ＝23，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－13y ＝23z ＝－23.8．已知△ABC 是B 为直角顶点的等腰直角三角形，其中BA →＝(1，m,2)、BC →＝(2，m ，n )(m 、n ∈R )，则m ＋n ＝__－1__.[解析] 由题意得BA →·BC →＝0，且|BA →|＝|BC →|，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋m 2＋2n ＝01＋m 2＋4＝4＋m 2＋n 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0n ＝－1.∴m ＋n ＝－1. 三、解答题9．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ＝2，BC ＝22，E 、F 分别是AD 、PC 的中点，求证：PC ⊥平面BEF .[解析] 如图，以A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∵AP ＝AB ＝2，BC ＝AD ＝22， 四边形ABCD 是矩形，∴A (0,0,0)、B (2,0,0)、C (2，22，0)、D (0,22，0)、P (0,0,2)． 又E 、F 分别是AD 、PC 的中点， ∴E (0，2，0)、F (1，2，1)．∴PC →＝(2,22，－2)、BF →＝(－1，2，1)、EF →＝(1,0,1)， ∴PC →·BF →＝－2＋4－2＝0，PC →·EF →＝2＋0－2＝0， ∴PC →⊥BF →，PC →⊥EF →，∴PC ⊥BF ，PC ⊥EF . 又BF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面BEF .10．如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，PA ＝AB ＝1，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．(1)点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的位置关系，并说明理由； (2)证明：无论点E 在边BC 上的何处，都有PE ⊥AF .[解析] 解法一：(1)解：当点E 为BC 的中点时，EF 与平面PAC 平行． ∵△PBC 中，E 、F 分别为BC 、PB 的中点． ∴EF ∥PC 又EF ⊄平面PAC而PC ⊂平面PAC ，∴EF ∥平面PAC .(2)证明：∵PA ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ， ∴EB ⊥PA .又EB ⊥AB ，AB ∩AP ＝A ，AB ，AP ⊂平面PAB ， ∴EB ⊥平面PAB ，又AF ⊂平面PAB ，∴AF ⊥BE ，又PA ＝AB ＝1，点F 是PB 的中点，∴AF ⊥PB ， 又∵PB ∩BE ＝B ，PB ，BE ⊂平面PBE ， ∴AF ⊥平面PBE .∵PE ⊂平面PBE ，∴AF ⊥PE .所以无论点E 在边BC 的何处，都有PE ⊥AF .解法二：以A 为原点，AD 、AB 、AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)、P (0,0,1)、B (0,1,0)，设D (a,0,0)，则C (a,1,0)．(1)∵E 为BC 的中点，F 为BP 的中点，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，0、F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12， ∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－12，12、AP →＝(0,0,1)、AC →＝(a,1,0)．设平面PAC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·AP →＝0n ·AC →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0ax ＋y ＝0.取x ＝1，则n ＝(1，－a,0)， ∵EF →·n ＝0，∴EF →⊥n ，又EF ⊄平面PAC ，∴EF ∥平面PAC . (2)∵E 在BC 上，∴设E (m,1,0)， ∴PE →＝(m,1，－1)，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，∵PE →·AF →＝0，∴PE ⊥AF .∴无论点E 在边BC 上何处，总有PE ⊥AF .B 级 素养提升一、选择题1．如图，在三棱锥A －BCD 中，DA 、DB 、DC 两两垂直，且DB ＝DC ，E 为BC 中点，则AE →·BC →等于( A )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 如图，建立空间直角坐标系，设DC ＝DB ＝a ，DA ＝b ，则B (a,0,0)、C (0，a,0)、A (0,0，b )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a2，0， 所以BC →＝(－a ，a,0)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，－b ，AE →·BC →＝－a 22＋a 22＋0＝0.2．已知直线l 1的方向向量a ＝(2，－2，x )，直线l 2的方向向量b ＝(2，y,2)，且|a |＝3，l 1⊥l 2，则y ＝( D )A ．－1B ．1C ．3D ．1或33．(多选题)已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)、AD →＝(4,2,0)、AP →＝(－1,2，－1)．则( ABC )A ．AP ⊥AB B ．AP ⊥ADC ．AP →是平面ABCD 的法向量 D ．AP →∥BD →.[解析] AB →·AP →＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则AB →⊥AP →. AP →·AD →＝4×(－1)＋2×2＋0＝0，则AP →⊥AD →， ∵AP →⊥AB →，AP →⊥AD →，AB →∩AD →＝A ，∴AP →⊥平面ABCD ，故AP →是平面ABCD 的一个法向量． BD →＝A D →－A B →＝(2,3,4)，显然B D →⊥AP →.4．(多选题)已知直线l 1的方向向量是a ＝(2,4，x )，直线l 2的方向向量是b ＝(2，y,2)．若|a |＝6，且a·b ＝0，则x ＋y 的值是( CD )A ．－1B ．－1C ．－3D ．1[解析] 由题意知|a |＝22＋42＋x 2＝6，解得x ＝±4， 由a·b ＝4＋4y ＋2x ＝0得，x ＝－2y －2. 当x ＝4时，y ＝－3，所以x ＋y ＝1. 当x ＝－4时，y ＝1，所以x ＋y ＝－3. 综上，x ＋y ＝－3或1. 二、填空题5．已知点A (0,1,0)，B (－1,0，－1)，C (2,1,1)，点P (x,0，z )，若PA ⊥平面ABC ，则PA →·AB →＝点P 的坐标为__(－1,0,2)__.[解析] 由题意知AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2,0,1)，AP →＝(x ，－1，z )， 又PA ⊥平面ABC ，所以AB →·AP →＝(－1，－1，－1)·(x ，－1，z )＝0， 得－x ＋1－z ＝0.①AC →·AP →＝(2,0,1)·(x ，－1，z )＝0， 得2x ＋z ＝0，②联立①②得x ＝－1，z ＝2，故点P 的坐标为(－1,0,2)．6．如图所示，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，则向量OD →的坐标为__⎝⎛⎪⎫0，－12，32__.[解析] 如图所示，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BCD 中，由∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得BD ＝1，CD ＝ 3. ∴DE ＝CD ·sin30°＝32，OE ＝OB －BD ·cos60°＝1－12＝12. ∴D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，32，即向量OD →的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，32.三、解答题7．如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，D 为AB 的中点，AC ＝BC ＝BB 1. (1)求证：BC 1⊥AB 1； (2)求证：BC 1∥平面CA 1D .[证明] 如图，以C 1点为原点，C 1A 1、C 1B 1、C 1C 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设AC ＝BC ＝BB 1＝2，则A (2,0,2)、B (0,2,2)、C (0,0,2)、A 1(2,0,0)、B 1(0,2,0)、C 1(0,0,0)、D (1,1,2)．(1)∵BC 1→＝(0，－2，－2)、AB 1→＝(－2,2，－2)， ∴BC 1→·AB 1→＝0－4＋4＝0，∴BC 1→⊥AB 1→，∴BC 1⊥AB 1.(2)取A 1C 的中点E ，∵E (1,0,1)，∴ED →＝(0,1,1)，又BC 1→＝(0，－2，－2)，∴ED →＝－12BC 1→，且ED 和BC 1不共线，则ED ∥BC 1.又ED ⊂平面CA 1D ，BC 1⊄平面CA 1D ，故BC 1∥平面CA 1D .8．在棱长AB ＝AD ＝2，AA 1＝3的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是平面BCC 1B 1上的动点，点F 是CD 的中点．试确定点E 的位置，使D 1E ⊥平面AB 1F .[解析] 建立空间直角坐标系如图，则A (0,0,0)、F (1,2,0)、B 1(2,0,3)、D 1(0,2,3)，设E (2，y ，z )，则D 1E →＝(2，y －2，z －3)、AF →＝(1,2,0)、AB 1→＝(2,0,3)， ∵D 1E ⊥平面AB 1F ，∴⎩⎪⎨⎪⎧D 1E →·AF →＝0D 1E →·AB 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2＋2y －2＝04＋3z －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1z ＝53.∴E (2,1，53)即为所求．。

一、选择题1．(2013·东营高二检测)已知平面α的法向量为a ＝(1,2，－2)．平面β的法向量为b ＝(－2，－4，k )，若α⊥β，则k ＝( )A ．4B ．－4C ．5D ．－5【解析】 ∵α⊥β，∴a ⊥b ，∴a ·b ＝－2－8－2k ＝0∴k ＝－5.【答案】 D2．(2012·青岛高二检测)在菱形ABCD 中，若PA →是平面ABCD 的法向量，则以下等式中可能不成立的是( )A.PA →⊥AB → B .PA →⊥CD →C.PC →⊥BD →D.PC →⊥AB →【解析】 由题意知PA ⊥平面ABCD ，所以PA 与平面上的线AB 、CD 都垂直，A 、B 正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD ⊥平面PAC ，故PC ⊥BD ，C 选项正确．【答案】 D3．已知平面α内的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量为n ＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则( )A ．α∥βB ．α⊥βC ．α与β相交不垂直D ．以上都不对【解析】 AB →＝(0,1，－1)，AC →＝(1,0，－1)，∴n ·AB →＝0，n ·AC→＝0，∴n ⊥AB →，n ⊥AC →，故n 也是α的一个法向量，又∵α与β不重合，∴α∥β.【答案】 A4．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( )A.337，－157，4B.407，－157，4C.407，－2,4 D ．4，407，－15【解析】 ∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4，又BP ⊥平面ABC ，∴BP →⊥AB →，BP →⊥BC →，则⎩⎨⎧ (x －1)＋5y ＋6＝0，3(x －1)＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝407，y ＝－157.【答案】 B 5．平面上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB→－AC →)＝0，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【解析】 (DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝(DB →－DA →＋DC →－DA →)·CB →＝(AB →＋AC →)·CB →＝0，故△ABC 为等腰三角形．【答案】 B二、填空题6．直线l 1与l 2的方向向量分别为a 1，a 2，若a 1⊥a 2，则l 1与l 2的位置关系为________．【解析】 两直线的方向向量垂直，这两条直线也垂直．【答案】 垂直7．(2013·吉林高二检测)已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z ＝________.【解析】 由题意知u ⊥v ，∴u ·v ＝3＋6＋z ＝0，∴z ＝－9.【答案】 －98．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是________．【解析】 ∵AB →·AP →＝0，AD →·AP →＝0，∴AB ⊥AP ，AD ⊥AP ，则①②正确．又AB →与AD →不平行，∴AP →是平面ABCD 的法向量，则③正确．由于BD →＝AD →－AB →＝(2,3,4)，AP →＝(－1,2，－1)，∴BD →与AP →不平行，故④错误．【答案】 ①②③三、解答题图3－2－159．如图3－2－15，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：AM ⊥平面BDF .【证明】 以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2，2，0)，B (0，2，0)，D (2，0,0)，F (2，2，1)，M (22，22，1)．所以AM →＝(－22，－22，1)，DF →＝(0，2，1)，BD →＝(2，－2，0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BDF 的法向量，则n ⊥BD →，n ⊥DF →， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BD →＝2x －2y ＝0，n ·DF →＝2y ＋z ＝0⇒⎩⎨⎧ x ＝y ，z ＝－2y ，取y＝1，得x＝1，z＝－ 2. 则n＝(1,1，－2)．因为AM→＝(－22，－22，1)．所以n＝－ 2 AM→，得n与AM→共线．所以AM⊥平面BDF.图3－2－1610．在四面体ABCD中，AB⊥面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.【证明】建立如图所示空间直角坐标系，取A(0,0，a)，由∠ADB ＝30°，可得D(0，3a,0)，C(32a，32a,0)，B(0,0,0)，E(34a，34a，a2)，F(0，32a，a2)，∴EF→＝(－34a，34a,0)，BA→＝(0,0，a)，BC →＝(32a ，32a,0)，∴EF →·BA →＝0，EF →·BC →＝0，∴EF ⊥AB ，EF ⊥BC ，∴EF ⊥面ABC ，又EF ⊂面BEF ，∴面BEF ⊥面ABC .11．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点，(1)求证：A 1E ⊥BD ；(2)若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定E 点的位置．【解】 (1)证明 分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为a .依题意可得，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )．设E (0，a ，e )．A 1E →＝(－a ，a ，e －a )，又BD →＝(－a ，－a,0)， ∴A 1E →·BD →＝a 2－a 2＝0.∴A 1E →⊥BD →，即A 1E ⊥BD .(2)E 为CC 1的中点，证明如下：设BD 的中点为O ，连结A 1O ，OE .则O (a 2，a 2，0)，OE →＝(－a 2，a 2，e )，OA 1→＝(a 2，－a 2，a )． ∵A 1B ＝A 1D ，O 为BD 中点，∴A 1O ⊥BD .又平面A 1BD ⊥平面EBD ，∴A 1O ⊥平面EBD .∴A 1O ⊥OE .又BD →＝(－a ，－a,0)，则OA 1→·BD →＝0，OA 1→·OE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －a 22＋a 22＝0－a 24－a 24＋ae ＝0，∴e ＝a 2.∴当E 为CC 1的中点时，能使平面A 1BD ⊥平面EBD .。