第二章 2.2 第2课时 等差数列的性质(优秀经典课时作业练习题及答案详解).

习题课——等差数列习题课课时过关·能力提升1在等差数列{a n }中,已知a 1=13,a 1+a 6=4,a n =37,则n 等于() A.50B.49C.56D.51d ,因为a 1+a 6=2a 1+5d=4,a 1=13,所以d=23,所以a n =13+(n-1)×23=37,所以n=56.2在数列{a n }中,已知a 1=15,3a n+1=3a n -2,则该数列中相邻两项的乘积为负值的项是() A.a 21和a 22 B.a 22和a 23 C.a 23和a 24D.a 24和a 25a n+1=a n -23,所以数列{a n }是公差为-23的等差数列.所以a n =15+(n-1)×(-23).因为a 23=13,a 24=-13,所以a 23a 24<0.3已知在等差数列{a n }中,|a 3|=|a 9|,公差d<0,则使数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是()A .4或5B .5或6C .6或7D .不存在d<0,∴a 9<a 3,∵|a 3|=|a 9|,∴a 3=-a 9,∴a 3+a 9=0. 又a 3+a 9=2a 6=0,∴a 5>0.即前5项或前6项的和最大.4若数列{a n }是等差数列,首项a 1>0,a 2 003+a 2 004>0,a 2 003·a 2 004<0,则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是() A.4 005B.4 006C.4 007D.4 008a 1>0,a 2003+a 2004>0,a 2003·a 2004<0,且数列{a n }为等差数列,所以数列{a n }是首项为正数,公差为负数的递减的等差数列,且a 2003是绝对值最小的正数,a 2004是绝对值最小的负数(第一个负数),且|a 2003|>|a 2004|.因为在等差数列{a n }中,a 2003+a 2004=a 1+a 4006>0,所以S 4006=4006(a 1+a 4006)2>0.所以使S n >0成立的最大正整数n 是4006.5已知数列{a n }的通项a n =11-2n ,则|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a 10|=() A.25 B.50 C.52 D.1006已知f (n+1)=f (n )-14(n ∈N +),且f (2)=2,则f (101)=.a n =f (n ),则a n+1-a n =-14,∴数列{a n }为等差数列,且a 2=2.∴a n =a 2-14(n-2)=10-a 4.∴f (101)=a 101=-914. -9147设f (x )+f (1-x )=6,则f (-5)+f (-4)+…+f (0)+f (1)+…+f (6)=.S=f (-5)+f (-4)+…+f (0)+f (1)+…+f (6),①即S=f (6)+f (5)+…+f (1)+f (0)+…+f (-5).②则①+②得2S=[f (-5)+f (6)]+[f (-4)+f (5)]+…+[f (0)+f (1)]+[f (1)+f (0)]+…+[f (6)+f (-5)]=12×6=72.故S=36.8“等和数列”的定义:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都等于同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{a n }是等和数列,且a 1=2,公和为5,那么a 18的值为.,可得a n +a n+1=5,所以a n+1+a n+2=5.所以a n+2-a n =0.因为a 1=2,所以a 2=5-a 1=3.所以当n 为偶数时,a n =3;当n 为奇数时,a n =2.所以a 18=3.9在等差数列{a n }中,其前n 项和为100,其后的2n 项和为500,则紧随其后的3n 项和为.,知S n =100,S 3n -S n =500,又S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…成等差数列,且公差为100.故S 6n -S 3n =(S 6n -S 5n )+(S 5n -S 4n )+(S 4n -S 3n )=600+500+400=1500.10在等差数列{a n }中,a 16+a 17+a 18=a 9=-18,其前n 项和为S n , (1)求S n 的最小值,并求出S n 取最小值时n 的值; (2)求T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |.因为a 16+a 17+a 18=a 9=-18,所以a 17=-6.又a 9=-18, 所以d=a 17-a 917-9=32.首项a 1=a 9-8d=-30.所以a n =32n-632. 若前n 项和S n 最小,则{a a ≤0,a a +1≥0,即{3a2-632≤0,32(a +1)-632≥0,所以n=20或n=21.故当n=20或n=21时,S n 取最小值. 最小值为S 20=S 21=-315. (2)由a n =32n-632≤0,得n ≤21.所以当n ≤21时,T n =-S n =34(41n-n 2), 当n>21时,T n =-a 1-a 2-…-a 21+a 22+…+a n=S n -2S 21=34(n 2-41n )+630.★11设数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n=a aa+2(n-1)(n∈N+).(1)求数列{a n}的通项公式a n;(2)是否存在正整数n,使得a11+a22+…+a aa-(n-1)2=2 015?若存在,求出n的值;若不存在,说明理由.S n=na n-2(n-1)n.n≥2时,a n=S n-S n-1=na n-2(n-1)n-(n-1)·a n-1+2(n-2)(n-1).∴a n-a n-1=4.∴数列{a n}为a1=1,d=4的等差数列.∴a n=1+(n-1)4=4n-3.(2)由(1),得S n=n(4n-3)-2(n-1)n=(2n-1)n.∴a aa=2n-1.故a11+a22+…+a aa=n2,∴n2-(n-1)2=2015,解得n=1008.故存在n=1008满足题意.★12设数列{a n}的前n项和为S n,点(a,a aa)(n∈N+)均在函数y=3x-2的图象上, (1)求证:数列{a n}为等差数列;(2)T n是数列{3a a a a+1}的前n项和,求证:37≤T n<12.由题意得,a aa=3n-2,即S n=3n2-2n,当n≥2时,a n=S n-S n-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5;当n=1时,a1=S1=1.所以a n=6n-5(n∈N+).又a n-a n-1=6n-5-[6(n-1)-5]=6,故{a n}是等差数列.(2)由(1)知,设b n=3a a a a+1,则b n=3a a a a+1=3(6a-5)[6(a+1)-5]=1 2(16a-5-16a+1),故T n =12[(1-17)+(17-113)+…+(16a -5-16a +1)]=12(1-16a +1),又n ∈N +,所以0<16a +1≤17,故37≤T n <12.。

[课时作业][A 组 基础巩固]1．解析：由等差数列的性质得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，选B.答案：B2．解析：∵数列{a n }是等差数列，∴a n ＋1－a n ＝d (常数)．对于A ，b n ＋1－b n ＝a n －a n ＋1＝－d ，正确；对于B 不一定正确，如a n ＝n ，则b n ＝a 2n ＝n 2，显然不是等差数列；对于C 和D ，a n 及1a n不一定有意义，故选A. 答案：A3．解析：∵2a 4＝a 2＋a 6＝1－1＝0，∴a 4＝0.答案：C4．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，d <0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝6，a 4＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝8＋(n －1)·(－2)＝－2n ＋10.答案：D5．解析：由等差数列的性质有a 1＋a 8＝a 4＋a 5，故选B.答案：B6．解析：由a 25是a 15与a 35的等差中项知2a 25＝a 15＋a 35，∴a 35＝2a 25－a 15＝2×66－33＝99.答案：997．解析：由等差数列的性质可知，a 2＋a 8＝a 4＋a 6＝a 3＋a 7，∴a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝37×2＝74.答案：748．解析：设数列{a n }的公差为d .法一：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝a 1＋4d ＝a ，a 10＝a 1＋9d ＝b ， 解得⎩⎨⎧ a 1＝9a －4b 5，d ＝b －a 5，∴a 15＝a 1＋14d ＝9a －4b 5＋14×b －a 5＝2b －a . 法二：d ＝a 10－a 510－5＝b －a 5，∴a 15＝a 10＋5d ＝b ＋5×b －a 5＝2b －a . 法三：∵a 5，a 10，a 15成等差数列，∴a 5＋a 15＝2a 10.∴a 15＝2a 10－a 5＝2b －a .答案：2b －a9．解析：由题意可设最低一级宽度为a 1，梯子的宽度依次成等差数列，设为{a n }，依题意a 12＝33，由a 12＝a 1＋(12－1)d ⇒33＝110＋11d ，∴d ＝－7，∴a n ＝110＋(n －1)×(－7)，∴a 2＝103，a 3＝96，a 4＝89，a 5＝82，a 6＝75，a 7＝68，a 8＝61，a 9＝54，a 10＝47，a 11＝40， 故梯子中间各级的宽度依次为103,96,89,82,75,68,61,54,47,40.10．解析：显然a －4<a ＋2，(1)若a －4，a ＋2,26－2a 成等差数列，则(a －4)＋(26－2a )＝2(a ＋2)，∴a ＝6，相应的等差数列为：2,8,14.(2)若a －4,26－2a ，a ＋2成等差数列，则(a －4)＋(a ＋2)＝2(26－2a )，∴a ＝9，相应的等差数列为：5,8,11.(3)若26－2a ，a －4，a ＋2成等差数列，则(26－2a )＋(a ＋2)＝2(a －4)，∴a ＝12，相应的等差数列为：2,8,14.[B 组 能力提升]1．解析：由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，∴a 7＝4π3. ∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan8π3＝tan 2π3＝－ 3. 答案：D2．解析：由等差数列的性质知a 1＋a 2＋…＋a 10＝5(a 5＋a 6)＝5×4＝20，从而log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 2220＝20.答案：B3．解析：由题设知a n ＋m 3n －a n －1＋m 3n －1＝3a n －1＋3n －1＋m 3n －a n －1＋m 3n －1＝3n －1－2m 3n ＝1－1＋2m 3n 为常数，则1＋2m ＝0，故m ＝－12.答案：－124．解析：n －m ＝3d 1，d 1＝13(n －m )． 又n －m ＝4d 2，d 2＝14(n －m )． ∴d 1d 2＝13·(n －m )14·(n －m )＝43. 答案：435．解析：设两个数列分别为{a n }与{b k }．则a 1＝5，d 1＝8－5＝3，通项公式a n ＝5＋(n －1)·3＝3n ＋2；b 1＝3，d 2＝7－3＝4，通项公式b k ＝3＋(k －1)·4＝4k －1.设数列{a n }的第n 项与{b k }的第k 项相同，即a n ＝b k ，也就是3n ＋2＝4k －1，∴n ＝43k －1，而n ∈N *，k ∈N *， ∴k 必须为3的倍数，设k ＝3r (r ∈N *)，得n ＝4r －1.由条件知⎩⎪⎨⎪⎧1≤3r ≤100，1≤4r －1≤100， 解得12≤r ≤1014. 又r ∈N *，∴1≤r ≤25(r ∈N *)．∴共有25个共同的项．6．解析：(1)设数列{a n }是等差数列，则a n ＋1－a n ＝[p (n ＋1)2＋q (n ＋1)]－(pn 2＋qn )＝2pn ＋p ＋q ， 若2pn ＋p ＋q 是一个与n 无关的常数，则2p ＝0，即p ＝0，q ∈R.∴当p ＝0，q ∈R 时，数列{a n }是等差数列．(2)证明：∵a n ＋1－a n ＝2pn ＋p ＋q ，∴a n ＋2－a n ＋1＝2p (n ＋1)＋p ＋q ，∴(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝[2p (n ＋1)＋p ＋q ]－(2pn ＋p ＋q )＝2p (常数)． ∴对任意的实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }都是等差数列．。

等差数列的性质(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.在等差数列{a n}中,若a2=4,a4=2,则a6= ( )A.-1B.0C.1D.6【解析】选B.由等差数列的性质得a6=2a4-a2=2×2-4=0.2.等差数列{a n}中a2=5,a6=33,则a3+a5= ( )A.35B.38C.45D.48【解析】选B.由等差数列的性质知a3+a5=a2+a6=38.3.在等差数列{a n}中,a2 000=log27,a2 022=log2,则a2 011= ( )A.0B.7C.1D.49【解析】选A.因为数列{a n}是等差数列,所以由等差数列的性质可知2a2 011=a2 000+a2 022=log27+log2=log21=0,故a2 011=0.4.等差数列{a n}中,已知a3=10,a8=-20,则公差d= ( )A.3B.-6C.4D.-3【解析】选B.由等差数列的性质,得a8-a3=(8-3)d=5d,所以d==-6.5.已知等差数列{a n}中,a2+a5+a8=9,那么关于x的方程x2+(a4+a6)x+10=0( ) A.无实根 B.有两个相等实根C.有两个不等实根D.不能确定有无实根【解析】选A.因为a4+a6=a2+a8=2a5,a2+a5+a8=3a5=9,所以a5=3,则方程为x2+6x+10=0,因为Δ=62-4×10=-4<0,所以方程无实根.6.设数列{a n},{b n}都是等差数列.若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5= ( )A.15B.25C.35D.45【解析】选 C.方法一:设{a n},{b n}的公差分别为d1,d2,因为a3+b3=(a1+2d1)+(b1+2d2)=(a1+b1)+2(d1+d2)=7+2(d1+d2)=21,所以d1+d2=7,a5+b5=(a3+b3)+2(d1+d2)=21+2×7=35.方法二:因为数列{a n},{b n}都是等差数列,所以{a n+b n}也构成等差数列,所以2(a3+b3)=(a1+b1)+(a5+b5),所以2×21=7+a5+b5,所以a5+b5=35.二、填空题(每小题5分,共10分)7.在等差数列{a n}中,a7+a9=16,a4=1,则a12=________.【解析】因为数列{a n}为等差数列,所以a7+a9=a4+a12,a12=16-1=15.答案:158.(2019·大庆高一检测)在等差数列中,若a2+a8=10.则-2a5=__________.【解析】因为数列为等差数列,a2+a8=a4+a6=2a5=10,所以-2a5=102-10=90.答案:90三、解答题(每小题10分,共20分)9.在等差数列{a n}中,a3+a12=60,a6+a7+a8=75,求a n.【解析】由a6+a7+a8=3a7=75得a7=25,因为得故a n=a1+(n-1)d=-35+10(n-1)=10n-45.10.在等差数列{a n}中,若a1+a2+…+a5=30,a6+a7+…+a10=80,求a11+a12+…+a15.【解析】方法一:由等差数列的性质得a1+a11=2a6,a2+a12=2a7,…,a5+a15=2a10.所以(a1+a2+…+a5)+(a11+a12+…+a15)=2(a6+a7+…+a10).所以a11+a12+…+a15=2(a6+a7+…+a10)-(a1+a2+…+a5)=2×80-30=130.方法二:因为数列{a n}是等差数列,所以a1+a2+…+a5,a6+a7+…+a10,a11+a12+…+a15也成等差数列,即30,80,a11+a12+…+a15成等差数列,所以30+(a11+a12+…+a15)=2×80,a11+a12+…+a15=130.(45分钟75分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.数列{a n}满足3+a n=且a2+a4+a6=9,则log6(a5+a7+a9)的值是( )A.-2B.-C.2D.【解析】选C.因为-a n=3,所以{a n}为等差数列,且d=3.a2+a4+a6=9=3a4,所以a4=3,a5+a7+a9=3a7=3(a4+3d)=3(3+3×3)=36,所以log6(a5+a7+a9)=log636=2.2.(2017·全国卷Ⅱ改编)已知等差数列{a n}满足a4+a5=24,a1+a2+a3+a4+a5+a6=48,则{a n}的公差为( )A.1B.2C.4D.8【解析】选C.因为a1+a2+a3+a4+a5+a6=48,所以3(a3+a4)=48,即a3+a4=16 ①,又因为a4+a5=24 ②,②-①得a5-a3=8,故d==4.3.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为( ) A.1升 B.升 C.升 D.升【解析】选 B.设所构成的等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,则有即解得所以a5=a1+4d=,即第5节的容积为升.4.已知数列{a n}为等差数列且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为( )A. B.± C.- D.-【解析】选D.由等差数列性质知a1+a13=2a7,即3a7=4π,所以a7=,所以a2+a12=2a7=, 即tan(a2+a12)=-.【补偿训练】在等差数列{a n}中,a2=3,a3+a4=9,则a1a6的值为()A.14B.18C.21D.27【解析】选A.因为a2=3,a3+a4=9,所以a2+a3+a4=12,即3a3=12,故a3=4,a4=5,所以a n=n+1,所以a1a6=2×7=14.5.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何?”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种计量单位).这个问题中,甲所得为( )A.钱B.钱C.钱D.钱【解析】选B.依据题意,设甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,则由题意可知a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,即a=-6d.又因为a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5,解得a=1.则a-2d=a-2×=a=,故选B.二、填空题(每小题5分,共20分)6.已知数列{a n}是等差数列,若a4+a7+a10=17,a4+a5+a6+…+a12+a13+a14=77,且a k=13,则k=________.【解析】因为a4+a7+a10=3a7=17,所以a7=.因为a4+…+a14=11a9=77,所以a9=7,d=,所以a k-a9=(k-9)d.即13-7=(k-9)×,解得k=18.答案:187.已知在等差数列{a n}中,a3,a15是方程x2-6x-1=0的两根,则a7+a8+a9+a10+a11= ________. 【解析】由题意知a3+a15=6,即2a9=6,所以a9=3,根据等差数列的性质知a7+a11=a8+a10=2a9,所以a7+a8+a9+a10+a11=5a9=15.答案:15【延伸探究】本题条件不变,则a1+a2+…+a17=________.【解析】a1+a2+…+a17=17a9=17×3=51.答案:518.在等差数列{a n}中,a5+a6=4,则log2(··…·)=________.【解析】在等差数列{a n}中,a5+a6=4,所以a1+a10=a2+a9=a3+a8=a4+a7=a5+a6=4,所以a1+a2+…+a10=(a1+a10)+(a2+a9)+(a3+a8)+(a4+a7)+(a5+a6)=5(a5+a6)=20,则log2(··…·)=log2=a1+a2+…+a10=20.答案:209.已知(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的4个根组成首项为的等差数列,则|m-n|=________.【解析】因为y=x2-2x+m与y=x2-2x+n有相同的对称轴,设四个根分别为x1,x2,x3,x4,不妨设x1,x4为x2-2x+m=0的两根,x2,x3为x2-2x+n=0的两根,则不妨令x1=,所以x4=,x2=,x3=,所以m=,n=,所以|m-n|=.答案:三、解答题(每小题10分,共30分)10.某产品按质量分10个档次,生产最低档次的产品的利润是8元/件,每提高一个档次,利润每件增加2元,同时每提高一个档次,产量减少3件,在相同的时间内,最低档次的产品可生产60件.试问:在相同的时间内,应选择生产第几档次的产品可获得最大利润?(设最低档次为第一档次)【解析】设在相同的时间内,从低到高每档产品的产量分别为a1,a2,…,a10,利润分别为b1,b2,…,b10,则{a n},{b n}均为等差数列,且a1=60,d1=-3,b1=8,d2=2,所以a n=60-3(n-1)=-3n+63,b n=8+2(n-1)=2n+6,所以利润f(n)=a n b n=(-3n+63)(2n+6)=-6n2+108n+378=-6(n-9)2+864.所以当n=9时,f(n)max=f(9)=864.所以在相同的时间内生产第9档次的产品可以获得最大利润.11.四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.【解析】设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d),依题意,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,即a=1,a2-9d2=-8,所以d2=1,所以d=1或d=-1.又四个数成递增等差数列,所以d>0,所以d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4.【补偿训练】已知单调递增等差数列{a n}的前三项之和为21,前三项之积为231,求数列{a n}的通项公式.【解析】方法一: 考虑从a1和d出发来确定a n.由题意可得则解得a1=3,d=4或a1=11,d=-4.注意到数列为单调递增数列,因此舍去a1=11,d=-4.从而等差数列{a n}的通项公式为a n=4n-1.方法二: 由于数列为等差数列,因此可设等差数列前三项为a-d,a,a+d,于是可得即即a=7,d2=16,由于数列为单调递增数列,因此d=4,从而a n=4n-1.12.已知等差数列{a n}中,公差d>0,a2·a3=45,a1+a4=14.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)令b n=(n∈N*),是否存在一个非零常数c,使数列{b n}也为等差数列?若存在,求出c 的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为等差数列{a n}中,公差d>0,a2·a3=45,a1+a4=14,所以(a1+d)(a1+2d)=45,a1+a1+3d=14,解得a1=1,d=4,或a1=13,d=-4(舍),所以a n=a1+(n-1)d=1+4(n-1)=4n-3.(2)b n==2n-,因为数列{b n}为等差数列,所以=0,即n(1+2c)=0,所以1+2c=0,所以c=-.。

高中数学第二章数列2.2.2等差数列的性质练习含解析新人教A 版必修5081939知识点一 等差数列的性质的运用1．等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( ) A ．无实根 B ．有两个相等实根C ．有两个不等实根D ．不能确定有无实根 答案 A解析 由于a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，而3a 5＝9，∴a 5＝3，方程为x 2＋6x ＋10＝0，Δ＝62－4×10<0，无实数解．故选A ． 2．在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6等于( ) A ．40 B ．42 C ．43 D ．45 答案 B解析 a 2＋a 3＝2a 1＋3d ＝13，又a 1＝2，∴d ＝3． ∴a 4＋a 5＋a 6＝3a 5＝3(a 1＋4d )＝3(2＋12)＝42．3．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10 答案 C解析 由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16，∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8)＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12a 6＝8． 4．下列命题中正确的个数是( )(1)若a ，b ，c 成等差数列，则a 2，b 2，c 2一定成等差数列； (2)若a ，b ，c 成等差数列，则2a ，2b ，2c 可能成等差数列；(3)若a ，b ，c 成等差数列，则ka ＋2，kb ＋2，kc ＋2一定成等差数列； (4)若a ，b ，c 成等差数列，则1a ，1b ，1c可能成等差数列．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 答案 B解析 对于(1)取a ＝1，b ＝2，c ＝3⇒a 2＝1，b 2＝4，c 2＝9，(1)错误；对于(2)，a ＝b ＝c ⇒2a＝2b＝2c，(2)正确；对于(3)，∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b ．∴(ka ＋2)＋(kc ＋2)＝k (a ＋c )＋4＝2(kb ＋2)，(3)正确；对于(4)，a ＝b ＝c ≠0⇒1a ＝1b＝1c，(4)正确，综上选B ．5．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 3＋a 10＋a 11＝36，则a 5＋a 8＝________． 答案 18解析 a 5＋a 8＝a 2＋a 11＝a 3＋a 10，又a 2＋a 3＋a 10＋a 11＝36，∴a 5＋a 8＝18．知识点二 等差数列性质的综合运用6．在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝36，则a 6＝( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．3 答案 D解析 由等差数列的性质可知，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝2×3a 3＋3×2a 9＝6(a 3＋a 9)＝6×2a 6＝12a 6＝36，∴a 6＝3．故选D ．7．设公差为－2的等差数列{a n }，如果a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99等于( )A ．－182B ．－78C ．－148D ．－82 答案 D解析 a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝(a 1＋2d )＋(a 4＋2d )＋(a 7＋2d )＋…＋(a 97＋2d )＝(a 1＋a 4＋…＋a 97)＋2d ×33＝50＋2×(－2)×33＝－82．8．已知数列{a n }满足a 1＝1，若点a n n ，a n ＋1n ＋1在直线x －y ＋1＝0上，则a n ＝________．答案 n 2解析 依题意得a n n －a n ＋1n ＋1＋1＝0，即a n ＋1n ＋1－a nn＝1，∴数列a nn为等差数列，且公差d ＝1． 又a 11＝1，∴a nn＝1＋(n －1)×1＝n ，a n ＝n 2．9．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．答案 15 3解析 不妨设∠A ＝120°，c <b ，则a ＝b ＋4，c ＝b －4，于是cos120°＝b 2＋b －42－b ＋422b b －4＝－12，解得b ＝10，所以S ＝12bc sin120°＝153．易错点 忽略等差数列性质的本质10．在等差数列{a n }中，a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a 2·a 5＝52，且a 4＞a 2，则a 5＝________． 易错分析 等差数列的“下标和”性质：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ．而学生易错算为a m ＋a n ＝a m ＋n 导致结果算错．答案 13解析 ∵a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，且a 3＋a 4＝a 2＋a 5， ∴2(a 2＋a 5)＝34，∴a 2＋a 5＝17．又a 2·a 5＝52，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，a 5＝13或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝13，a 5＝4，又a 4＞a 2，∴a 4－a 2＝2d ＞0，∴d ＞0，∴a 5＞a 2，∴a 5＝13．一、选择题1．若{a n }是等差数列，则下列数列为等差数列的有( ) ①{a n ＋a n ＋1}；②{a 2n }；③{a n ＋1－a n }；④{2a n }；⑤{2a n ＋n }． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 D解析 设等差数列{a n }的公差为d ．对于①，(a n ＋a n ＋1)－(a n －1＋a n )＝(a n －a n －1)＋(a n ＋1－a n )＝2d (n ≥2)， ∴{a n ＋a n ＋1}是以2d 为公差的等差数列；对于②，a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1－a n )(a n ＋a n ＋1)＝d (a n ＋a n ＋1)≠常数，∴{a 2n }不是等差数列； 对于③，∵a n ＋1－a n ＝d ，∴{a n ＋1－a n }为常数列； ∴{a n ＋1－a n }为等差数列；对于④，∵2a n ＋1－2a n ＝2d ，∴{2a n }为等差数列； 对于⑤，(2a n ＋1＋n ＋1)－(2a n ＋n )＝2d ＋1，∴{2a n ＋n }为等差数列．故选D ．2．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为( )A ．14B ．15C ．16D ．17 答案 C解析 由题意知5a 8＝120，∴a 8＝24， ∴a 9－13a 11＝(a 8＋d )－13(a 8＋3d )＝23a 8＝16．3．在等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50，则a 40＝( ) A ．40 B ．70 C ．80 D ．90 答案 D解析 在等差数列中，间隔相等的项成等差数列， ∴a 10＝30，a 20＝50，a 30＝70，a 40＝90．故选D ．4．在3与27之间插入7个数，使这9个数成等差数列，则插入这7个数中的第4个数值为( )A ．18B ．9C ．12D ．15 答案 D解析 设这7个数分别为a 1，a 2，…，a 7，易知a 4是3与27的等差中项，∴a 4＝3＋272＝15．5．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2．若a k ·a k ＋1＜0，则正整数k ＝( ) A ．24 B ．23 C ．22 D ．21 答案 B解析 由3a n ＋1＝3a n －2得a n ＋1－a n ＝－23，所以数列{a n }为首项a 1＝15，公差d ＝－23的等差数列，所以a n ＝15－23(n －1)＝－23n ＋473，则由a k ·a k ＋1＜0得a k ＞0，a k ＋1＜0，令a n ＝－23n＋473＝0得n ＝472，所以a 23＞0，a 24＜0，所以k ＝23．故选B ． 二、填空题6．若lg 2，lg (2x －1)，lg (2x＋3)成等差数列，则x ＝________． 答案 log 25解析 由题意得2lg (2x －1)＝lg 2＋lg (2x＋3)， 所以(2x－1)2＝2·(2x ＋3)，即(2x －5)(2x＋1)＝0， 所以2x ＝5，即x ＝log 25．7．中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________．答案 5解析 易判断中位数1010是首项和末项的等差中项，故首项为2×1010－2015＝5． 8．若{a n }为等差数列，且a 1＋a 5＋a 9＝π，则cos(a 2＋a 8)的值为________． 答案 －12解析 ∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 9＝2a 5＝a 2＋a 8．代入a 1＋a 5＋a 9＝π，得32(a 2＋a 8)＝π，∴a 2＋a 8＝2π3，从而cos(a 2＋a 8)＝－12．三、解答题9．已知数列{a n }，a n ＝2n －1，b n ＝a 2n －1． (1)求{b n }的通项公式；(2)数列{b n }是否为等差数列？说明理由． 解 (1)∵a n ＝2n －1，b n ＝a 2n －1， ∴b n ＝a 2n －1＝2(2n －1)－1＝4n －3．(2)由b n ＝4n －3，知b n －1＝4(n －1)－3＝4n －7． ∵b n －b n －1＝(4n －3)－(4n －7)＝4， ∴{b n }是首项b 1＝1，公差为4的等差数列．10．已知等差数列{a n }，设b n ＝12an ，已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18，求数列{a n }的通项公式．解 ∵b 1＋b 2＋b 3＝218，b n ＝12an ．∴12a 1＋12a 2＋12a 3＝218，∵b 1b 2b 3＝18， ∴12a 1·12a 2·12a 3＝18， ∴12a 1＋a 2＋a 3＝18，∴a 1＋a 2＋a 3＝3． 又∵a 1，a 2，a 3成等差数列，可设a 1＝a 2－d ，a 3＝a 2＋d ，于是a 2＝1． 由121－d ＋12＋121＋d ＝218． ∴1212d ＋12·12d ＝178，∴12×2d ＋12×2－d＝178， ∴2d ＋2－d＝174，解得d ＝2或d ＝－2．当d ＝2时，a 1＝1－d ＝－1，∴a n ＝2n －3； 当d ＝－2时，a 1＝1－d ＝3， ∴a n ＝3－2(n －1)＝－2n ＋5， ∴所求通项公式为当a 1＝－1，d ＝2时，a n ＝2n －3； 当a 1＝3，d ＝－2时，a n ＝－2n ＋5．。

学习目标 1。

能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2。

能运用等差数列的性质解决有关问题．知识点一 等差数列通项公式的推广思考1 已知等差数列{a n ｝的首项a 1和公差d 能表示出通项a n ＝a 1＋(n －1）d ，如果已知第m 项a m 和公差d ，又如何表示通项a n ？ 答案 设等差数列的首项为a 1，则a m ＝a 1＋(m －1）d ，变形得a 1＝a m －(m －1)d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m －(m －1）d ＋（n －1）d＝a m ＋（n －m )d .思考2 由思考1可得d ＝错误!,d ＝错误!，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？答案 等差数列通项公式可变形为a n ＝dn ＋（a 1－d ），其图象为一条直线上孤立的一系列点，（1,a 1)，(n ,a n ),（m ，a m ）都是这条直线上的点．d 为直线的斜率，故两点(1，a 1），（n ，a n )连线的斜率d ＝a n －a 1n －1.当两点为(n ,a n ），（m ，a m ）时，有d ＝错误!.梳理等差数列｛a n｝中，若公差为d，则a n＝a m＋(n－m）d，当n ≠m时，d＝错误!。

知识点二等差数列的性质思考还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗？推广到一般的等差数列,你有什么猜想？答案利用1＋100＝2＋99＝…。

在有穷等差数列中，与首末两项“等距离"的两项之和等于首项与末项的和．即a1＋a n＝a2＋a n－1＝a3＋a n ＝…。

－2梳理在等差数列{a n｝中，若m＋n＝p＋q（m,n，p，q∈N*），则a m＋a n＝a p＋a q。

特别地，若m＋n＝2p，则a n＋a m＝2a p。

知识点三由等差数列衍生的新数列思考若{a n}是公差为d的等差数列，那么｛a n＋a n＋2}是等差数列吗？若是,公差是多少？答案∵(a n＋1＋a n＋3)－（a n＋a n＋2）＝(a n＋1－a n)＋（a n＋3－a n＋2)＝d＋d＝2d.∴｛a n＋a n＋2}是公差为2d的等差数列．梳理若{a n｝，｛b n}分别是公差为d，d′的等差数列,则有数列结论｛c＋a n}公差为d的等差数列（c为任一常数){c·a n}公差为cd的等差数列（c为任一常数）｛a n＋a n＋k}公差为2d的等差数列（k为常数，k∈N＊)｛pa n ＋qb n}公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)类型一等差数列推广通项公式的应用例1 在等差数列｛a n｝中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式．解因为a8＝a2＋(8－2）d,所以17＝5＋6d，解得d＝2.又因为a n＝a2＋(n－2）d，所以a n＝5＋（n－2）×2＝2n＋1。

第2课时 等差数列前n 项和的性质一、选择题1．已知数列{a n }满足a n ＝26－2n ，则使其前n 项和S n 取最大值的n 的值为( )A ．11或12B ．12C ．13D ．12或13答案 D解析 ∵a n ＝26－2n ，∴a n －a n －1＝－2，∴数列{a n }为等差数列．又a 1＝24，d ＝－2，∴S n ＝24n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋25n ＝－⎝⎛⎭⎫n －2522＋6254. ∵n ∈N ＋，∴当n ＝12或13时，S n 最大，故选D.2．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，那么此数列前20项的和为( )A ．160B ．180C ．200D ．220答案 B解析 由a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝－24，得a 2＝－8，由a 18＋a 19＋a 20＝3a 19＝78，得a 19＝26，于是S 20＝10(a 1＋a 20)＝10(a 2＋a 19)＝10×(－8＋26)＝180.3．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1答案 B解析 ∵等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝An 2＋Bn ，∴λ＝－1.4．在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 016，S k ＝S 2 008，则正整数k 为( )A ．2 017B ．2 018C ．2 019D ．2 020 答案 C解析 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S 2 011＝S 2 016，S k ＝S 2 008，可得2 011＋2 0162＝2 008＋k 2，解得k ＝2 019.故选C. 5．若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N ＋)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 B解析 因为a n ＋1－a n ＝－3，所以数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以a n＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a k ≥0，a k ＋1≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3(k ＋1)≤0，即193≤k ≤223. 因为k ∈N ＋，所以k ＝7.故满足条件的n 的值为7.6．已知{a n }为项数为2n ＋1的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( ) A.2n ＋1n B.n ＋1n C.n －1n D.n ＋12n答案 B解析 S 奇＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2，S 偶＝n (a 2＋a 2n )2， ∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴S 奇S 偶＝n ＋1n . 7．已知等差数列{a n }中，a 1 009＝4，S 2 018＝2 018，则S 2 019等于( )A ．－2 019B ．2 019C ．－4 038D ．4 038答案 C解析 因为{a n }是等差数列，所以S 2 018＝1 009(a 1＋a 2 018)＝1 009(a 1 009＋a 1 010)＝2 018，则a 1 009＋a 1 010＝2.又a 1 009＝4，所以a 1 010＝－2，则S 2 019＝2 019(a 1＋a 2 019)2＝2 019a 1 010＝－4 038.8．设数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，已知a 1＋a 4＋a 7＝99，a 2＋a 5＋a 8＝93，若对任意n ∈N ＋，都有S n ≤S k 成立，则k 的值为( )A ．22B ．21C ．20D ．19答案 C解析 对任意n ∈N ＋，都有S n ≤S k 成立，即S k 为S n 的最大值．因为a 1＋a 4＋a 7＝99，a 2＋a 5＋a 8＝93，所以a 4＝33，a 5＝31，故公差d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝41－2n ，当S n 取得最大值时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，解得1912≤n ≤2012. 即满足对任意n ∈N ＋，都有S n ≤S k 成立的k 的值为20.二、填空题9．数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1(n ∈N ＋)，则它的通项公式是______________________．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2，n ∈N ＋ 解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2，不符合上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2，n ∈N ＋. 10．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝1，S 5＝10，则当S n 取得最大值时，n 的值为________．答案 4或5解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝a 1＋3d ＝1，S 5＝5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝－1， ∴a 5＝a 1＋4d ＝0，∴S 4＝S 5且同时最大．∴n ＝4或5.11．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3(n ∈N ＋)，则a 7b 7＋a 9b 11＝________. 答案 463解析 设A n ＝kn (7n ＋45)，B n ＝kn (n ＋3)，则n ≥2，n ∈N ＋时，a n ＝A n －A n －1＝k (14n ＋38)，b n ＝k (2n ＋2)，则a 7b 7＝k (14×7＋38)k (2×7＋2)＝172，a 9b 11＝k (14×9＋38)k (2×11＋2)＝416，所以a 7b 7＋a 9b 11＝172＋416＝463. 三、解答题12．设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9.(1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的自然数n 的值． 解 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 及a 3＝5，a 10＝－9，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，a 1＋9d ＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n ，n ∈N ＋.(2)由(1)知，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝10n －n 2. 因为S n ＝－(n －5)2＋25，所以当n ＝5时，S n 取得最大值．13．数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0 (n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n . 解 (1)∵a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0， ∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，∴{a n }是等差数列，又∵a 1＝8，a 4＝2， ∴d ＝－2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10－2n ，n ∈N ＋.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝8n ＋n (n －1)2×(－2)＝9n －n 2. ∵a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5. 当n >5时，a n <0；当n ＝5时，a n ＝0；当n <5时，a n >0.∴当n >5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n ) ＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n＝2×(9×5－25)－9n ＋n 2＝n 2－9n ＋40， 当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝9n －n 2.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧9n －n 2，n ≤5，n ∈N ＋，n 2－9n ＋40，n ≥6，n ∈N ＋.14．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n 等于( )A ．12B ．14C ．16D ．18 答案 B解析 因为S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n (a 1＋a n )2＝210，得n ＝14. 15．已知S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，且S n T n ＝2n ＋14n －2(n ∈N ＋)，则a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝________.答案 4178解析 因为b 3＋b 18＝b 6＋b 15＝b 10＋b 11，所以a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝a 10＋a 11b 10＋b 11＝10(a 10＋a 11)10(b 10＋b 11)＝S 20T 20＝2×20＋14×20－2＝4178.。

第二课时等差数列的性质及简单应用[选题明细表]基础巩固1.在等差数列{a n}中,a1+a9=10,则a5的值为( A )(A)5 (B)6 (C)8 (D)10解析:由等差数列的性质,得a1+a9=2a5,又因为a1+a9=10,即2a5=10,所以a5=5.故选A.2.已知等差数列{a n}:1,0,-1,-2,…;等差数列{b n}:0,20,40,60,…,则数列{a n+b n}是( D )(A)公差为-1的等差数列(B)公差为20的等差数列(C)公差为-20的等差数列(D)公差为19的等差数列解析:(a2+b2)-(a1+b1)=(a2-a1)+(b2-b1)=-1+20=19.所以由等差数列性质知数列{a n+b n}是公差为19的等差数列.选D.3.(2019·烟台高二检测)等差数列{a n}中,a1+3a8+a15=120,则2a9-a10的值是( C )(A)20 (B)22 (C)24 (D)-8解析:因为a1+3a8+a15=5a8=120,所以a8=24,而2a9-a10=a10+a8-a10=a8=24.故选C.4.(2019·东北三校联考)等差数列{a n}中,a5+a6=4,则log2(··…·)等于( B )(A)10 (B)20(C)40 (D)2+log25解析:由等差数列的性质知a1+a2+…+a10=5(a5+a6)=5×4=20,从而log2(··…·)=log2220=20.故选B.5.(2019·成都高二检测)已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有( C )(A)a1+a101>0 (B)a2+a101<0(C)a3+a99=0 (D)a51=51解析:根据性质得:a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51,由于a1+a2+a3+…+a101=0,所以a51=0,所以a3+a99=2a51=0,故选C.6.一架飞机在起飞时,第一秒滑行了2 m,以后每秒都比前一秒多滑行4 m,又知离地前一秒滑行了58 m,这架飞机起飞所用的时间为.解析:飞机每秒滑行的距离组成等差数列,记为{a n},其中,a1=2,d=4,a n=58,代入等差数列的通项公式a n=a1+(n-1)d,得2+4(n-1)=58,解得n=15(s).答案:15 s7.若x≠y,两个数列x,a1,a2,a3,y和x,b1,b2,b3,b4,y都是等差数列,则= .解析:设两个等差数列的公差分别为d1,d2.则y-x=4d1=5d2,又a2-a1=d1,b4-b3=d2,所以==.答案:8.(2019·洛阳高二检测)在等差数列{a n}中,已知a2+a5+a8=9,a3a5a7=-21,求数列的通项公式.解:因为a2+a5+a8=9,a3a5a7=-21,又a2+a8=a3+a7=2a5,所以3a5=9,所以a5=3,所以a3+a7=2a5=6, ①a3·a7=-7. ②由①②解得a3=-1,a7=7或a3=7,a7=-1,所以a3=-1,d=2或a3=7,d=-2,由a n=a3+(n-3)d,得a n=2n-7或a n=-2n+13.能力提升9.(2019·黑龙江绥化期末)若2,a,b,c,9成等差数列,则c-a的值为( B )(A)2.5 (B)3.5 (C)1.5 (D)3解析:设公差为d,因为2,a,b,c,9成等差数列,所以9-2=4d,所以d=.又因为c-a=2d,所以c-a=2×==3.5.故选B.10.目前农村电子商务发展取得了良好的进展,若某家农村网店从第一个月起利润就成递增等差数列,且第2个月利润为2 500元,第5个月利润为4 000元,第m个月后该网店的利润超过5 000元,则m等于( B )(A)6 (B)7 (C)8 (D)10解析:设该网店从第一个月起每月的利润构成等差数列{a n},则a2=2 500,a5=4 000.由a5=a2+3d,即4 000=2 500+3d,得d=500.由a m=a2+(m-2)×500=5 000,得m=7.故选B.11.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为.解析:设所构成的等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,则有即解得则a5=a1+4d=,故第5节的容积为升.答案:升12.数列{a n}为等差数列,b n=(),又已知b1+b2+b3=,b1b2b3=,求数列{a n}的通项公式.解:因为b1+b2+b3=()+()+()=,b1b2b3=()=,所以a1+a2+a3=3.因为a1,a2,a3成等差数列,所以a2=1,故可设a1=1-d,a3=1+d,由()1-d++()1+d=,得2d+2-d=,解得d=2或d=-2.当d=2时,a1=1-d=-1,a n=-1+2(n-1)=2n-3,当d=-2时,a1=1-d=3,a n=3-2(n-1)=-2n+5.探究创新13.在下面的数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列.那么位于表中的第n行第n+1列的数是.解析:第n行的第一个数是n,第n行的数构成以n为公差的等差数列,其第n+1项为n+n·n=n2+n.所以数表中的第n行第n+1列的数是n2+n.答案:n2+n。

学习资料等差数列的性质[A组学业达标]1．已知｛a n}为等差数列,若a1＋a5＋a9＝4π,则cos a5的值为(）A．－错误!B．－错误!C.错误!D.错误!解析：因为｛a n｝为等差数列,a1＋a5＋a9＝4π，所以3a5＝4π，解得a5＝错误!。

所以cos a5＝cos 错误!＝－错误!。

答案:A2．在等差数列｛a n｝中，a3＋3a8＋a13＝120，则a3＋a13－a8＝（）A．24 B．22C．20 D．－8解析：因为数列｛a n}为等差数列，所以a3＋3a8＋a13＝5a8＝120，所以a8＝24，所以a3＋a13－a8＝a8＝24。

答案:A3．设e，f,g,h四个数成递增的等差数列，且公差为d，若eh＝13，f＋g＝14，则d 等于（）A．1 B．2C．3 D．4解析：e，f,g，h四个数成递增的等差数列，且eh＝13，e＋h＝f＋g＝14，解得e＝1，h＝13或e＝13，h＝1（不合题意，舍去）；所以公差d＝错误!（h－e)＝错误!×(13－1）＝4。

答案:D4．已知等差数列｛a n｝的公差为d(d≠0），且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若a m＝8，则m为（)A．12 B．8C．6 D．4解析:由等差数列性质得,a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32,∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8。

答案：B5．若等差数列{a n｝和{b n}的公差均为d（d≠0），则下列数列中不为等差数列的是(）A．｛λa n｝（λ为常数) B．｛a n＋b n｝C．{a错误!－b错误!｝D．{a n·b n}解析：等差数列｛a n｝和｛b n}的公差均为d(d≠0)，对于A,由λa n＋1－λa n＝λ（a n＋1－a n）＝λd为常数，则该数列为等差数列；＋b n＋1－a n－b n＝（a n＋1－a n）＋(b n＋1－b n）＝2d为常数,则该数列为对于B,由a n＋1等差数列;对于C，由a2，n－b2，n＋1－(a错误!－b错误!)＝（a n＋1－a n)(a n＋1＋a n）－(b n＋1－b n)＋1＋b n)（b n＋1＝d(2a1＋（2n－1)d)－d(2b1＋（2n－1)d）＝2d(a1－b1)为常数,则该数列为等差数列;b n＋1－a n b n＝(a n＋d）(b n＋d)－a n b n＝d2＋d(a n＋b n)不为常数,则该数对于D，由a n＋1列不为等差数列．答案：D6．在等差数列{a n}中，若a5＝a，a10＝b，则a15＝________.解析：法一：d＝错误!＝错误!,∴a15＝a10＋5d＝b＋5×错误!＝2b－a.法二：∵a5，a10，a15成等差数列，∴a5＋a15＝2a10.∴a15＝2a10－a5＝2b－a。

第二课时 等差数列的性质及实际应用课标要求素养要求1.能根据等差数列的定义推出等差数列的性质，并能运用这些性质简化运算.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.通过推导等差数列的性质及其应用，提升学生的数学抽象和逻辑推理素养，通过利用等差数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.新知探究请同学们思考以下问题：若等差数列{a n }为1，3，5，7，…，2n －1，则数列{a n ＋2}，{2a n }是等差数列吗？ 提示 因为等差数列的通项为a n ＝2n －1，则a n ＋2＝2n －1＋2＝2n ＋1，2a n ＝2(2n －1)＝4n －2，可判断数列{a n ＋2}，{2a n }都是等差数列，一般地，若{a n }为等差数列，则{a n ＋c }，{ca n }也是等差数列，你还知道等差数列的其他性质吗？1.等差数列通项公式的变形及推广 (1)a n ＝dn ＋(a 1－d )(n ∈N *)， (2)a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N *)， (3)d ＝a n －a m n －m(m ，n ∈N *，且m ≠n ). 2.若{a n }，{b n }分别是公差为d ，d ′的等差数列，则有数列 结论{c ＋a n } 公差为d 的等差数列(c 为任一常数) {c ·a n } 公差为cd 的等差数列(c 为任一常数) {a n ＋a n ＋k } 公差为2d 的等差数列(k 为常数，k ∈N *) {pa n ＋qb n }公差为pd ＋qd ′的等差数列(p ，q 为常数)3.在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a 1＋a n ＝a 2＋a n－1＝a3＋a n－2＝….4.下标性质在等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q.特别的，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有a m＋a n＝2a p.拓展深化[微判断]1.等差数列{a n}中，必有a10＝a1＋a9.(×)提示反例：a n＝n－1，a10＝9，a1＋a9＝8，不满足a10＝a1＋a9.2.若数列a1，a2，a3，a4，…是等差数列，则数列a1，a3，a5，…也是等差数列.(√)3.若数列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6…都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3…也是等差数列.(×)提示反例：设两数列为1，3，5，…，4，6，8，…，显然1，4，3，6，5，8，…不是等差数列.4.若数列{a n}为等差数列，则a n＋1＝a n－1＋2d，n>1，且n∈N*.(√)[微训练]1.在等差数列{a n}中，a10＝18，a2＝2，则公差d＝( )A.－1B.2C.4D.6解析由题意知a10－a2＝8d，即8d＝16，d＝2.答案 B2.已知等差数列{a n}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )A.a1＋a101>0B.a2＋a101<0C.a3＋a99＝0D.a51＝51解析∵a1＋a2＋…＋a101＝0，又∵a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝…＝2a51，∴101a51＝0，∴a51＝0，a3＋a99＝2a51＝0.答案 C3.在等差数列{a n}中，若a2＋a8＝－3，a4＝－2，则a6＝________.解析由a2＋a8＝a4＋a6得a6＝－1.答案－1[微思考]1.在等差数列{a n}中，a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是等差数列吗？若是，公差是多少？提示是.若{a n}的公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…的公差为md.2.在等差数列{a n}中，若m，n，p，q，…成等差数列，那么a m，a n，a p，a q，…也成等差数列吗？若成等差数列，公差是什么？提示 成等差数列，若{a n }的公差为d ，则a m ，a n ，a p ，a q ，…的公差为(n －m )d .题型一 a n ＝a m ＋(n －m )d 的应用【例1】 在等差数列{a n }中，已知a 2＝5，a 8＝17，求数列的公差及通项公式. 解 因为a 8＝a 2＋(8－2)d ，所以17＝5＋6d ，解得d ＝2. 又因为a n ＝a 2＋(n －2)d ，所以a n ＝5＋(n －2)×2＝2n ＋1，n ∈N *.规律方法 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.令m ＝1，a n ＝a m ＋(n －m )d 即变为a n ＝a 1＋(n －1)d ，可以减少记忆负担.【训练1】 已知{b n }为等差数列，若b 3＝－2，b 10＝12，则b 8＝________. 解析 法一 ∵{b n }为等差数列，∴可设其公差为d ， 则d ＝b 10－b 310－3＝12－（－2）7＝2，∴b n ＝b 3＋(n －3)d ＝2n －8. ∴b 8＝2×8－8＝8. 法二 由b 8－b 38－3＝b 10－b 310－3＝d ，得b 8＝b 10－b 310－3·5＋b 3＝2×5＋(－2)＝8. 答案 8题型二 等差数列性质的应用【例2】 已知数列{a n }为等差数列，且公差为d . (1)若a 15＝8，a 60＝20，求a 105的值；(2)若a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a 2a 5＝52，求公差d . 解 (1)法一 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋14d ＝8，a 1＋59d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6415，d ＝415.故a 105＝a 1＋104d ＝6415＋104×415＝32.法二 ∵{a n }为等差数列，∴d ＝a 60－a 1560－15＝415， ∴a 105＝a 60＋45×415＝32.法三 ∵{a n }为等差数列， ∴a 15，a 60，a 105也成等差数列，则2a 60＝a 15＋a 105， ∴a 105＝2×20－8＝32.(2)由a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，得2(a 2＋a 5)＝34， ∴a 2＋a 5＝17.由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝17，a 2a 5＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，a 5＝13或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝13，a 5＝4. ∴d ＝a 5－a 25－2＝13－43＝3或d ＝a 5－a 25－2＝4－133＝－3.规律方法 等差数列运算的两条常用思路(1)根据已知条件，列出关于a 1，d 的方程(组)，确定a 1，d ，然后求其他量.(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m ＋n ＝p ＋q ＝2r (m ，n ，p ，q ，r ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a r .【训练2】 (1)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. (2)已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9＝________. 解析 (1)3a 5＋a 7＝2a 5＋(a 5＋a 7)＝2a 5＋2a 6＝2(a 3＋a 8)＝20.(2)法一 由性质可知，数列a 1＋a 4＋a 7，a 2＋a 5＋a 8，a 3＋a 6＋a 9是等差数列，所以2(a 2＋a 5＋a 8)＝(a 1＋a 4＋a 7)＋(a 3＋a 6＋a 9)，则a 3＋a 6＋a 9＝2×33－39＝27.法二 设等差数列{a n }的公差为d ，则(a 2＋a 5＋a 8)－(a 1＋a 4＋a 7)＝(a 2－a 1)＋(a 5－a 4)＋(a 8－a 7)＝3d ＝－6，解得d ＝－2，所以a 3＋a 6＋a 9＝a 2＋d ＋a 5＋d ＋a 8＋d ＝27. 答案 (1)20 (2)27题型三 等差数列的设法与求解【例3】 已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列.解 设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则⎩⎪⎨⎪⎧（a －3d ）2＋（a －d ）2＋（a ＋d ）2＋（a ＋3d ）2＝94，（a －3d ）（a ＋3d ）＋18＝（a －d ）（a ＋d ）， 又因为是递增数列，所以d >0， 所以解得a ＝±72，d ＝32，此等差数列为－1，2，5，8或－8，－5，－2，1.【迁移】 已知单调递增的等差数列{a n }的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{a n }的通项公式.解 法一 根据题意，设等差数列{a n }的前三项分别为a 1，a 1＋d ，a 1＋2d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋d ）＋（a 1＋2d ）＝21，a 1（a 1＋d ）（a 1＋2d ）＝231， 即⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝21，a 1（a 1＋d ）（a 1＋2d ）＝231，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，d ＝－4. 因为数列{a n }为单调递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4，从而等差数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －1.法二 由于数列{a n }为等差数列，所以可设前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（a －d ）＋a ＋（a ＋d ）＝21，（a －d ）a （a ＋d ）＝231，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝21，a （a 2－d 2）＝231，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝－4.由于数列{a n }为单调递增数列， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝4，从而a n ＝4n －1.规律方法 等差数列项的常见设法(1)通项法：设数列的通项公式，即设a n ＝a 1＋(n －1)d .(2)对称项设法：当等差数列{a n }的项数为奇数时，可设中间一项为a ，再以公差为d 向两边分别设项：…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；当等差数列{a n }的项数为偶数时，可设中间两项分别为a －d ，a ＋d ，再以公差为2d 向两边分别设项：…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，….对称项设法的优点是：若有n 个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数列，则其各项和为na .【训练3】 已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数. 解 法一 设此等差数列的首项为a 1，公差为d .根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋d ）＋（a 1＋2d ）＋（a 1＋3d ）＝26，（a 1＋d ）（a 1＋2d ）＝40.化简得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝26，a 21＋3a 1d ＋2d 2＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，d ＝－3. 所以这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.法二 设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（a －3d ）＋（a －d ）＋（a ＋d ）＋（a ＋3d ）＝26，（a －d ）（a ＋d ）＝40， 即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝－32，所以所求四个数为2，5，8，11或11，8，5，2.题型四 等差数列的实际应用【例4】 中国历法推测遵循以算为主、以测为辅的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.146寸表示115寸146分(1寸＝10分).与清明之间的晷影长之差为( ) A.105.6寸 B.48寸 C.57.6寸D.67.2寸解析 设晷影长构成等差数列{a n }，公差为d ，则a 1＝130.0，a 13＝14.8，d ＝a 13－a 113－1＝－9.6，故小寒与清明之间的晷影长之差即为a 2－a 8＝－(a 8－a 2)＝－6d ＝57.6. 答案 C规律方法 解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点(1)解答数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；③判型，即判断该数列是否为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解；⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中.(2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题.【训练4】 假设某市2020年新建住房400万平方米，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米.那么该市在________年新建住房的面积开始大于820万平方米.解析 设n 年后该市新建住房的面积为a n 万平方米.由题意，得{a n }是等差数列，首项a 1＝450，公差d ＝50，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝400＋50n .令400＋50n >820，解得n >425.由于n ∈N *，则n ≥9.所以该市在2 029年新建住房的面积开始大于820万平方米.答案 2 029一、素养落地1.通过学习等差数列的性质解决等差数列问题，培养逻辑推理及数学运算素养，通过利用等差数列解决实际问题，提升数学建模素养.2.在等差数列{a n }中，当m ≠n 时，d ＝a m －a nm －n，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为a m ＝a n ＋(m －n )d .3.等差数列{a n }中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列.4.等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N *)，特别地，若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p . 二、素养训练1.在等差数列{a n }中，已知a 3＝10，a 8＝－20，则公差d 等于( ) A.3 B.－6 C.4D.－3解析 由等差数列的性质得a 8－a 3＝(8－3)d ＝5d ，所以d ＝－20－105＝－6.答案 B2.在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7等于( ) A.5 B.8 C.10D.14解析 法一 设等差数列的公差为d ，则a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝4＋6d ＝10，所以d ＝1，a 7＝a 1＋6d ＝2＋6＝8.法二 由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10，又a 1＝2，所以a 7＝8. 答案 B3.在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝2，a 3＋a 7＝8，则a 11＋a 15＝________.解析 (a 3＋a 7)－(a 1＋a 5)＝4d ＝6，则d ＝32，则a 11＋a 15＝(a 1＋a 5)＋20d ＝2＋20×32＝32.答案 324.在等差数列{a n }中，已知5是a 3和a 6的等差中项，则a 1＋a 8＝________. 解析 由题意知a 3＋a 6＝10，故a 1＋a 8＝a 3＋a 6＝10.答案 105.三个数成等差数列，这三个数的和为6，三个数之积为－24，求这三个数. 解 设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d .由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧（a －d ）＋a ＋（a ＋d ）＝6，（a －d ）·a ·（a ＋d ）＝－24，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，d ＝－4.∴所求三个数为－2，2，6或6，2，－2.基础达标一、选择题1.在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( )A.4B.6C.8D.10解析 由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16， ∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8)＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12a 6＝8.答案 C2.已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为( ) A.12 B.8 C.6D.4解析 由等差数列性质得，a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32， ∴a 8＝8，又d ≠0，∴m ＝8. 答案 B3.在等差数列{a n }中，a 2 018＝log 27，a 2 022＝log 217，则a 2 020＝( )A.0B.7C.1D.49解析 a 2 020＝12(a 2 018＋a 2 022)＝12(log 27＋log 217)＝12log 2 1＝0.答案 A4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分六钱，令前三人所得与后二人等，各人所得均增，问各得几何？”其意思是：“已知A ，B ，C ，D ，E 五人个分重量为6钱(‘钱’是古代的一种重量单位)的物品，A ，B ，C 三人所得钱数之和与D ，E 二人所得钱数之和相同，且A ，B ，C ，D ，E 每人所得钱数依次成递增等差数列，问五个人各分得多少钱的物品？”在这个问题中，C 分得物品的钱数是( ) A.25 B.45C.65D.75解析 设5个人分得的物品的钱数为等差数列中的项a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，则a 1＋a 2＋a 3＝a 4＋a 5，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝6＝5a 3，a 3＝65.答案 C5.等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( ) A.10B.20C.40D.2＋log 25解析 因为2a 1·2a 2·…·2a 10＝2a 1＋a 2＋…＋a 10＝25(a 5＋a 6)＝25×4＝220，所以原式＝log 2220＝20. 答案 B 二、填空题6.在等差数列{a n }中，若a 22＋2a 2a 8＋a 6a 10＝16，则a 4a 6＝________. 解析 ∵等差数列{a n }中，a 22＋2a 2a 8＋a 6a 10＝16， ∴a 22＋a 2(a 6＋a 10)＋a 6a 10＝16，∴(a 2＋a 6)(a 2＋a 10)＝16，∴2a 4·2a 6＝16，∴a 4a 6＝4. 答案 47.已知数列{a n }是等差数列.若a 4＋a 7＋a 10＝17，a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 12＋a 13＋a 14＝77，且a k ＝13，则k ＝________.解析 设数列{a n }的公差为d ，∵a 4＋a 7＋a 10＝3a 7＝17，∴a 7＝173.∵a 4＋…＋a 14＝11a 9＝77，∴a 9＝7，d ＝23.∴a k －a 9＝(k －9)d ，即13－7＝(k －9)×23，解得k ＝18.答案 188.已知等差数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 8＝5π4，那么cos(a 3＋a 5)＝________.解析 在等差数列{a n }中，由a 1＋a 3＋a 8＝5π4，得a 1＋(a 1＋2d )＋(a 1＋7d )＝5π4，∴3a 1＋9d ＝5π4，即a 1＋3d ＝a 4＝5π12，∴a 3＋a 5＝2a 4＝5π6，则cos(a 3＋a 5)＝cos 5π6＝－32.答案 －32三、解答题9.已知三个数成单调递增等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，求这三个数.解 设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，且d >0.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧（a －d ）＋a ＋（a ＋d ）＝18，（a －d ）2＋a 2＋（a ＋d ）2＝116， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，d ＝－2.∵d >0，∴a ＝6，d ＝2. ∴这三个数是4，6，8. 10.已知数列{a n }满足a n ＋1＝1＋a n 3－a n(n ∈N *)，且a 1＝0. (1)求a 2，a 3；(2)是否存在一个实常数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －λ为等差数列，请说明理由. 解 (1)因为a 1＝0，a n ＋1＝1＋a n 3－a n (n ∈N *)，所以a 2＝1＋a 13－a 1＝13，a 3＝1＋a 23－a 2＝12.(2)假设存在一个实常数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －λ为等差数列，所以2a 2－λ＝1a 1－λ＋1a 3－λ，即213－λ＝10－λ＋112－λ，解得λ＝1. 因为1a n ＋1－1－1a n －1＝11＋a n 3－a n －1－1a n －1＝3－a n 2（a n －1）－1a n －1＝1－a n 2（a n －1）＝－12，又1a 1－1＝－1，所以存在一个实常数λ＝1，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －λ是首项为－1，公差为－12的等差数列.能力提升11.下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个结论：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列. 其中正确的为( )A.p 1，p 2B.p 3，p 4C.p 2，p 3D.p 1，p 4解析 设等差数列首项a 1，d >0，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )，∴数列{a n }递增，p 1正确；na n ＝dn 2＋(a 1－d )n ，当n <d －a 12d 时，不递增，p 2错误；a n n ＝d ＋a 1－d n，当a 1－d >0时，不递增，p 3错误； [a n ＋1＋3(n ＋1)d ]－(a n ＋3nd )＝a n ＋1－a n ＋3d ＝4d >0，{a n ＋3nd }递增，p 4正确，故选D. 答案 D12. 有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售.某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？解 设某单位需购买电视机n 台.在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{a n }，a n ＝780＋(n －1)×(－20)＝－20n ＋800，由a n ＝－20n ＋800≥440，得n ≤18，即购买台数不超过18台时，每台售价(800－20n )元；购买台数超过18台时，每台售价440元.到乙商场购买时，每台售价为800×75%＝600(元).比较在甲、乙两家家电商场的费用(800－20n )n －600n ＝20n (10－n ).当n ＜10时，(800－20n )n ＞600n ，到乙商场购买花费较少；当n ＝10时，(800－20n )n ＝600n ，到甲、乙商场购买花费相同；当10＜n ≤18时，(800－20n )n ＜600n ，到甲商场购买花费较少；当n ＞18时，440n ＜600n ，到甲商场购买花费较少.因此，当购买电视机台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买电视机10台时，到两家商场购买花费相同；当购买电视机台数多于10台时，到甲商场购买花费较少.创新猜想13.(多选题)已知等差数列{a n }中，a 1＝3，公差为d (d ∈N *)，若2021是该数列的一项，则公差d 不可能是( )A.2B.3C.4D.5 解析 由2021是该数列的一项，即2021＝3＋(n －1)d ，所以n ＝2 018d＋1，因为d ∈N *，所以d 是2 018的约数，故d 不可能是3，4和5.答案 BCD14.(多空题)已知两个等差数列{a n }：5，8，11，…与{b n }：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{c n }，则数列{c n }的通项公式c n ＝________；若数列{a n }和{b n }的项数均为100，则{c n }的项数是________.解析 由于数列{a n }和{b n }都是等差数列，所以{c n }也是等差数列，且公差为3×4＝12，又c 1＝11，故c n ＝11＋12(n －1)＝12n －1.又a 100＝302，b 100＝399，由⎩⎪⎨⎪⎧11≤12n －1≤302，11≤12n －1≤399，解得1≤n ≤25.25，故{c n }的项数为25.答案 12n －1 25。

第2课时一、选择题1．等差数列{a n}中，a6＋a9＝16，a4＝1，则a11＝( )A．64 B．30C．31 D．15[答案]　D[解析]　解法一：∵，∴，∴，∴a11＝a1＋10d＝15.解法二：∵6＋9＝4＋11，∴a4＋a11＝a6＋a9＝16，∴a11＝15.2．如果等差数列{a n}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝( ) A．14B．21C．28D．35[答案]　C[解析]　∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4.又a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.3．已知等差数列{a n}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )A．a1＋a101>0B．a2＋a100<0C．a3＋a100≤0D．a51＝0[答案]　D[解析]　由题设a1＋a2＋a3＋…＋a101＝101a51＝0，∴a51＝0.4．已知{a n}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于( ) A．－1B．1C．3D．7[答案]　B[解析]　∵{a n}是等差数列，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝105，∴a3＝35，a2＋a4＋a6＝3a4＝99，∴a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2，a20＝a4＋16d＝33－32＝1.5．在a和b之间插入n个数构成一个等差数列，则其公差为( )A．　B．C．D．[答案]　C[解析]　∵a1＝a，a n＋2＝b，∴公差d＝＝.6．设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13等于( )A．120 B．105C．90 D．75[答案]　B[解析]　∵a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5，又∵a1a2a3＝80，∴a1a3＝16，即(a2－d)(a2＋d)＝16，∵d>0，∴d＝3.则a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a2＋10d)＝105.二、填空题7．等差数列{a n}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，则a5＋a8＝__________.[答案]　18[分析]　利用等差数列的性质求解，或整体考虑问题，求出2a1＋11d的值．[解析]　解法1：根据题意，有(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋9d)＋(a1＋10d)＝36，∴4a1＋22d＝36，则2a1＋11d＝18.∴a5＋a8＝(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝2a1＋11d＝18.解法2：根据等差数列性质，可得a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11＝36÷2＝18.8．已知等差数列{a n}中，a3、a15是方程x2－6x－1＝0的两根，则a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝__________.[答案]　15[解析]　∵a3＋a15＝6，又a7＋a11＝a8＋a10＝2a9＝a3＋a15，∴a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝(2＋)(a3＋a15)＝×6＝15.三、解答题9．已知等差数列{a n}的公差d>0，且a3a7＝－12，a4＋a6＝－4，求{a n}的通项公式．[解析]　由等差数列的性质，得a3＋a7＝a4＋a6＝－4，又∵a3a7＝－12，∴a3、a7是方程x2＋4x－12＝0的两根．又∵d>0，∴a3＝－6，a7＝2.∴a7－a3＝4d＝8，∴d＝2.∴a n＝a3＋(n－3)d＝－6＋2(n－3)＝2n－12.10．四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．[解析]　设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，据题意得，(a－3d)2＋(a－d)2＋(a＋d)2＋(a＋3d)2＝94⇒2a2＋10d2＝47.①又(a－3d)(a＋3d)＝(a－d)(a＋d)－18⇒8d2＝18⇒d＝±代入①得a＝±，故所求四数为8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2，1.一、选择题1．设数列{a n}，{b n}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{a n＋b n}的第37项为( )A．0B．37C．100D．－37[答案]　C[解析]　∵数列{a n}，{b n}都是等差数列，∴{a n＋b n}也是等差数列．又∵a1＋b1＝100，a2＋b2＝100，∴{a n＋b n}的公差为0，∴数列{a n＋b n}的第37项为100.2．数列{a n}中，a2＝2，a6＝0且数列{}是等差数列，则a4等于( )A．　B．C．D．[答案]　A[解析]　令b n＝，则b2＝＝，b6＝＝1，由条件知{b n}是等差数列，∴b6－b2＝(6－2)d＝4d＝，∴d＝，∴b4＝b2＋2d＝＋2×＝，∵b4＝，∴a4＝.3．等差数列{a n}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程：x2＋(a4＋a6)x＋10＝0( )A．无实根B．有两个相等实根C．有两个不等实根D．不能确定有无实根[答案]　A[解析]　∵a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，即3a5＝9，∴a5＝3，方程为x2＋6x＋10＝0，无实数解．4．下列命题中正确的个数是( )(1)若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2一定成等差数列；(2)若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c可能成等差数列；(3)若a，b，c成等差数列，则ka＋2，kb＋2，kc＋2一定成等差数列；(4)若a，b，c成等差数列，则，，可能成等差数列．A．4个B．3个C．2个D．1个[答案]　B[解析]　对于(1)取a＝1，b＝2，c＝3⇒a2＝1，b2＝4，c2＝9，(1)错．对于(2)，a＝b＝c⇒2a＝2b＝2c，(2)正确；对于(3)，∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2B．∴(ka＋2)＋(kc＋2)＝k(a＋c)＋4＝2(kb＋2)，(3)正确；对于(4)，a＝b＝c≠0⇒＝＝，(4)正确，综上选B．二、填空题5．若x≠y，两个数列x，a1，a2，a3，y和x，b1，b2，b3，b4，y都是等差数列，则＝________.[答案]　[解析]　设两个等差数列的公差分别为d1，d2，由已知，得即解得＝，即＝＝.6．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．[答案]　15[解析]　设△ABC的三边长为a－4，a，a＋4(a>4)，则＝－，解得a＝10，三边长分别为6,10,14.所以S△ABC＝×6×10×＝15.三、解答题7．在△ABC中，三边a、b、c成等差数列，、、也成等差数列，求证△ABC为正三角形．[证明]　∵＋＝2，平方得a＋c＋2＝4b，又∵a＋c＝2b，∴＝b，故(－)2＝0，∴a＝b＝C．故△ABC为正三角形．8．设数列{a n}是等差数列，b n＝()a n又b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求通项a n.[解析]　∵b1b2b3＝，又b n＝()a n，∴()a1·()a2·()a3＝.∴()a1＋a2＋a3＝，∴a1＋a2＋a3＝3，又{a n}成等差数列∴a2＝1，a1＋a3＝2，∴b1b3＝，b1＋b3＝，∴或，即或，∴a n＝2n－3或a n＝－2n＋5.。