第二章 2.2 第2课时 等差数列的性质(优秀经典课时作业练习题及答案详解).

[A 组 学业达标]

1．已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝4π，则cos a 5的值为( ) A ．－1

2 B ．－3

2 C.32

D.12

解析：因为{a n }为等差数列，a 1＋a 5＋a 9＝4π， 所以3a 5＝4π，解得a 5＝4π

3. 所以cos a 5＝cos 4π3＝－1

2. 答案：A

2．在等差数列{a n }中，a 3＋3a 8＋a 13＝120，则a 3＋a 13－a 8＝( ) A ．24 B ．22 C ．20

D ．－8

解析：因为数列{a n }为等差数列，

所以a 3＋3a 8＋a 13＝5a 8＝120，所以a 8＝24， 所以a 3＋a 13－a 8＝a 8＝24. 答案：A

3．设e ，f ，g ，h 四个数成递增的等差数列，且公差为d ，若eh ＝13，f ＋g ＝14，则d 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3

D ．4 解析：e ，f ，g ，h 四个数成递增的等差数列，且eh ＝13，e ＋h ＝f ＋g ＝14， 解得e ＝1，h ＝13或e ＝13，h ＝1(不合题意，舍去)； 所以公差d ＝13(h －e )＝1

3×(13－1)＝4. 答案：D

4．已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若a m＝8，则m为()

A．12 B．8

C．6 D．4

解析：由等差数列性质得，

a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)

＝2a8＋2a8＝4a8＝32，

∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.

答案：B

5．若等差数列{a n}和{b n}的公差均为d(d≠0)，则下列数列中不为等差数列的是

() A．{λa n}(λ为常数) B．{a n＋b n}

C．{a2n－b2n} D．{a n·b n}

解析：等差数列{a n}和{b n}的公差均为d(d≠0)，对于A，由λa n＋1－λa n＝λ(a n＋1－a n)＝λd为常数，则该数列为等差数列；

对于B，由a n＋1＋b n＋1－a n－b n＝(a n＋1－a n)＋(b n＋1－b n)＝2d为常数，则该数列为等差数列；

对于C，由a2n＋1－b2n＋1－(a2n－b2n)＝(a n＋1－a n)(a n＋1＋a n)－(b n＋1－b n)(b n＋1＋b n) ＝d(2a1＋(2n－1)d)－d(2b1＋(2n－1)d)＝2d(a1－b1)为常数，则该数列为等差数列；

对于D，由a n＋1b n＋1－a n b n＝(a n＋d)(b n＋d)－a n b n＝d2＋d(a n＋b n)不为常数，则该数列不为等差数列．

答案：D

6．在等差数列{a n}中，若a5＝a，a10＝b，则a15＝________.

解析：法一：d＝a10－a5

10－5

＝

b－a

5，

∴a 15＝a 10＋5d ＝b ＋5×b －a

5＝2b －a .

法二：∵a 5，a 10，a 15成等差数列，∴a 5＋a 15＝2a 10. ∴a 15＝2a 10－a 5＝2b －a . 答案：2b －a

7．若a ，x 1，x 2，x 3，b 与a ，y 1，y 2，y 3，y 4，y 5，b 均为等差数列，则x 3－x 1

y 3－y 1

＝________.

解析：∵a ，x 1，x 2，x 3，b 成等差数列，∴其公差d 1＝b －a

4.又∵a ，y 1，y 2，y 3，y 4，y 5，b 成等差数列，∴其公差d 2＝b －a

6. ∴x 3－x 1y 3－y 1＝2d 12d 2＝d 1d 2＝b －a 4×6b －a ＝32.

答案：3

2

8．已知等差数列{a n }，a 3＋a 5＝10，a 2a 6＝21，则a n ＝________.

解析：设等差数列{a n }的公差为d ，因为等差数列{a n }中，a 3＋a 5＝10，a 2a 6＝21， 所以a 2＋a 6＝a 3＋a 5＝10，

所以a 2，a 6是方程x 2－10x ＋21＝0的两个根， 解方程x 2－10x ＋21＝0，

得a 2＝3，a 6＝7或a 2＝7，a 6＝3， 当a 2＝3，a 6＝7时，⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＋d ＝3，a 1＋5d ＝7，

解得a 1＝2，d ＝1，

此时a n ＝2＋(n －1)×1＝n ＋1，

当a 2＝7，a 6＝3时，⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＋d ＝7，

a 1＋5d ＝3，

解得a 1＝8，d ＝－1，

此时a n ＝8＋(n －1)×(－1)＝－n ＋9. 综上，a n ＝n ＋1或a n ＝－n ＋9. 答案：n ＋1或－n ＋9

9．若三个数a －4，a ＋2,26－2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．

解析：显然a －4＜a ＋2，

(1)若a －4，a ＋2,26－2a 成等差数列，则(a －4)＋(26－2a )＝2(a ＋2)， ∴a ＝6，相应的等差数列为：2,8,14.

(2)若a －4,26－2a ，a ＋2成等差数列，则(a －4)＋(a ＋2)＝2(26－2a )， ∴a ＝9，相应的等差数列为：5,8,11.

(3)若26－2a ，a －4，a ＋2成等差数列，则(26－2a )＋(a ＋2)＝2(a －4)， ∴a ＝12，相应的等差数列为：2,8,14.

10．在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝21，a 1a 2a 3＝231. (1)求该数列中a 2的值； (2)求该数列的通项公式a n .

解析：(1)由等差数列的性质可知，a 1＋a 3＝2a 2， 所以a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝21，则a 2＝7. (2)依题意得

⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 3＝14，a 1·a 3＝33，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝11，a 3＝3或⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＝3，

a 3＝11，