七年级数学上册 第一章 有理数 1.5 有理数的乘方 1.5.1 第1课时 乘方的意义及运算复习练习

1.5.1 乘方（第1课时） 教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级上册（以下统称“教材”）第一章“有理数”1.5有理数的乘方第1课时，内容包括有理数乘方的意义、符号法则及运算.2.内容解析有理数乘方的意义，教材是先给出计算正方形面积、正方体体积等实际问题，利用求几个相同因数的乘法运算，再结合相同因数是负数等情况给出的，体现了从具体到抽象、从特殊到一般的思想.之后给出了有理数乘方的写法、读法，及底数、指数、幂等相关概念.接着根据有理数乘法法则，探究讨论了有理数乘方运算的符号法则与相关性质.最后给出了利用计算器进行有理数乘方运算的案例.基于以上分析，确定本节课的教学重点为：有理数乘方的意义及其运算．二、目标和目标解析1.目标（1）理解有理数乘方的意义，了解幂、底数、指数等相关概念.（2）掌握有理数乘方的符号法则及相关性质，能够正确地进行有理数的乘方运算.2.目标解析（1）有理数的乘方是利用有理数的乘法来定义的. 将n a a a a 个写成a n 的表达式，前者是n 个有理数a 相乘，是乘法运算，后者是有理数乘方的形式，是乘方运算.在a n 中，a 叫做底数，n 叫做指数，a n 的结果，即n 个有理数a 相乘的结果叫做幂.所以，有理数乘方及其相关概念是有理数乘法运算及其相关概念的自然拓展.（2）有理数的乘方像有理数加、减、乘、除法一样，也是一种运算，其运算的符号法则及相关性质完全依据相同因数的有理数乘法法则获得.初学时，应强调二者之间的关系，用有理数乘法法则探究学习有理数乘方运算.待学生熟悉有理数乘方运算法则及其相关性质后，应该逐步丢掉这根拐杖.三、教学问题诊断分析有理数的乘方是在学生学习有理数的加、减、乘、除法运算的基础上来学习的，它既是有理数乘法的推广与延续，又是后面继续学习有理数混合运算、科学记数法和开方的基础．在小学里，学生掌握的数的平方与立方只是在正数的范围内，现在则扩充到了有理数的范围．应当注意，乘方也是一种运算，是继加、减、乘、除法运算之后学习的第五种运算，因此掌握好本节课的内容能够进一步加深学生对有理数的运算的认识，并且将为学生今后学习数的开方打下坚实的基础．有理数的乘方是利用乘法来定义的，因此，可以参照乘法运算的方法进行乘方运算，但学生在探究过程中容易忽视由有理数乘法的符号法则得出有理数乘方的符号法则，有理数的乘方运算与加、减、乘、除法运算步骤一样，都是先确定符号，再计算绝对值．基于以上分析，确定本节课的教学难点为：有理数乘方符号法则及相关性质的理解与应用.四、教学过程设计（一）引入新课棋盘上的学问：古时候，有个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋. 为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这个大臣的一个要求. 大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧，第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米，然后是8粒、16粒、32粒，…，一直到第64格.”“你真傻！就要这么一点米？” 国王哈哈大笑. 这位大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！”你认为国王的国库里有这么多米吗？师生活动：学生可以自由发挥想象，教师不做任何解答，留待后面学习中解答.【设计意图】创设问题情境，激发学生学习兴趣，使学生认识到数学的发展是不断进行推广的.（二）新知探究问题1：请同学们把一张长方形的纸多次对折，所产生的纸的层数和对折的次数有关系吗？做一做：1. 边长为a 的正方形的面积为____；2. 棱长为a 的正方体的体积为______；3. (－2)×(－2)×(－2)=_____；4. (－1)×(－2)×(－3)×(－4)×5=____；5. (－1)×(－1)×(－1)×(－1)×(－1)=______.师生活动：归纳总结：一般地，n 个相同的因数a 相乘，记作a n ，读作“a 的n 次幂（或a 的n 次方）”，即n n a a aa a 个.师：对于a n 中a 的，不仅可以取正数，还可以取0和负数，也就是说a 可以取任意有理数，板书课题.这种求n 个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂.a叫做底数，n叫做指数，a n读作a的n次幂（或a的n次方）.教师引导学生注意：一个数可以看作这个数本身的一次方，例如8就是81，指数1通常省略不写.同时比较已经学习过的几种运算方法结果的不同称呼：【设计意图】通过对乘方的概念及意义的探索，使学生理解乘方的意义，能和前面已经学习过的几种运算作比较.（三）针对训练1. 把下列乘法式子写成乘方的形式：（1）1×1×1×1×1×1×1=_______；（2）3×3×3×3×3=_______；（3）(－3)×(－3)×(－3)×(－3)=______；（4）5555= 6666⨯⨯⨯答案：（1）17；（2）35；（3）(－3)4；（4）4 56⎛⎫ ⎪⎝⎭.2. 把下列乘方写成乘法的形式：（1）(－9)3= __________________；（2）497⎛⎫⎪⎝⎭=___________；（3）(a－b)2= ___________ ；答案：（1）(－0.9)×(－0.9)×(－0.9)；（2）99997777⨯⨯⨯；（3）(a－b) (a－b).3. 填空：（1）(－5)2的底数是_____，指数是_____，(－5)2表示2个_____相乘，读作_____的2次方，也读作－5的_____.（2）612⎛⎫⎪⎝⎭表示个12相乘，读作12的次方，也读作12的次幂，其中12叫做，6叫做.答案：（1）－5；2；－5；－5；平方；（2）6；6；6；底数；指数.4. 判断下列各题是否正确：（1）23=2×3 ( )（2）2+2+2=23 ( )（3）23=2×2×2 ( )（4）－24=(－2)×(－2)×(－2)×(－2) ( )答案：（1）×；（2）×；（3）√；（4）×.【设计意图】学生理解乘方的意义，并在理解的基础上进行乘方运算. （四）典例分析例1：说出下列乘方的底数、指数，并进行计算：（1）(－4)3；（2）(－2)4；（3）07；（4）323⎛⎫-⎪⎝⎭．解：（1）(－4)3 =(－4)×(－4)×(－4)=－64；（2）(－2)4 =(－2)×(－2)×(－2)×(－2)=16；（3）07 =0×0×0×0×0×0×0=0；（4）322228333327⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯-⨯-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭师生活动：学生进行交流讨论，尝试解决，请学生板演，然后师生共同纠错，同时引导学生每一步计算的依据.【设计意图】通过例题的学习，对有理数乘方的幂、底数、指数的概念及其表示有更进一步的理解，及时巩固所学知识，并且通过学生板演让学生自己发现问题，尝试解决问题，同时也让学生知道乘方运算的依据.（五）新知探究问题2：（1）－32与(－3)2结果相等吗？追问：223⎛⎫⎪⎝⎭与223结果相等吗？师生提示：①负数的乘方，（连同符号），用小括号括起来，这样便于辨认底数；②分数的乘方，在书写时一定要把整个分数用小括号括起来.问题3：不计算下列各式，你能确定其结果的符号吗？从计算结果中，你能得到什么规律？（1）(－2)51；（2）(－2)50；（3）250；（4）251；（5）(－1)2022；（6）(－1)2023；（7）02022；（8）12022．师生活动：教师引导学生共同归纳：（1）正数的任何次幂是正数；（2）负数的偶次幂是正数；负数的奇次幂是负数；（3）0的任何次幂等于零；（4）1的任何次幂等于1；（5）－1的偶次幂等于1；－1的奇次幂是－1．【针对训练】1. 回答下列问题:（1）23中底数是，指数是，幂是.（2）234⎛⎫⎪⎝⎭中底数是，指数是，幂是.（3）(－5)4中底数是，指数是，幂是. （4）－54中底数是，指数是，结果是.2. 填空：310的意义是，310 = .3. 判断正误：（对的画“√”，错的画“×”）（1）32 =3×2=6 ( )（2）(－2)3＝(－3)2 ( )（3）－32=(－3)2( )（4）－24=(－2)×(－2)×(－2)×(－2) ( )（5）223⎛⎫⎪⎝⎭=223( )答案：1.（1）2；3；8；（2）34；2；916；（3）－5；4；625；（4）5；4；－625.2.10个3相乘；59049.3.（1）×；（2）×；（3）×；（4）×；（5）×.（六）典例分析例2：用计算器计算(－8)5和(－3)6.师生活动：要求同桌之间互相交流，不会的同学要向会使用计算器的同学请教.【新知应用】问题4：同学们，现在我们能解决本节课开始时《棋盘上的学问》中的问题吗？1＋21＋22＋23＋……＋263= （粒）.（1.84467×1019）建议利用计算器帮助计算.估计每千颗米粒重40克，这么多颗米粒总重超过亿吨.（7000）问题5：珠穆朗玛峰是世界最高峰，它的海拔高度是8844米. 把一张足够大的厚度为0.1毫米的纸，连续对折30次的厚度是多少？0.1×230= （mm ）= （m ）.计算器计算：230=10737418240.1×230 =107374182.4（mm ）=107374（m ）.追问：这张纸对折30次后，厚度超过珠穆朗玛峰，是真的吗？例3：计算（1）()2233⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭； （2）－23×(－32)； （3）64÷(－2)5； （4）(－4)3÷(－2)200＋2×(－3)4.解：（1）()22239633⎛⎫⎛⎫-⨯-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）－23×(－32)= －8×(－9)=72；（3）64÷(－2)5=64÷(－32)=－2；（4）(－4)3÷(－1)200＋2×(－3)4=－64÷1＋2×81=98.师生活动：教师引导学生共同思考：通过以上计算，对于乘除和乘方的混合运算，你觉得有怎样的运算顺序？（先算乘方，后算乘除；如果遇到括号就先进行括号里的运算.）【设计意图】通过学生之间的相互交流，感受现代技术，学会使用计算器求乘方运算.（七）当堂巩固1. 填空：（1）－(－3)2= ； （2）－32= ；（3）(－5)3= ； （4）0.13= ；（5）(－1)9= ； （6）(－1)12= ；（7）(－1)2n = ； （8）(－1)2n +1= ；（9）(－1)n = .1.（1）－9；（2）－9；（3）－125；（4）0.001；（5）－1；（6）1；（7）1；（8）－1；（9）11n n -⎧⎨⎩（当为奇数时）（当为偶数时）. 2. 在－|－3|3，－(－3)3，(－3)3，－33 中，最大的数是（ B ）A. －|－3|3B. －(－3)3C. (－3)3D. －333. 对任意实数a ，下列各式不一定成立的是（ B ）A. a 2=(－a )2B. a 3=(－a )3C. |a |=|－a |D. a 2≥0【设计意图】通过巩固练习，使学生加深对乘方意义的理解与掌握.（八）感受中考1．（2022•广东）计算22的结果是（ ）A．1B C．2D．4【解答】解：22=4．故选：D．2．（2022•西藏）已知a，b都是实数，若|a＋1|＋(b－2022)2=0，则a b= ．【解答】解：因为|a＋1|＋(b－2022)2=0，所以a＋1=0，b－2022=0，即a=－1，b=2022，所以a b=(－1)2022=1，故答案为：1．3．（2022•泸州）若(a－2)2＋| b＋3|=0，则ab= ．【解答】解：由题意得，a－2=0，b＋3=0，解得a=2，b=－3，所以，ab=2×(－3)=－6．故答案为：－6．【设计意图】通过对最近几年的中考试题的训练，使学生提前感受到中考考什么，进一步了解考点.（九）课堂小结1. 本节课学习的主要内容有哪些？这些内容体现了哪些数学思想方法？2. 有理数的乘方运算需要注意哪些事项？其运算步骤是什么？1. .2. 乘方的符号法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）零的正整数次幂都是零.【设计意图】通过巩固练习和小结，使学生加深对乘方意义的理解与掌握，使所学知识系统化.（十）布置作业1. P47：习题1.5：第1、2、7题；2. P48：习题1.5：第12题；3. 课外思考：（1）平方等于它本身的数是，立方等于它本身的数是 .（2）(+1)2022－(－1)2023 = .五、教学反思对于有理数乘方的意义是这样突破的：求n 个相同因数a 的积的运算叫做乘方，记作a n ，乘方运算的结果叫做幂，a 叫做底数，n 叫指数，对此应从以下几个方面加深理解.①(－2)3与－23意义不同，(－2)3表示3个(－2)相乘，底数是－2，指数是3；而－23表示23的相反数，底数是2，指数是3.②323⎛⎫- ⎪⎝⎭与323-意义不同，323⎛⎫- ⎪⎝⎭表示3个23-相乘，底数是23-，指数是3；而323-表示23除以3的商的相反数.③负数或分数的乘方，在书写时一定要把整个负数或分数（连同符号）用小括号括起来，防止因负号处理不慎出现错误，或对乘方运算中底数的区分和辨认产生困难.对于有理数乘方运算法则是这样突破的：①有理数乘方运算法则是利用有理数乘法运算法则探究得到的. 有理数乘方的符号法则和相关性质是：负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数.正数的任何次幂都是正数.0的任何正整数次幂都是0.任何数的偶次幂都是非负数.1的任何次幂都是1. －1的偶次幂是1，－1的奇次幂是－1.这些法则与性质，需要在理解的基础上逐步掌握，并能熟练地应用.②与有理数的加、减、乘、除法运算步骤一样，有理数的乘方运算也是先确定幂（运算结果）的符号，再计算幂（运算结果）的绝对值. 教学时，应重视类比方法的使用.需要特别注意，有理数乘方运算中，所有的指数都是正整数（正偶数、正奇数），指数暂时还没有涉及负整数与零.③一个数可以看作这个数本身的一次方，这是一种规定.这种规定可以这样理解：指数就是指相乘的因数的个数，指数是1，就是指只有一个因数.此外需要注意，当底数为带分数时，应先化带分数为假分数，再按乘方的意义进行计算.例如，()22211422339⎛⎫⎛⎫-≠-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而应为22177749233339⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.。