整式的乘法与因式分解知识点及例题讲课讲稿

整式的乘法与因式分解（教师版）整式的乘法与因式分解（学⽣加强版）⼀．整式的乘法【学习⽬标】1. 会进⾏单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算．2. 掌握整式的加、减、乘、乘⽅的较简单的混合运算，并能灵活地运⽤运算律简化运算. 【要点梳理】要点⼀、单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在⼀个单项式⾥含有的字母，则连同它们的指数作为积的⼀个因式.要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应⽤.（2）单项式的乘法⽅法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到⼀起进⾏有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进⾏计算；只在⼀个单项式⾥含有的字母，要连同它的指数写在积⾥作为积的⼀个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适⽤以上法则. 要点⼆、单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是⽤单项式去乘多项式的每⼀项，再把所得的积相加.即()m a b c ma mb mc ++=++.要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算⽅法，实质是利⽤乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是⼀个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每⼀项包括它前⾯的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从⽽得到最简的结果.要点三、多项式与多项式相乘的运算法则多项式与多项式相乘，先⽤⼀个多项式的每⼀项乘另⼀个多项式的每⼀项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn++=+++.要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的⼆项式相乘：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.【加强版练习题】1类型⼀、单项式与单项式相乘1、计算：（1）()()121232n n xy xy x z +??-?-?-（2）322325(3)(6)()(4)a b b ab ab ab a -+----．【答案与解析】解：（1）()()121232n n xy xy x z +??-?-?-()()()()121232n nx x x y y z +=-?-?- ???413n n x y z ++=-（2）322325(3)(6)()(4)a bb ab ab ab a -+----3222325936()16a b b a b ab ab a =+--333333334536167a b a b a b a b =--=-．【总结升华】凡是在单项式⾥出现过的字母，在其结果也应全都有，不能漏掉.注意运算顺序，有同类项，必须合并.类型⼆、单项式与多项式相乘2、计算：（1）(2)2(1)3(5)x x x x x x --+-- （2）2322(32)3(21)a a a a a a +--+-+【思路点拨】先单项式乘多项式去掉括号，然后移项、合并进⾏化简．【答案与解析】解：（1）(2)2(1)3(5)x x x x x x --+--2(2)(2)(2)(3)(3)(5)x x x x x x x x =+-+-+-+-+--2222222315411x x x x x x x x =----+=-+．（2）2322(32)3(21)a a a a a a +--+-+2322232(2)(3)(3)2(3)()(3)a a a a a a a a =++-+-+-+--+-3232326436333a a a a a a a a =+---+-=---．【总结升华】（1）本题属于混合运算题，计算顺序仍然是先乘除、后加减，先去括号等．混合运算的结果有同类项的需合并，从⽽得到最简结果．（2）单项式与多项式的每⼀项都要相乘，不能漏乘、多乘．（3）在确定积的每⼀项的符号时，⼀定要⼩⼼．举⼀反三：【变式】化简：x （x ﹣1）+2x （x+1）﹣3x （2x ﹣5）．【答案】解：原式=x 2﹣x+2x 2+2x ﹣6x 2+15x=﹣3x 2+16x ．3、先化简，再求值3a （2a 2﹣4a+3）﹣2a 2（3a+4），其中a=﹣2．【思路点拨】⾸先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代⼊已知的数值计算即可．【答案与解析】解：3a （2a 2﹣4a+3）﹣2a 2（3a+4）=6a 3﹣12a 2+9a ﹣6a 3﹣8a 2=﹣20a 2+9a ，当a=﹣2时，原式=﹣20×4﹣9×2=﹣98．【总结升华】本题考查了单项式乘以多项式以及整式的化简求值．整式的化简求值实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．举⼀反三：【变式】若20x y +=，求332()4x xy x y y +++的值．【答案】解：332()4x xy x y y +++3223224x x y xy y =+++ 22(2)2(2)x x y y x y =+++，当20x y +=时，原式＝220020x y +=．类型三、多项式与多项式相乘4、若多项式21ax bx ++与2231x x -+的积不含3x 项，也不含x 项，求a 和b 的值．【思路点拨】缺项就是多项式中此项的系数为零，此题中不含3x 和x 项，也就是3 x 和x 项的系数为0，由此得⽅程组求解．【答案与解析】解：22(1)(231)ax bx x x ++-+4323222323231ax ax ax bx bx bx x x =-++-++-+ 4322(32)(32)(3)1ax a b x a b x b x =+-++-++-+∵乘积中不含3x 和x 项．∴ 32030a b b -+=??-=?，解得23a b =??=?．【总结升华】解此类问题的常规思路是：将两个多项式乘法依据乘法法则展开，合并同类项，再根据题意由某些项的系数为零，通过解⽅程（组）求解．举⼀反三：【变式】在()()22231x ax b x x ++-- 的积中，3x 项的系数是－5，2x 项的系数是－6，求a 、b ．【答案】解：()()22231x ax b x x ++--因为3x 项的系数是－5，2x 项的系数是－6，所以235a -=-，2316b a --=-，解得14a b =-=-，.⼆．因式分解（加强学习）1.提公因式法【学习⽬标】1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；2．能确定多项式各项的公因式，会⽤提公因式法将多项式分解因式. 【要点梳理】要点⼀、因式分解把⼀个多项式化成⼏个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，⽽不是针对单项式，是对这个多项式的整体，⽽不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把⼀个多项式分解到每⼀个因式不能再分解为⽌.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，⼆者不能混淆.因式分解是⼀种恒等变形，⽽整式乘法是⼀种运算.要点⼆、公因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 要点诠释：（1）公因式必须是每⼀项中都含有的因式.（2）公因式可以是⼀个数，也可以是⼀个字母，还可以是⼀个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最⼤公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.要点三、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中⼀个因式是各项的公因式m ，另⼀个因式是，即，⽽正好是除以m 所得的商，这种因式分解的⽅法叫提公因式法．要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆⽤乘法分配律，即.（2）⽤提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第⼀项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第⼀项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）⽤提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0⽽出现错误.【加强版练习题】2类型⼀、因式分解的概念1、下列由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？请说明理由．（1）()a x y ax ay +=+；（2）2221(2)(1)(1)x xy y x x y y y ++-=+++-；（3）24(2)(2)ax a a x x -=+-；（4）221122ab a b =；（5）222112a a a a ??++=+．【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成⼏个整式的积的形式，从对象和结果两⽅⾯去判断. 【答案与解析】解：因为(1)(2)的右边都不是积的形式，所以它们都不是因式分解；(4)的左边不是多项式⽽是⼀个单项式，(5)中的21a 、1a都不是整式，所以(4)(5)也不是因式分解，只有(3)的左边是多项式，右边是整式的积的形式，所以只有(3)是因式分解．【总结升华】因式分解是将多项式变成积的形式，所以等式的左边必须是多项式，将单项式拆成⼏个单项式乘积的形式不能称为因式分解．等式的右边必须是整式因式积的形式．举⼀反三：【变式】下列变形是因式分解的是 ( )A.243(2)(2)3a a a a a -+=-++ B.2244(2)x x x ++=+ C. 11(1)x x x+=+ D.2(1)(1)1x x x +-=- 【答案】B ；类型⼆、提公因式法分解因式2、下列因式分解变形中，正确的是（）A ．()()()()1ab a b a b a a b a b ---=--+B ．()()()()262231m n m n m n m n +-+=+++ C ．()()()()232332y x x y y x y x -+-=--+ D ．()()()()2232x x y x y x y x y +-+=++【答案】A ；【解析】解：A.()()()()1ab a b a b a a b a b ---=--+，正确；B.()()()()2622331m n m n m n m n +-+=++-，故本选项错误；C.()()()()232332y x x y y x y x -+-=---，故本选项错误；D.()()()()223331x x y x y x y x xy +-+=++-，故本选项错误．【总结升华】解题的关键是正确找出公因式，提取公因式后注意符号的变化．找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最⼤公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．举⼀反三：【变式】下列分解因式结果正确的是（）A.a 2b+7ab ﹣b=b （a 2+7a ） B.3x 2y ﹣3xy+6y=3y （x 2﹣x ﹣2） C.8xyz ﹣6x 2y 2=2xyz （4﹣3xy ） D.﹣2a 2+4ab ﹣6ac=﹣2a （a ﹣2b+3c ）【答案】D.解：A 、原式=b （a 2+7a+1），错误；B 、原式=3y （x 2﹣x+2），错误；C 、原式=2xy （4z ﹣3xy ），错误；D 、原式=﹣2a （a ﹣2b+3c ），正确．故选D ．类型三、提公因式法分解因式的应⽤3、若a 、b 、c 为ABC ?的三边长，且()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-，则ABC ?按边分类，应是什么三⾓形？【答案与解析】解：∵()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-∴()()()()a b b a a b a c a b c a ---=---()()()()a b b a c a a b --=--当a b =时，等式成⽴，当a b ≠时，原式变为a b a c -=-，得出b c =，∴a b b c ==或∴ABC ?是等腰三⾓形.【总结升华】将原式分解因式，就可以得出三边之间的关系，从⽽判定三⾓形的类型. 4、对任意⾃然数n （n ＞0），422n n +-是30的倍数，请你判定⼀下这个说法的正确性，并说说理由. 【答案与解析】解：()44422222221152n n n n n n +-=?-=-=?∵n 为⼤于0的⾃然数，∴2n为偶数，15×2n为30的倍数，即422n n +-是30的倍数.【总结升华】判断422n n +-是否为30的倍数，只需要把422n n +-分解因式，看分解后有没有能够整除30的因式. 举⼀反三：【变式】说明200199198343103-?+?能被7整除.【答案】解：200199198343103-?+?()198219833431073=-?+=?所以200199198343103-?+?能被7整除.5、已知xy=﹣3，满⾜x+y=2，求代数式x 2y+xy 2的值．【思路点拨】将原式提取公因式xy ，进⽽将已知代⼊求出结果即可．【答案与解析】解：∵xy=—3，x+y=2，∴x 2y+xy 2=xy （x+y ）=﹣3×2=﹣6．【总结升华】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．2.完全平⽅公式【学习⽬标】1. 能运⽤完全平⽅公式把简单的多项式进⾏因式分解.2. 会综合运⽤提公因式法和公式法把多项式分解因式； 3．发展综合运⽤知识的能⼒和逆向思维的习惯. 【要点梳理】要点⼀、公式法——完全平⽅公式两个数的平⽅和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平⽅．即()2222a ab b a b ++=+，()2222a ab b a b -+=-.形如222a ab b ++，222a ab b -+的式⼦叫做完全平⽅式.要点诠释：（1）逆⽤乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平⽅公式的特点：左边是⼆次三项式，是这两数的平⽅和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平⽅.（3）完全平⽅公式有两个，⼆者不能互相代替，注意⼆者的使⽤条件. （4）套⽤公式时要注意字母a 和b 的⼴泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点⼆、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试⽤公式法；（3）如⽤上述⽅法也不能分解，那么就得选择分组或其它⽅法来分解（以后会学到）．要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为⽌．【加强版练习题】3类型⼀、公式法——完全平⽅公式 1、分解因式：（1）22363ax axy ay -+-；（2）42242a a b b -+；（3）2222216(4)x y x y -+；（4）4224816a a b b -+．【答案与解析】解：（1）222223633(2)3()ax axy ay a x xy y a x y -+-=--+=--．（2）42242222222()[()()]()()a a b b a b a b a b a b a b -+=-=+-=+-．（3）2222216(4)x y x y -+22222222(4)(4)(44)(44)xy x y xy x y xy x y =-+=++-- 22222(2)[(44)](2)(2)x y x xy y x y x y =+--+=-+-．（4）4224222222816(4)[(2)(2)](2)(2)a a b b a b a b a b a b a b -+=-=+-=+-．【总结升华】（1）提公因式法是因式分解的⾸选法．多项式中各项若有公因式，⼀定要先提公因式，常⽤思路是：①提公因式法；②运⽤公式法．（2）因式分解要分解到每⼀个因式不能再分解为⽌．举⼀反三：【变式】分解因式：（1）224()12()()9()x a x a x b x b ++++++．（2）22224()4()()x y x y x y +--+-．【答案】解：（1）原式22[2()]22()3()[3()]x a x a x b x b =++?+?+++22[2()3()](523)x a x b x a b =+++=++．（2）原式22[2()]22()()()x y x y x y x y =+-?+?-+-22[2()()](3)x y x y x y =+--=+．2、分解因式：22(33)(35)1x x x x +++++．【思路点拨】若将括号完全展开，所含的项太多，很难找到恰当的因式分解的⽅法，通过观察发现：将相同的部分23x x +作为⼀个整体，展开后再进⾏分解就容易了．【答案与解析】解：22(33)(35)1x x x x +++++ 22[(3)3][(3)5]1x x x x =+++++222(3)8(3)16x x x x =++++ 22(34)x x =++．【总结升华】在因式分解中要注意整体思想的应⽤，对于式⼦较复杂的题⽬不要轻易去括号．举⼀反三：【变式】若x ，y 是整数，求证：()()()()4234x y x y x y x y y +++++是⼀个完全平⽅数. 【答案】解：()()()()4234x y x y x y x y y +++++()()()()4423x y x y x y x y y =+++++22224(54)(56)x xy y x xy y y =+++++令2254x xy y u ++=∴上式2422222(2)()(55)u u y y u y x xy y ++=+=++ 即()()()()4222234(55)x y x y x y x y y x xy y +++++=++ 类型⼆、配⽅法分解因式3、⽤配⽅法来解决⼀部分⼆次三项式因式分解的问题，如：()()()()()()222282118 19 1313 24x x x x x x x x x --=-+--=--=-+--=+-那该添什么项就可以配成完全平⽅公式呢？我们先考虑⼆次项系数为1的情况：如2x bx +添上什么就可以成为完全平⽅式？2222()2222b b b x bx x x x++=+??+=+ ? ?????因此添加的项应为⼀次项系数的⼀半的平⽅.那么⼆次项系数不是1的呢？当然是转化为⼆次项系数为1了.分解因式：2352x x +-. 【思路点拨】提出⼆次项的系数3，转化为⼆次项系数为1来解决.【答案与解析】解：如2252352333x x x x ??+-=+- ??222555233663x x ??=++--?? ? ?25493636x =+-?? ???2257366x =+-?? ? ???575736666x x ?=+++- ?()1323x x ?=+-【总结升华】配⽅法，⼆次项系数为1的时候，添加的项应为⼀次项系数的⼀半的平⽅. ⼆次项系数不是1的时候，转化为⼆次项系数为1来解决. 类型三、完全平⽅公式的应⽤4、先仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平⽅公式x 2±2xy+y 2=（x±y）2及（x±y）2的值恒为⾮负数的特点在数学学习中有着⼴泛的应⽤，⽐如探求多项式2x 2+12x ﹣4的最⼤（⼩）值时，我们可以这样处理：解：原式=2（x 2+6x ﹣2）=2（x 2+6x+9﹣9﹣2）=2[（x+3）2﹣11]=2（x+3）2﹣22因为⽆论x 取什么数，都有（x+3）2的值为⾮负数所以（x+3）2的最⼩值为0，此时x=﹣3进⽽2（x+3）2﹣22的最⼩值是2×0﹣22=﹣22所以当x=﹣3时，原多项式的最⼩值是﹣22. 解决问题：请根据上⾯的解题思路，探求多项式3x 2﹣6x+12的最⼩值是多少，并写出对应的x 的取值．【答案与解析】解：原式=3（x 2﹣2x+4）=3（x 2﹣2x+1﹣1+4）=3（x ﹣1）2+9，∵⽆论x 取什么数，都有（x ﹣1）2的值为⾮负数，∴（x ﹣1）2的最⼩值为0，此时x=1，∴3（x ﹣1）2+9的最⼩值为：3×0+9=9，则当x=1时，原多项式的最⼩值是9．【总结升华】此题考查了完全平⽅公式，⾮负数的性质，以及配⽅法的应⽤，熟练掌握完全平⽅公式是解本题的关键．举⼀反三：【变式1】若△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ,且满⾜222166100a b c ab bc --++=，求证：2a c b +=. 【答案】解：22216610a b c ab bc --++()()()22222269251035a ab b b bc c a b b c =++--+=+--所以()()22350a b b c +--=()()2235a b b c +=-所以3(5)a b b c +=±-所以28a c b b c a +==-或因为△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，c a b -<，所以8b c a b =-<，⽭盾，舍去.所以2a c b +=.4.平⽅差公式【学习⽬标】1. 能运⽤平⽅差公式把简单的多项式进⾏因式分解.2. 会综合运⽤提公因式法和平⽅差公式把多项式分解因式； 3．发展综合运⽤知识的能⼒和逆向思维的习惯. 【要点梳理】要点⼀、公式法——平⽅差公式两个数的平⽅差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：()()22a b a b a b -=+-要点诠释：（1）逆⽤乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平⽅差公式的特点：左边是两个数（整式）的平⽅，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套⽤公式时要注意字母a 和b 的⼴泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点⼆、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试⽤公式法；（3）如⽤上述⽅法也不能分解，那么就得选择分组或其它⽅法来分解（以后会学到）．要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为⽌．【加强版练习题】4类型⼀、公式法——平⽅差公式 1、分解因式：（1）2()4x y +-；（2）2216()25()a b a b --+；（3）22(2)(21)x x +--．【思路点拨】（1）把x y +看做整体，变形为22()2x y +-后分解．（2）216()a b -可写成2[4()]a b -，225()a b +可写成2[5()]a b +，4()a b -和5()a b +分别相当于公式⾥的a 和b ．（3）把(2)x +、(21)x -看作⼀个整体进⾏分解．【答案与解析】解：（1）222()4()2(2)(2)x y x y x y x y +-=+-=+++-．（2）222216()25()[4()][5()]a b a b a b a b --+=--+[4()5()][4()5()]a b a b a b a b =-++--+(9)(9)a b a b =+-- (9)(9)a b a b =-++．（3）22(2)(21)[(2)(21)][(2)(21)]x x x x x x +--=++-+--(31)(3)x x =+-．【总结升华】注意套⽤公式时要注意字母的⼴泛意义，可以是字母，也可以是单项式或多项式. 举⼀反三：【变式】将下列各式分解因式：（1）()()22259a b a b +--；（2）()22234x y x --（3）33x y xy -+；（4）32436x xy -；【答案】解：（1）原式()()()()5353a b a b a b a b =++-+--()()()()8228444a b a b a b a b =++=++（2）原式＝()()232232x y x x y x -+-- ＝()343y x y --（3）原式()()()22xy x y xy x y x y =--=-+- （4）原式()()()2249433x x y x x y x y =-=+- 2、分解因式：（1）2128x -+；（2）33a b ab -；（3）516x x -；（4）2(1)(1)a b a -+- 【答案与解析】解：（1）221112(16)(4)(4)888x x x x -+=--=-+-．（2）3322()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-．（3）5422216(16)(4)(4)(4)(2)(2)x x x x x x x x x x x -=-=+-=++-．（4）222(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b a a b a a b a b b -+-=---=--=-+-．【总结升华】（1）如果多项式的各项中含有公因式，那么先提取公因式，再运⽤平⽅差公式分解．（2）因式分解必须进⾏到每⼀个多项式的因式都不能分解为⽌．举⼀反三：【变式】先化简，再求值：（2a+3b）2﹣（2a﹣3b）2，其中a=．【答案】解：原式=（2a+3b+2a﹣3b）（2a+3b﹣2a+3b）=4a×6b=24ab，当a=，即ab=时，原式=24ab=4．类型⼆、平⽅差公式的应⽤3、阅读下⾯的计算过程：（2+1）（22+1）（24+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）=（24﹣1）（24+1）=（28﹣1）．根据上式的计算⽅法，请计算：（1）（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣．【思路点拨】（1）原式变形后，利⽤平⽅差公式化简，计算即可得到结果；（2）原式变形后，利⽤平⽅差公式化简，计算即可得到结果．【答案与解析】解：（1）原式=2（1﹣）（1+）（1+）（1+）…（1+）=2（1﹣）（1+）（1+）…（1+）=2（1﹣）（1+）…（1+）=2（1﹣）=；（2）原式=（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣=（32﹣1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣=（364﹣1）﹣【总结升华】此题考查了平⽅差公式，熟练掌握平⽅差公式是解本题的关键．5.⼗字相乘法及分组分解法【学习⽬标】1. 熟练掌握⾸项系数为1的形如pq x q p x +++)(2型的⼆次三项式的因式分解. 2. 基础较好的同学可进⼀步掌握⾸项系数⾮1的简单的整系数⼆次三项式的因式分解. 3. 对于再学有余⼒的学⽣可进⼀步掌握分数系数；实数系数；字母系数的⼆次三项式的因式分解.(但应控制好难度) 4. 掌握好简单的分组分解法. 【要点梳理】要点⼀、⼗字相乘法利⽤⼗字交叉线来分解系数，把⼆次三项式分解因式的⽅法叫做⼗字相乘法.对于⼆次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b=??+=? ，则()()2x bx c x p x q ++=++要点诠释：（1）在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负⼊⼿，若0c >，则p q 、同号(若0c <，则p q 、异号)，然后依据⼀次项系数b 的正负再确定p q 、的符号（2）若2x bx c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为⽌.要点⼆、⾸项系数不为1的⼗字相乘法在⼆次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中，如果⼆次项系数a 可以分解成两个因数之积，即12a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即12c c c =，把1212a a c c ，，，排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于⼆次三项式2ax bx c ++的⼀次项系数b ，即1221a c a c b +=，那么⼆次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）⼆次项系数a ⼀般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号⾥⾯的⼆次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.要点三、分组分解法对于⼀个多项式的整体，若不能直接运⽤提公因式法和公式法进⾏因式分解时，可考虑分步处理的⽅法，即把这个多项式分成⼏组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题⽬进⾏分组，然后再分解因式.要点诠释：分组分解法分解因式常⽤的思路有：⽅法分组⽅法特点分组分解法四项⼆项、⼆项①按字母分组②按系数分组③符合公式的两项分组三项、⼀项先完全平⽅公式后平⽅差公式五项三项、⼆项各组之间有公因式六项三项、三项⼆项、⼆项、⼆项各组之间有公因式三项、⼆项、⼀项可化为⼆次三项式要点四、添、拆项法把多项式的某⼀项拆开或填补上互为相反数的两项（或⼏项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进⾏分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进⾏变形.添、拆项法分解因式需要⼀定的技巧性，在仔细观察题⽬后可先尝试进⾏添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和⽅法.【加强版练习题】5类型⼀、⼗字相乘法1、分解因式： 22(1)(6136)x a x a a ++--+ 【答案与解析】解：原式＝()()()212332x a x a a ++---()()()()23322332x a x a x a x a =--+-=-++-【总结升华】将a 视作常数，就以x 为主元⼗字相乘可解决.举⼀反三：【变式】分解因式：23345xy y x y ++-- 【答案】解：原式2(34)35(35)(1)y x y x y x y =+-+-=+-+2、分解因式：【思路点拨】该题可以先将()2a a -看作⼀个整体进⾏⼗字相乘法分解，接着再套⽤⼀次⼗字相乘.【答案与解析】解：因为()()()22221214a a a a a a ----=--所以：原式＝[－2][－12]＝22(2)(12)a a a a ----＝()()()()1234a a a a +-+-【总结升华】⼗字相乘法对于⼆次三项式的分解因式⼗分⽅便，⼤家⼀定要熟练掌握. 举⼀反三：【变式】分解因式：222(3)2(3)8x x x x ----；【答案】解：原式()()223432x x xx =---+()()()()4112x x x x =-+-- 3、分解下列因式(1)22(1)(2)12x x x x ++++- (2)22(33)(34)8x x x x +-++- 【答案与解析】解：（1）令21x x t ++=，则原式222(1)1212(4)(3)(5)(2)t t t t t t x x x x =+-=+-=+-=+++- 2(2)(1)(5)x x x x =+-++（2）令23x x m +=，原式2(3)(4)820(5)(4)m m m m m m =-+-=+-=+- 222(35)(34)(4)(1)(35)x x x x x x x x =+++-=+-++【总结升华】此两道⼩题结构都⾮常有特点，欲分解都必须先拆开，再仔细观察每个式⼦中都存在⼤量相同的因式→整体性想法.整体性思路⼜称换元法，这与我们⽣活中搬家有些类似，要先将⼀些碎东西找包，会省许多事. 类型⼆、分组分解法4、分解因式：222332x xy y x y -++-+【思路点拨】对完全平⽅公式熟悉的同学，⼀看见该式，⾸先想到的肯定是式⼦中前三项恰好构成2()x y -，第4、5项→3()x y -. 【答案与解析】解：原式2()3()2x y x y =-+-+(1)(2)x y x y =-+-+【总结升华】①熟记公式在复杂背景下识别公式架构很重要；②我们前⾯练习中⽆论公式、配⽅、⼗字相乘⼀般都只涉及单⼀字母，其实代数式学习是⼀个结构的学习，其中任⼀个字母均可被⼀个复杂代数式来替代，故有时要有⼀些整体性认识的想法. 举⼀反三：【变式1】分解因式：（1）22a b ac bc -++（2）225533a b a b --+ （3）23345xy y x y ++--【答案】解：（1）原式()()()()()a b a b c a b a b a b c =+-++=+-+；（2）原式()()()()()()()225353553a b a b a b a b a b a b a b =---=+---=-+-；（3）原式233453(1)(1)(5)(1)(35)xy x y y x y y y y x y =++--=+++-=++-. 【变式2】因式分解：a 2﹣b 2﹣2a+1．【答案】解：a 2﹣b 2﹣2a+1=a 2﹣2a+1﹣b 2=（a ﹣1）2﹣b 2=（a ﹣1+b ）（a ﹣1﹣b ）．类型三、拆项或添项分解因式5、阅读理解：对于⼆次三项式x 2+2ax+a 2可以直接⽤公式法分解为（x+a ）2的形式，但对于⼆次三项式x 2+2ax ﹣8a 2，就不能直接⽤公式法了．我们可以在⼆次三项式x 2+2ax ﹣8a 2中先加上⼀项a 2，使其成为完全平⽅式，再减去a 2这项，使整个式⼦的值不变，于是⼜： x 2+2ax ﹣8a 2 =x 2+2ax ﹣8a 2+a 2﹣a 2=（x 2+2ax+a 2）﹣8a 2﹣a 2=（x+a ）2﹣9a 2=[（x+a ）+3a][（x+a ）﹣3] =（x+4a ）（x ﹣2a ）像这样把⼆次三项式分解因式的⽅法叫做添（拆）项法．（1）请认真阅读以上的添（拆）项法，并⽤上述⽅法将⼆次三项式：x 2+2ax ﹣3a 2分解因式．（2）直接填空：请⽤上述的添项法将⽅程的x2﹣4xy+3y2=0化为（x﹣）?（x﹣）=0并直接写出y与x的关系式．（满⾜xy≠0，且x≠y）（3）先化简﹣﹣，再利⽤（2）中y与x的关系式求值．【答案与解析】解：（1）x2+2ax﹣3a2=x2+2ax+a2﹣4a2=（x+a）2﹣4a2=（x+a+2a）（x+a﹣2a）=（x+3a）（x﹣a）；（2）x2﹣4xy+3y2=x2﹣4xy+4y2﹣y2=（x﹣2y）2﹣y2=（x﹣2y+y）（x﹣2y﹣y）=（x﹣y）（x﹣3y）；x=y或x=3y；故答案为：y；3y（3）原式===﹣，若x=y，原式=﹣2；若x=3y，原式=﹣23．【总结升华】此题考查了因式分解﹣添（拆）项法，正确地添（拆）项是解本题的关键．。

整式乘除与因式分解一．知识点1．幂的运算性质：a m ·a n ＝a m ＋n（m 、n 为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．例：(－2a )2(－3a 2)3 2．()n m a ＝ a m n （m 、n 为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．例： (－a 5)53．()n n n b a ab = （n 为正整数） 积的乘方等于各因式乘方的积．例：(－a 2b )34．n m a a ÷＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ）同底数幂相除，底数不变，指数相减．例：（1）x 8÷x 2 （2）（a b ）5÷（a b ）2 5．零指数幂的概念：a 0＝1 （a ≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ．例：若1)32(0=-b a 成立，则b a ,满足什么条件？6．负指数幂的概念： a －p ＝p a 1（a ≠0，p 是正整数）任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数． 也可表示为：pp n m m n ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数）7．单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．例：（1）223123abc abc b a ⋅⋅ （2）4233)2()21(n m n m -⋅- 8．单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 例：（1）)35(222b a ab ab + （2）ab ab ab 21)232(2⋅- （3）)32()5(-22n m n n m -+⋅ （4）xyz z xy z y x ⋅++)(23229．多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．例：（1）)6.0(1x x --）（ （2）))(2(y x y x -+ （3）2)2n m +-（练习：1．计算2x 3·(－2xy)(－12xy) 3的结果是 2．如果(a n b ·ab m ) 3＝a 9b 15，那么mn 的值是3．若k(2k －5)＋2k(1－k)＝32，则k ＝4．(－3x 2)＋(2x －3y)(2x －5y)－3y(4x －5y)＝10．单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．例：（1）28x 4y 2÷7x 3y （2）-5a 5b 3c ÷15a 4b （3）（2x 2y ）3·（-7xy 2）÷14x 4y 311．多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把商相加．练习：（1）223247173y x z y x ÷-； （2）()⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-2232232y x y x ；易错点：在幂的运算中，由于法则掌握不准出现错误；有关多项式的乘法计算出现错误；误用同底数幂的除法法则；用单项式除以单项式法则或多项式除以单项式法则出错；乘除混合运算顺序出错。

整式的乘法与因式分解全章教案第一章：整式的乘法1.1 整式乘法的基本概念理解整式的定义及表示方法掌握整式乘法的基本原理1.2 整式的乘法法则学习整式乘法的基本法则练习整式乘法的计算方法1.3 多项式乘多项式理解多项式乘多项式的概念掌握多项式乘多项式的计算方法1.4 单项式乘多项式理解单项式乘多项式的概念掌握单项式乘多项式的计算方法第二章：平方差公式与完全平方公式2.1 平方差公式推导平方差公式练习应用平方差公式解题2.2 完全平方公式推导完全平方公式练习应用完全平方公式解题2.3 平方根与乘方理解平方根与乘方的概念掌握平方根与乘方的计算方法第三章：因式分解3.1 因式分解的概念理解因式分解的定义及意义掌握因式分解的基本方法3.2 提取公因式法学习提取公因式法的方法练习提取公因式法解题3.3 公式法学习公式法的方法练习公式法解题3.4 分组分解法学习分组分解法的方法练习分组分解法解题第四章：应用题与综合练习4.1 应用题解法学习应用题的解法练习解决实际问题4.2 综合练习综合运用所学知识解决实际问题提高解题能力与思维水平第五章：复习与总结5.1 复习重点知识复习整式的乘法与因式分解的重点知识巩固所学内容5.2 总结全章内容总结整式的乘法与因式分解的主要概念和方法提高学生的综合运用能力第六章：多项式的乘法与除法6.1 多项式乘多项式理解多项式乘多项式的概念掌握多项式乘多项式的计算方法6.2 单项式乘多项式与多项式乘单项式理解单项式乘多项式与多项式乘单项式的概念掌握单项式乘多项式与多项式乘单项式的计算方法6.3 多项式除以单项式理解多项式除以单项式的概念掌握多项式除以单项式的计算方法6.4 多项式除以多项式理解多项式除以多项式的概念掌握多项式除以多项式的计算方法第七章：分式与分式方程7.1 分式的概念与性质理解分式的定义及表示方法掌握分式的基本性质7.2 分式的运算学习分式的运算规则练习分式的计算方法7.3 分式方程理解分式方程的定义及解法掌握解分式方程的方法7.4 应用题与综合练习学习解决实际问题中涉及分式与分式方程的问题提高解决实际问题的能力第八章：二次三项式的因式分解8.1 二次三项式的概念理解二次三项式的定义及表示方法掌握二次三项式的性质8.2 二次三项式的因式分解学习二次三项式的因式分解方法练习二次三项式的因式分解技巧8.3 应用题与综合练习学习解决实际问题中涉及二次三项式的因式分解的问题提高解决实际问题的能力第九章：方程的解法与应用9.1 方程的解法学习方程的解法掌握解一元二次方程的方法9.2 方程的应用理解方程在实际问题中的应用练习解决实际问题中涉及方程的问题9.3 应用题与综合练习学习解决实际问题中涉及方程的问题提高解决实际问题的能力第十章：复习与总结10.1 复习重点知识复习本章的重点知识巩固所学内容10.2 总结全章内容总结本章的主要概念和方法提高学生的综合运用能力重点和难点解析1. 整式乘法的基本概念和原理：理解整式乘法的定义和表示方法，掌握整式乘法的原理是学习整式乘法的基础，需要重点关注。

城区教研中心八年级数学科集体备课表
学校姓名2016 年11月1 日
3．掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算。

4．理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解。

三、本章教学重、难点
教学重点：
熟练识记公式和法则
教学难点：
会运用公式和法则进行整式的乘除运算，会对一个多项式进行因式分解。

四、本章知识结构：
疑难
困惑
解决
方法。

人教版八年级上数学说课稿《第14章整式的乘法与因式分解》一. 教材分析《人教版八年级上数学》第14章整式的乘法与因式分解，是在学生掌握了有理数的运算、整式的加减、幂的运算等知识的基础上进行学习的。

这一章的内容包括整式的乘法运算、平方差公式、完全平方公式、因式分解等。

整式的乘法与因式分解在数学中占有重要的地位，它不仅在初中数学中有着广泛的应用，而且对高中数学的学习也有很大的帮助。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对整式的加减、幂的运算等知识有一定的了解。

但是，学生在学习这一章的内容时，可能会觉得比较困难，因为这一章的内容既有运算，又有公式的记忆，还有因式分解的方法，需要学生对知识进行深入的理解和掌握。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握整式的乘法运算，理解并掌握平方差公式、完全平方公式，学会因式分解的方法。

2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心，使学生感受到数学的美。

四. 说教学重难点1.教学重点：整式的乘法运算，平方差公式、完全平方公式的记忆，因式分解的方法。

2.教学难点：平方差公式、完全平方公式的推导，因式分解的方法的灵活运用。

五. 说教学方法与手段在本节课的教学中，我将采用自主学习、合作交流、教师讲解等教学方法。

同时，利用多媒体教学手段，如PPT、网络资源等，帮助学生更好地理解和掌握知识。

六. 说教学过程1.导入：通过复习整式的加减、幂的运算等知识，引导学生进入整式的乘法与因式分解的学习。

2.教学新课：讲解整式的乘法运算，引导学生推导平方差公式、完全平方公式，教授因式分解的方法。

3.练习巩固：布置相关的练习题，让学生进行自主练习，巩固所学知识。

4.课堂小结：对本节课的内容进行总结，帮助学生加深对知识的理解。

5.布置作业：布置适量的作业，让学生在课后进行复习和巩固。

整式的乘法与因式分解全章教案一、教学目标：1. 理解整式乘法的基本概念和方法，能够熟练进行整式的乘法运算。

2. 掌握因式分解的基本原理和方法，能够对简单的一元二次方程进行因式分解。

3. 能够应用整式的乘法与因式分解解决实际问题。

二、教学内容：1. 整式乘法的基本概念和方法。

2. 整式乘法的运算规则。

3. 因式分解的基本原理和方法。

4. 因式分解的运算规则。

5. 应用整式的乘法与因式分解解决实际问题。

三、教学重点与难点：1. 整式乘法的运算规则。

2. 因式分解的方法和技巧。

3. 应用整式的乘法与因式分解解决实际问题。

四、教学方法：1. 采用讲解法，讲解整式乘法与因式分解的基本概念和方法。

2. 采用示范法，示范整式乘法与因式分解的运算过程。

3. 采用练习法，让学生通过练习来巩固所学知识。

4. 采用问题解决法，引导学生应用整式的乘法与因式分解解决实际问题。

五、教学准备：1. 教案、教材、PPT等教学资源。

2. 练习题、测试题等教学资料。

3. 教学黑板、粉笔等教学工具。

4. 投影仪、电脑等教学设备。

六、教学进程：1. 导入：通过复习整式的加减法，引出整式乘法的重要性，激发学生的学习兴趣。

2. 讲解：讲解整式乘法的基本概念和方法，重点讲解运算规则。

3. 示范：示范整式乘法的运算过程，让学生理解并掌握运算规则。

4. 练习：布置练习题，让学生通过练习巩固所学知识。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调整式乘法的重要性。

七、作业布置：1. 完成练习题，巩固整式乘法的运算规则。

2. 预习下一节课的内容，为学习因式分解做准备。

八、课堂反馈：1. 课堂提问：通过提问了解学生对整式乘法的掌握情况。

2. 练习批改：及时批改学生的练习题，指出错误并给予讲解。

3. 学生反馈：听取学生的意见和建议，调整教学方法。

九、课后反思：1. 总结本节课的教学效果，反思教学方法的优缺点。

2. 根据学生的反馈，调整教学策略，提高教学质量。

第八章 整式乘除与因式分解【知识点1】幂的运算1.同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=∙（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

注意底数可以是多项式或单项式。

如：532)()()(b a b a b a +=+∙+同底数幂的乘法法则可以逆用：即nm nm p a a a a ∙==+ 如：⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅=⋅==+++434352526617x x x x x x x x x x 可以根据已知条件，对原来的指数进行适当地“分解”。

2.幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘。

如：10253)3(=-幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn p a a a a )()(=== 如：23326)4()4(4== 3.积的乘方法则：nn b a ab =)(（n 是正整数）。

积的乘方，等于各因数乘方的积。

如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=∙∙∙- 积的乘方法则可以逆用：即 ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⎩⎨⎧-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅===⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=.,111)1(1;,11)1(1,a b n n a a a a a b a a a a ab b a nnn n nn nnn nn 为奇数，为偶数，常见：4.同底数幂的除法法则：nm nmaaa-=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m >同底数幂相除，底数不变，指数相减。

如：3334)()()(b a ab ab ab ==÷ 同底数幂的除法法则可以逆用：即nmnm pa aaa ÷==-如：已知3,537==x x ，则353537374=÷=÷==-x x xx5.零指数幂： 10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1。

十四章整式的乘除与因式分解14.1.1同底数幂的乘法教学目标1．知识与技能在推理判断中得出同底数幂乘法的运算法则，并掌握“法则”的应用．2．过程与方法经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程，感受幂的意义，发展推理能力和表达能力，提高计算能力．3．情感、态度与价值观在小组合作交流中，培养协作精神、探究精神，增强学习信心．重、难点与关键1．重点：同底数幂乘法运算性质的推导和应用．2．难点：同底数幂的乘法的法则的应用．3．关键：幂的运算中的同底数幂的乘法教学，要突破这个难点， 必须引导学生，循序渐进，合作交流，获得各种运算的感性认识，进而上各项到理性上来，提醒学生注意－a2与（－a）2的区别．教学方法采用“情境导入──探究提升”的方法，让学生从生活实际出发，认识同底数幂的运算法则．教学过程一、创设情境，故事引入【情境导入】“盘古开天壁地”的故事：公元前一百万年，没有天没有地，整个宇宙是混浊的一团，突然间窜出来一个巨人，他的名字叫盘古，他手握一把巨斧，用力一劈，把混沌的宇宙劈成两半，上面是天，下面是地，从此宇宙有了天地之分，盘古完成了这样一个壮举，累死了，他的左眼变成了太阳，右眼变成了月亮，毛发变成了森林和草原，骨头变成了高山和高原，肌肉变成了平原与谷地，血液变成了河流．【教师提问】盘古的左眼变成了太阳，那么，太阳离我们多远呢？你可以计算一下，太阳到地球的距离是多少？光的速度为3×105千米/秒，太阳光照射到地球大约需要5×102秒， 你能计算出地球距离太阳大约有多远呢？【学生活动】开始动笔计算，大部分学生可以列出算式：3×105×5×102=15 ×105×102=15×？（引入课题）【教师提问】到底105×102=？同学们根据幂的意义自己推导一下，现在分四人小组讨论．【学生活动】分四人小组讨论、交流，举手发言，上台演示． 计算过程：105×102=（10×10×10×10×10）×（10×10） =10×10×10×10×10×10×10=107【教师活动】下面引例．1．请同学们计算并探索规律．（1）23×24=（2×2×2）×（2×2×2×2）=2( )；（2）53×54=_____________=5( )；（3）（－3）7×（－3）6=___________________=（－3）( )；（4）（110）3×（110）=___________=（110）( )； （5）a 3·a 4=________________a ( )．提出问题：①这几道题目有什么共同特点？②请同学们看一看自己的计算结果，想一想，这些结果有什么规律？【学生活动】独立完成，并在黑板上演算．【教师拓展】计算a·a=？请同学们想一想．【学生总结】a·a=()()()()m a a m n aa a a a a a a a a a +=A A A A A A A A A A A A A A个n 个个=a m+n 这样就探究出了同底数幂的乘法法则．二、范例学习，应用所学【例】计算：（1）103×104； （2）a·a 3； （3）a·a 3·a 5； （4）x·x 2+x 2·x【思路点拨】（1）计算结果可以用幂的形式表示．如（1）103×104=103+4=107，但是如果计算较简单时也可以计算出得数．（2）注意a 是a 的一次方， 提醒学生不要漏掉这个指数1，x 3+x 3得2x 3，提醒学生应该用合并同类项．（3）上述例题的探究， 目的是使学生理解法则，运用法则，解题时不要简化计算过程，要让学生反复叙述法则．【教师活动】投影显示例题，指导学生学习．【学生活动】参与教师讲例，应用所学知识解决问题．三、随堂练习，巩固深化课本练习题．【探研时空】据不完全统计，每个人每年最少要用去106立方米的水，1立方米的水中约含有3.34×1019个水分子，那么，每个人每年要用去多少个水分子？四、课堂总结，发展潜能1．同底数幂的乘法，使用范围是两个幂的底数相同，且是相乘关系， 使用方法：乘积中，幂的底数不变，指数相加．2．应用时可以拓展，例如含有三个或三个以上的同底数幂相乘，仍成立， 底数和指数，它既可以取一个或几个具体数，由可取单项式或多项式．3．运用幂的乘法运算性质注意不能与整式的加减混淆．五、布置作业，专题突破1．课本P96习题14．1第1（1），（2），2（1）题．2．选用课时作业设计．板书设计14.1.1同底数幂的乘法1、同底数幂的乘法法则例：练习：教学反思本节课的教学过程是探索发现性学习过程，注意同底数幂的乘法法则的推导过程，而不单单是要求记住结论，在导出的过程中，从具体到抽象，有层次地进行概括，归纳推理，学生不是被动地接受，而是在已有经验的基础上创新，从而培养学生的动手能力和创新意识．14.1.2 幂的乘方教学目标1．知识与技能理解幂的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义；通过推理得出幂的乘方的运算性质，并且掌握这个性质．2．过程与方法经历一系列探索过程，发展学生的合情推理能力和有条理的表达能力，通过情境教学，培养学生应用能力．3．情感、态度与价值观培养学生合作交流意义和探索精神，让学生体会数学的应用价值．重、难点与关键1．重点：幂的乘方法则．2．难点：幂的乘方法则的推导过程及灵活应用．3．关键：要突破这个难点，在引导这个推导过程时，步步深入，层层引导， 要求对性质深入地理解．教学方法采用“探讨、交流、合作”的教学方法，让学生在互动交流中，认识幂的乘方法则．教学过程一、创设情境，导入新知【情境导入】大家知道太阳，木星和月亮的体积的大致比例吗？我可以告诉你， 木星的半径是地球半径的102倍，太阳的半径是地球半径的103倍，假如地球的半径为r，那么， 请同学们计算一下太阳和木星的体积是多少？（球的体积公式为V=43πr3）【学生活动】进行计算，并在黑板上演算．解：设地球的半径为1，则木星的半径就是102，因此，木星的体积为V木星=43π·（102）3=？（引入课题）．【教师引导】（102）3=？利用幂的意义来推导．【学生活动】有些同学这时无从下手．【教师启发】请同学们思考一下a3代表什么？（102）3呢？【学生回答】a3=a×a×a，指3个a相乘．（102）3=102×102×102，就变成了同底数幂乘法运算，根据同底数幂乘法运算法则，底数不变，指数相加，102×102×102=102+2+2=106， 因此（102）3=106．【教师活动】下面有问题：利用刚才的推导方法推导下面几个题目：（1）（a2）3；（2）（24）3；（3）（b n）3；（4）－（x2）2．【学生活动】推导上面的问题，个别同学上讲台演示．【教师推进】请同学们根据所推导的几个题目，推导一下（a）的结果是多少？【学生活动】归纳总结并进行小组讨论，最后得出结论：（a m）n== a mn．评析：通过问题的提出，再依据“问题推进”所导出的规律，利用乘方的意义和幂的乘法法则，让学生自己主动建构，获取新知：幂的乘方，底数不变，指数相乘．二、范例学习，应用所学【例】计算：（1）（103）5；（2）（b3）4；（3）（x n）3；（4）－（x7）7．【思路点拨】要充分理解幂的乘方法则，准确地运用幂的乘方法则进行计算．【教师活动】启发学生共同完成例题．【学生活动】在教师启发下，完成例题的问题：并进一步理解幂的乘方法则：解：（1）（103）5=103×5=1015；（3）（x n）3=x n×3=x3n；（2）（b3）4=b3×4=b12；（4）－（x7）7=－x7×7=－x49．三、随堂练习，巩固练习课本P97练习．【探研时空】计算：－x2·x2·（x2）3+x10．【教师活动】巡视、关注中等、中下的学生，媒体显示练习题．【学生活动】书面练习、板演．四、课堂总结，发展潜能1．幂的乘方（a m）n=a mn（m，n都是正整数）使用范围：幂的乘方．方法：底数不变，指数相乘．2．知识拓展：这里的底数、指数可以是数，可以是字母， 也可以是单项式或多项式．3．幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则区别在于，一个是“指数相乘”， 一个是“指数相加”．五、布置作业，专题突破课本P104习题14.1第1、2题．板书设计14.1.2 幂的乘方1、幂的乘方的乘法法则例：练习：教学反思由于幂的乘方较抽象，引入课题时也可以从国情教育引入，搜集关于希望工程的图片展示给学生，如：有一个棱长为102cm的正方体，我们计算一下，可以装长为20cm，宽为15cm，厚为2cm的书多少本？14.1.3 积的乘方教学目标1．知识与技能通过探索积的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义，在推理得出积的乘方的运算性质的过程中，领会这个性质．2．过程与方法经历探索积的乘方的过程，发展学生的推理能力和有条理的表达能力，培养学生的综合能力．3．情感、态度与价值观通过小组合作与交流，培养学生团结协作的精神和探索精神，有助于塑造他们挑战困难，挑战生活的勇气和信心．重、难点与关键1．重点：积的乘方的运算．2．难点：积的乘方的推导过程的理解和灵活运用．3．关键：要突破这个难点，教师应该在引导这个推导过程时，步步深入， 层层引导，而不该强硬地死记公式，只有在理解的情况下，才可以对积的乘方的运算性质灵活地应用．教学方法采用“探究──交流──合作”的方法，让学生在互动中掌握知识．教学过程一、回顾交流，导入新知【教师活动】提问学生在前面学过的同底数幂的运算法则；幂的乘方运算法则的内容以及区别．【学生活动】踊跃举手发言，解说老师的提问．【课堂演练】计算：（1）（x4）3（2）a·a5（3）x7·x9（x2）3【学生活动】完成上面的演练题，并从中领会这两个幂的运算法则．【教师活动】巡视，关注学生的练习，并请3位学生上台演示， 然后再提出下面的问题．同学们思考怎样计算（2a3）4，每一步的根据是什么？【学生活动】先独立完成上面的问题，再小组讨论．（2a3）4=（2a3）·（2a3）·（2a3）·（2a3）（乘方的含义）=（2·2·2·2）·（a3·a3·a3·a3）（乘法交换律、结合律）=24·a12（乘方的意义与同底数幂的乘法运算）=16a12【教师活动】提出应用以上分析问题的过程，再计算（ab）4，说出每一步的根据是什么？【学生活动】独立思考之后，再与同学交流．（ab）4=（ab）·（ab）·（ab）·（ab）（乘方的含义）=（aaaa）·（bbbb）（交换律、结合律）=a4·b4（乘方的含义）【教师提问】（1）请同学们通过计算，观察乘方结果之后， 你能得出什么规律？（2）如果设n为正整数，将上式的指数改成n，即：（ab）n，其结果是什么？【学生活动】回答出（ab）n=a n b n．【师生共识】我们得到了积的乘方法则：（ab）n=a n b n（n为正整数），这就是说，积的乘方等于积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n==a n b n【教师活动】拓展训练：三个或三个以上的积的乘方，如（abc）n，【学生活动】回答出结果是（abc）n =a n b n c n．二、范例学习，应用所学【例】计算：（1）（2b）3；（2）（2×a3）2；（3）（－a）3；（4）（－3x）4．【教师活动】组织、讲例、提问．【学生活动】踊跃抢答．三、随堂练习，巩固深化课本P98练习．【探研时空】计算下列各式：（1）（－35）2·（－35）3；（2）（a－b）3·（a－b）4；（3）（－a5）5；（4）（－2xy）4；（5）（3a2）n；（6）（xy3n）2－[（2x）2] 3；（7）（x4）6－（x3）8；（8）－p·（－p）4；（9）（t m）2·t；（10）（a2）3·（a3）2．四、课堂总结，发展潜能本节课注重课堂引入，激发学生兴趣，“良好开端等于成功一半”．1．积的乘方（ab）n=a n b n（n是正整数），使用范围：底数是积的乘方．方法：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．2．在运用幂的运算法则时，注意知识拓展，底数和指数可以是数， 也可以是整式，对三个以上因式的积也适用．3．要注意运算过程，注意每一步依据，还应防止符号上的错误．4．在建构新的法则时应注意前面学过的法则与新法则的区别和联系．五、布置作业，专题突破1．课本P104习题15．1第1、2题．板书设计14.1.3 积的乘方1、积的乘方的乘法法则例：练习：教学反思计算（－2x）3学生易错误得出－2x3，本题错误在于：括号内应看成－2·x两个因式，而上述结论显然结积的乘方意义缺乏理解，－2漏乘方，正确的应是（－2）3·x3=－8x3．14.1.4 单项式乘以单项式教学目标1．知识与技能理解整式运算的算理，会进行简单的整式乘法运算．2．过程与方法经历探索单项式乘以单项式的过程，体会乘法结合律的作用和转化的思想，发展有条理的思考及语言表达能力．3．情感、态度与价值观培养学生推理能力、计算能力，通过小组合作与交流，增强协作精神．重、难点与关键1．重点：单项式乘法运算法则的推导与应用．2．难点：单项式乘法运算法则的推导与应用．3．关键：通过创设一定的问题情境， 推导出单项式与单项式相乘的运算法则，可以采用循序渐进的方法突破难点．教学方法采用“情境──探究”的教学方法，让学生在创设的情境之中自然地领悟知识．教学过程一、创设情境，操作导入【手工比赛】让学生在课前准备一张自己最满意的照片，自己制作一个美丽的像框．上课之后，首先来做游戏，“才艺大献”，把自己的照片加一个美丽的像框，看谁在10分钟之内，可以装饰出美丽的照片，谁的最好，老师就送他个好礼物．【教师活动】组织学生参加“才艺比赛”．【学生活动】完成上述手工制作，与同伴交流．【教师引导】在学生完成之后，教师拿出一张美丽的风景照片，提出问题：你们看这幅美丽的风景图片，如何装饰它会更漂亮？【学生回答】加一个美丽的像框．【引入课题】假如要加一个美丽的像框，需要知道这幅图片的大小，现在告诉你，图片的长为mx，宽为x，你能计算出图片的面积吗？【学生活动】动手列式，图片的面积为mx·x=？【教师提问】对于mx·x=？的问题，前面我们已学习了乘法的运算律以及幂的运算法则，现在请你运用已学知识推导出它的结果．【学生活动】先独立思考，再与同伴交流．实际上mx·x=m（x·x）=m·x2=mx2．【拓展延伸】请同学们继续计算mx·54x=？【学生活动】先独立完成，再与同伴交流，踊跃上台演示．mx·54x=m·54x·x=m·54x2=54mx2．【教师活动】请部分学生上台演示，然后大家共同讨论．【继续探究】计算：（1）x·mx；（2）2a2b·3ab3；（3）（abc）·b2c．【学生活动】独立完成，再与同学交流．【教师活动】总结新知：我们根据自己做的题目的原则，得到单项式与单项式相乘的运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，放在积的因式中．二、范例学习，应用所学【例1】计算．（1）3x2y·（－2xy3）（2）（－5a2b3）·（－4b2c）【思路点拨】例1的两个小题，可先利用乘法交换律、 结合律变形成数与数相乘，同底数幂与同底数幂相乘的形式，单独一个字母照抄．【例2】卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙速度）约为7.9×103米/秒， 则卫星运行3×102秒所走的路程约是多少？【教师活动】：引导学生参与到例1，例2的解决之中．【学生活动】参与到教师的讲例之中，巩固新知．三、问题讨论，加深理解【问题牵引】1．a·a可以看作是边长为a的正方形的面积，a·ab又怎样理解呢？2．想一想，你会说明a·b，3a·2a以及3a·5ab的几何意义吗？【教师活动】问题牵引，引导学生思考，提问个别学生．【学生活动】分四人小组，合作学习．四、随堂练习，巩固深化课本P145练习第1、2题．五、课堂总结，发展潜能本节内容是单项式乘以单项式，重点是放在对运算法则的理解和应用上．提问：（1）请同学们归纳出单项式乘以单项式的运算法则．（2）在应用单项式乘以单项式运算法则时应注意些什么？六、布置作业，专题突破1．课本P149习题15．1第3题．2．选用课时作业设计．板书设计14.1.4 单项式乘以单项式1、单项式乘以单项式的乘法法则例：练习：教学反思【思路点拨】对于单项式与单项式相乘的应用问题，首先要依据题意，列出算式，含10的幂相乘同样用单项式与乘法法则进行计算，还应将所得的结果用科学记数法表示．14.1.5 单项式与多项式相乘教学目标1．知识与技能让学生通过适当尝试，获得一些直接的经验，体验单项式与多项式的乘法运算法则，会进行简单的整式乘法运算．2．过程与方法经历探索单项式与多项式相乘的运算过程，体会乘法分配律的作用和转化思想，发展有条理地思考及语言表达能力．3．情感、态度与价值观培养良好的探究意识与合作交流的能力，体会整式运算的应用价值．重、难点与关键1．重点：单项式与多项式相乘的法则．2．难点：整式乘法法则的推导与应用．3． 关键：应用乘法分配律把单项式与多项式相乘转化到单项式与单项式相乘上来，注意知识迁移．教学方法采用“情境──探究”教学方法，让学生直观地理解单项式与多项式相乘的法则．教学过程一、回顾交流，课堂演练1．口述单项式乘以单项式法则．2．口述乘法分配律．3．课堂演练，计算：（1）（－5x）·（3x）2（2）（－3x）·（－x）（3）1 3xy·23xy2（4）－5m2·（－13mn）（5）－15x4y6－2x2y·（－12x2y5）【教师活动】组织练习，关注中下水平的学生．【学生活动】先独立完成上述“演练题”，再相互交流，部分学生上台演示．二、创设情境，引入新课小明作了一幅水彩画，所用纸的大小如图1，她在纸的左右两边各留了16a米的空白，请同学们列出这幅画的画面面积是多少？【学生活动】小组合作，讨论．【教师活动】在学生讨论的基础上，提问个别学生．【情境问题2】夏天将要来临，有3家超市以相同价格n （单位：元／台）销售A牌空调，他们在一年内的销售量（单位：台）分别是x，y，z， 请你采用不同的方法计算他们在这一年内销售这种空调的总收入．【学生活动】分四人小组，与同伴交流，寻求不同的表示方法．方法一：首先计算出这三家超市销售A牌空调的总量（单位：台）， 再计算出总的收入（单位：元）．即：n（x+y+z）．方法二：采用分别计算出三家超市销售A牌空调的收入， 然后再计算出他们的总收入（单位：元）．即：nx+ny+nz．由此可得：n（x+y+z）=nx+ny+nz．【教师活动】引导学生在不同的代数式呈现中，找到规律：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加．三、范例学习，应用所学【例1】计算：（－2a2）·（3ab2－5ab3）．解：原式＝（－2a2）（3ab2）－（－2a2）·（5ab3）=－6a3b2+10a3b3【例2】化简：－3x2·（13xy－y2）－10x·（x2y－xy2）解：原式=－x3y+3x2y2－10x3y+10x2y2=－11x3y+13x2y2【例3】解方程：8x（5－x）=19－2x（4x－3）40x－8x2=19－8x2+6x40x－6x=1934x=19x=1934四、随堂练习，巩固深化课本P146练习．【探研时空】计算：（1）5x2（2x2－3x3+8）（2）－16x（x2－3y）（3）－2a2（12ab2+b4）（4）（23x2y3－16xy）·12xy2【教师活动】巡视，关注中差生．五、课堂总结，发展潜能1．单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘， 就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．2．单项式与多项式相乘，应注意（1）“不漏乘”；（2）注意“符号”．六、布置作业，专题突破课本P104习题14．1第4、6题．板书设计14.1.5 单项式乘以多项式1、单项式乘以多项式的乘法法则例：练习：教学反思教学中，应紧扣法则，注意多项式的各项是带着前面的符号的．在实施“情境──探究”教学过程中，注重引导学生在课堂活动过程中感悟知识的生成、发展与变化，培养学生主动探索、敢于实践、善于发现的科学精神．14.1.6 多项式与多项式相乘教学目标1．知识与技能让学生理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算．2．过程与方法经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的推理过程，体会其运算的算理．3．情感、态度与价值观通过推理，培养学生计算能力，发展有条理的思考，逐步形成主动探索的习惯．重、难点与关键1．重点：多项式与多项式的乘法法则的理解及应用．2．难点：多项式与多项式的乘法法则的应用．3． 关键：多项式的乘法应先转化为单项式与多项式相乘而后再应用已学过的运算法则解决．教学方法采用“情境──探索”教学方法，让学生在设置的情境中，通过操作感知多项式与多项式乘法的内涵．教学过程一、创设情境，操作感知【动手操作】首先，在你的硬纸板上用直尺画出一个矩形，并且分成如下图1 所示的四部分，标上字母．【学生活动】拿出准备好的硬纸板，画出上图1，并标上字母．【教师活动】要求学生根据图中的数据，求一下这个矩形的面积．【学生活动】与同伴交流，计算出它的面积为：（m+b）×（n+a）．【教师引导】请同学们将纸板上的矩形沿你所画竖着的线段将它剪开，分成如下图两部分，如图2．剪开之后，分别求一下这两部分的面积，再求一下它们的和．【学生活动】分四人小组，合作探究，求出第一块的面积为m （n+a），第二块的面积为b（n+a），它们的和为m（n+a）+b（n+a）．【教师活动】组织学生继续沿着横的线段剪开，将图形分成四部分，如图3， 然后再求这四块长方形的面积．【学生活动】分四人小组合作学习，求出S1=mn；S2=nb；S3=am；S4=ab， 它们的和为S=mn+nb+am+ab．【教师提问】依据上面的操作，求得的图形面积，探索（m+b）（n+a）应该等于什么？【学生活动】分四人小组讨论，并交流自己的看法．（m+b）×（n+a）=m（n+a）+b（n+a）=mn+nb+am+ab，因为我们三次计算是按照不同的方法对同一个矩形的面积进行了计算，那么，两次的计算结果应该是相同的，所以（m+b）×（n+a）=m（n+a）+b（n+a）=mn+nb+am+ab．【师生共识】多项式与多项式相乘，用第一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加．字母呈现：=ma+mb+na+nb．二、范例学习，应用所学【例1】计算：（1）（x+2）（x－3）（2）（3x－1）（2x+1）【例2】计算：（1）（x－3y）（x+7y）（2）（2x+5y）（3x－2y）【例3】先化简，再求值：（a－3b）2+（3a+b）2－（a+5b）2+（a－5b）2，其中a=－8，b=－6．【教师活动】例1～例3，启发学生参与到例题所设置的计算问题中去．【学生活动】参与其中，领会多项式乘法的运用方法以及注意的问题．三、随堂练习，巩固新知课本P148练习第1、2题．【探究时空】一块长m米，宽n米的玻璃，长宽各裁掉a 米后恰好能铺盖一张办公桌台面（玻璃与台面一样大小），问台面面积是多少？四、课堂总结，发展潜能1．多项式与多项式相乘， 应充分结合导图中的问题来理解多项式与多项式相乘的结果，利用乘法分配律来理解（m+n）与（a+b）相乘的结果，导出多项式乘法的法则．2．多项式与多项式相乘，第一步要先进行整理， 在用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项时，要“依次”进行，不重复，不遗漏，且各个多项式中的项不能自乘，多项式是几个单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时要正确确定积中各项的符号．五、布置作业，专题突破课本P104习题14．1第5、6、7（2）、9、10题．板书设计14.1.6 多项式乘以多项式1、多项式乘以多项式的乘法法则例：练习：教学反思在实施情境探究教学过程中，应注意让学生感知问题的生成、发展与变化，培养学生善于发现的科学精神以及合作交流的精神和创新意识．14.2.1平方差公式（二）教学目标1．知识与技能探究平方差公式的应用，熟练地应用于多项式乘法之中．2．过程与方法经历平方差公式的运用过程，体会平方差公式的内涵．3．情感、态度与价值观培养良好的运算能力，以及观察事物的特征的能力，感受到学习数学知识的实际价值．重、难点与关键1．重点：运用平方差公式进行整式计算．2．难点：准确把握运用平方差公式的特征．3．关键：弄清平方差公式的结构特点，左边：（1）两个二项式的积；（2） 两个二项式中一项相同，另一项互为相反数．右边：（1）二项式；（2）两个因式中相同项平方减去互为相反数的项的平方．教学方法采用“精讲．精练”分层递推的教学方法，让学生在训练中，熟练掌握平方差的特征．教学过程一、回顾交流，课堂演练1．用平方差公式计算：（1）（－9x－2y）（－9x+2y）（2）（－0.5y+0.3x）（0.5y+0.3x）（3）（8a2b－1）（1+8a2b）（4）20082－2009×20072．计算：（a+12b）（a－12b）－（3a－2b）（3a+2b）【教师活动】请部分学生上讲台“板演”，然后组织学生交流．【学生活动】先独立完成课堂演练，再与同学交流．二、范例学习，巩固深化【例1】计算：（1）（34y+212x）（212x－34y）；（2）（－56x－0.7a2b）（56x－0.7a2b）；（3）（2a－3b）（2a+3b）（4a2+9b2）（16a4+81b4）．解：（1）原式=（52x+34y）（52x－34y）=2259416x y2（2）原式=（－0.7a2b－56x）（－0.7a2b+56x）=（－0.7a 2b ）2－（56x ）2=0.4 9a 4b 2－2536x 2 （3）原式=（4a 2－9b 2）（4a 2+9b 2）（16a 4+81b 4）=（16a 4－81b 4）（16a 4+81b 4）=256a 8－6561b 8【例2】运用乘法公式计算：734×814 【思路点拨】因为734可改写为8－14，814可改写成8+14，这样可用平方差公式计算．解：734×814=（8－14）（8+14）=82－（14）2=64－116=631516． 【教师活动】边讲例边引导学生学会应用平方差公式．【学生活动】参与到例1～2的学习中去．三、课堂演练，拓展思维【演练题1】想一想：（1）计算下列各组算式，并观察它们的共同特征．68?1315?6163?5961?77?1414?6262?6060?⨯=⨯=⨯=⨯=⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨⨯=⨯=⨯=⨯=⎩⎩⎩⎩（2）从以上的过程中，你能寻找出什么规律？（3）请你用字母表现你所发现的规律，并得出结论．【演练题2】1．计算：（1）118×122 （2）105×95 （3）1007×9932．求（2－1）（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1的个位数字．【教师活动】组织学生进行课堂演练，并适时归纳．【学生活动】先独立完成上面的演练题，再与同伴交流．四、随堂练习，巩固提升【探研时空】1．计算：[2a 2－（a+b ）（a －b ）][（－a －b ）（－a+b ）+2b 2]；2．解不等式：（3x+4）（3x －4）<9（x －2）（x+3）；3．利用平方差公式计算：1.97×2.03；4．化简求值：x 4－（1－x ）（1+x ）（1+x 2）其中x=－2．【教师活动】引导学生通过探究，领会平方差公式的真正意义． 【学生活动】分四人小组合作学习，互相交流．。

可编辑修改精选全文完整版第十四章 《整式的乘法与因式分解》知识点及考点典例重点知识回顾：一、整式的乘法：),(都是正整数n m a a a n m n m +=• ),(都是正整数）（n m a a mn n m =)()(都是正整数n b a ab n n n = 22))((b a b a b a -=-+2222)(b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=-注意：（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。

（2）单项式与多项式相乘，结果是一个_______，其项数与因式中多项式的项数______。

（3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。

（4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。

（5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。

二、整式的除法： nm n m a a a -=÷ ()0≠a 10=a()0≠a单项式÷单项式 多项式÷单项式三、因式分解 1、把一个多项式化成几个_________的形式，叫做把这个多项式因式分解。

2、因式分解的常用方法（1）提公因式法：)(c b a ac ab +=+（2）运用公式法：))((22b a b a b a -+=-222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+-（3）分组分解法：))(()()(d c b a d c b d c a bd bc ad ac ++=+++=+++（4）十字相乘法：))(()(2q a p a pq a q p a ++=+++3、因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。

（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：二项式可以尝试运用________公式分解因式；三项式可以尝试运用______________、__________分解因式；四项式及四项式以上的可以尝试______________分解因式（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。

整式的乘法与因式分解全章教案第一章：整式的乘法1.1 单项式乘以单项式教学目标：了解单项式乘以单项式的运算法则。

掌握单项式乘以单项式的计算方法。

教学重点：单项式乘以单项式的运算法则。

教学难点：如何正确计算单项式乘以单项式。

教学准备：教材、黑板、投影仪。

教学过程：导入：回顾整数乘法的运算法则。

讲解：讲解单项式乘以单项式的运算法则，举例说明。

练习：学生独立完成练习题，教师批改并讲解。

1.2 单项式乘以多项式教学目标：了解单项式乘以多项式的运算法则。

掌握单项式乘以多项式的计算方法。

教学重点：单项式乘以多项式的运算法则。

教学难点：如何正确计算单项式乘以多项式。

教学准备：教材、黑板、投影仪。

教学过程：导入：回顾整数乘法的运算法则。

讲解：讲解单项式乘以多项式的运算法则，举例说明。

练习：学生独立完成练习题，教师批改并讲解。

第二章：因式分解2.1 提公因式法教学目标：了解提公因式法的概念。

掌握提公因式法的运用。

教学重点：提公因式法的概念和运用。

教学难点：如何正确运用提公因式法进行因式分解。

教学准备：教材、黑板、投影仪。

教学过程：导入：回顾整式的乘法。

讲解：讲解提公因式法的概念和运用，举例说明。

练习：学生独立完成练习题，教师批改并讲解。

2.2 公式法教学目标：了解公式法的概念。

掌握公式法的运用。

教学重点：公式法的概念和运用。

教学难点：如何正确运用公式法进行因式分解。

教学准备：教材、黑板、投影仪。

教学过程：导入：回顾整式的乘法。

讲解：讲解公式法的概念和运用，举例说明。

练习：学生独立完成练习题，教师批改并讲解。

第六章：十字相乘法6.1 十字相乘法的原理教学目标：理解十字相乘法的原理。

掌握十字相乘法的步骤。

教学重点：十字相乘法的原理和步骤。

如何正确运用十字相乘法分解因式。

教学准备：教材、黑板、投影仪。

教学过程：导入：回顾提公因式法和公式法。

讲解：讲解十字相乘法的原理和步骤，举例说明。

练习：学生独立完成练习题，教师批改并讲解。

第十四章 整式的乘法与因式分解14.1.1 同底数幂的乘法知识点1 同底数幂的乘法运算同底数幂相乘，底数 ，指数 。

即=•n m a a 1.计算： 52x x ⋅ = ；________； x ·x 2= ；a • a 3•a 5 = ； =⨯555m _______； =⋅+13m m x x ________； x 3n ·x 2n-2＝ ； (－a)·(－a)3＝ ；(－a)4·a 3＝．）（23x x x -⋅= ________； －=⋅23a a ________； =-⋅)(52x x ________；=⨯⨯-34222________； 389)2()2()2(-⨯-⨯- ＝ ； －x 2·(－x)4·(－x)3＝２.若2n ＋2n ＋2n ＋2n＝8，则n ＝ . 3.已知a 2·ax －3＝a 6，那么x 的值为 .若27＝24·2x，则x ＝ .4.计算： (m －n)·(n－m)3·(n －m)4＝ 知识点2 同底数幂的乘法的逆运算例.若3x =5, 3y =7.求3x+y值。

举一反三：1、42=m ，162=n ，求nm +2．2. 若，，，求的值．3.已知,32=x 求32+x 的值。

4．n x =5，用含有n m 、的代数式表示14x ．５．已知4x ＝8，4y ＝32，求x ＋y 的值.14.1.2 幂的乘方幂的乘方底数 ，指数 。

即：()=nma[（32）3]4＝ ；(102)8； ________；[（x 2）3]7 ＝ ；(1) (x m )2＝ ； (a m ＋1)2＝ . (负号的处理)________；________； 52)(x x ⋅-=________； －（a 2）7 ＝ ；（－a s ）3＝ ； [（－6）3]4＝ ； [(－a)3]5＝ ； [(－x)3]2＝ .23)(m a - ＝ ； ________ 2313-m m x x +⋅=（）（）________．(综合运用)（x 3）4·x 2＝ ； •________；________．()()3224a a ⋅- =________；5342])[()(p p p -⋅-⋅-＝________；________．(－a 2)3·a 3＋(－a)2·a 7－5(a 3)3＝ ； [(x ＋y)3]6＋[(x ＋y)9]2＝ .知识点2 幂的乘方的逆运算例3.已知x n =5，y n =3，求（xy ）3n 的值。

整式乘除与因式分解一．知识点1．幂的运算性质：a m ·a n ＝a m ＋n（m 、n 为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．例：(－2a )2(－3a 2)3 2．()n m a ＝ a m n （m 、n 为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．例： (－a 5)53．()n n n b a ab = （n 为正整数） 积的乘方等于各因式乘方的积．例：(－a 2b )34．n m a a ÷＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ）同底数幂相除，底数不变，指数相减．例：（1）x 8÷x 2 （2）（a b ）5÷（a b ）2 5．零指数幂的概念：a 0＝1 （a ≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ．例：若1)32(0=-b a 成立，则b a ,满足什么条件？6．负指数幂的概念： a －p ＝p a 1（a ≠0，p 是正整数）任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数． 也可表示为：pp n m m n ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数）7．单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．例：（1）223123abc abc b a ⋅⋅ （2）4233)2()21(n m n m -⋅- 8．单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 例：（1）)35(222b a ab ab + （2）ab ab ab 21)232(2⋅- （3）)32()5(-22n m n n m -+⋅ （4）xyz z xy z y x ⋅++)(23229．多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．例：（1）)6.0(1x x --）（ （2）))(2(y x y x -+ （3）2)2n m +-（练习：1．计算2x 3·(－2xy)(－12xy) 3的结果是 2．如果(a n b ·ab m ) 3＝a 9b 15，那么mn 的值是 3．若k(2k －5)＋2k(1－k)＝32，则k ＝ 4．(－3x 2)＋(2x －3y)(2x －5y)－3y(4x －5y)＝10．单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．例：（1）28x 4y 2÷7x 3y （2）-5a 5b 3c ÷15a 4b （3）（2x 2y ）3·（-7xy 2）÷14x 4y 311．多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把商相加．练习：（1）223247173y x z y x ÷-； （2）()⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-2232232y x y x ；易错点：在幂的运算中，由于法则掌握不准出现错误；有关多项式的乘法计算出现错误；误用同底数幂的除法法则；用单项式除以单项式法则或多项式除以单项式法则出错；乘除混合运算顺序出错。