整式的加减乘除及因式分解中考总复习(知识点复习+中考真题题型分类练习)

中考总复习：整式与因式分解—知识讲解（基础）【考纲要求】1.整式部分主要考查幂的性质、整式的有关计算、乘法公式的运用，多以选择题、填空题的形式出现；2.因式分解是中考必考内容，题型多以选择题和填空题为主，也常常渗透在一元二次方程和分式的化简中进行考查.【知识网络】【考点梳理】考点一、整式1.单项式数与字母的积的形式的代数式叫做单项式．单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算．在含有除法运算时，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看成分数因数．单独一个数或一个字母也是单项式．要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．2.多项式几个单项式的代数和叫做多项式．也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的．要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．（4）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．3.整式单项式和多项式统称整式．4.同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项．5.整式的加减整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用．把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.6.整式的乘除①幂的运算性质：②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：平方差公式：完全平方公式：在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.⑤单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即m n p m n p a a a a ++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）. （3）公式()=m nmna a的推广：(())=m n p mnpa a(0≠a ，,,m n p 均为正整数)（4）公式()=⋅n n nab a b 的推广：()=⋅⋅nnnnabc a b c (n 为正整数).考点二、因式分解 1.因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解． 2.因式分解常用的方法（1）提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++ （2）运用公式法：平方差公式：))((22b a b a b a -+=-；完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+± （3）十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++3.因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；（4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法.要点诠释：（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到每个因式都不能再分解为止．（4）十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数a一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.【典型例题】类型一、整式的有关概念及运算1．若3x m+5y2与x3y n的和是单项式，则n m=．【答案】1 4【解析】由3x m+5y2与x3y n的和是单项式得3x m+5y2与x3y n是同类项，∴532mn+=⎧⎨=⎩解得22mn=-⎧⎨=⎩， n m=2-2=14【点评】本题考查同类项定义结合求解二元一次方程组，负整数指数幂的计算.同类项的概念为：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式.举一反三：【变式】若单项式是同类项，则的值是( )A、-3B、-1C、D、3 【答案】由题意单项式是同类项，所以，解得，，应选C.2．下列各式中正确的是( )A. B.a2·a3=a6 C.(-3a2)3=-9a6D.a5+a3=a8【答案】A；【解析】选项B为同底数幂乘法，底数不变，指数相加，a2·a3=a5，所以B错；选项C为积的乘方，应把每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，(-3a2)3=-27a6，所以C错；选项D为两个单项式的和，此两项不是同类项，不能合并，所以D错；选项A为负指数幂运算，一个数的负指数幂等于它的正指数幂的倒数，A正确.答案选A. 【点评】考查整数指数幂运算.举一反三：【变式1】下列运算正确的是 ( )A．B．C．D ．【答案】A.2-3=18； B.42= ；C.235a a a =g正确 ；D.325a a a +=. 故选C. 【高清课程名称： 整式与因式分解 高清ID 号：399488 关联的位置名称（播放点名称）：例1-例2】【变式2】下列运算中，计算结果正确的个数是( )．(1)a 4·a 3＝a 12； (2)a 6÷a 3＝a 2； (3)a 5＋a 5＝a 10；(4)(a 3)2＝a 9； (5)(－ab 2)2＝ab 4； (6)⋅=-22212x xA ．无B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A.3．利用乘法公式计算：(1)(a+b+c)2(2)(2a 2-3b 2+2)(2-2a 2+3b 2) 【答案与解析】(1)(a+b+c)2可以利用完全平方公式，将a+b 看成一项，则(a+b+c)2=[(a+b)2+2(a+b)c+c 2]=a 2+2ab+b 2+2ac+2bc+c 2=a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc.(2)(2a 2-3b 2+2)(2-2a 2+3b 2)两个多项式中，每一项都只有符号的区别，所以，我们考虑用平方差公 式，将符号相同的看作公式中的a ，将符号相反的项，看成公式中的b ，原式=[2+(2a 2-3b 2)][2-(2a 2-3b 2)]=4-(2a 2-3b 2)2=4-4a 4+12a 2b 2-9b 4.【点评】利用乘法公式去计算时，要特别注意公式的形式及符号特点，灵活地进行各种变形. 举一反三：【变式】如果a 2+ma+9是一个完全平方式，那么m=______.【答案】利用完全平方公式：(a ±3)2=a 2±6a+9. m=±6.类型二、因式分解4．因式分解：①3a 3-6a 2+12a ； ②(a+b)2-1； ③x 2-12x+36； ④(a 2+b 2)2-4a 2b 2【答案与解析】① 3a 3-6a 2+12a=3a(a 2-2a+4)② (a+b)2-1=(a+b)2-12=[(a+b)+1][(a+b)-1]=(a+b+1)(a+b-1)③ x 2-12x+36=(x-6)2④ (a 2+b 2)2-4a 2b 2=(a 2+b 2-2ab)(a 2+b 2+2ab)=(a-b)2(a+b)2【点评】把一个多项式进行因式分解，首先要看多项式是否有公因式，有公因式就要先提取公因式，再看是否还可以继续进行分解，是否可以利用公式法进行分解，直到不能进行分解为止.举一反三：【高清课程名称： 整式与因式分解 高清ID 号：399488关联的位置名称（播放点名称）：例3（1）-（2）】【变式】把下列各式分解因式：(1)6(a －b )2＋8a (b －a )； (2)(x ＋y )2－4(x ＋y )＋4.【答案】(1)原式＝6(a －b )2－8a (a －b )＝2(a －b )[3(a －b )－4a ]＝2(a －b )(3a －3b －4a )＝－2(a －b )(a ＋3b )．(2)原式＝[(x ＋y )－2]2＝(x ＋y －2)2． 5．若x y mx y 2256-++-能分解为两个一次因式的积，则m 的值为（ ）A. 1B. -1C. ±1D. 2【思路点拨】对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法.【答案】C.【解析】解：()()x y mx y x y x y mx y 225656-++-=+-++--6可分解成()-⨯23或()-⨯32，因此，存在两种情况：（1）x+y -2 （2）x+y -3x-y 3 x-y 2 由（1）可得：m =1，由（2）可得：m =-1.故选择C.【总结升华】十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.举一反三：【变式】因式分解：6752x x --=_______________.【答案】()()67521352x x x x --=+-类型三、因式分解与其他知识的综合运用6．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边的长,且满足: a 2+2b 2+c 2-2b(a+c)=0,试判断此三角形的形状.【思路点拨】式子a 2+2b 2+c 2-2b(a+c)=0体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，把2b 2写成b 2+b 2，故等式可变成2个完全平方式，从而得到结论．【答案与解析】解: a 2+2b 2+c 2-2b(a+c)=0a 2+b 2+ b 2+c 2-2ba-2bc=0(a-b) 2+(b-c) 2=0即: a-b=0 , b-c=0，所以a=b=c.所以△ABC 是等边三角形.【总结升华】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系．。

整式的乘除与因式分解知识点复习乘除与因式分解是数学中非常重要的知识点，广泛应用于各个领域。

在高中阶段，学习乘除与因式分解是为了更好地理解并解决数学问题，为后续学习提供基础。

本文将对乘除与因式分解的相关知识进行复习，以期加深对这一知识点的理解。

1.整式的乘法整式是由常数项和各种变量及其指数的积或和的形式构成的代数式。

整式的乘法是指两个整式之间的乘法运算。

在整式的乘法中，需要注意以下几个知识点：(1)同底数幂的乘法：当两个幂的底数相同时，可以将底数保持不变，指数相加。

例如，5^2*5^3=5^(2+3)=5^5(2)不同底数幂的乘法：当两个幂的底数不同时，将两个底数乘在一起，指数保持不变。

例如，2^3*3^2=2^3*3^2=6^2(3)乘法分配律：乘法分配律是指整式乘法中，对于两个整式a、b和一个整式c，有(a+b)*c=a*c+b*c例如，(2x+3)(4x+5)=2x*4x+2x*5+3*4x+3*5=8x^2+10x+12x+15=8x^2+22x+152.整式的除法整式的除法是指将一个整式除以另一个整式，得到商和余数的运算过程。

在整式的除法中，需要注意以下几个知识点：(1)除法算法：整式的除法运算过程与约分的思想类似。

首先找出被除式中最高次项和除式中最高次项的幂次差，然后将被除式中的每一项与除式的最高次项相乘得到临时商，再将临时商乘以除式，得到临时商与被除式的差，重复之前的步骤，直到无法再继续相除为止。

例如，(2x^3+3x^2-5x+7)/(x-2)=2x^2+7x+9余数为23(2)因式定理：如果整式f(x)除以(x-a)的余数为0，则x-a是f(x)的一个因式。

例如，f(x)=x^2-3x+2，将f(x)除以(x-2)，得到(x^2-3x+2)/(x-2)=x-1余数为0，所以x-2是f(x)的一个因式。

3.因式分解因式分解是将一个整式分解成几个乘积的形式，其中每个乘积因式都尽可能简单。

中考重点整式的基本运算与应用整式是代数式的一种，由字母、数、和代数运算符号（加、减、乘、除）构成。

在数学学习中，整式的基本运算是非常重要的核心内容之一。

本文将详细讨论整式的四种基本运算，即加法、减法、乘法和除法，并结合中考题目，介绍了一些典型的应用。

一、加法运算加法是整式的基本运算之一，其运算规则相对简单，只需按照同类项相加的原则进行操作。

例题1：已知整式A=2a^2-3ab+4b^2+5a，B=3ab-5a^2+b^2-2b，求A+B的值。

解析：根据加法运算的规则，将同类项进行合并相加即可。

A+B=(2a^2-3ab+4b^2+5a)+(3ab-5a^2+b^2-2b)=2a^2+(-3ab+3ab)+4b^2+(5a+(-5a^2))+b^2+(-2b)=2a^2+4b^2-5a^2+5a+b^2-2b=(-3a^2+5a)+5b^2+(-2b)=-3a^2+5a+5b^2-2b因此，A+B的值为-3a^2+5a+5b^2-2b。

二、减法运算减法是整式的基本运算之一，其运算规则同样较为简单，只需将减法转化为加法进行操作。

例题2：已知整式C=3x^2-5xy+2y^2-4，D=4xy+2x^2-y^2+3y-3，求C-D的值。

解析：根据减法运算的规则，将减法转化为加法运算。

C-D=(3x^2-5xy+2y^2-4)-(4xy+2x^2-y^2+3y-3)=3x^2+(-2x^2)+2y^2+(-y^2)+(-5xy-4xy)+(3y-(-3))=(3x^2-2x^2)+2y^2-y^2-9xy+3y+3=x^2+2y^2-9xy+3y+3因此，C-D的值为x^2+2y^2-9xy+3y+3。

三、乘法运算乘法是整式的基本运算之一，其运算规则较为复杂，需要运用“分配律”和“合并同类项”的原则。

例题3：已知整式E=(2x^2-3y)(x+4)，求E的值。

解析：根据乘法运算的规则，将两个多项式按照分配律进行展开和合并同类项。

学习必备精品知识点整式的乘除与因式分解知识点及题型汇编同底数幂的乘法【知识盘点】若m、n均为正整数，则a m·a n=_______，即同底数幂相乘，底数______，指数_____．【应用拓展】1．计算：（1）64×（－6）5（2）－a4（－a）4（3）－x5·x3·（－x）4（4）（x－y）5·（x－y）6·（x－y）72．计算：（1）（－b）2·（－b）3+b·（－b）4（2）a·a6+a2·a5+a3·a4（3）x3m－n·x2m－3n·x n－m（4）（－2）·（－2）2·（－2）3·…·（－2）1007．已知a x=2，a y=3，求a x+y的值．8．已知4·2a·2a+1=29，且2a+b=8，求a b的值．积的乘方【知识盘点】积的乘方法则用字母表示就是：当n为正整数时，（ab）n=_______．【应用拓展】1．计算：（1）（－2×103）3（2）（x2）n·x m－n（3）a2·（－a）2·（－2a2）3（4）（－2a4）3+a6·a6（5）（2xy2）2－（－3xy2）22．先完成以下填空：（1）26×56=（）6=10( )（2）410×2510=（）10=10( )你能借鉴以上方法计算下列各题吗？（3）（－8）10×0.12510（4）0.252007×42006（5）（－9）5·（－23）5·（13）53．已知x n=2，y n=3，求（x2y）2n的值．4．一个立方体棱长为2×103厘米，求它的表面积（结果用科学记数法表示）．【综合提高】10．观察下列等式：13=12；13+23=32；13+23+33=62；13+23+33+43=102；（1）请你写出第5个式子：______________（2）请你写出第10个式子：_____________（3）你能用字母表示所发现的规律吗？试一试!幂的乘方【知识盘点】若m、n均为正整数，则（a m）n=_____，即幂的乘方，底数_____，指数_______．【应用拓展】1．计算：（1）（y2a+1）2（2）[（－5）3] 4－（54）3（3）（a－b）[（a－b）2] 52．计算：（1）（－a2）5·a－a11（2）（x6）2+x10·x2+2[（－x）3] 48．用幂的形式表示结果：（1）（23）2=______；（22）3=________；（2）（35）7=______；（37）5=________；（3）（53）4=______；（54）3=________．你发现了什么规律？用式子表示出来．同底数幂的除法知识点：1.同底数幂相除，底数不变，指数相减：底数a可以是一个具体的数，也可以是单项式或多项式。

2021年中考数学 专题02 整式的运算（知识点总结+例题讲解）一、整式的基本概念：1.单项式：由数或者字母的积组成的式子，叫做单项式。

（1）单独的一个数或者一个字母也是单项式。

（2）单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

（3）一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

【例题1】下列各式是单项式的是（ ） A.n m B.3n m C.32D.3m+6n【答案】C【解析】数与字母乘积的代数式叫做单项式；A.分母中有字母，不是单项式； B 、D.是几个单项式的和，不是单项式； C.符合单项式的定义，是单项式；故选C 。

【变式练习1】下列关于单项式53-2yx 的说法中，正确的是（ ） A.系数、次数都是3 B.系数是53，次数是3C.系数是53-，次数是2D.系数是53-，次数是3【答案】D【解析】根据单项式系数、次数的定义可知：单项式53-2y x 的系数是53-，次数是2+1=3，只有D 正确；故选D 。

2.多项式：几个单项式的和叫做多项式。

（1）其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； （2）多项式里，次数最高项的次数，叫做多项式的次数。

【例题2】关于多项式3x 2-2x 3y-4y 2+x-y+7，下列说法正确的是（ ） A.它是三次六项式 B.它的最高次项是2x 3y C.它的一次项是x D.它的二次项系数是-4 【答案】D【解析】A.多项式3x 2-2x 3y-4y 2+x-y+7中的单项式-2x 3y 的次数最高，为3+1=4，故该多项式是四次六项式；B.该多项式的最高项是-2x 3y ；C.该多项式的一次项是x 和-y ； D.该多项式关于y 的二次项系数是-4，常数项是-7，故本选项正确。

【变式练习2】对于多项式π3232-22+-y x x ，下列说法正确的是（ ）A.是2次3项式，常数项是3πB.是3次3项式，没有常数项C.是2次3项式，没有常数项D.是3次3项式，常数项是3π 【答案】D【解析】∵多项式中的每个单项式叫做多项式的项， 多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数；∴多项式π3232-22+-y x x 中最高次项-2x 2y 的次数为3，3π中虽有字母π，但是作已知数处理；故多项式为3次3项式，常数项是3π；故选D 。

中考重点整式的加减乘除整式是代数中常见的一种形式，由一些代数式通过加减乘除运算符连接而成。

整式的加减乘除是中考数学中的重点内容之一，本文将重点探讨整式的加减乘除运算。

一、整式的加法整式的加法指的是同类项的加法。

所谓同类项，是指指数相同的项。

例如，3x和2x就是同类项，而3x和2y就不是同类项。

整式的加法运算步骤如下：1. 将相同类型的项按照相同变量的幂次从高到低排列。

2. 对相同类型的项，将它们的系数相加，并保持变量的幂次不变。

例如，将3x² + 5x + 2 和 6x² + 3x - 1相加，步骤如下：排列：6x² + 3x - 1 + 3x² + 5x + 2合并同类项：(6x² + 3x²) + (3x + 5x) + (-1 + 2)计算：9x² + 8x + 1二、整式的减法整式的减法也是同类项的减法。

整式的减法可以通过将减数中的每一项取相反数，然后与被减数相加的方式实现。

例如，将3x² + 5x + 2 减去 6x² + 3x - 1，步骤如下：将减数的每一项取相反数：-6x² - 3x + 1相加：(3x² + 5x + 2) + (-6x² - 3x + 1)合并同类项：(3x² - 6x²) + (5x - 3x) + (2 + 1)计算：-3x² + 2x + 3三、整式的乘法整式的乘法指的是多项式之间的乘法，乘法的结果是一个新的整式。

整式的乘法可以通过分配律和同类项相加的方式实现。

例如，将(2x + 3)乘以(4x - 5)，步骤如下：分配律：2x * 4x + 2x * (-5) + 3 * 4x + 3 * (-5)计算：8x² - 10x + 12x - 15合并同类项：8x² + 2x - 15四、整式的除法整式的除法是指将一个整式除以另一个整式，得到商式和余式的过程。

整式的加减、乘除及因式分解整式加减一、知识点回顾1、单项式：由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。

补充：单独一个数或一个字母也是单项式，如a ，5……单项式系数和次数：系数：次数：2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。

在多项式中每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫常数项。

多项式里次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。

例如，多项式3x-2最高的项就是一次项3x ，这个多项式的次数是1，它是一次二项式4、整式的概念：单项式与多项式统称整式二、整式的加减1、同类项：所含字母相同，相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项，所有的常数项都是同类项。

合并同类项：把多项式中同类项合并在一起，叫做合并同类项。

合并同类项时，把同类 项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。

2、去括号的法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号 ；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号 ．3、整式加减的运算法则（1）如果有括号，那么先去括号。

（2）如果有同类项，再合并同类项。

整式乘除及因式分解一、幂的运算：1、同底数幂的乘法法则：（都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

注n m n m a a a +=∙n m ,意底数可以是多项式或单项式。

2、幂的乘方法则：（都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。

如： mn n m a a =)(n m ,10253)3(=-幂的乘方法则可以逆用：即 如：m n n m mn a a a )()(==23326)4()4(4==3、积的乘方法则：（是正整数）。

积的乘方，等于各因数乘方的积。

n n n b a ab =)(n 4、同底数幂的除法法则：（都是正整数，且同底数幂相除，底数不n m n m a a a -=÷n m a ,,0≠)n m 变，指数相减。

5、零指数； ，即任何不等于零的数的零次方等于1。

10=a 二、单项式、多项式的乘法运算：6、单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

整式的乘除知识点及题型复习在初中数学的学习中，整式的乘除是一个重要的知识点，它不仅是后续数学学习的基础，也在实际生活中有着广泛的应用。

下面我们就来一起复习一下整式的乘除的相关知识和常见题型。

一、整式乘法的知识点1、同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即：＄a^m × a^n ＝ a^｛m+n}＄（＄m$、＄n$都是正整数）例如：＄2^3 × 2^4 ＝ 2^｛3+4} ＝ 2^7$2、幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘。

即：＄（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＄（＄m$、＄n$都是正整数）例如：＄（2^3)＾4 ＝ 2^｛3×4} ＝ 2^｛12}＄3、积的乘方积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

即：＄（ab)＾n ＝ a^n b^n$（＄n$为正整数）例如：＄（2×3)＾4 ＝ 2^4 × 3^4$4、单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

例如：＄3x^2y × 5xy^2 ＝（3×5) ×（x^2 × x) ×（y × y^2) ＝15x^3y^3$5、单项式与多项式相乘单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

例如：＄3x(2x^2 5x ＋ 1) ＝ 3x × 2x^2 3x × 5x ＋ 3x × 1 ＝ 6x^315x^2 ＋ 3x$6、多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

例如：＄（x ＋ 2)（x 3) ＝ x × x 3x ＋ 2x 2×3 ＝ x^2 x 6$二、整式除法的知识点1、同底数幂的除法同底数幂相除，底数不变，指数相减。

2023年中考数学《整式的运算与因式分解》专题知识回顾及练习题（含答案解析）1. 合并同类型：法则：“一相加，两不变”，即系数相加，字母与字母的指数不变照写。

2. 整式的加减的实质：合并同类项。

3. 整式的乘除运算：①单项式×单项式：系数相乘，同底数幂相乘，其中一个因式单独存在的字母连同它的指数作为积的一个因式。

②单项式×多项式：单项式乘以多项式的每一项，变成单项式乘以单项式。

③多项式×多项式：用其中一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，变成单项式乘以单项式。

④单项式÷单项式：系数相除，同底数幂相除，被除数中单独存在的字母连同它的指数作为商的一个因式。

4. 乘法公式：①平方差公式：()()22b a b a b a −=−+。

②完全平方公式：()2222b ab a b a +±=±。

5. 因式分解的方法：①提公因式法：()c b a m cm bm am ++=++；②公式法：平方差公式：()()b a b a b a −+=−22完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+±。

③十字相乘法：在c bx x ++2中，若()均为整数，且n m b n m mn c =+=，则： ()()n x m x c bx x ++=++2。

31．（2022•湖北）先化简，再求值：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy），其中x＝2，y＝﹣1．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy）＝4xy﹣2xy+3xy＝5xy，当x＝2，y＝﹣1时，原式＝5×2×（﹣1）＝﹣10．32．（2022•盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．【分析】根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，整体代入即可．【解答】解：原式＝x2﹣16+x2﹣6x+9＝2x2﹣6x﹣7，∵x2﹣3x+1＝0，∴x2﹣3x＝﹣1，∴2x2﹣6x＝﹣2，∴原式＝﹣2﹣7＝﹣9．33．（2022•长春）先化简，再求值：2+a）（2﹣a）+a（a+1），其中a＝2﹣4．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：（2+a）（2﹣a）+a（a+1）＝4﹣a2+a2+a＝4+a，当a＝﹣4时，原式＝4+﹣4＝．34．（2022•北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x2+2x＝2代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：x（x+2）+（x+1）2＝x2+2x+x2+2x+1＝2x2+4x+1，∵x 2+2x ﹣2＝0，∴x 2+2x ＝2，∴当x 2+2x ＝2时，原式＝2（x 2+2x ）+1＝2×2+1＝4+1＝5．35．（2022•广西）先化简，再求值：（x +y ）（x ﹣y ）+（xy 2﹣2xy ）÷x ，其中x ＝1，y ＝21． 【分析】根据平方差公式和多项式除以单项式，可以将题目中的式子化简，然后将x 、y 的值代入化简后的式子计算即可．【解答】解：（x +y ）（x ﹣y ）+（xy 2﹣2xy ）÷x＝x 2﹣y 2+y 2﹣2y＝x 2﹣2y ，当x ＝1，y ＝时，原式＝12﹣2×＝0．36．（2022•衡阳）先化简，再求值．（a +b ）（a ﹣b ）+b （2a +b ），其中a ＝1，b ＝﹣2．【分析】根据平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则化简后，再把a ＝1，b ＝﹣2代入计算即可．【解答】解：（a +b ）（a ﹣b ）+2a +b ）＝a 2﹣b 2+2ab +b 2＝a 2+2ab ，将a ＝1，b ＝﹣2代入上式得：原式＝12+2×1×（﹣2）＝1﹣4＝﹣3．37．（2022•丽水）先化简，再求值：（1+x ）（1﹣x ）+x （x +2），其中x ＝21． 【分析】先根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则化简，再把x ＝代入计算即可．【解答】解：（1+x ）（1﹣x ）+x （x +2）＝1﹣x 2+x 2+2x＝1+2x ，当x ＝时，原式＝1+＝1+1＝2．38．（2022•南充）先化简，再求值：（x +2）（3x ﹣2）﹣2x （x +2），其中x ＝3﹣1．【分析】提取公因式x +2，再利用平方差公式计算，再代入计算．【解答】解：原式＝（x +2）（3x ﹣2﹣2x ）＝（x +2）（x ﹣2）＝x 2﹣4，当x ＝﹣1时， 原式＝（﹣1）2﹣4＝﹣2．39．（2022•安顺）（1）计算：（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣3|﹣12．（2）先化简，再求值：（x +3）2+（x +3）（x ﹣3）﹣2x （x +1），其中x ＝21． 【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）先去括号，再合并同类项，然后把x 的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．【解答】解：（1）（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣|﹣ ＝1+1+2×+﹣1﹣2 ＝2++﹣1﹣2＝1；（2）（x +3）2+（x +3）（x ﹣3）﹣2x （x +1）＝x 2+6x +9+x 2﹣9﹣2x 2﹣2x＝4x ，当x ＝时，原式＝4×＝2．40．（2022•岳阳）已知a 2﹣2a +1＝0，求代数式a （a ﹣4）+（a +1）（a ﹣1）+1的值．【分析】先化简所求的式子，再结合已知求解即可．【解答】解：a （a ﹣4）+（a +1）（a ﹣1）+1＝a 2﹣4a +a 2﹣1+1＝2a 2﹣4a＝2（a 2﹣2a ），∵a 2﹣2a +1＝0，∴a 2﹣2a ＝﹣1，∴原式＝2×（﹣1）＝﹣2．41．（2022•苏州）已知3x 2﹣2x ﹣3＝0，求（x ﹣1）2+x （x +32）的值． 【分析】直接利用整式的混合运算法则化简，进而合并同类项，再结合已知代入得出答案．【解答】解：原式＝x 2﹣2x +1+x 2+x＝2x 2﹣x +1，∵3x 2﹣2x ﹣3＝0，∴x 2﹣x ＝1，∴原式＝2（x 2﹣x ）+1＝2×1+1＝3．42．（2022•荆门）已知x +x1＝3，求下列各式的值： （1）（x ﹣x 1）2； （2）x 4+41x． 【分析】（1）利用完全平方公式的特征得到：（a ﹣b ）2＝（a +b ）2﹣4ab ，用上述关系式解答即可；（2）将式子用完全平方公式的特征变形后，利用整体代入的方法解答即可．【解答】解：（1）∵＝， ∴＝ ＝ ＝﹣4x • ＝32﹣4＝5；（2）∵＝，∴＝+2 ＝5+2＝7，∵＝，∴＝﹣2＝49﹣2＝47．43．（2022•无锡）计算：（1）|﹣21|×（﹣3）2﹣cos60°； （2）a （a +2）﹣（a +b ）（a ﹣b ）﹣b （b ﹣3）．【分析】（1（2）根据单项式乘多项式，平方差公式化简，去括号，合并同类项即可．【解答】解：（1）原式＝×3﹣＝﹣＝1；（2）原式＝a 2+2a ﹣（a 2﹣b 2）﹣b 2+3b＝a 2+2a ﹣a 2+b 2﹣b 2+3b＝2a +3b ．44．（2022•安徽）观察以下等式：第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式；（2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想．【解答】解：（1）因为第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，第5个等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2，故答案为：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2；（2）第n个等式：（2n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2，证明：左边＝4n2+4n+1，右边＝[（n+1）×2n]2+2×（n+1）×2n+12﹣[（n+1）×2n]2＝4n2+4n+1，∴左边＝右边．∴等式成立．45．（2022•西宁）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2）解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b）【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解；【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解；【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值．【分析】（1）用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解即可；（2）用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解即可；（3）先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值即可．【解答】解：（1）原式＝（x2﹣a2）+（x+a）＝（x+a）（x﹣a）+（x+a）＝（x+a）（x﹣a+1）；（2）原式＝（ax﹣bx）+（a2﹣2ab+b2）＝x（a﹣b）+（a﹣b）2＝（a﹣b）（x+a﹣b）；（3）原式＝（a4+2a2b2+b4）﹣（2ab3+2a3b）＝（a2+b2）2﹣2ab（a2+b2）＝（a2+b2）（a2+b2﹣2ab）＝（a2+b2）（a﹣b）2，∵直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1，∴a2+b2＝32＝9，（a﹣b）2＝1，∴原式＝9．。

中考数学整式的加减考点知识第1篇：整式的加减中考数学备考的考点知识一、重点单项式及其相关的概念;多项式及其相关的概念;去括号法则，准确应用法则将整式化简。

二、难点区别单项式的系数和次数;区别多项式的次数和单项式的次数;括号前面是-号去括号时，括号内各项变号容易产生错误。

三、知识点、概念总结1.单项式：在代数式中，若只含有乘法(包括乘方)运算。

或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式;数字或字母的乘积叫单项式(单独的一个数字或字母也是单项式)。

2.系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数。

任何一个非零数的零次方等于1.3.多项式：几个单项式的和叫多项式。

4.多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项;多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数。

5.常数项：不含字母的项叫做常数项。

6.多项式的排列(1)把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。

(2)把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。

7.多项式的排列时注意：(1)由于单项式的项，包括它前面的*质符号，因此在排列时，仍需把每一项的*质符号看作是这一项的一部分，一起移动。

(2)有两个或两个以上字母的多项式，排列时，未完，继续阅读 >第2篇：整式的加减中考数学备考考点知识一、重点单项式及其相关的概念;多项式及其相关的概念;去括号法则，准确应用法则将整式化简。

二、难点区别单项式的系数和次数;区别多项式的次数和单项式的次数;括号前面是“-”号去括号时，括号内各项变号容易产生错误。

三、知识点、概念总结1.单项式：在代数式中，若只含有乘法(包括乘方)运算。

或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式;数字或字母的乘积叫单项式(单独的一个数字或字母也是单项式)。

考向04 整式的加减乘除【考点梳理】1．单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。

或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式.2．单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数. 3．多项式：几个单项式的和叫多项式.4．多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数。

5、整式：单项式和多项式统称整式6、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

7、合并同类项的法则：将同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变。

8、去括号法则：去括号，看符号；是“+”号，不变号；是“－”号，全变号 9.同底数幂的乘法法则: nm nmaa a +=⋅(m,n 都是正数)10.幂的乘方法则：mn n m a a =)((m,n 都是正数)11.积的乘方法则：nn n b a ab =)（(m,n 都是正数) 12. 整式的乘法（1） 单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。

（2）单项式与多项式相乘:单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

mc mb ma c b a m ++=++)( （3）．多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

：bn bm an am n m b a +++=++))(（【题型探究】题型一：单项式1．（2021·福建厦门·校考二模）下列代数式中，为单项式的是（ ）A ．5xB ．aC ．3a ba+ D ．22x y +2．（2022·云南昆明·昆明八中校考模拟预测）观察后面一组单项式：4-，7a ，210a -，313a ，…，根据你发现的规律，则第7个单项式是（ ） A ．719a -B ．719aC ．622a -D ．622a3．（2022·云南昆明·统考三模）按一定规律排列的代数式：2，2468481632--，，，x x x x，……，第n 个单项式是（ ） A ．()2221nn nx--B ．()12221n n n x ---C ．()1221nn nx -- D ．()12221n n nx ---题型二：多项式4．（2021·山东淄博·统考一模）下列说法正确的是（ ） A ．23ab -的系数是－3B ．34a b 的次数是3C ．21a b +-的各项分别为2a ，b ，1D ．多项式21x -是二次三项式5．（2019·湖北武汉·统考模拟预测）已知关于x 的多项式222(2531)(63)mx x x x x +++-+化简后不含2x 项，则m 的值是( )A ．0B ．0.5C ．3D ． 2.5-6．（2022·上海·二模）下列说法中错误的是（ ） A ．单项式0.5xyz 的次数为3 B ．单项式23vt -的次数是23- C ．10与12-同类项 D ．1－x －xy 是二次三项式题型三：整数的加减7．（2022·河南南阳·模拟预测）下列运算中，正确的是（ ） A ．325235a a a += B ．325a b ab += C ．330ab ba -= D ．22541a a -=8．（2022·吉林长春·校考模拟预测）已知：22321A x xy x =+--，2312B x xy =-+- (1)求A B +的值；(2)若36A B +的值与x 无关，求y 的值．9．（2022·河北石家庄·统考三模）已知代数式2251A x x =-+，233B x x =+-． (1)化简代数式：2A –B ；(2)若对任意的实数x ，代数式B –A ＋m （m 为有理数）的结果不小于0，求m 的最小值．题型四：整数的乘除10．（2022·广东佛山·校考三模）先化简，再求值：22()(2)()x y x y x y x -----，其中1x =，1y =． 11．（2022·重庆·模拟预测）计算(1)()()()322a b a b ab ab ++÷--(2)22121121a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭ 12．（2022·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考三模）计算： (1)()()223x y y x y +-- (2)2434433a a a a a a --+⎛⎫-÷⎪--⎝⎭题型五：数字类规律探索13．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）已知整数1234,,,a a a a ，…满足下列条件：12132430,|1|,|2|,|3|...a a a a a a a ==-+=-+=-+，以此类推，则2022a 的值为（ ）A ．2021-B ．1010-C ．1011-D ．1009-14．（2022·西藏·统考中考真题）按一定规律排列的一组数据：12，35，12，717-，926，1137-，…．则按此规律排列的第10个数是（ ）A ．19101-B ．21101C ．1982-D ．218215．（2021·广西百色·统考二模）将一组数2，2，6，22，10，…，210，按下列方式进行排列：2，2，6，22，10； 23，14，4，32，25；…若2的位置记为()1,2，23的位置记为()2,1，则36这个数的位置记为（ ）A ．()54，B ．()44，C ．()43，D ．()35，题型六：图形类规律探索16．（2022·重庆南岸·校考模拟预测）我们用全等的正六边形拼成如下图形，按此规律则第10个图形中有小正六边形（ ）个．A ．270B ．271C ．272D ．27317．（2022·浙江台州·校考二模）如图所示，动点P 从第一个数0的位置出发，每次跳动一个单位长度，第一次跳动一个单位长度到达数1的位置，第二次跳动一个单位长度到达数2的位置，第三次跳动一个单位长度到达数3的位置，第四次跳动一个单位长度到达数4的位置，…，依此规律跳动下去，点P 从0跳动6次到达1P 的位置，点P 从0跳动21次到达2P 的位置，…，点123n P P P P ⋯、、在一条直线上，则点P 从0跳动（ ）次可到达14P的位置．A ．887B ．903C ．90D ．102418．（2022·山东淄博·山东省淄博第六中学校考模拟预测）如图，在图1中，1A 、1B 、1C 分别是等边ABC ∆ 的边BC 、CA 、AB 的中点，在图2中，2A ，2B ，2C 分别是111A B C ∆的边11B C 、11A C 、11A B 的中点，…，按此规律，则第n 个图形中菱形的个数共有（ ）个．A ．2nB ．2nC ．3nD ．31n +题型七：整式的混合计算19．（2022·重庆沙坪坝·统考一模）计算： (1)()()()y x y x y x y +++-； (2)21241121x x x x +⎛⎫+÷ ⎪+++⎝⎭．20．（2022春·重庆丰都·九年级校考期中）计算： (1)()()2323m m m +--； (2)22321236n m mn n m n m n -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭． 21．（2022·河北石家庄·统考二模）定义新运算：()()()222(),a b a b f a b a b a b ⎧->⎪=⎨-≤⎪⎩，如222(5,3)5316,(3,5)(35)4=-==-=f f ． (1)求：11,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭f 的值．(2)计算： (,2)f x x ．【必刷基础】一、单选题22．（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）下列各式正确的是 （ ） A ．623a a a ÷= B ．22133x x -=C 2= D ．=23．（2022·江苏泰州·模拟预测）下列运算正确的是（ ） A ．23x x x += B ．2245a b ab ab -=- C ．()2828x x +=+D ．()6262x y x y --=-+24．（2022·山东泰安·模拟预测）已知442a =，333b =，225c =，那么a 、b 、c 的大小关系是（ ） A ．a b c >>B ．a b c <<C ．c a b >>D ．b c a >>25．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）已知1xy =-，2x y +=，则32231122x y x y xy ++=（ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．426．（2022·山东德州·德州市同济中学校考模拟预测）如果(2)(2)x m x n --的展开式中不含x 的一次项，则m 、n 满足（ ） A ．m n =B ．0m =C ．m n =-D ．0n =27．（2022·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐市第六十八中学校考模拟预测）关于()()m n ab ab 的计算正确的是（ ） A ．m na bB ．m n m nab ++C ．m nm n a b++D ．以上都不对28．（2022·重庆南岸·校考模拟预测）有依次排列的3个整式：x ，7x +，2x ，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：x ，7，7x +，9-，2x ，则称它为整式串1；将整式串1按上述方式再做一次操作，可以得到整式串2；以此类推．通过实际操作，得出以下结论：①整式串2为：x ，7x -，7，x ，7x +， 16x --，9-，7x +，2x ； ②整式串3共17个整式；③整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2； ④整式串2021的所有整式的和为34037x -；上述四个结论正确的有（ ）个． A ．1B ．2C ．3D ．429．（2022·新疆·模拟预测）计算：(1)()()()2111x x x -+-；(2)22144111x x x x -+⎛⎫-÷⎪--⎝⎭，其中3x =． 30．（2022·四川遂宁·模拟预测）当4a ba b -=+时，求代数式224433a b a b a b a b-+-+-的值．【必刷培优】一、单选题31．（2022·重庆·重庆八中校考模拟预测）关于x ，y 的二次三项式224,4x mxy x y mxy y +-+-（m 为常数），下列结论正确的有（ ）①当1m =时，若240x mxy x +-=，则4x y +=②无论x 取任何实数，等式243x mxy x x +-=都恒成立，则7x my += ③若2245,47x xy x y xy y +-=+-=，则6x y +=④满足22440x xy x y xy y +-+--≤的正整数解(,)x y 共有25个 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个32．（2022·四川绵阳·校考二模）已知实数,m n 满足22220,220m am n an -+=-+=．若m n ≠，且4m n +≥，则()()2211m n -+-的最小值是（ ）A ．6B ．3-C ．3D ．033．（2022·甘肃平凉·校考三模）十八世纪伟大的数学家欧拉最先用记号()f x 的形式来表示关于x 的多项式，把x 等于某数n 时一的多项式的值用()f n 来表示．例如1x =时，多项式()223f x x x =-+的值可以记为()1f ，即()14f =．我们定义()32325f x ax x bx =+--．若()318f =，则()3f -的值为（ ）A ．18-B ．22-C ．26D ．3234．（2022·重庆·校考二模）我们知道，三个正整数a 、b 、c 满足222+=a b c ，那么，a 、b 、c 成为一组勾股数；如果一个正整数m 能表示成两个非负整数x 、y 的平方和，即22m x y =+，那么称m 为广义勾股数，则下面的结论： ①7是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数：⑤若22x m n =-，2y mn =，22z m n =+，其中x ，y ，z ，m ，n 是正整数，则x ，y ，z 是一组勾股数； 其中正确的结论是（ ）． A ．①③④⑤B ．②④C ．②③⑤D ．②④⑤35．（2022·重庆·模拟预测）某数学兴趣小组的同学对1a ，2a ，3a ，4a ，5a 这5个正整数进行规律探索，发现它们同时满足以下3个条件：（1）1a ，2a ，3a 是三个连续偶数，且123a a a <<；（2）4a ，5a 是两个连续奇数，且45a a <；（3）12345a a a a a ++=+．该小组成员分别得到一个结论： ①当28a =时，5个正整数不满足上述3个条件； ②当212a =时，5个正整数满足上述3个条件；③当2a 满足“2a 是4整倍数”时，5个正整数满足上述3个条件； ④当5个正整数满足上述3个条件时，46a k =（k 为正整数）；⑤当5个正整数满足上述3个条件时，1a ，2a ，3a 的平均数与4a ，5a 的平均数之和是10n （n 是正整数）． 以上结论正确的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题36．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）已知1330a b b a +=+≠，则33a ba b++的值为_____． 37．（2022·四川成都·统考二模）化简：532224x x x x -⎛⎫+-÷= ⎪--⎝⎭______． 38．（2022·宁夏银川·校考三模）2022年北京冬奥会开幕式主火炬台由96块小雪花形态和6块橄榄枝构成的巨型“雪花”形态，在数学上，我们可以通过“分形”近似地得到雪花的形状．操作：将一个边长为1的等边三角形（如图①）的每一边三等分，以居中那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（如图②），称为第一次分形．接着对每个等边三角形凸出的部分继续上述过程，即在每条边三等分后的中段向外画等边三角形，得到一个新的图形（如图③），称为第二次分形．不断重复这样的过程，就得到了“科赫雪花曲线”．第n 次分形后所得图形的边数是___________；（用含n 的代数式表示）39．（2022·宁夏银川·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形111OA B C 的两边在坐标轴上，以它的对角线1OB 为边做正方形122OB B C ，再以正方形122OB B C 的对角线为边做正方形233OB B C ……以此类推，则正方形202020212021OB B C 的边长是_____________40．（2022·云南楚雄·云南省楚雄第一中学校考模拟预测）若()665432012345621x a x a x a x a x a x a x a -=++++++，则135a a a ++的值______．三、解答题41．（2022·山东枣庄·校考模拟预测）先化简：2221211a a a a a a -+⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭，再从一元一次不等式21123x x--≤的解集中选择一个你喜欢的数代入求值．42．（2022·河南周口·周口市第一初级中学校考模拟预测）化简 (1)2(2)()()x y x y x y +++-(2)232816122a a a a a a --+⎛⎫--÷ ⎪--⎝⎭43．（2022·重庆·重庆八中校考模拟预测）化简： (1)2(2)(2)()a b a b a b +--- (2)32111x x x x -⎛⎫+-÷⎪--⎝⎭44．（2022·重庆大渡口·重庆市第三十七中学校校考二模）计算： (1)()()22x y x y x +--； (2)22191244a a a a -⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭． 45．（2022·重庆·模拟预测）计算： (1)()()22x x y x y -++；(2)281612222x x x x x ++⎛⎫÷-- ⎪--⎝⎭．参考答案：1．B【分析】根据单项式的定义判断即可得出答案． 【详解】解：A 、5x不是单项式，不符合题意；B 、a 是单项式，符合题意；C 、3a ba+不是单项式，不符合题意； D 、22x y +是多项式，不是单项式，不符合题意， 故答案选B ．【点睛】本题考查单项式的定义：数字与字母的乘积组成的代数式为单项式，需要特别注意的是，单独的一个数字或一个字母也是单项式，且单项式是整式． 2．C【分析】观察单项式得出规律为1(1)(31)n n n a --+，从而可得答案．【详解】解：根据单项式4-，7a ，210a -，313a ，…，得其规律为1(1)(31)n n n a --+，得到第7个单项式为622a -． 故选：C ．【点睛】考查数字及数字的变化规律；得到各个单项式符号，系数，字母及字母指数的规律是解决本题的关键． 3．B【分析】不难看出奇数项为正，偶数项为负，分母为x 2n -2，分子的指数为由1开始的自然数，据此即可求解．【详解】解：∵2=1222x-，∴按一定规律排列的代数式为：1222x-，22222x ⨯--，32322x ⨯-，42422x ⨯--，52522x ⨯-，…，∴第n 个单项式是(-1)n -1222n n x -，故选：B ． 【点睛】本题考查单项式的规律，根据所给单项式的系数与次数的特点，确定单项式的规律是解题的关键．4．A【分析】根据单项式的次数、系数以及多项式的系数、次数的定义解决此题．【详解】解：A ．根据单项式的系数为数字因数，那么﹣3ab 2的系数为﹣3，故A 符合题意．B ．根据单项式的次数为所有字母的指数的和，那么4a 3b 的次数为4，故B 不符合题意．C ．根据多项式的定义，2a +b ﹣1的各项分别为2a 、b 、﹣1，故C 不符合题意．D ．x 2﹣1包括x 2、﹣1这两项，次数分别为2、0，那么x 2﹣1为二次两项式，故D 不符合题意．故选：A ．【点睛】本题主要考查单项式的系数，次数的定义以及多项式的项、项数以及次数的定义，熟练掌握单项式的系数，次数的定义以及多项式的项、项数以及次数的定义是解决本题的关键．5．B【分析】去括号后合并同类项，不含2x 项，则2x 的系数为0，据此可算出m 的值.【详解】222(2531)(63)mx x x x x +++-+=222253163+++--mx x x x x=()2211-+m x∵不含2x 项，∴21=0-m∴0.5m =故选B.【点睛】本题考查整式的加减，掌握不含某一项，则这一项的系数为0是解题的关键.6．B【分析】根据同类项、单项式、及多项式的概念进行解答即可．【详解】解： A 、单项式0.5xyz 的次数为3，故A 选项正确；B 、单项式23vt -的系数23-，次数是2，故B 选项错误；C 、10与12-都属于常数项，是同类项，故C 选项正确； D 、1－x －xy 是二次三项式，故D 选项正确．故答案为：B ．【点睛】本题考查同类项、单项式、及多项式的概念，同类项“同类项是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项”；单项式“由数与字母的积组成的代数式叫做单项式；单独的一个数或一个字母也叫做单项式，字母前的常数为单项式的系数，所有字母的指数和为单项式的次数”；多项式“若干个单项式的和组成的式子叫做多项式，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数”．7．C【分析】根据同类项的定义和合并同类项的法则逐一判断即可得．【详解】解：3.2A a 与23a 不是同类项，不能合并，此选项错误；B.3a 与2b 不是同类项，不能合并，此选项错误；C.330ab ba -=，此选项正确；D.22254a a a -=，此选项错误；故选：C ．【点睛】本题考查了同类项与合并同类项法则，能熟记同类项的定义及合并同类项的法则是解此题的关键． 8．(1)29222x xy x +-- (2)若36A B +的值与x 无关，y 的值是13．【分析】（1）根据整式的运算法则即可求出答案；（2）将含x 的项合并后，令其系数为0即可求出答案．【详解】解：（1）∵22321A x xy x =+--，2312B x xy =-+-， ∴223232112A B x xy x x xy +=+---+- 29222x xy x =+--故：A B +的值为：29222x xy x +-- （2）()2233632321612A B x xy x x xy ⎛⎫+=+--+-+- ⎪⎝⎭226963696x xy x x xy =+---+-1869xy x =--()1869y x =--要使原式的值与x 无关，则1860y -=， 解得：13y =，故：若36A B +的值与x 无关，y 的值是13． 【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．9．(1)2115x x -+(2)m 的最小值为13【分析】（1）根据多项式的加减运算法则计算即可；（2）先计算代数式B –A ＋m 并利用完全平方公式变形，再根据结果不小于0得出关于m 的不等式，计算即可．(1)解：()()222225133A B x x x x -=-+-+-22410233x x x x =-+--+2115x x =-+；(2)()()2233251B A m x x x x m -+=+---++264x x m =+-+()2313x m =+-+． ∵对于任意的实数x ，代数式B –A ＋m 的结果不小于0，∴130m -+≥，解得13m ≥，∴m 的最小值为13．【点睛】本题考查了整式的加减运算，完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键．10．xy -，2022-【分析】根据多项式乘以多项式运算法则、完全平方公式将原式进行化简，然后将1x =，1y =代入，再利用平方差公式进行计算即可．【详解】解：原式＝2222222(2)x xy xy y x xy y x --+--+-＝22222222x xy xy y x xy y x --+-+--＝xy -，当1x =，1y =时，原式＝1)1)-⨯＝221⎡⎤--⎣⎦＝(20231)--＝2022-．【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式加减乘除混合运算法则以及完全平方公式、平方差公式是解本题的关键．11．(1)225a b - (2)1a a--【分析】（1）根据平方差公式、单项式除以单项式计算即可；（2）根据分式的混合运算法则计算即可．（1） ()()()322a b a b ab ab ++÷--()2222a b b =-- 225a b =-；（2）22121121a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭ ()()2211111a a a a a a --⎛⎫=-÷ ⎪--⎝⎭- ()()21212a a a a a --=-⨯-- 1a a -=-． 【点睛】本题考查了平方差公式、单项式除以单项式、分式的混合运算等知识，计算时一定要注意式子中的负号，注意括号前是“−”，去括号后，括号里的各项都改变符号．12．(1)224x y + (2)22a a +-【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可；（2）先算括号，再利用分式除法法则计算．(1)解：原式222223x xy y xy y =++-+ 224x y =+；(2) 解：原式()22234333a a a a a a ---+=÷-- ()()()222332a a a a a -+-=⋅-- 22a a +=-． 【点睛】本题考查整式的计算以及分式的计算，涉及因式分解，完全平方公式的运算，正确地计算能力是解决问题的关键．13．C【分析】根据前几个数可以发现：从第2个数开始，如果顺序数为偶数，最后的数值为2n n a =-，如果顺序数为奇数，最后的数值为12n n a -=-，再根据规律求解即可． 【详解】解：10a =，21|1|1a a =-+=-，32|2|1a a =-+=-，43|3|2a a =-+=-，54|4|2a a =-+=-，65|5|3a a =-+=-， 76|6|3a a =-+=-，…∴当n 为偶数时，2n n a =-，当n 为奇数时，12n n a -=-， ∴2022202210112a =-=-， 故选：C ．【点睛】本题主要考查规律性：数字的变化类，根据前几个数字找出最后数值与顺序数之间的规律是解决本题的关键．14．A【分析】把第3个数转化为：510，不难看出分子是从1开始的奇数，分母是21n +，且奇数项是正，偶数项是负，据此即可求解． 【详解】原数据可转化为：1357911,,,,,,2510172637---⋅⋅⋅， ∴()11212111211+⨯-=-⨯+，()21232211521+⨯--=-⨯+， ()312523111031+⨯-=-⨯+， ..．∴第n 个数为：()122111n n n +--⨯+， ∴第10个数为：()10122101191101101+⨯--⨯=-+． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数总结出存在的规律．15．C【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得36的位置即可．【详解】解：这组数据可表示为：246810，，，，,1214161820，，，，…∵36218÷=，18533÷=∴36为第4行，第3个数字．故选：C ．【点睛】此题考查的是数字的变化规律以及二次根式的化简，找出其中的规律是解题的关键．16．B【分析】根据图形特点，首先写出前三个图形中小正六边形的个数，从而得到规律并写出第n 个图形中小正六边形的个数，然后把n =10代入进行计算即可得解．【详解】解：如图，第1个图形中有小正六边形1个，1=3×12-3×1+1，第2个图形中有小正六边形7个，7=3×22-3×2+1，第3个图形中有小正六边形19个，19=3×32-3×3+1，…，依此类推，第n 个图形中有小正六边形（3n 2-3n +1）个，所以，第10个图形中有小正六边形3×102-3×10+1=271个．故选：B ．【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，得到第n 个图形中小正六边形的个数变化规律的表达式是解题的关键．17．B【分析】由题意得：从点P 从0跳动1236++=个单位长度，到达1P ，跳动12345621+++++=个单位长度，到达2P ，可以得出，跳动次数为从1开始连续正整数的和，且最后一个加数为3n ⨯，进而得到答案即可；【详解】解：由题意得：从点P 从0跳动1236++=个单位长度，到达1P ，跳动12345621+++++=个单位长度，到达2P ，由此可得：跳动次数为从1开始连续的正整数的和，最后一个加数为3n ⨯，∵14342⨯=，∴点P 从跳到14P 跳动了：123442903+++++=，故选：B ．【点睛】本题考查图形中的规律探究．根据图形，抽象概括出相应的数字规律，是解题的关键．18．C【分析】根据中位线定理及等边三角形得到三条中线相等且都等于等边三角形的边的一半，等到作一次图得3个菱形，依次可得答案．【详解】解：由题意可得，∵1A 、1B 、1C 分别是等边ABC ∆ 的边BC 、CA 、AB 的中点， ∴111111111111A B AC B C A B AC BC AC AB B C ======== , ∴图1有三个菱形，由此可得作一次中位线分三个菱形，∴第n 个图形中菱形的个数共有3n 个菱形，故选C ．【点睛】本题考查等边三角形性质及中位线定理，解题的关键是找出作一次中位线分3个菱形．19．(1)2xy x + (2)12x +【分析】（1）先利用单项式乘多项式、平方差公式化简，再合并同类项计算即可；（2）根据分式的混合运算法则和运算顺序进行化简计算即可．(1)原式222xy y x y =++- 2xy x =+；(2)21241121x x x x +⎛⎫+÷ ⎪+++⎝⎭ =211241121x x x x x x ++⎛⎫+÷ ⎪++++⎝⎭ ()()21211222x x x x x +++=⋅=++． 【点睛】本题考查了整式的混合运算、分式的混合运算，解答的关键是熟练掌握混合运算法则和运算顺序，熟记完全平方公式和平方差公式．20．(1)239m + (2)3m n-【分析】（1）先计算完全平方、单项式乘多项式，再合并同类项，进行加减运算；（2）先将括号内式子通分，再将分式除法转换为分式乘法，再将分子分母进行因式分解，最后约分化简即可．【详解】（1）解：()()2323m m m +-- 226962m m m m =++-+239m =+（2）解：22321236n m mn n m n m n -+⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭ 22233622m n n m n m n m mn n +-+=⨯+-+ 23(2)2()m n m n m n m n -+=⨯+- 3m n=- 【点睛】本题考查整式的混合计算和分式的约分化简，掌握相关运算法则并熟练运用完全平方公式是解题的关键．21．(1)115,3236f ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭(2)x ＜0时，2(,2)3f x x x =-；x ＞0时，2(,2)f x x x =【分析】（1）根据1132->-，运用()22,()f a b a b a b =->计算，得到115,3236f ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭； （2）当0x <时，2x x >，运用()22,()f a b a b a b =->计算，得到2(,2)3f x x x =-；当0x ≥时，2x x ≤，运用()()()2,f a b a b a b =-≤计算，得到2(,2)f x x x =．【详解】（1）∵1132->-， ∴221111,3232⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f1194=- 536=-； （2）当0x <时，2x x >，222(,2)(2)3=-=-f x x x x x ，当0x ≥时，2x x ≤，22(,2)(2)f x x x x x =-=．【点睛】本题主要考查了定义新运算，熟练掌握新定义计算方法，整式的混合运算顺序和运算法则，是解决此类问题的关键．22．D【分析】根据同底数幂相除、负整指数幂和二次根式的化简进行运算即可．【详解】解：A 、6243a a a a ÷=≠，故该选项错误，不符合题意；B 、2223133x x x -=≠，故该选项错误，不符合题意；C 22==≠，故该选项错误，不符合题意；D 、∵a<0，∴==故选D ．【点睛】本题考查了同底数幂相除、负整指数幂和二次根式的化简，正确的计算是解决本题的关键．23．D【分析】根据合并同类项，去括号，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A ．2x 与x 不能合并，故该选项不正确，不符合题意；B ． 24a b 与25ab 不能合并，故该选项不正确，不符合题意；C ． ()28216x x +=+，故该选项不正确，不符合题意；D ． ()6262x y x y --=-+，故该选项正确，符合题意；故选：D【点睛】本题考查了合并同类项，去括号，正确的计算是解题的关键．24．D【分析】利用幂的乘方的逆运算得到111111162725a b c ===，，，据此即可得到答案．【详解】解：∵442a =，333b =，225c =，∴()()()111111411311211216327525a b c ======，，， ∵162527<<，∴a c b <<，故选D ．【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，正确得到111111162725a b c ===，，是解题的关键．25．A【分析】先对所求的式子进行因式分解，再整体代入计算即可．【详解】解：1xy =-，2x y +=，32231122x y x y xy +∴+ ()22122xy x xy y =++ ()212xy x y =+ ()21122=⨯-⨯ 2=-．故选：A ．【点睛】本题考查了整式的因式分解、代数式求值，熟练掌握提公因式法与公式法的综合运用是解决本题的关键．26．C【分析】先根据多项式乘以多项式的法则展开式子，再合并，根据不含x 的一次项，则含x 的一次项的系数为0，即可求解．【详解】解：(2)(2)x m x n --2224x nx mx mn =--+22()4x m n x mn =-++，展开式中不含x 的一次项，2()0m n ∴-+=，0m n ∴+=，即m n =-，故选：C ．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，不含某一项则这项的系数为0，属于基础题．27．B【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方进行计算即可求解．【详解】解：()()m n ab ab m m n n m n m n a b a b a b ++==，故选：B ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，掌握同底数幂的乘法，幂的乘方的运算法则是解题的关键．28．C【分析】根据整式的加减运算法则和整式的乘法则进行计算，从而作出判断．【详解】解：∵第一次操作后的整式串为：x ，7，7x +，9-，2x ，共5个整式，第一次操作后的整式串的和为： ()779233x x x x ++++-+-=+，∴第二次操作后的整式串为x ，7x -，7，x ，7x +，16x --，9-，7x +，2x ，共9个整式，故①的结论正确，符合题意；第二次操作后所有整式的和为：()()77716972313323321x x x x x x x x x x +-+++++--+-+++-=+=+-=+-⨯第三次操作后整式串为x ，72x -，7x -，x ，7，7x -，x ，7，7x +，232x --，16x --，7x +，9-，16x +，7x +，9-，2x ，共17个整式，故②的结论正确，符合题意；第三次操作后整式串的和为：()7277777232x x x x x x x x +-+-+++-+++++--()()()167916792313322x x x x x x x +--+++-+++++-+-=-=+--3322x =+-⨯；故第三次操作后的整式串的和与第二次操作后的整式和的差为：()31312x x --+=-，即整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2，故③结论正确，符合题意；第n 次操作后所有整式的积为()3321325x n x n +--=-+，∴第2021次操作后，所有的整式的和为()3220211536055x x -⨯-+=-，故④的说法不正确，不符合题意；正确的说法有①②③，共3个．故选：C ．【点睛】此题主要考查了整式的加减，数字的规律，解题关键是从所给的式子分析出所存在的规律．29．(1)4221x x -+ (2)12x x +-，原式4=【分析】（1）根据平方差公式和完全平方公式计算即可；（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简，再将x 的值代入计算即可．【详解】（1）原式()()2211x x =-- 4221x x =-+；（2）原式()()21121(2)x x x x x +--=⋅-- 12x x +=-， 当3x =时，原式31432+==-． 【点睛】本题考查了分式的化简求值、平方差公式和完全平方公式，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．30．273【分析】根据4a b a b -=+，得出14a b a b +=-，然后整体代入化简后的代数式即可求解． 【详解】解：∵4a b a b -=+， ∴14a b a b +=-， ∵224433a b a b a b a b-+-+- ()()()243a b a b a b a b -+=-+- 423a b a b a b a b -+=⨯-⨯+- 412434=⨯-⨯ 273=． 【点睛】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，解本题的关键是能通过4a b a b -=+，得出14a b a b +=-． 31．A 【分析】①将1m =代入代数式，计算即可；②又243x mxy x x +-=可得()7x my x x +=，再根据题意求解即可；③两方程相加，令t x y =+，可化为24120t t --=，求解即可；④根据题意可得22(2)(2)8x y -+-≤，列出正整数解(,)x y ，即可．【详解】解：将1m =代入240x mxy x +-=可得，240x xy x +-=，即(4)0x x y +-=解得0x =或40x y +-=，即0x =或4x y +=，①错误；由243x mxy x x +-=可得()7x my x x +=，∵无论x 取任何实数，等式243x mxy x x +-=都恒成立，∴7x my +=，②正确；2245,47x xy x y xy y +-=+-=两式相加可得：2224412x xy y x y ++--=即2()4()12x y x y +-+=令t x y =+，则24120t t --=，解得16t =，22t =-即2x y +=-或6x y +=，③错误；由22440x xy x y xy y +-+--≤可得22(2)(2)8x y -+-≤正整数解为：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)，总共有16个，④错误正确的个数为1，故选：A【点睛】本题主要考查了整式加减，二元一次不等式的解，完全平方公式，一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握相关运算法则以及灵活运用完全平方公式．32．A【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出2,2m n a mn +==，将代数式化简，然后整体代入求解即可【详解】解：∵实数,m n 满足22220,220m am n an -+=-+=，∴m 、n 是方程2220x ax -+=的两个根，∴2,2m n a mn +==，∴()()2211m n -+-222121m m n n =-++-+()()2222m n mn m n =+--++ 24442a a =--+()2213a =--∵m n ≠，且4m n +≥，∴()()2211m n -+-的最小值是()2413936--=-=，故选：A ．【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式及求代数式的值，熟练掌握根与系数的关系是解题关键．33．C【分析】3x =把代入多项式可以得2764a b -=-，把3x =-整体代入求解即可．【详解】()32325f x ax x bx =+--，()3276518f a b ∴=--=，得：2764a b -=-，()()()327392352762242226f a b a b ∴-=-+⨯-⨯--=--+=+=，故选：C ．【点睛】本题考查求代数式的值，整体代入是解题的关键．34．D【分析】根据勾股数、广义勾股数的定义，再结合整式的运算，反证法逐项判断即可．【详解】①7无法表示成22m x y =+（x 、y 为非负整数），故7不是广义勾股数，①错误；②221323=+，故13是广义勾股数，②正确；③两个广义勾股数22101=+，22512=+，即和为()()22226150121=+++=+，但是6无法表示成22m x y =+（x 、y 为非负整数），故6不是广义勾股数，即两个广义勾股数的和是广义勾股数的说法错误，③错误；④设两个广义勾股数为22m x y =+，22n p q =+，则：()()222222222222mn x y p q x p y q x q y p =+++=++，即()()222222222222mn x p y q x q y p xypq xypq xp yq xq yp +++-+=+-=+，即mn 是广义勾股数，则两个广义勾股数的积是广义勾股数，④正确： ⑤若22x m n =-，2y mn =，22z m n =+，其中x ，y ，z ，m ，n 是正整数，则：242242x m m n n =-+，2224y m n =，224242m m z n n ++=，即有：222x y z +=，则x ，y ，z 是一组勾股数，⑤正确，故选：D ．【点睛】本题考查了勾股数，整式的运算等知识，根据整式的运算法则进行变形是解答本题的关键．35．B【分析】根据题意求得25322a a =-，代入28a =，212a =，即可判断①②，根据53422k a ⨯=-，即可判断③，根据46a k =，得出4a 是偶数，即可判断④，求得平均数即可判断⑤【详解】解：∵1a ，2a ，3a 是三个连续偶数，且123a a a <<，∴12323a a a a ++=．∵4a ，5a 是两个连续奇数，且45a a <，∴452a a =-，∴45522a a a +=-．∵12345a a a a a ++=+，∴25322a a =-．当28a =时，53822a ⨯=-，∴513a =，满足条件，故①错误．当212a =时，531222a ⨯=-，∴519a =，满足条件，故②正确．∵偶数2a 是4的倍数，∴设24a k =（k 为正整数）．∵25322a a =-，即53422k a ⨯=-，∴561a k =+，满足条件，故③正确．当46a k =（k 为正整数）时，4a 是偶数，这与题意矛盾，故④错误．当5个正整数满足所述3个条件时，偶数2a 是4的倍数，∴设24a n =（n 为正整数），则561a n =+，∴1232312a a a a n ++==，4552212a a a n +=-=，∴1a ，2a ，3a 的平均数与4a ，5a 的平均数之和是12121032n n n +=（n 是正整数），故⑤正确． 故选B ．【点睛】本题考查了数字类规律题，求平均数，整除，根据题意得出个数之间的关系是解题的关键．36．35##0.6 【分析】根据题意得出3a b =，再代入求值即可．【详解】解：∵133a b b a+=+， ∴3(1)(1)b ab a ab +=+， ∵110ab a b b++=≠， ∴10ab +≠，∴3a b =，。

第一讲 整式的加减乘除与因式分解代数式、单项式、多项式代数式的定义：用基本的运算符号(加、减、乘、除、乘方等)把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式. 单独的一个数或字母也是代数式.列代数式：列代数式实质上是把“文字语言”翻译成“符号语言”.列代数式的关键是正确地分析数量关系，要掌握和、差、积、商、幂、倍、分、大、小、多、少、增加、增加到等数学概念和有关知识.在列代数式时，应注意以下几点：（1） 在同一问题中，要注意不同的对象或不同的数量必须用不同的字母来表示；（2） 字母与字母相乘时可以省略乘号；（3） 在所列代数式中，若有相除关系要写成分数形式；（4） 列代数式时应注意单位，单位名称在代数式后面写出来，如果结果为加减关系，必须用括号将代数式括起来；（5） 代数式中不要使用带分数，带分数与字母相乘时必须把带分数化成假分数.单项式： 像2-a ，2r π，213-x y ，-abc ，237x yz ，……这些代数式中，都是数字与字母的积，这样的代数式称为单项式.也就是说单项式中不存在数字与字母或字母与字母的加、减、除关系，特别的单项式的分母中不含未知数.!单独的一个字母或数也叫做单项式，例：a 、3-.单项式的次数：是指单项式中所有字母的指数和.例如：单项式212-ab c ，它的指数为1214++=，是四次单项式.单独的一个数(零除外)，它们的次数规定为零，叫做零次单项式.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项数的系数.例如：我们把47叫做单项式247x y 的系数. 同类项： 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.多项式： 几个单项式的和叫做多项式.例如：27319-+x x 是多项式. 多项式的项： 其中每个单项式都是该多项式的一个项.多项式中的各项包括它前面的符号.多项式中不含字母的项叫做常数项. 多项数的次数：多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数.整式： 单项式和多项式统称为整式.【例1】 讲下列代数式分别填入相应的括号内：222221112113232333a x ab x x m n mn n x b x y x-+-+-+-+，，，，，，， 单项式（ ）；多项式（ ）；二项式（ ）；二次多项式（ ）；整式（ ）【例2】 找出下列各代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数.223xy ；-a ；a bc ；32+mn ；572t ；233-a b c ；2；-x π【例3】 单项式113+--a b a x y 与23x y 是同类项，求-a b 的值.【巩固】 若12223559+--m m n ab 与2a b 是同类项，求m ，n 的值.板块二 整式加减合并同类项： 把多项式中同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项时，只需把系数相加，所含字母和字母指数不变.【例4】 若232+m m n a b 与39a b 的和仍是一个单项式，求m 、n 的值.【例5】 化简：3223225115225363363--+-+++a b a b ab a b ab ba【巩固】 化简：2222222243{3[24(2)]}--+--+-xy x y x y xy xy x y x y xy【例6】 第一个多项式是2222-+x xy y ，第二个多项式是第一个多项式的2倍少3 ，第三个多项式是前两个多项式的和，求这三个多项式的和.【例7】 有这样一道题：“已知222223=+-A a b c ，22232=--B a b c ，22223=+-C c a b ，当1=a ，2=b ，3=c 时，求-+A B C 的值”．有一个学生指出，题目中给出的2=b ，3=c 是多余的．他的说法有没有道理？为什么？幂的运算概念：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数. 含义：n a 中，a 为底数，n 为指数，即表示a 的个数，n a 表示有n 个a 连续相乘.例如：53表示33333⨯⨯⨯⨯，5(3)-表示(3)(3)(3)(3)(3)-⨯-⨯-⨯-⨯-，53-表示(33333)-⨯⨯⨯⨯52()7表示2222277777⨯⨯⨯⨯，527表示222227⨯⨯⨯⨯ 特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号.“奇负偶正”口诀的应用：口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：⑴多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：[](3)3---=-；[](3)3-+-=.⑵有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号， 例如：(3)(2)(6)36-⨯-⨯-=-，而(3)(2)(6)36-⨯-⨯+=.⑶有理数乘方，这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：2(3)9-=，3(3)27-=-.特别地：当n 为奇数时，()n n a a -=-；而当n 为偶数时，()n n a a -=.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数正数的任何次幂都是正数，1的任何次幂都是1，任何不为0的数的0次幂都是“1”.⑴ 同底数幂相乘．同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．用式子表示为：m n m n a a a +⋅=（,m n 都是正整数）．⑵ 幂的乘方．幂的乘方的运算性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘．用式子表示为：()nm mn a a =（,m n 都是正整数）． ⑶ 积的乘方．积的乘方的运算性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．用式子表示为：()n n n ab a b =（n 是正整数）．⑷ 同底数幂相除．同底数的幂相除，底数不变，指数相减．用式子表示为：m n m n a a a -÷= （0a ≠，m ，n 都是正整数）⑸ 规定()010a a =≠；1p p a a-=（0a ≠，p 是正整数）． 【例1】 下列计算正确的是（ ）A ．3515a a a ⋅=B ．623a a a ÷=C ．358a a a +=D ．()43a a a -÷=【巩固】 下列计算错误的是（ ）A ．()333327ab a b -=-B ．2326411416a b a b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C ．()326xy xy -=- D ．()24386a b a b -=计算：()43- 计算：43- 计算：332⎛⎫- ⎪⎝⎭ 计算：332-填空：54x x x ÷⨯= ；填空：()()()324a a a -⋅-⋅-= ； 填空：()()2322a b b ⋅-= ； 填空：()()3223x x x --⋅=【巩固】 ()4m m x x ÷=填空：；()224m a a +⋅=；()234n n n n a b =；()()()284n a a a ⎡⎤==⎣⎦【例2】 计算：()()()24143 6.526313⎛⎫--⨯+-÷-= ⎪⎝⎭__________【例3】 n 为自然数，那么(1)n -= ；2(1)n -= ；21(1)n +-= ；当n 为 数时，()()n 2n 110-+-=；当n 为 数时，()()n 2n112-+-=【例4】 计算：12468...(1)2n n +-+-++-⨯【例5】 计算：23456789102222222222--------+=_____________．计算：6660.12524⨯⨯计算：10200.252⨯计算：1996199519952(1.5)(1)3⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭【例6】 已知2m a =，3n a =，求32m n a +的值．【例7】 若2530x y +-=，求432x y ⋅.【巩固】 已知3m a =，2n a =，m 、n 是正整数且m n >．求下列各式的值：①1m a +；②32m n a -．【例8】 已知232122192x x ++-=，求x ．板块二 幂的大小比较【例9】 比较503，404，305的大小．【例10】 已知221410103498a b c d ====，，，，则a b c d ，，，的大小关系为整式的乘法⑴单项式与单项式相乘：系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只有一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.以下举例说明单项式与单项式相乘的规则如下：23234233ab a b c a b c ⋅=，两个单项式的系数分别为1和3，乘积的系数是3，两个单项式中关于字母a 的幂分别是a 和2a ，乘积中a 的幂是3a ，同理，乘积中b 的幂是4b ，另外，单项式ab 中不含c 的幂，而2323a b c 中含2c ，故乘积中含2c . ⑵单项式与多项式相乘：单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加，公式为：()m a b c ma mb mc ++=++，其中m 为单项式，a b c ++为多项式.⑶多项式与多项式相乘：将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中的每一个单项式相乘，然后把积相加，公式为：()()m n a b ma mb na nb ++=+++【例11】 若M N ，分别是关于x 的2次多项式与3次多项式，则MN ( )A ．一定是5次多项式B ．一定是6次多项式C ．一定是2次或3次多项式D ．无法确定次数【例12】 先化简，在求值：()()()()22215423125a a a a a a a -⋅------，其中1a =-【巩固】 计算2332536()()()()1245x y x y x y y x ⎡⎤+⋅--⋅--⋅-⎢⎥⎣⎦．【巩固】 使22(8)(3)x px x x q ++-+的积中不含2x 和3x ，求p ，q 的值.整式的除法⑴ 单项式除以单项式：系数、同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.如：2322233a b c ab ab c ÷=，被除式为2323a b c ，除式为ab ，系数分别为3和1，故商中的系数为3，a 的幂分别为2a 和a ，故商中a 的幂为21a a -=，同理，b 的幂为2b ，另外，被除式中含2c ，而除式中不含关于c 的幂，故商中c 的幂为2c .⑵ 多项式除以单项式：多项式中的每一项分别除以单项式，然后把所得的商相加，公式为：()a b c m a m b m c m ++÷=÷+÷+÷，其中m 为单项式，a b c ++为多项式.【例13】 计算：472632211()()393a b a b ab -÷-；计算：823423236( 1.8)0.655a b a b a b ab --÷【例14】 算：()()()2226969x x x x +-÷++= ；【例15】 如果257x kx -+被52x -除后余6，求k 的值及商式．【例16】 计算：22221112222x y x y x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦因式分解的基本概念因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式.因式分解与整式乘法互为逆变形：()m a b c ma mb mc ++++整式的乘积因式分解式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式因式分解的常用方法：提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法.分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法.注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；②结果一定是乘积的形式；③每一个因式都是整式；④相同的因式的积要写成幂的形式.在分解因式时，结果的形式要求：①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；③单项式因式写在多项式因式的前面；④每个因式第一项系数一般不为负数；⑤形式相同的因式写成幂的形式.判断下列各式从左到右的变形是否是分解因式，并说明理由.⑴22()()x y x y x y +-=-； ⑵322()x x x x x x +-=+⑶232(3)2x x x x +-=+-； ⑷1(1)(1)xy x y x y +++=++【例17】 观察下列从左到右的变形：⑴()()3322623a b a b ab -=-； ⑵()ma mb c m a b c -+=-+⑶()22261266x xy y x y ++=+；⑷()()22323294a b a b a b +-=-其中是因式分解的有 （填括号）提公因式法提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面.确定公因式的方法：系数——取多项式各项系数的最大公约数；字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.【例18】 分解因式：ad bd d -+【例19】 分解因式：4325286x y z x y -【例20】 分解因式：322618m m m -+- 分解因式：23229632x y x y xy ++ 分解因式：2222224x y x z y z z --+【例21】 不解方程组2631x y x y +=⎧⎨-=⎩，求代数式()()237323y x y y x ---的值．【例22】 若a 、b 、c 为ABC ∆的三边长，且()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-，则ABC ∆按边分类，应是什么三角形？【例23】 求代数式的值：22(32)(21)(32)(21)(21)(23)x x x x x x x -+--+++-，其中23x =-.公式法平方差公式：22()()a b a b a b -=+-①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积.完全平方公式：2222()a ab b a b ++=+2222()a ab b a b -+=-①左边相当于一个二次三项式；②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定.一些需要了解的公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++33223()33a b a a b ab b +=+++ 33223()33a b a a b ab b -=-+-2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++【例24】 分解因式：44a b -【例25】 分解因式：2249()16()m n m n +--【例26】 分解因式：22()()a x y b y x -+-【例27】 分解因式：229()4()m n m n --+【例28】 分解因式：22(32)16x y y --【例29】 利用分解因式证明：712255-能被120整除．【例30】 分解因式：2242x x -+= ；【例31】 分解因式：244ax ax a -+= ；【例32】 分解因式：2844a a --= ；【例33】 分解因式：2292416x xy y -+=【例34】 分解因式：3269x x x -+【例35】 分解因式：2363x x -+【例36】 在实数范围内分解因式：224x -；【例37】 在实数范围内分解因式：264m m -+【例38】 分解因式：22222(91)36a b a b +--【例39】 若a ，b ，c 为正数，且满足444222222a b c a b b c c a ++=++，那么,,a b c 之间有什么关系？十字相乘法十字相乘法：一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解【例40】 分解因式：256x x ++【例41】 分解因式：256x x -+【例42】 分解因式2299x x +-等于（ ）A ．()()911x x --B ．()()911x x +-C ．()()911x x -+D ．()()911x x ++【例43】 分解因式：276x x ++【例44】 分解因式：268x x ++【例45】 分解因式：278x x +-【例46】 分解因式：212x x +-【例47】 分解因式：2376a a --【例48】 分解因式：2383x x --【例49】 分解因式：25129x x +-【例50】 分解因式：2121115x x --板块三：双十字相乘双十字相乘法： 对于某些二元二次六项式22ax bxy cy dx ey f +++++，可以看作先将关于x 的二次三项式22()ax by d x cy ey f +++++的“常数项”2cy ey f ++用十字相乘法分解，然后再次运用十字相乘法将关于x 的二次三项式分解。

整式的运算与因式分解一、知识结构图二、补充公式：1.完全平方公式的变形：()⎩⎨⎧+-=-++=+2222222)(2b ab a b a b ab a b a ()⎪⎩⎪⎨⎧--+=+-=-+=+4)()(2)(2222222b a b a ab abb a ab b a b a 2.完全平方公式推广：()bc ac ab c b a c b a 2222222+++++=++3.完全立方公式：()3223333b ab b a a b a +++=+()3223333b ab b a a b a -+-=-4.立方和公式： ()()3322b abab a b a +=+-+立方差公式： ()()3322b abab a b a -=++-5.其他公式： ()()bc ac ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++2223333()()()[]22222221c b c a b a bc ac ab c b a -+-+-=---++ 三、整式乘除例练 例1：用乘法公式计算：① 2)32(--y x ②(21)(21)x y x y ++-+幂的运算性质因式分解 提公因式法 公式法 十字相乘法乘法公式相反变形n m n m n n n mn n m n m n m aa ab a ab a a aa a -+=÷===•)()(整式的除法22))((b a b a b a -=-+2222)(b ab a b a +±=±pq x q p x q x p x +++=++)())((2整式的乘法相反 变形例2.已知)2)(32(1437622c y x b y x a y x y xy x +++-=+++--，试确定c b a ,,的值。

例3.已知（a ＋b ）2＝10，（a －b ）2＝2，求a 2＋b 2，ab 的值．例4：已知x ＋x1＝2，求x 2＋21x ，x 4＋41x 的值．例5：已知：014642222=+-+-++z y x z y x ，求z y x ++的值。

整式的乘除与因式分解知识点全面一、整式的乘法与除法知识点：1.整式的乘法：整式的乘法是指两个或多个整式相乘的运算。

乘法的结果称为“积”。

-乘法的交换律：a×b=b×a-乘法的结合律：(a×b)×c=a×(b×c)-乘法的分配律：a×(b+c)=a×b+a×c2.整式的除法：整式的除法是指一个整式被另一个整式除的运算。

除法的结果称为“商”和“余数”。

-除法的除数不能为0，即被除式不能为0。

-除法的商和余数满足等式：被除式=除数×商+余数3.次数与次项：整式中的变量的幂次称为整式的次数。

次数为0的项称为常数项，次数最高的项称为最高次项。

4.整式的乘除法规则：-乘法规则：乘法运算时，将整式中的每一项依次相乘，然后将结果相加即可。

-除法规则：除法运算时，可以通过因式分解的方法进行计算。

5.乘法口诀：乘法口诀是指两个整数相乘时的计算规则。

-两个正整数相乘，结果为正数。

-两个负整数相乘，结果为正数。

-一个正整数与一个负整数相乘，结果为负数。

二、因式分解知识点：1.因式分解：因式分解是将一个整式表示为几个乘积的形式的运算。

可以通过提取公因式、配方法等方式进行因式分解。

2.提取公因式：提取公因式是指将整式中公共的因子提取出来，分解成公因式和余因式的乘积的过程。

3.配方法：配方法是指将整式中的一些项配对相加或相乘，通过变换形式，使得整个式子能够因式分解的过程。

4.差的平方公式：差的平方公式是指一个完全平方的差能够分解成两个因子相加的形式。

例如：a^2-b^2=(a+b)(a-b)。

5. 完全平方公式：完全平方公式是指一个完全平方的和可以分解成一个因子的平方的和的形式。

例如：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^26.公式法：根据特定的公式，将整式进行因式分解。

7.分组法：将整式中的项分为两组，分别提取公因式，然后进行配方法或其他操作，将整式进行因式分解。

第一部分数与式专题02 整式加减及其运算（6大考点）核心考点一列代数式及代数式求值核心考点二整式的有关概念及运算核心考点三乘法公式的应用核心考点四整式的化简求值核心考点五因式分解核心考点核心考点六规律探索题新题速递核心考点一列代数式及代数式求值例1（2022·贵州六盘水·中考真题）已知，则的值是（）A．4B．8C．16D．12【分析】令，代入已知等式进行计算即可得．【详解】解：观察所求式子与已知等式的关系，令，则，故选：C ．，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是________．【答案】【分析】先根据是关于x的一元一次方程的解，得到，再把所求的代数式变形为，把整体代入即可求值．【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解，∴，∴．故答案为：14，的正方形秧田，，其中不能使用的面积为．(1)用含，的代数式表示中能使用的面积___________；(2)若，，求比多出的使用面积．【答案】(1)(2)50【分析】（1）利用正方形秧田的面积减去不能使用的面积即可得；（2）先求出中能使用的面积为，再求出比多出的使用面积为，利用平方差公式求解即可得．【详解】（1）解：中能使用的面积为，故答案为：．（2）解：中能使用的面积为，则比多出的使用面积为，，，，答：比多出的使用面积为50．【点睛】本题考查了列代数式、平方差公式与图形面积，熟练掌握平方差公式是解题关键．代数式及求值(1)概念：用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式；(2)列代数式：找出数量关系，用表示已知量的字母表示出所求量的过程；(3)代数式求值：把已知字母的值代入代数式中，并按原来的运算顺序计算求值．【变式1】（2022·山东济宁·三模）若是方程的两个根，则的值为（ ）A．9B．8C．7D．5【答案】A【分析】根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，求解即可．【详解】解：是方程的两个根，则，，∴，，故选：A【点睛】此题考查了一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．【变式2】（2022·甘肃·平凉市第十中学三模）十八世纪伟大的数学家欧拉最先用记号的形式来表示关于的多项式，把等于某数时一的多项式的值用来表示．例如时，多项式的值可以记为，即我们定义．若，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】代入多项式可以得，把整体代入求解即可．【详解】，，得：，，故选：C．【点睛】本题考查求代数式的值，整体代入是解题的关键．【变式3】（2022·浙江丽水·一模）已知，实数m，n满足，．（1）若，则_______；（2）若，则代数式的值是______________．【答案】 7 42或252##252或42【分析】（1）将已知式子因式分解代入得出，然后利用两个完全平方公式之间的关系求解即可；（2）利用（1）中结论得出或，然后分两种情况，将原式化简代入求值即可．【详解】解：（1）∵m+n=3，∴，∴，∴，∴，∵m>n，∴，∴；（2），由（1）得或解得：或当m=5，时，∵，∴，∴m+p=2，∴原式；当，n=5时，∵，∴，∴，∴原式；∴代数式的值为42或252；故答案为：①7；②42或252．【点睛】题目主要考查因式分解的运用，求代数式的值及完全平方公式与平方差公式，熟练掌握运算法则进行变换是解题关键．【变式4】（2022·福建省福州屏东中学模拟预测）已知，，且，则代数式的值是______ ．【答案】【分析】先计算，利用平方差公式求出的值，再把化为完全平方式，代入求值即可．【详解】解：，，．∴．，．．故答案为：．【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方式，代数式求值，掌握平方差公式和完全平方式的特点，利用平方差公式求出的值，是解决本题的关键．【变式5】（2022·安徽芜湖·模拟预测）阅读下列材料，完成后面的问题．材料1：如果一个四位数为（表示千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d的四位数，其中a为1～9的自然数，b，c，d为0～9的自然数），我们可以将其表示为：；材料2：把一个自然数（个位不为0）的各位数字从个位到最高位倒序排列，得到一个新的数．我们称该数为原数的兄弟数．如数“123”的兄弟数为“321”．(1)四位数______；（用含x，y的代数式表示）(2)设有一个两位数，它的兄弟数比原数大63，请求出所有可能的数；(3)求证：四位数一定能被101整除．【答案】(1)1000x+10y+505(2)18、29(3)证明过程见详解【分析】（1）依据材料1的方法即可作答；（2）先根据（1）的方法表示出和，在结合题意列出二元一次方程，化简得：，再根据x、y均是1至9的自然数即可求解；（3）利用（1）的方法表示出，依据a为1～9的自然数，b为0～9的自然数，可得10a+b必为整数，即命题得证．(1)根据题意有：，即答案为：；(2)∵，，又∵，∴，∴，∵根据题意有x、y均是1至9的自然数，∴满足要求的x、y的数组有：（1,8）、（2,9），∴可能的数有18和29；(3)证明：∵，∴，∵a为1～9的自然数，b为0～9的自然数，∴10a+b必为整数，∴一定能被101整除，命题得证．【点睛】本题考查了列代数式和求解二元一次方程的整数解的知识，充分理解材料1、2所给的新定义是解答本题的关键．核心考点二整式的有关概念及运算例1（2021·四川绵阳·中考真题）整式的系数是（）A．-3B．3C．D．【答案】A【详解】解：的系数为本题主要考查了单项式的系数，追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对的理解如下：YYDS（永远的神）：就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；DDDD（懂的都懂）：等于；JXND（觉醒年代）：的个位数字是6；QGYW（强国有我）：我知道，所以我估计比大．其中对的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）．用，将化为，再与比较，即可判断的乘方的个位数字的规律即可判断的逆用可得，即可判断【详解】是200个2相乘，YYDS，DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；，2的乘方的个位数字4个一循环，，的个位数字是，，且，故QGYW（强国有我）的理解是正确的；故答案为：DDDD．【点睛】本题考查了乘方的含义，幂的乘方的逆用等，熟练掌握乘方的含义以及乘方的运算第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，……按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________；(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．【答案】(1)(2)，证明见解析【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n个等式为，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．（1）解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：，故答案为：；（2）解：第n个等式为，证明如下：等式左边：，等式右边：，故等式成立．【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．整式及有关概念(1)单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的_次数，单项式中的数字因数叫做单项式的系数．单独的数、字母也是单项式；(2)多项式：由几个单项式组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数，一个多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；(3)整式：单项式和多项式统称为整式；(4)同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项；所有的常数项都是同类项．整式的运算1．同底数幂的乘法法则：（都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

整式的乘除法。

因式分解和分式复习基本概念一．整式的除乘法 1。

同底数幂的乘法：mn m n a a a +=,（m,n 都是正整数),即同底数幂相乘,底数不变，指数相加。

2。

幂的乘方：()m nmna a=,(m ，n 都是正整数)，即幂的乘方，底数不变，指数相乘.3.积的乘方：()n n nab a b =，（n 为正整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。

4。

整式的乘法：(1）单项式的乘法法则：一般地，单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．（2）单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律,用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．可用下式表示:m （a +b +c )=ma +mb +mc (a 、b 、c 都表示单项式）（3)多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．5.乘法公式：（1）平方差公式：平方差公式可以用语言叙述为“两个数的和与这两个的差积等于这两个数的平方差"，即用字母表示为：（a +b )(a －b )=a 2－b 2;其结构特征是：公式的左边是两个一次二项式的乘积，并且这两个二项式中有一项是完全相同的，另一项则是互为相反数，右边是乘式中两项的平方差.（2）完全平方公式:完全平方公式可以用语言叙述为“两个数和（或差)的平方，等于第一数的平方加上（或减去）第一数与第二数乘积的2倍，加上第二数的平方”，即用字母表示为：（a +b )2=a 2+2ab +b 2;（a －b )2=a 2－2ab +b 2;其结构特征是:左边是“两个数的和或差”的平方,右边是三项，首末两项是平方项,且符号相同，中间项是2ab ，且符号由左边的“和”或“差”来确定. 在完全平方公式中，字母a 、 b 都具有广泛意义，它们既可以分别取具体的数，也可以取一个单项式、一个多项式或代数式（3）添括号时,如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都变号。

整式的加减乘除复习一、知识梳理（一）整式的相关概念1.单项式：数与字母的乘积。

单项式的系数：单项式中的数字因数。

单项式的次数：单项式中所有字母的指数之和。

2.多项式：几个单项式的和。

多项式的项：每个单项式。

多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数。

常数项：多项式中，不含字母的项。

（二）整式的加减法1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

几个常数项也是同类项。

（1）同类项与系数无关；（2）与字母的顺序无关。

2.合并同类项：把多项式的同类项合并成一项。

（1）同类项的系数相加作为新的系数；（2）字母和指数不变；（3）不是同类项不能合并。

3.去括号、添括号：（1）括号前是“—”号，去括号时括号内各项要变号（正号不变，负号全变）；（2）括号前是数字因数，先用乘法分配率将数与括号内各项分别相乘再去括号；（3）多层括号应由里向外，逐层去括号。

4.整式加减的一般步骤：（1）如果有括号，先去括号；（2）如果有同类项，再合并同类项。

（三）整式的乘除法1.整式的乘除法单项式乘单项式：（1）系数相乘；（2）相同字母的幂相乘；（3）其余字母连同它们的指数不变，作为积的因式。

单项式乘多项式：m(a+b+c)=ma+mb+mc.根据分配率用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

多项式乘多项式：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

单项式除以单项式：（1）系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；（2）只在被除式里出现的字母，连同指数一起作为商的一个因式。

多项式除以单项式：(a+b+c)÷m=a ÷m+b ÷m+c ÷m.多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

2.幂的运算（1）同底数幂的乘法：；逆用：。

n m n m aa a +=⋅n m n m a a a ⋅=+（2）同底数幂的除法：，；逆用：，。